BAB II KONSEP DASAR Konsep dasar yang ditulis dalam bab 2 ini, merupakan beberapa dasar acuan yang akan digunakan untuk menganalisa model risiko klasik dan menentukan fungsi sebaran peluang bertahan dalam model risiko klasik. Diantara dasar acuan tersebut adalah: proses Poisson, sebaran peubah acak, sebaran pada jumlah dari beberapa peubah acak yang saling bebas, transformasi Laplace, deret Maclaurin dan formula invers kompleks. 2.1
Proses Poisson
Definisi 2.1 Proses stokastik Proses stokastik (stochastic process) {N (t ), t
T } adalah koleksi dari
peubah acak. Untuk setiap t dalam himpunan indeks T, N (t ) merupakan peubah acak. Jika t menyatakan waktu, maka N (t ) menyatakan kondisi proses saat t. Jika T himpunan indeks terhitung maka, {N (t ), t
T } disebut proses stokastik
waktu diskret dan jika T kontinu, maka {N (t ), t
T } disebut proses stokastik
waktu kontinu. Ross (1996) Definisi 2.2 Proses pencacahan Suatu proses stokastik {N (t ), t
0} disebut sebagai proses pencacahan
(counting process) jika N (t ) menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi dalam selang waktu [0, t ] dan N (t ) harus memenuhi: 0.
(i)
N (t )
(ii)
N (t ) bernilai bulat.
(iii) Jika s
t, maka N (s )
N (t ).
(iv) Untuk s t, N (t ) N (s ) menyatakan banyak kejadian yang terjadi dalam selang waktu (s,t]. Ross (1996) Definisi 2.3 Proses Poisson Suatu proses pencacahan {N (t ), t process) dengan laju ,
0, jika: 4
0} disebut proses Poisson (Poisson
(i)
N (0) = 0.
(ii)
proses memiliki kenaikan bebas.
(iii) banyaknya kejadian yang terjadi dalam setiap selang waktu sepanjang t menyebar Poisson dengan rataan t. Sehingga untuk semua s, t 0 berlaku
P[ N (t s ) N ( s ) n]
1 e n!
t
( t )n ,
n = 0, 1, 2, …. Ross (1996)
Definisi 2.4 Proses Poisson majemuk Suatu proses stokastik {S (t ), t
0} disebut sebagai proses Poisson majemuk
(compound Poisson process), jika dapat dinyatakan sebagai
S (t )
N (t ) i 1
Xi , t
0,
0} adalah proses Poisson dengan laju , untuk semua i = 1, 2,
dimana {N (t ), t
3, ..., X i adalah peubah acak iid (independent and identically distributed) dan juga bebas terhadap {N (t ), t
0}. Peubah acak iid adalah peubah acak yang
saling bebas dan memiliki sebaran yang identik. Ross (1996) 2.2
Sebaran Peubah Acak
Definisi 2.5 Fungsi sebaran pada peubah acak diskret Jika X adalah suatu peubah acak diskret, maka fungsi F didefinisikan pada (
,+ ) sebagai F(t) = P(X
t) dan disebut sebagai fungsi sebaran (distribution
function) pada X. Fungsi F merupakan akumulasi dari semua peluang X yang ,t], sehingga F disebut juga sebagai
yang nilainya termuat dalam selang (
fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari X yang memenuhi: (i)
F fungsi tak turun, jika t
(ii)
lim F (t ) 1 .
(iii)
u maka F(t) F(u).
t
lim F (t ) 0.
t
(iv) lim F (tn ) n
F (t ). Ghahramani (2000) 5
Definisi 2.6 Fungsi peluang peubah acak diskret Fungsi peluang p pada peubah acak diskret X dengan himpunan nilai yang mungkin {x1 , x2 , x3 ,...}adalah suatu fungsi dari R ke R yang memenuhi: (i)
p( x)
(ii)
p( xi )
(iii)
i =1
0 , jika x {x1 , x2 , x3 ,...}.
P( X
xi ) dan p( xi )
0 , (i 1, 2,3,...).
p ( xi ) 1 . Ghahramani (2000)
Jika X adalah peubah acak diskret, maka fungsi sebarannya dinyatakan sebagai n 1
F (t )
i 1
p ( xi ) , xn
t
1
xn ,
dimana p adalah fungsi peluang (probability function). Ghahramani (2000) Definisi 2.7 Nilai harapan peubah acak diskret Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan
himpunan nilai yang
mungkin adalah A. Jika p(x) adalah fungsi peluang dari X, maka nilai harapan (expected value) dari peubah acak X didefinisikan sebagai
E( X )
x p( x) x A
dan E( X ) dikatakan ada jika
x p( x) konvergen mutlak. x A
Ghahramani (2000) Definisi 2.8 Simpangan baku dan ragam peubah acak diskret Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan himpunan nilai yang mungkin adalah A, p(x) adalah fungsi peluang dari X dan E( X ) = harapan dari X, maka
X
adalah nilai
dan Var(X) masing-masing adalah simpangan baku
(standard deviation) dan ragam (variance) dari X didefinisikan sebagai X
E[( X
)2 ]
dan Var( X )
E[( X
) 2 ].
Ghahramani (2000) 6
Definisi 2.9 Fungsi kepekatan peluang pada peubah acak kontinu Misalkan X peubah acak kontinu bernilai real. Suatu fungsi kepekatan peluang (probability density function) pada X yang dinotasikan sebagai f ( x ) adalah fungsi real yang memenuhi P( a
X
.b
b)
.a
f ( x) dx ,
a,b
R.
R, maka
Jika E
E)
P( X
.E
f ( x) dx.
Ross (2007) Definisi 2.10 Fungsi sebaran peluang pada peubah acak kontinu Jika f adalah fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X yang kontinu dengan fungsi sebaran F, maka f harus memenuhi: .
(i) (ii)
.
f ( x )dx 1.
F ' ( x)
f ( x ).
(iii) P( X
a)
(iv) P( a
X
.a .a
b)
f ( x) dx
P( a
0. X
b)
P( a
X
b)
P( a
X
b)
.b .a
f ( x) dx.
Ghahramani (2000) Menurut Ross (1996), jika X adalah peubah acak kontinu, maka fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai F (t )
.t .
f ( x)dx = 1
. .t
f ( x )dx ,
dimana f(x) adalah fungsi kepekatan peluang. Definisi 2.11 Nilai harapan pada peubah acak kontinu Jika X adalah peubah acak kontinu dengan f sebagai fungsi kepekatan peluang, maka nilai harapan dari X didefinisikan sebagai
E( X )
. .
xf ( x )dx. Ghahramani (2000)
7
Definisi 2.12 Simpangan baku dan ragam pada peubah acak kontinu Jika X adalah peubah acak kontinu dengan E( X ) = , maka
X
dan Var(X)
masing-masing adalah simpangan baku dan ragam dari X yang didefinisikan sebagai
E[( X
X
)2 ] dan Var( X )
.
)2 ]
E[( X
(x
.
)2 f ( x )dx.
Ghahramani (2000) 2.3
Sebaran Jumlah dari Peubah Acak-Peubah Acak yang Saling Bebas
Teorema 2.1 Teorema konvolusi Misalkan X dan Y adalah dua peubah acak yang saling bebas dengan fungsi kepekatan peluang berturut-turut f1 dan f 2 serta fungsi sebaran peluang berturutturut F1 dan F2 . Jika g dan G berturut-turut adalah fungsi kepekatan peluang dan fungsi sebaran peluang dari X + Y, maka .
g (t )
f1 ( x ) f 2 (t
.
(2.1)
x)dx
dan .
G (t )
(2.2)
f1 ( x) F2 (t x)dx.
.
Bukti teorema ada pada lampiran 1 sub 1.1. Bentuk (2.1) dan (2.2) dapat juga ditulis sebagai: .
g (t )
.
y ) dy dan G (t )
f2 ( y ) f1 (t
. .
f2 ( y ) F1 (t
y ) dy.
Ghahramani (2000) 2.4
Transformasi Laplace
Definisi 2.13 Transformasi Laplace , adalah fungsi
Transformasi Laplace dari fungsi f (t ), .0 t
[f] pada
peubah real s yang dinyatakan sebagai [f](s) = fˆ ( s) =
. .0
e
st
f (t ) dt = lim
.0
e
st
f (t )dt .
(2.3)
Transformasi terdefinisikan untuk semua bilangan real s jika limit (2.3) ada. Borrelli dan Coleman (1998) Menurut Dickson (2005), untuk fungsi f dengan dua peubah bebas (x,y), yaitu f (x,y ), 0
x
dan 0
y
maka 8
.
fˆ ( x, s)
sy
e
.0
f ( x, y )dy
(2.4)
f ( x, y ) dx.
(2.5)
dan .
fˆ ( , y )
.0
e
x
Sehingga transformasi ganda dapat ditulis sebagai ˆ fˆ ( , s )
.
.
.0
.0
e
x sy
(2.6)
f ( x, y )dxdy.
Beberapa bentuk transformasi Laplace, yang berkaitan dengan aplikasi dalam teori risiko, sebagaimana dikemukan oleh Dickson (2005) adalah transformasi Laplace pada jumlah dua fungsi atau lebih, fungsi integral, fungsi turunan dan konvolusi fungsi. Misalkan h1 , h2 masing-masing adalah fungsi dan
1
,
2
masing-masing
adalah konstanta. Jika tranformasi Laplace dari h1 dan h2 ada, maka . .0
e
sy
h ( y)
1 1
h ( y) dy
2 2
hˆ ( s)
1 1
hˆ ( s).
2 2
(2.7)
Lihat lampiran 1 sub 1.2. Misalkan h adalah fungsi yang memiliki transformasi Laplace dan H ( x)
.x .0
h( y )dy ,
maka transformasi Laplace dari H ( x ) dengan H (0)
Hˆ ( s)
0 adalah
1ˆ h( s ). s
(2.8)
Lihat lampiran 1 sub 1.3. Misalkan
d h( y ) adalah turunan dari h terhadap y maka transformasi dy
Laplacenya adalah . .0
e
sy
d h( y) dy dy
shˆ ( s) h(0).
(2.9)
Lihat lampiran 1 sub 1.4. Misalkan konvolusi dari fungsi h1 dan h2 adalah h1 h2 = h didefinisikan sebagai h( x )
.0
h1 ( y )h2 ( x
9
y )dy,
maka transformasi Laplace dari h adalah
hˆ( s)
hˆ1 ( s) hˆ2 ( s ).
(2.10)
Lihat lampiran 1 sub 1.5. Misalkan H dan h berturut-turut adalah fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X yang kontinu dengan H(0) = 0, maka sX
E[e
] hˆ ( s ).
(2.11)
Lihat lampiran 1 sub 1.6. 2.5
Deret Maclaurin
Definisi 2.14 Deret Maclaurin Deret Maclaurin dari suatu fungsi f(z) ditulis sebagai
f ( z ) = f (0) = k 0
f (1) (0) z 1!
f (2) (0) 2 z 2!
f (3) (0) 3 z 3!
...
f( k) (0) k z k!
...
f ( k ) (0) k z . k!
Dengan f (0) ( z ) = f ( z ) dan f ( k ) ( z ) adalah turunan ke-k dari f ( z ). Stewart (2003) Beberapa deret Maclaurin yang digunakan dalam pembahasan pada bab III adalah: (i)
(ii) (iii) (iv)
ez = 1
exp
z 1!
z2 2!
z3 ... 3!
1 z1 =1 z 1!
z2 2!
z3 3!
...
1 = 1 az a 2 z 2 a 3 z 3 ... 1 az 1 a 1 z
= 1 az
1
a2z
2
k 0
zk . k!
k 0
z k . k!
=
a3z
3
=
ak zk .
= k 0
ak z k .
... = k 0
Lihat lampiran 1 sub 1.7.
10
2.6
Formula Invers Kompleks
Definisi 2.15 Fungsi analitik Misal U
C , C adalah sistem bilangan kompleks dan fungsi f : U
C.
Jika f ( z ) dengan z U turunannya ada, maka f disebut fungsi analitik pada U. Marsden (1973) Definisi 2.16 Singularitas R2 } dan ( z0 , 0, R2 )
B( z0 , R) {0}.
Fungsi f dikatakan mempunyai singularitas di z0 jika ada R
0 sedemikian
Misal ( z0 , R1 , R2 ) {z | R1
z
z0
hingga f fungsi analitik pada ( z0 , 0, R). Singularitas dikatakan terhapuskan jika zn
0 untuk semua n
0.
Marsden (1973) Definisi 2.17 Residu Misalkan f fungsi analitik yang mempunyai sebuah singularitas di z0 , maka f dapat ditulis dalam ekspansi Laurent sebagai f ( z ) = ...
b2 ( z z0 )2
b1 ( z z0 )
a0
a1 z z0
...
dan
b1 disebut sebagai residu dari f di z0. Marsden (1973) Definisi 2.18 Formula invers kompleks Misalkan fungsi rasional f ( z )
g ( z ) / h( z ) adalah transformasi Laplace
dari f (t ) dan singularitas C dari f ( z ) adalah solusi dari h( z )
0 , maka invers
laplace dari f ( z ) adalah f (t ) =
Residu dari e zt f ( z ) di setiap titik singularitas C . Marsden (1973)
Misalkan g ( z ) dan h( z ) mempunyai singularitas di z0 , maka residu dari fungsi rasional f ( z ) = g ( z ) / h( z ) adalah h '( z0 )
g ( z0 ) , dengan h '( z0 )
0. 11
g ( z0 )
0,
h( z0 ) 0
dan
