BAB III PUNTIRAN
Bila sebatang material mendapat beban puntiran, maka serat-serat antara suatu penampang lintang dengan penampang lintang yang lain akan mengalami pergeseran, seperti ditunjukkan pada Gambar 3.1(a).
Gambar 3.1. Batang Silindris dengan Beban Puntiran Pada Gambar 3.1(a) ditunjukkan bahwa titik A bergeser ke B sehingga membentuk sudut . Sedangkan pada Gambar 3.1(b) pergeseran tersebut akan mengakibatkan rotasi serat pada penampang lintangnya sebesar . Sehingga pada serat terluar, regangan geser yang terjadi adalah , yang besarnya AB = r = l
(3.1a)
dengan r = jarak serat dari sumbu netral (mm) = sudut lereng, pergeseran sudut pada penampang lintang (rad) l = panjang poros (mm) = regangan geser (rad) Sedangkan
41
42
G
(3.1b)
dengan = regangan geser (rad) = tegangan geser (MPa) G adalah modulus geser dalam (MPa) Substitusi persamaan (3.1b) pada persamaan (3.1a) akan menghasilkan G. r . l
(3.2)
Pada Gambar 2.1(b) diambil serat sembarang sekeliling sumbu netral yang berjarak r dari sumbu netral dengan tebal arah radial sebesar dr. Momen puntir yang ditimbulkan oleh tegangan geser pada luasan tersebut dapat dihitung seperti berikut ini. Gaya yang bekerja, dF = 2 r dr (N)
(3.3a)
Besarnya momen puntir, dT = dF r = 2 r2 dr (N.mm)
(3.3b)
Substitusi persamaan (3.2) pada persamaan (3.3b) akan menghasilkan dT = 2 r2 dr
G. r. 2.. G. 3 . r . dr l l
(3.3c)
Dengan demikian total momen puntir pada seluruh luasan penampang lintang adalah T dT
G. G. 2 2 . r .( 2. . r. dr ) . r . dA l l
(3.4)
Karena
r . dA J 2
(3.5)
yaitu inersia poler penampang lintangnya, dalam mm4, maka persamaan (3.4) menjadi
43
G. J. l
T
(N.mm)
(3.6)
Sedangkan dari persamaan
(3.2)
dapat diperoleh
G. , l r
sehingga
persamaan (3.6) akan menjadi T
. J (N.mm) r
(3.7)
atau
T. r J
(MPa)
(3.8)
dengan = tegangan geser pada serat tertentu yang berjarak r dari sumbu netral (MPa) T = torsi yang bekerja (N.mm) r = jarak serat dari sumbu netral (mm) J = inersia poler penampang lintang (mm4) 2.2. Inersia Poler Silinder Pejal dan Pipa dA
R
Ro
r
Ri
dr (a) Silinder Pejal
(b) Pipa
Gambar 3.3. Distribusi Tegangan Geser Gambar di atas menunjukkan dua jenis penampang lintang poros yang banyak dijumpai dalam praktek. Menurut persamaan (3.5) besarnya inersia poler adalah
44
J
Ro
r
2
r ( 2. . r . dr ) 2. .
4
Ro
4
Ri
Ri
2
r
4
Ro
(3.9)
Ri
Untuk poros pejal Gambar 3.2(a), jari-jari dalam (inner radius) Ri = 0 dan jari-jari luar (outer radius) Ro = R = D/2 , maka, besarnya inersia poler menurut persamaan (3.9) menjadi
J
2
r
4
R 0
4 R 0 2
4 J . R4 .D 2 32
(3.10)
Sedangkan untuk poros berongga atau pipa, jari-jari dalamnya (inner radius) adalah Ri = Di /2
dan jari-jari luarnya (outer radius) Ro = Do/2 ,
sehingga besarnya inersia menurut persamaan (3.9) menjadi J
2
r
4
Ro Ri
4 4 Ro Ri 2
J . Ro 4 Ri 4 . Do 4 Di 4 2 32
(3.11)
Substitusi persamaan-persamaan (3.10) dan (3.11) ke persamaan (3.8) akan menghasilkan distribusi tegangan geser pada sepanjang jari-jari penampang lintangnya seperti ditunjukkan pada Gambar 3.3.
2.3. Arus Geser pada Poros Berdinding Tipis dengan Beban Puntir Sebagaimana pada persoalan tentang lenturan, maka di sinipun arus geser memiliki pengertian yang sama, yaitu tegangan geser, , total yang bekerja pada sepanjang tebal dinding batang, t , yang mengalami pembebanan puntir.
45
Gambar 3.4. Analisis Arus Geser Besarnya tegangan geser pada serat tertentu yang berjarak r dari sumbu netral dari suatu penampang lintang tertentu diberikan oleh persamaan (3.8),
T. r . Maka besarnya arus geser di A yang sama besarnya dengan di B J
adalah Ro
Ro
Ro
Ro r2 T. r T. r 2.T . dr . dr q A q B A. dr 4 4 4 4 Ro Ri 2 Ri Ri J Ri R o Ri Ri 2
qA q B
T
Ro Ri 2
2
(N/mm)
(3.12)
Dengan demikian tegangan rata-rata pada sepanjang tebal dinding pipa pada suatu penampang lintang tertentu adalah
q T 2 2 Ro Ri Ro Ri Ro Ri
(MPa)
dengan
= tegangan geser rata-rata sepanjang tebal dinding pipa (MPa) q = arus geser pada sepanjang tebal dinding poros pipa (N/mm) Ro = jari-jari luar (mm) Ri = jari-jari dalam (mm) T = torsi yang bekerja poros (N.mm)
(3.13)
46
Contoh Soal: Sebuah poros memindahkan daya sebesar 1 MW pada putaran 240 rpm. Modulus Young bahan 200 GPa dan angka perbandingan Poisson 0,3. Sudut lereng tidak boleh lebih dari 1o setiap panjang poros 15 kali diameternya, dan tegangan geser tigak boleh lebih dari 50 MPa. Poros berbentuk pipa dengan diameter luar dua kali diameter dalamnya. Tentukan ukuran poros serta besarnya arus geser dan tegangan geser rata-rata pada poros tersebut ! Penyelesaian: P = 1 MW = 1 000 000 W = 106 J/det = 106 N.m/det = 109 N.mm/det. n = 240 rpm
60.P 60.109 39 788 736 N.mm 2..n 2..240
T=
= 0,3 E = 200 GPa = 200 000 MPa, maka G = (E / 2) / (1 + ) = (2.105 / 2) / 1,3 = 76 923 MPa. J=
4 4 ( Do Di ) 32 32
2 Di
4
Di
4
G.J . l
39788736 Di 3
mm4
1o akan didapat
Menurut persamaan (3.6), untuk syarat pertama
T
15. Di 4 32
76923.(15..D i 4 / 32 )(1. /180) 15.D i
39788736.32.180 76923. 2
Di > 67,08 mm Menurut persamaan (3.8), syarat yang kedua < 50 MPa
T.r J
50
39788736.2 R i 15..D i 4 / 32
r max R o 2 R i D i sehingga
39788736.32 Di 3 15..50 Di > 81,45 mm Diambil harga yang lebih besar, jadi menurut syarat yang kedua, dan dibuat Di = 80 mm
dan
Do = 165 mm
Menurut persamaan (3.12), besarnya arus geser
q
T
R o R i 2
2
39788736
82.52 402
1506 N/mm
Menurut persamaan (3.13), besarnya tegangan geser rata-rata
q Ro Ri
1506
82.5 40
35.45 MPa
