Bab 2 Himpunan dan Sistem Bilangan
A. Himpunan
Dalam kehidupan sehari-hari seringkali dijumpai beberapa obyek (makhluk hidup atau benda mati) yang berkumpul karena alasan-alasan tertentu ataupun terklasifikasi atas dasar aturan/syarat tertentu. Contohnya, setumpuk majalah milik Pak Agus, sekumpulan ibu-ibu RT 009 sedang bergosip saat arisan, atau siswa-siswa sedang menghadapi Ujian Nasional. Fenomena semacam ini cukup menarik untuk dibahas terkait dengan alasan atau persyaratan sebuah obyek dapat masuk ke dalam suatu kumpulan atau kelompok tertentu sehingga suatu kelompok memiliki ciri-ciri/karakteristik tertentu yang dengan mudah dapat dikenali dan dipelajari sifatsifatnya. Dalam matematika, permasalahan di atas dipelajari dalam suatu konsep yang disebut sebagai himpunan. Konsep himpunan ini memegang peranan yang sangat penting dalam matematika dan merupakan dasar pendefinisian dari hampir seluruh pengembangan keilmuan matematika. Sebuah himpunan adalah sebuah kumpulan/koleksi dari obyek-obyek yang berlainan. Obyek-obyek dalam sebuah himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan tersebut. Himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf besar A, B, X , Y , , bila perlu diindeks, sedangkan elemennya dinyatakan dengan huruf kecil a, b, x, y , , dan bila perlu diindeks pula. Berikut ini diberikan beberapa notasi yang digunakan untuk menyatakan keanggotaan suatu himpunan:
x A menyatakan x adalah elemen dari himpunan A.
x A menyatakan x bukan elemen dari himpunan A.
menyatakan himpunan kosong, yaitu himpunan yang tidak memiliki elemen.
Beberapa definisi terkait mengenai himpunan antara lain:
Himpunan A disebut sebuah subset (himpunan bagian) dari himpunan B
A B
atau B
adalah superset dari A B A jika dan hanya jika setiap elemen dari A juga merupakan elemen dari B.
Jika A adalah subset dari B dan terdapat sebuah elemen b B dengan b A , maka dikatakan bahwa A adalah subset sejati (proper subset) dari B, dan ditulis A B atau B A .
Dua himpunan A dan B dikatakan sama
A B
jika dan hanya jika A dan B memiliki
elemen yang sama.
Himpunan kosong merupakan subset dari setiap himpunan B, B .
Himpunan S disebut himpunan semesta (universal set) jika S mengandung semua elemen yang ingin diperhatikan.
Himpunan semua subset dari suatu himpunan S disebut sebagai himpunan kuasa (power set) dari S dan diberi notasi P S . Dengan demikian, jika banyaknya elemen dari suatu himpunan S memiliki n buah elemen, maka banyaknya elemen dari P S adalah 2 n . Dalam merepresentasikan sebuah himpunan, secara umum dapat dibedakan menjadi dua
cara sebagai berikut: 1. Bentuk pendaftaran (tabular form) dinyatakan dengan menuliskan semua elemen himpunan tersebut ke dalam kurung kurawal {} di mana urutan maupun pengulangan elemen tidak perlu diperhatikan, contohnya {Jakarta, Papua, NTT} = {Papua, Jakarta,NTT} = {Jakarta, Papua, Papua, NTT}. Secara umum, x1 , x2 , x3 , , xn menyatakan himpunan yang memiliki elemen berhingga banyaknya, sedangkan
x1 , x2 , x3 ,
menyatakan himpunan yang
memiliki elemen tak berhingga banyaknya. 2. Bentuk pencirian (set-builder form) dinyatakan dengan menuliskan sifat/syarat/aturan mengenai elemen-elemen himpunan tersebut, contohnya {x : x adalah huruf vokal} = {x | x adalah huruf vokal} = { x huruf alfabet : x adalah huruf vokal} = { x huruf alfabet | x adalah huruf vokal} atau dalam tabular form direpresentasikan dengan {a,i,u,e,o}. Secara umum,
aturan
penulisannya
dapat
dinyatakan
dengan
x : P x x P x x S : P x x S P x semesta, sedangkan
P x
di mana S merupakan himpunan
menyatakan sifat/syarat/aturan mengenai elemen-elemen
himpunan tersebut. Setelah memahami beberapa definisi terkait mengenai himpunan dan elemen, serta cara bagaimana merepresentasikan suatu himpunan, sekarang pembahasan difokuskan pada operasi apa saja yang dapat didefinisikan antara suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Dengan pendefinisian operasi himpunan ini diharapakan dapat menghasilkan suatu himpunan baru dengan sifat yang baru pula sehingga memperkaya pengetahuan mengenai himpunan itu sendiri. Berikut ini diberikan beberapa operasi yang diberlakukan pada himpunan A dan B yang masingmasing diilustrasikan pula dengan suatu diagram venn, yaitu gambar berbentuk lingkaran yang terletak di dalam sebuah persegi panjang di mana lingkaran menyatakan sebuah himpunan tertentu sedangkan persegi panjang menyatakan himpunan semesta:
Operasi gabung (union): A B didefinisikan sebagai himpunan yang setiap elemennya termasuk ke dalam himpunan A atau himpunan B.
A
B
A∪B
Operasi iris (intersection): A B didefinisikan sebagai himpunan yang setiap elemennya termasuk ke dalam himpunan A dan himpunan B.
A
B
A∩B
Operasi komplemen (complement): AC didefinisikan sebagai himpunan yang setiap elemennya tidak termasuk ke dalam himpunan A.
A
AC
Operasi selisih (difference): A \ B didefinisikan sebagai himpunan yang setiap elemennya termasuk ke dalam himpunan A tetapi tidak termasuk ke dalam himpunan B.
A
B
A\B
Keterangan: Daerah yang diarsir pada masing-masing diagram venn merupakan daerah dari himpunan baru yang dihasilkan melalui masing-masing operasi himpunan di atas. Contoh: Jika diberikan himpunan semesta S 0,1, 2,3, 4,5 dengan A 1, 2,3 dan B 1, 4,5 , maka A dan B dapat dioperasikan. Contohnya:
A B 1,1, 2,3, 4,5 1, 2,3, 4,5 A B 1 AC 0, 4,5 B C 0, 2,3
A B
C
0
A B 0, 2,3, 4,5 A \ B 2,3 B \ A 4,5 C A \ B 0,1, 4,5 C B \ A 0,1, 2,3 C
Berdasarkan operasi-operasi himpunan di atas dapat diturunkan beberapa teorema lain yang berguna dalam pengembangan matematika sebagai berikut:
Misalkan A, B, dan C adalah sembarang himpunan. Maka a) A A A A A . b) A B B A dan A B B A . c)
A B C A B C dan A B C A B C .
d) A B C A B A C dan A B C A B A C . e) A A B A A A B . Selain kelima teorema di atas, berikut ini diberikan pula sebuah teorema yang dikenal dengan aturan DeMorgan: Misalkan A, B, dan X adalah sembarang himpunan. Maka a) X \ X \ A X A . b) X \ A B X \ A X \ B . c) X \ A B X \ A X \ B .
Soal! 1. Jika M r , s, t , apakah notasi yang tepat untuk menyatakan hubungan antara r dengan M dan r dengan M? Jelaskan! 2. Representasikan himpunan-himpunan berikut ini ke dalam bentuk pendaftaran: a) A x x positif dan x negatif ! b) B x x huruf pada kata "malam" ! 3. Representasikan himpunan-himpunan berikut ini ke dalam bentuk pencirian: a) C berisi huruf-huruf a, b, c, d, e! b) D berisi propinsi-propinsi di Pulau Jawa! 4. Misalkan V d ,W c, d , X a, b, c , Y a, b , dan Z a, b, d . Hubungan apa saja yang dapat dinyatakan antara V, W, X, Y, dan Z? (Contoh: Y Z ).
5. Tentukan semua subset yang mungkin dibentuk dari A b, c ! 6. Diketahui himpunan semesta S a, b, c, d , e, f , g . Misalkan A a, b, c, d , e , B a, c, e, g , dan C b, e, f , g . Tentukan: a) C \ B ! b) AC \ B ! c) A C ! d) B A ! e) B C ! f)
BC C !
g)
A\C
C
!
h) C C A ! i)
A\ B
j)
A A
C C
!
C C
!
7. Gambar diagram venn yang mengilustrasikan himpunan-himpunan berikut ini: a) A B, C B , dan A C ! b) A B, C B , dan A C ! c) A B C ,B C dan A C ! 8. P A menyatakan power set dari himpunan A dan menyatakan himpunan kosong. Tentukan: a) P b) P P
c) P P P
9. A, B, dan C adalah himpunan. Apakah berlaku A B apabila A C B C . 10. Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, apakah berlaku A \ B \ C A \ C \ B \ C . Bila berlaku, buktikan! Bila tidak, berikan contoh!
B. Sistem dan Operasi Bilangan
Setelah memahami konsep mengenai himpunan, pembahasan kemudian difokuskan pada himpunan-himpunan yang seringkali digunakan dalam permasalahan matematis. Ketika berbicara mengenai matematika, biasanya seseorang selalu mengaitkannya dengan sebuah bilangan. Oleh sebab itu, himpunan yang akan dibahas lebih lanjut adalah himpunan dari suatu bilangan. Bilangan-bilangan tersebut dapat dikelompokkan ke dalam beberapa jenis himpunan sesuai dengan sifat aljabarnya masing-masing. Sifat-sifat tersebut berhubungan dengan operasi biner (penjumlahan dan perkalian) yang didefinisikan pada dua buah pasangan bilangan a, b . kedua operasi biner tersebut dinotasikan dengan a b untuk penjumlahan dan a b atau a b untuk perkalian.
Bilangan Kompleks (C)
Bilangan Nyata/Riil (R)
Bilangan Khayal/Imajiner (Im)
Bilangan Rasional (Q)
Bilangan Irrasional
Bilangan Bulat (Z)
Bilangan Pecahan
Bilangan Asli (N)
Nol
Bilangan Bulat Negatif
Keterangan: 1. Himpunan bilangan asli: 1, 2,3, 4, . 2. Bilangan Nol: 0. 3. Himpunan bilangan Cacah: N 0 0,1, 2,3, . 4. Bilangan bulat negatif: x x n n x 0, n N 1, 2, 3, 4, . 5. Bilangan bulat: Z N 0 x x n n x 0, n N 0,1, 1, 2, 2, . m 1 1 2 2 3 3 6. Bilangan pecahan: Z m Z , n 0 Z , , , , , , . n 2 2 3 3 4 4 1 1 m 7. Bilangan rasional: m Z , n 0 Z 0,1, 1, , , . 2 2 n
m 8. Bilangan irrasional: x x , m Z , n 0 Z n
2, 3, , e, .
m 1 m 9. Bilangan riil: m Z , n 0 Z x x , m Z , n 0 Z 2, 1, 0,1, , . n 2 n
10. Bilangan imajiner: ai i 1, a 0 R .
11. Bilangan Kompleks: a bi i 1, a, b R . Sebagaimana himpunan pada umumnya, himpunan-himpunan bilangan di atas juga memenuhi sifat-sifat himpunan yang telah dijelaskan sebelumnya. Berikut ini diberikan pula beberapa contohnya: 1. Bentuk pendaftaran dari himpunan
x R x 1 0
adalah
1
anggota himpunan bilangan riil dan memenuhi syarat x 1 0 . x 2. Bentuk pencirian dari 3, 6,9,12,15, adalah x N n, n N . 3
karena 1 merupakan
Soal! 1. Bentuk pencirian dari himpunan bilangan genap positif adalah …. 2. Bentuk pendaftaran dari himpunan x N 8 x 9 adalah …. 3. Bentuk pencirian dari himpunan 7,8 adalah …. 4. Bentuk pendaftaran dari himpunan x N 2 x 1 0 adalah …. 5. Tentukan semua subset yang mungkin dibentuk dari G 0, 1, 2 ! 6. Apakah pernyataan-pernyataan berikut benar atau tidak: a)
1, 4,3 4,1,3 ?
b)
1,3,1, 2,3, 2 1, 2,3 ?
c)
4 4 ?
d) 4 ? e) 4 ? f)
4 4 ?
g) S P S ? h) S P S ? i)
S P S ?
j)
S P S ?
7. Untuk setiap n N , dan An n 1 k : k N , maka A1 A2 .
8. Misalkan K s t 2 : s, t Q . Tunjukkan apakah K memenuhi kondisi berikut ini: a) Jika x1 , x2 K , maka x1 x2 K dan x1 x2 K . b) Jika x 0 dan x K , maka
1 K . x
9. Buktikan bahwa himpunan kuadrat dari bilangan ganjil merupakan subset dari himpunan bilangan ganjil! 10. Buktikan bahwa jika x1 , x2 Im , maka x1 x2 Im !
C. Eksponensial dan Logaritma (Pengayaan)
Pada lingkungan peneliti, seringkali bilangan-bilangan yang digunakan memiliki nilai yang sangat besar ataupun sebaliknya. Contohnya, kelajuan cahaya yang merambat dalam ruang hampa adalah sekitar 300.000.000 m/s atau massa sebuah atom hidrogen adalah sebesar 0,000000000000000000000000167 kg. Agar memudahkan dalam membaca, menulis, maupun mengingatnya, akan lebih baik jika penulisan bilangan-bilangan semacam ini disederhanakan ke dalam suatu bentuk notasi ilmiah yang dipelajari dalam eksponensial. Penyederhanaan penulisan bilangan-bilangan tersebut dinyatakan ke dalam bentuk pangkat, seperti dicontohkan berikut ini: 1. 6 6 6 6 6 65 . 5 kali
2. 4 4 2 2 2 4 2 23 . 2 kali
3 kali
3. 1 1 1 1 1 1 16 1 . 6 kali
4.
1 1 1 1
3
1 .
3 kali
5.
1 1 1 1 1
4
1.
4 kali
6. 300.000.000 3 100.000.000 3 10 10 10 10 10 10 10 10 8 kali
3 10
8
Berikut ini diberikan pula beberapa sifat eksponensial di mana a adalah suatu bilangan: 1. a m a n a m n . 2.
am a mn ; a 0 . n a
3.
a
m n
a mn .
4.
a b
n
a n bn .
n
an a 5. n ; b 0 . b b
6. a 0 1 ; a 0 . 7. a n 8.
1 ; a 0 . an m
am a n ; a 0 .
n
Contoh penerapan sifat-sifat di atas untuk menyederhanakan penulisan massa atom hidrogen adalah sebagai berikut: 167 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000 1 167 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000 1 167 29 10 167 10 29
0, 00000000000000000000000000167
1, 67 10 27 notasi ilmiah
Selain dalam bentuk pangkat, eksponensial dapat pula dituliskan dalam bentuk notasi logaritma. Persamaan a c b dapat ditulis ke dalam bentuk logaritma a log b c . Oleh sebab itu, dapat ditentukan pula sifat-sifat logaritma yang bersesuaian berikut ini:
log b c a log b a log c .
1.
a
2.
a
3.
an
4.
a
5.
a
b log a log b a log c . c log b m c
log b
c
log b
b
m a log b . n
log b . log a 1 . log a
6.
a
log a 1 .
7.
a
log1 0 .
8.
a
9. a
a
log b b log c a log c . log b
b.
Contoh: a2 1. Bentuk sederhana dari 3 2b
2
adalah ….
Jawab: 2
2
2
a2 4 1 2 3 1 2 2 3 2 2 2 3 2 1 2 b 2 2 a 4 b 6 4 6 . 3 a b a b 2 a ab 2 2 2b
2. Jika 3 log 5 a , maka
25
log 27 .
Jawab: 3 3 log 3 3 1 3 1 . 1 3 log 52 2 3 log 5 2 a 2a 1 31
3
log 27 25 log 27 3 log 25
log 33
Soal! 1.
3
0,125
5
32
1
22 . 2 3
2
1 27 4 ! 2. Tentukan nilai dari 52 2
3
3. 27 3 16 4
2 8
2 3
3
4
22
2 3
.
4.
5
1 3 729 243
3
1 . 64 1
5. Sederhanakan bentuk
3 2 4x x x y 3 ! x x
3
6. Diketahui p 3 2 2
a
7. Sederhanakan bentuk
1
5 4 4
dan q 3 2 2 1 a 3 a a 3
a
3
a a
1
. Nilai 1 p 1 q . 1
1
1
2
3
1
!
1
x 2 2 y 2 2 1 1 y x 8. Bentuk sederhana dari adalah …. 1 1 2 2 2 x y 2 1 1 y x 1
1 2 x 6 6 1 2 9. Nilai x yang memenuhi persamaan 5 adalah …. 25 25 x
10. Jika x 0 dan x 1 memenuhi
3
x p dengan p bilangan rasional, maka p .
x3 x
11. Nilai x yang memenuhi persamaan 4 x 3 4 8x 5 adalah …. 3x
2 1 3 31 3 12. Diberikan persamaan . Jika x0 memenuhi persamaan tersebut, maka x 2 3 9 243
3 nilai 1 x0 adalah …. 4
13. 5
1 log 5
1 5
log125 2
2
log 3 3 log 5 5 log
1 2
3 log 81 .
14. Hitunglah nilai numerik dari log 4 log 2 log16 !
15. Hitunglah nilai numerik dari
3
log 36 3 log 4 2
3
log 12
2
!
16. Hitunglah nilai numerik dari 10log5 2 log 5 log 2 log12 log 20 log 3 ! 17. Hitunglah nilai numerik dari 18.
a
log 35 5 3log 175 log1 log 35
2 5!
1 1 1 b c . log bc 1 log ca 1 log ab 1
19. Jika 4 log 5 p dan 4 log 28 q , maka 4 log 70 . 20. Jika log 2 a, log 3 b, dan 2 x 1 323 x , maka nilai x 1 . 1
4 21. Jika log b 4, log a 2, dan a, b, c bilangan positif, a, c 1 , maka a log bc 2 . a
c
22. Jika a log x 2, a log y 3, dan
23. Jika
a
3 x2 z log z 4 , maka a log 3 y 2 z 2
.
2
3 log a log a m m , n, a 1, dan b 1 , maka . 3 2 log b log b n
24. Nilai x yang memenuhi persamaan ab log x 4 log a b 2 log a b 3log a 2 b 2 log adalah …. a b
25. Nilai x yang memenuhi persamaan 26. Nilai x yang memenuhi persamaan
3 x 2
a
log 27 5 log 3 adalah ….
log 3 x 1 5 log a 3 adalah ….
27. Nilai x yang memenuhi persamaan log
9 x 4 log 81x 5 0 adalah ….
28. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 log 2 log x 2 log 5 2 2 log x 1 adalah ….
Soal Tambahan! 1. Jika himpunan A memiliki m buah elemen dan himpunan B memiliki n buah elemen, tentukan berapa banyak elemen dalam himpunan A B dengan mengasumsikan bahwa banyaknya elemen dalam himpunan A B adalah k elemen!
2. Hambatan total R dari sebuah rangkaian seri-paralel diberikan oleh persamaan 1
1 1 1 R R1 . Tentukan R jika R1 6,5, R2 5, R3 =6, dan R4 7,5 ! R2 R3 R4
3. Energi diam E sebuah proton dengan massa diam m dihubungkan oleh persamaan Einstein E mc 2 , c = kecepatan cahaya. Tentukan E jika m 1, 7 1027 kg dan c 3, 0 108 m s !
4. Suatu atomic mass unit (amu) sama dengan 1, 66 1027 kg . Berapakah massa 15.000.000 atom karbon (dalam kg) jika massa 1 atom karbon sama dengan 12,0 amu? 5. Massa bumi kira-kira 5,98 1024 kg dan volumenya kira-kira 1, 08 1021 m3 . Berapakah massa jenis rata-rata bumi? 6. Cepat rambat bunyi dari suatu gelombang bunyi yang merambat longitudinal dalam suatu zat cair vL dirumuskan: vL
k
. k adalah modulus bulk dan adalah massa jenis zat cair.
Tentukan cepat rambat bunyi dalam air jika k 2,1109 N m 2 dan 1.000 kg m3 ! 7. Berapakah luas suatu segitiga sama sisi yang memiliki panjang sisi a cm? 8. Berapakah panjang diagonal dari suatu persegi yang memiliki panjang sisi a cm? 9. Luas persegi PQRS adalah 100 cm2. A, B, C, dan D adalah titik tengah tiap-tiap sisi persegi tersebut. Tentukan luas persegi ABCD! 10. Sebuah bola memiliki volume 1.570 cm3. Tentukan jari-jari bola tersebut! 11. Jika sejumlah uang P diinvestasikan dengan bunga majemuk r% per tahun, nilai uang setelah n tahun S n diberikan oleh S n P 1 r . Berapa lama harus diinvestasikan agar uang P n
menjadi dua kali semula jika suku bunga adalah 6% per tahun? 12. Sebuah bakteri kolera membelah setiap
1 jam untuk menghasilkan dua bakteri kolera. Jika 2
Murni mulai dengan suatu koloni berjumlah 5.000 bakteri, setelah t jam Murni akan memiliki A 5.000 2 2t bakteri. Berapa lama waktu yang diperlukan agar A sama dengan 1.000.000?
13. Potensial hidrogen (pH) suatu bahan didefinisikan oleh pH log H dengan H adalah konsentrasi ion-ion hidrogen dalam larutan. Skala pH bervariasi dari 0 - 14, dengan pH air suling sama dengan 7. Suatu bahan dikatakan asam jika pH 7 dan basa jika pH 7 . Tentukan pH dari:
a) minuman botol dengan H 3, 75 10 7 ! b) spa dengan H 2, 25 10 8 ! 14. Oleh karena jangkauan yang luas dari kepekaan pendengaran manusia, untuk mengukur intensitas bunyi dalam jangkauan ini digunakan skala logaritmik sebagai pengganti skala mutlak. Besaran yang diukur disebut taraf intensitas , TI, dan diberi satuan desibel (disingkat db) untuk memberi penghargaan terhadap Alexander Graham Bell, penemu telepon. Jika I adalah intensitas bunyi dalam watt/m2 dan I0 adalah intensitas bunyi ambang pendengaran (mendekati 10-12 watt/m2), maka I I 0 10TI 10 , a) tunjukkan bahwa rumus tersebut dapat ditulis dalam bentuk TI 10 log
I ! I0
b) tentukan taraf intensitas bunyi-bunyi berikut (dalam desibel) i. bisikan (10-9 watt/m2)! ii. percakapan biasa 3,16 10 6 watt m 2 ! iii. lalu lintas ramai (10-4 watt/m2)! iv. pesawat jet (103 watt/m2)! 15. Bintang-bintang digolongkan berdasarkan kecerahannya pada suatu skala yang diukur dalam magnitudo. Bintang paling redup yang masih dapat dilihat dengan mata telanjang ditetapkan memiliki magnitudo 6. Teleskop (teropong) dirancang untuk dapat melihat bintang-bintang yang kecerahannya di bawah magnitudo 6. Batas magnitudo (L) dari sebuah teleskop bergantung pada diameter (D) dari lensa-lensanya, dan dinyatakan oleh L 8, 5,1log 2,5 D . a) Tentukan batas magnitudo dari teleskop yang memiliki lensa dengan diameter 15 cm! b) Tentukan diameter lensa yang akan menghasilkan teleskop dengan magnitudo 20,6!
Bab 3 Persamaan dan Pertidaksamaan
A. Persamaan
Bilangan-bilangan yang dikenalkan pada Bab 2 terkadang pada kenyataannya tidak diketahui nilainya sehingga perlu ditentukan terlebih dahulu, seperti dicontohkan berikut ini: “Haris membeli satu paket porsi makanan di sebuah restoran seharga Rp 22.000 termasuk pajak 10%. Berapakah harga satu paket porsi makanan tersebut sesungguhnya (tanpa pajak)?” Permasalahan semacam ini kerap kali ditemui dalam kehidupan sehari-hari. Kasus di atas relatif mudah untuk diselesaikan dengan coba-coba, tetapi hal ini berbeda jika permasalahan menjadi jauh lebih kompleks sehingga perlu diselesaikan secara matematis. Permasalahan tersebut dapat dimodelkan secara matematis sebagai berikut: Misalkan harga satu paket porsi makanan tersebut dinotasikan dengan x, maka permasalahannya dapat dimodelkan menjadi berapakah nilai x yang memenuhi persamaan x 0,1x 22.000 ? Sesuai dengan operasi matematis yang telah dijelaskan sebelumnya pada Bab 2, maka persamaannya dapat disederhanakan kembali menjadi 1,1x 22.000 . Dengan demikian, untuk memperoleh nilai x yang diinginkan maka bagi kedua ruas pada persamaan terakhir dengan 1,1 sehingga diperoleh x 20.000 . Selanjutnya, pembahasan difokuskan pada bagaimana cara menentukan solusi dari suatu permasalahan yang dimodelkan ke dalam suatu persamaan kuadrat ax 2 bx c 0 . Model persamaan semacam ini yang akan banyak ditemui pada Bab-Bab selanjutnya. Beberapa cara dalam menentukan solusi dari suatu persamaan kuadrat, di antaranya faktorisasi, rumus-abc, dan metode bagi biasa.
1. Faktorisasi Dengan metode faktorisasi, persamaan kuadrat ax 2 bx c 0 akan diubah sedemikian rupa sehingga menjadi px q rx s 0 di mana p r a, q s c, dan p s q r b dengan p, q, r , s R . Untuk lebih memahami tujuannya, perhatikan contoh berikut ini:
x2 6x 8 0
x 2 x 4 0 artinya a 1, b 6, c 8, p 1, q 2, r 1, dan s 4 di mana p r 1 1 1 a, q s 2 4 8 c, p s q r 1 4 2 1 4 2 6 b.
Dengan kata lain, solusi persamaan kuadrat x 2 6 x 8 0 adalah x20 x1 2,
atau x40 x2 4.
Terlihat bahwa metode faktorisasi ini cukup mudah untuk diaplikasikan. Tingat kesulitannya terdapat pada bagaimana menentukan p, q, r, dan s yang sesuai untuk persamaan kuadrat yang dimaksud.
2. Rumus-abc Berikut ini akan diturunkan rumus-abc untuk menentukan solusi dari persamaan kuadrat
ax 2 bx c 0 . ax 2 bx c 0 ax 2 bx c c 0 c ax 2 bx c 1 1 ax 2 bx c a a b c x2 x a a 2 b b c b2 2 x x 2 2 a 4a a 4a 2
b b 2 4ac x 2a 4a 2 x
b b 2 4ac 2a 4a 2
b x1 b b 4ac x 2a 2a b x2 2
b 2 4ac 2a b 2 4ac . 2a
Dengan mengaplikasikan rumus di atas pada contoh sebelumnya, diperoleh hasil yang sama sebagai berikut: x 2 6 x 8 0, a 1, b 6, c 8 x1
b b 2 4ac 6 62 4 1 8 6 36 32 6 2 2 2a 2 1 2 2
x2
b b 2 4ac 6 62 4 1 8 6 36 32 6 2 4. 2a 2 1 2 2
3. Metode Bagi Biasa Metode bagi biasa diawali dengan mencari nilai apa saja yang merupakan faktor bagi nilai c pada persamaan kuadrat ax 2 bx c 0 . Kemudian, dengan trial and error akan diperoleh salah satu nilai solusi dari persamaan kuadrat tersebut. Selanjutnya, dengan asumsi bahwa solusi yang diperoleh berdasarkan trial and error tersebut bukanlah solusi yang dimaksud, maka lakukan pembagian antara persamaan kuadrat ax 2 bx c 0 dengan nilai solusi tersebut untuk memperoleh solusi-solusi lainnya. Walaupun terkesan coba-coba, tetapi cara ini yang paling banyak diaplikasikan saat ini ketika fungsi polinomial memiliki derajat lebih tinggi dari 2. Perhatikan contoh berikut ini: x2 6x 8 0
nilai c 8 memiliki faktor-faktor di antaranya
1, 2, 4, dan 8 . Dengan trial and error,
diperoleh salah satu solusi persamaan kuadrat x 2 6 x 8 0 adalah x1 2 atau x 2 0 . Selanjutnya, dengan asumsi bahwa x1 2 bukanlah solusi untuk persamaan kuadrat x 2 6 x 8 0 maka diperoleh
x2 6x 8 0 x2 x4 x 2 x2 6x 8 x2 2x 4x 8 4x 8 0
sehingga solusi dari persamaan kuadrat x 2 6 x 8 0 adalah x1 2 atau x2 4 .
Soal! 1. Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan 3 9 x 91 x 28 , maka x1 x2 . 2. Jika x1 dan x2 akar-akar dari persamaan x 2 2 x 1 0 , maka persamaan kuadrat yang akarakarnya x12 x 22 dan x1 x2 adalah …. 3. Salah satu akar persamaan kuadrat 2n 1 x 2 n 3 x 6 0 adalah 3, maka jumlah akarakar persamaan tersebut adalah …. 4. Akar-akar persamaan kuadrat x 2 4 x k 0 adalah x1 dan x2 . Jika x12 x 22 32 , maka
k . 5. Jika salah satu akar persamaan kuadrat x 2 3 x 2 p 0 tiga lebih besar dari salah satu akar x 2 3 x p 0 , maka bilangan asli p .
6. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan 6 x 2 3x 3 0 , maka persamaan dengan akarakar
1 1 1 dan 1 dapat difaktorkan menjadi …. x1 x2
7. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan x 2 4 x 3 0 , maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya x12 dan x 22 adalah …. 8. Jika a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 4 x 2 0 , maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya a2b dan ab2 adalah …. 2
1 1 9. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan x px q 0 , maka . x1 x2 2
10. Persamaan kuadrat 3 x 2 a 1 x 1 0 persamaan kuadrat yang akar-akarnya
memiliki akar-akar
x1 dan x2 , sedangkan
1 1 dan adalah x 2 2b 1 x b 0 , maka nilai x1 x2
2a b . 11. Jika p dan q akar-akar persamaan 3x 2 2 x 5 0 , maka persamaan yang akar-akarnya
p 2 dan q 2
adalah ….
12. Jika dan merupakan akar-akar persamaan kuadrat x 2 bx 2 0 dan
1 2 2
maka nilai b . 13. Jika jumlah kuadrat akar-akar riil persamaan x 2 2 x a 0 sama dengan jumlah kebalikan akar-akar persamaan x 2 8 x a 1 0 , maka nilai a . 14. Akar-akar persamaan kuadrat x 2 bx 50 0 adalah satu lebih kecil dari tiga kali akar-akar persamaan kuadrat x 2 x a 0 . Persamaan kuadrat yang akar-akarnya a dan b adalah …. 15. Persamaan kuadrat yang masing-masing akarnya tiga kali akar persamaan kuadrat x 2 px q 0 adalah ….
16. Akar-akar persamaan kuadrat 2 px 2 4 px 5 p 3x 2 x 8 adalah x1 dan x2 . Jika x1 x2 2 x1 x2 , maka x1 x2 .
17. Akar-akar persamaan 2 x 2 6 x 1 0 adalah m dan n. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya
m n dan adalah …. n m 18. Jika p dan q merupakan akar-akar persamaan kuadrat x 2 3x 1 0 , maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya
p q 1 dan 1 adalah …. q p
19. Jika salah satu akar persamaan kuadrat x 2 k 1 x k 3 0 adalah dua kali akar lainnya, maka nilai k adalah …. 20. Akar-akar persamaan kuadrat x 2 x 2 7 0 adalah x1 dan x2 . Jika 2 x1 x2 7 , maka nilai adalah ….
B. Pertidaksamaan
Terkadang, permasalahan-permasalahan yang muncul dalam matematika tidak selalu dalam bentuk persamaan, melainkan dalam bentuk pertidaksamaan. Beberapa bentuk pertidaksamaan yang dikenal antara lain kurang dari, lebih dari, kurang dari atau sama dengan, dan lebih dari atau sama dengan yang masing-masing dinotasikan dengan , , , dan . Berikut ini diberikan beberapa contoh penyelesaian permasalahan pertidaksamaan: Contoh 1: Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x 2 2 adalah …. x2 2 x22 22 x 4.
Solusi dari permasalahan tersebut dapat pula digambarkan ke dalam garis bilangan sebagai berikut:
Contoh 2: Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x 2 x 6 0 adalah …. x2 x 6 0 Misal: x 2 x 6 0
x 3 x 2 0,
artinya x 3 0 atau x 2 0 sehingga diperoleh solusi x1 3 atau x2 2 . Akan tetapi, solusi tersebut diperoleh dengan terlebih dahulu memisalkan permasalahan dalam bentuk pertidaksamaan menjadi permasalahan dalam bentuk persamaan. Oleh sebab itu, penyelesaian solusinya perlu dilanjutkan dengan bantuan garis bilangan dengan menguji apakah masingmasing interval yang dibatasi oleh solusi-solusi tersebut memenuhi pertidaksamaan yang dimaksud, seperti diberikan berikut ini:
Soal! 1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x 2 2 x 5 3 adalah …. 2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
2 x2 5x 2 0 adalah …. x 2 3x 2
3. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
12 x 3 adalah …. 2 x
4. Agar persamaan m 5 x 2 4mx m 2 0, m 5 memiliki akar-akar riil yang berbeda maka nilai m yang memenuhi adalah …. 5. Jika persamaan kuadrat
p 1 x 2 2 p 3 x 3 p 0
memiliki dua akar yang sama, maka
konstanta p .
Soal Tambahan!
1. Bentuk tabular form dari himpunan x N 2 x 2 3x 1 0 adalah ….
2. Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan y y 2 4 y 2 7 y 10 0 !
3. Diketahui M x p 2 x 2 p q x 0
dan K x px 2 qx 0 . Jika M K , tentukan
anggota-anggota dari kedua himpunan tersebut! 4. Terdapat dua kubus yang selisih rusuknya 4 cm dan selisih volumenya 784 cm3. Salah satu rusuk kubus tersebut adalah …. 5. Tentukan dua bilangan bulat genap positif berurutan yang hasil kalinya adalah 168! 6. Jumlah kuadrat sebuah bilangan dan bilangan lain yang dua lebih besar daripada bilangan tersebut adalah 6. Tentukan bilangan tersebut! 7. Jika selisih pangkat tiga dari dua bilangan bulat yang berurutan adalah 169, berapakah hasil kali kedua bilangan tersebut! 8. Jika selisih pangkat tiga dari dua bilangan bulat yang berurutan adalah 169, berapakah hasil kali kedua bilangan tersebut? 9. Jumlah kuadrat dari tiga bilangan bulat positif berurutan adalah 302. Tentukan bilanganbilangan ini! 10. Sebuah balok kayu memiliki panjang x cm, lebar
1 1 x cm, dan tinggi x cm. Jika luas total 2 3
permukaan balok adalah 72 cm2, tentukan x! 11. Satu sisi dari sebuah persegi panjang adalah 2 m lebih panjang daripada sisi lainnya. Jika panjang diagonal adalah 8 m, tentukan panjang sisi-sisi tersebut! 12. Dari tiap sudut selembar logam berbentuk persegi, buanglah sebuah persegi dengan sisi 9 cm. Tegakkan tepi-tepinya untuk membentuk sebuah kotak terbuka pada bagian atasnya. Agar kotak tersebut memiliki volume 144 cm3, berapakah seharusnya ukuran lembaran logam tersebut? 13. Seutas kawat dengan panjang 10 m akan dipotong menjadi dua bagian. Setiap potongan tersebut dibengkokkan sehingga membentuk sebuah persegi. Di manakah kawat tersebut harus dipotong agar jumlah luas kedua persegi ini adalah 3,25 m2? 14. Sebuah batu yang dilemparkan vertikal ke atas tanpa kecepatan awal memiliki ketinggian h meter di atas tanah, setelah t detik memenuhi persamaan h 30t 5t 2 . Kapan batu tersebut berada 40 meter di atas tanah? Jelaskan kedua jawaban yang Anda peroleh! 15. Suatu perahu bermotor memerlukan waktu 1 jam lebih lama untuk berlayar ke hulu daripada arah kebalikannya (ke hilir). Jika perahu melaju 10 mil per jam dalam air tenang (air tak berarus), berapakah laju arus air?
16. Tentukan nilai-nilai yang mungkin dari dua buah resistor yang dalam susunan seri memberikan hambatan listrik total 18 dan dalam susunan paralel memberikan hambatan total 4 ! 17. Dua teknisi dapat menyelesaikan pengiriman dalam 3 jam ketika bekerja bersama-sama. Salah seorang teknisi dapat menyelesaikan pengiriman 2 jam lebih cepat daripada yang lainnya. Berapa lama waktu yang dibutuhkan setiap orang untuk menyelesaikan pengiriman tersebut? Hitung jawaban Anda sampai dua tempat desimal! 18. Sebuah pipa dapat mengisi penuh sebuah tangki 5 jam lebih cepat daripada pipa lainnya. Jika pengisian dilakukan bersama-sama, kedua pipa dapat mengisi tangki selama 5 jam. Berapa lama waktu yang diperlukan oleh setiap pipa untuk mengisi tangki tersebut? Hitung jawaban Anda sampai dua tempat desimal! 19. Diketahui rumus investasi adalah
A P 1 r
2
dengan
A Rp 36.300.000,00 . Jika
P Rp 30.000.000,00 , tentukan suku bunga r! 20. Sekelompok pakar Biologi mempelajari efek nutrisi pada tikus-tikus yang diberi makanan diet yang mengandung 10% protein. Protein dibuat dari ragi dan tepung jagung. Dengan mengubah persentase p (dinyatakan sebagai suatu desimal) dari ragi dalam campuran protein, para pakar menaksir bahwa perolehan berat rata-rata g (dalam gram) dari seekor tikus selama suatu periode waktu diberikan oleh g 200 p 2 200 p 20 . Berapakah persentase dari ragi yang akan memberikan perolehan berat-rata-rata 70 gram? 21. Seorang konsultan arsitektur merancang sebuah daerah limbah untuk sebuah pabrik kimia. Daerah limbah dilokasikan pada sebidang tanah berbentuk persegi panjang yang lebarnya 200 m dan panjangnya 80 m. Peraturan npemerintah mensyaratkan bahwa daerah limbah paling sedikit memiliki luas 10.000 m2 dan memiliki zona pengamanan dengan lebar serba sama di sekeliling daerah limbah. Dapatkah peraturan pemerintah ini dipenuhi jika daerah tanah limbah tersebut dibangun pada tanah yang tersedia? Jika ya, berapakah lebar zona pengamanan? Hitung jawabannya sampai satu tempat desimal! 22. Jika sisi miring sebuah segitiga siku-siku adalah 25 cm dan kelilingnya adalah 56 cm, tentukan panjang sisi siku-sikunya! 23. Jika sebuah pesawat terbang menambah kelajuan rata-ratanya 100 mph, pesawat akan memerlukan waktu 2 jam lebih cepat untuk terbang menyeberangi Atlantik sejauh 4.000 mil.
Tentukan kelajuan rata-rata pesawat semula dan waktu penerbangan pada kelajuan yang lebih besar! 24. Dua gir berputar, dan setiap menit, satu gir melakukan 1 putaran lebih banyak daripada lainnya. Jika gir yang lebih kecil memerlukan waktu 1 sekon lebih cepat daripada gir yang lebih besar untuk melakukan
1 putaran, berapa banyaknya putaran yang dilakukan tiap gir 6
dalam 1 menit? 25. Seorang pengembang perumahan (developer) ingin mendirikan sebuah gedung berbentuk persegi panjang di sebidang tanah yang lebarnya 200 m dan panjangnya 400 m. Tentukan ukuran bangunan jika luas penampang lintangnya adalah 15.000 m2! 26. Seorang arsitek sedang mendesain sebuah pondok kayu untuk suatu daerah peristirahatan. Penampang lintang dari pondok adalah suatu segitiga samakaki dengan luas 12 m2. Tentukan alas dan tinggi penampang lintang pondok tersebut! 27. Sebuah truk pengirim meninggalkan gedung dan bergerak ke utara menuju pabrik A. Dari pabrik A, truk bergerak ke timur menuju pabrik B, kemudian kembali menuju gudang. Pengemudi mencatat data pada speedometer (alat pencatat kilometer yang telah ditempuh) ketika di gudang, baik pada saat berangkat maupun pada saat tiba, serta saat tiba di pabrik B. Akan tetapi, dia lupa mencatatnya saat tiba di pabrik A. Jika ongkos pengiriman didasarkan pada jarak dari gudang, pengemudi perlu mengetahui berapa jauh jarak pabrik A dari gudang. Tentukan jarak tersebut! Data pada speedometer:
Pabrik B
:52937
Gudang
:52846
Gudang
:53002
Pabrik A
:52???
Bab 4 Fungsi
Berbicara
mengenai
himpunan,
matematikawan
tidak
berhenti
hanya
sampai
menganalisis sifat-sifat dari suatu himpunan, melainkan ketertarikannya dilanjutkan dengan menganalisis keterkaitan antara suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Dengan demikian, dapat terbentuk suatu himpunan baru yang anggotanya merupakan pasangan-pasangan berurutan dari masing-masing himpunan yang saling terkait. Dalam dunia nyata, pemikiran semacam ini dapat diartikan sebagai suatu cara untuk mengeksplorasi informasi-informasi yang dimiliki sehingga dengan menganalisis keterkaitan antar informasi-informasi tersebut diharapkan dapat memperkaya wawasan mengenai kumpulan obyek-obyek yang sedang diamati. Untuk memudahkan pemahaman, berikut ini akan diberikan sebuah ilustrasi mengenai dua buah himpunan, yakni himpunan barang-barang yang terletak di atas meja dosen (B), yaitu spidol, pensil, dan penghapus, serta himpunan manfaat (M) yang beranggotakan menulis, menghapus, dan melempar. Berdasarkan kedua himpunan tersebut, dapat dibentuk suatu himpunan baru berupa korespondensi/relasi ( B M atau K) yang beranggotakan pasangan dari setiap elemen yang terkandung dalam masing-masing himpunan B dan M sebagai berikut:
Spidol, Menulis , Spidol, Menghapus , Spidol, Melempar Pensil, Menulis , Pensil, Menghapus , Pensil, Melempar B M K. Penghapus, Menulis , Penghapus, Menghapus , Penghapus, Melempar Secara formal, K adalah suatu cara yang menghubungkan atau mengaitkan elemen B dengan elemen M atau dapat dikatakan terdapat suatu relasi K antara B dan M. Setiap relasi dapat dinyatakan sebagai suatu grafik dalam koordinat Cartesius atau dipandang sebagai suatu transformasi, seperti ditunjukkan berikut ini:
Selanjutnya, perhatikan setiap anggota K. Salah satu subset yang cukup menarik untuk dibahas adalah keterkaitan mengenai kegunaan/fungsi masing-masing barang, yaitu:
K1 Spidol, Menulis , Pensil, Menulis , Penghapus, Menghapus . Hal ini menarik untuk dibahas karena setiap barang yang diciptakan memiliki kegunaannya masing-masing. Selain itu, jika diperhatikan setiap barang tersebut sebenarnya dapat digunakan untuk melempar sehingga
K 2 Spidol, Melempar , Pensil, Melempar , Penghapus, Melempar
dapat diartikan sebagai kegunaan lain dari barang-barang tersebut. Akan tetapi, pada dasarnya suatu barang tidak dapat digunakan untuk melakukan dua pekerjaan sekaligus dalam satu waktu, seperti subset-subset di bawah ini: K 3 Spidol, Menulis , Spidol, Menghapus , Spidol, Melempar ; K 4 Pensil, Menulis , Pensil, Menghapus , Pensil, Melempar ; K 5 Penghapus, Menulis , Penghapus, Menghapus , Penghapus, Melempar .
Berdasarkan ilustrasi di atas, selanjutnya hanya akan dibahas subset-subset dari himpunan K yang termasuk ke dalam kategori kegunaan atau yang biasa disebut sebagai fungsi/pemetaan (f). Secara formal, suatu fungsi atau suatu pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan korespondensi yang menentukan tepat satu elemen f x di B untuk setiap elemen x di A atau dapat ditulis pula sebagai f : A B . Suatu fungsi atau suatu pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu subset f dari produk atau relasi A B ,
f A B di mana jika a, b f dan a, b f maka b b . Jika a, b f , dinyatakan pula sebagai b f a , maka b disebut sebagai nilai dari fungsi f di titik a atau b disebut sebagai peta dari a terhadap pemetaan f. Himpunan
D f a A terdapat b B sehingga a, b f
(domain) dari f dan R f b B terdapat a A sehingga a, b f
disebut
daerah
asal
disebut daerah hasil
(range) dari f di mana B disebut pula sebagai daerah kawan (codomain) dari f. Jika f : A B adalah sebuah fungsi dengan domain A dan range B, untuk setiap E A , himpunan f E f x x E disebut peta (direct image) dari E terhadap fungsi f. Fungsi
f : A B disebut fungsi satu-satu (one-one) atau injektif (injective) jika f x f y untuk setiap x, y A dengan x y . Dengan kata lain, fungsi f : A B disebut fungsi satu-satu jika untuk setiap x, y A, berlaku x y berakibat (berimplikasi) f x f y . Selain itu, fungsi
f : A B disebut fungsi pada (onto) B atau surjektif (surjective) jika f A B atau
R f B . Fungsi f : A B disebut fungsi satu-satu pada (one-one onto) B atau bijektif
(bijective) jika f adalah adalah fungsi satu-satu dan onto pada B. Berikut ini diberikan teorema yang cukup berguna dalam membuktikan apakah suatu fungsi memenuhi fungsi satu-satu atau tidak: Fungsi f : A B adalah sebuah fungsi satu-satu jika dan hanya jika untuk setiap x, y A berlaku f x f y berakibat x y . Jika f : A B adalah sebuah fungsi dengan domain A dan range B, untuk setiap H B
, himpunan f 1 H x A f x H
disebut prapeta (inverse image) dari H terhadap
fungsi f. Dengan kata lain, misalkan f : A B adalah sebuah fungsi injektif dengan D f A
dan R f B . Fungsi f 1 disebut fungsi invers dari f jika f 1 b, a B A a, b f
adalah
suatu fungsi injektif pula dengan D f 1 R f dan R f 1 A atau dengan kata lain
x f 1 y D f jika dan hanya jika y f x R f . Setelah mengetahui beberapa definisi dan teorema terkait seputar masalah fungsi, pembahasan selanjutnya dibatasi hanya pada himpunan-himpunan bilangan. Sebuah fungsi f dengan himpunan bilangan riil S R sebagai domain dan codomain disebut fungsi naik ketat (strictly increasing) bila berlaku f x f y untuk x R, y R , dan x y . f disebut fungsi turun ketat (strictly decreasing) bila berlaku f x f y untuk x R, y R , dan x y . f disebut fungsi naik/tidak turun (increasing/non-decreasing) bila berlaku f x f y untuk
x R, y R , dan x y . f disebut fungsi turun/tidak naik (decreasing/non-increasing) bila berlaku f x f y untuk x R, y R , dan x y .
Untuk melengkapi pemahaman, ada baiknya jika diperhatikan contoh-contoh berikut ini: 1. Jika f x x 2 , maka f 2 diperoleh dengan mengganti/mensubstitusi x pada f x dengan angka 2 sehingga diperoleh f 2 2 4. Dengan cara yang sama, diperoleh beberapa 2
nilai berikut ini:
atau dalam koordinat Cartesius dapat digambarkan sebagai berikut:
Jika mengambil x R maka akan diperoleh grafik berikut ini:
2.
f : R R dengan f x x 2 , E x 0 x 2 dan H y 0 y 4 . Maka peta dari himpunan E terhadap f adalah f E y 0 y 4 . Sedangkan, prapeta dari himpunan H terhadap f adalah f 1 H x 2 x 2 . Jadi, terlihat bahwa f 1 f E E atau dengan kata lain prapeta dari peta sebuah himpunan E tidak sama dengan himpunan E itu sendiri. Sedangkan, sebaliknya, jika H adalah subset dari range f maka berlaku f f 1 H H untuk H R f . Jika H bukan subset dari R f
maka f f 1 H H . Misalnya
H y 1 y 1 .
3. Fungsi
f x x2
adalah
fungsi
satu-satu
bila
D f x R x 0
atau
D f x R x 0 . Tetapi, f bukan fungsi satu-satu bila D f R .
4. Fungsi f : A B dengan f x x 2 adalah fungsi pada B bila A R dan B x R x 0 . Tetapi, f bukan fungsi pada B bila B R . 5. A x R x 1 . f : A R dengan f x
x . Periksa apakah f injektif? x 1
Ambil dua elemen x dan y di A sembarang, periksa apakah f x f y berakibat (berimplikasi) x y . Bila ya, maka berdasarkan proposisi di atas, f adalah satu-satu atau injektif. f x f y memberikan
x y atau x y 1 y x 1 atau x y . Maka x 1 y 1
f adalah satu-satu. 6.
f : R R dengan f x x adalah sebuah fungsi naik ketat.
Soal! 1. Tentukan apakah himpunan-himpunan berikut ini merupakan suatu relasi atau fungsi, kemudian tentukan pula domain dan range dari himpunan-himpunan yang merupakan suatu fungsi: a) A 1,3 , 3, 2 , 2, 2 , 3,1 , 4,3 , 3,3 .
b) B 1,5 , 2,5 , 3,5 , 4,5 , 5,5 . c) C
x, y y x
d) D
x, y y
e) E
x, y y
f)
2
2
dan x 10, x N .
x dan y 10, y N .
x, y Z .
F x, y x y .
g) G x, y x y . h) H
x, y y 2 x 3 untuk 0 x 10 dan y 5x 10 untuk 1 x 2 .
i)
I
x, y y 2 jika 0 x 1 dan y 3 jika 1 x 2 .
j)
J
x, y y x jika 0 x 1 dan y x
2
jika 1 x 2 .
1 k) K x, y y , y N . x
l)
1 L x, y y jika 0 x 2 x, y y x 2 jika 1 x 3 . x
m) L x, y y 2 jika 2 x 0 x, y y 2 jika 0 x 2 . n) L
x, y x
2
3 y 2 1 x, y y . 5
o) M x, y y x, 0 x 1 x, y y x 1, 1 x 0 . 2. Diberikan dua buah himpunan A 2, 4, 6 dan B 3,5 . a) Definisikan suatu relasi dari A dan B yang menghubungkan elemen-elemen dari A ke elemen-elemen di B tetapi relasi tersebut bukanlah suatu fungsi. b) Berapa banyak fungsi-fungsi berbeda yang dapat didefinisikan pada dua himpunan tersebut jika A merupakan domain dari fungsi tersebut, sedangkan range dari fungsi tersebut merupakan subset dari B?
3. Berikut ini diberikan beberapa aturan. Jika
x, y
merupakan suatu himpunan pasangan-
pasangan bilangan riil yang terbentuk berdasarkan aturan-aturan tersebut, tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi tersebut. Jika himpunan tersebut bukanlah suatu fungsi, jelaskan! a) y x 2 3 . b) y 2 x 3 . c) y 4 x 2 . d) y 4 x 2 . e) y 4 x 2 . f)
y
1 . x
g) y
1 . x 4
h) y
x2 4 . x2
2
i)
y x2 9 .
j)
y2 x .
k) x y 1 . l)
x2 y 1.
m) x 2 y 2 1 . n) y 6 x x 2 . o)
f x
2x 5 . x 3
4. Jika g x
1 1 1 , tentukan g 3 , g 4 , g , dan g ! x4 h x
5. Jika h x
x 1 1 , tentukan h 0 , h , h , dan h x k ! x 1 2 x
1 6. Jika f x 2 x 3 , tentukan f x h dan f ! x
7. Jika g x
1 1 , tentukan 2 g 4 g 2 , g a g b , ag a , dan ! g a x
1 h 2 8. Jika h x 2 x x 2 , tentukan h 3 h 2 , h 1 h 3 , dan ! 1 h 3
9. Jika f x x3 , tentukan f a h f a , f a
2 1 , dan f a ! f a
10. f : A B, C A, D A, E B, F B . Pernyataan berikut mana yang benar? Bila benar, buktikan! Bila tidak, berikan contoh! a)
f C D f C f D !
b)
f C D f C f D !
11. Berikan masing-masing sebuah contoh fungsi f : N N yang a) injektif tetapi tidak surjektif! b) surjektif tetapi tidak injektif! c) bijektif selain fungsi identitas! d) tidak injektif juga tidak surjektif! 12. Buktikan bahwa f : x R x 0 R dengan f x 13. Diketahui fungsi f x
1 adalah sebuah fungsi turun ketat! x
4x 5 dengan 2 x 3 0 , maka invers dari fungsi f adalah …. 2x 3
14. Jika invers fungsi f x adalah f 1 x
2x , maka f 3 . 3 x
15. Diketahui fungsi f x 3 1 x3 2 maka invers dari f x adalah …. 16. Jika f x x 3 maka f 1 x . 17. Invers dari fungsi f x 18. Invers dari fungsi f x
x2 adalah …. 2x 3
x 3 1 5
3
adalah ….
19. Jika invers fungsi f x ditentukan oleh f 1 x
2x 1 ; x 3 , maka fungsi f x 1 adalah x3
…. 8 20. Jika f x dengan x 0 , maka f 4 . 1 x
21. Diketahui f x
x 1 , x 0 . Jika k adalah banyaknya faktor prima dari 210, maka x
f 1 k .
22. Domain fungsi
f x
23. Range fungsi f x
3x 2 x 2 2 x 2 5 x 2 adalah ….
2x 5 untuk x R dan x 3 adalah …. x3
24. f : A B, C A, D A, E B , F B . Pernyataan berikut mana yang benar? Bila benar, buktikan! Bila tidak, berikan contoh! c)
f 1 E F f 1 E f 1 F !
d)
f 1 E F f 1 E f 1 F !
Bab 5 Jenis Fungsi
A. Fungsi Polinomial
Pada SubBab ini akan diperkenalkan beberapa jenis fungsi yang cukup populer dalam aplikasi, di antaranya fungsi polinomial, fungsi trigonometri, fungsi mutlak, fungsi lantai (floor function), dan fungsi langit-langit (ceiling function). Khusus untuk fungsi trigonometri akan dibahas lebih lanjut pada Bab 7. Salah satu fungsi yang paling banyak diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari adalah fungsi polinomial, seperti didefinisikan berikut ini:
f x an x n an 1 x n 1 a1 x a0 untuk ai , x R dan i, n N 0 . Fungsi polinomial di atas terkadang disebut pula sebagai fungsi polinomial berderajat-n karena variabel x memiliki pangkat tertinggi n. Beberapa istilah yang digunakan untuk masing-masing fungsi polinomial berderajat 0, 1, dan 2 adalah fungsi konstan, fungsi linier, dan fungsi kuadrat. Berikut ini diberikan contoh mengenai fungsi konstan dan fungsi linier:
Pembahasan selanjutnya difokuskan pada fungsi polinomial berderajat 2 sebagai dasar pemahaman untuk fungsi polinomial berderajat lebih tinggi. Untuk tujuan perumusan, fungsi kuadrat dapat pula dinyatakan sebagai berikut:
f x ax 2 bx c, dengan a 0 . Untuk memudahkan pemahaman, pertama-tama akan dicoba digambarkan grafik
f x ax 2 .
Terlihat dari grafik di atas bahwa gambar grafik f x ax 2 di atas dapat dibedakan menjadi dua jenis, yakni untuk a 0 dan a 0 . Jika a 0 maka grafik f x ax 2 terbuka ke atas, sedangkan grafik f x ax 2 terbuka ke bawah ketika a 0 . Akan tetapi, tanpa memandang positif maupun negatif, semakin besar nilai a maka grafiknya terlihat semakin mengerucut. Oleh karena fungsi
f x ax 2 dapat dipandang pula sebagai
f x a x 0 , maka akan
digambarkan pula fungsi f x a x h untuk sembarang nilai h. 2
2
Berdasarkan grafik tersebut, terlihat bahwa perubahan nilai h mempengaruhi pergeseran grafik ke kiri dan ke kanan. Oleh karena fungsi f x a x h
2
dapat dipandang pula sebagai
f x a x h 0 , maka akan digambarkan pula fungsi 2
f x a x h k 2
untuk
sembarang nilai k.
Dengan demikian, bentuk umum fungsi kuadrat f x ax 2 bx c akan diubah ke bentuk f x a x h k sehingga karakteristik fungsi kuadrat tersebut dapat lebih mudah untuk 2
dipelajari.
f x ax 2 bx c 4ac 4a b 2 b 2 4ac ax 2 bx 4a 2 b b 2 4ac ax 2 bx 4a 4a 2 b b b 2 4ac a x2 x 2 a 4a 4a ax 2 bx
2
b b 2 4ac a x . 2a 4a
Berdasarkan penurunan di atas terlihat bahwa bentuk umum fungsi kuadrat
f x ax 2 bx c dapat diubah ke dalam bentuk f x a x h k dengan h 2
b dan 2a
b 2 4ac k . Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa karakteristik grafik dari fungsi 4a
kuadrat
f x ax 2 bx c memiliki titik puncak
b b 2 4ac , dengan jenis 4a 2a
h, k
minimum ketika a 0 dan maksimum ketika a 0 . Karakteristik lain yang menarik untuk dibahas seputar fungsi kuadrat f x ax 2 bx c adalah ketika fungsi tersebut berpotongan dengan salah satu sumbu koordinat, misalkan sumbux. Berdasarkan pembahasan di atas, perpotongan grafik fungsi kuadrat f x ax 2 bx c dengan sumbu-x hanya dipengaruhi oleh nilai k
b 2 4ac . Oleh sebab itu, secara geometris 4a
dapat dilihat beberapa karakteristik berikut: 1. Ketika a 0 dan k 0 , grafik fungsi kuadrat f x ax 2 bx c dapat digambarkan sebagai berikut:
x1
x2
x
Dengan kata lain, grafik fungsi kuadrat f x ax 2 bx c berpotongan dengan sumbu-x di dua titik ketika
b 2 4ac 0 atau b 2 4ac 0 . 4a
2. Ketika a 0 dan k 0 , grafik fungsi kuadrat f x ax 2 bx c dapat digambarkan sebagai berikut:
x1
x
Dengan kata lain, grafik fungsi kuadrat f x ax 2 bx c bersinggungan dengan sumbu-x b 2 4ac ketika 0 atau b 2 4ac 0 . 4a
3. Ketika a 0 dan k 0 , grafik fungsi kuadrat f x ax 2 bx c dapat digambarkan sebagai berikut:
x
Dengan kata lain, grafik fungsi kuadrat f x ax 2 bx c tidak berpotongan dengan sumbu-x ketika
b 2 4ac 0 atau b 2 4ac 0 . 4a
4. Ketika a 0 dan k 0 , grafik fungsi kuadrat f x ax 2 bx c dapat digambarkan sebagai berikut: x2
x1
x
Dengan kata lain, grafik fungsi kuadrat f x ax 2 bx c berpotongan dengan sumbu-x di dua titik ketika
b 2 4ac 0 atau b 2 4ac 0 . 4a
5. Ketika a 0 dan k 0 , grafik fungsi kuadrat f x ax 2 bx c dapat digambarkan sebagai berikut:
x1 x
Dengan kata lain, grafik fungsi kuadrat f x ax 2 bx c bersinggungan dengan sumbu-x ketika
b 2 4ac 0 atau b 2 4ac 0 . 4a
6. Ketika a 0 dan k 0 , grafik fungsi kuadrat f x ax 2 bx c dapat digambarkan sebagai berikut: x
Dengan kata lain, grafik fungsi kuadrat f x ax 2 bx c tidak berpotongan dengan sumbu-x ketika
b 2 4ac 0 atau b 2 4ac 0 . 4a
Contoh: f x mx 2 x 1 menyinggung grafik fungsi linier
Syarat agar grafik fungsi kuadrat g x 4 x 2 adalah ….
Permasalahan di atas dapat disederhanakan menjadi permasalahan perpotongan fungsi
h x f x g x dengan sumbu-x di mana fungsi h x bersinggungan dengan sumbu-x. Dengan demikian, diperoleh
h x f x g x mx 2 x 1 4 x 2 mx 2 3x 1 di mana a m, b 3, dan c 1 . Jadi, syarat agar grafik fungsi kuadrat f x mx 2 x 1 menyinggung grafik fungsi linier g x 4 x 2 adalah sebagai berikut:
b 2 4ac 0
3
2
4 m 1 0
9 4m 0 9 m . 4 Soal! 1. Grafik fungsi f x 2 x 1
2
x
3 memotong sumbu-x di titik yang absisnya ….
2. Syarat fungsi f x a 4 x 2 ax 2 a 3 bernilai tak negatif adalah …. 3x 2 x 2 3. Daerah asal (domain) fungsi f x adalah …. 2 x2 5x 2
4. Daerah asal (domain) fungsi f x
x2 5x 6 adalah …. x 2
5. Jika fungsi f x 2 x 2 8 x n 3 memiliki titik puncak/ekstrim adalah ….
n, p ,
maka nilai p
6. Garis f x ax b memotong parabola g x x 2 x 1 di titik x1 , y1 dan x2 , y2 . Jika x1 x2 2 dan x1 x2 1 , maka a b .
7. Jika fungsi kuadrat y f x mencapai minimum di titik 1, 4 dan f 4 5 , maka
f x . 8. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik
1,3
dan titik terendahnya sama dengan
puncak dari grafik f x x 2 4 x 3 adalah …. 9. Grafik fungsi kuadrat y 2 x 2 5 x 12 dan fungsi linier y mx 14 berpotongan pada dua titik jika …. 10. Jika fungsi f x x 12 2 x memiliki nilai maksimum p dan nilai minimum q, maka 2
p q . 1 11. Grafik fungsi y ax 2 bx 1 memotong sumbu x di titik-titik , 0 dan 1, 0 . Fungsi ini 2
memiliki nilai ekstrim …. 12. Suatu garis lurus memiliki gradien -3 dan memotong parabola y 2 x 2 x 6 di titik 2, 4 . Titik lainnya memiliki koordinat ….
B. Fungsi Mutlak Fungsi mutlak didefinisikan sebagai berikut: x a ; jika x a 0 atau x a f x x a a x ; jika x a 0 atau x a
Contoh: Gambarkan fungsi f x x 2 ! x 2; jika x 2 0 atau x 2 Artinya, f x x 2 . 2 x ; jika x 2 0 atau x 2
C. Fungsi Lantai dan Fungsi Langit-Langit Fungsi lantai (floor function) f : R R adalah fungsi f x x dengan x bernilai bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x. Sedangkan, fungsi langit-langit (ceiling function) f : R R adalah fungsi g x x dengan x bernilai bilangan bulat terkecil yang lebih dari atau sama dengan x. Berikut ini diberikan contoh gambar fungsi f x x (coba kalian gambarkan pula fungsi g x x !)
Contoh:
.
x2 1 x g x Diketahui S 1, 0, 2, 7 , f x , dan 5 3 kemudian gambar pula grafiknya dalam koordinat Cartesius!
Tentukan f S dan g S
1 f 1 1 5 0 f 0 0 5 2 f 2 0 5 7 f 7 1 5
2 1
12 1 g 1 3
3
02 1 1 1 g 0 3 3
22 1 5 2 g 2 3 3
7 2 1 50 17 g 7 3 3 maka f S 1, 0,1 dan g S 1, 2,17
Soal! 1. Gambarkan dan jelaskan mengenai domain serta range dari fungsi-fungsi berikut ini: a) y x 1 . b) y 4 x . c) y x 4 . d) y x 1 . e) y x x . f)
yx x.
g) y x x . h) x y 1 . i)
y x x .
j)
y x x .
x k) y x 0
; untuk x 0
.
; untuk x 0
1 1 y ; di mana n x . 2 n
l)
m) y x 2 x 2 . 0; jika x a n) y U x 2U x 1 U x 2 di mana U x a disebut sebagai unit 1; jika x a
step function. o) y xU x x 1U x 1 . p) y xU x 2 x 1U x 1 x 2 U x 2 . q) y U x U x 2 . 2. Apakah f : R R dengan f x x adalah sebuah fungsi naik atau turun? 3. Apakah f : x R x 0 R dengan f x
1 adalah sebuah fungsi naik atau turun? x
4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x 2 2 x 2 2 adalah ….
Soal Tambahan! 1. Biaya untuk membuat x satuan barang adalah (dalam jutaan rupiah), sedangkan harga jual untuk x satuan barang adalah (dalam jutaan rupiah). Berapa banyak satuan barang yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum? Berapakah keuntungan maksimum tersebut? 2. Seorang petani memiliki pagar sepanjang 6.000 m. Ia ingin memagari sebuah ladang yang berbentuk persegi panjang. Ladang tersebut terdiri atas dua kapling dengan pagar pembaginya sejajar terhadap salah satu sisi kapling. Berapakah luas ladang paling besar yang dapat dipagari oleh petani tersebut? 3. Sebuah kapal pesiar meninggalkan pelabuhan Tanjung Perak menuju ke arah timur pada kelajuan tetap 5 knot (1 knot = 1 mil laut per jam). Pada pukul 16.00, kapal pesiar tersebut
berada sejauh 5 mil laut tepat di sebelah selatan sebuah kapal penjelajah yang sedang bergerak pada kelajuan tetap 10 knot. Pada pukul berapakah kedua kapal tersebut berada pada jarak paling dekat? 4. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar 75 2 x 0,1x 2 (dalam rupiah). Jika semua produk perusahaan tersebut terjual dengan harga Rp 40,00 untuk setiap produknya, laba maksimum yang diperoleh adalah …. 5. Ali memiliki 36 meter kawat berduri yang direncanakan untuk memagari halaman berbentuk persegi panjang. Jika ia menginginkan luas halaman yang dipagari maksimum, berapakah ukuran pagar yang seharusnya? Tentukan luas maksimum halaman yang dipagari tersebut! 6. Kawat berduri sepanjang 30 meter akan digunakan untuk memagari sebidang lahan berbentuk persegi panjang yang berbatasan dengan pinggir sungai. Jika sisi yang berbatasan dengan sungai tidak perlu dipagari, tentukan panjang dan lebar lahan agar luas lahan yang dipagari maksimum! 7. Seorang petani memiliki pagar sepanjang 12.000 m. Ia ingin memagari sebuah ladang berbentuk persegipanjang. Ladang tersebut terdiri atas tiga buah kapling dengan dua pagar sejajar dengan salah satu ladang. Berapakah luas ladang paling besar yang dapat dipagari oleh petani tersebut? 8. Sebuah kembang api diluncurkan ke udara. Ketinggian kembang api h f t (dalam m) pada saat t sekon dimodelkan dengan baik oleh fungsi f t 16t 2 200t 4 . Kapankah kembang api itu mencapai ketinggian maksimum? Berapakah ketinggian maksimum ini? 9. Ketika sebuah toko serba ada dibuka, jumlah pengunjung toko bertambah dari nol ke suatu bilangan maksimum, kemudian turun kembali ke nol pada waktu toko ditutup. Jika jumlah pengunjung (N) dalam toko tersebut dinyatakan sebagai fungsi waktu t oleh N t 15t 2 80t dengan t 0 berhubungan dengan waktu ketika toko dibuka pada jam
10.00 pagi, pada pukul berapakah toko tersebut memiliki jumlah pengunjung maksimum? Berapakah jumlah maksimum pengunjung tersebut? Pada pukul berapakah toko tersebut tutup? 10. Misalkan x adalah jumlah (dalam ratusan dollar) yang dihabiskan oleh suatu perusahaan untuk
iklan
dan
p
adalah
keuntungan
yang
diperolehnya.
Dalam
hal
ini
p 230 20 x 0,5 x 2 . Berapa pengeluaran untuk iklan yang memberikan keuntungan
maksimum? 11. Sebuah bola yang dilemparkan dengan kelajuan awal dan sudut elevasi tertentu akan menempuh lintasan berbentuk parabola. Koordinat bola setiap saat dapat dinyatakan sebagai
x, y , yang dalam hal ini
5 x t dan y 6t 5t 2 dengan t dalam sekon, sedangkan x dan y 2
dalam meter. Kapankah bola tersebut mencapai ketinggian maksimum? Tentukanlah koordinat titik tertinggi tersebut! 12. Sebuah talang air hujan dibuat dari lembaran aluminium yang lebarnya 14 inci dengan cara menekuk kedua ujungnya 90 . Berapakah kedalaman talang yang dapat memberikan luas talang maksimum sehingga lebih banyak air hujan mengalir melalui talang? (1 inci = 2,54 cm). 13. Sebuah jendela bagian bawahnya berbentuk persegipanjang. Bagian atasnya berupa setengah lingkaran dengan garis tengaj sama dengan lebar persegipanjang tersebut. Jika keliling jendela 24 kaki, berapakah ukuran jendela agar cahaya yang menerobos jendela paling banyak (maksimumkan luas jendela)? (1 kaki = 0,305 m). 14. Sebuah segitiga samasisi memiliki keliling 30 cm. Sebuah persegipanjang dengan lebar x akan dipotong dari segitiga tersebut. Tentukan ukuran persegipanjang tersebut agar diperoleh luas yang paling besar! 15. Dua pesawat terbang bergerak saling tegak lurus ketika meninggalkan bandara yang sama. Satu jam kemudian keduanya terpisah sejauh 260 km. Jika salah satu pesawat 140 km/jam lebih cepat daripada pesawat yang lain, tentukanlah kelajuan tiap pesawat! 16. Sebuah meriam ditembakkan ke atas secara vertikal dan menempuh jarak s 50 90t 4,9t 2 dalam t sekon. Kapan peluru meriam tersebut mencapai tanah? Berapa tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut? Berapa jarak tembak terjauh yang dapat dicapai oleh meriam tersebut? 17. Sebuah kotak terbuka dibuat dengan memotong persegi dengan sisi x cm dari keempat pojok selembar papan berukuran 24 cm 32 cm, tentukan x agar luas permukaan kotak tersebut maksimum!
Bab 6 Operasi Fungsi
A. Operasi Dasar Fungsi
Sama halnya dengan bilangan, pada fungsi juga dikenal operasi , , , dan . Hanya saja, operasi-operasi tersebut sekarang dikenakan terhadap suatu fungsi sehingga dapat menghasilkan suatu fungsi baru, tentunya dengan domain yang berbeda. Permasalahan seperti ini kerap kali muncul dalam kehidupan sehari-hari. Berikut ini diberikan beberapa definisi yang diperlukan dalam pengenalan operasioperasi dasar fungsi. Misalkan fungsi f x dan fungsi g x masing-masing dengan domain D f dan Dg , maka 1. Jumlah fungsi f x dan fungsi g x adalah
f g x f x g x
dengan domain
f g x f x g x
dengan domain
D f g D f Dg .
2. Selisih fungsi f x dan fungsi g x adalah D f g D f Dg .
3. Perkalian fungsi f x dan fungsi g x adalah
f g x f x g x
dengan domain
D f g D f Dg .
4. Pembagian fungsi
f x f f x dan fungsi g x adalah x dengan domain g x g
D f D f Dg dan g x 0 . g
Contoh: Diketahui fungsi-fungsi f dan g masing-masing ditentukan dengan rumus f x
1 dan x 1
g x 4 x 2 . Tentukan fungsi-fungsi berikut ini serta domain-nya: a)
f g x .
c)
b)
f g x .
f d) x . g
Sebelumnya
diketahui
bahwa
f g x .
D f x x 1, x R
dan
Dg x 2 x 2, x R .
Berdasarkan definisi-definisi di atas maka diperoleh: a)
f g x f x g x
1 4 x 2 dengan domain dan range x 1
D f g D f Dg x 1 x 2, x R .
b)
f g x f x g x
1 4 x 2 dengan domain x 1
D f g D f Dg x 1 x 2, x R .
4 x2 c) f g x f x g x dengan domain x 1 D f g D f Dg x 1 x 2, x R .
f x f d) x g x g
1 x 1 4 x2
1
x 1 4 x
2
dengan domain
D f D f Dg g x 0 x 1 x 2, x R . g
Soal! 2 x 1, untuk 0 x 1 2 1. Misalkan f x 2 maka f f 4 4 x 1, untuk x yang lain
1 f f 3 . 2
3 x 2, untuk 1 x 1 2. Fungsi f ditentukan dengan rumus f x . 2 2 x , untuk x yang lainnya 2 Nilai dari f 3 f f 1 f 2 . 3
3. Jika fungsi f memenuhi persamaan 2 f x f 9 x 3x, x R , maka nilai f 2 . 4. Jika fungsi f memenuhi persamaan f x 2 f 8 x x, x R , maka nilai f 7 adalah …. 5. Jika f x 2 x , maka
f 2 x 1 f x 1 . f x 2
6. Jika f x x 3 maka f x 2 f x 2 f x . 2
x2 4 adalah …. x 2 4 x 21
7. Domain fungsi f x 8. Agar fungsi g x
3 x terdefinisi dalam domain-nya, maka domain fungsi g x 3x 10 2
adalah …. 9. Domain fungsi h x 2 log 3 x 2 10 x 8 adalah …. 10. Jika fungsi f terhadap fungsi g pada soal 7 dan 8 dilakukan operasi pembagian, maka domain f fungsi x adalah …. g
B. Komposisi Fungsi
Selain operasi-operasi dasar, terdapat operasi lain yang dapat didefinisikan antar fungsi, yaitu operasi komposisi fungsi . Untuk memahami konsep operasi komposisi fungsi dalam dunia nyata, berikut ini diilustrasikan sebuah contoh operasi komposisi fungsi dalam investasi sejumlah uang pada beberapa macam produk keuangan. Misalkan seorang investor memiliki modal (M) sebesar Rp 100.000,00 yang dapat diinvestasikan selama dua bulan (berikut dengan keuntungannya per bulan). Investor tersebut tertarik untuk menginvestasikan modalnya ke dua macam produk keuangan F dan G yang masing-masing memberikan fungsi pengembalian (return) per bulan sebesar f M 1, 03M dan g M 1, 035M 500 . Akan tetapi, modal minimal untuk masing-masing produk adalah sebesar Rp 100.000,00 sehingga investor tersebut harus memilih produk mana yang akan dipilih dalam kurun waktu dua bulan tersebut. Diasumsikan bahwa seorang investor dapat menginvestasikan modalnya minimal selama satu bulan per produk. Dengan demikian, beberapa kombinasi pilihan investasi investor tersebut adalah sebagai berikut: 1. Selama dua bulan investasi ke produk F; 2. Selama dua bulan investasi ke produk G; 3. Bulan pertama investasi ke produk G kemudian bulan berikutnya ke produk F; dan 4. Bulan pertama investasi ke produk F kemudian bulan berikutnya ke produk G. Fungsi pengembalian dari masing-masing kombinasi pilihan investor tersebut secara berurutan dapat dinotasikan secara matematis sebagai berikut: 1.
f f M f f M ;
2.
g g M g g M ;
3.
f g M f g M ; dan
4.
g f M g f M .
Berdasarkan perumusan di atas, dapat diperoleh return dari masing-masing kombinasi pilihan investasi berikut ini:
1. Selama dua bulan investasi ke produk F.
f f M f f M f 1, 03M 1, 03 1, 03M 1, 0609M
sehingga dengan modal Rp 100.000,00 diperoleh return sebesar Rp 106.090,00. 2. Selama dua bulan investasi ke produk G.
g g M g g M g 1, 035M 500 1, 035 1, 035 M 500 500 1, 071225 M 517,5 500 1, 071225 M 1.017,5
sehingga dengan modal Rp 100.000,00 diperoleh return sebesar Rp 106.105,00. 3. Bulan pertama investasi ke produk G kemudian bulan berikutnya ke produk F.
f g M f g M f 1, 035M 500 1, 03 1, 035M 500 1, 06605M 515
sehingga dengan modal Rp 100.000,00 diperoleh return sebesar Rp 106.090,00 4. Bulan pertama investasi ke produk F kemudian bulan berikutnya ke produk G.
g f M g f M g 1, 03M 1, 035 1, 03M 500 1, 06605M 500
sehingga dengan modal Rp 100.000,00 diperoleh return sebesar Rp 106.105,00 Berdasarkan perhitungan di atas, investor tersebut dapat memilih dua kombinasi pilihan investasi karena memberikan return yang sama besar, yaitu Rp 106.105,00 jika selama dua bulan berturut-turut berinvestasi pada produk G atau bulan pertama investasi ke produk F untuk selanjutnya diinvestasikan kembali ke produk G.
Konsep yang harus diperhatikan ketika melakukan operasi komposisi fungsi ini adalah domain dan range dari masing-masing fungsi. Hal ini disebabkan oleh range dari fungsi pertama yang dikenakan dapat saja tidak termasuk ke dalam domain fungsi selanjutnya sehingga operasi komposisi fungsi ini tidak dapat dilakukan, seperti ditunjukkan berikut ini: Misalkan: f x x 5 dengan D f x x 5, x R dan R f y y 0, y R .
g x x dengan Dg R dan Rg R . Jika dilakukan operasi komposisi fungsi f dan g, yaitu
f g x f g x ,
maka elemen
domain fungsi g tidak seluruhnya dapat digunakan. Hal ini disebabkan oleh elemen range fungsi g tidak seluruhnya termasuk ke dalam domain fungsi f. Dengan kata lain, operasi komposisi fungsi ini dapat dilakukan hanya ketika elemen domain fungsi g menghasilkan elemen yang termasuk ke dalam D f Rg . Contohnya x 4 Dg , jika dikenakan fungsi g menghasilkan
g 4 4 Rg , tetapi 4 D f Rg D f sehingga tidak dapat dikenakan fungsi f yang berarti operasi komposisi fungsi tidak dapat dilakukan. Berikut ini diberikan beberapa syarat yang harus diperhatikan dalam melakukan operasi komposisi fungsi: 1. D f Rg . 2. D f g Dg . 3. R f g R f .
Soal! 1. Diketahui fungsi f dan g dengan
f x x 2 4 x 1 dan
g x 10 x 2 , maka
g f 0 . 2. Jika f x x 2 2, g x 2 x 1, h x 2 x a, dan maka nilai a yang memenuhi adalah ….
f g x h g x 2 g f x ,
3. Jika f x 2 x dan g x 2 log x 2 , maka 4 g f x . 4. Jika f x 2 x 5, g x
x 1 , dan x4
5. Diketahui f x 2 x 5 dan g x
f g p 5 , maka nilai p sama dengan …. x 1 . Jika f g a 5 , maka a . x4
6. Jika f x 5 x 2 6 x 3 dan g x 2 x 4 , maka domain dari fungsi
g f
adalah
himpunan semua x yang memenuhi …. 7. Jika g x 1 2 x 1 dan f g x 1 2 x 4 maka f 0 . 8. Jika f x 2 x 3 dan g f x 2 x 1 , maka g x . 9. Jika f x
1 x dan f g x , maka g x . 2x 1 3x 2
10. Jika g x x 1 dan f g x x 2 3x 1 , maka f x . 11. Jika f x 2 x 1 dan g f x x 2 3x 1 , maka g 3 . 12. Jika g f x 2 x 3 dan g x 3x 2 , maka f g x . 13. Jika f x x 2 1 dan f g x
1 x 2 4 x 5 , maka g x 3 . x2
C. Invers Fungsi
Misalkan f : A B adalah sebuah fungsi injektif dengan D f A dan R f B . Fungsi
f 1 disebut fungsi invers dari f jika f 1 b, a B A a, b f
adalah suatu fungsi injektif
pula dengan D f 1 R f dan R f 1 A atau dengan kata lain x f 1 y D f jika dan hanya jika y f x R f .
Soal! 1. Diketahui fungsi f x
4x 5 dengan 2 x 3 0 , maka invers dari fungsi f adalah …. 2x 3
2. Jika invers fungsi f x adalah f 1 x
2x , maka f 3 . 3 x
3. Diketahui fungsi f x 3 1 x3 2 maka invers dari f x adalah …. 4. Jika f 1 x
x 1 3x 1 1 dan g 1 x maka f g 6 . 5 2
5. Jika f g x 4 x 2 8 x 3 dan g x 2 x 4 maka f 1 x . 6. Jika f x
1 2 1 dan g x , maka f g x . x 1 3 x
7. Jika f x x 3 maka f 1 x . 8. Jika f x 2 x 3 dan g x
1 1 , maka f g x . 3x 1
9. Jika f x x , x 0 , dan g x 10. Jika f x
1 1 dan g x 2 x 1 , maka f g x . x
11. f 1 , g 1 , dan h 1
f
1
x 1 , x 1 , maka g f 2 . x 1
berturut-turut
menyatakan
g 1 h 1 x 2 x 4 dan h g x
invers
fungsi
f , g , dan h .
Diketahui
x3 1 , x . Nilai f 8 . 2x 1 2
12. f 1 x dan g 1 x menyatakan invers fungsi
f x dan g x . Jika h x 2 x 1 dan
f g h x 2 8 x 2 2 , maka nilai g 1 f 1 2 . 13. Invers dari fungsi f x 14. Invers dari fungsi f x
x2 adalah …. 2x 3
x 3
5
1
3
adalah ….
15. Jika invers fungsi f x ditentukan oleh f 1 x ….
2x 1 ; x 3 , maka fungsi f x 1 adalah x3
16. Jika pemetaan f : R R dan g : R R ditentukan oleh f x 3x dan g x 4 5 x , maka g f
1
memetakan x ke ….
17. f 1 , g 1 , dan h 1
f
1
berturut-turut menyatakan invers fungsi f, g, dan h. Diketahui
g 1 h 1 x 2 x 4 dan h g x
x3 1 , x . Nilai f 8 . 2x 1 2
8 18. Jika f x dengan x 0 , maka f 4 . 1 x
19. Diketahui f x
x 1 , x 0 . Jika k adalah banyaknya faktor prima dari 210, maka x
f 1 k . 20. Domain fungsi f x 21. Range fungsi f x 22. Jika f x
3x 2 x 2 adalah …. 2 x2 5x 2
2x 5 untuk x R dan x 3 adalah …. x3
6 1 dan g x x 2 untuk x 0 , maka domain dari f g x . x3
23. Diketahui f : R R dan g : R R didefinisikan dengan f x x3 4 dan g x 2sin x . 1 Nilai f g adalah …. 2
24. Jika g f x 4 x 2 4 x 3 dan f x 2 x 1 , maka fungsi invers dari g x adalah …. 25. f : A B, C A, D A, E B , F B . Pernyataan berikut mana yang benar? Bila benar, buktikan! Bila tidak, berikan contoh! a)
f 1 E F f 1 E f 1 F !
b)
f 1 E F f 1 E f 1 F !
Soal Tambahan!
1. Fungsi y f x 40 x 5.000 menyatakan bahwa upah mingguan seorang wiraniaga ditentukan oleh jumlah unit
x
y
yang diterima
yang terjual per minggunya. Sebuah
analisis menyimpulkan bahwa unit yang terjual per minggu oleh seorang wiraniaga 1 bergantung pada harga per unitnya sesuai persamaan x g h 450 h 2 dengan domain 2 Dg h h R dan 0 h 30 dan h adalah harga per unit dalam rupiah. Tentukan besar
upah yang diterima sang wiraniaga, jika harga per unit adalah Rp 10,00! 2. Pendekatan pendapatan pemerintah dapat diwakilkan oleh fungsi Y C I . Fungsi tersebut menyatakan bahwa pendapatan nasional Y merupakan fungsi dari konsumsi masyarakat
C
dan investasi oleh swasta
I .
Meskipun demikian, investasi juga ditentukan oleh
tingkat suku bunga r sesuai dengan persamaan I r 250 500r . Sementara konsumsi masyarakat juga ditentukan oleh pendapatan nasional
Y ,
seperti pada persamaan
C Y 500 0,8Y . Tentukan pendapatan nasional, jika suku bunga adalah 12%! 3. Diasumsikan impor Jepang ke Indonesia IMP merupakan fungsi dari pendapatan nasional Indonesia
YIND ,
nasional Indonesia
seperti pada persamaan IMP 25 0, 05YIND . Sedangkan, pendapatan
YIND
dipengaruhi oleh jumlah uang beredar
M ,
seperti pada
persamaan YIND 500 0,8M . Tentukan impor Jepang ke Indonesia jika jumlah uang yang eredar adalah Rp 300,00! 4. Menurut teori relativitas khusus, massa sebuah elektron yang bergerak dengan kelajuan v diberikan oleh m me dengan me adalah massa diam elektron dan
1 v2 1 2 c
adalah kelajuan benda, serta c adalah kelajuan cahaya. Tentukan: a) massa elektron ketika bergerak dengan kelajuan 0,8 kali kelajuan cahaya! b) kelajuan elektron jika massa elektron bertambah sebesar 25%!
dengan v
Bab 7 Fungsi Trigonometri
Seperti telah disebutkan sebelumnya pada Bab 5, salah satu fungsi yang cukup populer dalam aplikasi adalah fungsi trigonometri. Trigonometri merupakan salah satu topik dalam matematika yang cukup diminati karena perannya yang sangat besar dalam perkembangan keilmuan matematika dan aplikasinya. Salah satu contoh penerapan trigonometri adalah pada bidang astronomi. Para astronom dapat memperkirakan jarak antara bumi dengan bulan atau bumi dengan matahari hanya dengan konsep trigonometri sederhana, walaupun astronom tersebut belum pernah mengukur jarak sebenarnya. Aplikasi lebih lanjut mengenai fungsi trigonometri dapat dilihat pada Bab 9. Untuk memahami konsep trigonometri tersebut, berikut ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar yang perlu diketahui. Jika diberikan ABC siku-siku sebagai berikut: C
a
b
A
c
B
maka dapat didefinisikan beberapa perbandingan trigonometri yang perlu diketahui berikut ini: 1. sin
b b atau arcsin . a a
2. cos
c c atau arccos . a a
3. tan
b b atau arctan . c c
4. sec
1 . cos
5. csc
1 . sin
6. cot
1 . tan
di mana , , dan masing-masing adalah besar sudut ABC , sedangkan a, b, dan c masingmasing adalah panjang sisi-sisi ABC . Ukuran sudut dapat dinyatakan dalam derajat
atau
dalam radian rad di mana rad 180 . Berikut ini diberikan beberapa nilai perbandingan trigonometri yang dikenal dengan sudut-sudut istimewa: 0
30
45
60
90
sin
0
1 2
1 2 2
1 3 2
1
cos
1
1 3 2
1 2 2
1 2
0
tan
0
1 3 3
1
3
tak tentu
Selain itu, beberapa persamaan trigonometri yang kerap kali muncul dalam perhitungan adalah sebagai berikut: Jika diberikan ABC sebarang berikut ini C
b
A
a
c
B
maka 1. sin 2 cos 2 1 . 2. tan 2 1 sec 2 . 3. cot 2 1 csc 2 . 4.
a b c . sin sin sin
5. a 2 b 2 c 2 2bc cos , b 2 a 2 c 2 2ac cos , dan c 2 a 2 b 2 2ab cos . 6. L
1 1 1 ab sin ac sin bc sin . 2 2 2
7. cos cos cos sin sin . 8. sin sin cos cos sin . 9. tan
tan tan . 1 tan tan
10. 2sin cos sin sin . 11. 2cos sin sin sin . 12. 2 cos cos cos cos . 13. 2sin sin cos cos . 1 1 14. sin sin 2sin cos . 2 2 1 1 15. sin sin 2 cos sin . 2 2 1 1 16. cos cos 2 cos cos . 2 2 1 1 17. cos cos 2sin sin . 2 2
Pada implementasinya, dapat ditentukan persamaan-persamaan trigonometri lainnya sesuai dengan kebutuhan. Dengan demikian, fungsi trigonometri dapat didefinisikan menurut konsep trigonometri di atas. Masing-masing fungsi trigonometri tersebut dapat digambarkan ke dalam grafik sebagai berikut:
Berdasarkan gambar di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai perbandingan trigonometri tersebut untuk sudut-sudut pada setiap kuadran akan bernilai positif ketika
90
cos
sin
180
sin
tan
tan
0
cos
270 sehingga dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa lainnya.
Soal!
1 1 1 1. Diketahui tan a , tan b , dan tan c . Nilai tan a b c . 2 5 8
2. sin sin 3x 2 y sin 2 x y a dan cos cos 3x 2 y cos 2 x y b . Jika dinyatakan dengan a dan b, maka cos cos a . 3. cos 22,5 sin 22,5 cot11, 25 . 4. Diketahui sin x cos x 5. Buktikan bahwa
1 1 dan sin x cos x , maka sin 3 x cos 3 x . 2 2
cot cot 2 cot 2 csc ! 1 sec 1 sec
6. Buktikan bahwa sin 3 4 sin 3 3sin dan cos 3 4 cos 3 3cos ! 7. Buktikan bahwa
cos 5 cos 3 4 sin cos ! sin sin 3
8. Buktikan bahwa
sin 4 sin 2 tan 3 ! cos 4 cos 2
9. Buktikan bahwa
sin 3 sin 5 sin 7 sin 9 tan 6 ! cos 3 cos 5 cos 7 cos 9
10. Tentukanlah batas nilai p yang memenuhi persamaan 10sin 2 x 24sin x cos x p sehingga dapat diselesaikan! Soal Tambahan! 1. Dua buah lingkaran yang berpusat di P dan Q memiliki jari-jari 6 cm dan 7 cm. Kedua lingkaran itu bersisian di titik X dan Y. Jika diketahui PQ = 9 cm. Tentukan luas PXQ ! 2. Tentukan luas segienam beraturan yang panjang sisinya a cm! 3. Dalam rangkaian arus bolak-balik: a) tegangan listrik V dinyatakan dengan V Vm sin t ; b) arus listrik I dinyatakan dengan I I m sin t ; dan c) daya listrik P dinyatakan dengan P V I . Tunjukkan bahwa P
Vm I m cos cos 2t ! 2
4. Sebuah getaran teredam bergetar dengan simpangan menurut rumus y t
sin 4t dengan t
domain Dy t t R t 0 , y adalah simpangan getar (dalam cm), dan t adalah waktu (dalam detik). Jika ingin diketahui pada detik ke berapa simpangan getar sebesar y cm, maka harus ditentutakan fungsi invers t y . Namun, fungsi invers yang eksak untuk persamaan di atas tidak dapat ditentukan. Oleh sebab itu, digunakan metode berikut. Dapat dinyatakan bahwa untuk menemukan nilai t yang memenuhi persamaan yt sin 4t sama halnya dengan menemukan nilai t sehingga fungsi f t yt sin 4t 0 . Jika terdapat fungsi
g t y 4 cos 4t dan t0 adalah nilai t yang ditebak, maka nilai pendekatan t yang ke-n adalah
tn tn1 tn2 t2 t1 t0 dengan tm tm 1 tm tm 1 tm 1
f tm 1 g tm 1
a) Tentukan nilai pendekatan t untuk simpangan getaran sebesar 4 cm dengan melakukan iterasi fungsi sebanyak : 1 kali n 1 , 2 kali n 2 , 3 kali n 3 , 4 kali n 4 , 5 kali n 5 , dan 6 kali n 6 . b) Berdasarkan hasil di atas, kira-kira pada detik ke-berapa simpangan getar tersebut sebesar 4 cm?
Bab 8 Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat
A. Sistem Persamaan Linier
Pada Bab sebelumnya telah dibahas secara mendalam mengenai fungsi, baik fungsi dari satu atau lebih variabel. Akan tetapi, bagaimana jika bukan hanya variabel saja yang lebih dari satu, melainkan banyak fungsi juga lebih dari satu. Permasalahan seperti ini seringkali terjadi dalam kehidupan sehari-hari di mana terdapat beberapa informasi mengenai suatu hal yang saling terkait sehingga membentuk suatu sistem atau dikenal sebagai sistem persamaan. Berikut ini diberikan sebuah contoh kasus sistem persamaan di mana masing-masing fungsinya berupa fungsi polinomial berderajat satu (linier) atau biasa disebut sebagai sistem persamaan linier. “Pada suatu hari seorang juru parkir sebuah rumah makan padang kebingungan. Hal ini disebabkan oleh pertanyaan sang pemilik mengenai berapa jumlah masing-masing mobil dan motor yang mengunjungi rumah makannya hari itu. Juru parkir tersebut selama ini hanya memberikan karcis parkir rumah makan tanpa membedakan jenis kendaraannya. Selain itu, ia menarik upah sebesar Rp 2.000,00 per mobil dan Rp 1.000,00 per motor. Diketahui bahwa pada hari itu ia memperoleh uang sebesar Rp 100.000,00 dengan jumlah karcis yang diberikan adalah sebanyak 75 lembar. Apakah kalian dapat membantu juru parkir tersebut?” Masalah di atas dapat dimodelkan secara matematis sebagai berikut: Misalkan
x : banyak mobil yang berkunjung ke rumah makan padang; dan y : banyak motor yang berkunjung ke rumah makan padang.
Dengan demikian, informasi mengenai uang yang diterima dapat dimodelkan ke dalam bentuk 2.000 x 1.000 y 100.000
atau dapat disederhanakan menjadi
2 x y 100 , sedangkan
informasi mengenai jumlah karcis yang diberikan dapat dimodelkan dalam bentuk x y 75 . Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dikenal dua metode, yakni metode substitusi (mengganti) dan metode eliminasi (menghilangkan). Metode substitusi bertujuan untuk mengganti variabel dalam suatu persamaan sedemikian sehingga persamaan yang baru hanya terdiri dari satu variabel. Sedangkan, metode eliminasi bertujuan untuk menghilangkan variabel dalam suatu persamaan sedemikian sehingga persamaan yang baru hanya terdiri dari satu variabel. Kedua metode tersebut akan diterapkan pada permasalahan sebelumnya sebagai berikut:
Metode Substitusi
Metode substitusi di bawah ini akan mengganti variabel y dalam persamaan yang mewakili informasi mengenai jumlah karcis, dengan variabel y dalam persamaan yang mewakili informasi mengenai jumlah uang yang diterima. Informasi mengenai jumlah uang yang diterima 2 x y 100 2 x y 2 x 100 2 x y 100 2 x
Informasi mengenai jumlah karcis yang diberikan
x y 75
ganti y 100 2 x
x 100 2 x 75 x 100 75 x 25 x 25 y 100 2 x
ganti x 25
100 2 25 100 50 50
Jadi, banyak mobil dan motor yang berkunjung ke rumah makan padang tersebut masing-masing adalah 25 dan 50 kendaraan. Praktekkan metode substitusi di atas dengan informasi sebaliknya!
Metode Eliminasi
Metode eliminasi di bawah ini akan menghilangkan masing-masing variabel x dan y berdasarkan kedua informasi tersebut dengan cara menyamakan koefisien dari variabel yang ingin dihilangkan. Menghilangkan variabel y 2 x y 100 x y 75 x 25 Menghilangkan variabel x 2 x y 100 1 2 x y 100 x y 75 2 2 x 2 y 150 y 50 y 1 50 1 y 50
Terlihat bahwa hasil perhitungan yang diperoleh dengan menggunakan metode eliminasi sama dengan metode substitusi.
Metode Campuran
Jika diperhatikan secara seksama, kedua metode di atas dapat dikombinasikan sedemikian sehingga proses perhitungan dapat menjadi lebih efisien, seperti ditunjukkan berikut ini: 2 x y 100
Eliminasi
x y 75 x 25 25 y 75 25 y 25 75 25
Substitusi
y 50
INGAT!!! Dua persamaan 2 x y 100 dan x y 75 dapat dipandang pula sebagai suatu fungsi, seperti ditunjukkan berikut ini: 2 x y 100 y 100 2 x x y 75 y 75 x
sedemikian sehingga keduanya dapat digambarkan sebagai berikut:
Jadi, masalah sistem persamaan linier dapat dipandang sebagai masalah penentuan titik temu beberapa fungsi. Oleh sebab itu, terdapat kemungkinan bahwa suatu sistem persamaan linier tidak memiliki solusi ataupun memiliki banyak solusi. Hal ini terlihat dari kemungkinan bahwa fungsi-fungsi dalam suatu sistem persamaan linier dapat digambarkan saling sejajar atau tidak berpotongan di satu titik yang sama (tidak memiliki solusi), maupun saling berimpit satu sama lain (banyak solusi). Suatu sistem persamaan linier disebut konsisten jika sistemnya memiliki solusi (baik satu atau banyak solusi), dan disebut inkonsisten jika tidak memiliki solusi. Permasalahan sistem persamaan linier tidak hanya terhenti untuk fungsi dua variabel saja, tetapi dapat berkembang menjadi tiga atau lebih variabel. Berikut ini diberikan contoh penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel dengan menggunakan metode campuran.
x y z 4 x y 2 z 3 2 x y z 1
i ii iii
Pertama-tama, lakukan metode substitusi. Berdasarkan persamaan (i) diperoleh
x 4 y z
i
Kemudian, ganti variabel x pada persamaan (ii) dan persamaan (iii) untuk selanjutnya dilakukan metode eliminasi sebagai berikut:
ii
4 y z y 2 z 3 2 y 3 z 7
iii
ii
2 4 y z y z 1 8 2 y 2 z y z 1 3y z 7
ii iii
iii
2 y 3z 7 1 2 y 3z 7 3 y z 7 3 9 y 3z 21 7 y 14 y2
Berdasarkan persamaan iii dan i diperoleh
iii
3 2 z 7 6 z 7 z 1
i x 4 2 1 x 1
Jadi, solusi sistem persamaan linier tiga variabel di atas adalah x 1, y 2, dan z 1 . Tidak tertutup pula kemungkinan bahwa suatu sistem persamaan linier dibentuk berdasarkan fungsi-fungsi yang non-linier. Beberapa permasalahan tersebut dapat ditangani melalui beberapa pemisalan agar permasalahan menjadi lebih sederhana sesuai dengan konsep matematika, yakni menyederhanakan masalah. Tidak jarang penyederhanaan masalah tersebut menghasilkan sistem persamaan baru berbentuk sistem persamaan linier sehingga lebih mudah diselesaikan, seperti dicontohkan berikut ini: 1 3 x y 2 6 5 34 x y
Misalkan p
1 1 dan q , maka sistem persamaan di atas dapat ditulis menjadi x y
1 1 x 3 y 2 p 3q 2 6 p 5q 34 6 1 5 1 34 x y
Dengan metode substitusi diperoleh
p 2 3q 6 p 5q 34 6 2 3q 5q 34 12 18q 5q 34 23q 46 q 2 p 2 3 2 4 Oleh karena p 4 dan q 2 , maka berdasarkan pemisalan sebelumnya diperoleh p
1 1 1 1 1 1 1 1 x dan q y . x p 4 4 y q 2 2
Jadi, dengan terlebih dahulu melakukan pemisalan terhadap sistem persamaan non-linier tersebut, maka diperoleh suatu sistem persamaan yang lebih sederhana, yaitu sistem persamaan linier sehingga diperoleh x
1 1 dan y . 4 2
Soal! Selesaikan sistem persamaan berikut ini! 2a b 3 1. 3a 2b 8 4 x 2 y 3 2. 3 x 5 y 1
2 3 x y 0 3. 3 5 x 2 y 5
2x 1 y 2 3 4 4 4. x3 x y 3 2 3 12 1 1 4 x 6 y 21x 14 y 2 5. 7 4 2 2 x 3 y 3 x 2 y di mana x, y 0 x2 y 1 3 6. 81 2 x y 16 0
3log x 5log y 2 7. 2 log x 3log y 5 di mana x 0 dan y 0 y 2 x 3 8. 2 x y 10
2 x 3 y 7 9. 5 x y 2 x 3 y 6 2u v w 5 10. u 2v 2w 5 3u 2v w 8 x 2 y 2z 6 11. 2 x 2 y z 0 3x 2 y z 7 x y 3 12. y z 5 x z 4
1 xy 3x 2 y 2 6 yz 13. 2y z 5 xz 4 x 2z 5
x 1 y 2 12 y 2 z 3 20 14. z 3 x 1 15 di mana x, y, z 0
x y x y z 120 15. y z x y z 96 x z x y z 72 3 x y z 4 16. 2 x y z 1 x log 5 x 2 x log 2 1 0 17. 3 log x 1 1 y 3 9 125
18. Jika dari fungsi f x ax 2 bx c diketahui f 0 6, f 1 5, dan f 2 28 , maka
f x 0 untuk x sama dengan ….
B. Sistem Persamaan Kuadrat
Suatu sistem persamaan tidak hanya melibatkan fungsi-fungsi polinomial berderajat satu saja seperti pembahasan sebelumnya, tetapi juga dapat melibatkan fungsi-fungsi polinomial berderajat lebih tinggi. Pembahasan berikut ini hanya dibatasi untuk sistem persamaan yang melibatkan fungsi-fungsi polinomial berderajat maksimal dua.
Contoh: x 2 y 1 x y 5
i ii
Dengan menggunakan metode substitusi diperoleh
ii
i
x y 5 y 5 x
ii
x2 y 1
ganti y 5 x
x2 5 x 1 x2 5 x 1 x2 x 6 0
faktorisasi
x 3 x 2 0 x 3 atau x 2
Jika x 3 maka berdasarkan persamaan ii y 8 . Sedangkan, jika x 2 maka y 3 . Jadi, solusi sistem persamaan di atas adalah x 3 dan y 8 atau x 2 dan y 3 .
Soal! Selesaikan sistem persamaan berikut ini!
x xy y 11 1. 2 2 x y xy 30 x 2 2 xy 40 2. 2 1 y xy 15 2
x xy y 1 3. 2 2 x y xy 30
x 2 xy 15 4. xy y 2 10 di mana x 0 x 2 y 1 82 x y 4 5. x y 1 92 x y 4 3
C. Matriks (Pengayaan)
Permasalahan menentukan solusi suatu sistem persamaan linier dapat pula diselesaikan dengan pendekatan lain, yaitu matriks. Pendekatan inilah yang paling banyak dikembangkan saat ini agar proses perhitungan menjadi lebih efisien dengan menggunakan komputer melalui beberapa algoritma. Matriks adalah angka-angka yang disusun sedemikian rupa sehingga membentuk suatu segi empat yang ukurannya ditentukan berdasarkan jumlah baris dan kolom, seperti dicontohkan berikut ini: 1 1 1 3 , 0 , 0 2 4 e 3
1 2 , 5 4
Matriks-matriks yang disajikan di atas dari kiri ke kanan masing-masing berukuran 2 3,3 1, 2 2, dan 1 1 . Masing-masing angka dalam setiap matriks di atas disebut sebagai
elemen/entri dari matriks yang diindeks berdasarkan baris dan kolom yang bersesuaian. Sebagai contoh tinjau matriks pertama (paling kiri) kemudian beri nama matriks A, angka 1 merupakan elemen baris pertama kolom pertama atau dapat disimbolkan sebagai a11 . Sedangkan, angka 4 merupakan elemen baris kedua kolom ketiga atau dapat disimbolkan sebagai a23 , dan lain sebagainya. Suatu matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama disebut sebagai matriks bujur sangkar/persegi. Dalam matriks dikenal pula beberapa operasi, seperti , , dan . Sedangkan, operasi bagi tidak dikenal dalam matriks melainkan diganti dengan konsep invers
yang akan diterangkan lebih lanjut. Operasi dan pada matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang berukuran sama dengan cara menambahkan masing-masing elemen matriks yang bersesuaian, seperti dicontohkan berikut ini: 1 1 A 0 2 1 A B 0
3 2 , B 4 3 1 3 2 2 4 3
1 1 1 6 1 1 1 6 1 2 1 1 3 1 0 3 2 1 4 6 3 2 4 3 1 10 1 1 3 2 1 1 A B 0 2 4 3 1 6 1 2 1 1 3 1 0 3 2 1 4 6 1 0 2 3 3 2
Dalam operasi perkalian matriks, jika A adalah sebuah matriks berukuran m r dan B adalah sebuah matriks berukuran r n , maka hasil kali matriks A dan B merupakan matriks berukuran m n yang elemen-elemennya ditentukan melalui aturan-aturan tertentu. Untuk menentukan elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j pada matriks AB, pilih baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Selanjutnya, kalikan setiap elemen dari baris dan kolom yang bersesuaian secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya. Perhatikan contoh berikut ini:
1 0 1 1 3 A , B 3 1 0 2 4 2 4 1 0 1 1 3 A23 B32 3 1 0 2 4 2 4 1 1 1 3 3 2 1 0 1 1 3 4 AB 22 0 0 2 1 4 4 0 1 2 3 4 2 1 3 6 0 1 12 0 6 8 0 2 16 8 13 2 14 1 0 1 1 3 B32 A23 3 1 2 4 0 2 4 1 1 0 2 1 3 0 4 1 1 0 0 BA33 3 1 1 0 3 1 1 2 3 3 1 4 2 1 4 0 2 1 4 2 2 3 4 4 1 0 1 0 3 0 3 0 3 2 9 4 2 0 2 8 6 16 1 1 3 3 5 5 2 10 10 Jadi, AB BA. Terlihat pula dari contoh di atas bahwa operasi perkalian matriks tidak bersifat komutatif, seperti halnya operasi perkalian pada bilangan. Pembahasan mengenai invers suatu matriks A, disimbolkan dengan A1 , dapat dimulai dengan konsep pembagian dan perkalian pada bilangan. Contohnya: 22
2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2
dapat dipadankan dengan matriks sebagai berikut A A1 I A1 A
dengan I adalah suatu matriks identitas, yaitu matriks bujur sangkar yang elemen diagonal utamanya bernilai 1, sedangkan 0 untuk yang lain. Setiap matriks A berukuran m n jika dikalikan dengan I berukuran n n akan menghasilkan matriks A kembali. Begitu pun sebaliknya, jika matriks I berukuran m m dikalikan dengan matriks A berukuran m n akan menghasilkan matriks A kembali. Dengan demikian, salah satu syarat sebuah matriks dikatakan memiliki invers adalah matriks tersebut haruslah merupakan suatu matriks bujur sangkar. Permasalahannya sekarang adalah bagaimana menentukan bentuk dari A1 itu sendiri. Salah satu caranya adalah melalui eliminasi Gauss-Jordan pada suatu matriks A yang setiap operasinya diterapkan pula pada suatu matriks identitas. Berikut ini diberikan beberapa aturan dalam eliminasi Gauss-Jordan: 1. Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari 0, maka angka tak nol pertama dalam baris tersebut adalah sebuah angka 1 yang disebut sebagai utama 1. 2. Jika ada sebarang baris yang seluruhnya terdiri dari 0, maka baris-baris ini dikelompokkan bersama di bagian bawah matriks. 3. Jika sebarang dua baris yang berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari 0, utama 1 dalam baris yang lebih bawah terletak di sebelah kanan utama 1 dalam baris yang lebih atas. 4. Masing-masing kolom yang berisi sebuah utama 1 memiliki 0 di tempat lainnya. Perhatikan contoh berikut ini: 2 1 1 0 b1 b2 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 b1 b2 1 0 1 1 1 1 0 1 2 1 1 0 b2 2b1 0 1 1 2 b2 1 0 1 1 2 0 1 1 2 A
I
I
A1
Tujuannya adalah membentuk matriks A menjadi matriks I sehingga matriks I menjadi A1 dengan beberapa operasi baris dasar sebagai berikut: 1. Pertama-tama, pertukarkan baris-1 dan baris-2. 2. Selanjutnya, kurangkan baris-2 dengan 2 kali baris-1. 3. Kalikan baris-2 dengan -1.
4. Kurangkan baris-1 dengan baris 2. Untuk menunjukkan apakah A1 yang diperoleh tersebut benar, hanya perlu ditunjukkan apakah matriks A1 tersebut jika dikalikan dengan matriks A akan menghasilkan matriks identitas, seperti berikut ini:
2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 0 A A1 I 1 1 1 2 11 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 0 1 1 1 1 0 1 1 2 1 1 2 1 1 11 1 1 2 1 A1 A 1 2 2 1 1 1 2 1 I 1 2 1 1 2 2 1 2 0 1 INGAT!!! Tidak semua matriks bujur sangkar memiliki invers. Hal ini terlihat dari kemungkinan bahwa terdapat suatu matriks bujur sangkar yang tidak dapat diubah menjadi matriks identitas dengan menggunakan operasi baris dasar tersebut. Hingga tahap ini, pengetahuan mengenai matriks cukup untuk menjawab permasalahan awal dalam SubBab ini, yaitu mengenai bagaimana menentukan solusi dari suatu sistem persamaan linier dengan pendekatan matriks. Kembali pada contoh permasalahan juru parkir yang diberikan pada awal Bab ini di mana sistem persamaan liniernya adalah sebagai berikut: 2 x y 100 x y 75
Sistem persamaan linier tersebut dapat dituliskan kembali ke dalam bentuk perkalian matriks berikut ini: 2 1 x 100 1 1 y 75 A
x
b
Dengan demikian, permasalahan penentuan solusi sistem persamaan linier tersebut ekivalen dengan masalah penentuan x dalam perkalian matriks Ax b . Jika matriks A memiliki invers, nilai x tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan konsep invers dan identitas sebagai berikut:
Ax b A1 Ax A1b Ix A1b x A1b
Oleh karena telah ditunjukkan sebelumnya bahwa matriks tersebut memiliki invers, maka solusi sistem persamaan linier dari permasalahan juru parkir tersebut dengan pendekatan matriks adalah sebagai berikut: x 1 1 100 1 100 1 75 100 75 25 x A1b y 1 2 75 1 100 2 75 100 150 50
Terlihat bahwa hasil yang diperoleh sama dengan yang diperoleh melalui metode substitusi, eliminasi, maupun campuran.
Soal! Kerjakan kembali soal-soal pada SubBab 7.A dengan menggunakan pendekatan matriks!
Soal Tambahan! 1. Jika panjang persegi panjang bertambah 10 cm dan lebarnya bertambah 5 cm, luas persegi panjang bertambah 1.050 cm2. Jika panjangnya berkurang 5 cm dan lebarnya berkurang 10 cm, luas berkurang 1.050 cm2. Luas persegi panjang tersebut adalah …. 2. Jumlah suatu bilangan pertama dan bilangan kedua adalah 22. Bilangan kedua dikurangi bilangan pertama adalah -86. Bilangan yang lebih kecil adalah …. 3. Sepuluh tahun yang lalu, perbandingan usia adik dan kakak adalah 2 : 3. Jika perbandingan usia mereka saat ini adalah 4 : 5, maka perbandingan usia mereka 10 tahun yang akan datang adalah …. 4. Jika uang lelah Rp 22.000,00 diberikan kepada 4 tukang kebun dan 2 orang pembersih ruangan, sedangkan Rp 14.000,00 diberikan kepada 3 orang tukang kebun dan seorang
pembersih ruangan maka masing-masing tukang kebun dan tenaga pembersih ruangan berturut-turut menerima uang lelah sebesar …. 5. Sebuah bilangan berupa pecahan. Jika pembilang ditambah 2, nilai pecahan tersebut menjadi 1 1 dan jika penyebutnya dikurangi 5, nilai pecahan tersebut menjadi . Jumlah nilai 4 5
pembilang dan penyebut pecahan tersebut adalah …. 6. Sebuah kolam renang berbentuk persegi panjang dengan halaman selebar 5 m yang mengelilingi kolam renang tersebut ditutupi oleh sebuah pagar. Luas permukaan kolam renang adalah 572 m2 dan luas total yang ditutupi pagar (kolam dan halaman) adalah 1.152 m2. Ukuran kolam renang tersebut adalah …. 7. Sisi-sisi suatu segitiga merupakan bilangan bulat. Jika keliling segitiga sama dengan 8 satuan panjang, luas segitiga sama dengan … satuan luas. 8. Dalam suatu segitiga, sudut terbesarnya adalah 100 lebih besar daripada sudut terkecilnya dan tiga kali dari sudut sisanya. Ukuran sudut terbesar tersebut adalah …. 9. Diketahui dua orangyang mengendarai mobil menempuh jarak AB = 200 km. Satu orang berangkat dari A pukul 07.00 menuju B dengan kecepatan 70 km/jam, seorang lagi berangkat dari B pukul 07.15 menuju A dengan kecepatan 80 km/jam. Pukul berapakah kedua orang tersebut akan berpapasan? 10. Jumlah angka dari suatu bilangan yang terdiri atas dua angka adalah 14. Jika kedua angka dipertukarkan diperoleh bilangan baru yang 18 lebih kecil dari bilangan semula. Tentukan bilang semula tersebut! 11. Jumlah kuadrat dua buah bilangan adalah 34 dan selisih kuadratnya 16. Tentukan kedua bilangan itu! 12. Kuadrat suatu bilangan adalah 16 lebih besar dari dua kali kuadrat bilangan lainnya. Jumlah kuadrat bilangan itu adalah 208. Tentukan kedua bilangan tersebut! 13. Hasil kali dua bilangan adalah 10 dan selisih kuadratnya 21. Tentukan bilangan-bilangan tersebut! 14. Selisih panjang rusuk dua buah kubus adalah 2 cm, sedangkan selisih volumenya 218 cm3. Tentukan panjang rusuk kubus yang besar!
15. Diagonal suatu persegi panjang adalah 85 cm. Jika sisi pendeknya ditambah 11 cm dan sisi panjangnya dikurangi 7 cm, panjang diagonal persegi panjang tetap sama. Tentukan ukuran dari persegi panjang semula! 16. Seorang seniman mendesain sebuah logo bisnis dalam bentuk lingkaran dengan sebuah persegi panjang berada di dalamnya. Diameter lingkaran adalah 6,5 cm dan luas persegi panjang adalah 15 cm2. Tentukan keliling persegi panjang! 17. Sebuah kotak yang terbuka atasnya dibuat dengan menggunting seluas 12 12 cm2 pada setiap pojok dari selembar karton persegi panjang dan menekuk sisi-sisi dan ujung-ujungnya. Luas karton sebelum pojoknya digunting adalah 2.112 cm2 dan volume kotak adalah 5.760 cm3. Tentukan ukuran dari lembaran karton yang digunakan! 18. Hipotenusa (sisi miring) dari sebuah segitiga siku-siku adalah 25 cm dan kelilingnya adalah 56 cm. Tentukan panjang sisi-sisi lainnya! 19. Jumlah kelling dua buah lingkaran adalah 12 cm dan jumlah luasnya adalah 20 cm2. Tentukan besarnya jari-jari tiap lingkaran! 20. Sebuah persegi panjang memiliki diagonal 2 65 cm dan keliling 36 cm. Tentukan panjang dan lebar persegi panjang tersebut! 21. Seorang pedagang menjual semua baju dan dasi seharga Rp 10.000.000,00. Harga 3 buah baju Rp 100.000,00 dan sebuah dasi Rp 20.000,00. Apabila ia hanya menjual baju dan
1 dari jumlah 2
2 dari jumlah dasi, ia dapat mengumpulkan uang Rp 6.000.000,00. Berapakah 3
jumlah baju dan dasi jika semua barang tersebut habis terjual? 22. Suatu campuran semen harganya Rp 35.000.000,00 per ton. Campuran itu terdiri dari atas semen kualitas satu seharga Rp 39.000.000,00 per ton dan kualitas dua seharga Rp 25.000.000,00 per ton. Tentukan perbandingan massa dari semen kualitas satu dan semen kualitas dua dalam pembuatan campuran semen tersebut! 23. Sebuah rumah akan dicat. Jika pengecatan dilakukan oleh tiga tukang cat yang ahli dan enam tukang cat pemula, pengecatan selesai dalam 2 hari kerja. Jika pengecatan dilakukan oleh seorang tukang cat yang ahli dan delapan tukang cat pemula, pengecatan selesai dalam 3 hari kerja. Jika pengecatan itu dilakukan hanya oleh seorang tukang cat yang ahli, berapa hari kerjakah pengecatan itu dapat diselesaikan?
24. Dua partikel bergerak dengan kelajuan tetap yang berbeda sepanjang keliling lingkaran yang panjangnya 276 m. Kedua partikel mulai bergerak pada saat yang sama dan dari tempat yang sama. Jika kedua partikel bergerak berlawanan, kedua partikel akan berpapasan setiap 6 detik. Jika kedua partikel bergerak searah, partikel yang satu melewati partikel yang lainnya setiap 23 detik. Tentukan kelajuan masing-masing partikel tersebut! 25. Sebuah perahu yang bergerak searah arus air sungai dapat menempuh jarak 46 km dalam waktu 2 jam. Jika perahu itu bergerak berlawanan dengan arah arus air sungai, perahu akan menempuh jarak 51 km dalam waktu 3 jam. Hitunglah kelajuan perahu dan kelajuan arus air sungai! 26. Sebuah pabrik memiliki tiga buah mesin A, B, dan C. Jika ketiganya bekerja, 5.700 lensa dapat dihasilkan dalam seminggu. Jika hanya A dan B bekerja, 3.400 lensa dapat dihasilkan dalam seminggu. Jika hanya B dan C bekerja, 4.200 lensa dapat dihasilkan dalam seminggu. Berapa banyak lensa dapat dihasilkan oleh tiap-tiap mesin dalam seminggu? 27. Saat ini perbandingan usia ayah, ibu, dan lima kali usia anaknya adalah 6 : 5 : 1. Lima belas tahun yang akan datang, perbandingan usia ayah ibu, dan anaknya setelah dikurangi 6 adalah 9 : 8 : 2. Tentukan jumlah umur mereka lima tahun yang akan datang! 28. Lena meminjam Rp 80.000.000,00 dalam tiga kategori pinjaman berbeda untuk memulai menjalankan bisnisnya. Ia meminjam dari dua bank sejumlah Rp 70.000.000,00 masingmasing dengan bunga 11% dan 10%. Sisa lainnya dipinjam dari lembaga keuangan dengan bunga 13%. Berapa besar pinjaman Lena pada tiap kategori jika bunga tahunan yang harus dibayarnya adalah Rp 8.500.000,00! 29. Tiga tukang cat, Udin, Deni, dan Bani, bekerja secara bersama-sama, dapat mengecat eksterior (bagian luar) sebuah rumah dalam waktu 10 jam kerja. Deni dan Bani bersamasama pernah mengecat sebuah rumah serupa ini dalam 15 jam kerja. Suatu hari, ketiga tukang ini bekerja mengecat rumah serupa ini selama 4 jam kerja, setelah itu Bani pergi karena suatu keperluan mendadak. Udin dan Deni memerlukan tambahan 8 jam kerja lagi untuk menyelesaikan pengecatan rumah ini. Perkirakan, berapa lama waktu yang diperlukan oleh setiap tukang untuk menyelesaikan pekerjaan mengecat rumah ini jika bekerja sendirian? 30. Seorang ahli kimia memerlukan 10 liter larutan asam 25%. Larutan itu dapat diperoleh dengan mencampur tiga larutan yang konsentrasi asamnya masing-masing 10%, 20%, dan
50%. Jika ia menggunakan 2 liter larutan 50%, berapa literkah larutan asam 10% dan 20% yang harus digunakan oleh ahli kimia untuk membuat larutan yang dibutuhkannya? 31. Dalam perlombaan berjarak 21 meter antara seekor kura-kura dan seekor kelinci, kura-kura berangkat 9 menit lebih dahulu daripada kelinci. Kelinci dapat melintasi garis finish 3 menit sebelum kura-kura. Jika kelinci berlari dengan laju rata-rata 0,5 m/jam lebih cepat daripada kura-kura, berapakah laju rata-rata kura-kura dan kelinci? 32. Budi dapat berlari tiga kali lebih cepat daripada kecepatan berjalan Iwan. Misalkan, Iwan yang lebih cerdas dari Budi dapat menyelesaikan ujian pada pukul 14.00 dan mulai berjalan pulang pada saat itu juga. Budi menyelesaikan ujian pada pukul 14.12 dan segera berlari mengejar Iwan. Pada pukul berapakah Budi tepat akan menyusul Iwan? 33. Suatu bilangan x, terdiri atas dua angka. Jika bilangan itu ditambah dengan 45, diperoleh bilangan yang terdiri atas dua angka yang sama, tetapi dalam urutan terbalik. Jika di antara angka puluhan dan angka satuan disisipkan angka nol, diperoleh bilangan yang nilainya 7
2 3
kali nilai bilangan x. Bilangan x tersebut adalah …. 34. Misalkan Edi memiliki beberapa kartu berbentuk persegi dan segitiga. Pada kartu persegi terdapat satu gambar kucing dan empat gambar burung, pada kartu segitiga terdapat satu gambar kucing dan satu gambar burung. Berapa banyak kartu persegi dan segitiga yang harus diambil agar jumlah gambar kucing sebanyak 27 dan jumlah gambar burung sebanyak 81? 35. Seorang perempuan ingin menggunakan susu dan jus jeruk untuk memenuhi kebutuhan kalsium dan vitamin A dalam diet hariannya. Satu ons susu mengandung 37 miligram kalsium dan 57 miktogram vitamin A. Satu ons jus jeruk mengandung 5 miligram kalsium dan 65 miktogram vitamin A. Berapa banyak susu dan jus jeruk yang harus dikonsumsinya, jika ia membutuhkan 500 miligram kalsium dan 1.200 miktogram vitamin A setiap harinya? (1 miktogram = 10-6 gram).
Bab 9 Persamaan Parametrik dan Koordinat Polar
A. Persamaan Parametrik
Dalam menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang terjadi di dunia nyata, biasanya matematikawan terlebih dahulu memodelkan permasalahan-permasalahan tersebut ke dalam suatu model matematis. Salah satu model yang cukup penting untuk dibahas adalah model yang dinyatakan dengan suatu persamaan parametrik. Persamaan parametrik adalah persamaan yang mengandung suatu peubah bebas. Salah satu bentuk sederhana dari persamaan parametrik diberikan sebagai berikut: Persamaan parametrik dari sebuah garis Sebuah garis yang melalui sebuah titik
x1 , y1
dan sejajar dengan garis y
b x; a, b R a
memiliki persamaan parametrik sebagai berikut: x x1 ta, y y1 tb,
dengan t R merupakan peubah bebas. Untuk memudahkan pemahaman, berikut ini diberikan beberapa contoh penerapan persamaan parametrik tersebut. Contoh 1: 5 Tentukan persamaan parametrik dari sebuah garis yang sejajar dengan garis y x dan 2
melalui titik 3, 5 .
Dengan menggunakan informasi di atas, maka dapat ditentukan persamaan parametrik berikut ini:
y y1 tb
x x1 ta,
3 t 2
5 t 5 5 5t ,
3 2t ,
sehingga dapat digambarkan sebagai berikut:
t -1 0 0.5 1 2
x 5 3 2 1 -1
y -10 -5 -2.5 0 5
Contoh 2: Nyatakan persamaan parametrik dari garis y 2 x 3 . Pada persamaan y 2 x 3 , x merupakan peubah bebas sedangkan y merupakan peubah tak bebas. Dalam persamaan parametrik, t merupakan peubah bebas di mana x dan y keduanya merupakan peubah tak bebas. Oleh sebab itu, dengan memisalkan x t persamaan parametrik dari garis y 2 x 3 adalah
x t, y 2t 3. Contoh 3: Nyatakan persamaan garis dari persamaan parametrik x 3 2t dan y 1 5t . Dengan metode substitusi, seperti yang telah dijelaskan pada Bab 8, diperoleh
x 3 2t , x 3 2t , x 3 t y 1 5t 2 x 3 1 5 2 5 15 1 x 2 2 5 17 x . 2 2
Persamaan parametrik dapat pula digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang lebih kompleks, seperti memodelkan pergerakan bola golf yang dipukul dan memiliki lintasan berupa parabola. Ketika bola bergerak, gravitasi akan mempengaruhi pergerakan bola dengan arah vertikal. Sedangkan, arah horizontal tidak dipengaruhi oleh gravitasi sehingga tanpa memperhatikan kecepatan angin maka kecepatan horizontal dari bola tersebut akan tetap konstan. Selain itu, kecepatan vertikal dari bola adalah besar dan positif pada saat awal, serta menurun hingga mencapai nol pada saat di puncak, kemudian meningkat kembali dengan arah negatif ketika bola jatuh. Ketika bola jatuh ke tanah, kecepatan vertikal pergerakan bola tersebut sama dengan ketika bola mulai bergerak, tetapi dengan arah sebaliknya.
Dengan menggunakan persamaan trigonometri, seperti yang telah dijelaskan sebelumnya pada Bab 7, diperoleh Vx Vx V cos , V Vy sin Vy V sin , V cos
dengan Vx , Vy , dan V masing-masing merupakan kecepatan horizontal, vertikal, dan kecepatan awal. Dengan demikian, posisi horizontal dari bola golf tersebut pada waktu t dapat dinyatakan sebagai berikut: x Vx t V cos t tV cos .
Sedangkan, posisi vertikal yang dipengaruhi oleh gravitasi dinyatakan sebagai berikut:
1 2 gt 2 1 V sin t gt 2 2 1 2 tV sin gt , 2
y Vy t
dengan g 9,8 m s 2 . Dengan demikian, persamaan parametrik dari pergerakan bola golf tersebut adalah sebagai berikut: x tV cos , y tV sin
1 2 gt . 2
Soal! 8 1. Tentukan persamaan parametrik dari sebuah garis yang sejajar dengan garis y x dan 3
melalui titik 4, 11 . 2. Tentukan persamaan parametrik dari sebuah garis yang sejajar dengan garis y
2 x dan 3
melalui titik 1, 0 . 2 3. Tentukan persamaan parametrik dari sebuah garis yang sejajar dengan garis y x dan 7
melalui titik 1,5 .
5 4. Tentukan persamaan parametrik dari sebuah garis yang sejajar dengan garis y x dan 3
melalui titik 4,1 . 5. Nyatakan persamaan parametrik dari garis y 2 x 3 . 6. Nyatakan persamaan parametrik dari garis y 4 x 2 . 7. Nyatakan persamaan parametrik dari garis 3 x 2 y 5 . 8. Nyatakan persamaan garis dari persamaan parametrik x 3t 5 dan y 2t 7 . 9. Nyatakan persamaan garis dari persamaan parametrik x t 6 dan y t 2 . 10. Nyatakan persamaan garis dari persamaan parametrik x 4t 3 dan y 5t 3 . 11. Nyatakan persamaan garis dari persamaan parametrik x 4t 11 dan y t 3 . 12. Nyatakan persamaan garis dari persamaan parametrik x 9t dan y 4t 2 . 13. Nyatakan persamaan garis dari persamaan parametrik x 8 dan y 2t 1 . 14. Gambarkan grafik dari persamaan parametrik x 2 4t dan y 1 t . 15. Gambarkan grafik dari persamaan parametrik x 3 5t dan y 2 4t . 16. Gambarkan grafik dari persamaan parametrik x 1 t dan y 1 t .
Soal Tambahan! 1. Dua buah truk berjalan dari Tangerang ke Banyuwangi yang berjarak sekitar 1.125 km. Truk pertama berangkat pukul 8 pagi dengan kecepatan rata-rata 50 km/jam. Sedangkan, truk kedua berangkat pukul 9 pagi dengan kecepatan 54 km/jam. Buatlah persamaan parametrik yang dapat memodelkan situasi ini kemudian gambarkan grafiknya untuk menganalisa model tersebut. a) Berapa lama dan berapa jauhnya dari Tangerang hingga truk kedua dapat menyusul truk pertama? b) Berapa besar kecepatan yang harus ditingkatkan oleh truk pertama agar dapat tiba lebih dahulu daripada truk kedua? 2. Zainul menendang sebuah bola kaki dengan kecepatan awal sebesar 45 m/s dan sudut 30 dari horizontal. Berapa jauhkah bola melesat secara horizontal dan vertikal setelah 0,6 s?
3. Siti menembakkan anak panahnya dengan kecepatan awal sebesar 65m/s dan sudut 5 dari horizontal. Jika target berada sejauh 70 m dari Siti berdiri dan busur berada 1,5 m di atas permukaan tanah ketika Siti menembakkan anak panahnya, maka berapa jauhkah anak panah dari atas permukaan tanah ketika mengenai target?
B. Koordinat Polar
Setelah mempelajari persamaan parametrik, pembahasan dilanjutkan dengan koordinat polar yang melibatkan pengetahuan mengenai persamaan parametrik tersebut. Jika dalam koordinat Cartesius, titik-titik direpresentasikan dengan x, y , maka dalam koordinat polar titiktitiknya direpresentasikan dengan r , . Persamaan parametrik untuk permasalahan koordinat tersebut adalah sebagai berikut: x r cos , y r sin ,
r x2 y 2 , y arctan x arctan y x
; x 0, ; x 0.
Contoh 1: Tentukan koordinat polar dari 3,5 .
34
y x 5 arctan 3
5,83.
2,11.
r x2 y 2
3 5 2
arctan 2
Jadi, koordinat polar dari 3,5 adalah 5,83; 2,11 .
; x 0
Contoh 2: 3 Tentukan koordinat Cartesius dari 2, . 4
x r cos
y r sin
3 2 cos 4 1 2 2 2
3 2sin 4 1 2 2 2
2.
2.
3 Jadi, koordinat Cartesius dari 2, adalah 4
2, 2 .
Soal! 1. Tentukan koordinat polar dari: a)
0;1,5
d)
b)
0,3
1 e) , 0 4
1 1 c) 3, 2 2
f)
2. Tentukan koordinat Cartesius dari: 1 a) 2, 4
b)
5, 60
e)
f)
3, 464; 2, 09
c) d)
29; 1,19 2; 4,39
13; 0,59
2, 0
2, 2
Bab 10 Konik
Pada Bab ini akan dibahas mengenai bentuk-bentuk kurva yang seringkali digunakan dalam aplikasi matematika geometri, contohnya dalam bidang astronomi. Kurva-kurva ini dihasilkan melalui perpotongan antara kerucut dengan suatu bidang datar sehingga disebut sebagai konik seperti digambarkan berikut ini:
Sumber: Wikipedia
Irisan pada gambar nomor 1 merupakan kurva parabola, sedangkan irisan atas dan bawah pada gambar nomor 2 masing-masing disebut sebagai kurva elips dan lingkaran. Selain itu, irisan pada gambar nomor 3 disebut sebagai hiperbola. Selanjutnya, akan dibahas masing-masing kurva tersebut.
A. Lingkaran
Bentuk standar dari persamaan lingkaran dengan radius r dan pusat di h, k adalah sebagai berikut:
x h y k 2
2
r 2.
Sedangkan, bentuk umum dari persamaan lingkaran tersebut adalah:
x 2 y 2 Dx Ey F 0, dengan D, E, dan F merupakan suatu konstanta.
Contoh 1: Nyatakan persamaan lingkaran yang berpusat di 5, 6 dan menyinggung sumbu-y. Berdasarkan definisi persamaan lingkaran diketahui bahwa persamaan lingkaran tersebut adalah sebagai berikut:
x 5 y 6 5 2
x 5 y 6 2
2
2
2
25
x 2 10 x 25 y 2 12 y 36 25 0 x 2 y 2 10 x 12 y 36 0.
Contoh 2: Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik 2,3 , 6, 5 , dan 0, 7 . Berdasarkan definisi persamaan lingkaran diketahui bahwa:
x 2 y 2 Dx Ey F 0
2 3 D 2 E 3 F 0 i 2 2 6 5 D 6 E 5 F 0 ii 2 2 0 7 D 0 E 7 F 0 iii 2
i ii iii
2
4 9 2 D 3E F 0
2 D 3E F 13
36 25 6 D 5E F 0
6 D 5E F 61
0 49 0 7 E F 0
7 E F 49
Dengan substitusi dan eliminasi, seperti yang telah dijelaskan pada Bab 8, diperoleh D 10, E 4, dan F 21 sehingga persamaan lingkarannya adalah sebagai berikut:
x 2 y 2 10 x 4 y 21 0 atau x 5 y 2 50 . 2
2
Soal! 1. Nyatakan persamaan lingkaran berikut ini ke dalam bentuk standar kemudian gambarkan: a) x 2 y 2 4 x 6 y 12 0 . b) x 2 y 2 8 x 2 y 8 0 . c) 3x 2 3 y 2 27 0 .
d) 16 x 2 16 y 2 8 x 32 y 127 . e) 6 x 2 12 x 6 y 2 36 y 36 . f) 16 x 2 48 x 75 16 y 2 8 y 0 . g) x 2 y 2 4 x 12 y 30 0 . h) x 2 y 2 14 x 24 y 157 0 . i)
3 x2 y 2 x . 4
2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik berikut ini kemudian gambarkan: a)
7, 1 , 11, 5 , dan 3, 5 .
b)
1,3 , 5,5 , dan 5,3 .
c)
5,3 , 2, 2 ,
dan 1, 5 .
d)
7, 1 , 7,5 ,
dan 1, 1 .
e)
10, 5 , 2, 7 ,
f)
2, 1 , 3, 0 ,
B. Parabola
dan 9, 0 .
dan 1, 4 .
Bentuk standar dari persamaan parabola dengan verteks di h, k dan sejajar sumbu-y adalah sebagai berikut:
y k
2
4 p x h,
dengan p adalah jarak dari verteks ke fokus. Sedangkan, bentuk standar dari persamaan parabola dengan verteks di h, k dan sejajar sumbu-x adalah sebagai berikut:
x h
2
4 p y k ,
dengan p adalah jarak dari verteks ke fokus. Selain itu, bentuk umum dari persamaan parabola yang sejajar dengan sumbu-y dan sumbu-x masing-masing adalah:
y 2 Dx Ey F 0 dan x 2 Dx Ey F 0, dengan D, E, dan F merupakan suatu konstanta.
Contoh: Tentukan bentuk standar dari parabola y 2 4 x 2 y 5 0 .
y2 4x 2 y 5 0 y2 2 y 4x 5 y2 2 y 1 4x 5 1
y 1 4 x 4 2 y 1 4 x 1 2
sehingga diketahui bahwa verteks dari parabola tersebut adalah 1, 1 dengan fokus 1.
Soal! 1. Nyatakan persamaan parabola berikut ini ke dalam bentuk standar kemudian gambarkan dan tentukan verteks serta fokusnya: a) y 2 4 y 4 x 7 . b) 4 x 4 y 2 10 y 25 . c) x 2 8 x 4 y 8 0 . d) x 2 2 x 12 y 13 0 . e) y 2 2 x 0 . f) 3x 2 19 y 0 . g) 4 x 2 40 y 24 x 4 0 . h) x 2 4 x 2 y 10 0 . i)
y 2 3x 6 y .
j)
2 x 2 16 x 16 y 64 0 .
C. Elips
Bentuk standar dari persamaan elips dengan pusat di h, k dan sumbu utama memiliki panjang 2a unit di mana sumbu utama sejajar dengan sumbu-x dan b 2 a 2 c 2 adalah sebagai berikut:
x h
2
a2
y k
2
1.
b2
Sedangkan, bentuk standar dari persamaan elips di mana sumbu utama sejajar dengan sumbu-y adalah sebagai berikut:
y k
2
a2
x h b2
2
1.
Contoh: Tentukan bentuk standar dari elips 4 x 2 y 2 8 x 6 y 9 0 . 4 x2 y 2 8x 6 y 9 0
4 x 2 2 x ? y 2 6 y ? 9 ? ? 4 x 2 2 x 1 y 2 6 y 9 9 4 1 9 4 x 1 y 3 4 2
x 1 1
2
2
y 3 4
2
1.
sehingga diketahui bahwa pusat dari elips tersebut adalah 1, 3 . Oleh karena a 2 b 2 , a 2 4, dan b 2 1 , maka sumbu utama sejajar dengan sumbu-y dan c 2 a 2 b 2 atau c 3 . Dengan demikian,
diperoleh
2, 3 , 0, 3 , 1, 1 ,
fokus
elips
dan 1, 5 .
adalah
1,
3 3
dan
1,
3 3
serta
verteks
Soal! 1. Tentukan pusat, fokus, dan verteks dari elips-elips berikut ini kemudian gambarkan: a) b)
x 3
2
25
x 2 4
y 4
2
16
2
y 1 25
1.
2
1.
c) 4 x 2 9 y 2 36 . d) 9 x 2 4 y 2 18 x 16 y 11 . e) 4 y 2 8 y 9 x 2 54 x 49 0 . f)
x2 2x y 2 2 y 6 0 .
g) 9 y 2 108 y 4 x 2 56 x 484 . h) 18 x 2 12 y 2 144 x 48 y 120 .
D. Hiperbola
Bentuk standar dari persamaan hiperbola dengan pusat di
h, k
dan sumbu utama
memiliki panjang 2a unit di mana sumbu utama sejajar dengan sumbu-x dan b 2 a 2 c 2 adalah sebagai berikut:
x h
2
a2
y k
2
1.
b2
Sedangkan, bentuk standar dari persamaan hiperbola di mana sumbu utama sejajar dengan sumbu-y adalah sebagai berikut:
y k a2
2
x h
2
b2
1.
Contoh: Tentukan bentuk standar dari hiperbola 25 y 2 9 x 2 100 y 72 x 269 0 . 25 y 2 9 x 2 100 y 72 x 269 0
25 y 2 4 y ? 9 x 2 8 x ? 269 ? ? 25 y 2 4 y 4 9 x 2 8 x 16 269 25 4 9 16 25 y 2 9 x 4 225 2
y 2 9
2
2
x 4 25
2
1.
sehingga diketahui bahwa pusat dari hiperbola tersebut adalah 4, 2 . Oleh karena bagian y terdapat pada suku pertama, maka sumbu utama sejajar dengan sumbu-y. Dengan a 3, b 5,
dan c 34 , maka fokus elips adalah 4, 2 34 dan 4, 2 34 dengan verteks 4, 1 dan 4,5 . Selain itu, garis asimtot dari hiperbola tersebut adalah sebagai berikut: y2
3 x 4. 5
Soal! 1. Tentukan pusat, fokus, verteks, dan persamaan asimtot dari hiperbola-hiperbola berikut ini kemudian gambarkan: a) b)
x2 y2 1. 25 16
y 3
2
16
x 2
2
1.
25
c) 81x 2 36 y 2 2916 . d)
x 6
2
4 y 3 36 . 2
e) 9 x 2 4 y 2 54 x 40 y 55 0 . f)
y 2 5 x 2 20 x 50 .
g) 4 y 2 9 x 2 90 x 24 y 153 . h) 49 x 2 25 y 2 294 x 200 y 1184 .
DAFTAR PUSTAKA
Bartle, R. G. & Sherbert, D. R. (2000). Introduction to Real Analysis. New York: John Wiley & Sons. Britton, J. R., Kriegh, R. B., & Rutland, L. W. Calculus and Analytic Geometry. San Francisco: W. H. Freeman and Company. Gordon, B. W., Yunker, L. E., Crosswhite, F. J. & Vannatta, G. D. (1997). Advanced Mathematical Concepts: Precalculus with Applications. New York: McGraw-Hill. Kanginan, M. & Kustendi, T. (2003). Matematika untuk SMU Kelas 1 Semester 1. Bandung: Grafindo. Wirodikromo, S. (2007). Matematika untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga. Yahya, Y., Harmanto, S. & Sumin, A. (1995). Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi. Jakarta: Ghali Indonesia.
