Page 1 of 21
BAB II KEGIATAN PEMBELAJARAN A. TURUNAN FUNGSI ALJABAR 1. Definisi Turunan Fungsi
Definisi Fungsi f : x → y atau y = f(x) mempunyai turunan yang dinotasikan y’ = f’(x) dy df ( x ) = atau di definisikan : dx dx
y ' = f ' ( x ) = lim h→0
f (x + h ) − f ( x) h
dy df ( x ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) = = lim ∆x → 0 dx dx ∆x
Contoh Soal : 1. Tentukan turunan dari f(x) = 4x – 3 Penyelesaian f(x) = 4x – 3 f( x + h) = 4(x + h) – 3 = 4x + 4h – 3 maka f ' ( x ) = lim h →0
f ( x + h) − f ( x) h
(4 x + 4h − 3) − (4 x − 3) h →0 h 4 x − 4 x + 4h − 3 + 3 = lim h →0 h 4h = lim h →0 h =4 = lim
atau
Page 2 of 21
2. Tentukan turunan dari f(x) = 3x2 Penyelesaian f(x) = 3x2 f(x + h) = 3(x + h)2
= 3(x2 + 2xh + h2) = 3x2 + 6xh + 3h2 maka: f ' ( x ) = lim h →0
f ( x + h) − f ( x) h
(3 x 2 + 6 xh + 3h 2 ) − 3 x 2 h →0 h
= lim
6 xh + 3h 2 h→0 h
= lim
= lim 6 x + 3 h h→0
= 6x+ 3.0 = 6x
Latihan Dengan definisi di atas tentukan nilai turunan berikut: 1. f(x) = 6 – 2 x ⇒ f ' ( x) = −2 2. f(x) = 5x2 +2x ⇒ f ' ( x) = 10 x + 2 1 −2 ⇒ f ' ( x) = 3 2 x x
3.
f ( x) =
4.
f ( x) = x ⇒ f ' ( x) =
1 2 x
Page 3 of 21
2. Teorema -Teorema Turunan Fungsi
Teorema 1 Turunan Fungsi Konstan Jika f(x) = a, dimana a adalah konstanta maka:
f ( x) = a ⇒ f ' ( x) = 0; a ∈ R Contoh Soal : 1.
f ( x) = 5 ⇒ f ' ( x) = 0
2.
f ( x) = 2b ⇒ f ' ( x) = 0
3.
f (x ) =
4 2 y ⇒ f ' ( x) = 0 3
Teorema 2 Jika f(x) merupakan fungsi aljabar dan bukan fungsi konstan, a bilangan real dan n adalah bilangan rasional maka :
f ( x) = ax n ⇒ f ' ( x) = n.ax n −1 Contoh soal : 1. Turunan dari f ( x ) = 2x 3 adalah… Penyelesaian Diketahui : - a = 2 - n =3 maka :
f ' ( x) = 3.2.x 3−1
= 6x 2 2. Turunan dari f ( x) = Penyelesaian
x2 3
x2
adalah …….
Page 4 of 21
x2
f ( x) =
3
disederhanakan bentuk aljabarnya menjadi :
x2 2
f ( x ) = x .x f ( x) = x
2−
2 3
−
2 3
.
4 3
f ( x) = x . 4
4 3 −1 x . 3 4 13 f ' ( x) = x . 3
f ' ( x) =
43 x. 3
f ' ( x) =
3. Turunan pertama dari f ( x) = 2 x 3 + 12 x 2 − 8 x + 4 adalah … Penyelesaian f(x)
= 2x3 + 12x2 – 8x + 4
f ’(x)
= 2.3x2 + 12.2x – 8 = 6x2 + 24x - 8
(
4. Turunan dari f ( x ) = 2 x − 3
)(
4
)
x 3 + 2 adalah ….
Penyelesaian
)(
(
f (x ) = 2 x − 3
4
)
x 3 + 2 disederhakan bentuk aljabar sehingga menjadi :
f ( x ) = 2 x .4 x 3 + 4 x − 34 x 3 − 6 5 4
1 2
3 4
f (x ) = 2 x + 4 x − 3x − 6 5
1
3
−1 −1 −1 5 1 3 f ' ( x ) = . 2. x 4 + . 4 x 2 − . 3 x 4 − 0 4 2 4 1
f ' (x ) =
1
1
− 10 4 9 − .x + 2 x 2 − x 4 4 4
5 2 9 f ' ( x ) = .4 x + − 4 2 x 4 x
Page 5 of 21
Teorema 3 Turunan perkalian dua fungsi aljabar Jika f(x) merupakan fungsi hasil perkalian dua fungsi, maka :
f ( x ) = u ( x ).v ( x) ⇒ f ' ( x ) = u ' ( x )v( x ) + u ( x )v ' ( x )
Contoh Soal :
1. Turunan dari f(x) = (3x – 2)(4x + 1) adalah … Penyelesaian f(x) = (3x – 2)(4x + 1) diketahui : u(x) = 3x – 2 ⇒ u’(x) = 3 v(x) = 4x + 1 ⇒ v’(x) = 4 sehingga f ' ( x ) = 3(4 x + 1) + 4(3 x − 2 ) f ' ( x ) = 12 x + 3 + 12 x − 8 f ' ( x ) = 24 x − 5
2 2. Turunan dari f ( x ) = x 2 3 x 2 + 3 x3 Penyelesaian 2 f ( x ) = x 2 3 x 2 + 3 x3
6 2x − 4
(
83 2 − 32 6 f ( x ) = x + x 2 x − 4 3
(
)
)
6 2 x − 4 adalah….
(
)
Page 6 of 21
8
maka : - u ( x) = x 3 +
5
3
2 −2 x 3
⇒ u ' ( x) =
5
− 8 3 x −x 2 3
⇒ v' ( x) = 12 x 5
- v( x) = 2 x 6 − 4 Sehingga :
5 − 83 2 − 32 8 53 6 5 2 f ' ( x) = x − x 2 x − 4 + 12 x x + x 3 3
(
23
5
)
7
5
23
7
− 16 32 f ' ( x) = x 3 − x 3 − 2 x 2 + 4 x 2 + 12 x 3 + 8 x 2 3 3 23 5 7 5 − 52 3 32 f ' ( x) = x + 6x 2 − x 3 + 4x 2 3 3 52 32 4 f ' ( x) = 3 x 23 + 6 x 7 − 3 x 5 + 3 3 x5
f ' ( x) =
(
)
1 3 5 3 18 4 x 52 x − 32 + 6 x 7 + 3 x5
Teorema 4 Turunan hasil perkalian tiga fungsi aljabar Jika f(x) merupakan fungsi hasil perkalian tiga fungsi u(x), v(x) dan w(x) maka :
f ( x ) = uvw ⇒ f ' ( x ) = u ' v + u ' w + v ' u + v ' w + w' u + w' v
Contoh Soal
(
)(
)
1. Tentukan turunan pertama dari f ( x) = (3x − 2 ) x 2 − x x 3 + 1 Penyelesaian • u ( x) = 3 x − 2 ⇒ u ' ( x) = 3
• v( x) = x 2 − x ⇒ v' ( x ) = 2 x − 1 • w( x) = x 3 + 1 ⇒ w' ( x) = 3 x 2 Sehingga
Page 7 of 21
(
) (
)
(
)
(
f ' ( x) = 3 x 2 − x + 3 x 3 + 1 + (2 x − 1)(3 x − 2 ) + (2 x − 1) x 3 + 1 + 3 x 2 (3 x − 2 ) + 3 x 2 x 2 − x 2
3
2
4
3
3
2
4
= 3x − 3x + 3x + 3 + 6 x − 7 x + 2 + 2 x − x + 2 x − 1 + 9 x − 6 x + 3x − 3x
3
= 3x 4 + 2 x 4 + 3x3 − x3 + 9 x3 − 3x3 + 3x 2 + 6 x 2 − 6 x 2 − 3x − 7 x + 2 x + 3 + 2 − 1 = 5 x 4 + 8 x3 + 3x 2 − 8 x + 4
Teorema 5 Turunan hasil pembagian dua fungsi aljabar Jika f(x) merupakan fungsi hasil bagi fungsi u(x) oleh fungsi v(x) maka :
f ( x) =
u ' ( x ) v ( x ) − v ' ( x )u ( x ) u ( x) ⇒ f ' ( x) = v( x) (v( x) )2
Contoh Soal 1. Jika f ( x) =
3x − 2 maka f’(x) = …. x+4
Penyelesaian Missal : - u ( x) = 3 x − 2 ⇒ u ' ( x) = 3 - v( x) = x + 4 ⇒ v' ( x) = 1 Sehingga : f ( x) =
3x − 2 u ' v − v' u ⇒ f ' ( x) = x+4 v2 3( x + 4) − (3 x − 2) ⇒ f ' ( x) = ( x + 4 )2 3 x + 12 − 3 x + 2 ⇒ f ' ( x) = ( x + 4 )2 14 ⇒ f ' ( x) = ( x + 4 )2
)
Page 8 of 21
x3 tentukan turunan pertama 6x2 − 2
2. Jika f ( x) =
Penyelesaian ⇒ u ' ( x)3 x 2
- u ( x) = x 3
Misal :
- v( x) = 6 x 2 − 2 ⇒ v' ( x) = 12 x f ( x) =
x3 u ' v − v' u ⇒ f ' ( x) = 2 v2 6x − 2 3 x 2 (6 x 2 − 2) − 12 x( x 3 ) ⇒ f ' ( x) = 2 6x 2 − 2
(
)
4
⇒ f ' ( x) = ⇒ f ' ( x) =
2
18 x − 6 x − 12 x 4
(6 x
2
−2
)
2
6x 4 − 6x 2
(6 x
2
−2
)
2
Teorema 6 Turunan fungsi berpangkat Jika f(x) merupakan fungsi hasil dari u(x) pangkat n, dimana n adalah bilangan rasional maka :
f ( x ) = (u ( x ) ) ⇒ f ' ( x ) = n.(u ( x ) ) .u ' ( x ) n −1
n
Contoh Soal 1. Jika f(x) = (2x – 1)3 maka nilai f ‘(x) adalah … Pembahasan • u ( x) = 2 x − 1 ⇒ u ' ( x) = 2 •n=3 f (2 x − 1) 3
⇒
f ' ( x ) = n(u ( x ) ) .u ' ( x )
⇒
f ' ( x ) = 3(2 x − 1) ( 2)
⇒
f ' ( x ) = 6(2 x − 1)
⇒
f ' ( x) = 6 4 x 2 − 4 x + 1
⇒
f ' ( x ) = 24 x 2 − 24 x + 6
n −1
3 −1 2
(
)
Page 9 of 21
2.
Jika f(x) = (2x3 – 4x2 + x )12 maka nilai f ‘(x) adalah … Pembahasan • u ( x) = 2 x 3 − 4 x 2 + x ⇒ u ' ( x) = 6 x 2 − 8 x + 1 • n = 12
⇒
f (2 x 3 − 4 x 2 + x)12
n −1
f ' ( x) = n(u ( x) ) .u ' ( x)
(
) − 96 x + 12 )(2 x 11
⇒
f ' ( x) = 12 2 x 3 − 4 x 2 + x (6 x 2 − 8 x + 1)
⇒
f ' ( x) = 72 x 2
(
)
(
3
− 4x2 + x
)
11
3
3. Jika f ( x ) = 4 3x 2 − x + 1 maka f ' ( x ) adalah … Pembahasan
(
)
3
(
3
)
• f ( x) = 4 3x 2 − x + 1 = f ( x) = 3 x 2 − x + 1 4 • u ( x) = 3 x 2 − x + 1 ⇒ u ' ( x) = 6 x − 1 3 •n= 4
(
)
f ( x ) = 4 3x 2 − x + 1
3
⇒
f ' ( x) = n(u ( x) ) .u ' ( x)
⇒
f ' ( x) =
⇒
n −1
1 − 3 2 3 x − x + 1 4 (6 x − 1) 4 3 1 f ' ( x) = (6 x − 1) 1 4 3x 2 − x + 1 4 (6 x − 1) 3 f ' ( x) = 4 4 3x 2 − x + 1
(
)
(
⇒ ⇒ ⇒
)
(
f ' ( x) = f ' ( x) =
)
3(6 x − 1)
(
)
44 3 x 2 − x + 1 18 x − 3
(
)
44 3 x 2 − x + 1
Page 10 of 21
4. Jika f ( x) = 3 (3 x 2 − 2 x + 8) maka nilai f ' (0) adalah … Pembahasan
(
)
(
• f ( x) = 3 3 x 2 − 2 x + 8 = f ( x) = 3 x 2 − 2 x + 8
1 3
)
• u ( x) = 3 x 2 − 2 x + 8 ⇒ u ' ( x) = 6 x − 2 •n=
1 3
(
f ( x) = 3 3 x 2 − 2 x + 8
)
⇒
f ' ( x ) = n(u ( x) ) .u ' ( x)
⇒
f ' ( 0) =
⇒
n −1
2 − 1 3(0) 2 − 2(0) + 8 3 (6(0) − 2) 3 −2 f ' ( 0) = 12
(
)
Teorema 7 Turunan Aturan Rantai Jika f(x) merupakan fungsi hasil komposisi antara u(x) dan g(x) dinama u(x) dan g(x) mempunyai turunan maka :
f ( x ) = u ( g ( x )) ⇒ f ' ( x ) = u ' ( g ( x ) ).g ' ( x ) Contoh Soal : 1. Jika g ( x) = 2 x + 1 dan h( x) = x 2 + 4 maka turunan dari (h o g )( x ) adalah… Penyelesaian
• g ( x) = 2 x + 1 ⇒
g ' ( x) = 2
• h( x ) = x + 4 ⇒ h' ( x ) = 2 x • (h o g )( x) = h( g ( x) ) = f ( x ) 2
Sehingga Cara I
Page 11 of 21
f ( x) = h( g ( x)) ⇒ f ' ( x) = h' ( g ( x)).g ' ( x) = 2(2 x + 1).2 = 4(2 x + 1) = 8x + 4 Cara II
f ( x) = h( g ( x)) = h(2 x + 1) 2
= (2 x + 1) + 4 = 4x 2 + 4x + 5 = 8x + 4
maka f ' ( x)
(
)
2. Turunan pertama dari f ( x) = 2 x 3 − x + 1
10
adalah…
Penyelesaian
(
)
f ( x) = 2 x 3 − x + 1
10
misal : • u ( x) = 2 x 3 − x + 1 ⇒ u ' ( x ) = 6 x 2 − 1 • g ( x) = u10
⇒
•
⇒ f ' ( x) = g ' (u ( x)).u ' ( x)
f ( x) = g (u ( x))
g ' ( x) = 10 x 9
Sehingga
(
)
f ( x) = 2 x 3 − x + 1
10
⇒
f ' ( x) = g ' (u ( x)).u ' ( x )
⇒
f ' ( x) = 10 2 x 3 − x + 1 6 x 2 − 1
⇒
Latihan soal. Tentukan turunan dari: 1. f ( x) = 2 x −3 3 2. f ( x) = 5 x 3.
f ( x) = 4 x 3
4.
f ( x) = (2 x + 1)10 (3 x − 2 )
(
(
f ' ( x) = 2 x 3
)( − x + 1) (60 x 9
9
2
) − 10 )
Page 12 of 21
5. 6.
f ( x) =
( x + 2) 2 x 2
f ( x) = x − 5 x
Page 13 of 21
Evaluasi Kegiatan pembelajaran 1 1. Jika f ( x) = 4 x 2 x maka f’(x) adalah… d. 2 x x a. 10 x x b. 8 x x
e. 2x2
c. 4 x x 2. Jika f ( x) = x 3 + x maka f’(a) adalah… 3 a +1 3a d. a. 2 a 2 a b. c.
2a + 1 2 a 3a + 1
e.
2 a 2 a +1
2 a
3. Jika f (3 x + 2) = x x + 1 maka 12 f ' (11) adalah… a. 9 d. 14 b. 11 e. 15
c. 12 4. Jika f ( x) = 2 x 3 + 9 x 2 − 24 x + 5 dan f ' ( x ) < 0 maka nilai x yang memenuhi adalah… a. − 1 < x < 4 b. 1 < x < 4 c. − 4 < x < 1 d. x < −4 atau x > 1 e. x < −1 atau x > 4
5. Jika f ( 2 x − 3) 4 x 3 + 8 maka f ' ( 2) adalah… 1 3 a. 6 d. 32 2 4 1 1 e. 33 b. 9 3 2 1 c. 16 2
Page 14 of 21
KEGIATAN PEMBELAJARAN 2
B. TURUNAN FUNGSI TRIGONMETRI Kompetensi Dasar : 6.1 Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi Trigonometri 6.2 Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah Tujuan Pembelajaran : 1. Menentukan turunan fungsi trigonometri dengan menggunakan Teorema Turunan 2. Menentukan turunan fungsi komposisi dengan aturan Rantai
Menentukan turunan fungsi trigonometri Pada prinsipnya teorema turunan fungsi trigonometri sama dengan turunan fungsi aljabar.
Teorema 8 Teorema Dasar Turunan Fungsi Trigonometri
1. f ( x ) = sin x ⇒
f ' ( x ) = cos x
2. f ( x ) = cos x ⇒
f ' ( x) = − sin x
2. f ( x ) = tan x ⇒
f ' ( x) = sec 2 x
Contoh Soal: 1. Jika y = sec x tentukan y ' Penyelesaian
y = sec x
⇒
y=
1 cos x
⇒
y = cos −1 x ⇒
y = (cos x )
−1
Page 15 of 21
y = cos −1 x diketahui : •
n = −1
•
u = cos x ⇒ u ' ( x) = − sin x n −1
y ' = n{u ( x)} .u ' ( x) y = cos −1 x ⇒
y ' = (−1) cos −1−1 x.(− sin x )
⇒
y ' = − cos − 2 x (− sin x)
⇒
sin x cos 2 x sin x y' = cos x. cos x y ' = tan x sec x
⇒ ⇒
y' =
2. Jika y = sin(3 x − 2) tentukan y ' Penyelesaian misalkan : • u ( x) = 3 x − 2 ⇒ u ' ( x) = 3 ⇒ g ' ( x) = cos u
• g ( x) = sin u
y = sin(3 x − 2) ⇒
y = sin u ⇒ y = g (u ( x))
y ' = g ' (u ( x )).u ' ( x) y ' = cos u.3 y ' = 3 cos(3 x − 2)
3. Jika f ( x) = sin 2 3 x 2 tentukan f ' ( x ) Penyelesaian
misal : ⇒ u ' ( x) = 6 x
• u ( x) = 3 x 2
⇒ g ' ( x) = 2 sin u. cos u
• g ( x) = sin 2 u •
f ( x) = sin 3 x ⇒ 2
2
f ( x) = g (u ( x))
Page 16 of 21
f ' ( x ) = g ' (u ( x)).u ' ( x) f ' ( x ) = 2 sin u cos u.6 x f ' ( x ) = 12 x sin u cos u f ' ( x ) = 12 x sin 3 x 2 cos 3 x 2 f ' ( x ) = 6 x sin 6 x
4. Jika
⇒ sifat : sin 2 x = 2 sin x cos x
2
f ( x) = 2 cos x + 3 sin 2 x maka f ' ( x) = ....
Penyelesaian f ( x) = 2 cos x + 3 sin 2 x f ' ( x ) = 2(− sin x) + 3(cos 2 x).2 f ' ( x ) = −2 sin x + 6 cos 2 x
5. Jika f ( x ) = 4 sin x cos 2 2 x tentukan turunan pertama f’(x) Penyelesaian Diketahui : • u ( x) = 4 sin x
⇒ u ' ( x) = 4 cos x
• v( x) = cos 2 2 x ⇒ misal : • p ( x) = 2 x
⇒ p ' ( x) = 2
• r ( x) = cos p ⇒ r ' ( x) = −2 cos p sin p 2
r ' ( x) = − sin 2 p • v( x) = r ( p ( x))
⇒ v' ( x) = r ' ( p ( x)). p ' ( x) ⇒ v' ( x) = − sin 2(2 x).2 ⇒ v' ( x) = −2 sin 4 x
Sehingga : f ( x) = 4 sin x cos 2 2 x ⇒ f ( x ) = u.v ⇒ f ' ( x) = u ' v + v' u ⇒ f ' ( x) = (4 cos x)(cos 2 2 x) + (−2 sin 4 x)(4 sin x) ⇒ f ' ( x) = 4 cos x cos 2 2 x − 8 sin 4 x sin x
Page 17 of 21
Latihan soal : Tentukan turunan dari fungsi berikut : 1. f(x) = sin x – 3 cos x 2. f(x) = sin 3x 3. f(x) = cos (3x + π ) 1 π 4. f(x) = tan ( x + ) 2 3 5. f(x) = sec x 6. f(x) = sin x. cos x 7. f(x) = cos2x x 8. f(x) = sin 2 x Evaluasi Kegiatan Pembelajaran 2 1. Jika w = sin 2t maka w’=…… a. cos 2t b. 2cos 2t c. sin 2t + t cos 2t d. 2t cos 2t + sin2 t e. sin 2t – t cos 2t 2. Jika f ( x) = cos 2 x + 2 sin x maka π f = .... 4 a. 2 − 2 b. 2 − 1 c. 2
d. e.
2 +1 2+2
4. Jika f ( x) = sin x cos x maka nilai dari
d.
2 3 3
e. 1
)
( ) b. 4 sin (2 x + x )cos( x − 1) c. 4 cos (2 x + x )sin (2 x + x ) d. 4(2 x + x )sin (2 x + 2 ) cos(2 x + x ) e. 2(4 x + 1) sin (2 x + x )sin (4 x + 2 x ) 2
2
3
2
2
2
3
2
3. Jika y = − x + tan x maka y ' = .... d. sec2 x a. sin2 x b. cos2 x e. cosec2 x 2 c. tan x
π f = ..... 6 1 a. 2 1 b. 2 2 1 3 c. 2
(
5. Jika f ( x) = sin 4 2 x 2 + x maka f ( x) = .... a. 4 sin 3 2 x 2 + x
2
2
2
6. Turunan pertama dari y = cos 4 x adalah.... 1 a. cos 3 x 4 1 b. − cos 3 x 4 c. − 4 cos 3 x d. − 4 cos 2 x sin x e. − 2 cos 2 x sin x 7. Jika f ( x) = cot 2 x maka f ' ( x) = .... a. − 2 cos ec 2 2 x b. c. d. e.
2 cos ec 2 2 x − 2 sin 2 2 x 2 sin 2 2 x − 2 tan 2 2 x
Page 18 of 21
C. APLIKASI TURUNAN 1. Garis Singgung Pada Kurva
y = f(x)
y
• B((a + h), f(a + h))
•A(a, f(a))
x=a
y=a
x=a+h
x
Perhatikan gambar di samping Gradien garis AB adalah y − y1 m AB = 2 x 2 − x1 f ( a + h) − f ( a ) = ( a + h) − a f (a + h) − f (a ) = h
Apabila garis AB diputar pada titik A maka titik B akan bergerak mendekati titik A(h→0) maka tali busur AB menjadi garis singgung pada kurva y = f(x) di titik A(a, f(a))dengan gradient :
f ( a + h) − f ( a ) h→0 h m g = f ' (a) m g = lim
Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik A(a, f(a)) atau A(x1, y1) adalah
y − y1 = m( x − x1 ) Contoh Soal : Diketahui kurva y = x2 – 3x + 4 dan titik A(3, 4) a. Tentukan gradient garis singgung di titik A. b. Tentukan persamaan garis singgung di titik A.
Page 19 of 21
Penyelesaian y = x 2 − 3x + 4 m = y' = 2 x − 3 a. Gradien di titik A(3, 4) m = y ' x =3 = 2(3) − 3 m=3 b. Persamaan garis singgung di titik A(3, 4) y − y1 = m( x − x1 ) y − 4 = 3( x − 3) y − 4 = 3x − 9 y = 3x − 5
Latihan soal 1. Tentukan gradien garis singgung pada kurva: a. y = x2 – 6x di titik (-1, 7)
π 1 2) b. y = sin 2x di titik ( , 2 2 2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva a. y = x2 – 2x – 3 di titik (3, 1) b. y = x - 2x2 di titik dengan absis 1 c. y = (2- x)(2x +1) di titik dengan ordinat 8 3. Suatu garis singgung pada kurva y = 3 + 2x – x2 sejajar dengan garis 4x + y = 3, tentukan : a. Titik singgung b. persamaan garis singgung
Page 20 of 21
2. Fungsi Naik Dan Fungsi Turun
y
y
f(x)
a
x1
x2
Fungsi naik
f(x)
b
a x1 x2 b Fungsi Turun
1. Fungsi f(x) disebut fungsi naik pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1 dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :
x2 > x1 ⇔ f ( x2 ) > f ( x1 ) 2. Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1 dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :
x2 < x1 ⇔ f ( x2 ) < f ( x1 ) 3. Fungsi f (x) disebut fungsi naik pada titik dengan absis a, jika f’ (a) > 0 4. Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f’(a) < 0 5. Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f’(a) < 0
Contoh Soal Tentukan pada interval mana fungsi f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4 merupakan : a. Fungsi naik b. Fungsi turun
Page 21 of 21
Penyelesaian a. Syarat fungsi naik f’(x) > 0 f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4 f’(x) = 3x2 + 18x + 15 f’(x) > 0 ⇒
3x2 + 18x + 15 > 0 x2 + 6x + 5 > 0 (x + 1)(x + 5) > 0
(-) daerah Positif
(+) Daerah Positif
x < - 5 atau x > -1
-5
(+) Daerah Positif -1
Jadi fungsi naik pada interval x < −5 atau x > −1
b. Syarat fungsi turun f’(x) < 0 f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4 f’(x) = 3x2 + 18x + 15 f’(x) < 0 ⇒
3x2 + 18x + 15 < 0 x2 + 6x + 5 < 0 (x + 1)(x + 5) < 0 − 5 < x < −1
Jadi fungsi naik pada interval − 5 < x < −1
Latiha soal 1. Tentukan pada interval mana fungsi berikut merupakan fungsi naik atau fungsi turun. a. f(x) = x2 – 6x b. f(x) =
1 3 x + 4x2 – 20x + 2 3
c. f(x) = (x2 - 1)(x+1) 2. Tunjukkan bahwa fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 12x + 6 tidak pernah turun.
