BAB III NONLINEAR GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSKEDASTICITY (N-GARCH)

BAB III NONLINEAR GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSKEDASTICITY (N-GARCH)

3.1 Proses Nonlinear Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (N-ARCH) Model Nonlinear Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (NARCH) pertama kali diperkenalkan oleh Higgins dan Bera pada tahun 1992. Konsep dasar model N-ARCH yaitu dengan menguji kelinieran residual dari data runtun waktu heteroskedastis. Apabila data tersebut tidak linier, maka model yang digunakan yaitu model Nonlinear ARCH.

Ketika dalam model ARCH sudah ditetapkan nilai   2 (Bollerslev,

2010), sementara dalam model N-ARCH nilai  tersebut merupakan nilai

parameter yang akan diestimasi. Higgins dan Bera menggunakan model ini untuk memodelkan nilai tukar mata uang Amerika Serikat dengan mata uang beberapa negara, yaitu Inggris, Kanada, Perancis, Jerman, Jepang, dan Swiss pada periode Januari 1973 sampai Juni 1985 dengan masing-masing mata uang berjumlah 651 observasi. Kemudian diperoleh estimasi nilai-nilai parameter  yaitu:

Tabel 3.1 Beberapa Nilai  dalam Nilai Tukar Mata Uang dengan Model N-ARCH Mata Uang Pound Sterling (Inggris) Dollar (Kanada) Franc (Perancis) Deutsche Mark (Jerman) Yen (Jepang) Franc (Swiss) Sumber: Higgins, 1992

34

 0,302 2,611 0,148 0,163 0,039 0,630

35

Dalam data nilai tukar Dollar Amerika Serikat terhadap Franc Perancis yang dimodelkan dengan N-ARCH diperoleh nilai AIC sebesar 1929,7. Nilai AIC ini lebih kecil nilai AIC model ARCH yaitu sebesar 1935,9. Nilai AIC (Aikake Information Criteria) merupakan kriteria untuk memilih model terbaik, dimana model terbaik yaitu model yang memiliki nilai AIC terkecil (Eviews UG,2004). Dengan kata lain, dalam kasus tersebut model N-ARCH merupakan model yang lebih baik dari model ARCH. Secara umum, proses N-ARCH dengan orde p atau N-ARCH (p)

didefinisikan sebagai proses  yang memenuhi:         

   1 |1 | 2 |2 |    

   ∑1  | |

dimana,

 ~  0,1 

0, 

0, !

  1,2, … , 



(3.1)

0

Untuk model N-ARCH sederhana dengan orde 1 atau N-ARCH (1)

didefinisikan sebagai proses  yang memenuhi:         

   1 |1 |

(3.2)

36

dimana,

 ~  0,1 

0, 

0, #

3.2 Proses

0

Nonlinear

Generalized

Autoregressive

Conditional

Heteroskedasticity (N-GARCH) Model Nonlinear GARCH merupakan pengembangan dari model Nonlinear ARCH. Model ini menggabungkan asumsi dari model N-ARCH dan GARCH, yaitu memodelkan standar deviasi yang dipangkatkan  berdasarkan

residual periode lalu dan standar deviasi periode lalu.

Jika nilai  dibatasi, maka model N-GARCH memiliki beberapa kasus

khusus, yaitu (Bollerslev, 2010):

1. ARCH oleh Engle (1982) ketika   2, $%  0, &  1,2, … , ' 2. GARCH oleh Bollerslev (1986) ketika   2

3. Taylor/Scwert GARCH oleh Taylor (1986) dan Scwert (1990) ketika 1

4. N-ARCH oleh Higgins dan Bera (1992) ketika $&  0, &  1,2, … , ' 5. Log-GARCH oleh Geweke dan Pantula (1986) ketika  ( 0

Secara umum, proses N-GARCH dengan orde p dan q atau N-GARCH

(p,q) didefinisikan sebagai proses  yang memenuhi:         

37

   1 |1 | 2 |2 |     $1 1 $2 2  

$' '

dimana,

   ∑1  | | ∑'&1 $& &

 ~  0,1 

0, 

0, !

0,

%$(3.3)

0

  1,2, … ,  dan &  1,2, … , '

Untuk model N-GARCH sederhana dengan orde 1 atau N-GARCH (1,1)

didefinisikan sebagai proses  yang memenuhi:         

   1 |1 | $1 1

dimana,

 ~  0,1 

0, 

0, #

0, $#

(3.4)

0

3.3 Uji Nonlinearitas Untuk menggunakan model N-GARCH diperlukan asumsi bahwa data residual yang diuji harus tidak linier. Dalam uji nonlinearitas terdapat beberapa uji yang dapat dilakukan salah satunya adalah RESET Test (Regression Error Specification Test) versi Ramsey. Uji ini kemudian dikenal dengan Ramsey RESET Test.

38

Prosedur uji pada RESET test dapat dijelaskan sebagai berikut (Warsito,

2004). Misalkan terdapat model regresi sebagai berikut     

(i) Regresikan  pada  sehingga diperoleh model linear   ) , dimana )   

(3.5)

(ii) Tambahkan model linear dalam bentuk   *2 )2  *+ )+  , untuk suatu + , 2. Sehingga diperoleh alternatif     *2 )2  *+ )+ 

(iii) Test dilakukan dengan menguji hipotesis -0 : *2 , … , *+  0. Jika   # , … , /  adalah residual dari model pada (3.5) maka statistik ujinya adalah

RESET  486 8//7:; 56 578 6 8

(3.6)

Tolak -0 jika RESET > <+  1, =  + 3.4 Tahap Pembentukan Model N-GARCH Sebelum data runtun waktu dimodelkan dengan model N-GARCH, terlebih dahulu harus dilakukan beberapa langkah pembentukan model. Langkahlangkah dalam pembentukan model dapat digambarkan dengan bagan sebagai berikut:

39

Harga Saham

Perhitungan Nilai Return Saham

Uji Stasioneritas

Pembentukan Model ARMA

Uji Efek Heteroskedatisitas

TIDAK

YA

Uji Nonlinearitas TIDAK

YA

Pembentukan Model N-GARCH 1. Identifikasi Model 2. Estimasi Parameter 3. Verifikasi Model

Pembentukan model GARCH 1. Identifikasi Model 2. Estimasi Parameter 3. Verifikasi Model

Peramalan

Gambar 3.1 Bagan Tahap Pembentukan Model N-GARCH

40

3.5 Identifikasi Model Untuk

menentukan

identifikasi

model

dari

data

runtun

waktu

homoskedatis, dapat dilakukan dengan menggunakan fak dan fakp. Tetapi, dalam model N-GARCH belum ada alat untuk mengidentifikasi model. Oleh karena itu, dalam Tugas Akhir ini digunakan beberapa model N-GARCH sederhana yaitu, model N-GARCH (1,1), N-GARCH (1,2), N-GARCH (2,1), dan N-GARCH (2,2)

3.6 Estimasi Parameter Tahap selanjutnya setelah mengidentifikasi model yaitu mengestimasi parameter. Nilai parameter tersebut akan digunakan dalam pemodelan return saham. Sanjoyo (2006) menyatakan bahwa untuk kondisi data dengan asumsi linieritas tidak dipenuhi, digunakan estimasi model nonlinier yang didasarkan pada maksimasi fungsi kemungkinan (likelihood function). Metode estimasi tersebut adalah Nonlinear Maximum Likelihood Estimation (N-MLE). Estimasi ini menggunakan Maximum Likelihood Estimation yang dilanjutkan dengan algoritma Newton-Rhapson, Method of Scoring, atau Iterasi Berndt, Hall, Hall & Hausman (IBHHH) Diketahui proses N-GARCH (p,q) yaitu

        

   ∑1  | | ∑'&1 $& &

(3.7)

Misalkan fkp dari observasi data > dinotasikan dengan )>?  dan

@  , A,  dan    B|1 | , |2 | , … ,   , 1 , 2 , … , ' C adalah 

41

vektor dari parameter yang tidak diketahui dimana A  ,  , $&  Dengan mengasumsikan > berditribusi normal, maka fungsi likelihoodnya adalah D@,

E |,

?F 



H H ? 1 7 E 2G ?  E I  J K

2

?L#

 ?F E M

?E

Kemudian fungsi log likelihoodnya adalah  2 N= D@  D   2 O N=2G ∑ 1 N=   ∑1 P 1

  



2

Q R

dengan N= D@  D dimaksudkan untuk penyederhanaan penulisan. Kemudian dengan menggunakan      , maka persamaanya menjadi H

H

1 ? E D   S N=2G K N= ?E  K P Q T 2

? ?L#

?L#

Kemudian, turunkan fungsi log likelihood terhadap @

UD 1 U  2  V N=2G K N= 2  K P Q W U@ 2 U@

 

1



1

E U? E E U ? 2

  ? U@ ? ? U@ ` 1Z 1  Y E [ ]_ 2 ? U@

?\

X

U ?E

1 U ?E ? U? ?E U ?E  E  2 ? U@ ?E U@ 2 ?\ U@ 

^

? U? 1 1 E U ?E E      ? U@

?E U@ 2 ?\ ?

Penyelesaian tahap akhir yang diinginkan adalah memperoleh memperoleh

U  , U@

ada beberapa tahapan yang harus dilakukan, yaitu

U  . U@

Untuk

42

1) Tahap pertama, persamaan (3.3) diturunkan terhadap 

Pandang persamaan rata-rata pada persamaan (3.7) yaitu ?  ?F  ?

a ?  ?F   ?

a |?  ?F |  |? | a

U U|? | |?  ?F |  U U

a ?F 

b|5c | bd

(3.8)

Substitusikan     ke dalam persamaan rata-rata sehingga diperoleh      

a

?  ?F   ? ?

U ?  ?F  U ? a O R U U ? a  8c  e6 c

bfc bd

(3.9)

Persamaan (3.8) dan (3.9) akan digunakan dalam penurunan model NGARCH terhadap , yaitu 

'

U  U  V K  | | K $& & W U U 1

h

&1

i

U U U g  SK ! |?7! |g T VK $% ?7% W U U U !L#

%L#

43

i

h

g U ?7% U ?7% U|?7! |   K ! |?7! |g7# K $% U U U !L#

h

 j K ! |?7! !L#

|g7#

?F k

%L#

i

lK $% %L#

g U ?7%

?F O Rm  0 U ?

2) Tahap kedua, persamaan (3.3) diturunkan terhadap  

'

U  U  V K  | | K $& & W  0 U U 1

&1



'

3) Tahap ketiga, persamaan (3.3) diturunkan terhadap  U  U  V K  | | K $& & W U U h

1

&1

i

g U ?7% U ?7% U|?7! |g U?7! g  K|?7! | ! K $% 0 U! U! U! U! !L#

%L#

4) Tahap keempat, persamaan (3.3) diturunkan terhadap $& 

'

U  U  V K  | | K $& & W U$& U$& h

1

&1 i

g U ?7% U ?7% U|?7! |g U?7! g  K ! K ?7% $% 0 U$% U$% U$% U$% !L#

%L#

5) Tahap kelima, persamaan (3.3) diturunkan terhadap  

'

U  U  V K  | | K $& & W U U 1

h

&1

i

U g  V K ! |?7! |g K $% ?7% W U !L#

%L#

44

i

h

g  jK ! |?7! |g N=|?7! |k lK $% ?7% N= ?7% m  0 !L#

%L#

Untuk menemukan pendekatan estimasi parameter maka digunakan metode iteratif. Algoritma optimisasi untuk iterasi dimulai dari suatu nilai awal, misalkan @0 . Kemudian @0 digunakan untuk mencari @1 . Proses iteratif

dilakukan sampai diperoleh @=  @= 1. Metode iteratif yang dapat digunakan ada

tiga, yaitu metode Newton-Raphson, Method of Scoring, dan Iterasi Berndt, Hall,

Hall & Hausman (BHHH).

3.6.1 Metode Newton-Raphson Pada iterasi ini fungsi objektif D diaproksimasi dengan deret Taylor orde

kedua di sekitar nilai awal @0 , yaitu n r D  nD|op bo 6 bq

op

@  @s  E @  @s F nbobo6 r #

bt q

op

@  @s 

(3.5)

Untuk memperoleh kondisi optimum, persamaan (3.5) diturunkan terhadap

parameter @ dengan operasi sebagai berikut UD U@

 jn

k n

u

UD

U@ @ 0

U2 D

u

U@U@ @ 0

v@  @0 w  0

Berdasarkan persamaan (3.5) dan (3.6) secara implisit dapat ditaksir @1 UD UD U2 D n n  l x m x U@ U@ U@U@

@0

U2 D @1  @0  ln x m U@U@ @ 0

@0

1

v@1  @0 w  0

UD y m U@ @

ln

0

(3.6)

45

Sehingga bentuk umumnya menjadi, @= 1  @=  ln atau

dengan

U D 2

U@U@



1

x m @=

UD y m U@ @

ln

=

@= 1  @= z= = z=   j n

U2 D

u k

U@U@ @ =

1

dan =  {nU@r | UD

@=

Iterasi ini dikatakan konveregen jika @= 1  @= 3.6.2 Method of Scoring Pada Method of Scoring, algoritma iterasi menggunakan nilai ekspektasi dari fungsi likelihood. Algoritmanya dinyatakan sebagai berikut U2 D n @= 1  @=  l} V x Wm U@U@ @ =

atau

dengan

1

UD y m U@ @

ln

=

@= 1  @= z= = z =   j } Sn

U2 D

1

u Tk

U@U@ @ =

dan =  {nU@r | UD

@=

3.6.3 Iterasi Berndt, Hall, Hall & Hausman (BHHH)

46

Metode ini mengekspolitasi algoritma iterasi method of scoring. Namun dalam iterasi BHHH ditambahkan dengan aturan bilangan banyak (law of large number). Bagian yang dieksploitasi adalah z= dari method of scoring menjadi bentuk

z=   l} VnS

U D1 D2  D  2

U@U@

U E ∑H ?L# D? n   j} SO Ry Tk U@U@F o H

U D?   l} VnSK Tx U@U@F E

?L#

7#

~

o~

Wm

Tx Wm

7#

Selanjutnya, 

z=  l K } VnS 1

U2 D

U@U@

1

Tx Wm @=

U D?  j} SnO Ry Tk U@U@ F o E

7#

~

H

1 U E D?  l VnSK Tx  U@U@F ?L#

o~

Akhirnya diperoleh 

z=   nVK

U D 2

1 U@U@ H

W€  @=

UD? UD?  l nSK Tx U@ U@F ?L#

1

o~

m

7#

Wm

1

7#

@=

47

Bentuk umum dari iterasi BHHH dinyatakan dengan menggunakan algoritma iterasi sebagai berikut 

@= 1  @=  nVK 1

UD UD W€  U@ U@

@=

1

UD y m U@ @

ln

=

Dari ketiga metode iteratif yang ada, metode yang digunakan untuk menemukan estimasi parameter dalam Tugas Akhir ini adalah metode Iterasi Berndt, Hall, Hall & Hausman (BHHH). Untuk selanjutnya perhitungan estimasi parameter akan dilakukan dengan bantuan software EViews.

3.7 Verifikasi Model Setelah melalui tahap identifikasi dan estimasi parameter, model NGARCH (p,q) yang didapat bisa digunakan untuk peramalan dalam menetapkan kapan suatu peristiwa akan terjadi atau peristiwa apa yang akan terjadi, sehingga tindakan yang tepat dapat dilakukan. Untuk mencegah galat peramalan yang terlalu besar, langkah berikutnya adalah dengan melakukan verifikasi model. Dalam langkah ini dilakukan pemeriksaan kecocokan model yang didapat dengan data yang ada. Jika model kurang cocok, maka langkah ini memberikan gambaran ke arah mana model tersebut harus dimodifikasi menjadi model yang lebih baik. Jika diperlukan model yang lebih luas, biasanya dilakukan overfitting untuk selanjutnya diperiksa keunggulannya. Pada model N-GARCH ini, verifikasi dilakukan untuk uji signifikansi

parameter. Parameter yang akan diuji adalah , ,  dan $. Pengujian yang dapat

48

dilakukan terdapat dua jenis, yaitu berdasarkan keberartian koefisien dan berdasarkan kriteria informasi (information criteria).

3.7.1 Pengujian Berdasarkan Keberartian Koefisien Langkah pengujian keberartian koefisien pada model volatilitas tidak berbeda dengan pengujian pada model runtun waktu yang bersifat homoskedastis, yaitu dengan merumuskan hipotesis H0 : Koefisien tidak berpengaruh secara signifikan terhadap model H1 : Koefisien berpengaruh secara signifikan terhadap model Dengan software Eviews 6.0 digunakan kriteria pengujian yaitu tolak H0 jika nilai probabilitas < α.

3.7.2 Kriteria Informasi (Information Criteria) Information Criteria digunakan sebagai panduan untuk verifikasi model peramalan yang akan digunakan digunakan (Eviews 6 UG, 2007). Untuk mendapatkan model yang terbaik, dipilih model dengan nilai Information Criteria yang terkecil. Information Criteria telah digunakan secara luas dalam analisis data runtun waktu untuk menentukan panjang lag yang paling cocok untuk diaplikasikan dalam suatu model. Adapun jenis-jenis Information Criteria antara lain: (1) Aikake Information Criterion (AIC) (2) Schwarz Criterion (SC)

Tabel 3.2 Rumus AIC dan SC

49

Aikake Information Criterion (AIC)

Schwarz Criterion (SC) Sumber: Eviews Users Guide, 2007

N 2+ 2 P Q  

N +N= 2 P Q  

dengan, H

H

1 ? E E N   S N=2G K N= ?  K P Q T 2

? ?L#

+ ‚ banyaknya parameter

?L#

 ‚ banyaknya observasi 3.8 Peramalan

Selain dapat memodelkan data runtun waktu heteroskedastisitas, model volatilitas N-GARCH juga dapat digunakan untuk peramalan yang berguna dalam pengambilan keputusan atau kebijakan investor dalam menentukan nilai return saham. Berdasarkan model yang paling sesuai dapat ditentukan nilai suatu masa depan (future value) berdasarkan pola data masa lalu. Model yang diturunkan dari data runtun waktu bukan merupakan model yang sebenarnya, tetapi hanya merupakan pendekatan saja. Ide dari permasalahan tersebut adalah bahwa harapan bersyarat merupakan sebuah bilangan dengan sifat baik, artinya merupakan ramalan dengan residual kuadrat rata-rata minimum.

Untuk model volatilitas N-GARCH (1,1) yaitu    1 |1 |

$1 1 peramalan untuk h periodenya yaitu

50

ƒ  „|  }† 1 | „1 | $1  „1 |Ωt ‰

…

g  ƒ Š# ?‹Œ7#|?  $# ?‹Œ7#|? … g

…

Dimana Ωt adalah himpunan semua observasi dari waktu lampau sampai

dengan t.

Untuk

model

umum

N-GARCH

(p,q)

   ∑1  | | ∑'&1 $& &, peramalan untuk h periodenya yaitu ƒ  „|  } 4 ∑1  | „ | ∑'&1 $&  „& |Ωt ;

…

g … g  ƒ ∑h!L# Š! ?‹Œ7!|?  ∑i%L# $% ?‹Œ7%|? …

yaitu