1
Az ablakos problémához A Hajdu Endre által felvetett, egy ablak akadályoztatott kinyitásával kapcsolatos probléma a következő. Helyezzünk el egy d oldalhosszúságú, álló, négyzet alapú egyenes hasábot egy m mélységű ablakmélyedésben úgy, hogy a felülnézeti négyzet középpontja a káva szélén ( az x tengelyen ) legyen, miközben a négyzet A csúcsa, illetve egy oldala érintkezzen a mélyedés falával ( az y tengellyel )! Ezután mozgassuk el a hasábot, úgy, hogy az ablak e egyenesének az α nyitási szöge a lehető legnagyobb legyen!
1. ábra A négyzet középpontjának – a hasáb súlypontja vetületének – azért kell az x ten gelyen maradnia, mert ha kijjebb kerül, akkor a hasáb leesik, ha meg beljebb van, akkor pedig a lehetségesnél kisebb lesz / lehet a nyitási szög. Az itteni vizsgálódás egy kicsit más irányt vesz, mint az eredeti – [ 1 ]. Először is felírjuk az α nyitási szög meghatározására szolgáló egyenleteket. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! Itt azt látjuk, hogy a 0 indexes kezdeti helyzetben a négyzet / a hasáb nekisimul a falnak / az y tengelynek, így az ablak α0 szöggel nyit ható kék négyzet. Ezután a négyzetet elmozdítjuk az x tengely mentén úgy, hogy S súlypontjának elmozdulása δs, majd egy φ szöggel el is forgatjuk, hogy az A csúcs az y tengelyen maradjon piros négyzet. Ekkor az ablak síkjának felülnézetét ábrázoló e egyenes α szögére felírható a következő egyenlet:
2
tgα = =
,
(1)
∙ cos 45° −
+
∙ cos 45° +
ahol xB és yB a B négyzetcsúcs koordinátái. Utóbbiakra kapjuk, hogy =
√
∙ sin 45° +
√
.
√
Most ( 1 ), ( 2 ) és ( 3 ) - mal: tgα =
√
∙()! $%° ' &
√
tehát:
tgα =
∙!"# $%°&'
*
∙√
√
∙()! $%°&'
!"# $%°&'
()! $%° ' &()! $%°&'
=
*
∙√
;
(2) (3)
!"# $%°&'
()! $%° ' &()! $%°&'
.
(4)
sin 45° +
= sin45° ∙ cos
+ cos 45° ∙ sin
=
cos 45° +
= cos 45° ∙ cos
− sin 45° ∙ sin
=
Most kifejtjük a szögfüggvényeket: ,cos 45° −
= cos 45° ∙ cos
+ sin 45° ∙ sin
Majd ( 4 ) és ( 5 ) - tel: tgα = tgα =
3 √
*
3 √
∙√
∙ ()! '&!"# '
∙ ()! '&!"# '
tehát:
∙()! '
3 & √
∙ ()! ' !"# '
− ∙ 1 + tg -
,
=
*
∙√
3 √ 3 √
=
-
√ -
√ √
∙ cos
+ sin
∙ cos
− sin
∙ cos
∙ ()! '&!"# '
∙ ∙()! '
=
+ sin
*
∙√
3 √
,2 0 , (5) 1 .0 /
∙ ()! '&!"# '
√ ∙()! '
.
,
(6)
Áttérve az inverz függvényre, és az értelmezési tartományt kijelölve: 5 , = arctg 8
∙()! '
0° ≤
− ∙ 1 + tg -
≤ 45°.
9,
<
A ( 7 ) képlet által leírt összefüggés a pozitív forgatás esetét jellemzi. Ábrázoljuk a ( 7 ) függvény grafikonját, különböző m értékekre – 2. ábra!
(7)
3 50
alfa ( fok )
f(x)=at an(1/(2*cos(x))-1/2*(1+tan(x))) f(x)=at an(1/(sqrt(2)*cos(x))-1/2*(1+tan(x))) f(x)=at an(1/(cos(x))-1/2*(1+tan(x)))
45
f(x)=at an(sqrt (2)/(cos(x))-1/2*(1+tan(x))) f(x)=at an(1.207106781/(cos(x))-1/2*(1+tan(x)))
40
f(x)=at an((13/12)/(cos(x))-1/2*(1+tan(x)))
35
30
25
m=d/2, ( piros ) m = d / √2 , ( kék ) m=d, ( fekete ) m = 13 / 12 d , ( türkizkék ) m = d / [2(√2 - 1 )] , ( bordó ) m = √2 d . ( zöld )
20
15
10
5
fi ( fok ) -65
-60
-55
-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
-40
2. / 1. ábra alfa ( fok )
f(x)=at an(5/(cos(x))-1/2*(1+tan(x)))
105
f(x)=at an(50/(cos(x))-1/2*(1+t an(x))) f(x)=at an(500/(cos(x))-1/2*(1+tan(x))) f(x)=at an(2.5/(cos(x))-1/2*(1+tan(x))) f(x)=at an(2/(cos(x))-1/2*(1+tan(x)))
100
95
90
85
80
m = 2 d , ( lila ) m = 2,5 d , ( zöld ) m = 5 d , ( piros ) m = 50 d , ( kék ) m = 500 d . ( fekete )
75
70
65
60
55
50
2. / 2. ábra
4
A lényeges látnivalók: ~ m = d / 2 esetén nincs pozitív ablaknyitási szög, azaz az egyoldalra nyíló ablak zárva marad; ~ m = d / √2 esetén 45 ° - os elforgatási szögnél az ablak bezárul; ~ efölötti m - értékeknél, pl. m = d esetén az ablak már végig nyitható; ~ a nyitási szög maximuma először az elforgatásmentes alaphelyzetben tapasztalható;
~ => =
∙?√
-@
esetén a kezdő és a véghelyzet egyaránt maximális nyitási szöget ad;
~ ennél nagyobb m - értékekre a végső helyzetben lesz a nyitási szög maximális; ~ m / d ∞ esetén α 90°, egyre kevésbé függve a φ elforgatási szögtől. Ezek szerint a nyitásában akadályoztatott, egyoldalra nyíló ablak működési tartományai a pozitív forgatás esetében így alakulnak: I. II.
III.
= = : az ablak zárva marad. <=<
∙?√
-@
: az ablak nyitható, úgy, hogy
B.) a maximális ablaknyitási szög C.) = =
=> =
= >
√
- nél és
∙?√
-@
= 0° - nál van,
= 45° - nál az ablak bezárul.
esetén az ablaknyitási szög
= 0° és
= 45°
= 45° elforgatási szögnél
elforgatási szögnél veszi fel két, egymással megegyező legnagyobb értékét.
IV. V.
∙?√
-@
esetén az ablaknyitási szög
veszi fel a legnagyobb értékét. → ∞ esetén 5 → 90° .
Az említett mh határ - mélység képletének levezetése így alakul: ~ az 5 ablaknyitási szög tangense = 0° - nál, ( 7 ) szerint: tg5
= 0° =
− ; -
~ az 5 ablaknyitási szög tangense
tg5
= 45° = √2 ∙
−1;
= 45° - nál, ( 7 ) szerint:
(8/1) (8/2)
~ e két nyitási szög egyenlősége esetén: tg5 = 0° = tg5 = 45° , majd ( 8 / 1 ), ( 8 / 2 ), ( 8 / 3 ) - mal:
(8/3)
=> =
(8 )
∙?√
-@
=
√ &-
∙ I = 1,207106781 ∙ I .
5
Még további, az 1. ábrán szereplő mennyiségek képletét is felírjuk:
, M=
MN = ,
∙ cos 45° −
√
Ezekkel:
PM = M − MN = tehát: PM =
√
√
.
O
(9)
∙ cos 45° −
∙ 8cos 45° −
−
Továbbá ( 7 ) és ( 8 ) - cal:
-
√
− =
-
-
√
9, ( 10 )
-
P5 = arctg Q − R − arctg 8
−
9.
P5 = 5N − 5 = arctg Q − R − arctg 8 tehát:
√
∙ 8cos 45° −
∙()! '
∙()! '
− ∙ 1 + tg
− ∙ 1 + tg -
-
9,
9.
( 11 )
……………………………. Egy másik lehetséges esetet mutat a 3. ábra, melyet a negatív forgatás kifejezéssel írunk le.
3. ábra
6
E forgatás – és eltolás – eredményeként az ablak egyenese egybeesik a négyzet egyik oldalával. Ennek során kiindulunk az ( 1 ) képletből, amihez itt a 3. ábra szerint: =
=
∙()! '
+
∙ cos 45° −
√
∙ sin 45° −
√
,
( 12 )
.
( 13 )
Most ( 1 ), ( 12 ) és ( 13 ) - mal: =
tgα =
√
&
∙!"# $%° '
∙STU V √
∙()! $%° '
Figyelembe véve a sin 45° − ,
= sin45° ∙ cos
cos 45° −
= cos 45° ∙ cos
.
( 14 )
− cos 45° ∙ sin
+ sin 45° ∙ sin
=
=
képleteket is, ( 14 ) - ből kapjuk, hogy 3 ∙ √ √
tgα =
3 & ∙ ∙STU V √ √
tehát:
tgα =
∙ ()! ' !"# '
∙
*
3 & STU V
∙ ()! '&!"# '
()! ' !"# '
()! '&!"# '
=
& ∙ ()! '&!"# '
∙STU V
.
= = WX + XY ,
∙ ()! ' !"# '
-
√ √
=
∙ cos
∙ cos ∙
*
3 & STU V
− sin
+ sin
()! ' !"# '
()! '&!"# '
, O ( 15 )
,
( 16 )
Ismét a 3. ábra alapján írhatjuk, hogy
WX = ,
majd pedig ∙()! '
XY =
==
∙ tg ,
∙()! '
.
( 17 )
O
∙ 1 + tg
( 18 )
.
Most ( 17 ) és ( 18 ) - cal: ∙()! '
( 19 )
7
Majd ( 16 ) és ( 19 ) - cel: tgα =
3 ∙ STU V
-&Z[ '
()! ' !"# '
3 &()! '&!"# ' STU V
Azonos átalakításokkal: tgα =
3 U\] V & ()! ' !"# ' STU V STU V 3 &()! '&!"# ' STU V
tovább alakítva:
=
( 20 ) STU V^U\] V ()! ' !"# ' STU V 3 &()! '&!"# ' STU V
3 3 -R&!"# '∙Q &-R STU V STU V 3 &()! '&!"# ' STU V
tgα =
()! '∙Q
tgα =
()! '∙Z[ '&!"# '∙
majd:
.
&Z[ '
3 &()! '&!"# ' STU V
=
,
,
Z[ '&Z['∙ &Z[ ' -&Z[ '&-&Z['
= tg ∙
Z[ '& &Z[ ' &Z[ '&Z['
= tg ,
vagyis: tgα = tg , innen: α = .
( 21 )
A ( 21 ) összefüggést közvetlenül leolvashatjuk a 3. ábráról. A hozzá vezető számítást azért részleteztük, hogy lássuk, működnek - e a képleteink. A ( 21 ) egyenlet szerint elegendő meghatározni a feladat paramétereinek megfelelő φ1 szögértéket. Ehhez a ( 19 ) képletből indulunk ki: ábrázoljuk azt – 4. ábra.
Ehhez bevezettük az = =
-&Z[ ()!
∙
, =
jelöléseket, amikkel a ( 19 ) képlet átírva az
alakot ölti. E függvény képét a 4. ábrán piros színű folytonos vonallal
húztuk ki értelmezési tartományában. Majd a 3. ábra méreteivel: m = 6,5 cm , d = 6,0 cm , így az ábrázoláshoz y = 13 / 6. A piros grafikont elmetszettük az y1 = 13 / 6 egyenletű vízszintes egyenessel, amely az x1 = 36, 53490766° eredményt szolgáltatta. Ez jól egyezik a 3. ábráról lemérhető α ≈ 37° ”eredménnyel”. Most nézzük meg, hogy milyen m* - érték tartozik az x2 = 45° - os határhoz! A Graph szoftver szolgáltatásával: y2 = 2,8284 , majd ehhez m* = d / 2 ∙ y2 = 8,4852 cm káva - mélység tartozik – 5. ábra.
8 y
f(x)=(1/cos(x))*(1+tan(x)) f(x)=13/6 r(t )=36.53490766/cos(t) f(x)=(1/cos(x))*(1+tan(x))
30
25
Adat: y1 = 13 / 6 ; Eredmény: x1 = 36, 53490766 °.
20
15
Adat: x2 = 45° ; Eredmény: y2 = 2,8284 .
10
5
x ( fok ) -5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
-5
-10
-15
4. ábra
5. ábra
50
55
60
65
70
75
80
85
90
9
Az 5. ábra arra is figyelmeztet, hogy a valóságban nem mellékes az ablak, illetve az ablak - káva szélessége sem; ugyanis megeshet, hogy a rövid ablakszárny lecsúszik a hasáb B csúcsáról. Ekkor persze még jobban kitárható.
Megjegyzések: M1. A ( 9 ) ~ ( 11 ) képleteknek a negatív forgatás esetére vonatkozó megfelelőit az Olvasó már saját maga is felírhatja. M2. A 6. ábrán kinagyítottuk a 4. ábra kezdetét. Innen már leolvasható, hogy y = 1 - től, azaz m = d / 2 - től indul a piros vonal. 3.2
y
f(x)=(1/cos(x))*(1+tan(x)) f(x)=13/6 r(t)=36.53490766/cos(t )
3
f(x)=(1/cos(x))*(1+tan(x))
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
x ( fok ) -2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
6. ábra M3. Érdekessége miatt határozzuk meg a fenti m / d = 6,5 / 6 = 13 / 12 , vagyis az m = 13 / 12 d értékre is a pozitív forgatással adódó maximális ablaknyitási szöget! A 2. / 1. ábra türkizkék grafikonjáról – a Graph szolgáltatásával – leolvasható, hogy ekkor az ablaknyitási szög maximuma φ = 0° - nál lép fel, és αmax + = 30,2564° . Ugyanehhez az m / d paraméterhez negatív forgatás esetén a 4. ábra szerint a φmax = αmax - = 36,5349° eredmény tartozik.
5.4
10
Eszerint az m / d = 13 / 12 paraméter - érték választása esetén a negatív forgatással kapjuk a legnagyobb ablaknyitási szöget. M4. Az ábrák és képletek egy része lényegében megegyezik az [ 1 ] - ben látottakkal. Az itteniek a kifejtés jellegében mások. M5. A tárgyalt ablakos feladat lényeges mondanivalói az alábbiak. ~ Az ÉLET a mindennapi tevékenységeink során is “ellát” minket geometriai, illetve matematikai feladványokkal, csak észre kell venni és meg kell oldani azokat. Esetünkben hasonló volt a helyzet, amikor egy bútor sarkon való befordulásának, vagy egy íves ajtó íves falkávában való elakadásának esetét vizsgáltuk meg. ~ Most is megfontolásra javasolható, hogy a belső és külső építészek tárgyelhelyezési optimalizálási feladataikhoz vegyék igénybe a matematika segítségét is. Ennek megvalósítását jelentősen segítik a már régóta meglevő, akár ingyenesen is megszerezhető szoftverek. Esetünkben ilyen a Graph, melynek alkalmazásával rengeteg és alig szemléletes számítást spóroltunk meg.
Összefoglalás A fenti, Hajdu Endrétől származó ablaknyitási probléma megoldása során – jórészt a forrásra támaszkodva – igyekeztünk megtalálni a maximális ablaknyitási szögeket eredményező eseteket, helyzeteket. Ennek érdekében felírtuk az alapegyenleteket a pozitív és a negatív forgatás esetére is. A grafikus kiértékelés során az adódott, hogy egy rögzített, véges nagyságú m / d paraméter esetében az ablaknyitási szög maxi mumainak száma a pozitív forgatás esetében 1 vagy 2 lehet; utóbbi esetben a két maximum értéke egymással megegyezik; a negatív forgatás esetében 1 lehet. A maximumok nagyságát legkönnyebben grafikus úton állapíthatjuk meg, a szemlélet alapján. A pozitív és a negatív forgatás eredményeinek összehasonlításával állapít ható meg a lehető legnagyobb ablaknyitási szöget eredményező helyzet, valamint a hozzá tartozó nyitási szög is. A meglepően bonyolultnak mondható feladat konkrét gyakorlati jelentőséggel is bír.
11
Forrás: [ 1 ] – Hajdu Endre: EGY „ABLAK - GEOMETRIAI” PROBLÉMA Kézirat, Sopron, 2014. április
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2014. 04. 23.
