Bevezetés a funkcionálanalízisbe

Bevezetés a funkcionálanalízisbe Karátson János előadásai alapján írta:

Kurics Tamás

Tartalomjegyzék Előszó

3

1. Normált terek 1.1. Normált terek és tulajdonságaik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Metrikus és normált terek teljessé tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Banach-terek 2.1. Véges dimenziós normált terek . . . . 2.2. Az Lp (Ω) terek . . . . . . . . . . . . . 2.3. Egyváltozós Szoboljev-terek . . . . . . 2.3.1. Elsőrendű Szoboljev-terek . . . 2.3.2. Magasabbrendű Szoboljev-terek 2.4. L(X, Y ), mint normált tér . . . . . . .

5 5 7

. . . . . .

11 11 14 17 18 19 20

3. Hilbert-terek 3.1. Ortogonalitási tulajdonságok Hilbert-terekben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Fourier-sorok Hilbert-térben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 23 25

4. Folytonos lineáris funkcionálok normált térben 4.1. Normált tér duálisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Folytonos lineáris funkcionálok kiterjesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Normált terek második duálisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 29 30 31

5. Folytonos lineáris operátorok Banach-térben 5.1. Banach–Steinhaus-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Zárt lineáris leképezések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Banach nyílt leképezés és zárt gráf tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 33 34 35

6. Folytonos lineáris operátorok Hilbert-térben 6.1. Folytonos lineáris funkcionálok Hilbert-térben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Gyenge konvergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Operátorok Hilbert-adjungáltja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 38 40 41

7. Speciális operátortípusok 7.1. Önadjungált operátorok . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Operátoregyenletek megoldhatósága . . . . . . . . . . 7.3. Integrálegyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Peremértékfeladatok gyenge (általánosított) megoldása 7.5. Projektorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Izometrikus és unitér operátorok . . . . . . . . . . . . 7.7. Fourier-transzformáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8. Kompakt operátorok Hilbert-térben . . . . . . . . . . .

43 43 46 46 47 49 50 50 51

2

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

8. Sajátérték és spektrum 8.1. Spektrális tulajdonságok Hilbert-térben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Kompakt önadjungált operátorok spektruma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54 54 58

A. Metrikus terek

61

B. Zorn-lemma

70

C. A kategória-tétel C.1. Kategória-tétel R-ben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2. Kategória-tétel teljes metrikus térben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.3. Két érdekes ellenpélda elemi analízisből . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71 71 72 73

Irodalomjegyzék

76

3

Előszó Ez a jegyzet a Karátson János által 2002. őszén alkalmazott matematikusok számára tartott Funkcionálanalízis című előadás alapján készült. Több helyen azonban kiegészítettem az előadáson csak vázlatosan vagy esetleg úgy sem szerepelt tételekkel és/vagy bizonyításokkal. Így került a jegyzetbe a gyenge konvergencia fogalma, a nyílt leképezés és zárt gráf tétel témakörének kifejtése, a kompakt operátorok részletesebb tárgyalása. A függelékben röviden összefoglaltam a már ismertnek feltételezett metrikus terek elméletét és külön fejezet foglalkozik Baire kategóriatételével is. Mivel a jegyzet csak bevezetést nyújt a matematika ezen önmagában és az alkalmazások szempontjából is érdekes ágába, az érdeklődő hallgatók számára javasoljuk az irodalomjegyzékben szereplő könyvek illetve jegyzetek tanulmányozását. Kiemelném ezek közül [4]-et, ami nemcsak a felhasznált topológiai alapfogalmakat tartalmazza, hanem sok mást is: numerikus módszereket, integrálelméletet és függvénytereket is, vagyis azt, ami analízisből hozzátartozik a matematikai műveltséghez. Szeretném megköszönni doktorandusztársaimnak (Antal István és Besenyei Ádám), a jegyzet „nemhivatalos lektorainak” a segítségét a felmerült problémák megoldásában. Sokat segítettek nemcsak az elírások, hanem a lényeges hibák megkeresésében is. Ugyanitt kell még megemlítenem, hogy a normált- és Hilbert-terekről szóló fejezetek alapfogalmainál Czách László analízis előadásaira, illetve kéziratos jegyzeteire is támaszkodtam, a kategória-tételről szóló függelék összeállításánál pedig Buczolich Zoltán előadásai jelentettek nagy segítséget.

4

1. fejezet

Normált terek Ebben a fejezetben bevezetjük az analízis egyik legalapvetőbb struktúráját, a normált tér fogalmát. Korábbi tanulmányaink során már - remélhetőleg - találkoztunk a nagyon hasznosnak bizonyult metrikus tér fogalmával, amely egy olyan halmaz volt, melyen adott egy távolságfüggvény. Viszont az elemek között semmilyen összefüggésnek sem kellett fennállnia, így műveleteket sem tudtunk elvégezni a halmaz elemei között. Ezen segít a normált tér fogalma, amely egy algebrai struktúráltságot is megkövetel az alaphalmaztól. Mivel a metrikus terek elméletét ismertnek tételezzük fel, ezért a függelékben ismertetjük a szükséges tudnivalókat és összefoglaljuk azokat az eredményeket, amelyekre később szükségünk lehet.

1.1.

Normált terek és tulajdonságaik

1.1. Definíció. Az (X, k·k) párt normált térnek nevezzük, ha X egy K-feletti vektortér, ahol K = C vagy R, továbbá k·k : X → R+ egy olyan függvény, amely teljesíti az alábbi normaaxiómákat: 1. Minden x ∈ X-re kxk ≥ 0 és kxk = 0 ⇐⇒ x = 0; 2. Minden λ ∈ K-ra és x ∈ X-re kλxk = |λ| kxk; 3. Minden x, y ∈ X-re kx + yk ≤ kxk + kyk. Példák normált terekre: • Tekintsük a valós számok halmazát, mint önmaga feletti vektorteret a következő normával: kxk := |x|, azaz a szokásos abszolútérték. • Hasonlóan normált tér lesz (Rn , k·k2 ), ahol a 2-es index qP a szokásos euklideszi normát jelenti, n n 2 azaz egy x ∈ R -re kxk2 = k(x1 , x2 , . . . , xn )k2 = i=1 xi . • Az előző teret más normákkal is elláthatjuk, fontosak az úgynevezett p-normák, ahol egy x ∈ Rn esetén  !1/p n  X  p   |xi | ha 1 ≤ p < +∞  i=1 kxkp =      max |xi | ha p = +∞. 1≤i≤n

• H legyen tetszőleges nemüres halmaz és legyen B(H) a H-n értelmezett valós vagy komplex értékű korlátos függvények halmaza. Egy f ∈ B(H)-ra legyen kf k∞ = supH |f |.

5

• Legyen I = [a, b] egy adott kompakt intervallum és legyen C(I) az I-n értelmezett folytonos függvények halmaza. kf kRmax = supI |f | = maxI |f |. Ugyanezen a téren megadható más norma is, legyen kf k1 = I |f |. Ekkor (C(I), k·kmax ) és (C(I), k·k1 ) normált terek. Minden normált tér egyben metrikus tér is, ugyanis ha (X, k·k) normált tér, x, y ∈ X, akkor a %(x, y) = kx − yk egy metrikát definiál X-en és ezzel a normából származtatott metrikával (X, %) metrikus tér is egyben. Felmerülhet tehát az a kérdés, hogy ha adott egy metrikus tér, akkor bevezethető-e olyan norma a téren, hogy az általa indukált metrika megegyezik az eredetivel, azaz ellátható-e egy metrikus tér normált tér struktúrával. Természetesen a metrikus tér alaphalmazának vektortérnek kell lennie ahhoz, hogy a kérdés értelmes legyen. A válasz nemleges, van olyan metrikus tér, amelyen nem lehet olyan normát megadni, ami visszadná az eredeti metrikát. 1.2. Lemma. Normált térben minden x, y ∈ X-re kxk − kyk ≤ kx − yk. Bizonyítás. Mivel x = (x − y) + y, ezért kxk ≤ kx − yk + kyk, azaz kxk − kyk ≤ kx − yk. Mivel x és y szerepe szimmetrikus, ezért kyk − kxk ≤ ky − xk is igaz, amiből az állítás következik. 1.3. Következmény. A norma folytonos függvény, azaz ha xn → x, akkor kxn k → kxk. Bizonyítás. Az előző lemma szerint kxn k − kxk ≤ kxn − xk → 0, ha n → ∞.

1.4. Állítás. Az (X, k·k) normált térben az összeadás és a skalárral való szorzás műveletei folytonosak. Bizonyítás. Legyenek x, y ∈ X, (xn ) és (yn ) olyan X-beli sorozatok, hogy xn → x, yn → y és (λn ) az alaptest egy sorozata, amelyre λn → λ. Ekkor k(x + y) − (xn + yn )k ≤ kx − xn k + ky − yn k → 0, kλx − λn xn k = kλx − λxn + λxn − λn xn k ≤ |λ| kx − xn k + |λ − λn | kxn k → 0, mert az (xn ) sorozat konvergenciájából következik, hogy (kxn k) korlátos.

1.5. Definíció. Legyenek X és Y ugyanazon számtest feletti vektorterek. Jelölje Hom(X, Y ) az X-en értelmezett Y -ba képező lineáris leképezések vektorterét. Mivel folytonosságot szeretnénk definiálni, a továbbiakban tegyük fel, hogy a tereink normált terek is egyben. 1.6. Definíció. Ha (X, k·k) és (Y, k·k) normált terek, akkor Hom(X, Y )-ban egy részhalmazt (sőt alteret) alkotnak a folytonos lineáris leképezések, melyek halmazát jelölje L(X, Y ). A következő állítás meglepő lehet azok számára, akik eddig csak valósból valósba képező függvényekkel találkoztak. Ott ugyanis egy függvény adott pontbeli folytonosságából ugyanez a tulajdonság nem következik a többi pontra is, hiszen például megadható olyan függvény, amely pontosan egy pontban folytonos. Lineáris leképezések esetén nem ez a helyzet. 1.7. Állítás. Egy A ∈ Hom(X, Y ) pontosan akkor folytonos egy x0 ∈ X pontban, ha A az egész téren folytonos. Bizonyítás. Nyílván elég az bizonyítani, hogy az x0 -beli folytonosságból következik, hogy A ∈ L(X, Y ). Legyen y ∈ X és lássuk be, hogy A szekvenciálisan folytonos y-ban, azaz ha yn → y, akkor Ayn → Ay. Ayn = A(yn − y + x0 + y − x0 ) = A(yn − y + x0 ) + Ay − Ax0 . Mivel yn − y + x0 → x0 , ezért az x0 -beli folytonosság miatt A(yn − y + x0 ) → Ax0 , emiatt Ayn → Ay. Vagyis egy lineáris leképezés vagy mindenhol folytonos, vagy seholsem az. 6

1.8. Definíció. Egy A ∈ Hom(X, Y ) lineáris leképezést korlátosnak nevezünk, ha létezik olyan K ≥ 0 állandó, hogy minden x ∈ X esetén kAxk ≤ K kxk. A korlátos lineáris leképezések halmazát jelölje B(X, Y ). Az elnevezés kissé megtévesztő, ugyanis nem azt mondja, hogy A képtere korlátos halmaz. Például ha X = Y = R a szokásos normával, akkor az identikus leképezés a fenti definíció szerint korlátos (K = 1 megfelelő választás, de a függvény képtere az egész R). Érdemes inkább úgy gondolni a korlátos lineáris leképezésekre, hogy az egységgömb képe korlátos halmaz, nevezetesen a képhalmaz benne van a 0 középpontú K sugarú gömbben. Tehát ha A ∈ B(X, Y ), akkor az egységgömb képe korlátos halmaz. Ez fordítva is igaz, nevezetesen 1.9. Állítás. Ha A ∈ Hom(X, Y ) az egységgömböt korlátos halmazba viszi, akkor A ∈ B(X, Y ). Bizonyítás. A feltevés szerint A(B(0, 1)) ⊂ Y korlátos halmaz, azaz

létezik K ≥ 0, hogy minden

x x ∈ B(0, 1)-re kAxk ≤ K. Legyen x 6= 0 tetszőleges, ekkor 2kxk = 1/2, ezért

1 x

=

A kAxk ≤ K,

2 · kxk 2 · kxk azaz kAxk ≤ 2K kxk. Ez nyílván x = 0-ra is teljesül, ezzel a bizonyítás kész. Felmerül a kérdés, hogy a folytonos, illetve korlátos lineáris leképezések halmazai hogyan viszonyulnak egymáshoz. 1.10. Tétel. L(X, Y ) = B(X, Y ), azaz egy lineáris leképezés pontosan akkor folytonos, ha korlátos. Bizonyítás. Legyen A ∈ B(X, Y ). Ekkor létezik K ≥ 0, hogy kAxk ≤ K kxk minden x ∈ X-re. Vegyünk egy nullához tartó X-beli sorozatot: xn → 0. Ekkor kAxn − A0k = kAxn k ≤ K kxn k = K kxn − 0k → 0, ha n → ∞. A fentiek szerint A folytonos a nullában, így az egész téren is. A másik irányhoz tegyük fel, hogy A ∈ L(X, Y ). Ekkor speciálisan A folytonos a 0 ∈ X pontban is, azaz ∀ε > 0-hoz ∃δ > 0, hogy ha kxk ≤ δ, akkor kAxk ≤ ε. Legyen x ∈ X tetszőleges x nemnulla elem és tekintsük kxk δ ∈ X-et. Ekkor

x x

kxk δ = δ, tehát A kxk δ < ε. A linearitásást felhasználva kapjuk, hogy ε kxk . δ Az egyenlőtlenség nyílván x = 0-ra is igaz, vagyis A korlátos. Meg kell azonban jegyeznünk, hogy a normált terek elméletének vannak olyan általánosításai (a lokálisan konvex terek elmélete), ahol szintén értelmezhető a folytonos és a korlátos operátorok fogalma, de az X térre tett egyéb feltételek nélkül csak az L(X, Y ) ⊂ B(X, Y ) tartalmazás teljesül. kAxk ≤

1.2.

Metrikus és normált terek teljessé tétele

A most következő fejezetben megmutatjuk, hogy egy metrikus teret teljessé lehet tenni alkalmas elemek hozzávételével. A módszer lényege, hogy nem teljes tér esetén vannak olyan Cauchysorozatok, melyek nem konvergensek, de a limeszeikkel kiegészítve a teret már azok leszenek. Természetesen ez nem olyan egyszerű, hiszen nemlétező limeszeket nehéz hozzávenni valamihez. Az eljárás alapelve hasonló lesz ahhoz, mint amikor algebrában megmutatják, hogy egy test algebrai elemmel való bővítése előáll, mint valamilyen maradékosztálygyűrű, ahol az elem minimálpolinomja által generált főideállal faktorizálják le a kiindulási test feletti polinomgyűrűt. 7

1.11. Definíció. Az (X, %) és (Y, d) metrikus terek izometrikusak, ha van X és Y között metrikatartó bijekció. 1.12. Megjegyzés. Izometria esetén valójában elég bijekció helyett szürjekciót megkövetelni, ugyanis a metrikatartó leképezések automatikusan injektívek. 1.13. Tétel. Legyen (X, %) metrikus létezik egy (X, %) teljes metrikus tér és ennek tér. Ekkor egy Y ⊂ X altere, hogy (X, %) és Y, %|Y ×Y izometrikusak, valamint Y sűrű altér X-ban. Bizonyítás. Legyen S az X-beli Cauchy-sorozatok halmaza és vezessünk be a következő relációt: (xn ) ∼ (yn ) ⇐⇒ lim %(xn , yn ) = 0. n→∞

Ez könnyen láthatóan egy ekvivalencia-reláció, így tekinthetjük az ekvivalencia-osztályokat, legyen ez X = S/ ∼. Tehát az új tér a Cauchy-sorozatok ekvivalencia-osztályaiból fog állni és ezen szeretnénk most metrikát definiálni. Legyen ξ, η ∈ X két osztály és legyen %(ξ, η) := lim %(xn , yn ), ahol (xn ) ∈ ξ, (yn ) ∈ η az n→∞ osztályok egy-egy reprezentáns eleme. Természetesen be kell látni, hogy ez az osztályok között definiált távolság nem függ a reprezentáns sorozatoktól és persze a limesz is létezik. A |%(xn , yn ) − %(xm , ym )| ≤ |%(xn , yn ) − %(xn , ym ) + %(xn , ym ) − %(xm , ym )| ≤ ≤ |%(xn , yn ) − %(xn , ym )| + |%(xn , ym ) − %(xm , ym )| ≤ ≤ %(yn , ym ) + %(xn , xm ) egyenlőtlenség szerint (%(xn , yn )) valós Cauchy-sorozat, így konvergens is, tehát a kérdéses limesz létezik. Kell még a jóldefiniáltság. Ehhez legyenek (xn ), (˜ xn ) ∈ ξ, (yn ), (˜ yn ) ∈ η reprezentánsok a megfelelő osztályokból. Ekkor |%(xn , yn ) − %(˜ xn , yñ )| ≤ |%(xn , yn ) − %(˜ xn , yn )| + |%(˜ xn , yn ) − %(˜ xn , yñ )| ≤ %(xn , x ñ ) + %(yn , yñ ), és mivel (xn ) ∼ (˜ xn ) és (yn ) ∼ (˜ yn ), ezért a jobb oldal nullához tart, ha n tart a végtelenhez, így a limesz valóban nem függ a reprezentáns sorozatok választásától. Ezzel a kívánt metrikus terünk előállt. Könnyen belátható, hogy a bevezetett % : X ×X → R+ függvény valóban metrika, hiszen % az volt és a limeszképzés megőrzi a metrikatulajdonságokat. Igazolni kell, hogy van X-szel izometrikus sűrű altere, valamint a tér teljes is. Ha x ∈ X, akkor az (x) := (x, x, . . .) konstans sorozat nyílván Cauchy-sorozat, ezért benne van valamelyik ekvivalencia-osztályban, legyen ez ξx ∈ X. Legyen Y := {ξx : x ∈ X} ⊂ X. Ekkor X és Y izometrikusak, ahol az izometriát a két tér között az x 7→ ξx hozzárendelés adja meg. Ez nyílván szürjekció és metrikatartó is, mert %(ξx1 , ξx2 ) = lim %(x1 , x2 ) = %(x1 , x2 ). n→∞

Most belátjuk, hogy Y lezártja X, azaz Y sűrű altér. Legyenek ξ ∈ X és ε > 0 adottak, be kell látni, hogy létezik olyan ξx ∈ Y , hogy %(ξ, ξx ) ≤ ε. Mivel ξ egy osztály, vegyünk ki belőle egy (xn ) ∈ ξ Cauchy-sorozatot. Az adott ε-hoz létezik N , hogy minden n, m ≥ N -re %(xn , xm ) ≤ ε. Legyen (xN ) az (xN , xN , . . .) sorozat. Nyílván (xN ) ∈ ξxN . Ennek az osztálynak a távolsága ξ-től %(ξ, ξxN ) = lim %(xn , xN ) ≤ ε. n→∞

Végül belátjuk, hogy (X, %) teljes. Ehhez vegyünk egy (ξk ) Cauchy-sorozatot X-ban. Ez tehát ekvivalencia-osztályokból álló sorozat. Rögzített n ∈ N esetén ξn egy osztály és Y sűrűsége miatt 8

ε = 1/n-hez van olyan ξxn ∈ Y , hogy %(ξn , ξxn ) ≤ 1/n. Tekintsük az (xn ) sorozatot X-ben. Ez egy Cauchy-sorozat lesz, ugyanis az izometria miatt %(xn , xm ) = %(ξxn , ξxm ) ≤ %(ξxn , ξn ) + %(ξn , ξm ) + %(ξm , ξxm ) ≤

1 1 + %(ξn , ξm ) + n m

és ez tetszőlegesen kicsi lehet, ha n, m elég nagy. Ezért benne van valamelyik osztályban, legyen (xn ) ∈ ξ. Megmutatjuk, hogy a (ξk ) sorozat éppen ehhez a ξ-hez konvergál. %(ξk , ξ) ≤ %(ξk , ξxk ) + %(ξxk , ξ) ≤

1 + %(ξxk , ξ) k

Ha most k → ∞, akkor lim %(ξxk , ξ) = lim lim %(xk , xn ) = 0, k→∞ n→∞

k→∞

mert (xn ) Cauchy-sorozat. Vagyis lim %(ξk , ξ) = 0 és ezt kellett bizonyítani.

n→∞

1.14. Megjegyzés. Tehát minden metrikus tér beágyazható sűrű altérként egy teljes metrikus térbe. Ez a tér izometria erejéig egyértelmű és az (X, %) metrikus tér teljessé tételének nevezzük. Most hasonló tételt fogunk bizonyítani normált terek teljessé tételéről. Minden normált teret be lehet ágyazni sűrű altérként egy teljes normált térbe művelet- és normatartó módon. 1.15. Definíció. Egy teljes normált teret Banach-térnek nevezük. 1.16. Definíció. Az (X, k·k1 ) és (Y, k·k2 ) normált terek izometrikusan izomorfak, ha van X és Y között algebrai izomorfizmus, azaz művelettartó bijekció, amely egyben normatartó is. X, |||·||| Banach-tér és egy Y ⊂ X sűrű 1.17. Tétel. Legyen (X, k·k) normált tér, ekkor létezik altér, melyre Y, |||·||||Y izometrikusan izomorf (X, k·k)-val. Bizonyítás. Bevezetve X-en a %(x, y) = kx − yk norma által indukált metrikát, az előző tétel szerint létezik (X, %) teljessé tétele. X azonban még csak metrikus tér. Be fogjuk látni, hogy megfelelő módon bevezetve a vektortér-műveleteket, X teljes normált tér, és X nem csak izometrikus, hanem izomorf is a megfelelő altérrel. Legyenek (xn ), (yn ) egy-egy ekvivalencia-osztály reprezentánsai. A megfelelő osztályokat g g jelölje ξ = (x n ) és η = (yn ). Definiáljuk az osztályok közötti összeadás és skalárral való szorzás műveletét. ξ + η := (x^ n + yn ),

] c · ξ := (cx n ).

A zn = (xn + yn ) nyílván Cauchy-sorozat, mert n,m→∞

kzn − zm k = k(xn + yn ) − (yn + ym )k ≤ kxn − xm k + kyn − ym k −−−−−→ 0, tehát van értelme arról az osztályról beszélni, amelynek (zn ) reprezentánsa. Hasonlóan a korábbi tételhez, most is be kell látni, hogy a művelet jóldefiniált. Vegyünk tehát két másik reprezentánsát az osztályainknak, (ˆ xn ) ∈ ξ és (ˆ yn ) ∈ η-t. Be kell látnunk, hogy (xn +yn ) és (ˆ xn + yˆn ) ugyanabban az osztályban vannak, másszóval ekvivalensek. n→∞

%(xn + yn , x ˆn + yˆn ) = k(xn + yn ) − (ˆ xn + yˆn )k ≤ kxn − x ˆn k + kyn − yˆn k −−−→ 0, tehát az összeadás jóldefiniált. A skalárral szorzás művelete hasonlóan ellenőrizhető. Ezzel tehát X vektortér lesz. Vezessünk be rajta normát, méghozzá ismét a reprezentánsok segítségével: ha (xn ) ∈ ξ, akkor |||ξ||| := lim kxn k. Mivel n→∞

kxn k − kxm k ≤ kxn − xm k → 0 ha n, m → ∞, 9

ezért (kxn k) valós Cauchy-sorozat, így konvergens is, tehát a limesz létezik. A ξ osztály normája ismét független a reprezentánstól, ugyanis ha (xn ), (ˆ xn ) ∈ ξ, akkor kxn k − kˆ ˆn k , xn k ≤ kxn − x és itt a jobboldal 0-hoz tart, mert a két sorozat ekvivalens. Így a norma jóldefiniált, de azt ellenőrizni kell, hogy ez valóban norma. Ez könnyen meggondolható, hasonlóan a korábbi tételhez, itt is elég arra hivatkozni, hogy egy normából indultunk ki és a limeszképzés megtartja a normatulajdonságokat. Csak azt kell - miképpen a metrikus terekre vonatkozó tételnél is - jobban meggondolni, hogy |||ξ||| = 0-ból következik, hogy ξ a tér nulleleme. Ha |||ξ||| = 0, akkor egy (xn ) ∈ ξ-re lim kxn k = 0, azaz xn → 0, vagyis (xn ) ekvivalens a konstans zérussorozattal, tehát n→∞

(xn ) ∈ ξ0 . Most megmutatjuk, hogy az osztályokon definiált norma által indukált metrika megegyezik a már korábban használt %-sal. Legyen %N (ξ, η) = |||ξ − η|||, ekkor %N (ξ, η) = |||ξ − η||| = lim kxn − yn k = lim %(xn , yn ) = %(ξ, η), n→∞

n→∞

így X teljes normált tér. Legyen Y = {ξx : x ∈ X} ⊂ X, mint korábban is. A korábbiak szerint X és Y izometrikusak, ahol a Φ : x 7→ ξx hozzárendelés izometria, emiatt injektív is. Annyit kell csak belátni, hogy a hozzárendelés művelettartó. Legyen x, y ∈ X és Φx = ξx , Φy = ξy . Legyen most Φ(x + y) = ξx+y . Mivel (x + y, x + y, . . .) ∈ ξx+y és (x + y, x + y, . . .) = (x, x, . . .) + (y, y, . . .), ezért f + (y) f = ξx + ξy = Φ(x) + Φ(y). ^ Φ(x + y) = ξx+y = (x + y) = (x) A skalárszoros-tartás hasonló módon igazolható, így a bizonyítás kész.

10

2. fejezet

Banach-terek Banach-térnek nevezzük a teljes normált tereket. Ilyenre példát már az előző fejezetben is láttunk: • Tekintsük a valós számok halmazát, mint saját maga feletti vektorteret a következő normával: kxk := |x|, azaz a szokásos abszolútérték. A valós számsorozatokra vonatkozó klasszikus Cauchy-tétel szeint minden Cauchy-sorozat konvergens, a tér tehát teljes. • Hasonlóan Banach-tér lesz (Rn , k·k2 ), ahol a 2-es a szokásos euklideszi normát jelenti, qindex Pn n 2 azaz egy x ∈ R -re kxk = k(x1 , x2 , . . . , xn )k = i=1 xi . • A fenti két példa valójában csak speciális esetei az alábbi fontos állításnak, melyet később be is bizonyítunk: minden véges dimenziós normált tér Banach-tér. • (C[a, b], k·kmax ), ahol egy f ∈ C[a, b]-re kf kmax = max |f (t)|. Az [a, b] intervallum helyett t∈[a,b]

egy K ⊂ Rn kompakt halmaz is állhat.

2.1.

Véges dimenziós normált terek

A Banach-terekre adott példák között már utaltunk arra, hogy minden véges dimenziós normált tér teljes. Ebben a részben ezt a tulajdonságot vizsgáljuk meg. 2.1. Definíció. Legyen (X, k·ki ) normált tér i = 1, 2-re. Azt mondjuk, hogy a két norma ekvivalens, ha ugyanazt a topológiát generálják. 2.2. Állítás. Egy X normált térben az k·ki (i = 1, 2) normák pontosan akkor ekvivalensek, ha léteznek c, C > 0 konstansok, hogy c kxk1 ≤ kxk2 ≤ C kxk1

(2.1)

teljesül minden x ∈ X-re. Normált térben tehát ha két norma ekvivalens, akkor nem csak a nyílt halmazok ugyanazok, hanem ugyanazok a konvergens sorozatok is. Metrikus terek körében is értelmezhető a metrikák ekvivalenciája, a normált terekével megegyező módon. Ott viszont nem ekvivalens a (2.1)-nek megfelelő egyenlőtlenség és az, hogy a metrikák ugyanazt a topológiát generálják. Ha fennáll az az egyenlőtlenség, akkor könnyen láthatóan a topológiák is egyenlők, ellenben megadható egy adott metrikus téren két különböző metrika, amelyek ugyanazt a topológiát generálják, viszont az egyik metrika szerint a tér például korlátos (vagy mondjuk teljes), míg a másik szerint nem. Az alábbi tétel szerint véges dimenziós vektortéren bármely két norma ugyanazt a topológiát generálja. 11

2.3. Tétel. Véges dimenziós normált téren bármely két norma ekvivalens. Bizonyítás. Legyen e1 , e2 , . . . , ek bázisa X-nek. Ekkor tetszőleges x ∈ X felírható x = alakban és az kxk∞ := max |xi |

Pk

i=1 xi ei

1≤i≤k

kifejezés normát definiál. Legyen k·k egy tetszőleges norma X-en, belátjuk, hogy ez ekvivalens k·k∞ -nel, azaz fennáll (2.1) valamilyen c, C > 0 konstansokkal. Legyen x ∈ X tetszőleges, ekkor

! k k k

X

X X

kxk = xi ei ≤ |xi | kei k ≤ max |xi | kei k = C kxk∞

1≤i≤k i=1

i=1

i=1

miatt az egyik becslés triviális. A másik irányhoz elég azt belátni, hogy ha kxk = 1, akkor kxk∞ ≤ c valamilyen c > 0-ra. Ez valóban elég, mert ekkor tetszőleges 0 6= x ∈ X-re

x

kxk ≤ c =⇒ kxk∞ ≤ c kxk ∞ teljesül. Tegyük fel indirekt, hogy nincs ilyen c > 0. Vagyis létezik (xn ) ⊂ X, hogy kxn k = 1, de kxn k∞ > n. Legyen xn yn := , kxn k∞ ekkor kyn k = Minden n-re yn felírható yn =

1 kxn k∞

Pk

n i=1 αi ei

kyn k∞ = 1.

és

alakban. Ekkor

1 = kyn k∞ = max |αin | ≥ |αin | 1≤i≤k

miatt minden i = 1, . . . , k-ra (αin ) korlátos számsorozat. A Bolzano–Weierstrass-tétel szerint kiválasztható olyan részsorozat, hogy αinl → αi minden i = 1, . . . , k-ra, ha l → ∞. Legyen y ∈ X P az a vektor, aminek éppen az αi -k a koordinátái, azaz y := ki=1 αi ei . Ekkor

k

X

kynl − yk∞ = (αinl − αi ) ei = max |αinl − αi | → 0,

1≤i≤k i=1

∞

sőt emiatt és a már bizonyított becslés szerint kynl − yk ≤ C kynl − yk∞ → 0. Másrészt az indirekt feltevés szerint kynl k =

1 l→∞ 1 < −−−→ 0, kxnl k∞ nl

amiből az következik, hogy y = 0. Viszont kyn k∞ = 1 minden n-re, emiatt kyk∞ = 1 és ez ellentmondás. 2.4. Tétel. Minden véges dimenziós normált tér Banach-tér.

12

Bizonyítás. Legyen e1 , e2 , . . . , ek bázis X-ben és (xn ) ⊂ X egy Cauchy-sorozat. Az előző tételt felhasználva minden ε > 0-hoz létezik N , hogy minden n, m ≥ N -re max |αim − αin | = kxm − xn k∞ ≤ c kxm − xn k < c · ε.

1≤i≤k

Emiatt (αin ) minden i = 1, . . . , k-ra Cauchy-sorozat. K teljessége miatt αin → αi . Ha most P x = ki=1 αi ei , akkor n→∞

kxn − xk ≤ C kxn − xk∞ = max |αin − αi | −−−→ 0. 1≤i≤k

2.5. Következmény. Az (X, k·k) normált tér minden véges dimenziós altere zárt. Most azt a kérdést vizsgáljuk, hogy a tér egy eleméhez van-e „legközelebbi” eleme egy adott alterének. Normált tér esetén véges dimenziós altérben van ilyen távolságminimalizáló elem, ám nem feltétlenül egyértelmű. 2.6. Állítás. Legyen (X, k·k) normált tér, X0 ⊂ X egy véges dimenziós altér, x0 ∈ X tetszőleges vektor. Ekkor létezik y ∗ ∈ X0 , amelyre d := dist(x0 , X0 ) = kx0 − y ∗ k. Bizonyítás. Válasszunk olyan (yn ) ⊂ X0 sorozatot, melyre an := kx0 − yn k → d. Az (an ) számsorozat konvergens, így korlátos is, azaz létezik r > 0, hogy an ∈ B(d, r). Ebből következően az (yn ) ⊂ X0 vektorsorozat is korlátos. Mivel X0 véges dimenziós, kiválasztható egy konvergens részsorozat, ynk → y ∗ . Véges dimenziós altér zárt is, így y ∗ ∈ X0 . A norma folytonossága miatt kx0 − ynk k → kx0 − y ∗ k, a határérték egyértelműségéből pedig d = kx0 − y ∗ k következik. A fenti egyszerű tétel segítségével bizonyítható az alábbi lemma, amelynek nagyon fontos később felhasznált - következménye, hogy végtelen dimenzióban a zárt egységgömb nem kompakt halmaz. 2.7. Lemma (Riesz-lemma, első változat). Legyen (X, k·k) végtelen dimenziós normált tér. Ekkor létezik X-ben olyan (xn ) ⊂ X vektorsorozat, amelyre (i) kxn k = 1 minden n ∈ N-re; (ii) kxn − xm k ≥ 1 minden n, m ∈ N-re (n 6= m). Bizonyítás. A keresett sorozatot rekurzióval állítjuk elő. Válasszunk egy 0 6= x ∈ X vektort, x és legyen x1 = kxk . Tegyük fel, hogy már előállítottuk az x1 , x2 , . . . , xn−1 vektorokat a kívánt tulajdonságokkal. Legyen Xn−1 = span{x1 , . . . , xn−1 }. Nyílván Xn−1 ⊂ X egy véges dimenziós altér. Legyen x ∈ X olyan, hogy x ∈ / Xn−1 és legyen d = dist(x, Xn−1 ), ami az altér zártsága x − y∗ miatt pozitív. A 2.6. állítás szerint létezik y ∗ ∈ Xn−1 , hogy d = kx − y ∗ k. Legyen xn = . d Nyílván kxn k = 1. Megmutatjuk, hogy dist(xn , Xn−1 ) = 1.

1

1 ∗

dist(xn , Xn−1 ) = inf kxn − yk = inf (x − y ) − y inf k(x − (y ∗ + dy)k .

= d y∈X y∈Xn−1 y∈Xn−1 d n−1 Legyen z = y ∗ + dy. Ha y befutja az altér elemeit, akkor z is befutja egész Xn−1 -et, ezért dist(xn , Xn−1 ) =

1 1 d inf kx − zk = dist(x, Xn−1 ) = = 1. d z∈Xn−1 d d

Mivel tehát xn -nek az altértől vett távolsága 1, így kxn − xj k ≥ 1 minden 1 ≤ j < n-re. Ennek a lemmának egy másik, gyakrabban használt verziója a következő: 13

2.8. Lemma (Riesz-lemma, második változat). Legyen (X, k·k) egy normált tér, Y ( X egy zárt, valódi altér, ε > 0 adott. Ekkor létezik e ∈ X, hogy (i) kek = 1; (ii) ky − ek ≥ 1 − ε minden y ∈ Y -ra. Bizonyítás. Legyen x1 ∈ X \ Y egy altéren kívüli elem (ilyen van), ekkor d = dist(x1 , Y ) > 0 az altér zártsága miatt. A távolság definíciója miatt létezik x0 ∈ Y , melyre kx1 − x0 k < d/(1 − ε). −x0 Legyen e = kxx11 −x . Ennek a normája nyílván 1, a (ii) tulajdonság belátásához legyen y ∈ Y 0k tetszőleges, ekkor

x0 1 x1

= + k(kx1 − x0 k) y + x0 − x1 k . ky − ek = y −

kx1 − x0 k kx1 − x0 k kx1 − x0 k Itt z = (kx1 − x0 k) y + x0 ∈ Y , tehát ky − ek ≥

d d ≥ d = 1 − ε. kx1 − x0 k 1−ε

2.9. Megjegyzés. Itt nem tudtuk használni az előző, 2.7. lemma eredményét, mert a bizonyítás a 2.6. állításon múlt, ami véges dimenziós altér esetén biztosította a minimális távolságra levő elem létezését az altérben. 2.10. Megjegyzés. Reflexív Banach-tér (lásd később a 4.11. definíciót) esetén a 2.8. lemma ε = 1-el is teljesül, azaz van olyan egységvektor, hogy dist(e, Y ) = 1. Ez a tulajdonság valójában ekvivalens a reflexivitással, lásd [4]. A funkcionálanalízis alapfogalmai kezdetben az euklideszi terek tulajdonságainak általánosításaiból fejlődtek ki, emiatt egy-egy új fogalom „prototípusaként” gyakran tekinthetjük Rn -et. Gyakran egy tulajdonság magától értetődően teljesül véges dimenzióban, így a végtelen dimeziós terek tanulmányozása nélkülözhetetlen ahhoz, hogy nemtriviális példákat mutassunk. A funkcionálanalízisben az alkalmazások szempontjából - és történeti okok miatt is - rendkívül fontosak a függvényterek. Most két fontos függvényosztályról lesz szó, amelyek mindegyike Banach-tér.

2.2.

Az Lp (Ω) terek

Legyen Ω ⊂ Rn adott Lebesgue-mérhető halmaz. Tekintsük azon f : Ω → R Lebesguemérhető függvényeket, melyekre kf kp < ∞, ahol  Z 1/p   p  |f | ha 1 ≤ p < +∞,   Ω kf kp =      inf{sup |f | : N ⊂ Ω nullmértékű} ha p = +∞. Ω\N

Az Lp (Ω) tér definíció szerint álljon azon mérhető függvényekből, amelyek p-normája véges. Más lehetséges definíciója is létezik egy függvény végtelen-normájának: kf k∞ = inf{r : r ≥ 0, λ ({|f | > r}) = 0}. 2.11. Megjegyzés. Tetszőleges függvény esetén |f | ≤ kf k∞ m. m. , mert az {|f | > kf k∞ + n1 } halmaz nullmértékű, így ezek uniója is az. 14

Tehát egy f függvény végtelen normája azon számok közül a legkisebb, amelyek „lényegében” (esetlegesen egy nullmértékű halmaztól eltekintve) felső korlátjai f -nek. Ezért néha a végtelen normát a függvény lényeges suprémumának is nevezik és ess sup |f |-fel jelölik. Ω

Most belátjuk, hogy Lp (Ω) normált tér. Pontosabban nem egészen az, hiszen egy függvény normája nem csak az azonosan 0 függvényre lesz nulla. Ám ezen segíthetünk azzal, hogy amennyiben két függvény csak egy nullmértékű halmazon tér el egymástól, akkor azonosnak tekintjük őket, azaz a tér elemei nem függvények, hanem ekvivalencia-osztályok, ahol f ∼ g, ha f = g m. m. Ezekután az első két normaaxióma triviálisan teljesül, a háromszög-egyenlőtlenség pedig a következő tételből adódik. 2.12. Tétel (Minkowski-egyenlőtlenség). Legyen 1 ≤ p ≤ ∞ adott, f, g : Ω → R mérhető függvények. Ekkor kf + gkp ≤ kf kp + kgkp . Bizonyítás. Ha p = ∞, akkor |f | ≤ kf k∞ és |g| ≤ kgk∞ m. m. , ezért |f + g| ≤ |f | + |g| ≤ kf k∞ + kgk∞ m. m. , ami egy lényegében felső korlát, azaz kf + gk∞ ≤ kf k∞ + kgk∞ . Legyen most p véges. Ha a jobb oldal ∞, akkor nincs mit bizonyítani, ha 0, vagy valamelyik tag 0, akkor triviális. Tegyük fel tehát, hogy kf kp 6= 0 és kgkp 6= 0. A t 7→ tp függvény konvex, így a Jensen-egyenlőtlenség szerint !p kf k kgk 1 |f | |g| p p p (|f | + |g|)p = + ≤ kf k + kgk kf k kf k + kgkp kgkp p p p p kf k + kgk p

p

≤

kf kp

|f | kf kp

kf kp + kgkp

!p +

kgkp kf kp + kgkp

|g| kgkp

!p .

Mindkét oldalt integrálva kapjuk, hogy Z

1

kf kp + kgkp

p

(|f | + |g|)p ≤ 1,

Ω

azaz kf + gkp ≤ k|f | + |g|kp ≤ kf kp + kgkp 2.13. Tétel (Hölder-egyenlőtlenség). Ha 1 ≤ p ≤ ∞ és 1 ≤ q ≤ ∞ olyanok, hogy és f, g mérhető függvények, akkor

1 p

+

1 q

=1

kf gk1 ≤ kf kp · kgkq . Bizonyítás. Ha a jobb oldal 0 vagy végtelen, akkor az állítás triviális. Ha p = 1 és q = ∞ (vagy fordítva), akkor |f g| = |f | · |g| ≤ |f | · kgk∞ m. m. , emiatt kf gk1 ≤ kf k1 · kgk∞ . Legyenek !p !q |f | |g| F = , G= . kf kp kgkq Mivel a t 7→ log t függvény konkáv, ezért 1 1 1 1 log F + G ≥ log F + log G, p q p q 15

azaz

1 1 F + G ≥ F 1/p · G1/q . p q

Mindkét oldalt integrálva Z Ω

|f | |g| 1 · = kf kp kgkq kf kp · kgkq 1 = p

Z Ω

Z

1 |f | · |g| ≤ p

|f |p 1 p + kf kp q

Z Ω

Z Ω

|f | kf kp

!p

1 + q

Z Ω

|g| kgkq

!q =

|g|q 1 1 + = 1, q = kgkq p q

ahonnan átszorzással adódik a kívánt egyenlőtlenség. 2.14. Tétel (Riesz–Fischer). Lp (Ω) a bevezetett normával teljes, azaz Banach-tér.

Bizonyítás. Csak 1 ≤ p < ∞ esetére bizonyítjuk itt. Legyen (fn ) egy Lp (Ω)-beli Cauchysorozat. Ekkor létezik k0 ∈ N, hogy minden m > k0 -ra kfm − fk0 kp < 1/2. Létezik egy olyan k1 > k0 , hogy minden m > k1 esetén kfm − fk1 kp < 1/4. Hasonlóan folytatva az eljárást, van olyan kn > kn−1 index, hogy minden m > kn -re kfm − fkn kp < 1/2n+1 . Legyen gn = |fk0 | +

n X fk − fk . i−1 i i=1

Mivel gn monoton növő függvénysorozat, létezik g = lim gn . Mivel n→∞

n n X X

1

kgn kp ≤ kfk0 kp + fki − fki−1 p ≤ kfk0 kp + ≤ kfk0 kp + 1 = K, 2i i=1

i=1

ezért a gn sorozat monotonitása miatt a Beppo Levi tételből kapjuk, hogy Z Z Z p p g = lim gn = lim gnp ≤ K p , Ω n→∞

Ω

n→∞ Ω

tehát g ∈ Lp (Ω), azaz m. m. véges. Ebből következik, hogy az fk0 +

∞ X

fkn − fkn−1

n=1

függvénysor m. m. pontban abszolút konvergens, emiatt konvergens is. Jelöljük a sor összegét f -fel. A sor n-edik részletösszege éppen fkn , tehát fkn → f m. m. pontban. Itt |fkn | ≤ |gn |, emiatt Z Z Z p p |fkn | ≤ |gn | = gnp ≤ K p , Ω

Ω

Ω

p

azaz (fkn − f ) → 0 m. m. és |fkn − f | → 0 m. m. ∞ ∞ X X fk − fk + |fk | = g, fki − fki−1 ≤ |fkn − f | = 0 i i−1 i=1

i=n+1

így |fkn − f |p ≤ g p ∈ L1 (Ω), azaz |fkRn − f |p → 0 m. m. és van L1 (Ω)-beli majoránsa. Lebesgue dominált konvergencia-tétele szerint Ω |fkn − f |p → 0, azaz kfkn − f kpp → 0, amiből következik, hogy f ∈ Lp (Ω) és kfkn − f kp → 0. Ezzel beláttuk, hogy egy tetszőleges Lp (Ω)-beli Cauchysorozatnak van olyan részsorozata, amely konvergens. De ekkor az egész sorozat konvergens kell, hogy legyen. 16

2.15. Megjegyzés. A Riesz–Fischer tétel bizonyítása során az is kijött, hogy ha fn → f Lp normában, akkor kiválasztható olyan részsorozat, hogy fnk → f m. m. Ismert, hogy C[a, b] az L1 -normával ellátva nem teljes tér, hasonlóan C[a, b], k·kp sem lesz az. Igazolható viszont, hogy C[a, b] sűrű altere Lp [a, b]-nek a p-normával, így C[a, b], k·kp teljessé tétele éppen Lp [a, b]. Ez az Lp (Ω) terek másik bevezetését is lehetővé teszi, nevezetesen éppen a folytonos függvények p-normával ellátott terének teljessé tételét is nevezhetnénk definíció szerint Lp (Ω) térnek. Ekkor automatikusan Banach-tér lesz, viszont a tér elemei nem állnának rendelkezésre „kézzelfogható” formában. Viszont ekkor az 1.17. tétel szerint a folytonos függvények sűrű halmazt alkotnak Lp (Ω)-ban, azaz a tér elemei előállnak folytonos függvények p-normában vett limeszeiként. Újabb fontos példa Banach-terekre az `p -terek. Valójában az Lp -terek definíciójában nem kellett volna a Lebesgue-mértékre szorítkoznunk, éppen ezért általában egy (X, A, µ) mértéktérből kiindulva egy µ-mérhető (másnéven A-mérhető) függvénynek definiálják a p-normáját ugyanúgy, ahogyan mi itt korábban. Ekkor az `p terek értelmezése a következő. Legyen a kiindulási mértéktér (N, P(N), µ), ahol µ a számlálómérték. Ezzel tehát `p = {(xn ) valós vagy komplex értékű számsorozat, melyre

∞ X

|xn |p < ∞},

n=1

`∞ = {(xn ) korlátos számsorozatok}. A norma értelmezése hasonló a korábbi esethez, ezen a mértéktéren a korábbi definíciók így szólnak:  !1/p ∞   X p   |xn | ha 1 ≤ p < +∞,  n=1 k(xn )kp =      sup |xn | ha p = +∞. n

A Riesz–Fischer tétel érvényes az `p terekre is, ezek tehát Banach-terek. Vezessünk még be két újabb sorozatteret: legyen c a kovergens sorozatok tere, c0 pedig a nullsorozatok tere, a norma mindkét esetben legyen az k(xn )k = sup |xn |. Belátható, hogy ezek teljes terek. Végül legyen I = [a, b] és C n (I) = {f : f : I → R n-szer folytonosan differenciálható}, ahol egy f ∈ C n (I) függvény normája legyen kf kC n

n

X

(k) =

f k=0

max

=

n X k=0

(k) max f . I

2.16. Állítás. (C n (I), k·kC n ) Banach-tér.

2.3.

Egyváltozós Szoboljev-terek

A következőkben bevezetjük az egyváltozós Szoboljev-tér fogalmát, amelyek a parciális differenciálegyenletek elméletében rendkívül fontosak, ám ott általánosabban, több változóra szokás bevezetni. A most adott definíció speciális, kihasználja azt, hogy csak egyváltozós függvényeket vizsgálunk, emiatt nem is vihető át az általános esetre. Míg itt konkrétan megmondjuk, hogy milyen függvényekből áll a tér, az általános esetben egy normált tér teljessé tételével definiálják a Szoboljev-tereket. Ennek a résznek a célja inkább az, hogy röviden ismertesse ezen terek néhány tulajdonságát és előkészítse a parciális differenciálegyenletek előadást. 17

2.3.1.

Elsőrendű Szoboljev-terek

A továbbiakban legyen I = [a, b] korlátos, zárt intervallum. W 1,p (I) := f | f : I → R abszolút folytonos függvény, melyre f 0 ∈ Lp (I) . Két normát is bevezetünk ezen a téren:

kf k∗ := kf kmax + f 0 Lp ,

kf kW 1,p := kf kLp + f 0 Lp . Célunk belátni, hogy W 1,p (I) mindkét normával teljes, azaz Banach-tér. Ehhez elég belátni, hogy a két norma ekvivalens és a tér teljes valamelyik normával. 2.17. Lemma. Legyen (X, k·k1 ) Banach-tér és k·k2 egy másik norma X-en, ami ekvivalens az eredetivel. Ekkor (X, k·k2 ) is Banach-tér. Bizonyítás. Vegyünk egy (xn ) Cauchy-sorozatot a kettes norma szerint X-ben, be kell látni, hogy a sorozat konvergens. Tehát minden ε > 0 számhoz létezik N (ε), hogy minden n, m ≥ N (ε) esetén kxm − xn k1 ≤ c2 · kxm − xn k2 ≤ c2 ε, vagyis (xn ) az egyes normában is Cauchy. Mivel ezzel a normával a tér teljes, létezik egy x ∈ X, hogy kxn − xk1 → 0. Ez az elem a kettes norma szerint is limesze lesz a sorozatunknak, ugyanis kxn − xk2 ≤ c11 kxn − xk1 → 0, ha n → ∞. Lássuk most be, hogy a fent megadott Szoboljev-tér két normája ekvivalens. 2.18. Tétel. A W 1,p (I) téren k·kW 1,p ∼ k·k∗ . Bizonyítás. Könnyen belátható, hogy (p ≤ ∞ miatt) kf kp ≤ c · kf k∞ valamilyen c > 0-ra. Speciálisan ez f ∈ W 1,p (I)-re is igaz, sőt f (abszolút) folytonossága miatt kf k∞ = kf kmax . Emiatt kf kW 1,p ≤ max{1, c} · kf k∗ . A másik irányú becsléshez vegyük észre, hogy ha f ∈ W 1,p (I), akkor teljesül rá a Newton–Leibniz tétel, azaz Z x f (y) = f (x) + f 0. y x

Z

f 0 ≤ |f (x)| +

|f (y)| ≤ |f (x)| + y

Z

b

f 0 = |f (x)| + f 0

L1

a

≤ |f (x)| + c · f 0 Lp

teljesül valamilyen (az előzővel nem feltétlenül megegyező) c > 0 konstanssal. Az egyenlőtlenség két végét integrálva x-szerint kapjuk, hogy Z b

(b − a) |f (y)| ≤ |f | + c(b − a) f 0 Lp ≤ c · kf kLp + c(b − a) f 0 Lp , a

majd leosztva az intervallum hosszával |f (y)| ≤

c kf kLp + c f 0 Lp b−a

∀y ∈ I-re.

Ismét kihasználva f folytonosságát kf k∞ = kf kmax = max |f (y)| ≤ y∈I

kf k∗ ≤

c kf kLp + c f 0 Lp . b−a

c c kf kLp + (c + 1) f 0 Lp ≤ max{ b−a , c + 1} · kf kLp + f 0 Lp = c0 · kf kW 1,p . b−a 18

2.19. Tétel. W 1,p (I) teljes a k·k∗ normával. Bizonyítás. Legyen (fn ) Cauchy-sorozat a k·k∗ norma szerint, ekkor egyrészt (fn ) Cauchy k·kmax -normában és (fn0 ) Cauchy k·kLp norma szerint. Mivel C(I) teljes a k·kmax -normával, ezért létezik f ∈ C(I), hogy fn → f egyenletesen. Mivel fn0 ∈ Lp (I), ezért létezik g ∈ Lp (I), hogy fn0 → g Lp -normában. Célunk azt belátni, hogy g = f 0 . Mivel kfn0 − gkLp → 0, ezért kfn0 − gkL1 → 0. Emiatt Z

b

fn0 − g → 0 =⇒

b

Z

→

a

a

b

Z

fn0

g. a

Ugyanez igaz [a, b] minden részintervallumára is. Mivel fn ∈ W 1,p , ezért Z x fn0 , fn (x) = fn (a) + a

amiből n → ∞ esetén adódik, hogy Z

x

g,

f (x) = f (a) + a

vagyis f a g integrálfüggvénye. Ebből következően f ∈ W 1,p (I) és f 0 = g. Így kfn − f kmax → 0 és kfn0 − f 0 kLp → 0, amiből következik, hogy kfn − f k∗ → 0. 2.20. Következmény. W 1,p (I) teljes a k·kW 1,p norma szerint is.

2.3.2.

Magasabbrendű Szoboljev-terek

Vázlatosan ejtenénk csak szót a magasabbrendű Szoboljev-terekről: n o W N,p (I) := f | f ∈ C N −1 (I), f (N −1) abszolút folytonos függvény, melyre f (N ) ∈ Lp (I) . Hasonlóan az elsőrendű esethez, itt is bevezethetjük a kf kW N,p =

N

X

(k) f

k=0

kf k∗ =

N −1 X

(k)

f

max

k=0

Lp

,

+ f (N )

Lp

normákat. 2.21. Tétel. W N,p (I), k·kW N,p teljes, azaz Banach-tér. Bizonyítás. A bizonyítás hasonló az N = 1 esethez, itt is fennáll a két norma ekvivalenciája és a tér teljessége a k·k∗ normával analóg módon igazolható. 2.22. Megjegyzés. A Szoboljev-terek általánosítják C N (I)-t. Korábbi analízisbeli ismereteink szerint (C(I), k·kL1 ) nem teljes, de valójában (C(I), k·kLp ) sem az. Láttuk, hogy ez utóbbi tér teljessé tétele Lp (I). Teljesen hasonlóan (C N (I), k·kW N,p ) nem lesz teljes és W N,p (I) a teljessé tétele. 2.23. Megjegyzés. W N,2 (I) nemcsak Banach-tér, hanem Hilbert-tér is. Ezekre egy rövidebb jelölést is bevezetünk, amit majd később használni is fogunk: H N (I) := W N,2 (I). 19

2.4.

L(X, Y ), mint normált tér

2.24. Definíció. Ha A ∈ L(X, Y ), akkor legyen kAk := sup{kAxk : kxk ≤ 1} az A úgynevezett operátornormája, vagy egyszerűen csak normája. Ez egy véges szám, hiszen A korlátos, így valamilyen K pozitív számra kAxk ≤ K az egységgömbben. Az is leolvasható, hogy ha K egy a korlátosság definíciójában szereplő konstans, akkor kAk ≤ K. Könnyen megmutatható, hogy az operátornormát másképpen is ki lehet számítani, nevezetesen 2.25. Állítás. Ha A ∈ L(X, Y ), akkor kAxk : x ∈ X, x 6= 0 , kAk = sup kxk = sup{kAxk : x ∈ X, kxk = 1}, = min{K ≥ 0 : kAxk ≤ K kxk ∀x ∈ X}. 2.26. Állítás. Ha (X, k·k) és (Y, k·k) normált terek, akkor (L(X, Y ), k·k) is normált tér, ahol a norma a fent definiált operátornorma. Mivel már sok dolgot tudunk folytonos lineáris leképezésekről, itt az ideje annak, hogy példát mutassunk nemfolytonos lineáris leképezésre is. Legyen X = C 1 [−π, π], k·kmax , Y = (R, |·|). Legyen A ∈ Hom(X, Y ) a következő lineáris leképezés: (Af ) := f 0 (0). Ez a leképezés nyílván lineáris. De nem lesz folytonos, ugyanis tekintsük az fn (t) = sin nt X-beli sorozatot. Ekkor kfn k = 1 minden n-re és Afn = n cos 0 = n. Ha A korlátos lenne, akkor létezne olyan K, melyre n = kAfn k ≤ K kfn k = K minden n ∈ N-re, de ez nyílván nem lehetséges. 2.27. Állítás. Legyen (X, k·kX ) normált tér, (Y, k·kY ) Banach-tér. Ekkor L(X, Y ) is Banachtér. Bizonyítás. Legyen (An ) Cauchy-sorozat L(X, Y )-ban. Rögzített x ∈ X-re kAn x − Am xkY ≤ kAn − Am k · kxkX ≤ ε · kxkX , azaz minden x ∈ X-re (An x) Cauchy-sorozat Y -ban. Mivel Y teljes, ezért létezik x ˜ ∈ Y , hogy kAn x − x ˜kY → 0, ha n → ∞. Legyen A az az X-ből Y -ba képező operátor, amelyre Ax = x ˜. Nyílván A ∈ Hom(X, Y ), ugyanis ha x1 , x2 ∈ X, akkor kAn (x1 + x2 ) − (˜ x1 + x ˜2 )kY ≤ kAn x1 − x ˜1 kY + kAn x2 − x ˜2 kY → 0, vagyis A(x1 +x2 ) = Ax1 +Ax2 , a skalárszorostartás hasonlóan egyszerű. De több is igaz, nevezetesen A ∈ L(X, Y ). Mivel (An ) Cauchy-sorozat és |kAn k − kAm k| ≤ kAn − Am k, így (kAn k) is Cauchy-sorozat R-ben, így konvergens is, de elég annyi, hogy korlátos. Így kAn xkY ≤ K · kxkX teljesül minden x ∈ X, n ∈ N-re és mivel An x → x ˜ = Ax, ezért kAxkY ≤ K · kxkX , azaz valóban A ∈ L(X, Y ). Most belátjuk, hogy az (An ) sorozat ehhez az A operátorhoz konvergál. Mivel Cauchy-sorozatról van szó, ezért minden ε > 0-hoz létezik N ∈ N, hogy minden n, m ≥ N -re kAn x − Am xkY ≤ ε · kxkX

∀x ∈ X-re.

Tartsunk most m-mel a végtelenbe, ekkor k(An − A)xkY ≤ ε · kxkX , amiből következik, hogy kAn − Ak ≤ ε, tehát An → A. 2.28. Következmény. Ha K az alaptest, akkor L(X, K) mindig teljes tér. 2.29. Definíció. Az A ∈ Hom(X, K) leképezéseket lineáris funkcionáloknak nevezzük.

20

3. fejezet

Hilbert-terek A következőkben olyan terekkel foglalkozunk, melyeken értelmezett egy skalárszorzás is az elemek között. Ez alatt a következőket értjük: 3.1. Definíció. Legyen H vektortér C felett. Egy h·, ·i : H × H → C leképezést skalárszorzatnak nevezünk, ha 1. Minden y ∈ H-ra az x 7→ hx, yi leképezés lineáris funkcionál, 2. Minden x, y ∈ H-ra hy, xi = hx, yi, 3. Minden x ∈ H hx, xi ≥ 0 és hx, xi = 0 ⇐⇒ x = 0. 3.2. Megjegyzés. Vegyük észre, hogy a 3. követelmény értelmes, mert a 2. pont miatt hx, xi valós értékű. Az 1. és 2. tulajdonságokból adódik, hogy minden x ∈ H esetén az y 7→ hx, yi hozzárendeléssel értelmezett funkcionál konjugáltan lineáris, azaz hx, c1 y1 + c2 y2 i = c1 hx, y1 i + c2 hx, y2 i . Azaz a skalárszorzás egy pozitív definit, konjugáltan bilineáris (sesquilinear) leképezés. Néhány egyszerű következménye a definíciónak: bármely elemnek a 0-val vett skalárszorzata 0, azaz h0, yi = 0 minden y ∈ H-ra. Ennek a megfordítása is érvényes, azaz ha egy x elemnek minden y vektorral vett skalárszorzata 0, akkor x = 0. Ez nyílván így van, hiszen ekkor y = x-re felírva hx, xi = 0 adódik, amiből következik, hogy x = 0. 3.3. Definíció. Ha H egy C feletti vektortér, h·, ·i egy skalárszorzat, akkor (H, h·, ·i)-t euklideszivagy prehilbert térnek nevezzük. Amennyiben csak a valós test felett vagyunk, úgy valós prehilbert térről beszélünk és ekkor a skalárszorzás definíciójában értelemszerűen a konjugálás elhagyható. Valós esetben a skalárszorzat tehát egy pozitív definit bilineáris funkcionál H × H-n. p Minden euklideszi térben természetes módon bevezethető egy norma az kxk := hx, xi definícióval. Könnyen látható, hogy ez valóban norma, az egyetlen nemtriviális normatulajdonság a háromszög-egyenlőtlenség, amelynek bizonyításához a következő segédeszközre van szükségünk. 3.4. Állítás (Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz). Minden x, y ∈ H-ra |hx, yi| ≤ kxk · kyk . Bizonyítás. Legyen λ ∈ C tetszőleges. Ekkor 0 ≤ kx − λyk2 = hx − λy, x − λyi = kxk2 − λ hx, yi − λ hy, xi + |λ|2 kyk2 . 21

Ha y = 0, akkor triviálisan igaz az egyenlőtlenség, ezért feltehető, hogy y 6= 0. Válasszuk most λ-t hx, yi / kyk2 -nek. Folytatva az egyenlőtlenséget 0 ≤ kxk2 −

|hx, yi|2 |hx, yi|2 |hx, yi|2 |hx, yi|2 2 − + = kxk − . kyk2 kyk2 kyk2 kyk2

Ezt átrendezve a kívánt egyenlőtlenséghez jutunk, amit a továbbiakban CBS-nek rövidítünk. Így már könnyen ellenőrizhető a háromszög-egyenlőtlenség a bevezetett normára, ugyanis kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2 + hx, yi + hy, xi + kyk2 = kxk2 + kyk2 + 2< hx, yi ≤ kxk2 + kyk2 + 2 |hx, yi| ≤ kxk2 + kyk2 + 2 kxk kyk = (kxk + kyk)2 . 3.5. Definíció. A (H, h·, ·i) euklideszi teret Hilbert-térnek nevezzük, ha H az indukált normával teljes. A későbbiekben fontosak lesznek a Hilbert-terek folytonos lineáris funkcionáljai, ezekre egy fontos példa a következő: legyen y ∈ H rögzített vektor és legyen φy : H → C az a leképezés, melyre φy x = hx, yi. Ekkor φy nyílván lineáris és folytonos is, ugyanis |φy x| = |hx, yi| ≤ kxk kyk , azaz φy korlátos, sőt a normája legfeljebb kyk. Most néhány példát mutatunk Hilbert-térre: • Rn mint a valós test feletti vektortér (valós) Hilbert-tér a szokásos hx, yiRn =

n X

xi yi

i=1

skalárszorzással. Az indukált norma éppen az euklideszi-távolság lesz, ezzel pedig a tér teljes. • Cn a hz, wiCn =

n X

zi w i

i=1

skalárszorzással szintén (komplex) Hilbert-tér. R • L2 (Ω) = {f : Ω → C, Ω |f |2 < ∞} az Z hf, giL2 = f g dλ Ω

skalárszorzással Hilbert-tér. P∞ 2 • `2 = {(xn ) : (xn ) ∈ CN , n=1 |xn | < ∞} Hilbert-tér az h(xn ), (yn )i`2 =

∞ X

xn y n

n=1

skalárszorzással. • A 2-es indexű Szoboljev-terek: W 1,2 (I) = {f : I → C abszolút folytonos, f 0 ∈ L2 (I)} és Z hf, giH 1 =

a

22

b

(f g + f 0 g 0 ) dλ.

Mint azt már korábban jeleztük, W 1,2 (I) helyett gyakran a H 1 (I) jelölés használatos. Vegyük észre, hogy ez a skalárszorzat nem adja vissza a 2.3.1. részben bevezetett normát, hiszen ott a normát az

kf kW 2,p = kf kL2 + f 0 L2 kifejezés definiálta, míg most a skalárszorzat által indukált normára q kf kH 1 = kf k2L2 + kf 0 k2L2 adódik, de a két norma ekvivalens. • Hasonlóan W N,2 (I) teljes lesz az hf, giH N =

Z bX N

f (k) g (k)

a k=0

skalárszorzással.

3.1.

Ortogonalitási tulajdonságok Hilbert-terekben

3.6. Definíció. Legyenek x, y ∈ H. Ezek merőlegesek vagy ortogonálisak egymásra (x ⊥ y), ha hx, yi = 0. Ha K ⊂ H egy részhalmaz, akkor x ⊥ K ⇐⇒ hx, ki = 0 minden k ∈ K-ra. Hasonlóan ha K, M ⊂ H, akkor K ⊥ M , ha hk, mi = 0 minden k ∈ K, m ∈ M -re. 3.7. Definíció. Legyen K ⊂ H egy tetszőleges részhalmaz. A K ⊥ := {y ∈ H : y ⊥ K} halmazt K ortogonális kiegészítőjének (vagy ortokomplementumának) nevezzük. Itt ugyan K bármilyen részhalmaza lehet H-nak, az ortokomplementuma viszont nem lehet akármilyen. 3.8. Állítás. Minden K ⊂ H-ra K ⊥ zárt altér H-ban. Bizonyítás. K ⊥ nyílván altér, mert zárt a lineáris kombináció képzésre. Ezenkívül zárt is, ugyanis ha yn ∈ K ⊥ , yn → y, akkor a skalárszorzás folytonossága miatt 0 = hyn , ki → hy, ki minden k ∈ K-ra, így y ∈ K ⊥ szintén teljesül, tehát zárt. A merőlegesség fogalmának általánosítása után most következzen néhány jólismert állítás prehilbert-térbeli változata, bizonyításuk egyszerű számolás. 3.9. Állítás. Legyen H prehilbert-tér. Ekkor (Pitagorasz-tétel) Ha x, y ∈ H-ra x ⊥ y, akkor kx + yk2 = kxk2 + kyk2 . (Parallelogramma-szabály) Minden x, y ∈ H-ra kx + yk2 + kx − yk2 = 2 · kxk2 + kxk2 . (Polarizációs-egyenlőség) Minden x, y ∈ H-ra 1 hx, yi = kx + yk2 − kx − yk2 + i kx + iyk2 − i kx − iyk2 . 4

(3.1)

(3.2)

A polarizációs-egyenlőség azért hasznos, mert a skaláris szorzat kifejezhető egyszerű lineáris kombinációk normáinak segítségével. A metrikus terekhez hasonlóan itt is felmerül a kérdés, hogy ha adott egy normált tér, akkor vajon a norma származtatható-e valamilyen skalárszorzatból, vagyis bevezethető-e olyan skalárszorzat, hogy az általa indukált norma a tér eredeti normájával megegyezik. A válasz általában itt is tagadó. 23

3.10. Állítás. Egy normált tér normája pontosan akkor származik skaláris szorzatból, ha teljesül a parallelogramma-szabály az adott normára. Most visszatérnék az approximáció kérdéséhez. A 2.6. állítás véges dimenziós altérre volt érvényes, Hilbert-tér esetén azonban elég az altér zártságát feltenni és ekkor már egyértelműség is teljesülni fog. 3.11. Állítás. Legyen H Hilbert-tér, M ⊂ H nemüres zárt altér. Ekkor minden z ∈ H \ M -re z-nek az M altértől vett távolsága realizálódik, azaz létezik egyértelműen egy m ∈ M , amelyre kz − mk = dist(z, M ). Bizonyítás. Legyen d = dist(z, M ). A távolság definíciója miatt létezik (mk ) ⊂ M , melyre kz − mk k → d. Írjuk fel a parallelogramma-szabályt a z − mk és z − ml vektorokra: 2 kz − mk k2 + kz − ml k2 = k2z − (mk + ml )k2 + kmk − ml k2 =

2

mk + ml

+ kmk − ml k2 .

= 4 z −

2 Ha most k, l → ∞, akkor a bal oldal 4d2 -hez tart. Vegyük észre, hogy mivel M altér, ezért (mk + ml )/2 is M -beli, ezért átrendezve az egyenlőséget, azt kapjuk, hogy kmk − ml k ≤ 0, ha k, l → ∞. Vagyis (mk ) Cauchy-sorozat. Legyen m a limesze, ami a zártság miatt szintén M -beli. Mivel kz − mk k → d és kz − mk k → kz − mk, ezért d = kz − mk. Ez az m egyértelmű, ugyanis tegyük fel, hogy m, m0 ∈ M is minimális távolságra van z-től. Ekkor léteznek mk → m és m0k → m0 M -beli sorozatok. De akkor mk és m0k összefésülése is egy távolság-minimalizáló sorozat, aminek az előzőek szerint van limesze és a határértéke egy olyan M -beli pont, ami minimális távolságra van z-től. De így az összefésült sorozat minden részsorozata ehhez a limeszhez kell, hogy tartson, emiatt m = m0 . 3.12. Tétel (Riesz-féle ortogonális felbontás). Legyen H Hilbert-tér, M ⊂ H zárt altér. Ekkor H = M ⊕ M ⊥ . Bizonyítás. Legyen x ∈ H tetszőleges és x1 ∈ M az a vektor, amelyre kx − x1 k = d = dist(x, M ). Ilyen az előző tétel szerint létezik. Legyen x2 = x − x1 , be kell látni, hogy x2 ∈ M ⊥ . Legyen λ ∈ C és y ∈ M , ekkor x1 + λy ∈ M . Ezért d2 ≤ kx − (x1 + λy)k2 = kx2 − λyk2 = kx2 k2 − λ hx2 , yi − λ hy, x2 i + |λ|2 kyk2 . Mivel kx2 k = d, így

0 ≤ |λ|2 kyk2 − λ hx2 , yi − λ hy, x2 i

teljesül minden y ∈ M , λ ∈ C-re. Ha y 6= 0, akkor λ = hx2 , yi / kyk2 választással 0≤−

|hx2 , yi|2 =⇒ hx2 , yi = 0 ∀ 0 6= y ∈ M -re, kyk2

ami y = 0-ra is igaz, így x2 ∈ M ⊥ . Minden x egyértelműen írható ilyen alakban, ugyanis ha x = x1 + x2 = y1 + y2 , ahol x1 , y1 ∈ M és x2 , y2 ∈ M ⊥ , akkor M 3 (x1 − y1 ) = (y2 − x2 ) ∈ M ⊥ , azaz x1 = y1 és x2 = y2 . 3.13. Megjegyzés. Néhány kiegészítés a tételhez: • Ha xM = x1 az x vektor M -re vett merőleges vetülete, akkor kxM k ≤ kxk. • A felbontási tétel szerint ha M zárt altér, akkor H = M ⊕ M ⊥ . Másrészt M ⊥ mindig zárt ⊥ ⊥ altér, így H = M ⊥ ⊕ M ⊥ . Vagyis zárt altér esetén M = M ⊥ . 24

• Ha M altér, de nem zárt, akkor M ⊥ • Ha M csak egy halmaz, akkor M ⊥

⊥

⊥

= M.

= [M ], az M lineáris burkának lezártja.

• Ha M véges dimenziós altér és {e1 , e2 , . . . , en } egy ortonormált bázis benne, akkor xM =

n X

hx, ei i ei .

i=1

3.2.

Fourier-sorok Hilbert-térben

3.14. Definíció. Egy {en }n∈N ⊂ H vektorsorozat ortonormált rendszer, ha elemei páronként ortogonálisak és normáltak. 3.15. Definíció. Egy {en }n∈N ⊂ H vektorsorozat teljes rendszer, ha minden x ∈ H-ra teljesül, hogy ha x ⊥ en minden N-re, akkor x = 0. Ezek alapján a teljes ortonormált rendszer (TONR) fogalma világos. Az, hogy {en } TONR, valójában ugyanazt jelenti, hogy {en } maximális ortogonális rendszer, azaz nem létezik olyan ortogonális rendszer H-ban, amelynek {en } valódi részhalmaza. Az ortonormált rendszer definíciójában feltettük, hogy az megszámlálható sok elemből áll. Ez valójában nem szükséges. Az egyszerűsítés oka az, hogy a következőkben végtelen sorokat fogunk vizsgálni és nem definiáltuk eddig, hogy mit értsünk megszámlálhatónál nagyobb számosságú elem összegén. Ezt el is szeretnénk kerülni, emiatt maradunk a megszámlálható esetnél. Ez ráadásul nem is nagy megszorítás, hiszen kiderülne, hogy egy akárhánytagú összeg ha konvergens, akkor legfeljebb megszámlálható sok nemnulla tagja lehetne. Ha viszont tetszőleges számosságú rendszert megengedünk, akkor bebizonyítható, hogy minden prehilbert-térben egy ortonormált rendszert ki lehet egészíteni teljes ortonormált rendszerré, azaz mindig létezik teljes ortonormált rendszer. Az is belátható, hogy egy tér két teljes ortonormált rendszere azonos számosságú. 3.16. Definíció. Egy {en }n∈N ⊂ H vektorsorozat zárt rendszer, ha {en } lineáris burka sűrű. 3.17. Állítás. Hilbert-térben egy vektorrendszer pontosan akkor teljes, ha zárt. ⊥

Bizonyítás. Vegyük észre, hogy tetszőleges M ⊂ H halmazra M ⊥ = [M ] . Ez következik a 3.13. megjegyzés második és negyedik részéből. Az M pontosan akkor teljes rendszer, ha M ⊥ = {0}, ⊥

ami az előzőek szerint pontosan akkor teljesül, ha [M ] = {0}. Ez viszont a 3.12. tétel szerint ekvivalens azzal, hogy [M ] = H, azaz M zárt rendszer. 3.18. Állítás. Szeparábilis Hilbert-tér esetén tetszőleges M ortonormált rendszer megszámlálható. Bizonyítás. Legyen e, f ∈ M , ekkor ke − f k2 = he − f, e − f i = kek2 − he, f i − hf, ei + kf k2 = 2. √ Tekintsük az M elemei körül vett 2/2-sugarú gömböket. Ezek diszjunktak, így egy H-beli sűrű halmaznak mindegyik gömbben van eleme, vagyis a gömbök száma és ezzel együtt M számossága is legfeljebb megszámlálható. Ennek a megfordítása is igaz, vagyis ha van megszámlálható teljes ortonormált rendszer egy Hilbert-térben, akkor az szeparábilis. A rendszer elemeinek racionális együtthatókkal vett lineáris kombinációi megszámlálható sűrű halmazt alkotnak. 25

Szeparábilis esetben könnyen meg is lehet konstruálni (Zorn-lemma nélkül) egy TONR-t, méghozzá úgy, hogy a sűrű, megszámlálható halmaz elemeit alkalmas módon megritkítva egy x1 , x2 , . . . lineárisan független rendszert kapunk, melyből Gram–Schmidt-féle ortogonalizációs eljárással egy ortonormált e1 , e2 , . . . sorozatot kapunk. Erre teljesül, hogy span{e1 , . . . , en } = span{x1 , . . . , xn } minden n ∈ N-re. Emiatt [{e1 , e2 , . . .}] is sűrű H-ban, tehát {en }n∈N zárt rendszer, vagyis teljes rendszer. 3.19. Állítás. Legyen {xn } ⊂ H ortogonális sorozat. Ekkor ∞ X

xn konvegens ⇐⇒

n=1

∞ X

kxn k2 konvegens.

n=1

Pn Pn 2 Bizonyítás. Legyen sn = i=1 xi és σn = i=1 kxi k a megfelelő részletösszegek. Mivel az ortogonalitás miatt n ≥ m esetén

n

2 n

X

X

2 ksn − sm k = xi = kxi k2 = σn − σm = |σn − σm | ,

i=m+1

i=m+1

ami miatt az egyik sorozat pontosan akkor Cauchy-sorozat, ha a másik is az. Innen már H és R teljessége miatt következik, hogy a két sorozat ekvikonvergens. P 3.20. Definíció. Legyen H Hilbert-tér, x ∈ H adott. A ∞ i=1 hx, ei i ei sort az x elem {en }n∈N rendszer szerinti Fourier-sorának nevezzük. Az αi = hx, ei i számokat Fourier-együtthatóknak nevezzük. 3.21. Tétel. Legyen H Hilbert-tér, {en }n∈N egy TONR. Ekkor tetszőleges x ∈ H elem Fouriersora konvergens és összege éppen x. P Bizonyítás. Jelöljük hx, ei i ei -t xi -vel. Mivel {xi } ortogonális vektorok halmaza, ezért a P Pnxi or2 togonális sorozat, ami pontosan akkor konvergens, ha kxi k konvergens. Legyen sn = i=1 xi , Vn = span{e1 , . . . , en }. Ekkor a 3.13. megjegyzés szerint sn = xVn az x-nek a P Vn véges dimenziós n 2 2 2 2 altérre vett vetülete, emiatt ks k ≤ kxk, azaz ks k ≤ kxk . Mivel ks k = n n n i=1 kxi k , ezért P P a 2 kxi k pozitív tagú sor szeletei felülről korlátosak, tehát konvergens. Ebből következően xi is konvergens, legyen az összege s. Be kell látni, hogy s = x. Az {en } rendszer teljessége miatt ehhez elég azt belátni, hogy hs − x, ej i = 0 minden j-re. A skalárszorzás folytonossága miatt *∞ + ∞ ∞ X X X hs, ej i = hx, ei i ei , ej = hhx, ei i ei , ej i = hx, ei i hei , ej i = hx, ej i , i=1

i=1

i=1

azaz hs − x, ej i = 0 minden j-re, így s = x. A bizonyítás során adódott az alábbi

3.22. Következmény (Bessel-egyenlőtlenség). Az x ∈ H vektor bármely {en } ortonormált sorozatára vonatkozó Fourier-együtthatóira ∞ X

|hx, en i|2 ≤ kxk2 .

n=1

3.23. Állítás (Parseval-egyenlőség). Ha {en }n∈N egy TONR H-ban és adott x ∈ H-ra αi = hx, ei i a Fourier-együtthatók, akkor 2

kxk =

∞ X i=1

26

|αi |2 .

P

ahol αi = hx, ei i. Ekkor a skalárszorzás folytonossága miatt *∞ + ∞ ∞ ∞ X ∞ X X X X 2 kxk = hx, xi = |αi |2 . αi ei , αj ej = αi αj hei , ej i =

Bizonyítás. Legyen x =

i αi ei ,

i=1

j=1

i=1

i=1 j=1

3.24. Állítás. Hilbert-térben egy végtelen ortonormált rendszer nem lehet (algebrai) bázis. Bizonyítás. Mivel az ONR végtelen sok elemet kiválasztható belőle megszámlálható P∞ tartalmaz, 1 e sort. Ez konvergál valamilyen x ∈ H-hoz, sok különböző e1 , e2 , . . . elem. Tekintsük a k=1 k k P 1 mert a normanégyzetekből álló k k2 sor konvergens. Tegyük fel, hogy {eγ : γ ∈ Γ} bázisa H-nak. Ez azt jelenti, hogy tetszőleges elemet - így x-et is - elő lehet állítani véges sok báziselem lineáris kombinációjaként, azaz x = ci1 ei1 + · · · + cin ein . Legyen j olyan index, amely különbözik az x előállításában szereplőktől. Ekkor * + ∞ X 1 1 = ej , ek = hej , xi = hej , ci1 ei1 + · · · + cin ein i = 0, j k k=1

ami lehetetlen.

3.25. Megjegyzés. A vektorterek algebrai értelemben vett bázisát Hamel-bázisnak, míg a teljes ortonormált rendszereket Hilbert-bázisnak szokták nevezni. 3.26. Definíció. Ha egy (X, k·k) normált P térben van olyan {en }n∈N ⊂ X vektorrendszer, hogy minden x ∈ X egyértelműen előáll x = ∞ n=1 cn en alakban, akkor az {en }n∈N rendszert Schauderbázisnak hívjuk. Nyílván szeparábilis Hilbert-térben van Schauder-bázis, nevezetesen egy TONR - ami mindig létezik - jó lesz. A létezésnek nyílván szükséges feltétele a szeparábilitás, azonban normált térben még szeparábilis esetben sem mindig létezik ilyen bázis. Most néhány példát mutatunk TONR-re. q 2 • H = L2 (0, π), en (x) = π sin nx. Integrálással adódik, hogy ez ortonormált rendszer, Rπ továbbá az analízis egy tétele szerint ha f ∈ L1 (0, π) és 0 f (x) sin nx dx = 0 minden n-re, akkor f = 0 majdnem mindenütt. Ez L2 (0, π)-ben is igaz, emiatt a szinuszrendszer teljes ortonormált rendszert alkot. Az eddigi tételek szerint tehát ha f ∈ L2 (0, π), akkor f (x) = P 2 n αn en (x), ahol αn = hf, en i és a fenti egyenlőség L -norma szerinti konvergenciaként értendő. • H = L2 (0, π),

en (x) =

 1   √    π

ha

n = 0,

r   2    cos nx π

ha

n ≥ 1.

• H = L2 (0, 2π), az e0 , e1 , e2 , . . . sorozat pedig az előző két rendszer elemei, persze most kétszer hosszabb az intervallum. 1 1 1 1 1 √ , √ sin x, √ cos x, √ sin 2x, √ cos 2x, . . . . π π π π 2π 27

n−1

z }| { • H = `2 , en = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0 . . .). A Fourier-sorok klasszikus elméletében főleg a 3. példában szereplő rendszert vizsgálják a pontonkénti konvergencia szempontjából. Legyen n

sn (x) =

a0 X + (ak cos kx + bk sin kx) , 2 k=1

ahol 1 ak = π

Z

2π

f (x) cos kx dx, 0

1 bk = π

Z

2π

f (x) sin kx dx. 0

Igaz-e, hogy sn → f pontonként a (0, 2π)-ben? 3.27. Állítás (Steinhaus). Létezik f ∈ C[0, 2π], f (0) = f (2π), melynek Fourier-sora minden π · r helyen divergens, ahol r racionális. 3.28. Állítás (Carleson). Minden f ∈ L2 (0, π)-nek a Fourier-sora majdnem mindenütt konvergens. A pontonkénti konvergencia azonban biztosítható, ha nem a részletösszegek konvergenciáját vizsgáljuk, hanem azok számtani közepeit. Vezessük be az úgynevezett Fejér-közepeket: σn :=

1 (s0 + s1 + · · · + sn ) . n+1

3.29. Tétel (Fejér). Minden f ∈ C[0, 2π], f (0) = f (2π) esetén σn → f egyenletesen. 3.30. Tétel. Minden szeparábilis H Hilbert-tér izometrikusan izomorf `2 -vel. Bizonyítás. Legyen {en }n∈N egy TONR H-ban. Ha x ∈ H, akkor legyenek αi = hx, ei i a Fourier-együtthatók. Legyen A : H → `2 a következő leképezés: Ax := (α1 , α2 , α3 , . . .). Ez nyílván lineáris és a Parseval-egyenlőség miatt izometria is, tehát injektív. A szürjektivitás pedig abból adódik, hogyPminden β = (β1 , β2 , . . .) ∈ `2 sorozathoz van olyan y ∈ H, melyre Ay = β, nevezetesen y = ∞ i=1 βi ei . Vagyis H izometrikusan izomorf `2 -vel.

28

4. fejezet

Folytonos lineáris funkcionálok normált térben 4.1.

Normált tér duálisa

4.1. Definíció. Legyen (X, k·k) normált tér. Az L(X, K) teret az X duális terének nevezzük és X ∗ -gal jelöljük. A 2.28. következmény szerint tetszőleges normált tér duálisa Banach-tér. Véges dimenziós tér esetén a duális tér megegyezik Hom(X, K)-val, mert minden lineáris leképezés folytonos. 4.2. Állítás. (Rn , k·k1 ) duális tere (Rn , k·k∞ ). Bizonyítás. Legyen f ∈ L(Rn , R) (az 1-es normára nézve) folytonos lineáris leképezés. Legyen P {e1 , . . . ,P en } a szokásos bázis Rn -ben. Ekkor legyen αi = f (ei ). Ha x ∈ Rn -re x = ni=1 xi ei , akkor f (x) = ni=1 xi αi = hx, αi, ahol α = (α1 , . . . , αn ). Tehát a véges dimenziós Hölder-egyenlőtlenség szerint |f (x)| = |hx, αi| ≤ kxk1 · kαk∞ , tehát kf k ≤ kαk∞ = maxi |αi |. Másrészt ha j az az index, amelyre |αj | = kαk∞ , akkor f (ej ) = kαk∞ , így kαk∞ = |αj | = |f (ej )| ≤ sup |f (x)| = kf k , kxk1 ≤1

tehát az f folyonos lineáris funkcionálok között és az α vektorok között egy normatartó megfeleltetés áll fenn.

4.3. Következmény. A bizonyításból az is kijött, hogy (Rn , k·k1 ) minden folytonos f lineáris funkcionálja valójában egy rögzített, f -hez tartozó α vektorral való skalárszorzás. Ez tetszőleges véges dimenziós térre ugyanilyen módon adódik. 4.4. Állítás. Legyen φ : X → K lineáris funkcionál. Ha φ 6≡ 0, akkor ker φ 1 kodimenziós altér. Ha φ folytonos is, akkor ker φ zárt is. Bizonyítás. Ha φ 6≡ 0, akkor van olyan x1 ∈ X, melyre φx1 6= 0. Ekkor X = ker φ ⊕ span{x1 }. Ugyanis minden x ∈ X előáll x = (x − λx1 ) + λx1 alakban, ahol λ = φx/φx1 választással x − λx1 ∈ ker φ. Végül ha φ folytonos, akkor ker φ zárt, mert a {0} zárt halmaz ősképe.

29

4.2.

Folytonos lineáris funkcionálok kiterjesztése

4.5. Állítás. Legyen X normált tér, X0 ⊂ X egy altér és φ : X0 → K egy folytonos lineáris funkcionál. Ekkor φ egyértelműen kiterjeszthető Φ : X 0 → K folytonos lineáris funkcionállá, ráadáasul a norma megtartásával, azaz kΦk = kφk. Bizonyítás. Legyen x ∈ X 0 , ekkor létezik (xn ) ⊂ X0 , hogy xn → x. Ekkor |φxn − φxm | ≤ kφk · kxn − xm k , így (φxn ) ⊂ K Cauchy-sorozat, azaz konvergens is. Legyen Φ(x) = lim φxn . Könnyen belátható, n→∞

hogy ez nem függ az (xn ) sorozat választásától. Φ nyílván lineáris és folytonos is, hiszen |Φx| = lim |φxn | ≤ lim kφk kxn k = kφk kxk , n→∞

n→∞

emiatt kΦk ≤ kφk. De Φ kiterjesztése φ-nek, vagyis minden z ∈ X0 -ra |φz| = |Φz| ≤ kΦk kzk, így nyílván a fordított irányú egyenlőtlenség is fennáll. . 4.6. Tétel (Hahn–Banach). Legyen X normált tér, X0 ⊂ X egy altér, φ : X0 → K egy folytonos lineáris funkcionál. Ekkor létezik Φ : X → K kiterjesztése az egész térre, amely folytonos lineáris és kΦk = kφk. Bizonyítás. A bizonyítást csak valós esetben és szeparábilis térre végezzük el. Tegyük fel tehát, hogy létezik megszámlálhatóan sok x1 , x2 , . . . ∈ X \ X0 lineárisan független elem, amelyre span{X0 , x1 , x2 , . . .} sűrű X-ben. Először megadunk egy Φ : span{X0 , x1 } → R kiterjesztést. Legyenek y, z ∈ X0 tetszőleges elemek és legyen M = kφk. Ekkor φ(y) − φ(z) = φ(y − z) ≤ M · ky − zk ≤ M · (ky + x1 k + k−z − x1 k) , amit átrendezve kapjuk, hogy −M k−z − x1 k − φ(z) ≤ M ky + x1 k − φ(y). Ha most y-t rögzítettnek gondoljuk és z végigfut X0 elemein, akkor az {−M k−z − x1 k − φ(z) : z ∈ X0 } halmaznak van felső korlátja, legyen a a szuprémuma. Hasonló módon a {M ky + x1 k − φ(y) : y ∈ X0 } halmaznak van infimuma, legyen ez b. Van tehát egy γ véges szám, melyre a ≤ γ ≤ b. Így minden y ∈ X0 -ra −M k−y − x1 k − φ(y) ≤ γ ≤ M ky + x1 k − φ(y), vagy másképpen |φ(y) + γ| ≤ M · ky + x1 k .

(4.1)

Legyen most x ∈ X0 ⊕ span{x1 }, ekkor x = y + λx1 alakba írható egyértelmű módon. Legyen Φ(x) = Φ(y + λx1 ) := φ(y) + λγ. Φ nyílván lineáris és x ∈ X0 -ra Φ(x) = φ(x), azaz kiterjesztés is. Ha y helyére y/λ-t írunk (4.1)-ben, akkor

y

1

φ(y) + γ ≤ M · + x

, azaz |φ(y) + γλ| ≤ M · ky + λx1 k . 1 λ λ Így |Φ(x)| = |Φ(y + λx1 )| = |φ(y) + γλ| ≤ M · ky + λx1 k = M · kxk , vagyis Φ folytonos és kΦk ≤ M = kφk. A fordított irányú egyenlőtleség ismét triviálisan igaz, hiszen kiterjesztésről van szó, így a normatartást is igazoltuk. 30

A fenti eljárást folytassuk rekurzívan az Xn = span{X0 , x1 , . . . , xn } altérre és az xn+1 elemre alkalmazva. A fenti konstrukcióval egy Φ : ∪∞ n=0 Xn → R normatartó kiterjesztést kapunk, amiből a nekünk szükséges Φ : X → R kiterjesztést a 4.5. tétel alkalmazásával kapjuk. Ha a tér nem szeparábilis, akkor belátható, hogy a φ normatartó kiterjesztései között megadható egy részbenrendezés úgy, hogy minden teljesen rendezett részhalmaznak van felső korlátja. A Zorn-lemma szerint ekkor létezik a halmaznak maximális Φ eleme, melyre D(Φ) = X teljesül. Ha ugyanis D(Φ) 6= X lenne, akkor egy x0 ∈ / D(Φ)-re és D(Φ)-re alkalmazva a bizonyítás első lépését, egy nagyobb kiterjesztést kapnánk, ellentmondva Φ maximalitásának. A komplex esetben a bizonyítás módosításokkal átvihető <φ és =φ segítségével. 4.7. Következmény. Legyen X normált tér, x0 ∈ X egy nemnulla elem. Ekkor létezik φ ∈ X ∗ , hogy kφk = 1 és φ(x0 ) = kx0 k. Bizonyítás. Legyen X0 = span{x0 }, φ0 : X0 → R a következő leképezés: φ0 (cx0 ) := c kx0 k. Ekkor φ0 nyílván lineáris és |φ0 (x)| = |φ0 (cx0 )| = |c| kx0 k = kcx0 k = kxk , amiből adódik, hogy kφ0 k = 1. A Hahn–Banach-tétel által adott φ kiterjesztés jó lesz.

4.8. Következmény. Ha x ∈ X olyan, hogy φ(x) = 0 teljesül minden φ ∈ X ∗ -ra, akkor x = 0. Bizonyítás. Ha x 6= 0 lenne, akkor az előző következmény szerint létezne φ ∈ X ∗ , melyre φ(x) = kxk = 6 0, ami ellentmond a feltételeknek. Ennek egy átfogalmazása az alábbi, úgynevezett szeparációs tulajdonság: 4.9. Következmény. Ha x, y ∈ X olyan elemek, melyekre φ(x) = φ(y) teljesül minden φ ∈ X ∗ ra, akkor x = y.

4.3.

Normált terek második duálisa

Egy kényelmes és hasznos jelölést vezessünk be. Ha φ ∈ X ∗ a duális tér egy eleme, x ∈ X, akkor jelöljük hφ, xi-szel φ(x)-et1 . 4.10. Definíció. Ha X normált tér, akkor X ∗∗ = (X ∗ )∗ az X második duális tere. A definíció értelmes, mert X ∗ is normált tér, így van duálisa. Szintén igaz itt is, hogy a második duális mindig Banach-tér. Legyen x ∈ X adott. Ekkor x∗∗ ∈ X ∗∗ legyen a következő funkcionál: egy φ ∈ X ∗ -hoz rendelje hozzá φ(x)-et, azaz hx∗∗ , φi := hφ, xi . Ekkor x∗∗ valóban lineáris és korlátos is, mert |hx∗∗ , φi| = |hφ, xi| ≤ kxk kφk , azaz x∗∗ korlátos és kx∗∗ k ≤ kxk. A kapcsolat valójában ennél szorosabb. Legyen J : X → X ∗∗ az a leképezés, melyre J(x) = x∗∗ , azaz x 7→ (φ 7→ φ(x)). J könnyen láthatóan lineáris leképezés és korlátos is, nevezetesen az előzőekből következik, hogy kJk ≤ 1. Valójában az is igaz, hogy kJk = 1, azaz J izometria. Ugyanis ha x 6= 0, akkor a 4.7. következmény miatt van olyan φ1 , hogy kφ1 k = 1 és hφ1 , xi = kxk. Ekkor kx∗∗ k = sup{|hx∗∗ , φi| : φ ∈ X ∗ , kφk = 1} ≥ |hx∗∗ , φ1 i| = |hφ1 , xi| = kxk , vagyis kJk = 1. Emiatt J izometria, tehát injektív is. 1

Az irodalomban előfordul, hogy éppen fordítva, azt az elemet teszik előre, amire alkalmazzák φ-t, így: hx, φi.

31

4.11. Definíció. Ha J : X → X ∗∗ szürjektív is, akkor az X normált teret reflexívnek nevezzük. Vagyis egy reflexív tér azonosítható (izometrikusan izomorf) a második duálisával, ahol az azonosítás a J leképezésen keresztül történik. Mivel egy duális tér mindig Banach-tér, ezért ha egy normált tér nem teljes, akkor nem lehet reflexív. Nem minden Banach-tér reflexív, de véges dimenzió esetén igen, mert véges dimenziós tér duális tere is véges dimenziós, sőt a dimenziójuk egyenlő. Ezenkívül két n-dimenziós véges dimenziós tér közötti lineáris leképezés pontosan akkor injektív, ha szürjektív. 4.12. Következmény. Minden véges dimenziós normált tér reflexív. A fent bevezetett J leképezés segítségével egyszerűen bizonyítható az 1.17. tétel, azaz az ott leírtak értelmében érvényes az alábbi állítás. 4.13. Állítás. Minden normált tér teljessé tehető. Bizonyítás. Az előzőek szerint J : X → X ∗∗ lineáris izometria, azaz X azonosítható az X ∗∗ Banach-tér egy lináris alterével. Ennek a J(X) altérnek a lezárása Banach-tér lesz, amelyben X sűrű alteret alkot.

32

5. fejezet

Folytonos lineáris operátorok Banach-térben 5.1. Definíció. Legyenek X, Y normált terek. Egy (An ) ⊂ L(X, Y ) operátorsorozat pontonként korlátos, ha minden x ∈ X esetén (An x) ⊂ Y korlátos, illetve egyenletesen korlátos, ha (kAn k) ⊂ R korlátos számsorozat.

5.1.

Banach–Steinhaus-tétel

5.2. Tétel (Banach–Steinhaus). Legyen X Banach-tér, Y normált tér. Egy (An ) ⊂ L(X, Y ) operátorsorozat pontonként korlátos akkor és csak akkor, ha egyenletesen korlátos. Bizonyítás. Ha (An ) egyenletesen korlátos, akkor minden x ∈ X-re kAn xk ≤ kAn k kxk ≤ sup kAn k kxk ≤ K kxk < ∞, n

azaz minden rögzített x-re kAn xk korlátos. A fordított irányhoz tegyük fel, hogy (An ) pontonként korlátos. Tekintsük a Kj :=

∞ \

A−1 B(0, j) n

n=1

halmazokat. Mivel An folyonos, ezért Kj zárt halmazok metszete, így ő maga is zárt. Másrészt ∗ X = ∪∞ j=1 Kj , ugyanis ha x ∈ X, akkor (An x) korlátos sorozat, így van olyan j , hogy (An x) ⊂ ∗ B(0, j ∗ ), vagyis x ∈ A−1 n (B(0, j )) minden n-re, tehát x ∈ Kj ∗ . X tehát előáll megszámlálható sok zárt halmaz uniójaként. A C.10. tétel szerint valamelyik Kj halmaz nem sehol sem sűrű, azaz a lezártja (ami a zártság miatt önmaga) tartalmaz gömböt. Tehát létezik j0 , hogy a Kj0 halmaz tartalmaz gömböt, azaz létezik x0 ∈ X, r > 0, hogy B(x0 , r) ⊂ Kj0 . Ekkor minden y ∈ X, kyk = 1 esetén

1 2 1

kAn yk = An [(x0 + ry) − x0 ] ≤ kAn (x0 + ry)k + kAn x0 k ≤ j0 ,

r r r azaz kAn k ≤ (2j0 )/r, tehát (kAn k) korlátos.

5.3. Következmény. Legyen X Banach-tér, Y normált tér. Ha (An ) ⊂ L(X, Y ) és An x → Ax minden x ∈ X-re, akkor A ∈ L(X, Y ), vagyis Banach-téren értelmezett folytonos lineáris operátorsorozat pontonkénti limesze is folytonos lineáris.

33

Bizonyítás. A nyílván lineáris, továbbá kAxk = lim kAn xk. Mivel (An ) pontonként korlátos, az 5.2. tétel szerint egyenletesen is korlátos. kAxk = lim kAn xk ≤ sup kAn k kxk ≤ K kxk , n→∞

n

vagyis A folytonos is. Gyakran az 5.2. tételt egyenletes korlátosság tételnek nevezik, olyankor az alábbi tételt szokták Banach–Steinhaus-tételnek nevezni. 5.4. Tétel. Legyen X Banach-tér, Y normált tér, An , A ∈ L(X, Y ). Ekkor a) (An ) egyenletesen korlátos An → A pontonként X-en ⇐⇒ b) ∃M ⊂ X zárt rendszer, hogy An x → Ax ∀x ∈ M -re Bizonyítás. Ha (An ) pontonként konvergens, akkor nyílván pontonként korlátos, így az 5.2. tétel szerint egyenletesen is korlátos, a kívánt tulajdonságú zárt rendszernek M := X választás jó lesz. A fordított irányhoz vegyük észre, hogy ha An → A M -en, akkor a linearitás miatt [M ]-en is érvényes a konvergencia. Legyen x ∈ X tetszőleges elem. Mivel [M ] = X, ezért minden ε > 0-hoz létezik y ∈ [M ], hogy ε kx − yk ≤ , 2 (K + kAk) ahol K := supn kAn k < ∞ az egyenletes korlátosság miatt. Ekkor kAn x − Axk ≤ kAn x − An yk+kAn y − Ayk+kAy − Axk ≤ kAn y − Ayk+(kAn k + kAk) kx − yk , ahol az első tag kicsi, ha n elég nagy, hiszen y ∈ [M ], így ε ε ε ε kAn x − Axk ≤ + (kAn k + kAk) ≤ + = ε, 2 2 (K + kAk) 2 2 minden n ≥ N0 -ra.

5.2.

Zárt lineáris leképezések

5.5. Definíció. Legyenek X, Y normált terek, D ⊂ X és A : D → Y egy leképezés. Ekkor a graph(A) = G(A) = {(x, A(x)) : x ∈ D} halmazt A gráfjának vagy grafikonjának nevezzük. 5.6. Lemma. A pontosan akkor lineáris transzformáció, ha G(A) altér X × Y -ban. 5.7. Definíció. Legyenek X, Y normált terek, D ⊂ X egy altér. Az A : D → Y lineáris transzformáció zárt, ha minden (xn ) ⊂ D, xn → x ∈ X sorozatra, melyre Axn → y ∈ Y , teljesül, hogy x ∈ D és y = Ax. A definíció jelentését megmagyarázza a következő állítás. 5.8. Állítás. Egy A lineáris operátor pontosan akkor zárt, ha G(A) zárt altér X × Y -ban. Bizonyítás. Legyen A : D → Y zárt lineáris operátor. Be kell látni, hogy G(A) minden határ pontja eleme a gráfnak. Legyen (x, y) ∈ ∂G(A). Ekkor létezik (xn , Axn ) ⊂ G(A) sorozat a gráfban, hogy xn ∈ D és a sorozat (x, y)-hoz konvergál a szorzattér normája szerint. Vagyis k(xn − x, Axn − y)k → 0, vagy kxn − xk + kAxn − yk → 0. Ebből következik, hogy xn → x és Axn → y. Mivel A zárt, ebből következik, hogy x ∈ D és y = Ax, azaz (x, y) = (x, Ax) ∈ G(A). Megfordítva, legyen a gráf zárt és xn → x (xn ∈ D) olyan, hogy Axn → y. Be kell látni, hogy x ∈ D és Ax = y. A feltétel szerint G(A) 3 (xn , Axn ) → (x, y) ∈ G(A) = G(A), mert G(A) zárt. Vagyis x ∈ D és y = Ax, vagyis A zárt. 34

5.9. Tétel. Legyenek X, Y normált terek, D ⊂ X egy zárt altér, A : D → Y korlátos lineáris operátor. Ekkor A zárt. Bizonyítás. Ha xn → x egy D-beli konvergens sorozat, melyre Axn → y, akkor D zártsága miatt x ∈ D, továbbá A folytonosságából következik, hogy Axn → Ax, vagyis y = Ax. 5.10. Következmény. Ha X, Y normált terek és A ∈ L(X, Y ), akkor A zárt. Tehát a zártság a folytonosság fogalmának egy enyhítése. 5.11. Tétel. Ha A : D → Y (D ⊂ X) zárt lineáris transzformáció és létezik az inverze, akkor A−1 zárt lineáris operátor. Bizonyítás. Mivel A zárt, ezért G(A) is zárt. Mivel létezik az inverz, minden y ∈ A(D)-hez létezik egyértelműen egy x ∈ D, hogy y = Ax. Ezért G(A) = {(x, Ax) : x ∈ D} = {(A−1 y, y) : y ∈ A(D)}. Legyen S : X × Y → Y × X a koordináta-felcserélő operátor, azaz S(x, y) := (y, x). S nyílván izometria, emiatt zárt halmaz S-képe zárt, emiatt az S(G(A))={(y, A−1 y) : y ∈ A(D)} halmaz zárt. Ez viszont éppen G(A−1 ), vagyis A−1 zárt operátor.

5.3.

Banach nyílt leképezés és zárt gráf tétele

5.12. Tétel. Legyen X Banach-tér, Y normált tér, A ∈ L(X, Y ) és ran(A) II. kategóriájú. Ekkor az alábbiak teljesülnek: 1. ran(A) = Y , azaz A szürjektív. 2. Létezik m > 0, hogy minden y ∈ Y -hoz van olyan x ∈ X, hogy Ax = y és kxk ≤ m kyk. 3. Ha létezik A−1 , akkor korlátos lineáris transzformáció. Bizonyítás. 1. Mivel a képtér II. kategóriájú és ran(A) = ∪∞ n=1 A(B(0, n)), ezért valamely k ∈ Nre az A(B(0, k)) halmaz nem sehol sem sűrű, azaz a lezártja tartalmaz nyílt gömböt, vagyis létezik y ∈ A(B(0, k)) és r > 0, hogy B(y, r) ⊂ A (B(0, k)). Sőt, az is igaz, hogy B(−y, r) ⊂ A (B(0, k)). Ennek igazolásához legyen x ∈ B(−y, r), akkor −x ∈ B(y, r) ⊂ A (B(0, k)). Vagyis létezik (xn ) ⊂ B(0, k) alkalmas sorozat, hogy Axn → −x. Ekkor x = − lim Axn = lim A(−xn ), n→∞

n→∞

és mivel −xn ∈ B(0, k), ezért x ∈ A (B(0, k)). Most lássuk be az eddigiek segítségével, hogy B(0, r) ⊂ A (B(0, k)) szintén teljesül. Legyen x ∈ B(0, r), ekkor nyílván x+y ∈ B(y, r) és x−y ∈ B(−y, r). Az eddigiek szerint x ± y ∈ A (B(0, k)). Ekkor alkalmas (vn ), (wn ) ⊂ B(0, k) sorozatokra Avn → x + y és Awn → x − y. Ekkor v w x+y x−y vn + wn n n x= + = lim A +A = lim A , n→∞ n→∞ 2 2 2 2 2 ahol (vn + wn )/2 ∈ B(0, k), így x ∈ A (B(0, k)). 35

Legyen most k . r Ekkor tetszőleges % > 0 esetén ha x ∈ B(0, %), akkor xr/% ∈ B(0, r), ami az előzőek szerint azt jelenti, hogy xr/% ∈ A (B(0, k)), vagyis x ∈ A (B(0, k%/r)) = A (B(0, t%)). Ezzel beláttuk, hogy minden % > 0-ra B(0, %) ⊂ A (B(0, t%)), (5.1) t :=

ahol t egy fix szám. Most belátjuk azt, hogy az is igaz, hogy B(0, %) ⊂ A (B(0, 2t%)) .

(5.2)

Ez a „felülvonás-eltüntetés” a bizonyítás egyik kulcslépése. Most fogjuk kihasználni, hogy X Banach-tér. Legyen tehát y ∈ B(0, %), megmutatjuk, hogy található hozzá olyan x ∈ B(0, 2t%), hogy y = Ax. Az (5.1) szerint van olyan y1 ∈ A (B(0, t%)), hogy ky − y1 k <

% . 2

Itt y − y1 ∈ B(0, %/2), így ismét (5.1) szerint (%/2-re felírva) van olyan y2 ∈ A (B(0, t%/2)), hogy k(y − y1 ) − y2 k <

% . 4

Az eljárást folytatva egy olyan (yn ) sorozatot kapunk, hogy minden n ∈ N-re t% yn ∈ A B 0, n−1 2 és

n

X %

yi < n .

y −

2

(5.3)

(5.4)

i=1

∞ P

t% elemeket, hogy yn = Axn yi . Válasszunk olyan xn ∈ B 0, 2n−1 i=1 P (ilyen van (5.3) miatt). Megmutatjuk, hogy (xn ) Cauchy-sor az X Banach-térben. Legyen m ≥ n, ekkor

m m m

X

X X 1 t% n,m→∞

xi ≤ kxi k < t% < n−2 −−−−−→ 0,

i−1

2 2 i=n i=n i=n P vagyis teljesül a Cauchy-kritérium a (xn ) sorra. Legyen a sor összege x. Ekkor

Ebből az következik, hogy y =

kxk ≤

∞ X

kxi k < t%

∞ X

i=1

Mivel x =

P∞

i=1 xi ,

i=1

1 2k−1

= 2t%.

A folytonossága miatt Ax =

∞ X

Axi =

i=1

∞ X

yi = y,

i=1

tehát minden y ∈ B(0, %)-hoz találtunk egy x ∈ B(0, 2t%)-t, hogy Ax = y, amivel (5.2)-t beláttuk. Ebből viszont azonnal következik, hogy ran(A) = Y . y 2. Legyen m := 4t. Ekkor ha y ∈ Y tetszőleges, legyen y˜ = 2kyk . Nyílván y˜ ∈ B(0, 1), így az előző rész szerint létezik x ˜ ∈ B(0, 2t), hogy y˜ = A˜ x. Legyen x := 2 kyk x ˜. Ekkor Ax = 2 kyk A˜ x = 2 kyk y˜ = 2 kyk 36

y = y, 2 kyk

továbbá kxk = 2 kyk k˜ xk < 2 kyk · 2t = 4t kyk = m kyk . −1 3. Ha

létezik A , akkor minden y ∈ Y -hoz egyértelműen van olyan x ∈ X, hogy Ax = y és

−1

A y ≤ m kyk, ami az inverz folytonosságát jelenti.

5.13. Tétel. Legyenek X, Y Banach-terek, A ∈ L(X, Y ) szürjektív. Ekkor ha A−1 létezik, akkor korlátos lineáris. Bizonyítás. Mindössze az 5.12. tétel feltételeit kell ellenőriznünk. A zárt, mert az egész téren értelmezett korlátos lineáris transzformáció. Ezenkívül ran(A) = Y , ami a feltétel szerint teljes tér, így a kategória-tétel szerint II. kategóriájú. 5.14. Következmény (Banach inverz-operátor tétele). Legyenek X, Y Banach-terek, A ∈ L(X, Y ) bijektív. Ekkor A−1 ∈ L(Y, X). 5.15. Tétel (Zárt gráf tétel). Legyenek X, Y Banach-terek, A : X → Y lineáris és zárt. Ekkor A ∈ L(X, Y ) is teljesül. Bizonyítás. Mivel X és Y is Banach-tér, így X × Y is az. Mivel A zárt, ezért G(A) zárt halmaz a szorzattérben. A zártság és a szorzattér teljessége miatt a gráf is Banach-tér. Tekintsük a P : G(A) → X leképezést, mely egy (x, Ax) ∈ G(A) párhoz x-et rendeli. P nyílván lineáris és korlátos is, mert kP (x, Ax)k = kxk ≤ kxk + kAxk = k(x, Ax)k . P nyílván szürjektív és ezenkívül injektív is lesz. Ehhez a linearitás miatt elég azt belátni, hogy csak a (0, 0) elemet viszi az X tér nullelemébe. Tegyük fel, hogy P (x, Ax) = 0. Ez P definíciója szerint azt jelenti, hogy x = 0, ebből viszont A linearitása miatt Ax = 0 is következik. Tehát P : G(A) → X olyan korlátos lineáris transzformáció két Banach-tér között, melynek van inverze. Az 5.13. tétel szerint P −1 korlátos lineáris. Ezekután már meg tudjuk mutatni, hogy A folytonos. Legyen xn → x egy sorozat. P −1 folytonossága miatt P −1 xn → P −1 x, vagy másképpen (xn , Axn ) → (x, Ax), vagy (xn − x, Axn − Ax) → (0, 0), ami azt jelenti, hogy Axn → Ax.

5.16. Tétel (Banach nyílt leképezés tétele). Legyenek X, Y Banach-terek, A ∈ L(X, Y ) szürjektív. Ekkor A nyílt leképezés. Bizonyítás. Ismét teljesülnek az 5.12. tétel feltételei, így érvényes a tétel 2. állítása. Legyen U ⊂ X nyílt halmaz, be kell látni, hogy A(U ) is nyílt. Legyen y ∈ A(U ), ehhez létezik x ∈ U , hogy Ax = y és kxk ≤ m kyk. Mivel U nyílt, létezik r > 0, hogy B(x, r) ⊂ U . Legyen R = r/m és y˜ ∈ B(y, R). Be kell látni, hogy y˜ ∈ A(U ), azaz van olyan x ˜ ∈ X, A˜ x = y˜, melyre egyúttal x ˜ ∈ U is teljesül. Mivel a linearitás miatt A(˜ x − x) = y˜ − y, így k˜ x − xk ≤ m k˜ y − yk ≤ m · R = r, azaz x ˜ ∈ B(x, r) ⊂ U . Tehát B(y, R) ⊂ A(U ), vagyis A(U ) nyílt.

5.17. Tétel (Ekvivalens normák). Legyen X olyan normált tér, amely teljes az k·k1 és k·k2 normákra vonatkozóan. Tegyük fel, hogy létezik c1 > 0 konstans, amelyre kxk1 ≤ c1 kxk2 minden x ∈ X-re. Ekkor a két norma ekvivalens. Bizonyítás. A feltétel szerint az (X, k·k2 ) és (X, k·k1 ) Banach-terek közötti Ix := x identikus leképezés folytonos lineáris és bijektív.

Az 5.14. következmény szerint az inverz is folytonos −1

lineáris, azaz létezik c2 > 0, hogy I x 2 = kxk2 ≤ c2 kxk1 . 37

6. fejezet

Folytonos lineáris operátorok Hilbert-térben 6.1.

Folytonos lineáris funkcionálok Hilbert-térben

Egy korábbi fejezetben már láttunk példát folytonos lineáris funkcionálra Hilbert-térben, nevezetesen ha y ∈ H rögzített vektor, akkor a φy : H → C, φy (x) = hx, yi leképezés nyílván lineáris és folytonos is, ugyanis |φy x| = |hx, yi| ≤ kxk kyk . Sőt kφy k = kyk, ugyanis (az y = 0 eset triviális) kφy k = sup{|φy (x)| : kxk = 1} ≥ φy

y kyk

=

1 hy, yi = kyk . kyk

A 4.2. állítás bizonyításában láttuk, hogy véges dimenzióban egy folytonos lineáris funkcionál valójában egy alkalmas vektorral való skalárszorzás. Ez általában is így van. 6.1. Tétel (Riesz reprezentációs tétele). Legyen H Hilbert-tér, ekkor minden φ ∈ H ∗ -hoz létezik egyértelműen egy y ∈ H, hogy φ = φy , azaz φ(x) = hx, yi minden x ∈ H-ra. Bizonyítás. Ha φ ≡ 0, akkor y = 0 jó lesz. Ha φ nem azonosan nulla, akkor a 4.4. állítás szerint ker φ 1 kodimenziós zárt altér. Legyen z 6= 0, z ∈ (ker φ)⊥ . Legyen x0 = (φx)z − (φz)x. Ekkor φx0 = 0, azaz x0 ∈ ker φ, tehát hx0 , zi = 0. Ezt részletesen kiírva 0 = hx0 , zi = h(φx)z − (φz)x, zi = φx kzk2 − φz hx, zi , vagyis φz hx, zi φx = = kzk2 ahonnan y =

φz z kzk2

φz x, z , kzk2

választással adódik a tétel. Hátravan még az egyértelműség kérdése.

Tegyük fel, hogy y1 , y2 a φ-hez tartozó reprezentáns vektorok. Ekkor φx = hx, y1 i = hx, y2 i minden x ∈ H-ra. Azaz hx, y1 − y2 i = 0 minden x ∈ H-ra, így y1 = y2 . Minden y ∈ H vektor egyértelműen meghatároz egy φy ∈ H ∗ folytonos lineáris funkcionált és a tétel szerint ez fordítva is igaz, ráadásul a megfeleltetés normatartó, tehát izometria. A reprezentációs tétel szerint a j : H → H ∗ , j(y) = φy leképezés, azaz az y 7→ (x 7→ hx, yi) hozzárendelés izometriát szolgáltat, de ez nem lesz lineáris, csak „majdnem”, hiszen minden x ∈ H-ra hj(αy1 + βy2 ), xi = hφαy1 +βy2 , xi = hx, αy1 + βy2 i = α hx, y1 i + β hx, y2 i = 38

= α hφy1 , xi + β hφy2 , xi = αφy1 + βφy2 , x = αj(y1 ) + βj(y2 ), x , azaz j konjugáltan lineáris. A normált terek duálisánál bevezetett J kanonikus leképezés és a j leképezések kapcsolatából adódik, hogy a Hilbert-terek reflexívek. 6.2. Lemma. Ha H1 , H2 Hilbert-terek, ψ : H1 → H2 konjugáltan lineáris operátor, akkor ψ pontosan akkor izometria, ha hψ(x), ψ(y)i2 = hy, xi1 teljesül minden x, y ∈ H1 -re. Bizonyítás. Ha ψ izometria, akkor a polarizációs formulát és a konjugált linearitást használva 4 hy, xi1 = ky + xk21 − ky − xk21 + i ky + ixk21 − i ky − ixk21 = = kψ(y + x)k22 − kψ(y − x)k22 + i kψ(y + ix)k22 − i kψ(y − ix)k22 = = kψ(y) + ψ(x)k22 − kψ(y) − ψ(x)k22 + i kψ(y) − iψ(x)k22 − i kψ(y) + iψ(x)k22 = = kψ(x) + ψ(y)k22 − kψ(x) − ψ(y)k22 + i kψ(x) + iψ(y)k22 − i kψ(x) − iψ(y)k22 = = 4 hψ(x), ψ(y)i2 . Megfordítva, ha teljesül a „helycserés skalárszorzat-tartás”, akkor kψ(x)k22 = hψ(x), ψ(x)i2 = hx, xi1 = kxk21 , azaz ψ izometria.

6.3. Állítás. Minden Hilbert-tér reflexív. Bizonyítás. Mielőtt a tényleges bizonyításhoz kezdenénk, megjegyezzük, hogy H ∗ a funkcionálnormával ellátva Hilbert-tér. Ugyanis a j ≡ jH leképezés szürjektív, azaz φ ∈ H ∗ -hoz egyértelműen létezik y ∈ H, melyre φ = jH (y). Így akár H ∗ -on skalárszorzatot bevezetve a reprezentáló vektoron keresztül, akár a parallelogramma-szabály teljesülését ellenőrizve, némi számolás után kapjuk, hogy Hilbert-tér duálisa is Hilbert-tér. Térjük most rá a tétel bizonyítására, célunk belátni, hogy J = jH ∗ ◦ jH . Legyen x ∈ H és φ ∈ H ∗ , ekkor

−1 −1 [(jH ∗ ◦ jH ) (x)] (φ) = [jH ∗ (jH (x))] (φ) = hφ, jH (x)i = jH jH (φ) = (φ) , jH (x) = x, jH −1 ∗∗ = jH jH (φ) (x) = φ(x) = hφ, xi = hx , φi = hJ(x), φi = = (J(x)) (φ), ahol a lemmát a jH konjugáltan lineáris izometriára alkalmaztuk. A Riesz-reprezentációs tétel szerint a jH : H → H ∗ , illetve a jH ∗ : H ∗ → H ∗∗ leképezések szürjektívek, ezért a J : H → H ∗∗ kanonikus leképezés is az, tehát H reflexív. Az előzőekben a h·, ·i jelnek több jelentése is volt. Egyrészt jelölte a H és H ∗ Hilbert-terek skalárszorzatát, másrészt ha egy funkcionál és egy vektor szerepelt az argumentumában, akkor a funkcionálnak a vektorra való alkalmazását jelölte. Ez a kettősség kevésbé szokott zavart okozni, mintha külön jelöléseket vezetnénk be, hiszen általában világos, hogy éppen milyen tipusú elemekről van szó. Az, hogy minden Hilbert-tér reflexív, valójában egy jóval általánosabb tételből is következik, amely a teljes terek geometriai tulajdonságait használja. 6.4. Definíció. Egy X Banach-tér egyenletesen konvex, ha minden ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy minden x, y ∈ X vektorra, melyekre kxk ≤ 1, kyk ≤ 1 és kx + yk > 2 − δ teljesül, következik, hogy kx − yk < ε. 6.5. Tétel (Milman–Pettis). Minden egyenletesen konvex tér reflexív.

39

6.2.

Gyenge konvergencia

6.6. Definíció. Az (xn ) sorozat gyengén tart x ∈ X-hez az X normált térben, ha minden φ ∈ w X ∗ -ra φ(xn ) → φ(x). A gyenge konvergenciát xn −→ x vagy xn * x jelöli. Hogy megkülönböztessék a már bevezetett konvergenciától, a normakonvergenciára gyakran mint erős konvergenciára szoktak hivatkozni. Riesz reprezentációs tétele biztosítja, hogy Hilbert-térben a folytonos lineáris funkcionálok skalárszorzatként írhatók fel, ezért 6.7. Következmény. Ha H Hilbert-tér, akkor a fenti definíció ekvivalens azzal, hogy hy, xn i → hy, xi minden y ∈ H-ra. w

w

6.8. Állítás. A gyenge limesz egyértelmű, azaz ha xn −→ y1 és xn −→ y2 , akkor y1 = y2 . Bizonyítás. A feltétel szerint minden φ ∈ X ∗ -ra φ(xn ) → φ(y1 ) és φ(xn ) → φ(y2 ). Mivel K-ban a limesz egyértelmű, ezért φ(y1 − y2 ) = 0 minden φ ∈ X ∗ -ra, ezért a 4.9. következmény szerint y1 = y 2 . Ha xn → x erős értelemben, akkor a folytonosság miatt φ(xn ) → φ(x) minden φ ∈ X ∗ -ra, azaz az erős konvergenciából következik a gyenge konvergencia. A megfordítás azonban nem igaz, Hilbert-térben egy ortonormált vektorokból álló sorozat nem konvergens, de gyengén konvergál a 0-hoz. Véges dimenzióban azonban - szokás szerint - a két fogalom egybeesik. w

6.9. Állítás. Ha {en }n∈N egy ortonormált rendszer H-ban, akkor nem konvergens, de en −→ 0. Bizonyítás. Mivel n 6= m-re ken − em k2 = ken k2 + kem k2 = 2, ezért (en ) nem Cauchy-sorozat, így nem is konvergens. Másrészt a Bessel-egyenlőtlenség szerint tetszőleges x ∈ X-re ∞ X

|hx, en i|2 ≤ kxk2 =⇒ |hx, en i| → 0 =⇒ hx, en i → 0,

n=1 w

tehát hx, en i → hx, 0i, azaz en −→ 0.

Hilbert-térben az erős és a gyenge konvergencia kapcsolatát az alábbi tétel írja le. 6.10. Tétel. Legyen (xn ) ⊂ H, x ∈ H. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:   i) kxn k → kxk kxn − xk → 0 ⇐⇒  w ii) xn −→ x Bizonyítás. Ha xn → x, akkor |kxn k − kxk| ≤ kxn − xk → 0, a ii)-es ponthoz pedig |hy, xn i − hy, xi| = |hy, xn − xi| ≤ kyk kxn − xk → 0 a CBS miatt. Megfordítva, tegyük fel, hogy i) és ii) teljesül, ekkor kxn − xk2 = hxn − x, xn − xi = kxn k2 + kxk2 − hxn , xi − hx, xn i → 0, ugyanis a gyenge konvergencia miatt hxn , xi → hx, xi = kxk2 .

Az előzőek szerint végtelen dimenziós térben a zárt egységgömb korlátos, de nem kompakt, mert egy ortonormált rendszerből nem lehet kiválasztani konvergens részsorozatot. Vagyis a Bolzano– Weierstrass tétel általában nem marad érvényben, de gyenge értelemben igen. 6.11. Tétel. Hilbert-térben minden korlátos sorozatnak van gyengén konvergens részsorozata. 40

Bizonyítás. Legyen (xn ) ⊂ H egy korlátos sorozat, melyre tehát kxn k ≤ C valamilyen C > 0-ra. Legyen H0 = [(xn )], az (xn ) által generált zárt altér. Legyen H1 = H0⊥ , így a 3.12. tétel szerint H = H0 ⊕ H1 . Az (hx1 , xn i) számsorozat a CBS szerint korlátos, van tehát olyan (x1n ) ⊂ (xn ) részsorozat,

hogy létezik lim x1 , x1n .

n→∞ Az x2 , x1n számsorozat szintén korlátos, van tehát olyan (x2n ) ⊂ (x1n ) részsorozat, hogy 2 létezik lim x2 , xn . n→∞

Az eljárást egy olyan (xn ) ⊃ (x1n ) ⊃ (x2n ) ⊃ . . . részsorozat-sorozatot kapunk, hogy

folytatva k létezik lim xk , xn minden rögzített k = 1, 2, . . . esetén. n→∞

Legyen zn := xnn . A (zn ) sorozat részsorozata (xn )-nek és a konstrukció szerint (zn ) minden rögzített k-ra az első néhány (legfeljebb k) tagtól eltekintve részsorozata (xkn )-nak, így létezik lim hxk , zn i minden k-ra. A határérték nyílván a sorozat tagjainak tetszőleges véges lineáris n→∞ kombinációjára is létezik. Legyen φn y := hy, zn i [(xn )]-en értelmezett lineáris funkcionál, melyre kφn k ≤ C, tehát korlátos is minden n ∈ N-re. A φy := lim φn y egyenlőséggel definiált φ funkcionál szintén n→∞ lineáris és folytonos. Terjesszük ki őket a 4.5. állítás segítségével Φn , Φ : H0 → C folytonos lineáris funkcionálokká normatartó módon. Ekkor a Φn , Φ ∈ H0∗ funkcionálok egyenletesen korlátosak és Φn → Φ pontonként [(xn )]en, így az 5.4. tétel szerint Φn → Φ pontonként egész H0 -on, azaz minden y ∈ H0 -ra létezik lim hy, zn i. A Φ : H0 → C funkcionál lineáris és folytonos is a H0 Hilbert-téren, ezért Riesz n→∞

reprezentációs tétele szerint létezik z˜ ∈ H0 , hogy lim hy, zn i = hy, z˜i minden y ∈ H0 -ra, azaz n→∞

w

zn −→ z˜ H0 -on. Már csak az kell, hogy ez H-n is igaz. Legyen tehát y ∈ H tetszőleges, y = y0 +y1 , ahol y0 ∈ H0 , y1 ∈ H1 . y1 = y − y0 ⊥ H0 miatt hzn − z˜, y − y0 i = 0. Ezt kifejtve és felhasználva, hogy hy0 , zn i → hy0 , z˜i, 0 = hzn , yi − hzn , y0 i − h˜ z , yi + h˜ z , y0 i , w

amiből következik, hogy hzn , yi → h˜ z , yi minden y ∈ H-ra, azaz zn = xnn −→ z˜.

6.3.

Operátorok Hilbert-adjungáltja

Ebben a részben A : H → H folytonos lineáris operátorokkal foglalkozunk. Jelölje röviden L(H, H)-t L(H). 6.12. Állítás. Tetszőleges A ∈ L(H) esetén létezik egyetlen A∗ ∈ L(H), melyre hAx, yi = hx, A∗ yi minden x, y ∈ H-ra. Ezt az A∗ folytonos lineáris operátort az A adjungáltjának nevezzük. Bizonyítás. Legyen y ∈ H rögzített. Ekkor a φ : H → C funkcionál, melyre φx = hAx, yi lineáris és folytonos, mert |φx| ≤ kAxk · kyk ≤ (kAk kyk) kxk . Riesz reprezentációs tétele szerint létezik egyetlen y ∗ ∈ H, hogy φx = hx, y ∗ i minden x ∈ H-ra. Tehát minden y ∈ H-hoz a fentiek szerint egyértelműen hozzárendelhető egy y ∗ ∈ H elem, ezt a hozzárendelést jelölje A∗ . Tehát hAx, yi = hx, A∗ yi. Kell még, hogy A∗ folytonos lineáris. A∗ a reprezentáló vektor egyértelműsége miatt lineáris, a korlátosság pedig az kA∗ yk = ky ∗ k = kφk ≤ kAk kyk

becslésből adódik. A bizonyításból az is kijött, hogy

kA∗ k

≤ kAk, valójában azonban több is igaz.

6.13. Állítás. Tetszőleges A ∈ L(H)-ra (A∗ )∗ = A és kA∗ k = kAk. 41

Bizonyítás. Mivel hAx, yi = hx, A∗ yi = hA∗∗ x, yi minden x, y ∈ H-ra, ezért Ax = A∗∗ x érvényes minden x ∈ H-ra, azaz A = A∗∗ . A normákra vonatkozó egyenlőtlenséget figyelembevéve kAk = kA∗∗ k ≤ kA∗ k ≤ kAk ,

azaz mindenhol egyenlőségnek kell teljesülnie. 6.14. Állítás. Ha A, B ∈ L(H), λ ∈ K, akkor 1. (A + B)∗ = A∗ + B ∗ , 2. (λA)∗ = λA∗ , 3. (AB)∗ = B ∗ A∗ , 4. kA∗ k = kAk, 5. kAk2 = kA∗ Ak

(C ∗ -tulajdonság).

Bizonyítás. Az első három az adjungáltat definiáló egyenlőségből azonnal adódik, a 4. tulajdonságot az előbb láttuk be. A CBS-t alkalmazva kAxk2 = hAx, Axi = hx, A∗ Axi ≤ kxk kA∗ Axk ≤ kA∗ Ak kxk2 adódik, amiből kAk2 ≤ kA∗ Ak következik. A 4. tulajdonság szerint kAk2 ≤ kA∗ Ak ≤ kA∗ k kAk = kAk2 , vagyis mindenhol egyenlőség teljesül, ezzel a C ∗ -tulajdonságot is beláttuk.

6.15. Tétel (Operátorokra vonatkozó ortogonális felbontás). Minden A ∈ L(H)-ra H előáll a ran(A) ⊕ ker(A∗ ) = H ortogonális direkt összeg alakban. ⊥

Bizonyítás. Mivel ran(A) zárt altere H-nak, a 3.12. tétel miatt elég belátni, hogy ran(A) = ker(A∗ ). Ez az alábbi ekvivalenciákból következik: ⊥

y ∈ ran(A)

⇐⇒ y ⊥ ran(A) ⇐⇒ y ⊥ ran(A) ⇐⇒ hy, Axi = 0 ∀x ∈ H ⇐⇒

⇐⇒ hA∗ y, xi = 0 ∀x ∈ H ⇐⇒ A∗ y = 0 ⇐⇒ y ∈ ker(A∗ ).

42

7. fejezet

Speciális operátortípusok Ebben a fejezetben mindig Hilbert-téren értelmezett folytonos lineáris operátorokról lesz szó. 7.1. Definíció. Egy A ∈ L(H) operátor • önadjungált, ha A = A∗ , • izometrikus, ha kAxk = kxk minden x ∈ X-re, • unitér, ha izometrikus és szürjektív, • projektor, ha létezik egy K ⊂ H zárt altér, hogy minden x ∈ H-ra Ax = xK , • normális, ha AA∗ = A∗ A. 7.2. Megjegyzés. Minden projektor önadjungált, továbbá A pontosan akkor unitér, ha A bijekció és A−1 = A∗ . 7.3. Következmény. Ha A önadjungált, vagy unitér, vagy projektor, akkor A normális.

7.1.

Önadjungált operátorok

7.4. Állítás. Ha H komplex Hilbert-tér, akkor A ∈ L(H) önadjungált ⇐⇒ hAx, xi ∈ R

∀x ∈ H-ra.

Bizonyítás. Legyen A ∈ L(H) önadjungált. Ekkor hAx, xi = hx, A∗ xi = hx, Axi = hAx, xi, vagyis hAx, xi valós. Megfordítva, tegyük fel, hogy a kvadratikus alak valós értékű. Ekkor tetszőleges x, y ∈ H-ra hA(x + y), x + yi = hAx, xi + hAx, yi + hAy, xi + hAy, yi, {z } | {z } | {z } | ∈R

∈R

∈R

tehát hAx, yi + hAy, xi valós. Emiatt a képzetes részük egymás ellentettjei, így = hAx, yi = −= hAy, xi = = hx, Ayi .

(7.1)

Mivel x tetszőleges volt, ez érvényes ix-re is, azaz = hA(ix), yi = = hix, Ayi, vagyis =i hAx, yi = =i hx, Ayi .

(7.2)

A két egyenlőségből adódik, hogy < hAx, yi = < hx, Ayi, s mivel a valós és képzetes részük is megegyezik, így hAx, yi = hx, Ayi minden x, y ∈ H-ra, tehát A önadjungált. 43

7.5. Tétel. Ha A ∈ L(H) önadjungált, akkor kAk = sup {|hAx, xi| : kxk = 1}. Bizonyítás. Legyen F1 = {x ∈ H : kxk = 1} az egységgömb felszíne, α := supF1 |hAx, xi|. Be kell látni, hogy kAk = α. Mivel minden x ∈ F1 -re |hAx, xi| ≤ kAk kxk2 = kAk, ezért szuprémumot véve kapjuk, hogy α ≤ kAk. A másik irányhoz legyen z ∈ H tetszőleges. Ekkor z z kzk2 ≤ α kzk2 , |hAz, zi| = A , kzk kzk illetve A önadjungáltságát használva hA(x + y), x + yi − hA(x − y), x − yi = 2(hAx, yi + hAy, xi) = 2(hAx, yi + hAx, yi) = 4< hAx, yi . Ezekből és a parallelogramma-szabályból adódik a 1 1 < hAx, yi ≤ α kx + yk2 + kx − yk2 = α kxk2 + kyk2 4 2 becslés. Amennyiben x, y ∈ F1 , akkor az utolsó tag éppen α, azaz < hAx, yi ≤ α. Legyen most Ax ∈ F1 . Ekkor x ∈ F1 tetszőleges, y := kAxk

Ax < hAx, yi = < Ax, kAxk

= kAxk ≤ α,

azaz kAk = sup{kAxk : kxk = 1} ≤ α.

Vegyük észre, hogy ha az operátor nem önadjungált, akkor is érvényes a bizonyítás első része. A második rész módosításával egy becslés nyerhető α-ra tetszőleges operátor esetén. 7.6. Definíció. Legyen A ∈ L(H), ekkor a W (A) := {hAx, xi : kxk = 1} számhalmazt az A operátor numerikus értékkészletének, a w(A) := sup{|hAx, xi| : kxk = 1} számot numerikus sugárnak nevezzük. 7.7. Tétel. Legyen A ∈ L(H) tetszőleges, ekkor 1 kAk ≤ w(A) ≤ kAk . 2 Bizonyítás. A 7.5. tétel bizonyításának első lépése szerint w(A) ≤ kAk. A másik irányú becsléshez vegyünk egy 0 6= x ∈ H elemet, erre a numerikus sugár definíciója szerint érvényes az x x A ≤ w(A) , kxk kxk becslés, amiből |hAx, xi| ≤ w(A) kxk2 adódik minden x ∈ H-ra. Írjuk fel a polarizációs egyenlőséget az hx, yiA := hAx, yi konjugáltan bilineáris funkcionálra, ekkor 3

E 1X kD hAx, yi = i A x + ik y , x + ik y . 4 k=0

Abszolútértékre térve és a parallelogramma-szabályt használva kapjuk, hogy 3 D 3

2 E X X

k k 4 |hAx, yi| ≤ w(A) x + ik y = A x + i y ,x + i y ≤ k=0

k=0

44

h i = w(A) kx + yk2 + kx − yk2 + kx + iyk2 + kx − iyk2 = h i = w(A) 2 kxk2 + kyk2 + 2 kxk2 + kiyk2 = 4w(A) kxk2 + kyk2 , vagyis |hAx, yi| ≤ w(A) kxk2 + kyk2 . Most x és y-t normáljuk le, azaz 1 x y ≤ w(A) , |hAx, yi| = A kxk kyk kxk kyk

!

x 2 y 2

= 2w(A),

kxk + kyk

amiből az |hAx, yi| ≤ 2w(A) kxk kyk becslés adódik minden x, y ∈ H-ra. Speciálisan y = Ax-re kAxk2 ≤ 2w(A) kxk kAxk , amiből következik, hogy kAxk ≤ 2w(A) kxk, vagyis kAk ≤ 2w(A). Önadjungált operátorra már tudjuk, hogy w(A) = kAk, ezt még általánosabb esetben is állíthatjuk. 7.8. Állítás. Legyen A ∈ L(H) normális, azaz AA∗ = A∗ A. Ekkor w(A) = kAk. 7.9. Következmény. Ha A ∈ L(H) olyan, hogy hAx, xi = 0 minden x ∈ H-ra, akkor A = 0. Bizonyítás. A feltétel szerint hAx, xi valós minden x ∈ H-ra, a 7.4. állítás szerint A önadjungált, ezért a 7.5. tétel szerint kAk = w(A) = 0, tehát A = 0. Ennek csak egy átfogalmazása az alábbi 7.10. Következmény. Ha B, C ∈ L(H) és hBx, xi = hCx, xi minden x ∈ H-ra, akkor B = C. A 7.5. tétel segítségével egy rövid bizonyítás adható a 6.14. tételben szereplő C ∗ -tulajdonságra. 7.11. Állítás. Tetszőleges A ∈ L(H) esetén kAA∗ k = kAk2 . Bizonyítás. Vegyük észre, hogy A∗ A önadjungált, így kA∗ Ak = w(A∗ A) = sup |hA∗ A, xi| = sup |hAx, Axi| = sup kAxk2 = kAk2 . x∈F1

x∈F1

x∈F1

7.12. Definíció. Egy A ∈ L(H) operátor • pozitív, ha hAx, xi ≥ 0 minden x ∈ H-ra, • szigorúan pozitív, ha hAx, xi > 0 x 6= 0 esetén, • egyenletesen pozitív, ha létezik m > 0, hogy hAx, xi ≥ m kxk2 . A fent definiált operátorok önadjungáltak, mert a kvadratikus alakjuk valós. 7.13. Definíció. Legyen A, B ∈ L(H)-ra A ≥ B, ha A − B ≥ 0, azaz A − B pozitív operátor. 7.14. Állítás. A fenti reláció részbenrendezést definiál L(H)-ban. 7.15. Definíció. Legyen A ∈ L(H) szigorúan pozitív operátor, ekkor az hx, yiA := hAx, yi összefüggés skalárszorzatot definiál H-n, amelyet az A operátorhoz tartozó energia-skalárszorzatnak nevezünk. Ha A > 0, akkor az energia-norma gyengébb az eredetinél, hiszen kxk2A = hAx, xi ≤ kAk kxk2 . Egyenletesen pozitív operátor esetén a két norma ekvivalens, ugyanis ekkor létezik m > 0, hogy A ≥ m · I, emiatt kxk2A = hAx, xi ≥ hm · Ix, xi = m kxk2 . 7.16. Következmény. Egyenletesen pozitív operátor esetén (H, k·kA ) is teljes. 45

7.2.

Operátoregyenletek megoldhatósága

7.17. Tétel. Legyen A ∈ L(H) egyenletesen pozitív. Ekkor minden y ∈ H esetén az Ax = y egyenlet egyértelműen megoldható. Bizonyítás. Az egyenletes pozitivitás miatt (H, k·kA ) is Hilbert-tér. Rögzített y ∈ H-ra legyen φ : H → C, φv = hv, yi, amely nyílván lineáris és folytonos is, mert 1 1 |φv| = |hv, yi| ≤ kvk kyk ≤ √ kvkA kyk = √ kyk kvkA . m m A reprezentációs tétel szerint egyértelműen létezik egy x∗ ∈ H, melyre φv = hv, x∗ iA minden v ∈ H-ra. Ez az x∗ megoldása az Ax = y egyenletnek, mert hv, yi = φv = hv, x∗ iA = hAv, x∗ i = hv, Ax∗ i

∀v ∈ H-ra,

azaz y = Ax∗ .

7.18. Tétel. Legyen A ∈ L(H) olyan operátor, melyhez létezik m > 0, hogy < hAx, xi ≥ m kxk2 teljesül minden x ∈ H-ra. Ekkor minden y ∈ H-ra az Ax = y egyenlet egyértelműen megoldható. Bizonyítás. Legfeljebb egy megoldás lehet, mert m kxk2 ≤ < hAx, xi ≤ |hAx, xi| ≤ kAxk kxk miatt kAxk ≥ m kxk, azaz A injektív. Mivel < hA∗ x, xi =
7.3.

Integrálegyenletek

7.19. Tétel. Legyen I = [a, b], K ∈ L2 (I × I) valós értékű függvény. Legyen H = L2 (I) és B : H → H a következő: Z b (Bu) (x) = K(x, s)u(s) ds. a

Ekkor 1. B ∈ L L2 (I) ; 2. Ha K szimmetrikus, azaz K(x, y) = K(y, x), akkor B önadjungált; 3. Ha K úgynevezett pozitív magfüggvény, azaz létezik N ∈ L2 (I × I) valós függvény, hogy b

Z K(x, y) =

N (x, z)N (y, z) dz, a

akkor B pozitív operátor. 46

Bizonyítás. A linearitás könnyen belátható, a folytonossághoz legyen u ∈ L2 (I), ekkor a CBS-t alkalmazva 2 Z b Z b Z b Z b Z b 2 2 2 u (s) ds dx = K (x, s) ds · K(x, s)u(s) ds dx ≤ kBukL2 (I) = a

a

a

Z bZ

b

= a

a

a

a

K 2 (x, s) ds dx · kuk2L2 (I) = kKk2L2 (I×I) · kuk2L2 (I) ,

azaz kBuk ≤ kKk kuk, így B folytonos is. Ha K szimmetrikus, akkor Z hBu, viL2 =

b

Z bZ

b

(Bu)v = a

a

Z

b

a

Z K(s, x)v(x) dx ds =

a

a

a

hAu, viL2 =

u(s)(Bv)(s) ds = hu, BviL2 .

b

Rb

Z bZ

a b

Z

Z

b

u(s) a

b

N (x, s)u(s)v(x) dx ds = a

=

N (x, s)u(s) ds. Ekkor

a

N (x, s)u(s) ds v(x) dx = a

a

b

Végül ha K pozitív magfüggvény, akkor legyen (Au)(x) := Z bZ

b

K(x, s)u(s)v(x) dx ds =

a

b

Z u(s)

=

Z bZ K(x, s)u(s) ds v(x) dx =

a

D E ˆ N (x, s)v(x) dx ds = u, Av

a

L2

,

Rb ˆ ahol (Av)(s) := a N (x, s)v(x) dx. Ez az Aˆ teljesíti az adjungált definíciós egyenlőségét, így Aˆ = A∗ . Végül vegyük észre, hogy hBu, uiL2 = hAA∗ u, uiL2 = kA∗ uk2L2 ≥ 0. 7.20. Tétel. Legyen K ∈ L2 (I × I) pozitív magfüggvény. Ekkor az Z u(x) +

b

K(x, y)u(y) dy = f (x) a

integrálegyenletnek minden f ∈ L2 (I)-re egyértelműen létezik u∗ ∈ L2 (I) megoldása. Bizonyítás. Az egyenlet u + Bu = f alakú, ahol B az előző tételbeli operátor. Az I + B ∈ L(H) operátor önadjungált, sőt h(I + B)u, ui = kuk2 + hBu, ui ≥ kuk2 miatt egyenletesen pozitív is. Ekkor a 7.17. tétel szerint egyértelműen létezik megoldás az L2 (I) térben.

7.4.

Peremértékfeladatok gyenge (általánosított) megoldása

Legyen I = [a, b] korlátos, zárt intervallum és legyen H n (I) = W n,2 (I) ellátva az hu, viH n (I) =

Z bX n

u(k) v (k)

a k=0

skalárszorzással (lásd a 2.3.2. részben). Ha n = 1, akkor a H 1 (I) Szoboljev-térről beszélünk, ami tehát az Z b hu, viH 1 (I) = uv + u0 v 0 a

47

skalárszorzással ellátva Hilbert-tér. Tekintsük ennek a H01 (I) = {u ∈ H 1 (I) : u(a) = u(b) = 0} zárt alterét, amely tehát maga is Hilbert-tér. Vezessük be H01 (I)-n a Z b hu, viH 1 (I) = u0 v 0 0

a

skalárszozást. 7.21. Állítás. A H01 (I)-n értelmezett új és a H 1 (I)-től örökölt régi skalárszorzatok ekvivalensek. 7.22. Következmény. H01 (I), h·, ·iH 1 Hilbert-tér. 0

7.23. Állítás. Legyenek p, q ∈ L∞ (I), p(x) ≥ m > 0 és q(x) ≥ 0 minden x ∈ I-re. Ekkor Z b [u, v] := pu0 v 0 + quv a

egy skalárszorzat a

H01 (I)

téren és az [[u]] := [u, u]1/2 norma ekvivalens a H 1 -normával.

Tekintsük az I = [a, b] intervallumon az  0  Lu ≡ − (pu0 ) + qu = f (PF)  u(a) = u(b) = 0

(7.3)

peremértékfeladatot a q(x) ≥ 0, p(x) ≥ m > 0 feltételekkel, ahol q, f ∈ C(I), p ∈ C 1 (I). Ekkor létezik u∗ ∈ C 2 (I) erős (klasszikus) megoldás. Gyakran azonban gyengébb simasági feltételek teljesülnek a p és q függvényekre. Tekintsük például a   −u00 (x) = sgn(x) (7.4)  u(−1) = u(1) = 0 feladatot az I = [−1, 1]-en. Itt a jobb oldalon csak szakaszonként folytonos függvény áll és emiatt klasszikus megoldás sem létezik. Azonban az u(x) = x |x| /2 − 1/2 egy olyan abszolút folytonos függvény, amelynek a második deriváltja majdnem mindenütt létezik és egyenlő az sgn függvénnyel és a peremfeltételeket is teljesíti. Ezért a klasszikus megoldásfogalom helyett egy másik - gyengébb - fogalmat szeretnénk bevezetni. Amennyiben u klasszikus megoldás, akkor a (7.3) egyenletet beszorozva egy v ∈ H01 (I)-beli függvénnyel Z b Z b 0 0 − pu v + quv = f v ∀v ∈ H01 (I), a

a

ahonnan parciális integrálás után, a peremfeltételeket felhasználva az Z b Z b 0 0 pu v + quv = f v ∀v ∈ H01 (I), a

a

egyenlőséget kapjuk, ahol a bal oldalon u ∈

H01 (I)

esetén is értelmes kifejezést kaptunk.

7.24. Definíció. Az u ∈ H01 (I) függvényt a (7.3) peremértékfeladat gyenge megoldásának nevezzük, ha Z b Z b 0 0 fv pu v + quv = a

teljesül minden v ∈

a

H01 (I)-re. 48

7.25. Tétel. Legyen p, q ∈ L∞ (I), p(x) ≥ m > 0, q(x) ≥ 0 m. m. x ∈ I-re. Ekkor a (7.3) peremértékfeladatnak minden f ∈ L2 (I) esetén egyértelműen létezik u ∈ H01 (I) gyenge megoldása. Rb Bizonyítás. A H01 (I) téren a már korábban bevezetett [u, v] = a (pu0 v 0 + quv) skalárszorzat ekvivalens az eredeti H 1 (I) skalárszorzattal, így H01 (I) az új skalárszorzattal ellátva is Hilbert-tér. Az ekvivalencia miatt létezik K > 0, hogy kvkL2 (I) ≤ kvkH 1 (I) ≤ K[[v]] Rb minden v ∈ H01 (I)-re. Legyen φ : H01 (I) → C a φv = a vf funkcionál. Ez lineáris, másrészt |φv| ≤ kvkL2 (I) kf kL2 (I) ≤ K kf kL2 (I) [[v]], azaz φ folytonos is a fenti Hilbert-térben. Riesz reprezentációs tétele szerint ∃! u ∈ H01 (I), melyre φv = [v, u] minden v ∈ H01 (I)-re. Ez éppen azt jelenti, hogy Z b Z b 0 0 pv u + qvu = vf , a

a

ezt konjugálva pedig éppen a gyenge megoldás definíciójához jutunk.

7.5.

Projektorok

7.26. Definíció. A P ∈ L(H) operátor projektor, ha létezik K ⊂ H zárt altér, hogy x = xK + xK ⊥ esetén P x = xK . 7.27. Állítás. Legyen K ⊂ H zárt altér. Ekkor 1. Ha PK jelöli a K altérre merőlegesen vetítő projekciót, akkor PK ∈ L(H), továbbá ha K 6= {0}, akkor kPK k = 1; 2 =P ; 2. PK idempotens, azaz PK K

3. PK önadjungált, sőt pozitív operátor. Bizonyítás. Mivel kPK xk = kxK k ≤ kxk, ezért kPK k ≤ 1. Ha 0 6= x ∈ K, akkor kPK xk = kxk, 2 x = (x ) = x = P x, tehát P idempotens. Végül azaz kPK k = 1. Továbbá PK K K K K K hPK x, xi = hPK x, xK + xK ⊥ i = kxK k2 + hxK , xK ⊥ i = kxK k2 ≥ 0. 7.28. Állítás. Az A ∈ L(H) operátor pontosan akkor projektor, ha idempotens és önadjungált. Bizonyítás. Az egyik irányt most láttuk be, tegyük fel tehát, hogy az A ∈ L(H)-ra A = A∗ és A2 = A. Az utóbbi feltételből következik, hogy K := ran(A) = {x ∈ H : Ax = x}. Ez nyílván egy altér, mutassuk meg, hogy zárt is. Legyen (xn ) ⊂ K egy sorozat, xn → x. Kell, hogy x ∈ K szintén. Mivel A ∈ L(H), ezért xn = Axn → Ax, azaz x = Ax, tehát x ∈ K. Legyen y ∈ H tetszőleges, ekkor y = Ay + (I − A)y. Mivel A idempotens, ezért A(Ay) = Ay, tehát a felbontás első tagja K-ban van, a második pedig K ⊥ -ben, hiszen minden z ∈ K-ra hz, (I − A)yi = h(I − A)z, yi = hz − z, yi = 0. Ez tehát egy ortogonális felbontás és Ay = yK , tehát A a K zárt altérre való ortogonális projekció. 49

7.6.

Izometrikus és unitér operátorok

7.29. Definíció. Az A ∈ L(H) operátor izometrikus, ha kAxk = kxk minden x ∈ H-ra. 7.30. Megjegyzés. Ha A ∈ L(H) izometrikus, akkor A injektív, kAk = 1 és A−1 folytonos. Persze ran(A) nem feltétlenül lesz az egész tér, például `2 -n az eltolás-operátor (shift) izometrikus, de nem szürjektív. (A(x1 , x2 , x3 , . . .) = (0, x1 , x2 , . . .)) 7.31. Definíció. Az U ∈ L(H) operátor unitér, ha izometrikus és szürjektív is. 7.32. Állítás. U ∈ L(H) unitér ⇐⇒ U bijekció és U −1 = U ∗ . Bizonyítás. Legyen tehát U unitér. Ekkor U szürjektív és az izometriából következően injektív is, tehát bijekció. Tudjuk még, hogy kU xk = kxk minden x ∈ X-re. Írjuk fel a 3.9. állításban szereplő polarizációs egyenlőséget: hx, yi =

3 3 3

2 1 X

2 2 1 X 1X k

i x + ik y = ik U x + ik y = ik U x + ik U y = hU x, U yi , 4 4 4 k=0

k=0

k=0

amiből adódik, hogy hx, yi = hx, U ∗ U yi minden x, y ∈ H-ra. Ebből következik, hogy y = U ∗ U y minden y ∈ H-ra, azaz I = U ∗ U , tehát U −1 = U ∗ . A fordított irányhoz elég az izometriát belátni. Ez pedig azonnal adódik az kU xk2 = hU x, U xi = hx, U ∗ U xi = hx, xi = kxk2

egyenlőségből.

7.7.

Fourier-transzformáció

Ebben a rövid szakaszban vázlatosan ismertetünk egy fontos példát unitér operátorra. 7.33. Definíció. Legyen f ∈ L1 (R), ekkor az 1 (Ff )(x) = fˆ(x) = √ 2π

Z

eixy f (y) dy

R

összefüggéssel definiált fˆ függvényt az f Fourier-transzformáltjának nevezzük. 7.34. Állítás. Minden f ∈ L1 (R)-re Ff egy végtelenben eltűnő folytonos függvény és kFf k∞ ≤ kf kL1 . 7.35. Tétel. Ha f, fˆ ∈ L1 (R), akkor 1 f (x) = √ 2π

Z

e−ixy fˆ(y) dy

R

teljesül majdnem minden x ∈ R-re. A Fourier-transzformációt ki lehet terjeszteni L2 (R)-re is, méghozzá van olyan P : L2 (R) → L2 (R) izometrikus leképezés (Plancherel-transzformáció), hogy minden f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R)-re Pf = Ff . Ha most P-t értjük Fourier-transzformáció alatt és azt is F-fel jelöljük, továbbá (F ∗ f )(x) := (Ff )(−x), akkor érvényes az alábbi 7.36. Tétel. Az F : L2 (R) → L2 (R) Fourier-transzformáció adjungáltja a fenti F ∗ operátor, sőt F izometrikus és inverze F ∗ . 50

7.8.

Kompakt operátorok Hilbert-térben

Ebben a részben szükségünk lesz két fogalomra a metrikus terek elméletéből, lásd részletesebben az A függelékben. 7.37. Definíció. Egy (X, d) metrikus tér N részhalmaza ε-háló az A ⊂ X-re vonatkozóan, ha minden x ∈ A-hoz létezik y ∈ N , hogy d(x, y) < ε. Egy K ⊂ X halmaz teljesen korlátos, ha minden ε > 0-ra található hozzá egy véges ε-háló. Mostantól legyen ismét H Hilbert-tér, bár mivel a definíciók és a tételek nagyrésze normált térben is értelmes, illetve érvényben marad, ezért ahol lehet, az általánosabb esetet tárgyaljuk. 7.38. Definíció. Egy K ∈ L(H) operátor kompakt (vagy teljesen folytonos), ha minden korlátos halmaz képe relatív kompakt. Mivel teljes metrikus térben (és így Hilbert-térben is) a relatív kompakt és a teljesen korlátos halmazok egybeesnek, így 7.39. Állítás. K ∈ L(H) kompakt ⇐⇒ minden korlátos halmaz képe teljesen korlátos. Nyílván minden kompakt operátor folytonos is, hiszen korlátos halmazt korlátosba visz, ugyanis ha A ⊂ H korlátos, akkor K(A) relatív kompakt, így a lezártja kompakt, ami korlátos. Véges dimenzióban minden lineáris operátor kompakt, azaz véges dimenziós téren értelmezett operátorok körében a folytonos és kompakt operátorok egybeesnek. Hasonlóan kompakt lesz minden minden olyan K ∈ L(H) operátor, melyre ran(K) dimenziója véges (véges rangú operátor), mert véges dimenzióban a teljesen korlátos és a korlátos halmaz fogalma egybeesik. Így ahhoz, hogy példát lássunk folytonos nemkompakt operátorra, egy végtelen dimenziós teret kell tekintenünk. Ezek közül viszont bármelyik jó lesz, mert 7.40. Állítás. Végtelen dimenziós térben az identitás operátor nem kompakt. Bizonyítás. Hilbert-tér esetén a bizonyítás egyszerű, mert tudjuk, hogy a 3.2. szakaszban leírtak szerint létezik teljes ortonormált rendszer H-ban, így kIeα − Ieβ k2 = keα − eβ k2 = keα k2 + keβ k2 = 2, emiatt a B(0, 1) ⊂ H korlátos halmaz képe nem lesz teljesen korlátos, mert (Ien )-nek nincs konvergens részsorozata. Normált tér esetén a Riesz-lemma segítségével választható ki olyan sorozat, melyek tagjai „távol vannak egymástól”. 7.41. Állítás. Kompakt operátorokra az alábbi tulajdonságok teljesülnek: 1. A kompakt operátorok vektorteret alkotnak, 2. Ha X normált tér, Y Banach-tér, Kn ∈ L(X, Y ) kompakt operátorokból álló sorozat és lim kKn − Kk = 0, akkor K is kompakt, n→∞

3. A kompakt operátorok osztálya kétoldali ideált alkot a folytonos lineáris operátorok L(X) gyűrűjében, 4. Ha K kompakt operátor, akkor ran(A) szeparábilis. Bizonyítás. 1. Ha A kompakt, λ ∈ C, akkor (λA) triviálisan kompakt, elég tehát két kompakt összegét vizsgálni. Legyenek A, B ∈ L(X, Y ) kompakt operátorok, S ⊂ X korlátos halmaz. Ekkor (A + B)(S) ⊂ A(S) + B(S) ⊂ A(S) + B(S), 51

ahol az utolsó két kompakt halmaz összege, így maga is kompakt. Tehát (A + B)(S) relatív kompakt. 2. Elég belátni, hogy K(B(0, 1)) relatív kompakt, de mivel Y Banach-tér, ez ugyanaz, hogy K(B(0, 1)) teljesen korlátos. Legyen ε > 0 és adjunk meg hozzá egy véges ε-hálót. Mivel Kn → K operátornormában, ezért létezik n0 ∈ N, hogy minden n ≥ n0 -ra ε kKn − Kk < . 2 Kn0 kompakt, így létezik y1 , y2 , . . . , yk ∈ Y , hogy minden y ∈ Kn0 (B(0, 1))-re ky − yi k <

ε 2

valamely i indexre. Ez ugyanazt jelenti, hogy bármely x ∈ B(0, 1)-re létezik i, hogy ε kKn0 x − yi k < . 2 Ekkor tetszőleges x ∈ B(0, 1)-re van olyan yi , hogy kKx − yi k ≤ kKx − Kn0 xk + kKn0 x − yi k ≤ kK − Kn0 k kxk + kKn0 x − yi k < ε, tehát a Kn0 -hoz tartozó ε/2-háló jó lesz ε-hálónak K-hoz. 3. Legyen K ∈ L(X) kompakt, A, B ∈ L(X), S ⊂ X korlátos halmaz. Kell, hogy (KA)(S) és (BK)(S) relatív kompakt halmazok. Tekintsük először (KA)(S) = K(A(S))-t. Mivel A folytonos, ezért A(S) korlátos halmaz, így K kompaktsága miatt K(A(S)) relatív kompakt, tehát KA kompakt. Ha most B(K(S))-et tekintjük, K(S) relatív kompakt. Mivel relatív kompakt halmaz folytonos képe relatív kompakt, ezért B folytonossága miatt B(K(S)) relatív kompakt. 4. Használjuk fel, hogy teljesen korlátos metrikus tér szeparábilis. Legyen K ∈ L(X, Y ) ∞ kompakt. Mivel X = ∪∞ n=1 B(0, n), ezért K(X) = ∪n=1 K(B(0, n)). K kompakt, így minden n-re K(B(0, n)) relatív kompakt, egyben teljes korlátos is. Ebből következően K(X)-et szeparábilis terek megszámlálható uniójaként írtuk fel, tehát maga is szeparábilis. Mivel egy véges rangú operátor mindig kompakt, az előző tétel szerint ilyenek limesze is kompakt. Hilbert-térben ez fordítva is igaz, nevezetesen 7.42. Tétel. Legyen X normált tér, H Hilbert-tér, ekkor a véges rangú operátorok sűrű alteret alkotnak az L(X, H)-beli kompakt operátorok halmazában. Bizonyítás. Belátjuk, hogy minden K ∈ L(X, H) kompakt operátorra és ε > 0-ra létezik K-tól operátornormában legfeljebb ε-távolságra levő véges rangú operátor. K kompakt, tehát K(B(0, 1)) ⊂ H teljesen korlátos. Nyílván olyan ε-háló is létezik, amelynek pontjai K(B(0, 1))beliek. Legyenek tehát x1 , . . . , xn ∈ X olyan elemek, hogy a Kx1 , . . . , Kxn pontok ε-hálót alkotnak K(B(0, 1))-re nézve. Legyen M := span{Kx1 , . . . , Kxn }. Ez a H Hilbert-tér véges dimenziós altere, legyen PM az M -re vett ortogonális projekció. Ekkor PM véges rangú, folytonos és lineáris. Legyen x ∈ B(0, 1) tetszőleges, ekkor létezik xi , hogy kKx − Kxi k < ε. Ekkor kKx − PM Kxk = kKx − Kxi + Kxi − PM Kxk = kKx − Kxi + PM Kxi − PM Kxk = k(I − PM )(Kx − Kxi )k ≤ kI − PM k kKx − Kxi k < ε, mert (I − PM ) = PM ⊥ szintén ortogonális projekció, így normája 1. Tehát kK − (PM K)k ≤ ε, ahol PM K véges rangú. 7.43. Következmény. Ha X normált tér, H Hilbert tér, akkor minden K ∈ L(X, H) kompakt operátor előáll véges rangú operátorok limeszeként. 52

7.44. Állítás. Ha X végtelen dimenziós normált tér, K ∈ L(X) kompakt. Ha létezik az egész téren értelmezett inverze, akkor az nem lehet folytonos lineáris. Bizonyítás. Ha K −1 ∈ L(X), akkor K −1 K = I az ideáltulajdonság miatt kompakt lenne, de végtelen dimenziós térben az identitás nem lehet kompakt. Ez nyílván Banach-tér esetén is igaz, ám ekkor ez egy üres állítás, ugyanis az alábbiak szerint végtelen dimenziós Banach-térbe képező kompakt operátornak nem létezhet az egész téren értelmezett inverze. 7.45. Állítás. Legyenek X és Y Banach-terek, K ∈ L(X, Y ) kompakt operátor és ran(K) ⊂ Y zárt. Ekkor ran(K) véges dimenziós. Bizonyítás. Mivel ran(K) zárt altér az Y Banach-térben, így teljes is. Ekkor K ∈ L(X, ran(K)) Banach-terek közötti szürjektív operátor. Az 5.16. tétel szerint K nyílt leképezés. Eszerint a B(0, 1) ⊂ X egységgömb képe nyílt halmaz, azaz V := K(B(0, 1)) környezete a nullának ran(A)ban, másképpen mondva létezik r > 0, hogy B(0, r) ⊂ V . Viszont K kompakt, így V teljesen korlátos (és vele együtt V minden részhalmaza is), de ez B(0, r)-re csak véges dimenzióban teljesül. 7.46. Következmény. Ha X és Y Banach-terek, K ∈ L(X, Y ) kompakt operátor és Y végtelen dimenziós, akkor K nem lehet szürjektív.

53

8. fejezet

Sajátérték és spektrum 8.1. Definíció. Egy A ∈ L(H) operátornak a λ ∈ C szám sajátértéke, ha létezik 0 6= u ∈ H, hogy Au = λu. Az u vektort sajátvektornak nevezzük. Az A ∈ L(H) operátor sajátértékeinek halmazát Eig(A)-val jelöljük. 8.2. Tétel. Hilbert-téren értelmezett speciális operátorok sajátértékeire az alábbiak teljesülnek: 1. Önadjungált operátor sajátértékei valósak, a különböző sajátértékekehez tartozó sajátvektorok ortogonálisak; 2. Pozitív (szigorúan pozitív) operátor sajátértékei nemnegatívak (pozitívak); 3. Unitér operátor sajátértékeire |λ| = 1. Bizonyítás. Legyen A önadjungált, Au = λu, u 6= 0. Ekkor λ hu, ui = hλu, ui = hAu, ui = hu, Aui = hu, λui = λ hu, ui , vagyis λ ∈ R. Legyen most µ 6= λ egy másik sajátérték, Av = µv. Ekkor λ hu, vi = hλu, vi = hAu, vi = hu, Avi = µ hu, vi = µ hu, vi , azaz hu, vi = 0. Ha A pozitív operátor, akkor λ kuk2 = λ hu, ui = hAu, ui ≥ 0, vagyis λ ≥ 0. Végül ha A unitér, akkor kuk = kAuk = |λ| kuk, tehát |λ| = 1.

8.1.

Spektrális tulajdonságok Hilbert-térben

8.3. Definíció. Egy A ∈ L(H) operátornak egy λ ∈ C reguláris értéke, ha A − λI : H → H bijekció és (A − λI)−1 ∈ L(H). Ha λ nem reguláris, akkor szinguláris értéknek nevezzük. 8.4. Megjegyzés. Elég lenne feltenni, hogy A − λI bijekció, mert az 5.14. következmény szerint az inverze korlátos lineáris operátor lesz. Az A ∈ L(H) reguláris értékeinek halmazát jelölje %(A), a szinguláris értékekét pedig σ(A). 8.5. Definíció. A ∈ L(H) esetén σ(A)-t az A operátor spektrumának nevezzük. A sajátértékek tehát - amennyiben van egyáltalán sajátérték - mind a spektrumban vannak. Ha pedig λ ∈ %(A), akkor az azt jelenti, hogy az Ax−λx = y egyenlet minden y ∈ H-ra egyértelműen megoldható, továbbá a megoldás folytonosan függ y-tól, vagyis az egyenlet korrekt kitűzésű. 8.6. Megjegyzés. Az A lineáris operátor spektrumát általánosabban is lehet definiálni, ha X csak normált tér és dom(A) ⊂ X. Ilyenkor a sajátértékek halmazát az A pontspektrumának nevezik és σp (A) jelöli. 54

8.7. Definíció. Egy A ∈ L(H) operátor reguláris, ha A : H → H bijekció. A reguláris operátorok halmazát L(H)-ban jelölje Reg(H). Ismét hivatkozva az 5.14. következményre, ha A ∈ Reg(H), akkor nem csak A, hanem A−1 is folytonos lineáris operátor. 8.8. Következmény. λ ∈ %(A) ⇐⇒ A − λI ∈ Reg(H). 8.9. Tétel (Neumann-sor). Legyen A ∈ L(H), kAk < 1. Ekkor I − A ∈ Reg(H) és (I − A)−1 =

∞ X

An .

n=0

Bizonyítás. A

P

nA

n

sor konvergens lesz L(H)-normában, mert kAn k ≤ kAkn és ∞ X

n

kA k ≤

n=0

∞ X

kAkn =

n=0

1 , 1 − kAk

így a Weierstrass-kritérium szerint az operátorsor abszolút konvergens. Mivel a tér teljes, ezért abszolút konvergens sor egyben konvergens is, legyen S ∈ L(H) az összege. Ekkor nyílván An → 0 és ! ! n n X X (I − A) Ak = Ak (I − A) = I − An+1 k=0

k=0

miatt a jobb oldal I-hez tart, ha n → ∞, tehát I − A bijekció és S = (I − A)−1 .

8.10. Következmény. Reg(H) nyílt halmaz L(H)-ban, azaz minden B ∈ Reg(H)-hoz létezik ε > 0, hogy ha D ∈ L(H) és kDk < ε, akkor B − D ∈ Reg(H).

Bizonyítás. Legyen 1/ε = B −1 . Ekkor −1 − A), B − D = B(I − B | {z D}) = B (I | {z } A

bijekció

ahol a feltétel szerint kAk < 1, tehát B − D is bijekció. 8.11. Következmény. Legyen B ∈ Reg(H). Ha C ∈ L(H)-ra teljesül, hogy kB − Ck <

1 , kB −1 k

akkor C ∈ Reg(H). Bizonyítás. C = B − (B − C) = B(I − B −1 (B − C)), ahol a feltevés szerint kAk < 1. Az {z } | A

előzőek szerint C két reguláris leképezés kompozíciója, így maga is reguláris. Becslés is adható C −1 normájára, hiszen

−1

−1

B

−1

C = (I − A)−1 B −1 ≤ (I − A)−1 B −1 ≤ B ≤ . 1 − kAk 1 − kB −1 k kB − Ck 8.12. Következmény. A Reg(H)-n értelmezett inv(B) := B −1 invertálás folytonos operátor.

55

Bizonyítás. Legyen B ∈ Reg(H) és B n ∈ Reg(H) olyan sorozat, hogy Bn → B. Ekkor elég nagy indexre már kB − Bn k ≤ 1/ B −1 . A Bn−1 − B −1 = Bn−1 (B − Bn )B −1 azonosságból és a fenti becslésből (C helyére Bn -et írva) nyerjük, hogy

−1

Bn − B −1 ≤ Bn−1 kB − Bn k B −1 ≤

−1 2

B kB − Bn k , 1 − kB −1 k kB − Bn k

ha n > n0 , azaz inv(Bn ) → inv(B).

8.13. Következmény. Legyen A ∈ L(H), ekkor %(A) nyílt, vagyis ha λ ∈ %(A) és µ ∈ C-re 1 teljesül, hogy |µ| < , akkor λ + µ ∈ %(A). k(A − λI)−1 k Bizonyítás. Mivel A − (λ + µ)I = (A − λI) − µI, a B = (A − λI), D = µI szereposztással teljesülnek a 8.10. következmény feltételei, azaz B − D ∈ Reg(H), vagyis λ + µ ∈ %(A). 8.14. Következmény. Minden A ∈ L(H) operátor σ(A) spektruma zárt. 8.15. Állítás. Minden A ∈ L(H)-ra σ(A) korlátos, éspedig minden λ ∈ σ(A)-ra |λ| ≤ kAk. Bizonyítás. Legyen λ ∈ C, |λ| > kAk. Ekkor λ reguláris érték, ugyanis 1 A − λI = −λ I − A = −λ(I − B), λ ahol kBk < 1, tehát a 8.9. tétel szerint (I − B) ∈ Reg(H), azaz λ ∈ %(A).

8.16. Következmény. Minden A ∈ L(H)-ra a spektrum kompakt részhalmaza C-nek. 8.17. Állítás. Ha H komplex Hilbert-tér, akkor minden A ∈ L(H)-ra σ(A) 6= ∅. A spektrum tehát egy olyan nemüres korlátos és zárt halmaz, amely teljesen benne van az origó középpontú, kAk sugarú zárt gömbben. Azonban lehetséges, hogy egy kisebb sugarú gömb is tartalmazza σ(A)-t. 8.18. Definíció. Az A ∈ L(H) operátor spektrálsugara legyen r(A) = inf kAn k1/n . n

Mivel minden A ∈ L(H) esetén és minden n ∈ N-re kAn k ≤ kAkn , ezért r(A) ≤ kAk. A spektrálsugár definíciójában az infimum valójában limesz, ennek bizonyításáshoz azonban egy kis kitérőt kell tennünk. 8.19. Definíció. Egy (an ) valós számsorozatot szubadditívnak nevezünk, ha minden k, m ∈ N-re ak+m ≤ ak + am . A (bn ) valós számsorozat szubmultiplikatív, ha a sorozat minden tagja pozitív és bk+m ≤ bk bm minden k, m ∈ N-re. 8.20. Lemma. Ha (an ) szubadditív sorozat, akkor (an /n) konvergens (esetleg −∞-hez tart) és an an = inf . n→∞ n n≥1 n lim

Bizonyítás. Legyen m ∈ N rögzített, ekkor minden n ∈ N-hez léteznek qn , rn ∈ N számok, hogy n = qn m + rn , ahol 0 ≤ rn < m. Ha n ≥ m, akkor aqn m+rm an qn am + arm am ar = + n . ≤ = n q n m + rm qn m m qn m 56

Ha n → ∞, akkor qn → ∞ és a második tag a jobb oldalon nullához tart (a számláló véges sok értéket vehet fel, a nevező végtelenhez tart), tehát an am ≤ n m

lim sup n→∞

teljesül minden m ∈ N-re, azaz lim sup n→∞

an am am ≤ inf ≤ lim inf , m→∞ m m≥1 m n

amiből a lemma állítása már következik. 8.21. Következmény. Ha (bn ) szubmultiplikatív sorozat, akkor inf b1/n = lim b1/n n n . n≥1

n→∞

Bizonyítás. Ha (bn ) szubmultiplikatív, akkor bn > 0 és an := log bn szubadditív sorozat. Mivel az exponenciális függvény folytonos, a logaritmusfüggvény pedig szigorúan monoton növő, ezért az előző lemma szerint a an an n 1/n lim b1/n = lim exp log b = lim exp = exp lim = exp inf = n n n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n n≥1 n n = exp inf log b1/n = exp log inf b1/n = inf b1/n n n n . n≥1

n≥1

n≥1

8.22. Állítás. r(A) = inf kAn k1/n = lim kAn k1/n . n

n→∞

Bizonyítás. Legyen bn = kAn k. Ha létezik olyan n ∈ N, melyre An = 0, akkor az álítás nyílván teljesül. Ha nincs ilyen kitevő, akkor bn > 0 és szubmultiplikatív, így az előző következmény alkalmazható. 8.23. Állítás. r(A) = sup |λ|. λ∈σ(A)

8.24. Lemma. A ∈ L(H) normális ⇐⇒ kA∗ xk = kAxk minden x ∈ H-ra. Bizonyítás. Mivel A normális, ez azt jelenti, hogy AA∗ = A∗ A. Ekkor nyílván hAA∗ x, xi = hA∗ Ax, xi, de ez fordítva is igaz a 7.10. következmény szerint. Viszont a két kvadratikus alak pontosan akkor egyenlő, ha hA∗ x, A∗ xi = hAx, A∗∗ xi = hAx, Axi, azaz kA∗ xk = kAxk. 8.25. Állítás. Ha A ∈ L(H) normális operátor, akkor r(A) = kAk, sőt van olyan λ ∈ σ(A), hogy |λ| = kAk.

Bizonyítás. A lemmában x-et Ax-re cserélve adódik, hogy A2 x = kA∗ Axk minden x ∈ H-ra,

azaz A2 = kA∗ Ak. Ezt felhasználva a C ∗ -tulajdonság szerint A2 = kAk2 . Az 6.14. állítás 3. része szerint (An )∗ = (A∗ )n , emiatt ha A normális, akkor An is az. Ebből indukcióval adódik, hogy minden k ∈ N-re

k

2 2k

A = kAk . Így

n 1/2n = lim kAk = kAk . r(A) = lim kAn k1/n = lim A2 n→∞

n→∞

n→∞

A λ 7→ |λ| folytonos függvény, σ(A) kompakt, ezért kAk = r(A) = sup |λ| = max |λ| . λ∈σ(A)

λ∈σ(A)

57

8.2.

Kompakt önadjungált operátorok spektruma

8.26. Tétel. Legyen K ∈ L(H) kompakt, ekkor K-nak legfeljebb megszámlálható sok sajátértéke van és ezek csak a nullában torlódhatnak. Bizonyítás. Legyen ε > 0 rögzített, ekkor az Fε := {λ ∈ Eig(K) : |λ| ≥ ε} halmaz véges. Ennek igazolásához tegyük fel indirekt, hogy van olyan ε > 0, hogy Fε végtelen halmaz. Ekkor kiválasztható belőle λ1 , λ2 , . . . , λn , . . . páronként különböző elemek, legyenek a megfelelő normált sajátvektorok x1 , x2 , . . . , xn , . . . Legyen Mn = span{x1 , . . . , xn }, ami véges dimenziós altér, tehát zárt. Mivel a különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlenek, ezért az Mn−1 ⊂ Mn tartalmazás valódi. Ekkor alkalmazható a 2.8. lemma, azaz létezik yn ∈ Mn , hogy kyn k = P 1 és mondjuk kyn − xk ≥ 1/2 minden x ∈ Mn−1 -re. Legyen most x ∈ Mn , x = ni=1 ci xi . Ekkor (λn I − K)x = λn x − Kx = λn x −

n X

ci λi xi = λn

i=1

n X

ci xi −

i=1

n X

ci λi xi =

i=1

n−1 X

ci (λn − λi )xi ,

i=1

azaz (λn I − K)Mn ⊂ Mn−1 . Így 1 ≤ m < n esetén z = (λn I − K)yn + {z } | ∈Mn−1

Kym | {z }

∈ Mn−1 .

∈Mm ⊂Mn−1

Ezt felhasználva Kyn − Kym = λn yn − (λn yn − Kyn + Kym ) = λn yn − z = λn

z yn − λn

,

ami azt jelenti, hogy

z

≥ |λn | ≥ ε . kKyn − Kym k = |λn | yn − λn 2 2 Ez viszont ellentmond K kompaktságának, mert az {yn : n ∈ N} halmaz korlátos, de (Kyn )ből nem választható ki konvergens részsorozat. Tehát Fε véges halmaz és mivel Eig(K) \ {0} = ∪∞ n=1 F1/n , a bizonyítás kész. 8.27. Lemma. Legyen A ∈ L(H) kompakt önadjungált operátor, ekkor A-nak van olyan λ ∈ R sajátértéke, hogy |λ| = kAk. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy A 6= 0. A 7.5. tétel szerint önadjungált operátor esetén kAk = sup {|hAx, xi| : kxk = 1} . Legyen m = inf {hAx, xi : kxk = 1}, M = sup {hAx, xi : kxk = 1}. Megmutatjuk, hogy m ha kAk = |m| , λ := M ha kAk = M sajátértéke A-nak. Tekintsük mondjuk azt az esetet, amikor kAk = M , a másik eset bizonyítása teljesen hasonló. Ekkor létezik egy (xn ) sorozat, melyre kxn k = 1 és hAxn , xn i → M . A kompakt, így kiválasztható (Axn )-ből egy konvergens részsorozat, mondjuk Axnk → y. Ekkor kAxnk − M xnk k2 = kAxnk k2 − 2M hAxnk , xnk i + M 2 ≤ kAk2 − 2M hAxnk , xnk i + M 2 = 58

k→∞

= 2M 2 − 2M hAxnk , xnk i = 2M (M − hAxnk , xnk i) −−−→ 0, azaz lim (Axnk − M xnk ) = 0. Emiatt az (xnk ) részsorozat konvergens is, mert n→∞

xnk =

(Axnk − (Axnk − M xnk )) y → =: z. M M

Végül A folytonossága miatt 0 = lim (Axnk − M xnk ) = Az − M z, n→∞

tehát Az = M z, vagyis M = kAk sajátérték. Itt xnk → z, kxnk k = 1 miatt kzk = 1, tehát z 6= 0 sajátvektor. 8.28. Lemma. Legyen A ∈ L(H) önadjungált operátor, x1 , x2 . . . , xk sajátvektorai A-nak, ekkor a Hk = {y ∈ H : hy, xi i = 0 minden 1 ≤ i ≤ k-ra} halmaz zárt, A-invariáns altér, azaz A|Hk ∈ L(Hk , Hk ) önadjungált operátor. Bizonyítás. Ha λi az xi -hez tartozó sajátérték, akkor y ∈ Hk -ra és 1 ≤ i ≤ k-ra hAy, xi i = hy, A∗ xi i = hy, Axi i = λi hy, xi i = 0, tehát Ay ∈ Hk .

8.29. Tétel (Hilbert–Schmidt). Legyen H szeparábilis Hilbert-tér, A ∈ L(H) kompakt, önadjungált operátor. Ekkor létezik (λn ) ⊂ R sorozat, melynek csak a nulla lehet torlódási pontja és létezik {en } teljes ortonormált rendszer, hogy Aen = λn en . Ezenkívül Ax =

∞ X

λn Pn x,

n=1

ahol Pn az Sn := {x ∈ H : Ax = λn x} sajátaltérre vett ortogonális projekció és (λn ) a nemnulla, páronként különböző |λ1 | > |λ2 | > . . . sajátértékek egy felsorolása. Bizonyítás. Ha A 6= 0, akkor a 8.27. lemma szerint létezik λ ∈ R, hogy Ay = λy valamilyen 0 6= y ∈ H-ra. y Legyen e1 = kyk , λ1 = λ, H0 = H. Ha valamilyen k ∈ N-re e1 , . . . , ek és λ1 , . . . , λk már ismert, akkor legyen Hk a 8.28. lemmában szereplő invariáns altér. Ha A|Hk nem nulla, akkor van olyan λk+1 ∈ R és ek+1 ∈ Hk , hogy kek+1 k = 1, Aek+1 = λk+1 ek+1 és |λk+1 | = kA|Hk k. Mivel A-t egyre kisebb altérre szűkítjük le, ezért |λk+1 | ≤ |λk |. Legyen Kn ∈ L(H) a következő operátor: Kn x :=

n X

λk hx, ek i ek .

k=1

Ha egy N indexre A|HN = 0, akkor csak véges sok λi nem nulla, így KN = A, azaz A véges rangú és mivel minden x ∈ H előáll x=

N X

hx, ek i ek + x0

k=1

alakban, ahol x0 ∈ HN (H = span{e1 , . . . , eN } ⊕ HN ), így Ax =

N X

λk hx, ek i ek + A(xN +1 ) =

k=1

N X k=1

59

λk hx, ek i ek .

Ekkor az e1 , . . . , eN vektorokat kiegészíthetjük a HN tér eN +1 , eN +2 , . . . egy teljes ortonormált rendszerével, bevezetve a λm = 0 (m > N ) számokat. Tegyük fel most, hogy a konstrukció nem szakad meg. Ekkor λn → 0, ellenkező esetben ugyanis a zk = (ek /λk ) sorozat korlátos volna, de az Azk = ek sorozatból nem lehetne kiválasztani konvergens részsorozatot (kek − em k2 = 2), ez viszont ellentmondana A kompaktságának. Mivel λk 6= 0, ezért mindegyik ek merőleges ker(A)-ra a 8.2. tétel 1. része miatt. Az (en ) ortonormált rendszer TONR-t alkot ker(A)⊥ -ben, ugyanis legyen x ∈ ker(A)⊥ olyan, hogy merőleges mindegyik ek -ra, azaz x ∈ Hk minden k-ra. Emiatt kAxk = kA|Hk xk ≤ |λk+1 | kxk → 0, vagyis Ax = 0. Emiatt x ∈ ker(A) is teljesül, tehát x = 0. Ha ker(A) nem csak a nullából áll, akkor az {en } rendszert kiegészítve ker(A) egy {fn } teljes ortonormált rendszerével, egy sajátvektorokból álló TONR-t kapunk H-ban. Végezetül mivel A önadjungált operátor és Kn is az (mert (λn ) valós), ezért A − Kn is önadjungált és (A − Kn )(ek ) = 0 minden k = 1, 2 . . . , n-re. Ezért A − Kn = A|Hn , emiatt kA − Kn k = kA|Hn k = |λn+1 | → 0. Ha most a sajátértékeket átindexeljük úgy, hogy csak a különböző sajátértékeket vesszük figyelembe, akkor legyen Pn az Sn sajátaltérre vett ortogonális projekció, P0 pedig a ker(A)-ra történő projekció. Ekkor X Pk x = hx, ei i ei i: ei ∈Sk

és Ax =

∞ X

λk Pk x.

k=0

8.30. Megjegyzés. Az előző tételben a λn 6= 0 sajátértékhez tartozó Sn sajátaltér véges dimenziós. Bizonyítás. Legyen E ⊂ Sn korlátos és zárt halmaz. Ekkor az Eλ = {x/λn : x ∈ E} halmaz korlátos és A kompaktsága miatt A(Eλ ) kompakt. Viszont A(Eλ ) = E, vagyis E kompakt. Tehát Sn minden korlátos és zárt részhalmaza kompakt, de ez csak véges dimenzióban teljesül. 8.31. Megjegyzés. Ha A ∈ L(H) kompakt és H végtelen dimenziós, akkor 0 ∈ σ(A). Bizonyítás. Ha 0 6= σ(A), az azt jelentené, hogy létezik A−1 ∈ L(H), de ez a 7.44. állítás miatt nem lehetséges. A Hilbert–Schmidt-tételben egy kicsit többet is lehet bizonyítani. Belátható, hogy σ(A) csak sajátértékekből áll, illetve az előző megjegyzések szerint esetleg még a nullából. Ebből következően nem csak a sajátértékek halmaza, hanem a spektrum is megszámlálható és csak a nullában lehet (végtelen dimenzióban van is) torlódási pontja. Mivel a sajátvektorokból TONR készíthető, tetszőleges x ∈ H előáll ∞ X x= cn en n=1

alakban, ahol Aen = λn en . Legyen most y ∈ ran(A) és tegyük fel, hogy 0 ∈ / Eig(A), ahol A ∈P L(H) kompakt, önadjungált operátor. Keressük az Ax = y egyenlet megoldását. Legyen P y = n dn en , keressük x-et x = n ξn en alakban. Ekkor Ax =

∞ X n=1

λn ξn en =

∞ X

dn en ⇐⇒ λn ξn = dn

n=1

azaz ξn = dn /λn . 60

∀n ∈ N-re,

A. Függelék

Metrikus terek A jegyzetben feltételeztük, hogy korábban már találkozott az olvasó a metrikus terek fogalmával. A metrikus terek elmélete rendkívül hasznos, elég általános ahhoz, hogy sorozatok határértékeit, függvények folytonosságát fogalmai értelmezni tudjuk benne, ugyanakkor kellően speciális ahhoz, hogy a fogalmak könnyen kezelhetőek legyen. A valós számokon értelmezett abszolútérték tulajdonságaival fennálló analógiák miatt könnyen megérthető, hogy miért érdemes metrikus terekkel foglalkozni, továbbá ismeretük jó alapot szolgáltat a megkerülhetetlen, még sokkal általánosabb topologikus terek elméletének megértéséhez. A.1. Definíció. Az (X, d) párt metrikus térnek nevezzük, ha X egy tetszőleges nemüres halmaz, továbbá d : X × X → R+ egy olyan függvény, amelyre teljesülnek az alábbi tulajdonságok: 1. Minden x, y ∈ X-re d(x, y) ≥ 0 és d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y; 2. Minden x, y ∈ X-re d(x, y) = d(y, x); 3. Minden x, y, z ∈ X-re d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). A valós számok halmaza a szokásos d(x, y) = |x − y| távolsággal ellátva metrikus tér lesz. Hasonlóan metrikát definiálnak Rn -en a Minkowski-metrikák (p-normák). Tetszőleges X halmaz ellátható metrikus tér struktúrával a 0 x=y d(x, y) = 1 x 6= y metrikával. Ekkor az (X, d)-t diszkrét metrikus térnek nevezzük. Az elnevezés oka az, hogy ebben a térben az egy pontból álló (diszkrét) halmazok nyíltak. Mivel akárhány nyílt halmaz uniója nyílt, a nyílt halmazok itt megegyeznek X összes részhalmazaival, amit a topologikus terek elméletében diszkrét topológiának neveznek. A.2. Definíció. Legyen x ∈ X, ε > 0 adott. A B(x, ε) = {y ∈ X : d(x, y) < ε} halmazt x középpontú ε sugarú nyílt gömbnek nevezzük. A.3. Definíció. A G ⊂ X halmaz nyílt, ha minden x ∈ G-hez létezik ε > 0, hogy B(x, ε) ⊂ G. Az F ⊂ X halmaz zárt, ha X \ F nyílt. A.4. Állítás. Az (X, d) metrikus tér nyílt halmazaira az alábbi tulajdonságok teljesülnek: 1. X és ∅ nyílt; 2. Akárhány nyílt halmaz uniója nyílt; 3. Véges sok nyílt halmaz metszete nyílt.

61

Bizonyítás. Az üres halmaz és az egész tér triviálisan nyílt. Legyen most {Gγ : γ ∈ Γ} nyílt halmazok egy tetszőleges rendszere. Ha x ∈ ∪γ∈Γ Gγ , akkor valamelyik α ∈ Γ indexre x ∈ Gα . Ez egy nyílt halmaz, tehát létezik ε > 0, hogy B(x, ε) ⊂ Gα ⊂ ∪γ∈Γ Gγ , tehát az unió nyílt. Végül legyenek G1 , . . . , Gn nyílt halmazok és x ∈ ∩ni=1 Gi . Ekkor minden 1 ≤ i ≤ n-re x ∈ Gi , tehát létezik εi > 0, hogy B(x, εi ) ⊂ Gi . Legyen ε = mini εi , ekkor B(x, ε) ⊂ ∩ni=1 Gi , tehát a (véges) metszet nyílt. A nyílt halmazok jellemzési tétele alapján a De Morgan azonosságok felhasználásával kapjuk a zárt halmazok jellemzését. A.5. Állítás. Az (X, d) metrikus tér zárt halmazaira az alábbi tulajdonságok teljesülnek: 1. X és ∅ zárt; 2. Véges sok zárt halmaz uniója zárt; 3. Akárhány zárt halmaz metszete zárt. Vegyük észre, hogy metrikus térben X és ∅ olyan halmazok, amelyek egyszerre nyíltak és zártak. A.6. Állítás. A B(x, ε) nyílt gömbök nyílt halmazok. Bizonyítás. Legyen y ∈ B(x, ε), be kell látni, hogy van olyan δ > 0, amelyre az y középpontú δ sugarú gömb teljes egészében B(x, ε)-ban van. Mivel y ∈ B(x, ε), ezért d(x, y) < ε, tehát a δ := ε − d(x, y) szám pozitív. Ekkor B(y, δ) ⊂ B(x, ε), ugyanis ha z ∈ B(y, δ), akkor a háromszög-egyenlőtlenség szerint d(z, x) ≤ d(z, y) + d(y, x) < δ + d(y, x) = ε, tehát z ∈ B(x, ε).

A.7. Definíció. Az (X, d) metrikus térbeli (xn ) sorozat konvergens és a határértéke x ∈ X, ha d(xn , x) → 0, ha n → ∞. Ez azt jelenti, hogy minden ε > 0 számhoz létezik egy küszöbindex, hogy a sorozat ennél nagyobb indexű elemei a B(x, ε) gömbben vannak. Annak a belátása, hogy egy sorozatnak legfeljebb egy határértéke lehet, azon múlik, hogy egy metrikus tér rendelkezik az úgynevezett Hausdorfftulajdonsággal, azaz A.8. Állítás. Minden x, y ∈ X, x 6= y-ra léteznek U, V diszjunkt nyílt halmazok, hogy x ∈ U , y ∈V. Bizonyítás. Legyen ε = d(x, y)/2, ekkor x ∈ B(x, ε), y ∈ B(y, ε) és ezek a gömbök diszjunkt nyílt halmazok. A.9. Definíció. Az (X, d) metrikus tér altere az (Y, %) metrikus tér, ahol Y ⊂ X és % = d|Y ×Y az eredeti metrika leszűkítése. A.10. Definíció. A H ⊂ X halmaz átmérőjén a diam H := sup{(d(x, y) : x, y ∈ H} számot (ez lehet végtelen is) értjük. H korlátos, ha diam H véges. A következő állítás a zárt halmazok sorozatokkal való jellemzését adja meg. A.11. Állítás. Egy F ⊂ X pontosan akkor zárt, ha minden (xn ) ⊂ F , xn → x sorozat esetén x ∈ F is teljesül.

62

Bizonyítás. Legyen F zárt halmaz, (xn ) ⊂ F , xn → x konvergens sorozat. Tegyük fel indirekt, hogy x ∈ / F . Ekkor x ∈ X \ F , ami F zártsága miatt nyílt halmaz. Létezik tehát ε > 0 szám, hogy B(x, ε) ∩ F = ∅, azaz (xn ) nem tarthat x-hez. Megfordítva, tegyük fel indirekt, hogy F nem zárt, azaz X \ F nem nyílt. Ekkor létezik x ∈ X \ F , hogy minden ε > 0-ra B(x, ε) ∩ F 6= ∅. Ekkor ε = 1/n-hez választhatunk olyan xn ∈ F elemet, amelyre xn ∈ B(x, 1/n). Az így kapott (xn ) sorozat F -beli konvergens sorozat, a határértéke x, de x ∈ / F , ami ellentmond a kiindulási feltételünknek. A.12. Definíció. Legyen (X, d) metrikus tér, A ⊂ X. Az x ∈ X pont torlódási pontja A-nak, ha minden ε > 0-ra B(x, ε) tartalmaz x-től különböző A-beli pontot. Az y ∈ A pont izolált pontja A-nak, ha nem torlódási pontja. Az x ∈ A pont belső pontja A-nak, ha van olyan ε > 0, hogy B(x, ε) ⊂ A. A belső pontok halmazát A belsejének nevezzük és int A-val jelöljük. Az y ∈ X pont határpontja A-nak, ha minden ε > 0-ra B(y, ε) ∩ A 6= ∅ és B(y, ε) ∩ (X \ A) 6= ∅. Az A halmaz határpontjainak halmazát ∂A-val jelöljük. A z ∈ X pont érintkezési pontja A-nak, ha minden ε > 0-ra B(z, ε) ∩ A 6= ∅. Az A halmaz érintkezési pontjait A lezárásának nevezzük és A-sal jelöljük. A.13. Állítás. Legyen (X, d) metrikus tér, ekkor 1. egy halmaz pontosan akkor nyílt, ha minden pontja belső pont; 2. egy halmaz érintkezési pontjainak halmaza a belső pontjainak és határpontjainak uniója; 3. egy halmaz pontosan akkor nyílt, ha egyetlen határpontját sem tartalmazza; 4. egy halmaz pontosan akkor zárt, ha minden határpontját tartalmazza; 5. ha x ∈ X torlódási pontja A-nak, akkor minden ε > 0-ra B(x, ε)-ban végtelen sok A-beli pont van. 6. egy halmaz lezárása zárt halmaz; 7. az A halmaz belseje az A-beli nyílt halmazok uniója, a legbővebb nyílt részhalmaza A-nak. A lezárása a legszűkebb A-t tartalmazó zárt halmaz, az A-t tartalmazó zárt halmazok metszete. Bizonyítás. Az 1. és 2. állítások a definíciók alapján teljesülnek. Ha A nyílt halmaz, akkor bármely pontjához található egy őt tartalmazó gömb, amely A-ban van, azaz ez a gömb nem metsz bele A komplementerébe, vagyis A nem tartalmazhatja egyetlen határpontját sem. Megfordítva, legyen x ∈ A, amely tehát a feltétel szerint nem határpontja A-nak. Ekkor valamilyen ε > 0-ra a B(x, ε) gömb nem metsz bele X \ A-ba, azaz B(x, ε) ⊂ A, tehát A nyílt. A 4. állításhoz vegyük észre, hogy egy halmaznak és komplementerének ugyanazok a határpontjai, így ez következik a már bizonyított 3. állításból. Az 5. ponthoz legyen x ∈ X az A egy torlódási pontja. Tegyük fel indirekt, hogy valamilyen B(x, ε) gömb csak véges sok x-től különböző A-beli pontot tartalmaz. Ezeknek a pontoknak x-től vett távolsága pozitív és mivel csak véges sok pont van, vehetjük a távolságok minimumát, legyen ez a pozitív szám δ. Ekkor a B(x, δ) gömb tartalmazza x-et, de egyetlen x-től különböző A-beli pontot sem tartalmaz, vagyis x nem lehet az A halmaz torlódási pontja. A lezárás nem más, mint az érintkezési pontok halmaza, amiben 2. miatt benne vannak a határpontok is, amiből 4. szerint következik, hogy egy halmaz lezártja zárt. Ha x ∈ int A, akkor valamilyen ε > 0-ra B(x, ε) ⊂ A, ahol ez a gömb nyílt halmaz, tehát szerepel az összes A-beli nyílt halmaz uniójában, azaz x eleme ennek az uniónak. Megfordítva, ha x ∈ ∪γ∈Γ Gγ , ahol Gγ egy A-beli nyílt halmaz, akkor valamilyen α ∈ Γ indexre x ∈ Gα . Ekkor a G halmazok nyíltsága miatt B(x, ε) ⊂ Gα ⊂ A valamilyen ε-ra, tehát x ∈ int A. A belső pontok halmaza tehát előáll, mint az A-beli összes nyílt halmaz uniója, azaz int A maga is nyílt 63

és nyílvánvalóan ez a legbővebb nyílt halmaz A-ban. A lezárás jellemzéséhez tekintsük X \ At. Mivel a lezárt zárt halmaz, a komplementere nyílt, vagyis minden pontja belső pont, tehát X \ A = int(X \ A). Ez utóbbi halmaz az előzőek szerint megegyezik az összes X \ A-beli nyílt halmaz uniójával, azaz a De Morgan azonosság szerint A megegyezik az összes A-t tartalmazó zárt halmazok metszetével. A fentiek szerint tehát tetszőleges halmazra int A ⊂ A ⊂ A, továbbá A = int A, ha A nyílt és A = A, ha A zárt. Ha például a valós számok halmazán a szokásos metrikát tekintjük, akkor egy [a, b) félignyílt intervallum belseje az (a, b) nyílt intervallum, a lezárása pedig az [a, b] zárt intervallum. A nyílt és zárt halmazok tulajdonságaihoz hasonlóan a lezárást is lehet jellemezni, pontosabban azt a leképezést, amely egy halmazhoz hozzárendeli a lezártját. Ennek a ψ : P(X) → P(X), ψ(A) = A lezárás-operációnak a következő tulajdonságai vannak: A.14. Állítás. Legyen (X, d) metrikus tér, ekkor 1. ∅ = ∅; 2. ha A ⊂ X, akkor A ⊂ A; 3. ha A, B ⊂ X, akkor A ∪ B = A ∪ B; 4. ha A ⊂ X, akkor A = A. Bizonyítás. Mivel ∅ és A zárt halmazok, az 1. és 4. rész következik abból, hogy zárt halmaz lezártja önmaga. A 2. részt is beláttuk már, ez abból a tényből következik, hogy egy halmaz lezárása nem más, minthogy hozzávesszük a halmazhoz az esetlegesen nem tartalmazott határpontjait. Tehát csak a 3. részt kell belátni. Mivel A ⊂ A és B ⊂ B, ezért A ∪ B ⊂ A ∪ B. A bal oldali halmaz része a jobb oldalon álló zárt halmaznak, halmaz lezárása legszűkebb zárt halmaz, ami tartalmazza őt, ebből következően A ∪ B ⊂ A ∪ B. Másrészt ha valami érintkezési pontja A-nak vagy B-nek, akkor az nyílván A ∪ B-nek is érintkezési pontja, ebből következően A ∪ B ⊂ A ∪ B is teljesül. A.15. Definíció. Az (xn ) ⊂ X Cauchy-sorozat, ha minden ε > 0-hoz létezik N ∈ N, hogy minden n, m ≥ N esetén d(xn , xm ) < ε. A valós számsorozatok esetéhez teljesen hasonló módon látható be, hogy minden konvergens sorozat egyben Cauchy-sorozat is. Ez megfordítva nem igaz, amennyiben például X = R \ {0}, d(x, y) = |x − y|, akkor az xn = 1/n sorozat Cauchy, de nem konvergens. Alapvetően fontosak azok a metrikus terek, ahol a megfordítás is igaz. A.16. Definíció. Egy (X, d) metrikus tér teljes, ha minden Cauchy-sorozata konvergens. A valós számsorozatokra vonatkozó klasszikus Cauchy-tétel pont azt mondja ki, hogy R a szokásos abszolútértékkel ellátva teljes. Az előző egyszerű példa (a kilyukasztott számegyenes) mutatta, hogy egy teljes metrikus tér tetszőleges altere általában nem lesz teljes. A.17. Állítás. Teljes metrikus tér egy altere pontosan akkor teljes, ha zárt. Bizonyítás. Legyen (X, d) teljes metrikus tér, Y ⊂ X egy altér. A zártság sorozatokkal való karakterizációját fogjuk használni. Legyen Y teljes altér, (xn ) ⊂ Y , xn → x. Mivel (xn ) konvergens sorozat X-ben, ezért Cauchy-sorozat is. A sorozat Y -ban fekszik, ezért (xn ) Cauchy-sorozat Y -ban is. Mivel Y teljes, ezért a sorozat konvergál is egy Y -beli ponthoz, ez pedig a határérték egyértelműsége miatt meg kell hogy egyezzen x-szel. Tehát x ∈ Y , azaz Y zárt. Megfordítva, tegyük fel, hogy Y zárt és vegyünk benne egy (xn ) Cauchy-sorozatot. Ez Cauchysorozat X-ben is, így X teljessége miatt xn konvergál valamilyen x ∈ X ponthoz X-ben. Az Y altér zártsága miatt x ∈ Y , azaz minden Y -beli Cauchy-sorozat egyben valamilyen Y -beli ponthoz is konvergál, tehát Y teljes. A következő tétel a Cantor-féle közösponttétel általánosítása metrikus terekre. 64

A.18. Tétel. Egy (X, d) metrikus tér pontosan akkor teljes, ha nemüres zárt halmazok minden Fn ⊃ Fn+1 monoton fogyó sorozatára, amelyre diam Fn → 0, teljesül, hogy ∩∞ n=1 Fn 6= ∅. Bizonyítás. Legyen először X teljes és vegyünk a feltételeknek megfelelő zárt halmazoknak egy monoton fogyó sorozatát. Válasszunk ki minden Fn halmazból egy xn elemet. Az így kapott (xn ) sorozat Cauchy-sorozat, ugyanis ha m, n ∈ N, m > n, akkor d(xm , xn ) ≤ diam Fn → 0. A tér teljes, tehát létezik x ∈ X, amelyre xn → x, ha n → ∞. Mivel konvergens sorozat minden részsorozata is az eredeti sorozat határértékéhez tart, minden n ∈ N-re az {xk : k ≥ n} ⊂ Fn sorozat is x-hez tart, azaz x ∈ F n , amiből a halmazok zártsága miatt következik, hogy x ∈ Fn minden n ∈ N-re, vagyis az Fn halmazok metszete nemüres. Most tegyük fel, hogy a feltételekben szereplő halmazsorozatok metszete nemüres. Legyen (xn ) ⊂ X egy Cauchy-sorozat és legyen En = {xn , xn+1 , . . .}, Fn := E n . Ekkor En ⊃ En+1 miatt Fn ⊃ Fn+1 , továbbá diam En → 0, mert a sorozat Cauchy-sorozat. Ebből következik, hogy diam Fn → 0 szintén, vagyis létezik x ∈ ∩∞ n=1 Fn . Ekkor xn → x, hiszen d(xn , x) ≤ diam Fn → 0, azaz (xn ) konvergens. A következőkben rátérünk az úgynevezett kompakt halmazok vizsgálatára. Egy [a, b] korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvénynek sok jó tulajdonsága van, például felveszi a maximumát, vagy folytonos függvény általi képe is korlátos és zárt. Ezek az eredmények azonban nem egészen az intervallum korlátosságán vagy zártságán múlnak, hanem annak egy rejtett tulajdonságán, amelyet a következő klasszikus eredmény mutat be. A.19. Tétel (Heine–Borel). Legyen [a, b] ⊂ R egy korlátos, zárt intervallum. Ekkor [a, b] bármely nyílt halmazokkal való lefedéséből kiválasztható véges sok, amelyek szintén lefedik őt. Bizonyítás. Tegyük fel indirekt, hogy van olyan {Uγ : γ ∈ Γ} nyílt halmazokból álló rendszer, amely lefedi [a, b]-t, de egyetlen véges részrendszere sem fedi le. Felezzük meg az intervallumot, ekkor a kapott két részintervallum valamelyikét szintén nem fedi le véges sok, ellenkező esetben ugyanis a két véges lefedés egyesítése véges fedését adná [a, b]-nek. Jelöljük tehát a végesen le nem fedhető félintervallumot [a1 , b1 ]-gyel. Most felezzük meg ezt, a kapott két részintervallum valamelyikét ismét nem fedi le véges sok Uγ halmaz, legyen ez [a2 , b2 ]. Az eljárást folytatva, zárt intervallumok egy [a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ . . . monoton fogyó sorozatát kapjuk, amelyre diam([an , bn ]) = bn − an → 0. Mivel R teljes metrikus tér, az A.18. tétel szerint a metszetük nemüres (sőt egyetlen eleme van), válasszunk belőle egy x ∈ [a, b] pontot. Az (Uγ )γ∈Γ halmazok lefedik [a, b]-t, tehát van olyan α ∈ Γ index, hogy x ∈ Uα . Ez utóbbi halmaz nyílt, tehát létezik ε > 0, hogy (x − ε, x + ε) ⊂ Uα . Ekkor létezik olyan k ∈ N, hogy bk − ak < ε/2, azaz [ak , bk ] ⊂ (x − ε, x + ε). Ez pedig ellentmondás, hiszen ezeket az intervallumokat úgy választottuk, hogy egyiket sem fedi le véges sok Uγ halmaz, ezzel szemben az [ak , bk ] intervallumot (és az összes utána következőt) már egyetlen ilyen halmaz - az Uα - is lefedi. Korábban a kompaktság fogalmát a Bolzano–Weierstrass-tétellel kapcsolták össze, azaz hogy bizonyos feltételek mellett egy sorozatból ki lehet választani konvergens részsorozatot. Ám később kiderült, hogy ez nem pontosan azt a tulajdonságot emeli ki, amelyet szeretnénk, hanem egy kissé gyengébbet. Ez vezetett el később a sorozatkompaktság definíciójához. Valós analízisben szintén Bolzano–Weierstrass tételnek nevezik azt az állítást, hogy tetszőleges [a, b] intervallumban lévő végtelen halmaznak van torlódási pontja [a, b]-ben. Ha metrikus térben egy korlátos és zárt halmazt veszünk, akkor esetleg azt várnánk, hogy a korlátosság miatt kiválasztható konvergens részsorozat (úgy, mint a klasszikus valós esetben), a zártság miatt pedig a limesz a halmazban marad. Ez azonban nem igaz, még akkor sem, ha a teljességet is feltesszük. Megadható ugyanis olyan (X, d) teljes metrikus tér és annak egy korlátos és zárt részhalmaza, valamint abban egy olyan sorozat, amiből nem választható ki konvergens részsorozat. Az itt vázolt tulajdonságok is nagyon hasznosak és szorosan kapcsolódnak egymáshoz, de jóval hasznosabbnak bizonyult a kompaktság nyílt fedésekkel való definiálása. A.20. Definíció. Azt mondjuk, hogy a {Gγ : γ ∈ Γ} nyílt fedése A ⊂ X-nek, ha a Gγ halmazok nyíltak és A ⊂ ∪γ∈Γ Gγ . A fedés véges, ha Γ véges indexhalmaz. 65

A.21. Definíció. Az A ⊂ X halmaz kompakt, ha minden nyílt fedéséből kiválasztható véges részfedés. Egy kompakt halmaz tehát definíció szerint teljesíti a Heine–Borel tételben megfogalmazott tulajdonságot. Tehát egy [a, b] ⊂ R korlátos és zárt intervallum kompakt halmaz. A.22. Tétel. Metrikus tér kompakt részhalmazai korlátosak és zártak. Bizonyítás. Legyen (X, d) metrikus tér, K ⊂ X kompakt. Vegyünk egy tetszőleges x ∈ K pontot (ha nincs ilyen, akkor K az üres halmaz, ami nyílván korlátos és zárt). Ekkor a {B(x, n) : n ∈ N} nyílt gömbök a K halmaz nyílt fedését adják, amiből K kompaktsága miatt kiválasztható véges sok, amelyek szintén lefedik K-t. Legyen N a maximuma ezen véges sok gömb sugarának, ekkor K ⊂ B(x, N ), azaz diam K ≤ 2N . Most belátjuk, hogy K zárt, vagyis ezzel ekvivalens módon azt, hogy X \ K nyílt halmaz. Legyen y ∈ X \ K. Ha x ∈ K, akkor a Hausdorff-tulajdonság miatt léteznek olyan B(x, εx ) és B(y, εx ) nyílt gömbök (εx = d(x, y)/2 választható), amelyek diszjunktak, x ∈ B(x, εx ) és y ∈ B(y, εx ). Ekkor [ K⊂ B(x, εx ) x∈K

a K nyílt halmazokkal való lefedése, amelyből K kompaktsága miatt kiválasztható véges sok, amelyek szintén lefedik K-t, azaz léteznek x1 , x2 , . . . , xm pontok, hogy K⊂

m [

B(xi , εxi ).

i=1

Tudjuk, hogy B(y, εxi ) olyan y-t tartalmazó nyílt gömb, amely nem metszi B(x, εxi )-t. Legyen ε = mini εxi és tekintsük B(y, ε)-t. Ez egy olyan y-t tartalmazó nyílt gömb, amely nem metsz bele a K-t lefedő véges sok B(x, εxi ) gömb egyikébe sem, azaz y ∈ B(y, ε) ⊂ (X \ K), vagyis X \ K nyílt. Azonban a megfordítás nem igaz, megadható olyan metrikus tér és abban egy korlátos és zárt halmaz, amely nem kompakt. Ráadásul ugyanaz az ellenpélda jó lesz ide is, mint az előző, konvergens sorozat kiválasztási ellenpélda. Ez azt sugallhatja, hogy metrikus térben a kompaktság fogalma és a Bolzano–Weierstrass-tétel szoros kapcsolatban állnak. A.23. Definíció. Az (X, d) metrikus tér egy A részhalmaza relatív kompakt, ha a lezárása kompakt. Mivel metrikus térben a kompakt halmazok zártak, ezért minden kompakt halmaz egyben relatív kompakt is. A.24. Definíció. Egy (X, d) metrikus tér N részhalmaza ε-háló az A ⊂ X halmazra vonatkozóan, ha minden x ∈ A-hoz létezik y ∈ N , hogy d(x, y) < ε. A.25. Definíció. Az (X, d) metrikus térben egy K ⊂ X halmaz teljesen korlátos vagy prekompakt, ha minden ε > 0-ra található hozzá egy véges ε-háló. A.26. Állítás. Metrikus térben minden teljesen korlátos halmaz korlátos. Bizonyítás. Legyen (X, d) metrikus tér, A ⊂ X teljesen korlátos halmaz és rögzítsünk egy tetszőleges ε > 0 számot. Ekkor létezik N ⊂ X véges halmaz, hogy A ⊂ ∪x∈N B(x, ε). Legyenek y1 , y2 ∈ A, ekkor léteznek x1 , x2 ∈ N , hogy d(y1 , x1 ) < ε és d(y2 , x2 ) < ε. A háromszögegyenlőtlenség szerint d(y1 , y2 ) ≤ d(y1 , x1 ) + d(x1 , x2 ) + d(x2 , y2 ) ≤ 2ε + max d(x, x0 ) < ∞, 0 x,x ∈N

tehát A korlátos.

66

A.27. Definíció. Az (X, d) metrikus tér sorozatkompakt (vagy másnéven szekvenciálisan kompakt), ha minden X-beli sorozatnak van konvergens részsorozata. A tér megszámlálhatóan kompakt, ha minden megszámlálható nyílt fedéséből kiválasztható véges részfedés. A tér Bolzano– Weierstrass tulajdonságú, ha minden végtelen részhalmazának van torlódási pontja. A.28. Definíció. Legyen (X, d) metrikus tér, ekkor az H := {Hγ : γ ∈ Γ}, X-beli halmazokból álló rendszernek véges metszet tulajdonsága van, vagy másnéven a halmazrendszer centrált, ha bármely véges sok Hγ halmazt kiválasztva a metszetük nemüres. Mivel a kompaktság fogalma nyílt halmazokkal való fedésekkel kapcsolatos, várhatóan a fedés halmazainak zárt komplementereivel is megfogalmazható ez a tulajdonság. A.29. Állítás. Legyen (X, d) metrikus tér, ekkor az alábbi állítások ekvivalensek: 1. X kompakt; 2. ha F = {Fγ : γ ∈ Γ} az X zárt részhalmazainak egy tetszőleges nemüres centrált rendszere, akkor ∩F ∈F F 6= ∅. Bizonyítás. Ha Γ valamilyen nemüres indexhalmaz,akkor legyen G = {Gγ : γ ∈ Γ} az X nyílt halmazainak egy rendszere, amely lefedi X-et. Ekkor F = {X \ Gγ : γ ∈ Γ} egy olyan zárt halmazokból álló rendszer, amelyek metszete üres, mert a lefedés miatt [ \ ∅=X\ Gγ = (X \ Gγ ) . γ∈Γ

γ∈Γ

Az X tér kompaktsága azt jelenti, hogy bármely nyílt fedéséből kiválasztható véges részfedés. Ez ugyanaz, hogy ha egy nyílt halmazokból álló G rendszerből nem választható ki véges részfedés, akkor a rendszer nem fedi le X-et. Áttérve a komplementer halmazokra, ez ugyanazt jelenti, hogy ha a zárt halmazokból álló F rendszer bármely véges sok elemének metszete nemüres, akkor az összes metszete sem üres. Nézzük meg a sztenderd példánkat, a valós számok R halmazát a szokásos abszolútértékkel és ebben tekintsünk egy [a, b] korlátos és zárt intervallumot. Ekkor a metrika leszűkítésével [a, b] egy metrikus tér lesz, amely a Heine–Borel tétel szerint kompakt, a sorozatokra vonatkozó Bolzano– Weierstass tétel szerint sorozatkompakt, a korlátos és végtelen halmazokra vonatkozó szintén Bolzano–Weierstass tétel szerint az [a, b] intervallum Bolzano–Weierstrass tulajdonságú. Végül a Lindelöf tétel miatt [a, b] megszámlálhatóan kompakt is egyben, azaz a kompaktság fogalmának különböző variációi a mi példánkban egybeesnek. Célunk bebizonyítani, hogy kompaktságnak ezen különböző variánsai metrikus térben ekvivalensek. Ezenkívül a teljesen korlátos halmaz fogalma is szorosan kapcsolódik ezekhez, amint azt az alábbi tételből látni fogjuk. A.30. Tétel. Legyen (X, d) metrikus tér, ekkor az alábbi tulajdonságok ekvivalensek: 1. X kompakt; 2. minden H ⊂ X végtelen halmaznak van torlódási pontja (azaz X-re teljesül a Bolzano– Weierstrass tulajdonság); 3. X megszámlálhatóan kompakt; 4. X sorozatkompakt; 5. X teljesen korlátos és teljes;

67

Bizonyítás. 1. ⇒ 2. Legyen X kompakt és H ⊂ X egy végtelen halmaz. Tegyük fel, hogy H-nak nincs torlódási pontja. Ekkor minden x ∈ X-re az x pont nem torlódási pontja H-nak, tehát létezik olyan Ux nyílt halmaz, hogy x ∈ Ux és Ux csak véges sok pontot tartalmaz H-ból. Ekkor X ⊂ ∪x∈X Ux a tér egy nyílt fedése, de nem választható ki véges részfedés, mert véges sok ilyen Ux halmaz H-nak csak véges sok pontját fedheti le. Ez ellentmond X kompaktságának. 2. ⇒ 3. Tegyük fel indirekt, hogy létezik olyan {Gn : n ∈ N} nyílt halmazokból álló megszámlálható rendszer, amely lefedi X-et, de nem választható ki belőle véges részfedés. Ekkor a G1 halmaz nem fedi le X-et, tehát létezik olyan x1 ∈ X, hogy x1 ∈ / G1 . A G1 ∪ G2 halmaz nem fedi le X-et, ezért választható olyan x2 ∈ X, hogy x2 ∈ / G1 ∪ G2 . Hasonlóan, ha k ∈ N, akkor létezik xk ∈ X, amelyre xk ∈ / G1 ∪ . . . ∪ Gk . Tekintsük a H = {xn : n ∈ N} halmazt. Legyen xi ∈ H, ekkor nyílván xi benne van valamelyik Gj halmazban. Ha k ≥ j, akkor xk ∈ / Gj , azaz a halmaz minden eleme csak véges sokszor fordul elő az (xn ) sorozatban, tehát H végtelen halmaz. Ha most x ∈ X tetszőleges, akkor ez a pont benne van Gm -ben valamilyen m ∈ N indexre. Mivel Gm nyílt, ezért létezik ε > 0, melyre x ∈ B(x, ε) ⊂ Gm . Az (xn ) sorozat konstrukciója szerint xl ∈ / Gm minden l ≥ m indexre, azaz az x pont körüli B(x, ε) gömb a sorozat legfeljebb véges sok elemét tartalmazhatja, tehát x nem torlódási pontja H-nak. Tehát semmilyen x ∈ H sem torlódási pontja H-nak, ami ellentmond a feltételnek. 3. ⇒ 4. Legyen (xn ) olyan sorozat, amelyből nem választható ki konvergens részsorozat. Ekkor feltehető, hogy a sorozat elemei különbözőek. Ha nem választható ki konvergens részsorozat, akkor a H = {xn : n ∈ N} halmaznak nincs torlódási pontja. Ebből következően H zárt halmaz (hiszen minden torlódási pontját tartalmazza). Minden k ∈ N-re mivel xk nem torlódási pontja H-nak, ezért létezik εk > 0, hogy a B(xk , εk ) gömb a sorozatnak csak egyetlen elemét tartalmazza (nevezetesen xk -t). Ekkor H ⊂ ∪∞ n=1 B(xn , εk ), továbbá X \ H nyílt, ezért X ⊂ (X \ H) ∪

∞ [

B(xn , εn )

n=1

az X egy megszámlálható nyílt fedése, ám ennek akármelyik véges részrendszere a H halmaz véges sok elemét fedné csak le. 4. ⇒ 5. Legyen (xn ) egy Cauchy-sorozat X-ben. Ekkor a sorozatkompaktság miatt van egy x ∈ X torlódási pontja, azaz van olyan részsorozata, amely x-hez konvergál. Ha egy Cauchysorozatnak van konvergens részsorozata, abból már következik, hogy a sorozat maga is konvergens (ugyanazzal a határértékkel), tehát (xn ) konvergens, így X teljes. Tegyük fel, hogy X nem teljesen korlátos, azaz létezik ε > 0, amelyre nincs véges X-et fedő ε-háló. Ekkor legyen x1 ∈ X tetszőleges. Ha x1 , . . . , xk már adottak, akkor az ∪kn=1 B(xn , ε) gömbök nem fedik le X-et, tehát választható olyan xk+1 ∈ X, amelyre xk+1 ∈ / ∪kn=1 B(xn , ε). Ekkor az (xk ) sorozat elemeire d(xi , xj ) > ε (i 6= j), vagyis nem választható ki konvergens részsorozat. 5. ⇒ 1. Tegyük fel indirekt, hogy X-nek van olyan {Gγ : γ ∈ Γ} nyílt fedése, amiből nem választható ki véges részfedés. A teljesen korlátosság miatt minden ε-hoz van véges εháló. A kapott véges halmaz valamelyik x elemére B(x, ε) szintén nem fedhető le véges sok Gγ halmazzal. Ellenkező esetben mindegyik lefedhető egy véges részrendszerrel, így egyesítésük az X véges fedését adná. Ekkor ε = 1/n-et használva kiválasztható zárt gömböknek olyan monoton csökkenő sorozata, amelyre diam B n → 0. Az A.18. tétel szerint a metszetük nemüres, legyen x ∈ X a közös részben. Ekkor létezik α ∈ Γ, hogy x ∈ Gα . Mivel Gα nyílt és diam B n → 0, ezért elég nagy n-re x ∈ B n ⊂ Gα , de ez ellentmond a Bn halmazok konstrukciójának. A.31. Állítás. Egy A ⊂ X halmaz pontosan akkor relatív kompakt, ha minden (xn ) ⊂ A sorozatnak van X-beli torlódási pontja. Bizonyítás. Ha A relatív kompakt, akkor A kompakt, amiből az előző tétel szerint következik, hogy minden A-beli (így speciálisan A-beli) sorozatnak van torlódási pontja A-ban. Megfordítva, 68

tegyük fel, hogy minden A-beli sorozatból kiválasztható konvergens részsorozat (A-beli határértékkel). Legyen (xn ) ⊂ A, ekkor minden n ∈ N-re létezik yn ∈ A, melyre d(xn , yn ) < 1/n. A feltétel szerint (yn ) ⊂ A-ból kiválasztható egy A-beli elemhez konvergáló (ynk ) részsorozat, ekkor (xnk ) is ugyanoda tart, azaz minden A-beli sorozatból kiválasztható konvergens részsorozat, tehát A kompakt. Végül a relatív kompakt és a teljesen korlátos halmazok kapcsolatáról szól az alábbi állítás. A.32. Állítás. Legyen (X, d) metrikus tér, A ⊂ X. Ekkor 1. Ha A relatív kompakt, akkor teljesen korlátos. 2. Ha X teljes és A teljesen korlátos, akkor A relatív kompakt. Bizonyítás. 1. Ha A relatív kompakt, akkor A kompakt halmaz. Az A.30. tétel szerint A teljesen korlátos. Mivel A ⊂ A, ezért A is teljesen korlátos. 2. Legyen most X teljes metrikus tér és A ⊂ X egy teljesen korlátos részhalmaza. Az előző állítás szerint elég belátni, hogy minden (xn ) ⊂ A sorozatnak van X-ben konvergens részsorozata. Vegyük tehát egy tetszőleges sorozatot. Mivel A teljesen korlátos, ezért ε = 1-hez létezik véges 1-háló. Ez a véges sok 1 sugarú gömb lefedi A-t, tehát valamelyik közülük a sorozatnak végtelen sok tagját tartalmazza, azaz létezik y 1 ∈ X, hogy B1 := B(y 1 , 1) tartalmaz egy x11 , x12 , x13 , . . . részsorozatot. Hasonlóan ε = 1/2-hez létezik véges X-et fedő 1/2-háló, ekkor létezik y 2 ∈ X, hogy a B2 := B(y 2 , 1/2) gömb végtelen sok elemet tartalmaz az (x1n ) sorozatból, legyen ez (x2n ) ⊂ (x1n ). Minden n ∈ N-re így találunk egy olyan 1/n-sugarú gömböt, amely az előzőleg kiválasztott részsorozatnak tartalmazza egy részsorozatát. Átlós eljárással yn := xnn olyan részsorozata (xn )nek, amely a részsorozatok választása miatt Cauchy-sorozat. Mivel a tér teljes, ezért létezik limesze. Tehát (xnn ) olyan részsorozata (xn )-nek, amely konvergens, azaz A relatív kompakt.

69

B. Függelék

Zorn-lemma A Zorn-lemma egy fontos és gyakran használt következménye a kiválasztási axiómának. Megmutatható, hogy valójában ekvivalens vele, csakúgy, mint a jólrendezési tétellel. A jegyzetben több helyen előfordul, például a Hahn–Banach tételnél, de inkább csak utalásként; a használatát igyekeztünk elkerülni. A teljesség kedvéért azonban mégis érdemes röviden összefoglalni a szükséges definíciókat és magát az állítást. B.1. Definíció. Legyen X egy halmaz és R egy X feletti reláció. Az X halmaz részbenrendezett az R-re nézve, ha a következő tulajdonságok teljesülnek: 1. Minden x ∈ X-re xRx; 2. Ha xRy és yRz, akkor xRz; 3. Ha xRy és yRx, akkor x = y. Amennyiben X bármely két x, y ∈ X elemére xRy vagy yRx fennáll, akkor X teljesen rendezett. Például a valós számok halmaza a ≤ relációra nézve teljesen rendezett. Ha X egy halmaz és S az X részhalmazainak egy rendszere, akkor a halmazok közötti tartalmazás reláció részbenrendezést definiál. Ez viszont nem lesz teljesen rendezett halmaz, mert lehetnek nem összehasonlítható elemek S-ben, például két diszjunkt halmaz. B.2. Definíció. Legyen X részbenrendezett halmaz, A ⊂ X. Az x ∈ X felső korlátja A-nak, ha minden a ∈ A-ra aRx. Itt megköveteltük, hogy A minden elemét össze lehessen hasonlítani x-szel. B.3. Definíció. Legyen X részbenrendezett halmaz, A ⊂ X. Az a ∈ A maximális eleme A-nak, ha nincs A-nak a-nál nagyobb eleme, azaz ha létezik y ∈ A, amelyre aRy, akkor a = y. Vagyis egy maximális elem nem feltétlenül a legnagyobb a halmazban (hiszen nem feltétlenül lehet összehasonlítani minden elemmel), viszont nincs nála nagyobb elem. B.4. Definíció. Az X részbenrendezett halmaz induktívan rendezett, ha X minden teljesen rendezett részhalmazának van felső korlátja X-ben. B.5. Állítás (Zorn-lemma). Minden nemüres, induktívan rendezett halmaznak van maximális eleme.

70

C. Függelék

A kategória-tétel Ez a rész egy önmagában is érdekes témakör rövid bevezetőjét tartalmazza, ám nekünk most csak a Banach–Steinhaus és a nyílt leképezés tételkör bizonyításához van szükségünk erre a valós függvénytani eszközre.

C.1.

Kategória-tétel R-ben

C.1. Definíció. Legyen E ⊂ R, (a, b) 6= ∅, ekkor E sűrű (a, b)-ben, ha minden ∅ 6= (c, d) ⊂ (a, b)-re E ∩ (c, d) 6= ∅. A fenti definíció ekvivalens azzal, hogy (a, b) ⊂ E. C.2. Definíció. Egy E ⊂ R halmaz sehol sem sűrű, ha egyetlen nyílt intervallumban sem sűrű, vagy másképpen mondva E nem tartalmaz nemüres nyílt intervallumot, vagyis int E = ∅. Sehol sem sűrű halmaz például egy véges sok pontból álló halmaz, vagy egy konvergens sorozat pontjai. C.3. Definíció. Az E ⊂ R halmaz I. kategóriájú, ha E előáll megszámlálhatóan sok sehol sem sűrű halmaz uniójaként. Minden más esetben E II. kategóriájú. Ha R \ E I. kategóriájú, akkor E reziduális. C.4. Állítás. Ha E I. kategóriájú, akkor minden részhalmaza is I. kategóriájú. Bizonyítás. A feltétel szerint E = ∪∞ i=1 Ei , ahol Ei sehol sem sűrű minden i-re. Legyen F ⊂ E, ekkor F = ∪∞ (F ∩ E ), ahol F ∩ E sehol sem sűrű, hiszen E i nem tartalmaz nyílt halmazt, így i i i=1 F ∩ Ei ⊂ E i sem tartalmaz. C.5. Állítás. Ha En (n = 1, 2, . . .) I. kategóriájú halmazok, akkor ∪∞ n=1 En is I. kategóriájú. Bizonyítás. Mivel En I. kategóriájú, ezért felírható ∞ [

En =

En,k

k=1

alakban, ahol En,k sehol sem sűrű halmazok. Ekkor E=

∞ [ ∞ [

En,k =

n=1 k=1

∞ [

El ,

l=1

azaz E is felírható megszámlálható sok sehol sem sűrű halmaz uniójaként. 71

Ha q1 , q2 , . . . a racionális számok egy felsorolása, akkor az Ei = {qi } halmazok sehol sem sűrűek, hiszen {qi } lezártja önmaga és nem tartalmaz nyílt halmazt. Így a racionális számok halmaza Q = ∪∞ i=1 Ei alakba írható, tehát I. kategóriájú halmaz. Fontos észrevétel, hogy mivel az üres halmaz I. kategóriájú, ezért II. kategóriájú halmaz biztosan nem üres. Továbbá az is igaz, hogy ha X = E ∪ F , ahol E I. kategóriájú és X II. kategóriájú, akkor F is II. kategóriájú. Tekintsük az R = Q ∪ (R \ Q) felbontást. Ha tudnánk, hogy az egész R II. kategóriájú, akkor a fentiekből következne, hogy az irracionális számok halmaza II. kategóriájú, sőt reziduális halmazt alkot. Ez viszont az alábbi tételből következik: C.6. Tétel (Baire kategória-tétele). Egy [a, b] nemelfajuló intervallum II. kategóriájú. Bizonyítás. Tegyük fel indirekt, hogy [a, b] I. kategóriájú, azaz [a, b] = ∪∞ i=1 Ei előáll sehol sem sűrű halmazok megszámlálható uniójaként. Mivel E1 sehol sem sűrű, létezik olyan [a1 , b1 ] ⊂ [a, b], hogy [a1 , b1 ] ∩ E1 = ∅. Hasonlóan E2 is sehol sem sűrű, így létezik olyan [a2 , b2 ] ⊂ [a1 , b1 ], hogy [a2 , b2 ] ∩ E2 = ∅. Az eljárást folytatva zárt intervallumok egymásba skatulyázott sorozatát kapjuk, ezért létezik egy x pont a metszetükben. A konstrukció szerint x ∈ / Ei minden i-re, azaz x∈ / ∪∞ E = [a, b], ami ellentmondás. . i i=1 C.7. Következmény. A tételből következik, hogy R II. kategóriájú, hiszen ha nem az lenne, akkor minden részhalmaza, így a korlátos intervallumok is I. kategóriájúak lennének, ami nem lehet. C.8. Állítás. Ha A reziduális, akkor II. kategóriájú. Bizonyítás. A feltétel szerint R \ A I. kategóriájú halmaz. Ha A I. kategóriájú lenne, akkor a kettő uniója, azaz R is az lenne, ami nem lehetséges.

C.2.

Kategória-tétel teljes metrikus térben

C.9. Definíció. Ha adott az (X, %) metrikus tér, akkor az S ⊂ X halmaz sehol sem sűrű, ha minden B(x, ε) ⊂ X gömb tartalmaz olyan B(y, δ) ⊂ B(x, ε) gömböt, hogy B(y, δ) ∩ S = ∅, azaz int S = ∅. Az I. és II. kategóriájú halmazok definiálása a valós esettel megegyező módon történik. C.10. Tétel (Baire kategória-tétele). Az (X, %) teljes metrikus térben minden nemüres nyílt halmaz II. kategóriájú. Bizonyítás. Legyen G ⊂ X nemüres nyílt halmaz és tegyük fel, hogy G I. kategóriájú. Ekkor G előáll G = ∪∞ i=1 Si alakban, ahol Si sehol sem sűrű. Vegyünk egy x0 ∈ G pontot és egy olyan r0 > 0-t, hogy B0 := B(x0 , r0 ) ⊂ G legyen. Ilyen r0 van, mert G nyílt. Mivel S1 sehol sem sűrű, létezik olyan x1 ∈ X és 0 < r1 < 1, hogy B1 := B(x1 , r1 ) ⊂ B0 és B1 ∩ S1 = ∅. Tegyük fel, hogy a B0 , B1 , . . . , Bn gömbök már adottak, ekkor mivel Sn+1 sehol sem sűrű, létezik xn+1 ∈ X és 1 0 < rn+1 < n+1 , hogy Bn+1 := B(xn+1 , rn+1 ) ⊂ Bn és Bn+1 ∩ Sn+1 = ∅. Így B 0 ⊃ B 1 ⊃ B 2 ⊃ . . . zárt halmazok egymásba skatulyázott sorozata, melyre diam B n → 0, ha n → ∞. Ekkor az A.18. tétel szerint van egy x ∈ X elem a metszetükben. A konstrukció / Sn minden n-re, azaz x ∈ / ∪∞ szerint x ∈ B 1 ⊂ G, de x ∈ i=1 Si = G, ami ellentmondás. C.11. Állítás. Teljes metrikus térben megszámlálható sok sűrű nyílt halmaz metszete is sűrű. Legyenek G1 , G2 , . . . az X teljes metrikus tér olyan nyílt részhalmazai, melyekre Gk = X minden k ∈ N-re és legyen G = ∩∞ n=1 Gn . Ekkor X \G=

∞ [ n=1

72

(X \ Gn ) ,

ahol az X \ Gn halmazok zártak és int(X \ Gn ) = int X \ Gn = ∅, ebből következően X \ G I. kategóriájú. Ha G nem lenne sűrű, akkor X \ G belseje egy nemüres nyílt halmaz lenne, ami a kategória tétel szerint II. kategóriájú lenne.

C.3.

Két érdekes ellenpélda elemi analízisből

A kategória-tételnek nagyon sok érdekes alkalmazása van, például folytonos, de sehol sem differenciálható függvény létezésének bizonyítására is használható olyan módon, hogy ezek a függvények II. kategóriájú halmazt alkotnak C[a, b]-ben, vagyis a folytonos, de sehol sem differenciálható függvények halmaza biztosan nemüres (sőt, bizonyos értelemben az [a, b] intervallumon értelmezett folytonos függvények körében a sehol sem differenciálhatóság olyan tulajdonság, amely tipikusnak nevezhető). Itt most két érdekes eredményt mutatjuk be az elemi analízis témaköréből. C.12. Definíció. Ha C egy halmazosztály, akkor Cσ legyen az a halmazosztályt, melynek elemei ∞ ∪∞ i=1 Ci alakú halmazok, ahol Ci ∈ C, Cδ -val pedig a ∩i=1 Ci alakú halmazokat jelöljük. Ha G jelöli a nyílt halmazok rendszerét, F pedig a zárt halmazokét, akkor nyílván Gσ = G és Fδ = F. Természetesen minden nyílt halmaz Gδ és minden zárt halmaz Fσ , viszont {0} = ∩∞ n=1 (−1/n, 1/n), azaz {0} ∈ Gδ , de nem nyílt. C.13. Állítás. Cσσ = Cσ és Cδδ = Cδ . Bizonyítás. Nyílván Cσ ⊂ Cσσ . Legyen most H ⊂ Cσσ . Ekkor léteznek Hn ∈ Cσ , hogy H = ∞ ∪∞ n=1 Hn . Mivel Hn ∈ Cσ , ezért felírható Hn = ∪k=1 Hn,k alakban, ahol Hn,k ∈ C. Ekkor H=

∞ [ ∞ [

∞ [

Hn,k =

n=1 k=1

Hn,k ,

n,k=1

tehát H ∈ Cσ .

C.14. Állítás. Ha egy H halmaz Fσ , akkor a komplementere Gδ . ∞ Bizonyítás. A feltétel szerint H = ∩∞ i=1 Gi , ahol a Gi halmazok nyíltak. Ekkor R \ H = ∪i=1 (R \ Gi ), ahol Gi komplementerei zárt halmazok.

C.15. Tétel. Legyen A az (X, %) teljes metrikus tér egy mindenütt sűrű részhalmaza. Ha az A halmaz Gδ , akkor reziduális. Bizonyítás. Mivel A egy Gδ halmaz, léteznek Gn nyílt halmazok, hogy A = ∩∞ n=1 Gn . Gn komplementerét Fn -nel jelölve, kapjuk, hogy ! ∞ ∞ ∞ \ [ [ X \A=X \ Gn = (X \ Gn ) = Fn , n=1

n=1

n=1

ahol az Fn halmazok zártak. Világos, hogy minden n-re Fn ⊂ (X \ A), illetve A ⊂ (X \ Fn ). Most használjuk, hogy A sűrű X-ben és az Fn -ek zártak, így X = A ⊂ X \ Fn = X \ F n . Ez éppen azt jelenti, hogy az Fn halmazok sehol sem sűrűek, vagyis A komplementere I. kategóriájú halmaz, ezért A valóban reziduális. C.16. Definíció. Az f valós függvény oszcillációja az x pontban legyen ωf (x) := inf sup{|f (y) − f (z)| : y, z ∈ (x − δ, x + δ)}. δ>0

73

C.17. Állítás. Ha f értelmezett az x pont egy környezetében, akkor f pontosan akkor folytonos x-ben, ha ωf (x) = 0. Bizonyítás. Legyen f folytonos x-ben, ekkor adott ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy minden y ∈ B(x, δ)-ra |f (y) − f (x)| < ε/2. Ekkor minden y, z ∈ B(x, δ) esetén |f (y) − f (z)| ≤ |f (y) − f (x)| + |f (x) − f (z)| ≤ ε, azaz ωf (x) < ε teljesül minden ε > 0-ra, így ωf (x) = 0. Megfordítva, ha ωf (x) = 0, akkor minden ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy ha y, z ∈ B(x, δ), akkor |f (y) − f (z)| < ε. Válasszunk z = x-et és ezzel éppen f x-beli folytonosságát kapjuk. C.18. Állítás. Minden ε > 0 esetén az Sε = {x : ωf (x) ≥ ε} halmaz zárt. Bizonyítás. Vegyünk egy olyan sorozatot, hogy xn ∈ Sε és xn → x. Be kell látni, hogy x ∈ Sε . Rögzítsünk δ > 0-t és válasszunk hozzá n ∈ N-et, hogy xn ∈ B(x, δ/2) teljesüljön. Mivel B(xn , δ/2) ⊂ B(x, δ), ezért sup{|f (y) − f (z)| : y, z ∈ B(x, δ)} ≥ sup{|f (y) − f (z)| : y, z ∈ B(xn , δ/2)} ≥ ωf (xn ) ≥ ε. Most δ-ban infimumot véve kapjuk, hogy ωf (x) ≥ ε, azaz x ∈ Sε .

C.19. Tétel. Ha f : R → R tetszőleges valós függvény, akkor a szakadási pontjainak halmaza Fσ , azaz a folytonossági pontok halmaza Gδ . Bizonyítás. A szakadási pontok halmaza az, ahol a pontbeli oszcilláció pozitív, azaz {x : ωf (x) > 0} =

∞ [ n=1

1 x : ωf (x) ≥ n

=

ami tehát zárt halmazok megszámlálható uniója, azaz Fσ -beli.

∞ [

S1/n ,

n=1

C.20. Állítás. A racionális számok halmaza nem Gδ . Bizonyítás. Tegyük fel, hogy Q mégis Gδ halmaz. Mivel Q sűrű R-ben, a C.15. tétel szerint a racionális számok reziduális halmazt alkotnának az indirekt feltevés szerint. De ez lehetetlen, hiszen Q I. kategóriájú, ezért nem lehet reziduális. A hosszú előkészület után elérkeztük célunkhoz. Analízisből ismert példa olyan függvényre, amely pontosan az irracionális pontokban folytonos, nevezetesen a Riemann-függvény, amelynek a következő a definíciója: 1/q, ha x = p/q, (p, q) = 1, q > 0 R(x) = 0, ha x irracionális. Meglepő módon azonban olyan függvény nincs, ami éppen a komplementer halmazon lenne folytonos. A következő eredmény a C.19. és C.20. tételekből adódik: C.21. Következmény. Nincs olyan f : R → R valós függvény, amely pontosan a racionális pontokban folytonos. Végül egy másik érdekes eredménnyel zárnánk a fejezetet. Megmutatjuk, hogy nincs olyan folytonos függvényekből álló függvénysorozat, amely a Dirichlet-függvényhez (a racionális számok halmazának karakterisztikus függvényéhez) konvergálna pontonként.

74

C.22. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : R → R függvény a Baire 1 függvényosztály eleme, vagy rövidebben az f Baire 1 függvény, ha létezik (fn ) folytonos függvényekből álló függvénysorozat, hogy fn → f pontonként. Például minden folytonos függvény Baire 1, de az előjelfüggvény is az, noha ő maga nem folytonos. A Baire függvényosztályokat tovább is lehetne definiálni, például egy függvény Baire 2, ha előáll Baire 1 függvények pontonkénti limeszeként. A Baire 0 osztály legyen a folytonos függvényeket osztálya. Ekkor minden n ∈ N-re definálható a Baire n osztály, amely tehát olyan függvényekből áll, amely előáll Baire n−1 osztályú függvények pontonkénti limeszeként (egyesek úgy definiálják ezeket az osztályokat, hogy egy Baire n függvényről kikötik, hogy nem lehet eleme egyetlen őt megelőző Baire osztálynak sem). Belátható, hogy Bn−1 ( Bn , továbbá olyan függvény is létezik, amely egyetlen Baire osztálynak sem eleme. C.23. Lemma. Ha f Baire 1 függvény, akkor az Sε = {x : ωf (x) ≥ ε} halmaz sehol sem sűrű. Bizonyítás. Legyen I egy tetszőleges, nemüres nyílt intervallum. Megmutatjuk, hogy ekkor létezik egy J ⊂ I intervallum, hogy J ∩ Sε = ∅. Mivel f Baire 1, ezért f előáll az (fn ) ⊂ C(R) függvénysorozat pontonkénti limeszeként. Tekintsük az ∞ \ ∞ \ En := {x ∈ R : |fi (x) − fj (x)| ≤ ε/3} i=n j=n

halmazokat. Az fn függvények folytonossága miatt En zárt halmazok metszete, így maga is zárt. Legyen x ∈ R tetszőleges. Ekkor fn (x) → f (x) miatt ε/6-hoz létezik nx ∈ N, hogy |fi (x) − f (x)| <

ε 6

minden i ≥ nx -re.

A háromszög-egyenlőtlenség miatt ha i, j ≥ nx , akkor x ∈ Enx , vagyis I ⊂ ∪∞ n=1 En . A kategóriatétel szerint az I intervallum II. kategóriájú, tehát valamely n-re En nem sehol sem sűrű. Ez azt jelenti, hogy a lezártja tartalmaz nyílt intervallumot, de mivel En zárt, így létezik J ⊂ I, hogy J ⊂ En . Ez definíció szerint azt jelenti, hogy minden i, j ≥ n-re és x ∈ J-re ε |fi (x) − fj (x)| ≤ . 3 Ha j = n és i → ∞, akkor |f (x) − fn (x)| ≤ ε/3 minden x ∈ J-re. Ha x ∈ J, akkor van olyan δx > 0, hogy ha y, z ∈ B(x, δx ) ⊂ J, akkor |fn (y) − fn (z)| < ε/3. Végül ezekre az y, z-kre |f (y) − f (z)| ≤ |f (y) − fn (y)| + |fn (y) − fn (z)| + |fn (z) − f (z)| < ε, azaz ha x ∈ J, akkor x ∈ / Sε , vagyis J ∩ Sε = ∅.

C.24. Állítás. Baire 1 függvények szakadási helyeinek halmaza I. kategóriájú. Bizonyítás. A szakadási helyek halmazáról már tudjuk, hogy előáll ∪∞ n=1 S1/n alakban, ahol a lemma szerint S1/n sehol sem sűrű, így a szakadási helyek I. kategóriájú halmazt alkotnak. C.25. Következmény. A Dirichlet-függvény nem Baire 1, mert mindenhol szakadása van és a kategória-tétel szerint R II. kategóriájú. Tehát a Dirichlet-függvény nem áll elő folytonos függvények pontonkénti limeszeként. A Dirichlet-függvény tehát nem Baire 1 függvény. Tekintsük viszont az fn (x) = lim cos2m (πxn!) m→∞

függvénysorozatot. Minden n ∈ N-re az fn függvény előáll folytonos függvények pontonkénti limeszeként, továbbá könnyen belátható, hogy az (fn ) Baire 1 függvényekből álló sorozat pontonkénti határértéke a Dirichlet-függvény, tehát a Dirichlet-függvény Baire 2. 75

Irodalomjegyzék [1] George Bachman, Lawrence Narici, Functional Analysis, Dover, 2000. [2] John B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, 1990. [3] Gruber Tibor, Analízis VIII. (Funkcionálanalízis), ELTE jegyzet, 1997. [4] Komornik Vilmos, Valós analízis előadások I.–II., TypoTEX, 2003. [5] Kristóf János, Az analízis elemei I.–IV., ELTE jegyzet, 1994-98. [6] Petz Dénes, Lineáris analízis, Akadémiai kiadó, 2002. [7] Riesz Frigyes, Szőkefalvi-Nagy Béla, Functional Analysis, Dover, 1990. [8] Walter Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1991. [9] Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1987.

76

Bevezetés a funkcionálanalízisbe

Recommend Documents