BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan Ilmu
pengetahuan
merupakan
hal
yang
mengalami
perkembangan secara terus-menerus. Diantaranya teori integral yaitu ilmu
bidang
matematika
perkembangan,
dan
analisis
yang
memungkinkan
untuk
terus terus
mengalami diteliti
dan
dikembangkan. Pada tahun 1854, teori integral dengan penggunaan partisi sebagai dasar pengembangannya telah disusun oleh Riemann. Teori Integral Riemann merupakan teori integral yang mudah dipelajari dan dimengerti dalam mempelajarinya. Namun demikian, seiring jalannya waktu teori Integral Riemann juga mengalami perkembangan. Ralph
Henstock
(1957)
seorang
ahli
matematikawan,
mencermati ada fungsi yang tidak terintegral Riemann. Sebagaimana diketahui pendefinisian integral yang dilakukan Riemann hanya membahas fungsi yang terbatas, namun demikian tidak semua fungsi yang terbatas terintegralkan secara Riemann, contoh fungsi yang tidak terintegral Riemann adalah fungsi Dirichlet. Dengan menggunakan partisi, Henstock menyusun teori integral baru yang dikenal dengan nama Integral Henstock. Pada pendefinisian Integral Riemann, suatu fungsi dikatakan terintegral Riemann pada selang setiap partisi
pada
,
Dalam pendefinisian Integral Henstock, yang
, jika untuk
, limit dari jumlah Riemann terhadap partisi
itu ada. Dalam hal ini panjang selang dari partisi dari partisi
,
ditentukan oleh .
merupakan suatu fungsi
. Integral Henstock memiliki beberapa
nama seperti Integral Gauge, Integral Henstock-Kurzweil atau perluasan Integral Riemann. Integral Henstock ini merupakan perluasan dari integral Riemann, karena jika fungsi f Riemann pada
,
terintegral
maka fungsi f juga terintegral Henstock pada
1
,
. Semua fungsi yang terintegral Riemann dinyatakan oleh ,
dan himpunan semua fungsi yang terintegral Henstock
dinyatakan dengan
,
. Pada tulisan ini akan dibahas konstruksi
dari Integral Henstock dan beberapa sifat utamanya.
1.2.Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang tersebut, maka rumusan masalah dalam penulisan skripsi ini antara lain : 1. Bagaimana bentuk partisi
pada Integral Henstock?
2. Bagaimana definisi dari Integral Henstock dan perbedaannya dengan Integral Riemann? 3. Bagaimana sifat-sifat dasar dari Integral Henstock?
1.3. Batasan masalah Pembahasan pada skripsi ini meliputi definisi dan sifat-sifat dasar pada Integral Integral Henstock yaitu sifat tunggal dan linear.
1.4. Tujuan Penulisan Berdasarkan rumusan masalah di atas maka tujuan dari penulisan skripsi ini adalah 1. Mengetahui bentuk dari partisi
pada Integral Henstock
2. Mengetahui definisi dari Integral Henstock dan perbedaannya dengan Integral Riemann 3. Mengetahui sifat-sifat dasar dari Integral Henstock.
2
1.5. Manfaat Penulisan 1. Manfaat Bagi Penulis Dengan tersusunnya skripsi ini, penulis dapat memperdalam dan mengembangkan wawasan displin ilmu yang telah dipelajari, khususnya Integral Henstock. 2. Manfaat Bagi Pemerhati matematika Sebagai tambahan pengetahuan bidang matematika, khususnya bidang fungsi analisis. 3. Manfaat Bagi Institusi Untuk menambah perbendaharaan karya tulis ilmiah sehingga dapat memberikan informasi ilmu analisis dalam matematika, khususnya integral Henstock.
1.6. Metode Penulisan Penulisan Skripsi ini dengan metode studi literature.
1.7. Sistematika Penulisan Sistematika penulisan merupakan rangkaian urutan dari beberapa uraian penjelasan dalam suatu karya ilmiah. Adapun sistematika penulisan skripsi ini hanya memuat 5 bab. Dengan rincian sebagai berikut : BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, metode dan sistematika penulisan.
3
BAB II DASAR TEORI Bab ini berisi pembahasan mengenai definisi dan teorema yang menjadi konsep dasar dalam membahas Integral Henstock. BAB III INTEGRAL RIEMANN Bab ini berisi pembahasan mengenai partisi, definisi Integral Riemann dan sifat-sifat dasar tentang Integral Riemann. BAB IV PEMBAHASAN Bab ini berisi pemaparan hasil penelitian dan bagaimana proses terjadinya Integral Henstock. BAB V PENUTUP Bab ini berisi dikemukakan kesimpulan akhir dan beberapa saran.
4
BAB 2 DASAR TEORI
2.1. Supremum dan Infimum Berikut ini akan dijelaskan tentang batas bawah dan batas atas dari suatu himpunan bilangan real. [3] Definisi 2.1.1 Diketahui himpunan 1. Bilangan
dan
disebut batas atas , jika
. untuk setiap
. 2. Bilangan
disebut batas bawah , jika
untuk setiap
. 3. Himpunan
yang mempunyai batas atas dikatakan terbatas ke
atas (supremum). 4. Himpunan
yang mempunyai batas bawah dikatakan terbatas ke
bawah (infimum). 5. Himpunan
dikatakan terbatas jika
terbatas ke atas dan
terbatas ke bawah. Lemma 2.1.1 Diketahui himpunan
dan
. Bilangan
merupakan supremum , dituliskan sup , jika dan hanya jika 1.
untuk setiap
dan 0, terdapat bilangan
2. Untuk sebarang bilangan sehingga
.
Lemma 2.1.2 Diketahui himpunan
dan
. Bilangan
merupakan infimum , dituliskan inf , jika dan hanya jika 1.
untuk setiap
dan
2. Untuk sebarang bilangan sehingga
0, terdapat bilangan
. 5
2.2. Limit Fungsi Berikut ini akan di jelaskan tentang definisi Limit Fungsi. [1] Diketahui fungsi : ada bilangan lim
disebut limit fungsi f di jika untuk sebarang
dengan 0
jika
titik limit himpunan
dan
|
|
0 terdapat
maka berlaku |
. Jika
dituliskan 0 sehingga |
.
L+ L L‐
Gambar 1. Limit dari f terhadap
adalah L
6
2.3. Integral Secara umum integral adalah luas daerah dibawah kurva. Secara definisi integral dibedakan menjadi dua bagian yaitu Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu. [8] 2.3.1 Integral Tak Tentu Integral adalah kebalikan (invers) dari pendiferensialan. Jika
adalah fungsi umum yang bersifat
Maka
.
merupakan himpunan anti-turunan atau himpunan
pengintegralan
. Himpunan anti-turunan fungsi
dinotasikan dengan
,
Dibaca integral
terhadap
Integral tak tentu
dan disebut integral tak tentu
.
adalah suatu fungsi umum yang ditentukan
melalui hubungan Dengan
dinamakan integral dinamakan fungsi integral umum dinamakan konstanta pengintegralan
Sifat-sifat Integral Tak Tentu Andaikan tak tentu) dan andaikan 1.
dan
mempunyai anti-turunan (integral
suatu konstanta, maka :
.
2. 3.
7
2.3.2 Integral Tentu Integral tentu dinotasikan dengan
Dengan
adalah integral dimana
, adalah batas-batas pengintegralan ,
dinamakan interval-interval pengintegralan
Sifat-sifat Integral Tertentu Andaikan
dan
dan terdefinisi dalam
masing-masing adalah fungsi-fungsi kontinu ,
dan andaikan
konstanta, maka berikut
ini akan disajikan beberapa sifat integral tentu : 1. 2. 3.
untuk
8
BAB 3 INTEGRAL RIEMANN
3.1. Partisi Akan didefinisikan partisi dari suatu interval seperti berikut ini. [2] ,
Sebuah partisi dari interval tertutup terbatas ,
himpunan berurut dan berhingga
,
, adalah
pada interval
,… ,
,
[a,b] yang tidak saling tumpang tindih, artinya jika maka
dan gabungannya yaitu
interval tersebut biasa dinyatakan dengan a
x
x
x
Selanjutnya partisi
,
. Interval-
,
dimana
b disebut partisi pada interval [a,b]. ditunjukan dengan notasi x
,x
.
Gambar 2. Partisi Titik-titik titik
untuk
1,2, …
dinamakan titik partisi . Jika sebuah
dipilih dari setiap subinterval
titik-titik
1,2, …
untuk
sehingga
disebut label atau tagged partition dan himpunan
pasangan terurut
,
,
,
,…,
,
dinamakan sebuah
partisi berlabel dari . Dalam hal ini tidak dibatasi pemilihan tiap subinterval , artinya bisa dipilih
pada
sebagai titik awal, titik akhir,
titik tengah atau sebarang titik lainnya pada subinterval tersebut. Untuk menyingkat penulisan partisi ,
tersebut adalah ,
.
9
Gaambar 3. Taggged Partitioon 3.2.. Jumlah Riemann R Dibeerikan intervval tertutupp [a,b] dan fungsi fungsi f
beernilai
reaal
yang
pada
terbatas
[aa,b].
jika
tagged partition pada [a,b] [ maka Disebut D Jum mlah Riemannn untuk fung gsi f dengan partisi . [33]
y f(x)
0 x t
t1
0
0
x1
t2 x2
t30 x3
t4 x3
t5 x4
t7
t6 x5
x6
a
x
t8 x 7
x n
b Gaambar 4. Jum mlah Riemannn
10
3.3. Integral Riemann Diberikan interval tertutup [a,b], maka fungsi
:
,
dikatakan dapat diintegralkan secara Riemann pada interval [a,b] , dimana untuk setiap ε
jika terdapat bilangan δ
0 sehingga jika
dengan P
0 terdapat
adalah tagged partition dari interval [a,b]
maka: [3]
|∑
|
ε
atau
;
.
Bilangan real A pada pertidaksamaan diatas disebut nilai integral Riemann fungsi f pada interval [a,b] dan dapat ditulis: .
atau
Himpunan semua fungsi yang dapat diintegralkan secara Riemann pada interval [a,b] dinotasikan dengan
a, b . Jadi, jika
:
,
dikatakan dapat diintegralkan secara Riemann cukup ditulis dengan a, b . 3.4. Sifat-sifat Dasar Integral Riemann Bagian ini membahas sifat-sifat dasar integral Riemann, diantaranya ketunggalan nilai integral, kelinearan semua fungsi yang terintegral Riemann. [4] Teorema 3.4.1. ,
Jika
, maka nilai integralnya Tunggal.
Teorema 3.4.2. Jika , a).
,
dan ,
sembarang bilangan real, maka
dan
11
,
b).
dan
Teorema 3.4.3. ,
Jika
,
dan
,
dengan
maka
. Lebih lanjut
3.5. Kriteria Cauchy Integral Riemann Fungsi f terintegral Riemann pada sel [a,b] jika dan hanya jika untuk setiap bilangan sehingga
untuk ,
∑
,
0, terdapat fungsi ,
setiap dua partisi δ
δ pada sel [a,b] ,
dan
pada sel [a,b] berlaku [4]
∑
12
BAB 4 PEMBAHASAN 4.1. Konsep Dasar Partisi Berikut ini akan dijelaskan konsep dasar Partisi
pada
integral Henstock [5]. Diberikan
pasangan dan sel
i=1,2,...n,dengan :
1,2, …
himpunan
titik
,
sel
tertutup dengan himpunan sel ,
tidak tumpang-tindih sehingga ,
Katakan pasangan titik-sel
, ,
.
1,2, … , . Dengan demikian, himpunan :
1,2, …
, dimaksudkan .
Jika diberikan fungsi positif ,
untuk setiap ,
0
pada [a,b], maka ,
, sehingga dapat dipilih sel
1,2, … , . Dapat kita
, untuk setiap
katakan bahwa ,
,
,
,
adalah partisi ,
,…,
,
,
pada
1,2, … , , singkatnya, partisi
,
,
,
pada ,
,
,
,
, sehingga dapat dipilih
,
dan
,
,
,
,
,
,
,
.
untuk
setiap
Selanjutnya
untuk
, ,…,
,
,
dituliskan
. Dari definisi diatas dapat disimpulkan bahwa
pasangan titik sel bergantung pada fungsi positif
. Hal ini
memberikan pada pengertian partisi -fine.
13
4.2.
Integral Henstock Pada tahun 1957 Ralph Henstock memberikan definisi baru
mengenai perluasan integral Riemann. Ralph Henstock memperoleh hasil yang merupakan perumuman integral Riemann, sehingga dikenal dengan integral Henstock. Integral Henstock dibangun dengan mengembangkan bilangan positif δ pada integral Riemann menjadi fungsi positif δ, sehingga menghasilkan pengembangan teori integral yaitu setiap fungsi yang terintegral Riemann akan terintegral Henstock. [6] Berikut ini akan dijelaskan definisi Integral Henstock. Suatu fungsi pada selang
,
fungsi positif
:
,
, dikatakan terintegral Henstock
untuk setiap :
,
0 pada
terdapat bilangan
sehingga untuk setiap partisi
terdapat [6] , dengan
Jadi
, ,
kita punya Dimana
, ,
|∑
,
∑ |
A disebut nilai integral Henstock fungsi f pada selang
,
dan
ditulis dengan lambang
Kalau diamati, definisi di atas berbeda dengan integral Riemann dalam dua hal Pertama ,
0 merupakan fungsi yang bervariabel sedangkan
dalam integral Riemann suatu fungsi konstan.
14
dalam
Kedua,
pengambilan
,x ,…,
ditentukan terlebih dahulu kemudian integral
,
Riemann
, ,…,
dipilih
,…,
sebarang
,
partisi
. sedangkan pada
ditentukan
di
dalam
,…,
dahulu
lantas
masing-masing
selang
bagiannya. Untuk menyingkatnya jika ,
maka akan ditulis
partisi ,
pada interval [a,b]
, dimana
,
tipe selang barisan
yang memuat , jadi
.
Selanjutnya untuk memudahkan penulisan, himpunan semua fungsi yang terintegral Henstock pada [a,b] dinotasikan dengan jika
: a, b
a, b . Jadi
dikatakan terintegral Henstock cukup ditulis a, b .
dengan
Berikut ini akan disajikan contoh soal yang membedakan antara fungsi terintegral Henstock dengan Integral Riemann dalam pengambilan tagged partition : Contoh 1 untuk 1
Diketahui
untuk 1
dengan
∞. Diberikan
0
∞. Maka fungsi di atas
terintegral Henstock pada 1, ∞ . Penyelesaian : Untuk Seperti diketahui lim
, dan
. Misalkan
dimana .1
1. Ambil
. Artinya ketika titik awal lim
akan ada Batas atas sumbu sumbu
1, maka
,
1
maka 1, maka , Batas bawah
1
15
16
Contoh 2 0,1 dituliskan
Diketahui fungsi Dirichlet, untuk setiap 1, 0, Maka
adalah terintegral Henstock pada 0,1 dan Diambil sembarang ,
1 . Didefinisikan 2
0, kita misalkan
0,1 ,
1,2,3, … ,
0
dengan
bilangan rasional. Untuk itu didefinisikan fungsi
himpunan pada 0,1
dengan ,
2 1,
pada sel 0,1 , maka berlaku
Untuk sebarang partisi |∑
0|
∑
∑
0
2
17
1 2 1 2 Penjelasan ∑
2 .
Maka
Dengan kata lain, terbukti bahwa fungsi f terintegral Henstock pada sel 0,1 dan
0.
18
4.3.
Sifat-sifat Dasar fungsi Integral Henstock Adapun Sifat-sifat yang dimiliki fungsi terintegral Henstock ,
pada sel
adalah sebagai berikut : [7]
Teorema 4.3.1. Jika fungsi f terintegral Henstock pada sel
,
, maka bilangan A
didalam definisi 4.2 bernilai tunggal. Bukti : Katakan A dan B bilangan real yang memenuhi definisi 4.2, diambil 0, karena fungsi f terintegral Henstock pada
sebarang bilangan sel
,
, maka terdapat fungsi positif ,
setiap partisi
,
pada
,
sehingga untuk ,
pada sel
berlaku
∑
(i)
Karena
memenuhi definisi 4.2, maka untuk sebarang bilangan
0 di atas terdapat ,
,
,
pada
pada sel
sehingga untuk setiap partisi ,
berlaku
∑
(ii) ,
Untuk setiap partisi
,
pada sel
,
dan
berdasarkan pertidaksamaan (i) dan (ii), diperoleh |
|
2 Jadi, |
|
2
0 atau A=B. 19
Teorema 4.3.2. Jika fungsi-fungsi f dan g masing-masing terintegral Henstock pada ,
, maka f + g dan ,
Henstock pada
dengan
bilangan real juga terintegral
dan berlaku
i. ii. Bukti : Katakan
dan
. Diambil sebarang bilangan
0. i.
,
Karena f terintegral Henstock pada sel ,
pada sel ,
,
, terdapat fungsi positif
sehingga untuk setiap partisi
pada sel
,
berlaku
∑
(i)
Karena g terintegral Henstock pada sel ,
pada sel ,
,
,
, terdapat
sehingga untuk setiap
pada sel
,
fungsi positif
partisi
berlaku
∑
(ii)
Untuk setiap partisi pada
,
,
pada sel
,
,
dari pertidaksamaan (i) dan (ii) diperoleh ∑ ∑
∑
. 20
Dengan kata lain terbukti
.
dan ii.
,
terintegral Henstock pada sel
0, maka
Jika ,
0, 0
dan
, dalam hal ini 0
.
0 dan diberikan sebarang
Jika
maka ada fungsi positif ,
,
pada
,
0, karena
pada sel
,
,
sehingga untuk setiap partisi ,
berlaku | |
Atau , , , ,
Karena
, ,
| | ,
pada sel
, maka untuk setiap
partisi diperoleh , ,
, ,
| |
, , | |
Dengan kata lain terbukti
| |
terintegral Henstock pada sel
,
dan
. Teorema 4.3.3 Diberikan fungsi
pada
Henstock pada sel
,
sel
,
dan
,
dan ,
, maka
,
. Jika
terintegral
terintegral Henstock pada
dan
21
0. Karena
Bukti : Diambil sebarang bilangan ,
Henstock pada sel
, maka terdapat fungsi positif ,
sehingga untuk setiap partisi ,
terintegral ,
pada
,
pada sel
berlaku ∑
Karena
terintegral Henstock pada sel
positif
pada
,
,
,
,
, maka terdapat fungsi
sehingga untuk setiap partisi
pada sel
,
berlaku
2 , dengan
Ambil partisi
pada
,
∑ Maka
partisi
pada
,
dan
. Akibatnya ∑
∑
∑
Jadi terbukti bahwa
terintegral Henstock pada sel
,
dan
22
Contoh 3 Diketahui Dimisalkan Henstock pada
pada selang interval [a,b] yang memuat titik c. ,
0,1 dan titik ,
0,
. Jika f adalah terintegral
dan pada
,1
,
dan
Solusi : Diketahui selang partisi 0,1 , 0 tag partition
, , ,
dimana Maka
,…,
1 dan
dan pilih titik partisi
,
1,2,3, …
untuk ∑
, , 1 2 1 2
1 2 1 2 Dengan proses yang sama, coba juga untuk
,
0,
, ,
1 2
23
1 2 1 2 1 2 Dengan
0 terdapat
0, didefinisikan pada 0,
demikian untuk setiap partisi
pada
,
dengan
,
pada
0, , maka 1 8
1 2 Dan pada
,
2
, 1 , diperoleh
, ,
1 2 1 2 1 2 1 2 Dengan
0 terdapat
demikian untuk setiap partisi
0, didefinisikan pada pada
,
, 1 dengan ,
pada
, 1 , maka
24
1 2 Oleh karena itu
pada
dengan ,
pada
3 8
2
,
,
di sel 0,1 diambil
partisi dan
partisi
,
pada
. Akibatnya
∑
Dan
1 8 1 2
3 8 1 8
3 8
Jadi f terintegral Henstock pada
pada selang
,
.
25
BAB 5 PENUTUP
5.1. Kesimpulan Dari pembahasan diatas dapat diperoleh kesimpulan berikut: 1.
,
, yaitu
,…,
,
adalah fungsi positif pada
:
,
. Dapat
dikatakan bahwa ,
,
,
,
adalah partisi
,
,
,
integral Henstock pada
,
,
,
sehingga dapat dipilih ,
,
, ,
1,2, … , , dan
setiap
untuk singkatnya, partisi ,
,
, ,
,
, ,
positif : , |
, ,
, ,
pada ,…,
,
. Selanjutnya
,
dituliskan
. :
2. Suatu fungsi selang
,
untuk
,
, dikatakan terintegral Henstock pada terdapat bilangan
0 pada fungsi
sehingga untuk setiap partisi
terdapat
untuk setiap , ,
dengan |
Dimana
maka ∑
, ,
A disebut nilai integral Henstock fungsi f pada selang ditulis dengan lambang
Jadi
,
dan
.
Serta perbedaan antara Integral Henstock dan Integral Riemann adalah Pertama ,
0 merupakan fungsi yang bervariabel sedangkan
dalam integral Riemann suatu fungsi konstan.
26
Kedua, dalam pengambilan partisi terlebih dahulu kemudian Riemann
,
,…,
,x ,…,
,
,…,
ditentukan
. sedangkan pada integral
ditentukan dahulu lantas
,
,…,
dipilih
sebarang di dalam masing-masing selang bagiannya. 3. Dan sifat dasar Integral Henstock adalah Integral Henstock memenuhi nilai ketunggalan dan Integral Henstock memenuhi sifat linear. 5.2. Saran Dalam skripsi ini hanya menjelaskan tentang integral Henstock, sifat-sifat dan beberapa contoh soal. Penulis berharap suatu saat nanti akan ada seseorang yang akan lebih baik lagi menelaah dan meneliti tentang skripsi ini untuk menjadi lebih baik.
27
DAFTAR PUSTAKA [1] Bartle Robert G., Donald R. Sherbert.,1991, Introduction To Real Analysis, John Wiley & Sons, United States of America. [1] Purcell Edwin J., Dale Varberg, 2003. Kalkulus Dan Geometri Analitis Jilid1, Penerbit ERLANGGA, Jakarta. [2] Henstock Ralph.,1998, Lectures On The Theory Of Integration,World Scientific, University of Ulster (Coleraine).United States of America. [3] Darmawijaya Soeparna.,2006, Pengantar Analisis Real, Jurusan Matematika MIPA UGM, Yogyakarta. [4] Gunawan Hendra. Catatan Kuliah Pengantar Analisis Real, Penerbit ITB, Bandung. [5] Hermawan Andi. 2009, Skripsi Fungsi Terelugasi dan Hubungannya dengan Integral Henstock. Matematika UGM, Yogyakarta. [6] Leader Solomon. 2001, The Kurzweil-Henstock Integral and Its Differentials, Marcel Dekker, Inc. New York, USA. [7] Widodo,. 1997. Mateamatika S2 ITB 054.Integral Riemann Lengkap.Tesis. ITB Bandung. [8] Zaelani Ahmad, Cunayah Cucun, Indra Etsa,. 2006. Bimbingan Pemantapan Matematika. Yrama Widya. Bandung. Ii Rim Dong dan Kyu Kim Won,. On The Henstock Integral. Journal Of The Chungcheong Mathematical Society., Volume 12, Agustus 1999. SungMo Im, Jinn Kim Yung dan Il Rim Dong,. A Uniform Convergence Theorema for Approximate Henstock-Stieltjes Integral. Journal Bull. Korean Math. Soc.41 (2004), No.2,pp.257-267. .
28
