BAB 8. ANALISIS OUTPUT Tujuan Instruksional Umum Tujuan Instruksional Khusus
Mahasiswa dapat menguraikan output simulasi untuk digunakan oleh pengambil keputusan 1. Mahasiswa dapat menguraikan tujuan analisis output 2. Mahasiswa dapat menguraikan permasalahan analisis output model simulasi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan sistem terminating dan nonterminating. 4. Mahasiswa dapat menguraikan output sistem terminating. 5. Mahasiswa dapat menguraikan output sistem nonterminating
8.1. Pendahuluan Setelah praktisi simulasi menentukan altematif desain eksperimental, perhatian selanjutnya adalah tahap analisis proyek simulasi. Fungsi tahap ini adalah memfasilitasi praktisi simulasi informasi yang diperlukan untuk memberikan rekomendasi keputusan yang berkaitan dengan tujuan proyek. Fase ini secara statistik mernpakan fase yang paling menantang bagi praktisi simulasi. Review statistik dasar sebelum melakukan tahap analisis akan sangat bermanfaat (Johnson et aI., 1999;Law dan Kelton, 2000). Namun, fungsi statistik siap pakai yang ada dalam Excel dan alat analisis statistik lainnya yang ditemukan di sebagian besar paket perangkat lunak simulasi khusus membantu praktisi untuk tidak mengalami kesulitan dalam fase ini. Langkah demi langkah proses yang dijelaskan dalam bab ini diharapkan memberikan bimbingan berharga bagi praktisi terlepas dari keterampilan penggunaan alat statistik praktisi saat ini. Bab ini dibagi menjadi dua bagian utama berdasarkanjenis sistem yang praktisi analisis. Bagian pertama mencakup analisis statistik untuk pendekatan sistem terminating. Bagian kedua meliputi analisis statistik untuk pendekatan sistem nonterminating. Perbedaan Dalam review, sistem terminating memiliki peristiwa alami yang mengakhiri periode simulasi. Sistem terminasi juga benar-benar bersih dari entitas antara periode simulasi. Contoh dari sistem terminating adalah operasional sebuah restoran selama periode makan siang. Waktumakan siang adalah satu-satunya waktu yang menarik, dan setiap periode makan siang, para pelanggan barn akan datang. Sebaliknya, sistem nonterminating tidak memiliki kejadian alami
203
--
-
yang mengakhiri periode operasional dan berjalan selamanya atau kalaupun punya keJadlan yang mengakh~ntetapi tidak benar-benar bersih dari entitas antara periode. Contoh dari sistem nonterminating adalah sistem manufaktur. Sistem berjalan terns menerns atau berhenti setelah ada pernbahan. Jika sistem berhenti setelah ada pernbahan, kerja akan mulai pada awal shift berikutnya untuk setiap produk yang masih dalam proses. 8.1.1TujuanAnalisis Output Dari awal kita sudah memahami bahwa langkah awal dan penting dalam analisis simulasi adalah mendefinisikan dengan jelas pertanyaan model simulasi yang diharapkan untuk dijawab. Analis harns selalu mempunyai pemahaman yang jelas pertanyaan apa yang harns dijawab ketika analisis diselesaikan dan menggunakan pertanyaan sebagai arahan melakukan analisis data, pengembangan model, validasi dan analisis output. Tujuan dari analisis output oleh karenanya adalah menjawab pertanyaan yang diajukan di awal pembentukan model dengan benar. Bentuk pertanyaan mengindikasikan pengujian hipotesis, selang kepercayaan atau pendugaan parameter. Kita kembali ke simulasi sistem komputer time-shared. Kita asumsikan bahwa waktu aktif server adalah 24jam sehari. Pertanyaan-pertanyaan yang mungkin perlu untuk dijawab analis adalah: 1. Berapa lama seorang pengguna harns menunggu untuk terkoneksi dengan sistem? 2. Berapa persen pengguna yang menunggu? 3. Berapa peluang bahwa pengguna akan menunggu lebih dari 1 menit untuk terkoneksi? 4. Berapa rata-rata pengguna yang menunggu terkoneksi? 5. Berapa rata-rata waktu seorang pengguna terkoneksi dalam setiap koneksi yang dibuat? 6. Apakah dengan menambah jumlah port akan dapat mengurangi waktu menunggu koneksi pengguna secara signifikan? 7. Apakah dengan memperbesar memori CPU akan dapat mengurangi waktu menunggu koneksi pengguna secara signifikan? 8. Apakah dengan mempercepat transmisi akan dapat mengurangi waktu menunggu koneksi pengguna secara signifikan? 9. Berapa waktu rata-rata port kosong? 10. Berapa banyak waktu menunggu akan naik jika pemanggilan pengguna bertambah 10%?
204
Dan banyak lagi pertanyaan yang mungkin diajukan sesuai dengan kebutuhan analisis. Jika model dirancang dengan benar, setiap pertanyaan itu akan dapat dijawab tetapi mungkin membutuhkan data yang berbeda yang hams dikumpulkan selama penjalanan simulasi. Untuk menjawab pertanyaan itu dengan benar, analis hams memutuskan berapa lama simulasi akan dijalankan, mengontrol laju kedatangan dan waktu terkoneksi, dan keakuratan statistikjawaban (tingkat kesalahan yang biasa disebut dengan signifikansi dalam statistik). 8.1.2. PermasalahanAnalisis Output Model Simulasi Untuk menggambarkan permasalahan analisis output model simulasi kita kembali ke model sistem komputer time-shared. Kita mengasumsikan (berdasarkan data historis atau perhitungan lainnya) bahwa laju pemanggilan pengguna untuk koneksi ke sistem adalah 75 per jam dan waktu rata-rata terkoneksi 35 menit. Kedua waktu ini (pemanggilan dan koneksi) berdistribusi secara eksponensial. Kapanpun kita melakukan analisis data statistik, asumsi tentang proses darimana data itu ditarik dan pengamatannya hams dibuat. Jika asumsi yang dibuat tidak benar, maka akan dihasilkan kesimpulan karakteristik dan perilaku proses yang tidak benar. Ketika menganalisis data statistik adalah umum menggunakan asumsi: 1. Pengamatan saling bebas. 2. Waktuproses bervariasi. 3. Untuk pengamatan dalamjumlah besar (lebih besar atau sarnadengan 30), ratarata sampel menyebar normal. Jika ketiga asumsi ini dipenuhi, maka titik penduga rata-rata dan ragam waktu menunggu pengguna dalam antrian untuk koneksi adalah: Rata-rata
1
n
W=-Lw; n ;=1
Ragam
(1)
(2)
Dimana Wi adalah waktu menunggu pengguna ke-i untuk terkoneksi. Jika pengamatan besar (n ~ 30), maka waktu menunggu rata-rata dapat diduga untuk tingkat kepercayaan 95% sebagai berikut:
p~(w)= W:t 1.96s/J;;} 0.95
205
(3)
----
---
---
Sayangnya, dalam simulasi kejadian diskrit semua asumsi itu pada umumnya tidak benar. Untuk kasus sistem komputer time-shared yang juga merupakan kasus antrian, sebelum melanjutkan analisis waktu menunggu yang dihasilkan dari simulasi, karena laju pemanggilan dan waktu terkoneksi berdistribusi eksponensial, kita dapat menggunakan model antrian analitik untuk mendapatkan rata-rata, ragam dan selang kepercayaan. Untuk menggunakan model antrian analitik, kita harus membatasi terlebih dahulujumlah server (dalam hal ini port) paralel yang digunakan. Model antrian yang cocok dengan model sistem komputer time-shared ini adalah MIMIC. Rata-rata waktu menunggu, ragam dan selang kepercayaan dengan model analitik, untuk rumus yang digunakan dapat dilihat di buku-buku Penelitian Operasional. Penyelesaian sederhana untuk permasalahan data berkorelasi dan dinamis adalah melakukan simulasij amak dan salingbebas. Sistem terminating vs nonterminating Semua sistem dinamis dapat dikategorikan sebagai sistem terminating atau nonterminating. Sistem diklasifikasikan terminating jika kejadian yang menggerakkan sistem menghentikan kejadian dalam suatu waktu tertentu, sedangkan sistem diklasifikasikan nonterminating jika kejadian diskrit terjadi berulang-ulang tanpa batasan. Mungkin ada sesi kejadian berulang yang disebut dengan regenerasi dalam sistem terminating, tetapi setiap sesi itu akan mulai dari awallagi. Dalam sistem kejadian diskrit terminating, suatu kejadian TEmenandai akhir dari suatu sesi. Kejadian T E mungkin selalu terjadi pada waktu yang sarna, selama setiap sesi, atau waktu kejadiannya mungkin variabel acak. Dalam sistem terminating, status akhir sesi sebelumnya tidak mempengaruhi status awal sesi berikutnya. Sebaliknya dalam sistem nonterminating, kejadian diskrit menggerakkan sistem terjadi terus tanpa batas. Bagian tunggal sistem berlangsung terus tanpa batas dan tidak ada kejadian yang mengakhiri. Adalah penting untuk membedakan sistem terminating atau nonterminating, karena masing-masing menggunakan metode analisis output berbeda. Perlu diperhatikan juga perbedaan antara sistem dan simulasi sistem. Setiap simulasi merupakan proses terminating tetapi tidak semua sistem bersifat terminating. Untuk setiap simulasi, selanjutnya kita perlu membedakan apakah simulasi steady-state (status stabil) atau transient (sementara). Cara menganalisis output model simulasi tergantung dari keadaan sistem (terminating atau nonterminating) dan karakteristik perilakunya (steady-state atau transient). 206
1.
2.
3.
4.
Contoh-contoh sistem terminating: Banle bank buka setiap hari darijam 9.00 pagi dengan keadaan awal tidak ada nasabah dan ditutup jam 4.00 sore dan menyelesaikan layanan nasabah yang terakhir ada di antrian. Lama setiap sesi (hari) akan berbeda (tergantung dari jumlah nasabah yang masih mengantri j am 4.00 sore itu) tetapi setiap hari akan selalu dimulai dan diakhiri dengan tidak ada nasabah dalam antrian. Kejadian yang mengakhiri adalah penyelesaian pelayanan nasabah terakhir. Dalam simulasi seperti ini kita akan menyukai memilih mengukur kinerja yang menaksir waktu rata-rata semua nasabah menunggu, sarna halnya dengan waktu rata-rata nasabah tiba pada waktu berbeda setiap harinya. Sistem komputer: sistem komputer mulai bekerja pagi hari ketika pengguna pertama masuk ke dalam sistem (log on), dan berakhir ketika pengguna terakhir hari itu keluar dari sistem (log oft). Meskipun selama detik-detik akhir dan jam-jam lebih awal kadang-kadang pengguna mungkin akan masuk ke sistem (log on), perhatian kita hanya selama jam kerja normal dan kinerja sistem selama bukanjam kerja tidak diperhatikan. Setiap sesi mungkin mulai jam 8.00 pagi dengan sejumlah acak pengguna (sudah masuk lebih awal dalam sistem) dan sesi diakhiri ketika pengguna terakhir keluar dari sistemjam 5 sore. Ukuran kinerja yang mungkin adalah jumlah rata-rata pengguna terhubung ke sistem pada waktu yang berbeda dalam satu hari, peluang seorang pengguna tidak bisa masuk ke dalam sistem dalam waktu berbeda dalam satu hari,jumlah rata-rata pengguna yang terhubung ke sistem setiap hari dan peluang total seorang pengguna tidak dapat terhubung ke sistem. Permainan peluang: dua pemain melempar dua koin. Jika kedua koin sarna (menunjukkan kepala atau ekor), pemain pertama akan memenangkan satu dolar. Jika satu koin menunjukkan kepala dan satunya lagi ekor, maka pemain kedua akan memenangkan satu dolar. Permainan berlangsung selama satujam atau sampai salah satu pemain kehabisan uangnya. Lama satu sesi oleh karenanya adalah satujam atau sampai keadaan dimana salah satu pemain tidak dapat melanjutkan karena sudah kehabisan uang. Kejadian yang mengakhiri terjadi ketika salah satu pemain memenangkan uang terakhir pemain lainnya atau satu jam telah berlangsung. Ukuran kinerja bisa berupa rata-rata waktu permainan dan peluang memenangkan permainan. Inventori komponen: seorang produsen membeli mesin berfungsi tunggal (special-purposes machine) bersamaan dengan 5 komponen pengganti untuk komponen mesin kritis. Mesin akan digunakan selama 2 tahun mendatang. Jika komponen kritis rusak, komponen itu akan digantikan. Pengusaha itu tidak akan mendapatkan komponen pengganti dengan cepat dan dengan biaya murah setelah pembelian awal itu. Lama setiap sesi oleh karenanya adalah 2
207
----
5.
---
---
tahun atau sampai kelima komponen pengganti sudah rusak. Kejadian yang mengakhiri adalah waktu 2 tahoo atau sampai kelima komponen rusak, tergantung yang mana yang terjadi lebih dulu. Ukuran kinerja sistem bisa berupa peluang komponen akan bertahan selama 2 tahun dan waktu rata-rata sistem beroperasi. Sistem basis data: dalam basis data terkomputerisasi data didistribusikan di dalam beberapa file. Data dihubungkan menggunakan field kunci dan pointer. Ketika pertanyaan basis data terjadi, pencarian dilakukan di semua berkas yang mengandung data menggunakan field kunci dan pointer untuk mencari lokasi data yang diminta. Kejadian yang mengakhiri adalah lokasi data yang dibutuhkan. Ukuran kinerja termasuk jumlah rata-rata file yang diakses dan waktu rata-rata menemukan lokasi.
8.2. Pendugaan Parameter Salah satu metode statistik yang digunakan dalam analisis output simulasi adalah pendugaan parameter. Topik ini sebenamya sudah dibahas dengan mendetail dalam mata kuliah Statistik. Untuk tujuan penyegaran, kita akan bahas ulang secara umum dalam bagian ini. Tujuan mempelajari sistem pada umumnya adalah mempelajari dan mengukur parameter sistem. Kita perlu mengetahui efisiensi sistem melalui kinerja sistem. Kinerja merupakan parameter sistem. Kalau kita kembali ke contoh komputer time shared, parameter sistemnya diantaranya adalah waktu menunggu rata-rata per klien, jumlah klien rata-rata yang menunggu pada periode tertentu, dan lain-lain. Ingat kembali istilah-istilah yang digunakan dalam pendugaan parameter. Kita menduga selang nilai untuk suatu parameter pada tingkat/level kepercayaan tertentu, sehingga selang nilai yang kita duga disebut sebagai selang kepercayaan. Ada tingkat/level kepercayaan, yang bisa berkisar dari 0 sampai 1 atau dari 0% sampai 100%. Level kepercayaan semakin mendekati 0, semakin besar kesalahan yang bisa diterima. Semakin mendekati 100%, semakin kecil kesalahan yang bisa diterima. Kesalahan yang bisa diterima ini dinyatakan dengan taraf nyata (a). Dalam konteks pendugaan parameter untuk sistem komputer time-shared, praktisi mungkin perlu memperkirakan kisaran rata-rata waktu menunggu, kisaran waktu dalam sistem, kisaran utilitas server, dan lain-lain. 8.3. Pengujian Hipotesis Sarna halnya dengan pendugaan parameter sistem, pengujian hipotesis merupakan teknik statistik yang digunakan untuk menganalisis output simulasi. Jika
208
pada pendugaan parameter kita membuat selang kepercayaan untuk parameter sistem, maka pada pengujian hipotesis kita menguji pemyataan parameter sistem yang diragukan kebenarannya. Pengujian hipotesis juga sudah dibahas secara mendalam pada mata kuliah Statistik. Kita akan membahasnya lagi dalam bagian ini hanya untuk menyegarkan kembali ingatan akan teknik uji hipotesis. 8.4. Output Sistem Terminatingdan non Terminating Proses analisis sistem terminating terdiri dari langkah-langkah berikut: 1. 2. 3. 4.
Analisis replikasi Menjalankan simulasi Analisis statistik hasil penjalanan simulasi Analisis ekonomi hasil analisis statistik
Analisis replikasi mempakan penentuan jumlah ulangan atau penjalanan simulasi yang diperlukan untuk menganalisis statistik perbedaan antara modelmodel simulasi. Penjalanan simulasi terdiri dari tahapan penyelesaian jumlah penjalanan simulasi yang ditentukan praktisi melalui analisis replikasi. Analisis statistik penjalanan simulasi akan menafsirkan tingkat perbedaan antara altematif desain eksperimental. Terakhir, analisis ekonomi menempatkan hasil analisis statistik dalam perspektif dari teknik perspektif ekonomi atau bisnis. Berbeda dengan sistem terminating, model sistem nonterminating menggunakan penjalanan satu replikasi panjang. Akibatnya, prosedur analisis secara signifikan berbeda dari sistem terminating. Analisis sistem nonterminating terdiri dari kondisi awal, penentuan kondisi seimbang, pemeriksaan otokorelasi, panjang replikasi, dan metode batch. Kondisi awal mengacu ke prosedur inisialisasi penjalanan simulasi. Dalam penentuan kondisi mapan (steady state) juga dilakukan penghilangan data kinerja transien yang tidak representatif yang ada pada awal simulasi dijalankan. Hal ini memastikan bahwa keadaan-tetap tersisa akan merepresentasikan kinerja sistem yang sebenamya. Otokorelasi adalah korelasi antara pengamatan kinerja berurutan. Ini hams diatasi sehingga varians pada data keluaran tidak diestimasi lebih kecil. Karena sistem nonterminating hanya menjalankan satu analisis data, kita hams menentukan berapa lama sehamsnyajangka waktu penjalanan simulasi.
209
----
---
---
Akhimya, perlu membagi satu jangka panjang ke beberapa batch untuk memfasilitasi perbandingan statistik antara sistem nonterminating. Meskipun praktisi mungkin tertarik dalam menganalisis suatu sistem nonterminating, praktisi masih disarankan untuk memeriksa bagian analisis sistem terminating. Hal ini karena beberapa prosedur analisis terminating masih diperlukan untuk menganalisis statistik model sistem nonterminating. 8.4.1. Analisis Sistem Terminating Distribusi input model simulasi biasanya bersifat probabilistik. Variabilitas input secara alami menghasilkan variasi dalam ukuran output kinerja. Karena ukuran output memiliki beberapa variasi, tidak sepantasnya bagi praktisi simulasi untuk merekomendasikan tindakan tertentu berdasarkan hasil dari penjalanan simulasi tunggal atau replikasi. Untuk mengurangi kemungkinan membuat rekomendasi yang salah, perlu untuk menjalankan sejumlah ulangan simulasi dan kemudian membuat rekomendasi berdasarkan semua data yang tersedia. Sebuah pertanyaan alami adalah: Jika tidak satu replikasi, lalu berapa banyak? Jawaban untuk pertanyaan ini merupakan tujuan dari analisis replikasi. Proses analisis replikasi diawali dengan memilih jumlah awal ulangan. Ringkasan statistik dari kumpulan awal ulangan ini kemudian digunakan untuk menghitung apakah diperlukan atau tidak ulangan tambahan pada tingkat kepercayaan tertentu. Jika ulangan tambahan diperlukan, maka praktisi perlu menjalankan ulangan tambahan dan menghitung ulang ringkasan rumus statistik dan replikasi untuk proses itu. Praktisi memulai penjalanan simulasi dengan beberapa jumlah ulangan secara sembarang. Secara relatif, sejumlah kecil ulangan awal akan meningkatkan probabilitas bahwa ulangan tambahan akan diperlukan. Sebaliknya,jumlah ulangan yang lebih besar sejak awal akan menurunkan probabilitas bahwa jumlah awal ulangan tidak mencukupi. Namun, jumlah ulangan yang besar akan mengakibatkan peningkatan waktu penjalanan simulasi. Meskipun ini mungkin tidak menjadi masalah untuk model sederhana yang relatif kecil berjalan pada mikrokomputer cepat, itu bisa menjadi masalah serius untuk modellebih kompleks. Praktisi juga harus ingat bahwa bukan hanya satu model yang perlu menjalani analisis replikasi, tetapi semua model altematif.
210
Seorang praktisi yang rasional akan kompromi dengan cara menjalankan beberapa jumlah kecil ulangan. Jumlah umum ulangan awal adalah sepuluh. Ini menyediakan cukup banyak ulangan untuk memiliki keyakinan statistik wajar mengingat bahwa ulangan tambahan selalu bisa kemudian ditambahkan. Dalam rangka untuk melakukan perhitungan replikasi, praktisi hams terlebih dahulu menghitung rata-rata dan standar deviasi dari rata-rata sepuluh replikasi. Tabel 8.1. menunjukkan rata-rata sistem sepuluh kali ulangan pos pemeriksaan keamanan sistem. Rata-rata dari rata-rata sepuluh ulangan adalah 11.00,dan standar deviasi sampel adalah 0.42. Ringkasan nilai statistik ini kemudian digunakan untuk menghitung kesalahan standar data menggunakan rumus sebagai berikut: kesalahan
standar
= t1--«/2.n-l X
fJ;;
Di mana: t = distribusi t untuk 1 - a/2 dan n - 1derajat bebas s = standar deviasi dari rata-rata replikasi n =jumlah pengamatan dalam sampel Tabel 8.1. Rata-rata pos pemeriksaan 4 5 6 7 1 3 2
8 9 replikasi (n) Wkt rata-rata 10.80 11.96 10.47 10.70 10.80 11.35 11.04 10.68 11.15 sistem (menit)
10 11
Kesalahan standar pada dasamya adalah jumlah dispersi di sekitar nilai ratarata yang mungkin ada. Istilah pertama t berasal dari distribusi probabilitas t. Nilainilai ini biasanya tersedia di setiap buku statistik atau simulasi dan juga tersedia di Excel dengan menggunakan salah satu fungsi distribusi t. Nilai t tergantung pada dua parameter, tingkat a dan jumlah derajat bebas. Level a berkaitan dengan tingkat kepercayaan di mana kita ingin melakukan analisis. Jika kita ingin percaya 95% dalam hasil analisis kita, maka tingkat a adalah 1 dikurangi tingkat keyakinan, atau 0.05. Kita tertarik pada dispersi di sekitar kedua sisi nilai rata-rata,jadi kita membagi tingkat a dengan 2. Di Excel, fungsi yang digunakan adalah:
=TINV (probability,
211
deg_ freedom)
--
--
--
-
- --
di mana: probability = nilai persentase pengamatan di sebelah kanan nilai t deg_freedom = derajat bebas yang digunakan Perhatikan bahwa fungsi TINV pada Excel secara otomatis mengasumsikan bahwa anda ingin menggunakan dua sisi atau dua-sisi perhitungan nilai distribusi 1.Jumlah derajat bebas hanyalahjumlah ulangan dikurangi I. Istilah kedua dalam perhitungan kesalahan standar adalah s. s hanyalah standar deviasi sampel dari rata-rata replikasi. Rumus matematika untuk standar deviasi sampel replikasi rata-rata adalah:
di mana: S = standar deviasi sampel X= rata-rata replikasi .x = rata-rata dari rata-rata replikasi n =jumlah ulangan Perhatikan Contoh berikut! Hasil perhitungan sebelumnya adalah: 40 41 42 43
Rata-rata Standar deviasi Nilai t (untuk alpha 0.025 dan derajat bebas 9)
44
Kesalahanstandar
n
11.00 0.42 2.26
3.16 0.30
Dalam excel, rumus untuk mencari rata-rata standar deviasi sampel adalah : stdev = (referensi sel awal : referensi sel akhir) Terminologi ketiga dan terakhir dari perhitungan kesalahan standar hanyalah akar pangkat dua dari jumlah awal ulangan. Dalam perhitungan replikasi awal, kita akan memiliki sepuluh rata-rata replikasi. Ini berarti bahwa jumlah derajat bebas akan
212
menjadi sepuluh minus satu atau sembilan. Jika kita menggunakan nilai a 0.05, maka nilai untuk t dengan sembilanderajatbebas adalah 2.262.Kita dapat menemukan nilai ini dalam sebuah tabel statistik atau menggunakan rumus Excel yang sesuai. Jika kita menggunakan pengolah kata seperti yang diilustrasikan, standar deviasi dari rata-rata replikasi dapat dihitung menggunakan rumus di atas. Akar kuadrat dari terminologi n merupakan yang paling mudah dihitung dari semua terminologi dengan rumus berikut: Semua nilai dapat dikombinasikan dalam satu sel menggunakan sel referensi atau semua formula bersama.
Kesalahan standar yang dihasilkan untuk data adalah 0.30. Dalam istilah praktisi, ini berarti bahwa rata-rata sebenamya waktu untuk pos pemeriksaan keamanan bisa bervariasi plus atau minus 0.30 menit dengan selang kepercayaan 95%. Memanfaatkan informasi ini untuk menentukan jumlah akhir ulangan yang kita butuhkan, kita perlu melangkah lebihjauh. 8.4.1.1. Memilih Tingkat Presisi
Setelah kita mengetahui kesalahan standar, kita dapat menggunakan informasi ini untuk menghitung berapa banyak ulangan yang perlu dijalankan. Namun untuk melakukan ini, kita harus memilih tingkat presisi atau kesalahan yang sesuai untuk penelitian. Ada dua pendekatan umum untuk menentukan secara objektif tingkat presisi yang dapat diterima. Pendekatan pertama didasarkan pada perbandingan mutlak kesalahan standar untuk tingkat toleransi tertentu. Pendekatan kedua didasarkan pada nilai relatif kesalahan standar dibandingkan dengan rata-rata sampel. Dalam pendekatan presisi mutlak kita memilih tingkat presisi yang dapat ditolerir.Nilai ketepatan mempunyai satuan yang sarnadengan data sampel. Masalah dengan pendekatan presisi mutlak adalah pilihan nilai yang sesuai untuk tingkat presisi. Kecuali praktisi sangat akrab dengan proses, pemilihan tingkat presisi mutlak mungkin tampak sembarangan. Sebagai contoh, kita dapat secara sembarang memilih tingkat ketepatan absolut min 0.20. Ini berarti bahwa kita perlu menjalankan cukup ulangan tambahan untuk mengurangi kesalahan standar 0.20. Kesalahan
213
standar saat ini dengan sepuluh ulangan adalah 0.30 menit. Untuk menentukan jumlah ulangan barn yang akan dibutuhkan dengan kumpulan data ini untuk mencapai tingkat ketepatan absolut 0.20 menit, kita dapat menggunakan rnmus kesalahan standar sebelumnya. Untuk melakukan hal ini, kita menetapkan persamaan ke tingkat presisi yang diinginkan.
presisi absolut = f1-<J./2,n-l X Y..r;; di mana: t = distribusi t selama l-ai2 dan n-l derajat bebas s = standar deviasi dari rata-rata replikasi n =jumlah pengamatan dalam sampel Selanjutnya, kita mengatur ulang terminologi dan memecahkan untuk n barn, jumlah ulangan yang diperlukan untuk mencapai tingkat presisi mutlak yang ~ ~~nk~ t1~/2,n-l X r . vn 1= presisiabsolut
~J
[
di mana: t = distribusi t selama 1-0/2 dan n - 1derajat bebas s = standar deviasi rata-rata replikasi i =jumlah ulangan yang diperlukan untuk mencapai presisi mutlak Ketika nilai dari data kita dimasukkan ke dalam rnmus yang sudah diatur ulang, jumlah ulangan barn kita adalah 23.04. Dihasilkannya jumlah ulangan dalam bentuk pecahan menimbulkan pertanyaan apakah jumlah ulangannya dibulatkan ke atas atau ke bawah. Umumnya, lebih baik menjadi lebih konservatif. Ini berarti bahwa kita hams membulatkan ke atas. Hal ini meminta persyaratan barn untuk menjalankan total 24 ulangan dalam mencapai ketepatan absolut 0.20. Langkah berikutnya dalam proses ini adalah untuk memastikan bahwa 24 ulangan sebenarnya cukup untuk menunjukkan tingkat presisi mutlak. Ini berarti bahwa model simulasi perlu dijalankan selama 24 ulangan, dan ringkasan statistik dihitung ulang. Ringkasan statistik barn dapat disisipkan ke dalam persamaan presisi mutlak dan diperiksa untuk memastikan bahwa jumlah ulangan barn memenuhi tingkat presisi absolut. Jika kumpulan data barn kita memenuhi tingkat presisi absolut, maka kita sudah mendapatkan apa yang diinginkan. Namun, jika data barn
214
yang ditetapkan melebihi tingkat presisi absolut, maka kita perlu menghitung ulang jumlah ulangan barn untuk dijalankan. Dalam contoh kita, jika kita jalankan kembali total 24 ulangan, memperoleh statistik ringkasan sebagai berikut. 065 ,. ;((T1NV(005.9)"STDEV(011 020))1(0.2)1"2 8 C DIE 60 AbsolutePrecisioncalculationsforinitial 61 10replicationswithan absoluteprecision 62 of0 20minutes 63 64
kita
.
66! D66
'" =ROUrJDUP(D65 0) C
B 60 61 62 63 64 65 66
Replicationsrequired
Absolute
PrecIsIon
calculations
10 replications with an absolute of 0 20 minutes
ReplicationsrequIred ConservatIVe reps req
I
Replication Number
D 11
precision
12 13
1 2
14
3 4 5 6
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
215
--
-
--
-
Mean System Time in ~1inutes
for initial
2304590135 24 001
I
2~045901351
j
8 9 10 11 12 13 J4 15 J6 J7 18 J9 20 21 22 23 24
10.80 11.96 10.4" 10.70 10.80 11.35 11.04 10.68 11.15 11.00 11.02 10.66 10.94 10.88 10.18 11.04 10.68 10.99 10.99 10.57 10.92 11.04 10.91 10.90
----
---
----
Rata-rata barn kita adalah 10.93,dan standar deviasi sebesar 0.29. Nilai t agak bernbah karena kita sekarang memiliki sampel dari 24 pengamatan. Nilai t yang sesuai untuk 23 derajat bebas adalah 2.07. Jika kita memasukkan nilai ini dalam persamaan presisi mutlak, maka akan dihasilkan presisi mutlak sebesar 0.14, seperti yang diilustrasikan pada Gambar berikut : 046
...
6r :TlNV(0,05,23)-STDEV(D12'D35)124A05
rE
BCD
40 41 42 43 44 45 461
Mean Standa.rdDeviation
1093 029
t foralpha=O. 025.23 df squarerootof n
201 4.90
I
Standarderror
OJ])
Karena 0.12 kurang dari ketepatan mutlak 0.20, maka 24 ulangan cukup untuk mendapatkan statistik yang kuat dibandingkan dengan altematif lain. Seperti yang disebutkan sebelumnya, jika kesalahan standar kita lebih besar daripada ketepatan absolut 0.20, kita berkewajiban untuk menggunakan bentuk modifikasi dari persamaan presisi mutlak untuk menghitung ulang jumlah ulangan barn yang dibutuhkan. Pendekatan altematifterhadap presisi mutlak adalah pendekatan presisi relatif. Pendekatan ini lebih disukai karena tidak perlu memilih tingkat ketepatan absolut secara sembarang. Pendekatan presisi relatif menghindarkan masalah ini dengan membuat perbandingan dengan membagi kesalahan standar dari data dengan ratarata data sampel. Untuk analisis statistik yang kuat, kesalahan standar harns relatif kecil dibandingkan dengan rata-rata sampel. Seorang praktisi umumnya menggunakan nilai presisi relatif sebesar 0.10. Ini artinya bahwa kita ingin kesalahan standar hanya 10%dari rata-rata data sampel. Untuk perhitungan, kita menggunakan nilai 0.09 bukan 0.10 untuk ketepatan relatif yang diinginkan. Alasan untuk ini adalah bukti matematika yang tidak jelas yang melibatkan perhitungan presisi relatif(Law dan Kelton, 2000). Untuk menghitung presisi relatifkita menggunakan rnmus berikut: t
presisirelatif =
x s/ 1-<.t/2,n-1 /...,)
216
= x
j;,
di mana: t = distribusi t untuk derajat bebas 1- a/2 dan n - 1 s = standar deviasi dari rata-rata replikasi n = jumlah ulangan yang digunakan untuk menghitung ringkasan statistik adalah rata-rata dari replikasi = grand rata-rata Rumus tersebut dihitung dalam Excel sebagai berikut:
x
062 A
'" =(mNV(0.05.9)"STDEV(D11.020)Y((104Q.5)'AVERAGE(011 :020)))
C
B
60 61 62
0
r-E
RelativePrecisioncalculationsforInitial 10replications
Relative Precision
I
.
0027614146'
Seperti yang dapat dilihat pada tabel di atas, presisi relatif dengan ulangan adalah 0.03. Karena nilai ini kurang dari 0.09, kita sudah memiliki cukup banyak ulangan dengan jumlah minimum 10. Dengan cara yang sarna saat mengatur ulang rumus presisi absolut, kita juga dapat mengatur ulang rumus presisi relatif untuk mengetahui jumlah ulangan yang diperlukan untuk mencapai tingkat relatif presisi tertentu: 0.5 . I
tt-«/2.n-t x
=
j j;;
presisiabsolut x
x
( J di mana: t = distribusi t untuk l-a/2 dan n - 1derajat bebas s = standar deviasi rata-rata replikasi n = jumlah ulangan yang digunakan untuk menghitung ringkasan statistik i = jumlah ulangan yang diperlukan untuk mencapai presisi relatif
x=
grand rata-rata
8.4.1.2 Memeriksa Semua Alternatif Setelah praktisi memiliki pemahaman tentang prosedur analisis replikasi menggunakan altematif dasar, analisis replikasi dapat dilakukan pada semua altematif lain. Karena masing-masing model altematif berbeda baik terhadap sumber daya maupun operasi kebijakan, pasti akan ada beberapa perbedaan dalam cara dan standar deviasi dari rata-rata replikasi. Dengan demikian, secara alami akan ada beberapa perbedaan awal kedua presisi, absolut atau relatif model dengan awal sepuluh ulangan. Walaupun secara matematis adalah mungkin bagi semua altematif hanya membutuhkan sepuluh ulangan pada suatu presisi relatif, tapi itu tidak akan terjadi.
217
Situasi yang lebih rnungkin adalah bahwa satu atau lebih dari altematif akan rnernerlukan lebih dari sepuluh ulangan. Jika ini situasi sebenamya, rnaka setiap individu harns rnenjalankan kernbali altematif untuk jurnlah rnaksirnurn ulangan yang diperlukan oleh setiap individu altematif untuk tingkat presisi relatif. Tabel berikut rnengilustrasikan proses ini untuk percobaan dengan delapan altematifyang berbeda. A
B
C
D
E
F
G
H
2.2.2
3.2.1
2.2.1
3.2.2
3.2.2
3.1.1
2.1.3
1.2.1
Rata-rata10ulangan, 10.99 Rata-rataWaktusistem(min)
12.67
14.37
9.81
27.21
21.44
25.71
22.75
Standardeviasi10ulangan: 0.43 Rata-ratawaktusistem(min)
0.66
2.17
0.26
9.72
5.30
8.71
3.83
10
12
10
65
31
59
15
Altematif Jumlahpemeriksa, z-raysatau pendeteksimetal
Ulanganyangdiperlukan untuka = 0.05dan RP= 0.10
10
didasarkan pada ulangan
Perhatikan bahwa altematif E rnernpunyai tiga perneriksa tiket, dua rnesin xray, dan dua detektor logarn, rnernbutuhkan total 65 ulangan untuk rnencapai ketepatan relatif 0.10 yang diinginkan. Ini berarti bahwa sernua altematif individu perlu dijalankan kernbali secara individual dengan total 65 kali untuk dapat digunakan rnelakukan analisis statistik. Oleh karena itu, praktisi hams rnenjalankan berikutnya total 520 ulangan sirnulasi. Ketika altematifyang dijalankan pada tingkat ulangan barn, praktisi dapat rnenghitung ulang presisi relatif barn yang dihasilkan oleh rata-rata dan standar deviasi dari rata-rata replikasi. lurnlah barn ulangan juga akan rnengubah nilai t dan nilai n dalarn persarnaan presisi relatif. Selarna tingkat presisi relatif dari hasil perhitungan barn kurang dari atau sarna dengan 0.10, rnakajurnlah ulangan sudah cukup. Dalarn beberapa kasus, tingkat presisi relatif dari hasil perhitungan barn berada di bawah tingkat ketepatan relatif 0.10 yang dikehendaki. Dalarn kasus seperti ini akan perlu untuk rnengulangi proses perhitungan kernbali sarnpai diperoleh tingkat presisi relatif yang dikehendaki.
218
8.4.2Analisis Statistik Sistem Terminating Dalam proyek simulasi yang sangat sederhana, praktisi akan hanya memiliki dua model yang berbeda untuk dibandingkan. Kedua model tersebut adalah model dasar dan model dengan sumber daya atau operasi altematif kebijakan. Analisis statistik yang terlibat dalam perbandingan kedua model relatif sederhana. Dalam proyek simulasi yang lebih rumit, para praktisi dapat dengan mudah memiliki banyak model untuk diperbandingkan. Dengan beberapa model, adalah mungkin untuk menggunakan jenis pendekatan analisis statistik umum yang sarna seperti
yangdigunakanuntukduamodel.Namun,metodestatistikyanglebihkuattentunya menjadi tuntutan. Untuk mengatur proses analisis statistik, kita dapat mengkategorikan pendekatan analisis menjadi salah satu dari perbandingan dua model sederhana atauperbandingan tiga model atau lebih. Untuk perbandingan dua model sederhana, praktisi dapat memanfaatkan pendekatan baik uji hipotesis maupun selang kepercayaan. Dengan pengujian hipotesis, kita terbatas hanya menerima atau menolak hipotesis nol. Hipotesis nol biasanya berbunyi bahwa tidak ada perbedaan antara kedua model. Hipotesis altematif yang sesuai adalah bahwa ada perbedaan antara kedua model. Karena pendekatan hipotesis tidak memberitahu kita apa yang perlu diketahui, banyak praktisi memilih menggunakan pendekatan selang keyakinan. Pendekatan selang kepercayaan merupakan modifikasi dari uji hipotesis yang sesuai. Pendekatan ini dilakukan dengan menentukan interval di mana perbedaan antara kedua model biasanya diharapkan dapat diamati. Biasanya, seorang praktisi menggunakan interval kepercayaan 95%. Jika model tersebut secara statistik serupa, maka harapan adalah bahwa perbedaan dalam nilai rata-rata replikasi akan menjadi nol. Jadi, jika interval kepercayaan mencakup nilai 0, ada bukti statistik bahwa dua model adalah sarna. Di sisi lain, jika interval kepercayaan tidak meliputi 0, kedua model tersebut secara statistik signifikan berbeda. Pendekatan selang kepercayaan juga memiliki beberapa keuntungan lain dibandingkan pengujian hipotesis karena: ~ Memberikan informasi lebih lanjut dari uji hipotesis ~ Secara grafis menunjukkan hasil statistik ~ Lebih mudah untuk menggunakan dan menjelaskan dibandingkan uji hipotesis Ada dua tipe dasar pendekatan selang kepercayaan sehubungan dengan penentuan perbedaan antara model simulasi. Pilihan pendekatan selang kepercayaan tergantung pada cara di mana model simulasi dirancang.
219
.
Tipe pertama adalah pendekatan selang kepercayaan Welch. Pendekatan selang kepercayaan Welch merupakan pendekatan paling mungkin untuk digunakan oleh praktisi. Pendekatan ini paling tepat bila tidak ada upaya khusus yang telah dilakukan praktisi untuk mengkoordinasikan entitas parameter melalui model seperti yang dijelaskan dalam bagian perumusan model. Selang kepercayaan Welch mengambil pendekatan filsafat yang kuat berkaitan dengan asumsi tentang karakteristik data. Sebagai contoh, dengan pendekatan ini, kita tidak perlu khawatir dengan apakah dua kumpulan data mempunyai varians yang sarna. Jika anda ingat, kesamaan varaians merupakan perhatian utama selama fase validasi. Selang kepercayaan Welch menganggap pendekatan skenario terburuk memiliki varians berbeda antara dua kumpulan data. Seperti yang mungkin sudah diduga, pendekatan interval keyakinan Welch didasarkan pada uji t Satterthwaite Smith. Setelah menghitung ringkasan statistik nilai rata-rata dan standar deviasi untuk setiap data yang ditetapkan, para praktisi harns menghitung derajat bebas pengukur menggunakan uji Satterthwaite Smithmenggunakan formulasi di bawah ini:
di mana db = Derajat bebas s~ = Varianssampel alternatif pertama s~ = Varianssampel alternatifkedua n1= Ukuran sampel alternatif pertama
n2=Ukuran sampel alternatifkedua
Seperti uji Smith-Satterthwaite, jumlah derajat bebas yang dihitung dengan cara ini kemungkinan besar tidak akan dalam bentuk bilangan bulat. Pertanyaan berikutnya dengan demikian adalah apakah melakukan pembulatan ke atas atau ke bawah. Ingat, pada umumnya, bahwa sebagai seorang praktisi, anda ingin mengambil pendekatan yang paling konservatif. Artinya, untuk kondisi tersebut, kita lebih suka menyimpulkan bahwa tidak ada perbedaan antara dua alternatif. Ini berarti bahwa kita menginginkan selang kepercayaan yang lebih besar untuk meningkatkan probabilitas meliputi o. Karena selang kepercayaan adalah fungsi dari nilai t, kita juga ingin nilai t besar yang paling mungkin. Karena peningkatan nilai t merupakan penguranganjumlah derajat bebas, maka yang perlu kita lakukan adalah melakukan pembulatan ke bawah. Perhatikan, cara ini merupakan kebalikan dari apa yang kita lakukan pada uji Satterthwaite Smith. 220
Selang keyakinan Welch dengan demikian dapat dihitung dengan rumus berikut:
di mana: s~=Varianssampelaltematifpertama s~= Varianssampelaltematifkedua
n.= Ukuran sampel altematifpertama n2=Ukuran sampel altematifkedua t= Nilai t untuk derajat bebas yang sebelumnya diperkirakan dan 1 -a / 2 Persamaan di atas paling sering dilihat dalam bentuk akhir dengan nilai minimum dan maksimum yang menggambarkan interval pada suatu tingkat kepercayaan. Nilai-nilai biasanya disajikan dengan tanda kurung siku dipisahkan dengan koma seperti yang ditunjukkan di bawah ini: [nilai min, nilai maks] Selang kepercayaan kadang-kadang ditampilkan secara grafis dengan nilai rata-rata, minimum, maksimum, batas bawah 95%, dan batas atas 95% nilai. Hal ini memberikan indikasi yangjelas tentang perbedaan rata-rata antara kedua model. Pengertian pendekatan selang kepercayaan seperti yang sudah dibahas sebelumnya hanya melibatkan hubungan antara nilai 0 dan selang kepercayaan. Jika selang kepercayaan mencakup nilai 0, maka tidak ada perbedaan yang signifikan antara dua model simulasi altematif. Sebaliknya, jika interval kepercayaan tidak meliputi 0, maka secara statistik ada perbedaan yang signifikan antara dua model simulasi. Perhatikan contoh selang kepercayaan Welchberikut: Data berikut mewakili waktu sistem dalam detik untuk dua operasi kebijakan sistem pos pemeriksaan keamanan bandara yang berbeda. Altematif A terdiri dari dua pemeriksa tiket, dua mesin x-ray /operator, dan dua detektor logam/operator. Altematif B terdiri dari tiga pemeriksa tiket, dua mesin x-ray / operator, dan satu detektor logam/operator. Nilai rata-rata dan standar deviasi altematif A secara berturut-turut adalah 39.58 dan 1.53. Nilai rata-rata dan standar deviasi altematifB 45.60 dan 2.38.
221
£
-
--
AlternatifA 38.88 43.06 37.69 38.52 38.88 40.86 39.74 38.45 40.14 AlternatifB 4244 44.53 46.55 48.46 48.92 48.46 45.36 44.53 42.84
39.00 43.92
Untuk menghitung selang keyakinan Welch pada tingkat a 0.05, kita mulai dengan derajat bebas pembilang. Derajat bebas pembilang dihitung dengan: db
= ~ .532/10+ 2.382/10J
15.34
~ .532/10 J + ~.382 /10 J
9
9
Karena kita ingin memiliki seiang kepercayaan selebar mungkin, derajat bebas hasil perhitungan kita bulatkan menjadi 15. Ini akan menghasilkan nilai t sebesar 2.131. Sebenamya perhitungan seiang kepercayaan Welch adalah: 39.58_45.60:f:2.131./1.532 + 2.382 =-6.02:f:1.91 10 10 Atau [-7.93, -4.11]
Selang kepercayaan tidak mencakup nol dengan tingkat (l 0.05. Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa kedua altematif tersebut berbeda signifikan secara statistik. Karena altematif A memiliki waktu sistem yang lebih rendah yaitu 39.58 versus waktu sistem altematifB dengan sistem waktu 45.60, dalam keadaan normal, maka kita akan merekomendasikan altematifA. Pendekatan selang kepercayaan uji t berpasangan digunakan ketika kedua model memiliki semacam pemasangan alamoTeknik ini hanya sesuai ketika entitas yang mengalir melalui sistem telah dirancang untuk pendekatan satu per satu. Dalam pendekatan ini, pertama-tama kita menghitung variabel barn berdasarkan perbedaan rata-rata replikasi antara dua altematif.
di mana: X1i=rata-rata replikasi ke-i altematif pertama X2j=rata-rata replikasi ke-i altematifkedua Zj = Perbedaan rata-rata replikasi ke-i
222
Jika kita memiliki sepuluh ulangan, kita akhiri dengan sepuluh nilai Z dari masingmasing nilai rata-rata pasangan replikasi. Selanjutnya, kita menghitung rata-rata dan standar deviasi variabel Z barn. Terakhir, kita menggunakan rnmus berikut untuk menghitung selang kepercayaan: s
j;;
Z :t ta/2,n-l
Di mana: Z= Rata-rata nilai Z ta12= Nilai distribusi t untuk a/2 dan derajat bebas n I s = standar deviasi nilai Z n =jumlah pasangan rata-rata replikasi Perhatikan contoh penggunaan pendekatan selang kepercayaan uji t berpasangan berikut: AlternatifA AlternatifB A-B
38.88 42.44 -3.56
43.06 44.53 -1.47
37.69 46.55 -8.86
38.52 48.46 -9.94
38.88 48.92 -10.04
40.86 48.46 -7.60
39.74 45.36 -5.62
38.45 44.53 -6.08
40.14 42.84 -2.70
39.60 43.92 -4.32
Jika kita telah memperoleh contoh data dari sebuah model yang menggunakan pasangan satu-satu, kita bisa membuat perhitungan berikut pada tingkat a 0.05 untuk menunjukkan penggunaan uji t berpasangan selang kepercayaan. Nilai rata-rata variabel Z adalah -6.02, dan standar deviasi sebesar 3.04. Nilai t untuk 0.05/2 dan 9 derajat bebas adalah 2.262. Dengan memasukkan nilai ini ke persamaan selang kepercayaan, kita memperoleh: - 6.02:t 2.262 x 3~ = -6.02:t 2.29
,,10
atau [-8.31, -3.73]
Karena [-8.31, -3.73] tidak meliputi 0, ada bukti statistik menunjukkan bahwa dua altematif secara statistik berbeda secara signiflkan pada tingkat a 0.05. Karena kita tahu rata-rata altematif A sebesar 39.58 detik dan rata-rata altematifB sebesar 45.60 detik, maka biasanya kita ingin memilih altematif Ajika biaya untuk kedua altematifitu sarna.
223
-
--
---
----
Untuk memudahkan, kita juga dapat membuat persamaan untuk variabel Z yaitu nilai rata-rata replikasi altematifB dikurangi nilai rata-rata replikasi altematif A. Ini akan menghasilkan nilai rata-rata variabel Z menjadi 6.02 (positit). Selang kepercayaan yang dihasilkan akan menjadi [3.73, 8.31]. Sekali lagi, selang kepercayaan tidak akan tertutup nol. 8.4.2.1 Perbandingan Tiga atau Lebih Model Perbandingan tiga atau lebih model melibatkan dua langkah. Pada langkah pertama, analisis varians (ANOVA) digunakan untuk menentukan apakah ada perbedaan yang signifikan secara statistik antara satu atau lebih dari model yang berbeda. Jika tidak ada satupun model yang berbeda secara signifikan, kita dapat menghentikan analisis. Di sisi lain, jika satu atau lebih dari model tersebut berbeda signifikan secara statistik, kita tentunya ingin tahu model mana yang berbeda. Sayangnya, ANOVA tidak dengan sendirinya menyediakan informasi ini. Dalam rangka untuk menentukan model yang berbeda signifikan secara statistik, kita hams menjalankan ujijarakDuncan. 8.4.2.1.1A~()~A Analisis varians dapat digunakan untuk menentukan apakah kinerja rata-rata satu atau lebih altematif secara statistik signifikan berbeda dari yang lain pada tingkat a tertentu. Satu atau lebih nilai rata-rata bisa berbeda signifikan secara statistik lebih baik atau lebih buruk daripada altematif lain. Analisis varians didasarkan pada rasio varians antara berbagai altematif dibagi dengan varians dalam berbagai altematif. Jika variasi antara altematif adalah besar dan varians dalam altematif yang berbeda adalah kecil, maka rasio yang diambil adalah nilai yang relatif besar. Sebaliknya, jika variasi antara altematif-altematif kecil, dan varians dalam altematifberbeda besar, maka rasio yang diambil adalah nilai yang kecil. Jika rasio besar, maka ada kemungkinan satu atau lebih dari altematifberbeda signifikan secara statistik dari yang lain. Ada beberapa implementasi yang berbeda dari ANOVA. Implementasi yang paling sederhana, satu arah ANOVA, hanya meneliti faktor individu. Implementasi yang lebih kompleks seperti ANOVA dua arah juga akan mengkaji kemungkinan interaksi antara faktor-faktor individu. Statistik implementasi ANOVA tersedia dalam Excel danjuga di sebagian besar paket perangkat lunak simulasi.
224
Mengingat implementasi perangkat lunak yang tersedia dari ANOVA, pada dasamya seorang praktisi tidak perlu melakukan perhitungan ANOVA dengan tangan. Namun, dengan niat memberikan pemahaman yang kuat, informasi berikut ini disediakan. Untuk memulai proses ANOVA, praktisi harns memiliki masing-masing rata-rata replikasi individu untuk setiap altematifyang berbeda. Praktisijuga harns memiliki nilai rata-rata dari ulangan untuk setiap altematif dan rata-rata tunggal dari semua ulangan. Dengan ringkasan statistik ini di tangan, perhitungan berikut diperlukan: ~ Hitungjumlah kuadrat total. ~ Hitungjumlah kuadrat antara. ~ Hitungjumlah kuadrat dalam. ~ Hitunglah rata-rata kuadrat antara. ~ Hitung rata-rata kuadrat dalam. ~ Hitung statistik F. ~ Bandingkan F statistik dengan nilai F kritis. Jumlah kuadrat total adalah penjumlahan dari perbedaan antara setiap individu ratarata replikasi dan rata-rata total kuadrat. Istilah ini diwakili oleh rnmus berikut:
di mana: JKT = jumlah kuadrat total k = jumlah altematif yang berbeda n = jumlah ulangan untuk setiap altematif Xij
= Rata-ratasatureplikasiuntuksatu altematif= Rata-ratatotal dari rata-rata replikasi
Jadi, untuk setiap rata-rata replikasi individu, kita kurangi rata-rata total dan kemudian ambil akar pangkat dua perbedaannya. Hal ini dilakukan untuk setiap ratarata replikasi untuk setiap altematif yang berbeda. Dengan demikian kita akan memiliki k. n terminologi yang berbeda yang akan dijumlahkan. Jumlah Kuadrat Antara (JKA) dihitung dengan menjumlahkan perbedaan antara rata-rata replikasi individu dengan rata-rata kuadrat altematif. JKA dihitung dengan menggunakan rnmus berikut: JKA
= I:=1n x (x; -
225
x)
Dimana JKA = jumlah kuadrat antara k = jumlah altematif yang berbeda n = jumlah ulangan untuk setiap altematif Xi
xj
= Rata-ratadarireplikasiuntuksatu altematif = Rata-ratatotal dari semuareplikasiberarti
Ini berarti bahwa untuk setiap altematif kita kalikan jumlah ulangan dalam altematif dengan perbedaan rata-rata altematif dan rata-rata kuadrat total. Selanjutnya, kitajumlahkan masing-masing k. Selanjutnya, kita harns menghitung Jumlah Kuadrat Dalam (JKD). Kita bisa menghitung secara individual terminologi dengan cara menjumlahkan hasil kuadrat perbedaan dari masing-masing rata-rata replikasi altematif dan rata-rata total atau kita bisa menggunakan rumus berikut: JKT
= JKA + JKD
Dengan mengatur ulang formula ini kita dapat memperoleh jumlah kuadrat dalam dengan apa yang sudah kita ketahui dan mengurangi sejumlah besar perhitungan: JKD
= JKT
- JKA
Rata-rata kuadrat antara (RKA) dihitung dengan membagi jumlah kuadrat antara dengan jumlah derajat bebas terkait dengan altematif. Jumlah derajat bebas adalah jumlah altematif dikurangi 1.Persamaan yang terkait dengan perhitungan ini adalah: RKA _ JKA k-l di mana RKA = Rata-rata kuadrat antara JKA=jumlah kuadrat antara k =jumlah altematif Rata-rata Kuadrat Dalam (RKD) dihitung dengan membagi jumlah kuadrat dalam denganjumlah derajat bebas terkait denganjumlah kuadrat dalam. Persamaan yang terkait dengan perhitungan ini adalah: RKD = JKD ken -1 )
226
Dimana: RKD = Rata-rata kuadrat dalam JKD =jumlah kuadrat dalam k =jumlah altematif n =jumlah ulangan untuk setiap altematif Langkah selanjutnya dalam proses analisis varians adalah untuk menghitung statistik F. Satistik F adalah rasio dari rata-rata kuadrat antara dengan rata-rata kuadrat dalam. Ini sarna dengan membandingkan varians antara altematif dengan varians dalam altematif yang dibahas pada awal bagian ANOVA. Persamaan ini adalah: F= RKA RKD
Di mana F = statistik F RKA= Rata-rata kuadrat antara RKD = rata-rata kuadrat dalam
Langkah terakhir adalah membandingkan statistik F dengan nilai F kritis. Nilai F kritis diperoleh dari tabel distribusi F. Parameter yang diperlukan untuk menentukan nilai F adalah tingkat a, jumlah derajat bebas pada pembilang, dan jumlah derajat bebas penyebut. Jumlah derajat bebas untuk pembilang adalah jumlah yang sarna yang digunakan untuk membagi JKA. Dengan demikian jumlah derajat bebas untuk pembilang adalah jumlah altematif dikurangi 1. Demikian pula, jumlah derajat bebas untuk penyebut adalah jumlah yang sarnayang digunakan untuk membagi JKD. Dengan demikian derajat bebasnya adalah jumlah altematif dikalikan dengan jumlah ulangan dalam altematif dikurangi 1.Persamaan ini adalah: . db pern b l/ ang = k - 1 db penyebut
= ken
-1)
dimana k = jumlah altematif yang berbeda, dan n = jumlah ulangan untuk setiap altematif Statistik uji F yang dihitung akhimya dibandingkan dengan nilai F kritis yang diperoleh dari tabel distribusi F. Jika statistik uji lebih besar dari nilai kritis maka setidaknya salah satu altematif secara statistik berbeda dari yang lain. Sebaliknya, jika statistik uji lebih kecil dari nilai kritis, maka semua altematif secara statistik serupa.
227
---
--
--
PerhatikanANOVA berikut: Sebagaimana dibahas sebelumnya, adalah sangat tidak biasa bagi seorang praktisi untuk melakukan perhitungan ANOVA sebelumnya secara manual. Hal ini lebih mungkin bahwa praktisi akan menjalankan ANOVA menggunakan sebuah paket perangkat lunak. Tabelmenunjukkan bahwa, pada tingkat signifikansi 0.05, masingmasing faktor utama (tiket, x-ray, dan logam) adalah signifikan secara statistik. Ini berarti bahwa mengubah tingkat salah satu dari faktor ini akan memiliki dampak signifikan secara statistik pada waktu yang dibutuhkan penumpang pesawat udara melewati sistem pos pemeriksaan keamanan bandara. 8.4.2.1.2. Uji Kisaran JamakDuncan Dalam hal analisis varians menunjukkan bahwa satu atau lebih rata-rata secara statistik signifikan berbeda dari yang lain, praktisi akan menginginkan untuk melakukan beberapa uji jarak Duncan. Uji ini akan menunjukkan rata-rata yang mana secara statistik berbeda dari yang lain pada tingkat kepercayaan tertentu. Dengan demikian, uji Duncan memberikan wawasan tambahan atas informasi ANOVA untuk membuat rekomendasi. Jelas, menjalankan uji Duncan ketika hasil ANOVA tidak menunjukkan satu atau lebih rata-rata secara statistik signifikan berbeda merupakan usaha sia-sia. Konsep umum uji Duncan adalah untuk menentukan nilai kisaran paling signifikan bagi suatu kumpulan nilai rata-rata yang berdekatan. Satu kumpulan ratarata berdekatan didefinisikan sebagai sejumlah rata-rata yang bersebelahan ketika disusun secara berurut. Satu kumpulan rata-rata yang berdekatan dapat melibatkan dua, tiga, empat, atau lebih pasang rata-rata berturut-turut. Ide dibalik uji Duncan adalah bahwa setiap himpunan rata-rata yang berdekatan dengan jangkauan maksimum-minimum kurang dari kisaran signifikan terkecil nilai kritis yang dihitung secara statistik tidak signifikan. Dengan kata lain jika selisih antara nilai maksimum dan minimum dari sembarang kumpulan berdekatan kurang dari nilai kritis, maka semua rata-rata kumpulan berdekatan secara statistik dapat dianggap sarna. Karena kelompok berdekatan dapat melibatkan dua, tiga, empat, atau lebih kumpulan rata-rata yang berdekatan, uji Duncan dapat melibatkan jumlah yang cukup besar dari perhitungan. Untungnya, jika himpunan yang lebih besar rata-rata yang berdekatan telah terbukti secara statistik serupa, maka semua kumpulan ratarata yang lebih kecil yang berdekatan dalam himpunan yang lebih besar juga secara statistik serupa. Ini berarti, misalnya,jika satu kumpulan yang terdiri dari empat rata-
228
rata berdekatan diternukan secara statistik sempa rnaka setiap dua atau tiga kumpulan kornbinasirata-rata yang berdekatanjuga statistik sempa. Uji rentangjarnak Duncan terdiri dari langkah-langkah berikut: 1. Menyortir rata-rata replikasi untuk setiap altematif dalarn umtan rnenaik dari kiri ke kanan. 2. Menghitung nilai kisaran paling signifikan untuk sernua kernungkinan kurnpulan rata-rata berdekatan. 3. Mernbandingkan setiap rangkaian rata-rata berdekatan dengan nilai kisaran paling signifikan yang sesuai dalarnurutan berdasarkan ukuran kurnpulan. 4. Menandai rentang yang tidak signifikan. Praktisi hams rnenghitung nilai kisaran paling signifikan untuk setiap rangkaian rata-rata ukuran yang berdekatan. Ini berarti bahwa hams ada n - 1 perhitungan (untuk p = 2 sarnpai n) dari nilai yang paling signifikan. Hirnpunan terkecil akan rnerniliki dua rata-rata, dan hirnpunan terbesar akan rnernilikijurnlah rata-rata yang sarna sebagai jurnlah altematif. Praktisi hams juga rnernilih tingkat a
untuk rnenghitung nilai kisaran paling signifikan. Untuk tingkat kepercayaan 95%, a akan sarna dengan 0.05. Proses perhitungan untuk rnenentukan rentang nilai paling signifikan adalah proses dua langkah. Pada langkah pertarna kita rnenghitung nilai berdasarkan kesalahan kuadrat rata-rata dari rata-rata replikasi dan jurnlah ulangan dalarn satu altematif. Rurnusuntuk rnenghitung nilai ini adalah:
Sx=~~ Di mana KRK = kesalahan kuadrat dari rata-rata replikasi dan n = jurnlah ulangan dalarn satu altematif. Nilai untuk keslahan rata-rata kuadrat dari rata-rata replikasi dapat dengan rnudah diternukan dalarn analisis varians statistik. Perhatikan dengan baik bahwa n spesifik adalah jurnlah ulangan dalarn satu altematif, bukan jumlah altematif atau jurnlah total ulangan yang dianalisis dalarn studioDalarn langkah berikutnya untuk rnenghitung kisaran paling signifikan, kita akan rnenggunakan n berbeda. Setelah standar deviasi Duncan dari rata-rata replikasi dihitung, nilai itu dikalikan dengan nilai pengali tertentu yang dapat dilihat pada tabel ujijarak Duncan untuk rnernperoleh nilai kisaran paling signifikan. Rurnus untuk rnernperoleh nilai kisaran paling signifikan adalah: Rp=sxxrp
229
-
-
-
dimana Sx adalah standar deviasi Duncan dari rata-rata replikasi, rp adalah jarak beberapa pengali Duncan untuk suatu tingkat signifikansi, ukuran himpunan, dan derajat bebas, serta p adalah ukuran himpunan rata-rata yang berdekatan. Nilai tabel untuk beberapa kisaran jamak Duncan memerlukan tingkat signifikansi tertentu, ukuran rata-rata yang berdekatan, dan jumlah derajat bebas. Jumlah derajat bebas sarna dengan jumlah derajat bebas yang digunakan untuk menghitung kesalahan kuadrat rata-rata dari rata-rata replikasi altematif. Nilai ini tersedia di analisis output varians. Perhitungan di atas akan menghasilkan total n - I nilai untuk rentang yang paling signifikan menggunakan nilai p dari 2 hingga n. Jadi jika kita memiliki empat altematif yang berbeda, kita akan memiliki tiga nilai rata-rata yang berdekatan terhadap kumpulan nilai rata-rata berdekatan ukuran 2,3, dan 4. Langkah selanjutnya adalah membandingkan rentang yang paling signifikan untuk setiap rangkaian nilai rata-rata yang berdekatan. Pendekatan yang terbaik adalah mulai dengan himpunan rata-rata terbesar berdekatan dan bekeIja ke bawah untuk himpunan rata-rata terkecil yang berdekatan. Ini akan secara dramatis mengurangi jumlah perbandingan yang kita harns buat. Perbandingan pertama akan melibatkan serangkaian rata-rata berdekatan adalah sarna dengan jumlah altematif kita. Jika kisaran atau perbedaan antara rata-rata terbesar dan terkecillebih kecil dari nilai kisaran paling signifIkan, maka tidak ada yang berarti secara statistik berbeda dari yang lain. Rentang untuk himpunan rata-rata terbesar berdekatan harns selalu lebih besar daripada rentang minimal yang terkait nilai signifIkan terkecil. Alasan untuk ini adalah bahwa analisis varians menunjukkan paling tidak satu rata-rata dari semua altematif yang ada adalah berbeda. Sebaliknya, nilai rata-rata yang tidak memiliki rata-rata berdekatan, secara statistik adalah sernpa. Dengan demikian, himpunan terbesar rata-rata berdekatan harns memiliki rentang yang lebih besar daripada nilai kisaran signifIkan terkecil. Jika kisaran himpunan terbesar rata-rata berdekatan lebih kecil dari nilai kisaran signiflkan terkecil, maka beberapa jenis kesalahan telah teIjadi. Entah hasil analisis varians menunjukkan bahwa semua rata-rata secara statistik signifIkan, atau telah teIjadi kesalahan perhitungan. Langkah berikut membandingkan himpunan rata-rata berdekatan terbesar berikutnya. Himpunan ini terdiri dari total dua himpunan berbeda rata-rata yang berdekatan. Himpunan pertama mernpakan rata-rata terkecil sampai ke rata-rata terbesar berikutnya. Himpunan kedua adalah himpunan terkecil rata-rata berikutnya melalui rata-rata terbesar.
230
Ini berarti bahwa jika kita memiliki total empat altematif maka himpunan pertama akan mencakup altematif 1,2, dan 3. Demikian pula, himpunan kedua akan berisi altematif 2, 3, dan 4. Dengan salah satu dari dua himpunan rata-rata yang berdekatan, kita tidak lagi dijamin memiliki rentang yang lebih besar dari rentang yang paling signifikan. Salah satu atau yang lainnya harns ditetapkan paling signifikan melebihi nilai rentang. Jika sebuah himpunan memiliki jangkauan lebih kecil dari nilai kisaran yang paling signifikan yang berukuran ditetapkan, tidak ada perbedaan yang signifikan antara rata-rata dalam himpunan. Ini berarti bahwa setiap himpunan lainnya dimana rata-rata berdekatan lebih kecil dari statistik sernpa. Tidak ada analisis lebih lanjut perlu dilakukan pada rata-ratta mereka. Sebaliknya, jika satu himpunan memiliki rentang yang lebih besar daripada nilai kisaran paling signinkan untuk ukuran himpunan, ini berarti bahwa ada perbedaan yang signifikan secara statistik antara rata-rata dalam himpunan. Proses analisis harns dilanjutkan untuk rata-rata himpunan ini. Rata-rata harns dibagi menjadi ukuran kecil berikutnya dari himpunan rata-rata berdekatan. Jadi, jika kisaran himpunan tiga rata-rata berdekatan untuk altematif 1, 2, dan 3 lebih besar daripada nilai kisaran signifikan terkecil, maka kita harns menguji kelompok dua rata-rata yang berdekatan. Kelompok pertama dari dua rata-rata yang berdekatan akan menjadi altematif 1 dan 2. Himpunan kedua dari dua rata-rata berdekatan akan menjadi altematif 2 dan 3. Karena kita tahu bahwa di antara ketiga rata-rata berdekatan setidaknya ada satu rata-rata berbeda, rata-rata yang berbeda pasti dari himpunan dengan altematif 1dan 2 atau himpunan dengan altematif2 dan 3. Jika temyata bahwa rentang himpunan pertama dengan altematif 1 dan 2 melebihi rentang yang paling signifikan, maka ada perbedaan yang signifikan secara statistik antara altematif 1 dan 2. Tapi jika tidak melebihi rentang yang paling signifikan, maka tidak ada perbedaan yang signifikan secara statistik antara altematif 1 dan 2. Demikian pula, rentang untuk himpunan dengan altematif2 dan 3 mungkin melebihi atau tidak melebihi nilai kisaran paling signifikan. Untuk menggambarkan secara grafis himpunan rata-rata berdekatan mana berarti yang secara statistik sarna pada tingkat a tertentu, para praktisi dapat menggunakan garis. Garis ditempatkan di bawah himpunan rata-rata yang berdekatan yang tidak berbeda signifikan secara statistik. Dengan demikian, garis dapat mencakup dua, tiga, atau lebih rata-rata altematif. Kita tidak perlu untuk menggarisbawahi himpunan rata-rata berdekatan yang lebih kecil dalam satu himpunan rata-rata berdekatan yang secara statistik sernpa.
231
---
--
---
Karena beberapa hirnpunan rata-rata rnungkin secara statistik serupa dan bahkan turnpang tindih, beberapa pernikiran harus diberikan dengan benar untuk rnenafsirkan hasil uji jarak Duncan. Tabel rata-rata berikut akan rnenggarnbarkan proses 1m: altematif Waktu (rnenit)
I 23.5
2 26.2
3 27.5
4 28.1
Berikut kesirnpulan yang signifikan secara statistik dapat dinyatakan dari tabel ini: ~ ~ ~ ~
Ada perbedaan antara altematif 1dan sernua altematiflain. Ada perbedaan antara altematif2 dan altematif 4. Tidak ada perbedaan antara altematif2 dan 3. Tidak ada perbedaan antara altematif3 dan 4.
Perhatikan bahwa altematif 3 secara statistik serupa dengan altematif 2 dan 4 sernentara altematif2 secara statistik signifikan berbeda dari altematif 4. Perhatikan Uji Rentang Jarnak Duncan berikut: Contoh sistern pos perneriksaan kearnanan bandara akan rnenggarnbarkan proses penggunaan uji jarak Duncan. Pertarna, rata-rata waktu sistern dari rnasing-rnasing altematif diurutkan secara rnenaik. 1 Peringkat 2 3 4 5 6 7 8 Kornbinasi D A B H C F E G Tiket 3 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 x-ray 2 1 2 I 2 1 2 1 Logarn 35.07 39.10 46.50 50.56 89.51 90.59 96.97 97.70 Rata-rata (det) Rata-rata kuadrat kesalahan dapat diarnbil dari contoh ANOVA dengan sistern pos perneriksaan kearnanan bandara dan digunakan untuk rnenghitung nilai kisaran paling signifikan. Uji jarak dikali pengganda nilai untuk r antara 2 dan 8 pada 0,05 dan 120derajat bebas adalah: 67 = 1.67 s-x = ~187.56
232
Uji kisaranjamak Duncan dikali nilai tabel r sama dengan 2 sampai 8 pada 0.05 dan derajatbebas 120adalah: p r
2 2.80
3 2.95
4 3.04
5 3.12
6 3.17
7 3.22
8 3.25
Perhatikan bahwajumlah derajat bebas kesalahan dari tabel analisis varians adalah 528. Nomor terdekat berikutnya yang tersedia di sebagian besar tabel jarak jamak Duncan adalah untuk 120derajat bebas. Nilai r selanjutnya dikalikan dengan standar deviasi dari rata-rata replikasi untuk menghitung kisaran paling signifikan nilai: p r
2 4.68
3 4.93
4 5.08
5 5.21
6 5.29
7 5.38
8 5.43
Ketika kumpulan rata-rata berdekatan dibandingkan dengan rentang nilai yang paling signifikan, tabel rata-rata yang berdekatan menjadi: 1 Peringkat D Kombinasi Tiket 3 2 x-ray 2 Logam 35.07 Rata-rata (det)
7 4 5 6 8 2 3 B H F E G A C 2 3 3 2 2 2 3 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 39.10 46.50 50.56 89.51 90.59 96.97 97.70
Untuk himpunan delapan rata-rata berdekatan, nilai kisaran yang paling signifikan adalah 5.43. Kisaran rata-rata antara terbesar dan terkecil adalah: 97.70-35.07 = 62.63 Inijauh lebih besar daripada nilai kisaran paling signifikan 5.43 untuk delapan rata-rata berdekatan. Ini berarti bahwa paling tidak salah satu rata-rata secara statistik signifikan berbeda dari yang lain. Kita benar-benar mengharapkan hasil ini karena analisis varians menunjukkan tidak semua rata-rata secara statistik serupa. Langkah selanjutnya adalah melihat kumpulan altematif dengan tujuh rata-rata berdekatan. Kita memiliki dua dari tujuh rata-rata berdekatan. Nilai pertama adalah kombinasi D melalui E, dan yang kedua adalah kombinasi A sampai G. Nilai rentang paling signifikan untuk tujuh rata-rata berdekatan adalah 5.38. Rentang yang dihitung dari dua himpunan adalah: Rumus untuk D melalui E Rumus untukA sampai G
96.97 -35.07 97.70-39.20
233
= 61.90 = 58.60
---
---
Kedua kisaran nilai melebihi 5.38, maka ada setidaknya satu rata-rata secara statistik signifikan berbeda pada kedua himpunan. Mengikuti prosedur yang sarna, kita memiliki total tiga himpunan dengan enam rata-rata berdekatan. Ini adalah D melalui F, A sarnpai E, dan B melalui G. Nilai kisaran paling signifikan untuk keenam rata-rata berdekatan adalah 5.29. Nilai kisaran rata-rata yang dihitung adalah: 90.59 35.07 55.52 untuk D melalui F 96.97 39.10 57.87 untukAmelalui E 97.70 46.50 51.20 untuk B melalui G Sekali lagi, semua rentang ini melebihi nilai kisaran paling signifikan 5.29. Dengan demikian, dapat diartikan bahwa setidaknya salah satu rata-rata dari himpunan enam rata-rata secara statistik signifikan berbeda dari yang lain. Selanjutnya kita melihat himpunan lima rata-rata berdekatan. Kisaran nilai yang paling signifikan adalah 5.21. Himpunan lima rata-rata berdekatan adalah D ke H, A ke F, B ke E, dan C ke G. Sekali lagi, tidak satu pun dari himpunan empat dari lima rata-rata berdekatan kurang dari rentang nilai paling signifikan. Seperti sebelumnya, ini berarti dari antara himpunan empat rata-rata, setidaknya salah satu rata-rata secara statistik signifikan berbeda dari yang lain. Dari empat rata-rata berdekatan kita memiliki nilai kisaran paling signifikan 5.08. himpunan rata-rata berdekatan kita adalah D ke C, A ke H, B ke F, C, E, dan H untuk G. Nilai rentang untuk himpunan tersebut adalah: Rumus : untuk D ke C untuk A ke H untuk B ke F untuk C ke E untuk H ke G
50.56-35.07=15.49 89.51-39.10=50.41 90.59-46.10=44.49 96.97-50.56=46.41 97.70-89.51 =8.19
Sekali lagi, kita menemukan bahwa semua nilai kisaran melebihi rentang nilai yang paling signifikan 5.08. Karena himpunan rata-rata yang berdekatan secara statistik tidak sarna, kita hams menjalankan himpunan tiga rata-rata berdekatan. Dengan tiga rata-rata berdekatan kita memiliki total enam himpunan berbeda. Nilai rentang yang paling signifikan untuk tiga rata-rata berdekatan adalah 4.93. Himpunan rata-rata tiga berdekatan adalah D ke B, A ke C, B ke H, C ke F, H ke E, dan F untuk G. Nilai kisarannya adalah:
234
Rumus: untuk D ke B untuk A ke C untuk B ke H untuk C ke F untuk H E untuk F ke G
46.50-35.07 = 11.43 50.56-39.10 = 11.46 89.51-46.50 = 43.01 90.59 - 50.56 = 40.03 96.97 -89.51 = 7.46 97.70-90.59 = 7.46
Meskipun beberapa kisaran rnendekati 4.93, tapi sernuanya rnasih rnelebihi nilai rentang paling signifikan. Dengan dernikian dapat diartikan untuk setidaknya satu level lebih rata-rata berdekatan, setidaknya ada satu rata-rata bahwa secara statistik signifikan berbeda dari yang lain. Sekarang kita lanjutkan ke tingkat akhir rata-rata berdekatan. Nilai rentang dua rata-rata berdekatan paling signifikan adalah 4.68. Karena hams ada setidaknya dua bersebelahan rata-rata untuk rnelakukan uji jarak Duncan, kita dapat rnengharapkan hasil pengurutan dengan iterasi ini. Hirnpunan rata-rata berdekatan adalah D ke A, Ake B, B ke C, C ke H, H ke F, F ke E, dan E ke G. Nilai kisaran untuk rata-rata berdekatan tersebut adalah: untuk D ke A untuk A ke B untuk B ke C untuk C ke H untuk H ke F untuk F ke E untuk E ke G
39.10-35.07 = 4.03 46.50-39.10 = 7.40 50.56 - 46.50 = 4.06 89.51- 50.56 = 38.95 90.59 - 89.51 = 1.08 96.97 - 90.59 = 6.38 97.70-96.97 = 0.73
Akhirnya kita rnerniliki beberapa hasil untuk ditafsirkan. Hirnpunan rata-rata berdekatan untuk D ke A, B ke C, H ke F, dan E ke G rnerniliki rentang kurang dari nilai rentang yang paling signifikan 4.68. Ini berarti bahwa tidak ada perbedaan yang signifikan secara statistik untuk rnasing-rnasing pasangan rata-rata ini. Sebaliknya, hirnpunan rata-rata yang berdekatan A ke B, C ke H, dan F ke E rnerniliki rentang yang lebih besar dari 4.68. Hasil ini rnenunjukkan bahwa rata-rata secara statistik signifikan berbeda. Sekarang kita dapat rnenarik kesirnpulan secara statistik adalah: ~ ~ ~ ~
AlternatifD danAadalah sarna AlternatifB dan C adalah sarna AlternatifH dan F adalah sarna AlternatifE dan G adalah sarna
235
--
--
--
Kita juga dapat menarik kesimpulan tambahan berikut ini didasarkan pada pasangan yang secara statistik tidak signifikan sarna, atau dengan kata lain secara statistik berbeda signifikan, yaitu: ~ Kinerja altematifD secara statistik signifikan lebih baik daripada altematiflain kecuali altematif A ~ Kinerja altematif A secara statistik signifikan lebih baik daripada altematiflain kecuali altematifD, B dan C ~ Kinerja altematifB secara statistik signifikan lebih baik daripada altematiflain kecuali altematifD, A, dan C ~ Kinerja altematifH secara statistik signifikan lebih baik daripada altematifE danG ~ Kinerja altematifF secara statistik signifikan lebih baik hanya dari altematifE danG Di permukaan, akan terlihat bahwa sistem hams dioperasikan dengan konfigurasi yang dijelaskan dalam altematif D. Meskipun altematif ini akan menawarkan tingkat kinerja tertinggi, mungkin bukan pilihan terbaik di antara keseluruhan konfigurasi sistem. Untuk membuat rekomendasi yang tepat, analisis ekonomi biasanya harns dilakukan. Kesimpulan dari ujijarakjamak Duncan memiliki lebih banyak makna ketika biaya operasional sistem dipertimbangkan. Sebagai contoh, tidak ada perbedaan dalam kinerja antara altematifD dengan 7 orang dan altematif A dengan 6 individu. Karena tidak ada perbedaan yang signifikan secara statistik antara kedua altematif, sistem dapat dioperasikan dengan biaya lebih rendah dengan hanya 6 individu, bukan 7 (altematifA). Cara lain untuk melihat hasil adalah dengan membangun tingkat staf tertentu. Jika, misalnya, hanya lima staffterlatih dan individu yang berkualitas tersedia untuk mengoperasikan sistem pos pemeriksaan keamanan, altematif C, F, dan E akan menjadi pilihan. Karena altematifC seCarastatistik signifikan lebih baik daripada F atau E, itu akan menjadi pilihan stafterbaik. 8.4.3Analisis Sistem Nonterminating Analisis sistem nonterminating berbeda jauh dari sistem terminating. Perbedaan ini ditumbulkan oleh kondisi awal, penentuan kemapanan, otokorelasi, banyaknya replikasi, dan metode batch.
236
Sistem Nonterminating biasanya mulai hanya sekali dan kemudian berlanjut untukjangka waktu tak terbatas. Sistem mungkin sebenamya tidak pemah berakhir, atau mungkin berakhir dan dijalankan kembali pada kondisi yang sarna saat mengakhiri. Kemungkinan yang manapun yang terjadi, sistem dianggap berjalan untuk jangka waktu tak terbatas. Karena praktisi terutama tertarik pada kinerja sistem nonterminating secara rata-rata, maka kondisi awal bukan merupakan suatu yang sangat penting. Hal ini karena sistem pertama akan memiliki keadaan transien awal sebelum menjadi seimbang dan sistem mencapai kondisi mapan. Meskipun kondisi transien awal mungkin tidak begitu penting bagi praktisi, tapi tetap saja perlu dimodelkan. Para praktisi dapat memilih salah satu dari dua pendekatan yang berbeda untuk memodelkan kondisi awal: 1. Mulailah dengan sistem kosong. 2. Mulailah dengan sistempemuatan. Praktisi mungkin mulai menjalankan simulasi tanpa entitas dalam sistem. Jika pendekatan ini dipilih, mungkin diperlukanjangka waktu yang panjang untuk sistem dalam melakukan perjalanan melalui kondisi transien awal. Pertanyaannya kemudian menjadi bagaimana mengidentifikasi ketika sistem telah selesai dengan kondisi sementara awal dan mulai mapan. Praktisi juga dapat memulai penjalanan simulasi dengan entitas dalam sistem. Pada awal menjalankan simulasi, model dimuat dengan cara yang sarna saat model divalidasi. Hal ini memerlukan praktisi untuk mengamati sistem dan memulai model denganjumlah entitas yang sarnadan kondisi sumber daya. Perbandingan secara statistik antara sistem nonterminating harns dilakukan hanya dengan data dari model dalam kondisi mapan. Jadi, sebelum praktisi dapat melakukan perbandingan statistik apapun, keadaan transien awal, jika ada, harns dihilangkan. Selama simulasi berjalan, status transient awal biasanya dapat diidentifikasi sebagai serangkaian pengamatan dengan peningkatan secara terusmenerus output ukuran nilai kinerja. Sebagai contoh, entitas awal dalam sebuah sistem yang tidak dimuat akan memiliki waktu sistem lebih pendek daripada ketika sistem dimuat dan beroperasi dalam kondisi mapan. Ada sejumlah cara untuk memperkiraan kapan ukuran output kinerja keluar dari kondisi transien awal dan memasuki kondisi mapan.Cara tersebut adalah menggunakan pendekatan grafik dan regresi linear. Apapun pendekatan yang digunakan untuk mengidentifikasi akhir dari kondisi transien awal, praktisi mungkin ingin menghaluskan nilai ukuran output kinerja. Jika
237
---
--
--
nilai diratakan, mungkin lebih mudah untuk mengidentifikasi akhir dari kondisi transien awal. Cara yang paling umum untuk menghaluskan data adalah dengan menjalankan rata-rata pengamatan. Sebagai contoh, penjalanan rata-rata 50 dapat dimanfaatkan. Ini berarti bahwa setiap nilai tidak diplot sebagai nilai aktual tetapi sebagai rata-rata penjalanan dari nilai saat ini ditambah dengan nilai 49 pengamatan sebelumnya. Dalam pendekatan grafis, praktisi berusaha untuk menentukan secara visual ketika kemiringan kondisi awal transien mendekati O.Pada titik ini, ukuran output kineIja telah mencapai kondisi mapan. Jelas, pendekatan kualitatif ini sangat subjektif dan rentan untuk dipengaruhi oleh interpretasi individu. Pendekatan ini diilustrasikan pada Gambar 8.1. 20 18 16 20
14
18
" 12
16
~10
.. 12
S
14
~ 10
i 8
,; :Ii 8
6
6 4
4
2 o
2
o
1 I
I
I
I
~
I
3
5
1
9
11 13 15 11 19 21 23 25 21 29 Observation.
,--
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Observations
Gambar8.1.Pendekatan Kualitatif
Gambar 8.2. Pendekatan Regresi Linear
Dalam pendekatan regresi linear, praktisi menggunakan metode kuadrat terkecil untuk menentukan kapan kondisi transien awal berakhir. Pendekatan regresi linear melibatkan pengujian berbagai pengamatan untuk melihat apakah koefisien kemiringan regresi linear adalah sarna dengan DOl.Jika kemiringan untuk suatu rentang pengamatan tidak nol, maka praktisi menambah rentang pengamatan. Dengan cara ini, praktisi akhirnya akan memiliki kisaran data yang koefisien kemiringannya tidak signifikan. Pada titik ini, praktisi telah mencapai perilaku kondisi mapan sistem. Gambar 8.2. mengilustrasikan pendekatan ini.
238
Garis regresi pertama dengan jelas menggambarkan situasi di mana kemiringan pengamatan tidak nol. Ini berarti bahwa sistem berada dalam keadaan transien dan belum masuk kondisi mapan. Baris kedua berisi campuran data lama ditambah pengamatan barn. Pada intinya, jendela data sedang dipindahkan ke rentang yang lebih tinggi dari pengamatan. Pada baris kedua, kemiringan regresi jauh lebih dekat ke O. Ini berarti bahwa pengamatan di jendela data mulai meninggalkan fase transien dan memasuki mapan. Pembuatan garis regresi mudah dijalankan menggunakan lembar kerja elektronik seperti Excel. Fungsi regresi linear ditemukan di bawah Tools-Data Analysis pada rangkaian menu. Jika tidak muncul, maka praktisi hams menjalankan Tools-Add-ins dari rangkaian menu dan memeriksa Analysis Toolpak. Instalasi default untuk Excel tidak secara otomatis menambahkan Toolpak. Jadi, kecuali jika seseorang telah menggunakan Toolpak, praktisi mungkin harns mengikuti urutan ini. Konsep ini secara matematis digambarkan dengan data berikut. Data mewakili sistem-30 pengamatan pertama dari sistem nonterminating seperti yang dapat dilihat pada Tabel 8.2. Sebuah jendela bergerak sepuluh pengamatan digunakan untuk menentukan kapan waktu sistem sementara bergerak dari fase transien ke fase mapan. Output regresi pada Tabel 8.3. dari Excel diperoleh dari 10 waktu sistem pertama untuk nonterminating simulasi. Output ini didasarkan pada hipotesis nol bahwa kemiringan data adalah nol. Hipotesis altematif adalah bahwa kemiringan data tidak nol. Kemiringan output diwakili oleh koefisien x variabell. Koefisien ini terdaftar sebagai 0.767. Nilai P yang terkait dengan x variabell adalah 0.000. Jika kita memiliki tingkat a 0.05, nilai ini sangat signifikan secara statistik. Ini berarti bahwa hipotesis nol hams ditolak. Maka kemiringan pengamatan 1 sampai 10 adalah tidak O. Dengan demikian, himpunan pengamatan ini masih dalam fase transien. Tabel 8.2. Data 30 pengamatan Pengamatan
1
Systime
0.5
Pengamatan
-
Systime
I
16
2
.3
1.0 2.0
4
5
6
7
8
9
10
111 121 13 I 14 1 15
3.0
5.0
5.0
6.0
6.0
7.0
7.0
8.019.5110.0111.0110.0
I 17 I 18 I 19 I 20 I 21 I 22 I 23 I 24 I 25 I 26 I 27 I 281 291 3
111.0112.0111.5112.0112.0111.5112.0111.0112.0112.0112.1112.2112.0111.9112.0
239
--
--
TabeI8.3. Ringkasan output pengamatan 1-10 Regression Statistic 0.965 0.932 0.924 0.650 10.000
Multiple R R Square Adjusted R square Standard Error Observations
ANOVA: Pengamatan 1-10
Regression Residual Total
db
Jumlah Kuadrat
Kuadrat rata-rata
I 8 9
48.492 3.533 52.025
48.492 0.442
F
SignifikansiF
109.792
0.000
Perpotongan dan kemiringan output : pengamatan 1-10 Kesalahan standar 0.454 0.073
Koefisien Perpotongan X variable I
0.133 0.767
Statistik - t
Nilai - p
0.294 10.478
0.776 0.000
Jika kita sekarang memindahkan jendela lima pengamatan ke depan, jendela sekarang mencakup pengamatan 6 hingga 15. Hasil pengamatan ini dalam output regresi Excel sebagai berikut. Ringkasan output pengamatan 6-15 Regression Statistics
Multiple R R Square Adjusted R Square StandardError Observations
0.966 0.933 0.925 0.565 10
ANOVA: pengamatan 6-15 Regression
Residual Total
df 1 8 9
SS 35.673 2.552 38.225
MS 35.673 0.319
240
F 1l1.850
Significance F 0.000
Perpotongan dan kemiringan pengamatan 6-15
Intercept X Variable I
Coefficients StandardError T Stat P-value 1.045 0.677 1.545 0.161 0.658 0.062 10.576 0.000
Dalam output ini, koefisien kemiringan x variabel 1 telah direduksi menjadi 0.658. Ini berarti bahwa kemiringan menjadi lebih horizontal. Nilai P masih 0.000. Hipotesis noI kembali hams ditolak. Ini berarti bahwa kemiringan bukan noI, dan sistem masih dalam fase transien. Bergerak sepanjang lima pengamatan ke kanan, kita sekarang memiliki 11 pengamatan melalui 20 dalam jangkauan data kita. Regresi Excel berikut menggambarkan hasil keluaran dari kisaran ini. ringkasan output pengamatan 11-20 Regression Statistics
0.878 0.771 0.742 {).668 10
Multiple R R Square Adjusted R Square Standard Error Observations
ANOVA: penamatan 11-20
38.225
df
Regression 1 Residual 8 9 Total
SS
MS
F
12.027 3.573 15.600
12.027 26.931 0.001
Significance F
0.447
output perpotongan clan kemiringan pengamatan 11-20
Intercept X Variable 1
4.782 0.382
StandardError 1.160
T Stat
0.074
5.190
P-value
4.123 0.003 0.001
Dalam tabel output regresi koefisien x variabell sebesar 0.382. Kemiringan terns mendekati O.Nilai P sekarang menjadi 0.001. Pada tingkat a 0.05, nilai ini masih signifikan secara statistik. Hipotesis nol sekali lagi ditolak. Walaupun kemiringannya datar, kita masih dalam fase transien dengan pengamatan 11-20. Bergerak di luar lima titik data lain, perhatikan sekarang pengamatan 16-25.Regresi ini digambarkan tabel di bawah ini:
241
--
ringkasan outputpengamatan 16-25 Regression Statistics 0.174 MultipleR 0.030 R Square -0.091 AdjustedR Square Standard Error 0.440 Observations 10 ANOVA: pengamatan 16-25 df SS MS F SignificanceF 0.048 0.048 0.250 0.631 Regression 1 8 1.552 0.194 Residual Total 9 1.6 outputperpotongandankemiringanpengamatan16-25 Coefficients StandardError T Stat P-value Intercept 11.203 1.004 11.162 0.000 X Variable1 0.024 0.048 0.500 0.631
Dalam iterasi terbarn kita, koefisien x variabell sekarang menjadi 0.024. Ini jelas mendekati O. Nilai P sebesar 0.631. Pada tingkat a 0.05, kita tidak dapat menolak hipotesis nol yang berbunyi kemiringan menjadi 0 dengan hasil ini. Dengan demikian, sistem ini akhimya memasuki fase kondisi mapan. Praktisi statistik sekarang dapat mengklaim dengan yakin bahwa waktu sistem adalah di luar dari kondisi transien menggunakan pengamatan 16. Dengan demikian, pengamatan 1 hingga 15 memiliki fase transien. Pengamatan ini harns segera dibuang dalam melakukan analisis apapun selanjutnya. 8.4.3.1. ()tokorelasi Sebuah isu yang penting praktisi perhatikan dalam sistem nonterminating adalah otokorelasi. Ini adalah kecenderungan dari pengamatan berurutan dari ukuran output kinerja berkaitan satu sarnalain. Hal ini terjadi ketika, misalnya, waktu sistem satu entitas berkorelasi dengan entitas berikutnya. Jika entitas pertama mempunyai waktu sistem tinggi, entitas berikutnya mungkin juga mengalami waktu sistem tinggi. Demikian pula, jika entitas pertama memiliki waktu sistem rendah, entitas berikutnya juga akan memiliki waktu sistem yang rendah. Ketika ini terjadi, sistem mungkin mengalami otokorelasi.
242
Bahaya otokorelasi adalah bahwa praktisi dapat benar-benar mengukur lebih rendah varians sebenamya output ukuran kinerja, seperti waktu sistem. Jika praktisi mengukur varians sebenamya lebih rendah, perbandingan statistik selanjutnya mungkin akan terpengaruh. Jika varians dihitung lebih rendah, ada peningkatan kemungkinan bahwa praktisi akan berpikir bahwa sebenamya ada perbedaan antara model ketika pada kenyataannya tidak ada. Jadi,jika sistem memiliki otokorelasi dan praktisi tidak memperhitungkan itu, praktisi mungkin secara tidak sengaja menolak hipotesis nol bahwa tidak terdapat perbedaan antara sistem. Karena otokorelasi benar-benar memiliki potensi untuk mengacaukan statistik perbandingan antara model, adalah bijaksana untuk memperhatikan semua kemungkinan efek. Ada beberapa metode statistik yang tersedia untuk menjelaskan otokorelasi. Beberapa di antaranya sangat matematis menantang untuk diterapkan. Karena praktisi lebih tertarik dengan pendekatan lebih sederhana tapi tetap sebgai pendekatan valid, kita akan meninggalkan teknik yang lebih rumit dan memanfaatkan apa yang dikenal sebagai metode batch untuk menjelaskan kemungkinan otokorelasi. 8.4.3.2. Metode Batch
Alih-alih menjalankan beberapa ulangan dengan durasi yang relatif pendek sebagai mana dalam model sistem terminating, kita menjalankan sistem nonterminating model untuk satu replikasi dengan periode waktu penjalanan yang jauh lebih lama dan membaginya ke batch terpisah. Setiap batch kemudian dianggap sebagai ulangan individu. Teknik perbandingan yang sarna kemudian dapat digunakan untuk berbagai altematif. Langkah-Iangkah dalam menerapkan metode ini adalah: .
Mengidentifikasi ukuran lag korelasi tidak signifikan.
.
Membuat batch sepuluh kali ukuran lag.
.
Membuat replikasi lama penjalanan keadaan-tetap sepuluh kali batch lama.
Tujuan dari pengidentifikasian ukuran lag korelasi tidak signifikan adalah untuk mengidentifikasi interval antar pengamatan yang mempunyai korelasi kecil satu sarna lain. Jika korelasi lemah, maka otokorelasi menjadi tidak penting, atau dapat diabaikan. Interval ini dikenal sebagai lag. Jika ada, misalnya, lag dari 100 pengamatan, itu berarti bahwa pasangan pengamatan pertama dan yang ke-lO 1, pengamatan kedua dan yang ke-l02, dan seterusnya tidak memiliki korelasi.
243
--
Perhitungan ukuran lag korelasi tidak signifikan bisa dipelajari lebih detil pada buku Statistik. Banyak paket perangkat lunak simulasi dilengkapi dengan kemampuan perhitungan ukuran lag korelasi tidak signifikan. Dalam contoh ini, perhatikan sebuah simulasi nonterminating dijalankan sekitar 65.000 menit. Penjalanan ini menghasilkan total waktu sistem 26.849 pengamatan. Gambar 8.3. mengilustrasikan penggunaan correlogram untuk mengidentifikasi lag tidak signifikan dengan data ini. Seperti yang ditunjukkan correlogram, lag tidak signifikan teIjadi pada selang waktu sekitar 600 pengamatan. Systime (1)
C0"8!a!JC)11 1.0
0.5 .0.0
.0.5 .1.0 200
o
600
800
Gambar 8.3. Correlogram
Setelah ukuran lag tidak signifikan telah ditentukan, para praktisi dapat menggunakan aturan simulasi membuat batch tunggal sepuluh kali ukuran lag: ukuran batch = lOx ukuran lag tidaksignifikan Ukuran batch dalam program simulasi biasanya harns diubah menjadi unit waktu. Pengubahan ini dapat dilakukan dengan mencari tahu berapa lama waktu rata-rata yang dibutuhkan setiap sistem pengamatan untuk teIjadi menggunakan rnmus berikut: total waktu simulasi waktu simulasi tunggal
=
pengama tan Ini berarti bahwa waktu untuk memperoleh jumlah pengamatan untuk ukuran batch adalah: waktu batch
= waktu
pengama tan tunggal x ukuran batch
244
Dalam contoh kita, ini berarti bahwa masing-masing batch harns memiliki 6.000 observasi agar tidak menjadi subyek otokorelasi. Karena waktu pengamatan tunggal adalah:
= 65000 = 2.42 26849
Lag batch tidak signifikan waktu untuk menghasilkan 6.000 tiap batch dengan demikian adalah: waktu batch = 2.42 x 6000 = 14520menit Tugas berikutnya adalah untuk menentukan berapa lama menjalankan simulasi nonterminating. Lama simulasi harus cukup lama untuk menghapus fase transien dan memiliki minimall 0 batch untuk memenuhi ukuran batch yang diperlukan. Dalam contoh kita, fase transien terdiri dari 15 pengamatan. Jadi, kita perlu menjalankan simulasi untuk total sekurang-kurangnya: lama penjalanan = lama transien + lOx waktu batch lag tidaksignifikan Penjalanan simulasi ini akan memproduksi sedikitnya 6015 pengamatan waktu sistem entitas individu. Kita segera membuang 15pengamatan pertama dari transien awal. Sisa 6000 atau perlu dibagi menjadi ukuran batch berurutan 600. Ini akan menghasilkan 10batch. Batch ini sekarang dianggap sebagai ulangan individu. Kita sekarang dapat melakukan urutan yang sarna seperti dengan uji statistik sistem terminating. Ini termasuk pengujian sepuluh batch untuk analisis replikasi. Dalam hal sepuluh ulangan tidak cukup, praktisi harns meningkatkan lama penjalanan. Ketika jumlah ulangan yang memadai telah dicapai, perbandingan signifikan dilakukan dengan interval keyakinan atauANOVA dan ujijarakjamak Duncan. Model simulasi kejadian diskrit berbeda dari tipe model lainnya. Model simulasi kejadian diskrit menggabungkan banyak variabel acak sehingga hasil (output) model merupakan variabel acakjuga. Sebagai hasilnya, perkiraan output dalam penjalanan simulasi tertentu dapat sangat berbeda dari karakteristik model sebenarnya. Karena itu menggunakan output simulasi kejadian diskrit untuk menjawab pertanyaan pemodelan yang merupakan perilaku dan karakteristik sistem nyata bisa menjadi pekerjaan yang sangat sulit. Output model simulasi seperti ini bisa dengan mudah disalahinterpresentasikan. Dalam berbagai studi simulasi, waktu dan dana besar biasanya dikeluarkan saat pengembangan model dan pembuatan program, tapi sangat sedikit usaha yang dilakukan dalam menganalisis output simulasi dengan tepat. Ada beberapa alasan
245
--
--
-
kenapa analisis data output belum dilakukan dengan benar. Pertama, pengguna sering membayangkan bahwa slmulasl hanya latlhan dalam pemrograman komputer, bahkan untuk yang sangat kompleks. Akibatnya, banyak studi simulasi dimulai dengan pembangunan dan pengkodean model heuristik dan diakhiri dengan penjalanan tunggal model untuk menghasilkan "jawaban". Padahal, simulasi adalah percobaan contoh statistik berbasis komputer. Oleh karena itu, jika hasil simulasi tidak mempunyai arti, teknik statistik harns digunakan untuk merancang dan menganalisis percobaan simulasi. Alasan kedua adalah output proses semua simulasi maya bersifat dinamis dan otokorelasi. Oleh karena itu teknik statistik klasik yang didasarkan pada pengamatan lID (Identics and independent distribution) tidak secara langsung dapat diaplikasikan. Masih adajuga beberapa permasalahan analisis output dimana tidak ada solusi lengkap yang dapat diterima, dan metode yang tersedia biasanya terlalu kompleks untuk digunakan. Kegagalan lainnya adalah biaya waktu komputer yang dibutuhkan untuk mengumpulkan jumlah cukup data output. Bahkan kadang kadang ada situasi dimana prosedur statistik yang tersedia sesuai, tetapi biaya mengumpulkan data yang dibutuhkan prosedur itu terlalu mahal. Permasalahan terakhir ini memang sudah mulai mendapatkan penyelesaian karena kebanyakan analis mempunyai mikrokomputer atau stasiun kerja dengan kecepatan tinggi. Komputer seperti ini sudah tidak terlalu mahal dan dapat dijalankan sepanjang malam atau selama akhir pekan untuk menghasilkan data output simulasi yang sangat besarpada biaya marjinal nol. 8.4.4. Contoh Sistem Nonterminating Berikut ini adalah contoh beberapa sistem nonterminating : 1. Jobshop: fasilitas produksi terdiri dari beberapa stasiun kerja. Ketika suatu pekerjaan tiba pada fasilitas, pekerjaan itu akan melewati beberapa stasiun sampai diselesaikan. Meskipun shop hanya beroperasi satu shift dan tidak beroperasi pada hari Sabtu atau Minggu, jobshop ini tergolong sistem nonterminating. Ketika operasi akan diakhiri (seperti pada Jumat malam), status akhir sistem akan menjadi status awal ketika operasi dimulai lagi. Siklus hidup sistem tidak terbatas dan sistem disimulasikan selama pengakumulasian statistik yang dibutuhkan untuk ukuran kinerja. Ukuran kinerja bisa dalam bentuk utilisasi berbagai stasiun kerja, waktu rata-rata penyelesaian satu pekerjaan dan rata-rata pekerjaan dalam proses.
246
2.
3.
4.
5.
Sistem inventori: peritel menimbun barang dagangan dan melakukan pemesanan ulang ketika level inventori mencapai atau lebih rendah dari level yang ditentukan. Meskipun aktifitas jualan hanya 8 jam sehari dan 5 hari dalam satu minggu, inventori akhir pada hari tertentu akan menjadi inventori awal pada hari berikutnya. Kejadian diskrit yang menggerakkan sistem berlangsung tanpa batas, dan ukuran kinerja termasuk rata-rata inventori, fraksi order yang harns memesan ulang atau berlebih danjumlah rata-rata order pertahun. Bandar udara: selama 24jam per hari, pesawat tiba dan berangkat dari bandara. Meskipun ada periode aktivitas ringan dan berat, keadaan pagi di bandara tergantung dari bagus tidaknya manajemen dilakukan sore sebelumnya dengan tidak ada pengakhiran sistem. Ukuran kinerja termasuk rata-rata waktu satu pesawat harns menunggu untuk lepas landas atau mendarat dan rata-rata jumlah pesawat menunggu untuk mendarat atau lepas landas. Rumah sakit: pasien masuk rumah sakit dengan asumsi kamar inap tersedia. Begitu satu tempat tidur sudah diisi, tempat tidur itu tidak akan tersedia lagi sampai pasien tersebut sudah pulang atau pindah kamar. Pasien yang tidak dapat diterima karena tidak ada tempat tidur lagi akan masuk ke rumah sakit lainnya jika memerlukan perawatan segera atau menunggu sampai ada tempat tidur yang kosong berikutnya. lumlah pasien yang masuk dan keluar setiap pagi tergantung dari jumlah pasien di rumah sakit dan panjang daftar tunggu sore sebelumnya. Ukuran kinerja termasuk rata-rata jumlah pasien dalam klinik dan rata-rata waktu menunggu pasien untuk mendapatkan perawatan. Sistem status tetap: dosen direkrut oleh suatu universtas dan beberapa tahun diberikan sebagai tahapan menuju status tetap. Pada akhir setiap tahun pengajaran dan penelitian dosen menerima tahun berikutnya sebagai tahapan menuju status tetap. Setelah 6 tahun, evaluasi dilakukan, dosen akan diangkat menjadi status tetap atau hanya akan diberikan kontrak satu tahun lagi. Selama 6 tahun itu, dosen dapat meninggalkan universitas. Setelah menerima status tetap, dosen dapat tinggal sampai pensiun atau pindah ke universitas lain. Ini adalah sistem nonterminating (kecuali untuk dosen yang akhimya tidak mendapatkan status tetap) karena universitas mempunyai masa hidup tidak terbatas. Pada akhir sembarang tahun, jumlah dosen dalam universitas tergantung dari jumlah pada awal tahun dan status permanen mereka dan jumlah tahun menuju status permanen. Ukuran kinerja adalah jumlah dosen status permanen dan bukan permanen dan peluang bahwa seorang dosen akan mendapatkan status permanen.
247
- ---
-
--
-
-
--
Karakteristik perilaku sistem seperti yang diuraikan di atas bisa steady-state (status stabil) atau transient. Untuk memahami perbedaan steady-state dan transient, perhatikan definisi ini: Asumsikan: s(t) adalah status sistem pada waktu t. Ps
(4)
Jika tidak sistem tidak akan mencapai status stabil dan dikatakan menunjukkan perilaku transient. Ketika distribusi peluang variabel status tidak berubah lagi sepanjang waktu, maka variabel status sudah mencapai status stabil atau lebih tepatnya mencapai distribusi status stabilnya.Terminologi status stabil juga sering disalahartikan, menyarankan bahwa sistem akan lebih terkontrol (tidak berubah), menyebabkan hanya sedikit perubahan radikal dalam statusnya. Kita tidak bisa menerima saja pemikiran bahwa sistem mantap setelah periode dasar operasi. Meskipun distribusi peluang variabel status stabil sepanjang waktu, sistem berpindah dari satu keadaan ke keadaan lainnya sarna aktifnya dengan fase status stabil saat sistem dalam keadaan fase transient. Faktanya, ragam status sistem lebih besar pada keadaan stabil dibandingkan selama dalam keadaan transient. Contoh sistem yang dapat mencapai status stabil adalah: 1. Jobshop menerima order pada laju rata-rata konstan. Awalnya, pada simulasi, jobshop mungkin tidak mempunyai pekerjaan dalam proses. Asumsinya jobshop meneruskan operasi secara tidak terbatas. Sistem ini nonterminating dan mencapai perilaku status stabil. 2. Bank darah mengumpulkan dan menyimpan darah, mendistribusikannya ke anggota rumah sakit yang membutuhkannya. Dengan menganggap permintaan akan darah seragam sepanjang tahun, inventori darah akan memenuhi distribusi status stabil. Sistem adalah nonterminating. 3. Pembayaran tol dikumpulkan di boks tol pada pintu masuk tol selama jam sibuk Gam 7 sampaijam 9). Jika intensitas lalu lintas tidak berubah selama 2 jam, dan laju kedatangan cukup besar, sistem akan melewati fase transientnya dengan cepat dan analisis status stabil akan sesuai, meskipun simulasi hanya untuk 2 jam. Ketika dianalisis dalam bentuk seperti ini, sistem adalah terminating dan kejadian yang menghentikan adalah kesimpulanjam sibuk.
248
Contoh sistem yang tidak akan mencapai status stabil adalah: 1. Pengguna sistem komputer time-shared terhubung ke sistemjam 8pagi sampai jam 5 sore. Laju pengguna terhubung ke sistem bervariasi sepanjang hari, dengan permintaan padatnya pertengahan pagi dan sore. Sistem ini adalah terminating yang tidak akan mencapai distribusi status stabil karena variasi permintaan sistem komputer danjam operasi yang terbatas 9jam. 2. Perusahaan penerbangan punya kebijakan untuk menerima reservasi lebih 5% dari total tempat duduk yang tersedia untuk mengantisipasi penumpang yang tidak muncul pada jam penerbangan. Setiap hari merupakan sesi terminating, diakhiri dengan sejumlah acak penumpang yang tidak dapat tiket. Kondisi akhir hari tertentu tidak akan niempengaruhi kondisi awal hari berikutnya (dengan asumsi penumpang yang tidak dapat tiket hari tertentu sudah terakomodasi dengan penerbangan lainnya hari itu juga). Dalam simulasi ini tidak ada distribusi status stabil maupun transient dan waktu bukan inti simulasi. 8.4.5. Analisis Output untuk Sistem Terminating Metode paling umum memperkirakan karakteristik sistem menggunakan model simulasi adalah mengumpulkan karakteristik sampel selama model simulasi dijalankan. Sekali data dikumpulkan, data itu dapat digunakannya untuk membangun titik dan selang perkiraan karakteristik. Ingat kembali sifat dua titik penduga paling umum, rata-rata contoh dan standar deviasi contoh (s): n
X
= ~x;
(5) dan s- li~l Co,- X)2 (6) n - -V (n - 1) akan menjadi titik penduga rata-rata populasi (J.!)dan S2akan menjadi titik penduga ragam populasi (cr). Untuk simulasi terminating, metode paling umum digunakan untuk meyakinkan bahwa pengamatan Xi bersifat independen dan mempunyai nilai ekspektasi umum adalah pengulangan. Oleh karena itu simulasi dijalankan beberapa kali, dimana setiap ulangan bebas dari ulangan lainnya. Selamapenjalanan tiap simulasi, pengamatan dilakukan untuk setiap titik waktu yang dirancang atau atas terjadinya kejadian yang dirancang.
249
--
---
---
Untuk simulasi yang diulang R kali, dengan K pengarnatan intennediat dalarn setiap simulasi, asumsikan: X;j =pengarnatanke-julanganke-i
Dimanai = 1,2, ...,Rdanj = 1,2, ...,K Yi= ukuran kineIja keseluruhan selama ulangan ke-i Maka,
R (
R
L xij
-
i=l
Xj==- R
_
Y
R LY'
.J - 1, 2, ..., K
(7)
2 Sj
(8)
I
== i=1
L ~ij i=1
=-
2 Sy
- )2
- X j
(9)
(R-I ) { LR \Yi
-
(R
-I
i=1 ==
R
_ Y
)
2
(10)
)
maka interval pendugaan untuk E{xj)dan e{y) adalah: p(llj==XjI la/2,{R-I)Sy/JR)
=I-a
P(IlY= Y I la/2,{R-I)Sy /5)==I-a 8.4.6. Analisis Output Sistem Nonterminating
(11) (12)
Kita akan menghadapi beberapa pennasalahan ketika melakukan analisis ouput sistem nontenninating yang tidak ditemukan dalam sistem tenninating, yaitu: > Kondisi awal bias. Data awal yang dikumpulkan selama bagian awal simulasi mungkin bias karena status awal sistem. Perilaku sistem selama fase awal ini mungkin salah arah atau tidak relevan dengan pertanyaan yang diharapkan untuk dijawab. > Kovarians antara sampel. Kelompok data yang dikumpulkan selama simulasi pada umumnya tidak saling bebas. Jika kumpulan sampel tidak saling bebas, perkiraan ragam akan bias.
>
Lama penjalanan.
Meskipun sistem nontenninating,
simulasi sistem hams
diakhiri. Jika simulasi dihentikan lebih awal, mungkin kita tidak akan mendapatkan simulasi yang mewakili. Metode yang digunakan untuk menganalisis output simulasi sistem nontenninating adalah pengulangan, batching, otokorelasi dan status regenerasi. Metode pengulangan yang digunakan sarna dengan yang digunakan pada sistem
250
terminating, tapi hams mengabaikan (paling tidak meminimumkan) pengaruh kondisi awal pada output model. Hal ini dapat dilakukan dengan membuang pengamatan yang dikumpulkan pada fase awal simulasi dan hanya menggunakan data yang dkumpulkan setelah mencapai status stabil. Meskipun secara prinsip metode ini relatif sederhana, tapi dalam prakteknya sejumlah permasalahan muncul. Pertama, kita harus punya cara untuk memutuskan sampai mana data awal dan kapan mulai data status stabil. Disamping itu, biaya yang terbuang karena penjalanan fase awal mungkin cukup signiflkan. Permasalahan yang dihadapi jika menggunakan metode pengulangan (biaya pengulangan untuk mengawali simulasi dan ketidakpastian lamanya fase transient) dapat dikurangi dengan metode batch, tapi tidak menghilangkan. Dalam metode batch, satu simulasi panjang dijalankan dan kita mencatat ukuran statistik secara perodik dan kemudian mengembalikannya ke titik awal. Pengembalian ke titik awal ini bisa didasarkan pada jangka waktu simulasi tertentu yang ditetapkan atau berdasarkan terjadinya sejumlah kejadian tertentu. Jika jarak antara dua pengulangan berurutan cukup besar, statistik yang diakumulasikan selama tiap interval dapat dipertimbangkan independen. Tentu saja mereka tidak benar-benar saling bebas, karena akhir dari suatu status interval i merupakan awal dari status interval i+ 1. Dalam metode batch, statistik yang dikumpulkan selama interval kecil pertama dibuang, untuk memungkinkan sistem melewati fase transient ke fase status stabil. Fase transient hanya akan dijalani sekali, menghasilkan penghematan perhitungan, dan jika lamanya fase transient tidak terukur, pengaruhnya akan berkurang sejalan dengan peningkatan batch. Kesulitan dalam metode batch adalah penentuan lama atau ukuran setiap batch. Jika memilih batch terlalu kecil, hasilnya tidak akan cukup saling bebas, sementara dengan menetapkan batch besar akan membutuhkan penambahan biaya yang lebih tinggi dibanding kebutuhan. Dengan maksud mengurangi separuh lebar interval pendugaan kita perlu mengurangi ragam pengamatan atau meningkatkan jumlah pengamatan. Jumlah pengamatan dapat ditingkatkan dengan mensimulasikan sistem lebih lama atau mengurangi ukuran batch. Jika kita mengurangi ukuran batch, batch mungkin tidak akan saling bebas secara statistik. Metode batch berurutan disarankan oleh Law dan Carson, berusaha menentukan ukuran batch terkecil sehingga rata-rata batch paralel tampak independen secara statistik. Mereka menyarankan menggunakan koeflsien korelasi lag:
251
--
--
--
L- Ir
~
PI = i=I
-
]r
-
LBi - B LBi+l - B
Lr
L
_
LBi - B
]
] (13)
2 L
i=I
LBi
Bj adalah rata-rata batch Untuk
ke-i dan B = i=~
bias PI mereka menyarankan
mengurangi
menggunakan penduga jacknifed : ,
PI = 2PI -
1 2 PI + PI
(14)
_
dimana pf dihitung dari persamaan (13) untuk separuh pertama L (L/2) dan p? untukseparuhL berikutnya, Untuk menggunakan prosedur batch berurutan secara iteratifkita: I. Mensimulasikan sistem sampai batch L pengamatan k dibentuk. 2. Menggunakan pf, uji rata-rata batch dapat dianggap sudah saling bebas, 3. Jika rata-rata batch independen, atur interval kepercayaan dan jika lebar interval kepercayaan ada dalam tingkat keakuratan yang diinginkan, lalu berhenti. Jika tidak, naikkan k dan kembali ke langkah pertama. 4. Jika rata-rata batch tidak independen, naikkan k dan kembali ke langkah pertama. Pada prosedur ini. pengamatan yang lalu tidak dibuang pada sctiap itcrasi. Bahkan pengalllatan tambahan ditambahkan kc pcngamatan lalLl. Kcmudian pengalllatan dipartisi bcrdasarkan ukuran hatch hanl. Pcningkatan ukuran hatch dilanjutkan. mcmhuat pcngamatan tamhahan. dan kl'mudian ml'lIlpartisi pengalllatan kc batch yang khih 1)L'sarsalllpai halch kdihatannya sudah saling hL'l)as dan interval kcpcrcayaancukup h'cil. Selain Illengurangi kordasi anlara sampd parakl. IIIL'hllk IIllIkorL'lasi jll)!a mengurangi pengaruh korclasi antara IK'ngalllalan IInlllk IIIL'llIlKTkirakan ra)!alll
proses yang sedang disimulasikan. Metode regenerasi menghindari bias awal mcnggunakan titik rq!L'nlTasi. lilik regenerasi (kadang-kadang disebut dengan titik pcmhaharuan) adalah status sislL'llI dimana perilaku mas a mendatang sistem bebas (indcpcndcn) dari sL'hdulllnya. Tidak mungkin mengidentifikasikan titik regenerasi untuk scmua sistcm. tclapi jika sistclll bcnar-benar mempunyai titik regenerasi, itu dapat dicksploitasi unluk mcndapatkan pcrkiraan titik dan interval sifat sistem,
252
Daftar Pustaka 1. 2.
Hoover, Stewart V. Dan Perry, Ronald F. Simulation: A Problem Solving Approach. Addison-Wesley Publishing-Company, Massachusetts. 1989. Banks, Jerry, Carson II, J. Dan Nelson, B.L. Discrete-Event System Simulation. Prentice-Hall International, Inc., London. 1984. Law, Averill M. Dan Kelton, David W. Simulation Modeling and Analysis". McGraw-Hill Inc., Singapore. 1991. Pegden, C. Dennis, Shannon, Robert E. Dan Sadowski, Randall P. Introduction to Simulation Using SIMAN. McGraw-Hill, Inc., Singapore. 1995. Hildebrand, D.K. and Ott, L. Statistical Thinkingfor Managers, PWS-Kent, Boston. 1991. Johnson, R.A., Freund, J.E., and Miller, I. Miller and Freund's Probability and Statisticsfor Engineers, Pearson Education, NewYork. 1999. Bowerman, Bruce and O'Connell, Richard T. Applied Statistics: Improving Business Processes. Irwin Professional Publishing, USA. 1997. Walpole, Ronald E. Probability & Statistics for Engineers and Scientist. Prentice Hall. 2002. "
3. 4. 5. 6. 7. 8.
253
"
