BAYESIAN SURVIVAL ANALYSIS UNTUK MENGETIMASI PARAMETER MODEL COX-REGRESSION PADA KASUS KETAHANAN HIDUP PASIEN PENDERITA JANTUNG KORONER A. Dewi Lukitasari1, Adi Setiawan2, Leopoldus Ricky Sasongko3 1,2,3
Program Sudi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika,
Universitas Kristen Satya Wacana, Jl.Diponegoro No.52-60, Salatiga. 1
[email protected],2
[email protected], 3
[email protected]
ABSTRAK
Penerapan model Cox-Regression dalam konteks survival analysis dengan pendekatan Bayesian untuk memodelkan ketahanan hidup pasien penderita jantung koroner dibahas dalam paper ini. Data yang digunakan adalah waktu hidup pasien, status pasien (hidup/mati) dan treatment yang dikenakan. Diambil dua treatment yang digunakan oleh pasien penderita jantung koroner yaitu ring dan bypass. Pendekatan yang digunakan adalah pendekatan Bayesian (Bayesian approach) untuk mencari distribusi posterior parameter. Updating data menggunakan metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC) dengan algoritma Gibbs Sampling. Software winBUGS 1.4 membantu dalam mengestimasi nilai setiap parameter yaitu koefisien regresi
.
Parameter yang diestimasi dari model Cox-Regression digunakan untuk menghitung probabilitas bertahan hidup pasien penderita jantung koroner. Kata Kunci : Survival Analysis, model Cox-Regression, Bayesian, Markov Chain Monte Carlo (MCMC)
1
PENDAHULUAN Kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi yang kian pesat menuntut berbagai aspek untuk menemukan inovasi guna mempermudah kehidupan manusia. Inovasi teknologi yang serba canggih membawa dampak pada perubahan pola hidup masyarakat yang cenderung serba instan. Tidak dapat dipungkiri pola hidup tersebut membawa dampak negatif. Diantaranya muncul berbagai jenis penyakit yang berbahaya dan mematikan, salah satunya adalah penyakit jantung koroner [1]. Menurut World Health Organization (WHO) atau Badan Kesehatan Dunia, penyakit jantung koroner merupakan penyakit dengan urutan pertama penyebab kematian dan tersebar di seluruh dunia. Pada tahun 2012 tercatat 7,2 juta orang di seluruh dunia meninggal setiap tahunnya akibat penyakit ini. Banyaknya orang yang meninggal akibat ini diperkirakan akan terus meningkat hingga 23,3 juta di tahun 2030 [2]. Karena penyakit ini sangat berbahaya maka seseorang yang terkena penyakit ini akan melakukan investasi sebagai bentuk antisipasi apabila sewaktu-waktu penyakit ini kambuh dan harus menjalani perawatan atau operasi. Perusahaan asuransi perlu untuk menentukan peluang waktu hidup seseorang yang akan melakukan asuransi. Peluang hidupnya biasa direpresentasikan dengan membuat tabel mortalitas. Angka kematian yang tinggi akibat penyakit jantung koroner menimbulkan perkembangan inovasi di bidang aktuaria, engineering dan biostatistik yaitu munculnya survival analysis yang digunakan untuk memodelkan data survival [3]. Survival analysis bertujuan menduga probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan, kematian, dan peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu serta mejelaskan pengaruh variabel independent terhadap waktu survive [4]. Teknik analisis yang biasa digunakan antara lain parametric, semi-parametric dan nonparametric [5]. Salah satu teknik analisis non-parametric sederhana yang digunakan untuk memodelkan data survival adalah model Cox-regression. Sedangkan untuk permodelan data dikenal ada dua pendekatan yaitu pendekatan klasik (classical approach) dan pendekatan Bayesian (Bayesian approach) [6]. Pendekatan klasik
2
memandang parameter bernilai tetap, sedangkan pada pendekatan bayesian parameter dipandang sebagai variabel random yang memiliki distribusi (distribusi Prior). Keunggulan pendekatan Bayesian diantaranya mampu menyelesaikan masalah yang tidak dapat diselesaikan secara analitis dan mampu menawarkan kemungkinan yang kaya dengan interferensia serta mengeksplor perbedaan-perbedaan interpretasi data terhadap kriteria kinerja prior [7]. Estimasi parameter model menggunakan estimasi Bayesian dengan metode Markov-Chain Monte-Carlo (MCMC) berdasarkan algoritma Gibbs Sampling. Salah satu kontribusi yang dapat bermanfaat bagi perusahaan asuransi kejiwaan untuk penyakit kritis seperti asuransi operasi dalam membuat kalkulasi asuransi (insurance calculations) yang akan digunakan untuk membuat perhitungan asuransi sehubungan dengan orang-orang yang dipilih untuk cakupan asuransi. Berdasarkan uraian di atas, pada paper ini dibahas terlebih dahulu cara mengestimasi parameter menggunakan pendekatan klasik dengan menggunakan model regresi Cox-Proporsional Hazard pada kasus ketahanan hidup pasien penderita jantung koroner, kemudian dilanjutkan dengan menggunakan pendekatan Bayesian survival analysis menggunakan Cox-regression. Tujuan dari penelitian ini untuk memperoleh model ketahanan hidup pasien penderita jantung koroner dengan Bayesian survival analysis menggunakan Cox-regression. Dalam proses estimasi diasumsikan bahwa tidak ada kegagalan yang dapat terjadi secara bersamaan. Hal tersebut berarti terdapat asumsi bahwa satu pasien hanya dapat mengalami satu kali kegagalan dan satu pasien hanya dikenakan satu treatment saja. Alat bantu perhitungan menggunakan paket program winBUGS 1.4 yang telah memuat algoritma BUGS (Bayesian Interface Using Gibbs Sampling).
3
DASAR TEORI Fungsi Survival Fungsi survival S (t ) merupakan probabilitas dari seseorang untuk bertahan hidup setelah waktu yang ditetapkan sebut t . Fungsi survival merupakan merupakan komplemen dari variabel random fungsi distribusi kumulatif F (t ) maka ditulis
S (t )
P(T
t ) 1 F (t ) [8]. Fungsi distribusi kumulatif dari variabel random T
dengan fungsi kepadatan probabilitas (probability density function) f (t ) , diperoleh dengan cara mengintegralkan fungsi kepadatan probabilitas sehingga diperoleh t
F (t )
P(T
f (t )dt dengan T adalah variabel random yang mencerminkan
t) 0
failure time atau waktu bertahan hidup sampai munculnya kejadian tertetu. Kejadian yang dimaksud adalah kematian [9]. Fungsi Hazard Fungsi Hazard
0
(t ) menunjukkan laju kegagalan individu untuk mampu
bertahan hidup setelah melewati waktu yang ditetapkan, t . Didefinisikan sebagai berikut : 0
(t )
lim
dt
0
P(t
T
t dt | T dt
t)
lim
dt
0
P(t
T t dt ) P(T t )
F ' (t ) S (t )
(1)
dengan T asumsikan kontinu sehingga memiliki fungsi kepadatan probabilitas dan kejadian berlangsung untuk rentang waktu [t , t dt ) [10]. Untuk fungsi Hazard kumulatif yaitu t 0 (t )
0
(u )du
0
Proses Intensitas dan model regresi Cox Data survival yang ada perlu dilakukan proses menghitung jumlah kegagalan yang terjadi sampai waktu t . Proses tersebut dinamakan proses intensitas. Proses
4
(2)
intensitas I i (t ) , merepresentasikan hubungan probabilitas subjek i , i 1, 2, ..., n pada interval [t , t
dt ) . Dirumuskan :
Ii (t )dt E(dN (t ) 1 | Ft ) (3)
N i (t ) menunjukkan kenaikan dari N i untuk interval [t , t
dt ) , Ft menunjukkan
data yang ada sebelum waktu t . Jika nilai i masuk di interval waktu maka diambil nilai dN i (t ) 1 dan sebaliknya jika tidak maka diambil nilai dN i (t ) Jika nilai dt
0.
0 untuk D {N i (t ), Yi (t ), z i (t )} , probabilitas pada proses
intensitas berubah menjadi instantaneous hazard untuk waktu t dan subjek i ditunjukkan pada persamaan di bawah ini
I i (t ) Yi (t ) 0 (t ) exp( ' zi )
(4)
dengan D mencerminkan data, Yi (t ) adalah indikator risiko yang ditunjukkan dari status hidup pasien terdiri dari 0 atau 1 dan zi (t ) adalah vektor covariate. Model Cox-Regression ditunjukkan dari individu ke- i . Parameter
0
(t ) exp( ' zi ) yang menunjukan skor risiko untuk
menunjukkan koefisien regresi.
Fungsi eksponensial menjamin I i (t ) bernilai positif. Probabilitas fungsi survival dirumuskan sebagai berikut : t
S (t , z )
exp((
0
(u )du ) exp( z ) )
(5)
0 t
Parameter
dan nilai
0 (t )
0
(u )du yang akan diestimasi dengan estimasi non-
0
parametric yang akan digunakan untuk mengestimasi model survival [11].
Distribusi Prior Distribusi prior mencerminkan kepercayaan subyektif parameter sebelum sampel diambil. Penentuan distribusi prior dapat ditentukan berdasarkan ruang parameternya.
5
Penentuan
d
0
prior
(t ) ~ Gamma(cd
dengan * 0
(t ), c) . d
mengambil * 0
N i (t )
konjugat
sehingga
(t ) menunjukann perkiraan prior dari fungsi
hazard yang belum diketahui dan c menujukkan derajat konfidensi [11]. Fungsi Likelihood Fungsi likelihood yang biasa digunakan adalah : L( D | ,
0
(t )))
Li ( D | ,
0
(6)
(t ))
n
L( D | ,
I i (t ) dNi (t ) exp
0 (t ) i 1
t 0
t 0
I i (t ) dt
(7)
Mengganti nilai I i (t ) dengan persamaan (4) diperoleh persamaan likelihood sebagai berikut: n
L( D | ,
0 (t ))
(Yi (t ) exp( ' z i )d i 1
0
(t )) dNi (t ) exp
t 0
t 0
(Yi (t ) exp( ' z i )d
0
(t ) dt
(8) dengan
d 0 (t )
mencerminkan
kenaikan
dari
fungsi
hazard,
dN i (t ) ~ Poisson( I i (t ))dt merupakan kenaikan yang sangat kecil dari N i (t ) dan 0
(t ) menunjukkan baseline hazard function terintegrasi selama interval [t , t dt )
[5]. Distribusi Posterior Dalam estimasi Bayes, setelah informasi tentang sampel dan prior dapat ditentukan maka distribusi posteriornya dicari dengan mengalikan priornya dengan informasi sampel yang diperoleh dari likelihoodnya [7]. Dituliskan sebagai berikut:
P( ,
0
(t ) | D)
L( D | ,
Akan difokuskan dalam mengestimasi parameter
0
(t ) P( ) P(
dan
0
0
(t )) .
(9)
(t ) . Karena model cukup
kompleks distribusi posterior susah untuk dicari secara langsung maka perlu adanya suatu pendekatan menggunakan metode simulasi dengan MCMC (Markov Chain Monte Carlo). Pada proses MCMC dipilih menggunakan algoritma Gibbs Sampling. 6
Kemudahan yang diperoleh dari penggunaan metode MCMC pada analisis Bayesian antara lain metode MCMC dapat menyederhanakan bentuk integral yang kompleks dengan dimensi besar menjadi bentuk integral yang sederhana dengan satu dimensi. MCMC dapat mengestimasi densitas data dengan cara membangkitkan suatu rantai Markov yang berurutan sebanyak N yang cukup besar sampai diperoleh konvergen [12]. Salah satu keunggulan MCMC terletak pada performa yang tidak terlalu sensitif pada penggunaan nilai awal. Proses penyusunan algoritma Gibbs Sampling perlu ditentukan nilai awal dari parameter yang akan diestimasi yaitu penyusunan
( P( | D,
0
algoritma
(t )), P(
0
Gibbs
0
~ Normal (0,
Sampling
2
) dan
mengikuti
0
prosedur
(t ) . Manual penentuan
(t ) | D, )) dengan langkah pada persamaan (10) dan (11) yaitu P( | D,
0
(t ))
P( ) P( D | ,
0
(t ))
(10)
dan
P(
0
(t ) | D, )
P(
0
(t )) .
(11)
Langkah pada persamaan (10) dan (11) diulang sebanyak B yang cukup besar, dengan B merupakan banyaknya update pada penyusunan rantai Markov hingga diperoleh deret rantai Markov yang konvergen. Gibbs Sampling termasuk ke dalam dua kategori algoritma utama dalam MCMC selain algoritma Metropolis. Gibbs Sampling adalah teknik membangkitkan variabel acak dari distribusi marginal secara tidak langsung tanpa harus menghitung densitasnya.
7
METODE PENELITIAN Profil data Data yang digunakan adalah data waktu bertahan hidup, status hidup pasien dan treatment yang digunakan pasien penderita jantung koroner [4]. Data ditunjukkan pada Tabel 1. Pasien sebanyak 40 pasien dan pasien yang mengalami kegagalan (meninggal) saat menjalani treatment sebanyak 8 pasien. Langkah-langkah penelitian Pengolahan data dengan menggunakan software winBUGS 1.4. Software winBUGS 1.4 adalah paket program yang dirancang khusus untuk memfasilitasi permodelan data Bayesian menggunakan implementasi MCMC yang bekerja dalam sistem operasi windows. Pengolahan data survival dilakukan dengan tahapan dan spesifikasi model meliputi pengecekan terhadap syntax model, loading data, compiling model, inisialisasi, menentukan iterasi MCMC sebanyak 10.000 kali guna membangkitkan Rantai-Markov. Penyusunan parameter
dan node Ring serta node
Bypass. Updating data parameter sebanyak 10.000. Dalam ploting masing-masing node dan parameter beta nilai Markov dilakukan burn in sebanyak 5000 data, dan diambil bangkitan rantai dari data ke 5001 sampai dengan 10.000. Tabel 1. Data waktu bertahan hidup pasien penderita jantung koroner No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Waktu (bulan) 26 26 38 51 52 56 57 61 62 62 66 71
Status
Treatment
No
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
Ring Ring Ring Ring Ring Ring Ring Ring Ring Ring Ring Ring
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
8
Waktu (bulan) 32 33 42 42 56 56 60 65 78 87 87 93
Status
Treatment
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
Bypass Bypass Bypass Bypass Bypass Bypass Bypass Bypass Bypass Bypass Bypass Bypass
13 14 15 16 17 18 19 20
71 75 83 106 123 128 156 183
0 0 0 0 0 0 0 0
Ring Ring Ring Ring Ring Ring Ring Ring
33 34 35 36 37 38 39 40
102 116 116 146 161 173 178 182
0 0 1 1 0 1 1 1
Bypass Bypass Bypass Bypass Bypass Bypass Bypass Bypass
ANALISIS HASIL Proses analisis dilakukan pada data survival yang terdiri dari n 40 dan T
8 , dengan n menyatakan total pasien dan T menunjukkan pasien yang mengalami
kegagalan dalam proses treatment. Digunakan dan diselidiki terlebih dahulu dengan pendektan klasik yaitu Regresi Cox-Proporsional Hazard dengan load packages survival yang ada pada software R i386 3.0.1. Waktu hidup dan status sebagai variabel yang dependent terhadap treatment. Hal tersebut berarti treatment sebagai variabel independent dan probabilitas survival tergantung pada jenis treatment yang digunakan. Diperoleh gambaran hasil yang dinyatakan pada Tabel 2. Tabel 2. Hasil estimasi node Ring dengan metode klasik non-parametrik
Node
Waktu
Survival
Ring [1] Ring [2]
61 71
0.923 0.821
Standard
Batas
Batas
Error
minimum
Maksimum
0.0739 0.1169
0.798 0.621
1 1
Tabel 3. Hasil estimasi node Bypass dengan metode klasik non- parametric
Batas
Node
Waktu
Survival
Standard Error
minimum
Batas Maksimum
Bypass[1] Bypass[2] Bypass[3] Bypass[4]
60 116 146 173
0.929 0.796 0.637 0.424
0.0688 0.1362 0.1793 0.2105
0.8030 0.5691 0.3667 0.1606
1 1 1 1
9
Bypass[5] Bypass[6]
178 182
0.212 0.000
0.1833 -
0.0391 -
1 -
Tabel 4. Hasil estimasi parameter Beta dengan metode klasik
Node
Survival
Estimasi Titik
Batas minimum
Batas Maksimum
Beta
0.408
-0.6851
0.0778
0.9053
Tabel 4. menunjukkan nilai estimasi titik yang sekaligus menunjukkan nilai koefisien regresi yakni sebesar -0.6851. Tingkat signifikansi alfa sebesar 0.5%. Estimasi interval diambil dengan mengambil exponensial dari minus lower.95 dan minus upper.95. Batas bawah dan batas atas diperoleh (0.0778, 0.9053) dengan probabilitas 0.408 yang sudah signifikan karena nilai probabilitasnya lebih besar dari 0.05. Dengan estimasi non parametrik gambaran nilai probabilitas pasien bertahan hidup untuk masing-masing treatment yang dikenakan terdapat pada Tabel 2 dan Tabel 3. Ditunjukkan bahwa nilai probabilitas tertinggi ada dalam kelompok bypass dengan nilai probabilitas sebesar 0.929
hanya selisih cukup kecil yaitu 0.005
signifikan dengan pasien dengan ring yang memiliki probabilitas tertinggi 0.923. Gambaran grafik
estimasi mean dari fungsi survival ditunjukan
pada
Gambar 1. Pada Gambar 1. Sumbu horizontal menunjukkan waktu bertahan hidup pasien penderita jantung koroner dalam satuan bulan , sedangkan sumbu vertical menunjukkan presentase subjek yang masih bertahan hidup. Garis putus-putus pada Gambar 1. menunjukkan garis survival untuk treatment Ring dan Bypass. Grafik memiliki kecenderungan mengalami penurunan secara bertahap, tidak dapat dipungkiri probabilitas pasien untuk bertahan hidup juga semakin kecil. Pada Gambar 1. Terlihat bahwa probabilitas bertahan hidup penderita dengan treatment ring jauh lebih besar karena penurunan probabilitas tidak sesignifikan jika dengan menggunakan bypass .
10
0.6 0.4
Survival Probability
0.8
1.0
Gambar 1. Estimasi mean fungsi survival untuk treatment Ring dan Bypass
Bypass
0.0
0.2
Ring
0
50
100
150
survival Time in Months
Hasil nilai estimasi dan karakteristik untuk masing-masing parameter ditunjukkan pada Tabel 5, Tabel 6, dan Tabel 7. Tabel 5. Hasil estimasi Bayesian node Ring
Node
Mean
Standard Deviasi
Ring[1] Ring[2] Ring[3] Ring[4] Ring[5] Ring[6] Ring[7] Ring[8]
0.9771 0.9536 0.9262 0.8781 0.8119 0.7185 0.613 0.4868
0.02706 0.04169 0.05832 0.09146 0.1333 0.182 0.2202 0.2417
MC error ( 10 4 ) 3.18 5.01 7.47 12.58 19.61 26.98 33.35 37.97
11
Batas minimum 2,5% 0.9025 0.841 0.7752 0.6403 0.4802 0.2892 0.1471 0.0564
Median 0.9865 0.9659 0.941 0.9009 0.8425 0.7567 0.6429 0.4902
Batas maksimum 97,5% 0.9996 0.9972 0.9931 0.988 0.9797 0.967 0.9479 0.9169
Tabel 6. Hasil estimasi Bayesian node Bypass
Node
Mean
Standard Deviasi
MC error
Bypass[1] Bypass[2] Bypass[3] Bypass[4] Bypass[5] Bypass[6] Bypass[7] Bypass[8]
0.9532 0.9067 0.855 0.7701 0.6615 0.5194 0.3739 0.2289
0.04703 0.06644 0.08318 0.1131 0.1402 0.1651 0.1697 0.1565
4.48 6.53 8.23 10.3 12.73 14.42 14.65 12.8
( 10 4 )
Batas minimum 2,5% 0.826 0.7398 0.6548 0.5051 0.357 0.189 0.07959 0.01491
Median 0.9679 0.9224 0.8702 0.7862 0.6743 0.5257 0.366 0.2018
Batas maksimum 97,5% 0.9988 0.9887 0.9701 0.9398 0.8932 0.8192 0.7175 0.5872
Tabel 7. Hasil estimasi Bayesian parameter Beta
Node Beta
Mean -0.8789
Standard Deviasi 0.9409
MC error
Median
( 10 )
Batas Minimum 2,5%
Batas Maksimum 97,5%
0.01502
-2.919
-0.8126
0.7644
4
Mean dan Median dalam Tabel 5 dan Tabel 6 menunjukkan nilai estimasi titik. Rata-rata dari parameter dalam Tabel 5 dan Tabel 6 merepresentasikan estimasi nilai rata-rata posterior untuk pasien yang menggunakan treatment ring dan bypass yang sekaligus mencerminkan peluang pasien untuk bertahan hidup jika menggunakan treatment tersebut. Nilai mean yang tertinggi untuk pasien dengan treatment ring adalah 0.9771 sedangkan dengan bypass 0.953 menunjukkan peluang bertahan hidup seseorang bertahan dengan menggunakan treatment ring akan menghasilkan nilai peluang bertahan hidup lebih besar dibandingkan dengan menggunakan bypass yakni sebesar 0.9771. Nilai error dalam penyusunan MCMC dengan algoritma Gibbs Sampling ditunjukkan dari MC error, diperoleh nilai error yang kecil karena mendekati 0. Estimator interval untuk parameter ditunjukkan dari interval konfidensi yakni batas minimum dan maksimum dengan pengambilan nilai tingkat sifnifikansi
5 %. Estimasi parameter menunjukkan bahwa semua 12
parameter terletak dalam batas interval konfidensi pada posisi antara 2,50% dan 97,50% dan nilainya signifikan yang tidak melewati nilai nol. Adanya interval konfidensi tersebut menjamin pencakupan dari parameter yang diselidiki. Nilai ratarata posterior yaitu standar error sekaligus menunjukkan koefisien regresi, diperoleh ditunjukkan pada Tabel 7 sebesar -0.8789. Gambar 2. Plot time series untuk MCMC Bayesian dan densitas kernel Ring[1], Bypass[1], dan beta Densitas Kerne l-Ring[1]
40 0
20
Ring1
0.85 0.70
Ring1
1.00
MCMC-Ring[1]
0
1000
2000
3000
4000
5000
0.70
Index
0.80
N = 5000
1.00
Bandw idth = 0.00302
Densitas Kerne l-Bypa ss[1]
0
1000
2000
3000
4000
0 5 10
Bypass1
0.8 0.6
Bypass1
1.0
MCMC-Bypa ss[1]
0.90
5000
0.6
Index
0.7
N = 5000
0.9
1.0
Bandw idth = 0.006248
Densitas Kerne l-Beta[1]
0.2
Beta
0.0
-4
Beta
0.4
0 2
MCMC-Beta
0.8
0
1000
2000
3000
4000
5000
-6
Index
-4 N = 5000
-2
0
2
Bandw idth = 0.1484
Plot time series untuk MCMC Bayesian dan densitas kernel ditujukkan dalam Gambar 2. Rantai Markov yang terbentuk ditunjukkan dari garis hitam untuk MCMC-Ring[1], MCMC-Bypass[1] dan MCMC-Beta. Plot dari time series menunjukkan gambaran rantai Markov yang dibangkitkan. Updating rantai Markov sebanyak 10.000 iterasi. Plot Gambar 2. menunjukkan nilai MCMC selalu positif, hasil plot nampak rapat dan dapat merespon keseluruhan variabel berarti didapati 13
model telah konvergen.
Nilai estimasi densitas posterior dapat dilihat dari plot
dnsitas kernel. Estimasi densitas kernel memberikan plot yang bagus karena dihasilkan densitas yang cenderung halus. Plot dari parameter beta menunjukkan bahwa distribusi gambar yang dihasilkan berdistribusi normal. Gambaran MCMC mengindikasikan bahwa nilai yang ditunjukkan berasal dari sebaran posterior yang dibentuk oleh rantai Markov. Gambar 3. Gambaran running quantiles dan autokorelasi Ring[1]
Bypass[1]
1.0
Bypass[1]
1.0 0.95 0.9 0.85 0.8
0.95 0.9 2500
5000
7500
401
2500
iteration
7500
401
10
20
30
5000
7500
1.0
Se rie s Be ta [5001:10000]
ACF
0.6
0.8
1.0 0.8
0.2 0.0
0.0
0.2
0.4
ACF
0.6
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0
2500
iteration
Se rie s Bypa ss1[5001:10000]
1.0
Se rie s Ring1[5001:10000]
ACF
5000 iteration
0.4
401
1.0 0.95 0.9 0.85 0.8
0
10
Lag
20 Lag
30
0
10
20
30
Lag
Gambar 3. menunjukkan plot dari running quantiles yang merepresentasikan gambaran mengenai nilai dari gambaran kinerja dari sampel yang bagus karena ditunjukkan dari posisi plot garis berada di tengah dari batas atas dan bawah. Pada gambaran running quantiles sumbu horizontal menunjukkan bangkitan rantai Markov, sedangkan sumbu vertikal menunjukkan nilai estimasi titik nya. Nilai autokorelasi untuk tiap node dan parameter ditunjukkan pula pada Gambar 3. Nilai autokorelasi menunjukkan bahwa data yang dibangkitkan memenuhi sifar rantai
14
Markov. Untuk menggambar nilai autokorelasi digunakan fungsi acf pada R i386 3.0.1. Berdasarkan analisis yang dilakukan diperoleh estimasi parameter beta dari model Cox-Regresion untuk pasien penderita jantung koroner dengan Bayesian
menggunakan dua treatment yakni ring dan bypass sebesar -0.8789
sehingga model Cox-Regression dari fungsi survival
S (t; z )
estimasi
0
(t ) exp( 0.8789 z i ) ) dan
exp( 1.824764737) exp(-0.8789z ) .
Kesimpulan Dalam paper ini diperoleh parameter dari model Cox-Regression untuk data ketahanan hidup pasien penderita jantung koroner dengan Bayesian survival analysis. Penelitian ini dapat dikembangkan untuk analisis survival model Weibul dengan metode Bayesian.
DAFTAR PUSTAKA [1] Departemen Kesehatan Republik Indonesia.2007.Profil Kesehatan Indonesia 2005. Jakarta [2] World Health Organization. 2014. The top 10 causes of death. Swiss: WHO. diakses pada Senin 15 September 2014 pukul 9.41. http://www.who.int/mediacentre/factsheets/fs310/en/ [3] Reskianti,Kiki, Nuriti Sunusi dan Nasrah Sirajang.2014.Estimasi Bayesian pada Analisis Data Ketahanan Hidup Berdistribusi Eksponensial melalui Pendekatan SELF. Studi Kasus: Analisis Ketahanan Hidup Flourophores.Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.UNHAS:Makassar. [4] Hendrajaya, Yani, Adi Setiawan dan Hanna Arini Parhusip.2008. Penerapan Analisis Survival untuk Menaksir Waktu Bertahan Hidup bagi Penderita Penyakit Jantung. Program Studi Matematika. Fakultas Sains dan Matematika. UKSW : Salatiga.
15
[5] Perra, Silvia.2013. Objective Bayesian Variable Selection for Censored Data. Universitas Cagliari: Italia. [6] Subanar,Prof.,Ph.D.2013.Statistika Matematika.Graha Ilmu: Yogyakarta [7] Candra Siska, Ade. 2011. Inferensi Statistik Distribusi Binomial Dengan Metode Bayes Menggunakan Prior Konjugat. Universitas Diponegoro: Semarang. http://eprints.undip.ac.id/29153/1/ade_candra.pdf [8] Rahayu, Ninuk, Adi Setiawan, Tundjung Mahatma.2013. Analisis Regresi Cox Proporsional Hazards pada Ketahanan Hidup Pasien Diabetes Mellitus. Program Studi Matematika. Fakultas Sains dan Matematika. UKSW : Salatiga. [9] Hidayah, Eny. 1994. Analisis Ketahanan Hidup dengan Metode Gehan MantelHaenszel dan Tarone-Ware untuk 2 Sampel Sampai K Sampel. Universitas Diponegoro : Semarang. [10] Mustafa, Ayman dan Anis Ben Ghorbal.2011. Using WinBUGS to Cox Model with Changing from the Ba seline Hazard Function. Fakultas Matematika. Universitas Islam Al-Imam Muhammad Ibn Saud : Saudi Arabia. [11] Andrew E Long. 1999. Leuk: survival analysis using Cox regression. Diakses pada Selasa 16 September 2014 pukul 20.12 . http://users.aims.ac.za/~mackay/BUGS/Manual05/Examples1/node29.html [12] Hidayah,Entin. Model Disagregasi Data Hujan Temporal dengan Pendekatan Bayesian sebagai Input Permodelan Banjir.ITS:Surabaya. [13] London,Dick FSA. 1997.Survival Model and Their Estimation. ACTEX Publication : USA. .[14] Klein, J.P dan Moeschberger, M.L.1997. Survival Analysis : Techniques for Censored and Truncated Data. New York. Springer-Verlag New York Inc.
16
