Bod´o Be´ata - MATEMATIKA II
1
´ IN ´ ´ US ˝ EG, ´ FUGGETLENS ¨ ´ FELTETELES VALOSZ EG 1. Legyen P (A) = 0, 7; P (B) = 0, 6 e´ s P (A·B) = 0, 5. Hat´arozza meg a k¨ovetkez˝o val´osz´ın˝us´egeket! (a) B,V
P (A|B)
[0, 8333]
(b) B,V
P (B|A)
[0, 7143]
(c) B,V
P (A|A + B)
[0, 875]
(d) B,V
P (A · B|A)
[0, 7143]
(e) B,V
P (A · B|A + B)
(f) B,V
P (A|A − B)
(g) B,V
P (A|B)
[0, 5]
(h) B,V
P (A|A + B)
[0, 4]
(i) B,V
P (B − A|A + B)
[0, 625] [1]
[0, 125]
2. B,V Legyen P (A) = 0, 4; P (B) = 0, 8 e´ s P (A|B) = 0, 2. Mennyi a P (B|A) val´osz´ın˝us´eg e´ rt´eke? [0, 4] 3. Legyenek A e´ s B f¨uggetlen esem´enyek, melyekr˝ol tudjuk, hogy P (A) = 0, 3; P (B) = 0, 4. Hat´arozza meg a k¨ovetkez˝o val´osz´ın˝us´egeket! (a) B,V
P (A · B)
[0, 12]
(b) B,V
P (A + B)
[0, 72]
(c) B,V
P (B − A)
[0, 28]
(d) B,V
P (A · B)
[0, 42]
(e) B,V
P (A − B)
[0, 28]
(f) B,V
P (A|B)
(g) B,V
P (A · B|A + B)
(h) V
P (A − B|B − A)
[0, 3] [0] [0, 25]
4. Egy pakli magyar k´arty´ab´ol h´uzunk k´et lapot. (a) B,V Felt´eve, hogy az els˝o lap piros, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy a m´asodik lap z¨old, ha 8 visszatev´essel h´uzunk? 32 (b) B,V Felt´eve, hogy az els˝o lap piros, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy a m´asodik lap z¨old, ha 8 visszatev´es n´elk¨ul h´uzunk? 31 (c) B,V Felt´eve, hogy az els˝o lap piros, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy a m´asodik lap is piros, 8ha visszatev´essel h´uzunk? 32 (d) B,V Felt´eve, hogy az els˝o lap piros, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy a m´asodik lap is piros, 7ha visszatev´es n´elk¨ul h´uzunk? 31
Bod´o Be´ata - MATEMATIKA II
2
(e) B,V Felt´eve, hogy az els˝o lap a´ sz, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy a m´asodik lap nem a´ sz, 28ha visszatev´essel h´uzunk? 32 (f) B,V Felt´eve, hogy az els˝o lap a´ sz, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy a m´asodik nem a´ sz, ha vissza 28 tev´es n´elk¨ul h´uzunk? 31 5. K´et k¨ul¨onb¨oz˝o szab´alyos dob´okock´at feldobunk. (a) B,V Felt´eve, hogy a dobott sz´amok o¨ sszege 8, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy van hatos 2 a dobott sz´amok k¨oz¨ott? 5 = 0, 4 (b) B,V Felt´eve, hogy van hatos a dobott sz´amok k¨oz¨ott, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy a dobott 2 sz´amok o¨ sszege 8? 11 = 0, 1818 (c) B,V Felt´eve, hogy nincs hatos a dobott sz´amok k¨oz¨ott, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy a dobott 6 sz´amok o¨ sszege legal´abb 8? 25 (d) B,V Felt´eve, hogy a dobott sz´amok o¨ sszege kevesebb mint 8, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy 19 nincs hatos a dobott sz´amok k¨oz¨ott? 21 6. Egy szab´alyos dob´okock´at feldobunk k´etszer. (a) B,V Felt´eve, hogy a dobott sz´amok o¨ sszege 11, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy az els˝o dob´ 1as hatos? 2 (b) B,V 11?
Felt´eve, hogy az els˝o dob´as hatos, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy a dobott sz´amok o¨ sszege 1 6
7. H´arom k¨ul¨onb¨oz˝o szab´alyos dob´okock´at feldobunk. (a) B,V Felt´eve, hogy a dobott sz´amok k¨oz¨ott nincs k´et egyforma, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy nincs hatos a dobott sz´amok k¨oz¨ott? [0, 5] (b) B,V Felt´eve, hogy a dobott sz´amok k¨oz¨ott nincs k´et egyforma, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy legal´abb az egyiken hatos van? [0, 5] (c) B,V Mekkora a val´osz´ın˝us´ege hogy az egyik kock´aval hatost dobunk, felt´eve, hogy a dobott sz´amok o¨ sszege 12? [0, 6] 8. B,V H´arom k¨ul¨onb¨oz˝o szab´alyos e´ rm´et feldobunk. Felt´eve, hogy dobunk legal´abb egy fejet,mi 6 a val´osz´ın˝us´ege, hogy ´ır´ast is dobunk? 7 9. B,V Egy a´ ruh´az o¨ sszes l´atogat´oja k¨oz¨ul a´ tlagosan 25% keresi fel a m˝uszaki oszt´alyt. Ezek k¨oz¨ul 64% v´as´arol ott valamit. Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy egy l´atogat´o m˝uszaki cikket v´as´arol? [0, 16] 10. B,V Egy csal´adban az els˝o gyerek fi´u e´ s a m´asodik gyereket v´arj´ak. Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy l´any lesz? (Tegy¨uk fel, hogy a fi´uk e´ s l´anyok sz¨ulet´es´enek azonos az es´elye.)[0, 5] 11. Tudjuk, hogy az u´ j szomsz´edunknak k´et gyereke van e´ s azt is, hogy az egyik fi´u. (a) B,V
Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy a m´asik l´any?
[0, 6667]
(b) B,V
Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy a m´asik is fi´u?
[0, 3333]
Bod´o Be´ata - MATEMATIKA II
3
12. Egy z¨olds´eg´arusn´al k´etf´ele alma kaphat´o. A Golden alma a k´eszlet 30%-´at, a Starking alma a k´eszlet 70%-´at teszi ki. A Golden alma 90%-a els˝o oszt´aly´u, a Starking alma 50%-a els˝o oszt´aly´u. V´eetlenszer˝uen kiv´alasztunk egy alm´at. (a) B,V
Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy els˝o oszt´aly´u alm´at v´alasztottunk?
[0, 62]
(b) B,V Felt´eve, hogy els˝o oszt´aly´u alm´at v´alasztottunk, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy Golden? [0, 4355] (c) V Felt´eve, hogy nem els˝o oszt´aly´u alm´at v´alasztottunk, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy Starking? [0, 9211] 13. Egy v´arosban a lakoss´ag 28%-a rendelkezik diplom´aval. A munkan´elk¨uliek ar´anya a diplom´asok k¨oz¨ott 4, 8%, a t¨obbiek k¨oz¨ott 9, 2%. (a) B,V Ha v´eletlenszer˝uen kiv´alasztunk egy embert, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy munkan´elk¨uli? [0, 0797] (b) B,V Tal´alkoztunk valakivel, akinek nincs munk´aja. Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy rendelkezik diplom´aval? [0, 1687] (c) V Tal´alkoztunk valakivel, akinek van munk´aja. Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy nem rendelkezik diplom´aval? [0, 7103] 14. Egy u¨ zemben h´arom g´ep gy´artja ugyanazt a term´eket. Az els˝o g´ep a teljes termel´es 50%-´at, a m´asodik g´ep 30%-´at, a harmadik pedig 20%-´at adja. Tapasztalatok szerint az els˝o g´ep a´ ltal gy´artott term´ekek 5%-a, a m´asodik g´ep a´ ltal gy´artott term´ekek 3%-a e´ s a harmadik g´ep a´ ltal gy´artott term´ekek 2%-a selejtes. A nap v´eg´en a term´ekeket beviszik a rakt´arba. (a) V Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy a rakt´arb´ol v´eletlenszer˝uen kiv´alasztott term´ek selejtes? [0, 038] (b) V Tudjuk, hogy a v´eletlenszer˝uen kiv´alasztott term´ek selejtes. Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy az els˝o g´ep gy´artotta? [0, 6579] (c) V Felt´eve, hogy selejtes term´eket v´alasztunk, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy a m´asodik g´ep gy´artotta? [0, 2368] (d) V Tudjuk, hogy a v´eletlenszer˝uen kiv´alasztott term´ek nem selejtes. Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy a harmadik g´ep gy´artotta? [0, 2037] 15. Egy m˝uhelyben h´arom m˝uszakban gy´artnak azonos term´ekeket. Az els˝o m˝uszakban a term´ekb˝ol 40%, a m´asodik m˝uszakban 30%, a t¨obbi a harmadik m˝uszakban k´esz¨ul. Az els˝o m˝uszakban 2%, a m´asodik m˝uszakban 3%, a harmadik m˝uszakban 5% hib´as a´ ru k´esz¨ul. A h´arom m˝uszakban elk´esz¨ult teljes mennyis´egb˝ol kiv´alasztunk egy darabot. [0, 968]
(a) V
Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy a kiv´alasztott term´ek hib´atlan?
(b) V
A term´ek hib´as. Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy a m´asodik m˝uszakban gy´artott´ak? [0, 28125]
(c) V
A term´ek hib´as. Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy a harmadik m˝uszakban gy´artott´ak? [0, 4687]
(d) V
A term´ek hib´atlan. Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy az els˝o m˝uszakban gy´artott´ak?
[0, 405]
Bod´o Be´ata - MATEMATIKA II
4
16. A z¨olds´egesn´el alma, k¨orte, szilva e´ s barack kaphat´o, melyek els˝o vagy m´asodoszt´aly´uak. Az alma a k´eszlet 30%-´at, a k¨orte 25%-´at, a szilva 23%-´at e´ s a barack 22%-´at teszi ki. Az alma 30%-a, a k¨orte 40%-a, a szilva 50%-a e´ s a barack 50%-a m´asodoszt´aly´u. (a) V Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy egy v´eletleszer˝uen kiv´alasztott gy¨um¨olcs els˝o oszt´aly´u? [0, 585] (b) V Felt´eve, hogy egy v´eletleszer˝uen kiv´alasztott gy¨um¨olcs els˝o oszt´aly´u, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy k¨orte? [0, 2564] (c) V Felt´eve, hogy egy v´eletleszer˝uen kiv´alasztott gy¨um¨olcs m´asodoszt´aly´u, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy alma? [0, 1541] 17. K¨oz´uti forgalmi ellen˝orz´esek e´ s m´er´esek sor´an meg´allap´ıtott´ak, hogy egy adott v´arosban a j´arm˝uvek 55%-a szem´elyaut´o, 30%-a teheraut´o a a fennmarad´o r´esz pedig egy´ebb kateg´ori´aba sorolhat´o j´arm˝u. A szem´elyaut´ok 20%-´an´al, a teheraut´ok 25%-´an´al, az egy´ebb kateg´ori´aj´u j´arn˝uvek 35%a´ n´al valami m˝uszaki probl´ema fedezhet˝o fel. Ebben a v´arosban meg´all´ıtunk egy j´arm˝uvet. (a) V
Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy m˝uszaki a´ llapota kifog´asolhat´o?
[0, 2375]
(b) V Felt´eve, hogy a meg´all´ıtott j´arm˝u m˝uszaki a´ llapota kifog´asolhat´o, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy szem´elyaut´o? [0, 4632] (c) V Felt´eve, hogy a meg´all´ıtott j´arm˝u m˝uszaki a´ llapota nem kifog´asolhat´o, mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy teheraut´o? [0, 2951] 18. Egy alkalommal egy szolg´altat´o hib´as sz´amlakivonatot k¨uld az u¨ gyfeleinek. A gyakorlat azt mutatja, hogy az emberek 65%-a n´ezi a´ t a sz´am´ara elk¨uld¨ott sz´amlakivonatot, 35%-uk nem n´ezi a´ t. Ha egy ember a´ tn´ezi a sz´amlakivonatot, akkor 0, 55 val´osz´ın˝us´eggel tal´alja meg a benne rejl˝o hib´at. Ha nem n´ezi meg, akor biztosan nem tal´alja meg a hib´at. (a) V Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy egy ember megtal´alja a sz´am´ara k¨uld¨ott sz´amlakivonatban a hib´at? [0, 3575] (b) V Felt´eve, hogy az ember nem tal´alja meg a hib´at a sz´amlakivonatban, mennyi a val´osz´ın˝us´ege, hogy meg sem n´ezte? [0, 545] 19. Van k´et dobozunk. Az els˝oben 4 piros e´ s 4 feh´er goly´o van, a m´asodikban 6 piros e´ s 3 feh´er. Tal´alomra kiv´alasztunk egy dobozt e´ s abb´ol kivesz¨unk egy goly´ot. A dobozok k¨oz¨ul azonos val´osz´ın˝us´eggel v´alasztuk. 7 (a) V Mi a val´osz´ın˝us´ege annak, hogy a kivett goly´o piros? 12 (b) V Ha tudjuk, hogy a kivett goly´o feh´er, akkor mi a val´osz´ın˝us´ege annak, hogy a m´asodik 7 dobozb´ol h´uztuk? 12 20. Az els˝o besz´amol´on a hallgat´ok 32%-a A csoportot, 33%-a B csoportot, a t¨obbiek pedig C csoportot ´ırtak. Az A csoportot ´ır´ok 70%-a, a B csoportot ´ır´ok 60%-a e´ s a C csoportot ´ır´ok 80%-a l´any. (a) V
Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy tetsz˝olegesen kiv´alasztott hallgat´o l´any?
[0, 702]
Bod´o Be´ata - MATEMATIKA II
5
(b) V Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy tetsz˝olegesen kiv´alasztott hallgat´o B csoportot ´ır, felt´eve, hogy l´any? [0, 282] (c) V Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy tetsz˝olegesen kiv´alasztott hallgat´o A csoportot ´ır, felt´eve, hogy l´any? [0, 319] 21. Gyuri e´ s Peti c´elt´abl´ara l˝onek. Gyuri 60%, Peti 70% val´osz´ın˝us´eggel tal´al c´elba. Mindketten egyszer l˝onek egym´ast´ol f¨uggetlen¨ul. (a) B,V (b) B,V (c) B,V
Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy egyik¨uk sem tal´alja el a c´elt´abl´at? Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy legal´abb az egyik¨uk eltal´alja a c´elt´abl´at? Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy mindketten eltal´alj´ak a c´elt´abl´at?
[0, 12] [0, 88] [0, 42]
22. Egy gy´arban h´arom k¨ul¨onb¨oz˝o egym´ast´ol f¨uggetlen g´ep m˝uk¨od´es´et vizsg´alt´ak. Meg´allap´ıtott´ak, hogy az els˝o g´ep a´ tlagosan a munkaid˝o 60%-´aban, a m´asodik g´ep a 65%-´aban a harmadik g´ep a 70%-´aban dolgozik. Mennyi a val´osz´ın˝us´ege annak, hogy a munkaid˝o egy adott id˝opillanat´aban (a) (b) (c) (d) (e)
B,V B,V B,V B,V B,V
minden g´ep dolgozik pontosan az egyik g´ep dolgozik csak a m´asodik g´ep dolgozik legal´abb az egyik g´ep dolgozik pontosan k´et g´ep dolgozik
[0, 273] [0, 239] [0, 078] [0, 958] [0, 446]
23. Egy edz˝oterembe h´arom u´ j fut´opadot vesznek. Az els˝ot 0, 3, a m´asodikat 0, 4, a harmadikat 0, 5 val´osz´ın˝us´eggel kell egy e´ ven bel¨ul jav´ıtani. (a) B,V (b) B,V (b) B,V
Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy egy e´ ven bel¨ul egyikhez sem kell szerel˝ot h´ıvni? Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy legal´abb az egyik elromlik egy e´ ven bel¨ul? Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy pontosan kett˝o romlik el egy e´ ven bel¨ul?
[0, 21] [0, 79] [0, 29]
¨ katona k¨oz¨ul mindegyik 100 l¨ov´esb˝ol a´ tlagosan 80-szor eltal´alja a c´elt´abl´at. Az o¨ t ka24. B,V Ot tona egyszerre r´al˝o a c´elt´abl´ara. Mi a val´osz´ın˝us´ege annak, hogy kevesebb, mint k´et tal´alat e´ ri a c´elt´abl´at? [0, 00672] 25. B,V Egy helyis´eget k´et u´ ton lehet megk¨ozel´ıteni. Egy-egy aut´o indul el mindk´et u´ ton. Annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy az els˝o u´ ton h´of´uv´as miatt elakad a g´epkocsi 0, 8, annak, hogy a m´asodikon elakad 0, 65. Mi a val´osz´ın˝us´ege annak, hogy legal´abb az egyik g´epkocsi c´elba e´ r? [0, 48] 26. B,V Egy dobozban 6 piros, 4 z¨old e´ s 2 k´ek goly´o van. Visszatev´es n´elk¨ul kih´uzunk h´arom goly´ot. Mi a val´osz´ın˝us´ege, hogy els˝ore pirosat, m´asodikra k´eket, harmadikra z¨oldet h´uzunk? [0, 03636] 27. Vegyszeres sz´unyogirt´ast v´egeznek. Az els˝o permetez´es ut´an a sz´unyogok 80%-a elpusztul, de az e´ letben maradottakban annyi ellen´all´ok´epess´eg fejl˝odik ki, hogy a m´asodik permetez´eskor m´ar csak 40%-uk, a harmadikn´al pedig m´ar csak 20%-uk pusztul el. (a) V Mi a val´osz´ın˝us´ege annak, hogy egy sz´unyog t´ul´eli mindh´arom permetez´est? [0, 096] (b) V Felt´eve, hogy egy sz´unyog t´ul´elte az els˝o permetez´est, mi a val´osz´ın˝us´ege annak, hogy a m´asodikat e´ s a harmadikat is t´ul´eli? [0, 48]
