Mendlova zemědělská a lesnická univerzita Provozně ekonomická fakulta
Aplikace modelu CAPM na vybrané akciové tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a. s. Diplomová práce
Vedoucí práce: Ing. Roman Ptáček, Ph.D.
Bc. Petra Drbalová
Brno 2009
Chci poděkovat zejména vedoucímu diplomové práce Ing. Romanu Ptáčkovi, Ph.D. za vedení a vstřícný přístup, který mi v průběhu psaní poskytoval. Můj dík v neposlední řadě patří také mé rodině, přátelům a známým, kteří mi, aniž by to mnohdy tušili, svojí vstřícností a tolerancí vytvořili skvělé podmínky nejen pro psaní této diplomové práce, ale i po celou dobu mého studia na Mendelově zemědělské a lesnické univerzitě v Brně. Bc. Petra Drbalová
2
Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vyřešila samostatně s použitím literatury, kterou uvádím v seznamu.
V Brně dne 25.dubna 2009
………..……………………
3
Abstrakt: Drbalová, P. Aplikace modelu CAPM na vybrané akciové tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a. s.. Diplomová práce. Brno, 2009 Práce se zabývá výpočtem optimálního portfolia tvořeného akciemi obchodovanými ve SPADu na BCPP, a.s., které přinese investorovi nejvyšší rizikově vážený výnos. Metoda CAPM patří do moderní teorie prtfolia a navazuje na poznatky modelu H. Markowitze. Práce systematicky popisuje metodologii, jejiž závěrem je výpočet charakteristik vybraného portfolia a porovnání se skutečnými hodnotami za dané období.
Abstract: Drbalová, P. Use of method CAPM on choosen stock trade in SPAD on BCPP, a.s.. Graduation theses. Brno, 2009 A graduation theses is engaged in compute optimal portfolio created by stock trade in SPAD on BCPP, a.s., which afford the highest risk-weighted return to investor. Method CAPM belongs to modern portfolio theory and comming out of H. Markowitz theory. Graduate thesis systematically describe procedure, whose conclusion is compute charakteristic choosen portfolio and compare with the real rate during the holding date. 4
Obsah ÚVOD...................................................................................................................................................6 CÍL PRÁCE..........................................................................................................................................7 METODIKA.........................................................................................................................................8 MODERNÍ TEORIE PORTFOLIA...................................................................................................13 1.Markowitzův model....................................................................................................................13 1.1 Parametry aktiva a portfolia...............................................................................................14 1.2 Množina investičních příležitostí (opportunity set)...........................................................15 1.2.1 Krátký prodej (sell short)...........................................................................................15 1.2.2 Bezrizikové aktivum...................................................................................................16 1.3 Tvar množiny investičních příležitostí pro dvousložková portfolia..................................16 1.4 Eficientní množina.............................................................................................................20 1.5 Hledání množiny efektivních portfolií...............................................................................23 1.5.1 Nástin řešení optimalizačních úloh............................................................................24 1.6 Shrnutí Markowitzova modelu a diverzifikace..................................................................25 2.Capital Asset Pricing Model.......................................................................................................27 2.1 Tvar množiny investičních příležitostí pro vícesložková portfolia....................................28 2.1.1 Separační teorém........................................................................................................29 2.2 Odvození rovnice CML.....................................................................................................30 2.2.1 Parametry tržního portfolia........................................................................................31 2.3 Odvození přímky trhu cenných papírů (security market line, SML).................................31 2.4 Systematické a nesystematické riziko portfolia.................................................................35 2.5 Beta cenného papíru β........................................................................................................36 2.6 Charakteristická přímka.....................................................................................................37 2.6.1 Lineární regrese a metoda nejmenších čtverců..........................................................37 2.7 Alfa koeficient cenného papíru..........................................................................................39 2.8 Zeslabování výchozích předpokladů..................................................................................39 2.9 Shrnutí modelu CAPM.......................................................................................................43 3.Jednoindexní model CAPM........................................................................................................44 3.1 Charakteristika individuálního aktiva................................................................................44 3.2 Charakteristika portfolia....................................................................................................45 3.3 Určení optimálního portfolia..............................................................................................45 4.Aplikace modelu CAPM na vybrané akciové tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a. s.....49 4.1 Burza cenných papírů Praha, a.s........................................................................................49 4.1.1 Typy obchodů.............................................................................................................49 4.1.2 Burzovní index PX.....................................................................................................49 4.2 Výběr dat............................................................................................................................50 4.3 Předpoklady pro nalezení optimálního portfolia................................................................52 4.4 Výpočet koeficientu beta a alfa..........................................................................................53 4.5 Výpočet výnosností akcií a trhu.........................................................................................54 4.6 Rozptyl náhodných chyb ηi2 a burzovního indexu σM2..................................................55 4.7 Výpočet vah vybraných akcií v portfoliu...........................................................................55 4.8 Výpočet výnosu a rizika portfolia......................................................................................58 4.9 Ověření hypotézy...............................................................................................................58 VÝSLEDKY A DISKUZE.................................................................................................................60 ZÁVĚR...............................................................................................................................................64 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY.................................................................................................66 OSTATNÍ SEZNAMY.......................................................................................................................68 PŘÍLOHA...........................................................................................................................................70 5
ÚVOD
Možnosti investování jsou v dnešní době téměř neomezené. Potenciální investor může vybírat z široké palety investičních produktů, záleží pouze na jeho postoji k riziku a investičnímu horizontu, tedy po jaké době investor očekává výnos. Právě výnosnost je jedním z klíčových kritérií ovlivňující rozhodování investora. Každý investiční produkt má tři základní vlastnosti – výnos, riziko a likviditu. Výnos je to, co aktivum vydělá. Výnosem může být rozdíl mezi prodejní a kupní cenou aktiva, ale také pravidelný důchod z aktiva (např. úrok, dividenda, kupónová platba, ale i nájemné či půdní renta). Riziko je nebezpečí, že skutečný výnos, který dané aktivum přinese, se bude odlišovat od výnosu, který od daného aktiva očekáváme. A likvidita je schopnost daného aktiva se rychle a snízkými náklady přeměnit v peníze. Čím je aktivum likvidnější, tím rychleji a levněji může být přeměněno zpět v peníze. Mezi výnosem, rizikem a likviditou existují vazby. Čím je například aktivum potenciálně výnosnější, tím je také rizikovější. Čím je aktivum likvidnější, tím je méně rizikové a tudíž i méně výnosné. Investor musí vědět, co od svého aktiva očekává, a podle toho najít svůj optimální poměr mezi těmito třemi vlastnostmi. Také zaleží v jaké pozici se trh s vybraným investičním aktivem nachází, zda má býčí trend (roztoucí) nebo medvědí trend (klesající). Pro investora je daleko složitější zvolit optimální portfolio na trhu s medvědím trendem. Proto je diplomová práce zaměřena na nalezení optimálního poměru právě na trhu s medvědím trendem pomocí modelu oceňování kapitálových aktiv (CAPM – Capital Assets Pricing Model). Model CAPM navazuje na teorii portfolia H. Markowitze a snaží se o nalezení formule pro oceňování rizikových aktiv. Současně jej rozvinuli W. F. Sharpe [1964], J. Lintner [1965] a někdy opomíjený J. L. Treynor, na nějž dále navázal J. Mossin. V roce 1990 obdržel William F. Sharpe za model oceňování kapitálových aktiv Nobelovu cenu za ekonomii (společně s H. M. Markowitzem a M. H. Millerem), neboť tímto modelem významně přispěl k pochopení fungování finančních trhů. Model CAPM se stal jedním ze základních pilířů finanční ekonomie a i po čtyřicetipěti letech od svého vzniku, je stále považován za důležitou součást ekonomie svou elegancí a přiměřenou jednoduchostí.
6
CÍL PRÁCE
Jak již bylo zmíněno v úvodu diplomová práce se zabývá nalezením optimálního porftolia na trhu s medvědím trendem pomocí modelu CAPM. Trhem s medvědím trendem byl zvolen systém pro podporu trhu akcií a dluhopisů (SPAD) na BCPP, a.s.. Diplomová práce se tedy věnuje vybraným titulům akcií obchodovaných ve SPADu na BCPP,a.s., které jsou korelovány s burzovním indexem PX, proto zvolím modifikovanou podobu modelu CAPM nazývanou jednoindexní model CAPM. Jednoindexní model CAPM slouží k oceňování rizikových aktiv, jenž vychází z předpokladu, že existuje jediný společný faktor vysvětlující fundamentální cenový pohyb aktiv, konkrétně v mém případě již zmíněný index PX, přičemž všechny ostatní cenové vlivy lze podřadit pod působení nahodilých výkyvů. Cílem práce je aplikace jednoindexního modelu CAPM na vybrané akciové tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a.s. a zvolit tzv. optimální portfolio, které přinese investorovi nejvyšší rizikově vážený výnos. Přínosem diplomové práce je zjištění, zda jednoindexní model CAPM lze aplikovat na vybrané akcie, která se nalézají na trhu s medvědím trendem. Portfolio bude drženo po dobu šesti měsíců od 1.8.2008 do 30.1.2009 a bude do něj investováno 1 000 000 Kč. Zároveň ověřit hypotézu: Zda optimální portfolio sestavené z vybraných akcií na trhu s medvědím trendem bude mít riziko portfolia menší, než individuální riziko jakékoliv akcie v portfoliu.
7
METODIKA
Metodické zpracování diplomové práce se skládá z následujících kroků: –
Definování cíle diplomové práce
–
Studium literatury
–
Výběr dat
–
Sběr dat nutných k výpočtům
–
Výpočet zastoupení vybraných titulů v optimálním portfoliu
–
Výpočet charakteristik optimálního portfolia
–
Vyhodnocení charakteristik získaných metodou CAPM se skutečností Práce jako taková se skládá ze dvou částí. První část je teoretická a obsahuje seznámení
s řešenou problematikou. Tedy popis moderní teorie portfolia, do které patří hlavně Markowitz, na kterého později navázal Sharpe s metodou CAPM. Náplní první části je také seznámení se statickými metodami nutnými k získání optimálního portfolia, zejména výpočty charakteristik úrovně (průměr, střední hodnota) a variability (rozptyl, směrodatná odchylka, korelace, kovariance). Druhá část je věnována vlastní práci, tedy samotným výpočtům, které vedou k získání optimálního portfolia pomocí metody CAPM. Pro řešení byl použit program Excel a jeho funkce. První kapitola se věnuje H. Markowitzovu modelu z 50.let 20. století, protože je považovaný za „základní kámen“ moderní teorie portfolia. Model obsahuje nový pohled na výběr optimálního portfolia na kapitálovém trhu. Markowitz v modelu požaduje maximální výnos pro investora a jako první ve své teorii zahrnuje riziko změny výnosu portfolia. Při tom tvrdí, že toto riziko jde zmenšit pomocí diverzifikace, tedy vytvořením portfolia z aktiv z nejrůznějších nezávislých oborů. Druhá kapitola navazuje na Markowitzovu teorii portfolia modelem oceňování kapitálových aktiv CAPM ze 60. let 20. století, který ho rozvíjí o množinu portfolií s bezrizikovým aktivem. Za rozvojem stojí hlavně W.F Sharpe, J.Linter, J.L. Treynor a J. Mossin. Původní model byl rozšířen o již zmíněnou efektivní množinu portfolií s bezrizikovým aktivem, ze které Sharpe odvodil rovnováhu na kapitálovém trhu ve tvaru přímky CML (Capital Market Line). Sharpe se ve svém modelu věnuje rozboru rovnováhy na kapitálovém trhu aktiv. Model CAPM je jedním ze základních 8
METODIKA
pilířů finanční ekonomie.
Třetí kapitola popisuje princip jednoindexního modelu CAPM, který vychází ze Sharpeho základního modelu CAPM. Jednoindexní model (single-index model) je ekonometrický přístup k oceňování rizikových aktiv, jenž vychází z předpokladu, že existuje jediný společný faktor vysvětlující fundamentální cenový pohyb aktiv, přičemž všechny ostatní cenové vlivy lze podřadit pod působení nahodilých výkyvů. Neboli výnos rizikových aktiv je svázán s velikosti korelace výnosů aktiv s pohybem tržního indexu a součastně podléhá působení náhodných vlivů. Čtvrtá kapitola obsahuje praktickou část, aplikaci modelu CAPM na vybrané akciové tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a. s.. Tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a.s. jsou vybrány podle dvou kritérií. A to podle podílu na indexu PX a délky obchodování minimálně 5 let. Cílem kapitoly je sestavení optimálního portfolia, které přinese investorovi nejvyšší rizikově vážený výnos. Práce končí shrnutím výsledků a jejich diskuzí. Diskuze je zaměřena na finanční krizi, příčinu vzniku a dopady na ceny vybraných akcií v portfoliu, na kritiku modelu CAPM a nejznámější testy, které provedli v 70. letech zejména Jensen a Scholes, Black, Fama a MacBeth a další. A také jaké modely navázaly na jendoindexní model CAPM. Závěr obsahuje shrnutí celé práce, komentáře k výsledkům a stanovisko, jestli je aplikace jednoindexní modelu CAPM vhodná na trh s medvědím trendem. Zde je vhodné uvést alespoň základní náhled do matematické statistiky, která je obsažena ve všech již zmíněných kapitolách. •
Náhodná veličina R i [17] Náhodná veličina je veličina, jejíž hodnota je určena výsledkem náhodných pokusů. Náhodné
pokusy jsou takové, které mají proměnlivé hodnoty v průběhu opakování. To znamená, že není předem možné jednoznačně určit hodnotu náhodné veličiny. Většina náhodných pokusů má výsledek vyjádřený číslem. Náhodné veličiny mohou být buď diskrétní nebo spojité. Diskrétní náhodná veličina nabývá pouze izolovaných hodnot, spojitá náhodná veličina nabývá hodnoty z určitého intervalu. K popsání náhodné veličiny slouží její charakteristiky. V rámci diplomové práce jsou charakteristiky (střední hodnota, rozptyl a kovariance) dostačující. •
Střední hodnota i=E R i [19] Je nejběžnější a nejzákladnější charakteristikou náhodné veličiny. Udává polohy hodnot
náhodné veličiny R i . Známe-li
E R i víme, kde jsou hodnoty náhodné veličiny koncentrovány.
V případě diskrétní náhodné veličiny bude její střední hodnota 9
METODIKA N
E R i =∑ R i pi kde;
(0.1)
i =1
pi je pravděpodobnost chování náhodné veličiny. V případě spojité náhodné veličiny se střední hodnota odvozuje jako: ∞
R E R i = ∫ R f Rd
(0.2)
−∞
•
Rozptyl 2i =var R i [20] Rozptyl je charakteristikou variability (proměnlivosti) náhodné veličiny. 2 var R=E R−E R
(0.3)
Je zjevné, že existence střední hodnoty je nutnou podmínkou pro existenci rozptylu. Udává jak jsou hodnoty náhodné veličiny více nebo méně koncentrovány kolem střední hodnoty, udává velikost tohoto kolísání. Důležitou vlastností rozptylu, která se využívá při jeho výpočtu je, že 2 2 var R=E R − E R
(0.4) Druhá odmocnina z rozptylu •
var R
se nazývá směrodatná odchylka náhodné veličiny.
Kovariance ij =cov R i R j [21]
Vyjadřuje míru vzájemné vazby mezi dvěma náhodnými veličinami a definuje se takto: cov R i R j =E R i −E R i R j−E R j
(0.5)
Pro libovolné náhodné veličiny také platí var R i R j =var R i var R j 2cov R i R j Na kovarianci je také založena další významná charakteristika a to koeficient korelace. R i , R j =
(0.6) Kde R i
cov R i , R j R i R j
je směrodatná odchylka náhodné veličiny
R i a j R j je směrodatná odchylka
náhodné veličiny . R j Koeficient korelace se používá pro určení míry lineární závislosti mezi veličinami 10
R i
METODIKA a
R j . Koeficient korelace je bezrozměrné číslo a nabývá hodnot z intervalu − 1,1 . V případě, že cov R i R j =1 jedná se o přímou úměrnost a mezi veličinami, lineární funkční vztah. Pokud je cov R i R j =−1 pak se jedná o nepřímou úměrnost. A pokud
cov R i R j =0
veličiny jsou
nezávislé. Jedním z nejvýznamnějších krirérií, které ovlivňuje rozhodování investora je očekávaná míra výnosu. Je třeba rozlišovat mezi očekávaným výnosem a očekávanou mírou výnosu. Kde očekávaný výnos udává absolutní částku, kdežto očekávaná míra výnosu vyjadřuje procentní změnu hodnoty aktiva. Procentní vyjádření očekávaného výnosu získáme pomocí historické metody. •
Historická metoda Historická metoda pro určení očekávané míry výnosu vychází z historických kurzů cenných
papírů. Kurz, neboli tržní cena, odráží skutečnou hodnotu akcie na burze cenných papírů. Tržní cena se utváří na základě nabídky a poptávky po akciích dané akciové společnosti a nezůstává stabilní. Může se výrazně změnit v průběhu jednoho obchodního dne, nebo v průběhu několika hodin či minut. Kurz odráží řadu faktorů, které působí na hodnotu akcie, tedy i na očekávaný výnos. Na růst hodnoty akcie působí zejména tyto faktory: - Roste obrat firmy
- Roste zisk firmy
- Firma provede úspěšnou restrukturalizaci
- Vzroste základní jmění společnosti
- Roste dividenda na akcii
- Vyjde pozitivní zpráva o firmě
- Roste produkce odvětví
- Roste zaměstnanost
- Roste míra investic v ekonomice
- Panuje stabilní politické prostředí
- Klesnou úrokové sazby
- Je na trhu převis poptávky
- Jsou akcie přeprodávány [12] Historická metoda vychází z předpokladu, že očekávaný výnos z portfolia za dobu jeho trvání je tvořen součtem krátkodobých výnosů akcií za tuto dobu trvání. Pokud budeme uvažovat pouze kapitálový výnos, potom výnosnost i-tého aktiva můžeme napsat ve formě: (0.7)
Ritk =
Pitk −P it− k Pit −k
Kde: Ritk je pozorovaná míra výnosu i-té akcie, Pit je tržní cena na začátku následujícího období t+1, Pit-k je tržní cena i-té akcie na počátku období t, t je čas, t = 1, 2, 3, … T, T je počet období. 11
METODIKA V praxi je nejběžneji vyskytuje k =1, to vyjadřuje jednodenní změnu tržní ceny cenného papíru. Dále uvedu výpočet výnosu i-tého aktiva za celou dobu existence portfolia T: T −k
(0.8)
i=
1 ⋅∑ R T −k t =1 itk
12
MODERNÍ TEORIE PORTFOLIA
1.MARKOWITZŮV MODEL Harry Markowitz [7] rozvinul na počátku 50.let 20.století teorii portfolia, která obsahuje nový pohled na výběr optimálního portfolia na kapitálovém trhu. Markowitz v modelu požaduje maximální výnos pro investora a jako první ve své teorii zahrnuje riziko změny výnosu portfolia. Při tom tvrdí, že toto riziko jde zmenšit pomocí diverzifikace, tedy vytvořením portfolia z aktiv z nejrůznějších nezávislých oborů za daných předpokladů: Aktiva •
Uvažovaná aktiva jsou libovolně dělitelná.
Investor •
Investor preferuje vyšší výnos před nižším výnosem, tedy je nenasycený.
•
Investor preferuje nižší riziko před vyšším rizikem, je rizikově aversní.
•
Investor je schopen porovnat všechna portfolia na trhu podle očekávaného výnosu a rizika změny výnosu a rozhodnout se, které portfolio je pro něj nejlepší.
portfolio •
Vzniká v jednom časovém okamžiku, trvá předem stanovenou pevnou dobu a po jejím ukončení se v jediném časovém okamžiku realizuje.
Podle Markowitze si investor vybírá své optimální portfolio v následujících fázích: •
Analýza cenných papírů,
•
Analýza portfolia,
•
Výběr optimálního portfolia. Analýza cenných papírů je zcela závislá na subjektivním odhadu investora, který odhaduje
jejich výnosovou míru a riziko, podle nichž si pak cenné papíry vybírá do svého portfolia. Do té doby se vesměs předpokládalo, že investor vybírá portfolio tak, aby maximalizoval jeho výnos. Markowitz upozornil, že je v tomto případě třeba počítat i s rizikem změny výnosu portfolia. Analyzováním portfolia se investor rozhoduje o poměru, v němž budou vybrané cenné papíry v jeho portfoliu zastoupeny. Tato fáze nezávisí na očekávání ani preferencích investora, jedná se 13
Markowitzův model o čistě technickou a početní záležitost. V poslední fázi si investor vybere optimální portfolio a tento výběr je již plně závislý na jeho preferencích. Přičemž stále platí, že se investor snaží maximalizovat zisk a minimalizovat riziko.
1.1 Parametry aktiva a portfolia Základy teorie portfolia využívají poznatků matematické statistiky, které popisují základní důležité charakteristiky aktiv, jako je výnos cenného papíru a riziko, ale i výnos a riziko celého portfolia. •
Parametry rizikového aktiva R i ... diskrétní náhodná veličina popisující výnos z i-tého aktiva za určitou dobu1, má
konečný rozptyl a konečnou střední hodnotu.
i=E R i ... je střední hodnota náhodné veličiny i-tého aktiva, nazývá se očekávaný výnos aktiva za určitou dobu1. Někdy se střední hodnota označuje také jako x .. Udává číselnou charakteristiku polohy hodnot náhodné veličiny. 2i ... riziko aktiva měřené rozptylem náhodného výnosu okolo očekávané hodnoty. Rozptyl je charakteristikou variability (proměnlivosti) náhodné veličiny. Udává koncentraci náhodné veličiny kolem střední hodnoty. i = 2i ... je směrodatná odchylka náhodné veličiny výnos i-tého aktiva, nazývá se riziko
změny výnosu i-tého aktiva za určitou dobu1. •
Parametry portfolia Portfolio se skládá z N aktiv, kde N ∈ℕ , a výnos z portfolia vnímáme tedy jako náhodný
vektor. Jeho jednotlivé složky jsou náhodné veličiny popisující výnos z aktiv, které tvoří portfolio. N ... počet aktiv v portfoliu P N
Wi ... váha, kterou je i-té aktivum zastoupeno v portfoliu. Platí, že
∑ W i=1 i=1
N
R p=∑ W i R i … Je výnos portfolia. Výnos portfolia je náhodná veličina závislá na velikosti i=1
složkových aktiv. N
(1.1.1) p= E R p =∑ W i i … Je očekávaný výnos portfolia. i=1
2p … Je riziko portfolia měřené rozptylem výnosů.
1
"Určitá doba" je pro naše účely pevně zvolená doba trvání portfolia od jeho vzniku do okamžiku realizace.
14
Markowitzův model N
N
2
N
2p=E [ R p − p 2 ]=E [ ∑ W i R i−i ] =E [ ∑ ∑ W i W j R i−i R j− j ]= i=1
i=1 j =1
N
(1.1.2)
N
=∑ W 2i W 2j ∑ W i W j ij =∑ W i2 i2∑ W i W j i j ij i=1
(1.1.3) p= 2p=
i j
i =1
N
N
i j
N
∑ W i2 i2 ∑ ∑ W i W j ij ... je směrodatná odchylka výnosu portfolia, i =1
i=1 j =1
nazývá se riziko změny výnosu portfolia za určitou dobu. ij= i j ij ... je kovariance výnosů i-tého a j-tého rizikového aktiva.
ij=
ij ... je korelační koeficient náhodných veličin výnos i-tého aktiva a výnos j-tého i j
aktiva nabívá hodnot z intervalu <-1,1>.
1.2 Množina investičních příležitostí (opportunity set) Množina investičních příležitostí (opportunity set) je množina všech kombinací očekávaného výnosu a rizika dosažitelná různým váhovým zastoupením složkových aktiv daného portfolia. Předpokládejme, že portfolio P se skládá z N aktiv s relativními podíly v portfoliu W 1, N
W2, W3, …, WN. Pro které platí:
∑ W i=1 , dalším omezením je: W i0
, pokud by tato podmínka
i=1
nebyla splněna, situace by se nazývala krátký prodej (sell short).
1.2.1 Krátký prodej (sell short) [18] Krátký prodej je prodej cenných papírů (ale i komodit, měn apod.), které prodejce nevlastní. Aktivum mu nejčastěji půjčí jeho broker. Prodávající očekává pokles ceny, aby prodané aktiva mohl koupit levněji a vrátit. Krátký prodej je spekulativní technika na pokles a prodejce je tedy nazýván medvěd. Prostřednictvím krátkého prodeje jde některá portfolia optimalizovat a tím zvýšit efektivnost alokace zdrojů na finančních trzích. Ovšem v praxi sell short naráží na nemalé obtíže. Ve většině zemí existuje určitá omezení, která krátký prodej povolují jen tehdy, jsou-li splněny jisté podmínky. Příkaz ke krátkému prodeji nesmí být vydán, pokud trh cenných papírů má klesající tendenci. Masové příkazy ke krátkým prodejům by mohly způsobit paniku a zhroucení trhu. Málokdo je schopen vytvořit portfolio s vyšším záporným podílem některého z aktiv a to kvůli transakčním nákladům, které se pojí s půjčováním aktiv a také z důvodu záruk, které si vyžadují subjekty na finančním trhu. 15
Markowitzův model
1.2.2 Bezrizikové aktivum V Markowitzově přístupu k investování je rozšíření o bezrizikové aktivum důležitým bodem. Bezrizikové aktivum je takové aktivum, jehož riziko změny výnosu je rovno nule. Skutečný výnos je tedy roven očekávanému výnosu a označuje se R f . Z definice vyplývá, že směrodatná odchylka bezrizikového aktiva je rovna nule. Tedy i kovariance mezi výnosností bezrizikového aktiva a výnosností libovolného rizikového aktiva je nula. Bezrizikové aktivum má jistou výnosnost s pevným příjmem bez možnosti neplnění. Za takové aktivum může investor pokládat státní pokladniční poukázky s dobou splatnosti, která odpovídá době držení portfolia. Pokud je část portfolia tvořena bezrizikovým aktivem nebo například vkladem v bance, jedná se o tzv. bezrizikovou půjčku. Naproti tomu bezriziková výpůjčka je, když část portfolia je koupená za vypůjčené bezrizikové aktivum, za které se platí poplatky. Například aktiva zakoupená z bezhotovostního úvěru v bance.
1.3 Tvar množiny investičních příležitostí pro dvousložková portfolia [1] Tvar množiny investičních příležitostí je ovlivňován zejména korelací mezi jednotlivými aktivy. Jak je vysvětleno výše, korelace libovolného aktiva s bezrizikovým aktivem je rovna nule. Podrobněji budou rozebrány čtyři různé dvousložkové portfolia a jedno vícesložkové portfolio, která se budou lišit korelací svých složek. Nechť existuje portfolio, které se skládá z aktiv A1 a A2 platí: váhaW 1váhaW 2=1 předpokládáme, že R 1 R 2 , 1 2 . Riziko změny výnosu je vždy nezáporné. •
Portfolio 1: Dokonalá kladná korelace výnosů aktiv ( ρ12 = 1 ) p=W 1 1 W 2 2
p= W 21 21W 22 22 2W 1 W 2 1 2=W 1 1W 2 2
16
Dále
Markowitzův model Obrázek 1: Přípustná množina dokonalé kladné korelace výnosů aktiv
Zdroj: [6] V tomto případě, jak snadno zjistíme z výrazu pro směrodatnou odchylku portfolia, je riziko portfolia lineární funkcí rizik jednotlivých akcií a jejich kombinací riziko portfolia nelze snížit. Tedy efekt diverzifikace se neprojevuje, vyšší očekávaný výnos je doprovázen vyšším rizikem. Minimálního rizika změny výnosu portfolia v tomto případě lze dosáhnout volbou aktiva A1 = 1 tedy, kdy portfolio bude tvořeno právě tímto jedním aktivem. Pokračování přímky za body A1 , A2 je dosažitelné krátkým prodejem příslušného aktiva (portfolio S je např. tvořeno vahami W1 = −30%, W2 = 130% ). •
Portfolio 2: Dokonalá záporná korelace výnosů aktiv ( ρ12 = −1 ) p=W 1 1 W 2 2 p= W 1 1W 2 2 −2W 1 W 2 1 2= W 1 1−W 2 2 =∣W 1 1−W 2 2∣ 2
2
2
2
2
Obrázek 2: Přípustná množina dokonale záporně korelovaných výnosů aktiv
Zdroj: [6] 17
Markowitzův model Nejnižší úroveň korelace, jakou mohou dvě akcie dosáhnout je dána ρ12 = −1, neboli jsou-li dokonale negativně korelované. Pohyb aktiva A1 je plně kompenzován opačným pohybem druhého aktiva A2.V tomto případě v bodě H existuje kombinace vah W 1 a W2 taková, že riziko portfolia klesne až k nule. Vztah pro výpočet vah je následující: W 1=
•
2 1 , W 2= → σH = 0 1 2 1 2
Portfolio 3: Nekorelované výnosy aktiv ( ρ12 = 0 ) p=W 1 1 W 2 2
p= W 21 21W 22 22
Obrázek 3: Přípustná množina nekorelovaných výnosů aktiv
Zdroj: [6] Množina investičních příležitostí má tvar paraboly. Horní větev paraboly můžeme označit jako efektivní část množiny investičních příležitostí, dolní větev paraboly jako neefektivní. Bod H představuje kombinaci rizikových aktiv s minimálním rizikem. Váhové zastoupení v bodě H lze získat řešením rovnice: ∂ p 2 1 =0 , W 1= , W 2= ∂W 1 1 2 1 2
•
Portfolio 4: Jedno bezrizikové a jedno rizikové aktivum p=W F F W M M
p= W 2M 2M =W m M
18
Markowitzův model Obrázek 4: Přípustná množina jednoho bezrizikového a jednoho rizikového aktiva
Zdroj [6] Bod F představuje výlučně bezrizikové aktivum, naopak bod M je tvořen pouze rizikovým aktivem. Z toho vyplývá, že investice do bezrizikového aktiva čili zapůjčení peněz je představováno body ležící na úsečce FM. Naopak body ležící za bodem M znázorňují vypůjčení peněz za bezrizikovou sazbu za účelem zakoupení rizikového aktiva (sell short). Následující obrázek 5 představuje všechny přípustné množiny dvousložkových portfolií pro libovolné korelace aktiv. Přípustné množiny absolutně pozitivně a negativně korelovaných aktiv vytvoří vnější trojúhelník, uvnitř něhož jsou křivky ostatních přípustných množin. V bodě H, dotyk trojúhelníka se svislou osou y, odpovídá bezrizikovému aktivu. Obrázek 5: Přípustné množiny dvousložkových portfolií
Zdroj [1] Vlastní grafické zpracování 19
Markowitzův model Poslední portfolio vícesložkové: •
Portfolio 5: Velký počet rizikových aktiv
Portfolia jsou tvořena množinou investičních příležitostí, která je sestavitelná všemi možnými váhovými zastoupeními existujících aktiv, přesněji, jako dvojice výnosu a rizika ( µP , σP), kde: N
p=∑ W i i i =1
∑∑ N
p=
N
i=1 j =1
W i W j i j ij
Obrázek 6: Přípustná množina velkého početu rizikových aktiv
Zdro: [6] Pouze konkávní spojnice bodu H, který představuje portfolio s minimálním rizikem, a bodu A, který představuje aktivum s nejvyšším očekávaným výnosem, je efektivní příležitostí. Všechny ostatní vnitřní a hraniční body zobrazují neefektivní neboli dominovaná2 portfolia.
1.4 Eficientní množina [1] Investoři, kteří stojí před otázkou, jakým způsobem se rozhodnou alokovat své finanční prostředky mezi nejrůznější dostupná aktiva, se rozhodují na základě tzv. principu dominance. •
Princip dominance
Investor při svém jednání vykazuje nenasycenost a odpor k riziku, jak již bylo uvedeno výše. Proto bude z množiny přípustných portfolií vybírat pouze ta, která splňují princip dominance: Tedy investoři budou preferovat ta aktiva: a)která při stejném očekávaném výnosu mají nejnižší riziko 2
Viz. Následující kapitola
20
Markowitzův model b)která při stejném riziku přinášejí nejvyšší očekávaný výnos Efektivní množina investičních příležitostí (effective opportunity set) tedy je množina všech nedominovaných portfolií, tj. takových portfolií, k nimž neexistuje portfolio s vyšším výnosem při stejném riziku resp. portfolio s nižším rizikem při stejném výnosu. Neexistuje pouze jediné efektivní portfolio, je jich celá množina, kterou nazýváme eficientní množinou. Eficientní množina EM má v rovině očekávaný výnos-riziko obvykle tvar, znázornění na obrázku 7. Obrázek 7: Eficientní množina
Zdroj: [1] Vlastní grafické zpracování Eficientní množinou je plná křivka mezi body E a F. Jiný tvar eficientní množiny ovšem vznikne, pokud je možno do portfolia investičních příležitostí zahrnout výpůjčky a půjčky bezrizikového aktiva. Takové aktivum je vyobrazeno bodem R a z definice efektivní množiny vyplývá, že může být právě jedno a to takové, které má nejvyšší výnos. Tedy například státní pokladniční poukázka, držená do maturity. Jaké portfolio si investor vybere? Záleží na jeho postoji k riziku. Vybere si takové portfolio z efektvní množiny, které mu přinese nejvyšší užitek, tedy maximální zisk s minimálním rizikem změny výnosu. Tvar indiferenčních křivek je různý, záleží na investorově odporu k riziku. Indifereční křivka je množina bodů kombinací očekávaného výnosu a rizika změny výnosu portfolia, které jsou vnímány investorem jako stejně dobré. Vlastnosti indiferečních křivek jsou dány šesti mikroekonomickými axiomy. Axiom je předpoklad chování spotřebitele, v našem případě investora. Z axiomů vyplývá, že indiferenční křivky se neprotínají, prochází každým bodem, jsou 21
spojité, mají konkávní tvar.
Markowitzův model
Obrázek 8: Malá averze vůči riziku
Zdroj: Vlastní grafické zpracování
Obrázek 9: Velká averze vůči riziku
Zdroj: Vlastní grafické zpracování Investor s averzí vůči riziku je takový investor, který mezi rizikovým a bezrizikovým aktivem, z nichž obě generují stejnou očekávanou hodnotu, preferuje bezrizikové aktivum před rizikovým.
22
Markowitzův model Obrázek 10: Neutralita k riziku
Zdroj: Vlastní grafické zpracování Investor neutrální vůči riziku je takový investor, který je indiferentní mezi rizikovým a bezrizikovým aktivem, pokud obě aktiva generují stejnou očekávanou hodnotu.
Obrázek 11: Investor vyhledávající riziko
Zdroj: Vlastní grafické zpracování Investor vyhledávající riziko je takový investor, který mezi rizikovým a bezrizikovým aktivem, z nichž obě generují stejnou očekávanou hodnotu, preferuje rizikové aktivum. Pokud zná investor svůj postoj k riziku a zároveň eficientní množinu portfolií, vybere si pak to portfolio, které leží na nejvyšší indiferenční křivce. V našem případě portfolio P, znázorněné na obrázku 12.
23
Markowitzův model Obrázek 12: Optimální portfolio P
Zdroj: [6] Vlastní grafické zpracování
1.5 Hledání množiny efektivních portfolií Při hledání efektivní množiny vycházíme ze slovní definice efektivní množiny, která má dvě části. Získáme z nich tyto dvě podmínky: 1. efektivní portfolio minimalizuje riziko při stejné nebo vyšší úrovni očekávaného výnosu N
σP → min za podmínek R pb , b∈ℝ , ∑ X i=1 , i=1
kde b je stanovená výše požadovaného výnosu 2. efektivní portfolio maximalizuje očekávaný výnos při stejném nebo nižším riziku změny výnosu N
R p → max za podmínek pa , a0, ∑ X i =1 , i=1
kde a je stanovená výše požadovaného rizika změny výnosu portfolia.
24
Markowitzův model Obrázek 13: Maximalizace očekávaného výnosu
Obrázek 14: Minimalizace rizika změny výnosu
Zdroj: [1] Vlastní grafické zpracování
Zdroj: [1] Vlastní grafické zpracování
Efektivní množinu lze v zásadě najít jejich průnikem. Existuje však pár speciálních tvarů přípustné množiny, ve kterých to nestačí. V tomto případě, je třeba z něj vyloučit všechna portfolia, které mají riziko změny výnosu větší, než riziko portfolia s nejvyšším očekávaným výnosem, jako je tomu například v portfoliu 2, obrázek 2.
1.5.1 Nástin řešení optimalizačních úloh [6] V prvním kroku je nutné zvolit účelovou funkci, které v dalších krocích budeme hledat její extrém. N
Buď lze maximalizovat očekávaný výnos: R p=∑ W i⋅i , nebo minimalizovat riziko změny i=1
N
N
2 výnosu portfolia: p=∑ ∑ W i W j ij . Funkce by nebyla řešitelná bez stanovení omezujících i=1 j =1
podmínek. Omezující podmínky vyplývají z požadavků, které investor klade na portfolio. Omezující podmínky: N
∑ W i=1 ,
tato podmínka zaručuje investorovi, že využije právě částku, kterou má
i=1
k dispozici. W i0, i=1, 2,... , N , podmínka zakazující sell short. viz.kapitola 1.3.1 N
N
∑ ∑ W i W j ij=a2 , podmínkou si investor stanoví maximální riziko a, které je ochoten i=1 j =1
podstoupit. 25
Markowitzův model N
∑ W i i =b , podmínka stanovuje požadovaný výnos b, kterého portfolio musí dosáhnout. i=1
Výsledkem řešení bude portfolio s požadovanými vlastnostmi. Metody řešení soustavy rovnic: •
Jordanova (úplná eliminační) metoda, je metodou lineárního programování.
Cílem Jordanovy metody je převést matici soustavy na matici, kde na místě původní matice soustavy bude jednotková matice a na místě pravých stran se pak vyskytne řešení soustavy. V tomto případě má soustava pouze jedno řešení. Pokud soustavu není možné převést na již zmíněný jednotkový tvar, pak soustava nemá řešení nebo jich má nekonečně mnoho. •
Wolfeho metoda, je metodou kvadratického programování.
Spočívá v převedení konvexní kvadratické optimalizační úlohy, pomocí obecně použitelného Wolfeho algoritmu, na tvar lineární, který je řešen simplexovým algoritmem.[13]
1.6 Shrnutí Markowitzova modelu a diverzifikace Markowitzův model je modelem hledání optimálního portfolia pro investora s danými preferencemi, je také důkazem významnosti diverzifikace. Markowitzova diverzifikace, neboli výběr nekorelovaných aktiv, dokáže snížit riziko pod úroveň systematického rizika3, pokud se podaří manažerovi portfolia nalézt aktiva, které mají dostatečně nízké koeficienty korelace. Toho může být dosaženo pokud se portfolio skládá z akcií investovaných do firem z nejrůznějších odvětví, z různých zemí po celém světě. Faktem ale zůstává, že negativně korelovaná aktiva se na kapitálových trzích téměř nevyskytují. Valná většina akcií spolu koreluje kladně a proto hledání takovýchto nekorelujících nebo negativně korelujících akcií je velmi pracnou a zdlouhavou činností, vyžadující velké množství statistických dat a výpočetní techniku, schopnou vyhodnocovat desítky investičních příležitostí současně a nacházet efektivní portfolia. Analýza založená na Markowitzově diverzifikaci, je především matematickým problémem, jenž je řešen metodami kvadratického programování.
3
Viz kapitola 2.5 Systematické a nesystematické riziko portfolia.
26
2.CAPITAL ASSET PRICING MODEL Základní model oceňování kapitálových aktiv (CAPM – Capital Assets Pricing Model) navazuje na teorii portfolia H. Markowitze. Rozvinuli jej W. F. Sharpe [1964], J. Lintner [1965] a někdy opomíjený J. L. Treynor, na něž dále navázal J. Mossin. Sharpe [8] svojí teorií rozšířil dosavadní Markowitzovu efektivní množinu portfolií s bezrizikovým aktivem, ze které odvodil rovnováhu na kapitálovém trhu ve tvaru přímky CML (Capital Market Line), která je v souladu s tehdejšími klasickými teoriemi. Sharpe se ve svém modelu věnuje rozboru rovnováhy na kapitálovém trhu aktiv. Model CAPM je jedním ze základních pilířů finanční ekonomie. Následně W. F. Sharpe obdržel v roce 1990 Nobelovu cenu za ekonomii, neboť modelem CAPM významně přispěl k pochopení fungování finančních trhů. I model oceňování kapitálových aktiv má několik předpokladů, z nichž některé se shodují s předpoklady Markowitzova modelu z předešle kapitoly: Aktiva •
Uvažovaná aktiva jsou libovolně dělitelná, mají známý očekávaný výnos i riziko.
•
Existuje bezrizikové aktivum.
•
Všechna aktiva jsou obchodovatelná na trhu.
Investoři •
Investor preferuje vyšší výnos před nižším výnosem, tedy je nenasycený.
•
Investoři preferují nižší riziko před vyšším rizikem, jsou rizikově aversní. Ke snížení rizika využívají Markowitzovu diverzifikaci.
•
Investor ohodnocuje všechna portfolia na trhu podle očekávaného výnosu, rizika změny výnosu a rozhoduje se, které portfolio je pro něj nejlepší.
•
Investor může realizovat půjčku i výpůjčku peněz za bezrizikovou úrokovou sazbu.
•
Investorům jsou dostupné všechny relevantní informace.
•
Investoři mají stejná očekávání ohledně budoucnosti.
27
Capital Asset Pricing Model Portfolio •
Portfolio vzniká v jednom časovém okamžiku, trvá předem stanovenou pevnou dobu a po jejím ukončení se v jediném časovém okamžiku realizuje.
•
Všechna portfolia jsou nekonečně dělitelná.
•
Na trhu nejsou žádné transakční náklady ani daně.
•
Kapitálové trhy jsou efektivní.
Trh
Je evidentní, že předpoklady splňuje pouze modelový trh. Co je a není reálné z předpokladů? Viz. kapitola 2.9. ROVNOVÁHA V CAPM
2.1 Tvar množiny investičních příležitostí pro vícesložková portfolia [6] V kapitole 1.4 byly popsány tvary investičních portfolií pro dvousložková portfolia a jedno vícesložkové portfolio tvořené pouze rizikovými aktivy. Nyní si vyobrazíme, jak vypadá: •
portfolio 6: jedno bezrizikové aktivum4 a více rizikových aktiv. Obrázek 15: Efektivní (tangenciální) portfolio
Zdroj: [5] Vlastní grafické zpracování Efektivní množina má tvar přímky (je lineární), která prochází bodem bezrizikového aktiva F a bodem dotyku M této přímky s množinou investičních příležitostí. Jakékoli jiné rizikové portfolio jako například A je dominováno nějakým bodem přímky efektivní množiny. Tato lineární efektivní množina se nazývá přímka kapitálového trhu (capital market line, CML). Všechna portfolia na této přímce, která se nacházejí mezi body M a F, jsou složena z bezrizikového aktiva a portfolia M. Pro všechny body na této přímce, které se nacházejí za bodem M, přitom platí, že 4
Množina investičních příležitostí může obsahovat pouze jedno bezrizikové aktivum kvůli podmínkám dominance.
28
Capital Asset Pricing Model váha bezrizikového aktiva F je záporná. Tento výsledek je možno si vyložit tak, že investor si půjčuje za bezrizikovou úrokovou míru F a za takto získané prostředky nakoupí více aktiva M. Z toho plyne, že přímka CML je tvořena investicí do tržního portfolia a bezrizikového zapůjčení. Tržní portfolio se značí M (Market) a je tvořeno investicemi do všech5 rizikových cenných papírů na trhu v takovém poměru, že proporce investovaná do jednoho cenného papíru odpovídá jeho relativní tržní hodnotě, která je rovna agregované tržní hodnotě cenného papíru dělené sumou agregovaných tržních hodnot všech cenných papírů. Tržní portfolio značí rovnováhu na kapitálovém trhu, která se projeví: •
Každý investor chce vlastnit určité množství každého rizikového aktiva.
•
Bezriziková sazba má takovou úroveň, že se rovná množství vypůjčených peněz poptávanému množství peněz.
•
Tržní ceny aktiv jsou na takové úrovni, kdy se rovná nabízené a poptávané množství těchto aktiv.
Proč tržní portfolio musí obsahovat nenulové podíly všech aktiv na kapitálovém trhu? Protože kdyby portfolio M, které by nakupovali všichni investoři, obsahovalo nulový podíl libovolného rizikového aktiva. To by znamenalo, že žádný z investorů by toto aktivum nekupoval. Z toho plyne pokles poptávky po aktivu, tedy klesá i jeho cena a pokud klesá jeho cena dochází k nárůstu očekávané výnosnosti. To bude trvat dokud aktivu nebude přidělena proporce, pak dojde k vyrovnání. 2.1.1 Separační teorém Separační teorém vychází z předpokladů modelu CAPM, kde všichni investoři mají stejné informace, stejné preference a stejné očekávání ohledně budoucnosti, čili výnosu rizikových aktiv a rizika změny výnosů aktiv. A protože jsou všichni investoři na stejném trhu, existuje pro ně stejná lineární efektivní množina, která přináší pro všechny stejnou výši rizika. Ze separačního teorému plyne: Optimální kombinace rizikových aktiv může být stanovena bez znalosti investorova postoje k riziku a výnosnosti.
5
Na skladbě tržního portfolia musí mít každý cenný papír nenulový podíl, viz.následující kapitola 2.1.1.
29
Capital Asset Pricing Model
2.2 Odvození rovnice CML Obrázek 16: Lineární efektivní množina, CML
Zdroj: [6] Vlastní grafické zpracování Z obrázku 16 na základě podobnosti trojúhelníků odvodíme rovnici CML. Mějme libovolné portfolio P z efektivní množiny s očekávaným výnosem μp a rizikem σp. Stejně tak μM a σM pro tržní portfolio. p−F M −F = p M
Po úpravě dostáváme rovnici CML ve tvaru: p=F M −F
p M
, kde μF je očekávaný
(budoucí) výnos bezrizikového aktiva. Jiná možnost zápisu přímky CML: p=F
M −F × p , M
p=W M M
Výnos efektivního portfolia = bezrizikový výnos + tržní cena rizika × množství rizika p−F =
M −F × p M
Riziková prémie (požadované převýšení bezrizikového výnosu) = jednotková riziková prémie × množství rizika 1
1
Součastná cena portfolia = 1 = 1 požadovaná diskontní sazba p CML reprezentuje rovnovážný vztah mezi očekávanou výnosovou mírou a směrodatnou odchylkou efektivních portfolií. 30
Capital Asset Pricing Model
2.2.1 Parametry tržního portfolia Při výpočtu směrodatné odchylky budeme vycházet z rovnice (1.1.3):
∑ ∑ N
M=
N
i=1 j=1
W i M W jM ij , kde WiM a WjM označují váhy aktiv i a j v tržním portfoliu,
σij označuje kovarianci výnosnosti mezi aktivy i a j. Podíl každého z aktiv na směrodatné odchylce tržního portfolia závisí na jeho směrodatné odchylce a je vidět z rovnice: M = W 1 M 1 M W 2 M 2 M ...W N M N M , z rovnice vyplývá, že aktiva s většími
hodnotami kovariance výnosnosti mezi tržními aktivy budou muset poskytovat úměrně vyšší očekávanou výnosnost, aby je investoři poptávali. Při výpočtu očekávaného výnosu budeme vycházet z rovnice (1.1.1) N
M =E RM =∑ W i M i M , kde WiM jsou váhy aktiv v tržním portfoliu a μiM je očekávaná i=1
výnosnost aktiv v tržním portfoliu.
2.3 Odvození přímky trhu cenných papírů (security market line, SML) [6] Na základě znalostí přímky CML je možné odvodit přímku SML. Pro její odvození je nutné zvolit libovolné rizikové aktivum A, které je součásti tržního portfolia. Toto aktivum bude ležet pod přímkou CML, protože držení samostatného rizikového aktiva není efektivním portfoliem, není diferenciované. V dalším kroku je nutné zvolit libovolné portfolio P, které je tvořeno proporcí WA aktiva A a proporcí (1-WA) tržního portfolia M. Zároveň portfolio P bude ležet na křivce mezi A a M, která je tečnou k přímce CML v bodě M. Jelikož je CML efektivní množina, není možné, aby ji křivka AP protínala (nebyla tečnou), v takém případě by existovalo portfolio, které by dominovalo CML. Pro lepší názornost je výše popsaný předpoklad znázorněn na obrázku 17.
31
Capital Asset Pricing Model Obrázek 17: Model pro odvození SML
Zdroj:[6] Vlastní grafické zpracování Při odvozování přímky SML budu vycházet z již známých vzorců pro riziko (1.1.3) a očekávaný výnos (1.1.1) (pouze změním indexy). p=W A A1−W A M p= W A A 1−W A M 2W A 1/W A AM A M 2
2
2
2
Tyto výše zmíněné vzorce jsou použity pro nalezení směrnice tečny ke křivce AP v bodě M, kde se WA = 0, derivací funkce v bodě M. 2
2
∂ p 2W A i −21−W A M 2 A M AM −4W A A M AM = , ∂W A 2 W 2A 2A 1−W A 2 2M 2W A 1−W A AM A M 2
po dosazení AM = A M AM
2
∂ p −2 M 2 AM AM − M = a WA = 0 dostáváme tvar: ∂ W = M A 2 2M
∂ p =A− M ∂W A ∂x
∂ p
M A − M
Směrnice tečny ke křivce v bodě M: ∂ y = ∂ = − 2M AM p Přímka CML má předpis: p=F
M −F × p M
Směrnice křivky AP v bodě M a směrnice přímky CML se musí rovnat: M A− M AM −
2 M
=
M − F M
32
Capital Asset Pricing Model Upravíme A −M =
M − F AM −M −F 2M
2 M
(2.3.1) A =F
= F −M M −F
M −F 2M
AM 2
M
× AM , kde
μA...očekávaný výnos rizikového aktiva A μF...bezriziková výnosová míra σAM...kovariance výnosů aktiva A a tržního portfolia Pokud (2.3.2)
AM 2M
=AM , kde
σAM...kovariance výnosů aktiva A a tržního portfolia σ2M....rozptyl tržního portfolia βAM... beta koeficient6 Dostáváme rovnici SML A =F M −F AM
Přeindexujeme rovnici do obecné podoby (2.3.3) i=F M − F ×i M požadovaný výnos = bezrizikový výnos + cena rizika (riziková prémie) × množství rizika Nyní se ještě vraťme k rovnici (2.3.1). Výraz v závorce
M −F 2M
udává směrnici přímky trhu
cenných papírů a vyjadřuje tak tržní cenu systematického rizika7. Vzath říká, že v rovnováze je očekávaný výnos každého individuálního cenného papíru lineární funkcí kovariance jeho očekávaných výnosů s výnosy tržního portfolia. Jinak řečeno, pro μA.> μF ,což je obvyklý případ, bude výnos aktiva lineárně rostoucí funkcí jeho systematického rizika.
6 7
Beta koeficient je vysvětlen v kapitole s názvem: Beta cenného papíru. Systematické riziko je vysvětleno v kapitole s názvem: Systematické a nesystematické riziko portfolia.
33
Capital Asset Pricing Model Obrázek 18: Přímka trhu cenných papírů, SML
Zdroj: [6] Vlastní grafické zpracování Přímku trhu cenných papírů SML lze zapsat i prostřednictvím beta koeficientu, jak je uvedeno ve vzorci (2.3.3). Tato přímka má jinou směrnici a to ve tvaru M −F . To však nemění fakt, že obě vyjádření jsou si rovnocenná.
Obrázek 19: Nastavení rovnovážných cen kapitálových aktiv
Zdroj: [1] Vlastní grafické zpracování [1] Na obrázku 19 jsou znázorněny procesy, které na kapitálovém trhu odpovídají za nastavení rovnovážného stavu. Aktiva, která se nacházejí mimo SML, jako jsou například body U a H na obrázku 19 jsou nesprávně oceněna. Aktivum ležící v bodě U má očekávaný výnos vyšší, než by odpovídalo jeho rizikové třídě, což znamená, že jeho cena je příliš nízká. Tato nerovnováha povede racionální investory k tomu, aby se snažili toto aktivum nakoupit a svou poptávkou zvýší jeho cenu (sníží očekávaný výnos). Tento proces bude pokračovat tak dlouho, dokud se aktivum nedostane do bodu U´ na SML. V této chvíli bude aktivum poskytovat stejný rizikově vážený výnos jako všechna ostatní aktiva a příčiny k pohybu jeho ceny zmizí. Analogická situace nastane i u aktiva nacházejícího se v bodu H, které je naopak přeceněno. Snaha zbavit se ho sníží jeho cenu až do bodu H´ na SML, kde opět pominou důvody pro další úpravy ceny. Na obrázku 19 je ještě 34
Capital Asset Pricing Model zakreslen bod Z. Tomuto bodu odpovídá očekávaný výnos nižší než je výnos bezrizikového aktiva F. Z pohledu teorie kapitálového trhu je nízký očekávaný výnos (a tedy vysoká cena) tohoto aktiva důsledkem jeho negativní korelace s tržním portfoliem a tedy jeho významem pro investory, využívající Markowitzovu diverzifikaci. Zde je na místě upozornit na rozdíl mezi SML a CML. V rovnováze budou všechny jednotlivé cenné papíry (znázorněné jejich hodnotami μi a σiM) ležet na přímce trhu cenných papírů SML a mimo přímku kapitálového trhu CML, neboť na této přímce leží pouze efektivní portfolia. Jednotlivé cenné papíry a portfolia, která nepatří do eficientní množiny, tedy leží mimo CML. Přímka trhu cenných papírů SML tak pro každý cenný papír určuje, jaká kombinace μi a σiM musí pro tento cenný papír platit, aby byl správně tržně oceněn, zatímco přímka kapitálového trhu CML ukazuje investorovi, jak má být sestaveno jeho portfolio, aby dosáhl nejlepšího možného poměru mezi výnosem a celkovým rizikem.
2.4 Systematické a nesystematické riziko portfolia [1] Systematické neboli nediverzifikovatelné riziko je ta část celkové variability očekávaných výnosů aktiva, jež je způsobena faktory, ovlivňujícími simultánně ceny všech obchodovaných cenných papírů, týká se celého trhu. Povaha tohoto rizika je systematická a proto je imunní vůči technikám snižování rizika pomocí diverzifikace. Nesystematické neboli divezifikovatelné riziko je ta část celkového rizika, která má svůj původ ve faktorech, ovlivňujících pouze danou firmu nebo odvětví. Vliv divrezifikovatelného rizika se omezuje na jednu nebo pouze několik firem a riziko jejich vzniku musí být zvažováno pro každou firmu samostatně. Protože však tato nesystematická rizika jsou pro jednotlivé firmy na sobě navzájem nezávislá, je možno jejich dopad omezit diverzifikací investic. Obě výše zmíněné složky tvoří celkové riziko. Celkové riziko je vyjádřeno variancí nebo směrodatnou odchylkou jeho výnosů. Tuto jeho míru rizika lze rozdělit na vzájemně nezávislé části, a to následujícím způsobem: 2i =2i 2M 2i , kde σεi je reziduální variance
Celkové riziko i-tého aktiva jsme rozdělili na dvě složky: systematické riziko představuje člen βi2σM2 a nesystematické riziko, které představuje člen σε, je také někdy nazývána reziduální variance. Důvodem pro rozdělení rizika na dvě části je očekávaná výnosnost. Systematické riziko je spojeno s rizikem tržního portfolia a s koeficientem beta aktiva, mezi kterými je lineární vztah.Tedy čím vyšší beta, tím vyšší tržní riziko. Naopak nesystematické riziko nesouvisí s koeficientem beta, tudíž nesouvisí ani s očekávanou výnosností. Lze tedy říci, že podle metody CAPM je systematické riziko odměňováno a nesystematické riziko ne. 35
Capital Asset Pricing Model
Obrázek 20: Složky celkového rizika
Zdroj: [6] Systematické riziko tvoří zhruba čtvrtinu celkového rizika aktiva, je spojené s pohybem trhu jako celku čili s neovlivnitelným průběhem hospodářského cyklu8. Zbývající nesystematická složka rizika může být neutralizována rozložením investic do většího počtu aktiv, nicméně v okamžiku, kdy je celkové riziko sníženo na úroveň systematického rizika, další zvyšování počtu aktiv v portfoliu ke snížení rizika nevede.
2.5 Beta cenného papíru β Z matematického hlediska je beta koeficient aktiva směrnicí regresní přímky. S ohledem na (2.3.2) ho můžeme psát jako
AM 2M
=AM , kde
σAM...kovariance výnosů aktiva A a tržního portfolia σ2M....rozptyl tržního portfolia βAM... beta koeficient Koeficient beta je měřítkem systematického rizika. Tento koeficient je možno použít jako vodítko pro uspořádání jednotlivých aktiv podle jejich systematického rizika. Hodnota koeficientu beta teoreticky není ničím omezena, přesto se málokdy pohybuje mimo interval <0,5; 2>. Podle velikosti βiM dělíme cenné papíry na:
8
•
Agresivní - βiM > 1, tyto aktiva jsou volatilnější než trh
•
Defenzivní - βiM < 1, volatilita takovýchto aktiv je nižší než volatilita trhu
•
Neutrální - βiM = 1, tyto aktiva kolísají zároveň s trhem
Kolísání ekonomické aktivity okolo dlouhodobého trendu ve čtyřech fázích: expanze – vrchol – recese – dno.
36
Capital Asset Pricing Model Beta vybraných aktiv: FM
•
Bezrizikové aktivum - F =
•
Tržní portfolio - F =
•
EM W M 2M =W M Efektivní portfolio - E = 2 = M 2M
•
Obecné portfolio - Beta portfolia se rovná váženému průměru bet složkových aktiv.
2M
=0
2
PM
MM M = =1 2M 2M
N
1 2 2 E [ ∑ W i Ri − i R M − M ]= M M i=1 N N N W iiM 1 = 2 ∑ W i E [ Ri−i RM −M ]=∑ =∑ W i i M i=1 2M i =1 i=1 P =
=
2.6 Charakteristická přímka [1] Charakteristická přímka je statistickým nástrojem, sloužícím k popisu výše představeného systematického a nesystematického rizika. Vyjadřuje možnou závislost očekávaného výnosu i-tého aktiva v čase t (μi t), v případě existence systematického rizika, na očekávaném výnosu trhu (μ M t). Tedy μi t je závisle proměnou a μ M t je nezávisle proměnou. Charakteristická přímka má tvar: i−F =α iM −F i i , kde
αi...je koeficient alfa pro aktivum i βi... je koeficient beta pro aktivum i εi je reziduálni výnos netržních složek Po matematické stránce představuje charakteristická přímka lineární regresní křivku proloženou mezi jednotlivými naměřenými hodnotami statistického souboru, přičemž parametry této přímky, tj. koeficienty αi a βi jsou získány standardně metodou nejmenších čtverců. 2.6.1 Lineární regrese a metoda nejmenších čtverců Mějme n pozorování uspořádaných dvojic RM n t ; Ri n t (μ
; μi
M n t
n t
), kterými jsou
v případě charakteristické přímky výnosové míry aktiva a trhu (reprezentovaných například indexem PX) během t časových období (t = n). Cílem lineární regresní analýzy je najít přímku v rovině xy, která pro daná pozorování představuje nejlepší přiblížení, což znamená, že součet druhých mocnin jednotlivých odchylek naměřených hodnot od této přímky je pro tuto přímku minimalizován. Symbolicky lze tento požadavek zapsat jako 37
Capital Asset Pricing Model n
n
n
i=1
i=1
t=1
2 2 2 (2.6.1.1) minSSQ=∑ [ Ri n t−α i i RM n t ] =∑ i =∑ Ri n t−i nt , kde
μi n t... je očekávaný výnos aktiva i v pozorování n a v čase t i= Ri n t −i n t je odchylka i-tého pozorování od teoretické hodnoty
Regresní koeficienty pak získáme parciální derivací rovnice (2.6.1.1) podle αi a βi položením rovno nule a řešením následující soustavy dvou lineárních rovnic. ∂ SSQ =0 ∂ αi ∂ SSQ =0 i
Výraz pro směrnici regresní přímky je rovněž možno upravit na následující ekvivalentní tvary i=
i M 2i
∑ R i−i RM −M =
i
∑ R i−i 2
, kde
i
σiM je kovariance aktiva a trhu Koeficient alfa lze vypočítat podle vztahu α i=M −i i
Každá regresní přímka, sestrojená metodou nejmenších čtverců, přitom splňuje následující podmínky: •
Prochází bodem (μ M ; μi )
•
Součet čtverců odchylek je minimální. n
•
Součet všech odchylek je roven nule
∑ i=0 i=1
Po zjištění hodnot alfa a beta již nic nebrání sestrojení regresní přímky9.
9
Charakteristické přímky ostatních vybraných akcií josu v příloze 1.
38
Capital Asset Pricing Model Ilustrace 1: Charakteristická přímka akcie ČEZ Charakteristická přímka akcie ČEZ 6-ti měsíční výnos akcie ČEZ
1,4 1,2
μ
1
ČEZ
=0,16+1,5μ +ε M ČEZ
0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4 -0,3
-0,2
-0,1
0
Zdroj: [1] Vlastní grafické zpracování
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
6-ti měsíční výnos indexu PX
2.7 Alfa koeficient cenného papíru Alfa koeficient αi, neboli míra nerovnováhy je průsečík regresní přímky a svislé osy μi. Udává výnosovou míru aktiva i v případě, že tržní výnos je roven 0. Podle velikosti αi dělíme cenné papíry na: •
Podhodnocené – αi > 0, cenný papír je s velkou pravděpodobností podhodnocený, to znamená, že nese vyšší výnosnost než očekáváme, takový cenný papír bychom měli držet nebo koupit.
•
Nadhodnocené – αi < 0, cenný papír je s velkou pravděpodobností nadhodnocený, to znamená, že nese nižší výnosnost než očekáváme, takový cenný papír bychom měli prodat a nekupovat.
•
Správně oceněné - αi = 0, cenný papír je správně oceněn a leží na přímce SML.
2.8 Zeslabování výchozích předpokladů [1] Následující text se bude obsahovat zobecnění některých předpokladů, které byly použity k formulaci rovnovážné teorie kapitálového trhu, a to tak, aby lépe odpovídala realitě ekonomických procesů. Realitě ekonomických procesů neodpovídá:
39
Capital Asset Pricing Model •
Předpoklad existence jedné bezrizikové úrokové míry Obrázek 21: Neexistence jedné úrokové míry
Zdroj: [1] Vlastní grafické zpracování Pro praxi je typické, že existují dvě rozdílné úrokové míry: úroková míra µL, za kterou investoři mohou půjčovat své peněžní prostředky, a úroková míra µB, za kterou si mohou vypůjčovat. Obvykle je µB>µL . Situace, která vznikne za tohoto předpokladu, je znázorněna na obrázku 21. Efektivní množina (která v případě jedné úrokové míry tvořila přímku CML) je v tomto případě složena ze tří různých částí. První z nich je úsečka spojující body µL a mL, který představuje tržní portfolio pro úrokovou sazbu µL. (2.8.1) p= L mL −L
pL 2L
Druhou částí je křivka mezi body mL a mB, která je částí efektivní množiny při existenci bezrizikových aktiv. p= E M − E
pM 2M
Třetí částí je ta část polopřímky µB mB, která se nachází za bodem mB, představujícím tržní portfolio pro úrokovou míru µB. (2.8.2) p= BmB−B
pB 2 B
Čím vyšší úrok, tím větší je zakřivená část „složené přímky kapitálového trhu“. Existence dvojí úrokové míry má dopad i na přímku trhu cenných papírů, SML. Dostáváme dvojici separovaných přímek (2.8.1) pro SMLL a (2.8.2) pro SMLB. Vznikne tedy nesouvislá křivka, složená z úsečky a polopřímky, jež mají odlišné směrnice. 40
Capital Asset Pricing Model Dalším předpokladem, který jsme vyslovili při budování teorie kapitálového trhu v rovnováze, byla neexistence transakčních nákladů. •
Předpoklad neexistence transakčních nákladů
Transakční náklady se projeví na přímkách CML a SML tím, že je promění v pásy, obrázek 22. Obchodování v pásu okolo CML a SML nebude při existenci transakčních nákladů přinášet zisk, a proto nemusí být nikdy dosaženo teoreticky správných hodnot pro ceny aktiv. Tyto ceny nebudou v rovnovážném stavu ležet na SML, ale někde v pásu okolo ní, vytvořeném transakčními náklady. Obrázek 22: Existence transakčních nákladů
Zdroj: [1] Vlastní grafické zpracování •
Předpoklad homogenního očekávání
V reálném světě lze jen těžko očekávat, že by všichni investoři měli naprosto stejná očekávání a identické odhady ohledně výnos a rizik jednotlivých aktiv. Reálná přímka by tak byla složena z množství jednotlivých přímek odpovídajících individuálním investorům. Dá se předpokládat, že většina z nich vychází ze stejných informací a vyhodnocuje je podobným způsobem, a proto by došlo jen k jistému „rozmazání“ přímek do podoby pásů, podobným těm na obrázku 22. Uvnitř těchto pásů mohou ceny aktiv fluktuovat naprosto nepředvídatelně, a ke korekcím bude docházet pouze v případě vzniku velkých nerovnováh. •
Předpoklad libovolné dělitelnosti aktiv
Pokud by aktiva nebyla libovolným způsobem dělitelná, proměnila by se každá z přímek SML v čáru složenou z jednotlivých teček odpovídajících celistvým násobkům jednotlivých aktiv.
41
Capital Asset Pricing Model •
Předpoklad existence bezrizikového aktiva
I když jako bezrizikové aktivum R uvažujeme státní pokladniční poukázky, nemůžeme o něm mluvit jako o skutečném bezrizikovém aktivu, neboť výnos do splatnosti těchto cenných papírů podléhá změnám úrokových měr v důsledku pohybu inflace, a tedy rozptyl bezrizikového aktiva se nerovná nule. Graficky je tato skutečnost znázorněna na obrázku 23. Obrázek 23: Neexistence bezrizikového aktiva
Zdroj: [1] Vlastní grafické zpracování V tomto případě se bod R, který představuje bezrizikové aktivum, mění na rizikové aktivum Z a eficientní množina je představována křivkou ZSK, případně ZS´K. Portfolia S a S´ představují portfolia s minimálním rizikem, přičemž portfolio S vznikne, pokud výnosy z tržního portfolia m a aktiva Z jsou korelovány, ale nejsou dokonale negativně korelovány. Takovému případu odpovídá bod S´. Bod Z se nazývá portfolio s nulovým beta, neboť variabilita jeho výnosů je zcela dána jeho systematickým rizikem a není nijak korelována s výnosy tržního portfolia. Existence aktiva Z způsobuje zakřivení CML, jak ukazuje obrázek 23. Naopak přímka SML zůstává přímkou, pouze se mění její sklon. •
Předpoklad využití Markowitzovi diverzifikace
Nyní předpokládejme případ, že část investorů si není vědoma výhod Markowitzovi diverzifikace nebo ji není schopna aplikovat. Tito investoři používají prostou diverzifikaci, investují do portfolia A, B, a nevidí unikátnost portfolia označeného jako M. Na trhu, kde jsou z části zastoupeni investoři používající jednoduchou diverzifikaci, je efektivní množina přitisknuta k CML a dotýká se jí v nekonečně mnoha bodech, neboť přítomnost investorů, používajících jednoduchou diverzifikaci, neumožňuje správné zakřivení efektivní množiny.
42
Capital Asset Pricing Model Obrázek 24: Použití prosté diverzifikace
Zdroj: [1] Vlastní grafické zpracování
2.9 Shrnutí modelu CAPM Model oceňování kapitálových aktiv je založen na myšlence efektivní diverzifikace akciového portfolia. Jde vlastně o proces přidání cenných papírů do portfolia za účelem snížení celkového rizika portfolia prostřednictvím snížení jedinečného rizika. Nesystematické (jedinečné) riziko vyplývá z jedinečnosti cenných papírů v portfoliu. Systematické (tržní) riziko je na druhou stranu nediverzifikovatelné. Mírou tohoto rizika je koeficient beta, který odráží, v jaké míře určitý cenný papír podléhá vlivu všeobecného tržního poklesu či vzestupu, a vlastně tak měří příspěvek cenného papíru k riziku portfolia. Akcie s beta větší než 1 mají tendenci obecné pohyby kapitálového trhu zesilovat. O takových cenných papírech se obyčejně hovoří jako o "rizikových". Zároveň však je jejich očekávaná výnosnost vyšší než u méně rizikových cenných papírů, a to především v delším období. Méně rizikové cenné papíry mají betu mezi 0 a 1. Takové cenné papíry mají tendenci se pohybovat ve stejném směru jako celý trh, ale ne v takovém rozsahu. Jejich pohyby ve srovnání s celým trhem jsou obyčejně více či méně "tlumené". Výnos akcií s beta menším než nula se pohybuje opačným směrem než výnos trhu. Trh představuje agregátní portfolio všech cenných papírů, takže beta celého trhu je jednotková.
43
3.JEDNOINDEXNÍ MODEL CAPM Jednoindexní model (single-index model) je ekonometrický přístup k oceňování rizikových aktiv, jenž vychází z předpokladu, že existuje jediný společný faktor vysvětlující fundamentální cenový pohyb aktiv, přičemž všechny ostatní cenové vlivy lze podřadit pod působení nahodilých výkyvů. Neboli výnos rizikových aktiv je svázán s velikosti korelace výnosů aktiv s pohybem tržního indexu a součastně podléhá působení náhodných vlivů. Obecně lze model zapsat rovnicí [6]
R i=ii RM i , kde R i ... je očekávaný výnos i-tého bezrizikového aktiva RM ... je očekávaný výnos tržního indexu, společný fundamentální faktor oceňování aktiv i ... je citlivost ceny i-tého aktiva na pohyb tržního indexu i ... je fixní složka reziduálního výnosu i-tého aktiva
i ... je náhodná složka reziduálního výnosu Vlastnosti náhodného členu E i =0 ...očekávaná hodnota náhodné složky reziduálního výnosu je rovna nule E i 2=2i ... rozptyl náhodné složky reziduálního výnosu se rovná rozptylu reziduálních rizik. cov i , RM = , R =0 ... kovariance náhodné složky a trhu je nulová. i
M
cov i , j =0 ... kovariance i-tého a j-tého aktiva je nulová. Tedy výnosnosti dvou cenných papírů se budou pohybovat stejně pouze díky společné reakci na faktor.
3.1 Charakteristika individuálního aktiva (3.1.1) i=E i E i RM E = i i M Výnos
aktiva je dán
fixní složkou
reziduálního výnosu a citlivostí na změnu očekávaného výnosu trhu. Tato rovnice jednoduše rozkládá výnos akcie do dvou částí, kde jedna je na trhu (poptávce) závislá a druhá nezávislá. (3.1.2) 2i =2i 2M i2 Riziko aktiva je dáno jako součet citlovostí na tržní riziko
44
Jednoindexní model CAPM (faktorové10) a reziduální riziko (nefaktorové11). ij =i j 2M Kovariance i-tého a j-tého aktiva je dána součinem citlivostí ceny i-tého a jtého aktiva na pohyb tržního indexu a rizikem změny očekávaného tržního výnosu.
3.2 Charakteristika portfolia N
R p= p p RM p , kde p=∑ W i i , očekávaná výnos portfolia je dána jako součet i=1
koeficientu alfa, citlivostí na očekávaný výnos trhu a reziduálním výnosem portfolia. p= p p M , očekávaná výnosnost portfolia. 2 2 2 2 p= p M p , riziko portfolia měřené rozptylem.
3.3 Určení optimálního portfolia [5] Jak již bylo zmíněno, ceny akcií mají tendenci růst, jestliže roste poptávka po tomto cenném papíru a naopak klesat v ceně tehdy, jestliže se poptávka snižuje. To svědčí o tom, že jedním z důvodů mohou být vzájemné vztahy těchto cenných papírů s výnosem na index akciového trhu (burzovní index). Určení optimálního portfolia spočívá v nalezení optimálních vah (podílů) cenných papírů v portfoliu, konkrétně v bodě M, jak je znázorněno na obrázku 25. Obrázek 25: Optimální portfolio M
Zdroj: [5] Vlastní grafické zpracování Pro zjištění polohy bodu tržního portfolia M[μM; σM] využijeme vlastnosti, že lineární efektivní množina má největší sklon a úhel. Tuto vlastnost matematicky zapíšeme:
10 11
U jednoindexního modelu se pro systematické riziko používá výraz faktorové riziko. U jednoindexního modelu se pro nesystematické riziko používá výraz nefaktorové riziko.
45
Jednoindexní model CAPM =tg = f X
p −F max. za podmínek p
N
∑Wi
, že součet vah cenných papírů
i=1
v portfoliu je roven 1, neboli, investor investuje celou částku. K hledání extrému funkce slouží parciální derivace prvního řádu, kterou položíme rovnu 0. Vycházíme z rovnic p= 2p=
N
N
N
N
∑ W i2 i2 ∑ ∑ W i W j ij a p−F =∑ W i i−F i =1
i=1
i=1 j =1
N
−F =tg = p f X = p
∑ W i i−F i=1
N
N
N
∑ W i2 i2 ∑ ∑ W i W j ij i =1
i=1 j =1
Extrém funkce získáme řešením N rovnic: ∂ f X =0 ∂W 1 ∂ f X =0 ∂W 2 ⋮ ∂ f X =0 ∂W N ∂ p −F ∂ p p− −F ∂W i ∂W i p ∂ f X = =0 ∂W i 2p N
1 1 i− F p − ⋅ ⋅2 W i 2i 2 ∑ W j ji p−F 2 p j=1 2p N
1 1 − F − p−F p i p
W i 2i ∑ W j ij j=1 2 p
Pro zjednodušení zavedeme substituci: =
p−F 2
p N
1 [i−F −⋅W i i2 ∑ W j ij ]=0 p j =1 46
=0
=0
Jednoindexní model CAPM Neboť
1 ≠0 , budeme řešit pouze rovnici: p N
i−F =⋅W i 2i ⋅∑ W j ij =0 j=1
Z i =W i , potom:
Pro zjednodušení provede další substituci N
i−F =Z i 2i ∑ Z i ij =0 , i=1, 2, 3,... , N , j≠i j=1
Za 2i a ij dosadíme: 2i =2i 2M 2i a ij =i j 2M . N
N
j =1
j =1
i−F =Z i 2i 2M 2i ∑ Z i i j 2M =Z i 2i i 2M ∑ Z j j
j≠i , můžeme do tohoto součtu včlenit
Budeme-li eliminovat u tohoto součtu a získáme: N
i−F =Z i ∑ Z j j =Z i i 2 i
2 M
j=1
2 i
2 M
N
∑ Z j j
, i=1,2 ,3 ,... , N
j=1
Celou rovnici vydělíme výrazem 2i : i −F i 2M N i −F i 2M N =Z Z ⇒ Z = − 2 ∑ Z jj ∑ j j i i 2i 2i j =1 2i i j =1 Zavedeme substituci: C* =
2 M
N
∑ Z jj
, C* je konstanta.
j=1
N
Nyní je nutné vypočítat
∑ Z jj
z rovnice
j=1
i −F i 2M N Zi = − 2 ∑ Z jj 2i i j =1
N j −F j 2M N Z j= − Z ∣ ⋅ j ∑ ∑ j j 2j 2j j=1 j=1 N j −F 2j N 2 ∑ Z j j=∑ j 2 − M ∑ 2 ∑ Z j j j=1 j=1 j =1 j j j=1 N
N
N
N
∑ Z j j− ∑ j=1
2 M
j=1
N N 2j N j− F 2j N 2 ∑ Z j j =∑ j 2 − M ∑ 2 ∑ Z j j 2j j =1 j=1 j=1 j j j =1 N
N
N
2 j 2 j
∑ Z j j 1 ∑ 2 M
j=1
j=1
N
=∑ j j=1
j −F 2
j
47
N
⇒
∑ Z j j= j=1
∑ j
j− F
j=1
1
2 M
2j N
∑
j=1
2
j 2 j
2
Z i⋅i⋅ M
Jednoindexní model CAPM N
2M ∑ j
j −F 2j
j=1
12
Z odvození pak vyplývá: C* =
2 1 ∑ 2j j=1 j 2 M
N
(3.3.1)
Potom (3.3.2)
Zi=
i i−F −C i i2
Po výpočtu vah Zi je nutno vypočítat váhy v portfoliu Wi. Při řešení této úlohy použijeme substituci: Z i =W i ⇒ W i =
Zi , jestliže sečteme hodnoty vah Wi a Zi přes všechna i=1, 2, 3, ..., N,
získáme podíly cenných papírů v portfoliu. N
N
i=1
i=1
∑ W i= ∑ Z i W i=
Zi Z = N i a součastně ∑ Zi
N
∑ Z i≠0 a i=1,2 ,3 ,... , N i =1
i=1
12
C* vybíráme z množiny čísel Ci a výběr je ovlivněn podmínkou, zda je sell short zakázán nebo povolen.
48
4.APLIKACE MODELU CAPM NA VYBRANÉ AKCIOVÉ TITULY OBCHODOVANÉ VE SPADU NA BCPP, A. S. 4.1 Burza cenných papírů Praha, a.s. Burza cenných papírů Praha vznikla 6. dubna 1993, jako akciová společnost a za tu dobu se stala největším organizátorem trhu s cennými papíry v České republice. Je založena na členském principu, což znamená, že přístup do burzovního systému a právo obchodovat mají pouze licencovaní obchodníci s cennými papíry, kteří jsou zároveň členy burzy. Pražská burza si získala pozici respektovaného a stabilního trhu. Je členem Federace evropských burz (FESE) a americká komise pro cenné papíry jí udělila statut tzv. „Designated Offshore Market“, tedy trhu bezpečného pro americké investory. [10] 4.1.1 Typy obchodů •
Automatické obchody – Aukční režim
•
Automatické obchody – Kontinuální režim
•
Systém pro podporu trhu akcií a dluhopisů (SPAD)
•
Blokové obchody
•
Obchody s účastí specialisty
•
Futures obchody
Ve SPADu mohou být realizovány pouze obchody s vybranými emisemi akcií (těmi nejlikvidnějšími tzv. Blue Chip akciemi). Nákupní a prodejní ceny jsou průběžně stanovovány tvůrci trhu, kteří mají za úkol zajišťovat dostatečnou likviditu. Tvůrce trhu je člen burzy, který má s burzou uzavřenou smlouvu o vykonávání této činnosti na vybraných emisích akciových titulů. Počet tvůrců na jedné emisi ani počet emisí pro jednoho tvůrce není omezen. 4.1.2 Burzovní index PX
Index PX je oficiálním cenovým indexem blue chip emisí Burzy cenných papírů Praha, který nezohledňuje ve svém výpočtu dividendové výnosy. První výpočet indexu PX se uskutečnil 49
Aplikace modelu CAPM na vybrané akciové tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a. s. 20. 3. 2006, kdy se stal nástupcem indexů PX 50 a PX-D. Index PX se vypočítá jako hodnotově vážený průměr, to znamená, že každá akcie v indexu je vážená svou tržní kapitalizací (to je součin všech vydaných akcií firmy a aktuální ceny akcií na trhu) na celkové tržní hodnotě všech firem. Báze indexu PX kde dni 27.3.2009 Tabulka 1: Báze indexu PX Název ČEZ TELEFÓNICA O2 C.R. ERSTE GROUP BANK KOMERČNÍ BANKA ZENTIVA UNIPETROL NWR VIG PHILIP MORRIS ČR CETV PEGAS NONWOVENS ECM ORCO Suma
Váha [%] 22,76 21,6 20,29 14,58 7,41 3,74 3,33 2,03 1,83 1,6 0,37 0,24 0,22 100
Zdroj: [10] Vlastní grafické zpracování
4.2 Výběr dat Akcie pro výpočet optimálního portfolia byly vybrány podle dvou kritérií a to podle váhového zastoupení v indexu PX a délkou jejich obchodování na burze, ne kratší než pět let. Z důvodu dostatku historických dat nutných k výpočtům. Pětiletý soubor dat v intervalu od 1.8.2003 – 1.8.2008 byl získán z přístupného zdroje www.akcie.cz. Pro tvorbu portfolia byly zvoleny následující akcie: ČEZ, Telefónica O2, Erste Group Bank, Komerční banka, Zentiva, Unipetrol, Philip Morris. ČEZ ČEZ, a. s., je mateřskou společností Skupiny ČEZ. Hlavním předmětem činnosti ČEZ, a. s., je prodej elektřiny, opatřené zejména výrobou ve vlastních zdrojích, a s tím související poskytování podpůrných služeb elektrizační soustavě, dále pak výroba, rozvod a prodej tepla. Skupina ČEZ je výrobcem elektřiny, provozovatelem distribuční soustavy a subjektem na velkoobchodním i maloobchodním trhu s elektřinou. Mezi její další činnosti patří telekomunikace, informatika, jaderný výzkum, projektování, výstavba a údržba energetických zařízení, těžba surovin, zpracování vedlejších energetických produktů a jiné. 50
Aplikace modelu CAPM na vybrané akciové tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a. s. Telefónica O2 Telefónica O2 Czech Republic, a.s., vznikla dne 1. července 2006 spojením společností ČESKÝ TELECOM, a.s. a Eurotel Praha, spol. s r.o.. Integrací obou společností vznikla telekomunikační společnost vystavěná na konvergenci fixních a mobilních služeb. Telefónica O2 Czech Republic poskytuje komplexní nabídku hlasových a datových a internetových služeb, v pevných a mobilních technologiích včetně nabídky na využívání síťové infrastruktury pro provozovatele a poskytovatele veřejných i neveřejných sítí a služeb. Společnost poskytuje také velkoobchodní služby ostatním provozovatelům veřejných telekomunikačních sítí a poskytovatelům veřejných telekomunikačních služeb v České republice i v zahraničí. Podle organizační struktury skupiny Telefónica patří Telefónica O2 Czech Republic do skupiny společností, kterou zastřešuje O2.
Erste Group Bank Group je jedním z největších evropských poskytovatelů finančních služeb a vedoucí retailová banka ve střední Evropě. Počtem klientů je na prvním místě v oblasti poskytování finančních služeb ve střední Evropě a na druhém místě podle objemu aktiv. Erste Group a její partneři mají silnou tržní pozici v nabídce produktů drobného bankovnictví, ve financování nemovitostí, v obchodě s privátními klienty a ve službách pro malé a střední podniky. Pražská burza začala obchodovat s Erste bank náhradou za akcie České spořitelny.
Komerční banka Komerční banka je součástí skupiny Société Générale. Skupina Komerční banky poskytuje klientům komplexní služby v oblasti drobného, podnikového a investičního bankovnictví. V oblasti drobného bankovnictví se Komerční banka zaměřuje na poskytování komplexních finančních služeb fyzickým osobám a malým podnikům. Banka nabízí klientům depozitní a úvěrové produkty a platební služby. Klienti mohou také vedle standardních bankovních produktů využít možnosti pojištění, důchodového připojištění, uzavřít smlouvu o stavebním spoření nebo leasingovou smlouvu, či investovat do podílových nebo zajištěných fondů. Oblast podnikového a investiční bankovnictví zahrnuje obsluhu středních podniků a municipalit a velkých korporací. Komerční banka prostřednictvím bankovních poradců a přímého bankovnictví poskytuje klientům platební služby, financování obchodu, leasing, factoring, úvěrování, správu aktiv, služby kapitálového trhu, finanční poradenství a další služby.
51
Aplikace modelu CAPM na vybrané akciové tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a. s. Zentiva Zentiva N.V. je mezinárodní farmaceutická společnost, která se zaměřuje na prodej, výrobu a vývoj značkových
generických
farmaceutických
výrobků.
Společnost
pokrývá
širokou
škálu
terapeutických oblastí. Hlavní důraz klade na terapeutické oblasti jimiž se zabývají především lékaři primární péče - kardiovaskulární nemoci, zánětlivé stavy, bolest, infekce, nemoci centrálního nervového systému, gastroenterologie a urologie. Hlavními produktovými skupinami Zentivy jsou značkové léky na předpis, volně prodejné značkové léky a aktivní farmaceutické substance, které však Zentiva vyrábí zejména pro vlastní potřebu. Zentiva má výrobní závody v České republice, na Slovensku,v Rumunsku a v Turecku.
Unipetrol Společnost působí jako holdingová společnost zastřešující a spravující skupinu společností. Hlavními aktivitami společností jsou zpracování ropy a ropných produktů, výroba komoditních petrochemických produktů, polotovarů pro průmyslová hnojiva, polymerních materiálů včetně syntetických kaučuků, minerálních mazacích olejů, plastických maziv, parafínů, tuků a vazelín. Dále se společnosti zabývají distribucí pohonných hmot a provozováním čerpacích stanic.
Philip Morris Philip Morris International je jedna z největších tabákových společností na světě. V současnosti má 15,6% podíl na mezinárodním trhu s cigaretami a zaměstnává více než 75 000 lidí na celém světě. Výrobky se vyrábějí ve více než 50 továrnách a prodávají se přibližně ve 160 zemích. Firma vyrábí sedm (Marlboro, L&M, Petra, Sparta, Red & White, Chesterfield a Next) z patnácti nejprodávanějších globálních cigaretových značek. Nakupuje tabák od společností obchodujících s tabákovými listy po celém světě, včetně Brazílie, Řecka, Itálie, Malawi, Polska, Thajska, Turecka a USA.
4.3 Předpoklady pro nalezení optimálního portfolia •
Bezriziková investice μF je reprezentována státní pokladniční poukázkou emitovanou Ministerstvem financí ČR s půlroční splatností a výnosem 3,63% p.a.13
13
•
V modelu neuvažujeme vyplácení divident ani zdaňování kapitálových výnosů.
•
Výnos trhu μM je reprezentován výnosem indexu PX.
3,63% p.a. (per annum) je roční výnos, půroční je polovina, tedy 1,815% .
52
Aplikace modelu CAPM na vybrané akciové tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a. s. •
Uvažovaná aktiva i portfolia jsou libovolně dělitelná.
•
Sell short je zakázán. Pro výpočet vah optimálního portfolia metodou jednoindexního CAPM potřebujeme znát
výnosnost vybraných akcií (μi), rozptyl výnosnosti burzovního indexu PX (σM2), výnosnost bezrizikového aktiva (μF) a rozptyl náhodných chyb akcií (ηi2). Pro výpočet výnosnosti vybraných akcií je nejprve nutno znát koeficienty beta a alfa jednotlivých titulů.
4.4 Výpočet koeficientu beta a alfa Metodou nejmenších čtverců, která je popsaná v odstavci 2.7.1., pomocí analýzy dat v programu Excel, byly vypočteny výsledky uvedené v tabulce 2.
Tabulka 2: Koeficienty vybraných cenných papírů Cenný papír ČEZ O2 Erste Bank KB Zentiva Unipetrol PhilipM
βi
αi
1,52091 0,75453 0,57144 0,51388 1,09068 1,67635 1,00283
0,15598 -0,00899 -0,14343 -0,00675 -0,01184 0,05347 -0,21404
Zdroj: [5] Vlastní grafické zpracování Telefónica O2, Erste Bank a Komenrční banky jsou defenzivní akcie, protože koeficient beta vyšel v intervalu 0 < β < 1, to znamená, že výnosová míra těchto akcií se pohybuje stejným směrem jako výnos tržního portfolia, ale pomaleji. Ostatní akcie jsou agresivní, protože koeficient beta je větší než jedna, tedy výnos akcií roste rychleji než výnos tržního portfolia. Akcie ČEZ a Unipetrol jsou podhodnocené. Tento závěr vyplývá z velikosti vypočteného koeficientu alfa, který je větší než nula. Tyto akcie leží nad přímkou SML. Zbylé akcie jsou nadhodnocené, jejich koeficient alfa je menší než nula a tedy leží pod přímkou SML, jak je znázorněno na ilustraci 2.
53
Aplikace modelu CAPM na vybrané akciové tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a. s.
Očekávaná výnosnost vybraných akcií
Ilustrace 2: Alfa vybraných akcií
Koeficient alfa vybraných akcií 0,35
ČEZ
0,30
Unipetrol
0,25
SML
0,20 0,15 0,10
KB
0,05
Zentiva
O2
SML
0,00 -0,05
Erste Bank
Philip Morris
-0,10 -0,15 0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
Koeficient beta vybraných akcií
Zdroj: [1] Vlastní grafické zpracování
4.5 Výpočet výnosností akcií a trhu Pokud známe koeficienty alfa a beta, můžeme podle vzorce (3.1.1) vypočítat očekávané 6-ti měsíční výnosnosti vybraných akcií μi. Tabulka 3: 6-ti měsíční očekávané výnosnosti akcií
μi
Cenný papír ČEZ O2 Erste Bank KB Zentiva Unipetrol Philip Morris
0,31734 0,07064 -0,08313 0,04748 0,10326 0,23037 -0,10821
Zdro: [5] Vlastní grafické zpracování Dále k dosažení optimálního portfolia budeme potřebovat očekávaný 6-ti měsíční výnos trhu μM, který je reprezentován výnosem indexu PX, podle vzorce (0.8) a 6-ti měsíční bezrizikový výnos μF. Tabulka 4: 6-ti měsíční očekávané výnosnosti trhu Index PX (μ M )
0,02498
Státní pokladniční poukázka (μ F)
0,01815
Zdroj: [5] Vlastní grafické zpracování 54
Aplikace modelu CAPM na vybrané akciové tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a. s.
4.6 Rozptyl náhodných chyb ηi2 a burzovního indexu σM2 K výpočtu rozptylu náhodných chyb použijeme vzorec (3.1.2), který přepíšeme na tvar: 2i =2i 2M − 2i Vypočtené hodnoty jsou uvedené v tabulce 5. Tabulka 5: Rozptyly náhodných chyb ηi 2
Cenný papír ČEZ O2 Erste Bank KB Zentiva Unipetrol Philip Morris
0,02312 0,00801 0,07756 0,00932 0,01965 0,04250 0,00771
Zdroj: [5] Vlastní grafické zpracování Riziko změny výnosu burzovního indexu PX je vypočítáno pomocí funkce var v programu Excel, σM2 = 0,02498.
4.7 Výpočet vah vybraných akcií v portfoliu V prvním kroku je nutné vypočítat velikosti poměrů očekávané nadměrné výnosnosti akcie k jejímu koeficientu beta a podle velikosti poměru akcie sestupně seřadit. Je to kvůli předpokladu zakázaného sell short. Tabulka 6: Výpočet pro zákaz sell short Cenný papír (μ i-μ F )/βi ČEZ 0,19568 Unipetrol 0,12660 Zentiva 0,07803 O2 0,06956 KB 0,05707 PhilipM -0,12600
Zdroj: [5] Vlastní grafické zpracování
55
Aplikace modelu CAPM na vybrané akciové tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a. s. N
2M ∑ j
j− F 2j
j =1
Potom podle vztahu C i=
2 1 ∑ 2j j=1 j N
2 M
množiny čísel vybereme ta
Ck
i −F i
vypočítáme hodnoty Ci pro každý cenný papír. Z této
a součastně i∈k , nejmenší z těchto čísel označíme
C*, což bude dané omezení portfolia, u kterého je zakázán sell short. To nám zaručí, že všechny váhy v portfoliu budou kladné.
Tabulka 7: Postup výpočetu C* Cenný papír ČEZ Unipetrol Zentiva O2 KB Philip Morris Erste Bank
i −F
i−F i
i
i
2
0,19568 0,12660 0,07803 0,06956 0,05707 -0,12600 -0,17723
N
2
i
∑
2
i
19,78410 8,37109 4,72339 4,94266 1,61665 -16,43968 -0,74613
i −F i 2i
i=1
101,10684 66,12421 60,53224 71,05375 28,32982 130,46904 4,20993
i2 ∑ 2 i=1 i
Ci
101,10684 167,23105 227,76329 298,81703 327,14685 457,61590 461,82583
0,00324 0,00392 0,00338 0,00279 0,00262 0,00168 0,00155
N
19,78410 28,15519 32,87858 37,82124 39,43790 22,99822 22,25209
Zdroj: [5] Vlastní grafické zpracování Jak je z tabulky 7 zřejmé, akcie KB je poslední akcií, která splňuje podmínku Ck
i−F i
a součastně i ∈k , proto CKB = C*.
Dalším krokem je výpočet proměnných Zi ze vzorce
Zi=
i i−F −C i i2
, kde za proměnou C
budeme dosazovat číslo 0,00262. Z 1=
1 1−F −C =101,106840,19568−0,00262=12,76616 1 21
Z 2=
2 2− F −C =66,124210,12660−0.00262=4,89044 2 22
Z 3=
3 3 −F −C =227,76329 0,07803−0,00262=4,18546 2 3 3
Z 4=
4 4 −F −C =298,81703 0,06956−0,00262=6,30426 2 4 4
Z 5=
5 5−F −C =327,146850,05707−0,00262=3,00170 5 25 56
Aplikace modelu CAPM na vybrané akciové tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a. s. Po výpočtu vah Zi je nutno vypočítat váhy v portfoliu Wi. Při řešení této úlohy použijeme substituci: Z i =W i ⇒ W i =
Zi , jestliže sečteme hodnoty vah Wi a Zi přes všechna i=1, 2, 3, ..., N,
získáme podíly cenných papírů v portfoliu. N
N
i=1
i=1
∑ W i= ∑ Z i W i=
Zi Z = N i a součastně ∑ Zi
N
∑ Z i ≠0 a i =1,2,3 , ... , N i=1
i=1
W 1=
Z1 5
=
12,76616 =0,40986 31,14801
=
4,89044 =0,15701 31,14801
=
4,18546 =0,13437 31,14801
=
6,30426 =0,20240 31,14801
=
3,00170 =0,09637 31,14801
∑ Zi i=1
W 2=
Z2 5
∑ Zi i=1
W 3=
Z3 5
∑ Zi i=1
W 4=
Z4 5
∑ Zi i=1
W 5=
Z5 5
∑ Zi i=1
Je namístě připomenout, že jendoindexní model CAPM, je modelem proto, protože zjednodušuje realitu, viz. předpoklady v kapitole 2. Zde bude vyzdvihnut předevší předpoklad nekonečné dělitelnosti aktiv, který v realitě nefunguje. V systému SPAD na pražské burze se obchoduje v lotech (standardním množství akcií), pro které zajišťují tvůrci trhu v každém okamžiku likviditu tzn. stanovují nákupní a prodejní cenu. Tento systém je určen pro institucionální a velké investory a velikost lotu se pohybuje v řádu milionů. Jelikož úkolem je investovat částku „pouze“ jeden milion, obchod by se proto mohl uskutečnit na mimoburzovní trh RM-Systém, ve kterém se obchoduje v EasyClick lotech. Jeden EasyClick lot je nastaven tak, aby byl dostupný pro střední 57
Aplikace modelu CAPM na vybrané akciové tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a. s. a drobné investory, v současnosti se pohybuje v průměru od 40 000 do 60 000 Kč, přehled je v tabulce 8. Tabulka 8: Cena EasyClic lotu vybranných akcií Cena akcie (1.8.2008) 1277 520 989 3932 1068 214 5126
Cenný papír EasyClick lot ČEZ 50 ks O2 100 ks Erste Bank 50 ks KB 10 ks Zentiva 50 ks Unipetrol 250 ks Philip Morris 10 ks
Cena EasyClit lotu 63 850 51 950 49 425 39 320 53 400 53 500 51 260
Zdroj: [15] Vlastní grafické zpracování
4.8 Výpočet výnosu a rizika portfolia Pokud známe váhy vybraných akcií, podle vzorce (1.1.1) a (1.1.2) vypočítáme výnos a riziko měřené rozptylem výnosů. Tabulka 9: Výnos a riziko portfolia Výnos a riziko portfolia μp
v [%] 0,19898
19,90%
σp 2
0,04612
4,61%
Zdroj: [5] Vlastní grafické zpracování Úkolem bylo investovat 1 000 000 Kč do vybraných akcií a držet je půl roku. Podle jednonidexní metody CAPM, kterou jsme zjistili váhy akcií v portfoliu, by výnos vypadal následovně. Tabulka 10: Investice do vybraných akcií Cenný papír ČEZ Unipetrol Zentiva O2 KB Philip Morris Erste Bank Suma
Váhy 0,40985 0,15701 0,13437 0,20240 0,09637 0,00000 0,00000 1
Investice 409854,58708 157006,36469 134373,16279 202396,88395 96369,00150 0,00000 0,00000 1 000 000
Počet EasyClic Investice do lotů EasyClic lotů 130062,77686 6 409855 36169,56409 3 157006 13875,00174 3 134373 14296,65724 5 202397 4575,12294 2 96369 0,00000 0 0 0,00000 0 0 198 979 19 1 000 000 Výnos
Zdroj: [5] Vlastní grafické zpracování
58
Aplikace modelu CAPM na vybrané akciové tituly obchodované ve SPADu na BCPP, a. s.
4.9 Ověření hypotézy Úkolem bylo ověřit hypotézu, zda optimální portfolio bude mít riziko portfolia menší, než individuální riziko jakékoliv akcie v portfoliu. Riziko (rozptyl) změny výnosu akcie vypočítáme podle vzorce (3.1.2), jako součet citlovostí na tržní riziko (faktorové) a reziduální riziko (nefaktorové). Hodnoty jsou zaznamenány v tabulce 11. Riziko portfolia je vypočítáno výše, jeho hodnota je 4,61%. Tabulka 11: Rizika jednotlivých akcií v portfoliu Cenný papír ČEZ O2 Erste Bank KB Zentiva
σi 2 8,16% 2,22% 8,57% 1,59% 4,94%
Zdroj: [5] Vlastní grafické zpracování Optimální portfolio je takové, u kterého je nejvyšší poměr dodatečného výnosu k riziku, kde dodatečný výnos je charakterizován jako rozdíl očekávaného výnosu a bezrizikové úrokové míry. V našem případě 19,90%-1,82%=18,08%. Jak je zřejmé z tabulky 11, dvě akcie v portfoliu, přesněji KB a Telefónica O2, mají riziko nižší, než riziko celého portfolia. Proto je hypotéza zamítnuta14, optimální portfolio může, ale nemusí mít riziko portfolia menší, než individuální riziko jakékoliv akcie v portfoliu.
14
Diverzifikované portfolio má menší riziko než je riziko kterékoliv jeho složky.
59
VÝSLEDKY A DISKUZE
Diskuze je věnována odchylce predikovaného výnosu s reálným a z jakých důvodů k ní došlo. A také kritice modelu a jeho modifikací. Metodou CAPM byly zjištěny váhy, neboli podíly akciových titulů, do kterých bylo rozmístěno milion korun. Metodou CAPM jsme predikovali očekávaný výnos z 6-ti měsíčního držení portfolia ve výši 198 979 Kč. Realita by však byla zcela jiná, neinkasovali bychom zisk, ale naopak ztrátu a to ve výši -305 182 Kč. Pro přehlednost výpočet výnosu/ztráty je zaznamenán v tabulce 12.
Tabulka 12: Metoda CAPM vs. Realita Cenný papír ČEZ Unipetrol Zentiva O2 KB Philip Morris Erste Bank Suma
Váhy 0,40985 0,15701 0,13437 0,20240 0,09637 0,00000 0,00000 1
Výnos získaný Skutečně získaný metodou CAPM výnos 130062,77686 -168017,91412 36169,56409 -62875,91334 13875,00174 6165,06084 14296,65724 -43518,25204 4575,12294 -36934,91487 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 198 979 -305 182
Zdroj: Vlastní grafické zpracování Vysvětlení, co způsobilo tak velký rozdíl mezi očekávaným výnosem a reálnou ztrátou držených akcií od srpna 2008 do konce ledna 2009 je nepředpověditelná krize (prasknutí spekulativní bubliny) v Americe, ke které došlo právě v srpnu roku 2008 (tedy v měsíci pořízení fiktivního portfolia) a která ovlivnila celý svět díky globálnímu propojení ekonomik. Ceny akcií stlačila na úrovně, které znamenají více jak desetiletá minima z pohledu relativního ocenění. Nejprve se prudké výprodeje, a s tím spojený pokles ceny akcií, dotkly sektorů, které byly primárně spjaty s reálnými hospodářskými problémy a to sektorů nemovitostí a finančnictví. Postupně se krize odrážela i v ostatních sektorech, jejichž kurzy rovněž zaznamenaly velké ztráty. Sektorem, který relativně nejdéle odolával prodejnímu tlaku, byly utility (energie) i tento sektor však nakonec podlehl kvůli prudkému propadu cen ropy. 60
VÝSLEDKY A DISKUZE Příčinou krize je tedy již zmíněný trh nemovitostí a hypoték. K „nafukování“ spekulativní bubliny docházelo již od roku 2001 do roku 2003, kdy americká centrální banka snižovala své úrokové sazby z 6,5% p.a. na neuvěřitelné 1% p.a. V těchto hospodářsky velmi příznivých podmínkách nastal „hypoteční boom“. Už v roce 2004 bylo ekonomům jasné, že ceny na trhu s bydlením jsou příliš vysoko. Problém nastal tehdy, když americká centrální banka začal zvyšovat úrokové sazby z 1 % až na 5,25 % v polovině roku 2006 a tedy rostly i úrokové sazby u hypoték. Což způsobilo, že lidé s nízkými příjmy nebyli schopni splácet hypotéku a bankám tak začala vznikat nepředstavitelná ztráta, která vyvrcholila v září krachem čtvrté největší investiční banky Lehman Brothers. Jak ale souvisí americká krize s akciemi obchodovanými na BCPP, a.s.? Souvisí nepřímo, zprostředkovaně. Vývoj akciových kurzů je velmi silně ovlivňován nejen vývojem celé ekonomiky daného státu (HDP), ale i ekonomikou světovou a probíhajícími hospodářskými cykly. Hlavní podíl na českém HDP má export. Pro českou ekonomiku je klíčovým obchodním partnerem evropská unie, především Německo, které jako i další státy EU hlásí recesy. Tedy finanční krize zasáhla hlavní obchodní partnery české ekonomiky. Další nepřímá souvislost krize s akciemi na BCPP, a.s. je existence derivátů CDO (credit debt obligations - prodej pohledávek z úvěrů) dluhových cenných papírů. Prostřednictvím těchto derivátů se problémové hypotéky dostaly do portfolií i jiných bank a nejrůznějších investičních fondů, kterým v případě nesplacení původních hypoték vzniká také ztráta z titulu CDO, protože jeho hodnota klesá. Také odliv zahraničního kapitálu způsobil klesající trend cen akcií. Bylo zpřísněno poskytování finančních prostředků, to i nadále trvá a současně zvýšená averze k riziku zapříčiňují pokračující napjatý stav na finančních trzích s dopadem i na pražskou burzu. Jak vypadal vývoj kurzu vybraných akcií během roku 200815? •
Akcie ČEZu od počátku roku oslabily o 41%, důvodem propadu je propad akciových a komoditních trhů od poloviny roku. Až do července totiž akcie ČEZu rostly současně s růstem ceny komodit ropy a elektřiny. Je dobré zmínit, že hospodářské výsledky ČEZu v tomto roce nejsou poklesem ceny komodit nijak výrazně ovlivněny, protože většina elektřiny na rok 2008 byla již prodána.
•
Akcie Erste Bankd od počátku roku poklesly o 72%, díky propadům celého finančního sektoru v důsledku globální finanční krize. Oznámená angažovanost vůči islandským bankám (Island stojí před bankrotem) a stále pesimističtější ekonomické predikce regionu střední a východní Evropy podryly důvěru investorů a následoval propad akcie. A také na pokles kurzu působí negativní vliv odpisů, plynoucích z ABS/CDO portfolia.
15
Graficky znázorněno v příloze 2.
61
VÝSLEDKY A DISKUZE •
Akcie Komerční banky dlouho odolávaly globálním propadům akciových trhů. Neodolaly až v průběhu října, během kterého akcie propadly o 30%. Hlavními faktorem byly negativn ekonomické prognózy regionu. KB vykázala během roku jen minimum fundamentálníc zpráv. K těm nejvýznamnějším patřila výše vyplacené dividendy (180 Kč na akci) a minimální angažovanost v investičních nástrojích typu ABS/CDO.
•
Akcie Philip Morris od počátku roku poklesly o 19,5%, ne však kvůli světové recesi. Je to způsobeno silným výprodejem v první polovině roku, za kterým stál jeden silný prodejce, který likvidoval svoji pozici. Nicméně fakt výrazného poklesu ceny a skutečnost, že ČR již pravděpodobně na několik let nebude muset měnit daňové sazby na tabákové výrobky (naše sazba je výše než požadavek EU) přispěl k objevení kupců. V současnosti je PMČR opět považován za jeden z titulů se solidní dividendovou návratností.
•
Na cenu akcie Telefónica měl vliv spíše všeobecný tržní sentiment a fakt, že telekomunikace jsou většinou považovány díky své dividendové politice za tzv. defenzivní tituly. Telefónica podle očekávání vyplatila dividendu ve výši 50 Kč/akcii.
•
Akcie Unipetrolu ztratily od počátku roku 64%. Příčinou poklesu není jen samotná finanční krize, ale také slabá výkonnost v průběhu celého roku. Ta je dána slabostí obou hlavních segmentů: petrochemie a rafinérská činnost. Důvodem slabé výkonnosti je to, že cena vstupů (ropy) prudce rostla, což se společnosti nedařilo tak rychle přenášet do cen finální produkce a tudíž se snižovala zisková marže. Na výkonnosti petrochemie se rovněž negativně projevilo silné posílení české koruny během roku.
•
Zentiva je jediný titul, který v letošním roce nezaznamenal meziroční pokles a to díky probíhajícímu odkupu společnosti Sanofi-Aventis. Tento odkup drží cenu společnosti na úrovních představujících 11% meziroční růst. V samotném hospodaření společnost pokračovala v začleňování Turecké akvizice a v relativně nadprůměrné tvorbě volných peněžních prostředků z provozního zisku. [14] Metoda CAPM dokáže metodickým postupem, který vychází z historických hodnot, určit
zastoupení jednotlivých titulů, ale nedokáže předvídat hrozby z možných „prasknutí spekulativních bublin“. Proto investor, který chce dosáhnou zisku musí dobře identifikovat možné hrozby fundamentální (globální, odvětvovou i podnikovou) analýzou a také vyhodnotit řadu informací získaných analýzou psychologickou. Jen tak se může správně rozhodnou o vhodné době k investování, vhodných titulech a jejich zastoupeních v portfoliu. Nemůžeme tedy vyslovit jednoznačný verdikt, zda je aplikace metody CAPM vhodná na trh s medvědím trendem. Můžeme ale konstatovat, že má pár nedostatků, kterými jsou zjednodušující předpoklady, na které bylo 62
VÝSLEDKY A DISKUZE poukázáno už v druhé polovině 60. let 19.století. Mezi nejznámější kritiky modelu patří Richard Roll, který měl výhrady k empirickým testům, neboť podle něj nemůže žádný burzovní index dostatečně aproximovat tržní portfolio M, které zahrnuje všechna riziková aktiva, tj. kromě cenných papírů i dlouhodobé spotřební zboží, nemovitosti či lidský kapitál. Empirické testy proto pouze testují, zda je dané portfolio efektivní či nikoliv. Roll současně vyloučil i jakékoliv možné budoucí vyřešení tohoto problému. [4] Podle nesčetných testů, kterým byl model CAPM vystaven, byl potvrzen zejména lineární vztah mezi výnosností a systematickým rizikem. Nepotvrzena ale byla například rovnost mezi bezrizikovou sazbou a výnosem portfolií, které nejsou korelovány s tržním portfoliem.To, že s narůstající výnosovou mírou roste riziko a lineárnost tohoto vztahu potvrdili například ve své studii Fama a MacBeth. Práce od Bluma a Frienda také potvrdila lineárnost tohoto vztahu, ale zamítla rovnost mezi výpůjční a zápůjční úrokovou sazbou.[4] Model CAPM byl ve studii od Blacka, Jensena a Scholese [1972] byl zamítnut i přesto, že koeficienty alfa a beta byly statisticky významné. Jejich hodnota vždy byla ale větší pro alfu a menší pro betu, než jaké odpovídají rovnici modelu.[4] I když spousta emipických studií model zamítla, nemusí to nutně znamenat neplatnost modelu. Model CAPM je pouze obecným modelem, můžeme s ním oceňovat všechna existující aktiva, a tedy neplatnost může být zapříčiněna špatným aplikováním empirických metod nebo volením špatných proměnných. [4] Kritika modelu CAPM přispěla ke vzniku modifikací základního modelu CAPM. Model T- CAPM jehož autorem je Brennan, M. [1970] kritizuje nereálný předpoklad neexistence daní. Naopak předpokládá, že daňová sazba pro kapitálové zisky je nižší než běžná daňová sazba. Mezi nejvýznamnější patří model Zero-Beta CAPM od Black, F. [1972], který neuvažuje existenci bezrizikového aktiva. Dalším modelem z roku 1973 je M-CAPM (multifaktorový)od Merton, R., který se zaměřuje na rizikovou prémii. Posledním, který chci zmínit je model IP-CAPM od autorů Amihud, Y.,Mendelson, H. [1986], který kritizuje ignoraci likvidity v původním modelu. Model předpokládá, že investoři preferují likvidní aktiva a nelikvidní aktiva přinášejí investorům prémii za nelikviditu.
63
ZÁVĚR
Cílem diplomové práce bylo aplikovat jednoindexní model CAPM na vybrané akciové tituly, které jsou obchodované na trhu s medvědím trendem a zvolit tzv. optimální portfolio, které přinese investorovi nejvyšší rizikově vážený výnos. Trhem s medvědím trendem byl zvolen Systém pro podporu trhu akcií a dluhopisů (SPAD) na BCPP,a.s., kde se obchoduje s nejlikvidnějšími emisemi cenných papírů. Tento trh byl vybrán i z důvodu vyhnutí se problému s přepočítáváním cen akcií pomocí měnových kurzů v případě zahraničních trhů. Pro tvorbu portfolia bylo zvoleno celkem sedm následujících akcií: ČEZ, Telefónica O2, Erste Group Bank, Komerční banka, Zentiva, Unipetrol, Philip Morris. Kritéria pro výběr akciových titulů byly dvě, vysoké váhové zastoupení v indexu PX a obchodovatelnost na burze minimálně 5 let. Jednoindexní metodou CAPM bylo do portfolia vybráno pouze pět z nich, jak je patrné z tabulky 13. Největší váhu v portfoliu má akcie ČEZu (41%), poté Telefónica O2 (20%), následuje akcie Unipetrolu (16%), předposlední akcií podle váhového zastoupení je akcie Zentivy (13%) a poslední je akcie Komerční banky (10%).
Tabulka 13: Váhové zastoupení vybraných akcií Cenný papír ČEZ Unipetrol Zentiva O2 KB Philip Morris Erste Bank Suma
Váhy 0,40985 0,15701 0,13437 0,20240 0,09637 0,00000 0,00000 1
Výnos získaný Skutečně získaný metodou CAPM výnos 130062,77686 -168017,91412 36169,56409 -62875,91334 13875,00174 6165,06084 14296,65724 -43518,25204 4575,12294 -36934,91487 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 198 979 -305 182
Zdroj: Vlastní grafické zpracování Portfolio bylo drženo po dobu šesti měsíců od 1.8.2008 do 30.1.2009. Očekávaná výnosnost stanoveného optimálního portfolia byla vypočtena na 19,90% a riziko změny očekávaného výnosu na 4,61%. Ve skutečnosti, kdybychom drželi portfolio, utržili bychom ztrátu ve výši 30,50%, která 64
ZÁVĚR je z velké části způsobena finanční krizí. O finanční krizi je podrobně pojednáno v diskuzi. Na druhou stranu, pokud porovnáme půlroční pokles indexu PX, který je -47,20% se ztrátou drženého portfolia, která je 30,50% zjistíme, že jednoindexní metodou CAPM jsme snížili ztrátu oproti trhu o 16,70 p.b. Dalším úkolem bylo ověřit hypotézu, Zda optimální portfolio sestavené z vybraných akcií na trhu s medvědím trendem bude mít riziko portfolia menší, než individuální riziko jakékoliv akcie v portfoliu. Hypotézu vyvracím, důkazem je kapitola 4.9., kde z tabulky 14. je patrné, že riziko změny výnosu akcie Komerční banky (2,22%) a Telefonici O2 (1,59%) jsou nižší než riziko změny výnosu celého portfolia (4,61%). Tabulka 14: Individuální rizika vybranných akcií Cenný papír ČEZ O2 Erste Bank KB Zentiva
σi 2 8,16% 2,22% 8,57% 1,59% 4,94%
Zdroj: [5] Vlastní grafické zpracování Optimální portfolio může, ale nemusí mít riziko portfolia jako celku nižší, než riziko jakéhokoliv individuálního aktiva v portfoliu. Portfolio, které má riziko portfolia nižší, než jakékoliv individuální aktivum v portfoliu, se nazývá diverzifikované portfolio. O metodě CAPM nemůže vyslovit jednoznačný verdikt, zda je nebo není dobrá pro tvorbu optimálního portfolia ve SPADu na BCPP, a.s. a už vůbec ne z jednoho testování, které bylo silně ovlivněno „prasknutím spekulativní bubliny“ na finančních trzích. Je na místě připomenout, že jendoindexní model CAPM, je modelem proto, protože zjednodušuje realitu řadou předpokladů. Můžeme ale říci, že může být dobrým vodítkem, které musí být doplněno o mnoho dalších fundamentálních informací a také znalostí z oblasti psychologické analýzy, které by měl investor znát.
65
SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY
Knihy a publikace: [1]
LIŠKA,V. ,GAZDA, J. Kapitálové trhy a kolektivní investování. 1. vyd. Praha : Professional Publishing, 2004. 525 s. ISBN 80-86419-63-0.
[2]
REJNUŠ, O. Obchodování s cennými papíry : teorie a praxe. 1. vyd. Praha : Computer Press, 2001. 257 s. ISBN 80-7226-571-7.
[3]
ELTON, J., GRUBER, J. Modern portfolio theory and investment analysis. 5th ed. New York : John Wiley & sons, inc. 1995. 715 s. ISBN 0-471-00743-9.
[4]
KOTULKOVÁ, Hana. Užití modelu CAPM při tvorbě portfolia : Diplomová práce. Brno : Přírodovědná fakulta masarykovy univerzity , 2008. 67 s. Vedoucí diplomové práce RNDr. František Čámský.
[5]
ČÁMSKÝ, F. Určení optimálního portfolia : Článek. Brno : Katedra Financí Ekonomickosprávní fakulty Masarykovy university v Brně, 10 s.
[6]
DĚDEK, O. Teorie a řízení portfolia : Studijní text č.1. Praha : Karlova Univerzita, fakulta sociálních věd, 49 s.
[7]
MARKOWITZ, Harry. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1959. Cowles Foundation Monograph no. 16.
[8]
Sharpe, W. F.: Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk, Journal of. Finance, 19, 1964.
Elektronické zdroje: [9]
ČNB – ČESKÁ NÁRODNÍ BANKA. [on-line]. 2003 – 2009 [cit. 2009-03-24]. Dostupné z:
. Zdroj dat pro zjištění půlroční úrokové míry státních pokladničních poukázek.
[10]
BURZA CENNÝCH PAPÍRŮ PRAHA. [on-line]. [cit. 2009-03-25]. Dostupné z: . Zdroj dat pro index PX50.
[11]
AKCIE.CZ. [on-line]. [cit. 2009-03-25]. Dostupné z : . Zdroj dat vývoje kurzů akcií
[12]
FINANCE.CZ. [on-line]. [cit. 2009-03-25]. Dostupné z : . 66
[13]
SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY ONDRÁK, V. Cvičení z lineární algebry. [on-line]. [cit. 2009-03-25]. Dostupné z : .
[14]
E15. 15minut pro ekonomiku a byznis. [on-line]. Poslední revize 17.04.2009. [cit. 2009- 4- 9]. Dostupné z : .
[15]
AKCIE.CZ. Počátky sekuritizace aneb vznik problémů [on-line]. Poslední revize 14.04.2008 [cit. 2009-03-25]. Dostupné z : .
[16]
STŘEDOEVROPSKÉ CENTRUM PRO FINANCE A MANAGEMENT. Synthetic Collateralized Debt Obligation (Synthetic CDO) [on-line]. [cit. 2009-03-25]. Dostupné z :
. [17]
WIKIPEDIE, OTEVŘENÁ ENCYKLOPEDIE. Náhodná veličina [on-line]. Poslední revize 22.04.2008 [cit. 2009-03-25]. Dostupné z :.
[18]
WIKIPEDIE, OTEVŘENÁ ENCYKLOPEDIE. Prázdný prodej [on-line]. Poslední revize 13.04.2008 [cit. 2009-03-25]. Dostupné z :.
[19]
WIKIPEDIE, OTEVŘENÁ ENCYKLOPEDIE. Střední hodnota [on-line]. Poslední revize 08.02.2009 [cit. 2009-03-25]. Dostupné z : .
[20]
WIKIPEDIE, OTEVŘENÁ ENCYKLOPEDIE. Rozptyl [on-line]. Poslední revize 19.02.2009 [cit. 2009-03-25]. Dostupné z :.
[21]
WIKIPEDIE, OTEVŘENÁ ENCYKLOPEDIE. Kovariance [on-line]. Poslední revize 13.04.2008 [cit. 2009-03-25]. Dostupné z :.
67
OSTATNÍ SEZNAMY
Seznam příloh Příloha 1: Charakteristické přímky vybranných akcií Příloha 2: Roční vývoj kurzu vybranných akcií
Seznam ilustrací Ilustrace 1: Charakteristická přímka akcie ČEZ.................................................................................39 Ilustrace 2: Alfa vybraných akcií........................................................................................................54
Seznam tabulek Tabulka 1: Báze indexu PX................................................................................................................50 Tabulka 2: Koeficienty vybraných cenných papírů ...........................................................................53 Tabulka 3: 6-ti měsíční očekávané výnosnosti akcií..........................................................................54 Tabulka 4: 6-ti měsíční očekávané výnosnosti trhu............................................................................54 Tabulka 5: Rozptyly náhodných chyb................................................................................................55 Tabulka 6: Výpočet pro zákaz sell short.............................................................................................55 Tabulka 7: Postup výpočetu C*..........................................................................................................56 Tabulka 8: Cena EasyClic lotu vybranných akcií...............................................................................58 Tabulka 9: Výnos a riziko portfolia....................................................................................................58 Tabulka 10: Investice do vybraných akcií..........................................................................................58 Tabulka 11: Rizika jednotlivých akcií v portfoliu..............................................................................59 Tabulka 12: Metoda CAPM vs. Realita..............................................................................................60 Tabulka 13: Váhové zastoupení vybraných akcií...............................................................................64 Tabulka 14: Individuální rizika vybranných akcií..............................................................................65
Seznam obrázků Obrázek 1: Přípustná množina dokonalé kladné korelace výnosů aktiv............................................17 Obrázek 2: Přípustná množina dokonale záporně korelovaných výnosů aktiv..................................17 Obrázek 3: Přípustná množina nekorelovaných výnosů aktiv............................................................18 Obrázek 4: Přípustná množina jednoho bezrizikového a jednoho rizikového aktiva.........................19 Obrázek 5: Přípustné množiny dvousložkových portfolií..................................................................19 Obrázek 6: Přípustná množina velkého početu rizikových aktiv.......................................................20 Obrázek 7: Eficientní množina...........................................................................................................21 Obrázek 8: Malá averze vůči riziku....................................................................................................22 Obrázek 9: Velká averze vůči riziku...................................................................................................22 Obrázek 10: Neutralita k riziku..........................................................................................................23 Obrázek 11: Investor vyhledávající riziko..........................................................................................23 Obrázek 12: Optimální portfolio P.....................................................................................................24 Obrázek 13: Maximalizace očekávaného výnosu..............................................................................25 Obrázek 14: Minimalizace rizika změny výnosu...............................................................................25 Obrázek 15: Efektivní (tangenciální) portfolio..................................................................................28 68
OSTATNÍ SEZNAMY Obrázek 16: Lineární efektivní množina, CML.................................................................................30 Obrázek 17: Model pro odvození SML..............................................................................................32 Obrázek 18: Přímka trhu cenných papírů, SML.................................................................................34 Obrázek 19: Nastavení rovnovážných cen kapitálových aktiv...........................................................34 Obrázek 20: Složky celkového rizika.................................................................................................36 Obrázek 21: Neexistence jedné úrokové míry....................................................................................40 Obrázek 22: Existence transakčních nákladů.....................................................................................41 Obrázek 23: Neexistence bezrizikového aktiva..................................................................................42 Obrázek 24: Použití prosté diverzifikace...........................................................................................43 Obrázek 25: Optimální portfolio M....................................................................................................45
69
PŘÍLOHA
70
