Astronomický ciferník pražského orloje

MATEMATIKA Astronomický ciferník pražského orloje Filip Křížek, Michal Křížek, Praha Abstract. In the article, we will show that under stereographic projection a great circle lying on the surface of the sphere and not passing through the centre of the projection is mapped into a circle. We will determine the radius of this circle and the coordinates of its centre. Then, we will use the obtained results to design astronomical dials of astronomical clocks in different geographical latitudes.

Úvod Orloj na Staroměstském náměstí v Praze vznikl roku 1410, tj. ještě před husitskými válkami, a v roce 2010 mu bylo 600 let. Jeho astronomický ciferník znázorňuje geocentrický model vesmíru s nehybnou Zemí uprostřed, kolem níž obíhají Slunce, Měsíc a znamení zvěrokruhu nebeské sféry. Při návrhu ciferníku byla použita stereografická projekce, jejíž vlastnosti popsal již řecký matematik a astronom Klaudios Ptolemaios (cca 90–160 n. l.). Promítá se ze severního pólu S nebeské sféry (obr. 1) na rovinu tečnou v jižním pólu. V tomto článku popíšeme, jak navrhnout astronomický ciferník v různých zeměpisných šířkách. Na nebeské sféře je 6 významných kružnic: nebeský rovník, obratníky Raka a Kozoroha, ekliptika (dráha Slunce), horizont (tzv. obzorníková kružnice) a kružnice ohraničující oblast astronomické noci, kdy je Slunce 18◦ pod obzorem. Horizont je průsečnice nebeské sféry s horizontální rovinou procházející stanovištěm pozorovatele, který je uprostřed nebeské sféry. Na obr. 1 je schematicky znázorněno, kam se jednotlivé kružnice zobrazují při stereografické projekci na astronomický ciferník. Jejich obrazy se nazývají stejně, tj. kružnice, u níž jsou na obr. 1 římské číslice, se nazývá obratník Raka, zatímco nejmenší soustředná kružnice se nazývá obratník Kozoroha. Mezi těmito kružnicemi je umístěna další soustředná kružnice představující nebeský rovník. Ekliptika je vnější kružnice prstence se znameními zvěrokruhu, která se dotýká obou obratníků. Kruhový oblouk horizontu, který odpovídá západu (východu) Slunce, je na obr. 1 označen číslem 12. Poslední významná kružnice ohraničuje černě vybarvenou oblast astronomické noci. Vzory těchto šesti kružnic najdeme na obr. 1 vlevo. Ročník 86 (2011), číslo 1

1

MATEMATIKA

Obr. 1. Stereografická projekce šesti základních kružnic nebeské sféry na astronomický ciferník pražského orloje (vlevo bokorys v rovině yz a vpravo půdorys v rovině xy ). Střed promítání je v severním pólu S nebeské sféry.

Důležitá vlastnost stereografické projekce Uvažujme kulovou sféru představující nebeskou sféru a na ní střed promítání S. Nechť J je protější bod (odpovídající jižnímu pólu) a nechť je rovina tečná v bodě J. Při stereografické projekci se bod A kulové plochy zobrazí na bod A , který je průsečíkem přímky SA s rovinou (obr. 2). Následující věta udává velice překvapivou a důležitou vlastnost stereografické projekce. Věta (Ptolemaiova). Kružnice ležící na kulové ploše a neprocházející středem promítání S se při stereografické projekci zobrazí opět na kružnici. 2

Rozhledy matematicko-fyzikální

MATEMATIKA

V důkazu Ptolemaiovy věty je v řadě prací (např. [1, s. 363], [3, s. 341], [4, s. 533]) opomenut důležitý případ, kdy kružnice je hlavní. Připomeňme, že hlavní kružnice na kulové ploše je taková kružnice, jejíž střed leží ve středu této plochy. Např. rovník, ekliptika či horizont jsou příklady hlavních kružnic na nebeské sféře (obr. 1). V dalším si proto uvedeme jednoduchý geometrický důkaz tohoto případu. Důkaz opírající se o analytickou geometrii lze najít v [2], jiný důkaz založený na pojmu limity je v [6]. Důkaz: Nechť tedy k je hlavní kružnice kulové plochy a nechť A ∈ k je její libovolný bod. Označme σ rovinu tečnou ke kulové ploše v bodě S. Uvažujme dále kolmici vedenou ze středu promítání S na rovinu kružnice k. Její průsečík s rovinou označme D (obr. 2). B

S

σ

·

k A

D

J

C

A

Obr. 2. Stereografická projekce hlavní kružnice k z bodu S .

Nyní dokážeme, že kružnice k se při stereografické projekci zobrazí na kružnici k ⊂ o středu D a poloměru |SD|. Bodem A veďme tečnu ke kulové ploše rovnoběžnou s SD a označme B ∈ σ a C ∈ její průsečíky s rovinami σ a . Protože všechny tečny z bodu B ke kulové ploše jsou stejně dlouhé a protože SBCD je rovnoběžník, platí |AB| = |SB| = |CD|. (1) Odtud a z podobnosti trojúhelníků ABS a ACA zjistíme, že |AC| = |A C|,

(2)

kde A je sterografická projekce bodu A. Z (1) a (2) můžeme tedy vyjádřit vzdálenost |A D| = |A C| + |CD| = |AC| + |AB| = |BC| = |SD| Ročník 86 (2011), číslo 1

(3) 3

MATEMATIKA

nezávisle na volbě bodu A. (Všimněte si, že všechny úsečky ve vztahu (3) leží v rovině rovnoběžníku SBCD.) Odtud plyne, že hlavní kružnice k se zobrazí do roviny na kružnici k o středu D a poloměru |A D| = |SD|. Případ vedlejší kružnice je podrobně dokázán např. v [6]. Příklad aplikace Použití Ptolemaiovy věty budeme demonstrovat na úloze, jak by vypadal astronomický ciferník orloje v různých zeměpisných šířkách. Poloha nebeského rovníku a obou obratníků se nemění (srov. obr. 3). Ekliptiku, která se také nemění, nebudeme pro jednoduchost zakreslovat. Mění se však středy a poloměry zbývajících dvou kružnic – horizontu a kružnice ohraničující oblast astronomické noci.

Obr. 3. Poloha horizontu a oblasti astronomické noci pro různé zeměpisné šířky.

Nyní si podrobně odvodíme, jak se konkrétně mění poloměr horizontu a jeho středu v závislosti na sklonu horizontu k projekční rovině. Na astronomickém ciferníku zaveďme standardní kartézské souřadnice x, y 4


MATEMATIKA

se středem v bodě J. Uvažujme dále rovinu yz kolmou na vodorovnou osu x (srov. obr. 1 a 4). Počátek souřadnic v rovině yz je tedy v bodě J = (0, 0) a nechť střed promítání je S = (0, 2), tj. bez újmy na obecnosti předpokládáme, že kulová plocha má poloměr 1. Bod A = (y, z) = S na kulové ploše se při stereografické projekci zobrazí na bod A = (y , 0) =

2y ,0 , 2−z

(4)

jak snadno zjistíme z podobnosti trojúhelníků A JS a AZS pomocí poměru délek jejich odvěsen y : 2 = y : (2 − z).

z S P

k α

Z

A α

P

J

y

A

Obr. 4. Stereografická projekce hlavní kružnice k představující horizont.

Hlavní kružnici odpovídající horizontu nebeské sféry označme k. Její rovina je rovnoběžná s osou x a nechť sklon této roviny k projekční rovině xy je α < 90◦ . Pak A = (cos α, 1 − sin α) je nejbližší bod kružnice k od roviny xy (pro α = 0◦ není jediný). Vidíme, že P = (− cos α, 1 + sin α) je protější bod na kružnici k vzhledem k A, a úsečka AP je tudíž průměrem k. Podle (4) dostaneme A =

2 cos α ,0 1 + sin α

Ročník 86 (2011), číslo 1

a

P =

−2 cos α 1 − sin α

,0 . 5

MATEMATIKA

Odpovídající kružnice k v projekční rovině má tedy pro 0◦ ≤ α < 90◦ poloměr cos α 1 cos α + . (5) r = |A P | = 2 1 + sin α 1 − sin α Střed kružnice k se nalézá uprostřed úsečky A P , tj. v bodě 12 (A + P ). Souřadnice středu k v projekční rovině xy pak jsou (0, s ), kde s =

cos α cos α − . 1 + sin α 1 − sin α

(6)

Na obr. 3 vidíme, jak se mění horizont v různých zeměpisných šířkách podle vztahů (5) a (6). Pro zajímavost je zde černě zakreslena i oblast astronomické noci (pro ni jsou příslušné vztahy odvozeny v [5]). Součet sklonu horizontu α a severní šířky pozorovatele je roven 90◦ . V Praze je tedy sklon horizontu 90◦ − 50◦ = 40◦ . Na obr. 3 si povšimněte, že na rovníku, který odpovídá limitnímu sklonu α = 90◦ , horizont degeneruje na přímku. Kružnice ležící na kulové ploše a procházející středem promítání S se totiž při stereografické projekci zobrazí na přímku (důkaz je v [6]). Z obr. 3 je dále patrno, že na polárním kruhu se horizont dotýká obratníků Raka i Kozoroha. U orloje na severním pólu by horizont dokonce splýval s nebeským rovníkem.

Literatura [1] Čeněk, G., Medek, V.: Deskriptívna geometria. SVTL, Bratislava, 1959. [2] Hadravová, A., Hadrava, P.: Křišťan z Prachatic: Stavba a užití astrolábu. Filosofia – nakl. Filosofického ústavu AV ČR, Praha, 2001.

[3] Kadeřávek, F., Klíma, J., Kounovský, J.: Deskriptivní geometrie I. Nakl. Československé akademie věd, Praha, 1954; vydala též JČMF nákladem Přírodovědeckého nakl. v Praze, 1950 (3. vydání). [4] Kounovský, J., Vyčichlo, F.: Deskriptivní geometrie. Nakl. Československé akademie věd, Praha, 1959. [5] Křížek, M., Křížek, P.: Kružnice na astronomickém ciferníku pražského orloje. Matematika–fyzika–informatika 19 (2010), s. 577–586. [6] Křížek, M., Šolc, J., Šolcová, A.: Pražský orloj a stereografická projekce. Matematika–fyzika–informatika 17 (2007), s. 129–139.

6


FYZIKA Elektronická sbírka řešených úloh z fyziky Zdeňka Koupilová, Dana Mandíková, MFF UK, Praha Abstract. The article presents an electronic collection of solved problems in physics as a suitable tool for development of the ability to solve quantitative physics tasks. Because the collection is aimed to self-study too, the structure of problem solutions is specially designed to substitute tutor’s help during lesson and to encourage students to solve at least some parts of the problem independently. That’s why there are various hints, notes referring to laws and formulas, plots and other means supporting students’ aspiration before detailed solution. At this moment there are approximately 120 fully solved problems in mechanics, 215 in electromagnetism and 105 in thermodynamics.

Úvod V rámci hodin fyziky na školách všech úrovní by měli studenti získat i dovednost řešit fyzikální úlohy, a to nejen úlohy kvalitativní či problémové, ale také úlohy početní. Úlohy jsou řešeny nejenom přímo v rámci vyučovacích hodin, ale také v rámci domácí přípravy. Studenti mají k dispozici velké množství různých sbírek úloh, ze kterých mohou úlohy čerpat. Jmenujme za všechny alespoň dvě nejrozšířenější sbírky [1] a [2], ve kterých jsou úlohy vesměs neřešené, a rozsáhlou sbírku řešených úloh [3]. Pokud se zaměříme právě na samostatné řešení úloh, tak zjistíme, že sbírky neřešených úloh nejsou zcela ideální. Studenti, kteří nevědí, jak úlohu řešit, protože nemají danou problematiku dostatečně zvládnutou, nebo je prostě vhodný postup nenapadne, nemají možnost někde získat pomoc. Mohlo by se zdát, že z tohoto hlediska by bylo ideální, aby všechny úlohy byly ve sbírce vyřešeny (jako je tomu např. v [3]). Ani to ale není ideální stav, protože ve chvíli, kdy je řešení úlohy uvedeno přímo pod zadáním, svádí tak ihned k přečtení a nepodporuje (či dokonce omezuje) aktivní přístup studenta k řešení úlohy. Vzhledem k tomu, že řešení fyzikálních úloh je dovednost, nikoli znalost, je k jejímu dobrému osvojení nutný nácvik, nikoli pasivní přijímání poznatků. Uvedené skutečnosti se staly motivací k vytvoření takové sbírky úloh [4], která by sice obsahovala úplná řešení úloh, ale zároveň studenty Ročník 86 (2011), číslo 1

7

FYZIKA

vedla k aktivnímu přístupu a samostatnému vyřešení např. alespoň části úlohy. Vzhledem k tomu, že sbírka vzniká pouze v elektronické (webové) podobě, je možné využít interaktivních prvků tak, aby čtenář neviděl hned celé řešení a získal čas se nad úlohou zamyslet. V tomto článku chceme uvedenou sbírku představit a nabídnout ji k používání širšímu okruhu zájemců. Jak sbírka vypadá

Obr. 1: Stránka s úlohou ve sbírce

Stránka s úlohou je rozdělena na několik částí (obr. 1). V levé části se nachází rozbalovací menu se seznamem úloh (tvoří obsah a zároveň roz8


FYZIKA

cestník sbírky). Úlohy v jednotlivých tematických celcích jsou členěny do kapitol a podkapitol. Samotná úloha se zobrazuje v pravé části stránky. Pod zadáním úlohy jsou pod sebou umístěny rozklikávací“ lišty s názvy ” jednotlivých oddílů, ze kterých se skládá řešení úlohy. Požadovaný oddíl se zobrazí vždy přímo pod příslušnou lištu a poklepáním na lištu jej lze opět zavřít. Zobrazené oddíly mohou obsahovat lišty dalších, na první pohled skrytých oddílů. Úlohy jsou označeny podle náročnosti příslušnou kategorií (ZŠ, SŠ, SŠ+ a VŠ). Pokud se úloha řeší nějakým méně obvyklým způsobem, může být zařazena do jedné ze speciálních kategorií – úloha řešená graficky, úloha řešená úvahou, komplexní úloha, úloha řešená neobvyklým trikem a úloha s vysvětlením teorie. Každá úloha má svůj slovní název výstižně popisující, čeho se úloha týká. Zadání úloh je přehledné, jasně formulované a snažíme se, aby zadané číselné hodnoty byly realistické. Jak bylo napsáno výše, vlastní řešení úlohy je členěno na jednotlivé oddíly. První oddíly obsahují obvykle nápovědy, jež jsou psány tak, aby pomohly řešitelům v začátcích a zároveň motivovaly k samostatnému řešení úlohy. Další součástí úlohy bývá rozbor , ve kterém je bez použití vzorců slovně shrnutý postup (strategie) řešení úlohy. Každá úloha obsahuje podrobné komentované řešení, kde je postup popsán krok za krokem“. Pro přehlednost je u všech úloh ” uveden oddíl odpověď umožňující uživatelům rychlou kontrolu při samostatném počítání. Pokud je to vhodné, je v komentáři úlohy uveden případný jiný možný postup řešení či poznámky k realističnosti zadání úlohy, další možné varianty zadání, různé zajímavosti apod. Související úlohy jsou mezi sebou provázány pomocí odkazů. Pořadí jednotlivých oddílů v řešení úlohy není pevně dáno a záleží na tvůrci a povaze úlohy, jak budou oddíly seřazeny. Dále si čtenář v rámci webového rozhraní může nastavit, aby se mu zobrazovaly pouze úlohy požadované obtížnosti a případně i vybraného typu. Obsah sbírky Sbírka zatím obsahuje úlohy z mechaniky, elektřiny a magnetismu a molekulové fyziky a termodynamiky. V tematické oblasti Mechanika je nyní zveřejněno asi 120 úloh rozdělených do kapitol Kinematika hmotných bodů; Dynamika hmotných bodů; Hybnost, práce, energie a výkon; Mechanika tuhého tělesa a Gravitační pole. Část Elektřina a magneRočník 86 (2011), číslo 1

9

FYZIKA

tismus obsahuje 215 úloh rozdělených do kapitol Elektrostatika; Stejnosměrný elektrický proud; Stacionární magnetické pole; Nestacionární magnetické pole; Obvody se střídavými proudy a Elektromagnetické pole. Z Molekulové fyziky a termodynamiky je v současné době zveřejněno 105 úloh rozdělených do kapitol Základní poznatky; Změna vnitřní energie, práce a teplo; Ideální plyn; Reálný plyn; Tepelné děje v plynech a Pevné látky a kapaliny. Ukázky vybraných úloh Nejvhodnější způsob, jak si udělat obrázek o obsahu, funkčnosti, ale i úrovni celé sbírky, je si ji prohlédnout přímo na internetu [4]. Uveďme zde na ukázku několik úloh a nápověd, které jsou u úloh a jejichž úkolem je alespoň částečně nahradit pomoc, kterou může student v hodině získat od učitele. Magnetické pole solenoidu s vodičem Dlouhým solenoidem, ležícím ve vakuu, s hustotou 10 závitů na centimetr a poloměrem 7 cm protéká proud 20 mA. Přímým vodičem ležícím v ose solenoidu protéká proud 6 A. V jaké vzdálenosti od osy solenoidu bude svírat vektor celkové magnetické indukce úhel 45◦ s osou vodiče? Jaká je v tomto místě velikost magnetické indukce B? Zkušenosti ukazují, že pro studenty je nejobtížnější na takovéto úloze si vůbec představit celou situaci a uvědomit si, co mají řešit. Proto první nápověda či jakási pobídka k řešení směřuje k tomu, aby si čtenář obrázek nakreslil a rozmyslel si směry jednotlivých vektorů. Uveďme tedy i zde obrázek, který má pomoci při řešení úlohy.

Obr. 2: Podélný a příčný řez solenoidem

10


FYZIKA

Jako další ukázku jsme zvolili úlohu z mechaniky: Dívka táhne sáňky po zasněženém chodníku Dívka táhne naložené sáňky o hmotnosti m = 20 kg po vodorovném zasněženém chodníku. Rychlost sáněk je konstantní. Koeficient dynamického tření fd mezi skluznicí a chodníkem je 0,1 a úhel ϕ, který svírá provaz s chodníkem, je 30◦ . Určete: 1) zrychlení sáněk; 2) velikost tažné síly, kterou dívka působí na sáňky; 3) velikost tlakové síly, kterou působí sáňky na chodník; 4) velikost třecí síly působící na sáňky. Podívejme se, jak je čtenář postupně veden nápovědami jednotlivými kroky řešení. Tedy i v případě, že je na něj úloha příliš komplikovaná, aby ji vyřešil celou samostatně, může řešit její jednotlivé dílčí části a tím se v řešení úloh zlepšovat. Nápověda 1 – zrychlení saní, síly působící na sáně Uvědomte si, co to znamená pro zrychlení (a tedy i výslednou sílu), když je rychlost konstantní. Nakreslete si obrázek a vyznačte v něm všechny síly, které působí na sáňky. Použijte 2. Newtonův zákon a napište pohybovou rovnici pro sáňky. Řešení k nápovědě 1 – zrychlení saní, síly působící na sáně Zrychlení saní: Pokud je rychlost saní konstantní, znamená to, že jejich rychlost se s časem nemění, a zrychlení saní je tedy rovno nule: a = o. Síly působící na sáně: FG . . . síla tíhová . . . síla, kterou tlačí chodník na sáně N T . . . hledaná tahová síla, kterou dívka táhne sáňky po chodníku Ft . . . síla třecí, určuje, jak se sáňky brzdí“ o chodník ” Pohybová rovnice pro sáňky: + T + Ft = ma = o FG + N (1) Ročník 86 (2011), číslo 1

11

FYZIKA

Nápověda 2 – pohybová rovnice skalárně Pohybovou rovnici je třeba zapsat skalárně. Zvolte vhodně souřadný systém, najděte průměty sil do příslušných směrů a přepište v těchto směrech pohybovou rovnici. Řešení k nápovědě 2 – pohybová rovnice skalárně Osu x volíme vodorovně ve směru pohybu a osu y volíme svisle. Průmět do osy x: T cos ϕ − Ft = 0 Průmět do osy y: N + T sin ϕ − FG = 0

(2) (3)

Poznámka: Obvykle volíme jednu z os ve směru pohybu a druhou kolmou na směr pohybu. Kromě tahové síly neznáme v pohybových rovnicích ještě třecí sílu a sílu, kterou tlačí na sáňky chodník. Ty spolu souvisí. Jejich vyjádření se týkají další nápovědy. Nápověda 3 – velikost tažné síly, třecí síla Uvědomte si, na čem závisí velikost třecí síly a jak se dá vyjádřit. Řešení k nápovědě 3 – velikost tažné síly, třecí síla Třecí síla je úměrná síle, kterou tlačí sáňky na chodník, ta je podle 3. Newtonova zákona stejně velká jako síla, kterou tlačí chodník na sáňky. Třecí sílu Ft můžeme tedy vyjádřit jako: (4) Ft = N fd Sílu N , kterou tlačí chodník na sáňky, vyjádříme z rovnice (3): N = mg − T sin ϕ (5) Z rovnic (4) a (5) dostáváme: (6) FG = fd (mg − T sin ϕ) Vztah (6) dosadíme do rovnice (2): T cos ϕ − fd (mg − T sin ϕ) = 0 T cos ϕ − fd mg + fd T sin ϕ = 0 (7) T (cos ϕ + fd sin ϕ) − fd mg = 0 Z rovnice (7) už jen vyjádříme tahovou sílu: mgfd (8) T = cos ϕ + fd sin ϕ 12


FYZIKA

K získání konečných výrazů pro velikosti tlakové a třecí síly pak již stačí dosadit za tahovou sílu do příslušných vztahů. Nápověda 4 – velikost tlakové síly Síla, kterou tlačí sáňky na chodník, je podle 3. Newtonova zákona stejně velká jako síla, kterou tlačí chodník na sáňky. Velikost síly N , kterou tlačí chodník na sáně, je již vyjádřena vztahem (5): N = mg − T sin ϕ (5) Stačí pouze dosadit. Řešení k nápovědě 4 – velikost tlakové síly Síla N , kterou tlačí chodník na sáně, je vyjádřena vztahem (5): N = mg − T sin ϕ (5) Dosadíme-li za T ze vztahu (8), dostaneme výraz: fd sin ϕ mgfd sin ϕ = mg 1 − N = mg − = cos ϕ + fd sin cos ϕ ϕ + fd sin ϕ cos ϕ 1 = mg = mg (9) cos ϕ + fd sin ϕ 1 + fd tan ϕ Ve sbírce se snažíme v řešeních uvádět i veškeré matematické úpravy krok po kroku a nepsat jen výsledné výrazy. Pokud ze zkušenosti víme o některých častých chybách, kterých se studenti při řešení úlohy dopouští, snažíme se je na ně upozornit. Nápověda 5 – velikost třecí síly Velikost třecí síly Ft je již vyjádřena vztahem (4): Ft = N fd (4) Stačí pouze dosadit. Řešení k nápovědě 5 – velikost třecí síly Třecí síla Ft je dána vztahem (4): (4) Ft = N fd Dosadíme-li do rovnice(4) za N z rovnice (9), pak: 1 Ft = mg (10) fd 1 + fd tan ϕ Poznámka: Třecí síla Ft není obecně rovna součinu mgfd , protože provázek sáňky nadlehčuje“, takže tlačí na chodník méně, a kolmá tlaková ” síla N je tedy menší než mg. Ročník 86 (2011), číslo 1

13

FYZIKA

Na předchozí úlohu pak navazuje její náročnější varianta, kdy jsou sáňky taženy po svahu. Na úvod této úlohy je zařazen rozbor, kde je slovně popsáno, jak jít na úlohu, které kroky je třeba udělat a na co si při řešení dát pozor. Sáňky na zasněženém svahu Chlapec táhne sáňky vzhůru po zasněženém svahu se stoupáním β za provázek, který svírá s rovinou svahu úhel α. Najděte takovou velikost úhlu α, při kterém bude síla vynaložená na tažení saní nejmenší. Koeficient smykového tření mezi saněmi a sněhem je f = 0,1 a rychlost saní zůstává stálá. Rozbor Máme určit, při jakém úhlu α, který svírá provázek se svahem, bude síla vynaložená na tažení saní minimální. Nejprve musíme zjistit, jak tato síla závisí na úhlu α (T = T (α)). Víme také, že sáně jedou stálou rychlostí. Uvědomte si, co z toho vyplývá pro zrychlení saní. Při vyjádření třecí síly je také třeba mít na paměti, že provázek není rovnoběžný se svahem, ale svírá s ním úhel α, což ovlivňuje velikost síly, kterou sáně tlačí na svah. Podívejme se ještě v krátkosti na jednu úlohu z elektrostatiky. Práce vykonaná při přenesení náboje Obdélník na obrázku má strany dlouhé a = 15 cm a b = 5 cm. V protilehlých vrcholech jsou umístěny náboje Q1 = −5 μC a Q2 = = +2 μC. Jakou práci vykoná elektrická síla při přenesení třetího náboje Q3 = +3 μC z vrcholu A po úhlopříčce obdélníka do vrcholu B? 14


FYZIKA

Rozbor Práce vykonaná elektrickou silou při přenesení náboje v elektrickém poli je rovna rozdílu elektrické potenciální energie v počátečním a koncovém bodě. (Je to stejné jako s prací tíhové síly v tíhovém poli. Práce vykonaná tíhovou silou je rovna tomu, o kolik se zmenší tíhová potenciální energie.) Potenciál v daném bodě je roven elektrické potenciální energii v tomto bodě vztažené na jednotkový náboj. Elektrická potenciální energie je tedy přímo úměrná elektrickému potenciálu v daném bodě a velikosti náboje umístěného v tomto bodě. Naše pole vytváří dva bodové náboje. V takovém případě je celkový potenciál roven součtu potenciálů pole jednoho a druhého náboje. Potenciál elektrického pole bodového náboje je přímo úměrný velikosti náboje a nepřímo úměrný vzdálenosti náboje od místa, kde potenciál zjišťujeme. Má stejné znaménko jako samotný náboj. Abychom tedy úlohu vyřešili, určíme nejprve potenciály v bodech A a B. Z nich určíme elektrickou potenciální energii třetího náboje v těchto místech. Práce, kterou vykonají elektrické síly, je pak rovna rozdílu těchto potenciálních energií. Zkuste si vyřešit Můžete si sami zkusit vyřešit následující úlohy. Pokud si nebudete vědět rady, podívejte se do naší sbírky. Úloha 1: Hajný a pes. Představme si hajného, který se vrací z obchůzky po lese a jde stálou rychlostí 5 km/h. Je 500 m od hájovny. Jeho pes Rek se už těší domů, takže, jak to psi dělávají, běhá od hajného k domu a zpět do té doby, než hajný dojde k domu. Rychlost Reka je 18 km/h. Jakou dráhu Rek uběhne? Úloha 2: Neznámé sloučeniny. Dva prvky X a Y vytvářejí dvě sloučeniny XY a XY2 . Určete tyto prvky a sloučeniny, jestliže víte, že jeden kilogram první sloučeniny odpovídá látkovému množství 35,71 molu a jeden kilogram druhé sloučeniny odpovídá 22,73 molu. Ročník 86 (2011), číslo 1

15

FYZIKA

Úloha 3: Netradiční obvody 1. Jaký je výsledný elektrický odpor níže překreslených obvodů, jestliže všechny zapojené rezistory mají odpor R?

a)

b)

c) Závěr Celá sbírka je dostupná na adrese http://fyzikalniulohy.cz a její anglická verze na adrese http://physicstasks.eu na katedrálním serveru KDF nejen studentům MFF UK, ale i širší veřejnosti. Elektronickou sbírku řešených úloh chceme i nadále rozšiřovat a zdokonalovat. Věříme, že se stane dobrým pomocníkem jak studentům, tak jejich učitelům. Uvítáme vaše zkušenosti s používáním sbírky a náměty na její vylepšení. Napsat je můžete do dotazníku na stránkách sbírky. Konkrétní připomínky k úlohám či návrhy na nové úlohy je možné také zasílat na adresu: [email protected]. Literatura [1] Lepil, O., Bednařík, M., Široká, M.: Fyzika. Sbírka úloh pro střední školy. 3. vyd., Prometheus, Praha, 2007. [2] Kružík, M.: Sbírka úloh z fyziky pro žáky středních škol. 8. vyd., SPN, Praha, 1984. [3] Bartuška, K.: Sbírka řešených úloh z fyziky pro střední školy I.–IV. Prometheus, Praha, 1997–2000 (soubor čtyř knih). [4] Sbírka řešených úloh z fyziky. http://www.fyzikalniulohy.cz/, online [cit. 8. 1. 2010].

16


INFORMATIKA Úloha o kartách Stanislav Trávníček, PřF UP, Olomouc Abstract. The paper describes a method of stacking a pack of cards to perform a card trick. Two problems are posed, and their mathematical principle is explained. The problems are also computer-programmed using two different algorithms.

Úvod Myšlenkovým zdrojem tohoto článku jsou dvě nevýznamné události, které zde v úvodu stručně komentuji. 1◦ To jsem byl ještě žák ZŠ, když nám jeden starší chlapec ukazoval tento karetní trik: Vzal připravený balíček karet a začal je vykládat tak, že vždy jednu kartu dal dospodu balíčku a jednu vyložil na stůl a tak stále dokola. A hle, všech 32 karet bylo na stole vyloženo v pořadí E♥, K♥, D♥, . . . až nakonec . . . , 9♣, 8♣, 7♣. Je tu vlastně jen jedno tajemství – jak balíček připravit. (Pro větší srozumitelnost už zde nebudeme pojednávat o hracích kartách, ale o kartách označených postupně čísly 1, 2, 3, . . . a v balíčku nemusí být 32 karet, ale n ∈ N karet.) Pátral jsem tehdy, jak balíček připravit, a došel jsem k tomuto způsobu: Dal jsem do řádky 32 lístečků popsaných postupně 1, 2,. . . , 32, které reprezentovaly prázdný balíček. Pak jsem kartu 1 položil na lísteček 2, kartu 2 na lísteček 4,. . . až kartu 16 na lísteček 32 (volná místa byla rezervována na karty, které budou kladeny dospodu) a pak jsem postupoval opět od začátku balíčku“, vynechal lísteček 1 a kartu 17 dal ” až na lísteček 3, vynechal místo 5 a kartu 18 dal na lísteček 7 atd. stále dokola, až na kartu 31 vyšel lísteček 17 a na 32 vyšlo poslední volné místo, a to bylo na lístečku 1. Balíček jsem pak poskládal tak, že vespod byla karta z lístečku 32 atd., až nahoře byla karta položená původně na lístečku 1. Fungovalo to. A pak jsem vše zasunul hodně dozadu do paměti. 2◦ O dvacet let později koncem 60. let jsem byl už tatínek dvou malých dětí a učil jsem je různá říkadla a též dětská rozpočitadla. Připomeňme si např. Na koho to slovo padne, ten musí jít z kola pryč. Ročník 86 (2011), číslo 1

17

INFORMATIKA

Přitom jsem si uvědomil, že rozpočítávání dětí o to, kdo začne hru, je tajemný obřad, děti jsou napjaty, kdo půjde z kola pryč“ a kdo nakonec ” zůstane, ale přitom pro daný počet dětí a dané rozpočitadlo je vlastně výsledek dán už v okamžiku zahájení rozpočítání. V článku [1] pro RMF Na koho to slovo padne jsem odvodil pravidlo ϕ(n, r), které k dětem s indexy 0, 1, . . . , n − 1 a k rozpočitadlu o r slabikách (např. ve výše uvedeném rozpočitadle je r = 15), kde rozpočítání začíná u 0, určilo index dítěte, které po rozpočítání zbude. Přitom se využívají kongruence a čísla dětí“ jsou vlastně reprezentanty zbytkových ” tříd – proto se počítá od 0. Toto pravidlo lze vyjádřit ve tvaru ϕ(n, r) = (r + (r + (. . . + (r + (r + (r)2 )3 )4 . . .)n−2 )n−1 )n , nebo ve tvaru vhodném pro ruční“ počítání ” ϕ(n, r) = (rn + (rn−1 + (. . . + (r4 + (r3 + r2 )3 )4 . . .)n−2 )n−1 )n , kde rm = r (mod m), tj. zbytek při dělení čísla r číslem m. Přitom index dítěte, které jde z kola pryč“ jako k-té, je z (k) , kde ” z (1) = (r − 1)n , z (2) = (r + (r − 1)n−1 )n , z (3) = (r + (r + (r − 1)n−2 )n−1 )n , .. . z (k) = (r + (r + · · · + (r − 1)n−k+1 . . .)n−1 )n ,

(1)

Ukázalo se, že tento matematický model ϕ odvozený pro rozpočitadla se po menší úpravě hodí i pro přípravu karetního triku uvedeného v 1◦ , pokud výrok k-té dítě jde z kola pryč“ nahradíme výrokem k-tou kartu ” ” vyložíme na stůl“ (stačí položit r = 2). ◦ ◦ Oba naznačené přístupy – v 1 i 2 – jsou docela vhodné i pro programové zpracování úloh o kartách, tj. jak připravit balíček karet, abychom dosáhli potřebného výsledku při jejich vyložení. Budeme se zabývat dvěma úlohami. Úloha 1. Máme balíček n karet s čísly 1, 2, 3, . . . , n. Najděte uspořádání balíčku karet tak, aby pro zadané p a při způsobu vykládání p karet ” dospodu, jedna vyložit“ byly všechny karty nakonec vyloženy v pořadí 1, 2, 3, . . . , n. 18


INFORMATIKA

Řešení: Použijeme metodu podle 2◦ , tedy základem řešení bude vzorec (1) pro k = 1, 2, . . . , n pro rozpočitadlo o r = p + 1 slabikách. Při otázce programu Kterou kartu vyložit?“ tedy volíme r; zvolíme-li např. ” r = 6, znamená to, že budeme vždy dávat pět karet dospodu a šestou kartu vyložíme. Naprogramování vzorců (1) je těžce zvládnutelné jen zdánlivě, protože se v tomto případě nabízí vhodný programový prostředek – rekurze; zprostředkuje ji funkce V (X, Y ) s použitím kongruencí. Uspořádání výpočtu: V cyklu K := 1 to N počítáme postupně příslušná Z (= z (k) ) ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1}. Pro K = 1 dostáváme, že jako první vykládáme kartu s indexem Z (= z (1) ), což znamená, že na místo, které má v balíčku index Z, vložíme 1: Balicek[Z] := K (= 1). Podobně se postupuje v daném cyklu i pro další K = 2, 3, . . . , N . Všechno ostatní je už rutinní postup. Po umístění karty N vystoupí na obrazovku výsledné uspořádání karet v balíčku. Na prvním místě je číslo karty, která má být v balíčku první shora, pak číslo karty, která je v balíčku druhá shora, atd., na posledním místě je dolní karta balíčku. program Karty1; uses Crt; var N, R, Z, K: Integer; {N pocet karet; R pocet slabik; Z místo v balicku; K promenna cyklu} Balicek: array [1..32] of Integer; function V(X,Y: Integer): Integer; begin if X = 1 then V := (R-1) mod (N-Y) else V := (R + V(X-1, Y+1)) mod (N-Y); end; begin Karty1 ClrScr; Write(’Pocet karet: ’); ReadLn(N); Write(’Kterou vylozit: ’); ReadLn(R); WriteLn; for K := 1 to N do Ročník 86 (2011), číslo 1

19

INFORMATIKA

begin Z := V(K,0); Balicek[Z] := K; end; {vystup vysledku:} for K := 1 to N do begin WriteLn(K:3,’. ’,Balicek[K-1]:3); if (K mod 8) = 0 then WriteLn end; ReadLn end {program Karty1} V další úloze si situaci trochu zkomplikujeme. Úloha 2. Máme balíček n karet s čísly 1, 2, 3, . . . , n a dále máme k-tici p1 , p2 , . . . , pk a l-tici q1 , q2 , . . . , ql přirozených čísel. Uvažujme posloupnost (Pm ), v níž se k-tice p1 , p2 , . . . , pk periodicky opakují, a posloupnost (Qm ), v níž se l-tice q1 , q2 , . . . , ql rovněž periodicky opakují. Najděte uspořádání balíčku karet tak, aby pro vyložení karet způsobem: pro ” i = 1, 2, . . . je Pi karet dáno postupně dospodu balíčku střídavě s tím, že Qi karet se postupně vyloží na stůl“, byly všechny karty nakonec vyloženy v pořadí 1, 2, 3, . . . , n. Příklad Mějme p1 , p2 , p3 = 3, 2, 1, q1 , q2 = 2, 3. Vyložení karet podle podmínek úlohy 2 má proběhnout takto: P1 = p1 = 3 karty dospodu balíčku, Q1 = q1 = 2 vyložit: 1, 2; P2 = p2 = 2 karty dospodu, Q2 = q2 = 3 vyložit: 3, 4, 5, P3 = p3 = 1 karta dospodu, Q3 = q1 = 2 vyložit: 6, 7; P4 = p1 = 3 karty dospodu, Q4 = q2 = 3 vyložit: 8, 9, 10; P5 = p2 = 2 karty dospodu, Q5 = q1 = 2 vyložit: 11, 12; P6 = p3 = 1 karta dospodu, Q6 = q2 = 3 vyložit: 13, 14, 15; atd. Řešení: Počítač můžeme pověřit pilnou prací, a proto je myšlenkově jednodušší balíček karet přímo naskládat (podle pravidla (p, q) formulovaného v zadání úlohy 2) způsobem jako v 1◦ . Postup: Vytvoříme prázdný balíček, resp. balíček naplněný 32 prázdnými místy (počet je volitelný), a pak v cyklu postupně zasouváme karty 1, 2, 3, . . . , 32 na ta místa, kam patří. Jak? Nejprve v balíčku vynecháme 20


INFORMATIKA

P1 karet (tj. ponecháme v souboru Balicek na prvních p1 místech nulovou hodnotu), pak do následujících Q1 míst, které dosud mají nulovou hodnotu, vložíme karty s čísly 1, 2, . . . , Q1 . Pak postupujeme dál s rostoucím indexem Ind a na dalších P2 místech, kde najdeme nulovou hodnotu, ji ponecháme, a na Q2 dalších míst, kde najdeme nulovou hodnotu, vložíme čísla Q1 + 1, . . . , Q1 + Q2 . Tak pokračujeme stále dokola (cyklus repeat) postupně pro další Pi , Qj (v programu P[JP], Q[JQ]) v cyklech while. Ukazatel Ind na kartu, s níž právě operujeme, sice stále roste, ale příslušné místo v balíčku zůstává díky příkazu Ind mod N stále v patřičném rozmezí 0 až N − 1. Nejprve je však třeba vyřešit vstupy. Volíme N počet karet a v souboru Balicek pro ně rezervujeme místa s indexy Ind od 0 (horní karta v balíčku) až po N − 1 (spodní karta). Stejně jako v předchozím programu je hodnotou Balicek[I] číslo karty, která je v balíčku na místě I + 1; kartu, kterou vykládáme jako I-tou, tedy najdeme v Balicek[I-1] (viz tisk výsledku). Počet k čísel pi i počet l čísel qj může být libovolný, proto volíme jejich zadání jako k-tice, resp. l-tice s koncovým znakem (např. 0). V našem příkladu volíme vstupy pi jako 3, 2, 1, 0; počet pi označíme PP (= 3). Vstupy qj volíme jako 2, 3, 0 a jejich počet označíme QQ (= 2). Posloupnosti (Pm ), (Qm ) budeme realizovat pomocí indexů JP, JQ = 1, 2, . . . a pomocí příkazů Inc(JP); if JP > PP then JP := 1; resp. Inc(JQ); if JQ > QQ then JQ := 1; Po umístění karty N vystoupí na obrazovku výsledné uspořádání karet v balíčku. program Karty2; uses Crt; var N: Integer; {pocet karet} P, Q: array [1..9] of Integer; {pocet skupin, P dospodu, Q vylozit} PP, QQ: Integer; {velikost skupin P,Q} JP, JQ: Integer; {indexy skupin v polich P,Q} I, J, Ind, IP, IQ: Integer; Ročník 86 (2011), číslo 1

21

INFORMATIKA

{I index cyklu, J postupne umistovana cisla; Ind index vysetrovaneho mista; IP index od 1 do P[JP]; IQ index od 1 do Q[JQ];} Balicek: array [0..31] of Integer; begin {Karty2} ClrScr; {vstupy} Write(’Pocet karet: ’); ReadLn(N); WriteLn(’Dospodu stridave (koncovy znak 0): ’); PP := 0; repeat Inc(PP); ReadLn(P[PP]) until P[PP] = 0; Dec(PP); WriteLn(’Vylozit stridave (koncovy znak 0): ’); QQ := 0; repeat Inc(QQ); ReadLn(Q[QQ]) until Q[QQ] = 0; Dec(QQ); WriteLn; {nulovani balicku} for I := 0 to N do Balicek[I] := 0; {cyklus naskladani karet do balicku} J := 1; Ind := 0; JP := 1; JQ := 1; repeat {P[JP] karet dospodu} IP := 1; while (IP <= P[JP]) and (J <= N) do begin if (Balicek[Ind mod N] = 0) then Inc(IP); Inc(Ind) end; Inc(JP); if JP > PP then JP := 1; {Q[JQ] karet vylozit} IQ := 1; 22


INFORMATIKA

while (IQ <= Q[JQ]) and (J <= N) do begin if (Balicek[Ind mod N] = 0) then begin Balicek[Ind mod N] := J; Inc(J); Inc(IQ) end; Inc(Ind) end; Inc(JQ); if JQ > QQ then JQ := 1; until J > N; {vystup vysledku:} for I := 1 to N do begin WriteLn(I:3, ’.’,Balicek[I-1]:3,’ ’); if (I mod 8) = 0 then WriteLn end; ReadLn end {program Karty2} Jestliže máme např. 16 karet (N = 16) a chceme je připravit na systém vyložení jedna dospodu, jedna vyložit“, pak v prvním programu Karty1 ” volíme Kterou vyložit: 2 nebo ve druhém programu Karty2 volíme Dospodu střídavě: 1 a pak koncový znak 0, Vyložit střídavě: 1 a koncový znak 0. V obou případech dostaneme balíček v uspořádání: 16 1 9 2 13 3 10 4 15 5 11 6 14 7 12 8

Literatura [1] Trávníček, S.: Na koho to slovo padne. Rozhledy matematicko-fyzikální 49, č. 10 (1970–71), s. 433–438.


23

HISTORIE Známka a mince k 600. výročí Staroměstského orloje v Praze Zdeněk Janout, Ústav technické a experimentální fyziky ČVUT, Praha Abstract. The article describes the postal stamp and the memory coin emitted on the occasion of the 600th Anniversary of the establishment of Prague Astronomical Clock.

Nestává se tak často, aby během jednoho roku vydala Česká pošta dvě poštovní známky věnované astronomii. V předloňském roce, u příležitosti Mezinárodního roku astronomie – 2009, to byla známka s portrétem astronoma Johannese Keplera (1571–1630) [1]. V loňském roce byla dne 16. 6. 2010 vydána známka v hodnotě 21 Kč u příležitosti 600. výročí Staroměstského orloje, který je umístěn na jižní stěně Staroměstské radnice v Praze 1. Orloj je pokládán za nejstarší a nejznámější astronomickou památku v Praze. Jde o unikátní dílo zkonstruované roku 1410 hodinářským mistrem Mikulášem z Kadaně. Podotkněme, že v té době již jeden orloj existoval, a to v italské Padově od roku 1344. Poradcem a duchovním otcem pražského orloje byl astronom krále Václava IV. a rektor pražské univerzity Jan Šindel. V roce 1490 byl orloj upraven mistrem Hanušem do podoby, kterou známe dnes. K rekonstrukci a ke zdokonalení orloje došlo v letech 1552 až 1560 univerzitním mistrem Janem Táborským. Procesí dvanácti apoštolů pochází z roku 1659. Od té doby byl orloj pouze opravován, aniž by doznal podstatnější změny. Až v devatenáctém století (1866) byl lihýř, vodorovné vahadlo, které zajišťovalo rovnoměrný chod hodin, odstraněn a nahrazen chronometrem postaveným Romualdem Božkem, druhým synem Josefa Božka1) . V této době byl orloj doplněn kalendářní deskou s obrazy Josefa Mánesa. V květnu 1945, během pražského povstání, byl orloj těžce poškozen a prošel v letech 1945 až 1948 velkou rekonstrukcí. Poslední oprava byla provedena 1)

Josef Božek (1782–1835) český mechanik, konstruktér, vynálezce; známý především konstrukcí prvního parního vozu v českých zemích, který předvedl 17. 9. 1815 ve Stromovce. Pro hvězdárnu v Klementinu sestrojil v roce 1812 přesné hodiny, které byly používány až do roku 1984.

24


HISTORIE

v roce 2005, při níž byl stroj orloje rozebrán, některá soukolí opravena nebo vyměněna a zase složen zpět. Orloj ukazuje středoevropský čas, polohu Slunce, Měsíce nad pražským obzorem a na ekliptice, fáze Měsíce a zvěrokruh. Za 600 let své existence orloj prošel dramatickou historií. Mnoho let nefungoval, měl být i zrušen a dán do starého železa. Vždy se ale našel někdo, kdo orloj opravil a zachránil. Další informace o historii pražského orloje, jakož i různé pověsti s ním spojené, může čtenář nalézt na webových stránkách [2]. Málo se ví o tom, že Staroměstský orloj má svou kopii v jihokorejském Soulu [2]. Na obr. 1 je ukázána obálka prvního dne vydání (16. 6. 2010) s poštovní známkou věnovanou orloji. Známka je vytištěna ofsetem a zobrazuje orloj v noci. Podle postavení ručiček na orloji jde o den 28. října v půl čtvrté ráno. Proto je i vpravo od orloje vidět hvězdné nebe. V levé části obálky je zobrazeno soukolí orloje. Autorem výtvarného návrhu je prof. Adolf Absolon, rytcem je Martin Srb. Odborným poradcem výtvarníka byl doc. RNDr. Martin Šolc, CSc. z Astronomického ústavu MFF UK.

Obr. 1: Obálka prvního dne vydání Ročník 86 (2011), číslo 1

25

HISTORIE

Slavnostní křest této známky proběhl 18. června 2010 na Staroměstské radnici v Brožíkově sále. Během slavnostní akce vystoupili autor známky prof. A. Absolon, vedoucí oddělení známkové tvorby České pošty Břetislav Janík a doc. M. Šolc, který ve svém vystoupení hovořil o historii orloje. Poté proběhla autogramiáda; prof. A. Absolon a rytec M. Srb podepisovali obálky prvního dne vydání (obr. 1), příležitostné dopisnice s přítiskem orloje a další pamětní listy vydané k této příležitosti. Toho dne bylo k této události používáno na hlavní poště v Jindřišské ulici příležitostní razítko (obr. 1). Dalším suvenýrem byl originální přítisk orloje na kuponech známky hodnoty 10 Kč (květiny) (obr. 2). Známky této nominální hodnoty lze použít k frankování tuzemské korespondence, zatímco známka s orlojem má vysokou nominální hodnotu 21 Kč a je určena k frankování obyčejných zásilek o hmotnosti do 50 g do evropských zemí.

Obr. 2: Známka s orlojem

Stojí za připomenutí, že pražský orloj se objevil již na dřívějších známkách. V roce 1978 vydala československá pošta u příležitosti Světové výstavy poštovních známek PRAGA 1978 sérii pěti známek včetně aršíku Staroměstský orloj v Praze. O devět let později (1987) byla vydána série tří známek k 125. výročí Jednoty československých matematiků a fyziků [3]. Na jedné z nich je zobrazen astroláb orloje. Významné výročí orloje připomněla i Česká národní banka vydáním pamětní stříbrné mince o nominální hodnotě 200 Kč k 600. výročí vy” 26


HISTORIE

budování mimořádného architektonického díla – Staroměstského orloje v Praze“ (obr. 3). Hlavním tématem lícní strany jsou postavy čtyř apoštolů ze Staroměstského orloje umístěné ve čtvercovém výřezu. Na rubové straně se nachází hodinový stroj Staroměstského orloje, při jehož levém okraji je zobrazena lebka jako symbol pomíjivosti času. Autorem mince je akademický sochař Ivan Řehák. Technické parametry mince jsou: ryzost 900/1000 Ag, 100/1000 Cu, hmotnost 13 g, průměr 31 mm. Ražbu provedla Česká mincovna v Jablonci. Prodejní cena mince je 522 Kč. Mince byla uvedena do oběhu dne 17. 6. 2010.

Obr. 3: Pamětní mince s orlojem

Pražský orloj je pokládán za vrcholné dílo české gotické vědy a techniky a současně je to skvostná umělecká památka. Patří mezi nejkrásnější orloje na světě.

Literatura [1] Janout, Z.: Astronomická emise České pošty. Rozhledy matematicko– fyzikální 84, č. 4 (2009), s. 1–3.

[2] http://www.astronomicalclock.cz/cesky/historie.html. [3] Janout, Z.: Výročí Jednoty československých matematiků a fyziků na poštovních známkách. Rozhledy matematicko–fyzikální 66, č. 7 (1987/88), s. 303.


27

HISTORIE

Čo poznáme z dejín matematiky Dušan Jedinák, Trnavská univerzita v Trnave Abstract. The article presents several questions which will help the readers orientate themselves in the history of mathematics.

1. Do ktorého obdobia patria staroegyptské dokumenty Moskovský a Rhindov papyrus? a) viac než 2 500 rokov pred n. l. c) 1 200–1 000 rokov pred n. l.

b) 1 900–1 800 rokov pred n. l. d) menej ako 800 rokov pred n. l.

2. Z ktorého obdobia sú Euklidove Základy? a) viac než 800 rokov pred n. l. c) 310–280 rokov pred n. l.

b) 600–500 rokov pred n. l. d) 150–100 rokov pred n. l.

3. Kto vypracoval prvú známu metódu určovania postupnosti prvočísiel? a) Táles

b) Eratostenes

c) Brahmagupta

d) Diofantos

4. Ktorý problém nebol matematickým problémom staroveku? a) trisekcia uhla c) hypotéza kontinua

b) duplicita kocky d) kvadratúra kruhu

5. Kto napísal dielo Päť kníh o trojuholníkoch všetkých druhov, ktoré je prvým systematickým výkladom o trigonometrii? a) Hieronymus Cardano c) Leonardo Pisánsky-Fibonacci

b) Raffael Bombelli d) Johannes Müller-Regiomontanus

6. V ktorom roku uverejnil G. W. Leibniz (1646–1716) svoju významnú prácu Kombinatorické umenie? a) 1666

b) 1676

c) 1686

d) 1696

7. Kto je autorom práce Introdukcio in analysis infinitorum z roku 1748? a) G. Leibniz 28

b) L. Euler

c) P. S. Laplace

d) A. Morgan


HISTORIE

8. Koľko vedeckých pojednaní z rôznych odvetví matematiky zanechal L. Euler (1707–1783)? a) 143

b) 214

c) 300

d) 886

9. V ktorom roku podal nórsky matematik N. H. Abel (1802–1829) dôkaz pre nemožnosť riešenia všeobecnej rovnice piateho stupňa pomocou radikálov? a) 1822

b) 1823

c) 1824

d) 1825

10. Kto zaviedol ako prvý pojem vektor (v roku 1833)? a) B. Peirce

b) J. Plücker

c) J. Liouville

d) W. R. Hamilton

11. Kto zostavil úplnú axiomatickú sústavu geometrie? a) D. Hilbert

b) F. Klein

c) P. Cohen

d) J. Steiner

12. Ktorá matematická formula sa považuje za najkrajšiu? b) ei + 1 = 0 a) P = np · pk · (1 − p)k c) Herónov vzorec

d) Pascalov trojuholník

13. Ako sa volá tvrdenie, že každé prirodzené párne číslo väčšie než 2 je možné zapísať ako súčet dvoch prvočísiel alebo ako súčet prvočísla a čísla 1 ? a) Bernoulliho formula c) Descartovo pravidlo

b) Brahmaguptova veta d) Goldbachova domnienka

14. Ktorý z dolu uvedených matematikov niekedy získal Fieldsovu cenu? a) E. Čech

b) R. Descartes

c) G. Green

d) R. Thom

15. Kto je autorom známej myšlienky: Neexistuje ani jedna oblasť matematiky, a to akokoľvek abstraktná, ktorá by sa niekedy nedala aplikovať na javy reálneho sveta? a) N. I. Lobačevskij c) G. W. Leibniz

b) C. F. Gauss d) H. L. Lebesgue

Správne odpovede na str. 60


29

HISTORIE

Listy z kalendára Dušan Jedinák, Trnavská univerzita v Trnave Thomas Alva EDISON — (11. 2. 1847 – 8. 10. 1931) Bol synom starožitníka holandského pôvodu a škótskej učiteľky. Do verejnej školy chodil iba tri mesiace. Vyskúšal mnohé remeslá i obchodovanie. Vedel byť nepríjemne pracovitý a vytrvalý. Prihlásil okolo 1 300 patentov. S jeho menom a firmou sú spojené vynálezy – žiarovka, uhlíkový mikrofón, fonograf, poistka, vypínač, objímka, dynamo, elektromer, kinetograf, kinetoskop, zvukový film, syntetický fenol, žuvacia guma, využitie cementu, magnetické triediče, ale aj návrhy na elektrickú lokomotívu, zdokonalenie ponorky a torpéda. Ponúkol vynálezy: elektrický sčítač hlasov, zlepšený písací stroj, upravený šijací stroj, rozmnožovací kopírovací stroj, regulátor elektrických strojov, alkalický akumulátor. Uviedol do prevádzky prvú verejnú elektráreň a elektrický rozvod až do bytov. Edison, americký priekopník vynálezcovstva, bezhranične otvoril cestu všetkým impulzom technickej tvorivosti, organizoval objaviteľskú náhodu, industrializoval experimentáciu. Z myšlienok • Nebol som žiadnym vedcom. Bol som vynálezcom. . . Vynálezca musí byť predovšetkým básnikom, musí mať fantáziu. . . Vo vynálezcovstve je 90 % driny a jedno percento nápadu. . . Dobrý vynález je ten, ktorý je tak praktický, že každý je nútený si ho zakúpiť. • Túžil som vždy objavovať prírodné tajomstvá a chcel som ich využívať na rozmnoženie ľudského šťastia. • Tak ako hrdzavie železo, keď ho nepoužívame, tak sa znehodnocuje aj duch, ak ho nechávame v nečinnosti. • Prichádzať na udivujúce objavy je ľahké. Veľmi ťažké je zdokonaliť ich do takej miery, aby mohli nájsť praktické použitie. • Tajomstvo úspechu v živote nie je robiť to, čo sa nám páči, ale nájsť zaľúbenie v tom, čo robíme. 30


HISTORIE

• Jediná vec, pre ktorú strácam trpezlivosť, sú hodiny – idú veľmi rýchlo. . . Spať štyri hodiny je povinnosť, päť hodín pohodlie, šesť hodín zaháľanie. • K cieľu treba ísť pokusmi a učiť sa na chybách. • Najväčší rešpekt a najväčší obdiv mám pre všetkých inžinierov, zvlášť pre najväčšieho medzi nimi: pre Boha.

Listy z kalendára Dušan Jedinák, Trnavská univerzita v Trnave Werner HEISENBERG — (5. 12. 1901 – 1. 2. 1976) Nemecký teoretický fyzik, ktorý sa stal jedným z najmladších nositeľov Nobelovej ceny. Spoznal. že atómové procesy sa nedajú znázorniť mechanickými modelmi ako deje v makrokozme. Pri sledovaní atómu pozorujeme frekvenciu a intenzitu vyžarovaného svetla. Nepatrný atóm sa stal pomerne nenázorným abstraktným útvarom fyzikálnych rovníc, matematicko-symetrickým tvarom. Formuloval matematický aparát maticovej formy kvantovej mechaniky (1925), vyjadril relácie neurčitosti v mikrosvete (1927; súčin neurčitosti polohy telesa a neurčitosti jeho hybnosti je väčší alebo nanajvýš sa rovná Planckovej konštante, to znamená, že je principiálne nemožné súčasne zmerať polohu aj hybnosť v tom istom čase s úplnou presnosťou), navrhol model štruktúry atómového jadra skladajúceho sa z protónov a elektrónov a zdôvodnil teóriu jadrových síl. Vedel, že mikrosvet je určitým spôsobom maskou, ktorú na seba berie energia, keď sa chce stať hmotou. Kvantová mechanika otvorila bránu šírenia pohľadu na vzťahy medzi ľudským duchom a skutočnosťou. Cez druhú svetovú vojnu nespolupracoval na vojenských aplikáciách jadrovej fyziky. Nepristúpil na žiadne kompromisy so svojim svedomím. Neskôr viedol nukleárny výskum v ženevskom stredisku CERN. Usiloval sa aj o jednotnú teóriu poľa a skúmal filozofické problémy prírodných vied. Ročník 86 (2011), číslo 1

31

HISTORIE

Z myšlienok • Mal som pocit, že sa pozerám cez povrch atomárnych javov na základ pozoruhodnej vnútornej krásy ležiaci hlboko pod nim a dostal som takmer závrat pri myšlienke, že mám sledovať túto dokonalosť matematických štruktúr, ktoré príroda predo mnou rozostrela. • Prírodné vedy nepopisujú a nevysvetľujú prírodu. Sú iba časťou hry medzi prírodou a nami. Popisujú prírodu, ako odpovedá našej metóde otázok. . . Ani vo vede už nie je predmetom výskumu príroda sama o sebe, ale ľudské skúmanie prírody. • Pôvodným, prvotným jazykom, ktorý vzniká v procese vedeckého osvojovania si faktov, je pre teoretickú fyziku obvykle jazyk matematiky a zvlášť matematická schéma, ktorá fyzikom dovoľuje predpovedať výsledky budúcich experimentov. • Ideály a geniálne myšlienky nie sú zodpovedné za to, čo z nich urobia ľudia. • Život, hudba a veda budú, merané ľudskými mierami, vždy pokračovať. • Nikdy nebude možné dôjsť iba racionálnym myslením k absolútnej pravde. • Množstvo nevysvetliteľných javov sa zväčšuje vďaka procesu poznávania. ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ STRACH Z VAKUA V starých knihách psáno stojí: Příroda se prázdna bojí. Dnes to věda jinak vidí: Příroda se bojí lidí! Emil Calda*)

*) Úvod do obecné teorie prostoru, Karolinum, Praha, 2003

32


PRO ŽÁKY ZÁKLADNÍCH ŠKOL Deset úloh František Kuřina, Univerzita Hradec Králové Abstract. The article presents ten interesting problems of elementary mathematics.

Řešení úloh je důležitou složkou studia matematiky. Je to analogie řešení problémů, kterými se zabývá libovolná vědecká disciplína. Ve škole se setkáváte s nejrůznějšími úlohami; od rutinních úloh, které slouží k nácviku algoritmů, k úlohám, které mají připravit porozumění pojmům a teoriím až k úlohám matematické nebo fyzikální olympiády, které mají charakter problémů. K řešení některých úloh postačí znalost příslušné teorie, jiné úlohy se nám nedaří vyřešit, ačkoliv všechno potřebné známe. V tomto příspěvku uvedeme deset úloh na jeden nápad , úloh velmi jednoduchých, ale přece jen ne mechanicky řešitelných. A protože nápad je jako sníh, musí napadnout, mohou být takovéto úlohy přínosné pro rozvíjení matematické intuice, která je potřebná pro řešení složitějších úloh a problémů a patrně i pro jakoukoliv tvořivou práci. Úlohy U1: Kolikrát musíme sečíst číslo a = 0, abychom dostali výsledek an , kde n je nějaké přirozené číslo? U2: Může být pro některé přirozené n číslo n2 +n+1 druhou mocninou přirozeného čísla? U3: Číše tvaru rotačního kužele s vrcholem dole je naplněna do poloviny výšky. Jakou část objemu zbývá dolít, aby číše byla plná? U4: Je-li součet koeficientů kvadratické rovnice roven nule, má tato rovnice aspoň jeden kořen rovný 1. Proč? U5: Každé prvočíslo větší než 5 můžeme psát buď ve tvaru 6k +1 nebo 6k + 5, kde k je přirozené číslo. Proč? U6: V lichoběžníku se základnami AB a CD je U průsečík úhlopříček. Mají trojúhelníky AUD a BUC stejný obsah? Proč? U7: Existují shodné geometrické útvary U , V , pro které platí zároveň: U je částí V a V není částí U ? U8: Je možné rozdělit krychli na 3 shodné jehlany? Je možné rozdělit krychli na 6 shodných jehlanů? Ročník 86 (2011), číslo 1

33

PRO ŽÁKY ZÁKLADNÍCH ŠKOL

U9: Je možné, aby měl geometrický útvar dva různé středy souměrnosti? U10: Je možné rozdělit trojúhelník (čtverec) na lichoběžníky? Jak? Jak takovéto úlohy pojmenovat? Již v roce 1945 vydal známý americký matematik maďarského původu George Polya knihu How to solve it? , jejíž titul bychom mohli volně přeložit Jak na to? Rusky byla vydána tato kniha pod názvem Kak rešať zadaču? , polsky pak s titulem Jak to rozwiąza¸c ? Jiný americký matematik Charles Trigg vydal v roce 1967 knihu, která obsahuje mnohé úlohy, o něž nám jde v tomto příspěvku, s názvem Mathematical Quickies (její ruský překlad nese název Zadači s izjuminkoj ). Američané tedy zdůrazňují u úloh možnost jejich okamžitého řešení (patrně vhledem) (quick znamená živý, rychlý, mrštný, pohyblivý, ostrý, prudký, rázný, pohotový, vnímavý). Rusové pak spíše jejich půvab (izjuminka znamená rozinku, přitažlivost, vábivost, svéráz, zvláštní rys). Podnětem k napsání tohoto příspěvku byla konference Ani jeden matematický talent nazmar , konaná v Hradci Králové v roce 2009. Při příležitosti této konference byl vydán spisek Diamant aneb DIAgnóza MAtematického Nadání a Talentu, který můžete (až do vyčerpání zásob) získat zdarma na adrese Katedra matematiky PdF UHK, Rokitanského 62, 500 03 Hradec Králové. Uvítám, navrhnete-li vhodný český termín pro studovaný typ úloh a budete-li si všímat takovýchto úloh – otázek ve vašich učebnicích a na hodinách matematiky. Zkušenosti s úlohami U1–U10 nám můžete prostřednictvím redakce sdělit. Řešení úloh je na str. 60. Nejzajímavější je ale vyřešit si úlohy sami. Literatura [1] [2] [3] [4] [5]

34

Polya, G.: How to solve it? Princeton University Press, Princeton, 1945. Polya, G.: Jak to rozwiąza¸c? PWN, Warszawa, 1964. Trigg, Ch.: Mathematical Quickies. McGraw-Hill, New York, 1967. Trigg, Ch.: Zadači s izjuminkoj. Mir, Moskva, 1975. Zhouf, J. (ed.): Ani jeden matematický talent nazmar. In: Sborník příspěvků 4. ročníku konference, JČMF, Hradec Králové, 2009.


SOUTĚŽE Úlohy domácího kola 61. ročníku Matematické olympiády pro žáky středních škol Kategorie A 1. Označme n součet všech desetimístných čísel, která mají ve svém dekadickém zápise každou z číslic 0, 1, . . . , 9. Zjistěte zbytek po dělení čísla n sedmdesáti sedmi. (Pavel Novotný) 2. Na setkání bylo několik lidí. Každí dva, kteří se neznali, měli mezi ostatními přítomnými právě dva společné známé. Účastníci A a B se znali, ale neměli ani jednoho společného známého. Dokažte, že A i B měli mezi přítomnými stejný počet známých. Ukažte rovněž, že na setkání mohlo být právě šest osob. (Vojtech Bálint) 3. Označme S střed kružnice vepsané, T těžiště a V průsečík výšek daného rovnoramenného trojúhelníku, který není rovnostranný. a) Dokažte, že bod S je vnitřním bodem úsečky T V . b) Určete poměr délek stran daného trojúhelníku, je-li bod S středem úsečky T V . (Jaromír Šimša) 4. Nechť p, q jsou dvě různá prvočísla, m, n přirozená čísla a součet mp − 1 nq − 1 + q p je celé číslo. Dokažte, že platí nerovnost m n + > 1. q p (Jaromír Šimša) 5. Jsou dány dvě shodné kružnice k1 , k2 o poloměru rovném vzdálenosti jejich středů. Jejich průsečíky označme A a B. Na kružnici k2 zvolme bod C tak, že úsečka BC protne kružnici k1 v bodě různém od B, Ročník 86 (2011), číslo 1

35

SOUTĚŽE

který označíme L. Přímka AC protne kružnici k1 v bodě různém od A, který označíme K. Dokažte, že přímka, na níž leží těžnice z vrcholu C trojúhelníku KLC, prochází pevným bodem nezávislým na poloze bodu C. (Tomáš Jurík ) 6. Najděte největší reálné číslo k takové, že nerovnost 2(a2 + kab + b2 ) √ ≥ ab (k + 2)(a + b) platí pro všechny dvojice kladných reálných čísel a, b.

(Ján Mazák )

Kategorie B 1. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. (Jaroslav Zhouf ) 2. Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C, jehož obsah označme P . Nechť F je pata výšky z vrcholu C na přeponu AB. Na kolmicích k přímce AB, které procházejí vrcholy A a B, v polorovině opačné k polorovině ABC uvažujme po řadě body D a E, pro něž platí |AF | = |AD| a |BF | = |BE|. Obsah trojúhelníku DEF označme Q. Dokažte, že platí P ≥ Q, a zjistěte, kdy nastane rovnost. (Jaroslav Švrček ) 3. Najděte všechny dvojice reálných čísel x, y, které vyhovují soustavě rovnic x · y = 7, y · x = 8. (Zápis a značí dolní celou část čísla a, tj. největší celé číslo, které nepřevyšuje a.) (Pavel Novotný) 4. Jsou dány dvě různoběžky a, c procházející bodem P a bod B, který na nich neleží. Sestrojte pravoúhelník ABCD s vrcholy A, C a D po řadě na přímkách a, c a P B. (Jaromír Šimša) 36


SOUTĚŽE

5. V jistém městě mají vybudovanou síť na šíření pomluv, v níž si každý pomlouvač vyměňuje informace se třemi pomlouvačkami a každá pomlouvačka si vyměňuje informace se třemi pomlouvači. Jinak se pomluvy nešíří. a) Dokažte, že pomlouvačů a pomlouvaček je stejný počet. b) Předpokládejme, že síť na pomlouvání je souvislá (pomluvy od libovolného pomlouvače a libovolné pomlouvačky se mohou dostat ke všem ostatním). Dokažte, že i když jeden pomlouvač zemře, zůstane síť souvislá. (Ján Mazák ) 6. Anna a Bedřich hrají karetní hru. Každý z nich má pět karet s hodnotami 1 až 5 (od každé jednu). V každém z pěti kol oba vyloží jednu kartu a kdo má vyšší číslo, získá bod. V případě karet se stejnými čísly nezíská bod nikdo. Použité karty se do hry nevracejí. Kdo získá na konci více bodů, vyhrál. Kolik procent ze všech možných průběhů takové hry skončí výhrou Anny? (Tomáš Jurík ) Kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax2 + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek 2, při dělení dvojčlenem x + 2 zbytek 1, přičemž p(1) = 61. (Jaromír Šimša) 2. Délky stran trojúhelníku jsou v metrech vyjádřeny celými čísly. Určete je, má-li trojúhelník obvod 72 m a je-li nejdelší strana trojúhelníku rozdělena bodem dotyku vepsané kružnice v poměru 3 : 4. (Pavel Leischner ) 3. Najděte všechny trojice přirozených čísel a, b, c, pro něž platí množinová rovnost (a, b), (a, c), (b, c), [a, b], [a, c], [b, c] = {2, 3, 5, 60, 90, 180}, kde (x, y) a [x, y] značí po řadě největší společný dělitel a nejmenší společný násobek čísel x a y. (Tomáš Jurík ) 4. Reálná čísla a, b, c, d vyhovují rovnici ab + bc + cd + da = 16. a) Dokažte, že mezi čísly a, b, c, d se najdou dvě čísla se součtem nejvýše 4. b) Jakou nejmenší hodnotu může mít součet a2 + b2 + c2 + d2 ? (Ján Mazák ) Ročník 86 (2011), číslo 1

37

SOUTĚŽE

5. Je dán rovnoramenný trojúhelník se základnou délky a a rameny délky b. Pomocí nich vyjádřete poloměr R kružnice opsané a poloměr r kružnice vepsané tomuto trojúhelníku. Pak ukažte, že platí R 2r, a zjistěte, kdy nastane rovnost. (Leo Boček ) 6. Na hrací desce n×n tvořené bílými čtvercovými poli se Markéta a Tereza střídají v tazích jedním kamenem při následující hře. Nejprve Markéta umístí kámen na libovolné pole a toto pole obarví modře. Dále vždy hráčka, která je na tahu, provede s kamenem skok na pole, které je dosud bílé, a toto pole obarví modře. Přitom skokem rozumíme obvyklý tah šachovým jezdcem, tj. přesun kamene o dvě pole svisle nebo vodorovně a současně o jedno pole v druhém směru. Hráčka, která je na řadě a již nemůže táhnout, prohrává. Postupně pro n = 4, 5, 6 rozhodněte, která z hráček může hrát tak, že vyhraje nezávisle na tazích druhé hráčky. (Pavel Calábek )

Úlohy 52. ročníku fyzikální olympiády, kategorie G – Archimédiáda Ivo Volf, Univerzita Hradec Králové a Ústřední komise FO FO52G1 Kolik naložíme Automobilový přívěs, který využívají chalupáři k přepravě materiálu, má nákladovou plochu o rozměrech: šířka 1,40 m, délka 1,60 m a výška hrazení 40 cm. Přívěs má nosnost 560 kg. a) Na přívěsu je třeba přepravit písek pro stavební úpravy. Do jaké výšky lze sypat na přívěs písek, aby nebyl přívěs přetížen? Hustota suchého písku je podle tabulek 1 500 kg/m3 . b) Během cesty řidič zastavil na svačinu, avšak začalo pršet tak, že spadlo 20 mm/m2 . Voda se vsákla do písku. Jak se změnila hmotnost nákladu a jaká byla hustota mokrého písku? c) Řidič při další cestě do prodejny stavebnin nakoupil několik betonových sloupů na stavbu plotu. Výška sloupků byla 180 cm, jejich čtvercový kolmý řez měl délku strany 20 cm, hustota betonu je 2 400 kg/m3 . Kolik sloupků mohl řidič naložit na přívěs a jak je umístil? 38


SOUTĚŽE

d) Na plot musel řidič dovézt ještě tyčky. Zvolil délku tyček 155 cm, každá tyčka měla tloušťku 2,5 cm a šířku 5,0 cm, hustota suchého dřeva je 400 kg/m3 . Kolik tyček mohl řidič naložit na přívěs, když ho tyčkami právě naplnil? Jestliže při stavbě plotu dodržoval vzdálenost mezi tyčkami 7,5 cm, jak dlouhý plot mohl z jedné přivezené dávky sestavit? FO52G2 Noční jízda F1 V roce 2009 byly zahájeny první mezinárodní závody Formule 1 při umělém osvětlení. Trasa byla připravena v Singapuru. Jedno kolo má délku 5,073 km a jede se 61krát. Při závodech v roce 2009 dosáhl vítěz Lewis Hamilton z týmu Vodafone McLaren Mercedes celkového času 1 h 56 min 06,337 s. Nejrychlejší v jednom kole byl Fernando Alonso z týmu Renault s časem 1 min 48,24 s. a) Jaké průměrné doby jízdy v jednom kole dosáhl vítěz závodu? b) Jakého času by dosáhl druhý jmenovaný závodník, kdyby udržel nejrychlejší tempo? c) Jaká byla průměrná rychlost obou závodníků na trase? d) Prohlédni si stránky http://www.singaporegp.sg/ a vysvětli, proč nemůže závodník jet stále největší rychlostí. FO52G3 Předjíždění autobusů V některých městech jezdí kloubové autobusy, jejichž délku odhadneme na 20 m. Představte si, že po dvouproudé, dosti dlouhé přímé silnici jede takový autobus stálou rychlostí 45 km/h a za ním v bezpečné vzdálenosti další autobus povolenou rychlostí 63 km/h. Řidič druhého autobusu se rozhodl předjíždět. Když se dostal do vzdálenosti 15 m za zadní část prvního autobusu, vybočil z pravého jízdního pruhu, předjel první autobus a zařadil se zpět do pruhu tak, že vzdálenost mezi autobusy byla 10 m. a) Jak dlouho trvalo předjíždění autobusů? b) Jakou dráhu při předjíždění urazily jednotlivé autobusy? K řešení si nakresli obrázek nebo vystřihni model autobusů ve tvaru obdélníka a situaci znázorni k lepšímu pochopení (v každém případě načrtni v protokolu řešenou situaci). FO52G4 Pohyb motocyklu při tréninku Úloha se týká pohybu motocyklu, jehož rozměry jsou poměrně malé vzhledem k dalším vzdálenostem, a proto si ho můžeme představit jen jako bod. Při tréninku na závody vyráží motocykl z klidu a po době Ročník 86 (2011), číslo 1

39

SOUTĚŽE

25 s dosáhne okamžité rychlosti 126 km/h. Touto rychlostí se bude dále pohybovat po trase 700 m, pak začne zpomalovat tak, že jeho rychlost se zmenšuje přímo úměrně s časem, a po době 140 s zastaví přesně na místě, z něhož vyrazil, tedy přesně po absolvování jednoho okruhu závodní trasy. a) Zjisti, jak dlouho pojede motocykl stálou rychlostí. b) Načrtni graf v(t) změn rychlosti v závislosti na čase. c) Urči délku trasy, kterou motocyklista urazil, a průměrnou rychlost, které dosáhl. d) Porovnej, jak by se změnila dráha rozjíždění, kdyby se motocyklista rozjížděl pouze 20 s, jak by se změnila dráha rovnoměrného pohybu a doba pro její absolvování, a tedy i výsledky pro jedno zkušební kolo závodu. FO52G5 Určování těžiště rovinných obrazců Těžiště tenké desky je bod, v němž lze zavěsit nebo podepřít tuto desku, aby zůstala v určité, volné rovnovážné poloze. Tvým úkolem je stanovit experimentálně těžiště několika desek pravidelného nebo i nepravidelného tvaru, které si k experimentu sám(a) připravíš: a) Urči těžiště tenké desky, kterou si vyrobíš ze vhodného materiálu (tenký plech, tvrdý papír, sololit, plast – tvar trojúhelníku, obdélníku, lichoběžníku, kruhu, elipsy, nepravidelný tvar). b) K poloze těžiště můžeš dospět také na základě průsečíku těžnic (těžnice je ve fyzice na rozdíl od matematiky každá přímka, procházející těžištěm). Sestrojíš si především olovnici. Tenkou desku zvoleného tvaru (pravidelného či nepravidelného) opatříš na okraji několika malými otvory, jimiž lze protáhnout tenkou nit (nejlépe režná nit) a můžeš zavěsit tuto desku tak, aby byla ve svislé poloze. Pomocí olovnice stanovíš svislou těžnici. V průsečíku dvou, popř. tří těžnic najdeš těžiště (vysvětli, proč je lepší, budou-li těžnice alespoň tři). c) Sestroj z téhož materiálu tenkou desku tvaru České republiky, Slovenska, Rakouska, Polska, Evropy, . . . Některou z výše uvedených metod zjisti, kde je těžiště zvoleného útvaru, a vysvětli, proč by bylo vhodné tam umístit hlavní město.

40


ZPRÁVY 51. Mezinárodní matematická olympiáda Martin Panák, MU Brno Padesátý první ročník Mezinárodní matematické olympiády se uskutečnil od 2. do 14. července 2010 v Kazachstánu. Olympiády se zúčastnilo 522 soutěžících z 98 zemí, méně než v loňském roce. České družstvo tvořili tito soutěžící: David Klaška z Gymnázia na tř. Kpt. Jaroše v Brně, Radek Marciňa z Gymnázia Christiana Dopplera v Praze, Miroslav Olšák z Gymnázia Buďánka v Praze, Petr Ryšavý z Gymnázia Jaroslava Heyrovského v Praze, Jáchym Sýkora z Gymnázia Christiana Dopplera v Praze a Tomáš Zeman z Gymnázia Jana Keplera v Praze. Vedoucím českého družstva a zástupcem České republiky v mezinárodní jury byl dr. Martin Panák z Přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně, jeho zástupcem a pedagogickým vedoucím byl dr. Pavel Calábek z Přírodovědecké fakulty Univerzity Palackého v Olomouci. Kazachstán je devátou největší zemí na světě (co se týče rozlohy) a organizátoři to dali účastníkům pocítit. Vedoucí jednotlivých národních družstev zahajovali program v městě Almaty (dříve Alma-Ata, do roku 1997 hlavní město Kazachstánu). Po výběru úloh a jejich překladu do národních jazyků následoval asi tisícikilometrový letecký přesun do současného hlavního města Astany. Tam proběhlo 5. července v Paláci nezávislosti slavnostní zahájení olympiády, kterého se zúčastnil i kazašský ministr školství a vědy Zhanseit Tuimebayev. Zahájení bylo velkolepé, ve stylu nám dobře známých estrád. Na pódiu se vystřídalo několik folklórních souborů oblečených v bohatých kazašských krojích, místní folklór-metalová“ kapela a zpěvák se zlatým hlasem“. Nechyběla spo” ” lečná píseň všech vystoupivších na závěr. Po zahájení následoval pro vedoucí delegací půlhodinový přesun do hotelu. Pro soutěžící byl přesun osmihodinový (v autobusech), a to do dětského tábora Baldauren, ležícího v pěkném prostředí národního parku, asi 250 km od Astany. Již o půlnoci před soutěží se dostala většina řešitelů do svých pokojů, ti průbojnější pak dostali i večeři. Aby po takto náročném dni soutěžící náhodou nezaspali, zajistili organizátoři následující den (první soutěžní) operativně budíček na půl sedmou, což se setkalo s velkým ohlasem. Ročník 86 (2011), číslo 1

41

ZPRÁVY

V Baldaurenu se konala také vlastní soutěž, která jako vždy probíhala ve dvou dnech, přičemž každý den soutěžící řešili během čtyř a půl hodiny tři příklady. O bezpečnost soutěžících bylo výborně postaráno, tábor střežila policie a nikdo nesměl tam ani ven (k řešitelům nesměli ani pedagogičtí vedoucí, kteří byli ubytování odděleně). Také podmínky pro řešení měli řešitelé v podstatě stejné: všem byly odebrány vlastní rýsovací potřeby a každý z účastníků dostal od organizátorů pravítko a kružítko. Pravda, některá kružítka měla místo tradiční konstrukce s jednou špicí a jednou tuhou špice dvě, což někteří řešitelé nelibě nesli. Mnohým proto byla tato novátorská kružítka vyměněna za klasická. O těchto věcech se jury (složená z vedoucích jednotlivých národních delegací) dozvídala na začátku obou soutěžních dní v době vyhrazené na otázky soutěžících (na jiných mezinárodních olympiádách bývá zvykem, že soutěžící pokládají zejména otázky související s textem soutěžních úloh). Na této olympiádě došlo rovněž k výměně v čele Poradního výboru (Advisory Board) mezinárodní matematické olympiády, což je orgán, který připravuje fungování mezinárodní olympiády, zvláště pak sonduje a jedná se zeměmi, které mají zájem o uspořádání této soutěže. Kromě výměny řadových členů výboru nastala změna i v osobě předsedy: dlouholetého předsedu Józsefa Pelikana z Maďarska nahradil ruský matematik Nazar Agakhanov. Dva dny před ukončením olympiády vedoucí i účastníci společně navštívili dostihové“ závodiště. Nicméně hlavním programem nebyly do” stihy ale vystoupení kazašské artistické skupiny, která na koních předváděla neuvěřitelné dovednosti. Zvláště srdce obdivovatelů krásy koní zaplesalo a zážitek z tohoto vystoupení dal zapomenout na předchozí příhody. Slavnostní zakončení olympiády se neslo v podobném duchu jako zahájení, dostavil se však i kazašský premiér Karim Massimov. Na závěr byla slavnostně předána vlajka Mezinárodní matematické olympiády zástupcům hostitelské země příští matematické olympiády. Ta proběhne v Amsterdamu v Nizozemí. Co se týče výsledků českého družstva, tak ačkoliv tým získal v součtu 84 bodů, pouze o tři body méně než loňský rok, tak to v celkovém pořadí zemí stačilo jen na 48. místo (proti loňskému čtyřicátému místu), což nás i tak řadí do první poloviny soutěžního pole. V individuálním hodnocení dosáhli studenti David Klaška a Miroslav Olšák shodným bodovým ziskem na bronzové medaile, Radek Marciňa, Jáchym Sýkora a Tomáš Zeman získali čestná uznání za bezchybně vyřešený příklad. 42


ZPRÁVY

Všichni tři vyřešili bezchybně dokonce dva příklady, což bohužel o jediný bod nestačilo na bronzovou medaili. V tradičním sledovaném česko-slovenském duelu jsme letos našim východním bratrům podlehli (umístili se na děleném 39. místě). Zejména stojí za zmínku výkon talentovaného Martina Vodičky z Košic, který coby patnáctiletý získal zlatou medaili. Závěrem lze říci, že organizátoři vložili do pořádání olympiády nemalé úsilí a ještě více finančních prostředků, což bylo patrné doslova na každém kroku. Buď jak buď, tato olympiáda zanechala u všech účastníků hluboké zážitky, na které budou dlouho vzpomínat. V následujícím přehledu můžete zjistit celkové absolutní pořadí jednotlivých účastníků českého a slovenského družstva: Umístění 175.–187. 175.–187. 267.–313. 267.–313. 267.–313. 446.–461.

Umístění 42.–47. 200.–226. 227.–266. 314.–337. 352.–366. 367.–386.

David Klaška Miroslav Olšák Radek Marciňa Jáchym Sýkora Tomáš Zeman Petr Ryšavý

Martin Vodička Ladislav Bačo Michal Hagara Martin Bachratý Marián Horňák Jakub Konečný

Body za úlohu 1 2 3 4 5 7 1 0 3 7 7 2 0 2 7 7 0 0 7 0 7 0 0 7 0 7 0 0 7 0 6 0 0 0 0 Celkem 41 3 0 26 14 Body za úlohu 1 2 3 4 5 7 1 0 7 6 7 2 0 7 0 7 0 0 7 1 7 3 0 3 0 7 1 0 3 0 7 0 0 3 0

Body Cena 6 0 0 0 0 0 0

18 18 14 14 14 6

B B HM HM HM

0 84 Body Cena 6 6 27 G 0 16 B 0 15 B 0 13 HM 0 11 HM 0 10 HM

Celkem 42 7 0 30 7 6 92 Pro úplnost uvádíme tabulku pořadí zemí podle počtu dosažených bodů společně s počty medailí, které získaly (čísla v závorce za názvem země značí počet reprezentantů, pokud byl nižší než šest): G 1. ČLR 2. Rusko 3. USA Ročník 86 (2011), číslo 1

6 4 3

B

S

body

0 0 2 0 3 0

197 169 168

43

ZPRÁVY 4. Korea 5.–6. Kazachstán Thajsko 7. Japonsko 8. Turecko 9. Německo 10. Srbsko 11.–12. Itálie Vietnam 13.–14. Kanada Maďarsko 15. Austrálie 16.–17. Írán Rumunsko 18. Peru 19. Tchaj-wan 20. Hongkong 21. Bulharsko 22.–23. Singapur Ukrajina 24. Polsko 25. Velká Británie 26. Uzbekistán 27. Belgie 28. Ázerbájdžán 29. Nový Zéland 30.–31. Francie Indonézie 32. Chorvatsko 33. Mexiko 34. Gruzie 35. Brazílie 36. Indie 37. Řecko 38. Nizozemsko 39.–43. Argentina Litva Moldavsko Slovensko Švýcarsko 44. Turkmenistán 45. Dánsko 46. Španělsko 47. Rakousko 48. Česká republika 49. Bělorusko 50. Mongolsko

44

4 3 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 0 2 1 1 1 1 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0

2 2 5 3 3 3 3 3 4 1 2 3 4 1 3 3 2 2 4 2 1 1 4 2 3 2 3 1 2 1 2 2 2 2 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 3 3 1 3 1 2 1 3 2 4 1 4 3 4 2 1 1 0 5 2 3 3 2 3 2 2 2 1 2 2 2

156 148 148 141 139 138 135 133 133 129 129 128 127 127 124 123 121 118 117 117 116 114 112 110 109 106 105 105 103 102 101 99 98 95 94 92 92 92 92 92 91 90 89 87 84 80 79


ZPRÁVY 51.–52. Slovinsko Srí Lanka 53. Izrael (5) 54.–55. Malajsie Portugalsko 56. Tádžikistán 57. Lotyšsko 58.–59. JAR Makedonie 60. Bolívie 61. Arménie 62. Kypr 63.–64. Estonsko Kyrgyzstán 65. Kolumbie (4) 66. Kambodža 67.–68. Maroko Saudská Arábie 69.–70. Bangladéš (5) Pobřeží slonoviny (5) 71. Island 72.–73. Finsko Švédsko 74. Filipíny (3) 75. Norsko 76. Ekvádor 77. Trinidad a Tobago (5) 78. Portoriko (2) 79.–80. Kostarika (3) Panama (2) 81.–82. Lucembursko (3) Tunisko (2) 83. Sýrie 84. Nigérie (5) 85.–86. Kuba (1) Paraguay (4) 87. Salvádor (3) 88. Honduras (1) 89. Pákistán (5) 90. Irsko 91. Venezuela (2) 92. Guatemala (2) 93. Albánie (4) 94. Bosna a Hercegovina (4) 95. Černá hora (4) 96. Kuvajt (5)


0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

2 1 1 1 1 0 2 2 0 0 1 1 0 1 3 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

78 78 76 75 75 73 72 69 69 64 63 62 61 61 60 58 55 55 54 54 53 52 52 45 41 39 37 34 32 32 31 31 29 27 26 26 25 21 19 18 16 12 11 8 7 2

45

ZPRÁVY

Texty soutěžních úloh Problém 1. Určete všechny funkce f : R → R splňující rovnost

f x y = f (x) f (y) pro libovolná reálná x, y. (Symbol z značí největší celé číslo nepřevyšující z.) Problém 2. Nechť I je střed kružnice vepsané a Γ kružnice opsaná trojúhelníku ABC. Nechť přímka AI protíná kružnici Γ v bodě D (D = = A). Dále nechť na oblouku BDC je dán bod E a na straně BC bod F tak, že platí 1 ) BAC|. |< ) BAF | = |< ) CAE| < |< 2 Konečně nechť G je středem úsečky IF . Dokažte, že průsečík přímek DG a EI leží na kružnici Γ . Problém 3. Nechť N je množina všech celých kladných čísel. Určete všechny funkce g: N → N takové, že pro libovolná celá kladná m, n je číslo g(m) + n m + g(n) druhou mocninou celého kladného čísla. Problém 4. Nechť bod P leží uvnitř trojúhelníku ABC. Přímky AP , BP a CP protínají kružnici Γ opsanou trojúhelníku ABC po řadě v bodech K, L a M (různých od A, B, C). Tečna ke kružnici Γ v bodě C protíná přímku AB v bodě S. Dokažte, že pokud mají úsečky SC a SP stejnou délku, pak jsou stejně dlouhé i úsečky M K a M L. Problém 5. V každé ze šesti schránek B1 , B2 , B3 , B4 , B5 a B6 je na počátku jedna mince. Se schránkami můžeme provádět následující dvě operace: 1) Vybrat neprázdnou schránku Bj , kde 1 ≤ j ≤ 5, odebrat z ní jednu minci a přidat dvě mince do schránky Bj+1 . 2) Vybrat neprázdnou schránku Bk , kde 1 ≤ k ≤ 4, odebrat z ní jednu minci a navzájem vyměnit obsahy (případně prázdných) schránek Bk+1 a Bk+2 . Rozhodněte, zda je možné pomocí konečného počtu těchto operací dosáhnout toho, aby schránky B1 , B2 , B3 , B4 a B5 byly prázdné a schránka 2010 c c B6 obsahovala právě 20102010 mincí. (Připomínáme, že ab = a(b ) .) 46


ZPRÁVY

Problém 6. Je dána posloupnost a1 , a2 , a3 , . . . kladných reálných čísel. Nechť s je celé kladné číslo takové, že pro všechna n > s platí an = max {ak + an−k |1 ≤ k ≤ n − 1}. Dokažte, že pak existují kladná celá čísla N a ( ≤ s) taková, že an = = a + an− pro všechna n ≥ N .

4. Středoevropská matematická olympiáda Martin Panák, MU Brno EUROPEAN

LE

DD

MI

RT

U FO

D

PIA

OL YM

H

AL

IC AT

EM

TH MA

Čtvrtá středoevropská matematická olympiáda (Middle European Mathematical Olympiad, MEMO) se uskutečnila 9.– 15. 9. 2010 v obci Strečno na Slovensku za účasti šedesáti studentů z deseti zemí středoevropského regionu, jmenovitě z Česka, Chorvatska, Litvy, Maďarska, Německa, Polska, Rakouska, Slovenska, Slovinska a Švýcarska. Soutěž je určená pro studenty středních škol, kteří se STREČNO SLOVAKIA 2010 v daném kalendářním roce neúčastnili mezinárodní matematické olympiády (IMO) a díky svému věku ještě stále mají šanci se zúčastnit IMO v roce příštím. Výjimku tvoří slovinští účastníci, kteří vzhledem k relativně malému počtu obyvatel země nejsou limitovaní předchozí účastí na IMO. České družstvo tvořili Michael Bílý z Gymnázia Klatovy, Martin Bucháček z Gymnázia Luďka Pika v Plzni, Filip Hlásek z Gymnázia Plzeň, Mikulášské náměstí, Martin Töpfer z Gymnázia Nad Štolou v Praze, Jakub Solovský z Gymnázia Mikuláše Koperníka v Bílovci a Lukáš Zavřel z Gymnázia Praha 9 na Chodovické. Vedoucím družstva byl dr. Martin Panák z Přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně, jeho zástupcem pak dr. Pavel Calábek z Přírodovědecké fakulty Palackého univerzity v Olomouci. Všechny týmy byly ubytovány ve školicím středisku Slovenských drah, kde se odehrávala i část vlastní soutěže. Olympiáda probíhala podle již


47

ZPRÁVY

zavedeného modelu. První den po příjezdu vybírala jury složená z vedoucích národních delegací příklady pro soutěž, zatímco soutěžící navštívili hrad Strečno. Druhý den byla na pořadu soutěž jednotlivců, která proběhla v přednáškové místnosti zmíněného střediska, kde měli studenti pět hodin času na řešení čtyř úloh. Týmová soutěž proběhla pak další den, tj. v neděli, v prostorách Žilinské univerzity. V týmové soutěži má každé národní družstvo k dispozici jednu místnost, kde společně řeší po dobu pěti hodit osm úloh. Již v sobotu večer započala koordinace oprav úloh (úlohy jsou opraveny jednak vedoucími národních týmů a nezávisle i týmem opravovatelů zajištěným organizátory; při koordinaci se výsledky oprav porovnají a případné neshody se vyřeší) a pokračovala i během neděle. V pondělí dopoledne se jury domluvila na rozdělení medailí, které se řídí podobnými pravidly jako na mezinárodní matematické olympiádě. Odpoledne pak následovala společná plavba s řešiteli na pltích po řece Váh. V úterý byl program olympiády zakončen výletem do krásné přírody Malé Fatry a slavnostním zakončením, kterého se zúčastnila mimo jiné významné hosty i rektorka Žilinské univerzity Tatiana Čorejová (ministr školství se na poslední chvíli omluvil). Výsledky českého družstva byly následující: Jakub Solovský a Filip Hlásek získali bronzové medaile (Jakubovi chyběl pouze jeden bod ke stříbrné medaili), Martin Bucháček, Martin Töpfer a Lukáš Zavřel získali čestné uznání za jeden bezchybně vyřešený příklad. V týmové soutěži snad lze za úspěch považovat to, že jsme porazili slovenské družstvo. V následujících tabulkách uvádíme detailní výsledky českých studentů a výsledky národních družstev v týmové soutěži: Umístění 1. 2. 3.

Jméno Kende Kalina (HUN) Nóra Frankl (HUN) Nik Jazbinšek (SVN) .. .

16.–22. Jakub Solovský 29.–30. Filip Hlásek 40.–49. Martin Bucháček Martin Töpfer Lukáš Zavřel 52.–54. Michael Bílý 48

Body za 1 2 1 8 0 8 5 1 0 4 0 0 0 2

0 0 0 0 0 1

úlohu Body 3 4 8 8 25 8 8 24 8 8 22 8 0 0 0 0 0

8 8 8 8 8 3

16 12 8 8 8 6

Cena G G G B B HM HM HM


ZPRÁVY

Pořadí 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Maďarsko Polsko Německo Rakousko Chorvatsko Litva Slovinsko Česko Slovensko Švýcarsko

1 8 1 7 2 6 1 6 1 2 0

Body za úlohu 2 3 4 5 6 7 0 8 4 8 8 8 2 8 8 8 0 8 2 1 3 8 8 8 8 1 3 8 6 8 0 8 3 8 0 8 2 0 3 8 8 8 0 7 2 8 0 3 2 3 3 8 0 8 0 3 4 8 0 5 0 1 2 0 1 0

Celkem 8 8 8 3 1 2 0 1 1 0 0

52 43 40 37 35 36 27 26 22 4

Mnohé další informace o průběhu této olympiády lze najít na webové stránce www.memo2010.skmo.sk. Na závěr přikládáme zadání všech úloh obou částí olympiády. Soutěž jednotlivců 1. Určete všechny funkce f : R → R takové, že pro všechna x, y ∈ R platí f (x + y) + f (x)f (y) = f (xy) + (y + 1)f (x) + (x + 1)f (y). 2. Na tabuli jsou napsáni všichni kladní dělitelé kladného celého čísla N . Dva hráči A a B hrají hru, při které se střídají na tazích. V prvním tahu hráč A smaže číslo N . Bylo-li naposled smazáno číslo d, v následujícím tahu je nutno smazat buď dělitele, nebo násobek čísla d. Hráč, který nemůže táhnout, prohrává. Určete všechna čísla N , pro která hráč A může vyhrát nezávisle na tazích hráče B. 3. Je dán tětivový čtyřúhelník ABCD a bod E na jeho úhlopříčce AC takový, že |AD| = |AE| a |CB| = |CE|. Nechť M je středem kružnice k opsané trojúhelníku BDE. Kružnice k protíná přímku AC v bodech E a F . Dokažte, že přímky F M , AD a BC procházejí týmž bodem. 4. Nalezněte všechna kladná celá čísla n, která vyhovují následujícím dvěma podmínkám: (i) číslo n má alespoň čtyři různé kladné dělitele, (ii) pro libovolné dva dělitele a, b čísla n takové, že 1 < a < b < n, dělí jejich rozdíl b − a číslo n. Ročník 86 (2011), číslo 1

49

ZPRÁVY

Týmová soutěž 5. Jsou dány tři rostoucí posloupnosti a1 , a2 , a3 , . . . ,

b1 , b2 , b3 , . . . ,

c1 , c2 , c3 , . . .

kladných celých čísel. Každé kladné celé číslo je členem právě jedné z těchto tří posloupností. Dále pro každé kladné celé číslo n platí: (i) can = bn + 1, (ii) an+1 > bn , (iii) číslo cn+1 cn − (n + 1)cn+1 − ncn je dělitelné dvěma. Určete čísla a2010 , b2010 a c2010 . 6. Pro každé celé číslo n ≥ 2 určete největší reálnou konstantu Cn takovou, že pro všechna kladná reálná čísla a1 , . . . , an platí a21 + · · · + a2n a1 + · · · + an 2 ≥ + Cn · (a1 − an )2 . n n 7. V každém vrcholu pravidelného n-úhelníku stojí pevnost. Ve stejný okamžik každá pevnost vystřelí na jednu ze dvou nejbližších pevností a zasáhne ji. Výsledkem střelby rozumíme množinu zasažených pevností, přičemž nerozlišujeme, zda pevnost byla zasažena jednou nebo dvakrát. Označme P (n) počet všech možných výsledků střelby. Ukažte, že pro všechna celá čísla k ≥ 3 jsou čísla P (k) a P (k + 1) nesoudělná. 8. Nechť n je kladné celé číslo. Čtverec ABCD je rozdělen na n2 jednotkových čtverců. Každý z nich je dále rozdělen úhlopříčkou rovnoběžnou s BD na dva trojúhelníky. Některé z vrcholů jednotkových čtverců jsou obarveny červeně tak, že každý z 2n2 získaných trojúhelníků má alespoň jeden vrchol červený. Určete nejmenší možný počet červených vrcholů takového obarvení. 9. Kružnice vepsaná trojúhelníku ABC se dotýká stran BC, CA, AB po řadě v bodech D, E, F . Nechť bod K je souměrně sdružený s bodem D podle středu kružnice vepsané a přímky DE, F K se protínají v bodě S. Dokažte, že přímky AS a BC jsou rovnoběžné. 10. Jsou dány body A, B, C, D, E tak, že čtyřúhelník ABCD je tětivový a čtyřúhelník ABDE je rovnoběžník. Dále se úhlopříčky AC, BD protínají v bodě S a polopřímky AB, DC v bodě F . Dokažte, že |<) AF S| = |<) ECD|. 50


ZPRÁVY

11. Nechť n je nezáporné celé číslo. Označme an číslo s desítkovým zápisem 1 0 . . . 0 2 0 . . 0 2 0 . . 0 1. . . n

n

n

Ukažte, že an /3 lze vyjádřit jako součet dvou třetích mocnin kladných celých čísel, ale nikoliv jako součet dvou druhých mocnin celých čísel. 12. Je dáno kladné celé číslo n, které není celou mocninou čísla 2. Dokažte, že existuje kladné celé číslo m s následujícími dvěma vlastnostmi: (i) číslo m je součinem dvou po sobě jdoucích kladných celých čísel, (ii) desítkový zápis čísla m je tvořen dvěma shodnými bloky n číslic.

22. mezinárodní olympiáda v informatice IOI 2010 Zdeněk Dvořák, Pavel Töpfer, MFF UK Praha Dvacátý druhý ročník Mezinárodní olympiády v informatice IOI 2010 se konal 14.– 21. srpna 2010 na University of Waterloo v Kanadě. Na olympiádu do Waterloo přijely delegace z 84 zemí celého světa. Z každé země se IOI mohou zúčastnit čtyři soutěžící a dva vedoucí, celkově letos soutěžilo 300 studentů. České družstvo bylo sestaveno na základě výsledků ústředního kola 59. ročníku Matematické olympiády kategorie P a tvořili ho Vlastimil Dort z gymnázia Špitálská v Praze, Hynek Jemelík a David Klaška z gymnázia na tř. Kpt. Jaroše v Brně a Jan Polášek z gymnázia v Turnově. Vedoucími české delegace na IOI 2010 byli Mgr. Zdeněk Dvořák, Ph.D. a Bc. Zbyněk Falt, oba z Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze. Na organizaci soutěže se jako člen Mezinárodního vědeckého výboru IOI podílel Mgr. Martin Mareš, Ph.D., rovněž pracovník MFF UK v Praze. Ročník 86 (2011), číslo 1

51

ZPRÁVY

Kanadští organizátoři již rok předem v Plovdivu avizovali, že plánují soutěž oživit významnými změnami, a svému slovu dostáli. Asi nejviditelnější změnou bylo to, že již v průběhu soutěže měli účastníci možnost nechat si vyhodnotit svá řešení, a dozvědět se tak přesný počet bodů, které za ně získají. Také úlohy byly letos mimořádně originální a zahrnovaly poměrně neobvyklá témata jako kompresi dat a statistickou analýzu textů. Tím zaskočily soutěžící z mnohých favorizovaných zemí, které se tradičně umisťují na předních místech. Naši soutěžící se s nimi naopak vypořádali výtečně, a dosáhli tak nejlepších výsledků od roku 1995: 8. 16. 49. 101.

David Klaška Hynek Jemelík Vlastimil Dort Jan Polášek

709 693 656 596

bodů body bodů bodů

zlatá medaile zlatá medaile stříbrná medaile bronzová medaile

Mezinárodní olympiáda v informatice je soutěží jednotlivců a žádné pořadí zúčastněných zemí v ní není vyhlašováno. V neoficiálním pořadí zemí by však letos Českou republiku předstihli pouze USA, Rusko, Čína a Bulharsko. Vítězem soutěže se stal Genadii Karatzkevitch z Běloruska se ziskem 778 bodů, který tak zopakoval své umístění z loňské olympiády v Plovdivu. Poznamenejme, že medaile se na IOI rozdělují na základě přesně stanovených pravidel tak, že některou z medailí obdrží nejvýše polovina účastníků soutěže a zlaté, stříbrné a bronzové medaile se udělují přibližně v poměru 1 : 2 : 3 (s ohledem na to, aby soutěžící se stejným bodovým ziskem získali stejnou medaili). Na letošní IOI bylo rozděleno celkem 25 zlatých, 52 stříbrných a 73 bronzových medailí. Soutěž IOI probíhá podobným způsobem jako praktická část ústředního kola naší Matematické olympiády kategorie P. Každý soutěžící má přidělen osobní počítač, na kterém řeší zadané úlohy. V každém dni má na práci vymezen čas 5 hodin. Úlohy je třeba dovést až do tvaru odladěného programu, hotové programy se odevzdávají k vyhodnocení prostřednictvím soutěžního prostředí. Odevzdané programy se testují pomocí předem připravené sady testovacích dat. Prováděné testy jsou navíc omezeny časovými limity, aby se kromě otestování správnosti odlišila i časová efektivita algoritmu použitého jednotlivými účastníky soutěže. Při testování každé úlohy se používají sady testovacích dat různé velikosti, takže teoreticky zcela správné řešení založené na neefektivním algoritmu zvládne dokončit výpočet pouze pro některé, menší testy. Takové řešení je potom ohodnoceno částečným počtem bodů. 52


ZPRÁVY

Organizátoři se letos snažili udělat soutěž přístupnější a atraktivnější i pro diváky. Na webových stránkách byly v průběhu soutěže k dispozici průběžné výsledky, takže každý mohl fandit svým favoritům, a videopřenosy s komentáři i rozhovory s účastníky. Kromě toho vytvořili k jedné z úloh v každém soutěžním dni interaktivní verzi, aby si i diváci bez zkušeností s programováním mohli vyzkoušet, jak obtížné úlohy jsou řešeny. Součástí celé akce byl samozřejmě i bohatý doprovodný program. Ti, kterým řešení úloh v rámci soutěže nestačilo, měli možnost navštívit sérii přednášek předních odborníků z University of Waterloo o aktuálních tématech, například kvantových počítačích či počítačovém vidění. V odpočinkových dnech pak proběhly výlety do zábavního parku Canada’s Wonderland a k Niagarským vodopádům. Všechny podrobnosti o soutěži, texty soutěžních úloh i jejich řešení a celkové výsledky lze nalézt na adrese http://www.ioi2010.org. Příští ročník IOI se bude konat v 22.– 29. 7. 2011 ve městě Pattaya v Thajsku.

17. ročník Středoevropské olympiády v informatice Daniel Kráľ, MFF UK Praha Středoevropská olympiáda v informatice (CEOI) je tradiční soutěží v programování středoškolských studentů zemí střední a východní Evropy. Její 17. ročník se uskutečnil od 12. do 19. července 2010 v Košicích. Soutěže se účastní družstva tvořená vedoucím, jeho zástupcem a čtyřmi studenty. Letos se kromě tradičních účastníků z Chorvatska, České Republiky, Německa, Maďarska, Polska, Rumunska a Slovenska jako hosté zúčastnila také družstva z Bulharska a Švýcarska. Slovensko navíc, jako hostitelská země, postavilo do soutěže družstva dvě. Pořadatelem soutěže byla Přírodovědecká fakulta UPJŠ v Košicích, jejíž zaměstnanci se postarali o bohatý doprovodný program během celé soutěže, který zahrnoval několik výletů a návštěvu leteckého muzea. O přípravu úloh a technické zabezpečení soutěže se postarali studenti a zaměstnanci MFF UK v Bratislavě pod vedením RNDr. Michala Foriška, Ph.D., a Mgr. Martina Rejdy. Úlohy, které pro soutěžící připraRočník 86 (2011), číslo 1

53

ZPRÁVY

vili, byly velmi hezké, ale zároveň i obtížné. O jejich náročnosti svědčí fakt, že jen tři soutěžící získali více než 400 bodů z 600 možných. Stalo se zvykem, že Středoevropskou olympiádu v informatice Česká republika využívá jako přípravu na Mezinárodní olympiádu v informatice pro budoucí roky. Proto na ni vysíláme jiné družstvo než na Mezinárodní olympiádu v informatice a do družstva vybíráme jen studenty, kteří jsou v nematuritních ročnících. Na základě výsledků ústředního kola 59. ročníku Matematické olympiády kategorie P jsme sestavili letošní družstvo následovně: Lukáš Folwarczný (Gymnázium Havířov), Filip Hlásek (Gymnázium Mikulášské nám., Plzeň), Michal Mojzík (SPŠ a VOŠ Chomutov) a Štěpán Šimsa (Gymnázium Josefa Jungmanna, Litoměřice). Vedoucími družstva byli doc. RNDr. Daniel Kráľ, Ph.D. a doc. RNDr. Pavel Töpfer, CSc., oba z MFF UK v Praze. Olympiáda je soutěží jednotlivců. Studenti řeší v každém ze dvou soutěžních dnů tři úlohy. Večer před soutěžními dny se koná schůze vedoucích družstev, kde organizátoři úlohy představí a vedoucí družstev následně zadání úloh přeloží do národních jazyků. Za každou z úloh je možné získat 100 bodů. Dle pravidel CEOI získává úspěšnější polovina účastníků medaile, jejichž počet se určí tak, aby počet zlatých, stříbrných a bronzových medailí byl v poměru 1 : 2 : 3. Protože se letos soutěže zúčastnilo čtyřicet studentů, byly uděleny tři zlaté medaile, sedm stříbrných a deset bronzových. Absolutním vítězem soutěže se stala Anna Piekarská z Polska se ziskem 460 bodů. Výsledky našich soutěžících byly následující: 17. 21. 26.-28. 26.-28.

Filip Hlásek Štěpán Šimsa Lukáš Folwarczný Michal Mojzík

210 125 95 95

bodů bodů bodů bodů

bronzová medaile

Vzhledem k tomu, že některé země na soutěž vysílají stejné družstvo jako na Mezinárodní olympiádu v informatice, lze považovat výsledky našich soutěžících za pěkné a zároveň za příslib dobrých výsledků na Mezinárodní olympiádě v informatice v následujících letech. Po slavnostním předání medailí, které se uskutečnilo v aule Univerzity Pavla Jozefa Šafárika, se účastníci se spoustou zážitků a hezkých vzpomínek rozjeli do svých domovů. Následující, v pořadí osmnáctý ročník soutěže, se bude konat v červenci 2011 v polské Gdyni.

54


NAŠE SOUTĚŽ NAŠE SOUTĚŽ V předchozích dvou ročnících Rozhledů matematicko-fyzikálních byla znovu otevřena rubrika Naše soutěž . V každém čísle byly vždy zadány dvě úlohy, jedna matematická, druhá fyzikální. V tomto čísle jsou předloženy další dvě úlohy. Můžete je vyřešit a řešení poslat na adresu redakce. Řešení může být v elektronické či papírové podobě. Redakce vaše řešení opraví a opravené vám je zašle zpět. V některém z následujících čísel pak najdete úlohy vyřešené. Za řešení každé úlohy můžete získat až 5 bodů. Soutěž je kontinuální, což znamená, že se výsledky jednotlivých řešitelů sčítají a vede se průběžná výsledková listina (za minulý i letošní ročník dohromady). V listině se nerozlišují úlohy matematické a fyzikální. Nejlepším řešitelům bude každým rokem zaslána odborná literatura. Nyní tedy předkládáme dvě úlohy, jejichž řešení pošlete do 31. května 2011 na adresu redakce. Úloha 17. Je dán trojúhelník ABC, kružnice jemu opsaná má poloměr r. V rovině trojúhelníku ABC je libovolně zvolen bod M , z něhož jsou postupně na přímky AB, BC, CA vedeny kolmice M C0 , M A0 , M B0 s patami C0 , A0 , B0 . Dokažte, že platí |A0 B0 | + |B0 C0 | + |C0 A0 | =

|AB| · |M C| + |BC| · |M A| + |CA| · |M B| 2r (Jaroslav Zhouf )

Úloha 18. Trubice ve vodě. Skleněná trubice délky L = 120 cm je z jedné strany zatavená. Trubici ponoříme svisle otevřeným koncem do vody o hustotě = 1 000 kg·m−3 tak, aby její zatavený konec byl v úrovni hladiny vody. Atmosférický tlak je pa = 105 Pa, tíhové zrychlení g = 9,8 m · s−2 . a) Jaký je tlak vzduchu uvnitř trubice? b) Jaký bude tlak vzduchu uvnitř trubice, když ji ponoříme jen do poloviny její délky? Předpokládejte, že všechny děje probíhají za stálé teploty. Uvažujte, že trubice má tvar válce, zaoblení na konci trubice neuvažujte. (Jan Thomas) Ročník 86 (2011), číslo 1

55

NAŠE SOUTĚŽ

Řešení úloh z čísla 3/2010 Úloha 13. Do daného trojúhelníku ABC vepište rovnoběžník CKLM tak, aby bod K ležel na straně AC, bod L na AB, bod M na BC a aby obsah rovnoběžníku byl roven čtvrtině obsahu trojúhelníku ABC. (Jaroslav Zhouf ) Řešení: Označme |BC| = a, |CA| = b, |CM | = x, |CK| = y, |< ) M CK| = γ (obr. 1). C K

y a

x

b

M A

c

L

B

Obr. 1: K rozboru úlohy

Trojúhelníky ABC a LBM jsou podobné, proto platí y = ab (a − x). Požadujeme, aby platilo 2x · obsah CKLM xy sin γ 1 = = 1 = 4 obsah ABC 2 ab sin γ

b a

a b

=

a−x y ,

odkud

· (a − x) 2x(a − x) = . ab a2

Odtud dostaneme

x1,2

8x2 − 8ax + a2 = 0, √ √ 2± 2 8a ± 32a2 = · a < a, = 16 4 √ 2∓ 2 y1,2 = · b < b. 4

√ 2− 2 a √ a x= ·a= − 2· , 4 2 4 sestrojíme k úsečce délky a úsečku délky a2 a úhlopříčku čtverce o straně √ √ délky a4 ; ta má délku 2 · a4 . Pak sestrojíme úsečku délky x = a2 − 2 · a4 . Je-li

56


NAŠE SOUTĚŽ

Konstrukce bodů M , L, K je již jednoduchá (obr. 2). C M

K A

L

B Obr. 2: První řešení

√ a √ a 2+ 2 ·a= + 2· , x= 4 2 4 je konstrukce analogická (obr. 3). Je-li

C K

M A

L

B

Obr. 3: Druhé řešení

Úloha má vždy dvě řešení. Úloha 14. Těleso na nakloněné rovině. Těleso je vysláno posuvným pohybem vzhůru po nakloněné rovině počáteční rychlostí v0 = 2,00 m · s−1 . Úhel nakloněné roviny je α = 15◦ , součinitel smykového tření je f = 0,10. a) Za jakou dobu a v jaké vzdálenosti se těleso zastaví? b) Za jakou dobu se těleso dostane při pohybu zpět do původní počáteční polohy? c) Jakou rychlostí projde těleso při pohybu zpět původní počáteční polohou? d) Za jakou dobu od začátku pohybu dosáhne těleso stejně velké rychlosti, jako byla počáteční, a jaká bude v tomto okamžiku jeho vzdálenost od počáteční polohy? Ročník 86 (2011), číslo 1

57

NAŠE SOUTĚŽ

e) Za jakou dobu od začátku pohybu dosáhne těleso stejně velké rychlosti, jako byla počáteční, a jaká bude v tomto okamžiku jeho vzdálenost od počáteční polohy? Předpokládejte, že nakloněná rovina má od počáteční polohy tělesa dostatečnou délku nahoru i dolů, aby mohl proběhnout uvažovaný pohyb. Řešte nejprve obecně, pak pro dané hodnoty. Tíhové zrychlení (Miroslava Jarešová) g = 9,81 m · s−2 . Řešení: a) Pohyb tělesa po nakloněné rovině směrem vzhůru je rovnoměrně zpomalený. Zrychlení má opačný směr než okamžitá rychlost a jeho velikost je a1 = g(sin α + f cos α), pro rychlost a dráhu platí v = v0 − g(sin α + f cos α)t,

s = v0 t −

1 g(sin α + f cos α)t2 . 2

Když se těleso zastaví, je v = 0, z čehož určíme dobu výstupu a dráhu t1 =

v0 . = 0,57 s, g(sin α + f cos α)

s1 =

v02 . = 0,57 m. 2g(sin α + f cos α)

b) Při pohybu směrem dolů je zrychlení a2 = g(sin α − f cos α). Aby se těleso dostalo do původní polohy, musí od místa zastavení urazit dráhu s2 = s1 =

1 v02 = g(sin α − f cos α)t22 , 2g(sin α + f cos α) 2

odkud v0 t2 = g

1 . = 0,85 s. sin2 α − f 2 cos2 α

c) Rychlost při průchodu zpět původní počáteční polohou je sin α − f cos α . v2 = g(sin α − f cos α)t2 = v0 = 1,35 m · s−1 . sin α + f cos α 58


NAŠE SOUTĚŽ

d) Nejprve určíme dobu t3 od okamžiku zastavení tělesa, za kterou těleso dosáhne v průběhu klesání rychlosti o velikosti v0 . Platí v0 = g(sin α − f cos α)t3 ,

t3 =

v0 . = 1,26 s. g(sin α − f cos α)

Od začátku pohybu uplyne doba . T = t1 + t3 = 1,83 s. Dráha měřená od místa zastavení je s3 =

1 v02 . g(sin α − f cos α)t23 = = 1,26 m. 2 2g(sin α − f cos α)

Těleso se přitom bude nacházet ve vzdálenosti . d = s3 − s1 = 0,69 m od počáteční polohy. Celková dráha sc uražená od začátku pohybu je dána součtem . sc = s1 + s3 = 1,83 m. e) Dle podmínek úlohy musí být v0 t2 = g

1 2v0 = 2t1 . = g(sin α + f cos α) sin2 α − f 2 cos2 α

Po úpravě 3 sin α = 5f cos α,

tg α =

5f , 3

. α = 9◦ 28 .

Stav soutěže po 14 soutěžních úlohách Martin Bucháček (Gymnázium Luďka Pika, Plzeň) – 26 bodů


59

Řešení úloh ze strany 33 a 34: U1. Protože an = an−1 · a, musíme číslo a sečíst an−1 krát. U2. Nemůže, protože n2 < n2 + n + 1 < n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 a mezi n2 a (n + 1)2 neleží žádná druhá mocnina přirozeného čísla. U3. Zbývá dolít 7/8 objemu číše, protože ta část naplněné číše tvoří kužel, který má vzhledem k celému kuželi každý rozměr poloviční. Jeho objem je tedy 1/8 objemu celého kužele. U4. Jestliže má rovnice tvar ax2 + bx + c = 0, pak podmínku úlohy a + b + c = 0 lze interpretovat jako a · 12 + b · 1 + c = 0, což znamená, že číslo 1 je jejím kořenem. U5. Protože každé přirozené číslo větší než 5 můžeme psát v některém z tvarů 6k, 6k + 1, 6k + 2, 6k + 3, 6k + 4, 6k + 5, kde k je přirozené číslo a čísla 6k, 6k + 2, 6k + 3 a 6k + 4 jsou složená, mohou mít prvočísla pouze vyjádření 6k + 1 nebo 6k + 5. U6. Ano, protože trojúhelníky AU B a BU C mají stejný obsah. Jejich obsah dostaneme, když od obsahů trojúhelníků ABD a ABC, které mají stejný obsah, odečteme obsah trojúhelníku ABU . U7. Ano, např. dva pravé úhly s rovnoběžnými rameny, z nichž jeden je vlastní podmnožinou druhého. U8. Krychli s dolní podstavou ABCD a horní EF GH můžeme rozdělit na tři shodné jehlany: EABCD, EBCGF , EDCGH. Šest shodných jehlanů má za podstavy stěny krychle a hlavní vrchol ve středu krychle. U9. Ano. Např. sinusoida nebo přímka. U10. Trojúhelník ABC rozdělíme na 3 lichoběžníky se společným vrcholem M : AP M Q, BP M R, CQM R. (P ∈ AB, Q ∈ AC, R ∈ BC, QM AB, P M BC, RM AC). Čtverec rozdělíme na lichoběžníky příčkou, která spojuje body dvou protilehlých stran, které nejsou jejich středy. Správne odpovede zo strany 28: 1b, 2c, 3b, 4c, 5d, 6a, 7b, 8d, 9c, 10d, 11a, 12b, 13d, 14d, 15a 60


Astronomický ciferník pražského orloje

Recommend Documents