Aranymetszés arány

1. oldal

Muzsai István: Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök–DLA II. Építész MOME Budapest – 2010. 06. 19.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Aranymetszés arány

2

Dimenziós kváziperiodikus rácsmintázatok szerkesztése

1 dimenziós Fibonacci szekvenciák szerint

ÉPÍTÉSZETI HOMLOKZAT SZERKESZTÉSI METODIKA: Az iszlám építészet végtelen mozaik szerkesztése Derékszögű aranymetszéses fraktális homlokzattagolás

Muzsai István építész DLA II./2. 2010

2. oldal


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tartalom: 1./ BEVEZETŐ: Kvázikristályos csempézés lényege…………………3.oldal - Penrose csempézés : dárdák és sárkányok - Ammann csíkok - Beatty sorozat, Conway „zenei sorozat” = Fibonacci szekvencia

2./ Pentarácsok és dualitás ( rácsok felfújása-leeresztése)…………..7.oldal -Aperiodikus mintázatok jellemző tulajdonságainak szabályai: L és S, „inflate-deflate”

3./ Három tükörszimmetrikus Fibonacci szekvencia vizsgálata ….…..9. oldal - Pentarács szerkesztési útmutató ( SLLSLSLLS, LSLLSLLSL, LSLSLLSLSL ) - Dualitás - Lokális izomorfia jelensége - Kepler és Kramer, avagy a rombikus triakontaéder vizsgálata a téridőben - Kvázikristályos homlokzatburkolatok K.u. 1100 és 1200 környékén az iszlám építészetben 4./ Kvázikristályos homlokzat szerkesztése, (azaz Építészet á la hypertér)…………………. …….……………………....15.oldal - véletlenszerűen választott Fibonacci szekvencia ( LSLSLLSL ) vizsgálata - saját pentarács szerkesztés, mintázat alkotás, mozaik konszignáció - Bach komponálási metodikájának hasonlósága és kutatási lehetősége az aperiodikus mintázatok szerint

5./ Izomorfikus derékszögű komplanáris felosztás (azaz építészeti homlokzat az euklideszi geometria fogságában)………..…….20. oldal - egy második aranymetszéses arányú építészeti homlokzatok szerkesztési metodikája olyan építészek számára, akik nem szakadhatnak el a derékszögűségtől. ( Lásd részletesen kifejtve: 2011. január 06. DLA III./1.)

3. oldal


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1./

Kvázikristályos csempézés lényege

6. ábra. (A) A sárkány és a dárda szerkesztése (B) A sárkány és a dárda egy színezése (fekete és szürke), mely kikényszeríti a nem periodikus csempézést (C) Ászok és csokornyakkendõk, melyek felgyorsítják a kirakásokat A Penrose-csempék alakja különféle lehet, de a legérdekesebb pár az, amit Conway "dárdá"-nak és "sárkány"-nak nevezett. A 6/A ábra mutatja, hogy hogyan készíthetôk el egy olyan rombuszból, melynek szögei 72, ill. 108 fokosak. Osszuk fel a hosszabbik átlót a jól ismert aranymetszés arányában ((1+ 51/2)/ 2=1,61803398...), majd kössük össze az osztópontot a tompaszögû csúcsokkal. JelöIjük f-vel az aranymetszés arányát. Ekkor minden szakasz hossza 1 vagy f, ahogy azt az ábrán jelöltük. A legkisebb szög 36 fokos, a többi ennek egész számú többszöröse. A rombusz persze periodikusan csempézi a síkot, de most nem szabad így összeilleszteni a darabokat. Ahhoz, hogy ezt megtiltsuk, elláthatnánk az éleket dudorokkal és horpadásokkal, de vannak egyszerűbb módok is. Például megbetűzhetjük a csúcsokat a 6/B ábrán látható módon H és T betûkkel, és bevezethetjük azt a szabáiyt, hogy két él csak akkor illeszkedhet, ha a végpontjaikban azonos betűk találkoznak. Ahhoz, hogy megkönnyítsük a szabály betartását, kétféle színû pöttyöket helyezhetnénk el a csúcsoknál, de Conway egy tetszetősebb megoldást javasolt, miszerint rajzoljunk kétféle színnel köríveket minden csempére, ahogy az ábra szürke, ill. fekete ívei mutatják. Minden ív az oldalakat is és a szimmetriatengelyeket is aranymetszéssel osztja. A szabályunk az, hogy összeillesztéskor minden ívnek ugyanolyan színû ívhez kell csatlakoznia. Ahhoz, hogy telJes mértékben kiélvezhessük a Penrose-csempézés szépségeit és rejtélyeit, legalább 100 sárkányra és 60 dárdára van szükségünk. A darabokat csak az egyik oldalukon kell kiszínezni. A kétféle alakzat darabszámának aránya (területük arányához hasonlóan) egyenlô az aranymetszés arányszámával. Azt hihetnénk, hogy a kisebb dárdából van szükség több darabra, de ez pont fordítva van. Sárkányból 1,618...-szor annyi kell, mint dárdából. Végtelen csempézés esetén ez a szám a pontos arányt adja meg.

4. oldal


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Azt, hogy ez az arány irracionális, Penrose kihasználja annak bizonyításában, hogy a csempézés nem periodikus, mert ha periodikus lenne; akkor az aránynak nyilvánvalóan racionálisnak kellene lennie. Érdemes először egy lapra annyi dárdát és sárkányt rajzolni, amennyi ráfér, úgy, hogy körülbelül öt sárkány jusson három dárdára, az íveket vékony vonallal behúzva. Ezután erről a lapról akárhány fénymásolat készíthetõ. Másolás után kiszínezhetjük az íveket, mondjuk piros és zöld filctollal. Conway úgy találta, hogy felgyorsítja az eljárást és megkönnyíti különbözõ minták kirakását, ha a 6/C ábrán látható három nagyobb alakzatról készítünk sok másolatot. Nagyobb méretű mintázatok kirakása során folyamatosan helyettesíthetjük a dárdákat és sárkányokat ászokkal és csokornyakkendõkkel. Az is igaz, hogy végtelen sok sárkányból és dárdából felépíthetô tetszőlegesen nagy alakzatpár alkalmas bármelyik végtelen csempeminta elkészítésére. Penrose-mintát úgy készíthetünk, hogy egy csempe valamelyik csúcsát körülrakjuk dárdákkal és sárkányokkal, majd kifelé terjeszkedünk. Minden alkalommal, amikor egy új darabot illesztünk valamelyik élhez, választanunk kell, hogy az dárda vagy sárkány legyen. Van, amikor kényszerûen választjuk az egyiket, van, amikor nem. Néha mindkettő odaillik, de késõbb ellentmondásra jutunk (vagyis olyan hely keletkezik, ahova egyik darab sem illeszthetô), így vissza kell térnünk és a másik darabbal folytatnunk. Érdemes a már elkészült alakzaton körbehaladva elõször a kényszerbõl adódó darabokat elhelyezni. Ezek sem vezetnek ellentmondáshoz. Ezek után kísérletezhetünk a szabad helyekkel. Minden kirakás a végtelenségig folytatható. Minél többet játszunk a darabokkal, annál jobban kiismerjük a "kényszerszabályokat", így egyre hatékonyabbak leszünk. A dárda például arra kényszerít minket, hogy konkáv csúcsához két sárkányt illesszünk, létrehozva ezzel a mindenütt elôforduló ászt. Sokféleképpen bizonyítható, hogy a Penrose-csempézések száma az egyenes pontjainak számosságához hasonlóan nem megszámlálható. A bizonyítások egy meglepô jelenségen alapulnak, melyet Penrose fedezett fel. Conway ezt "felfújás"-nak, ill. "leeresztés"-nek nevezte. A 7. ábra mutatja a felfújás elsô lépését. Képzeljük el, hogy egy kirakott mintában az összes dárdát kettévágjuk a szimmetriatengelye mentén, majd az összes rövid él mentén egymáshoz ragasztjuk a csatlakozó darabokat. Az eredmény egy új csempézés (vastag fekete vonaIak), ahol nagyobb dárdák és sárkányok a csempék.

7. ábra. Példa egy minta felfújására

8. ábra. A Nap végtelen csempemintája

9. ábra. A csillag végtelen csempemintája

A 9. ábrán látható fehér csillag köré csak a 10 világosszürke sárkányt rakhatjuk. Ha az ötös szimmetriát megtartva folytatjuk az építkezést, újabb végtelen és egyértelmûen meghatározott virágszerû mintázatot kapunk. A csillagon és a Napon kívül nincs más Penrose-világ, mely tökéletes ötszöges szimmetriávai rendelkezik, ráadásul ezek egy igen bájos módon ekvivalensek. Fújjuk fel, vagy eresszük le valamelyik mintázatot, és megkapjuk a másikat. A felfújást a végtelenségig folytathatjuk, ahol a csempék minden új "generációja" nagyobb, mint az elôzõ. Megjegyzem, hogy bár a második generációs sárkány pontosan ugyanolyan alakú és nagyságú, mint egy elsô generációs ász, más a származtatása. Emiatt szokás az ászt "álsárkány"-nak

5. oldal


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

is nevezni. Soha nem szabad összetévesztenünk egy második generációs sárkánnyal. A leeresztés ugyanez a folyamat, csak visszafelé. Tetszôleges Penrose-csempemintán megrajzolhatjuk dárdák és sárkányok egyre kisebb és kisebb generációit. Ezt is a végteIenségig folytathatjuk, egy fraktálszerkezetet hozva létre.

…” Roger Penrose, John Conway, Robert Ammann és mások hatalmas lépéseket tettek a nem periodikus (aperiodikus) csempézések felderítése terén. Változatlanul a "nem periodikus" kifejezést fogom használni, bár Branko Grünbaum és G. C. Shephard a Tilings and Patterns címû nagyszabású mûvükben "aperiodikus"-nak hívnak egy csempekészletet, ha azzal csak nem periodikusan csempézhetõ a sík. Annak felfedezése, amit manapság Ammann-csíkoknak vagy egyeneseknek nevezünk, és a Penrose-csempézés háromdimenziós megfelelôi, a kristálytan bámulatos fejlôdéséhez vezetett, de elõször is hadd foglaljam össze ennek az áttörésnek az elôzményeit. Egy tehetséges fiatal matematikus, Robert Ammann, aki alacsony szintû számítógépes munkákat végzett Massachusettsben, Penrose-tól függetlenül felfedezte a rombusz-csempéket 1976-ban, körülbelül nyolc hónappal a Penrose-csempézésrõl szóló cikkem megjelenése elôtt. Levélben számoltam be neki a dárdákról és sárkányokról, melyben azt is megírtam, hogy Penrose már korábban felfedezte a rombuszokat. Ammann hamarosan rájött, hogy mindkét csempepár olyan mintákhoz vezet, melyeket öt, párhuzamos egyenesekbôl álló egyenescsalád határoz meg, ahol az egyenesek öt különbözõ irányban haladnak át a síkon, 360/5=72 fokos szögben metszve egymást. Egy ilyen egyenescsalád – mai elnevezéssel Ammann-csíkok – 1. ábra. Az Ammann-csíkok egy családja, látható az 1. ábrán. melyen megfigyelhetô (balról jobbra) egy SLLSLLS sorozat Észrevehetô, hogy az egyenesek olyan dárdák konkáv csúcsán haladnak át, melyek egyik része egy irányba, a többi pedig ellenkezô irányba mutat. Szigorú értelemben ez nem pontos meghatározás az egyenesek elhelyezkedésére, de a mi céljainknak ez az egyszerû szabály is megfelel. A precíz meghatározás a Grünbaum–Shephard-könyvben megtalálható. Ha a pontos helyükre kerülnek az egyenesek, akkor mindegyik egy hajszálnyival a dárdák konkáv csúcsán kívül halad. A minta minden szabályos tízszögének belsejében tökéletes pentagrammát (ötágú csillagot) rajzolnak ki az Ammanncsíkok. A szomszédos egyenesek között kétféle távolság figyelhetõ meg, az egyiket L-el (Long= hosszabb), a másikat S-el (Short= rövidebb) fogjuk jelölni. Ha megfelelően helyezzük el az egyeneseket, akkor a két távolság aranymetszéssel aránylik egymáshoz. Ráadásul a teljes síkot tekintve az egy családon belül levô csíkok között a L-k számának aránya a S-ek száma szintén aranymetszés arányú. Ha elindulunk a csíkok egyik családjára merőleges irányban, L-ek és S-ek sorozatával jegyezhetjük le az egymást követô távolságokat. Ez a sorozat nem lesz periodikus, és a Penrose-csempézésnek szép, egydimenziós megfelelõjét adja, teljesül rá a lokális izomorfizmus-tétel. Bármilyen véges részét kiválasztva a sorozatnak, mindig meg fogjuk találni a közelben annak másolatát. Induljunk el bárhol és jegyezzünk fel akárhány betût véges sok, mondjuk egymilliárd lépésen keresztül. A sorozat bármelyik pontjáról elindulva biztosak lehetünk abban, hogy elérünk egy ugyanilyen egymilliárd betûs sorozatot. Csak akkor nem ismétlõdik meg a betûsorozat, ha végtelen.” „Conway felfedezte, hogy ez a sorozat a következôképpen kapható meg az aranymetszésbõl. Írjuk fel növekvô sorrendben az aranymetszés arányszámának ((1+51/2)/2) a többszöröseit, lefelé kerekítve a legközelebbi egész számra.

6. oldal


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A kapott sorozat így fog kezdôdni: 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, 30, 32, 33, 35, 37, 38, 40, 42, 43, 45, 46, 48, 50, ... Ez a 917-es számú sorozat N. J. A. Sloane: Handbook of Integer Sequences (Egész számokból álló sorozatok kézikönyve) címû könyvében. Ha az aranymetszés négyzetének a többszöröseit kerekítjük le, akkor a 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, ... sorozatot kapjuk. A két sorozatot szokás egymás "komplementerének" nevezni. A kettõ egyesítésében minden pozitív egész egyszer és csak egyszer fordul elô. Ha egy tetszõleges a valós szám többszöröseit kerekítjük lefelé a legközelebbi egészre, akkor az így kapott sorozatot az a spektrumának nevezik. Ha a irracionális, akkor szokás a sorozatot Beatty-sorozatnak hívni, Samuel Beatty kanadai matematikus neve után, aki az ilyesfajta sorozatokra irányította a figyelmet 1926-ban. Az aranymetszéses Beatty-sorozat szomszédos tagjainak különbsége vagy 1, vagy 2. Ha felírjuk az elsô különbségsorozatot, majd minden 1-est 0-ra és minden 2-est 1-re változtatunk, egy végtelen bináris sorozatot kapunk, amely így kezdôdik: 101101011011010... Ez az Ammann-csíkok bármelyik végtelen családjában az S-ek és L-ek sorozatának egy darabja. Conway a "zenei sorozat" kifejezést használja az aranymetszéses sorozat bármelyik véges szakaszára. Én Penrose-t követve Fibonacci-szekvenciának fogom ôket nevezni. [Az elnevezés némileg félreérthetõ, ugyanis általában az 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... (minden további tag az elõzõ összege) sorozatot szokás Fibonaccisorozatnak nevezni, vagy néha ennek azt az általánosítását, ahol az elsõ két tag tetszõleges, a képzési szabály viszont ugyanaz. Az ilyen sorozatok számos érdekes tulajdonsággal rendelkeznek, ha például a fenti, binárisan megadott Fibonacci-szekvencia elé tizedesvesszôt rakunk, akkor az eredmény egy olyan irracionális szám kettes számrendszerbeli vesszôstört alakja lesz, melyet a következô lánctört határoz meg:

A lánctörtben szereplô kitevõk éppen a Fibonacci-számok. Conway számos publikálatlan eredménnyel rendelkezik arról, hogy a Penrose-csempézések hogyan függenek össze a Fibonacci-számokkal, amik viszont különbözô növények növekedési szabályaival függenek össze.

7. oldal


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2./

Rácsok felfújásának-leeresztésének módjai

„A Penrose-csempézések, mint láttuk, ön-hasonlóak (izomorfikusak) abban az értelemben, hogy ha felfújjuk vagy leeresztjük ôket, akkor egy másik csempézést kapunk. A Fibonacci-szekvenciák is rendelkeznek ugyanevvel a tulajdonsággal. Sokféle módon felfújhatók és leereszthetôk úgy, hogy egy másik ilyen sorozatot kapjunk, de a legegyszerûbb a következô. A leeresztéshez cseréljünk ki minden S-et L-re, minden LL-t S-re, és hagyjuk el az egyedül álló L-ket. Ha például a LSLLSLSLLSLLSLS szekvenciát ezzel a szabállyal eresztjük le, akkor a leeresztettje LSLLSLSLL. A felfújáshoz cseréljünk ki minden L-t S-re, minden S-t LL-ra, és két S közé mindenhova rakjunk be egy L-t.

Egy Fibonacci-szekvenciában sosem fordulhat elõ SS vagy LLL. Ezt felhasználva könnyen eldönthetõ, hogy S-ek és L-k egy sorozata Fibonacci szekvencia-e. Alkalmazzuk a leeresztési szabályt egészen addig, míg vagy egy olyan sorozatot nem kapunk,

8. oldal


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

amelyben SS vagy LLL van (ebben az esetben a sorozat nem Fibonacci), vagy egyetlen betût nem kapunk, ami bizonyítja, hogy az. Egy Penrose-csempézés felfújásakor vagy leeresztésekor az Ammann-csíkok bármelyik családjához tartozó sorozat is felfújódik, illetve leeresztődik. Bármelyik olyan hernyóban, mint a kocsikerékminta tíz küllőjének hernyói, a hosszú és rövid csokornyakkendők sorozata szintén Fibonacci-sorozat. Az Ammann-csíkok két családja nem periodikus paralelogrammák olyan hálózatát hozza létre, melybe beleilleszkednek a csempék. Ahogy Grünbaum és Shephard fogalmazza, "az, ami alapvetô, az a csíkok rendszere, és a csempék szerepe mindössze az, hogy egy gyakorlati megvalósítást adnak". A csíkok valami olyasmik, amik halványan emlékeztetnek a kvantummezôkre, melyek meghatározzák a részecskék helyét és pályáját.” „Van a Penrose-világoknak egy még meglepõbb tulajdonága. Egy sajátos, véges értelemben, amit a "lokális izomorfizmus-tétel" határol körül, minden Penrose-mintázat egyforma. Penrose-nak sikerült megmutatnia, hogy bármelyik mintázat bármelyik véges tartománya valahol szerepel az összes többi mintázatban is. Sôt, mi több, minden mintázatban végtelen sokszor szerepel. Hogy megértsük, milyen döbbenetes tényrõl van szó, képzeljük el, hogy egy végtelen síkon élünk, mely a megszámlálhatatlanul sok Penrose-csempézések egyikével van lefedve. Megvizsgálhatjuk mintázatunkat darabról darabra, egyre táguló területeken. Nem számít, mekkora részt derítettünk fel, soha nem leszünk képesek eldönteni, hogy melyik csempézésen vagyunk. Az sem segít, ha egymástól nagy távolságra lévô különálló tartományokat vizsgálunk meg, hiszen akárhány tartományhoz is lesz egy nagy, de véges tartomány, amely tartalmazza õket, és amely végtelen sokszor megismétlôdik minden mintázatban. Mindez persze nyilvánvalóan teljesül egy periodikus csempézésre, de a Penrose-világok nem periodikusak. Végtelen sok különbség van bármelyik kettő között, mégis elérhetetlen az a határ, melyen túl megkülönböztethetôk egymástóI. Tegyük fel, hogy felderítettünk egy kör alakú tartományt, melynek d az átmérôje. Mondjuk ez a "város", ahol élünk. Hirtelen átkerülünk egy véletlenszerûen kiválasztott párhuzamos Penrose-világba. Milyen messze leszünk egy kör alakú tartománytól, mely pontosan olyan, mint a mi városunk? Conway válasza egy valóban figyelemre méltó tétel. Egy város határától a legközelebbi másolatának határáig a távolság soha sem több, mint d-szer az aranymetszés köbének a fele : (Φ x Φ x Φ) / 2 =4,236 / 2 …, vagyis 2,11...-szer d. (Ez felsô korlát, nem átlag.) Ha megfelelõ irányban indulunk el, akkor ennél többet biztos nem kell sétálnunk ahhoz, hogy saját városunk pontos másolatában találjuk magunkat. „ – Természet Világa 128.évfolyam 8. szám 1997.augusztus, 344-349. oldal. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

9. oldal


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3./

Három tükörszimmetrikus Fibonacci szekvencia vizsgálata:

Az Amman csíkokat és a Fibonacci szekvenciákat geometrikusan is ki lehet szerkeszteni a következő módon.

Vegyünk egy „kockás papírt”, azaz egy 2D sík négyzethálót. Fel kell vennünk vetítősík gyanánt oly módon egy ferde egyenest, hogy a négyzetrács csomópontjainak ortogonálisan rá szerkesztett ferde vetületi pontjai közötti távolság (1+gyök5) / 2= 1,618… nagyságú, azaz Φ legyen. Ha négyzet”latticel” pontjai között egy olyan lépcsőszerű összekötést rajzolunk meg, melynek belépőinek mélysége változó (de szigorúan 1 vagy 2 egység), akkor tulajdonképpen a vetítőegyenesen egy 1 dimenziós kiterjedésű Fibonacci szekvenciához jutunk.

Adott esetben az Ammann-csíkok gyakorlatilag megegyeznek a fenti szerkesztésen alkalmazott ortogonális vetületi segédvonalakkal (narancs szín szaggatott).

10. oldal


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Kvázikristályos Mintaszerkesztési útmutató: Párhuzamos egyeneseket szerkesztek egymástól hosszabb L (Long) vagy rövidebb S (Short) távolságra. A két távolság egymáshoz viszonyított aránya aranymetszés. L

/S=Φ

Praktikusan, ha L=1,618… akkor S=1

A párhuzamos egyenesek távolságainak sorozatát úgy választom meg, hogy az első és az utolsó között szimmetrikusen felvett középpontban lévő forgatási tengely két oldalán a távolságok ritmusa tükörszimmetrikus legyen. ’a’ szekvencia./ legyen SLLSLSLLS, amikor a forgatási szimmetriatengely a középső hosszú rész közepe

’b’ szekvencia./ legyen LSLLSLLSL, amikor a forgatási szimmetriatengely a középső rövid rész közepe

’c’ szekvencia./ legyen LSLSLLSLSL, amikor a forgatási szimmetriatengely megegyezik a középső két hosszú rész válaszvonalával

A kiválasztott szekvenciát többszörözve betöltöm a síkot vele, majd a középső szekvencia kiválasztott szimmetriatengelyének közepe körül 72˚ -os szögben körbeforgatom. Íly módon (72˚ = 360 ˚/ 5) ötszörös átfedéssel jelenik meg a vonalháló. Ez a „pentarács”. Eltérő Fibonacci szekvenciák értelemszerűen eltérő pentarács mintázatot eredményeznek. Nagy fontosságú a forgatási tengely felvétele is. Pl. a Penrose féle „ végtelen kocsikerék” minta (Gardner, 1977) mely eredetileg sárkányokból (kite) és dárdákból (dart) áll. Ez a minta alkalmasint jól szemlélteti tulajdonságain keresztül, hogy a leeresztett verziója egész egyszerűen egy kisebb, a C középpont körül 180˚-al elforgatott változata az eredetinek. A leeresztett mintát meg lehet kapni az eredetit felbontva kisebb önazonos részecskékre vagy ráhelyezve az eredetire az Ammann csíkokból álló duálisát. Ennek a pentarácsnak sajátos tulajdonsága, hogy minden második leeresztési generációja identikus a nulladik ( kiindulási) 2

generációval csak Φ –szer kisebb.

Az S jelű pontok lokális ötszörös szimmetria pontok, ún.Penrose végtelen nap és csillag minták (egyébként rombikus ikozaéder és triakontaéder felülnézetek).

11. oldal


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A forgatási középpont lesz a pentarács origója, ahonnan a minta végtelen kiterjedése és a szimmetriatengelyek indulnak. Egy kvázikristályos Öt és tízszeres szimmetriájú minta minden esetben egy 5 vagy több dimenziós hiperkockarácsnak a 2 dimenziós vetülete lesz, a duálisa (de Bruijn, 1981) és 3 dimenzióban pedig zonohedrális strukturájú tércsempézést tesz lehetővé rombikus oldallapokból álló poliéderekkel ( Socolar és Steinhardt 1986) .

Az a, b, c Fibonacci szekvenciák alapján kiszerkesztett 3 eltérő pentarács :

A három végtelen tízszeres tengelyű csempézés, a fenti 3 Fibonacci szekvencia alapján létrehozott pentarácsok duálisai.

12. oldal


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Kiemelve a „c” jelű mozaikból az azt jellemzően alkotó 4 féle elem egy csoportját ( színessel jelölve az előző képen), a következő ábrán (c pontján) látható, hogy a minta önazonos, lokálisan izomorf. Az aranymetszés arányban leeresztett minta szépen beleilleszkedik a nagyobb elemek kontúrjába . Szaggatott vonallal az ábrán a duális pentarácsok vonalai láthatóak. Mivel azonban az LSLSLLSLSL ’c’ jelű Fibonacci szekvencia nagyon speciális, ún. „szinguláris” (de Bruijn, 1981), egyedi abban, hogy a duális módszerrel létrehozott csempéi nem csak rombuszok, hanem 10szög, 8szög és 6szög, ezért pentarácsának metszéspontjaira ( mely lehet 3,4,5 Ammann vonal metszéspontja is akár) több más pentarács pontjai is illeszkednek. A következő ábra ’a’ és ’b’ részén látható, hogy a ’c’ alapelemeibe az ’a’ és ’b’ mozaik elemei is beleírhatóak, aranymetszés arányban leeresztve azokat.

A magas matematikában és kísérleti fizikában az utóbbi 25 évben óriási szaktekintélyek foglalkoztak mélyrehatóan az ismertetett jelenséggel. Kezdve jelen DLA dolgozatom I.1. részében általam is „felfedezett” aranyrombuszokból álló poliéderek családjának vizsgálatával eljutottak a tudósok addig, hogy bebizonyíthatták, hogy a 3 dimenziós tér maradéktalanul kitölhető a nevezett testcsaláddal. A kitöltésnek ikozaéderes vagy zonoéderes szimmetriája van a térbeli eredetpontból kiindulva. A térkitöltés pedig koncentrikus héjak mintájára az origótól távolodva tágul és tartalmaz önazonos elemcsoportokat. Gyakorlatilag modellezhető vele a „big bang”, az ősrobbanás és a táguló világegyetem. Emiatt kvantummechanikai szinten is elkezdték vizsgálni a jelenséget és kiderült, hogy ennek a fajta 3 dimenziós térkitöltésnek létezik addig nem ismert modellje „kicsiben” és „nagyban” is. ’Megfogható’ kicsi méretben ilyen például az AlPdMn könnyűfém ötvözetek dodekaéderes kristályszerkezete, amit kvázi(majdnem)kristályosnak neveznek, mivel addig nem volt ismert olyan kristály, mely 5 irányban szimmetrikus. Megfoghatatlan „kicsi”, azaz elméletileg bizonyítható szinten pedig kiderült, hogy a zonoéderes térkitöltés relativisztikus szimmetriákat ír le a kvantummechanikai Tér-Idő (szpaciotemporális) hyperkockarácsokban és ez az elmélet helyettesítheti az addig egyeduralkodónak hitt Minkowski teret. ( Peter Kramer, Zorka Papadopolos, Harald Teuscher., Inst. Für Theoretishe Physik, Univ.Tübingen 2001.06.07 Tiling theory applied…/ az LLSLLSLSLL szekvencia és a triakontéder vizsgálata ) Az elsők között azonban meg kell

említenünk Kepler nevét, akinek egyik kedvenc poliédere volt a rombikus triakontaéder.

13. oldal


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A nagyobb mintára szuperpozícionált kisebb minták lokálisan izomorfak. Az ’a’ és ’b’ szekvenciák 3.

esetében a leeresztés foka Φ A megegyező lokális izomorfikus osztály minden 3., míg az alapminta megfordulva minden 6. generáció alkalmával bukkan fel. Emiatt 12 generációs után bukkan fel ugyanúgy a minta, akkor már

Φ12arányban ( kb.322 szeresen) lecsökkenve-megnagyítva.

(R.Ingalls (Dept. Of Physics, Univ. Of Washington, 1992. Acta Cryst. A48, 533-541 megjelent cikkének ábráit felhasználva (fekete-fehér képek))

A Tér Idő kutatása 3 dimenzióban is létező polidimenzionális formákon keresztül: A rombikus triakontaéder felbontása Kepler tollával és a P. Kramer téridő fraktál bizonyításában.

14. oldal


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tulajdonképpen ez a titka az iszlám építészet elképesztő bonyolultságot mutató mozaikjainak, az ún. ’girih’ mintáknak. amit K.u. 1000-1200 körül már tudtak gépek nélkül készíteni, oly módon, hogy manapság számítógéppel nehezen lehet kikonszignálni pl. egy templomon vagy mauzóleumon hibátlanul körbefutó és pontosan csatlakozó óriási mozaikot, amit aztán ráadásul apró darabonként raktak fel. (pl. Gunbad-a Qabud, a kék kripta, Maragha, Irán 1147)

Fotó: ©Sheila Blair and Jonathan Bloom

ábra: E. Makovicky - csempék: © Muzsai 2010

E.Makovicky(1992) krisztallográfus szerint a világ első ismert kvázikristályos épített mintája. 10szeres szimmetriájú minta, melyen ráadásul még egy másik végtelen fonott szalag jellegű hyperminta (csempeterven zölddel jelölve) és körbefut, úgy, hogy még a 10 oszlopot is körbeöleli.

A Törökországban őrzött híres Topkapi-tekercs Topkapi-tekercs mintagyűjtemény egyik lapja. ( Fotó: Peter J. Lu - Science_315_1106_2007_SOM_Page_11)

fotó: E. Makovicky

A kripta falának közelképe

15. oldal


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4./

Kvázikristályos homlokzat szerkesztése:

Az ismertetett módszerrel gyakorlatilag akármilyen rácsozottságú építészeti homlokzatstruktúrát meg lehet szerkeszteni. A kapott felosztás aranymetszés arányban, tehát végtelenül harmonikusan tördelhető, aprózható. Akár acél vagy vasbeton tartószerkezeti elemk léptékétől az üvegosztáson át le lehet menni egészen centiméteres léptékű mozaik kitöltésekig. A minta jellege mindig ugyanaz marad. Bár nagyon öt irányban futnak a homlokzat alkotói, a mintát, pl. függönyfalként fel lehet úgy is használni, hogy egyik iránya vízszintes vagy függőleges legyen, azaz a födémek vonalát kövesse, például egy sokemeletes irodaház esetében. Vegyük például az LSLSLLSL szekvenciát. L = 1,618 m., míg S= 1,000 méter Ebben az esetben N x ( 1,618 / 1 / 1,618 / 1 / 1,618 / 1,618 / 1 / 1,618 ) méteres távolságokban felosztjuk a homlokzatot. Az N szám a tervező által szabadon megválasztandó, oly módon, hogy a teljes homlokzati hosszra egész számú felosztás kerüljön. A szekvenciát építészetileg szükséges mennyiségben lehet süríteni a homlokzaton: LSLSLLSL/ LSLSLLSL/ LSLSLLSL/ LSLSLLSL… et cetera Miután megvan a vonalhálónk, azt már csak körbe kell forgatni 72˚-ban és megkaptunk egy pentarácsot, melyet szükség szerint lehet tömör és áttört felületekkel, fallal, ablakkal, színekkel kitölteni. A forgatási tengely felvétele sok próbálkozást igényel, ugyanis ennek a megfelelő helye (a helyes Fibonacci szekvencia alkalmazása mellett) a második szükséges előfeltétele annak, hogy a minta aperiodikus legyen. Az aperiodikus minta további érdekessége, hogy bár nem ismétlődik (tehát nem sorolható periodikusan, mint egy normál csempeburkolat), mégis tartalmaz ismétlődő csoportokat, melyek azonosak és egy más között cserélgethetőek. Megfigyelhető a következő ábrán, hogy a választott szekvenciánkon belül található egy érdekes tengely, melyre a teljes a vonalrács szimmetrikussá válik. Az LSLSLLSL szekvenciában ez az utolsó rövid szakasz közepe:

Fontos különbsége a korábban vizsgált pentarácsokhoz képest, hogy azokat tükörszimmetrikusan forgatták ki, tehát úgy voltak megszerkesztve, hogy az origótól előtt a szekvenciákat visszafelé olvasnánk, ha literálisan, betű szerint vennénk azokat. Tehát jelen esetben az LSLSLLSL szekvencia az elejénél tengelyezve és fordítva: LSLLSLSLLSLSLLSL lenne.

16. oldal


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Felszerkesztve a pentarácsot és kitöltve (pepita módon), felváltva fekete-fehérrel a szomszédos poligonokat megmutatja magát a kapott mintázat. A következő ábrán az LSLSLLSL lineáris pentarács origója látható vonalasan és kitöltve. Piros színnel a tengelyt tartalmazó szakaszt jelölöm.

Mivel ugyanazokat a távolságokat tartalmazó szakaszfelosztásokat többszöröztük, logikusan végiggondolva, a mintának ismétlődnie kellene, mintegy kaleidoszkópszerűen. Ellenben nem teszi, sőt,.. a kvázikristályos minták aperiodikusak és végtelen irányban tágulnak, ezért a minta körönként változik, bár mindig ugyanolyan részecskékből áll össze. Egy olyan fraktál, melynek van egy középpontja és abból kiindulva 10, 8, 5 tengelyre szimmetrikus. A teljes mintát kitöltögetve ez láthatóvá válik:

17. oldal


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Megfigyelhetőek az önazonos 10 szirmú csillagvirágok, melyek a szimmetriatengelyeken jelennek meg. Piros négyzettel jelölve az előző képen bemutatott középpont és egy véletlenszerűen kiválasztott perifériális terület:

A fraktálokról köztudott, hogy kaotikusnak tűnnek, ha csak egy részletüket látjuk és nem az egész rendszert egyben. Ez a tulajdonság hallatlan változatosságot eredményez és kimásolva egy–egy részletét a létrehozott mintázatnak, nyilván nem csak szimmetrikus homlokzati struktúrákat, de egészen kaotikus (-nak tűnő, ellenben harmonikus ritmusú) dekonstruktív jellegű homlokzatok is képezhetőek ezzel a módszerrel. Az origótól távolodva egyre inkább megjelenik egy olyan rácsozottság, mely a 72˚ - 108˚ fokos „kövér” és a 36˚ - 144˚ fokos „sovány2 „Penrose-rombusz”-ok méretét variálja. Felismerhetőek a megjelenő vonalak által lehatárolható Penrose „dárdák” és „sárkányok” is. Tovább haladva az LSLSLLSL lineáris pentarács építészeti alkalmazásának vizsgálatában, kezdjük el a megalkotott aperiodikus mozaik azonos „csempéinek” színnel való megkülönböztetését. Nagyon szépen megmutatkozik a minta tágulása és az izomorfikus csoportok, melyeket akár belsőépítészeti ornamentikában használható elemekként kiemelhetőek a mintából, de természetesen a mozaik egyes darabjai külön is kikonszignálhatóak:

„Nap”

elem és a 18 csempe

18. oldal


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Jelen esetben a csempecsaládunk elég „népes”. 18 tagot számláltam meg, de még várható távoli ’rokonok’ felbukkanása a periférikus régiókban. A következő nagyobb áttekintést biztosító képen észrevehető, hogy például a világoskék „háztető” jellegű 5szög a sárga Nap elemek eltűnésnek régiója környékén bukkan fel, majd egyre jobban ’elszaporodik’. Uyganilyen a világoszöld trapéz forma is. A könnyebb felismerhetőség miatt a „Nap” csoport szirmait narancs helyett citromsárgára színeztem. Kezdő kvázikristály alkotóként a 18-25 szám közötti csempecsalád nem szégyellendő, elég jó teljesítmény. A Penrose-mozaik hírhedtsége abban is áll, hogy Roger Penrose-nak sikerült kettő(!!) darabra minimalizálnia az aperiodikus csempézést lehetővé tevő csempék számát ( a korábbi 6-ról).

19. oldal


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Két mozaikkal borított homlokzati vagy belsőépítészeti ’falrészlet’ . Bár ugyanabból a mozaikcsaládból rakott mintázatból való mindkettő, az első részlet szimmetrikus és iszlám stílust idéz, míg a másik aszimmetrikus és hullámzó floralitása révén a japán ornamentikára aszociáltat. Mindkét ősi kultúra mintakincse egyezik egy dologban: többezer évesek és természetközpontúak. Visszakanyarodva jelen dolgozat tudományos előzményeket bemutató bevezető részéhez, a 6.oldalon már említettem korunk még élő matematikai zsenijének John H. Conway-nak nevét, akihez fűződik a Fibonacci szekvenciák „zenei sorozatok” elnevezése. Egy számok és ellentmondásmentes, szikár bizonyítások világában élő profi matematikustól túlzásnak tűnik egy matematikai adatsorozatot az érzelmekre ható zene világával összekapcsolni, ám tekintetbe véve, hogy például a zenei univerzum hasonló hatású nagysága, J.S. Bach hogyan komponálta elévülhetetlen és a mai napig univerzális darabjait, az elnevezés nagyon is helytálló. Bach úgynevezett rák, tükör, ráktükör komponálású kánonjai pontosan a fentebb ismertetett egy dimenziós aperiodikus kvázikristály, azaz a Fibonacci szekvencia alapú polidimenzionális terekből a de Bruijn féle dualitási elv alapján származtatható hiperkocka térrácsok 2 dimenziós (sík) mintázatainak szabályszerűségét alkalmazzák a zenében. Végül is összesen két időben non-lineáris művészeti ágat tartanak számon a tudósok. Ezek a Zene és az Építészet. Érdekes lenne megvizsgálni egy közös kutatási program keretein belül a Zeneakadémiával, hogy kottázhatóak-e az aperiodikus mintázatok, és fordítva. Valószínűleg bebizonyosodna, hogy nem csak közhely az építész szakmai köreinkben ismert szakállas mondás, miszerint „Építészet megfagyott Zene”, hanem kulcsmondat egy korunkban már kutatható, új dimenziójú tudás felé. Muzsai István 2010. június 10.-e, Budapest

Aranymetszés arány

Recommend Documents