Applications of Computer Algebra Systems on Structural Constructions

UNIVERSITY OF PÉCS POLLACK MIHÁLY FACULTY OF ENGINEERING AND INFORMATICS BREUER MARCELL DOCTORAL SCHOOL

Habilitation Theses

Applications of Computer Algebra Systems on Structural Constructions

Dr. György Maróti Ph.D

Pécs 2012

1 Introduction To err is human, but to really foul things up requires a computer. (Murphy’s Law) In the course of scientific engineering calculation operations of high complexity are performed, which may result in extremely big expressions. Although these calculations are often straightforward, to be performed them by pencil and paper is exhausting and could be the source of different calculation errors. In most cases even the comprehension of such big expressions may turn to be impossible. This phenomenon makes computer algebra systems an indispensable tool of investigating engineering problems. The vibration and buckling of the beams have been extensively examined especially with the goal of finding closed-form solutions. In general case, to reach this goal appears to be not realistic. Therefore, the researchers focus their effort on finding solution for different special cases. In our thesis two special problems are touched: 

The buckling of axially functionally graded simply supported beams and



The vibration of an inhomogeneous beam with a translational spring at one of its end and clamped at the other end.

Computer algebra is a par excellence interdisciplinary field of science. Its ultimate goal is to create well functioning software applications; therefore, the elaboration of theoretical bases cannot be terminated by stating theorems and presenting their proof. From point of view of computer algebra it is not satisfactory to show the existence of a mathematical object of a certain property, but also the algorithm has to be developed which produces this object. The investigation of exact arithmetic and the complexity of effective symbolic calculations classify computer algebra to the scope of computer science. However, in the course of manipulating symbolic mathematical object operations are performed e.g. on polynomials, rational expressions from the simplest algebraic operations though the division of multivariate polynomials to the manipulation of polynomial ideals. All these belong to the field of classical and abstract algebra. A third broad field to be mentioned could be the implementation of

Page 2

algorithms of calculus and integration, the development of algorithms for the numerical and symbolic solutions of differential equation. This enumeration is far from being complete. If the theoretical research is interdisciplinary itself the applied research of the fields of the possible applications of the developed systems must be of the same property, as well. To expose this assertion it is enough to enumerate some of list of Maple packages without the need of completeness: algebraic curves, differential algebra, Gröbner bases, group theory, power series, partial differential equations, and more. According to its title, in this thesis the field of three disciples is touched: civil engineering, automata theory and the theory of Gröbner bases.

2 Applied Methods Every non trivial program has at least one bug Corollary: A sufficient condition for program triviality is that it has no bugs. (Murphy’s Law) In contrast to numerical computer programs, computer algebra systems allow mathematical computations with symbolic expressions. The aim of these systems is to automate as much as possible the mathematical problem solving process. Although present computer algebra systems are far from being automatic problem solvers, they are already useful, if not indispensable, tools in research and education. In my work I used Maple general purpose computer algebra system in two ways: 

as an algebraic calculator,



as a tool for mathematical experiments.

André Heck, the internationally recognized expert of Maple, writes in his book Introduction to Maple: “The main advantage of a computer algebra system is its ability to carry out large algebraic computations. Although many calculations are straightforward standard manipulations which can be calculated with pencil and paper, the larger the formulae, the harder the work and the less the chance of success. For this kind of computation a computer algebra system is an excellent tool.” Scientific engineering books and articles present the main steps of their calculations providing the reader with some explanation but the details of the computation are regularly absent. Therefore the full understanding of the mathematical calculation often requires the Page 3

reconstruction of the different formulae appearing in the studies. Although these efforts are in most cases cumbersome and not simple at all, they could have the benefit to help in discovering incidental errors in calculation. Computer algebra systems encourage their users to perform mathematical experiments. They make it easy to test mathematical conjectures and to propose new ones on the basis of calculations. It has to be emphasized that computer algebra systems cannot be considered as automatic problem solvers. On the one hand they leave it to the user to find his/her way throughout the computation. On the other hand computer algebra systems consist of the implementations of different algorithms. Simply saying they are computer programs which may not be exempt of bugs. Even if we accept that computer algebra programs work well the user must have reservations with the correctness of the answers of the systems. The problems concerning automatic simplification often compel the designers of computer algebra systems to have to choose between rigorous mathematical correctness and usability. Due to the phenomenon of tremendous growth of expressions in intermediate calculations, known as “intermediate expression swell”, it is sometime impossible to comprehend the answers of the system. All these propound the need of exact mathematical proof in case if we use the system to draw up conjectures. In my work I used Maple as an aid to divine the solution for examined problems, to check the calculation steps of a proof, but all these were used as the preparation of the formulation of exact mathematical statements and in every case I gave the exact mathematical proofs.

3 Theses 3.1 Thesis 1 Must we find a solution? Can’t we just enjoy the problem for a while? (Graffiti) The theses of the first chapter summarize our results in finding closed-form solution for the vibration of inhomogeneous beam with a translational spring at one of its end and clamped at the other end. Instead of using linear algebra to find the form of acceptable mode shape and flexural rigidity, calculus tools are introduced to find the general solution of the differential equation. Page 4

The vibration of an inhomogeneous beam with a translational spring at one of its end and clamped at the other end is governed by the differential equation d2 d 2

  d2   F      R  2W    0   W  2     d  

(1)

where W   stands for the mode shape, F    E   A  is the flexural rigidity, while E   and A  denote the modulus of elasticity and the cross sectional area, respectively. The inertial coefficient R       A  , where    is the mass density. In the end  denotes the natural frequency, x is the axial coordinate, while   x L is the non-dimensional axial coordinate and L stands for the length. Proposition 1 The general solution of the differential equation (1) is

    C1    R   2W   d   d C 2          F    2 d W   d 2





(2)

where _C1 and _C2 are arbitrary constants. In this form (2) cannot be used to compute F   because it contains two indefinite integrals embedded into each other, while for now nothing is known about R  and W   . What solves this problem is that it is postulated that both the mode shape W   and the inertial coefficient R  are polynomials. More specifically, it is supposed that W     0   1   2 2   3 3   4 4

(3)

and m

R    a i  i

(4)

i 1

where m is arbitrary integer. Page 5

These choices make possible to compute the indefinite integrals contained in formulae (2). Proposition 2 Using the choices for W   and R  in (3) and (4) respectively, function F   

m    0 i  2   C 2  C1   2  a i   i  1i  2  2 2  6 3  12 4  2  i 0 

1

(5)

      i  2i  3 i  3i  4 i  4i  5 i  5i  6  

 1 i  3

 3 i  5

 2 i  4

 2 i 6

is the general solution of the differential equation (1). The boundary conditions associated with the governing differential equation (1) describe the fact that the beam has a translational sprint at one end and clamped at the other end.

d2 W     0  0 d 2 d d

  d2   F       W   d 2     

 0

(9)

 kW 0

(10)

W 1  0 d W   d

 0

(11)

0

At this point the question arises, which conditions need the constants

(12)



C1 ,



C 2 and the

coefficients of polynomials R  and W   to fulfill so that the functions W   and F   satisfy the boundary conditions. Next proposition gives the answer. Proposition 3 Functions

Page 6

F   

i 1   m  k   2   a   0  0  i 0 i  i  1i  2  9 4  3 0  12 4    

1

3  i2  1   4   0   2  2    i  2i  3

   3 1    4   0  i  4 i 5  4 2 2    i  4i  4 i  5i  6     

(13)

and 3  1  1  3 W     0    4   0      4   0  3   4 4 2  2  2  2

(14)

are the solutions of differential equation (1) and satisfy the boundary conditions (9)-(12). Related publication Maróti, Gy., Finding closed-form solutions of beam vibration, Pollack Periodica, Vol. 6, No. 1 2011

3.2 Thesis 2 When working toward the solution of a problem, it always helps if you know the answer. (Murphy’s Law) The equation of buckling of axially functionally graded simply supported beams is examined by using the semi-inverse method. The Euler-Bernoulli differential equation has the form

where  x is the buckling stress, A is the cross section area, w(x) is the transverse deflection, J is the moment of inertia, E denotes the elasticity modulus of the beam. The cross section area A and the moment of inertia J are assumed to be constant. In his article (see Aydogdu, M., Semi-inverse Method for Vibration and Buckling of Axially Functionally Graded Beams, Journal of Reinforced Plastics and Composites, Volume 27 2008, online version http://jrp.sagepub.com/content/27/7/683) Aydogdu states, that if one chooses the transverse deflection in the form Page 7

(15) where  

m , then the function L

(16) is the general solution of the homogenous equation

(17) Proposition 4 1. (16) is not the general solution of the homogenous equation (17). 2. The general solution of (17) is the function .

Aydogdu completed his study with evaluation the values of his general solution

+

at the points

x  0 and x  L and determined the parameters C 3 and C 4 as a function of certain material properties. This could be performed because the function E g (x) is continuous. Our solution, however, is not defined at x  0 , moreover, it tends to infinity except for the case _ C1  0 . Due to this behavior the method used by Aydogdu appears to be not applicable in general. It could be the subject of further investigation(s). Related publication Maróti, Gy., Elishakoff, E., On Buckling of Axially Functionally Graded Beams, submitted to Pollack Periodica, 2011 Page 8

3.3 Thesis 3 The best way to solve a problem is to find the right man who solves it. (Murphy’s Law) The concept of general product was introduced by V. M. Gluškov. The family of  i  j products was described by F. Gécseg and H. Jürgensen. It originates from the family of  i products introduced by F. Gécseg and the family of  i -products defined by P. Dömösi and B. Imreh. P. Dömösi showed that a class of finite automata is complete with respect to the isomorphic or homomorphic simulation under the  2  3 -product if and only if it has the same property under the general product. P. Dömösi and Z. Ésik proved that the  2 -product (and thus, for every nonnegative integer i, the  i  2 -product) does not have this property with respect to the homomorphic simulation (and thus with respect to the isomorphic simulation either). Along the same line of research, we give sufficient conditions for the completeness of classes of finite automata with respect to the isomorphic simulation under the  2  2 -product. We also conjecture the necessity of this condition with respect to the homomorphic simulation (and thus with respect to the isomorphic simulation, too). Proposition 5 Given a class K of automata, let A = ( A, X ,  ) be an automaton in K having a state a0  A, two input letters x, y  X and two input words p, q  X * under which (1d)  (a0 , x)   (a0 , y) and  (a0 , xp) =  (a0 , yq) = a0 , (2d) if p z1 with p  X * , z1  X is a prefix of xp and q z 2 with q  X * , z 2  X is a prefix of yq for which  (a0 , p)   (a0 , q),  (a0 , pz1 ) =  (a0 , qz2 ) , then z1 = z 2 . Then, K is complete with respect to isomorphic simulation under the  2  2 -product. Because property (5b) in Lemma 7 is a consequence of (1b) and (2b), we have the following equivalent form of our theorem. Proposition 6

Page 9

Given a class K of automata, let A = ( A, X ,  ) be an automaton in K having a state a0  A, two input letters x, y  X and two input words p, q  X * under which (1e)  (a0 , x)   (a0 , y) and  (a0 , xp) =  (a0 , yq) = a0 ; (2e) there exists at most one pair p z1 and q z 2 of words, where p  X * , z1  X is a prefix of xp and q z 2 with q  X * , z 2  X is a prefix of yq for which (i)  (a0 , p)   (a0 , q) and (ii)  (a0 , pz1 ) =  (a0 , qz2 ). Furthermore, if (i) and (ii) hold, then z1 = z 2 . Then, K is complete with respect to isomorphic simulation under the  2  2 -product. Conjecture 7 The reverse of Proposition 5 is also true not only with respect to the isomorphic simulation but with respect to the homomorphic simulation as well. In other words, if K is a class of automata which is complete with respect to the homomorphic simulation under the  2  2 product then there exists an automaton A K satisfying conditions (1d) - (2d). Related publication: Dömösi, P, Maróti, Gy. On α2-ν2-product of automata, Acta Informatica 2011, http://www.springerlink.com/openurl.asp?genre=article&id=doi:10.1007/s00236-011-0143-x

4 Applications Behind every little problem there's a larger problem, waiting for the little problem to get out of the way. (Murphy’s Law) Unlike geometrical objects polynomials are symbolic and abstract. Working with multivariate polynomials is not easy for several reasons. Polynomials of this type consist of a lot of letters, in most cases they are too long to read and perceive them at a glance. More important, making calculations with long strings by hand is exhausting and as a consequence of too many handwriting, it may be a source of different mistakes. All these yield that students need tools, which help them in performing long computations, in displaying the inner structure of sophisticated algorithms and last but not least in showing the preliminary result of complex symbolic computations. StudendGroebner package (see [37]) could be one possible answer to this challenge.

Page 10

The StudentGroebner package was developed as learning/teaching tools for algorithms of the theory of Gröbner bases. The main idea behind this package is to offer computer tools which help to explore and to better understand the behavior and inner structure of algorithms performing the results of theory of Gröbner bases. The main idea behind the development of StudentGroebner package is to provide a tool for experimental learning. Every experiment is an interaction between the teacher and the students. The teacher performs a few commands and the students are asked to interpret what they see on the screen and try to formulate statements. As the procedures reveal the inner behaviour of the algorithm in question, students must be able to express their imagination concerning the run of the algorithms.



 F : x  z 2 , y  xz 5

 

F : x  z 2 , y  xz 5



 Buchberger PF , cal  .Calculation table: (BuchbergerP) G      z 4  x,  x z 5  y  4  z  x,  x z 5  y ,  x 2 z  y   4  z  x,  x z 5  y ,  x 2 z  y , y z 3  x 3       4 5 2 3 3 5 2 2   z  x,  x z  y ,  x z  y , y z  x , x  y z       













Indexes Action





1,2 1,3, 2,3 2,3, 1,4, 2,4, 3,4 1,4, 2,4, 3,4 2,4, 3,4 3,4  1,5, 2,5, 3,5, 4,5 2,5, 3,5, 4,5 3,5, 4,5 4,5

Index

Spoly

1,2 1,3 2,3 1,4 2,4 3,4 1,5 2,5 3,5 4,5

 x2 z  y

 x2 z  y

yz x y z4  x y

y z 3  x3 0

x3 z  x y x4 z 2  y2

0 0

x5  y 2 z 2

x5  y 2 z 2

y 2 z 6  x6

0

y2 z7  x4 y

0

y 2 z 3  x3 y

0

 x8  y 3 z 5

0

3

`Rem ( Spoly , G )`

3

   added   added  discarded  discarded   discarded  added   discarded  discarded   discarded  discarded    

.Result(BuchbergerP)

[ x  z 4 , y  xz 5 , x 2 z  y, yz 3  x3 , x5  y 2 z 2 ]

Student's remarks can of course be either partly or totally wrong or correct. It is the teachers job to prepare sufficiently many different procedure calls for guiding the students to recognize the right facts. The sequence of experiments is just the preparation process which precedes and by no means replaces the exact discussion.

Page 11

Related publication Maróti, Gy., Teaching Gröbner Bases, accepted by Teaching Mathematics and Computer Science, 2011

Page 12

1.sz. Melléklet

Oklevél

Page 13

Page 14

2.sz. Melléklet

Ph.D. Oklevél

Page 15

Page 16

3.sz. Melléklet

Szakmai Önéletrajz

Page 17

Szakmai Önéletrajz

Személyes adatok Név:

Dr. Maróti György PhD

Született:

Győr, 1952.05.05

Gyermekeim: Csanád Árpád 31, Györk Atilla 25 Lakcím

6720 Szeged, Feketesas u. 23.

Elérhetőség:

(62) 430-162 [email protected]

Végzettségek 2004

Ph.D. fokozat Informatikai tudományok doktori iskola, Debrecen

1989

Német középfokú nyelvvizsga

1982

Angol középfokú nyelvvizsga

1981

Egyetemi Doktorátus József Attila Tudományegyetem

1976

Programtervező matematikus diploma József Attila Tudományegyetem

1970

Érettségi Győri Czuczor Gergely Bencés Gimnázium

Munkahelyek 2006-

Egyetemi docens, Pécsi Tudományegyetem, PMMIK, Mérnöki Matematika Tanszék

2003-2006

Főiskolai docens, Pécsi Tudományegyetem, PMMK, Matematika Tanszék

2001-2003

Ügyvezető, Epigramma Szolgáltató Kft. Óraadó, Szegedi Egyetem

2000

Üzletágvezető, IQSOFT Intelligens Software Rt.

1989-2000

Ügyvezető, Zenon Számítástechnikai és Kereskedelmi Kft. Óraadó, Juhász Gyula Főiskola Page 18

1984-1989

Üzletvezető, Mikroprocesszor Gmk.

1982-1984

Tanársegéd, Győri Széchenyi István Főiskola Matematika Tanszék

1976-1982

Tanársegéd, József Attila Tudományegyetem Számítástudományi Tanszék

Szakmai előmenetel

1971-76

József Tudományegyetem

Attila Algebra szakirány: univerzális

algebra,

Programtervező

félcsoport

elmélet,

matematikus szak

kategória

elmélet,

automata elmélet negyedévtől algebra gyakorlatvezetés matematikus diákkör alapítása és titkári teendők 1976

Diplomamunka: „Kommutatív

unoidvarietások”

Szakvezető: Dr. Gécseg Ferenc 1976-82

József Tudományegyetem Számítástudományi tanszék

Attila Oktatói munka: Programozás:

Assembly,

Pascal

Absztrakt algebra, Lineáris algebra Kutató munka: Algoritmuselmélet,

Turing

gépek,

bonyolultság Automaták és fa-automaták algebrai elmélete 1980

József Tudományegyetem

Attila Egyetemi doktori értekezés: „Fa-automaták

és

erdők

osztályai”

Opponensek: Dr. Csákány Béla, egyetemi tanár Page 19

Dr. Gécseg Ferenc, egyetemi tanár 1982-84

Széchenyi István Főiskola Matematika tárgy oktatása: Kalkulus, Differenciál

és

integrálszámítás,

Algebra 1984-89

Mikroprocesszor

GMK, Folyamatvezérlő szoftverek fejlesztése

Szeged 1989-2000

Raktárkezelési rendszer fejlesztése

Zenon Számítástechnikai Ügyviteli rendszerek fejlesztése és

Kereskedelmi

Szeged

Kft.,

Relációs adatbázis kezelő rendszerek (dBase, Foxbase, Oracle, Access) Világbanki pályázatok írása és lebonyolítása Számítógép kezelői ismeretek képzési anyagának kidolgozása és oktatása CAS

rendszerek

(Maple,

Mathcad)

tanártovábbképzés formájában való oktatása E-learning

tananyagfejlesztés

(Toolbook,

WebCT) Y2K projektek vezetése 1994

Amsterdam

Részvétel a CAN (Compter Algebra Neherland) Maple szimpóziumán

1995

Pécs

Klincsik Mihállyal közösen megírtuk az első magyar nyelvű CAS könyvet „Maple 8 tételben” címmel

1996

Szeged

A University of British Columbia távoktatási projektében béta teszterként való részvétel Távoktatási tananyagok kidolgozása A Maple speciál kollégium távoktatási formában Page 20

való

kísérleti

bevezetése

a

Juhász

gyula

Tanárképző Főiskolán 1999

André

Szeged

Heck

„Introduction

to

Maple”c.

könyvének fordítása 2000

IQSoft

Intelligens Tudás és Információkezelés Üzletág stratégiai

Software Rt, Budapest

tervezése és megvalósítása

2001-2002

Automataelméleti Maple csomag fejlesztése

2002

Előadás

a

Pécsi

Tudományegyetem

szimpóziumán Előadás Waterloo Univerity Maple Summer Workshop-ján Előadás

a

Debreceni

Automataelméleti

konferencián 2003

Debreceni Egyetem

PhD doktori értekezés: „CAS automata elméleti felhasználásának didaktikai kérdései” Opponensek: Dr. Dömösi Pál, Dr. Imreh Balázs

2003

Pécsi Tudományegyetem

Oktató munka Diszkrét

matematika

Matematika I. és II.

Csomagok fejlesztése Maple-ben ANT (Algorithmic Number Theory) 2006 AUT (Automata Therory) 2002 StudentGroebner

(Gröbner basis for students)

Page 21

2010 Workshop a CAD-GME konferencián, Linz,

2009

Ausztria Előadás a MTA székházban:

2011

„Gröbner bázisok madártávlatból” Közéleti tevékenység 1996 –2000

Vice president for Informatic, ICNA (International Consulting Network Association), Mulhouse, Franciaország

1998-2004

Elnök, NJSZT Csongrád megyei Szervezete

2005-

Elnökségi tag, NJSZT Csongrád megyei Szervezete

2006-

DE Informatikai doktori iskola tagja

2007

„Fejér Lipót alapítvány a matematika oktatásáért” alapítója

2010-

Elnök, NJSZT Szimbolikus Rendszerek Szakosztály

Hobbi, szabadidő Szépirodalom, versek, aktív zenélés, vitorlázás

Page 22

4.sz. Melléklet

Ajánlás

Page 23

Page 24

Page 25

5.sz. Melléklet

Publikációs jegyzék

Page 26

Publikációs Jegyzék (Ph.d előtt)

Könyvek Klincsik Mihály, Maróti György (1996): Maple 8 tételben. Novadat, Győr André Heck (1999): Bevezetés a Maple használatába. Juhász Gyula Könyvkiadó, Szeged, a szerző Introduction to Maple c. Könyvének fordítása On-line egyetemi jegyzetek Maróti György: Diszkrét matematika www.mathserv.hu [2000] Maróti György: Kalkulus www.mathserv.hu [2002] Disszertációk Maróti György (1981): Faautomaták és erdők osztályai. Doktori disszertáció, JATE, Szeged. Maróti György (2003): A CAS automata elméleti felhasználásának didaktikai kérdései, Ph.D. értekezés, Debreceni Egyetem Külföldön megjelent lektorált cikkek Gy. Maróti, Didactic Approach for Teaching Nondeterminism in Automata Theory", Zentralblatt für Didactik der Mathematik 35, 48-55 (2003) http://www.fizkarlsruhe.de/fiz/publications/zdm/zdm032a4.pdf Gy. Maróti, "CAS Based Approach for Discussing Subset Construction", Zentralblatt für Didactik der Mathematik 35, 63-68 (2003) http://www.fizkarlsruhe.de/fiz/publications/zdm/zdm032a6.pdf Gy. Maróti, "Determinism versus Nondeterminism", Zentralblatt für Didactik der Mathematik 35, 317-320 (2003) http://www.fiz-karlsruhe.de/fiz/ publications/zdm/zdm036i2.pdf Dömösi, P, Maróti, Gy. On α2-ν2-product of automata, Acta Informatica 2011 Magyarországon megjelent lektorált cikkek Maróti, G, Rational representation of forests by tree automata. Acta Cybernetica, Vol. 3. 1977 Gy. Maróti, "Illustrated Analysis of Rule of Four" Teaching Mathematics and Computer Science TMCS, Vol 1, Nr.2.; Debrecen (2003), 383-404, http://tmcs.math.klte.hu/Contents/2003-Vol-II.html Maróti, G, On directable automata. Publicationes Mathematicae, 2004 Page 27

Nemzetközi részvételű konferencia kiadványában megjelent idegen nyelvű Gy. Maróti, "On implememting automata construction in Maple", Proceedings of the International Symposium for 40th Anniversary of Pollak Mihály Collage of Engineering, 2002, http://matserv.pmmf.hu/anniv/cd_hun/index.html Egyéb közlemények Maróti György: Repozitorikezelés Maple-ben I. www.mathserv.hu [2003] Maróti György : Repozitorikezelés Maple-ben II. www.mathserv.hu [2003] Maróti György : „Maple súgó oldalak készítése” www.mathserv.hu [2003] Előadások Maróti, G Automata constructions. Előadás a Waterloo University Maple workshopján, Waterloo, Kanada (2002): Maróti, G Investigating directable automata in Maple. Automata elméleti konferencia, Debrecen (2002): Maróti, G (2002): Reguláris kifejezések kezelése Maple-ben. JATE ITCS szeminárium, Szeged Maróti, G A négyes szabály illusztrált elemzése. Matematika didaktikai konferencia, Pécs (2003):

Page 28

Publikációs Jegyzék (Ph.d után)

Könyvek Klincsik Mihály, Maróti György (2006): Maple. Livermore kiadó, Békéscsaba Maróti György (2007): Előadások algoritmikus számelméletből. Livermore, Békéscsaba On-line egyetemi jegyzetek Maróti György: Kalkulus www.mathserv.hu [2004] Maróti György: Lineáris algebra Maple-lel www.mathserv.hu [2009] Külföldön megjelent lektorált cikkek Dömösi, P, Maróti, Gy. On α2-ν2-product of automata, Acta Informatica 2011 Magyarországon megjelent lektorált cikkek Maróti, G, On directable automata. Publicationes Mathematicae, 2004 Klincsik, M. and Maróti, Gy., Different representations of the first order Bessel functions using Maple. in Pollack Periodica, 2, 2007, p.163-175. Maróti, Gy. Finding closed-form solutions of beam vibration, Pollack Periodica, Vol. 6, No. 1 2011 Maróti, Gy. Investigating parameterized model of n-gonal wheel's motion, Pollack Periodica, Vol. 6, No. 2011 Maróti, Gy. Teaching Gröbner Bases, Teaching Mathematics and Computer Science, 2011 Maróti, Gy., Elishakoff, E. On Buckling of Axially Functionally Graded Beams, submitted to Pollack Periodica, 2011 Nemzetközi részvételű konferencia kiadványában megjelent idegen nyelvű Klincsik M., Maróti Gy., The role of analogies in mathematical experimentation, In "Computer algebra systems and dynamic geometry systems in mathematics teaching", Proceedings of "Sprout-Selecting Conference"/edited by Csaba Sárvári/, Pécs, 2005. p.28-47. Előadások Maróti, Gy., On implementation of regular expression in Maple. Előadás a Waterloo University Maple workshopján, Waterloo (2004):

Page 29

Maróti, Gy., Determisisztikus és nemdeterminisztikus automaták didaktikai összehasonlítása. PMMF tavaszi CAS szimpóziuma, Pécs (2004): Klincsik M., Maróti Gy., Matematikai modellalkotás numerikus eszközökkel, A Lorenz egyenletek kaotikus viselkedéséről. Matematika-, fizika- és számítástechnika oktatók XXX. konferenciája, Pécs. (2006): Maróti, Gy., How to teach automata theory with Maple. Előadás RISC workshopján, Linz, Ausztria, (2009): Maróti, Gy,. Analysis of a Sleeper with Maple, MATEP konferencia, Pécs 2010 Maróti, Gy., Analysis of Free damped vibration with Maple, PHD DLA konferencia, Pécs 2010 Maróti, Gy., Remarks on beam vibration. PHD DLA konferencia, Pécs 2011

Page 30

6.sz. Melléklet

Vélemény

Page 31

Page 32

Page 33

7.sz. Melléklet

Hivatkozások

Page 34

Hivatkozások

Speciális programfejleszt_ eszközök I. - Maple (NGB_sz015_1), Tematika és tantárgyi követelmények, Széchenyi István Egyetem, Jedlik Ányos Informatikai és Villamosmérnöki Intézet, http://math.sze.hu/index.php?option=com_docman&task=doc_view&gid=11 [2006] Maple, Dr. Tóth László egyetemi docens, Pécsi Tudományegyetem, http://www.ttk.pte.hu/matek/ltoth/MAPLE.pdf [2007] Computer algebra systems and dynamic geometry systems in math teaching, Csaba Sárvári,, Department of Mathematics, University of Pécs, http://www.springerlink.com/content/r81l201487598288/ Matematikai programcsomagok I., Nyíregyházi Főiskola http://zeus.nyf.hu/~mattan/leiras06.doc Matematikai programcsomagok II., Nyíregyházi Főiskola http://zeus.nyf.hu/~mattan/leiras06.doc, http://209.85.135.132/search?q=cache:QFAUoBE3njIJ:zeus.nyf.hu/~mattan/leiras06. doc+mar%C3%B3ti+gy%C3%B6rgy&cd=97&hl=hu&ct=clnk&gl=hu&client=firefox-a Trigonometria és koordinátageometria, Nyíregyházi Főiskola http://www.nyf.hu/tanulmanyit/reszism/R_matematika/leiras.pdf Maple Application center, http://www.maplesoft.com/applications/AdvancedSearch.aspx?adv=1&type=6&mid=4 7#results Programozás alapjai, ELTE, http://compalg.inf.elte.hu/~tony/Elektronikus/Parhuzamos/P6H.xml Bevezetés az informatikába 2., ELTE, http://compalg.inf.elte.hu/~kvolgyi/bevinf2/ [2008]

Page 35

Maple, Budapesti Műszaki Főiskola, rkk.bmf.hu/mti/informatika/targy09_10_1/rmtml1itlb.doc, http://www.google.hu/search?hl=hu&client=firefoxa&rls=org.mozilla:hu:official&q=mar%C3%B3ti+gy%C3%B6rgy&start=120&sa=N Tudományos kutatások módszertanból, Scientific research in methodology, Lajkó Károly, lajkó@math.klte.hu, Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Juhász Katalin, [email protected], Debreceni Egyetem, Informatikai Kar, http://agrinf.agr.unideb.hu/if2005/kiadvany/papers/F55.pdf Informatika alkalmazásai tantárgy Debreceni Egyetem, TTK , Alkalmazott matematikus szak képzési tervében http://www.detek.unideb.hu/Hirek/Csatolmanyok/884_13.pdf

Page 36

8.sz. Melléklet

Nemzetközi kapcsolatok

Page 37

Nemzetközi kapcsolatok

Nemzetközi kapcsolataim két csoportra oszthatók:  

A Maple magyarországi bevezetés kapcsán létrejött céges kapcsolatok A Maple fejlesztések eredményeit bemutató előadások során létrejött egyetemi kapcsolatok

5 Céges kapcsolatok Az elmúlt több mint 15 év során, mióta a Maple rendszerrel foglalkozom, számos a gyártó által kezdeményezett projektben volt módom részt venni. Rendszeres résztvevője vagyok a Maple újabb verziói béta tesztjének, több éve irányítom a szoftver magyar nyelvű változatának kidolgozását, a rendszer üzenetek, menü szövegek fordítását. A Maple középiskolai elterjedésének alapvető feltétele a tanárok továbbképzése. Tanszéki munkatársaimmal végzett közös fejlesztés eredménye a 30 órás „Maple a középiskolai matematika oktatásában” c. akkreditált OKJ tananyag. Ezen munkák során szükségessé vált hazai és külföldi kapcsolatok keresése, tapasztalatok, jó gyakorlatok átvétele. Ennek a törekvésnek az eredményeként jöttek létre Európa szerte kapcsolatok olyan cégekkel, akik a Maple fejlesztésében, forgalmazásában érdekeltek. A teljesség igénye nélkül néhány konkrét kapcsolat.

Cég neve. címe Maplesoft GmbH

Kapcsolat Thomas Richard

Auf der Hüls 198

Maple T.A. Tesztek, feladatbázisok

52068 Aachen, Germany

Czech Software First S.R.O.

Kapcsolat jellege

Konzultáció Jiri Hrebicek

Szakmai kapcsolat

Page 38

K Západi 54, 621 00 Brno

Maple cloud tananyagfejlesztés

http://www.maplesoft.cz CANdiensten

Gose Fischer

Nieuwpoortkade 25, 1055 RX

Wokshopok, előadások Konzultáció

Amsterdam http://www.can.nl Teoresi s.r.l.

Enzo Bergamini

Via Perugia, 24, 10152

Pályázati projektek Konzultáció

Torino http://www.teoresi.it

6 Egyetemi kapcsolatok 6.1 Florida Atlantic University, USA Prof. Isaac Elishakoff a Florida Atlantic University professzora a mérnöki tudományok nemzetközileg elismert szaktekintélye. Alapműnek tekinthető könyvében „Eigenvalues of Inhomogeneous Structures.” olvasható egyik eredményének általánosításáról szóló, a Pollack Periodikában megjelent cikkem kapcsán keresett meg, és ajánlotta fel együttműködését. Ez a számomra megtisztelő lehetőség gyümölcsözőnek bizonyult, és gyors eredményeket hozott.

Elishakoff

professzortól

cikkeket

kaptam

a

bennük

található

számítások

felülvizsgálatára, rekonstrukciójára és a lehetséges általánosítások megtalálására. A közös gondolkodás eredményeként a Pollack Periodika közlésre elfogadta első közös publikációnkat. Rövid és középtávú terveim centrumában az építészmérnöki számítások terén végzett vele való közös munka folytatása, kiszélesítése áll.

6.2 University of Waterloo, Waterloo, Kanada A Waterloo egyetem Maple gyártójának első számú felhasználója. Rendszeres nyári kurzusai, workshopjai a Maple rendszerrel való ismeretek elmélyítésének kiemelkedő minőségű lehetősége.

Page 39

Két alkalommal volt módom rész venni ezeken a rendezvényeken. Mindkét esetben az általam fejlesztett aut (Automata Theory) csomag egy-egy alkalmazását mutattam be. Ezek közül a z első a Ph.D fokozat megszerzése előtt 2002-ben a második utána, 2004-ben volt.

6.3 Research Institute for Symbolic Computation, Linc, Ausztria 2009-ben 45 perces interaktív prezentáció tartottam „How to use Automata Constructions” címmel a RISC által szervezett „2nd International Conference on Computer Algebra and Dynamic Geometry Systems in Mathematics Education” c. konferencián.

6.4 Vienna university of Technology, Ausztria A Bécsi Műszaki Egyetemmel való kapcsolatok új keletűek. Az NJSZT2011-ben megalapított Szimbolikus Rendszerek Szakosztálya a Pécsett megrendezett 7. PHD-DLA Konferencia önálló szekciójaként jelent meg. Ennek szervezési munkáit a szakcsoport elnökeként magam végeztem. A szekció meghívott előadója Prof. Dr. Félix Breitenecker, a Mathematical Modelling and Simulation kutatócsoport igazgatója. A jól sikerült konferencia eredményként meghívást kaptam Bécsbe a 2012 februárjában megrendezésre kerülő nemzetközi MATHMOD konferenciára, ahol egyrészt előadóként jelenek meg, továbbá egy másik szekció elnöki feladatait látom el. Előadásom címe:” Short Remark on Lateral Vibration of Functionally Graded Beams”.

Page 40

9.sz. Melléklet

Oktatott tárgyak tematikája

Page 41

A Pécsi Tudományegyetemen oktatott tantárgyak tematikája

Diszkrét matematika 1. Halmazok Halmaz fogalma és megadása, részhalmaz, hatványhalmaz, az univerzum, halmazok komplementere, halmazok metszete és uniója 2. Leképezés, reláció, osztályozás Rendezett párok, leképezés fogalma és tulajdonságai, leképezések szorzata, a reláció fogalma és szemléltetése, osztályozás 3. Ítéletek és logikai műveletek Műveletek ítéleteken, formulák logikai ekvivalenciája, további logikai műveletek 4. Természetes számok helyi értékes ábrázolása Maradékos osztás, helyi értékes számrendszerek, konverziók 5. Természetes számok bevezetése A természetes számok Peano axiómái, a műveletek bevezetése, teljes indukció tétele, műveletek bevezetése, műveletek tulajdonságai, a természetes számok rendezése

Matematika 1 1. Téma: Síkbeli koordinátarendszerek A Descartes féle koordinátarendszer, a polárkoordináta rendszer, áttérés derékszögű koordinátákról polárkoordinátákra és fordítva 2. Téma: Síkgörbék Görbe egyenlete: egyenes, kör, archimédeszi spirál, lemniszkáta, görbe paraméteres egyenlete: egyenes, kör, aszteroid, ciklois 3. Téma: Az egyenes egyenletei Az egyenes általános egyenlete, az egyenes metszet-egyenlete, az egyenes meredekségegyenlete, alkalmazások, két egyenes metszéspontja, adott ponton átmenő adott meredekségű egyenes egyenlete, két ponton átmenő egyenes egyenlete, két egyenes szöge Page 42

4. Téma: Térgörbék és felületek Térbeli derékszögű koordináták, térgörbék, felületek 5. Téma: Sík és egyenes Sík egyenlete, az egyenes egyenletrendszere, két sík kölcsönös helyzete, két egyenes kölcsönös helyzete 6. Téma: Determinánsok és lineáris egyenletrendszerek Másod és harmadrendű determinánsok, determinánsok egyenletrendszer megoldása, a Cramer szabály

tulajdonságai,

lineáris

7. Téma: Egyváltozós valós függvények A függvény fogalma és szemléltetése, Függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak: ET, EK, párosság, páratlanság, korlátosság, műveletek függvényekkel: összeadás, kivonás, szorzás, osztás, összetett függvény képzése, összetett függvény és inverz függvény, függvény folytonosságának intuitív bevezetése 8. Téma: Elemi függvények Egészkitevőjű hatványfüggvények, racionális egész és törtfüggvények, exponenciális és logaritmus függvény, trigonometrikus függvények és inverzeik 9. Téma: Differenciál kalkulus A differenciálhányados intuitív bevezetése, a differenciálás szabályai, algebrai függvények differenciálása, trigonometrikus és ciklonometrikus függvények differenciálása, exponenciális és logaritmus függvény differenciálása, logaritmikus differenciálás, paraméteres alakban adott függvény differenciálása, polárkoordinátákban adott függvény differenciálása 10. Téma: A differenciálszámítás alkalmazásai Függvény növekedése, csökkenése, függvény helyi szélsőértéke, konvexség, konkávság, inflexiós pont, függvénydiszkusszió, szélsőérték feladatok, Taylor formula 11. Téma: Polinomok, polinom függvények Polinomok helyettesítési értékének kiszámítása (Hormer elrendezés), irreducibilis és prím polinomok (valós számtest felett), felbontási tétel, másod, harmad és negyedfokú polinomok gyökeinek meghatározása 12. Téma: Numerikus módszerek Függvény helyettesítési értékének közelítése, gyökök elkülönítése, gyök közelítése felezési eljárással, húrmódszer, érintő módszer 13. Téma: A határérték-fogalom bevezetése

Page 43

Számsorozat forgalma és tulajdonságai, Sorozat határértéke és tulajdonságai, függvény határértéke, függvény folytonossága, a differenciálhányados fogalma

Matematika A/1 Kijelentés logika. Számolás valós és komplex számokkal. Függvénytani alapfogalmak áttekintése. Egyváltozós valós függvények határértéke, folytonossága, differenciálszámítása. A derivált alkalmazása: L'Hospital szabály, függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok megoldása.

Vektorterek,

vektorok

geometriai

alkalmazásai.

Mátrix

algebra

és

egyenletrendszerek megoldása. 2. Gyakorlat: Logika Műveletek ítéleteken, logikai műveletek és formulák, logikai formulák igazságtáblázata, formulák logikai ekvivalenciája, de Morgan azonosság 3. Gyakorlat: Logika / Valós számok Műveletek valós számokon, valós számok közelítése, abszolút és relatív hiba fogalma, műveleti tulajdonságok 4. Gyakorlat: Komplex számok Komplex számok algebrai és trigonometrikus alakja, komplex számok ábrázolása műveletek, komplex számokon 5. Gyakorlat: Komplex számok Komplex számok hatványozása, Miovre képlet, komplex egységgyökök 6. Gyakorlat: Függvények A valós függvény fogalma, függvények ábrázolása, Descartes koordinátarendszer, polár koordináta rendszer, függvényeken végzett műveletek, az egyenes egyenletei 7. Gyakorlat: Vektorok Vektor fogalma, helyvektor, vektorok összege, különbsége, skalárszorzat, vektoriális szorzat, a skalárszorzat és vektoriális szorzat tulajdonságai, vektorok párhuzamossága és merőlegessége 10. Gyakorlat: Mátrixok Mátrix fogalma, elemenkénti műveletek mátrixokon, műveletei tulajdonságok, mátrixszorzás, a mátrixszorzás tulajdonságai 11. Gyakorlat: Határérték számítás

Page 44

Sorozatok, korlátosság, monotonitás, konvergencia fogalma, konvergencia kritériumok, függvény határértéke 12. Gyakorlat: Deriválás 1. Függvények folytonossága, deriválhatósága, deriválási szabályok 13. Gyakorlat: Deriválás 2 Függvények nevezetes pontjai, szélsőérték, szélsőérték létezésének szükséges feltétele, inflexiós pont, inflexiós pont létezésének szükségesés elégséges feltétele, L'Hospital szabály és alkalmazásai 14. Gyakorlat: Függvényvizsgálat Függvénydiszkusszió, értelmezési tartomány, értékkészlet, monotonitás, folytonosság, szélsőérték, inflexiós pont, konvexitás 15. Gyakorlat: Szélsőérték feladatok Szélsőértékre visszavezethető gyakorlati feladatok megoldása

Bevezetés a számításelméletbe 1. Előadás: Osztás és oszthatóság Maradékos osztás, a maradékos osztás következményei, oszthatóság, osztók meghatározása, barátságos számok 2. Előadás: Indukció és rekurzív definíció A természetes számok Peano axiómái, a természetes számok rendezése, teljes indukció tétele, háromszög számok, tökéletes számok 3. Előadás: A teljes indukció variánsai A jólrendezés tétele, a Fibonacci számok, a teljes indukció erős alakja, az erős alak alkalmazása, az aranymetszés 4. Előadás: Binomiális tétel Faktoriális kiszámítása, binomiális együtthatók, binomiális tétel, a Pascal háromszög, boldog számok 5. Előadás: Számábrázolás Történeti áttekintés, helyi értékes számrendszerek, konverziók, oszthatósági szabályok, helyi értékes számrendszerek általánosításai 6. Előadás: Elemi aritmetika

Page 45

Műveletek bevezetése, a műveletek tulajdonságai, összeadás helyi értékes számrendszerbeli számokon, szorzás helyi értékes számrendszerbeli számokon, az egyiptomi szorzás, gyors hatványozás 7. Előadás: Természetes számok sorozatai Sokszög számok, a sokszög számok zárt alakja, Binet képlete, Lucas sorozata, boldog számok 8. Előadás: Euklideszi algoritmus és következményei Legnagyobb közös osztó, az euklideszi algoritmus (EA), három következmény, Lucas tétele, Prímszámok és felbonthatatlan számok 9. Előadás: Prímfaktorizáció Számelmélet alaptétele, Fermat faktorizációs eljárása, Közös prímtényezők, Osztók száma, Páros tökéletes számok 10. Előadás: Diofantoszi egyenletek Algebrai megközelítés, A kiterjesztett euklideszi algoritmus (KEA), Lineáris diofantoszi egyenlet partikuláris megoldása, Az általános megoldás, Négyszög háromszögszámok 11. Előadás: Kongruenciák A kongruencia bevezetése, Maradékosztályok, Műveletek kongruenciákon, Számolás modulo m, Gyorshatványozás modulo m, Lucas játéka 12. Előadás: Elsőfokú kongruenciák és kongruencia rendszerek Kongruenciák egyszerűsítése, Különböző modulusok, Egy ismeretlenes elsőfokú kongruenciák, Kínai maradéktétel, Kínai maradéktétel és a számábrázolás 13. Előadás: Az Euler-Fermat Tétel Multiplikatív inverz Z(m)-ben, Euler tétele, a alakja, Fermat prímek

csoport, az Euler függvény explicit

14. Előadás: Kriptogtáfia Kriptográfia, kriptoanalízis, szöveg helyett számok, exponenciális kriptorendszer, az RSA kriptorendszer, Mersenne prímek 15. Előadás: Prímek előállítása és felismerése Prímek száma, Eratosztenész szitája, Fermat összetettségi teszt, Rabin-Miller teszt, Lucas-Lehmer teszt

Lineáris algebra Maple-lel 1. Téma: Bevezetés a Maple használatába Page 46

Polinomok gyökeinek meghatározása, polinomok ábrázolása, racionális törtfüggvények ábrázolása, parabolasereg szemléltetése, szélsőérték feladatok megoldása 2. Téma: Elemenkénti műveletek mátrixokon Alapfogalmak: (valós) mátrix, négyzetes mátrix, egységmátrix, nullmátrix, mátrixok összeadása, az összeadás műveletei tulajdonságai, mátrix számmal való szorzása, mátrixok lineáris kombinációja, transzponált, összeg transzponáltja, számmal való szorzás transzponáltja. 3. Téma: Mátrixok szorzása A mátrixszorzás műveletei tulajdonságai: asszociativitás, disztributivitás az összeadásra nézve, szorzat transzponáltja, inverz mátrix, inverz egyértelműsége, szorzat inverze, transzponált inverze. Téma Elemi átalakítások 4. Téma: Elemi átalakítások Egyenletrendszerek és mátrixok, elemi átalakítások, sorcsere, beszorzás, hozzáadás, elemi átalakítások megfordíthatósága, főelem, lépcsős alak, redukált lépcsős alak, redukált lépcsős alak egyértelműsége, elemi mátrixok, inverz mátrix meghatározása. 5. Téma: Determinánsok Másodrendű determinánsok, harmadrendű determinánsok, Sarrus szabály, n-edrendű determinánsok, a determinánsok kiszámítására vonatkozó tételek, determinánsok és mátrixok, determinánsok és egyenletrendszerek. 6. Téma: Eliminációs módszerek Háromszög mátrixok, vissza- és előre helyettesítés, Gauss elimináció, Gauss-Jordan elimináció, Permutációs mátrixok, LU felbontás 7. Téma: Vektorterek Vektortér axiómái, altér, lineáris függetlenség, bázis, dimenzió, lineáris transzformációk, lineáris transzformációk és mátrixok, sajátérték, sajátvektor, karakterisztikus polinom, diagonalizáció, Cayley-Hamilton tétel. 8. Téma: Lineáris regresszió A Vandermonde módszer, Lagrange interpoláció, A newton módszer, a görbeillesztés alkalmazásai

Page 47

10.sz. Melléklet

Nyelvvizsga bizonyítvány

Page 48

Page 49

Page 50

12.sz. Melléklet

Témakörök

Page 51

Tudományos előadás témája

A komputer algebrai rendszerek alkalmazási az építészmérnöki számításokban

Tanári előadás javasolt témái 1. Az euklideszi algoritmus és következményei 2. A sakk és a prímek 3. A reprezentáció szerepe a matematikai fogalomalkotásban

Page 52

13.sz. Melléklet

Díj befizetésének igazolása

Page 53

Page 54