Az IBNR számítás sajátosságai az életbiztosításban

E ÖTVÖS L ORÁND T UDOMÁNY E GYETEM T ERMÉSZETTUDOMÁNYI K AR

Az IBNR számítás sajátosságai az életbiztosításban D IPLOMAMUNKA

Készítette:

Gy˝ori Nikolett matematikus szak

Témavezet˝o:

Korándi Márta

Budapest, 2005

Kivonat A dolgozat az IBNR tartalék számításának témakörével foglalkozik, különös tekintettel az IBNR és az életbiztosítási díjtartalék kapcsolatára. Az IBNR tartalék számításának módja máig nyitott területe az aktuáriusi munkának. Számos különböz˝o módszer ismert rá, amelyeket ismertetni fogok, de tökéletes megoldás a mai napig nem született rá. Célom egy olyan módszer kidolgozása, ami a lehet˝o legjobban alkalmazható egy speciális esetben: életbiztosítási IBNR számításakor. Életbiztosítások esetében nem lehet ugyanazt a módszert alkalmazni, mint a nem-életbiztosítási ágakban. Ennek az az oka, hogy a megszokott módon számított IBNR tartalék és az életbiztosítási díjtartalék átfedésben van egymással. Mindezek ellenére az életbiztosítási IBNR számítása is hasonlít a nem-életbiztosítási IBNR számításához, ezért szükség van a hagyományos IBNR-meghatározó technikák pontos ismeretére is. Ennek megfelel˝oen a dolgozatban el˝oször az IBNR számítás feladatát és a klasszikus módszereket ismertetetem. Ezután összevetem a funkcióját az életbiztosítási díjtartalékkal. Végül pedig ismertetem azt a technikát, amivel életbiztosítási esetekben is lehetséges az IBNR tartalék képzése.

i

Tartalomjegyzék Kivonat

i

1. Bevezetés 1.1. Az IBNR tartalék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Az életbiztosítási díjtartalék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Általában a biztosítási tartalékokról . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 2

2. Az IBNR tartalék 2.1. Az IBNR tartalék kiszámításának gyakorlati eszközei . . . . . . . . 2.1.1. A jéghegy módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. A láncszemhányados módszer . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. A lánc-létra módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4. Problémák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. A szeparációs módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. További módszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Az IBNR tartalék, mint egy programozási feladat megoldása 2.3.2. Új ágazatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Normális eloszlású logaritmikus növekedések . . . . . . . . 2.3.4. Credibility modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5. Az IBNR tartalék várható értéke és szórása . . . . . . . . . 2.3.6. Bayes-i formula az IBNR tartalékra . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

5 7 7 9 9 10 12 13 13 15 16 17 19 20

3. Az életbiztosításról 3.1. Klasszikus életbiztosítási konstrukciók 3.1.1. Az elérési biztosítás . . . . . 3.1.2. A haláleseti biztosítás . . . . 3.1.3. A vegyes életbiztosítás . . . . 3.1.4. A járadékbiztosítások . . . . . 3.2. Díjszámítás . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Nettó éves díjak . . . . . . . . 3.2.2. A bruttó díjak . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

21 23 23 23 23 24 24 24 24

ii

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

TARTALOMJEGYZÉK

iii

3.3. Az életbiztosítási díjtartalék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3.1. Nettó díjtartalékok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3.2. Bruttó díjtartalékok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4. IBNR kontra életbiztosítási díjtartalék 4.1. Az IBNR és a díjtartalék számításának elvei . . . . . . . . . . . . . . 4.2. IBNR tartalék számítása életbiztosítási esetben, korábbi adatok alapján 4.2.1. El˝oször gyakorlati szemszögb˝ol . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Utána matematikailag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. A gyakorlat és az elmélet összhangja . . . . . . . . . . . . . 4.3. És ha nincsenek adataink a múltból . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

28 28 29 29 29 31 32

5. Egy példa 5.1. Az eredmények értékelése . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. A pesszimista becslések . . . . . . . . . . . 5.1.2. A szeparációs módszer . . . . . . . . . . . . 5.1.3. A jéghegy és a láncszemhányados módszerek 5.1.4. A lebonyolítási eredmények . . . . . . . . .

. . . . .

35 36 36 37 38 39

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

A. Biztosítási törvény 40 A.1. A biztosítástechnikai tartalékok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 A.2. A biztosítástechnikai tartalékok képzése . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 B. PM rendelet a biztosítási tartalékokról

42

C. 2002. Férfi halandósági tábla

53

D. Kifutási háromszögek

56

Irodalomjegyzék

59

1. fejezet Bevezetés Egy biztosító életében két alapvet˝o feladat létezik, ami egy matematikust igazán érdekelhet: a biztosítási díjak és a biztosítási tartalékok számítása. A biztosítási díjat egy termék élete során csak egyszer kell kiszámítani. Ezzel szemben tartalékot minden év végén képeznünk kell, méghozzá nem is egy félét. Ezek közül a tartalék fajták közül kett˝o áll a dolgozat középpontjában: az IBNR tartalék és az életbiztosítási díjtartalék. Emellett persze számos más tartalék típusról is szót ejtek a dolgozat folyamán. Minden biztosítónak képeznie kell tartalékokat: „A biztonságos üzletmenet érdekében a biztosítónak a mérleg fordulónapján fennálló, várható kötelezettségei teljesítésére, a károk ingadozására, valamint a várható biztosítási veszteségekre biztosítástechnikai tartalékokat kell képeznie” (2003. évi LX. törvény a biztosítókról és a biztosítási tevékenységr˝ol). Ezek a tartalékok jelentik annak biztosítékát, hogy a jöv˝oben képes legyen szolgáltatni, vagyis kifizetni a biztosítottjainak a kárát, ha az bekövetkezik. Nézzük most meg kicsit közelebbr˝ol a dolgozat szempontjából legfontosabb két tartalék fajtát!

1.1. Az IBNR tartalék Az IBNR tartalék számítása egy igen érdekes területe a biztosítási matematikának, ugyanis alig néhány adatból – amelyek között elavultak is lehetnek – kell becslést végeznünk egy hasonló jöv˝obeli értékre. Rengeteg különböz˝o módszer ismert ennek kiszámítására, amik közül sokat ismertetni is fogok. Természetesen a gyakorlat a jól számolható, lehet˝oleg számítógépesen programozható technikákat részesíti el˝onyben, ezért ezek vannak többségben. Maga az IBNR szó egy angol kifejezés rövidítése: "Incurred But Not Reported", vagyis "bekövetkezett, de nem bejelentett". Tehát az IBNR tartalékot abból a célból képezik a biztosítók, hogy fedezni tudják a kés˝on bejelentett károkat. Ez azt jelenti, hogy ha egy kár bekövetkezik mondjuk 2004 december 28-án, de csak 2005 január 51

1. FEJEZET. BEVEZETÉS

2

én jelentik be a biztosítónak, akkor 2005-ben még 2004. évi kárt kell a biztosítónak kifizetnie. Ezért a mérlegforduló napján – ami december 31. – a biztosító tartalékot képez azokra a károkra, amik már bekövetkeztek, de még nem szerzett róla tudomást: ez az IBNR tartalék. Vannak olyan biztosítástípusok, amikor ez különös jelent˝osséggel bír. Ilyenek például a felel˝osségbiztosítások, amikor a kár sokszor csak évekkel kés˝obb derül ki. Ha például egy építkezés során elkövetett hiba miatt 20 év múlva leomlik egy irodaház, azt az építtet˝o felel˝osségbiztosítója az IBNR tartalékából fizeti ki – legalábbis elvileg.

1.2. Az életbiztosítási díjtartalék Az életbiztosítási díjtartalék egy sokkal nyilvánvalóbb tartalék típus, mint az IBNR. Egy életbiztosítás során jellemz˝oen az ügyfél bizonyos ideig biztosítási díjat fizet a biztosítónak, aki aztán egy el˝ore meghatározott összeget fizet a kedvezményezettnek a biztosított halálakor.1 Tehát a biztosítási szolgáltatás díjának kifizetése elválik a szolgáltatás teljesítését˝ol – ellentétben pl. egy szállodai szolgáltatással, amit akkor fizetek ki, amikor igénybe veszem. Ezért a biztosítónak pénzügyileg kapcsolatot kell teremteni a díjbevételei, és a kötelezettségei között. Ezt a célt szolgálja a díjtartalék. Az életbiztosítási díjtartalékot tehát oly módon számítjuk ki, hogy a jöv˝oben várható kiadásaink és várható bevételeink különbségével azonos legyen. Így a biztosító nem költheti el a díjbevételeit egyb˝ol, amikor megkapja, hanem félre kell tennie egy részét annak érdekében, hogy kés˝obb – várhatóan – fizet˝o képes legyen, ha a biztosítási esemény bekövetkezik.

1.3. Általában a biztosítási tartalékokról Távolabbra kitekintve azt láthatjuk, hogy a biztosítók számtalan célból képeznek biztosítástechnikai tartalékokat, amik között vannak komolyabb matematikai apparátust igényl˝ok és gyakorlatiasabb jelleg˝uek egyaránt. [1] • A meg nem szolgált díjak tartaléka azokból az el˝oírt díjakból áll, amit hamarabb szedtek be, mint amikorra a biztosítás szól pl. amiatt hogy a díjbeszedés nem folytonosan, hanem havonta egy összegben történik. Vagyis ha minden hónap tizenötödikén szedi be a biztosító a díjat az ügyfélt˝ol, akkor december 31-én a december 15-én beszedett díjnak arányos részét – jelen esetben felét – el kell tartalékolnia a következ˝o évre. • A matematikai tartalékok körébe 4 típus tartozik: az élet- és betegségbiztosítási díjtartalék és a felel˝osség- és járadékbiztosítási járadéktartalék. Ezeket 1

A dolgozatban csak tiszta haláleseti kockázatokkal foglalkozom, elérési esettel nem.


3

kés˝obbi kifizetés(ek) fedezésére képzik a biztosítók oly módon, hogy a várható nettó ráfordítás jelenértékét teszik tartalékba. • A függ˝okárok tartaléka a már bekövetkezett, de még ki nem fizetett károk fedezésére szolgál. Két részb˝ol áll: Az els˝o a tételes függ˝okár tartalék, amit kárfelmér˝ok minden bejelentett kárra egyesével kiszámítanak. Ezt a tapasztalatok alapján végzik: pl. egy összetört autót megvizsgálva meg tudják becsülni, hogy kb. mekkora kár keletkezhetett benne. A második az IBNR tartalék, amit a még be sem jelentett károkra képeznek, ennek értékét statisztikai módszerekkel becsülik meg. Tehát az IBNR a bekövetkezett, de be nem jelentett, a tételes függ˝okár tartalék pedig a bejelentett, de ki nem fizetett károk tartaléka. • Az eredményt˝ol független díjvisszatérítési tartalék olyan díjvisszatérítéseket fedez, amik a biztosító eredményét˝ol nem, csak az adott szerz˝odés eredményét˝ol függenek. Tipikus példa erre az autóbiztosítások bónusz-málusz rendszere, ahol a díjvissztérítés mértéke attól függ, hogy a biztosított okozott-e balesetet az utóbbi id˝oben. • Az eredményt˝ol függ˝o díjvisszatérítési tartalékból a biztosító bizonyos összeget visszajuttat a biztosítottaknak, ha a biztosító egy bizonyos szintet meghaladóan nyereséges. Ez leginkább az életbiztosításokra jellemz˝o, ahol a tartalékon elért eredmény egy részét a biztosítónak vissza kell szolgáltatnia a biztosítottaknak. • A káringadozási tartalék és a nagy károk tartaléka azt a célt szolgálja, hogy a biztosító felkészüljön a "rossz évekre", pl. egy mez˝ogazdasági biztosító azokban az években, amikor jó termés van, és ezért nem kell szolgáltatnia, félre tud tenni, hogy az aszályos években fizetni tudjon a biztosítottjainak. Így áttekintve a f˝obb tartaléktípusokat láthatjuk, hogy az IBNR tartalék csak egy kis, de igen érdekes szelete a biztosítók által képzett tartalékoknak. Ha ténylegesen ki akarjuk számítani az IBNR tartalékot, akkor valójában egy statisztikai becslést kell végeznünk. Ennek a becslésnek a legf˝obb nehézségét az adja, hogy csak igen sz˝ukös feltevéseink lehetnek a kérdéses valószín˝uségi változókról. Nem ismerjük jól az emberek hozzáállását, vagyis hogy miért éppen ennyit késnek a bejelentésekkel, és milyen a késések eloszlása. Kevés a régebbi tapasztalatokból származó információnk is, mert gyakran csak néhány évre visszamen˝oleg vannak adataink a kés˝oi károkról. Tehát könnyen el˝ofordulhat, hogy csak 10-20 db használható "mérési eredményünk" van. Ezek a nehézségek okozzák azt, hogy máig születnek újabbnál újabb becslések, amik néha csak technikájukban, máskor viszont egész szempontrendszerükben különböznek.


4

A gyakorlatban ugyanis egyáltalán nem biztos, hogy a statisztikában megszokott, legkisebb szórást produkáló becslést részesítjük el˝onyben. Ehelyett gyakran el˝ofordul pl. hogy olyan becslést szeretnénk találni, aminél több IBNR tartalékra "biztos" (pontosabban igen nagy valószín˝uséggel) nem lesz szükség. Ez és más hasonló szempontok a megszokott torzítatlansági, hatásossági követelményeket háttérbe szoríthatják. Ezért aztán gyakran természetszer˝u az eltérés a különböz˝o módon számított IBNR tartalékok között. S˝ot az eltér˝o szempontok, eltér˝o célrendszerek mellett képzett IBNR tartalékok igen nagy különbségei is érthet˝ové válnak.

2. fejezet Az IBNR tartalék Az IBNR tartalékot hasonló szerz˝odésekre, általában biztosítási ágazatokra egyszerre számítjuk. Ezzel ellentétben az életbiztosítási díjtartalékot minden egyes szerz˝odésre külön-külön kell kiszámítani. Ebb˝ol adódóan eltér˝o a két tartalék számításának elve is: az IBNR tartalékot a régebbi adatokból statisztikailag becsüljük, a díjtartalékot viszont egy feltételezett eloszlás alapján határozzuk meg. Az IBNR tartalék meghatározásához szükséges adatokat természetesen rendszerezni is kell ahhoz, hogy jól tudjuk használni o˝ ket. Ez a rendszer az ún. kifutási háromszög, ami a különböz˝o években bekövetkezett, illetve bejelentett károkat tartalmazza. A táblázat (i, j)-edik helyén az i. évben bekövetkezett és éppen az innen számított j. évben bejelentett károk nagysága (vagy néha száma) áll. Ett˝ol a kumulált kifutási háromszög annyiban különbözik, hogy itt a maximum j éven belül bejelentett károk állnak a j. oszlopban. Tehát láthatjuk, hogy számtalan különböz˝o kifutási háromszöget lehet felírni, de a lényeg nem változik: 1. A sorok jelentik a kár bekövetkeztének évét, az id˝o föntr˝ol lefele telik. 2. Az oszlopok jelentik a kár bejelentésének évét, az id˝o balról jobbra telik. 3. A táblázat helyein a megfelel˝o id˝opontban bekövetkezett és bejelentett károk mennyisége áll. Különböz˝o módokon mérhetjük a károk mennyiségét: darabra, kifizetett pénzben vagy kárhányadokban (vagyis a kárkifizetéseknek a bekövetkezés évének díjbevételére vonatkozó arányában). A kár bejelentésének éve is jelölheti a pontos évet, vagy a legkés˝obbi id˝opontot egyaránt (éppen ez a különbség a sima és a kumulált kifutási háromszög között). Még egy változata létezik a kifutási háromszögeknek: ebb˝ol már nem csak az IBNR tartalék, hanem az összes függ˝okár tartalék kinyerhet˝o: Ha az oszlopok most nem a kárbejelentés évét, hanem a kifizetés évét jelölik, akkor a táblázat az IBNR tartalék mellett 5

2. FEJEZET. AZ IBNR TARTALÉK

6

a tételes függ˝okár tartalékokat is magában foglalja. Ha ebb˝ol bármelyik kés˝obb ismertetett módszerrel tartalékot képzünk, és ebb˝ol levonjuk a tételes függ˝okár tartalékot, akkor ez is egy becslést ad a szükséges IBNR tartalékra. A következ˝o két táblázat egy adott biztosító egy biztosítási ágazatára vonatkozó normál és kumulált kifutási háromszögeit tartalmazza. A normál kifutási háromszögben szerepl˝o értékeket mostantól Xij -vel, a kumulált értékeket Yij -vel jelölöm. X11 X21 X31 ... 1 Xk−1 Xk1

X12 X22 X32 ... 2 Xk−1

X13 X23 X33 ...

... X1k−2 X1k−1 X1k ... X2k−2 X2k−1 ... X3k−2 ...

2.1. táblázat. Kifutási háromszög Y11 Y21 Y31 ... 1 Yk−1 Yk1

Y12 Y22 Y32 ... 2 Yk−1

Y13 Y23 Y33 ...

... Y1k−2 Y1k−1 Y1k ... Y2k−2 Y2k−1 ... Y3k−2 ...

2.2. táblázat. Kumulált kifutási háromszög Ezeket a táblázatokat persze hosszan lehetne folytatni, és ahogy telik az id˝o minden érték ki fog derülni. A k + 1-edik évben azonban éppen az itt jelölt értékeket ismerjük, ezért aztán nekünk most ezekb˝ol az értékekb˝ol kell becslést adni a táblázat folytatására. Pontosabban csak egyetlen érték érdekel minket: a normál kifutási háromszögben a már megkezdett sorokban lev˝o összes kitöltetlen helyeken szerepl˝o értékek összege: ! k ∞ X X j Xi IBNR = i=1

j=k−i+2

ha éppen a k. évben járunk. Ez éppen az aktuális IBNR tartalék nagyságát adja meg. Ez persze ugyanaz, mint a kumulált kifutási háromszögben ! k k X X j IBNR = lim Yi − Yik+1−i j→∞

i=1

i=1


7

Értelemszer˝uen persze az 1...k-adik évekhez tartozó összetev˝okre is fel lehet bontani az IBNR tartalékot: IBNRi =

∞ X

j=k−i+2

Xij = lim Yij − Yik+1−i j→∞

ahol IBNRi az i. évben bekövetkezett károkra képzett része az IBNR tartaléknak.

2.1. Az IBNR tartalék kiszámításának gyakorlati eszközei Legel˝oször nézzük meg azokat a módszereket, amiket a gyakorlatban is alkalmaznak, mivel könnyen kezelhet˝oek és gyorsan kiszámíthatóak. Ezek jellemz˝oen a kifutási háromszög adataira támaszkodnak, azok ismeretében gyorsan és könnyen, akár manuálisan is kiszámíthatók. Ezek közé a technikák közé tartozik a jéghegy, a láncszemhányados és a lánc-létra módszer. [1] Közös jellemz˝ojük, hogy a kifutási háromszög sorait egy-egy értékkel egészítik ki, ami az abban az évben bekövetkezett, de még mindig be nem jelentett károk valószín˝u mennyisége. Mivel a rendelkezésre álló adatokat a különböz˝o módszerek különböz˝o képpen használják fel, ezért egészen eltér˝o eredményeket kaphatunk, ha több metódus segítségével is kiszámítjuk a szükséges IBNR tartalékot. Szintén hasonlítanak ezek a módszerek abban is, hogy el˝oször kiszámítunk a korábbi évekre bizonyos arányokat és ezek segítségével ugyanezeket az arányokat az aktuális évre is becsülni tudjuk. Olyan arányokra van szükségünk, ami megmutatja, hogy a tapasztalatok szerint milyen arányban késnek a bejelentéssel 1, 2, 3 . . . évet.

2.1.1. A jéghegy módszer Használjuk továbbra is a kárnagyságokat tartalmazó kumulált kifutási háromszög korábbi jelöléseit, és jelöljük Yik+ -szal az i. év teljes bekövetkezett kárnagyságát (a kifutási háromszögnek k sora és k oszlopa volt). Vagyis Yik+ = limj→∞ Yij . Jelöljük αij -vel αij =

Yji

Yjk+

-t.

Valójában a táblázatban szerepl˝o évek teljes kárnagyságát fogjuk megbecsülni, ezekb˝ol a sorokban szerepl˝o utolsó értéket kivonva az adott évhez tartozó P IBNR tartalék becslését kapjuk. Vagyis IBNRi = Yik+ − Yik+1−i és IBNR = ki=1 IBNRi . Ezután a következ˝o számítások szükségesek: Yk

1 1. A korábbi évek tapasztalatából becslést adunk αk1 = Y k+ -ra. Ha szerencsénk van, 1 akkor ez az érték nagyon közel van 1-hez, vagyis szerencsés esetben elég nagy k-


8

ra fel tudjuk írni a kifutási háromszöget ahhoz, hogy k évnél többet gyakorlatilag sose késnek a bejelentéssel. Ehhez a becsléshez olyan évek adatait használjuk fel, amikre már biztos, hogy nem fog további kárbejelentés érkezni, de azért viszonylag friss adatok, tehát relevánsak az idei adatok megbecsléséhez. Tehát a korábbi néhány évre megnézzük, hogy milyen arányban jelentették be k éven belül a károkat. Ezek közül az arányok közül vagy vesszük egyszer˝uen a legfrissebbet, vagy az ismert, viszonylag friss adatok valamilyen közepét (tipikusan az átlagot), esetleg a minimumát. A minimumot azért érdemes venni, mert így arra készülünk fel, hogy a tapasztalatainknak megfelel˝o legnagyobb arányú bejelentés van még hátra, tehát ez a pesszimista szemlélet: felkészülünk a lehet˝o legrosszabbra. 2. αk1 becslését ismerve felírhatunk egy becslést Y1k+ -ra: Y1k+ =

Y1k . α1k

A többi Yik+

értéket azonban még nem tudjuk megbecsülni, mert Yik -t nem ismerjük i > 1re. Ezért pl. i = 2-re ahhoz, hogy a teljes Y2k+ éves kárnagyságot meg tudjuk Y k−1 2 becsülni, ahhoz el˝oször meg kell becsülnünk αk−1 = Y2k+ -t, mert így már fel tudjuk írni Y2k+ -t is: Y2k+ =

2

Y2k−1 . α2k−1

2 1 3. Az αk−1 értéket csak egy féle képpen becsülhetjük meg: αk−1 =

ban a kés˝obbi

Yik+ -ok

Y1k−1 -vel. Y1k+

Azon-

becsléséhez már több adatot is feltudunk használni.

k+ 4. Tegyük fel, hogy Y1k+ , ..., Yi−1 értékeket már megbecsültük, nézzük meg ezek után Yik+ becslését! Az Yij értékek közül az utolsó, amit ismerünk Yik+1−i . Tei hát akkor tudnánk megbecsülni Yik+ -t, ha ismernénk αk+1−i =

ugyanis már fel tudjuk írni a becslést: Yik+ =

Yik+1−i αik+1−i

Yik+1−i -t. Yik+

Ekkor

.

i−1 i 1 5. Az αk+1−i értéket az αk+1−i , ..., αk+1−i értékek segítségével becsülhetjük. A jéghegy módszer különböz˝o változatait kapjuk aszerint, hogy egyszer˝uen az els˝o 1 αk+1−i értékkel becsüljük (ez az eredeti változat), vagy a felsorolt i−1 érték valamilyen közepével vagy ezek minimumával – ezzel ismét a legrosszabbra tudunk felkészülni. Yj

i hányadosok nem függeJól látszik, hogy ez a módszer azt feltételezi, hogy az Y k+ i nek i-t˝ol, hanem minden évben azonosak. A gyakorlatban persze olyankor is használjuk o˝ ket, ha csak gyengén függenek az évt˝ol.


9

2.1.2. A láncszemhányados módszer Ez a módszer sok szempontból hasonlít a jéghegy módszerre, viszont itt másik Y j+1 hányadosokat számolunk ki. Most azt tesszük fel, hogy a βji = Yi j hányadosok i

nem vagy csak gyengén függenek i-t˝ol. Természetesen a βki definíciója is hasonló: βki =

Yik+ Yik

=

1 . αik

A számítás menete sokban hasonlít a jéghegy módszerhez:

1. Ismét a korábbi évek tapasztalatából adunk egy becslést βk1 -re, ez – a jéghegy módszerhez hasonlóan – lehet a táblázatban szerepl˝o évek el˝otti utolsó év hasonló értéke, vagy néhány régebbi érték valamilyen közepe vagy maximuma. Ezután ebb˝ol meg tudjuk becsülni Y1k+ -t: Y1k+ = βk1 Y1k . De a további Yik+ -ok (i > 1) meghatározásához ismét szükség van további βxy értékek ismeretére is. 2 2. Legel˝oször is Y2k+ megbecsléséhez szükség van βk−1 és βk2 ismeretére, mert ak2 kor már Y2k+ = βk2 βk−1 Y2k−1 formában becslést lehet adni. Ezeket csak egy módon lehet megbecsülni: βk2 -t ugyanazzal az értékkel becsülöm, mint korábban 2 1 βk1 -et, βk−1 -t pedig βk−1 -gyel. k+ 3. Tegyük fel most ismét, hogy Y1k+ , ..., Yi−1 értékeket már sikerült megbecsülni, k+ és most a Yi értékkel próbálkozunk. Mivel az Yij értékek közül j = k + 1 − i a legnagyobb index˝u, ezért Yik+ -t a következ˝o módon tudom becsülni: Yik+ = i i βki βk−1 ...βk+1−i Yik+1−i i Tehát Yik+ megbecsléséhez a βki , ..., βk+1−i értékek ismerete szükséges. Ezek i közül βk -t ugyanazzal az értékkel lehet becsülni, mint amivel βk1 -t becsültük. j < k-ra pedig βji -t a βj1 , ..., βjk−j értékek valamilyen közepével vagy a maximumukkal lehet becsülni. (Ismét akkor vesszük a maximumot becslésnek, ha a legrosszabbra akarunk felkészülni.)

4. A most is IBNR Pkszükséges IBNR tartalék nagysága természetesen k+ IBNR -ként kaphatjuk meg, ahol IBNR = Y − Yik+1−i . i i i i=1

=

2.1.3. A lánc-létra módszer

A harmadik módszerünk nem is számít igazán újnak az eddigiekhez képest: a lánclétra módszer valójában a láncszemhányados módszer egy változata. Úgy kapjuk meg a láncszemhányados módszerb˝ol a lánc-létra módszert, ha a βij értékek becslésénél a βi1 , ..., βik−i értékek egy bizonyos súlyozott átlagát használjuk: βij =

i+1 Y1i+1 + Y2i+1 + ... + Yk−i i Y1i + Y2i + ... + Yk−i


10

Ez pedig éppen azonos a βij értékek egy számtani átlagával, mégpedig aji = Yji együtthatókkal: βij =

i Y1i βi1 + Y2i βi2 + ... + Yk−i βik−i i Y1i + Y2i + ... + Yk−i

Egyszer˝usége miatt ez a legnépszer˝ubb módszer, de figyelni kell arra, hogy így nem számítjuk ki a βij és αij értékeket, és emiatt el˝ofordulhat, hogy nem veszünk észre valamilyen trendet. Ugyanis a különböz˝o αij és βij értékek összehasonlítása mutatja meg azt, hogy ezek az arányok tényleg változatlanok-e hosszú távon. Ha pedig ez nem teljesül, akkor a lánc-létra módszer helytelen eredményre vezet, amit viszont nem veszünk észre a számítás során.

2.1.4. Problémák Mindazzal együtt, hogy a gyakorlatban ezek a legnépszer˝ubb módszerek, ezek sem tökéletesek. A valóságban a legritkább esetben m˝uködik minden olyan szépen, mint ahogy itt le van írva. Hatalmas tévedéseket okozhatnak a kiugró, nagy károk. Vagy akár el is lehetetleníthetik az eddig megismert technikákat az annyira fiatal biztosítási módozatok, ahol még nincs kártapasztalatunk, tehát a kifutási háromszög minden helyén nulla áll – ebb˝ol bármelyik eddig ismertetett módszer nulla tartalékot adna eredményül. Nézzük most meg, hogy mit lehet tenni az ilyen nehézségek felmerülése esetén! Kiugró értékek Néha el˝ofordulnak nagy összeg˝u károk is, amiknél igen sokat késnek a bejelentéssel. Ezek tipikusan felel˝osségbiztosításoknál fordulnak el˝o: Nézzünk mondjuk egy esetet, ahol egy iskola építésénél felel˝osségbiztosítást kötnek. Ezután az iskola 10 év múlva összed˝ol, hatalmas anyagi kárt és személyi sérüléseket, akár halált is okozva. Ekkor, ha kiderül, hogy az építkezésnél elkövetett hiba okozta a katasztrófát, akkor az építtet˝o felel˝osségbiztosítójának kell kifizetnie a kárt. Vagyis hirtelen egy hatalmas összeg˝u, 10 évet kés˝o kárbejelentéssel találja szembe magát a biztosító. Mivel ezután ez az eset is szerepel a kifutási háromszögekben, ezért hirtelen jóval nagyobb IBNR tartalékot képezne a biztosító, ha pl. a lánc-létra módszert alkalmazná. Ezt azonban nyilvánvaló, hogy egy-egy kiugróan nagy kés˝oi kár nem indokolja. Ennek megoldására valahogyan ki kell zárni ezeket a szokatlanul nagy értékeket. Ezt több féle módon is meg lehet tenni. Egyik lehet˝oség, hogy a szokásos jéghegy vagy láncszemhányados módszert haszi náljuk, egy speciális módon. A módszerek leírásánál említettük, hogy a αk+1−i értéket


11

i−1 1 az αk+1−i , ..., αk+1−i értékek valamilyen közepével, a βji -t pedig a βj1 , ..., βjk−j értékeknek egy közepével becsüljük. Válasszunk most a szokásos átlag helyett egy nyesett átlagot, vagyis hagyjunk el az értékek közül annyi legkisebbet és legnagyobbat, ahánnyal problémánk volt (ez persze csak 1-2 érték lehet), és a maradéknak számítsuk ki az átlagát. Ez a módszer, természetesen, csak akkor m˝uködik, ha így is marad elég átlagolható érték, vagyis ha elég nagy kifutási háromszöget ismerünk. Másik lehet˝oség, hogy már a kifutási háromszög felírásakor egyszer˝uen kihagyjuk azt a kés˝oi kárt, ami kiugróan nagynak bizonyult. Ez persze maga után vonja azt, hogy az IBNR tartalék ilyen módon nem biztos, hogy fedezni tudja a kiugróan nagy kés˝oi károkat.

Fiatal ágazatok Egy másik fontos problémát az olyan új biztosítási módozatok okoznak, ahol csak igen kevés vagy egyáltalán semmi tapasztalata nincs a biztosítónak. Ekkor ugyanis gyakran a kifutási háromszögek nem elég nagyok ahhoz, hogy értelmes becslést lehessen bel˝olük végezni – vagyis nem tudjuk megbecsülni αk1 -t illetve βk1 -et, és így el sem tudunk indulni a becslésünkkel. Az is el˝ofordulhat, hogy habár a kifutási háromszögünk viszonylag nagy már, mégis tele van 0 értékekkel, mert bár évek óta kötünk ilyen típusú szerz˝odéseket, de káreset még gyakorlatilag nem is történt. Ilyenkor joggal feltételezhetjük, hogy ha már lesznek káreseteink, akkor kés˝oi káraink is lesznek, de ezt nem tudjuk semmilyen módon megbecsülni a kifutási háromszögb˝ol. Ezek a problémák annyira lényegesek, hogy még a vonatkozó jogszabályban is szerepelnek: csak akkor kell a kifutási háromszögb˝ol számítani az IBNR tartalékot, ha már legalább 3 év kártapasztalata van a biztosítónak (B függelék: 8/2001. (II. 22.) PM rendelet a biztosítástechnikai tartalékok tartalmáról, képzésének és felhasználásának rendjér˝ol, 9. §). Nézzük most meg, hogy milyen módszereket lehet ilyenkor alkalmazni! Az egyetlen esélyünk az, hogy meg tudjuk becsülni a biztosítási módozat káreloszlását, és ebb˝ol becsüljük meg a szükséges IBNR tartalékot is. Naiv kárhányad módszernek nevezik azt a technikát, ahol valamilyen γi együtthatókkal feltesszük azt, hogy az i. év díjainak éppen 1 − γi-ed részét fizeti ki a biztosító a károk fedezésére. Ha az i. év díjbevételét Bi -vel jelölöm (ez valójában a megszolgált díjak nagysága, vagyis, ha 2004 november 15-én kifizet egy biztosított egy havi díjat, akkor ennek csak felét számítom bele a 2004. évi díjbevételbe), akkor az i. évre éppen IBNRi = (1 − γi) Bi − Yik+1−i nagyságú IBNR tartalékot kell képezni a k. évben. Tehát a teljes szükséges IBNR


12

tartalék nagysága IBNR =

k X

IBNRi

i=1

2.2. A szeparációs módszer Még egy olyan eljárást ismeretetek, ami a kifutási háromszögeket használja fel, de egészen más módon, mint az eddigi technikák. Ez a módszer azt feltételezi, hogy a nem kumulált, kárnagyságokat tartalmazó kifutási háromszög Xij elemei három faktor szorzataként állnak el˝o: k+(∗)

1. A kérdéses érték sorának megfelel˝o év teljes kárszáma, ezt Yi = P∞ x(∗) (∗) -vel jelöltük. (A szeparációs módszer ismertetése során a -gal jex=1 Xi lölt értékek a kárszámok, a jelöletlen értékek a kárnagyságok kifutási háromszögének adatait jelölik.) 2. A késések eloszlását minden évben azonosnak feltételezi, dx -szel jelölöm azoknak a károknak az arányát, amiknél éppen x évet késnek a bejelentéssel. P ∞ x=1 dx = 1.

3. Az inflációt reprezentálja egy-egy µy érték, ami a kifizetés évének árszintjét adja meg. Tehát azt feltételezzük, hogy k+(∗)

Xij = Yi

dj µi+j−1

P Emellett feltesszük, hogy k év alatt minden kárt bejelentenek, vagyis kx=1 dx = 1 k+(∗) k(∗) és Yx = Yx . k+(∗) El˝oször valamelyik eddig ismertetett módszerrel kiszámítjuk az Yx értékeket j x = 1...k-ra. Ezekkel osszuk el az Xi értékeket (mindegyiket azzal, amelyik a szorzat alakban hozzá tartozik), és ezután adjuk össze a k. átlóban lev˝o elemeket: k X X k+1−x x k+(∗) x=1 Yx

=

k X

dk+1−x µk = µk

x=1

k X

dk+1−x = µk

x=1

Vagyis sikerült megbecsülnünk a k. évi árszínvonalat. Ebb˝ol persze az éppen k évet X1k kés˝o károk arányát is meg tudjuk határozni: dk = k+(∗) . Y1

µk


13

Tegyük most fel, hogy a µk , ..., µi+1 és a dk , ..., di+1 értékeket már megbecsültük, és k+(∗) most µi -t és di-t akarjuk meghatározni. Nézzük most az Yx -okkal leosztott értékek közül az i. átlóban lev˝ok összegét! ! i i i i k X X X X Xxi+1−x X = di+1−x µi = µi di+1−x = µi dx = µi 1 − dx k+(∗) x=1 Yx x=1 x=1 x=1 x=i+1 Tehát így meg tudjuk becsülni – a már ismert értékeket felhasználva – µi -t: Pi Xxi+1−x x=1

k+(∗)

Yx µi = Pk 1 − x=i+1 dx

Innen pedig di becslése is megvan: Pk

di = Px=i k

di µx

x=i

µx

=

i Xx+1−i x=i Y k+(∗) x+1−i

Pk

Pk

x=i

µx

Ez a módszer is könnyen számolható, de azért az eddigieknél valamivel bonyolultabb. Igazából akkor érdemes megnézni a szeparációs módszerrel meghatározott IBNR tartalékot is, és összehasonlítani valamelyik jéghegy vagy láncszemhányados módszerrel kiszámított értékkel, ha er˝osen inflációs id˝oszakban vagyunk. Ekkor ugyanis az egymás utáni évek adatai között nagy különbség lehet, és ez a kiszámolt IBNR tartalékot eltorzíthatja. Ezt azonban a szeparációs módszer képes kiküszöbölni.

2.3. További módszerek 2.3.1. Az IBNR tartalék, mint egy programozási feladat megoldása Most hogy a gyakorlatban alkalmazott módszereket már ismerjük, nézzünk meg egy elméletileg tökéletesen megalapozott technikát, amir˝ol azonban hamar ki fog derülni, hogy a gyakorlati alkalmazhatósága er˝osen kétséges. A már megismert, gyakorlatból származó módszerekkel összehasonlítva jól fog látszani, hogy hiába t˝unik egy módszer statisztikailag korrektebbnek, ha a számítások túl bonyolultak és az alkalmazhatóság feltételei a valóságot túlságosan leegyszer˝usítik, akkor a gyakorlatban nem lehet hasznukat venni. H. Schmitter és E. Straub egy kvadratikus programozási feladat megoldásaként próbálták meghatározni az IBNR tartalékot. A kifutási háromszögekben kárnagyságok helyett kárhányadokat szerepeltettek. Ha az Yij -kb˝ol álló háromszög-mátrixot Y-nal jelölöm, akkor az IBNR tartalék meghatározásához éppen a következ˝o várható értékeket kell becsülni [2]:


E

14

lim

j→∞

Yij |Y

minden i = 1...k érték esetén. Ha ezeket a becsléseket mi -vel jelölöm, akkor az IBNR tartalék szükséges nagysága IBNR =

k X i=1

Pi mi − Yik+1−i

ahol Pi az i. év díjbevételeinek nagysága, vagyis Pi Yij jelöli most az (i, j)-edik kárnagyságot, azaz az i. évben bekövetkezett, j éven belül bejelentett károk össznagyságát. Torzítatlan, hatásos becslést keresünk a következ˝o feltételek mellett: • Yij és Yxy sztochasztikusan függetlenek minden i 6= x-re, vagyis a különböz˝o években bekövetkezett károk egymástól függetlenek. • E Yij = E j független i-t˝ol, vagyis minden évben arányaiban ugyanannyi kárbejelentés késik. • Pi Cov(Yij , Yiy ) = Cj,y függetlenül i-t˝ol. P P ayx Yxy , vagyis csak lineáris becsléseket keresünk. • mi = kx=1 k+1−x y=1

• Van egy olyan m, hogy Yim = Yim+1 = ... = limj→∞ Yij minden i-re, vagyis m év alatt minden kárt bejelentenek.

Ezek mind olyan feltételezések, amik túlságosan leegyszer˝usítik a valóságot. Tehát csak olyan esetekben használható ez a módszer, ha közel állunk ezekhez a feltevésekhez. A valóságban azonban számos oka lehet annak, hogy évr˝ol évre különböz˝o mértékig késnek a kárbejelentések, vagy pl. az egymást követ˝o évek kárai is összefügghetnek. Tehát ez a módszer számos olyan egyszer˝usítést tartalmaz, ami a gyakorlatban egyáltalán nem biztos hogy helytálló, viszont egy elég könnyen kezelhet˝o kvadratikus programozási alakra hozza a feladatot. k(k+1) ismeretlenünk és egyetlen határfeltételünk van, ezt a rendszert megoldva: 2 mi = α

m X x=1

és E

m

=α

Px eTx βx−1 Yx + cTi βi−1 Yi

m X x=1

Px eTx βx−1 ex + cTi βi−1 ei


15

ahol 

      1  Cm,1 C1,1 C1,2 ... C1,x Yx E1      2   E2  , Yx =  Yx , βx =  C2,1 C2,2 ... C2,x  és cx =  Cm,2 . ex =   ...   ...  ...   ...  ... ... ...  x x Cm,x Cx,1 Cx,2 ... Cx,x Yx E j Így tehát hogyha ismerem az E várható értékét a maximum j évet kés˝o bejelentések arányának és a Ci,j kovarianciákat, akkor a második egyenletb˝ol az α-t kifejezve és az els˝o egyenletbe behelyettesítve megkapom a keresett mi becslést. Ezt a becslést akkor lehet viszonylag gyorsan kiszámolni, ha a βx mátrix könnyen invertálható. Ilyen például ha Y j+1 = Y j + Z j+1 vagy Y i+1 = Y j Z j+1 , ahol Z j+1 független Y j -t˝ol [5]. A valóságban persze az E j és Ci,j értékek sem ismertek, tehát ezeket is becsülnünk kell. Ezekre szintén a kifutási háromszög adatai alapján lehet becslést adni. Tehát azt látjuk, hogy a már eleve lecsupaszított modellt még tovább kell egyszer˝usíteni ahhoz, hogy viszonylag könnyen lehessen számolni. De még ez sem elég, mert még mindig marad számtalan érték, amit nem ismerünk (az E j -k és Ci,j -k). Tehát ezek becslését kellene felhasználni az IBNR tartalék becsléséhez. Ez rengeteg számolást jelent, amire a gyakorlatban sokszor nincs lehet˝oség. És még ezután se biztos hogy jobb eredményt ad, mint az egyszer˝ubb technikák, hiszen ez a módszer is csak egy olyan feltételrendszer esetében m˝uködne tökéletetesen, ami a valóságtól nagyon távol áll.

2.3.2. Új ágazatok LeRoy J. Simon azt a helyzetet vizsgálta, amikor egy biztosító egy új fajta szerz˝odést vezet be [6]. Ilyenkor az IBNR tartalék szükséges nagysága még eltér a kés˝obbiekt˝ol, ugyanis eleinte a szerz˝odések mennyisége jóval kevesebb, mint amennyi a módozat beérésekor lesz. Azt feltételezte, hogy a megfelel˝o IBNR tartalék mérete arányban áll a meglev˝o szerz˝odések mennyiségével. A cikkben egy olyan esetet elemzett, amikor 1 és 3 éves kifutási idej˝u szerz˝odéseket helyettesítenek valamilyen új fajta szerz˝odéstípussal. Az új fajta szerz˝odés állományát mutatja a 2.1. ábra. Itt pl. az 1. év végén K1 + K2 és L1 + L2 jelöli az új szerz˝odések állományát, K1 és L1 a szükséges IBNR tartalék nagyságát, valamint (az ábrán szerepl˝o jelöléseket használva) p + q = 1, mert a régi szerz˝odések kifutása után elért állományt jelölöm 1-gyel. Amint ez a 2.1. ábrán is látszik, a szerz˝odések lecserél˝odését lineárisan közelítette Simon és az IBNR tartalékot is a meglév˝o állománnyal kb. arányosnak gondolta. Ezek mellett Bt -vel jelölte az IBNR-arányt, ami az összes bekövetkezett kár mennyisége osztva a bejelentett károk mennyiségével a t id˝opontig (t-t hónapokban mérjük). Az ábrán szerepl˝o si értékeket felhasználva ki lehet fejezni p-b˝ol és q-ból a Ki és Li területeket, majd ezekb˝ol meg lehet határozni a Bt értékeket. Ezután jelöljük Bc:d vel a Bc becslését, ha csak Bd -t ismerjük. Ezeket is megkaphatjuk a korábbi Bi , si értékekb˝ol.


16

2.1. ábra. [6] Ezek a kifejezések a lineáris közelítés miatt viszonylag egyszer˝uek. Így becsülni tudjuk az IBNR-arányokat, vagyis az állományok ismeretében a megfelel˝o IBNR tartalékot is meg tudjuk határozni.

2.3.3. Normális eloszlású logaritmikus növekedések Joakim Hertig a tengerészeti biztosítások esetében vizsgálta az IBNR tartalékokat [7]. Úgy látta, hogy leginkább a tengerészetben és a felel˝osségbiztosítások esetében lehet olyan "hosszan elnyúló" esetekkel találkozni, ahol a kárbejelentések akár sok-sok évet is késhetnek. Továbbá azt is felismerte, hogy a viszontbiztosítók számára az IBNR tartalékok becslése még nehezebb, hiszen o˝ k csak aggregált adatokat ismernek egész portfóliókról, és nem tudják, hogy milyen egyedi szerz˝odésekb˝ol állnak azok össze.


17

˝ is a kifutási háromszögek alapján számította az IBNR tartalékot. Ehhez készített O egy új háromszöget, amiben a logaritmikus növekedéseket szerepeltette (vagyis ennek eggyel kevesebb lett, mint az eredeti kifutási háromszögnek, a benne szerepl˝o k+1oszlopa Yi értékek: ln Y k ). Ezután minden k-ra kiszámította a bekövetkezés évét˝ol számítva i a k. és a k + 1. év közötti bejelentett károk logaritmikus növekedésének átlagát és k+1 Yi szórását a különböz˝o bekövetkezési évek szerint. Vagyis az ln Y k (i = 1, 2, ..., k) i értékek átlagát és szórását. Emellett felírta a kárhányadokból álló kifutási háromszöget is, majd erre is felírta a logaritmikus növekedéseket és ezek átlagát és szórását. Ebb˝ol azt állapította meg, hogy a kárhányadok esetében jobban szóródnakaz éves logaritmikus növekedések, mint a Yij+1 j kárnagyságok esetében. Jelöljük dxi = ln Y j -vel a j. és j + 1. évek közti logariti mikus növekedését a megismert kárhányadoknak az i. bekövetkezési évre. A vizsgálatok alapján azt a következtetést vonta le, hogy dxji ∼ N(ξj , σj2 ) norP dxj mális eloszlásúak. A ξj és σj értékeket a következ˝o módon becsülte: ξˆj = Ni j i ∼ σ2 P (dxj −ξˆ )2 χ2 (f ) N ξj , Njj és σˆj2 = i Nj i−1 j ∼ σj2 fj j , ahol fj = Nj −1 és Nj a j. évr˝ol j+1. évre történ˝o növekedések megfigyelt száma. A ξj és σj2 értékek, természetesen, függetlenek. Ezekb˝ol a becslésekb˝ol persze ki lehet fejezni a kifutási háromszög Yi∞ elemeit, és így a szükséges IBNR tartalékot is.

2.3.4. Credibility modell Ole Hesselager és Thomas Witting egy credibilty modellt alkotott az IBNR tartalék meghatározására, amivel kezelni tudták a késések eloszlásának véletlenszer˝u ingadozásait [8]. A korábbi modellek vizsgálatakor azt látták, hogy azok pozitív korrelációt feltételeznek a bejelentett hányad korai és kései növekedése között. Ezt illusztrálja a 2.2 ábra. Ezek a modellek nem voltak képesek kezelni pl. a követelések kezelésének vagy az adminisztrációs folyamatoknak a változásait. Ilyen esetekben a bejelentési hányad növekedése inkább úgy néz ki, mint a 2.3 ábrán. Ezért olyan módszert dolgoztak ki, ami a korai és kései növekedések negatív korrelációját is képes kezelni. j = 1, ..., n a bekövetkezési évek és azt feltételezték, hogy n éven belül minden kárt bejelentenek, vagyis a növekedési évek i = 1, ..., n. πj = (πj1 , ..., πjn ) egy véletlen vektor, ahol πji annak a valószín˝usége, hogy egy j. évben bekövetkezett kárt éppen i évvel kés˝obb jelentenek be, vagyis a j. év követeléseinek az a hányada, amit várhatóan Pn i az i. évben fognak követelni. Természetesen i=1 πj = 1 minden j-re. Ismét a kifutási háromszög Xij értékeib˝ol számolunk, ahol Xij kárszámot vagy kárnagyságot jelöl. A következ˝o feltételezéseket teszik: • A különböz˝o bekövetkezési évekhez tartozó adatok függetlenek.


18

2.2. ábra. [8] • π1 , ..., πn i.i.d. változók pi = Eπji els˝o és ci,k = Cov(πji , πjk ) második momentumokkal. • A πj -re vonatkozó feltételes eloszlások: E(Xji |πj ) = πji mj és i k i i k Cov(Xj , Xj |πj ) = δi,k fj (πj )πj πj dj , ahol mj ≥ 0 és dj a bekövetkezést˝ol eltelt id˝ot˝ol független konstansok, fji () egy adott függvény és δi,k a Kronecker szimbólum. mj -t, dj -t és fji ()-t a modellnek megfelel˝oen választjuk meg. Két tipikus lehet˝oség van: • Ha Xj a bekövetkezett károk számát jelöli, akkor legyen mj = EXj , dj = V arXj − EXj , fji (πj ) = πji mj . • Ha Xj a bekövetkezett kárnagyságot jelöli, akkor legyen Xj = b(θj )Zj , ahol b(θj ) egy véletlen változó, ami független Zj = (Zj1 , ..., Zjn )-t˝ol és πj -t˝ol. Valamint feltehetjük, hogy E(Zji |πj ) = Vj πji és Cov(Zji , Zjk |πj ) = δi,k Vj ri2 . Ekkor legyen mj = Vj Eb(θj ), dj = Vj2 V arb(θj ), fji (πj ) = Vj ri2 E(b(θj )2 ). ˆ Ebb˝ol a következ˝o becslést vezették le: a j. bekövetkezési évre IBNR(j) = n ˜ ˙ Yj (1 − F (˜ n)) Z(j) G(j) + (1 − Z(j))mj IBNR tartalékot kell képezni, ahol Z(j) =


19

2.3. ábra. [8] Pn˜ Pn˜ Pn˜ p2i pi i ˙ n˜ G(j) = n) = i=1 pi φj +τji , F (˜ i=1 pi , Yj = i=1 pi φj +τji Xj . Vala Xi Xk dj +m2 1 α dj + 1+α (−m2j ), φj = 1+α j . π1 , ..., πn fügmint ψj = Cov pij , pkj = 1+α G(j)ψj , G(j)ψj +1

getlen, azonos Dirichlet eloszlásúak α1 , ..., αn paraméterekkel, pi = Eπji = 1 ci,k = 1+α (δi,k pi − pi pk ), α = α1 + ... + αn˜ és n ˜ = n − j + 1.

αi , α

2.3.5. Az IBNR tartalék várható értéke és szórása Farrokh Guiahi a szükséges IBNR tartalék várható értékét és szórását becsülte meg [9]. Ehhez szüksége volt a kárszám eloszlására adott intervallumon (Ni , i = s, s + 1, ..., t), a károk súlyosságának eloszlására (Xij , j ≤ Ni , független azonos eloszlásúak, a közös eloszlásuk Xi ) és a bejelentések késésének eloszlására (Tij , j ≤ Ni , független azonos eloszlásúak, a közös eloszlásuk Ti ). Ezek felhasználásával a következ˝o értékeket kapta az IBNR tartalék várható értékére és szórására: t X wi Bi E(IBNR) = i=s

és

V ar(IBNR) =

t X i=s

ui Bi


20 E(X 2 )

ahol wi = P (Ti > ci ), Bi = E(Ni )E(Xi ), ui = E(Xii ) P (Ti > ci ) és ci = t − i + 21 . Ezek segítségével meg tudja határozni, hogy hogyan változik az IBNR tartalék nagysága, ha pl. n˝onek a bejelentett károk, megváltozik a késések eloszlása vagy csökken a károk gyakorisága.

2.3.6. Bayes-i formula az IBNR tartalékra Dr. Ira Robbin az IBNR tartalékot három jól ismert IBNR-számítási formula súlyozott átlagaként próbálta meghatározni [10]. Ez a három formula a következ˝o volt: • IBNR = Becslés a végtelenig bejelentésre kerül˝o károkra A máig bejelentett károk

−

• IBNR = A máig bejelentett károk · LDF • IBNR = Becslés a végtelenig bejelentésre kerül˝o károkra · 1 −

1 LDF

ahol LDF -fel jelöljük a mától a végtelenig bekövetkez˝o felgyülemlési faktort (azaz a végtelenig bejelentett és a máig bejelentett károk aránya). Ezzel a módszerrel Robbin az IBNR károk számát próbálta megbecsülni, tehát "bejelentett károk" alatt a bejelentett károk számát értette. Az IBNR kárszám becsléséhez feltette, hogy a j. periódus kárszámeloszlása Nj ∼ Pω n P oisson(nj ). Legyen továbbá n = j=1 nj , pj = nj és qj = pj+1 +...+pω , ahol ω-val a végtelent (a gyakorlatban ez tipikusan 100 év) jelöljük. Ekkor Mj = N1 + ... + Nj ∼ P oisson(n · (1 − qj )) és az IBNR kárszám Rj = Nj+1 + ... + Nω ∼ P oisson(nqj ). Ezekkel a jelölésekkel a j. periódus IBNR kárszámára az alábbi becslést találta: 1 IBNRj = Znj (E(n) − Mj ) + Zpj Mj (LDFj − 1) + (1 − Znj − Zpj )E(n) 1 − LDF , j ahol Znj és Zpj az n és qj eloszlásaiból kifejezhet˝o konstansok. Ez valóban az el˝obb említett három módszernek egy súlyozott közepe, ugyanis ezekkel a jelölésekkel az 1. változat éppen E(n) − Mj -t jelenti, a 2. változat Mj (LDFj − 1)-et, a 3. változat pedig E(n) 1 −

1 LDFj

-t.

Ezeket a módszereket végignézve látszik, hogy rengeteg különböz˝o módszert lehet alkalmazni az IBNR tartalék meghatározásához. A gyakorlatban azok az eljárások terjedtek el, amik könnyen és gyorsan alkalmazhatók, emellett bármilyen ágazat esetében alkalmazhatók. Emellett léteznek bizonyos konkrét káreloszlást feltételez˝o, speciálisabb módszerek is.

3. fejezet Az életbiztosításról Az életbiztosítások alapvet˝oen abban különböznek az egyéb biztosítási formáktól, hogy a kockázat nem egy esemény bekövetkezésében vagy be nem következésében rejt˝ozik, hanem abban, hogy mikor következik be. Hiszen pl. az autómat vagy feltörik vagy nem, de a haláleset el˝obb vagy utóbb biztosan bekövetkezik, csak éppen ha tovább élek, akkor tovább fogom fizetni a díjat, és kés˝obb kell kifizetnie a biztosítónak a biztosítási összeget. Ezért aztán egy életbiztosítás díjának meghatározásához elegend˝o ismerni a biztosított halálozási valószín˝uségét. Ez alapján ugyanis meg tudjuk határozni a várható elhalálozási id˝opontot, a várható beszedett díjat különböz˝o díjfizetési konstrukciók mellett, és ezáltal azt is, hogy mekkora biztosítási összeget fedezhet egy adott nagyságú díj. Ahhoz, hogy el tudjuk végezni az ilyen számításokat, szükségünk van az ún. halandósági táblák ismeretére. Ez egy-egy jól körülhatárolható népességcsoportra vonatozik. Sajnos csak elég durva bontásban állnak rendelkezésünkre adatok. Két halandósági táblát ismerünk: egyet a teljes magyar férfi és egyet a teljes magyar n˝oi lakosságra vonatkozóan (a férfi halandósági táblát lásd a C függelékben). Ezek a táblázatok mutatják meg, hogy hányan halnak meg az adott sokaságból éppen x éves korukban. A halandósági táblában szerepl˝o adatok tipikus jelölései a következ˝ok: • l0 az alapsokaság, általában l0 = 100 ezer f˝o. Ez az érték demonstrálja a vizsgált népcsoport létszámát. • lx az x éves kort túlél˝ok száma, • dx = lx − lx+1 , vagyis az éppen x éves korban meghalók száma, • qx =

dx , lx

vagyis a halálozási valószín˝uség x éves korban,

• px = 1 − qx =

lx+1 , lx

vagyis a túlélési valószín˝uség x éves korban,

21

3. FEJEZET. AZ ÉLETBIZTOSÍTÁSRÓL

22

• t qx = lx −llxx+t , vagyis a t éven belül történ˝o elhalálozás valószín˝usége x éves korban, • t px =

lx+t , lx

vagyis t év túlélésének valószín˝usége x éves korban.

Amikor különböz˝o évekre vonatkozó adatokkal dolgozunk, akkor szükséges, hogy minden kiadást és bevételt azonos évre átszámítsunk, vagyis diszkontáljunk. A diszkonttényez˝ot a technikai kamatlábból számítjuk, amit i-vel jelölünk, vagyis a diszkont1 . Ezt felhasználva a halandósági tábla adataiból még további, ún. tényez˝o v = 1+i kommutációs számokat is képezünk, amik a díjak és tartalékok számításánál hasznosak lehetnek: • Dx = lx v x P • Nx = ωk=x Dk P • Sx = ωk=x Nk

• Cx = dx v x+1 P • Mx = ωk=x Ck P • Rx = ωk=x Mk

Ezekben a képletekben ω a végtelent, vagyis a magyar gyakorlatban a 100 évet jelöli – ennél tovább ugyanis nagyon kevesen élnek. (Ez az érték er˝osen ország specifikus: egy afrikai országban 100-nál jóval kisebb, Japánban vagy Svédországban viszont 100nál magasabb értéket használnak ω-nak.). A halálozási adatokat megfigyelve megpróbálhatunk valamilyen eloszlást illeszteni rá. Vagyis egy olyan F (t) = P (X < x + t|X ≥ x) eloszlásfüggvényt keresünk, amire megközelít˝oleg F (t) = t qx . További fontos adata a halálozási eloszlásoknak f (t) a halálozási intenzitás, amit µx+t = 1−F -ként definiálunk, ahol f (t) az F eloszlás (t) s˝ur˝uségfüggvénye. A történelem során számos különböz˝o függvényt készítettek ilyen célból, ezek közül a legismertebbek [3]: t , ahol ω • A legrégebbi halálozási eloszlás Moivre nevéhez f˝uz˝odik: F (t) = ω−x ismét gyakorlatilag a végtelent jelenti: olyan kor, amit már senki nem élhet meg. 1 A halálozási intenzitása µx+t = ω−(x+t) .

• Ennél jobban fedi a valóságot Gompertz eloszlásfüggvénye: F (t) = 1 − x t e−bc (c −1) , ahol B > 0 és c > 1. Ennek halálozási intenzitása µx+t = Bcx+t .


23 x

t

• Gompertz formuláját fejlesztette tovább Makeham: F (t) = 1 − e−at−bc (c −1) (itt a > 0, B > 0, c > 1). Ennek megfelel˝oen a halálozási intenzitás a következ˝o képpen módosult: µx+t = a + Bcx+t . Nézzük most meg konkrétan a leggyakoribb életbiztosítási típusokat, és az ezekhez tartozó nettó díjakat!

3.1. Klasszikus életbiztosítási konstrukciók Jelöljük a biztosítás megkötésekor a biztosított korát x-szel, n-nel pedig a biztosítás id˝otartamát (ha nem korlátlan idej˝u), mindkét adatot években mérjük. Minden díjat nettó várható érték elv alapján számítunk, vagyis éppen annyi díjat kérünk, hogy a beszedett díjak és a kifizetett szolgáltatás várható értéke megegyezzen.

3.1.1. Az elérési biztosítás Ebben a biztosítási formában a biztosított nem kap semmit, ha az n év alatt meghal, de 1 Ft-ot kap, ha túléli az n évet. Ha ennek teljes díját a biztosítás megkötésének 1 1 id˝opontjában fizeti ki, akkor a szükséges díj az az Ax:n| érték, amire éppen lx Ax:n| = n 1 lx+n v , hiszen lx ember fizeti be a díjat és lx+n fogja felvenni az 1 Ft-ot. Vagyis Ax:n| = Dx+n a kommutációs számokkal kifejezve. Dx

3.1.2. A haláleseti biztosítás Ez éppen fordítottja az elérési biztosításnak, vagyis 1 Ft-ot kap a kedvezményezett, ha a biztosított n éven belül meghal, ha viszont életben marad, akkor semmit nem fizet a biztosító. Ennek egyszeri díja A1x:n| , ahol lx A1x:n| = dx v + dx+1 v 2 + ...dx+n−1 v n , ezt x+n egyszer˝usítve az alábbi képlethez jutunk: A1x:n| = Mx −M . Ha a haláleseti biztosítást Dx x . élethosszig kötik, vagyis n = ω − x, akkor nettó egyszeri díja Ax = M Dx

3.1.3. A vegyes életbiztosítás Ez az el˝oz˝o két biztosítási típus keveréke: a kedvezményezett 1 Ft-ot kap, amikor a biztosított meghal, ha ez n éven belül megtörténik. Ha viszont a biztosított túléli az n évet, akkor a biztosító az n. év végén fizet ki 1 Ft-ot. Ennek nettó egyszeri díja x −Mx+n 1 Ax:n| = Ax:n| + A1x:n| = Dx+n +M Dx


24

3.1.4. A járadékbiztosítások Ennél a biztosítási típusnál a biztosított n évig minden év elején 1 Ft-ot kap, ha .. életben van. A nettó egyszeri díját ax:n -nel jelöljük, ennek értéke a nettó várható érték .. .. x+n elv szerint lx ax:n = lx + lx+1 v + ... + lx+n−1 v n−1, vagyis ax:n = Nx −N . Ennek Dx további változatai is gyakoriak. Az élethosszig tartó járadékbiztosításnál n = ω − x, .. Nx nettó egyszeri díja ax = D . x Szintén gyakori az az eset, amikor nem az év elején, hanem az év végén fizet a x+n−1 biztosító, ha akkor még él az ügyfél. Ennek nettó egyszeri díja ax:n = Nx+1 −N , ha Dx Nx+1 n évig, és ax = Dx , ha élethosszig tart. Ez persze – ahogy azt a képlet is mutatja – éppen az egy évvel elhalasztott el˝oleges járadék nettó egyszeri díja.

3.2. Díjszámítás A 3.1. fejezetben különböz˝o alapvet˝o életbiztosítás-típusok nettó egyszeri díját számítottuk ki. Ennek a díjnak az ismeretében ki lehet számítani a nettó éves, bruttó egyszeri és bruttó éves díjakat is.

3.2.1. Nettó éves díjak Bármelyik biztosítástípus esetében kiszámíthatjuk az egyszeri díjból az éves díj nagyságát is. Ugyanis a díjfizetés valójában egy id˝oleges életjáradékot jelent a biztosítónak. Tehát ha éppen k évig fizet az ügyfél díjat, és a nettó egyszeri díj Ax:n lenne, x:n kell hogy legyen, hogy a befizetett díjak akkor a nettó éves díj éppen Px:k = A..ax:k jelenértéke pontosan az egyszeri díjjal legyen azonos.

3.2.2. A bruttó díjak Bármelyik eddig ismertetett konstrukcióra ki tudjuk számolni a bruttó díj nagyságát is. Ez annyival magasabb a nettó díjnál, hogy a biztosító egyéb költségeit is fedezze. Ezek az egyéb költségek három kategóriába sorolhatók: α-költségek: ezek a szerzési költségek. Egyszer merülnek fel: a biztosítás megkötésekor. (pl. orvosi költségek, ügynöki jutalékok). β-költségek: ezek a díjbeszedési költségek. A díjfizetés során merülnek fel, és a bruttó díjjal arányosak (pl. csekkek, utalások költségei). γ-költségek: ezek az igazgatási költségek. A biztosítás tartama alatt folyamatosan merülnek fel (pl. alkalmazottak fizetése, rezsi).


25

Egyszeri díjfizetés Jelöljük α-val a szerzési költségek nagyságát, β-val a díjbeszedési költségek arányát a bruttó díjhoz képest és γ-val az igazgatási költségek éves nagyságát. A bruttó díjnak fedeznie kell a nettó díjat és mindhárom típusú egyéb költséget. Tehát egyszeri díjfizetés esetén: .. (b) (b) Ax:n| = Ax:n| + α + βAx:n| + γ ax:n (b)

ahol Ax:n| az n évre szóló biztosítás egyszeri nettó díja, Ax:n| az egyszeri bruttó díja. Éves díjfizetés Éves díjfizetés esetén, ha n évre szól a biztosítás és k évig van díjfizetés, Px:k az (b) éves nettó díj és Px:k az éves bruttó díj, akkor ..

(b)

..

..

(b)

..

ax:k Px:k = ax:k Px:k + α + β ax:k Px:k + γ ax:n Ezek alapján az egyszeri és az éves bruttó díj nagysága a nettó díjakból kifejezve: ..

(b) Ax:n|

és

Ax:n| + α + γ ax:n = 1−β ..

(b) Px:k

..

ax:k Px:k + α + γ ax:n = .. (1 − β) ax:k

Ezek alapján már lényegében bármilyen életbiztosítási konstrukció díjait ki tudjuk számolni. El˝oször felírjuk az egyszeri nettó díjat a szolgáltatás várható jelenértékeként, majd ebb˝ol tudunk éves nettó, egyszeri bruttó és éves bruttó díjat számítani.

3.3. Az életbiztosítási díjtartalék Miután az életbiztosítások díjszámításának elveit megismertük, nézzük most meg a dolgozat szempontjából lényegesebb részt, a tartalékokat [3]. A biztosítástechnikai tartalékok felsorolásánál szó esett a matematikai tartalékokról, ezek közé tartozik az életbiztosítási díjtartalék is. Az életbiztosítások körébe számtalan különböz˝o konstrukció tartozik, de az életbiztosítási díjtartalékot minden esetben azonos elvek alapján számítják. Az életbiztosítási díjtartalék feladata az, hogy a jöv˝obeli kiadásokat és bevételeket összhangba hozza. Vagyis éppen annyit kell tartalékolni ilyen célból, hogy a jöv˝obeli


26

kiadások és bevételek különbségének várható értéket, más néven a nettó kiadások várható értékét fedezze. Tehát ha a díjat nettó várható érték elvvel számítjuk, akkor a szerz˝odéskötés pillanatában az életbiztosítási díjtartalék értéke éppen nulla. Kés˝obb viszont a fizetési konstrukciótól függ˝oen változik. Ha például egy összegben, szerz˝odéskötéskor fizetik ki a teljes díjat, akkor egyb˝ol igen magas tartalékot kell képezni, hiszen a jöv˝oben bevétele már nem lesz a biztosítónak, kiadása viszont igen – csupán az a kérdés, hogy mikor. Ha viszont havonta fizeti az ügyfél a díjat, akkor ennél jóval alacsonyabb összeg˝u életbiztosítási díjtartalékot képez a biztosító, mert további bevételekre is számíthat. Akárcsak a díjaknál, most is tovább bonyolítja a helyzetet, ha a kiadások közé az adminisztratív költségeket, az orvosi költségeket, és más hasonló, nem a kockázatból adódó költségeket is figyelembe veszünk, vagyis bruttó tartalékot képzünk. Így a szerz˝odéskötés után egy rövid ideig negatív tartalék is elképzelhet˝o, mert a szerz˝odéskötéskor sok olyan költség merül fel, amit csak a jöv˝oben beszedésre kerül˝o díjak fedeznek.

3.3.1. Nettó díjtartalékok Nézzük most meg az eddig megismert alapesetekre a díjtartalék számítását. Egyel˝ore csak a kockázatot vesszük figyelembe, egyéb költségekkel nem számolunk, tehát nettó díjtartalékot számítunk. Jelöljük Ax:n -nel a nettó egyszeri és Px:k -val a nettó éves díjat, amit korábban már kiszámítottunk (a biztosítás n évre szól, az éves díjat k évig fizeti az ügyfél). t év elteltével szeretnénk meghatározni a szükséges nettó díjtartalék nagyságát. Jelöljük ezt t Vx:n -nel. Egyszeri díjfizetés Egyszeri díj esetén nagyon könny˝u a tartalék kiszámítása, hiszen díjfizetés már nem lesz, csak szolgáltatás: t Vx:n

= A(x+t):(n−t)

Éves díjfizetés Éves díj esetén attól függ a tartalék nagysága, hogy történik-e még díjfizetés, vagy nem. Vagyis ( .. A(x+t):(n−t) − a(x+t):(k−t) Px:k ha t ≤ k t Vx:n = A(x+t):(n−t) ha t > k


27

3.3.2. Bruttó díjtartalékok Az eddigiekhez képest most annyit változtatunk, hogy most már tekintettel vagyunk a nem a kockázatból ered˝o költségekre is, vagyis bruttó díjtartalékot számítunk. Ezeknek a költségek három csoportját ismerjük: α-, β- és γ-költségek. A β költségekkel a tartalékszámítás során nem kell foglalkoznunk, mert ezek éppen a díjfizetéskor válnak esedékessé, ezért nem szükséges rájuk tartalékot képezni. Egyszeri díjfizetés esetén ugyanez vonatkozik az α-költségekre is, mert ekkor egyben kifizetjük a díjat, ugyanakkor, mint amikor az α-költség keletkezik. Éves díjfizetéskor viszont a biztosító "megel˝olegezi" az α-költségeket a biztosítottnak, ezért α-val arányosan csökkenteni kell a bruttó tartalékot. Emiatt a bruttó díjtartalék akár negatívvá is válhat a biztosítás kezdeti szakaszában. Egyszeri díjfizetés Tehát egyszeri díjfizetés esetén a bruttó díjtartalék a nettó díjtartalékból és az igazgatási költségtartalékból áll, amit t Ux:n -nel jelölünk. Az igazgatási költség éppen γ nagyságú évente, a hátralev˝o n − t évben, vagyis t Ux:n

..

= γ a(x+t):(n−t)

(b)

tehát a bruttó díjtartalék, amit t Vx:n -vel jelölünk (b) t Vx:n

..

= A(x+t):(n−t) + γ a(x+t):(n−t)

Éves díjfizetés Éves díjfizetés esetén jóval bonyolultabb a bruttó díjtartalék képlete: .. .. a(x+t):(k−t) a(x+t):(k−t) .. .. (b) −α .. .. t Vx:n =t Vx:n + γ a(n+t):(n−t) − ax:n ax:k ax:k .. .. .. a .. Ebb˝ol a γ a(n+t):(n−t) − ax:n (x+t):(k−t) részt igazgatási költségtartaléknak, a ax:k

t Vx:n − α

.. a(x+t):(k−t) .. ax:k

részt Zillmer-tartaléknak hívjuk.

4. fejezet IBNR kontra életbiztosítási díjtartalék 4.1. Az IBNR és a díjtartalék számításának elvei Most, hogy a címben szerepl˝o mindkét tartaléktípust bemutattam, rátérek a kett˝o közötti kapcsolatra, a köztük lev˝o esetleges átfedésekre is. Érdemes tudni, hogy a nemzetközi gyakorlatban az a jellemz˝o, hogy életbiztosításokra nem számítanak IBNR tartalékot. Ez els˝o ránézésre azt a benyomást kelti, hogy nem lehet, nem szükséges, vagy nem érdemes az IBNR tartalékkal foglalkozni életbiztosítási esetekben. A magyar törvények azonban ezt kötelez˝ové teszik, tehát a gyakorlat kikényszeríti, hogy mégiscsak megvizsgáljuk a kérdést. Nézzük most meg matematikai szemszögb˝ol, hogy valójában mit számoltunk ki a kétféle tartalék esetében, és ezek alapján hogyan lehet kombinálni a kétféle modellt! Az életbiztosítási díjtartalék a jöv˝obeli kiadások és bevételek különbségének várható értéke. Ennek számításakor nem vagyunk tekintettel arra, hogy esetleg nem él már minden szerz˝odésünk, vagyis hogy a biztosítási esemény már bekövetkezhetett, csak mi még nem tudunk róla. Tehát ha kib˝ovítjük a modellünket a kés˝on bejelentett károk lehet˝oségével, akkor valójában az életbiztosítási díjtartalék egy feltételes várható érték: a jöv˝obeli nettó kiadások várható értéke, feltéve hogy nincsenek kés˝on bejelentett károk. Tehát V = E (Cjovo |Ckeso = 0) = E (Cjovo + Ckeso|Ckeso = 0), ahol Ckeso a kés˝on bejelentett károkból származó költségünk, Cjovo a még él˝o szerz˝odésekb˝ol a jöv˝oben bekövetkez˝o nettó költségünk, V pedig az életbiztosítási díjtartalék nagysága. Ezt a tartalékot úgy számítjuk ki, hogy a halandósági tábla (vagyis egy igen nagy minta) alapján megbecsüljük, ahogy azt a 3.3 fejezetben láthattuk. Ezzel szemben az IBNR tartalék éppen arra az eshet˝oségre szolgál, hogy kés˝on bejelentett károk márpedig léteznek. Ennek összege kizárólag a kés˝on bejelentett károkból származó nettó kiadások várható értéke. Vagyis IBNR = E (Ckeso), ahol IBNR az IBNR tartalék nagysága. Természetesen ezt is csak becsülni tudjuk a múltból származó adatok segítségével. Erre a becslésre számos különböz˝o módszert láthattunk a

28

4. FEJEZET. IBNR KONTRA ÉLETBIZTOSÍTÁSI DÍJTARTALÉK

29

2.1. fejezetben.

4.2. IBNR tartalék számítása életbiztosítási esetben, korábbi adatok alapján Az eddig megismert módszereket felhasználva kidolgoztam egy technikát arra, hogy hogyan lehet IBNR tartalékot számítani olyankor, ha életbiztosítási díjtartalékot már képeztünk! Ha egyszer˝uen összeadjuk az imént leírt módon számított IBNR és életbiztosítási díjtartalékot, akkor túltartalékoljuk magunkat. Azokra a szerz˝odésekre ugyanis, amiket késve jelentenek be megképezzük az IBNR tartalékot, de emellett – mintha még nem következett volna be a biztosítási esemény – megképezzük rá az életbiztosítási díjtartalékot is. Ez a módszer tehát egészen biztosan nem helyes.

4.2.1. El˝oször gyakorlati szemszögb˝ol El˝oször vizsgáljuk meg a helyzetet matematikai formulák nélkül, csak a kérdés gyakorlati oldalát vizsgálva! A biztosítók számvitelét megismerve felt˝unik, hogy a különböz˝o tartalékokat költségként számolják el, majd a tényleges kifizetéseket ezekb˝ol a tartalékokból fedezik. (Attól függ˝oen hogy milyen típusú a kifizetés, az annak megfelel˝o tartalékot használják erre.) Kövessük ezt a gondolatmenetet, és tekintsünk a már megképzett tartalékokra úgy, mint már meglev˝o kiadásokra! A díjtartalék számításán nem akarunk változtatni, inkább az IBNR tartalékot próbáljuk meg hozzáigazítani a megváltozott helyzethez. Ha a díjtartalékot már megképeztem, akkor a tényleges kifizetés id˝opontjában csak annyi a kiadásom, amivel a kedvezményezettnek kifizetett összeg a díjtartaléknál nagyobb. Ennek megfelel˝oen töltsük ki a kifutási háromszögeket úgy, hogy minden biztosítási eseményre a kifizetésnek a díjtartalékkal csökkentett értékét írjuk be! Ezekb˝ol a háromszögekb˝ol a 2.1. fejezetben ismertetett módon számítsunk tartalékot! Ha a modellünk helyes, ennek kell lennie az IBNR tartaléknak. Hogy ezt eldönthessük, nézzük most meg ugyanezt a kérdést a valószín˝uségszámítás eszközeivel!

4.2.2. Utána matematikailag A célunk az, hogy az IBNR és az életbiztosítási díjtartalék együtt fedezze a várható nettó kiadásainkat, függetlenül attól, hogy vannak-e kés˝oi károk. Induljunk ki abból, hogy a díjtartalékot a fent leírt módon számítjuk ki, és nézzük meg hogy mekkora kell hogy legyen az IBNR tartalék nagysága.Vagyis azt az IBNR∗ értéket keressük, amivel V + IBNR∗ = E (Cjovo + Ckeso), ha V = E (Cjovo + Ckeso|Ckeso = 0).


30

Az egyes szerz˝odéseket fels˝o indexszel jelölöm, a szerz˝odések száma legyen N. Ekkor tehát IBNR∗ = E (Cjovo + Ckeso) − E (Cjovo |Ckeso = 0) = 1 i N = E (Cjovo + Ckeso) − E Cjovo |Ckeso = 0 és ... és Ckeso = 0 és ... és Ckeso =0 =

=

N X i=1

N X i i i 1 i N E Cjovo + Ckeso − E Cjovo |Ckeso = 0 és ... és Ckeso = 0 és ... és Ckeso =0 = i=1

=

N X i=1

N X i i i i E Cjovo + Ckeso E Cjovo − |Ckeso =0 i=1

i Ckeso

Azért írhatom át a feltételeket is = 0-ra Ckeso = 0 helyett, mert egyrészt a kés˝oi károm csak úgy lehet 0, ha egyik szerz˝odésb˝ol sincs kés˝oi károm. Másrészt pedig a különböz˝o szerz˝odéseket egymástól függetlennek tekintem. Ez a valóságot igen jól közelíti. Folytassuk most innen a számítást!

∗

IBNR =

N X

E

i Cjovo

i=1

+

N X i=1

+E

i Ckeso

−E

i i Cjovo |Ckeso

=0

=

N X i=1

i E Ckeso +

i i i i i i E Cjovo |Ckeso 6= 0 P Ckeso 6= 0 − E Cjovo |Ckeso = 0 P Ckeso 6= 0

Ugyanis minden i-re

i i i i i i E(Cjovo ) − E(Cjovo |Ckeso = 0) = E(Cjovo |Ckeso 6= 0)P (Ckeso 6= 0)+ i i i i i +E(Cjovo |Ckeso = 0)P (Ckeso = 0) − E(Cjovo |Ckeso = 0) = i i i i i i = E(Cjovo |Ckeso 6= 0)P (Ckeso 6= 0) + E(Cjovo |Ckeso = 0) · (P (Ckeso = 0) − 1) = i i i i i i = E(Cjovo |Ckeso 6= 0)P (Ckeso 6= 0) − E(Cjovo |Ckeso = 0) · P (Ckeso 6= 0) i i Azonban E Cjovo |Ckeso 6= 0 = 0, hiszen amelyik biztosítási esemény már bekövetkezett arra a jöv˝oben már nem lesz költségünk, csak kés˝on bejelentett kárból származó költségként fog szerepelni. Ezt felhasználva

∗

IBNR =

N X i=1

i i i i E Ckeso − E Cjovo |Ckeso = 0 P Ckeso 6= 0

Ez már viszonylag könnyen kiszámítható, de kicsit átalakítva éppen olyan alakra is lehet hozni, mint milyen az eredeti IBNR tartalék képlete. Legyen V i =


31

i i E Cjovo |Ckeso = 0 az i. szerz˝odésre megképzett életbiztosítási díjtartalék, és vezessünk be egy új valószín˝uségi változót: ( i i Ckeso − V i ha Ckeso 6= 0 Xi = i 0 ha Ckeso =0 Ezt a változót használva IBNR∗ =

N X i=1

=

N X i=1

i i E Ckeso − V i P Ckeso 6= 0 =

i i i i i i E Ckeso |Ckeso = 0 P Ckeso = 0 + E Ckeso |Ckeso 6= 0 P Ckeso 6= 0 − −

N X

i

V P

i Ckeso

6= 0 =

i=1

+

N X i=1

=

N X

i=1

i 0 · P Ckeso =0 +

N X i i i i E Ckeso |Ckeso 6= 0 P Ckeso 6= 0 − V i P Ckeso 6= 0 =

N X i=1

i=1

E

i i Ckeso |Ckeso

6= 0 − V

i

P

i Ckeso

6= 0 =

N X i=1

E Xi

Így tehát szerz˝odésekre szétbontva sikerült az életbiztosítási IBNR tartalékot ahhoz hasonló formában felírni, mintPamilyenben a nem-életbiztosítási IBNR-t: IBNR = P N N i ∗ i i=1 E (Ckeso ) és IBNR = i=1 E (X ).

4.2.3. A gyakorlat és az elmélet összhangja

Ez a képlet valójában azt a modellt írja le, amit a 4.2.1. részben bemutattam. Értelmezzük úgy a biztosító költségeit, hogy a díjtartalék nagyságát már most ki kell fizetnie, a továbbiakban csak az ezen felüli rész számít költségnek. Ekkor a szükséges IBNR tartalék nagysága is csak a kés˝on bejelentett károk díjtartalékon felüli részéb˝ol áll, vagyis úgy kell képezni az IBNR tartalékot, hogy a kifutási háromszögben a kifizetett összegnél annyival kevesebbet írunk, amennyi a kés˝on bejelentett károk alapjául szolgáló szerz˝odésekre már megképzett díjtartalék. Ebb˝ol a kifutási háromszögb˝ol bármelyik megismert módszerrel kiszámolhatjuk az P i E (Ckeso )-t becsülIBNR tartalékot. Ha az eredeti módszerrel éppen IBNR = N i=1 P N i ∗ tük, akkor az új módszerrel pont IBNR = i=1 E (X )-et becsüljük. Ugyanis ( i i Ckeso ha Ckeso 6= 0 i Ckeso = i 0 ha Ckeso = 0

4. FEJEZET. IBNR KONTRA ÉLETBIZTOSÍTÁSI DÍJTARTALÉK és

( i Ckeso −Vi Xi = 0

32

i ha Ckeso 6 0 = i ha Ckeso = 0

Vagyis a V i -vel csökkentett értékekb˝ol éppen X i várható értékét kapjuk. Így tehát világosan látszik, hogy a matematikai levezetés ugyanarra az eredményre vezet, mint az a modell, amit csupán "józan paraszti ésszel" kitaláltunk.

4.3. És ha nincsenek adataink a múltból A fiatal ágazatok problémája nem csak a nemélet-biztosítási ágazatokban merül föl, hanem az életbiztosításban is. Itt is meg lehet próbálkozni a naiv kárhányad módszerrel, de a halálozási táblákat összevetve a kárbejelentések eloszlásával ennél pontosabb módszert is kidolgozhatunk. Életbiztosítások esetében azt tapasztaljuk, hogy a kárbejelentés gyakorlatilag mindig bekövetkezik 1 éven belül, de igen nagy valószín˝uséggel 1 hónapon belül is. Viszont annak a valószín˝usége, hogy 1-2 napon bejelentsenek egy esetet gyakorlatilag nulla. Ennek megfelel˝oen egy megfelel˝oen paraméterezett lognormális eloszlással próbáltam becsülni a kárbejelentések eloszlását. Mivel a kárbejelentések késésének ideje jellemz˝oen néhány nap, ezért a késéseket napokban mérem. Úgy állítottam be a paramétereket, hogy F (1) < 3%, F (30) > 90%, F (365) > 99, 9% és 7 < EX < 14 legyen. Ezek az értékek jól jellemzik a kárbejelentések késését˝ol elvárt eloszlást. Ezek alapján az X ∼ lognorm(2.0, 1.0) eloszlást választottam. Így F (1) = 2, 28%, F (30) = 91, 94%, F (365) = 99, 995% és EX = 12, 2 nap. A biztosítási események, tehát a halálesetek eloszlását is naponta kellene felírnunk ahhoz, hogy össze tudjuk vetni a kárbejelentések eloszlásával. Ezt az eloszlást azonban a halálozási táblákból ismerjük, ami viszont éves bontásban adja meg a halálozási valószín˝uséget: egy x éves ember halálozási valószín˝uségét qx -szel jelöljük, ez az érték szerepel a halálozási táblákban. Napi bontásban lineárisan közelítjük az elhalálozási qx valószín˝uséget: naponta 365 a valószín˝usége annak, hogy az x éves személy éppen aznap fog meghalni. Ezek alapján annak a valószín˝usége, hogy egy adott szerz˝odésre (amelyben a biztosított x éves) már bekövetkezett a biztosítási esemény, de még nem jelentették be: P (kés˝oi kár) =

+

qx qx P (min 1 nap késés) + P (min 2 nap késés)+ 365 365

qx qx qx qx P (min 3 nap késés) + ... = F (1) + F (2) + F (3) + ... 365 365 365 365


33

4.1. ábra. A lognorm(2.0, 1.0) eloszlás Tudjuk, hogy gyakorlatilag minden kárt bejelentenek 1 éven belül, ezért az ezutáni tagokat elhanyagolhatjuk, vagyis közelít˝oleg P (kés˝oi kár) ≈

qx qx qx qx F (1) + F (2) + F (3) + ... + F (365) = 365 365 365 365

qx qx qx (F (1) + F (2) + ... + F (365)) ≈ EX = 12, 2 365 365 365 ugyanis X ∼ lognorm(2.0, 1.0). Így tehát azt kaptuk, hogy nem is számít, hogy milyen eloszlású a kárbejelentések késése, az egyetlen lényeges információ a késés várható nagysága. Ezt más, hasonló szerz˝odésekb˝ol származó tapasztalattal jól lehet közelíteni. A késések eloszlása nem nagyon függ a konkrét szerz˝odéstípustól: ugyanakkor fogják bejelenteni a halálesetet függetlenül a szerz˝odés feltételeit˝ol. Tehát az EX értéket a korábbi életbiztosítási tapasztalatunkból becsülhetjük (most már mérjük X-et években, vagyis P (kés˝oi kár) = EX · qx ). Ezt az értéket be kell szorozni a biztosítási összeggel, így megkapjuk az IBNR kár várható nagyságát az adott szerz˝odésre. Ezt minden szerz˝odésünkre összegezve kaphatunk egy becslést a szükséges IBNR tartalék nagyságára: =

IBNR =

N X i=1

Biztosítási összegi · P (kés˝oi kári )


34

ha N biztosítottam van. Vagyis IBNR = EX

N X

Biztosítási összegi qi

i=1

ahol qi az i. biztosított tárgyévi elhalálozási valószín˝usége (ezt az illet˝o életkora határozza meg). Tehát IBNR = EX

N X

E(tárgyévi kifizetés i. biztosítottnak)

i=1

azaz IBNR = EX · E(tárgyévi szolgáltatásaim) Az adott évre várt szolgáltatások összesített értéke amúgy is rendelkezésre áll (az adott évi eredmény tervezéséhez is szükséges). Ezt megszorozva a bejelentések késésének várható értékével megkapjuk a szükséges IBNR tartalék nagyságát. Vagyis ez a módszer igen egyszer˝u megoldást biztosít az IBNR károk várható értékének meghatározására: csupán kevés, könnyen megszerezhet˝o adatra van szükségünk, és ezekkel is csak igen egyszer˝u számításokat kell végeznünk. Azonban ha már van kártapasztalatunk, a kifutási háromszögön alapuló módszerek sokkal pontosabb eredményt adnak.

5. fejezet Egy példa Ebben a fejezetben egy példán szeretném illusztrálni a módszerem gyakorlati alkalmazhatóságát. Egy olyan állományt vizsgáltam meg, amire a valóságban is egyben képezik az IBNR tartalékot.1 A különböz˝o módszerek eredményei a 5.1 ábrán látszanak. További részletek a D függelékben és a CD-mellékleten található .xls fájlban találhatók.

5.1. ábra. A különböz˝o módszerek eredményei A tartalékképzést 2001. december 31-ére végeztem el, így lehet˝oségem nyílt a különböz˝o becsléseket a tényleges értékkel is összevetni. Az állományt megvizsgálva ugyanis azt tapasztaltam, hogy 3 éven túli késések nem fordulnak el˝o, tehát a 2001. december 31-éig bekövetkezett károk mára igen nagy valószín˝uséggel kiderültek. Ezek alapján valódi értéknek a 2001. december 31-ig bekövetkezett és 2004. december 31ig bejelentett károk, illetve a 2001. december 31-ig bekövetkezett és bejelentett károk különbségét tekintettem. A kifutási háromszögeket negyedéves adatokból építettem fel, 1998. 3. negyedévét˝ol kezdve. Ezel˝ottr˝ol ugyanis nem ismertek a kárbejelentések id˝opontjai. Így tehát egy 14 × 14-es kifutási háromszöggel tudtam dolgozni. Ebben a fejezetben és a D függelékben szerepl˝o összes kifutási háromszög a díjtartalékkal csökkentett kárkifizetések összegét tartalmazza – a 4. fejezetben ismertetett módszeremnek megfelel˝oen. 1

Az adatok egy magyarországi biztosító állományából származnak

35

5. FEJEZET. EGY PÉLDA

36

Az 5.1. és az 5.2 ábrákon a sorokban négy f˝o IBNR-számítási technika, az oszlopokban pedig ezek különböz˝o változatai szerepelnek. A lánclétra és a szeparációs eljárást csak egy féle képpen lehet végezni, ezért ezek sorában csak 1 − 1 érték szerepel. A jéghegy és a láncszemhányados módszert viszont több féle képpen alkalmaztam: 1. Az átlag jelöli azt a módszert, amikor az egyes becslésekhez a felhasználható összes érték számtani átlagát veszem. 2. A pesszimista oszlopban olyan az értékek szerepelnek, amiknek kiszámítása során a felhasználható értékek minimumát (jéghegy módszernél), illetve maximumát (láncszemhányados módszernél) vettem, a pesszimista szemléletnek megfelel˝oen. 3. Végül a friss(4) és a friss(8) oszlopokban szerepl˝o értékeknél a 4, illetve 8 legfrissebb értékek számtani átlagát használtam. Ezeknek a módszereknek a részletes leírása a 2.1. fejezet megfelel˝o alfejezeteiben szerepel.

5.1. Az eredmények értékelése Legel˝oször nézzük meg a különböz˝o módszerekkel kiszámított tartalék eltérését a tényleges értékt˝ol! A 5.2. ábrán láthatóak a százalékos eltérések.

5.2. ábra. A különböz˝o módszerek százalékos hibái Jól látható, hogy a különböz˝o módszerek egészen eltér˝o eredményeket adnak. Els˝osorban a pesszimista becslések térnek el er˝osen pozitív irányba, a szeparációs módszerrel végzett számítás viszont éppen negatív irányba torzít. Emellett a különböz˝o átlagos értéket használó módszereket megnézve látszik az is, hogy csak a frissebb adatokat használva magasabb tartalékot kapunk eredményül.

5.1.1. A pesszimista becslések Ezek a becslések természetesen mindig valamennyire felfelé torzítanak, hiszen meg sem próbálják a várható értéket közelíteni. Most viszont nagyon er˝os +200% körüli


37

torzítást kaptunk. Ezt az magyarázza, hogy ha megnézzük a kifutási háromszögben szerepl˝o értékeket, akkor jól látható azok er˝oteljes szóródása. Ránézésre is látszik, hogy az egyes negyedévekben egészen más a késések aránya. Tehát akár jéghegy, akár láncszem módszert használok, olyan értékeknek kell valamilyen közepét számítanom (a α-val illetve β-val jelölt arányok a 2.1 fejezetb˝ol), amik nagyon er˝osen szórnak. Ennek megfelel˝oen a különböz˝o középértékek er˝osen eltérnek, illetve a minimum – átlag – maximum értékek különbsége is nagyon nagy lesz. Ez tehát megmagyarázza a pesszimista becslések er˝os pozitív torzítását.

5.1.2. A szeparációs módszer A pesszimista módszerekkel ellentétben a szeparációs módszer alkalmazásakor azt tapasztaltam, hogy negatív irányba torzít közel 50%-kal. Ez nagyon er˝os torzításnak számít, hiszen itt nem alsó korlátot akarunk adni a szükséges tartalékra (mint ahogy a pesszimista becslések fels˝o korlátot próbálnak adni a tartalékra), hanem az IBNR károk várható értékét becsüljük.

5.3. ábra. A szeparációs módszer Ha megnézzük a szeparációs módszer alkalmazása során kiszámolt µ és d értékeket, azt láthatjuk, hogy a d-k közül csak az els˝o három különbözik 0-tól. A µ értékek pedig jól láthatóan nem követnek semmilyen tendenciát, pedig a vizsgált id˝oszak árszínvonala az id˝onek enyhén csökken˝o mértékben növekv˝o függvénye (vagyis pozitív, de enyhén csökken˝o mérték˝u volt az infláció). Tehát a szeparációs módszer ebben az esetben nem alkalmazható. Az így kapott 8 millió forint körüli értéket tehát nem veszem figyelembe a tartalék meghatározásánál – különösen annak fényében, hogy a többi módszerrel ennél konzisztensen magasabb értéket kaptam.


38

5.1.3. A jéghegy és a láncszemhányados módszerek A jéghegy és a láncszemhányados módszerek közel azonos tartalékot adtak eredményül – ha azonos átlagszámítási eljárást alkalmaztam. A különböz˝o átlagszámítások eredményei azonban eléggé eltértek egymástól.

5.4. ábra. A jéghegy módszer α értékei

5.5. ábra. A láncszemhányados módszer β értékei Jól látszik, hogy minél inkább csak a friss adatokat használtam (az utolsó 8 illetve 4 negyedév adatait), annál magasabb tartalékot kaptam eredményül. Ezt az okozza, hogy éppen az utolsó el˝otti negyedévben (2001. 3. negyedév) szerepel egy kiugróan magas késésarány. A korábbi években az egy negyedévet kés˝o kárnagyság a nem kés˝o kárnagyságnak kb. 20 − 30%-a volt (2. oszlop : 1. oszlop), 2001. 3. negyedévében viszont több, mint 50%-ra jött ki. Ez pedig minél kevesebb értékb˝ol képezem az átlagot, annál nagyobb súllyal szerepel, vagyis egyre inkább növeli a tartalék értékét. Ahhoz, hogy eldönthessük, hogy ezt a magas késési arányt milyen mértékig vegyük figyelembe, azt kéne tudnunk, hogy egyedi esetr˝ol van szó, vagy pedig egy tendencia kezdetér˝ol. Mivel azonban ezt nem tudjuk, ezért kiszámítottam mindkét módszerrel, mindhárom fajta átlagolással (sima átlag, 4 illetve 8 legfrissebb adat átlaga), plusz még lánclétra módszerrel a tartalékot, és ennek a hét értéknek az átlagát tekintem megbízható eredménynek.

5.6. ábra. Az átlagos eredmény A szükséges értékkel összehasonlítva azt láthatjuk, hogy ez is kb. 7%-kal felül becsüli a tényleges értéket. A kés˝obbi adatokat megvizsgálva pedig azt sz˝urhetjük le, hogy ez a kiugróan magas késésarány tendenciává vált (az átlagos érték kb. 25%-ról 40% környékére n˝ott), azonban a 2001. 4. negyedévében bekövetkezett károk késési


39

aránya éppen viszonylag alacsony maradt. Így a kiugró érték figyelembevétele a szükségesnél magasabb tartalékot eredményezett, a kés˝obbiekben azonban ez szükségessé válik.

5.1.4. A lebonyolítási eredmények A tényleges értékkel való összehasonlítás mellett egy olyan mutatószámot is kiszámítottam a különböz˝o becslésekre, amit a gyakorlatban is alkalmaznak: ez az arányos lebonyolítási eredmény. Ezt a következ˝o módon számítják (t a tartalékképzés napja): lebonyolítási eredmény = megképzett tartalék a t id˝opontban − − egy éven belüli felhasználás a tartalékból t el˝otti károkra − − az egy év múlva megképzett tartalék t el˝otti károkra jutó része Ebb˝ol már egyszer˝uen származik az arányos lebonyolítási eredmény:

arányos lebonyolítási eredmény =

lebonyolítási eredmény megképzett tartalék a t id˝opontban

5.7. ábra. A különböz˝o módszerek arányos lebonyolítási eredménye Ez az érték 10% körül számít jónak, és jellemz˝oen inkább az pozitív érték a jobb. A különböz˝o módszerekkel kapott tartalék arányos lebonyolítási eredményeit a 5.7. táblázat foglalja össze. Tehát azt láthatjuk, hogy a sima átlag és a 8 legfrissebb adatból származó érték negatív, de a 10%-os nagyságrendbe belefér˝o arányos lebonyolítási eredményt adott. A pesszimista módszerekb˝ol – természetesen – nagy pozitív lebonyolítási eredmény származott és hasonlóan a 4 legfrissebb értékb˝ol számított tartalékok is 10%-ot jóval meghaladóan pozitív eredményt adtak. Azonban a 7 érték átlagából (a táblázatban szerepl˝ok, kivéve a pesszimistákat) 4, 7%-os arányos lebonyolítási eredményt kaptam, ami ismét azt mutatja, hogy jó választás volt a szóba jöhet˝o értékek átlagát választani.

A. Függelék 2003. évi LX. törvény a biztosítókról és a biztosítási tevékenységr˝ol A.1. A biztosítástechnikai tartalékok 117. § (1) A biztonságos üzletmenet érdekében a biztosítónak a mérleg fordulónapján fennálló, várható kötelezettségei teljesítésére, a károk ingadozására, valamint a várható biztosítási veszteségekre biztosítástechnikai tartalékokat kell képeznie. (2) Biztosítástechnikai tartaléknak min˝osülnek: a) a meg nem szolgált díjak tartaléka; b) a matematikai tartalékok, ezen belül: 1. az életbiztosítási díjtartalék, 2. a betegségbiztosítási díjtartalék, 3. a balesetbiztosítási járadéktartalék, 4. a felel˝osségbiztosítási járadéktartalék; c) a függ˝okár tartalékok, ezen belül: 1. a bekövetkezett és bejelentett károk tartaléka (tételes függ˝okár tartalék), 2. a bekövetkezett, de még be nem jelentett károk tartaléka (IBNR); d) az eredményt˝ol függ˝o díj-visszatérítési tartalék; e) az eredményt˝ol független díj-visszatérítési tartalék; f) a káringadozási tartalék; g) a nagy károk tartaléka; h) a törlési tartalék; i) a befektetési egységekhez kötött (unit-linked) életbiztosítások tartaléka; j) az egyéb biztosítástechnikai tartalékok.

40

A. FÜGGELÉK. BIZTOSÍTÁSI TÖRVÉNY

41

A.2. A biztosítástechnikai tartalékok képzése 118. § (1) A biztosítástechnikai tartalékot a biztosítónak olyan mértékben kell képeznie, hogy az a viszontbiztosításba nem adott kockázatokból származó kötelezettsége folyamatos és tartós teljesítésére - az ésszer˝uség és a biztosítási tevékenység tapasztalatai alapján - el˝oreláthatóan fedezetet nyújtson. Az életbiztosításokra - a tiszta kockázati életbiztosítások, illetve a haláleseti kockázatot is tartalmazó biztosítások kockázati részének kivételével - a biztosítástechnikai tartalékokat a viszontbiztosításba adott kockázatokra is meg kell képezni. (2) A nem életbiztosítási ág esetében a biztosítónak a bruttó biztosítástechnikai tartalékok legalább 2 százalékát meg kell képeznie, függetlenül a viszontbiztosításba adott kockázat arányától. (3) Hitel- és kezesi biztosítást végz˝o biztosítónak a 119. § (3) bekezdésében foglalt módon a kockázat terjedelmével arányosan külön tartalékot kell képeznie. (4) Együttbiztosítás esetén a biztosítástechnikai tartalékokat az együttbiztosításban részt vev˝ok kockázatvállalásukból ered˝o kötelezettségeiknek megfelel˝o mértékben képzik. 119. § (1) A biztosítástechnikai tartalékokat ágazatonként kell a mérleg fordulónapjával képezni. (2) A matematikai tartalék év végére várható értékének eszközfedezetét folyamatosan, de legalább negyedévenként az el˝ore látható kötelezettségeket figyelembe véve meg kell teremteni, és folyamatosan fenn kell tartani annak érdekében, hogy az év végére a szükséges tartalékkal azonos nagyságú, a befektetési el˝oírásoknak megfelel˝o eszközfedezet a biztosító rendelkezésére álljon. (3) A biztosítástechnikai tartalékok tartalmát, képzésének és felhasználásának rendjét a pénzügyminiszter rendeletben szabályozza. (4) A biztosító köteles az életbiztosítások esetében a biztosítástechnikai tartalékok képzésénél alkalmazott elvek és módszerek megismerését - az ügyfél kérésére - lehet˝ové tenni. 120. § Az e törvény hatálybalépését követ˝oen megkötött életbiztosítási szerz˝odések díjának - ésszer˝u aktuáriusi feltételezések mellett - elegend˝onek kell lenniük a biztosító valamennyi, e szerz˝odésekkel összefüggésben felmerül˝o kötelezettségének teljesítésére, illetve a megfelel˝o biztosítástechnikai tartalékok képzésére.

B. Függelék 8/2001. (II. 22.) PM rendelet a biztosítástechnikai tartalékok tartalmáról, képzésének és felhasználásának rendjér˝ol A biztosítóintézetekr˝ol és a biztosítási tevékenységr˝ol szóló - többször módosított 1995. évi XCVI. törvény (a továbbiakban: Tv.) 168. §-a (2) bekezdésének b) pontjában kapott felhatalmazás alapján a biztosítástechnikai tartalékok tartalmáról, képzésének és felhasználásának rendjér˝ol a következ˝oket rendelem el: 1. § (1) A biztosító ágazatonként köteles meghatározni a biztosítástechnikai tartalékok összegét a viszontbiztosítás figyelembevétele nélkül, a viszontbiztosításba adott kockázatokra jutó biztosítástechnikai tartalékok összegét és a biztosító által megképzett biztosítástechnikai tartalékok összegét. (2) A biztosító a biztosítástechnikai tartalékszükséglet számítási módját és a felhasznált adatokat köteles egyértelm˝uen dokumentálni. A biztosítástechnikai tartalékok képzési szabályait a biztosító által készített tartalékolási szabályzat tartalmazza. (3) A viszontbiztosításba adott kockázatrészek után a biztosítástechnikai tartalékokat - a (4) bekezdésben foglaltak kivételével - nem szabad megképezni. (4) A Tv. 75. §-ának (3) bekezdése alapján az életbiztosítások esetében - a tiszta kockázati életbiztosítások, illetve a haláleseti kockázatot is tartalmazó biztosítások kockázati részének kivételével - a biztosítástechnikai tartalékokat a viszontbiztosításba adott kockázatrészekre is meg kell képezni. A Tv. 75. §-ának (4) bekezdése alapján a nem-életbiztosítási ág esetében a biztosítástechnikai tartalékokat a viszontbiztosításba nem adott kockázatok mértékéig, de legalább 2%-ban kell megképezni. (5) A biztosítástechnikai tartalékoknak a tárgyévet követ˝o években a legfrissebb információk alapján történ˝o, nem visszamen˝oleges hatályú képzése min˝osül a biztosí-

42

B. FÜGGELÉK. PM RENDELET A BIZTOSÍTÁSI TARTALÉKOKRÓL

43

tástechnikai tartalékok helyesbítésének. (6) Ahol e rendelet a tartalék egyedi képzését írja el˝o, ott a megképzett tartalékot egyedi azonosításra alkalmas módon archiválni kell. 2. § (1) A Tv. 75. §-a (2) bekezdésének a) pontjában meghatározott meg nem szolgált díjak tartaléka a tárgyév, illetve az azt megel˝oz˝o évek folyamán el˝oírt díjakból képzett tartalék, amely a díjfizetés alapját képez˝o biztosítási szerz˝odésekb˝ol származó, tárgyévet követ˝o év(ek) kötelezettségeinek fedezetére szolgál. (2) A meg nem szolgált díjak tartalékát - a (3) és (4) bekezdés kivételével - a biztosító által m˝uvelt valamennyi ágazatra meg kell képezni. (3) A 60 napot meg nem haladó tartamú szerz˝odések díját - ha a díjat a biztosítási id˝oszak tartamának egészére egy összegben befizetik a szerz˝odés megkötésekor - a befizetés évében lehet elszámolni. Ebben az esetben a díjból nem kell meg nem szolgált díjak tartalékát képezni. (4) Élet- és betegségbiztosítások esetében a meg nem szolgált díjak tartalékát legfeljebb a tárgyév el˝oírt díjaiból lehet képezni. Azon szerz˝odések esetében, amelyekre a biztosító élet- vagy betegségbiztosítási díjtartalékot képez, a meg nem szolgált díjak tartalékát - a biztosító döntését˝ol függ˝oen - a matematikai tartalékon belül is képezheti. Ez esetben ezen szerz˝odések után meg nem szolgált díjak tartaléka nem képezhet˝o. (5) A meg nem szolgált díjak tartalékának megállapítása a díjel˝oírás elszámolásával egyidej˝uleg, de legkés˝obb a tárgyév mérleg fordulónapján, a tárgyévet és az azt követ˝o éve(ke)t megillet˝o díjrész különválasztásával történik. (6) A meg nem szolgált díjak tartalékát a tárgyév mérleg fordulónapjával - a (7) bekezdésben foglaltak kivételével - szerz˝odésenként egyedileg kell megállapítani és megképezni a következ˝oképpen: a) a díjel˝oírás összegét id˝oarányosan, illetve - indokolt esetben - a terméktervben foglaltak szerint kell megosztani a tárgyév és az azt követ˝o id˝oszakok között; b) viszontbiztosításnál ba) arányos viszontbiztosítási szerz˝odés esetén a közvetlen biztosító a teljes díjel˝oírást alapul véve elvégzi az a) pont szerinti díjmegosztást a tárgyév és az azt követ˝o id˝oszakok között, majd az így számított meg nem szolgált díjból a viszontbiztosítási hányad arányában határozza meg a biztosítóra és a viszontbiztosításra jutó meg nem szolgált díjak tartalékának összegét, bb) nem arányos viszontbiztosítási szerz˝odés esetén a biztosító a meg nem szolgált díjból a viszontbiztosítás sajátosságainak függvényében határozza meg a biztosítóra, illetve a viszontbiztosításra jutó meg nem szolgált díjak tartalékának összegét. (7) A meg nem szolgált díjak tartaléka közelít˝o módszerrel is megállapítható, ha az egyedi számítás az adott esetben nem, vagy csak aránytalanul nagy költséggel alkalmazható és a közelít˝o módszerrel számított tartalék az egyedileg számított tartalékot jól közelíti. A közelít˝o módszer alkalmazásánál figyelembe kell venni a szerz˝odések id˝otartamát és a díjfizetés gyakoriságát.


44

3. § (1) A matematikai tartalékok azokat a Tv. 75. §-a (2) bekezdésének b) pontjában felsorolt tartalékokat foglalják magukban, amelyeket a terméktervben rögzített biztosításmatematikai elvek és módszerek szerint kell meghatározni és képezni. (2) A matematikai tartalékokat a szerz˝odésb˝ol ered˝o jöv˝obeni kiadások és jöv˝obeni bevételek tartalékképzés id˝opontjára a technikai kamatlábak felhasználásával számított várható jelenértékeinek különbözeteként (prospektív módszer) kell meghatározni és képezni. A prospektív módszert˝ol eltér˝o egyéb módszer csak akkor alkalmazható, ha a prospektív módszerrel történ˝o meghatározás nem lehetséges, vagy alkalmazása az adott esetben aránytalanul nagy költséggel jár, és az egyéb módszerrel számított tartalékszükséglet jól közelíti a prospektív módszerrel meghatározott összeget. (3) A matematikai tartalékszükségletet a (2) bekezdésben foglaltakat alapul véve a terméktervben, illetve a terméktervvel nem rendelkez˝o egyedi szerz˝odés tartalékolási leírásában rögzített tartalékszámítási elvek és képletek szerint - a kollektív díjtartalékkal rendelkez˝o csoportos biztosítások kivételével - egyénenként kell kiszámítani, és a mérleg fordulónapján érvényben lév˝o szerz˝odésekre, valamint járadékjogosultakra vonatkozóan kell képezni. A képzés, illetve a képzés módosításának indokoltságát bizonylatokkal, számításokkal, illetve egyéb módon kell alátámasztani. (4) Az 1987. január 1-je el˝ott bevezetett és a mellékletben felsorolt életbiztosítási termékekre a matematikai tartalékot az e §-ban és a mellékletben foglaltak alapján kell képezni. (5) A viszontbiztosításba vett és az együttbiztosítással vállalt kockázat fedezetére szolgáló matematikai tartalékot a) az élet- és betegségbiztosításoknál a kockázatvállalásból ered˝o kötelezettségeknek megfelel˝o mértékben, b) más ágazatoknál az els˝odleges biztosítók által megadott tartalékszükséglet alapján kell kiszámítani és képezni. (6) A viszontbiztosításba adott állománynál a viszontbiztosítók részesedését a viszontbiztosítási szerz˝odések alapján kell számba venni. (7) A matematikai tartalék számításánál a biztosítási esemény kockázati tényez˝oin túl figyelembe kell venni: a) a garantált szolgáltatások, illetve kifizetések értékét (beleértve a garantált visszavásárlás értékét is), b) a garantált hozamokat, c) a kötvénytulajdonosok számára biztosított opciókat (beleértve a díjmentes leszállítás opcióját is), d) a szerz˝odéssel összefügg˝o, jöv˝obeni várható költségeket, valamint a folyamatos díjfizetés esetén a díjfizetés id˝otartamára megosztott szerzési költségeket, e) a tartalékok befektetésének várható hozamát. 4. § (1) A Tv. 75. § (2) bekezdése b) pontjának 1. alpontjában meghatározott


45

életbiztosítási díjtartalék az életbiztosítási szerz˝odésekb˝ol ered˝o - és más biztosítástechnikai tartalékokkal nem fedezett - kötelezettségek fedezetére szolgál. (2) A szerz˝odés életbiztosítási díjtartalékát a szerz˝odés összes kockázatára együttesen és kockázati részekre bontottan is meg lehet képezni. (3) Az életbiztosítási szerz˝odés megkötésekor a biztosító köteles egyértelm˝uen meghatározni a szerz˝odés teljes tartamára az életbiztosítási díjtartalék és annak esetleges megbontása számítási módját és paramétereit. A szerz˝odés tartama alatt a díjtartalék számítási módja és paraméterei legfeljebb akkor változtathatók, ha ezáltal a szerz˝od˝o (biztosított, kedvezményezett) nem kerülhet hátrányosabb helyzetbe. (4) Az életbiztosítási tartalék képzésénél egyértelm˝uen rögzíteni kell, hogy a képzésnél milyen módon vették figyelembe a felmerül˝o szerzési költségeket. 5. § (1) A Tv. 75. § (2) bekezdése b) pontjának 2. alpontjában meghatározott betegségbiztosítási díjtartalék a betegségbiztosítási szerz˝odésekb˝ol ered˝o - és más biztosítástechnikai tartalékokkal nem fedezett - kötelezettségek fedezetére szolgál. (2) A szerz˝odés betegségbiztosítási díjtartalékát a szerz˝odés összes kockázatára együttesen és kockázati részekre bontottan is meg lehet képezni. (3) A betegségbiztosítási szerz˝odés megkötésekor a biztosító köteles egyértelm˝uen meghatározni a szerz˝odés teljes tartamára a betegségbiztosítási díjtartalék és esetleges megbontása számítási módját és paramétereit. A szerz˝odés tartama alatt a díjtartalék számítási módja és paraméterei legfeljebb akkor változtathatók, ha ezáltal a szerz˝od˝o (biztosított, kedvezményezett) semmilyen esetben sem kerülhet hátrányosabb helyzetbe. 6. § (1) A Tv. 75. § (2) bekezdése b) pontjának 3. alpontjában meghatározott baleset-biztosítási járadéktartalék a járadékfizetési kötelezettséget is tartalmazó baleset-biztosításoknál a biztosítási esemény miatt fellép˝o járadékfizetési kötelezettség és az azzal kapcsolatos költségek fedezetére szolgál. (2) A tartalékszükségletet úgy kell megállapítani, hogy a tartalék a befektetéséb˝ol származó hozamával együtt várhatóan fedezze a járadékkifizetéseket és az ahhoz kapcsolódó költségeket. (3) A baleset-biztosítási járadéktartalékot a megállapított járadékok és a várható - járadékkifizetéssel kapcsolatos - költségek alapján járadékosonként egyedileg kell meghatározni, és a megállapítást követ˝o legközelebbi mérleg fordulónapon kell megképezni. Ha a károsult, illetve biztosított több jogcímen is jogosult járadékra, és a mérleg fordulónapján még nem minden járadékfajta került véglegesen megállapításra, akkor a még meg nem állapított járadékjogcímekre továbbra is függ˝okár tartalékot kell képezni. 7. § (1) A Tv. 75. § (2) bekezdése b) pontjának 4. alpontjában meghatározott felel˝osségbiztosítási járadéktartalék a felel˝osségbiztosításból ered˝o járadékfizetési kötelezettségek és az azzal kapcsolatos költségek fedezetére szolgál. (2) A tartalékszükségletet úgy kell megállapítani, hogy a tartalék a befektetéséb˝ol származó hozamával együtt várhatóan fedezze a járadékkifizetéseket és az ahhoz kap-


46

csolódó költségeket. (3) A felel˝osségbiztosítási járadéktartalékot a megállapított járadékok és a várható - járadékkifizetéssel kapcsolatos - költségek alapján járadékosonként egyedileg kell meghatározni, és a megállapítást követ˝o legközelebbi mérleg fordulónapon kell megképezni. Ha a károsult, illetve biztosított több jogcímen is jogosult járadékra és a mérleg fordulónapján még nem minden járadékfajta került véglegesen megállapításra, akkor a még meg nem állapított járadékjogcímekre továbbra is függ˝okár tartalékot kell képezni. 8. § (1) A Tv. 75. § (2) bekezdése c) pontjának 1. alpontjában meghatározott bekövetkezett és bejelentett károk tartaléka (tételes függ˝okár tartalék) a mérleg fordulónapjáig bekövetkezett és bejelentett, de még nem vagy csak részben rendezett károk, biztosítási események miatti kifizetések és ezek költségeinek fedezetére szolgál. (2) A tételes függ˝okár tartalékot a mérleg fordulónapján a tárgyévben bekövetkezett káreseményekre úgy kell megállapítani és képezni, hogy az szerz˝odésenként, egyedileg fedezetet nyújtson a várhatóan felmerül˝o kárkifizetési ráfordításokra, valamint (ha az adott biztosítási ágazatban a biztosító járadékfizetésre kötelezett) a még meg nem állapított, fizetend˝o járadékokra, továbbá a (4) bekezdés szerint megállapított kárrendezési költségekre és a járadékok folyósításával kapcsolatban várhatóan felmerül˝o igazgatási költségekre. (3) A tárgyévet megel˝oz˝o években megállapított tételes függ˝okár fedezetére szolgáló tartalékszükségletet a tárgyévi mérleg fordulónapján - a befolyásoló tényez˝ok alakulását figyelembe véve - egyedileg felül kell vizsgálni, és az egyedi függ˝okár tartalékok összegét az értékeléssel megállapított tartalékszükséglet összegére kell helyesbíteni. A képzés indokoltságát bizonylatokkal, számításokkal, illetve egyéb módon kell alátámasztani. A tételes függ˝okár tartalékokat a bekövetkezés és a bejelentés éve szerint is nyilván kell tartani. (4) A (2) bekezdés szerinti kárrendezési és igazgatási költségek fedezetére a függ˝okár tartalékon belül képzett összeg megállapításakor a tárgyévben felmerült kárrendezési költségeknek a kárkifizetéshez viszonyított arányát, az igazgatási költségek megállapításánál pedig a tárgyévben a járadékfizetéssel kapcsolatban felmerült igazgatási költségeknek a járadékfizetésekhez viszonyított arányát kell alkalmazni. Az arányoktól való eltérést külön indokolni kell. (5) A tárgyévet megel˝oz˝o években bekövetkezett, a bekövetkezés évében be nem jelentett, de a tárgyév mérleg fordulónapjáig bejelentett káresemények (kés˝oi károk) ismertté válásakor a tételes függ˝okár tartalékon belül - a bekövetkezés éve szerinti részletezésben - elkülönítetten kell nyilvántartani az azok fedezetére szolgáló, a (2) bekezdés szerint meghatározott függ˝okár tartalékot. (6) A tételes függ˝okár tartalékszükséglet összegének meghatározásánál csökkent˝o tényez˝oként kell figyelembe venni a szerz˝odésenként (káreseményenként) nagy valószín˝uséggel érvényesíthet˝o visszkereset vagy kármegosztás várható összegét. (7) Az el˝oreláthatólag járadékfizetéssel járó káreseményeknél egyedileg kell be-


47

csülni a járadék és az ehhez kapcsolódó költségek várható t˝okeértékét, amely a járadék megállapításáig a tételes függ˝okár tartalékban marad. Az adott szerz˝odéshez (káreseményhez) kapcsolódó járadék összegének megállapítását követ˝o mérleg fordulónapokon e szerz˝odés (káresemény) vonatkozásában csak az esetlegesen várható járadéknövekedésekre és az egyéb várható, nem járadék jelleg˝u kárkifizetésekre, valamint ezek költségeire lehet tételes függ˝okár tartalékot képezni. 9. § (1) A Tv. 75. § (2) bekezdése c) pontjának 2. alpontjában meghatározott bekövetkezett, de még be nem jelentett károk tartaléka (a továbbiakban: IBNR tartalék) a mérleg fordulónapjáig bekövetkezett vagy okozott, de még be nem jelentett kés˝oi károk, biztosítási események miatti kifizetések és azok várható költségének fedezetére szolgál. (2) Az IBNR tartalékot a tárgyév mérleg fordulónapján a következ˝oképpen kell meghatározni és képezni (a meghatározás és képzés módszere attól függ, hogy mióta m˝uveli a biztosító az adott biztosításokat): a) olyan új termék vagy egyedi szerz˝odés esetében, amelyet a biztosító még nem m˝uvel három éve, és amelyre az ágazat többi biztosításától elkülönítetten kíván IBNR tartalékot képezni, azt a tárgyévben a termék tárgyévi megszolgált díjának maximum 6%-ának erejéig teheti. Magas káralakulású vagy er˝oteljesen fejl˝od˝o állomány esetén a biztosító ett˝ol magasabb mérték˝u IBNR tartalékot is képezhet. Ennek indokoltságát számításokkal kell alátámasztani; b) az a) ponthoz nem tartozó szerz˝odések káraira az IBNR tartalék szükségletet az elmúlt évek tapasztalati adataira építve olyan statisztikai módszerrel kell megállapítani, melynél a károk kifutási háromszögeinek adatait fel kell használni. (3) A konkrét kés˝oi károk ismertté válásakor a káreseményre tételes függ˝okár tartalékot kell képezni. Az ilyen káreseményeket a tételes függ˝okár tartalékon belül elkülönítetten kell nyilvántartani. (4) A tárgyév mérleg fordulónapján az IBNR tartalékot a tárgyév mérleg fordulónapjával a szükséges szintre kell módosítani. (5) A biztosítónak gy˝ujtenie kell a károk bekövetkezésének, okozásának, illetve bejelentésének id˝opontjait, valamint ezen túlmen˝oen külön kell gy˝ujtenie az egyes évekre vonatkozóan a mérleg fordulónapjáig bekövetkezett, de be nem jelentett kés˝oi károk statisztikáit. 10. § (1) A Tv. 75. §-a (2) bekezdésének d) pontjában meghatározott eredményt˝ol függ˝o díjvisszatérítési tartalék a biztosítási feltételek alapján a biztosítottat (szerz˝od˝ot, kedvezményezettet) a biztosító tárgyévi, illetve a tárgyévet megel˝oz˝o évei eredményéb˝ol megillet˝o díjvisszatérítés fedezetére szolgál. A visszajuttatás módját (visszafizetés, díjjóváírás, többletszolgáltatás) a biztosítási szerz˝odési feltételek határozzák meg. Biztosító egyesület esetében ezt meghatározhatja az egyesület alapszabálya is. (2) A Tv. 62. §-ának (2) bekezdésében és 165. §-ban foglaltak szerint az életbiztosítási ágban a matematikai tartalékok hozamából a biztosítottaknak visszajuttatandó,


48

de ki nem fizetett, vagy még oda nem ígért (meghirdetett) részt a tárgyév mérleg fordulónapján az eredményt˝ol függ˝o díjvisszatérítési tartalékba kell helyezni. Az eredményt˝ol függ˝o díjvisszatérítési tartalékba helyezés önmagában nem min˝osül a többlethozam visszajuttatásának. (3) A fel nem használt eredményt˝ol függ˝o díjvisszatérítési tartalékot nem lehet felszabadítani, annak összege mindaddig a tartalékban marad, amíg a biztosítottaknak (szerz˝od˝oknek, kedvezményezetteknek) véglegesen vissza nem juttatják. 11. § (1) A Tv. 75. §-a (2) bekezdésének e) pontjában meghatározott eredményt˝ol független díjvisszatérítési tartalék a biztosítási feltételek szerint - így különösen kármentesség, alacsony káralakulás miatt - a biztosítottnak (szerz˝od˝onek, kedvezményezettnek) történ˝o díjvisszatérítés fedezetére szolgál. (2) Az eredményt˝ol független díjvisszatérítési tartalék meghatározásának szabályait a biztosítási feltételekkel összhangban a termékterv tartalmazza. (3) Az eredményt˝ol független díjvisszatérítési tartalékot a tárgyév mérleg fordulónapján az érvényben lev˝o szerz˝odések alapján kell megképezni. Ha valamely szerz˝odésnél a mérleg fordulónapján a díjvisszatérítés feltételei fennállnak, abban az esetben tartalékként a várható éves díjvisszatérítési összeg id˝oarányos részét kell megképezni. (4) Ha a biztosítási szerz˝odés a többéves kármentesség esetére növekv˝o mérték˝u díjvisszatérítést tartalmaz, akkor a díjvisszatérítési tartalék megállapításánál azt is figyelembe kell venni, hogy az ügyfél kedvez˝o káralakulás esetén magasabb díjvisszatérítésre tart igényt. (5) A tárgyévben képzett eredményt˝ol független díjvisszatérítési tartalékot a díjcsökkentés, díjvisszatérítés vagy többletszolgáltatás formájában történ˝o visszajuttatáskor fel kell használni, a tartalék fennmaradó részét pedig legkés˝obb a tárgyévet követ˝o év mérleg fordulónapján a szükséges szintre kell módosítani. 12. § (1) A Tv. 75. §-a (2) bekezdésének f) pontjában meghatározott káringadozási tartalék egy-egy ágazat évenkénti kárkifizetéseinek kiegyenlítésére szolgál. (2) A káringadozási tartalékot akkor lehet feltölteni, ha az ágazat elkülönített eredményelszámolásában a - káringadozási tartalék figyelembevétele nélkül megállapított biztosítástechnikai eredmény pozitív el˝ojel˝u és a tartalék szintje nem haladja meg a (4) bekezdésben el˝oírt maximális szintet. (3) A tartalékot évente a tárgyév mérleg fordulónapján az adott ágazat díjel˝oírása és az adott ágazatra felmerült ráfordítások különbözetének a) mez˝ogazdasági elemi károkra kötött biztosítások és a hitelbiztosítások esetében 100%-áig, b) egyéb biztosításoknál 40%-áig lehet feltölteni. (4) A káringadozási tartalék maximális szintje a mez˝ogazdasági elemi károkra kötött biztosítások és a hitelbiztosítások esetén a tárgyévi díjel˝oírás 100%-a, a többi ágazatban a tárgyévi díjel˝oírás 40%-a. A tartalékképzés mértékét úgy kell meghatározni,


49

hogy a tartalék állománya ne haladja meg az el˝oírt maximális szintet. (5) A káringadozási tartalékot a tárgyévben a mérleg fordulónapján kell felhasználni, ha az adott ágazat biztosítástechnikai eredménye negatív el˝ojel˝u. A felhasználás mértéke a biztosítástechnikai veszteség mértéke, de legfeljebb a káringadozási tartalék összege. (6) Az ágazat m˝uveléséb˝ol adódó kötelezettség megsz˝unésekor a tartalékot fel kell szabadítani. (7) A biztosító köteles a károk alakulásáról szóló statisztikát 15 évig meg˝orizni. 13. § (1) A Tv. 75. §-a (2) bekezdésének g) pontjában meghatározott nagykárok tartalékát azon kockázatokra lehet képezni, amelyek esetében a lehetséges legnagyobb kár saját megtartású része meghaladja a külön rendeletben meghatározott nagykárok határértékét. (2) A kockázatokat a nagy károk tartalékának képzésénél a következ˝o csoportok egyikébe kell sorolni: a) a nagy értékek koncentrációja (pl. atomer˝om˝u, környezetszennyezési károk); b) a kockázat különleges jellege, valamint új, eddig ismeretlen kockázatvállalás (pl. vegyi és gyógyszerfelel˝osség, új, eddig ismeretlen technológiai ág biztosítása); c) szakmai felel˝osségbiztosítási kockázatok (pl. orvosi, ügyvédi, építészeti); d) károk halmozódása (pl. földrengéskár, járványok); e) egyéb. (3) A nagykárok tartalékát ágazatonként és ezen belül a (2) bekezdés a)-e) pontjaiban foglalt kategóriák szerinti kockázatonként elkülönítetten kell megképezni és felhasználni. (4) A (2) bekezdés a) és b) pontjához tartozó kockázatok - saját megtartású részének - tárgyévi összesített éves díjel˝oírása és tárgyévi káreseményeihez kapcsolódó összesített ráfordításai és költségei (így különösen a kárkifizetési ráfordítás, a nagy károk tartalékának figyelembevétele nélkül megállapított tartalékráfordítások, kárrendezési költség) pozitív különbségével kell a nagy károk tartalékát feltölteni, ha a tartalék szintje nem haladja meg ezen kockázatok - saját megtartású része - tárgyévi éves díjbevételének tízszeresét. (5) A (2) bekezdés a) és b) pontjához tartozó kockázatokra képzett nagy károk tartalékának maximális szintje ezen kockázatok - saját megtartású része - tárgyévi éves díjbevételének tízszerese. (6) A (2) bekezdés c) pontjába tartozó kockázatok nagy károk tartalékát a mérleg fordulónapján a biztosítónak saját döntését˝ol függ˝o mértékben úgy kell megképeznie, hogy a tartalék állományának szintje ezen biztosításokra a kockázatban állás id˝otartama alatt fizetett saját megtartású díjrészeinek 90%-át ne haladja meg. (7) A (2) bekezdés d) és e) pontjaihoz tartozó kockázatok nagy károk tartalékát legfeljebb ezen kockázatok - saját megtartású részének - tárgyévi összesített éves díjel˝oírása és tárgyévi káreseményeihez kapcsolódó összesített ráfordításai és költségei


50

(így különösen a kárkifizetési ráfordítás, a nagy károk tartalékának figyelembevétele nélkül megállapított tartalékráfordítások, kárrendezési költség) pozitív különbségével lehet feltölteni, ha a tartalék szintje nem haladja ezen kockázatok - saját megtartású része - tárgyévi éves díjbevételének tízszeresét. (8) A (2) bekezdés a)-e) pontjaihoz tartozó kockázatok nagykárok tartalékát a bekövetkezett káresemény miatt felmerült ráfordítások és költségek összegében, azok felmerülésekor - legfeljebb a tartalék összegének erejéig - kell felhasználni. (9) Ha a biztosító e rendelet hatálybalépése el˝ott egyes kockázataira nagykárok tartalékát képzett - és ezekre a hatálybalépés után már nem képezhet ilyen tartalékot -, akkor köteles azt az els˝o mérleg fordulónapon felszabadítani. 14. § (1) A Tv. 75. §-a (2) bekezdésének h) pontjában meghatározott törlési tartalék a biztosítónak a befolyt díjbevételeib˝ol a kockázat megsz˝unése, mérséklése, illetve átmeneti szüneteltetése miatti jogos díjvisszatérítéseknek, valamint az el˝oírt díjkövetelések fenti okokból helyesbítend˝o összegének és az el˝oírt díjkövetelések díjnemfizetés miatt várhatóan törlésre kerül˝o részének fedezetére szolgál. (2) A törlési tartalékot a tárgyév mérleg fordulónapjával kell megképezni. A törlési tartalék szükséglet megállapításakor figyelembe kell venni a megel˝oz˝o években az (1) bekezdésben meghatározott okok miatt visszatérített díjbevételek, a csökkentett, illetve törölt díjel˝oírások, valamint a tárgyévi mérleg fordulónapján fennálló hátralékos díjkövetelések várhatóan törlésre kerül˝o részének együttes összegét. (3) A tárgyévet megel˝oz˝o évben képzett törlési tartalékot a tárgyévi mérleg fordulónapján teljes összegében fel kell használni. 15. § (1) A Tv. 75. §-a (2) bekezdésének i) pontjában meghatározott befektetési egységekhez kötött (unit-linked) életbiztosítások tartaléka az eszközalap(ok) szerz˝od˝ok számára kimutatott nettó eszközértékének a vonatkozó biztosítási terméktervben meghatározott, a felmerül˝o költségek fedezetére elvont eszközökkel csökkentett része. (2) Az eszközalapban lév˝o befektetési eszközök értékelésének irányadó szabálya, hogy a befektetési eszközt azon a piacon kialakult piaci záróáron kell értékelni, melyen az adott befektetési eszköz forgalmának legnagyobb része megvalósul. Az eszközalap nettó eszközértékét a portfólióban lév˝o eszközök lehet˝o legfrissebb árfolyaminformációkat tükröz˝o értékének alapulvételével kell kiszámítani. Ha az eszköz ritka kereskedése miatt (pl. ingatlan) annak piaci értékér˝ol friss információ nem áll rendelkezésre, akkor az értéket könyvvizsgáló becslése alapján kell megállapítani. (3) A befektetési egységekhez kötött (unit-linked) életbiztosítások tartalékán belül a különböz˝o eszközalapokhoz tartozó tartalékokat egymástól és a matematikai tartalékoktól elkülönítetten kell kezelni és nyilvántartani. 16. § (1) A várható veszteségek tartaléka - mely a Tv. 75. §-a (2) bekezdésének j) pontjában meghatározott egyéb biztosítástechnikai tartalék egyik elkülönített fajtája - az egy vagy több biztosítási termék saját vagy viszontbiztosításba vett m˝uvelése során az olyan nagy valószín˝uséggel bekövetkez˝o, jöv˝obeni veszteség fedezetére szolgál,


51

amelyet a fennálló szerz˝odési kötelezettségek miatt nem, vagy csak a kés˝obbi id˝oszakban lehet megszüntetni. (2) A várható veszteség nagyságrendjét a termékek díjkalkulációját is figyelembe véve olyan kalkulációval kell megállapítani, amely a) az adott biztosítási termék m˝uvelésének legalább 2 évi adatai alapján készített elkülönített eredményelszámolást, és b) az adott szerz˝odések érvényességéig várható kár- és költségráfordításait veszi alapul. (3) A tartalékot évente a mérleg fordulónapján, a mérlegkészítés id˝opontjáig rendelkezésre álló információkat figyelembe véve, más biztosítástechnikai tartalékokban rendelkezésre álló fedezet beszámításával kell megállapítani. A tartalékszükséglet az e fedezetet meghaladó várható veszteségek összegével egyenl˝o. (4) A várható veszteség kiszámításánál nem szabad figyelembe venni az érdekmúlás vagy egyéb okok miatt megsz˝un˝o szerz˝odések hatásait, amelyekre törlési tartalékot képeztek. (5) A tartalék megállapításánál alkalmazott feltételeket és módszertant - a díjel˝oírást, a meg nem szolgált díjak tartalékát, a kárkifizetések (kárgyakoriság, átlagkár) alakulását, a függ˝okár tartalék, a káringadozási tartalék és a nagykárok tartalékának nagyságát, a költségtényez˝oket, a passzív viszontbiztosítás hatását és a termék tárgyévi eredményelszámolását - az éves beszámoló üzleti jelentésében be kell mutatni. (6) A tárgyévet megel˝oz˝o évben képzett várható veszteségek tartalékát a tárgyév mérleg fordulónapjával a szükséges szintre kell módosítani. 17. § (1) A Tv. 75. §-a (5) bekezdésének megfelel˝oen a hitel- és kezesi biztosítást végz˝o biztosító képezhet hitel- és kezesi biztosítások külön tartalékát a Tv. 75. §-a (2) bekezdésének j) pontjában meghatározott egyéb biztosítástechnikai tartalék egyik elkülönített fajtájaként. (2) A hitel- és kezesi biztosítások külön tartalékának feltöltése legfeljebb a hitelés kezesi biztosítások tárgyévi saját megtartású díjbevételének 40%-ával történhet. Az így megképzett tartalék nem haladhatja meg ezen biztosítások tárgyévi díjel˝oírásának ötszörösét. (3) A hitel- és kezesi biztosítások tartalékát a tárgyévben a mérleg fordulónapján lehet felhasználni, ha az adott ágazat biztosítástechnikai eredménye negatív el˝ojel˝u. A felhasználás mértéke a biztosítástechnikai veszteség, de legfeljebb a tartalék mértéke lehet. (4) A hitel- és kezesi biztosítások m˝uveléséb˝ol adódó kötelezettség megsz˝unésekor a tartalékot fel kell szabadítani. 18. § (1) Ez a rendelet a kihirdetését követ˝o 8. napon lép hatályba azzal, hogy a 2000. évre vonatkozó tartalékképzést a korábban hatályos jogszabályok szerint kell elvégezni. (2) A biztosító 2001. december 31-ig köteles elkészíteni a biztosító tartalékolási


52

szabályzatát. (3) E rendelet hatálybalépésével egyidej˝uleg hatályát veszti a biztosítástechnikai tartalékok képzésér˝ol és felhasználásáról szóló 12/1996. (IV. 24.) PM rendelet.

C. Függelék Magyarország férfi népességének halandósági táblája a 2002. évre Életkor

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Százezer élveszülöttb˝ol a jelzett életkort elérte lx 100000 99271 99215 99178 99143 99111 99088 99069 99050 99031 99011 98991 98970 98947 98919 98878 98842 98798 98743 98678 98601 98517 98428 98337 98244 98149 98052 97950 97844 97734 97617

Százezer élveszülöttb˝ol meghalt a jelzett életkorban dx 729 56 36 35 32 23 19 19 19 20 20 21 23 28 41 36 44 55 66 76 84 89 91 93 95 98 102 106 110 117 127

Elhalálozási valószín˝uség

Továbbélési valószín˝uség

Stacioner népesség

Leélend˝o évek száma

Várható élettartam években

Várható elhalálozási életkor

qx 0,00729 0,00057 0,00037 0,00035 0,00033 0,00023 0,00019 0,00019 0,00020 0,00020 0,00020 0,00021 0,00023 0,00029 0,00042 0,00036 0,00045 0,00055 0,00067 0,00077 0,00085 0,00090 0,00093 0,00094 0,00096 0,00100 0,00104 0,00108 0,00113 0,00120 0,00130

px 0,99271 0,99943 0,99963 0,99965 0,99967 0,99977 0,99981 0,99981 0,99980 0,99980 0,99980 0,99979 0,99977 0,99971 0,99958 0,99964 0,99955 0,99945 0,99933 0,99923 0,99915 0,99910 0,99907 0,99906 0,99904 0,99900 0,99896 0,99892 0,99887 0,99880 0,99870

Lx 99453 99243 99196 99161 99127 99100 99079 99060 99041 99021 99001 98980 98959 98933 98898 98860 98820 98771 98710 98639 98559 98473 98383 98291 98197 98101 98001 97897 97789 97676 97554

Tx

e◦x 68,26 67,76 66,80 65,83 64,85 63,87 62,88 61,90 60,91 59,92 58,93 57,94 56,96 55,97 54,98 54,01 53,03 52,05 51,08 50,11 49,15 48,19 47,23 46,28 45,32 44,36 43,41 42,45 41,50 40,45 39,59

x + e◦x 68,26 68,76 68,80 68,83 68,85 68,87 68,88 68,90 68,91 68,92 68,93 68,94 68,96 68,97 68,98 69,01 69,03 69,05 69,08 69,11 69,15 69,19 69,23 69,28 69,32 69,36 69,41 69,45 69,50 69,54 69,59

53

6776494 6677223 6578008 6478830 6379687 6280576 6181488 6082419 5983369 5884338 5785327 5686336 5587366 5488419 5389500 5290622 5191780 5092982 4994239 4895561 4796960 4698443 4600015 4501678 4403434 4305285 4207233 4109283 4011439 3913705

C. FÜGGELÉK. 2002. FÉRFI HALANDÓSÁGI TÁBLA Életkor

x 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

Százezer élveszülöttb˝ol a jelzett életkort elérte lx 97490 97354 97207 97047 96866 96655 96401 96094 95727 95297 94805 94248 93626 92935 92178 91354 90465 89513 88498 87421 86282 85083 83825 82510 81134 79693 78184 76606 74958 73236 71438 69561 67606 65573 63463 61276 59016 56691 54304 51855 49345 46778 44167 41518 38837 36128 33207 30407 27717 25127 22632 20225 17906 15674 13537

Százezer élveszülöttb˝ol meghalt a jelzett életkorban dx 137 147 160 180 211 254 307 367 430 493 556 623 690 758 824 889 952 1015 1077 1139 1200 1257 1315 1376 1441 1509 1578 1648 1722 1799 1877 1955 2032 2110 2187 2260 2325 2387 2448 2510 2566 2611 2649 2681 2709 2921 2800 2690 2589 2496 2407 2320 2231 2137 2034

54







qx 0,00140 0,00151 0,00165 0,00186 0,00218 0,00263 0,00319 0,00382 0,00449 0,00517 0,00587 0,00661 0,00737 0,00815 0,00894 0,00973 0,01052 0,01133 0,01217 0,01303 0,01390 0,01478 0,01569 0,01667 0,01776 0,01894 0,02018 0,02152 0,02297 0,02456 0,02628 0,02810 0,03006 0,03218 0,03447 0,03688 0,03940 0,04211 0,04509 0,04841 0,05201 0,05582 0,05997 0,06458 0,06976 0,08085 0,08433 0,08847 0,09342 0,09932 0,10634 0,11469 0,12460 0,13634 0,15022

px 0,99860 0,99849 0,99835 0,99814 0,99782 0,99737 0,99681 0,99618 0,99551 0,99483 0,99413 0,99339 0,99263 0,99185 0,99106 0,99027 0,98948 0,98867 0,98783 0,98697 0,98610 0,98522 0,98431 0,98333 0,98224 0,98106 0,97982 0,97848 0,97703 0,97544 0,97372 0,97190 0,96994 0,96782 0,96553 0,96312 0,96060 0,95789 0,95491 0,95159 0,94799 0,94418 0,94003 0,93542 0,93024 0,91915 0,91567 0,91153 0,90658 0,90068 0,89366 0,88531 0,87540 0,86366 0,84978

Lx 97422 97280 97127 96957 96761 96528 96247 95910 95512 95051 94527 93937 93281 92557 91766 90909 89989 89006 87960 86852 85682 84454 83168 81822 80414 78939 77395 75782 74097 72337 70499 68583 66590 64518 62370 60146 57853 55497 53080 50600 48062 45473 42843 40178 37483 34667 31807 29062 26422 23880 21429 19065 16790 14606 12521

Tx 3816088 3718598 3621244 3524037 3426990 3330124 3233469 3137069 3040974 2945247 2849950 2755145 2660897 2567271 2474336 2382158 2290804 2200339 2110826 2022328 1934907 1848625 1763542 1679717 1597207 1516073 1436380 1358196 1281590 1206632 1133396 1061958 992397 924791 859218 795755 734479 675463 618772 564468 512613 463268 416490 372323 330805 291968 255840 222633 192226 164509 139382 116750 96525 78619 62945

e◦x 38,64 37,70 36,75 35,81 34,88 33,95 33,04 32,15 31,27 30,41 29,56 28,73 27,92 27,12 26,34 25,58 24,82 24,08 23,35 22,63 21,93 21,23 20,54 19,86 19,19 18,52 17,87 17,23 16,60 15,98 15,37 14,77 14,18 13,60 13,04 12,49 11,95 11,41 10,89 10,39 9,89 9,40 8,93 8,47 8,02 7,58 7,20 6,82 6,44 6,05 5,66 5,27 4,89 4,52 4,15

x + e◦x 69,64 69,70 69,75 69,81 69,88 69,95 70,04 70,15 70,27 70,41 70,56 70,73 70,92 71,12 71,34 71,58 71,82 72,08 72,35 72,63 72,93 73,23 73,54 73,86 74,19 74,52 74,87 75,23 75,60 75,98 76,37 76,77 77,18 77,60 78,04 78,49 78,95 79,41 79,89 80,39 80,89 81,40 81,93 82,47 83,02 83,58 84,20 84,82 85,44 86,05 86,66 87,27 87,89 88,52 89,15

C. FÜGGELÉK. 2002. FÉRFI HALANDÓSÁGI TÁBLA Életkor

x 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Százezer élveszülöttb˝ol a jelzett életkort elérte lx 11504 9588 7807 6181 4733 3481 2440 1614 996 566 291 133 52 17 5

Százezer élveszülöttb˝ol meghalt a jelzett életkorban dx 1916 1781 1625 1448 1252 1041 826 618 430 275 158 80 35 13 4

55







qx 0,16657 0,18576 0,20820 0,23430 0,26446 0,29908 0,33846 0,38278 0,43204 0,48596 0,54392 0,60488 0,66735 0,72939 0,78873

px 0,83343 0,81424 0,79180 0,76570 0,73554 0,70092 0,66154 0,61722 0,56796 0,51404 0,45608 0,39512 0,33265 0,27061 0,21127

Lx 10546 8697 6994 5457 4107 2961 2027 1305 781 428 212 93 35 11 3

Tx 49408 37904 28316 20509 14328 9595 6114 3674 2060 1064 498 207 74 22 5

e◦x 3,79 3,45 3,13 2,82 2,53 2,26 2,01 1,78 1,57 1,38 1,21 1,06 0,92 0,79 0,50

x + e◦x 89,79 90,45 91,13 91,82 92,53 93,26 94,01 94,78 95,57 96,38 97,21 98,06 98,92 99,79 100,50

D. Függelék Kifutási háromszögek

D.1. ábra. A kárnagyságok nem kumulált kifutási háromszöge

56

D. FÜGGELÉK. KIFUTÁSI HÁROMSZÖGEK

D.2. ábra. A kárnagyságok kumulált kifutási háromszöge

57

D. FÜGGELÉK. KIFUTÁSI HÁROMSZÖGEK

D.3. ábra. A kárszámok nem kumulált kifutási háromszöge

D.4. ábra. A kárszámok kumulált kifutási háromszöge

58

Irodalomjegyzék [1] Arató Miklós. Nem-élet biztosítási matematika. ELTE Eötvös Kiadó, 2001. [2] H. Schmitter and E. Straub. Quadratic programming in insurance. Astin Bulletin, Vol VII, Part 3, 1974. [3] Krekó Béla. Biztosítási matematika - Életbiztosítás I. Aula kiadó, 1994. [4] E. Straub. On the calculation of IBNR-reserves Nederlandse Reassurantic Groep N. V. Amsterdam, 1972. [5] H. Kramreiter and E. Straub. On the calculation of IBNR-reserves II. Mitterlungen der Schweitzerischen Versicherungsmathematiker, 1973. [6] LeRoy J. Simon Distortion in IBNR factors. Proceedings of the Casualty Actuarial Society, Vol LVII, 1970. [7] Joakim Hertig A Statistical Aproach to IBNR-Reserves in Marine Reinsurance. Astin Bulletin, Vol XV, Part 2, 1985. [8] Ole Hesselager and Thomas Witting A Credibility Model with Random Fluctuations in Delay Probabilities for the Prediction of IBNR Claims. Astin Bulletin, Vol XVIII, Part 1, 1988. [9] Farrokh Guiahi A Probabilistic Model for IBNR Claims. Proceedings of the Casualty Actuarial Society, Vol LXXIII, 1986. [10] Dr. Ira Robbin A Bayesian Credibility Formula for IBNR Counts. Proceedings of the Casualty Actuarial Society, Vol LXXIII, 1986.

59

Az IBNR számítás sajátosságai az életbiztosításban

Recommend Documents