Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5

Val´ osz´ın˝ us´ egsz´ am´ıt´ as F¨oldtudom´any BSc szak, 2016/2017. ˝oszi f´el´ev ´ Backhausz Agnes [email protected]

Tartalomjegyz´ ek 1. Bevezet´ es

2

2. A Kolmogorov-f´ ele val´ osz´ın˝ us´ egi mez˝ o

3

2.1. Klasszikus val´osz´ın˝ us´egi mez˝o . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2. A val´osz´ın˝ us´eg elemi tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . .

5

3. F¨ uggetlens´ eg

6

4. Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok ´ es eloszl´ asuk

8

4.1. Diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok eloszl´asa . . . . . . . . . . . .

8

4.2. Diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o v´arhat´o ´ert´eke . . . . . . . . . . 10 4.3. Diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o sz´or´asa . . . . . . . . . . . . . . 12 5. Nevezetes diszkr´ et eloszl´ asok

14

5.1. Binomi´alis eloszl´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5.2. Poisson-eloszl´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5.3. Geometriai eloszl´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.4. Negat´ıv binomi´alis eloszl´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.5. Hipergeometrikus eloszl´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6. Eloszl´ asf¨ uggv´ eny ´ es s˝ ur˝ us´ egf¨ uggv´ eny

22

6.1. Abszol´ ut folytonos val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok v´arhat´o ´ert´eke, sz´or´asa ´es momentumai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1

7. Nevezetes abszol´ ut folytonos eloszl´ asok

25

7.1. Egyenletes eloszl´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7.2. Norm´alis eloszl´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.3. Exponenci´alis eloszl´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 8. Felt´ eteles val´ osz´ın˝ us´ eg

30

8.1. Teljes val´osz´ın˝ us´eg t´etele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 8.2. Bayes-t´etel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 9. Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok egy¨ uttes eloszl´ asa

34

9.1. Egy¨ uttes eloszl´as– ´es s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny . . . . . . . . . . . . . . 35 9.2. Val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlens´ege . . . . . . . . . . . . . . . 35 10.V´ arhat´ o´ ert´ ek, sz´ or´ as, kovariancia, korrel´ aci´ o

37

10.1. A v´arhat´o ´ert´ek tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 10.2. A sz´or´asn´egyzet tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 10.3. A kovariancia ´es tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 10.4. A korrel´aci´os egy¨ utthat´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 11. A nagy sz´ amok t¨ orv´ enyei

42

11.1. Egyenl˝otlens´egek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 12. Centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel

44

13.Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok o ¨sszege

46

13.1. Konvol´ uci´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 13.2. Nevezetes eloszl´asok o¨sszege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 14. Tov´ abbi nevezetes abszol´ ut folytonos eloszl´ asok

2

47

1.

Bevezet´ es

C´ elok: • v´eletlen folyamatok modellez´ese; • k´ıs´erletekb˝ol, felm´er´esekb˝ol sz´armaz´o adatok elemz´ese; • ismeretlen mennyis´egek becsl´ese a m´er´esek alapj´an; • hipot´ezisek ellen˝orz´ese vagy c´afolata; • m´ ultbeli adatok alapj´an a j¨ov˝obeli folyamatok el˝orejelz´ese. Alkalmaz´ asi ter¨ uletek: • ´el˝o ´es ´elettelen term´eszettudom´anyok, t´arsadalomtudom´anyok: k´ıs´erleti eredm´enyek ´ertelmez´ese; v´eletlen folyamatok (pl. id˝oj´ar´as) el˝orejelz´ese; • gazdas´agi folyamatok elemz´ese, biztos´ıt´as– ´es p´enz¨ ugyi matematika. P´ eld´ ak • K´et szab´alyos dob´okock´aval dobunk. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a dobott sz´amok ¨osszege 7? • Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy decemberben pontosan 6 olyan nap lesz, amikor a h˝om´ers´eklet fagypont al´a s¨ ullyed? • Csomagot v´arunk, a fut´ar 8 ´es 12 o´ra k¨oz¨ott ´erkezik. Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy m´eg 11 o´ra el˝ott meg´erkezik? • Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a holnapi csapad´ekmennyis´eg nem haladja meg a 10 mm-t? • Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy egy v´eletlenszer˝ uen kiv´alasztott ember balkezes? Annak, hogy pontosan 0, 1, 2, . . . testv´ere van? Annak, hogy a testmagass´aga 190 cm ´es 200 cm k¨oz´e esik?

3

2.

A Kolmogorov-f´ ele val´ osz´ın˝ us´ egi mez˝ o

1. Defin´ıci´ o. Az (Ω, A, P) h´armas Kolmogorov-f´ele val´osz´ın˝ us´egi mez˝o, ha • Ω nem u ¨res halmaz; • A ⊆ P(Ω), azaz minden A ∈ A-ra A ⊆ Ω u ´gy, hogy (i) Ω ∈ A; S (ii) ha A1 , A2 , . . . ∈ A, akkor ∞ aml´alhat´o sok n=1 An ∈ A (azaz megsz´ A-beli elem uni´oja is A-beli); (iii) ha A ∈ A, akkor Ω \ A ∈ A (azaz A-beli halmazok komplementere is A-beli. • P : A → [0, 1] f¨ uggv´eny, melyre (i) P(Ω) = 1; (ii) ha A1 , A2 , . . . ∈ A ´es minden 1 ≤ i < j-re Ai ∩ Aj = ∅, akkor ! ∞ ∞ [ X P An = P(An ). n=1

n=1

Elnevez´ esek: • Ω: esem´enyt´er vagy elemi esem´enyek halmaza. • Ω elemei (ω ∈ Ω): elemi esem´enyek. • A: esem´enyek halmaza (vagy esem´enyek σ-algebr´aja). • A elemei (A ∈ A): esem´enyek. • P: val´osz´ın˝ us´eg (probability). • Ω esem´eny neve: biztos esem´eny. • ∅ (¨ ures halmaz) esem´eny neve: lehetetlen esem´eny. • A ∈ A ´es B ∈ A kiz´ar´o esem´enyek, ha A ∩ B = ∅, azaz nincs olyan ω ∈ A, melyre ω ∈ B is teljes¨ ul. 2. Defin´ıci´ o (Diszkr´ et val´ osz´ın˝ us´ egi mez˝ o). Az (Ω, A, P) val´osz´ın˝ us´egi mez˝o diszkr´ et, ha Ω v´eges vagy megsz´aml´alhat´oan v´egtelen. 4

P´ elda: k´ et szab´ alyos kockadob´ as K´et szab´alyos dob´okock´aval dobunk, egy pirossal ´es egy k´ekkel. • Ω = {11, 12, 13, . . . , 65, 66}, ahol p´eld´aul 13 azt jelenti, hogy a piros dob´as 1, a k´ek 3 (ez k¨ ul¨onb¨ozik 31-t˝ol). |Ω| = 6 · 6 = 36, vagyis 36 darab elemi esem´eny (dob´assorozat) van. • A: az Ω o¨sszes r´eszhalmaza. |A| = 236 . • P(A) =

|A| 36

minden A ∈ A-ra. P´eld´aul: A = {16, 25, 34, 43, 52, 61} = {az ¨osszeg 7}. 11 21 31 41 51 61

12 22 32 42 52 62

13 23 33 43 53 63

14 15 24 25 34 35 44 45 54 55 64 65

16 26 36 46 56 66

Teh´at P(A) = P(az ¨osszeg 7) = 6/36 = 1/6. P´ elda: gyerekek nem´ enek eloszl´ asa Valakinek h´arom gyermeke sz¨ uletik. • A gyerekek neme a k¨ovetkez˝ok´eppen alakulhat (sz¨ ulet´esi sorrendben): Ω = {LLL, LLF, LF L, LF F, F LL, F LF, F F L, F F F }. Ennek 8 eleme van, felt´etelezz¨ uk, hogy mind a nyolc lehet˝os´eg egyform´an val´osz´ın˝ u. • A: az Ω o¨sszes r´eszhalmaza. |A| = 28 . • P´eld´aul legyen A ⊂ Ω az az esem´eny, hogy a gyerekek k¨oz¨ott pontosan egy l´any van: A = {LF F, F LF, F F L.} Ennek val´osz´ın˝ us´ege: P(A) = 3/8. • Legyen B az az esem´eny, hogy a k¨oz´eps˝o gyerek fi´ u: B = {LF L, LF F, F F L, F F F }. Ennek val´osz´ın˝ us´ege: P(B) = 1/2. 5

2.1.

Klasszikus val´ osz´ın˝ us´ egi mez˝ o

3. Defin´ıci´ o. Tegy¨ uk fel, hogy az (Ω, A, P) Kolmogorov-f´ele val´osz´ın˝ us´egi mez˝ore az al´abbiak teljes¨ ulnek: • Ω v´eges sok elemb˝ol a´ll: Ω = {ω1 , . . . , ωn }. • A az Ω o¨sszes r´eszhalmaz´ab´ol ´all. • P(ω) = egyenl˝o.

1 n

minden ω ∈ Ω-ra, azaz az elemi esem´enyek val´osz´ın˝ us´ege

Ilyenkor (Ω, A, P) klasszikus val´ osz´ın˝ us´ egi mez˝ o. ´ ıt´ 1. All´ as. Klasszikus val´osz´ın˝ us´egi mez˝oben tetsz˝oleges A ∈ A esem´enyre |A| A elemeinek sz´ama = . P(A) = Ω elemeinek sz´ama |Ω| P´ elda: k´et kockadob´as, gyerekek neme. Nem klasszikus val´osz´ın˝ us´egi mez˝o: a decemberi fagyos napok sz´ama. Az o¨sszes lehet˝os´eg 0, 1, . . . , 31, ez v´eges sok. Viszont nem j´o felt´etelez´es, hogy minden lehet˝os´eg (pl. 5 ´es 30) egyform´an val´osz´ın˝ u.

2.2.

A val´ osz´ın˝ us´ eg elemi tulajdons´ agai

Legyen (Ω, A, P) Kolmogorov-f´ele val´osz´ın˝ us´egi mez˝o. 4. Defin´ıci´ o. Legyenek A, B ∈ A esem´enyek. • Uni´o: A ∪ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A vagy ω ∈ B}. • Metszet: A ∩ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A ´es ω ∈ B}. / A}. • Komplementer/ellentett esem´eny: A = {ω ∈ Ω : ω ∈ • A maga ut´an vonja B-t, ha minden ω ∈ A-ra ω ∈ B is teljes¨ ul. Jel¨ol´es: A ⊆ B. ´ ıt´ 2. All´ as (Komplementer val´ osz´ın˝ us´ ege). Ha A ∈ A esem´eny, akkor P(A) = 1 − P(A). ´ ıt´ 3. All´ as (Tartalmaz´ as). Ha az A, B ∈ A esem´enyekre A ⊆ B, akkor P(A) ≤ P(B). 6

3.

F¨ uggetlens´ eg

5. Defin´ıci´ o. Az A, B ∈ A esem´enyek f¨ uggetlenek, ha P(A ∩ B) = P(A) · P(B). P´ elda. K´et szab´alyos dob´okock´aval dobunk, egy pirossal ´es egy k´ekkel. A: a piros kock´aval h´armat dobunk. B: a k´ek kock´aval ¨ot¨ot dobunk. C: a dobott sz´amok o¨sszege 6. A ´es B f¨ uggetlenek: P(A ∩ B) = 1/36 = P(A) · P(B). A ´es C nem f¨ uggetlenek, illetve B ´es C sem f¨ uggetlenek. P(A ∩ C) = 1/36 6= 1/6 · 5/36 = P(A) · P(C). P´ elda. Tegy¨ uk fel, hogy annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy holnap Budapesten esik az es˝o, 0, 2. Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy holnap Toront´oban esik az es˝o, 0, 1. Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy holnap Budapesten ´es Toront´oban is esik az es˝o, 0, 02. Ekkor az a k´et esem´eny, hogy Budapesten (B), illetve Toront´oban (T ) esik az es˝o, f¨ uggetlen, hiszen P(B ∩ T ) = P(mindk´et helyen esik az es˝o) = 0, 02 = 0, 2 · 0, 1 = P(B)P(T ). P´ elda. Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy holnap Budapesten esik az es˝o, 0, 2. Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy holnap Buda¨ors¨on esik az es˝o, 0, 15. Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy holnap Budapesten ´es Buda¨ors¨on is esik az es˝o, 0, 12. Ekkor az a k´et esem´eny, hogy Budapesten (B), illetve Buda¨ors¨on (C) esik az es˝o, nem f¨ uggetlen, hiszen P(B ∩ C) = 0, 12 6= 0, 03 = 0, 2 · 0, 15 = P(B)P(C). 6. Defin´ıci´ o (F¨ uggetlens´ eg). Az A1 , A2 , . . . , An ∈ A v´eges sok esem´eny (teljesen) f¨ uggetlenek, ha minden 1 ≤ k ≤ n-re ´es 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ nre P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) . . . P(Aik ). Az A1 , A2 , . . . ∈ A megsz´aml´alhat´oan v´egtelen sok esem´eny (teljesen) f¨ uggetlen, ha minden k ∈ N-re ´es 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik -ra P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) . . . P(Aik ). 7

7. Defin´ıci´ o (P´ aronk´ enti f¨ uggetlens´ eg). Az A1 , A2 , . . . ∈ A esem´enyek p´aronk´ent f¨ uggetlenek, ha minden 1 ≤ i < j eset´en Ai ´es Aj f¨ uggetlenek, azaz P(Ai ∩ Aj ) = P(Ai )P(Aj ). P´eld´ak f¨ uggetlens´egre: • Egy helyen ¨ot k¨ ul¨onb¨oz˝o m˝ uszerrel m´erj¨ uk meg a l´egszennyezetts´eget. Legyen Ci az az esem´eny, hogy az i. m˝ uszer m´er´esi hib´aja a val´os ´ert´ek 10%-´an´al t¨obb. Felt´etelezhetj¨ uk, hogy a C1 , . . . , C5 esem´enyek f¨ uggetlenek. • Egy szab´alyos kock´aval n-szer dobunk. Legyen Ak az az esem´eny, hogy a k. dob´as kettes (k = 1, 2, . . . , n). Ekkor A1 , . . . , An f¨ uggetlenek. • Valakinek n gyereke sz¨ uletik. Legyen Bk az az esem´eny, hogy a k. gyerek fi´ u (k = 1, 2, . . . , n). Ekkor felt´etelezhetj¨ uk, hogy B1 , . . . , Bn f¨ uggetlenek. ´ ıt´ 4. All´ as. Ha az A1 , A2 , . . . , An esem´enyek f¨ uggetlenek, akkor p´aronk´ent f¨ uggetlenek. A p´aronk´enti f¨ uggetlens´egb˝ol nem k¨ovetkezik a f¨ uggetlens´eg. P´ elda. Szab´alyos dob´okock´aval k´etszer dobunk. Legyen A: az els˝o dob´as p´aros. B: a m´asodik dob´as p´aros. C: a k´et dob´as o¨sszege p´aros. P(A) = P(B) = P(C) = 1/2. P(A ∩ B) = P(A ∩ C) = P(B ∩ C) = 1/4. Ugyanakkor, ha az els˝o ´es a m´asodik dob´as p´aros, akkor a k´et dob´as ¨osszege is biztosan p´aros, ´ıgy P(A ∩ B ∩ C) = 1/4 6= 1/2 · 1/2 · 1/2 = P(A) · P(B) · P(C). Teh´at: A, B, C p´aronk´ent f¨ uggetlenek, de nem f¨ uggetlenek. ´ ıt´ 5. All´ as (Komplementer f¨ uggetlens´ ege). Ha az A1 , A2 , . . . , An ∈ A uggetleesem´enyek f¨ uggetlenek, akkor az A1 , A2 , . . . , An ∈ A esem´enyek is f¨ nek. 8

´ ıt´ 6. All´ as. Ha az A, B ∈ A esem´enyek f¨ uggetlenek, akkor • A ´es B f¨ uggetlenek; • A ´es B f¨ uggetlenek; uggetlenek. • A ´es B f¨ ´ ıt´ 7. All´ as. Legyenek A, B ∈ A esem´enyek u ´gy, hogy P(A) = 0, vagy P(A) = 1. Ekkor A ´es B f¨ uggetlenek.

4.

Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok ´ es eloszl´ asuk

7.1. Defin´ıci´ o (Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ o). Egy X : Ω → R f¨ uggv´eny val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, ha tetsz˝oleges a < b val´os sz´amokra {ω ∈ Ω : a < X(ω) ≤ b} ∈ A. P´ elda. Valakinek h´arom gyereke sz¨ uletik. Legyen X a fi´ uk sz´ama. Ekkor Ω = {F F F, F F L, F LF, F LL, LF F, LF L, LLF, LLL}; X(LLL) = 0;

X(LLF ) = X(LF L) = X(F LL) = 1;

X(F F L) = X(F LF ) = X(LF F ) = 2;

4.1.

X(F F F ) = 3.

Diszkr´ et val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok eloszl´ asa

7.2. Defin´ıci´ o (Diszkr´ et val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ o). Az X : Ω → R val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o diszkr´et, ha v´eges sok vagy megsz´aml´alhat´o sok ´ert´eket vesz fel. 7.3. Defin´ıci´ o (Eloszl´ as). Legyenek az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o lehets´eges ´ert´ekei x1 , x2 , . . . ∈ R, ´es legyen pi = P({ω ∈ Ω : X(ω) = xi }) = P(X = xi )

(i = 1, 2, . . .).

Ekkor az (x1 , p1 ), (x2 , p2 ), . . . sorozat az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´asa.

9

Ezent´ ul a defin´ıci´oban szerepl˝o r¨ovidebb, P(X = xi ) jel¨ol´est fogjuk haszn´alni. Vegy¨ ul minden i = 1, 2, . . . eset´en, ´es P∞ uk ´eszre, hogy 0 ≤ pi ≤ 1 teljes¨ enyrendszer (pontosan egy k¨oveti=1 pi = 1. Ugyanis {X = xi } teljes esem´ kezik be k¨oz¨ ul¨ uk), teh´at az uni´ojuk Ω, ´ıgy pedig az 1. defin´ıci´o P-re vonatkoz´o r´esz´eb˝ol k¨ovetkezik az a´ll´ıt´as. 7.4. Defin´ıci´ o (Val´ osz´ın˝ us´ egeloszl´ as). Azt mondjuk, hogy a p1 , p2 , . . . sorozat val´osz´ın˝ us´egeloszl´as, ha • pi ≥ 0 minden i = 1, 2, . . . eset´en; P∞ • i=1 pi = 1. Teh´at azt l´attuk, hogy ha (xi , pi ) egy X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´asa, akkor pi val´osz´ın˝ us´egeloszl´as.

1. ´abra. A fi´ uk sz´am´anak lehets´eges ´ert´ekei a h´arom gyerek k¨oz¨ ul ´es a hozz´ajuk tartoz´o val´osz´ın˝ us´egek P´ elda: h´ arom gyerek. Az el˝oz˝o p´eld´aban: h´aromszor gyerek sz¨ uletik, X a fi´ uk sz´ama. Ekkor X lehets´eges ´ert´ekei: 0, 1, 2, 3, vagyis x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3. Tegy¨ uk fel, hogy minden gyerek a t¨obbiekt˝ol f¨ uggetlen¨ ul 1/2 val´osz´ın˝ us´eggel fi´ u. Eszerint mind a nyolc lehet˝os´eg val´osz´ın˝ us´ege 1/8, hiszen p´eld´aul P(F LF ) = 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/8. ´Igy, a fenti csoportos´ıt´asb´ol ad´od´oan: P(X = 0) = 1/8;

P(X = 1) = 3/8;

P(X = 2) = 3/8; 10

P(X = 3) = 1/8.

Mindezek alapj´an X eloszl´asa az al´abbi sorozat: (0, 1/8),

(1, 3/8),

(2, 3/8),

(3, 1/8).

Ez az eloszl´as l´athat´o az 1. ´abr´an. P´ elda: szab´ alyos kockadob´ as. Egyszer dobunk szab´alyos dob´okock´aval, jel¨olje Y a dobott sz´amot. Ekkor Y eloszl´asa (2. a´bra): (1, 1/6),

(2, 1/6),

(3, 1/6),

(4, 1/6),

(5, 1/6),

(6, 1/6).

A 3. ´abr´an 1000 (sz´am´ıt´og´eppel szimul´alt) szab´alyos kockadob´as ut´an mind a hat lehets´eges ´ert´ekr˝ol felt¨ untett¨ uk a relat´ıv gyakoris´ag´at: az el˝ofordul´asok sz´am´anak ´es az ¨osszes dob´asnak a h´anyados´at.

2. ´abra. A szab´alyos kockadob´as lehets´eges ´ert´ekei ´es a hozz´ajuk tartoz´o val´osz´ın˝ us´egek P´ elda: j´ eges˝ o. Tegy¨ uk fel, hogy j´ uliusban 0, 7 val´osz´ın˝ us´eggel nincs j´eges˝o, 0, 2 val´osz´ın˝ us´eggel egyszer fordul el˝o, 0, 1 val´osz´ın˝ us´eggel pedig k´etszer. Legyen Z a j´ uliusi j´eges˝ok sz´ama. Ekkor Z eloszl´asa: (0, 7/10),

4.2.

(1, 2/10),

(2, 1/10).

Diszkr´ et val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ o v´ arhat´ o´ ert´ eke

7.5. Defin´ıci´ o (V´ arhat´ o´ ert´ ek, diszkr´ et eset). Legyen X : Ω → R olyan diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melynek eloszl´asa (x1 , p1 ), (x2 , p2 ), . . .. Ekkor 11

3. ´abra. 1000 szab´alyos kockadob´asb´ol k´esz´ıtett hisztogram X v´arhat´o ´ert´eke: E(X) =

∞ X

xi p i ,

ha E(X) =

i=1

∞ X

|xi |pi < ∞.

i=1

A defin´ıci´ob´ol is l´atszik, hogy a v´arhat´o ´ert´ek csak a val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´as´at´ol f¨ ugg. P´ eld´ ak v´ arhat´ o´ ert´ ekre Fi´ uk sz´ ama. Tov´abbra is h´arom gyerek sz¨ uletik, egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul 1/2 − 1/2 val´osz´ın˝ us´eggel fi´ uk, illetve l´anyok. X a fi´ uk sz´ama. A fenti sz´amol´as alapj´an E(X) = 0 ·

3 3 1 12 3 1 +1· +2· +3· = = = 1, 5. 8 8 8 8 8 2

Kockadob´ as. Y a dobott sz´amot jel¨oli. Ekkor Y v´arhat´o ´ert´eke: E(Y ) = 1 ·

1 1 1 1 1 1 21 7 +2· +3· +4· +5· +6· = = = 3, 5. 6 6 6 6 6 6 6 2

J´ eges˝ o. A fenti p´eld´aban a j´ uliusi j´eges˝o sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke: E(Z) = 0 · 0, 7 + 1 · 0, 2 + 2 · 0, 1 = 0, 4.

12

4.3.

Diszkr´ et val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ o sz´ or´ asa

7.6. Defin´ıci´ o (Sz´ or´ asn´ egyzet). Legyen X : Ω → R diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi 2 v´altoz´o, melyre E(X ) l´etezik. Ekkor X sz´or´asn´egyzete: 
2  D2 (X) = E (X − EX . 7.7. Defin´ıci´ o (Sz´ or´ as). Legyen X : Ω → R diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, 2 melyre E(X ) l´etezik. Ekkor X sz´or´asn´egyzete: r 
2  D(X) = E (X − EX . ´ ıt´ 8. All´ as. Legyen X olyan diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melyre E(X 2 ) l´etezik. Ekkor  2 D2 (X) = E(X 2 ) − E(X) .

P´ eld´ ak sz´ or´ asn´ egyzetre Fi´ uk sz´ ama. X a fi´ uk sz´ama a h´arom gyerek k¨oz¨ott. M´ar l´attuk, hogy X lehets´eges ´ert´ekei: 0, 1, 2, 3, ´es E(X) = 3/2. A defin´ıci´o alapj´an teh´at ezt kell kisz´am´ıtanunk:
D2 (X) = E (X − 3/2)2 . Az X − 3/2 val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´asa (minden lehets´eges ´ert´ek mellett felt¨ untetj¨ uk a val´osz´ın˝ us´eg´et): (−3/2; 1/8);

(−1/2; 3/8);

(1/2, 3/8);

(3/2, 1/8).

Ebb˝ol l´atszik, hogy az (X − 3/2)2 val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o lehets´eges ´ert´ekei csak 9/4, illetve 1/4. Az els˝o esetben: (X − 3/2)2 = 9/4 pontosan akkor teljes¨ ul, ha X = 0 vagy X = 3. Ennek val´osz´ın˝ us´ege 1/8 + 1/8 = 1/4. Teh´at 2 (X − 3/2) eloszl´asa: (1/4, 3/4);

(9/4, 1/4).

A 7.5. defin´ıci´o alapj´an:
1 3 9 1 12 3 = . D2 (X) = E (X − 3/2)2 = · + · = 4 4 4 4 16 4 13

M´asik megold´as a 8. ´all´ıt´as alapj´an. Az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o lehets´eges ´ert´ekei 0, 1, 2, 3 voltak. ´Igy az X 2 val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o lehets´eges ´ert´ekei 0, 1, 4, 9. Eloszl´asa pedig: (0, 1/8);

(1, 3/8);

(4, 3/8);

(9, 1/8).

´Igy a 7.5. defin´ıci´o szerint E(X 2 ) = 0 ·

3 3 1 24 1 +1· +4· +9· = = 3. 8 8 8 8 8

Ebb˝ol ´es a kor´abbi sz´amol´asb´ol  2 3 D2 (X) = E(X 2 ) − E(X) = 3 − 1, 52 = 3 − 2, 25 = 0, 75 = . 4 V´eg¨ ul pedig a fi´ uk sz´am´anak sz´or´asa: r D(X) =

3 = 0, 866. 4

Kockadob´ as. Most m´ar csak a 8. ´all´ıt´as alapj´an sz´amolunk. Az Y 2 val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o lehets´eges ´ert´ekei: 1, 4, 9, 16, 25, 36, mindegyiknek 1/6 a val´osz´ın˝ us´ege. Teh´at E(Y 2 ) = 1 ·

1 1 1 1 1 91 1 + 4 · + 9 · + 16 · + 25 · + 36 · = . 6 6 6 6 6 6 6

Teh´at, mivel m´ar l´attuk, hogy E(Y ) = 3, 5 = 27 :  2 91 49 182 − 147 35 D2 (Y ) = E(Y 2 ) − E(Y ) = − = = = 2, 9167, 6 4 12 12 amib˝ol a kockadob´as ´ert´ek´enek sz´or´asa ennek n´egyzetgy¨oke: D(Y ) = 1, 7078. J´ eges˝ o. A fenti p´eld´aban a j´ uliusi j´eges˝ok sz´ama (amit Z-vel jel¨olt¨ unk) 0 volt 0, 7 val´osz´ın˝ us´eggel, 1 volt 0, 2 val´osz´ın˝ us´eggel, ´es 2 volt 0, 1 val´osz´ın˝ us´eggel. Azt is l´attuk, hogy E(Z) = 0, 4. Teh´at most E(Z 2 ) = 02 · 0, 7 + 12 · 0, 2 + 22 · 0, 1 = 0, 6. Teh´at a j´eges˝ok sz´am´anak sz´or´asa: q p  2 p D(Z) = E(Z 2 ) − E(Z) = 0, 6 − 0, 42 = 0, 44 = 0, 6633. 14

5.

Nevezetes diszkr´ et eloszl´ asok

5.1.

Binomi´ alis eloszl´ as

Az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o binomi´alis eloszl´as´ u n renddel ´es p param´eterrel, ha • n f¨ uggetlen k´ıs´erletet v´egz¨ unk; • mindegyik p val´osz´ın˝ us´eggel siker¨ ul; • X a sikeres k´ıs´erletek sz´ama. Ezt az eloszl´ason kereszt¨ ul a k¨ovetkez˝ok´eppen tudjuk defini´alni. 8. Defin´ıci´ o. Az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o binomi´alis eloszl´as´ u n renddel ´es p param´eterrel, ha lehets´eges ´ert´ekei: 0, 1, 2, . . . , n, ´es minden 1 ≤ k ≤ n eg´eszre   n k P(X = k) = p (1 − p)n−k . k (n ≥ 1 eg´esz, 0 < p < 1.) Jel¨ol´es: Bin(n, p). P´ elda: binomi´ alis eloszl´ as • A fi´ uk sz´ama: 3 gyerek eset´en a sz¨ uletend˝o fi´ uk sz´ama (X) binomi´alis eloszl´as´ u n = 3 renddel ´es p = 1/2 param´eterrel (f¨ uggetlens´eget felt´etelezve).   3 P(pontosan k fi´ u sz¨ uletik) = P(X = k) = 0, 5k 0, 53−k . k P´eld´aul    3 3 1 2 1 P(pontosan 2 fi´ u sz¨ uletik) = P(X = 2) = 0, 5 0, 5 = 3· = 3/8. 2 2

15

4. ´abra. Binomi´alis eloszl´as, n = 20, p = 0, 75. • Tegy¨ uk fel, hogy j´ uliusban minden nap a t¨obbit˝ol f¨ uggetlen¨ ul 0, 04 val´osz´ın˝ us´eggel j¨on j´eges˝o. Ekkor a j´eges˝ok sz´ama (Y ) binomi´alis eloszl´as´ u n = 31 renddel ´es p = 0, 04 param´eterrel:   31 P(pontosan k napon van j´eges˝o) = P(Y = k) = 0, 04k 0, 9631−k . k

´ ıt´ 9. All´ as (A binomi´ alis eloszl´ as tulajdons´ agai). Legyen X binomi´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o n renddel ´es p param´eterrel. (a) Az X ∼ Bin(n, p) binomi´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o v´arhat´o ´ert´eke: E(X) = np. (b) Az X ∼ Bin(n, p) binomi´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o sz´or´asa: p D(X) = np(1 − p). (c) Az a k ´ert´ek, melyre pk = P(X = k) maxim´alis (vagyis X m´odusza): [(n + 1)p], ahol [·] az eg´esz r´eszt jel¨oli. Ha (n + 1)p eg´esz, akkor az eggyel kisebb k is maxim´alis ´ert´eket ad. P´ elda: X ∼ Bin(3, 1/2) a fi´ uk sz´ama. Ekkor r E(X) = 3 · 1/2 = 3/2;

p D(X) = 3 · 1/2 · 1/2 = 16

3 ≈ 0, 866. 4

Tegy¨ uk fel, hogy egy oszt´alyban mind a 32 gyerek a t¨obbiekt˝ol f¨ uggetlen¨ ul 1/4 val´osz´ın˝ us´eggel balkezes. Jel¨olje Y a balkezes gyerekek sz´am´at. Ekkor Y binomi´alis eloszl´as´ u n = 32 renddel ´es p = 1/4 param´eterrel. p Ebb˝ol az a´p ll´ıt´as alapj´an√k¨ovetkezik, hogy E(Y ) = np = 8 ´es D(Y ) = np(1 − p) = 32 · 3/16 = 6.

5.2.

Poisson-eloszl´ as

9. Defin´ıci´ o. Legyen s > 0. Azt mondjuk, hogy az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o s param´eter˝ u Poisson-eloszl´as´ u, ha lehets´eges ´ert´ekei k = 0, 1, 2, . . ., a hozz´ajuk tartoz´o val´osz´ın˝ us´egek pedig: P(X = k) =

sk −s e k!

(k = 0, 1, . . .).

´ ıt´ 10. All´ as (A Poisson-eloszl´ as tulajdons´ agai). Legyen X Poisson-eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o s param´eterrel. (a) Ekkor X v´arhat´o ´ert´eke, sz´or´asa ´es sz´or´asn´egyzete: √ E(X) = s; D(X) = s; D2 (X) = s. (b) A P(X = k) val´osz´ın˝ us´eg k = [s] eset´en maxim´alis. Ha s eg´esz, az eggyel kisebb k is a legnagyobb ´ert´eket adja. P´ elda. Tegy¨ uk fel, hogy a ny´ari j´eges˝ok sz´ama, Z, Poisson-eloszl´ u s = 3, 61 √ as´ √ param´eterrel. Ekkor E(Z) = s = 3, 61, illetve D(Z) = s = 3, 61. A Poisson-eloszl´ as ´ es a binomi´ alis eloszl´ as kapcsolata A Poisson-eloszl´ast ´altal´aban akkor haszn´alj´ak, ha sok f¨ uggetlen, kis val´osz´ın˝ us´eggel bek¨ovetkez˝o esem´enyn´el a bek¨ovetkez˝o esem´enyek sz´am´at kell tekinteni. P´eld´aul: • a f¨oldreng´esek sz´ama egy ´ev alatt; • a sajt´ohib´ak sz´ama egy k¨onyvben; • egy biztos´ıt´o 15000 u ¨gyfele ´altal o¨sszesen okozott balesetek sz´ama; • nagyobb k´art okoz´o viharok sz´ama egy adott id˝oszakban. 17

5. ´abra. Poisson-eloszl´as, s = 3, 61, k = 12-ig, a ny´ari j´eges˝ok sz´am´anak k¨ozel´ıt´es´ere. Legyen s > 0 pozit´ıv sz´am, ´es pn = s/n minden n = 1, 2, . . . eg´eszre. Legyen X Poisson-eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o s param´eterrel, Yn eloszl´asa pedig Bin(n, pn ). Ekkor tetsz˝oleges k = 0, 1, 2, . . . eset´en lim P(Yn = k) = P(X = k),

n→∞

azaz

  n k sk lim pn (1 − pn )n−k = e−s n→∞ k k!

(k = 0, 1, 2, . . .).

Legyen s > 0 pozit´ıv sz´am, ´es pn = s/n minden n = 1, 2, . . . eg´eszre. Legyen X Poisson-eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o s param´eterrel, Yn eloszl´asa pedig Bin(n, pn ). Ekkor tetsz˝oleges k = 0, 1, 2, . . . eset´en lim P(Yn = k) = P(X = k),

n→∞

azaz

  n k sk lim pn (1 − pn )n−k = e−s n→∞ k k!

(k = 0, 1, 2, . . .).

• X Poisson-eloszl´as´ u s = 3, 61 param´eterrel; • Y binomi´alis eloszl´as n = 92 renddel ´es p = 0, 0392 param´eterrel; • vegy¨ uk ´eszre, hogy E(X) = s = 3, 61 = n · p = E(Y ). k P(X = k) P(Y = k)

0 1 2 3 4 5 6 7 0,027 0,098 0,176 0,212 0,191 0,138 0,083 0,042 0,025 0,094 0,176 0,215 0,195 0,14 0,083 0,043 18

6. ´abra. A ny´ari j´eges˝ok sz´am´anak k¨ozel´ıt´ese: binomi´alis eloszl´as, n = 92, p = 0, 0392, k = 12-ig.

5.3.

Geometriai eloszl´ as

Az Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o geometriai eloszl´as´ u, ha • f¨ uggetlen k´ıs´erleteket v´egz¨ unk; • mindegyik p val´osz´ın˝ us´eggel siker¨ ul; • Y : h´anyadik k´ıs´erlet az els˝o sikeres. Az eloszl´ason kereszt¨ ul ´ıgy tudjuk ezt defini´alni. 10. Defin´ıci´ o. Az Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o geometriai eloszl´as´ u p param´eterrel, ha lehets´eges ´ert´ekei: 1, 2, 3 . . . ´es minden 1 ≤ k eg´eszre P(Y = k) = (1 − p)k−1 p. (0 < p < 1.) Jel¨ol´es: Geo(p). M´asik elnevez´es: Pascal-eloszl´as. P´ elda: egy szab´alyos dob´okock´aval dobunk sokszor egym´as ut´an. Jel¨olje Y , hogy h´anyadik dob´asn´al kapjuk az els˝o hatost. Ekkor Y geometriai eloszl´as´ u p = 1/6 param´eterrel. Y lehets´eges ´ert´ekei k = 1, 2, . . ., ´es  k−1 1 5 . P(Y = k) = 6 6 19

´ ıt´ 11. All´ as (A geometriai eloszl´ as tulajdons´ agai). Legyen Y geometriai eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o p param´eterrel. (a) r

1 E(Y ) = ; p

D(Y ) =

1−p . p2

(b) A P(Y = k) val´osz´ın˝ us´eg k = 1-re maxim´alis. A p´eld´aban szerepl˝o Y v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asa: s √ 5/6 E(Y ) = 6; D(Y ) = = 30 = 5, 477. 1/36

7. ´abra. Az els˝o hatos eloszl´asa: geometriai eloszl´as, p = 1/6, k = 10-ig.

5.4.

Negat´ıv binomi´ alis eloszl´ as

• f¨ uggetlen k´ıs´erleteket v´egz¨ unk; • mindegyik p val´osz´ın˝ us´eggel siker¨ ul; • Z: h´anyadik k´ıs´erlet az r. sikeres. 11. Defin´ıci´ o. A Z val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o negat´ıv binomi´alis eloszl´as´ u p param´eterrel, ha lehets´eges ´ert´ekei: r, r + 1, r + 2, . . . 20

´es minden k ≥ r, r + 1, r + 2 . . . eg´eszre   k−1 P(Z = k) = (1 − p)k−r pr . r−1 (r ≥ 1 eg´esz, 0 < p < 1.) r = 1-re a negat´ıv binomi´alis eloszl´as megegyezik a geometriai eloszl´assal. 12. Defin´ıci´ o. A Z val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o negat´ıv binomi´alis eloszl´as´ u p param´eterrel, ha lehets´eges ´ert´ekei: r, r + 1, r + 2, . . . ´es minden k ≥ r, r + 1, r + 2 . . . eg´eszre   k−1 P(Z = k) = (1 − p)k−r pr . r−1 (r ≥ 1 eg´esz, 0 < p < 1.) ´ ıt´ 12. All´ as (A negat´ıv binomi´ alis eloszl´ as tulajdons´ agai). Legyen Z negat´ıv binomi´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o p param´eterrel. Ekkor r 1−p r D(Z) = r 2 . E(Z) = ; p p

5.5.

Hipergeometrikus eloszl´ as

P´ elda. Egy oszt´alyban 8 balkezes ´es 25 jobbkezes gyerek van. Torna´or´an v´eletlenszer˝ uen kiv´alasztanak egy hatf˝os csapatot (minden hatf˝os csoportot azonos val´osz´ın˝ us´eggel v´alasztanak). Mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a kiv´alasztott csapatban pontosan k´et balkezes gyerek van?

P(pontosan k´et balkezes) =

8 2




25 4




· 33 6




.

Egy dobozban N goly´o van, k¨oz¨ ul¨ uk M fekete, a t¨obbi feh´er. Visszatev´es n´elk¨ ul kih´ uznak n darabot (minden h´ uz´asn´al minden, m´eg a dobozban l´ev˝o goly´ot azonos val´osz´ın˝ us´eggel v´alasztva). Tegy¨ uk fel, hogy n ≤ M ´es n ≤ 21

N − M . Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy pontosan k darab fekete goly´ot h´ uznak ki:
N −M
M · n−k k
P(pontosan k fekete) = . N n

13. Defin´ıci´ o. Legyenek N, M, n pozit´ıv eg´eszek u ´gy, hogy 1 ≤ n ≤ M ≤ N . Az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o hipergeometrikus eloszl´as´ u N, M ´es n param´eterekkel ha lehets´eges ´ert´ekei k = 0, 1, . . . , n, ´es k = 0, 1, . . . , n eset´en

M N −M P(X = k) =

k

n−k
N n

.

P´ elda: visszatev´es n´elk¨ uli mintav´eteln´el a h´ uzott fekete goly´ok sz´ama. A fenti p´eld´aban a kiv´alasztott balkezes gyerekek sz´ama hipergeometrikus eloszl´as´ u: N = 32, M = 8, n = 6. Lott´osorsol´asn´al a tal´alatok sz´ama (X) hipergeometrikus eloszl´as´ u N = 90, M = 5, n = 5 param´eterekkel:
85
5 P(X = k) =

k

5−k
90 5

k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

´ ıt´ 13. All´ as (A hipergeometrikus eloszl´ as tulajdons´ agai). Legyen az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o hipergeometrikus eloszl´as´ u N, M ´es n param´eterekkel. (a) Az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o v´arhat´o ´ert´eke: E(X) = n ·

M . N

(b) Az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o sz´or´asa: s   M M N −n 1− D(X) = n · . N N N −1 P´ elda. Az ¨ot¨oslott´on a tal´alatok sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asa: E(X) =

25 = 0, 2778; 90

D(X) = 0, 5006.

A fenti p´eld´aban a kiv´alasztott balkezes gyerekek sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke: 8 · 6/32 = 1, 5. 22

8. ´abra. Hipergeometrikus eloszl´as, N = 20, M = 9, n = 7.

6.

Eloszl´ asf¨ uggv´ eny ´ es s˝ ur˝ us´ egf¨ uggv´ eny

13.1. Defin´ıci´ o (Eloszl´ asf¨ uggv´ eny). Legyen X : Ω → R val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. Ekkor X eloszl´asf¨ uggv´enye az al´abbi F : R → [0, 1] f¨ uggv´eny: F (t) = P(X ≤ t) = P({ω ∈ Ω : X(ω) ≤ t})

minden t ∈ R val´os sz´amra.

´ ıt´ 14. All´ as. Legyenek a, b ∈ R tetsz˝oleges val´os sz´amok. Ekkor P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a). Bizony´ıt´as. Ez azonnal ad´odik az P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a) egyenl˝os´egb˝ol ´es az eloszl´asf¨ uggv´eny defin´ıci´oj´ab´ol.  P´ elda. Szab´alyos kock´aval dobunk. A dobott sz´amot jel¨olje X. Legyen F az X eloszl´asf¨ uggv´enye. Ekkor F (0) = P(X ≤ 0) = 0;

F (1) = P(X ≤ 1) = 1/6;

F (π) = P(X ≤ π) = P(X ≤ 3) = 1/2;

F (6) = P(X ≤ 6) = 1.

1. T´ etel (Az eloszl´ asf¨ uggv´ eny tulajdons´ agai). Legyen X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, F pedig az eloszl´asf¨ uggv´enye. Ekkor (i) F monoton n¨ov˝o: a < b eset´en F (a) ≤ F (b). (ii) limt→−∞ F (t) = 0;

limt→∞ F (t) = 1. 23

9. ´abra. Szab´alyos dob´okock´aval dobott sz´am eloszl´asf¨ uggv´enye. (iii) F jobbr´ol folytonos, azaz minden t ∈ R val´os sz´amra lims→t− F (s) = F (t). 1. Megjegyz´ es. Ha a G : R → [0, 1] f¨ uggv´eny rendelkezik a t´etelben szerepl˝o (i)−(iii) tulajdons´agokkal, akkor van olyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melynek G az eloszl´asf¨ uggv´enye. 13.2. Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o folytonos, ha eloszl´asf¨ uggv´enye folytonos. Egy val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o pontosan akkor folytonos, ha P(X = t) = 0 teljes¨ ul minden t sz´amra. ´Igy p´eld´aul a kockadob´as nem folytonos: P(X = ´ 1) = 1/6 6= 0. Altal´ anosabban, nincs olyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, mely egyszerre diszkr´et ´es folytonos is lenne. Olyan viszont van, ami sem nem diszkr´et, sem nem folytonos (p´eld´aul a napi csapad´ekmennyis´eg, ami pozit´ıv val´osz´ın˝ us´eggel nulla, viszont nem megsz´aml´alhat´oan v´egtelen az ´ert´ekk´eszlete). 13.3. Defin´ıci´ o (Abszol´ ut folytonoss´ ag ´ es s˝ ur˝ us´ egf¨ uggv´ eny). Az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o abszol´ ut folytonos, ha van olyan f : R → R f¨ uggv´eny, melyre Z t

P(X ≤ t) =

f (s)ds −∞

teljes¨ ul minden t ∈ R sz´amra. Ilyenkor az f f¨ uggv´enyt az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´enek nevezz¨ uk. 24

´ ıt´ 15. All´ as. Legyen az X abszol´ ut folytonos val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melynek s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye f . Ekkor tetsz˝oleges a < b sz´amokra teljes¨ ul, hogy Z b f (s)ds. P(a ≤ X ≤ b) = a

P´ elda: l´ epcs˝ os s˝ ur˝ us´ egf¨ uggv´ eny. Tegy¨ uk fel, hogy a holnapi csapad´ekmennyis´eg s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye az al´abbi:   ha s ∈ [0, 1]; 0, 2, f (s) = 0, 4, ha s ∈ (1, 3];   0 ha s < 0 vagy s > 2. Jel¨olje a holnapi csapad´ekmennyis´eget X. Ekkor annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy holnap legfeljebb 0, 5 mm csapad´ek lesz: Z 0,5 Z 0,5 P(0 ≤ X ≤ 0, 5) = f (s)ds = 0, 2ds = 0, 5 · 0, 2 = 0, 1. 0

0

Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a holnapi csapad´ekmennyis´eg 0,5 mm ´es 2 mm k¨oz¨ott lesz: Z 2 Z 1 Z 2 0, 4ds = 0, 5·0, 2+1·0, 4 = 0, 5. 0, 2ds+ f (s)ds = P(0, 5 ≤ X ≤ 2) = 0,5

1

0,5

´ ıt´ 16. All´ as (Az eloszl´ asf¨ uggv´ eny ´ es s˝ ur˝ us´ egf¨ uggv´ eny kapcsolata). Legyen X abszol´ ut folytonos val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melynek F az eloszl´asf¨ uggv´enye. (a) Ha f az X s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye, akkor minden t ∈ R sz´amra Z t F (t) = f (s)ds. −∞

(b) Az f (t) = F 0 (t) f¨ uggv´eny (azokra a t-kre, ahol F differenci´alhat´o) az X s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye. ´ ıt´ 17. All´ as (A s˝ ur˝ us´ egf¨ uggv´ eny tulajdons´ agai). Legyen f : R → R az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye. Ekkor (i) f (s) ≥ 0 teljes¨ ul “majdnem minden” s ∈ R-re (p´eld´aul v´eges vagy megsz´aml´alhat´o sok kiv´etel lehets´eges). R∞ (ii) −∞ f (s)ds = 1. 2. Megjegyz´ es. Ha a g : R → R f¨ uggv´enyre teljes¨ ul a fenti (i) ´es (ii) tulajdons´ag, akkor van olyan X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melynek g a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye. 25

6.1.

Abszol´ ut folytonos val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok v´ arhat´ o ´ ert´ eke, sz´ or´ asa ´ es momentumai

13.4. Defin´ıci´ o (V´ arhat´ o´ ert´ ek, abszol´ ut folytonos eset). Legyen X abszol´ ut folytonos val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melynek s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye f . Ekkor X v´arhat´o ´ert´eke: Z ∞ E(X) = s · f (s)ds, −∞

ha ez az integr´al l´etezik ´es v´eges. 13.5. Defin´ıci´ o (Sz´ or´ asn´ egyzet ´ es sz´ or´ as). Tegy¨ uk fel, hogy az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o abszol´ ut folytonos, ´es s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye f . Ekkor X sz´or´asn´egyzete:   D2 (X) = E (X − E(X))2 , sz´or´asa pedig D(X) =

q   E (X − E(X))2 ,

ha ezek a v´arhat´o ´ert´ekek l´eteznek. ´ ıt´ 18. All´ as (A sz´ or´ asn´ egyzet kisz´ am´ıt´ asa). A sz´or´asn´egyzetet a k¨ovetkez˝ok´eppen sz´am´ıthatjuk ki abszol´ ut folytonos X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eset´en: 2 Z ∞ Z ∞  2 2 2 2 s · f (s)ds , s f (s)ds − D (X) = E(X ) − E(X) = −∞

−∞

ahol f az X s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye.

7. 7.1.

Nevezetes abszol´ ut folytonos eloszl´ asok Egyenletes eloszl´ as

13.6. Defin´ıci´ o (Egyenletes eloszl´ as). Legyenek a < b val´os sz´amok. Azt mondjuk, hogy az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o egyenletes eloszl´as´ u az [a, b] intervallumon, ha s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye ( 1 , ha a ≤ s ≤ b; f (s) = b−a 0, k¨ ul¨onben.

26

R∞ Rb 1 Vegy¨ uk ´eszre, hogy f (s) ≥ 0 minden s-re, ´es −∞ f (s)ds = a b−a ds = 1, ´ıgy f val´oban lehet s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny, a 17. a´ll´ıt´as ´es az azt k¨ovet˝o megjegyz´es alapj´an. ´ ıt´ 19. All´ as (Az egyenletes eloszl´ as tulajdons´ agai). Legyen az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o egyenletes eloszl´as´ u az [a, b] intervallumon. Ekkor a k¨ovetkez˝ok teljes¨ ulnek. (i) X eloszl´asf¨ uggv´enye:

F (t) = P(X ≤ t) =

  0,

ha t ≤ a; ha a < t < b; ha t ≥ b.

t−a ,  b−a



1,

(ii) Ha a ≤ c ≤ d ≤ b, akkor Z P(c ≤ X ≤ d) =

d

Z f (s)ds =

c

c

d

1 d−c ds = . b−a b−a

(iii) Az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asa: E(X) =

a+b ; 2

b−a D(X) = √ . 12

Vegy¨ uk ´eszre, hogy a v´arhat´o ´ert´ek a megadott intervallum k¨ozepe, a sz´or´as pedig az intervallum hossz´aval ar´anyos – hosszabb intervallum eset´en nagyobb a sz´or´as. P´ elda. Csomagot v´arunk, a fut´ar 10 ´es 12 o´ra k¨oz¨ott ´erkezik. Feltessz¨ uk, hogy ´erkez´es´enek id˝opontja egyenletes eloszl´as´ u a [10, 12] intervallumon. Ekkor az el˝oz˝o a´ll´ıt´as alapj´an az al´abbiak igazak. • Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy 10 ´es 11 o´ra k¨oz¨ott ´erkezik: (11 − 10)/(12 − 10) = 1/2. • Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy 10:15 ´es 10:30 k¨oz¨ott ´erkezik, 1/8 = 0, 125. ´ • Erkez´ esi id˝opontj´anak v´arhat´o ´ert´eke: (10 + 12)/2 = 11 o´ra. √ √ ´ • Erkez´ esi id˝opontj´anak sz´or´asa: (12 − 10)/ 12 = 1/ 3 = 0, 5774.

27

10. ´abra. U (10, 12) s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye ´es 500 elem˝ u minta hisztogramja.

7.2.

Norm´ alis eloszl´ as

13.7. Defin´ıci´ o (Norm´ alis eloszl´ as). Legyen m val´os, σ pedig pozit´ıv sz´am. Azt mondjuk, hogy az Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o norm´alis eloszl´as´ u m v´arhat´o 2 ´ert´ekkel ´es σ sz´or´asn´egyzettel, ha s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye   (s − m)2 1 exp − (s ∈ R). f (s) = √ 2σ 2 2πσ Jel¨ol´ese: Y ∼ N (m, σ 2 ). Ez az f val´oban s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny, ´es hogy az ´ıgy megadott Y -ra E(Y ) = m ´es D2 (Y ) = σ 2 (ezeket nem bizony´ıtjuk). 13.8. Defin´ıci´ o (Standard norm´ alis eloszl´ as). Azt mondjuk, hogy a Z val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o standard norm´alis eloszl´as´ u, ha norm´alis eloszl´as´ um= 2 0 v´arhat´o ´ert´ekkel ´es σ = 1 sz´or´asn´egyzettel, azaz Z ∼ N (0, 1), ´es s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: 1 2 f (s) = √ e−s /2 (s ∈ R). 2π A standard norm´alis eloszl´as eloszl´asf¨ uggv´eny´et Φ-vel jel¨olj¨ uk, vagyis Z t 1 2 Φ(t) = P(Y ≤ t) = √ e−s /2 ds. 2π −∞

28

11. ´abra. A standard norm´alis eloszl´as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye ´es 500 elem˝ u minta hisztogramja ´ ıt´ 20. All´ as (A norm´ alis eloszl´ as tulajdons´ agai). Ha az Y val´osz´ın˝ us´egi 2 v´altoz´o norm´alis eloszl´as´ u m v´arhat´o ´ert´ekkel ´es σ sz´or´asn´egyzettel, valamint a < b val´os sz´amok, akkor (i) P(a < Y < b) = P(a ≤ Y ≤ b) =   Z b (s − m)2 1 exp − =√ ds = 2σ 2 2πσ a     b−m a−m −Φ . =Φ σ σ  exp − −∞

(s−m)2 2σ 2

 exp −

(s−m)2 2σ 2

(ii) P(Y < b) = P(Y ≤ b) =

√1 2πσ

Rb

(iii) P(a < Y ) = P(a ≤ Y ) =

√1 2πσ

R∞ a



  ds = Φ b−m . σ

   ds = 1 − Φ a−m . σ

(iv) Y v´arhat´o ´ert´eke m, sz´or´asa σ. (v) Legyenek u, v val´os sz´amok. Ekkor uY +v is norm´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ u2 2 s´egi v´altoz´o, um + v v´arhat´o ´ert´ekkel ´es u σ sz´or´asn´egyzettel.

29

P´ elda. Tegy¨ uk fel, hogy a holnapi cs´ ucsh˝om´ers´eklet (Celsius-fokban m´erve) norm´alis eloszl´as´ u m = 2 v´arhat´o ´ert´ekkel ´es σ 2 = 9 sz´or´asn´egyzettel. Jel¨olj¨ uk ezt a val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ot Y -nal. Ekkor annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy ◦ a holnapi cs´ ucsh˝om´ers´eklet 0 ´es 4 C k¨oz¨ott lesz:     2 4−2 −Φ − = P(0 < Y < 4) = P(Y < 4) − P(Y < 0) = Φ 3 3          2 2 2 2 =Φ −Φ − =Φ − 1−Φ 3 3 3 3   2 − 1 = 2 · 0, 7486 − 1 = 0, 4972, = 2Φ 3 felhaszn´alva a norm´alis eloszl´as t´abl´azat´at (vagy b´armilyen statisztikai szoftvert) ´es a Φ(−x) = 1 − Φ(x) tulajdons´agot (mely a standard norm´alis eloszl´as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´enek 0-ra vonatkoz´o szimmetri´aj´ab´ol ad´odik).

7.3.

Exponenci´ alis eloszl´ as

13.9. Defin´ıci´ o (Exponenci´ alis eloszl´ as). Legyen b > 0 pozit´ıv sz´am. Azt mondjuk, hogy az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o exponenci´alis eloszl´as´ u b param´eterrel, ha s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: ( be−bs , ha s > 0; f (s) = 0 k¨ ul¨onben.

´ ıt´ 21. All´ as (Az exponenci´ alis eloszl´ as tulajdons´ agai). Legyen X exponenci´alis eloszl´as´ u b > 0 param´eterrel. Ekkor a k¨ovetkez˝ok teljes¨ ulnek. (i) X eloszl´asf¨ uggv´enye: ( 1 − e−bs , F (t) = P(X ≤ t) = P(X < t) = f (s)ds = 0 −∞ Z

t

(ii) X v´arhat´o ´ert´eke: E(X) = 1/b, sz´or´asa: D(X) = 1/b.

30

ha s > 0; k¨ ul¨onben.

12. ´abra. Exp(1) s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye ´es 500 elem˝ u minta hisztogramja. P´ elda. Tegy¨ uk fel, hogy egy radioakt´ıv r´eszecske ´elettartam´anak elolsz´asa (m´asodpercben m´erve) 10 param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. Jel¨olj¨ uk ezt X-szel. Ekkor annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a r´eszecske t¨obb mint 1 m´asodpercig ´eletben marad: P(X > 1) = 1 − F (1) = 1 − (1 − e−10·1 ) = e−10 = 0, 0000454. Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a r´eszecske ´elettartama 0, 1 ´es 0, 2 m´asodperc k¨oz´e esik: P(0, 1 ≤ X ≤ 0, 2) = F (0, 2) − F (0, 1) = 1 − e−10·0,2 − (1 − e−10·0,1 ) = = 1/e − 1/e2 = 0, 2325. A r´eszecske ´elettartam´anak v´arhat´o ´ert´eke: E(X) = 1/10 = 0, 1.

8.

Felt´ eteles val´ osz´ın˝ us´ eg

K´erd´es. Valakir˝ol annyit tudunk, hogy h´arom gyermeke van. Mennyi a ´ ha el´arulja, hogy pontosan val´osz´ın˝ us´ege, hogy a k¨oz´eps˝o gyermeke fi´ u? Es egy fia van, mennyi annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a k¨oz´eps˝o gyermeke fi´ u? K´erd´es. Mennyi annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy egy v´eletlenszer˝ uen kiv´alasztott embernek magas a v´ernyom´asa? Mennyi annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy magas a v´ernyom´asa, ha megm´erj¨ uk a testt¨omeg´et, ´es megtudjuk r´ola, hogy t´ uls´ ulyos (de nem elh´ızott)?

31

13.10. Defin´ıci´ o (Felt´ eteles val´ osz´ın˝ us´ eg). Legyenek A, B ∈ A esem´enyek, ´es tegy¨ uk fel, hogy P(B) > 0. Az A esem´eny B-re vonatkoz´o felt´eteles val´osz´ın˝ us´ege: P(A ∩ B) . P(A|B) = P(B)

Az els˝o esetben: A: a k¨oz´eps˝o gyerek fi´ u; B: pontosan egy fi´ u van a h´arom gyerek k¨oz¨ott. Ekkor A ∩ B azt jelenti, hogy a k¨oz´eps˝o gyerek fi´ u, ´es pontosan egy fi´ u van, vagyis a m´asik kett˝o l´any. Mindebb˝ol, az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert felt´etelezve, hogy a fi´ uk ´es l´anyok ar´anya n´epess´egben megegyezik, ´es a testv´erek neme k¨oz¨ott nincs ¨osszef¨ ugg´es (vagyis mind a nyolc lehet˝os´eg: FFF, FFL, FLF, ..., LLL egyform´an val´osz´ın˝ u): 1 P(A) = P(a k¨oz´eps˝o fi´ u) = . 2 Ugyanakkor a felt´eteles val´osz´ın˝ us´eget ´ıgy sz´amolhatjuk ki: P(a k¨oz´eps˝o fi´ u|egy fi´ u van) =

P(A ∩ B) P(LF L) = = P(B) P(F LL, LF L, LLF )

1 8 3 8

= 1/3.

A m´asodik esetben (nagyj´ab´ol val´os adatokkal): a magyar lakoss´ag 25 %a´nak van magas v´ernyom´asa (A esem´eny). A magyar lakoss´ag 30%-a t´ uls´ ulyos (de nem elh´ızott), ez a B esem´eny. Azok ar´anya, akik t´ uls´ ulyosak (de nem elh´ızottak) ´es magasv´ernyom´as-betegs´egben is szenvednek, 15 %. Teh´at: P(magas v´ernyom´as) = 0, 25. P(magas v´ernyom´as|t´ uls´ uly) = P(A|B) =

0, 15 P(A ∩ B) = = 0, 5. P(B) 0, 3

P´ elda felt´ eteles val´ osz´ın˝ us´ egre Holnap 0, 4 val´osz´ın˝ us´eggel nem lesz csapad´ek, 0, 15 val´osz´ın˝ us´eggel lesz es˝o ´es h´o is, 0, 25 val´osz´ın˝ us´eggel csak es˝o, 0, 2 val´osz´ın˝ us´eggel pedig csak h´o. Felt´eve, hogy lesz es˝o, mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy havazni is fog? A esem´eny: havazni fog. B esem´eny: lesz holnap es˝o. Ekkor P(B) = 0, 15 + 0, 25 = 0, 4. M´asr´eszt A ∩ B azt jelenti, hogy es˝o ´es h´o is lesz. ´Igy: P(havazni fog|lesz es˝o) =

P(A ∩ B) 0, 15 = = 0, 375. P(B) 0, 4 32

3. Megjegyz´ es. 0 ≤ P(A|B) ≤ 1 teljes¨ ul minden A, B ∈ A esem´enyre, ha P(B) > 0. Szint´en ha P(B) > 0: az, hogy A ´es B f¨ uggetlenek, ugyanakkor teljes¨ ul, mint hogy P(A|B) = P(A).

8.1.

Teljes val´ osz´ın˝ us´ eg t´ etele

13.11. Defin´ıci´ o (Teljes esem´ enyrendszer). A B1 , B2 , . . . ∈ A (v´eges vagy megsz´aml´alhat´o sok) esem´eny egy¨ uttes´et teljes esem´enyrendszernek nevezz¨ uk, ha (i)

S∞

i=1

Bi = Ω;

(ii) Bi ∩ Bj = ∅ teljes¨ ul minden 1 ≤ i < j-re; (iii) P(Bi ) > 0 minden i = 1, 2, . . .-re. P´ elda. B1 : holnap nem lesz csapad´ek; B2 : holnap lesz csapad´ek, de nem t¨obb 5 mm-n´el; B3 : a holnapi csapad´ekmennyis´eg t¨obb mint 5 mm, de kevesebb mint 10 mm; B4 : a holnapi csapad´ekmennyis´eg meghaladja a 10 mm-t. Ekkor B1 , B2 , B3 , B4 teljes esem´enyrendszer (k¨oz¨ ul¨ uk pontosan az egyik k¨ovetkezik be). 2. T´ etel (Teljes val´ osz´ın˝ us´ eg t´ etele). Legyen A ∈ A tetsz˝oleges esem´eny, B1 , B2 , . . . pedig teljes esem´enyrendszer. Ekkor P(A) =

∞ X

P(A|Bi )P(Bi ).

i=1

Bizony´ıt´as. 1. l´ep´es: Felhaszn´alva, hogy a 13.11. defin´ıci´o (i) r´esze szerint  P(A) = P A ∩

∞ [

Bi



i=1

=P

[ ∞

 (A ∩ Bi .

i=1

33

S∞

i=1

Bi = Ω:

2. l´ep´es: Az A ∩ Bi , i = 1, 2, . . . esem´enyek p´aronk´ent kiz´ar´oak (vagyis semelyik kett˝o nem k¨ovetkezhet be egyszerre). Ugyanis (A ∩ Bi ) ∩ (A ∩ Bj ) ⊆ Bi ∩ Bj = ∅

(1 ≤ i < j),

hiszen a 13.11. defin´ıci´o (ii) r´esze szerint a Bi esem´enyek is p´aronk´ent kiz´ar´oak. 3. l´ep´es: A val´osz´ın˝ us´eg (ii) tulajdons´aga (az 1. defin´ıci´o) megsz´aml´alhat´o sok p´aronk´ent kiz´ar´o esem´eny uni´oj´anak val´osz´ın˝ us´ege a val´osz´ın˝ us´egek o¨sszege, ´ıgy az 1. l´ep´est folytatva, majd felhaszn´alva a felt´eteles val´osz´ın˝ us´eg defin´ıci´oj´at (a 13.10. defin´ıci´o): P(A) = P

[ ∞

 (A ∩ Bi

i=1

=

∞ X

P(A ∩ Bi ) =

i=1

∞ X

P(A|Bi )P(Bi ).



i=1

P´ elda. Hanna s´atorozni megy Badacsonyba. Ha van csapad´ek, de nem t¨obb 5 mm-n´el, akkor 15% val´osz´ın˝ us´eggel a´zik be a s´atra. Ha t¨obb mint 5 mm, de kevesebb mint 10 mm csapad´ek lesz, akkor 35% val´osz´ın˝ us´eggel. V´eg¨ ul, ha t¨obb mint 10 mm csapad´ek lesz, akkor 60% val´osz´ın˝ us´eggel a´zik be a s´ator. Az el˝orejelz´es szerint 10% val´osz´ın˝ us´eggel lesz csapad´ek, de nem t¨obb 5 mm-n´el, 30% val´osz´ın˝ us´eggel a holnapi csapad´ekmennyis´eg t¨obb mint 5 mm, de kevesebb mint 10 mm, ´es 20% annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a csapad´ekmennyis´eg holnap meghaladja a 10 mm-t. Mennyi annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy holnap be´azik Hanna s´atra? Az el˝oz˝o p´eld´aban m´ar l´attuk, hogy az ott felsorolt B1 , B2 , B3 , B4 esem´enyek teljes esem´enyrendszert alkotnak. Legyen az A esem´eny az, hogy Hann´anak be´azik a s´atra. Ezekre alkalmazzuk a teljes val´osz´ın˝ us´eg t´etel´et: P(A) = P(A|B1 )P(B1 ) + P(A|B2 )P(B2 ) + P(A|B3 )P(B3 ) + P(A|B4 )P(B4 ) = 0 · 0, 3 + 0, 15 · 0, 1 + 0, 35 · 0, 3 + 0, 6 · 0, 2 = 0, 24 = 24%.

8.2.

Bayes-t´ etel

3. T´ etel (Bayes-t´ etel). Legyen A ∈ A olyan esem´eny, melyre P(A) > 0, B1 , B2 , . . . pedig teljes esem´enyrendszer. Ekkor minden k = 1, 2, . . .-ra teljes¨ ul, hogy P(A|Bk )P(Bk ) . P(Bk |A) = P∞ i=1 P(A|Bi )P(Bi )

34

Bizony´ıt´as. Haszn´aljuk a felt´eteles val´osz´ın˝ us´eg defin´ıci´oj´at (13.10. defin´ıci´o), mindk´etszer: P(Bk ∩ A) P(A|Bk )P(Bk ) P(Bk |A) = = . P(A) P(A) Mivel A esem´eny, B1 , B2 , . . . pedig teljes esem´enyrendszer, ezut´an haszn´alhatjuk a teljes val´osz´ın˝ us´eg t´etel´et (2. t´etel) a P(A) val´osz´ın˝ us´eg kifejez´es´ere, ´ıgy megkapjuk az a´ll´ıt´ast.  P´ elda. M´asnap Hanna a be´azott s´atorr´ol k¨ uld k´epeket. Mennyi annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy Badacsonyban t¨obb mint 10 mm es˝o esett ezen a napon? A k´erd´es a B4 esem´eny (t¨obb mint 10 mm es˝o) val´osz´ın˝ us´ege, felt´eve, hogy az A esem´eny (a s´ator be´azik) bek¨ovetkezett, azaz P(B4 |A). M´ar l´attuk, hogy P(A) > 0, B1 , B2 , B3 , B4 pedig tov´abbra is teljes esem´enyrendszer, ´ıgy alkalmazhatjuk Bayes t´etel´et: P(A|B4 )P(B4 ) = P(A|B1 )P(B1 ) + . . . + P(A|B4 )P(B4 ) 0, 6 · 0, 2 0, 12 = = = 0, 5. 0 · 0, 3 + 0, 15 · 0, 1 + 0, 35 · 0, 3 + 0, 6 · 0, 2 0, 24

P(B4 |A) =

4. Megjegyz´ es. Szorz´asi szab´aly: ha A1 , A2 , . . . , An esem´enyek, ´es teljes¨ ul, hogy P(A1 ∩ . . . ∩ An ) > 0, akkor P(A1 ∩ . . . An ) = P(A1 )P(A2 |A1 )P(A3 |A1 ∩ A2 ) . . . P(An |A1 ∩ . . . ∩ An−1 ). ´ ıt´ 22. All´ as. Az exponenci´ alis eloszl´ as ¨ or¨ okifj´ u tulajdons´ aga. Legyen X exponenci´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o (b´armilyen param´eterrel), ´es legyenek s, t > 0 pozit´ıv sz´amok. Ekkor P(X > s + t|X > s) = P(X > t). Bizony´ıt´as. Legyen X param´etere b > 0. Az exponenci´alis eloszl´as eloszl´asf¨ uggv´enye, azaz a 21. a´ll´ıt´as szerint P(X > u) = 1 − P(X ≤ u) = 1 − F (u) = 1 − (1 − e−bu ) = e−bu . Ezt ´es a felt´eteles val´osz´ın˝ us´eg defin´ıci´oj´at felhaszn´alva: P(X > s + t|X > s) =

e−b(s+t) P(X > s + t) = = e−bt = P(X > t). P(X > s) e−bs 35



9.

Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok egy¨ uttes eloszl´ asa

13.12. Defin´ıci´ o (Val´ osz´ın˝ us´ egi vektorv´ altoz´ o). Az X = (X1 , . . . , Xn ) : n Ω → R f¨ uggv´eny val´osz´ın˝ us´egi vektorv´altoz´o, ha tetsz˝oleges ai < bi (i = 1, 2, . . . , n) val´os sz´amokra teljes¨ ul, hogy {ω ∈ Ω : a1 < X1 (ω) ≤ b1 , a2 < X2 (ω) ≤ b2 , . . . , an < Xn (ω) ≤ bn } ∈ A. us´egi vektorv´altoz´o, akkor az Xi val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´as´at Ha X val´osz´ın˝ uk. az X i. peremeloszl´as´anak nevezz¨ Az X val´osz´ın˝ us´egi vektorv´altoz´o diszkr´et, ha ´ert´ekk´eszlete v´eges vagy megsz´aml´alhat´oan v´egtelen.

9.1.

Egy¨ uttes eloszl´ as– ´ es s˝ ur˝ us´ egf¨ uggv´ eny

us´egi vektorv´altoz´o egy¨ uttes 13.13. Defin´ıci´ o. Az X = (X1 , . . . , Xn ) val´osz´ın˝ eloszl´asf¨ uggv´enye az F : Rn → [0, 1] f¨ uggv´eny, melyre F (t) = F (t1 , . . . , tn ) = P(X1 ≤ t1 , X2 ≤ t2 , . . . , Xn ≤ tn ), ha (t1 , . . . , tn ) ∈ Rn . us´egi vektorv´altoz´o ab13.14. Defin´ıci´ o. Az X = (X1 , . . . , Xn ) val´osz´ın˝ n szol´ ut folytonos, ha van olyan f : R → R f¨ uggv´eny, melyre Z t1 Z tn f (s1 , . . . , sn )ds1 . . . dsn . F (t1 , . . . , tn ) = ... −∞

−∞

teljes¨ ul minden (t1 , . . . , tn ) ∈ Rn eset´en. Ilyenkor az f f¨ uggv´enyt az X egy¨ uttes s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´enek nevezz¨ uk.

9.2.

Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlens´ ege

13.15. Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az X1 , . . . , Xn : Ω → R val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlenek, ha P(X1 ≤ t1 , X2 ≤ t2 , . . . , Xn ≤ tn ) = P(X1 ≤ t1 ) · P(X2 ≤ t2 ) . . . P(Xn ≤ tn ) teljes¨ ul tetsz˝oleges t1 , t2 , . . . , tn val´os sz´amokra. V´egtelen hossz´ u sorozatra a defin´ıci´o ´ıgy m´odosul. Az X1 , X2 , X3 . . . val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlenek, ha k¨oz¨ ul¨ uk b´armely v´eges sokat kiv´alasztva f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okat kapunk. 36

F¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okra p´elda: • K´et kockadob´asn´al az els˝ok´ent (X1 ) ´es m´asodikk´ent dobott sz´am (X2 ). • A holnapi csapad´ekmennyis´eg Budapesten ´es Toront´oban. • K´et tal´alomra v´alasztott ember testmagass´aga. Nem f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okra p´elda: • K´et kockadob´asn´al az els˝o sz´am ´es a k´et dobott sz´am o¨sszege. • A holnapi csapad´ekmennyis´eg Budapesten ´es Buda¨ors¨on. • K´et testv´er testmagass´aga. ´ ıt´ 23. All´ as. Tegy¨ uk fel, hogy az X1 , . . . , Xn val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlenek, ´es g1 , . . . , gn : R → R f¨ uggv´enyek. Ekkor a g1 (X1 ), g2 (X2 ), . . . , gn (Xn ) val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok is f¨ uggetlenek. Tov´abb´a, ha h : Rk → R, akkor a h(X1 , . . . , Xk ), Xk+1 , . . . , Xn val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok is f¨ uggetlenek. ´ ıt´ 24. All´ as (F¨ uggetlens´ eg ´ es s˝ ur˝ us´ egf¨ uggv´ eny). Tegy¨ uk fel, hogy az X = (X1 , . . . , Xn ) val´osz´ın˝ us´egi vektorv´altoz´o abszol´ ut folytonos, egy¨ uttes s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye f , tov´abb´a az Xi val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye fi minden i = 1, 2, . . . , n eset´en. Ezekkel a jel¨ol´esekkel: X1 , X2 , . . . , Xn pontosan akkor f¨ uggetlenek, ha f (t1 , . . . , tn ) = f1 (t1 ) · f2 (t2 ) . . . fn (tn ) teljes¨ ul b´armely t1 , t2 , . . . , tn val´os sz´amokra. ´ ıt´ 25. All´ as (F¨ uggetlens´ eg eg´ esz ´ ert´ ek˝ u esetben). Tegy¨ uk fel, hogy az us´egi vektorv´altoz´o diszkr´et, s˝ot minden peremX = (X1 , . . . , Xn ) val´osz´ın˝ eloszl´asa eg´esz ´ert´ek˝ u. Az X1 , X2 , . . . , Xn val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok pontosan akkor f¨ uggetlenek, ha P(X1 = k1 , . . . , Xn = kn ) = P(X1 = k1 ) · P(X2 = k2 ) . . . P(Xn = kn ) teljes¨ ul b´armely k1 , k2 , . . . , kn eg´esz sz´amokra.

37

P´ elda. Egy szab´alyos dob´okock´at feldobunk n-szer, jel¨olje Xi az i. dob´as ´ert´ek´et (i = 1, . . . , n). Ekkor (X1 , X2 , . . . , Xn ) f¨ uggetlenek. P´eld´aul P(X1 = 3, X2 = 4) = P(X1 = 3) · P(X2 = 4) =

1 ; 36

P(X1 = 3, X2 = 4, X3 = 2) = P(X1 = 3) · P(X2 = 4) · P(X3 = 2) =

1 . 63

Vegy¨ uk ´eszre, hogy ez o¨sszhangban van azzal, hogy az els˝o k´et dob´as eredm´enye 36, a az els˝o h´arom dob´as eredm´enye 63 = 216-f´ele dob´assorozat lehet. P´ elda. Tegy¨ uk fel, hogy az X ´es Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlenek, ´es a k¨ovetkez˝oket tudjuk: P(X = 0) = 1/2;

P(X = 2) = 1/2;

P(Y = 1) = 1/3;

P(Y = 4) = 2/3.

Ekkor a f¨ uggetlens´egb˝ol k¨ovetkezik, hogy P(X = 0, Y = 4) = P(X = 0) · P(Y = 4) =

10.

10.1.

1 2 1 · = . 2 3 3

V´ arhat´ o ´ ert´ ek, sz´ or´ as, kovariancia, korrel´ aci´ o A v´ arhat´ o´ ert´ ek tulajdons´ agai

´ ıt´ 26. All´ as. Legyenek X, Y, X1 , X2 , . . . , Xn olyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyeknek v´arhat´o ´ert´eke l´etezik vagy a 7.5. defin´ıci´o, vagy a 13.4. defin´ıci´o ´ertelm´eben. Ekkor a k¨ovetkez˝ok teljes¨ ulnek. (a) Ha a ≤ X ≤ b teljes¨ ul 1 val´osz´ın˝ us´eggel valamely a, b val´os sz´amokra, akkor a ≤ E(X) ≤ b. (b) Konstanssal szorz´ as. Ha c ∈ R, akkor E(c · X) = c · E(X). ¨ (c) Osszeg v´ arhat´ o´ ert´ eke. E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). (d) Szorzat v´ arhat´ o´ ert´ eke f¨ uggetlen esetben. Ha az X ´es Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlenek, akkor E(X · Y ) = E(X) · E(Y ). 38

(e) Legyen g : Rn → R f¨ uggv´eny. Ekkor, ha X1 , . . . , Xn diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, akkor X E(g(X1 , . . . , Xn )) = g(t1 , . . . , tn )P(X1 = t1 , . . . , Xn = tn ), (t1 ,...,tn )

ha a jobb oldal abszol´ ut konvergens, ´es az o¨sszegz´es az X1 , X2 , . . . , Xn lehets´eges ´ert´ekeire t¨ort´enik. Ha X1 , . . . , Xn abszol´ ut folytonos val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f egy¨ uttes s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´ennyel, akkor Z ∞ Z ∞ g(t1 , . . . , tn )f (t1 , . . . , tn )dt1 . . . dtn , ... E(g(X1 , . . . , Xn )) = −∞

−∞

ha a jobb oldal abszol´ ut konvergens. Gyakran el˝ofordul, hogy f¨ uggv´enyk´ent a k. hatv´anyra emel´est haszn´aljuk. 13.16. Defin´ıci´ o (Momentumok). Legyen X olyan diszkr´et vagy abszol´ ut folytonos val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melyre X k v´arhat´o ´ert´eke l´etezik. Ekkor az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o k. momentuma: E(X k )

(k = 1, 2, . . .).

Az ´all´ıt´as (e) r´esze alapj´an, ha X diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, akkor k

E(X ) =

∞ X

uki P(X = ui ),

i=1

ahol u1 , u2 , . . . az X lehets´eges ´ert´ekei. Ha X abszol´ ut folytonos, ´es s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye f , akkor viszont ´ıgy sz´amolhatjuk a k. momentumot: Z ∞ k E(X ) = tk f (t)dt. −∞

10.2.

A sz´ or´ asn´ egyzet tulajdons´ agai

´ ıt´ 27. All´ as. Legyenek X, Y, X1 , X2 , . . . , Xn olyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyeknek sz´or´asa l´etezik. Ekkor a k¨ovetkez˝ok teljes¨ ulnek. (a) Nemnegativit´ as. D(X) ≥ 0. 39

(b) D2 (X) = 0 akkor ´es csak akkor, ha P(X = c) = 1 valamilyen c ∈ R sz´amra. (c) Konstans hozz´ aad´ asa D2 (X + b) = D2 (X) tetsz˝oleges b ∈ R sz´amra. (d) Konstanssal val´ o szorz´ as. D2 (a · X) = a2 D2 (X), ´es D(a · X) = |a|D(X) tetsz˝oleges a ∈ R sz´amra. ¨ (e) Osszeg sz´ or´ asn´ egyzete f¨ uggetlen esetben. Ha X ´es Y f¨ uggetlenek, 2 2 2 ´ akkor D (X +Y ) = D (X)+D (Y ). Altal´anosabban, ha X1 , X2 , . . . , Xn f¨ uggetlenek, akkor D2 (X1 + . . . + Xn ) = D2 (X1 ) + . . . + D2 (Xn ). P´ elda. Tegy¨ uk fel, hogy X ´es Y f¨ uggetlen norm´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, ´es X v´arhat´o ´ert´eke 3, sz´or´asa 2, Y v´arhat´o ´ert´eke 10, sz´or´asa 5. Ekkor az ¨osszeg¨ uk v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asn´egyzete: E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) = 13;

D2 (X + Y ) = D2 (X) + D2 (Y ) = 29.

A k¨ ul¨onbs´eg¨ uk v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asa: E(X − Y ) = E(X) − E(Y ) = −7;

D2 (X − Y ) = D2 (X) + D2 (Y ) = 29.

A 2X + 3Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asn´egyzete: D2 (2X+3Y ) = 4D2 (X)+9D2 (Y ) = 241.

E(2X+3Y ) = 2E(X)+3E(Y ) = 36;

P´ elda: Az ´atlag v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asa ´ ıt´ 28. All´ as. Tegy¨ uk fel, hogy X1 , X2 , . . . , Xn f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok (vagyis eloszl´asf¨ uggv´eny¨ uk megegyezik). Ekkor √ E(X1 + . . . + Xn ) = nE(X1 ); D(X1 + . . . + Xn ) = nD(X1 ). ´ ıt´ 29. All´ as. Legyenek X1 , X2 , . . . , Xn f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok. Ekkor     X 1 + . . . + Xn X 1 + . . . + Xn D(X1 ) E = E(X1 ); D = √ . n n n

40

10.3.

A kovariancia ´ es tulajdons´ agai

13.17. Defin´ıci´ o (kovariancia). Legyenek X ´es Y olyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyeknek sz´or´asa l´etezik. Ekkor az X ´es Y kovarianci´aja:   cov(X, Y ) = E (X − E(X)) · (Y − E(Y )) . ´ ıt´ 30. All´ as. Legyenek X, Y, Z, X1 , . . . , Xn olyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyek sz´or´asa l´etezik. Ekkor a k¨ovetkez˝ok teljes¨ ulnek. (a) A kovariancia kisz´ am´ıt´ asa. cov(X, Y ) = E(X · Y ) − E(X)E(Y ). (b) Szimmetria. cov(X, Y ) = cov(Y, X). (c) Konstanssal val´ o kovariancia. cov(X, c) = 0, ha c ∈ R. (d) Kapcsolat a sz´ or´ asn´ egyzettel. cov(X, X) = D2 (X). (e) Linearit´ as. Egyr´eszt cov(X + Y, Z) = cov(X, Z) + cov(Y, Z), m´asr´eszt tetsz˝oleges c ∈ R sz´amra cov(cX, Y ) = c · cov(X, Y ). (f) F¨ uggetlens´ eggel val´ o kapcsolat. Ha az X ´es Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlenek, akkor cov(X, Y ) = 0. ¨ (g) Osszeg sz´ or´ asn´ egyzete. D2 (X + Y ) = D2 (X) + D2 (Y ) + 2cov(X, Y ). Tov´abb´a n n X  X X 2 D Xi = D2 (Xi ) + 2 cov(X, Y ). i=1

i=1

i<j

(h) K¨ ul¨ onbs´ eg sz´ or´ asn´ egyzete D2 (X − Y ) = D2 (X) + D2 (Y ). P´ elda. Legyen X Poisson-eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o 2 param´eterrel. Ekkor (e)

(e)

cov(X + 3, 2 · X) = 2cov(X + 3, X) = 2cov(X, X) + 2cov(3, X) = (c,d)

= 2D2 (X) = 2 · 2 = 4,

ahol felhaszn´altuk a Poisson-eloszl´as sz´or´asn´egyzet´ere vonatkoz´o o¨sszef¨ ugg´est (10. ´all´ıt´as (a) r´esz). P´ elda. Legyenek X ´es Y f¨ uggetlen standard norm´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok. Ekkor (e)

cov(2X − 5Y, X + Y ) = 2cov(X, X) + 2cov(X, Y ) − 5cov(X, Y ) − 5cov(Y, Y ) (c,d)

= 2D2 (X) − 5D2 (Y ) = −3. 41

13.18. Defin´ıci´ o (Korrel´ alatlans´ ag). Ha az X, Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok kovarianci´aja 0, akkor azt mondjuk, hogy X ´es Y korrel´alatlanok. ´ ıt´ 31. All´ as (F¨ uggetlens´ eg ´ es korrel´ alatlans´ ag). (i) Ha az X ´es Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlenek ´es sz´or´asuk l´etezik, akkor korrel´alatlanok, azaz cov(X, Y ) = 0. (ii) Vannak olyan U, V val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyek nem f¨ uggetlenek, de korrel´alatlanok, azaz cov(U, V ) = 0. Az a´ll´ıt´as (ii) r´esz´ere p´elda a k¨ovetkez˝o. Legyen X ´es Y k´et szab´alyos kockadob´as, ezek f¨ uggetlenek. Legyen tov´abb´a U = X + Y, V = X − Y . Ekkor cov(U, V ) = cov(X + Y, X − Y ) = (e,d)

= D2 (X) − cov(X, Y ) + cov(X, Y ) − D2 (X) =

(f )

= D2 (X) − D2 (Y ) = 0.

Ugyanakkor U ´es V nem f¨ uggetlenek, p´eld´aul 0 = P(U = 11, V = 0) 6= P(U = 11) · P(V = 0) =

10.4.

3 1 · . 36 6

A korrel´ aci´ os egy¨ utthat´ o

13.19. Defin´ıci´ o (Korrel´ aci´ os egy¨ utthat´ o). Legyenek X ´es Y olyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyek sz´or´asn´egyzete l´etezik. Ekkor X ´es Y korrel´aci´os egy¨ utthat´oja: ( cov(X,Y ) , ha D(X) > 0, D(Y ) > 0; R(X, Y ) = D(X)D(Y ) 0, ha D(X) = 0 vagy D(Y ) = 0. ´ ıt´ 32. All´ as (A korrel´ aci´ os egy¨ utthat´ o tulajdons´ agai). Legyenek X ´es Y olyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyek sz´or´asa l´etezik. (i) Ekkor teljes¨ ul, hogy |R(X, Y )| ≤ 1. (ii) Legyen a > 0 val´os sz´am, b tetsz˝oleges val´os sz´am. Ekkor R(X, aX + b) = 1 ´es R(X, −aX + b) = −1. 42

(iii) Tegy¨ uk fel, hogy |R(X, Y )| = 1. Ekkor l´eteznek olyan a ´es b val´os sz´amok, hogy az Y = aX + b egyenlet 1 val´osz´ın˝ us´eggel teljes¨ ul. P´ elda. K´etszer dobunk szab´alyos dob´okock´aval. Kisz´am´ıtjuk az el˝osz¨or dobott sz´amnak ´es a dobott sz´amok ¨osszeg´enek korrel´aci´os egy¨ utthat´oj´at. Ehhez legyen X az el˝osz¨or dobott sz´am, Y a m´asodszor dobott sz´am. A k´erd´es X ´es X + Y korrel´aci´os egy¨ utthat´oja. Felhaszn´alva, hogy X ´es Y f¨ uggetlenek, ´es ´ıgy egyr´eszt a kovarianci´ajuk nulla, m´asr´eszt az o¨sszeg¨ uk sz´or´asn´egyzete a sz´or´asn´egyzeteik o¨sszege (27. ´all´ıt´as): cov(X, X) + cov(X, Y ) cov(X, X + Y ) p = D(X)D(X + Y ) D(X) D2 (X) + D2 (Y ) D2 (X) 1 √ = = √ > 0. D(X) · 2 · D(X) 2

R(X, X + Y ) =

14. Defin´ıci´ o (Standardiz´ al´ as.). Legyen X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melynek sz´or´asa l´etezik. Ekkor X standardiz´altj´anak az X∗ =

X − E(X) D(X)

val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ot nevezz¨ uk. 5. Megjegyz´ es. A standardiz´alt v´arhat´o ´ert´eke 0, a sz´or´asa 1, ´es az is teljes¨ ul, hogy R(X, Y ) = R(X ∗ , Y ∗ ).

11.

A nagy sz´ amok t¨ orv´ enyei

14.1. Defin´ıci´ o (Sztochasztikus konvergencia). Legyen X1 , X2 , . . . val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok sorozata. Azt mondjuk, hogy ez a sorozat sztochasztikusan konverg´al az Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ohoz, ha minden ε > 0-ra P(|Xn − Y | > ε) → 0 teljes¨ ul n → ∞ eset´en. 15. Defin´ıci´ o. Elnevez´es: azt mondjuk, hogy az X ´es Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok azonos eloszl´as´ uak, ha eloszl´asf¨ uggv´eny¨ uk megegyezik, azaz minden t ∈ R-re P(X ≤ t) = P(Y ≤ t). 43

4. T´ etel (A nagy sz´ amok gyenge t¨ orv´ enye). Legyenek X1 , X2 , . . . olyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyek f¨ uggetlenek, ´es azonos eloszl´as´ uak (vagyis eloszl´asf¨ uggv´eny¨ uk megegyezik). Tegy¨ uk fel, hogy D(X1 ) l´etezik. Ekkor X1 + X 2 + . . . + Xn → E(X1 ) n sztochasztikusan n → ∞ eset´en. Ez teh´at azt jelenti, hogy ha X n = (X1 + X2 + . . . + Xn )/n jel¨oli az els˝o n val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o ´atlag´at, akkor minden ε > 0 eset´en P(|X n − E(X1 )| > ε) → 0

(n → ∞).

15.1. Defin´ıci´ o (1 val´ osz´ın˝ us´ eg˝ u konvergencia). Legyen X1 , X2 , . . . val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok sorozata. Azt mondjuk, hogy ez a sorozat 1 val´osz´ın˝ us´eggel konverg´al a Z val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ohoz, ha P({ω ∈ Ω : Xn (ω) → Z(ω)}) = 1. 6. Megjegyz´ es. Ha Xn → Z teljes¨ ul 1 val´osz´ın˝ us´eggel, akkor Xn → Z sztochasztikusan is. Ennek a megford´ıt´asa viszont nem igaz (van olyan sztochasztikusan konvergens sorozat, mely nem 1 val´osz´ın˝ us´eggel konvergens). 5. T´ etel (A nagy sz´ amok er˝ os t¨ orv´ enye). Legyenek X1 , X2 , . . . val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyek f¨ uggetlenek ´es azonos eloszl´as´ uak. Tegy¨ uk fel m´eg, hogy E(X1 ) l´etezik. Ekkor X1 + X 2 + . . . + Xn → E(X1 ) n teljes¨ ul 1 val´osz´ın˝ us´eggel n → ∞ eset´en.

11.1.

Egyenl˝ otlens´ egek

´ ıt´ 33. All´ as (Markov-egyenl˝ otlens´ eg). Legyen t > 0 tetsz˝oleges pozit´ıv sz´am, X pedig olyan v´eges v´arhat´o ´ert´ek˝ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, mely csak nemnegat´ıv ´ert´ekeket vesz fel, vagyis melyre X ≥ 0 teljes¨ ul. Ekkor P(X ≥ t) ≤ 44

E(X) . t

´ ıt´ 34. All´ as (Csebisev-egyenl˝ otlens´ eg). Legyen X v´eges sz´or´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, s > 0 pozit´ıv sz´am. Ekkor D2 (X) P(|X − E(X)| ≥ s) ≤ . s2 ´ ıt´ 35. All´ as. Legyen X v´eges sz´or´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, s > 0 pozit´ıv sz´am. Ekkor D2 (X) P(|X − E(X)| < s) ≥ 1 − . s2

12.

Centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel

15.2. Defin´ıci´ o (Eloszl´ asbeli konvergencia). Legyen X1 , X2 , . . . val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok sorozata, Xi eloszl´asf¨ uggv´enye Fi (i = 1, 2, . . . eset´en). Legyen tov´abb´a Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melynek eloszl´asf¨ uggv´enye F . Azt mondjuk, hogy az (Xn )n∈N sorozat tart Y -hoz eloszl´asban, ha Fn (t) → F (t)

(n → ∞)

teljes¨ ul minden olyan t ∈ R-re, melyre F folytonos t-ben. 6. T´ etel (Centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel). Legyenek X1 , X2 , . . . f¨ uggetlen azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyeknek sz´or´asa l´etezik. Haszn´aljuk a k¨ovetkez˝o jel¨ol´eseket: E(X1 ) = m ´es D(X1 ) = s. Legyen Y standard norm´alis val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o: Y ∼ N (0, 1). Ekkor X1 + X 2 + . . . + Xn − n · m √ →Y s n eloszl´asban n → ∞ eset´en. Vagyis tetsz˝oleges a < b val´os sz´amokra teljes¨ ul, hogy   X 1 + X2 + . . . + X n − n · m √ < b = P(a ≤ Y < b), lim P a ≤ n→∞ s n azaz (mivel Y standard norm´alis eloszl´as´ u):   Z b X 1 + X2 + . . . + X n − n · m 1 2 √ lim P a ≤ e−x /2 dx.
45

Ez ut´obbi o¨sszef¨ ugg´est ´ıgy is a´tfogalmazhatjuk: √

√ 1 P(nm + as n ≤ X1 + X2 + . . . + Xn < nm + bs n) → √ 2π

Z

b

e−x

2 /2

dx

a

teljes¨ ul n → ∞ eset´en. P´ elda. Legyenek X1 , X2 , . . . f¨ uggetlen s = 0, 5 param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok. Ezek azonos eloszl´as´ uak, v´eges sz´or´as´ uak, ´es 1 1 E(X1 ) = = 2; D(X1 ) = = 2. s s A nagy sz´amok er˝os t¨orv´enye szerint n

1X Xj = 2 n→∞ n j=1 lim

1 val´osz´ın˝ us´eggel. A centr´alis hat´areloszl´ast´etel szerint tetsz˝oleges a < b sz´amokra Pn  Z b  2 j=1 Xj − 2n √
a

j=1

  Z b n X √ √ 2 lim P 2n + 2a n ≤ Xj < 2n + 2b n = e−x /2 dx = Φ(b) − Φ(a).

n→∞

a

j=1

Pn   Z b 2a 2b 2 j=1 Xj lim P 2 + √ ≤ <2+ √ = e−x /2 dx = Φ(b) − Φ(a). n→∞ n n n a Teh´at p´eld´aul a = −1 ´es b = 1 v´alaszt´assal Pn   Z 1 2 2 2 j=1 Xj lim P 2 − √ ≤ <2+ √ = e−x /2 dx = Φ(1) − Φ(−1) n→∞ n n n −1 = Φ(1) − [1 − Φ(1)] = 2Φ(1) − 1 = 2 · 0, 8413 − 1 = 0, 6826.

46

13. ´abra. Az ´atlag v´altoz´asa a darabsz´am f¨ uggv´eny´eben f¨ uggetlen exp(0, 5) eloszl´as´ u mint´an´al Ugyanakkor p´eld´aul Pn   j=1 Xj < 2, 00008 = 1. lim P 1, 99993 ≤ n→∞ n A 13. a´br´an a k¨ovetkez˝o l´athat´o. X1 , X2 , . . . , X3000 f¨ uggetlen exponenci´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok s = 0, 5 param´eterrel, mint el˝obb. MinP den n = 100, 101, . . . , 3000-re kisz´am´ıtjuk az n1 ( nj=1 Xj ) a´tlagot, ´es ezt a´br´azoljuk n f¨ uggv´eny´eben. Az a´tlag E(X1 ) = 1/s = 2-h¨oz konverg´al a nagy sz´amok er˝os t¨orv´enye szerint 1 val´osz´ın˝ us´eggel. Az ´abr´an az a´tlag nem megy nagyon k¨ozel a kett˝oh¨o√ z, de el´eg nagy n-re 1, 95 ´es 2, 05 k¨oz´e esik. Az a´tlag sz´or´asa n = 3000-re 2/ 3000 = 0, 0365 a 29. a´ll´ıt´as szerint.

13. 13.1.

Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok ¨ osszege Konvol´ uci´ o

´ ıt´ 36. All´ as. Legyenek X ´es Y olyan f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyek lehets´eges ´ert´ekei eg´esz sz´amok. Ekkor P(X + Y = k) =

∞ X

P(X = i)P(Y = k − i).

i=−∞

47

´ ıt´ 37. All´ as. Legyenek X ´es Y egym´ast´ol f¨ uggetlen, abszol´ ut folytonos val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok. Legyen az X s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye f , az Y -´e pedig g. Ekkor az X + Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o is abszol´ ut folytonos, ´es s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: Z ∞ hX+Y (t) = f (s)g(t − s)ds. −∞

13.2.

Nevezetes eloszl´ asok ¨ osszege

´ ıt´ 38. All´ as (Binomi´ alis eset). Tegy¨ uk fel, hogy X1 , X2 , . . . , Xn f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, u ´gy, hogy Xi eloszl´asa binomi´alis mi renddel ´es p param´eterrel (i = 1, . . . , n). Ekkor X1 + . . . + Xn eloszl´asa binomi´alis eloszl´as m1 + m2 + . . . + mn renddel ´es p param´eterrel. ´ ıt´ 39. All´ as (Geometriai eset). Tegy¨ uk fel, hogy X1 , X2 , . . . , Xn f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, u ´gy, hogy Xi geometriai eloszl´as´ u p param´eterrel (i = 1, . . . , n). Ekkor X1 + . . . + Xn eloszl´asa negat´ıv binomi´alis eloszl´as n renddel ´es p param´eterrel. ´ ıt´ 40. All´ as (Negat´ıv binomi´ alis eloszl´ as). Legyenek X1 , . . . , Xn f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, u ´gy, hogy Xi negat´ıv binomi´alis eloszl´as´ u mi renddel ´es p param´eterrel (i = 1, . . . , n). Ekkor X1 + . . . + Xn eloszl´asa negat´ıv binomi´alis eloszl´as m1 + m2 + . . . + mn renddel ´es p param´eterrel. ´ ıt´ 41. All´ as (Poisson-eloszl´ as). Legyenek X1 , . . . , Xn f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, u ´gy, hogy Xi Poisson-eloszl´as´ u si param´eterrel (i = 1, . . . , n). Ekkor (a) X1 + X2 Poisson-eloszl´as´ u s1 + s2 param´eterrel. (b) X1 + X2 + . . . + Xn Poisson-eloszl´as´ u s1 + . . . + sn param´eterrel. ´ ıt´ 42. All´ as (Norm´ alis eloszl´ as). Legyenek X1 , . . . , Xn f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, u ´gy, hogy Xi norm´alis eloszl´as´ u mi v´arhat´o ´ert´ekkel ´es σi2 sz´or´asn´egyzettel (i = 1, . . . , n). Ekkor (a) X1 +X2 norm´alis eloszl´as´ u m1 +m2 v´arhat´o ´ert´ekkel ´es σ12 +σ22 sz´or´asn´egyzettel. (b) X1 + X2 + . . . + Xn norm´alis eloszl´as´ u m1 + . . . + mn v´arhat´o ´ert´ekkel ´es σ12 + . . . + σn2 sz´or´asn´egyzettel. 48

14.

Tov´ abbi nevezetes abszol´ ut folytonos eloszl´ asok

15.3. Defin´ıci´ o (gamma-f¨ uggv´ eny). Ha a > 0 pozit´ıv sz´am, legyen Z ∞ ta−1 e−t dt. Γ(a) = 0

Parci´alis integr´al´assal kisz´am´ıthat´o, hogy Γ(a) = (a − 1)Γ(a − 1) minden a > 1-re, ´es ´ıgy Γ(n) = (n − 1)!, ha n pozit´ıv eg´esz. 15.4. Defin´ıci´ o (gamma-eloszl´ as). Legyenek a ´es λ pozit´ıv sz´amok. Azt mondjuk, hogy az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o gamma-eloszl´as´ u a renddel ´es λ param´eterrel, ha s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye ( a a−1 λ t e−λt , t ≥ 0; Γ(a) f (t) = 0, t < 0. 15.5. Defin´ıci´ o (χ2 -eloszl´ as). Legyenek X1 , X2 , . . . , Xq f¨ uggetlen standard norm´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok. Az Y = X12 + X22 + . . . + Xn2 val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´as´at q szabads´agi fok´ u χ2 -eloszl´asnak nevezz¨ uk. Ennek s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: ( q/2−1 t e−t/2 , t ≥ 0; q/2 f1 (t) = 2 Γ(q/2) 0, t < 0. A q szabads´agi fok´ u χ-n´egyzet eloszl´as megegyezik az a = q/2 rend˝ u ´es λ = 1/2 param´eter˝ u Γ-eloszl´assal. 15.6. Defin´ıci´ o (F -eloszl´ as). Legyenek m, n pozit´ıv eg´eszek, X1 , . . . , Xm , Y1 , Y2 , . . . , Yn pedig f¨ uggetlen standard norm´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok. Ekkor az 2 n(X12 + X22 + . . . + Xm ) F = 2 2 m(Y1 + Y2 + . . . + Yn2 ) val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´as´at m, n param´eter˝ u F -eloszl´asnak nevezz¨ uk. 49

14. ´abra. Az n = 3 szabads´agi fok´ u χ2 -eloszl´as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye 15.7. Defin´ıci´ o (t-eloszl´ as). Legyenek X1 , X2 , . . . , Xn ´es Y f¨ uggetlen standard norm´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok. Ekkor a Y Z=p 2 2 (X1 + X2 + . . . + Xn2 )/n val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´as´at n szabads´agi fok´ u t-eloszl´asnak (vagy Studenteloszl´asnak) nevezz¨ uk. 15.8. Defin´ıci´ o (Cauchy-eloszl´ as). Az n = 1 szabads´agi fok´ u t-eloszl´ast Cauchy-eloszl´asnak nevezz¨ uk. Vagyis, ha X ´es Y f¨ uggetlen standard norm´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, akkor X/Y Cauchy-eloszl´as´ u. Ennek s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: 1 1 . f2 (x) = · π 1 + x2 A Cauchy-eloszl´asnak sem v´arhat´o ´ert´eke, sem sz´or´asa nem l´etezik. 15.9. Defin´ıci´ o (beta-eloszl´ as). Legyenek a, b > 1 sz´amok. Azt mondjuk, hogy az U val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o beta-eloszl´as´ u a ´es b param´eterekkel, ha s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye ( Γ(a+b) a−1 t (1 − t)b−1 , t ∈ [0, 1]; Γ(a)Γ(b) f3 (t) = 0, t < 0 vagy t > 1. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny csak a [0, 1] intervallumon vesz fel pozit´ıv ´ert´ekeket, vagyis a beta-eloszl´asb´ol sorsolt ´ert´ekek mindig 0 ´es 1 k¨oz´e esnek. 50

15. ´abra. A Cauchy-eloszl´as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye

16. ´abra. A beta-eloszl´as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye a = 5 ´es b = 2 param´eterekkel

51