2013 Matematika Teknik 1
BAB VIII BENTUK-BENTUK TAKTENTU (Pertemuan ke 14)
PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini yang dibahas adalah tentang bentuk-bentuk tak tentu, yaitu:
, 0. ,
- , .. Limit-limit tersebut tak dapat diselesaikan dengan aturan-aturan yang ada, Yang dapat dipakai untuk menghitung limit-limit demikian, yang lazim disebut dengan aturan l’Hopital, Manfaat Bab ini merupakan lanjutan bab tiga, yaitu tentang limit, hanya bentuknya yang berbeda dengan yang telah dibicarakan. Relevansi Lihat bab tiga. Learning Outcomes Lihat bab tiga.
s. johanes, dtm sv ugm
98
2013 Matematika Teknik 1
PENYAJIAN Di bawah ini ada tiga masalah, yaitu ,
,
Ketiga limit tersebut memiliki penampilan yang sama, yaitu hasil bagi, dan limit pembilang dan penyebutnya berlimit nol. Kalau limit tersebut dihitung dengan menggunakan aturan penarikan limit untuk hasil bagi akan diperoleh jawaban yang tak ada artinya, yaitu 0/0. Memang aturan itu tak dapat digunakan di sini karena atuaran itu hanya berlaku apabila limit penyebut bukan nol. Jadi limit tersebut tak dapat ditentukan dengan aturan hasil bagi limit. Dengan geometri, dapat dibuktikan bahwa
, dan dengan faktorisasi dalam
aljabar, dapat ditentukan bahwa Limit yang ketiga sebenarnya mendefinisikan turunan f’(a) ! Tentunya akan lebih baik bila ada aturan baku yang dapat dipakai untuk menghitung limitlimit demikian. Aturannya ada dan lazim disebut dengan aturan l’Hopital (dibaca: loupital). Pada tahun 1696, Guillaume Francois Antonine de l’Hopital menerbitkan buku pertama tentang kalkulus diferensial, yang di dalamnya ada aturan berikut, yang ia peroleh dari gurunya bernama Johann Bernoulli. Bentuk-bentuk tak tentu adalah :
Bentuk-bentuk tak tentu adalah :
A.
, 0. , - ,
, 0. , - ,
Bentuk Teorema A Andaikan Apabila lim [f()/g(x)] ada, baik ia berhingga (L) atau tak berhingga ( atau - ), maka
s. johanes, dtm sv ugm
99
2013 Matematika Teknik 1
Disini u dapat mewakili sebarang simbul a, a-, a+, -
atau .
Contoh 1. Tentukan : Penyelesaian.
Contoh 2. Tentukan : Penyelesaian.
Walau aturan l’Hopital mudah digunakan,namun perlu hati-hati dalam penggunaannya, khususnya harus teliti benar apakah persyaratan yang diminta terpenuhi. Bila tidak, dapat terjadi kesalahan-kesalahan seperti dalam contoh di bawah ini.
Contoh 3. Tentukan : Penyelesaian.
Penerapan pertama aturan l’Hopital benar, penerapan kedua salah, karena limit kedua tidak berbentuk 0/0. Yang benar adalah sebagai berikut,
Berhenti mendiferensialkan apabila pembilang atau penyebut berlimit tak nol. Walau aturan l’Hopital dapat digunakan, ada kalanya aturan itu tak dapat menolong. Lihat contoh berikut. Contoh 4. Tentukan : Penyelesaian. Aturan l’Hopital dapat diterapkan sebanyak kita mau.
s. johanes, dtm sv ugm
100
2013 Matematika Teknik 1
Tampak bentuk yang diperoleh makin rumit. Jalan terbaik adalah limit tersebut diubah menjadi bentuk /
sebagai berikut. Bentuknya
B.
/
Bentuk
Teorema A Andaikan Apabila lim [f()/g(x)] ada, baik ia berhingga (L) atau tak berhingga ( atau - ), maka
Disini u dapat mewakili sebarang simbul a, a-, a+, -
atau + .
Contoh 1. Tentukan : Penyelesaian. Tampak bahwa x dan
menuju
apabila x
. Dengan menggunakan aturan l’Hopital
Contoh 2. Apabila a bilangan riil positif, buktikan bahwa : Penyelesaian.
C.
Bentuk 0. berbentuk 0 .
untuk x = a, bila
dan
. Disini aturan l’Hopital
dapat diterapkan setelah bentuknya diubah menjadi bentuk 0/0 atau / , sebagai berikut.
s. johanes, dtm sv ugm
101
2013 Matematika Teknik 1
, berbentuk Bentuk A
, berbentuk
Contoh 1. Tentukan : Penyelesaian. Tampak bahwa
dan
, sehingga limit tersebut
berbentuk 0. . Maka perlu diubah dulu menjadi bentuk 0/0 sebagai berikut.
D.
Bentuk
berbentuk
-
untuk x = a, bila
dan
. Disini aturan
l’Hopital dapat diterapkan setelah bentuknya diubah menjadi bentuk 0/0, sebagai berikut.
, berbentuk
, untuk x = a
Contoh 1. Tentukan : Penyelesaian.
s. johanes, dtm sv ugm
102
2013 Matematika Teknik 1
E.
Bentuk Sebelum menerapkan aturan l’Hopital, bentuk tak tentu di atas diubah dulu sebagai bentuk logaritma berikut. berbentuk
untuk x = a, bila
&
untuk x = a, bila
&
untuk x = a, bila
&
Diubah bentuknya menjadi sebagai berikut.
Sehingga
berbentuk 0. untuk x = a , sehingga penyelesaiannya kembali ke Bentuk B.
Contoh 1. Tentukan Penyelesaian. Dicari dulu:
Maka:
Contoh 2. Tentukan
Bentuk
Penyelesaian. Dicari dulu:
s. johanes, dtm sv ugm
103
2013 Matematika Teknik 1
Maka:
Bentuk
Contoh 3. Tentukan Penyelesaian. Dicari dulu:
Maka:
Ikhtisar Telah digolongkan beberapa persoalan limit sebagai bentuk tak tentu dengan menggunakan 7 buah simbol yaitu 0/0,
/ , 0.
,
- ,0 ,
0
, dan 1 . Masing-masing bentuk
melibatkan persaingan kekuatan yang berlawanan, yang berarti bahwa hasilnya tak jelas terlihat. Akan tetapi dengan bantuan aturan l’Hopital, yang hanya diterapkan secaa langsung pada bentuk 0/0 dan / , dapat menentukan harga limit yang tepat. Terdapat banyak kemungkinan lain yang misalnya dilambangkan oleh 0/ , . , 0 , dan
/0,
+ ,
. Mengapa yang kelompok terakhir ini tak disebut sebagai bentuk-bentuk tak
tentu ? Karena pada tiap kasus ini, gaya-gayanya itu saling membantu, bukannya bersaing.
s. johanes, dtm sv ugm
104
2013 Matematika Teknik 1
Contoh 4. Tentukan
Bentuk
Penyelesaian. Dapat disebut sebagai bentuk
, tetapi ini bukan bentuk tak tentu. Hal ini disebabkan
menuju nol, sedangkan pangkat cot x menuju tak berhingga, sehingga dapat dikatakan bentuk keseluruhan menuju nol (0) sangat cepat. Jadi,
Tugas pertemuan ke 14. Selesaikan tiga dari soal-soal di bawah ini. Soal-soal Telitilah dengan seksama sebelum menggunakan aturan l’Hopital 1. 2.
11. 12. 13.
3. 4.
14. 15.
5. 16. 6. 7. 8. 9.
17. 18. 19. 20.
10.
s. johanes, dtm sv ugm
105
2013 Matematika Teknik 1
PENUTUP Petunjuk penilaian dan umpan balik Penilaian hasil tugas, latihan dan ujian debiri skor (nilai) antara 0 sampai ddengan 100. Kesahan hasil akhir bukanlan merupakan kesalahan yang fatal, kalaupun dikurangi skornya, hanya sedikit saja (atau bahkan tak perlu dikurangi), tetapi kesalahan proses itu yang perlu pengurangan nilai . Tindak lanjut Bagi mahasiswa yang skornya kurang dari 50, wajib mempelajari lagi uraian di depan, dan selanjutnya diuji lagi.
s. johanes, dtm sv ugm
106
2013 Matematika Teknik 1 Daftar Pustaka
1. Ayres, F., 1972, Theory and Problems of Differential and Integral Calculus, 2nd edition, McGraw-Hill, Inc. 2. Wardiman, Hitung Diferenssial dan Integral, 3. Purcell, E.J., dkk, 1992, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 (terjemahan), edisi 5, Erlangga, Jakarta, 4. Stewart, J., 2001, Kalkulus, Jilid 1 (terjemahan), edisi 4, Erlangga Jakarta.
s. johanes, dtm sv ugm
107
