Bevezetés a Geogebrába

Bevezetés a Geogebrába

Szerzők: Judith Hohenwarter, [email protected] Markus Hohenwarter, [email protected] Fordította: Révai Nóra

2

A mű eredeti címe: Introduction to GeoGebra A kézirat utolsó módosítása: 2008. július 19. Készült a GeoGebra 3.0-hoz

Az eredeti mű szerzői: Judith Hohenwarter, Markus Hohenwarter Fordította: Révai Nóra Lektorálta: Papp Varga Zsuzsanna

© Judith Hohenwarter, Markus Hohenwarter, 2008 © Hungarian translation Révai Nóra, 2011 © Műszaki Könyvkiadó Kft., 2011

ISBN 978-963-16-4529-3 Azonositó szám: MK-4529-3 Kiadja a Műszaki Könyvkiadó Kft. Felelős kiadó: Orgován Katalin ügyvezető igazgató Szerkesztőségvezető: Hedvig Olga Felelős szerkesztő: Csík Zoltán Műszaki szerkesztő: Haász Anikó Tördelőszerkesztés és könyvterv: Weep Bt. 1. magyar nyelvű kiadás e-mail: [email protected] www.muszakikiado.hu

3

KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS Szeretnénk köszönetet mondani a Florida Atlantic University és Broward megye iskolaszékének a „Standards Mapped Graduate Education and Mentoring” („Közoktatási követelményrendszerhez igazodó egyetemi tanárképzés és mentorálás”) című, NSF Matematikai és természettudományi partnerségi projekt tagjainak, különösképpen a projekt vezetőinek Heinz-Otto Peitgennek és Richard Vossnak, akik ösztönözték munkánkat, valamint Broward megye tanárainak – Guy Barmoha, Paul Beaulieu, James Duke Chin, Ana Escuder, Edward M. Knote, Athena Matherly, Barbara A. Perez, Lewis Prisco, Jeffrey Rosen és Megan Yanes – a könyv írása közben nyújtott folyamatos támogatásukért és együttműködésükért. Jelen anyag a National Science Foundation EHR-0412342 számú pályázata, „Standards Mapped Graduate Education and Mentoring” („Közoktatási követelményrendszerhez igazodó egyetemi tanárképzés és mentorálás”) elnevezésű NSF Matematikai és természettudományi partnerségének keretében támogatott munkán alapul. Az alkotásban szereplő véleményeket, megállapításokat, következtetéseket és ajánlásokat a szerzők fogalmazták meg, így ezek nem feltétlenül tükrözik a National Science Foundation nézeteit.

4

HOGYAN HASZNÁLJUK A KÖNYVET? A „Bevezetés a Geogebrába” a GeoGebra nevű dinamikus matematikai szoftver minden alapvető funkcióját bemutatja, így egyrészt egy, a GeoGebrát jól ismerő előadó használhatja bevezető tanfolyamokhoz, másrészt az olvasó a szoftver használatát a könyv segítségével egyedül is megtanulhatja. A könyv példáit végigcsinálva megismerheted a GeoGebra működését, amely az általános iskola felső tagozatától (10 éves kortól) az egyetemig mind matematikatanításra, mind annak tanulására alkalmas. A feladatok bevezetést nyújtanak a geometriai eszközök, az algebrai kifejezések bevitelének, a parancsok, valamint a GeoGebra különböző funkcióinak használatába. Ahhoz, hogy minél alaposabban megismerkedhess ezzel a sokoldalú szoftverrel, és hogy módszertani ötleteket kapj a GeoGebra mindennapi tanításban való alkalmazására, ez a bevezetés a matematikai témák egy széles skáláját fedi le. A könyv gyakorlóblokkjai a korábban megtanult készségek gyakorlására és a szoftver egyéni felfedezésére nyújtanak lehetőséget. A könyv minden szerkesztési fájlja és a kiegészítő fájlok (GeoGebra-fájlok, dinamikus munkalapok, képfájlok) elérhetők online a http://www.geogebra.org/book/intro-en.zip oldalon. Jó szórakozást és sikeres feladatmegoldást kívánunk a GeoGebrával! Judith & Markus

5

T A R TA LO M J E G Y Z É K 1. Telepítés, bevezetés a GeoGebrába . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Feladat: A GeoGebra telepítése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Feladat: A kiegészítő fájlok elmentése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bevezetés: Mi is az a GeoGebra és hogy működik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 8 8

2. Rajzolás kontra geometriai szerkesztés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Feladat: Geometriai és egyéb alakzatok rajzolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Feladat: GeoGebra-fájlok mentése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Feladat: Rajzok, Szerkesztések és Mozgatás-teszt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Feladat: Téglalap szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Feladat: Szabályos háromszög szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 10 11 12 12 14

3. I. Gyakorlóblokk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tippek és trükkök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. a) Feladat: Négyzet szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. b) Feladat: Szabályos hatszög szerkesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. c) Feladat: Háromszög köré írt köre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. d) Feladat: Thales tételének szemléltetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 16 17 18 19 20

4. Alapvető algebrai adatok bevitele, parancsok és függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tippek és trükkök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. a) Feladat: Egy kör érintőinek megszerkesztése (1. Rész) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. b) Feladat: Egy kör érintőinek megszerkesztése (2. Rész) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Feladat: Egy másodfokú polinom paramétereinek felfedezése . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Feladat: Csúszkák használata a paraméterek változtatásához . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Feladat: Függvénykönyvtárak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 22 22 25 26 27

5. Képek exportálása a vágólapra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 12. a) Feladat: Képek exportálása a vágólapra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 12. b) Feladat: Képek beszúrása szöveges dokumentumba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6. II. Gyakorlóblokk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tippek és trükkök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. a) Feladat: Elsőfokú egyenlet paraméterei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. b) Feladat: A derivált bevezetése – a deriváltfüggvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. c) Feladat: Függvénydominó-játék készítése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. d) Feladat: Geometriai alakzatokkal kapcsolatos memóriajáték készítése . . . . . . . .

32 32 33 34 35 36

7. Kép beszúrása a geometria ablakba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Feladat: Szimmetrikus ábrák készítésére szolgáló rajzeszköz . . . . . . . . . . . . . . . . 14. a) Feladat: Kép átméretezése és tükrözése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. b) Feladat: Kép torzítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. c) Feladat: A tükrözés tulajdonságainak felfedezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 37 39 40 41

6

8. Szöveg beszúrása a geometria ablakba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 15. Feladat: Tükörképpontok koordinátái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 16. Feladat: Sokszög forgatása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 9. III. Gyakorlóblokk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tippek és trükkök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. a) Feladat: Egyenletrendszer szemléltetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. b) Feladat: Képek eltolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. c) Feladat: Egyenes meredekségének szemléltetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. d) Feladat: A Louvre piramis felfedezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46 46 47 48 49 51

10. Statikus feladatlapok készítése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 17. a) Feladat: Képek elmentése fájlként . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 17. b) Feladat: Kép beszúrása Wordbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 11. Dinamikus munkalapok készítése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bevezetés: A GeoGebraWiki és a Felhasználói fórum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. a) Feladat: Dinamikus munkalap létrehozása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. b) Feladat: Dinamikus munkalapok továbbfejlesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. c) Feladat: Dinamikus munkalapok tanulóknak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56 56 58 61 62

12. IV. Gyakorlóblokk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tippek és trükkök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV. a) Feladat: Hasonló mértani alakzatok területei közötti összefüggések . . . . . . . . . IV. b) Feladat: Egy háromszög belső szögösszegének szemléltetése . . . . . . . . . . . . . . IV. c) Feladat: Egész számok összeadásának szemléltetése a számegyenesen . . . . . . IV. d) Feladat: Tangram kirakó készítése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63 63 64 66 67 69

7

1. T E L E P Í T É S ,

BEVEZETÉS A

GEOGEBRÁBA

1. Feladat: A GeoGebra telepítése Előkészítés Hozz létre egy GeoGebra_Bevezetes nevű mappát az Asztalon.

Útmutatás: Minden fájlt ebbe a mappába ments, hogy a későbbiekben is könnyen megtaláld őket. Telepítés internet-hozzáféréssel Telepítsd a GeoGebra Webstartot • Nyisd meg a böngészőt és menj a www.geogebra.org/webstart oldalra. • Kattints a GeoGebra Webstart gombra.

Megjegyzés: A szoftver telepítése automatikus, minden megjelenő üzenetnél kattints az OK vagy a Tovább gombokra. Útmutatás: Ha van internet-hozzáférésed, a GeoGebra Webstartnak jó néhány előnye van telepítéskor: • Nem kell különböző fájlokkal dolgozni, mert a GeoGebra automatikusan települ a számítógépre. • A GeoGebra Webstart használatához nem szükséges speciális felhasználói jogokkal rendelkezni, ami különösen iskolai számítógéplaborok és laptopok esetében hasznos. • A GeoGebra Webstart telepítés után offline is használható. • Ha a telepítés után is van internet-hozzáférésed, a GeoGebra Webstart rendszeresen ellenőrzi, hogy vannak-e frissítések, és azokat automatikusan telepíti, így mindig a legfrissebb GeoGebrával dolgozhatsz. Internetkapcsolat nélküli telepítés • A tanfolyam vezetőjétől pendrive-on vagy CD-n megkapod a telepítéshez szükséges fájlokat. • Másold a fájlokat az adattárolóról a számítógép GeoGebra_Bevezetes mappájába.

Útmutatás: Ellenőrizd, hogy az operációs rendszerednek megfelel-e a fájl. Példa: MS Windows: GeoGebra_3_0_0_0.exe Macintosh: GeoGebra_3_0_0_0.zip • Kattints duplán a GeoGebra telepítőfájlra és kövesd a telepítővarázsló utasításait.

8

2. Feladat: A kiegészítő fájlok elmentése Töltsd le a kiegészítő fájlokat, és mentsd el a számítógépre. • A tanfolyam vezetőjétől pendrive-on vagy CD-n megkapod a kiegészítő fájlokat, másold az adattárolóról a GeoGebra_Bevezetes_Fajlok (GeoGebra_Introduction_Files) mappát a számítógépen lévő GeoGebra_Bevezetes mappába. VAGY • Töltsd le a tömörített (zip) fájlt a www.geogebra.org/book/intro-en.zip oldalról,  mentsd el a zip fájlt a GeoGebra_Bevezetes mappába, majd  bontsd ki a fájlokat a számítógépre. Az operációs rendszertől függően ezt a következőképpen teheted meg: MS Windows XP esetén jobb egérgombbal kattints a tömörített fájlra, és kövesd a varázsló utasításait. Macintosh esetében duplán kattints a fájlra.

Bevezetés: Mi is az a GeoGebra és hogy működik? Mi áll a GeoGebra hátterében? A GeoGebra egy iskolák számára készült dinamikus matematikai szoftver, mely ötvözi a geometriát, az algebrát és az analízist. A GeoGebra egyrészt egy dinamikus geometriai program, segítségével pontokkal, vektorokkal, szakaszokkal, egyenesekkel és kúpszeletekkel, valamint függvényekkel lehet szerkesztéseket végezni, miközben az egyes elemek dinamikusan változtathatók. Másrészt egyenletek és koordináták közvetlenül is megadhatók, a GeoGebra számokat, vektorokat és pontokat mint változókat is tud kezelni. Meg tudja határozni függvények deriváltjait és integráljait, illetve olyan parancsok adhatók, melyekkel például gyököket vagy csúcspontokat lehet megkeresni. A GeoGebrát két nézet jellemzi: az algebra ablakban megjelenő kifejezés megfelel egy, a geometria ablakban lévő alakzatnak és fordítva. A GeoGebra felhasználói felülete A GeoGebra felhasználói felülete egy geometriai és egy algebra ablakból áll. Egyrészről a rendelkezésre álló geometriai eszközöket kezelheted az egérrel, így a geometria ablak rajzlapjára lehet geometriai szerkesztéseket készíteni. Ugyanakkor a billentyűzettel a parancssorba közvetlenül is bevihetők algebrai adatok, parancsok és függvények. Míg az alakzatok grafikai képe a geometria ablakban, az algebrai, numerikus formájuk az algebra ablakban látható. A GeoGebra felület rugalmas, és tanítványaid igényeinek megfelelően adaptálható. Ha a szoftvert általános iskolában szeretnéd használni, az algebra ablakot, a parancssort és a koordinátatengelyeket elrejtheted, és dolgozhatsz csak a rajzlappal és a geometriai eszközök-

9

kel. Később, a koordináta-rendszer bevezetésénél az egész koordinátákkal való munka ösztönzésére használhatsz rácsot. A középiskolában az algebrai adatok bevitelét is használhatod, ha tanítványaidat az algebrán át a koordináta-geometriába, analízisbe szeretnéd bevezetni. Az eszközök használatának alapjai • A megfelelő ikonra való kattintással aktiválhatod a különböző eszközöket. • Az ikonok jobb alsó sarkában lévő nyílra kattintva nyisd meg az eszközkészletet, és válassz ki egy másik eszközt.

Útmutatás: Nem kell minden alkalommal megnyitni az eszközkészletet, amikor aktiválni szeretnél egy eszközt; ha a gombon a használni kívánt eszköz ikonja látható, akkor az eszközt a gombra kattintva közvetlenül is aktiválhatod. Útmutatás: Egy eszközkészlet hasonló jellegű eszközöket tartalmaz, illetve olyanokat, melyek ugyanolyan jellegű alakzatokat hoznak létre. • Az eszköztáron látható, hogy melyik eszköz aktív, és hogyan használható.

10

2. R A J Z O L Á S

KONTRA GEOMETRIAI SZERKESZTÉS

3. Feladat: Geometriai és egyéb alakzatok rajzolása Előkészítés • Rejtsd el az algebra ablakot és a koordinátatengelyeket (Nézet menü). • Jelenítsd meg a koordinátarácsot (Nézet menü).

Képrajzolás a GeoGebrával Az egér segítségével használd az alábbi eszközöket, és rajzolj különböző alakzatokat a rajzlapra (pl. négyzetet, téglalapot, házat, fát stb.). Új pont

Új!

Mozgatás

Új!

Egyenes két ponton keresztül

Új!

Szakasz

Új!

Alakzatok törlése

Új!

Visszavonás / Újra gombok

Új!

Rajzlap mozgatása

Új!

Nagyítás / Kicsinyítés

Új!

Mit gyakoroljunk? • Hogyan választhatunk ki egy már meglévő alakzatot?

Útmutatás: Amikor a kurzor egy alakzaton átmegy, a kereszt nyíllá változik, és az alakzat kiemelődik. Az alakzat ekkor kattintással választható ki. • Hogyan hozhatunk létre egy pontot egy adott alakzaton?

Útmutatás: A létrehozott pont világoskék színű. Az egér mozgatásával mindig ellenőrizd, hogy a pont valóban az alakzaton helyezkedik-e el.

11

• Hogyan javíthatjuk a hibákat lépésről lépésre a Visszavonás és az Újra gombokkal?

Útmutatás: Jó néhány eszköz hoz létre automatikusan pontokat, ezért ahhoz, hogy ezeket a gombokat használjuk, nincs szükség létrehozott alakzatra. Példa: A Szakasz például alkalmazható már két meglévő pontra, de használhatjuk az üres rajzlapon is. A rajzlapra kattintva jönnek létre a pontok, és megjelenik az ezeket összekötő szakasz.

4. Feladat: GeoGebra-fájlok mentése Mentsd el a rajzaidat! • Nyisd meg a Fájl menüt, és válaszd ki a Mentést. • A felugró párbeszédablakban válaszd ki a GeoGebra_Bevezetes mappát. • Írj be egy fájlnevet. • A művelet befejezéséhez kattints a Mentés gombra.

Útmutatás: A mentéssel egy .ggb kiterjesztésű fájl jön létre. Ez a kiterjesztés azonosítja a GeoGebra fájlokat, és jelzi, hogy ezek csak a GeoGebra programmal nyithatók meg. Útmutatás: Megfelelő nevet válassz a fájloknak: kerüld a szóközöket és a speciális karaktereket a fájlnevekben, mert felesleges problémákat okozhatnak, amikor egy másik számítógépre másolod a fájlokat. Használhatsz viszont aláhúzásjelet és nagybetűket a fájlnevekben (pl.: Elso_Rajz.ggb). Mit gyakoroljunk? • Hogyan nyitható új GeoGebra-ablak? (Fájl menü – Új ablak) • Hogyan nyitható üres GeoGebra-felület ugyanazon ablakban? (Fájl menü – Új)

Útmutatás: Ha még nem mentetted el a szerkesztésedet, a GeoGebra ezt kérni fogja, mielőtt az üres képernyőt megnyitja. • Hogyan nyitható meg egy már létező GeoGebra-fájl? (Fájl menü – Megnyitás)  A felugró ablakban böngéssz a mappák között.  Válassz ki egy GeoGebra-(.ggb kiterjesztésű) fájlt.  Kattints a Megnyitás gombra.

12

5. Feladat: Rajzok, Szerkesztések és Mozgatás-teszt Nyisd meg az F05_Rajzolas_szerkesztes_negyzetek.html nevű dinamikus munkalapot. A dinamikus ábrán különbözőképpen szerkesztett négyzeteket láthatunk.

Négyzetek, négyzetek, négyzetek... Az alábbi ábrán 6 négyzet látható, vagy csak annak néznek ki? 1. Mozgasd a négyzetek csúcspontjait az egérrel, és írd le megfigyeléseidet. 2. Próbálj meg megfogalmazni egy-egy sejtést arról, hogy hogyan készültek a négyzetek, és írd le ezeket.

• Vizsgáld meg a négyzeteket úgy, hogy minden csúcsukat mozgasd az egérrel. • Találd meg a négyszögek között a valódi négyzeteket, és állapítsd meg, hogy melyek azok, amik csupán látszatra négyzetek. • Próbáld meg kitalálni, hogy az egyes négyzeteket hogyan hozták létre, és írd le sejtéseidet. Megbeszélés • Mi a különbség egy rajz és egy szerkesztés között? • Mi az a Mozgatás-teszt és miért fontos? • Miért fontos szerkeszteni az ábrákat rajzolás helyett egy interaktív geometriai programban? • Mit kell tudni egy geometriai ábráról ahhoz, hogy egy dinamikus matematikai programmal meg tudjuk szerkeszteni?

6. Feladat: Téglalap szerkesztése Előkészítés • A szerkesztés megkezdése előtt tekintsd át a téglalap tulajdonságait.

Útmutatás: Ha nem ismered a téglalap szerkesztéséhez szükséges lépéseket, nyisd meg az F06_Teglalap_szerkesztes.ggb fájlt, és használd a navigációs eszköztár gombjait a szerkesztési lépések rekonstruálásához. • Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt. • Rejtsd el az algebra ablakot, a parancssort és a koordinátatengelyeket. (Nézet menü) • Állítsd a Feliratozást Csak új pontok-ra. (Beállítások menü – Feliratozás)

13

Új eszközök bevezetése • Merőleges és Párhuzamos egyenesek

Útmutatás: Kattints egy már meglévő egyenesre és egy pontra, így létrejön a ponton átmenő, az egyenesre merőleges, illetve az egyenessel párhuzamos egyenes. • Két alakzat metszéspontja

Útmutatás: Kattints két alakzat metszéspontjára, hogy megjelenjen az a metszéspont. Ahhoz, hogy minden metszéspontot megkapj, egymás után kattints a két alakzatra. • Sokszög

Útmutatás: A sokszög csúcsainak létrehozásához kattints a rajzlapra vagy már meglévő pontokra. Az utolsó és az első csúcs összekötésével tudod bezárni a sokszöget. A csúcsokat mindig az óramutató járásával ellenkező irányban kösd össze. Útmutatás: Ne felejtsd el elolvasni az eszköztár súgóját, ha nem tudod, hogy hogyan kell használni egy eszközt. Útmutatás: Próbálj ki minden új eszközt mielőtt elkezdenél egy szerkesztést.

A szerkesztés menete 1

AB szakasz

2

B ponton átmenő, AB szakaszra merőleges egyenes

3

Új, C pont a merőleges egyenesen

4

C ponton átmenő, AB szakasszal párhuzamos egyenes

5

A ponton átmenő, AB szakaszra merőleges egyenes

6

D metszéspont

7

ABCD sokszög (Útmutatás: A sokszög bezárásához kattints újra az első csúcsra.)

8

Mentsd el a szerkesztést.

14

Ellenőrizd a szerkesztést 1. Alkalmazd a mozgatás-tesztet a szerkesztés helyességének ellenőrzéséhez. 2. Jelenítsd meg a navigációs eszköztárat (Nézet menü), hogy szerkesztésedet a nyilakra kattintva lépésről lépésre átnézhesd. 3. Jelenítsd meg a szerkesztő protokollt (Nézet menü), és segítségével nézd át a téglalap szerkesztésének lépéseit. • Egy sor mozgatásával próbáld meg a szerkesztés lépéseinek sorrendjét megváltoztatni. Miért NEM működik ez mindig? • Töréspontok megadásával csoportosítsd a szerkesztés lépéseit:  Jelenítsd meg a Töréspont oszlopot (a szerkesztő protokoll ablak Nézet menüjében).  Csoportosítsd a szerkesztés lépéseit úgy, hogy a Töréspont oszlopban a csoport utolsó elemének megfelelő négyzetet bejelölöd.  Változtasd meg a beállítást úgy, hogy csak a töréspontok látszódjanak (a szerkesztő protokoll ablak Nézet menüjében).  A szerkesztés lépésről lépésre való áttekintéséhez használd a navigációs eszköztárat. Jól állítottad be a töréspontokat?

7. Feladat: Szabályos háromszög szerkesztése Előkészítés • A szerkesztés megkezdése előtt tekintsd át a szabályos háromszög tulajdonságait. Útmutatás: Ha nem ismered a szabályos háromszög szerkesztéséhez szükséges lépéseket, nyisd meg az F07_Szabalyos_haromszog_szerkesztes.ggb fájlt, és használd a navigációs eszköztár gombjait a szerkesztési lépések rekonstruálásához. • Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt. • Rejtsd el az algebra ablakot, a parancssort és a koordinátatengelyeket. (Nézet menü) • Állítsd a Feliratozást Csak új pontok-ra. (Beállítások menü – Feliratozás) Új eszközök bevezetése • Kör középponttal és kerületi ponttal Útmutatás: Az első kattintás hozza létre a középpontot, a második határozza meg a kör sugarát. • Alakzat mutatása / elrejtése Útmutatás: Emeld ki azokat az alakzatokat, melyeket el szeretnél rejteni, majd a láthatósági változások alkalmazásához kattints egy másik eszközre. • Szög Útmutatás: Kattints a pontokra az óramutató járásával ellentétes sorrendben. A GeoGebra mindig a matematikai pozitív irányban hozza létre a szögeket. Útmutatás: Ne felejtsd el elolvasni az eszköztár súgóját, ha nem tudod, hogy hogyan kell használni egy eszközt. Útmutatás: Próbálj ki minden új eszközt, mielőtt elkezdenél egy szerkesztést.

15

1 2

3

AB szakasz A középpontú, B-n átmenő kör Útmutatás: Az A és B pontok mozgatásával ellenőrizd, hogy a kör valóban ezekhez van-e kötve. B középpontú, A-n átmenő kör Útmutatás: A pontok mozgatásával ellenőrizd, hogy a kör valóban ezekhez van-e kötve.

4

A két kör metszéspontja adja meg a C pontot.

5

ABC sokszög az óramutató járásával ellenkező irányban

6

Rejtsd el a köröket.

7

Jelenítsd meg a háromszög belső szögeit. Útmutatás: Ha a sokszöget az óramutató járásával megegyező irányban hoztad létre, akkor most a háromszög külső szögei jelennek meg.

8

Mentsd el a szerkesztést.

Ellenőrizd a szerkesztést 1. Alkalmazd a mozgatás-tesztet a szerkesztés helyességének ellenőrzéséhez. 2. Jelenítsd meg a navigációs eszköztárat, vagy használd a szerkesztő protokollt, hogy szerkesztésedet lépésről lépésre átnézhesd. Tedd szemléletesebbé a szerkesztést a Tulajdonságok párbeszédablak segítségével A Tulajdonságok párbeszédablak többféle módon elérhető: • Kattints egy alakzatra a jobb egérgombbal (Macintosh esetében Ctrl-kattintás) • Válaszd ki a Tulajdonságokat a Szerkesztés menüből • Mozgatás módban kattints duplán egy alakzatra Mit gyakoroljunk? • Válassz ki különböző alakzatokat a bal oldali listából és fedezd fel a különböző típusú alakzatokhoz tartozó tulajdonságfüleket. • Válassz ki egyszerre több alakzatot ahhoz, hogy egyszerre változtathasd meg valamelyik tulajdonságukat.

Útmutatás: Tartsd lenyomva a Ctrl gombot (Macintosh esetén a Command gombot) és válaszd ki a kívánt alakzatokat. • Válaszd ki az ugyanolyan típusú alakzatokat a megfelelő címsorra kattintva. • Jelenítsd meg különböző alakzatoknak az értékét, és próbálj ki néhány feliratstílust. • Változtasd meg néhány alakzat tulajdonságait (pl. színét, stílusát).

16

3. I. G YA K O R LÓ B LO K K

Ez a gyakorlóblokk alap- és haladó szintű geometria feladatok gyűjteménye. Az érdeklődésednek megfelelő feladatokat választhatsz, és akár egyénileg, akár kollégáiddal dolgozhatsz rajtuk.

Tippek és trükkök • Foglald össze a létrehozni kívánt geometriai ábra tulajdonságait. • Próbáld meg kitalálni, hogy melyik GeoGebra-eszközöket lehet használni az ábra megszerkesztéséhez felhasználva a fenti tulajdonságokat (pl. derékszög – Merőleges eszköz). • A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni az eszközöket. Ha nem ismered valamelyik eszköz használatát, aktiváld, és olvasd el az eszköztár súgóját. • Minden feladathoz nyiss új GeoGebra-fájlt, rejtsd el az algebra ablakot, a parancssort és a koordinátatengelyeket. • Érdemes elmenteni a fájlokat, mielőtt egy új feladathoz fogsz hozzá. • Ne feledkezz meg a Visszavonás és az Újra gombokról, ha esetleg hibázol. • A szerkesztések ellenőrzéséhez használd gyakran a Mozgatást (pl. valóban egymáshoz vannak-e kötve bizonyos alakzatok, létrehoztál-e felesleges alakzatokat). • Amennyiben kérdéseid vannak, kérdezz meg egy kollégát, mielőtt a tanfolyam vezetőihez fordulnál.

17

I. a) Feladat: Négyzet szerkesztése Alapszint Ebben a feladatban az alább látható eszközöket fogod használni. A négyzet megszerkesztése előtt győződj meg róla, hogy tudod, hogyan kell használni ezeket. Szakasz

Sokszög

Merőleges

Alakzat mutatása / elrejtése

Kör középponttal és kerületi ponttal

Mozgatás

Két alakzat metszéspontja

• Útmutatás: Ha nem vagy biztos a szerkesztés lépéseiben, megnyithatod az F_1a_Negyzet_szerkesztese.html fájlt. A szerkesztés menete 1. Kösd össze az A és B pontokat egy a = AB szakasszal. 2. Szerkessz a B pontban egy, az AB szakaszra merőleges b egyenest. 3. Szerkessz egy B középpontú, A-n átmenő c kört. 4. Keresd meg a c kör és a b egyenes C metszéspontját. 5. Szerkessz az A pontban egy, az AB szakaszra merőleges d egyenest. 6. Szerkessz egy A középpontú, B-n átmenő e kört. 7. Keresd meg a d egyenes és az e kör D metszéspontját. 8. Hozd létre az ABCD sokszöget.

Útmutatás: Ne felejtsd el a D pont után az A pontra kattintva bezárni a sokszöget. 9. Rejtsd el a köröket és a merőleges egyeneseket. 10. A szerkesztésed ellenőrzéséhez hajtsd végre a mozgatás-tesztet.

Erőpróba: Ki tudsz találni más szerkesztési eljárást?

18

I. b) Feladat: Szabályos hatszög szerkesztése Alapszint Ebben a feladatban az alább látható eszközöket fogod használni. A hatszög szerkesztésének megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni ezeket. Kör középponttal és kerületi ponttal

Szög

Két alakzat metszéspontja

Alakzat mutatása / elrejtése

Sokszög

Mozgatás

Útmutatás: Ha nem vagy biztos a szerkesztés lépéseiben, megnyithatod az F_1b_Hatszog_szerkesztese.html fájlt. A szerkesztés menete 1. Rajzolj egy A középpontú, B-n átmenő kört. 2. Szerkessz egy másik, B középpontú, A-n átmenő kört. 3. Keresd meg a két kör metszéspontjait, így megkapod a C és D csúcspontokat. 4. Szerkessz egy új, C középpontú, A-n átmenő kört. 5. Keresd meg az új és az első kör metszéspontjait, hogy megkapd az E csúcspontot. 6. Szerkessz egy új, D középpontú, A-n átmenő kört. 7. Keresd meg az új és az első kör metszéspontjait, hogy megkapd az F csúcspontot. 8. Szerkessz egy új, E középpontú, A-n átmenő kört. 9. Keresd meg az új és az első kör metszéspontjait, hogy megkapd a G csúcspontot. 10. Hozd létre az FGECBD hatszöget. 11. Jelenítsd meg a hatszög szögeit. 12. A szerkesztésed ellenőrzéséhez hajtsd végre a mozgatás-tesztet.

Erőpróba: Próbáld meg megmagyarázni, hogy miért jó ez a szerkesztési eljárás. Útmutatás: Mekkora a körök sugara és miért?

19

I. c) Feladat: Háromszög köré írt köre Haladó szint Ebben a feladatban az alább látható eszközöket fogod használni. A köré írt kör szerkesztésének megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni ezeket. Sokszög

Kör középponttal és kerületi ponttal

Szakaszfelező

Mozgatás

Két alakzat metszéspontja

Útmutatás: Ha nem vagy biztos a szerkesztés lépéseiben, megnyithatod az F_1c_Haromszog_koreirt_kor_szerkesztese.html fájlt. A szerkesztés menete 1. Rajzolj egy tetszőleges ABC háromszöget. 2. Szerkeszd meg a háromszög minden oldalának az oldalfelező merőlegesét.

Útmutatás: A Szakaszfelező eszköz már meglévő szakaszokra alkalmazható. 3. Keresd meg a szakaszfelezők D metszéspontját.

Útmutatás: A Két alakzat metszéspontja eszköz nem alkalmazható három egyenes metszéspontjának megkeresésére. Válassz ki 2 szakaszfelezőt egymás után, vagy kattints a metszéspontra, és az ebben a pozícióban megjelenő alakzatok listájából válaszd ki egyenként az egyeneseket. 4. Szerkessz egy D középpontú kört, melynek egyik kerületi pontja a háromszög valamelyik csúcspontja. 5. A szerkesztésed ellenőrzéséhez hajtsd végre a mozgatás-tesztet.

Erőpróba: Módosítsd a szerkesztést az alábbi kérdések megválaszolásához: 1. Eshet-e a köré írt kör középpontja a háromszögön kívülre? Ha igen, milyen háromszögek esetében? 2. Próbáld meg megmagyarázni, hogy miért a szakaszfelezőkkel kell a háromszög köré írt körét megszerkeszteni.

20

I. d) Feladat: Thales tételének szemléltetése Haladó szint Mielőtt megkezded a szerkesztést, próbáld ki a 04_Thales_tetel.html nevű dinamikus munkalapot, amely megmutatja, hogy hogyan fedezhetik fel újra a tanulók azt, amit Thales kb. 2600 évvel ezelőtt felfedezett. Ebben a feladatban az alább látható eszközöket fogod használni. A Thales-kör szerkesztésének megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni ezeket. Szakasz Két pontra illeszkedő félkör

Sokszög Új!

Új pont

Szög Mozgatás

Útmutatás: Ha nem vagy biztos a szerkesztés lépéseiben, megnyithatod az F_1d_Thales_tetel _szerkesztese.html fájlt. A szerkesztés menete 1. Rajzolj egy AB szakaszt. 2. Szerkessz egy A-n és B-n átmenő félkört.

Útmutatás: A pontokra való kattintás sorrendje határozza meg a félkör irányát. 3. Hozz létre egy új C pontot a félkörön.

Útmutatás: Mozgasd a C pontot az egérrel, és ellenőrizd, hogy valóban a félkörön fekszik-e. 4. Hozd létre az ABC háromszöget. 5. Jelenítsd meg az ABC háromszög belső szögeit.

Erőpróba: Próbáld meg a tételt szemléletesen bizonyítani. Útmutatás: Hozd létre az AB szakasz O felezőpontját, és jelenítsd meg az OC sugarat mint szakaszt.

21

4. A L A PVETŐ

ALGEBR AI AD ATO K BEVITEL E , PA RA NCSOK ÉS F ÜGGVÉNYEK

Tippek és trükkök • Nevezz el egy új alakzatot úgy, hogy algebrai alakja elé „név = ”-t írsz. Példa: A P = (3, 2) parancs létrehozza a P pontot. • A szorzást a csillag karakterrel, vagy a tényezők közötti szóközzel jelölheted. Példa: a*x vagy a x. • A GeoGebra kis-nagybetű érzékeny! A kis- és nagybetűket nem szabad összekeverni. Megjegyzés:  A pontok mindig nagybetűvel vannak jelölve. Példa: A = (1, 2)  A szakaszok, egyenesek, körök, függvények, ... mindig kisbetűvel vannak jelölve. Példa: c kör: (x – 2)^2 + (y – 1)^2 = 16  Egy függvény x változója, valamint egy kúpszelet egyenletében lévő x és y változók mindig kisbetűsek. Példa: f(x) = 3*x + 2 • Ha egy algebrai kifejezésen belül vagy egy parancsban szeretnél egy alakzatot használni, mindig létre kell hozni az alakzatot, mielőtt a parancssorban használnád. Példák:  Az y = m x + b egy olyan egyenest hoz létre, melynek az m és b paraméterei már létező értékek (pl. számok / csúszkák)  Az Egyenes[A, B] parancs a már létező A és B pontokon átmenő egyenest hoz létre. • A parancssorba beírt kifejezést az Enter gomb lenyomásával hagyd jóvá. • A parancssor bal szélén lévő kérdőjel ikonra kattintva nyisd meg a súgó ablakot, amely segít a parancssor és a parancsok használatában. • Hibaüzenetek: Mindig olvasd el a hibaüzeneteket, hiszen ezek segíthetnek a probléma megoldásában. • A parancsokat begépelheted, vagy kiválaszthatod a parancssor melletti listából. Útmutatás: Ha nem tudod, hogy egy parancs argumentumába milyen paraméterek szükségesek, gépeld be a parancsot, és nyomd meg az F1-et. A felugró ablakból megismerheted a parancs szintaxisát és a szükséges paramétereket. • Parancsok automatikus kiegészítése: A parancs első két betűjének begépelése után a GeoGebra megpróbálja kiegészíteni a parancsot.  Ha a GeoGebra a kívánt parancsot javasolja, nyomd meg az Enter gombot, és a kurzor automatikusan a zárójelbe ugrik.  Ha a javasolt parancs nem az, amit használni szeretnél, folytasd a gépelést, amíg megjelenik a kívánt parancs.

22

8. a) Feladat: Egy kör érintőinek megszerkesztése (1. Rész) Vissza az iskolába... Nyisd meg az F08_Kor_erintoi.html dinamikus munkalapot. Kövesd a munkalap utasításait a kör érintőinek megszerkesztéséhez.

Megbeszélés • Melyik eszközöket használtad a szerkesztéshez? • Voltak új eszközök a javasolt szerkesztési eljárásban? Ha igen, hogy jöttél rá, hogy hogyan kell ezeket használni? • Észrevettél valamit a jobb oldali kisalkalmazás eszköztárjával kapcsolatban? • Szerinted a tanítványaid tudnának egy ilyen dinamikus munkalappal dolgozni, és egyedül rájönni a szerkesztési eljárásra?

8. b) Feladat: Egy kör érintőinek megszerkesztése (2. Rész) Mi történik, ha az egér vagy a touchpad nem működik? Képzeld el, hogy az egér vagy a touchpad elromlik, miközben GeoGebra fájlokat szerkesztesz a másnapi órádra. Hogy tudod befejezni a szerkesztést? A GeoGebra a geometriai eszközök mellett algebrai adatok és parancsok bevitelét is lehetővé teszi. Minden eszköznek megfelel egy parancs, és így egér használata nélkül is alkalmazható.

Megjegyzés: A GeoGebrában több parancs található, mint eszköz, így nem minden parancsnak felel meg geometriai eszköz. 1. Feladat: Próbáld ki a parancssor melletti lista parancsait, és keress olyan parancsokat, amelyeknek megfelelő geometriai eszközt már használtunk a tanfolyamon.

23

Mint azt a legutóbbi feladatban láthattad, egy kör érintőit meg lehet szerkeszteni kizárólag geometriai eszközök használatával. Most ugyanezt a szerkesztést csak szövegbevitellel fogjuk megcsinálni. Előkészítés • Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt. • Jelenítsd meg az algebra ablakot és a parancssort, valamint a koordinátatengelyeket (Nézet menü). A szerkesztés menete A = (0, 0)

A pont Útmutatás: Mindenképpen zárd be a zárójelet.

2

(3, 0)

B pont Útmutatás: Ha nem adsz meg nevet, az alakzatok ábécé-rendben kapják a nevüket.

3

c = Kör[A, B]

A középpontú, B-n átmenő kör Útmutatás: A kör egy függő alakzat.

1

Megjegyzés: A GeoGebra megkülönböztet szabad és függő alakzatokat. Míg a szabad alakzatok közvetlenül módosíthatóak az egérrel vagy a billentyűzettel, addig a függő alakzatok a „szülőalakzattal” együtt változnak. Mindegy, hogy egy alakzatot milyen módon (egérrel vagy billentyűzettel) hoztunk létre eredetileg. 1. Útmutatás: Ahhoz hogy egy alakzat algebrai alakját meg tudd változtatni a billentyűzet segítségével, aktiváld a Mozgatás módot és kattints duplán az alakzatra az algebra ablakban. A változtatás után nyomd meg az Enter gombot. 2. Útmutatás: A szabad alakzatok kontrolláltabb mozgatásához használhatod a nyilakat. Aktiváld a Mozgatás módot és válaszd ki az alakzatot (pl. egy szabad pontot) bármelyik ablakban. Nyomd meg a fel / le vagy a jobb / bal nyilakat az alakzat megfelelő irányú mozgatásához. 4

C = (5, 4)

C pont

5

s = Szakasz[A, C]

AC szakasz

6

D = Középpont[s]

Az AC szakasz D középpontja

7

d = Kör[D, C]

D középpontú, C-n átmenő kör

8

Metszéspont[c, d]

A két kör E és F metszéspontja

9

Egyenes[C, E]

C-n és E-en átmenő érintő

10 Egyenes[C, F]

C-n és F-en átmenő érintő

24

A szerkesztés ellenőrzése és szemléletesebbé tétele • A szerkesztés helyességének ellenőrzéséhez hajtsd végre a mozgatás-tesztet. • Tedd szemléletesebbé a szerkesztést az alakzatok tulajdonságainak változtatásával (szín, vonalvastagság, a segédalakzatok szaggatott vonallal ábrázolva, ...). • Mentsd el a szerkesztést. Megbeszélés • Felmerült-e bármilyen nehézség vagy probléma a szerkesztési eljárás közben? • A szerkesztés melyik módját (egérrel vagy billentyűzettel) szereted jobban és miért? • Miért vigyük be az adatokat a billentyűzettel, ha ugyanezt megtehetjük az eszközöket használva is?

Útmutatás: Vannak olyan parancsok, amelyeknek nincs geometriai eszköz megfelelőjük. • Számít, hogy egy alakzatot milyen módon hoztunk létre? Megváltoztatható-e az alakzat mind az algebra ablakban (a billentyűzettel), mind pedig a geometria ablakban (az egérrel)?

25

9. Feladat: Egy másodfokú polinom paramétereinek felfedezése Vissza az iskolába... Ebben a feladatban egy másodfokú polinom paramétereinek jelentését fogod felfedezni. Megtapasztalhatod, hogy hogyan építhető be a GeoGebra egy hagyományos iskolai környezetbe és hogyan használható aktív, tanulóközpontú tanuláshoz. Kövesd a munkalap utasításait, és a GeoGebrával való munka közben írd le az eredményeidet és a megfigyeléseidet. A jegyzeteid segíteni fognak a feladatot követő megbeszélésnél. Egy másodfokú polinom paramétereinek felfedezése 1. Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt. 2. Gépeld be, hogy f(x) = x^2 és üss Entert. Milyen alakú a függvény grafikonja? Írd le válaszodat egy papírra. 3. Mozgatás ( ) módban válaszd ki a polinomot az algebra ablakban, és használd a fel ↑ és a le ↓ nyilakat. a) Hogyan változik ekkor a polinom grafikonja? Írd le megfigyeléseidet. b) Hogyan változik ekkor a polinom egyenlete? Írd le megfigyeléseidet. 4. Mozgatás ( ) módban ismét válaszd ki a polinomot az algebra ablakban, és ezúttal a balra ← és jobbra → nyilakat használd. a) Hogyan változik ekkor a polinom grafikonja? Írd le megfigyeléseidet. b) Hogyan változik ekkor a polinom egyenlete? Írd le megfigyeléseidet. 5. Kattints duplán a polinom egyenletére Mozgatás módban. A billentyűzet segítségével változtasd az egyenletet f(x) = 3 x^2-re. Útmutatás: A szorzás jelölésére csillagot (*), vagy szóközt használj. a) Írd le, hogyan változik a függvény grafikonja. b) Ismét változtasd meg az egyenletet a paraméternek különböző (pl. 0.5; –2; –0.8; 3) értékeket megadva. Írd le megfigyeléseidet.

Megbeszélés • Felmerült bármilyen probléma vagy nehézség a GeoGebra használatával kapcsolatban? • Hogyan építhető be egy hagyományos iskolai környezetbe egy ilyen típusú feladatmegoldás (GeoGebra papír alapú instrukciókkal ötvözve)? • Szerinted lehetséges ezt házi feladatként feladni a tanulóknak? • Milyen hatással lehet a diákok tanulására egy polinom paramétereinek dinamikus felfedezése? • A matematika milyen más témaköreit lehetne hasonlóan (papír alapú feladatlap és a GeoGebra ötvözésével) tanítani?

26

10. Feladat: Csúszkák használata a paraméterek változtatásához Próbáljunk ki egy dinamikusabb módszert annak felfedezésére, hogy egy f(x) = a x^2 alakú polinom paramétereinek mi a jelentése. A paraméterek változtatásához csúszkákat fogunk használni. Előkészítés • Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt. • Jelenítsd meg az algebra ablakot, a parancssort és a koordinátatengelyeket (Nézet menü). A szerkesztés menete 1 2

a = 1

Hozd létre az a változót

f(x) = a*x^2

Add meg az f másodfokú polinomot Útmutatás: Ne felejts el egy csillag jelet vagy egy szóközt ütni az a és az x^2 közé.

Egy szám csúszkaként való ábrázolása Ahhoz, hogy egy szám csúszkaként jelenjen meg a geometria ablakban, az algebra ablakban jobb egérgombbal kell a változóra kattintani és ki kell választani az Alakzat megjelenítését. A szerkesztés továbbfejlesztése Hozzunk létre egy másik, b csúszkát, amely a polinom f(x) = a*x^2 + b egyenletében a b konstanst változtatja.

3

4

f(x) = a*x^2 + b

Hozd létre a b csúszkát a Csúszka eszköz használatával Útmutatás: Aktiváld az eszközt és kattints a rajzlapra. Használd az alapbeállításokat, és kattints az Alkalmazásra. Add meg az f polinomot Útmutatás: A GeoGebra a régi függvényt felül fogja írni az újjal.

Feladatok • Változtasd az a paramétert a csúszkán lévő pont egérrel való húzogatásával. Hogyan változik ekkor a polinom grafikonja? • Mi történik a grafikonnal, amikor a paraméter (a) nagyobb 1-nél, (b) 0 és 1 között van, (c) negatív? Írd le megfigyeléseidet. • Változtasd a b paramétert. Hogyan változik ekkor a polinom grafikonja?

27

11. Feladat: Függvénykönyvtárak A polinomokon kívül a GeoGebrában különféle függvények találhatók (pl. trigonometrikus függvények, abszolútérték-függvény, exponenciális függvény). A GeoGebra a függvényeket is alakzatokként kezeli, így geometriai szerkesztésekkel ötvözve használhatók.

Megjegyzés: Néhány függvény kiválasztható a parancssor melletti menüből. A GeoGebra által támogatott teljes függvénylista megtalálható az online kézikönyvben (http://www.geogebra.org/help/docuen). Magyarul a http://www.geogebra.org/help/docuhu címen érhető el a kézikönyv. 1. Feladat: Abszolútértékek szemléltetése Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt. Győződj meg róla, hogy az algebra ablak, a parancssor és a koordinátatengelyek látszanak. 1

f(x) = abs(x)

Add meg az f abszolútérték-függvényt

2

g(x) = 3

Add meg a konstans g függvényt

3

Keresd meg a két függvény metszéspontját

Útmutatás: Ha gondolod, bezárhatod az algebra ablakot, és a nevekkel és értékekkel feliratozhatod az alakzatokat.

(a) Mozgasd a konstans g függvényt az egérrel vagy a nyilakkal. A metszéspontok y koordinátája felel meg az x koordináták abszolútértékének. (b) Mozgasd az abszolútérték-függvényt fel és le az egérrel vagy a nyilakkal. Hogyan változik a függvény egyenlete? (c) Hogyan használható ez az ábra ahhoz, hogy a tanulók megismerkedjenek az abszolútérték fogalmával?

Útmutatás: A függvény grafikonjának szimmetriája azt sugallja, hogy egy abszolútértékes feladatnak általában két megoldása van.

2. Feladat: Szinuszhullámok szuperpozíciója A hanghullámok matematikailag szinuszhullámok kombinációjaként ábrázolhatók. A zenei hangok több y(t)=a sin(ωt + φ) alakú szinuszhullámból állnak. Az a amplitudó befolyásolja a hang erejét, míg az ω frekvencia határozza meg a hangmagasságot. A φ paramétert fázisnak hívják és azt jelzi, hogy a hanghullámok időben eltolódnak-e. Ha két szinuszhullám interferál, szuperpozíció következik be. Ez azt jelenti, hogy a szinuszhullámok erősítik vagy gyengítik egymást. Ezt a jelenséget szimulálhatjuk a GeoGebrával ahhoz, hogy más a természetben előforduló különleges esetet vizsgálhassunk. Hozz létre három csúszkát: az a1-et, az ω1-et és a φ1-et. Útmutatás: Az a1 szám nevében az _ hatására az 1 alsóindex lesz. A görög betűket a csúszka párbeszédablakban a Név rubrika melletti lenyitható listából választhatod ki.

1

2

g(x) = a_1 sin(ω_1 x + φ_1)

Add meg a g szinuszfüggvényt Útmutatás: A görög betűket ismét a parancssor melletti listából választhatod ki.

(a) A csúszkaértékek változtatásával vizsgáld a paraméterek hatását a szinuszfüggvény grafikonjára. Hozz létre három csúszkát: az a2-t, az ω2-t és a φ2-t.

3 4

h(x) = a_2 sin(ω_2 x + φ_2)

Adj meg egy másik, h szinuszfüggvényt.

5

összeg(x) = g(x) + h(x)

Hozd létre a két függvény összegét.

(b) Változtasd meg a függvények színét, hogy könnyebben azonosíthatók legyenek. (c) Állítsd be az értékeket a1= 1, ω1 = 1 és φ1 = 0-ra. Mely a2, ω2, és φ2 értékek esetén maximális az összeg amplitúdója?

Útmutatás: Ebben az esetben maximális a létrejövő hang ereje. (d) Mely a 2, ω2, és φ2 értékekre oltják ki egymást a függvények?

Útmutatás: Ebben az esetben nem hallható hang.

29

5. K É P E K

E X P O R TÁ L Á S A A V Á G Ó L A P R A

A GeoGebra rajzlapját képként exportálhatod a számítógéped vágólapjára. Ezeket a képeket könnyen beszúrhatod szöveges dokumentumokba vagy prezentációkba, így dolgozatokhoz, tesztekhez, jegyzetekhez vagy matematikai játékokhoz tetszetős ábrákat készíthetsz.

12. a) Feladat: Képek exportálása a vágólapra Hozd létre az ábrát Nyiss meg egy új GeoGebra-dokumentumot, és jelenítsd meg az algebra ablakot, a parancssort és a koordinátatengelyeket. f(x)=0.5x3 +2x2 +0.2x-1

Add meg az f harmadfokú polinomot

2

R = Gyök[f]

Határozd meg az f polinom gyökeit Útmutatás: Ha több gyök van, a GeoGebra indexekkel különbözteti meg ezeket, ha például R =-t gépelsz, akkor (R1,R2,R3)-nak nevezi el őket.

3

E = Szélsőérték[f]

Határozd meg az f polinom szélsőértékeit

1

Hozd létre az f érintőit az E1 és az E2 pontban

4 5

I = Inflexióspont[f]

Határozd meg az f polinom inflexiós pontjait

Útmutatás: Megváltoztathatod az alakzatok tulajdonságait (pl. a pontok színét, az érintők stílusát, megjelenítheted a függvény nevét és értékét).

30

Kép exportálása a vágólapra A GeoGebra a teljes geometria ablakot exportálja a vágólapra, ezért a GeoGebra-ablakot kicsinyítsd, hogy ne legyen felesleges hely a rajzlapon: • Mozgasd az ábrát a rajzlap bal felső sarkába a rajzlap Mozgatás eszközének ( gével (lásd a bal oldali ábrát alább).

Útmutatás: Használhatod a Nagyítás való előkészítéséhez.

és a Kicsinyítés

) segítsé-

gombot az ábra exportáláshoz

• Kicsinyítsd a GeoGebra-ablakot a jobb alsó sarkának behúzásával (lásd a jobb oldali ábrát alább).

Útmutatás: A kurzor alakja változik, ahogy a GeoGebra-ablak szélein vagy sarkain átmegy.

A GeoGebra-ablak a méretcsökkentés előtt

A GeoGebra-ablak a méretcsökkentés után

Használd a Fájl menüt a rajzlap vágólapra való exportálásához: • Export – Rajzlap vágólapra másolása

Útmutatás: Használhatod a Ctrl – Shift – C billentyűkombinációt is. • Az ábrád most a számítógép vágólapján van tárolva és beszúrható bármilyen szövegszerkesztőben vagy prezentációkészítőben.

31

12. b) Feladat: Képek beszúrása szöveges dokumentumba Képek beszúrása a vágólapról Miután a GeoGebrából exportáltunk egy ábrát a számítógép vágólapjára, beszúrhatjuk egy szövegszerkesztőben készülő dokumentumba (pl. MS Wordbe). • Nyiss meg egy új szöveges dokumentumot. • A Szerkesztés menüben válaszd ki a Beillesztést, ezt követően a kép a kurzor helyén jelenik meg.

Útmutatás: A Ctrl – V billentyűkombinációt is használhatod.

Kép kicsinyítése Ha szükséges, Wordben kicsinyítheted a képet: • Kattints duplán a beillesztett képre. • Válaszd ki a Méret fület a felugró „Kép formázása” ablakban. • Változtasd a kép magasságát / szélességét vagy cm-ben, vagy százalékban. • Kattints az OK gombra.

Megjegyzés: Ha egy kép túl nagy ahhoz, hogy egy oldalra elférjen, a Word automatikusan kicsinyíteni fogja, és így a méretek is megváltoznak.

32

6. II. G YA K O R LÓ B LO K K

Ez a gyakorlóblokk olyan feladatok gyűjteménye, melyekkel az adatok algebrai bevitelét, a parancsokat és a függvényeket lehet gyakorolni. Alap- és haladó szintű feladatokat is találsz köztük. Az érdeklődésednek megfelelő feladatokat választhatsz és akár egyénileg, akár kollégáiddal dolgozhatsz rajtuk.

Tippek és trükkök • Minden feladathoz nyiss új GeoGebra-fájlt, és a feladat megkezdése előtt döntsd el, hogy szükség lesz-e az algebra ablakra, a parancssorra és a koordinátatengelyekre. • Érdemes elmenteni a fájlokat, mielőtt egy új feladathoz fogsz hozzá. • Ne feledkezz meg a Visszavonás és az Újra gombokról, ha esetleg hibázol. • A szerkesztések ellenőrzéséhez használd gyakran a Mozgatást (pl. valóban egymáshoz vannak-e kötve bizonyos alakzatok, létrehoztál-e felesleges alakzatokat). • Algebrai kifejezések és függvények megadásánál ellenőrizd, hogy ismered-e ezek szintaxisát. Ha gondjaid vannak, olvasd át a 4. fejezet (Alapvető algebrai adatok bevitele, parancsok és függvények) Tippek és trükkök részét, vagy kérj segítséget kollégáidtól. • Alaposan ellenőrizd a megadott algebrai adatot, mielőtt Entert ütsz. Ha hibaüzenet jelenik meg, olvasd el, hiszen segíthet a hiba elhárításában. • A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni az eszközöket. Ha nem ismered valamelyik eszköz használatát, aktiváld, és olvasd el az eszköztár súgóját. • Amennyiben kérdéseid vannak, kérdezz meg egy kollégát, mielőtt a tanfolyam vezetőihez fordulnál.

33

II. a) Feladat: Elsőfokú egyenlet paraméterei Alapszint Ebben a feladatban az alább látható eszközöket, algebrai inputokat és parancsokat fogod használni. A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni ezeket. Csúszka

Két alakzat metszéspontja

Egyenes: y = m x + b

Meredekség

Szakasz

Alakzat mutatása / elrejtése

Metszéspont[Egyenes, yTengely]

Mozgatás

Útmutatás: Ha gondolod, először megnyithatod az F_2a_egyenes_parameterei.html fájlt. A szerkesztés menete 1. A következőt gépeld a parancssorba: Egyenes: y = 0.8 x + 3.2

1. Feladat: Változtasd meg az egyenest az algebra ablakban a nyilakkal. Melyik paramétert tudod így változtatni? 2. Feladat: Mozgasd az egyenest a geometria ablakban az egérrel. Milyen transzformációt tudsz így végrehajtani az egyenesen? 2. Töröld ki az egyenest. Hozz létre egy m és egy b csúszkát, a csúszka alapbeállításait használva. 3. A következőt gépeld a parancssorba: Egyenes: y = m x + b

Útmutatás: Ne felejts el egy csillag karaktert, vagy egy szóközt ütni a szorzás jelzésére. 4. 3. Feladat: Írj útmutatást a tanítványaidnak, melynek segítségével megvizsgálhatják a csúszkákat használva az egyenlet paramétereinek hatását az egyenesre. Az útmutatást papíron is oda lehet nekik adni a GeoGebra-fájllal együtt.

Erőpróba: Tedd szemléletesebbé a szerkesztést a meredekség és az y-tengelymetszet megjelenítésével. 5. Hozd létre az egyenes és az y tengely metszéspontját.

Útmutatás: Használd a Metszéspont eszközt ( yTengely] parancsot.

) vagy a Metszéspont[Egyenes,

6. Hozz létre egy pontot az origóban, és húzd meg a két pontot összekötő szakaszt. 7. Használd a Meredekség eszközt ( szög).

), és hozd létre az egyenes meredekségét (három-

8. Rejtsd el a felesleges alakzatokat, és módosítsd a látható alakzatok megjelenését.

34

II. b) Feladat: A derivált bevezetése – a deriváltfüggvény Haladó szint Ebben a feladatban az alább látható eszközöket, algebrai inputokat és parancsokat fogod használni. A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni ezeket. f(x) = x^2/2 + 1

S = (x(A), meredekség)

Új pont

Szakasz

Érintő Új!

Mozgatás

meredekség = Meredekség[t]

Útmutatás: Ha gondolod, először megnyithatod az F_2b_meredekseg_fuggveny.html fájlt A szerkesztés menete 1. Add meg a következő polinomot: f(x) = x^2/2 + 1 2. Hozz létre egy új A pontot az f függvényen.

Útmutatás: Az A pont mozgatásával ellenőrizd, hogy valóban a függvény grafikonján marad-e. 3. Hozd létre az f függvény A pontbeli t érintőjét. 4. Hozd létre a t érintő meredekségét a „meredekség = Meredekség[t]” paranccsal. 5. Definiáld az S pontot az alábbi módon: S = (x(A), meredekség)

Útmutatás: Az x(A) az A pont x koordinátáját adja meg. 6. Kösd össze az A és az S pontokat egy szakasszal. 7. Feladat: Mozgasd az A pontot a grafikon mentén, és fogalmazz meg sejtést az S pont által bejárt úttal kapcsolatban, amely megfelel a deriváltfüggvénynek.

Erőpróba: Próbáld meg kitalálni a deriváltfüggvény egyenletét. 8. Állítsd be, hogy látható legyen az S pont nyomvonala. Sejtésed ellenőrzéséhez mozgasd az A pontot.

Útmutatás: A jobb egérgombbal kattints az S pontra (Macintoshon Ctrl + kattintás), és kattints a Nyomvonalra. 9. Találd ki a keletkező deriváltfüggvény egyenletét. Add meg a függvényt, és mozgasd az A pontot. Ha a megadott egyenlet helyes, akkor az S nyomvonala meg fog egyezni az egyenlet grafikonjával. 10. Változtasd az eredeti f polinom egyenletét, hogy új problémát kapj.

35

II. c) Feladat: Függvénydominó-játék készítése Alapszint Ebben a feladatban függvénygrafikonok vágólapra való exportálását, majd ezek szövegszerkesztőbe való beszúrását gyakorolhatod, és így egy „függvénydominó” játékot készíthetsz. A feladat megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan lehet különböző függvényeket megadni. Készítési eljárás 1. Adj meg egy tetszőleges függvényt. Példa: e(x) = exp(x) 2. Mozgasd a függvény grafikonját a rajzlap bal felső sarkába, majd igazítsd hozzá a GeoGebra-ablak méretét. 3. Exportáld a rajzlapot a vágólapra (Fájl menü – Export – Rajzlap vágólapra másolása). 4. Nyiss meg egy új dokumentumot egy szövegszerkesztőben. 5. Hozz létre egy táblázatot (Táblázat menü – Beszúrás – Táblázat...), melynek 2 oszlopa és jó pár sora legyen. 6. Helyezd a kurzort a táblázat egyik cellájára. Szúrd be a függvénygrafikont a vágólapról (Szerkesztés menü – Beillesztés, vagy Ctrl – V billentyűkombináció) 7. Ha szükséges, állítsd be a kép méreteit (kattints duplán a képre, hogy megjelenjen a Kép formázása párbeszédablak, majd kattints a Méret fülre). 8. A kép melletti cellába írd be egy másik függvény egyenletét.

Útmutatás: Használhatsz egyenletszerkesztőt. 9. Ismételd meg az 1-8 lépéseket különböző függvényekkel (pl. trigonometrikus, logaritmikus).

Útmutatás: Győződj meg róla, hogy a függvény grafikonját és egyenletét külön dominókártyákra tetted.

36

II. d) Feladat: Geometriai alakzatokkal kapcsolatos memóriajáték készítése Haladó szint Ebben a feladatban a geometriai alakzatok vágólapra való exportálását, majd ezek szövegszerkesztőbe való beszúrását gyakorolhatod, és így egy geometriai alakzatokkal kapcsolatos memóriajáték kártyáit készítheted el. A feladat megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudsz-e különböző geometriai alakzatokat szerkeszteni (pl. négyszögeket, háromszögeket). Készítési eljárás 1. Hozz létre a GeoGebrában egy geometriai alakzatot (pl. egy egyenlőszárú háromszöget). 2. Tedd szemléletesebbé a szerkesztést a Tulajdonságok párbeszédablakának segítségével. 3. Mozgasd az ábrát a rajzlap bal felső sarkába, majd igazítsd hozzá a GeoGebra-ablak méretét. 4. Exportáld a rajzlapot a vágólapra (Fájl menü – Export – Rajzlap vágólapra másolása). 5. Nyiss meg egy új dokumentumot egy szövegszerkesztőben. 6. Hozz létre egy táblázatot (Táblázat menü – Beszúrás – Táblázat...), melynek 3 oszlopa és jó pár sora legyen. 7. Állítsd a sorok magasságát és az oszlopok szélességét 5 cm-re (2 inch).

Útmutatás: Helyezd a kurzort a táblázatra és nyisd meg a Táblázat tulajdonságai ablakot a Táblázat menüben. A Sor fülön add meg a sor magasságát, az Oszlop fülön pedig az oszlop kívánt szélességét. A Cella fülön állítsd a függőleges igazítást Középre. Kattints az OK-ra, amikor elkészültél. 8. Helyezd a kurzort a táblázat egyik cellájára. Szúrd be az ábrát a vágólapról (Szerkesztés menü – Beillesztés vagy Ctrl – V billentyűkombináció). 9. Ha szükséges, állítsd be a kép méreteit (kattints duplán a képre, hogy megjelenjen a Kép formázása párbeszédablak, majd kattints a Méret fülre). 10. Egy másik cellába írd a geometriai alakzat nevét. 11. Ismételd meg az 1-10 lépéseket különböző alakzatokkal (pl. kör, négyszögek, háromszögek).

37

7. K É P

BESZÚRÁSA A GEOMETRIA ABLAKBA

13. Feladat: Szimmetrikus ábrák készítésére szolgáló rajzeszköz Vissza az iskolába... Nyisd meg az F13_rajzolas_szimmetria.html nevű dinamikus munkalapot. Kövesd az utasításokat, és tapasztald meg magad, hogy hogyan fedezhetik fel tanítványaid egy virág szimmetriatengelyeit a feladatlap segítségével.

Útmutatás: A későbbiekben megtanulod, hogyan készíthetsz te is ilyen dinamikus munkalapokat.

Megbeszélés • Hogyan hasznosíthatnák tanítványaid ezt az előre elkészített szerkesztést? • Milyen eszközöket használtunk a dinamikus ábra elkészítéséhez? Előkészítés • Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt. • Rejtsd el az algebra ablakot, a parancssort és a koordinátatengelyeket (Nézet menü). A szerkesztés menete Új A pont

1 2

A A

Jelenítsd meg az A pont feliratát

3

Tükrözés tengelye a két ponton át

4

Tengelyes tükrözés az egyenesre, hogy megkapjuk az A pont A ' tükörképét

5

Az A-t és az A ' képét összekötő szakasz

38

6

Kapcsold be A és A ' pontok nyomvonalát Útmutatás: Jobb egérgombbal kattints a pontra (Macintoshon Ctrl + kattintás) és válaszd ki a Nyomvonalat a menüből. Amikor az A pontot mozgatod, nyomvonala megjelenik a rajzlapon.

7

Dinamikus ábra rajzolásához mozgasd az A pontot

Megbeszélés A Nyomvonal (

) funkciónak van néhány jellegzetessége:

• A nyomvonal egy átmeneti jelenség. Minden alkalommal, amikor a kép frissül, a nyomvonal eltűnik. • A nyomvonalat nem lehet elmenteni és nem jelenik meg az algebra ablakban. • A nyomvonal törléséhez frissíteni kell a nézetet (Nézet menü – Nézet frissítése vagy Ctrl – F billentyűkombináció; Macintoshon Apple-F ) A szerkesztés továbbfejlesztése

Megjegyzés: Ellenőrizd, hogy az F13_virag.jpg fájl le van-e mentve a számítógépedre. 8

Szúrd be a képet a rajzlapra

9

Állítsd be a beszúrt kép helyzetét

10

Állítsd be, hogy a kép háttérkép legyen (Tulajdonságok párbeszédablak, Alap fül)

11

Csökkentsd a kép kitöltését (Tulajdonságok párbeszédablak, Stílus fül)

39

14. a) Feladat: Kép átméretezése és tükrözése Ebben a feladatban azt tanulhatod meg, hogy hogyan kell a GeoGebrában egy beszúrt képet átméretezni, valamint hogy hogyan transzformálhatod azt. Előkészítés • Ellenőrizd, hogy az F14_Naplemente_palmafak.jpg fájl le van-e mentve a számítógépedre. • Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt. • Zárd be az algebra ablakot, és rejtsd el a koordinátatengelyeket. A szerkesztés menete 1

Szúrd be az F14_Naplemente_palmafak.jpg (A14_Sunset_Palmtrees.jpg) képet a rajzlap bal oldalára

2

Új A pont a kép bal alsó sarkába

3

Állítsd be az A pontot a kép első sarokpontjának Útmutatás: Nyisd meg a Tulajdonságok párbeszédablakot és válaszd ki a képet az alakzatok listájából. Kattints a Pozíció fülre, és a Sarokpont 1 melletti legördülő listából válaszd ki az A pontot.

4

B = A + (3,0)

5

Állítsd be a B-t a kép második sarokpontjának Útmutatás: Ezzel megváltoztattad a kép szélességét 3 cm-re.

6

Két ponton átmenő függőleges egyenes a rajzlap közepére

7

Tükrözd a képet az egyenesre Útmutatás: Csökkentheted a tükörkép kitöltését, hogy jobban meg tudd különböztetni az eredeti képtől.

Feladatok (a) Mozgasd az A pontot az egérrel. Hogyan változik ekkor a tükörkép? (b) Mozgasd a tükrözés tengelyét a két pont húzogatásával. Hogyan változik ekkor a tükörkép?

40

14. b) Feladat: Kép torzítása Ebben a feladatban azt tanulhatod meg, hogy hogyan kell a GeoGebrában egy beszúrt képet átméretezni, valamint hogy hogyan torzíthatod azt. A 14. a) feladatban létrehozott szerkesztést fogjuk módosítani, ha meg szeretnéd tartani az eredetit is, mentsd el a fájlt. A szerkesztés menete 1

A kezdőábra a 14. a) feladatban létrehozott ábra legyen

2

Töröld a B pontot, hogy a kép visszanyerje eredeti méretét

3

Hozz létre egy B pontot az eredeti kép jobb alsó sarkában

4

Állítsd be a B-t a kép második sarokpontjának Útmutatás: A B pont mozgatásával a kép most átméretezhető.

5

Hozz létre egy új D pontot az eredeti kép bal felső sarkában

6

Állítsd be a D-t a kép negyedik sarokpontjának

Feladatok (a) Hogyan változik az eredeti és a tükörkép a D pont mozgatásakor? (b) Mikor milyen alakú az eredeti és a tükörkép?

41

14. c) Feladat: A tükrözés tulajdonságainak felfedezése Ebben a feladatban egy olyan dinamikus ábrát hozunk létre, melynek segítségével tanítványaid felfedezhetik a tükrözés tulajdonságait. A 14. b) feladatban létrehozott szerkesztést fogjuk módosítani, ha meg szeretnéd tartani az eredetit is, mentsd el a fájlt. A szerkesztés menete 1

A kezdőábra a 14. b) feladatban létrehozott ábra legyen

2

AB szakasz

3

AD szakasz

4

D ponton átmenő, AB szakasszal párhuzamos egyenes

5

B ponton átmenő, AD szakasszal párhuzamos egyenes

6

Keresd meg a két egyenes C metszéspontját

7

Rejtsd el a segédalakzatokat

8

Tükrözd mind a négy sarokpontot az egyenesre

9

Kösd össze az egymásnak megfelelő pontokat szakaszokkal (pl. A-t A '-vel)

10

Hozd létre a tükrözés tengelye és a szakaszok által meghatározott szögeket

Feladat Mozgasd az eredeti kép sarokpontjait és a tükrözés tengelyét. Mit veszel észre a tengely és a szakaszok által meghatározott szögekkel kapcsolatban? Hogy hívjuk az eredeti és a képpontokat összekötő szakaszoknak a tengellyel való kapcsolatát?

42

8. S Z Ö V E G

BESZÚRÁSA A GEOMETRIA ABLAKBA

15. Feladat: Tükörképpontok koordinátái Előkészítés • Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt. • Jelenítsd meg az algebra ablakot, a parancssort és a koordinátatengelyeket, valamint a rácsot (Nézet menü). • A Beállítások menüben állítsd a Pont elfogást Be (Rács)-ra. 1

A kezdőábra a 14. a) feladatban létrehozott ábra legyen

2

Töröld a B pontot, hogy a kép visszanyerje eredeti méretét

3

Hozz létre egy B pontot az eredeti kép jobb alsó sarkában

4

Állítsd be a B-t a kép második sarokpontjának Útmutatás: A B pont mozgatásával a kép most átméretezhető.

5

Hozz létre egy új D pontot az eredeti kép bal felső sarkában

6

Állítsd be a D-t a kép negyedik sarokpontjának

Statikus szöveg beszúrása Szúrj be egy címet a GeoGebra geometria ablakába, hogy a tanítványaid tudják, hogy miről szól ez a dinamikus ábra: • Aktiváld az ABC „Szöveg beszúrása” eszközt, és kattints a rajzlap felső részére. • Gépeld az alábbi szöveget a felugró ablakba: Pont tükrözése a koordinátatengelyekre • Kattints a Rendben gombra. • Állítsd be a szöveg helyzetét a Mozgatás eszközzel.

Útmutatás: A szöveg tulajdonságait megváltoztathatod a Tulajdonság párbeszédablakban (pl. szöveg, betűtípus, betűméret, formázás). Az Alap fülön rögzítheted a szöveg helyzetét, hogy ne lehessen véletlenül elmozgatni. Dinamikus szöveg beszúrása A dinamikus szöveg már létező alakzatokra vonatkozik és automatikusan alkalmazkodik a módosításokhoz (például az A = (3,1) szöveg). • Aktiváld az ABC „Szöveg beszúrása” eszközt, és kattints a rajzlapra. • A felugró ablakba gépeld be, hogy A =

43

Útmutatás: Ez lesz a szöveg statikus része, ami nem fog változni az A pont mozgatásakor. • Akár az algebra, akár a geometria ablakban az A pontra kattintva írhatod be a szöveg dinamikus részét.  A GeoGebra beszúrja a szöveg mezőbe a pont nevét, és idézőjelbe teszi a már meglévő (statikus) szöveget.  A GeoGebra ezen kívül egy + jellel köti össze a statikus és a dinamikus részt. • Kattints a Rendben gombra.

Megjegyzés: A szöveg az A pont koordinátáit mutatja, amelyek az A pont mozgatásával automatikusan változnak. Tedd szemléletesebbé a dinamikus ábrát! • Szúrj be dinamikus szöveget, amely az A ' és az A1' képpontok koordinátáit mutatja. • Ahhoz, hogy nagyobb részét lásd a koordinátasíknak, használd a Kicsinyítés funkciót.

Útmutatás: Beállíthatod a rácsvonalak távolságát.  Nyisd meg a rajzlap Tulajdonság párbeszédablakát (jobb gomb – Macintoshon Ctrl-kattintás a rajzlapra, Rajzlap kiválasztása)  Válaszd ki a Rács fület.  Jelöld be a Távolság melletti négyzetet és mindkét távolságot állítsd 1-re. • Zárd be az algebra ablakot, és rögzíts minden szöveget, hogy ne lehessen őket véletlenül elmozgatni.

Feladat Készíts ehhez a dinamikus ábrához feladatsort a tanítványaidnak, mely segítségével felfedezhetik az eredeti és a képpontok koordinátái közötti összefüggést.

44

16. Feladat: Sokszög forgatása Előkészítés • Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt. • Rejtsd el az algebra ablakot és a parancssort, amennyiben szükséges. • Jelenítsd meg a koordinátatengelyeket és a rácsot. • Nyisd meg a rajzlap Tulajdonságok párbeszédablakát:  A Tengelyek – xTengely fülön állítsd be a távolságot 1-re.  A Tengelyek – yTengely fülön állítsd be a távolságot 1-re. A szerkesztés menete 1

Hozz létre egy tetszőleges ABC háromszöget

2

A koordináta-rendszer origójába új D pont

3

4 5

Változtasd az új pont nevét O-ra Útmutatás: GeoGebrában az alábbi módon gyorsan át tudod nevezni az alakzatokat. Aktiváld a Mozgatás módot és válaszd ki az alakzatot. Ahogy elkezded az új nevet gépelni, a GeoGebra megnyitja az Átnevezés párbeszédablakot. Hozz létre egy csúszkát az α szögnek Útmutatás: A csúszka párbeszédablakában a Szöget válaszd és állítsd a beosztást 90°-ra. Forgasd el az ABC háromszöget az O pont körül α szöggel. Útmutatás: Az óramutató járásával ellentétes irányt válaszd.

6

AO és A 'O szakasz

7

AOA ' szög Útmutatás: A pontokat az óramutató járásával ellentétes irányban válaszd ki. Rejtsd el a szög feliratát.

8

Mozgasd a csúszkát, és figyeld meg a háromszög képét.

45

Tedd szemléletesebbé a szerkesztést! 1

ABC

Írd be a következő statikus szöveget: Sokszög forgatása

2

ABC

Írd be a következő dinamikus szöveget: "A = "+A

3

ABC

Írd be a következő dinamikus szöveget: "A' = "+A'

4

Mozgasd a csúszkát és a szövegeket a kívánt helyre

5

Rögzítsd a csúszkát (Tulajdonság párbeszédablak – Csúszka fül)

6

Rögzítsd a szövegeket (Tulajdonság párbeszédablak – Alap fül)

Megbeszélés Hogyan használhatod ezt a fájlt az origó körüli forgatás bevezetéséhez?

46

9. III. G YA K O R LÓ B LO K K

Ez a gyakorlóblokk olyan feladatok gyűjteménye, melyekkel képek és szövegek geometria ablakba való beszúrását lehet gyakorolni. Két nehézségi szintű feladat van: alapszintű és haladó. Az érdeklődésednek megfelelő feladatokat választhatsz és akár egyénileg, akár kollégáiddal dolgozhatsz rajtuk.

Tippek és trükkök • Minden feladathoz nyiss új GeoGebra-fájlt, és a feladat megkezdése előtt döntsd el, hogy szükség lesz-e az algebra ablakra, a parancssorra és a koordinátatengelyekre. • Ha olyan feladatot választasz, melyben képet kell a GeoGebrába beszúrni, a feladat megkezdése előtt ellenőrizd, hogy a kép le van-e mentve a számítógépre. • Érdemes elmenteni a fájlokat, mielőtt egy új feladathoz fogsz hozzá. • Ne feledkezz meg a Visszavonás és az Újra gombokról, ha esetleg hibázol. • A szerkesztések ellenőrzéséhez használd gyakran a Mozgatást (pl. valóban egymáshoz vannak-e kötve bizonyos alakzatok, létrehoztál-e felesleges alakzatokat). • Algebrai kifejezések és függvények megadásánál ellenőrizd, hogy ismered-e ezek szintaxisát. Ha gondjaid vannak, olvasd át a 4. fejezet (Alapvető algebrai adatok bevitele, parancsok és függvények) Tippek és trükkök részét, vagy kérj segítséget kollégáidtól. • Alaposan ellenőrizd a megadott algebrai adatot, mielőtt Entert ütsz. Ha hibaüzenet jelenik meg, olvasd el, hiszen segíthet a hiba elhárításában. • A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni az eszközöket. Ha nem ismered valamelyik eszköz használatát, aktiváld, és olvasd el az eszköztár súgóját. • Amennyiben kérdéseid vannak, kérdezz meg egy kollégát, mielőtt a tanfolyam vezetőihez fordulnál.

47

III. a) Feladat: Egyenletrendszer szemléltetése Alapszint Ebben a feladatban algebrai adatbevitelt és parancsokat fogsz használni. A feladat előtt ellenőrizd, hogy ismered-e ezek szintaxisát. Megnézheted az F_3a_egyenletrendszer.html nevű dinamikus munkalapot, amely megmutatja, hogy tanítványaid hogyan használhatják ezt a szerkesztést egyenletrendszerek grafikus megoldásához. A szerkesztés menete 1. Hozd létre az m_1 és b_1 csúszkákat, a csúszka alapbeállításait használva. 2. Add meg az l_1 lineáris egyenletet a következő egyenlettel: y = m_1 x + b_1. 3. Hozd létre az m_2 és b_2 csúszkákat, a csúszka alapbeállításait használva. 4. Add meg az l_2 lineáris egyenletet a következő egyenlettel: y = m_2 x + b_2. 5. Írd be a következő dinamikus szöveget: "Egyenes 1: y = "+l_1. 6. Írd be a következő dinamikus szöveget: "Egyenes 2: y = "+l_2. 7. Keresd meg a két egyenes A metszéspontját vagy a két alakzat Metszéspontja ( közzel, vagy a következő szöveget gépelve a parancssorba: A = Metszéspont[l_1, l_2].

) esz-

8. Írd be a következő dinamikus szöveget: "Megoldás: x = "+x(A).

Útmutatás: x (A ) az A pont x koordinátáját adja meg. 9. Írd be a következő dinamikus szöveget: "y = "+y(A).

Útmutatás: y (A ) az A pont y koordinátáját adja meg.

Erőpróba: Készíts hasonló szerkesztést, amely egy másodfokú egyenletrendszer megoldásának szemléltetését teszi lehetővé. Útmutatás: Függvények az „f (x ) =” szintaxissal adhatók meg. Megjegyzés: Ilyen dinamikus ábra egy egyváltozós egyenlet megjelenítésére is alkalmas, ha a két függvény az egyenlet két oldala.

48

III. b) Feladat: Képek eltolása Alapszint Ebben a feladatban az alább látható eszközöket fogod használni. A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni ezeket. Kép beszúrása

Vektor

A = (1,1)

Alakzat eltolása vektorral

Sokszög

Mozgatás

Vektor[O,P]

ABC

Új! Új!

Szöveg beszúrása

A szerkesztés menete 1. Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt. Jelenítsd meg az algebra ablakot, a parancssort, a koordinátatengelyeket és a rácsot. A Beállítások menüben állítsd a Pont elfogást Be (Rács)ra. 2. Szúrd be az A_3b_Bart.png képet az első síknegyedbe. 3. Hozd létre az A = (1,1), a B = (3,1) és a D = (1,4) pontokat. 4. Állítsd be az A pontot a kép első, a B-t a második és a D-t a negyedik sarokpontjának (Tulajdonságok párbeszédablak, Pozíció fül) 5. Hozd létre az ABD háromszöget. 6. Hozd létre az O = (0,0) és a P = (3,1) pontokat. 7. Hozd létre az u = Vektor[O,P] vektort.

Útmutatás: Használhatod a Vektor eszközt (

) is a kezdő- és végpontot megadva.

8. Told el a képet az u vektorral az Alakzat eltolása vektorral eszköz (

Útmutatás: Csökkentheted a transzformált kép kitöltését. 9. Told el a három sarokpontot, A-t, B-t és D-t u vektorral. 10. Hozd létre az A 'B 'D ' háromszöget. 11. Rejtsd el az O pontot, hogy ne lehessen véletlenül elmozgatni. Tedd szemléletesebbé a szerkesztést az alakzatok színének és méretének változtatásával. Erőpróba: Adj meg dinamikus szövegeket, melyek mutatják • az A, B, D és A ', B ', D ' pontok koordinátáit, • az u vektor koordinátáit.

) segítségével.

49

III. c) Feladat: Egyenes meredekségének szemléltetése Haladó szint Ebben a feladatban az alább látható eszközöket és algebrai kifejezéseket fogod használni. A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni az eszközöket, valamint hogy ismered-e az algebrai kifejezések szintaxisát. Két ponton átmenő egyenes

szélesség = x(B) - x(A)

Merőleges

meredekség = magasság / szélesség

Két alakzat metszéspontja

ABC

Szöveg beszúrása

Sokszög

Felező- vagy középpont

magasság = y(B) - y(A)

Mozgatás

A szerkesztés menete 1. Jelenítsd meg az algebra ablakot, a koordinátatengelyeket és a rácsot. A Beállítások menüben állítsd a pontelfogást Be (Rács)-ra, és a feliratozást az Összes új alakzatra. 2. Hozd létre az A és B ponton átmenő a egyenest. 3. Szerkeszd meg az A ponton átmenő, y tengelyre merőleges b egyenest. 4. Szerkeszd meg a B ponton átmenő, x tengelyre merőleges c egyenest. 5. Keresd meg a b és c egyenesek C metszéspontját.

Útmutatás: A merőleges egyeneseket elrejtheted. 6. Hozd létre az ACB sokszöget, és rejtsd el az oldalak feliratait. 7. Számítsd ki a magasságot: magasság = y(B) – y(A)

Útmutatás: y(A) az A pont y koordinátáját adja meg. 8. Számítsd ki a szélességet: szélesség = x(B) – x(A)

Útmutatás: x(B) a B pont x koordinátáját adja meg. 9. Írd be a következő dinamikus szöveget: "magasság = " + magasság. 10. Írd be a következő dinamikus szöveget: "szélesség = " + szélesség. 11. Írd be a parancssorba az alábbi egyenletet, amely az a egyenes meredekségét számolja ki: meredekség = magasság / szélesség 12. Írd be a következő dinamikus szöveget: "meredekség = " + meredekség. 13. Tedd szemléletesebbé a szerkesztést az alakzatok tulajdonságainak megváltoztatásával.

50

1. Erőpróba: Törtet tartalmazó dinamikus szöveg beírása LaTeX formulák használatával a szövegekben törteket, négyzetgyököket és más matematikai szimbólumokat is használhatunk. 1. Aktiváld a Szöveg beszúrása (ABC) eszközt, és kattints a rajzlapra. 2. Gépeld be a „meredekség =” szöveget a felugró ablak mezőjébe. 3. Pipáld be a LaTeX formula jelölőnégyzetet, és válaszd ki az a/b-t a legördülő menüből. 4. Helyezd a kurzort az első kapcsos zárójelbe, és válaszd ki az algebra ablakban a magasságot. 5. Helyezd a kurzort a második kapcsos zárójelbe, és válaszd ki az algebra ablakban a szélességet. 6. Kattints a Rendben gombra. 2. Erőpróba: Csatolj szöveget egy alakzathoz A csatolt szövegek együtt mozognak az alakzattal, amikor azok helyzetét változtatjuk. 1. Hozd létre a függőleges szakasz D középpontját a Felező- vagy középpont eszközzel ( ). 2. Hozd létre a vízszintes szakasz E középpontját. 3. Nyisd meg a Tulajdonságok párbeszédablakot, és válaszd ki az első szöveget (magasság =…). Kattints a Pozíció fülre, és a Kezdőpont melletti legördülő menüből válaszd ki a D pontot. 4. Válaszd ki a második szöveget (szélesség =…) a Tulajdonság párbeszédablakban, és állítsd be kezdőpontként az E pontot. 5. Rejtsd el a D és E középpontokat.

51

III. d) Feladat: A Louvre piramis felfedezése Haladó szint Ebben a feladatban az alább látható eszközöket és algebrai kifejezéseket fogod használni. A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy mindegyik eszközt tudod-e használni, valamint hogy ismered-e az algebrai kifejezések szintaxisát. Ellenőrizd továbbá, hogy az F_3d_Louvre.jpg fájl le van-e mentve a számítógépedre. Kép beszúrása

Merőleges

Két ponton átmenő egyenes

Két alakzat metszéspontja

Meredekség

Alakzatok mutatása / elrejtése

Szög

Szakasz

Új pont

Mozgatás

A párizsi Louvre a világ egyik leglátogatottabb és leghíresebb művészeti múzeuma. Az épületben megtalálható a világ leghíresebb alkotásai közül is néhány, köztük Leonardo da Vinci Mona Lisája. A múzeum főbejáratát 1989-ben renoválták, ekkor építették rá az üvegpiramist (http://en.wikipedia.org/wiki/Louvre, 2008. február 20.) (Magyarul: http://hu.wikipedia.org/wiki/Louvre - ford.) A piramis meredekségének meghatározása 1. Kapcsold ki a pontelfogást, állítsd a tizedesjegyek számát 1-re, és változtasd a feliratozást Összes új alakzatra (Beállítások menü). 2. Szúrd be az F_3d_Louvre.jpg képet a koordinátasík első síknegyedébe úgy, hogy a bal alsó sarok az origóra essen. 3. Csökkentsd a kép kitöltését (kb. 50%-ra), és állítsd be háttérképnek (Tulajdonságok párbeszédablak). 4. Hozz létre egy, a piramis alappontján és csúcsán átmenő egyenest.

Útmutatás: Változtasd meg az egyenes tulajdonságait, hogy jobban látszódjon. 5. A Meredekség eszköz (

) használatával szemléltesd az egyenes meredekségét.

Útmutatás: Változtasd meg a szemléltető háromszög tulajdonságait, hogy jobban látszódjon. Útmutatás: A meredekséget szemléltető háromszög az elsőként létrehozott ponttól függő alakzat. 6. Feladat: Határozd meg a piramis oldalainak meredekségét %-ban. 7. Ábrázold az x tengely és az egyenes által meghatározott szöget.

Feladat: Határozd meg a piramis oldalainak hajlásszögét.

52

Erőpróba A piramis alapja egy 35 méter oldalú négyzet. Hasonló háromszögeket használva határozd meg a piramis magasságát. 1. Hozz létre egy új C pontot az egyenesen. 2. A C pont és a piramis B csúcsának segítségével szerkeszd meg az egyenes meredekségét szemléltető háromszöget.

Útmutatás: Hozz létre egy C ponton átmenő, y tengelyre merőleges, valamint egy a piramis B csúcsán átmenő, x tengelyre merőleges egyenest. Keresd meg a két egyenes D metszéspontját. Útmutatás: Rejtsd el a segédegyeneseket. 3. Kösd össze szakaszokkal a D pontot a B, illetve a C ponttal.

Útmutatás: Változtasd meg a szakaszok tulajdonságait, hogy jobban látszódjanak. Útmutatás: Átnevezheted a függőleges szakaszt magasságnak és a vízszintest félalapnak. 4. Mozgasd a C pontot az egyenes mentén addig, amíg a háromszög vízszintes oldala egybe nem esik a piramis talajszintjével. 5. Feladat: Hasonló háromszögeket használva számítsd ki a piramis magasságát.

Útmutatás: Használd a meredekséget szemléltető háromszöget és az új háromszöget. Ne felejtsd el, hogy az alap hossza 35 méter. Ellenőrizd a megoldásod a GeoGebrával 6. Jelenítsd meg a magasságnak és a félalapnak megfelelő szakaszok nevét és értékét. 7. Húzd a C pontot addig, amíg a vízszintes oldal hossza 35/2 = 17.5 méter nem lesz.

Útmutatás: Lehet, hogy ehhez távolítanod és/vagy mozgatnod kell a rajzlapot. 8. Ellenőrizd, hogy a piramis magassága megfelel-e a megoldásodnak. Megjegyzés A fenti instrukciók segítségével grafikusan meghatároztad a piramis magasságának körülbelüli értékét. A valóságban a Louvre piramis alapja 35 méter hosszú és magassága 21,65 méter. Oldalainak meredeksége 118% és dőlésszögük kb. 52% (http://de.wikipedia.org/wiki/Glaspyramide_im_Innenhof_des_Louvre, 2008. február 22.)

53

10. S TAT I K U S

F E L A D AT L A P O K K É S Z Í T É S E

17. a) Feladat: Képek elmentése fájlként Ebben a feladatban azt tanulhatod meg, hogy hogyan kell a GeoGebrából képet exportálni egy fájlba. A vágólapra való exportáláshoz képest ennek a funkciónak számos előnye van: • Elmentheted a képet és később is használhatod. Ez a vágólapra másolásnál nem lehetséges, hiszen abban az esetben az adatot csak átmenetileg tárolja a számítógép, és a későbbiekben nem lehet újra használni. • Meghatározhatod a kép méreteit, ami jól jön, ha azt szeretnéd, hogy tanítványaid a vázlatot mérésre használják. • Megváltoztathatod a kép felbontását és így a képfájl méretét is. A felbontás a kép minőségét határozza meg: egy jó minőségű nyomtatáshoz viszonylag nagy felbontást javaslunk (300 dpi). Ha egy internetes oldalra szeretnél feltölteni egy képet, akkor érdemes kisebb fájllal dolgozni, és a szokásos 72 dpi-s felbontást használni.

Útmutatás: A dpi a „dots per inch” (inchenkénti pontok száma) rövidítése. • Meghatározhatod a kép formátumát. A GeoGebra többféle képformátumot kínál fel, az alapbeállítás a png (Portable Network Graphics), ami jól használható, ha a képet szöveges dokumentumba vagy prezentációba szeretnéd beszúrni.

Útmutatás: Ha a többi formátumot nem ismered, ne törődj velük. Hozd létre az ábrát Készíts egy egyszerű ábrát a GeoGebrában. Használd például a Szabályos sokszög eszközt ( ), és hozz létre egy négyzetet, egy ötszöget vagy egy hatszöget a rajzlapra. • Aktiváld az eszközt, és kattints a rajzlapra kétszer, hogy megadd a szabályos sokszög oldalának hosszát. • Gépeld be a csúcsok számát (pl. 6, ha hatszöget szeretnél) a felugró párbeszédablakba, és kattints a Rendben gombra. A GeoGebra most is a teljes geometria ablakot exportálja a képfájlba. Ezért kicsinyítsd a GeoGebra ablak méretét, hogy a rajzlapon ne legyen felesleges hely. • Mozgasd az ábrát (vagy az exportálni kívánt részt) a rajzlap bal felső sarkába a Rajzlap mozgatása eszközzel ( ).

Útmutatás: Használhatod a Nagyítás való előkészítéséhez.

és a Kicsinyítés

gombot az ábra exportáláshoz

• Kicsinyítsd a GeoGebra-ablakot a jobb alsó sarkának behúzásával

Útmutatás: A kurzor alakja változik, ahogy a GeoGebra-ablak szélei vagy sarkai felett halad át.

54

Kép exportálása fájlként Használd a Fájl menüt ahhoz, hogy a rajzlapot képként exportáld: • Export – Rajzlap mint kép

Útmutatás: Használhatod a Ctrl – Shift – P billentyűkombinációt is. • Ha szeretnéd, a felugró ablakban megváltoztathatod a beállításokat (formátum, arány, felbontás).

Útmutatás: Mindig ellenőrizd a kép méretét (cm-ben vagy dpi-ben). Ha a kép nem fér ki egy A4-es lapra, módosítanod kell az ábrát az exportálás előtt. Ez különösen fontos, ha a méretet meg szeretnéd őrizni egy szöveges dokumentumban vagy egy prezentációban. • Kattints a Mentésre és mentsd el a képet a GeoGebra_Bevezetes mappába. Az ábrát most már beillesztheted egy szöveges dokumentumba vagy egy prezentációba.

17. b) Feladat: Kép beszúrása Wordbe Képfájl beszúrása szöveges dokumentumba Miután egy GeoGebra-ábrát képként exportáltunk, beszúrhatjuk egy szöveges dokumentumba (pl. Wordben). • Nyiss meg egy új szöveges dokumentumot. • A Beszúrás menüben válaszd a Kép – fájlból menüpontot. • A felugró párbeszédablakban válaszd ki a képet.

Útmutatás: Böngéssz a könyvtárakban ahhoz, hogy megtaláld a fájlt. • A Beszúrás gombra kattintva a kép a kurzor helyén jelenik meg.

55

A kép kicsinyítése Ha szükséges, Wordben kicsinyítheted a képet: • Kattints duplán a beillesztett képre. • Válaszd ki a Méret fület a felugró ablakban. • Változtasd a kép magasságát / szélességét vagy cm-ben, vagy százalékban. • Kattints az OK gombra.

Megjegyzés: Ha egy kép túl nagy ahhoz, hogy egy oldalra elférjen, a Word automatikusan kicsinyíteni fogja, és így a méretek is megváltoznak.

56

11. D I N A M I K U S

MUNKALAPOK KÉSZÍTÉSE

Bevezetés: A GeoGebraWiki és a Felhasználói fórum Dinamikus munkalapok A GeoGebra a dinamikus ábrák weboldalként való exportálásával lehetővé teszi, hogy elkészítsd a saját interaktív tananyagaidat, az úgynevezett dinamikus munkalapokat. Általában egy dinamikus munkalap egy címből, egy rövid magyarázatból, egy interaktív kisalkalmazásból, valamint a tanulóknak készített feladatokból és útmutatásokból áll. A tanulóknak ahhoz, hogy dinamikus munkalapokkal dolgozzanak egyáltalán nem kell ismerniük a GeoGebrát, hiszen az interaktív weboldalak függetlenek a szoftvertől, ezekhez vagy online vagy egy helyi adattárolón lehet hozzáférni. A GeoGebraWiki A GeoGebraWiki (www.geogebra.org/wiki) olyan ingyenes tananyagok gyűjteménye (pl. dinamikus munkalapoké), amelyeket a világ különböző tájain tevékenykedő tanárok készítettek. A tartalmak rendszerezése és könnyebb hozzáférhetősége céljából a különböző nyelvekhez (pl. német, angol, francia ) különböző wikik léteznek.

Minden GeoGebraWikin található anyag a Creative Common licence alá tartozik (http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/GeoGebraWiki:Copyrights), azaz ezeket ingyen használhatod nem kereskedelmi célú felhasználás esetén, valamint, amennyiben megjelölöd az eredeti szerzőt, létrehozhatsz származékos műveket.

57

A GeoGebra felhasználói fóruma A GeoGebra felhasználói fórumát (www.geogebra.org/forum) azért hozták létre, hogy a GeoGebra-felhasználóknak további támogatást nyújtsanak. A fórum tanároknak készült és tanárok tartják fent, azzal a céllal, hogy GeoGebrával kapcsolatos kérdéseket lehessen feltenni és megválaszolni.

A GeoGebra felhasználói fórum különböző nyelvű tematikus fórumokból áll, így a felhasználók anyanyelvükön tehetik fel kérdéseiket és válaszolhatják meg másokét. A magyar fórum mellett egy levelezőlistára is feliratkozhatnak az érdeklődők: [email protected]

58

18. a) Feladat: Dinamikus munkalap létrehozása Ebben a feladatban azt fogod megtanulni, hogy hogyan lehet dinamikus munkalapot létrehozni. A példa azt szemlélteti, hogy hogyan becsülhető egy függvénygrafikon és az x tengely által meghatározott terület alsó és felső közelítő összegekkel. Előkészítés • Nyiss meg egy új GeoGebra-fájlt. • Jelenítsd meg az algebra ablakot, a parancssort és a koordinátatengelyeket (Nézet menü). Hozd létre az ábrát 1

Add meg a következő harmadfokú polinomot: f(x) = -0.5x^3 + 2x^2 – x + 1

2

Hozz létre az x tengelyen egy A és egy B pontot Útmutatás: Ezek a pontok fogják meghatározni az intervallumot.

3

Hozz létre egy csúszkát az n számnak (intervallum: 1-től 50-ig, beosztás: 1)

4

Hozd létre a felső összeget: felsőösszeg = Felsőösszeg[f(x), x(A), x(B), n] Útmutatás: x(A) az A pont x koordinátáját adja meg.

5

Hozd létre az alsó összeget: alsóösszeg = Alsóösszeg[f(x), x(A), x(B), n]

6

ABC

Írd be a következő dinamikus szöveget: "felsőösszeg = " + Felsőösszeg

7

ABC

Írd be a következő dinamikus szöveget: "alsóösszeg = " + Alsóösszeg

8

Számítsd ki a két összeg különbségét: különbség = felsőösszeg - alsóösszeg

9

Írd be a következő dinamikus szöveget: "különbség = " + különbség Útmutatás: Rögzítsd a csúszkát és a szövegeket a Tulajdonság párbeszédablak segítségével.

ABC

Feladat: Használd az n csúszkát az alsó és felső összegek számolásához használt téglalapok számának módosításához. Hogyan változik a két összeg különbsége, ha (a) n kicsi (b) n nagy?

59

A GeoGebra ablak kicsinyítése A GeoGebra az algebra és a geometria ablakot exportálja a munkalap dinamikus ábrájába. Ahhoz, hogy a munkalapon legyen hely a feladatoknak és a magyarázatnak, exportálás előtt kicsinyítened kell a GeoGebra-ablak méretét. • Ha nem akarod, hogy az algebra ablak is látható legyen, exportálás előtt rejtsd el. • Mozgasd az ábrát (vagy az exportálni kívánt részt) a rajzlap bal felső sarkába a Rajzlap mozgatása eszközzel ( ).

Útmutatás: Használhatod a Nagyítás való előkészítéséhez.

és a Kicsinyítés

gombot az ábra exportáláshoz

• Kicsinyítsd a GeoGebra-ablakot a jobb alsó sarkának behúzásával.

Útmutatás: A kurzor alakja változik, ahogy a GeoGebra-ablak szélei vagy sarkai felett halad át. Megjegyzés: Azon kívül, hogy az interaktív kisalkalmazás elférjen egy oldalon és maradjon hely a munkalapon szövegnek is, ellenőrizd azt is, hogy az ábra elég nagy-e ahhoz, hogy a tanulók kísérletezni tudjanak vele. Dinamikus munkalap exportálása Miután beállítottad a GeoGebra-ablak méretét, az ábra készen áll arra, hogy a Fájl menüből dinamikus munkalapként exportáld. • Export – Dinamikus munkalap mint weblap

Útmutatás: Használhatod a Ctrl – Shift – W billentyűkombinációt is.

60

• A felugró ablakban töltsd ki a szövegmezőket (cím, szerző, dátum). • Írj rövid magyarázatot a dinamikus ábráról a „Szöveg a szerkesztés előtt” mezőbe. • Írj feladatokat és útmutatásokat a tanulóknak a „Szöveg a szerkesztés után” mezőbe. • Kattints az Export gombra, és mentsd el a dinamikus munkalapot.

Útmutatás: A GeoGebra több fájlt hoz létre, melyeknek együtt (egy helyen) kell maradniuk ahhoz, hogy a munkalap működjön. Javasoljuk, hogy a dinamikus munkalap elmentése előtt hozz létre egy új mappát (pl. Dinamikus_munkalapok) a GeoGebra_Bevezetes mappán belül.

Tippek és trükkök dinamikus munkalapok készítéséhez • A dinamikus munkalap automatikusan megnyílik az alapértelemezett böngészőben, miután elmentetted. Ellenőrizd a beírt szövegeket, valamint, hogy működik-e az interaktív kisalkalmazás. Ha változtatni szeretnél a munkalapon, menj vissza a GeoGebra-fájlba, hajtsd végre az ábrán a változtatásokat, majd a módosítások alkalmazásához exportáld újra az ábrát (használhatod ugyanazt a fájlnevet, ha felül szeretnéd írni az előzőt).

Útmutatás: A munkalap szövegét ugyanúgy változtathatod. • A GeoGebra automatikusan elmenti az export ablakba írt szövegeket, ha az export párbeszédablak kitöltése közben szeretnél módosítani az ábrán, csak zárd be az ablakot, és folytasd a kitöltést később. • Ellenőrizd, hogy a kisalkalmazásod nem túl nagy-e. Nem szerencsés, ha a tanulóknak görgetni kell a feladatok és az ábra között, hiszen ez nehezíti a tanulást. • A dinamikus munkalapnak el kell férnie egy oldalon. Ha 3 feladatnál többet szeretnél adni, esetleg érdemes egy másik munkalapot létrehozni ugyanezzel az ábrával, de más feladatokkal.

61

18. b) Feladat: Dinamikus munkalapok továbbfejlesztése A dinamikus munkalapok export párbeszédablaka két fülből áll: Általános és Haladó. Az előző feladatban az exportálás előtt az Általános fület használtuk magyarázatok, feladatok és útmutatások beírására. Most azt fogod megtanulni, hogy a Haladó fül segítségével hogyan fejlesztheted a dinamikus munkalapot az interaktív ábrához különböző funkciókat hozzáadva.

Funkciók • Használható jobb gomb: A tanulók a jobb egérgombbal az alakzatokra vagy a rajzlapra kattintva hozzáférnek a helyi menühöz (pl. alakzatok vagy feliratok mutatása / elrejtése, nyomvonal ki- / bekapcsolása, Tulajdonságok párbeszédablak). • Szerkesztés újrakezdéséhez gomb mutatása: Az interaktív kisalkalmazás jobb felső sarkában megjelenik egy újrakezdés ikon, amely lehetővé teszi, hogy visszaállítsuk az ábrát a kezdeti állapotba. • Megnyithatod az alkalmazás ablakot, ha kettőt kattintasz a rajzlapon: A tanulók megnyithatják a GeoGebra-ablakot az interaktív kisalkalmazásra duplán kattintva. Felhasználói felület • Menüsor megjelenítése: Az interaktív kisalkalmazáson belül megjelenik a menüsor. • Eszközkészlet megjelenítése: Az interaktív kisalkalmazáson belül megjelenik az eszközkészlet, így a geometriai eszközök is hozzáférhetővé válnak. • Eszközkészlet súgó megjelenítése: Az eszközkészlettel együtt a súgót is megjelenítheted a kisalkalmazásban. Ha azt szeretnéd, hogy tanítványaid használják a geometriai eszközöket, a súgó segítségével megtanulhatják, hogyan kell ezeket használni.

62

• Parancssor megjelenítése: Az interaktív kisalkalmazás alján megjelenik a parancssor, így a tanulók algebrai kifejezéseket és parancsokat is megadhatnak az ábra felfedezése közben . • Az interaktív kisalkalmazás szélessége és magassága: Módosíthatod a kisalkalmazás szélességét és magasságát.

Megjegyzés: Ha kicsinyíted a kisalkalmazást, elképzelhető, hogy a munkalap fontos részei nem lesznek láthatóak. Útmutatás: Ha a menüsort, az eszközkészletet és a parancssort is meg szeretnéd jeleníteni, szükség lehet az interaktív kisalkalmazás magasságának átállítására. Feladat A 18. feladatban elkészített dinamikus munkalapot exportáld továbbfejlesztett munkalapként. Használd a Haladó fület, próbáld ki a különböző funkciókat, és nézd meg, hogy hogyan változik ennek megfelelően a munkalap kisalkalmazása.

18. c) Feladat: Dinamikus munkalapok tanulóknak Többféleképpen is adhatsz dinamikus munkalapot tanítványaidnak, arra azonban minden esetben ügyelni kell, hogy az exportáláskor létrehozott fájlok együtt maradjanak.

Megjegyzés: A létrehozott fájlok különböző kiterjesztésűek (.ggb, .html, .jar), ha bármelyik fájl hiányzik ezek közül, a dinamikus munkalap nem fog működni. Helyi adattároló Másold az összes fájlt egy mappába, mielőtt ezt a mappát elmented egy helyi adattárolóra (pl. pendrive, CD). Kérd meg tanítványaidat, hogy másolják a teljes mappát a saját számítógépükre. A tanulóknak ezután a .html kiterjesztésű fájlt kell megnyitniuk a böngészőben. Internet és GeoGebra-feltöltéskezelő Amennyiben a dinamikus munkalapot online szeretnéd a diákok rendelkezésére bocsátani, minden fájlt egy webszerver ugyanazon helyére kell feltöltened.

Megjegyzés: Ha nincs saját tárhelyed a weben, a GeoGebra-feltöltéskezelővel (www.geogebra.org/en/upload) megkönnyítettük, hogy dinamikus munkalapokat tölthess fel az internetre. Miután létrehoztál egy felhasználói fiókot, feltöltheted a fájljaidat a kijelölt mappába. Mivel a GeoGebra-feltöltéskezelő kifejezetten dinamikus munkalapokhoz készült, ezért elég csak a .html és a .ggb kiterjesztésű fájlokat feltöltened (a .jar fájlokat nem szükséges). Miután feltöltötted a fájlokat egy szerverre, elég a saját weboldaladon megadnod egy linket, vagy megadni a tanulóknak azt a címet, amit a böngésző címmezőjébe gépelve közvetlenül elérhetik a munkalapot.

63

12. I V. G YA K O R LÓ B LO K K

Ez a gyakorlóblokk olyan feladatok gyűjteménye, melyekkel GeoGebra-szerkesztések képként való exportálását és dinamikus munkalapok készítését lehet gyakorolni. Alap- és haladó szintű feladatokat is találsz köztük. Az érdeklődésednek megfelelő feladatokat választhatsz, és akár egyénileg, akár kollégáiddal dolgozhatsz rajtuk.

Tippek és trükkök • Minden feladathoz nyiss új GeoGebra-fájlt, és a feladat megkezdése előtt döntsd el, hogy szükség lesz-e az algebra ablakra, a parancssorra és a koordinátatengelyekre. • Érdemes elmenteni a fájlokat, mielőtt egy új feladathoz fogsz hozzá. • Ne feledkezz meg a Visszavonás és az Újra gombokról, ha esetleg hibázol. • A dinamikus ábrák ellenőrzéséhez használd gyakran a Mozgatást (pl. létrehoztál-e felesleges alakzatokat, a csúszkákat és a szövegeket rögzítetted-e, hogy ne lehessen véletlenül elmozdítani őket). • A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy tudod-e, hogyan kell használni az eszközöket. Ha nem ismered valamelyik eszköz használatát, aktiváld, és olvasd el az eszköztár súgóját. • Algebrai kifejezések és függvények megadásánál ellenőrizd, hogy ismered-e ezek szintaxisát. Ha gondjaid vannak, olvasd át a 4. fejezet (Alapvető algebrai adatok bevitele, parancsok és függvények) Tippek és trükkök részét, vagy kérj segítséget kollégáidtól. • Alaposan ellenőrizd a megadott algebrai adatot, mielőtt Entert ütsz. Ha hibaüzenet jelenik meg, olvasd el, hiszen segíthet a hiba elhárításában. • Próbáld ki a dinamikus munkalapokat, és ellenőrizd, hogy nincs-e bennük hiba, ha van, javítsd ki. • Mindig egy mappában tartsd a dinamikus munkalapok fájljait (.ggb, .html, .jar kiterjesztésű fájlok). • Több munkalapot is elmenthetsz ugyanabba a mappába.

Megjegyzés: A .jar kiterjesztésű fájl egy mappában csak egyszer jön létre. Ha valamelyik dinamikus munkalapot szeretnéd a tanítványaidnak odaadni, a .ggb és a .html fájlok mellé a megfelelő .jar fájlokat is át kell másolnod. • Amennyiben kérdéseid vannak, kérdezz meg egy kollégát, mielőtt a tanfolyam vezetőihez fordulnál.

64

IV. a) Feladat: Hasonló mértani alakzatok területei közötti összefüggések Alapszint Ebben a feladatban az alább látható eszközöket és algebrai kifejezéseket fogod használni. A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy mindegyik eszközt tudod-e használni. a = 2

Szabályos sokszög

Szakasz pontból adott távolsággal Új!

Mozgatás

Feladat Ebben a feladatban az alábbi feladatlapot fogod elkészíteni tanítványaidnak. Segítségével felfedezhetik az a, a/2 és 2a oldalhosszúságú négyzetek területei közötti összefüggést.

Területek közötti összefüggés 1. Mérd meg az alábbi három négyzet oldalának hosszát. Hasonlítsd össze a kék négyzet oldalának hosszát a piros és a zöld négyzetekével. Mi az összefüggés? 2. Számítsd ki a négyzetek területét. Hasonlítsd össze a kék négyzet területét a piros és a zöld négyzetekével. Mi az összefüggés? 3. Fogalmazz meg egy sejtést arról, hogy hogyan függ össze a kék négyzet oldalának hossza és területe a piros és a zöld négyzetekével. 4. Próbáld meg bizonyítani a sejtésedet.

Útmutatás: Tegyük fel, hogy a kék négyzet oldalának hossza a, számítsd ki a négyzetek területét a függvényében.

65

A szerkesztés menete 1. Szerkesztésedet kezdd az a = 2 szám létrehozásával. 2. Szerkeszd meg a kék négyzetet a Szakasz pontból adott távolsággal eszközzel úgy, hogy a távolság az a szám legyen, majd a szakasz két végpontjából kiindulva szerkessz egy szabályos négyszöget. 3. Szerkeszd meg ugyanígy az a/2 oldalhosszú piros négyzetet, és a 2a oldalhosszú zöld négyzetet. 4. Nevezd át a csúcsokat, és változtasd meg a négyzetek tulajdonságait (pl. szín, vonalvastagság). 5. Készítsd elő a GeoGebra-ablakot a rajzlap képként való exportálásához (pl. helyezd el a négyzeteket, ahova szeretnéd, kicsinyítsd a GeoGebra-ablakot). 6. Exportáld a rajzlapot mint képet, és mentsd el a képfájlt.

Útmutatás: Mivel tanítványaidnak meg kell majd mérniük a négyzetek oldalait, ne változtasd meg a kép méretét. 7. Nyiss meg egy szövegszerkesztőt, adj egy címet a feladatlapnak, és írd be a feladatokat. 8. Szúrd be a képet a négyzetekről a feladatlapba.

Útmutatás: Nyomtass egy példányt, és a négyzetek oldalhosszának megmérésével ellenőrizd a feladatlapot. 1. Erőpróba Készíts hasonló példákat különböző geometriai formákhoz (pl. adott sugarú kör, szabályos háromszög, téglalap). Mely formákra ugyanaz az összefüggés az adott oldalhossz (sugár) és a terület között? Próbáld meg megmagyarázni az oldalhossz (sugár) és a terület közötti öszszefüggést. 2. Erőpróba Készíts a szerkesztéseden alapuló dinamikus munkalapot, amelynek segítségével tanítványaid általánosíthatják a különböző geometriai alakzatok oldalhossza és területe közötti öszszefüggésről megfogalmazott sejtésüket (lásd például az F_4a_Kor_teruletek.html fájlt).

66

IV. b) Feladat: Egy háromszög belső szögösszegének szemléltetése Alapszint Ebben a feladatban az alább látható eszközöket fogod használni. A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy mindegyik eszközt tudod-e használni. Sokszög

Pont körüli forgatás adott szöggel

Szög

Mozgatás

Csúszka

ABC

Szöveg beszúrása

Felező- vagy középpont A szerkesztés menete 1. Hozd létre az ABC háromszöget.

Útmutatás: Az óramutató járásával ellenkező irányban. 2. Hozd létre a háromszög α, β és γ szögeit. 3. Állítsd a tizedes jegyek számát 0-ra (Beállítások menü). 4. Hozd létre a δ és ε csúszkákat a következő beállításokkal: típusa – szög, intervallum – 0°tól 180°-ig, beosztás – 10°. 5. Hozd létre az AC szakasz D és az AB szakasz E felezőpontját. 6. Forgasd a háromszöget a D pont körül δ szöggel (az óramutató járásával megegyező irányban). 7. Forgasd a háromszöget az E pont körül ε szöggel (az óramutató járásával ellenkező irányban). 8. Mindkét csúszkát állítsd 180°-ra, majd hozd létre a ζ (A 'C 'B ') és a η (C1',B1',A1') szögeket. 9. Tedd szemléletesebbé a szerkesztést a Tulajdonság párbeszédablak segítségével.

Útmutatás: Egybevágó szögek azonos színűek legyenek. 1. Erőpróba Szúrj be dinamikus szöveget, amely mutatja, hogy a belső szögek összege 180°. Útmutatás: Hozz létre a belső szögekhez egy-egy dinamikus szöveget (pl. "α = " + α), számítsd ki a szögek összegét az összeg = α + β + γ kifejezéssel, majd szúrd be az összeget mint dinamikus szöveget. Jelöld az egymásnak megfelelő szögeket és szövegeket ugyanazzal a színnel. Rögzítsd a rajzlapon a szövegeket. 2. Erőpróba Exportáld az ábrát dinamikus munkalapként. Találj ki feladatokat, melyek segítenek tanítványaidnak felfedezni a háromszög szögeinek összegével kapcsolatos összefüggést. Ellenőriztesd velük a sejtésüket a munkalap segítségével.

67

IV. c) Feladat: Egész számok összeadásának szemléltetése a számegyenesen Haladó szint Ebben a feladatban használhatod az alább látható eszközöket, vagy az ezeknek megfelelő parancsokat. A szerkesztés megkezdése előtt ellenőrizd, hogy mindegyik eszközt tudod-e használni. Csúszka

Szakasz

Új pont

Szöveg beszúrása

Vektor

Jelölőnégyzet alakzatok elrejtéséhez és megjelenítéséhez Új!

Mozgatás

A szerkesztés menete 1. Nyiss meg egy új GeoGebra-ablakot és rejtsd el az algebra ablakot. Állítsd a feliratozást „Összes új alakzatra” (Beállítások menü). 2. Nyisd meg a rajzlap tulajdonságait tartalmazó Rajzlap párbeszédablakot.

Útmutatás: Az yTengely fülön kattintsd ki a Megjelenítés jelölőnégyzetet, az xTengely fülön pipáld be a Távolság jelölőnégyzetét, és állítsd a távolságot 1-re. Az x tengely minimumának adj meg -21-et, a maximumának 21-et. 3. Hozd létre az a és b csúszkákat (az intervallum [-10; 10], a beosztás 1 legyen). Jelenítsd meg a csúszkák értékét a nevük helyett (Tulajdonság párbeszédablak). 4. Hozd létre az A = (0, 1) és a B = A + (a, 0) pontokat. 5. Hozd létre az a hosszúságú u = Vektor [A, B] vektort. 6. Hozd létre a C = B + (0, 1) és a D = C + (b, 0) pontokat, valamint a b hoszszúságú v = Vektor [C, D] vektort. 7. Hozd létre az R = (x(D), 0) pontot.

Útmutatás: x(D) a D pont x koordinátájának felel meg, az R pont tehát éppen az összeadás eredményét mutatja a számegyenesen. 8. Hozd létre a Z = (0, 0) pontot, valamint az alábbi szakaszokat: g = Szakasz[Z, A], h = Szakasz[B, C] és i = Szakasz[D, R] . 9. Tedd szemléletesebbé a szerkesztést a Tulajdonság párbeszédablak segítségével (pl. változtasd meg a színeket, a vonalstílusokat, rögzítsd a csúszkákat, rejtsd el a feliratokat).

68

1. Erőpróba Tedd szemléletesebbé az interaktív ábrát dinamikus szövegek hozzáadásával, melyek a megfelelő összeadásokat mutatják. 10. Számítsd ki az r = a + b-t. 11. Ahhoz, hogy az összeadás részeit különböző színnel jeleníthesd meg, a dinamikus szöveget lépésről lépésre kell beszúrnod. a) Szöveg1 beszúrása: a b) Szöveg2 beszúrása: " + " c) Szöveg3 beszúrása: b d) Szöveg4 beszúrása: " = " e) Szöveg5 beszúrása: r 12. Színezd a szöveg1-nek és a szöveg3-nak megfelelő csúszkát, valamint a szöveg5-öt és az R pontot ugyanazzal a színnel. Rejtsd el a csúszkák feliratait és rögzítsd a szövegeket (Tulajdonság párbeszédablak). 13. Exportáld az interaktív ábrát dinamikus munkalapként.

2. Erőpróba Tegyél a geometria ablakba egy jelölőnégyzetet, amely lehetővé teszi az összeadás eredményének (szöveg5, R pont és i szakasz) mutatását, illetve elrejtését. 14. Aktiváld a Jelölőnégyzet alakzatok elrejtéséhez és megjelenítéséhez eszközt. 15. Kattints a rajzlapra az összeadás eredménye mellé. 16. A Felirat mezőbe írd be, hogy „Eredmény mutatása”. 17. A legördülő menüből válaszd ki egymás után azokat az alakzatokat, melyek mutatását / elrejtését a jelölőnégyzet szabályozza majd (Szöveg5, R pont, i szakasz). 18. A jelölőnégyzet létrehozásához kattints az Alkalmaz gombra. 19. Ahhoz, hogy ellenőrizd, hogy mindhárom alakzat mutatható, illetve elrejthető-e, Mozgatás módban pipáld be, illetve ki a jelölőnégyzetet. 20. Rögzítsd a jelölőnégyzetet, hogy ne lehessen véletlenül elmozdítani (Tulajdonság párbeszédablak). 21. Exportáld az új interaktív ábrát dinamikus munkalapként.

Útmutatás: Adhatsz egy új nevet ennek a munkalapnak.

69

IV. d) Feladat: Tangram kirakó készítése Haladó szint Ebben a feladatban egy Tangram-kirakót fogsz készíteni (lásd: jobb oldali ábra). A kirakó 7 mértani alakzatból áll, melyek mindegyike az a oldalhossz segítségével megszerkeszthető (lásd F_4d_Tangram_kirako.html). A szerkesztésekhez több geometriai eszközre lesz szükséged. Mielőtt hozzáfognál az alakzatok megszerkesztéséhez, olvasd el az alábbi útmutatást. 1. Add meg az a = 6 számot. Ez szolgál majd a Tangram kirakó minden háromszög- és négyszögszerkesztésének alapjául. 2. Próbáld meg kiszámolni az alakzatok oldalhosszait.

Útmutatás: Néhány esetben érdemes megvizsgálni az átlókat vagy a magasságot, hiszen ezek hossza könnyebben fejezhető ki az a függvényében, mint maguk az oldalhosszak. 3. Minden alakzatot egy adott hosszúságú szakasszal kezdj. Így később mozgathatod és forgathatod majd az ábrát. 4. Útmutatás a szerkesztéshez: a) Ha egy derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogó fele, a szerkesztéshez használhatod a Thales-tételt (lásd I. Gyakorlóblokk). b) Ha ismered a derékszögű háromszög befogóinak hosszát, szerkesztheted hasonlóan a négyzethez, melyet már korábban ismertettünk. c) Ahhoz, hogy egy négyzetet az átlóiból kiindulva szerkesszünk meg, hasznos tudni, hogy ezek merőlegesen felezik egymást. d) A paralelogramma szerkesztéséhez hasznos ismerni a hegyesszögének nagyságát. 5. Ellenőrizd szerkesztésedet úgy, hogy megpróbálsz az összes alakzatot felhasználva egy a oldalhosszúságú négyzetet összerakni. 1. Erőpróba Rendezd el az alakzatokat az interaktív kisalkalmazás széleire véletlenszerűen. Exportáld az ábrát dinamikus munkalapként, és írj magyarázatot a tanítványaidnak (lásd F_4d_tangram_kirako.html dinamikus munkalap). 2. Erőpróba Ezekből az alakzatokból nemcsak négyzetet, hanem más mértani formákat is össze lehet rakni (lásd F_4d_tangram_kirako.html). Keress az interneten egy másik Tangram-figurát (pl. F_4d_tangram_macska.png), majd importáld ezt a rajzlapra. Ismét exportáld a GeoGebra-ábrát egy másik néven, új instrukciókkal.