Aproximativní analytické řešení jednorozměrného proudění newtonské kapaliny

U218 – Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze ______________________________________________________________________________________________________________

Aproximativní analytické řešení jednorozměrného proudění newtonské kapaliny Některé případy jednorozměrného proudění newtonské kapaliny lze řešit přibližně pomocí řešení odvozených pro jednorozměrné proudění newtonské kapaliny v jednodušších geometriích. A. Využití geometrie pevná – pohyblivá deska Využití řešení proudění v geometrii pevná – pohyblivá deska pro přibližné řešení pro: • Tangenciální beztlakové proudění (radiální kluzné ložisko, rotační viskosimetr). • Axiální patní kluzné ložisko. • Kuželové kluzné ložisko. • Viskosimetr kužel – deska. B. Využití geometrie pevná – pevná deska Využití řešení proudění vlivem tlakového gradientu v geometrii pevná – pohyblivá deska (štěrbina) pro přibližné řešení pro: • Axiální tlakové proudění v mezikruží.

Aproximativní řešení A. Využití geometrie pevná – pohyblivá deska 1. Proudění v geometrii pevná – pohyblivá deska Popis Jednorozměrné proudění newtonské kapaliny v mezeře H mezi pevnou a pohyblivou deskou pohybující se rychlostí v v daném směru - viz obr. A-1 se zakresleným zvoleným systémem kartézských souřadnic.

Obr. A-1 – Pevná a pohyblivá deska – řešení

_______________________________________________________________________________________________________

Aproximativní analytické řešení proudění newtonské kapaliny

1


Předpoklady • Desky vodorovné nekonečných rozměrů (vzdálenost desek H, rychlost pohybující se desky v). • Časově ustálené proudění. • Nestlačitelná newtonská kapalina. • Izotermní proudění – µ = konst., ρ = konst. • Jednorozměrné proudění – ux ≠ 0, uy = uz = 0. ! • Proudění v gravitačním poli – g . • Proudění bez tlakového gradientu v ose x – p1(x1, y) = p2(x2, y). Řešení Řešením Cauchyho rovnice a Newtonova zákona vazkého tření resp. řešením Navier – Stokesovy rovnice: •

Rychlostní profil

u x ( y) =

v ⋅y H

(A – 1)

•

Profil dynamického napětí

τ yx ( y) =

v⋅µ H

(A – 2)

•

Tlakový profil

p = p0 + ρ ⋅ g ⋅ ( H − y )

(A – 3)

Vztah (A-3) popisuje průběh hydrostatického tlaku v mezeře. Vzhledem k obvyklým rozměrům mezery je změna hydrostatického tlaku zanedbatelná a při výpočtech se neuvažuje. Vztahy (A-1) a (A-2) jsou odvozeny mimo jiné za předpokladu nekonečné desky a přesně vzato platí pouze a jen pro nekonečnou desku. Avšak v případě konečné desky konečných rozměrů, kdy rozměry desky >>> mezera mezi deskami, si můžeme dovolit tuto konečnou desku považovat za nekonečnou a použít pro popis rychlostního profilu a profilu dynamického napětí vztahy (A-1) a (A-2). Samozřejmě na okrajích desky toto neplatí, zde jsou profily ovlivněny okrajem a je zde 3D proudění, avšak vzhledem k vzájemným rozměrům desky a mezery mezi deskami je způsobená chyba zanedbatelná. V případě konečné desky o šířce B a délce L, kdy B >>> H lze dále vypočítat: •

Síla působící na desku o ploše Sd = B.L a zajišťující pohyb desky rychlostí v F = τ yx ⋅ S d =

•

v⋅µ ⋅ Sd H

(A – 4)

Objemový průtok kapaliny mezerou o průřezu S = B.H vyvolaný pohybem desky ; H

1 V" = ∫ u x ⋅ dS = dS = B ⋅ dy = ∫ u x ⋅ B ⋅ dy = ⋅ B ⋅ H ⋅ v 2 S 0

•

(A – 5)

Střední rychlost toku kapaliny u průřezem S = B.H ux =

V" 1 = S = B⋅H = ⋅v S 2

(A – 6)

_______________________________________________________________________________________________________


2


2. Tangenciální proudění bez tlakového gradientu – přibližné řešení Popis Jednorozměrné proudění newtonské kapaliny v mezeře mezi vnitřním rotujícím válcem o poloměru R1 a vnějším pevným válcem o poloměru R2. Proudění je vyvoláno rotací jednoho z válců, nikoli tlakovým gradientem - viz obr. A-2. Předpoklady • Válce nekonečné délky resp. L >>> (R2 – R1). • Časově ustálené proudění. • Nestlačitelná newtonská kapalina. • Izotermní proudění – µ = konst., ρ = konst. • Jednorozměrné proudění – uϕ ≠ 0, ur = uz = 0. ! • Proudění v gravitačním poli – g . • Proudění bez tlakového gradientu v mezeře.

Obr. A-2 – Tangenciální proudění bez tlakového gradientu – přibližné řešení Přibližné řešení Rozvinutí podle středního poloměru RS RS = •

R1 + R2 2

(A – 7)

Relace mezi parametry obou geometrií

y = R2 − r pro r ∈ 〈R1 ; R2〉

(A – 8)

H = R2 − R1

(A – 9)

B = 2 ⋅ π ⋅ RS

(A – 10)

_______________________________________________________________________________________________________


3


v = ω ⋅ RS

(A – 11)

ω⋅ = 2 ⋅π ⋅ n

(A – 12)

kde ω – úhlová rychlost, n – otáčky. •

Rychlostní profil (přímkový profil) – r ∈ 〈R1 ; R2〉 uϕ (r ) =

•

R + R2 1 R1 + R2 ⋅ ⋅ ω ⋅ ( R2 − r ) = π ⋅ 1 ⋅ n ⋅ ( R2 − r ) R2 − R1 2 R2 − R1

(A – 13)

Profil dynamického napětí (konstantní profil) – r ∈ 〈R1 ; R2〉 R + R2 1 R + R2 τ rϕ ( r ) = µ ⋅ ⋅ 1 ⋅ω = π ⋅ 1 ⋅µ ⋅n R2 − R1 2 R2 − R1

•

Síla působící na rotujícím válci o ploše S = 2.π.RS.L a zajišťující pohyb válce rychlostí v F ( RS ) = τ yx ( R S ) ⋅ S ( R S ) =

•

(A – 14)

v⋅µ v⋅µ ⋅S = ⋅ 2 ⋅ π ⋅ RS ⋅ L H H

(A – 15)

Kroutící moment zajišťující pohyb válce rychlostí v

M K = F ( RS ) ⋅ RS

(A – 16)

Spojením a úpravou (A-7), (A-9), (A-10), (A-11), (A-12), (A-15) a (A-16): Mk =

(A – 17)

π ( R1 + R2 ) 3 π 2 ( R1 + R2 ) 3 ⋅L⋅µ ⋅n ⋅ L ⋅ µ ⋅ω = ⋅ ⋅ R2 − R1 4 R2 − R1 2

Vztah (A-17) přesně vzato platí pouze a jen pro nekonečné válce. Avšak v případě konečných válců konečných rozměrů, kdy rozměry válců >>> mezera mezi válci, si můžeme dovolit považovat tyto konečné válce za nekonečné a použít pro popis rychlostního profilu a profilu dynamického napětí vztahy (A-13) a (A-14) a pro výpočet kroutícího momentu vztah (A-17). Samozřejmě na okrajích válců toto neplatí, zde jsou profily ovlivněny okrajem a je zde 3D proudění, avšak vzhledem k vzájemným rozměrům válců a mezery mezi válci je způsobená chyba zanedbatelná. Chyba aproximace Chyba aproximace je prezentována na porovnání výpočtových hodnot dynamických. viskozit: κ = R1/R2 µr / µ

0,95 0,999

0,9 0,994

0,85 0,987

0,8 0,975

0,75 0,960

0,7 0,939

0,65 0,912

0,6 0,879

0,55 0,839

0,5 0,790

Symboly: R1 – poloměr vnitřního rotujícího válce, R2 – poloměr vnějšího pevného válce, RS – střední poloměr ; RS = (R1 + R2)/2, L – délka vnitřního rotujícího válce, κ = R1 / R2 = D1 / D2 , Mk – kroutící moment na rotujícím válci,

ω - úhlová rychlost, n – otáčky vnitřního rotujícího válce, µ r - dynamická viskozita z rovinné aproximace, µ - dynamická viskozita z přesného řešení, r – poloměr.

_______________________________________________________________________________________________________


4


3. Axiální patní kluzné ložisko Popis Jednorozměrné proudění newtonské kapaliny v mezeře H mezi spodní plochou rotujícího válce o poloměru R. Proudění je vyvoláno rotací válce - viz obr. A-3. Předpoklady • Válec nekonečného průměru resp. R >>> H. • Časově ustálené proudění. • Nestlačitelná newtonská kapalina. • Izotermní proudění – µ = konst., ρ = konst. • Jednorozměrné proudění – uϕ ≠ 0, ur = uz = 0. ! • Proudění v gravitačním poli – g . • Proudění bez tlakového gradientu v mezeře.

Obr. A-3 – Axiální patní kluzné ložisko – přibližné řešení Přibližné řešení •


v =ω ⋅r

(A – 18)

kde ω – úhlová rychlost dle (A-12). •

Kroutící moment

dM K = r ⋅ dF kde

(A – 19)

dF = τ xy ⋅ dS = µ ⋅

v ⋅ dS H

dS = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ dr

(A – 20) (A – 21)

Spojením (A-18), (A-19), (A-20) a (A-21):

dM K = 2 ⋅ π ⋅

µ ⋅ω 3 ⋅ r ⋅ dr , H

(A – 22)

integrací v mezích 0 – R: Mk =

µ ⋅ω 1 , ⋅π ⋅ R4 ⋅ H 2

(A – 23)

_______________________________________________________________________________________________________


5


v případě existence středového vybrání o poloměru RV integrace v mezích RV – R. Vztah (A-23) je použitelný za předpokladu R >>> H. Samozřejmě na okraji válce jsou profily ovlivněny okrajem a je zde 3D proudění, avšak vzhledem k vzájemným rozměrům válce a mezery za předpokladu R >>> H je způsobená chyba zanedbatelná.

4. Kuželové patní kluzné ložisko Popis Jednorozměrné proudění newtonské kapaliny v mezeře H mezi kuželovými plochami. Proudění je vyvoláno rotací válce ukončeného kuželovou plochou - viz obr. A-4. Předpoklady • Kuželová plocha nekonečného rozměru resp. R >>> H. • Časově ustálené proudění. • Nestlačitelná newtonská kapalina. • Izotermní proudění – µ = konst., ρ = konst. • Jednorozměrné proudění – uϕ ≠ 0, ur = uϑ = 0. ! • Proudění v gravitačním poli – g . • Proudění bez tlakového gradientu v mezeře.

Obr. A-4 – Kuželové patní kluzné ložisko – přibližné řešení Přibližné řešení •


v =ω ⋅r

(A – 24)


Kroutící moment

dM K = r ⋅ dF kde


(A – 25) v ⋅ dS H

dS = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ dx

dx =

dr sin(α / 2)

(A – 26) (A – 27) (A – 28)

_______________________________________________________________________________________________________


6


Spojením (A-24), (A-25), (A-26), (A-27) a (A-28):

dM K = 2 ⋅ π ⋅

µ ⋅ω 3 1 ⋅ ⋅ r ⋅ dr , sin(α / 2) H

(A – 29)

integrací v mezích 0 – R:

MK =

µ ⋅ω R4 1 ⋅π ⋅ ⋅ . 2 sin(α / 2) H

(A – 30)

Vztah (A-30) je použitelný za předpokladu R >>> H. Samozřejmě na okraji a vrcholu kuželové plochy jsou profily ovlivněny okrajem a je zde 3D proudění, avšak vzhledem k vzájemným rozměrům plochy a mezery za předpokladu R >>> H je způsobená chyba zanedbatelná.

5. Viskosimetr kužel – deska Popis Jednorozměrné proudění newtonské kapaliny v prostoru mezi kuželovou plochou o výšce H a poloměru R a deskou. Proudění je vyvoláno rotací kuželové plochy - viz obr. A-5. Tato konfigurace se používá pro měření viskosity velmi viskózních látek pastovitého charakteru. Konfigurace zobrazená na obr. A-5 není z důvodu přehlednosti zakreslena v měřítku – úhel α je cca 0,5 ÷ 1°. Předpoklady • Kužel. plocha nekonečného rozměru s velkým vrcholovým úhlem resp.R >>> H a α → 0. • Časově ustálené proudění. • Nestlačitelná newtonská kapalina. • Izotermní proudění – µ = konst., ρ = konst. • Jednorozměrné proudění – uϕ ≠ 0, ur = uϑ = 0. ! • Proudění v gravitačním poli – g . • Proudění bez tlakového gradientu v prostoru.

Obr. A-5 – Viskosimetr kužel – deska – přibližné řešení

_______________________________________________________________________________________________________


7


Přibližné řešení •


δ = r ⋅ tgα

(A – 31)

v =ω ⋅r

(A – 32)


Kroutící moment

dM K = r ⋅ dF kde

(A – 33)


v ⋅ dS δ

dS = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ dr

(A – 34) (A – 35)

Spojením (A-31), (A-32), (A-33), (A-34) a (A-35):

dM K = 2 ⋅ π ⋅

µ ⋅ω 2 ⋅ r ⋅ dr , tgα

(A – 36)

integrací v mezích 0 – R:

MK

R3 2 = ⋅π ⋅ ⋅ µ ⋅ω . tgα 3

(A – 37)

Vztah (A-37) je použitelný za předpokladu R >>> H. Samozřejmě na okraji a u vrcholu kuželové plochy jsou profily ovlivněny okrajem a je zde 3D proudění, avšak vzhledem k vzájemným rozměrům plochy a mezery za předpokladu R >>> H a α → 0 je způsobená chyba zanedbatelná.

_______________________________________________________________________________________________________


8


B. Využití geometrie pevná – pevná deska 1. Proudění v geometrii pevná – pevná deska Popis Jednorozměrné proudění newtonské kapaliny v mezeře H mezi dvěma pevnými deskami vlivem tlakového gradientu - viz obr. B-1 se zakresleným zvoleným systémem kartézských souřadnic.

Obr. B-1 – Dvě pevné desky – řešení Předpoklady • Desky vodorovné nekonečných rozměrů (vzdálenost desek H). • Časově ustálené proudění. • Nestlačitelná newtonská kapalina. • Izotermní proudění – µ = konst., ρ = konst. • Jednorozměrné proudění – ux ≠ 0, uy = uz = 0. ! • Proudění v gravitačním poli – g . • Proudění vlivem tlakového gradientu ; p(x = L1) = p1, p(x = L2) = p2. Řešení •

Rychlostní profil

u x ( y) =

1 p1 − p 2 ⋅ ⋅H2 2µ L2 − L1

 y  y 2  ⋅ −    H  H  

(B – 1)

pro p(x = L1) = p1, p(x = L2) = p2, kde L1 < L2 a p1 > p2. •

Profil dynamického napětí

y 1 p − p2  ⋅ H 1 − 2  τ yx ( y ) = ⋅ 1 H 2 L 2 − L1 

(B – 2)

•

Tlakový profil

p ( y ) = p0 + ρ ⋅ g ⋅ ( H − y )

(B – 3)

Vztah (B-3) popisuje průběh hydrostatického tlaku v mezeře. Vzhledem k obvyklým rozměrům mezery a tlakovému gradientu ∆p/∆L je změna hydrostatického tlaku zanedbatelná a při výpočtech se neuvažuje. _______________________________________________________________________________________________________


9


Vztahy (B-1) a (B-2) jsou odvozeny mimo jiné za předpokladu dvou nekonečných desek a přesně vzato platí pouze a jen pro nekonečné desky. Avšak v případě konečných desek konečných rozměrů, kdy rozměry desek >>> mezera mezi deskami, si můžeme dovolit tyto konečné desky považovat za nekonečné a použít pro popis rychlostního profilu a profilu dynamického napětí vztahy (B-1) a (B-2). Samozřejmě na okrajích desky toto neplatí, zde jsou profily ovlivněny okrajem a je zde 3D proudění, avšak vzhledem k vzájemným rozměrům desek a mezery mezi deskami je způsobená chyba zanedbatelná. V případě konečných desek o šířce B a délce L, kdy B >>> H lze dále vypočítat: •

Objemový průtok kapaliny mezerou o průřezu S = B.H : H

1 p1 − p2 ⋅ ⋅B⋅H3 V" = ∫ u x ⋅ dS = dS = B ⋅ dy = ∫ u x ⋅ B ⋅ dy = 12µ L2 − L1 S 0

•

(B – 4)

Střední rychlost toku kapaliny u průřezem S = B.H

ux =

V" 1 p1 − p 2 ⋅H2 = S = B⋅H = ⋅ S 12µ L2 − L1

(B – 5)

2. Axiální tlakové proudění v mezikruží Popis Jednorozměrné proudění newtonské kapaliny v mezikruží mezi dvěma pevnými válci o poloměru R1 a R2 (R1 < R2) vlivem tlakového gradientu - viz obr. B-2.

Obr. B-1 – Axiální tlakové proudění v mezikruží – přibližné řešení Předpoklady • Dva koncentrické válce vodorovné nekonečné délky o poloměru R1 a R2 (R1 < R2). • Časově ustálené proudění. • Nestlačitelná newtonská kapalina. • Izotermní proudění – µ = konst., ρ = konst. • Jednorozměrné proudění – uz ≠ 0, ur = uϕ = 0. ! • Proudění v gravitačním poli – g . • Proudění vlivem tlakového gradientu ; p(x = L1) = p1, p(x = L2) = p2. _______________________________________________________________________________________________________


10


Přibližné řešení Rozvinutí podle středního poloměru RS RS = •

•

R1 + R2 2

(B – 6)


y = r − R1 pro r ∈ 〈R1 ; R2〉

(B – 7)

H = R2 − R1

(B – 8)

B = 2 ⋅ π ⋅ RS

(B – 9)

Rychlostní profil (parabolický profil) – r ∈ 〈R1 ; R2〉 (B – 10)

2  r−R  r − R1   1 p1 − p 2 2 1    u z (r ) = ⋅ ⋅ (R2 − R1 ) ⋅ − 2 µ L2 − L1  R2 − R1  R2 − R1    

•

Střední rychlost u=

•

1 p1 − p 2 ⋅ (R2 − R1 )2 ⋅ 12µ L2 − L1

(B –11)

Maximální rychlost – maximální rychlost v ose štěrbiny, tj yumax = H/2: ru max = R1 + ( R2 − R1 ) / 2 u max =

•

1 p1 − p 2 ⋅ ⋅ (R2 − R1 )2 8µ L2 − L1

(B – 12b)

Profil dynamického napětí (přímkový profil) – r ∈ 〈R1 ; R2〉 τ yx (r ) =

•

(B – 12a)

(B – 13)

 r − R1  1 p1 − p 2 ⋅ ( R2 − R1 ) ⋅ 1 − 2 ⋅ ⋅  R2 − R1  2 L2 − L1 

Objemový průtok

Spojením a úpravou (B-4), (B-6), (B-8) a (B-9):

π p1 − p 2 ⋅ ⋅ (R1 + R2 )⋅ (R2 − R1 )3 V" = 12 µ L2 − L1

(B – 14)

Vztah (B-14) přesně vzato platí pouze a jen pro nekonečné válce. Avšak v případě konečných válců konečných rozměrů, kdy rozměry válců >>> mezera mezi válci, si můžeme dovolit považovat tyto konečné válce za nekonečné a použít pro popis rychlostního profilu a profilu dynamického napětí vztahy (B-10) a (B-13) a pro výpočet objemového průtoku vztah (B-14). Chyba aproximace Chyba aproximace je prezentována na porovnání průtoků: κ = R1/R2 V"r / V"

0,9 1,000

0,8 0,999

0,7 0,998

0,6 0,996

0,5 0,992

0,4 0,987

0,3 0,978

0,2 0,962

0,1 0,931

_______________________________________________________________________________________________________


11


(B – 15)

V"r 2 (1 + κ ) ⋅ (1 − κ ) 3 = ⋅ V" 3 (1 − κ 2 ) 2 1−κ 4 − 1 ln κ

Ověření předpokladu jednorozměrného proudění Předpoklad jednorozměrného proudění je splněn, je – li proudění laminární. Zda je proudění laminární nebo turbulentní se určí dle hodnoty Reynoldsova čísla. V případě nekruhového profilu je Renoldsovo číslo definováno dle:

Re h =

u ⋅ dh u ⋅ dh ⋅ ρ , = ν µ

(B – 16)

kde : dh – hydraulický průměr, u – střední rychlost, ν – kinematická viskozita, µ - dynamická viskozita, ρ – hustota. Režim toku: laminární proudění Reh < 2300 ; turbulentní proudění 2 300 < Reh Hydraulický průměr Rovinná štěrbina Mezikruží

d h = 2H

(B – 17a)

d h = d 2 − d1 = 2 ⋅ ( R2 − R1 )

(B – 17b)

Symboly p1 – tlak v trubce v délce L1, p2 – tlak v trubce v délce L2, ∆p = (p1 – p2) – tlakový spád na délce ∆L = L2 – L1, R1 – vnější poloměr vnitřní trubky, R2 – vnitřní poloměr vnější trubky, RS – střední poloměr ; RS = (R1 + R2)/2 D1 – vnější průměr vnitřní trubky, D2 – vnitřní průměr vnější trubky,

κ = R1 / R2 = D1 / D2 V"r - objemový průtok z rovinné aproximace, V" - objemový průtok z přesného řešení, L – délka trubky, µ - dynamická viskozita, r – poloměr.

Radek Šulc 2004/v1

_______________________________________________________________________________________________________


12

Aproximativní analytické řešení jednorozměrného proudění newtonské kapaliny

Recommend Documents