BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Matematika dasar II merupakan matakuliah lanjutan dari matematika dasar I yang telah dipelajari pada semester sebelumnya. Matematika dasar II juga merupakan matakuliah pengantar bagi beberapa jurusan yang akan mempelajari mengenai matematika terapan misalnya Fakultas Teknik. Jika awalnya dari matematika dasar mahasiswa sulit untuk memahaminya maka pada matematika terapan mahasiswa juga akan mengalami kesulitan. Proses perkuliahan di kampus sangatlah minim, karena waktu yang tidak cukup dan banyak mahasiswa yang malas masuk kuliah. Sehingga mahasiswa sangat di tuntut untuk memiliki keterampilan didalam mempelajari sendiri semua materi yang dipelajari. Dengan didukungnya sistem perkuliahan SCL maka mahasiswa sangat dituntut aktif dalam perkuliahan maupun aktif mencari bahan materi yang akan di pelajari. Makalah ini merupakan salah satu syarat didalam mengikuti atau melakuakan diskusi dalam perkuliahan. Sehingga pemahaman terhadap bahan kuliah menjadi maksimal.
B. Tujuan 1. Menjelaskan pengunaan aturan rantai; 2. Menjelaskan penyelesaian turunan parsial fungsi implisit; 3. Menjelaskan penyelesaian diferensial total.
C. Manfaat 1. Mahasiswa dapat memahami penyelesaian turunan dengan aturan rantai baik itu dua variabel maupun banyak variabel; 2. Mahasiswa dapat memahami penyelesaian turunan parsial fungsi implisit dua variabel atau lebih; 3. Mahasiswa dapat memahami penyelesaian diferensian total dua variabel atau lebih.
1 Kelompok II, Teknik Elektro, Unhas
BAB II PEMBAHASAN A. Aturan Rantai Aturan rantai merupakan suatu aturan yang digunakan untuk mencari Turunan fungsi komposisi .
1. Aturan rantai dua variabel Misalkan u adalah fungsi dua peubah dari x dan y yang terdiferensial, didefinisikan melalui persamaan u= f(x,y) , x= F(r,s) dan y= G(r,s) serta turunan – turunan parsial dx/dr, dx/ds, dy/dr, dy/dr semuanya ada, maka u adalah fungsi dari r dan s maka diperoleh rumus aturan rantai yaitu: 𝑑𝑢 𝑑𝑟 𝑑𝑢 𝑑𝑠
= =
𝑑𝑢 𝑑𝑥
+
𝑑𝑥 𝑑𝑟 𝑑𝑢 𝑑𝑥
+
𝑑𝑥 𝑑𝑠
𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑟 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑠
Contoh: Diketahui u= x2 + y2 ; x= re s ; dan y= re –s Maka tentukanlah: 𝑑𝑢 𝑑𝑥
,
𝑑𝑢 𝑑𝑦
,
𝑑𝑥 𝑑𝑟
,
𝑑𝑥 𝑑𝑠
,
𝑑𝑦 𝑑𝑟
,
𝑑𝑦 𝑑𝑠
,
𝑑𝑢 𝑑𝑟
, dan
𝑑𝑢 𝑑𝑠
Jawab: 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑠 𝑑𝑢 𝑑𝑟 𝑑𝑢 𝑑𝑠
𝑑𝑢
= 2x
𝑑𝑦
= es
𝑑𝑦
= res
𝑑𝑦
= =
𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑟 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑠
𝑑𝑟
𝑑𝑠
+ +
𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑟 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑠
= 2y = e-s = - re-s
=( 2x)(es) + (2y)( e-s) = 2xes + 2ye-s
=(2x)( res)+ (2y)( - re-s) = 2x res - 2y re-s
= r (2xes - 2ye- s )
2 Kelompok II, Teknik Elektro, Unhas
2. Aturan rantai tiga variabel Jika x=x(t) , y=y(t), dan z=z(t) fungsi yang differensiabel di t, dan w=f(x,y,z) diferensiabel di titik (x(t), y(t), z(t)), maka w=f(x(t),y(t),z(t)) differensiabel di t, dan
dw w dx w dy w dz dt x dt y dt z dt Contoh: Jika diketahui U= 3x2 + 5y2 + 2z2 dengan x= 3s2 + 2t , y= 4s- 2t3, z= 2s2 – 3s2 Maka tentukanlah
𝑑𝑢 𝑑𝑠
dan
𝑑𝑢 𝑑𝑡
Jawab: 𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑠
= 6𝑥
= 6𝑠
𝑑𝑢 𝑑𝑦
𝑑𝑦 𝑑𝑠
𝑑𝑢
= 10𝑦
=4
𝑑𝑧 𝑑𝑠
𝑑𝑧
= 4𝑠
= 4𝑧
𝑑𝑥 𝑑𝑡
𝑑𝑦
=2
𝑑𝑡
= −6𝑡 2
𝑑𝑧 𝑑𝑡
= −6𝑡
𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑧 = + + = 6𝑥 6𝑠 + 10𝑦 4 + 4𝑧 4𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑠 𝑑𝑦 𝑑𝑠 𝑑𝑧 𝑑𝑠 = 36𝑥𝑠 + 40𝑦 + 16𝑧𝑠 = 𝑠4 9𝑥 + 4𝑧 + 40𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑡
=
𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡
+
𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡
+
𝑑𝑢 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑡
= 6𝑥 2 + 10𝑦 (−6𝑡 2) + (4Z)(-6t) = 8𝑥 − 60𝑦𝑡 2−24𝑧𝑡 = 8𝑥 − 10𝑦𝑡 + 4𝑧 6𝑡
3. Aturan rantai n variabel Misalkan u adalah fungsi terdiferensian dari n peubah x1 , x2 , …… xn; sedangkan masing – masing peubah x1 adalah fungsi dari m peubah y1 , y2 , ….. ym . Jika semua turunan parsial
𝑑𝑥𝑖 𝑑𝑦𝑗
(𝑖 = 1,2, 𝐾, 𝑛; 𝑗 = 1,2, 𝐾, 𝑚) ada, maka u adalah fungsi
dari y1 , y2 , ….. ym . jadi dapat kita peroleh rumus berikut: 𝑑𝑢 𝑑𝑦 1
𝑑𝑢 𝑑𝑥 1
𝑑𝑢 𝑑𝑥 2
𝑑𝑢 𝑑𝑥𝑛
= 𝑑𝑥 1 𝑑𝑦 1 + 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 1 + ⋯ + 𝑑𝑥𝑛
𝑑𝑦 1
𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥1 𝑑𝑢 𝑑𝑥2 𝑑𝑢 𝑑𝑥𝑛 = + + ⋯+ 𝑑𝑦2 𝑑𝑥1 𝑑𝑦2 𝑑𝑥2 𝑑𝑦2 𝑑𝑥𝑛 𝑑𝑦2 ……………………….
3 Kelompok II, Teknik Elektro, Unhas
𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥1 𝑑𝑢 𝑑𝑥2 𝑑𝑢 𝑑𝑥𝑛 = + +⋯+ 𝑑𝑦𝑚 𝑑𝑥1 𝑑𝑦𝑚 𝑑𝑥2 𝑑𝑦𝑚 𝑑𝑥𝑛 𝑑𝑦𝑚
B. Turunan Parsial Fungsi Implisit 1. Turunan fungsi implisit dua variabel Hasil ini digunakan untuk mencari turunan fungsi implisit. Andaikan F(x,y)=0, dimana y fungsi implisit dari x, sehingga bisa dicari F dy x F dx y asalkan
𝑑𝐹 𝑑𝑦
𝑑𝑥 𝑑𝐹 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑑𝐹 𝑑𝑦
+ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 atau
≠0
Contoh: Diketahui x3 + y2 x- 3= 0 tentukan
𝑑𝑦 𝑑𝑥
..!
Jawab: 𝑑
𝑑0
(x3 + y2 x- 3)= 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦
3x2 + 2xy𝑑𝑥 + y2 = 0 𝑑𝑦
2xy
𝑑𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥
= - 3x2 - y2
=(- 3x2 - y2) / 2xy = - (3x2+ y2)/2xy
2. Turunan fungsi implisit tiga variabel Jika F(x,y,z)=0 fungsi implisit, fungsi dua variabel x dan y
differensiabel
sedemikian hingga z=f(x,y), untuk setiap x,y dalam domain fungsi, maka
F ( x, y , z ) z x x Fz ( x, y, z )
Fy ( x, y, z ) z y Fz ( x, y, z )
Contoh: 𝑑𝑧
𝑑𝑧
Tentukan 𝑑𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑑𝑦 dari fungsi implisit xy – z2 + 2xyz = 0 Jawab:
4 Kelompok II, Teknik Elektro, Unhas
a.
𝑑
𝑑0
𝑑𝑥
(xy – z2 + 2xyz) =𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑜
c. 𝑑𝑧 (xy – z2 + 2xyz) = 𝑑𝑧 = 2xy – 2z
Y+ 2yz 𝑑
b.
𝑑𝑦
Jadi
𝑑0
(xy – z2 + 2xyz) = 𝑑𝑦 = x + 2xz
𝑑𝑧 𝑑𝑥
𝑦+2𝑦𝑧
𝑑𝑧
𝑥+2𝑥𝑧
= − 2𝑥𝑦 −2𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑑𝑦 = − 2𝑥𝑦 −2𝑧
Contoh: 𝑑𝑧
Misalkan f(x,y,z) = x3 ey+z – ysin (x-z)=0 maka tentukan 𝑑𝑥 Jawab: 𝑑 𝑑𝑥
𝑑0
(x3 ey+z – ysin (x-z))=𝑑𝑥
= 3x2 ey+z – ycos (x-z) 𝑑 𝑑𝑧
𝑑0
(x3 ey+z – ysin (x-z))=𝑑𝑧
= x3 ey+z + ycos (x-z) 𝑑𝑧
Jadi 𝑑𝑥 = −(3x2 ey+z – ycos (x-z))/ x3 ey+z + ycos (x-z)
3. Turunan fungsi implisit empat variabel Jika F(x,y,z,w)=0 fungsi implisit, fungsi tiga variabel x, y dan z diferensiabel sedemikian hingga w=f(x,y,z), untuk setiap x,y dan z dalam domain fungsi, maka
F ( x, y, z, w) w x x Fw ( x, y, z, w) Fy ( x, y, z, w) w y Fw ( x, y, z, w)
w F ( x, y, z, w) z z Fw ( x, y, z, w) Contoh: Tentukan
𝑑𝑤 𝑑𝑤 𝑑𝑥
𝑑𝑤
, 𝑑𝑦 , 𝑑𝑎𝑛 𝑑𝑧 dari fungsi implisit 2x2w + 3y2z + zwyx + w2 = 0
Jawab:
5 Kelompok II, Teknik Elektro, Unhas
𝑑
𝑑𝑜
(2x2w + 3y2z + zwyx + w2)= 𝑑𝑥 = 4𝑥𝑤 + 𝑧𝑤𝑦
𝑑𝑥 𝑑
𝑑𝑜
(2x2w + 3y2z + zwyx + w2) = 𝑑𝑥 = 6𝑦𝑧 + 𝑧𝑤𝑥 𝑑𝑦 𝑑 𝑑𝑧
𝑑0
(2x2w + 3y2z + zwyx + w2)= 𝑑𝑧 = 3y2 + wyx
𝑑 𝑑𝑤
𝑑0
(2x2w + 3y2z + zwyx + w2)= 𝑑𝑤 = 2x2 + zyx +2w
Jadi: 𝑑𝑤 𝑑𝑥
= − (4𝑥𝑤 + 𝑧𝑤𝑦) / 2x2 + zyx +2w
𝑑𝑤 = 𝑑𝑦
− (6𝑦𝑧 + 𝑧𝑤𝑥)/ 2x2 + zyx +2w
𝑑𝑤 = 𝑑𝑧
- ( 3y2 + wyx)/2x2 + zyx +2w
C. Diferensial Total 1. Diferensial total dua variabel Misalkan z= f(x,y), dengan f suatu fungsi yang terdeferensial, dan andaikan dx dan dy disebut diferensial dari x dan y. diferensial dari peubah tak bebas dz disebut juga diferensial total dari f dan ditulis df(x,y), maka dapat didefenisikan sebagai berikut: 𝑑𝑧 = 𝑑𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 Contoh: 1). Misalkan z = x2y2 + x3 +y3x maka tentukanlah diferensial totalnya. Jawab 𝑑𝑧 = 𝑑𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = (2xy2 + 3x2 + y3 ) dx + (2x2y +3y2x)dy
2). Tentukan diferensial total untuk
z= e- ½ (x + Y)
Jawab: 𝑑𝑧 = 𝑑𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = ( - ½ e – ½ (x + y ))dx + (-1/2 e-1/2( x + y ))dy
6 Kelompok II, Teknik Elektro, Unhas
2. Diferensia total tiga variabel Misalkan fungsi w = f(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah, maka diferensia total dari f dinyatakan dalam bentuk 𝑑𝑤 =
𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
Contoh: 1). Carilah diferensial total dari w= 2x2 y + y2 x z +xz2 Jawab: 𝑑𝑤 =
𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
= (4xy +y2z +z2)dx + (2x2 + 2yxz) dy + (y2x + 2 xz) dz 2). Suatu balok mempunyai panjang 20 cm dengan kesalahan pengukuran 0,01 cm , lebar 15 cm dengan kesalahan pengukuran 0,02 cm dan tinggi 10 cm dengan kesalahan pengukuran 0,01 cm. tentukanlah nilai pendekatan kesalahan pengukuran terbesar dari volume balok serta tentukan kesalahan relatifnya dalam persentase! Jawab: Misalkan panjang balok = x, lebar = y, dan tinggi = z, maka volume balok = x y z. nilai kesalahan sesungguhnya adalah ∆𝑉 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑉 sebagai nilai pendekatan untuk ∆𝑉. Jadi 𝑑𝑉 =
𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
= 𝑦𝑧 𝑑𝑥 + 𝑥𝑧 𝑑𝑦 + 𝑥𝑦 𝑑𝑧 Diketahui ∆𝑥 = 0,01 , ∆𝑦 = 0,02 𝑑𝑎𝑛 ∆𝑧 = 0,01 jadi kesalahan pengukuran pada panjang balok dx = 0,01 lebar dy= 0,02 dan tinggi =0,01. Jadi 𝑑𝑉 = 𝑦𝑧 𝑑𝑥 + 𝑥𝑧 𝑑𝑦 + 𝑥𝑦 𝑑𝑧 =
15 10 0,01 + 20 10 0,02 + 20 15 0,01
= 1,5 + 4 + 3 = 8,5 𝑐𝑚 Jadi ∆𝑉 ≅ 8,5 𝑐𝑚3 artinya kesalahan terbesar yang mungkin terjadi pada pengukuran volume balok adalah 8,5 cm3. Kemudian diketahui: 𝑉 = 𝑥𝑦𝑧 = 20 15 10 = 3000 𝑐𝑚3 Jadi kesalahan relative dari pengukuran volume balok adalah 7 Kelompok II, Teknik Elektro, Unhas
∆𝑉 8,5 100% = 100% = 0,0028 x 100% = 0,28% 𝑉 3000
3. Diferensial total n variable Jika z = f( x1 , x2,…. xn ) maka 𝑑𝑧 =
𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑥1 + 𝑑𝑥2 + … . + 𝑑𝑥 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥𝑛 𝑛
Jika
f(x1 , x2,…. xn ) = c maka df = 0,
catatan x1 , x2,…. xn bukan merupakan variabel independent.
8 Kelompok II, Teknik Elektro, Unhas
BAB III PENUTUP A. Kesimpulan 1. Aturan rantai
Aturan rantai dua variabel 𝑑𝑢 𝑑𝑟
= 𝑑𝑥
𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑟
+ 𝑑𝑦
𝑑𝑢 𝑑𝑠
=
𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑟
𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑠
+
𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑠
Aturan rantai tiga variabel dw w dx w dy w dz dt x dt y dt z dt
Aturan rantai n variabel 𝑑𝑢 𝑑𝑦 1
=
𝑑𝑢 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 1 𝑑𝑦 1
+
𝑑𝑢 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 1
+ ⋯+
𝑑𝑢 𝑑𝑥𝑛 𝑑𝑥𝑛 𝑑𝑦 1
𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥1 𝑑𝑢 𝑑𝑥2 𝑑𝑢 𝑑𝑥𝑛 = + + ⋯+ 𝑑𝑦2 𝑑𝑥1 𝑑𝑦2 𝑑𝑥2 𝑑𝑦2 𝑑𝑥𝑛 𝑑𝑦2
………………………. 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥1 𝑑𝑢 𝑑𝑥2 𝑑𝑢 𝑑𝑥𝑛 = + + ⋯+ 𝑑𝑦𝑚 𝑑𝑥1 𝑑𝑦𝑚 𝑑𝑥2 𝑑𝑦𝑚 𝑑𝑥𝑛 𝑑𝑦𝑚
2. Turunan Parsial Fungsi Implisit D. Turunan fungsi implisit dua variable
E. Turunan fungsi implisit tiga variable
F dy x F dx y Fx ( x, y, z ) z x Fz ( x, y, z )
Fy ( x, y, z ) z y Fz ( x, y, z )
F. Turunan fungsi implisit empat variable
Fy ( x, y, z, w) w y Fw ( x, y, z, w)
F ( x, y, z, w) w x x Fw ( x, y, z, w) 3.Diferensial total
w F ( x, y, z, w) z z Fw ( x, y, z, w)
Diferensial total dua variabel
𝑑𝑧 = 𝑑𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
Diferensia total tiga variabel
𝑑𝑤 =
𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
9 Kelompok II, Teknik Elektro, Unhas
Diferensial total n variable
𝑑𝑧 =
𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑥1 + 𝑑𝑥2 + … . + 𝑑𝑥 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥𝑛 𝑛
B. Saran Saran dari kelompok kami buat Dosen, agar kiranya mengajarkan kembali dasar – dasar materi yang ada dalam makalah ini, karena masih banyak mahasiswa yang belum memahami dasar – dasar yang mestinya diketahui sebelum mempelajari makalah ini. Sehingga sulit buat mahasiswa yang lain menguasai materi yang ada dalam makalah ini. Saran buat teman – teman mahasiswa, supaya kiranya lebih banyak belajar sendiri mengenai isi makalah ini karena waktu yang kita gunakan tidak akan cukup untuk kita menguasai seluruh isi makalah ini. Dan juga di saat proses perkuliahan berlangsung kiranya teman – teman memperhatikan dengan sungguh –sungguh agar apa yang kita pelajari saat itu bisa kita pahami secara maksimal.
10 Kelompok II, Teknik Elektro, Unhas
DAFTAR PUSTAKA Team dosen matematika. 2010. Matematika dasar II. Makassar: Unhas. http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensial.html http://www.mascipul.com/2009/11/free-download-materi-kalkulus-materimatematika.html http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus.html http://www.mediafire.com/?2y5izytydnq http://www.mediafire.com/?zzk1qmdwx1y
11 Kelompok II, Teknik Elektro, Unhas
