BAHAN BELAJAR: UNSUR DASAR PEMBANGUN GEOMETRI
Untung Trisna Suwaji Agus Suharjana
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN (PPPPTK) MATEMATIKA YOGYAKARTA 2015
KATA PENGANTAR Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas karunia-Nya, bahan ajar ini dapat diselesaikan dengan baik. bahan ajar ini diharapkan dapat menjadi salah satu rujukan dalam usaha peningkatan mutu pengelolaan pembelajaran matematika di sekolah serta dapat dipelajari secara mandiri oleh peserta diklat di dalam maupun di luar kegiatan diklat. Diharapkan dengan mempelajari bahan ajar ini, peserta diklat dapat menambah wawasan dan pengetahuan sehingga dapat mengadakan refleksi sejauh mana pemahaman terhadap mata diklat yang sedang/telah diikuti. Kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah berpartisipasi dalam proses penyusunan bahan ajar ini. Kepada para pemerhati dan pelaku pendidikan, kami berharap bahan ajar ini dapat dimanfaatkan dengan baik guna peningkatan mutu pembelajaran matematika di negeri ini. Demi perbaikan bahan ajar ini, kami mengharapkan adanya saran untuk penyempurnaan di masa yang akan datang. Saran dapat disampaikan kepada kami di PPPPTK Matematika dengan alamat: Jl. Kaliurang KM. 6, Sambisari, Condongcatur, Depok, Sleman, DIY, Kotak Pos 31 YK-BS Yogyakarta 55281. Telepon (0274) 881717, 885725, Fax. (0274) 885752. email:
[email protected].
Sleman, Kepala PPPPTK matematika
Prof. rer. nat. Widodo, M. S. NIP 196210311989031002
ii
Unsur Dasar Pembangun Geometri A. Pengertian pangkal Titik, garis, dan bidang merupakan pengertian pangkal yang tidak didefinisikan (undefined term). Beberapa istilah lain dalam geometri juga cukup diterima secara intuitif, tetapi tidak didefinisikan, seperti “terletak”, “di luar”, “kelurusan” suatu garis, atau “datarnya” bidang. Titik dapat dibayangkan seperti bola yang semakin mengecil sehingga jari-jarinya nol. Karena tidak memiliki ukuran, maka titik dikatakan berdimensi nol. Titik dapat ditentukan letaknya. Titik biasa direpresentasikan sebagai noktah. Besar kecilnya noktak tidak berpengaruh, tetap saja titik tidak memiliki ukuran.dan dinotasikan dengan huruf kapital (misal:
,
, ). Garis dapat dibayangkan sebagai jejak titik yang bergerak lurus. Garis
memanjang ke dua arah. Dengan demikian garis hanya memiliki panjang, tidak memiliki ketebalan sehingga dikatakan garis berdimensi satu. Akibat dari hal ini adalah, jarak dua titik pada suatu garis dapat ditentukan ukurannya. Garis dinotasikan dengan huruf non kapital (misal garis , , ) atau dengan menyebutkan dua titik yang dilalui (misal ⃡ ). Bidang dapat dibayangkan sebagai jejak garis yang bergerak menyamping tanpoa mengubah arah garis. Bidang meluas ke segala arah tanpa batas. Dalam lukisan geometris, bidang dapat dilukiskan sebagiannya dalam bentuk jajargenjang. Bidang dinotasikan dengan huruf Yunani, atau tiga titik yang dilaluinya (misal bidang
bidang
, bidang
). B. Definisi, Aksioma, dan Teorema Setelah mengenal undefined term titik, garis, dan bidang, diperlukan pernyataanpernyataan yang menjelaskan suatu istilah. Pernyataan ini disebut sebagai definisi. Dalam mendefinisikan sesuatu, hanya boleh menggunakan undefined term, atau istilah-istilah yang telah dikenal sebelumnya. Berikut ini beberapa definisi dalam geometri. 1. Kolinear (segaris): Tiga titik dikatakan kolinear (segaris) jika semua titik tersebut terletak pada garis yang sama. Pada gambar limas
di samping, titik E terletak di tengah
sehingga ketiga titik tiga titik ,
dan
,
, dan
,
segaris. Sementara itu
tak segaris (non kolinear).
2. Koplanar (sebidang):
3
Dua garis dikatakan koplanar jika keduanya terletak pada bidang yang sama. Empat titik dikatakan koplanar jika keempat titik tersebut terletak sebidang. Pada gambar di samping, garis AB dan BC koplanar, sedang garis AB dan TC non koplanar. Empat titik , , tak sebidang karena
tidak terletak di bidang yang memuat
,
.
3. Ruas garis Ruas garis
(dilambangkan dengan
di antara
dan
) merupakan himpunan titik ,
dan semua titik
yang kolinear dengan garis melalui kedua titik tersebut. Titik
dan
dalam hal ini disebut sebagai ujung-ujung ruas garis. Dalam penulisan berikutnya, dapat diartikan sebagai ruas garis
, dapat juga diartikan sebagai panjang ruas garis
tergantung pada konteksnya. 4. Sinar Garis (Ray): Sinar pada ⃡ terletak
) merupakan bagian dari ⃡
(ditulis
yang terdiri atas
dan semua titik
sedemikian hingga di
antara
Selanjutnya titik
dan
.
ini dinamakan
sebagai titik pangkal. Harap dicatat bahwa
dan
merupakan sinar yang berbeda.
Sebagai catatan, definisi yang baik, menyajikan hal-hal berikut: 1. Nama atau istilah yang akan didefinisikan. 2. Posisi istilah tersebut dalam himpunan atau kategori. 3. Dapat membedakan istilah yang didefinisikan dengan istilah lain tanpa memberikan fakta-fakta yang tidak diperlukan. 4. Berlaku bolak-balik. Contoh definisi: Segitiga samakaki adalah segitiga yang memiliki dua sisi yang kongruen. Perhatikan bahwa: (1) Istilah yang didefinisikan adalah “segitiga samakaki”. (2) Posisi segitiga samakakai termasuk dalam himpunan “segitiga”. (3) Hal yang membedakan segitiga samakaki dengan segitiga yang lain adalah “memiliki dua sisi yang kongruen”. (4) berlaku bolak balik, dimaksudkan sebagai berikut: 1. “Jika suatu segitiga itu samakaki, maka ia memiliki dua kaki yang kongruen” 2. “Jika suatu segitiga memiliki dua sisi yang kongruen, maka ia merupakan segitiga samakaki”. Selain undefined term dan definisi, untuk membangun geometri juga dibutuhkan sekumpulan aksioma atau postulat. Aksioma merupakan pernyataan pangkal yang secara intuitif mudah dipahami, sehingga diterima kebenarannya tanpa bukti. Beberapa aksioma dalam geometri di antaranya:
4
Aksioma 1.
Melalui dua titik berbeda, dapat dibuat tepat satu garis.
Aksioma 2.
Jika dua titik pada suatu garis terletak pada suatu bidang, maka titik-titik pada garis tersebut seluruhnya terletak pada bidang.
Aksioma 3.
Melalui tiga titik tidak segaris dapat dibuat tepat satu bidang.
Dengan menggunakan kaidah-kaidah logika berdasarkan suatu pernyataan dapat ditentukan benar dan salahnya. Dalam matematika pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya dengan menggunakan penalaran deduktif dinamakan sebagai teorema. Dalam membuktikan suatu teorema hanya boleh menggunakan aksioma, definisi, dan teorema sebelumnya yang telah terbukti kebenarannya. Pernyataan yang belum dibuktikan kebenarannya dinamakan sebagai konjektur (conjecture) atau dugaan. Teorema 1.
Melalui satu garis dan sebuah titik di luar garis hanya dapat dibuat satu bidang.
Bukti: Misalkan diberikan garis , maka dapat ditentukan dua titik berbeda
dan
yang
terletak pada garis . Karena bidang melalui maka seluruh titik pada garis itu terletak pada bidang (Aksioma 1). Sementara itu masih ada satu titik lagi di luar garis, sehingga terdapat tiga titik yang tidak segaris. Menurut aksioma 3, maka dapat dibuat tepat satu bidang. Jadi melalui satu garis dan sebuah titik di luar garis hanya dapat dibuat satu bidang. Teorema 2.
Melalui dua garis berpotongan hanya dapat dibuat satu bidang.
Bukti: misal dibarikan garis
dan berpotongan di titik . Tanpa mengurangi keumuman,
pandang garis , dan ambil titik
di garis . Menurut teorema 1, dapat dibuat satu
bidang. Jadi melalui dua garis berpotongan hanya dapat dibuat satu bidang. Sudut Sudut adalah gabungan dua sinar yang bersekutu di titik pangkalnya. Dua sinar ini dinamakan kaki sudut, sedangkan titik pangkal persekutuan dinamakan sebagai titik sudut. Kedua kaki sudut memisahkan bidang menjadi dua bagian yaitu daerah sudut (interior) dan eksterior sudut. Pada gambar, ruas garis
berada di interior.
Dalam beberapa kasus seperti dalam trigonometri, sudut dapat pula dipandang sebagai bukaan (putaran) dari sinar yang berimpit pada pangkalnya.
5
A. Satuan Pengukuran Sudut 1. Besar Sudut dalam Derajat Dalam satuan derajat, jika
membentuk garis lurus maka besar
adalah 180
derajat (dilambangkan dengan 180). Dengan demikian 1 merupakan besar sudut yang
1 sudut lurus (dikatakan sudut lurus jika kedua sinar pembentuknya terletak 180 segaris). Untuk ukuran sudut yang lebih kecil, 1 terdiri atas 60 menit (60’), dan 1’ terdiri besarnya
atas 60”. Dalam satuan ini, sudut yang dibentuk oleh satu putaran penuh adalah 360. Untuk mengetahui besar sudut dalam satuan derajat, biasanya digunakan busur derajat. Cara menggunakan busur derajat
Alat-alat lain yang berkaitan dengan pengukuran besar sudut dapat dilihat di http://en.wikipedia.org/wiki/Measuring_instrument#Angle. 2. Besar Sudut dalam Radian Jika menyatakan besar sudut dalam radian, menyatakan jari-jari, maka
menyatakan panjang busur
, dan
.
Dengan memandang sudut sebagai perputaran, maka sudut 180 tidak lain merupakan hasil perputaran setengah lingkaran, sehingga besar sudut dalam radian adalah Jika
.
maka dapat ditentukan bahwa besar sudut yang membentuk garis lurus adalah
radian. Dengan demikian 180 rad.
Catatan: Perhatikan bahwa besar sudut dalam radian berupa bilangan real. Sehingga jika besar suatu sudut tidak disebutkan satuannya, maka yang dimaksudkan adalah besar sudut dalam radian.
6
3. Besar Sudut dalam satuan yang lain. Di Perancis dan Inggris secara terpisah pada sekitar tahun 1900, diciptakan sistim baru untuk membagi sudut-sudut dalam lingkaran. Mereka membagi 1 lingkaran ke dalam 400 gradien (dilambangkan dengan 400g). Terdapat beberapa istilah untuk satuan ini, yaitu grade, gon, atau Neugrad (new degree). Di dunia militer, dikenal satuan angular mil, yang diadopsi dari satuan radian. Sudut satu putaran dalam radian adalah dibagi menjadi satuan-satuan yang lebih kecil yaitu mili radian atau mil rad. Untuk mempermudah perhitungan, akhirnya terdapat ukuran berbeda untuk satu angular mil (1 mil), yaitu setara dengan 1/6400, 1/6300, atau 1/6000 putaran penuh (tergantung negara masing-masing). Lebih lanjut dapat dibaca di http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_mil atau sumber-sumber lainnya. B. Macam-macam Sudut, Hubungan antar Sudut dan Garis dengan Sudut 1. Macam-macam Sudut Menurut Besarnya Sudut lancip Sudut siku-siku Sudut tumpul Catatan: Terdapat perbedaan dalam menuliskan notasi ukuran sudut yaitu: a. sebagai notasi sudut, dan untuk menyatakan ukuran sudut. b. Notasi digunakan sekaligus untuk sudut dan besar sudut. Dalam bahan belajar ini, digunakan pilihan b. 2. Hubungan antara sudut-sudut a.
Sudut yang berdekatan/berdampingan
Sudut yang berdekatan adalah dua sudut yang memiliki titik sudut yang sama, sebuah kaki sudut yang sama, tetapi tidak memiliki titik-titik interior yang sama. Contoh pasangan sudut berdekatan: Bukan dengan
pasangan
,
berdekatan:
(interior
(titik sudut berbeda)
7
bersama),
b.
Sudut-sudut berpenyiku
Dua sudut dikatakan berpenyiku jika jumlah besar kedua sudut 90. Satu sudut merupakan penyiku (komplemen) bagi sudut yang lain. c.
Sudut-sudut berpelurus
Dua sudut dikatakan berpelurus jika jumlah besar kedua sudut 180.
Satu sudut
merupakan pelurus (suplemen) bagi sudut yang lain.
d.
Dua sudut bertolak belakang
Sudut bertolak belakang terbentuk ketika dua garis saling berpotongan dan membentuk empat sudut. Setiap dua sudut yang tidak berdampingan dari keempat sudut disebut sudut bertolak belakang. Pada gambar di samping, Pasangan sudut bertolak belakang:
dan
Pasangan sudut berdekatan: Perhatikan bahwa
(berpelurus) (berpelurus)
akibatnya Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa bahwa dua sudut yang bertolak belakang sama besar.
8
. Sehingga dapat disimpulkan
C. Transversal dan Kesejajaran 1. Transversal (melintang) Jika dua garis transversal
dan
dipotong oleh garis
memotong garis
, seperti pada gambar, maka dikatakan
dan . Perhatikan istilah-istilah yang digunakan.
Istilah-istilah sudut pada transversal. Gambar
Sudut
dengan
Nama Sudut-sudut dalam (sudut yang terletak di antara garis q dan r). Sudut-sudut luar (sudut yang tidak terletak di antara garis q dan r). Sudut-sudut sepihak (sudut di sebelah kiri garis p) Sudut-sudut sepihak (sudut di sebelah kanan garis p) Sudut-sudut sehadap (menghadap arah yang sama) Sudut-sudut berlainan pihak/ berseberangan (sudut-sudut di sebelah kiri garis p dikatakan berseberangan dengan sudutsudut di sebelah kanan garis p). Sudut luar berseberangan
Catatan: perhatikan bahwa istilah-istilah sudut sehadap, berseberangan, sudut luar, dan lain-lain seperti di atas berlaku secara umum tidak hanya berlaku untuk dua garis sejajar yang dipotong oleh garis lain. 2. Postulat Kesejajaran Dua garis dikatakan sejajar jika kedua garis tersebut terletak pada bidang yang sama dan tidak memiliki titik persekutuan. Postulat 1 Garis Sejajar: Jika dua garis sejajar dipotong oleh sebuah garis melintang, maka masing-masing pasangan sudut sehadap sama besar. Sehingga, pada gambar di samping, garis
sejajar
dipotong garis p, maka berlaku: ,
,
, 9
dan
Catatan: postulat merupakan pernyataan yang diterima kebenarannya tanpa bukti. Akibat-akibat yang muncul dari postulat sejajar adalah: Jika dua garis sejajar dipotong oleh garis melintang, maka 1) sudut luar berseberangan sama besar. 2) sudut dalam berseberangan sama besar. 3) sudut-sudut dalam sepihak saling berpelurus. 4) sudut luar sepihak saling berpelurus. Bukti: (sudut bertolak belakang sama besar) (sudut sehadap sama besar) Sehingga , sudut luar berseberangan sama besar. (no. 1 terbukti) Dengan cara serupa, pernyataan-pernyataan 2, 3, dan 4 dapat Anda buktikan kebenarannya. Postulat 2 garis sejajar. Jika dua garis dipotong oleh garis melintang membentuk sudut sehadap yang sama besar, maka dua garis tersebut sejajar. Atau dapat juga dituliskan: Misalkan garis maka
dan
dipotong oleh garis melintang, jika
.
Dengan postulat 2 kesejajaran, dapat diturunkan teorema-teorema berikut. a. Jika dua garis dipotong oleh garis melintang sehingga sudut dalam berseberangan sama besar maka kedua garis tersebut sejajar. Bukti: Diketahui garis dan
dipotong oleh garis , dan
Akan ditunjukkan bahwa
.
.
(diketahui) (sudut bertolak belakang sama besar) Akibatnya
sehingga menurut postulat sejajar 2 diperoleh garis
. (terbukti).
b. Jika dua garis dipotong oleh garis melintang sehingga sudut luar berseberangan sama besar maka kedua garis tersebut sejajar. Bukti: Diketahui garis dan
dipotong oleh garis , dan
10
Akan ditunjukkan bahwa
.
(diketahui) (sudut bertolak belakang sama besar) Akibatnya
, sehingga menurut postulat sejajar 2, maka garis
.■ c. Jika dua garis dipotong oleh garis melintang sehingga sudut dalam sepihak saling berpelurus maka kedua garis tersebut sejajar. Bukti: Diketahui garis j dan k dipotong oleh garis l, dan Akan ditunjukkan bahwa
.
(diketahui) (sudut berpelurus) sehingga menurut postulat sejajar 2, maka garis
Akibatnya
.■
Konstruksi Geometri Peralatan yang sering digunakan dalam geometri adalah jangka yang digunakan untuk melukis lingkaran dan bagian dari lingkaran yang dinamakan busur. Dengan jangka dan penggaris, berbagai konstruksi geometri dapat dibuat. Pada bagian ini hanya diberikan langkah-langkah teknis melukis konstruksi geometri. Sementara itu alasan/mengapa langkah-langkah tersebut menghasilkan konstruksi yang diinginkan dapat dipelajari setelah mempelajari sifat-sifat bangun datar. A. Menyalin sudut Diberikan
akan dilukis
yang besarnya sama dengan
11
.
Langkah-langkah : 1) Lukis busur 1 berpusat di
, memotong kaki-kaki sudut di
dan
(Gambar kiri
atas). 2) Dengan jari-jari yang sama dengan busur 1, lukis busur 2 dengan pusat di (Gambar kiri bawah). 3) Lukis busur 3 berpusat di
, berjari-jari
(Gambar tengah
atas). 5) Lukis busur 4 dengan jari-jari sama dengan busur 3 dan berpusat di memotong busur 3 di titik Diperoleh
hingga
(Gambar tengah bawah). 6) Tarik sinar garis
.
(Gambar kanan).
Melalui proses menyalin sudut dan berbekal postulat 2 kesejajaran, maka dimungkinkan untuk melukis garis sejajar melalui sebuah titik di luar garis dengan cara sebagai berikut: 1) Diberikan sebuah garis memotong garis
dan sebuah titik
di luar garis. 2) Tarik garis melalui
(misalkan memotong di titik
sama dengan sudut
. 4) Tarik garis melalui
). 3)Buat sudut
yang besarnya
, diperoleh garis
sejajar garis
.
B. Membagi dua suatu sudut Diberikan sebarang sudut, akan dibuat sudut yang besarnya setengah sudut yang diberikan.
Berikut ini langkah-langkah melukis garis bagi sudut dengan mistar dan jangka. 1) Lukis busur 1 berpusat di busur 2 berpusat di
dan memotong kaki-kaki sudut di
dan
. 2) Lukis
, jari-jari busur menyesuaikan besar sudut. 3) Dengan jari-jari
sama dengan busur 2, lukis busur berpusat di garis melalui
dan
. Garis
membagi
.
12
dan memotong busur 2 di
. 4) Tarik
menjadi dua bagian sama besar,
C. Membagi dua ruas garis (melukis titik tengah)
Langkah-langkah: 1) Diberikan sebarang ruas garis
. 2) Lukis busur berjari-jari , berpusat di . 3)
Lukis busur berjari-jari , berpusat di . 4) Kedua busur beropotongan di Tarik garis
, memotong
di , maka
merupakan titik tengah
dan
. 5)
.
D. Membagi ruas garis menjadi
bagian yang sama panjang
Misalkan diberikan ruas garis
yang akan dibagi menjadi tiga bagian yang sama
panjang. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: 1) Tarik garis melalui dan memotong
di
busur 3 berpusat di 4) Salin
2) Dengan jari-jari busur yang sama, buat busur 1 berpusat di , busur 2 berpusat di
dan memotong garis
ke titik
dan
dan memotong garis di
Perpanjang kaki-kaki sudut yang lain hingga memotong
1.
Melalui titik di luar garis
Cara 1.
13
, serta
. 3) Tarik garis melalui B dan A3.
dengan garis
E. Melukis sudut siku-siku
di
sebagai salah satu kakinya. 5) di
dan
. 6) Diperoleh
1) Buat busur berpusat di A sehingga memotong garis di B dan C (Gb. b). 2) Buat dua busur dengan jari-jari sama berpusat di A dan B sehingga berpotongan di D (Gb. c dan d). 3)Tarik garis dari A ke D. Diperoleh garis AD tegaklurus BC (Gb. e). Cara 2. Langkah-langkah melukis sudut siku-siku melalui titik diluar garis: 1) Lukis garis melalui
memotong garis yang diberikan di
tengahnya. 2) Buat busur berdiameter garis melalui
2.
dan
dan tentukan titik
sehingga memotong garis di
(gambar d), diperoleh
tegak lurus
. 3) Tarik
.
Melalui Titik pada Garis
Langkah-langkah melukis sudut siku-siku melalui titik pada garis: 1) Buat busur berpusat di
sehingga memotong garis di
berjari-jari sama dengan pusat di d). 3) Tarik garis dari
dan di
dan . 2) Buat dua busur
sehingga berpotongan di
ke . Diperoleh garis
tegaklurus
(Gambar c dan
.
F. Melukis sudut 60 Langkah-langkah melukis sudut 60. 1) Gunakan jari-jari yang sama untuk busur 1 dan 2. 2) Buat busur 1 berpusat di , memotong garis di titik
. 3) Buat busur 2 berpusat di
hingga memotong busur 1 di . 4) Tarik garis melalui yang besarnya 60.
14
dan , maka terbentuk
G. Melukis sudut 30
Langkah-langkah melukis sudut 30. 1) Gunakan jari-jari yang sama untuk semua busur yang dibuat. 2) Lukis busur 1 berpusat di A hingga memotong garis di B. 3) Lukis busur 2 hingga memotong busur 1 di C. 4) Lukis busur 3 hingga memotong busur 2 di D. 5) Tarik garis melalui A dan D, maka terbentuk sudut BAD yang besarnya 30. H. Melukis sudut 45 Melukis sudut 45 dapat dilakukan dengan melukis sudut siku-siku terlebih dahulu, kemudian dibagi dua sama besar.
15
DAFTAR PUSTAKA Ann Xavier Gantert, 2008, Amsco’s Geometry, New York: Amsco School Publication Daniel C. Alexander & Geralyn M. Koeberlein, 2011, Elementary Geometry for College Students, Belmont: Brooks/Cole H.S. Hall, & F.H. Stevens. 1949. School Geometry Parts I – VI. London: MacMillan and Co.. David M. Burton, 2011, The History of Mathematics : An Introduction, New York: McGraw-Hill. Michael Serra, 2008, Discovering Geometry: An Investigative Approach, Emeryville California: Key Curriculum Press Thomas H. Sidebotham. 2002. The A to Z of Mathematics, A basic guide. New York: John Wiley & Sons, Inc. Untung T.S., Jakim Wiyoto. 2009. Kapita Selekta Pembelajaran Geometri Datar Kelas VII di SMP. Yogyakarta: PPPPTK Matematika. W. Gellert, H. Kastner, & M. Helwich. 1977. The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, New York: Van Nostrand Reinhold Company.
