Ani matematika si nemôˇze byt istá sama sebou

ˆ ze byt’ istá sama sebou Pavol Zlatoˇs: Ani matematika si nemoˇ

1

Pavol Zlatoˇs

Ani matematika si nemoˇ ˆ ze byt’ istá sama sebou ´ Uvahy o mnoˇzinách, nekoneˇcne, paradoxoch a Godelov ¨ ych ´ vetách ˇ PhDr. Milan Stefanko, Iris, Bratislava, 1995

• 19 ´ Samovzt’aˇznost’, cˇ iˇze skumanie seba samej, je jednou zo sˇ pecifickych ´ – a rovno dodajme, zˇ e dnes uˇz i nevyhnutnych ´ – cˇ r´ t matematiky. Matematika sa totiˇz obracia – a cˇ asto sa dokonca mus´ı obracat’ – na svoje ideálne objekty, ako keby ˆ ze tvorit’ ideálne objekty vyˇssˇ ej“ urovne. ´ to boli objekty reálne. Z nich potom opätovnou idealizáciou moˇ Typickym ´ ” ˆ zeme prakticky pr´ıkladom takéhoto pr´ıstupu je abstraktná algebra alebo funkcionálna analyza. V tomto postupe moˇ ´ ´ ´ ´ ı cˇ i eˇste d’alej. Musiet’ si pritom neustále uvedomovat’ neobmedzene pokraˇcovat’, trebárs aˇz na urove nˇ teorie kategori´ ´ ´ vyˇ by bolo znaˇcne nepohodlné a z hl’adiska samotnej teorie aj zbytoˇcné. Omnoho ´ sku pr´ısluˇsnej idealizaˇcnej urovne ´ celnejˇsie sa ukazuje d´ıvat’ sa na ideálne objekty, z ktorych uˇ d’alˇsou idealizáciou tvor´ıme objekty eˇste ideálnejˇsie“ ´ ” jednoducho ako na objekty“, t. j. abstrahovat’ od ich ideálnosti. Po takejto abstrakcii sa nám vˇsak uˇz stiera rozdiel medzi ” ´ ˇ Pretoˇze vˇsak poslednu´ existenciou reálnych a ideálnych objektov, prinajmenˇsom aˇz po pr´ısluˇsnu´ idealizaˇcnu´ urove n. ´ ˆ ze nasledovat’ d’alˇsia – potenciálne sa nám tak stiera rozdiel idealizaˇcnu´ urove nˇ nemoˇzno stanovit’ – za kaˇzdou moˇ ˆ medzi modmi existencie vobec vˇsetkych ´ reálnych a ideálnych matematickych ´ objektov. Ak teda zabudneme na ono ˆ zdoraznen´ e ako keby“, l’ahko nás to zvedie priznat’ skutoˇcnu´ existenciu vˇsetkym ´ ideálnym matematickym ´ objektom. ” Ak si navyˇse uvedom´ıme, o cˇ o su´ tieto ideálne objekty dokonalejˇsie“ neˇz objekty reálneho sveta, ochotne im priznáme ” i dokonalejˇsiu, teda o. i. aj prvotnejˇsiu existenciu neˇz tym ´ druhym. ´ Krátko povedané, samovzt’aˇznost’ matematiky nás ´ tak privádza na novoplatonske stanovisko. • 22 ´ Myslenie prebieha do vel’kej miery v pojmoch. Hoci v tejto otázke nevládne upln´ a názorová zhoda, dovol´ıme si tvrdit’, ˆ zitymi ˆ zˇ e myslenie sa myslen´ım v pojmoch nevyˇcerpáva, zˇ e jeho nemenej doleˇ zloˇzkami su´ tieˇz rozne predstavy, ´ ´ slovne nevyjadrené, ba dokonca nevyjadritel’né pocity, zmyslové vnemy, v podvedom´ı ukryté zázˇ itky a skusenosti za´ naˇse prvotné porozumenie svetu, pr´ıpadne iné suˇ ´ casti naˇsej osobnosti, napr. náleˇzitosti jej biologického vykladajuce ˆ zitá uloha, ´ ˆ bavenia. Vel’mi doleˇ najmä v tvorivom myslen´ı, pripadá intu´ıcii, cˇ ´ım rozumieme akési rozumom nezdovod´ ´ ´ nené celostné uchopenie skuman´ eho problému jedinym suvislost´ ı, cˇ o suhrnne ´ vhl’adom cˇ i vyc´ıten´ım podstatnych ´ ˆ zeme nazvat’ vnuknut´ım. moˇ ´ Na druhej strane, pokial’ si ich nechceme nechat’ len pre seba, vysledky myslenia sme opät’ nuten´ ı formulovat’ v po´ ˆ jmoch, t. j. dodat’ jazykovy´ tvar i tym nemali. To je cˇ asto dost’ t’aˇzké, jednako do ´ jeho zloˇzkám, ktoré ho povodne ˆ ´ znaˇcnej miery moˇzné. Dokonca i v pr´ıpadoch, ked’ to do dosledkov moˇzné nie je, náleˇzity´ jazykovy´ prejav, cˇ i uˇz ustny ´ ˆ alebo p´ısomny, slovny´ rámec a rozne predstavy cˇ i intuit´ıvne porozumenie, hoc nie ´ má schopnost’ prerást’ svoj uzko ˆ nutne totoˇzné s povodn ymi, vo vn´ımavom cˇ itatel’ovi alebo posluchácˇ ovi navodit’ a vyvolat’. Trochu vˇseobecnejˇsie je to ´ vlastne princ´ıp umenia. • 28 ˇ si to uˇz (. . .) chceme priznat’, alebo nie, ideálny matematicky´ svet tvor´ıme sami z reálneho sveta. To, zˇ e si o mnohych Ci ´ idealizáciách neuvedomujeme, ako sme k nim dospeli, takˇze sa nám zdá, akoby existovali nezávisle od nás a my sme k nim z reálneho sveta iba smerovali veden´ı ich svetlom, svedˇc´ı len o tom, zˇ e nie sme schopn´ı plne reflektovat’ vˇsetky momenty svojej duˇsevnej cˇ innosti, a nie o prvotnej existencii sveta ide´ı. • 29


2

ˆ ze podarit’ zostren´ım a pred´lˇzen´ım pohl’adu do reálneho sveta, Pohl’ad do ideálneho matematického sveta sa nám moˇ ´ hoci len nedokonalymi, a to vd’aka tomu, zˇ e reálne objekty su, jednako vˇsak obrazmi dokonalych, ideálnych objek´ ´ tov. Dalo by sa povedat’, zˇ e tie druhé su´ ideálnymi formami tych Do ideálneho matematického sveta potom ´ prvych. ´ prenikáme zo sveta reálneho oˇcist’ovan´ım foriem reálnych objektov od ich materiálnych nápln´ı. Keby sme sa chceli ˆ ´ vyjadrovat’ dosledne v Platonovom duchu, museli by sme dokonca miesto o objektoch reálneho sveta hovorit’ o pred´ metoch naˇsej skusenosti a reálnym svetom“ nazyvat’ svet ide´ı. ´ ” ˆ Aj tak sa vˇsak nevyhneme otázke po povode násˇ ho porozumenia cˇ istym ´ formám vtlaˇcenym ´ vˇzdy len v skreslenej ´ ˇ dáva prekvapivo jednoduchu´ a konzistentnu´ odpoved’ vo svojej podobe reálnym objektom. Platonova filozofia na nu ´ rozpom´ınania. Naˇsa duˇsa sa totiˇz rozpom´ına na idey, ktoré poznala v dobe, ked’ sa eˇste nespojila s telom a sama teorii ´ prebyvala v r´ısˇ i ide´ı. Toto rozpom´ınanie je tym sa od telesnosti. ´ ´ zˇ ivˇsie a silnejˇsie, cˇ ´ım väcˇ sˇ mi sa duˇsi dar´ı odputat’ ˆ zité, cˇ i sa s touto odpoved’ou uspokoj´ıme, alebo nie. Kaˇzdopádne vˇsak mus´ıme uznat’, zˇ e vyvrátit’ju nevieme Nie je doleˇ ´ a niˇc lepˇsie zatial’ nemáme naporudzi. • 30 Na ideálny matematicky´ svet sa nemus´ıme nutne d´ıvat’ ako na nemenny´ svet, vytvoreny´ a zav´rsˇ eny´ raz a navˇzdy. ˆ zeme ho tieˇz chápat’ ako svet otvoreny´ d’alˇsiemu tvoreniu, kam moˇ ˆ zeme umiestnovat’ ˇ Moˇ vˇzdy nové a nové vytvory. ´ • 31 ˆ zeme zabránit’ uskutoˇcnitel’nosti nejakych (. . .) Uskutoˇcnen´ım nejakého objektu moˇ inych objektov, ktoré pred jeho ´ ´ uskutoˇcnen´ım eˇste uskutoˇcnitel’né boli. • 32 ˆ ˆ ´ (. . .) Povodne zdanlivo jednoduchy´ pojem existencie sa rozpadá do troch roznych vyznamov, z ktorych ´ ´ ten nasledujuci je vˇzdy vˇseobecnejˇs´ı ako predoˇsly: ´ uskutoˇcnenost’, uskutoˇcnitel’nost’ a bezospornost’. Okrem prvého pr´ıpadu máme potom do cˇ inenia s nezav´rsˇ enym ´ svetom ideálnych objektov. • 34 (. . .) Naˇse porozumenie nezav´rsˇ enému svetu uskutoˇcnitel’nych ´ matematickych ´ objektov nemus´ıme nutne opierat’ len ˆ zeme prijat’ tzv. konˇstruktivistické stanovisko, podl’a ktorého uskutoˇcnitel’o teologické motivácie. Namiesto nich moˇ ´ ´ nost’ sa potvrdzuje popisom istej cˇ innosti, presnejˇsie, postupnosti ukonov, veducej k uskutoˇcneniu daného objektu. ˇ Toto ponatie je nám na prvy´ pohl’ad bliˇzsˇ ie, lebo chápe matematiku, a tym ´ i tvorbu ideálnych matematickych ´ objektov ako sˇ pecificku´ l’udsku´ cˇ innost’. ˇ Na obmedzenost’ takéhoto naivného chápania konˇstruktivizmu vˇsak naraz´ıme okamˇzite. Ked’ˇze l’udsky´ uskutoˇcnovatel’ je schopny´ pracovat’ len urˇcitou obmedzenou rychlost’ou a má k dispoz´ıcii len obmedzené mnoˇzstvo cˇ asu (urˇcite ´ menˇsie neˇz, dajme tomu, 200 rokov – a to sme uˇz voˇci nemu aˇz nadmieru vel’korys´ı), väcˇ sˇ inu uskutoˇcnitel’nych ´ obˆ ze uskutoˇcnit’. Podobnych jektov nemoˇ ´ obmedzen´ı sa nezbav´ıme, nanajvyˇ ´ s len rozˇs´ırime pr´ısluˇsné medze, ak násˇ mu ˇ ˆ ˇ uce ´ jeho schopnosti. Od podobnych uskutoˇcnovatel’ovi dáme k dispoz´ıcii rozne technické zariadenia umocnuj ´ obmeˇ ´ dzen´ı je konˇstruktivistické ponatie nuten´ e abstrahovat’. ´ Na druhej strane charakter konˇstruktivistického pr´ıstupu si vyˇzaduje vopred presne vymedzit’ pr´ıpustné metody ´ ˇ konˇstrukcie matematickych tak tomuto ponatiu hroz´ı vázˇ na ´ objektov. S objavom kaˇzdej kvalitat´ıvne novej metody ´ samotné jeho základy. kr´ıza, zasahujuca • 35 Matematické vysledky su´ formulované v sˇ peciálnom matematickom jazyku, priˇcom vyslovené v takomto tvare sa ´ bezprostredne netykaj ´ u´ nijakého ideálneho ani reálneho sveta. To je uˇz vecou ich interpretácie. Ak sa teda v mateˆ ´ mus´ıme ustálit’ presné gramatické pravidlá tohto jazyka a vˇsetky matematike máme vobec na cˇ omsi dohodnut’, matické tvrdenia formulovat’ v tomto jazyku, pr´ıpadne dat’ asponˇ jasny´ návod, ako to v tom-ktorom pr´ıpade moˇzno urobit’. Pri takomto pr´ıstupe sa vˇsak uˇz cˇ istá matematika prestáva vzt’ahovat’ k svetu (ani k reálnemu ani ideálnemu) a stáva ´ ´ isté postupnosti symbolov, pr´ıpadne ich transformácie. Na druhej strane jej poznanie sa uca sa z nej veda skumaj objektivizuje na najvyˇssˇ iu moˇznu´ mieru, nakol’ko jeho verifikácia sa redukuje len na kontrolu istych mechanicky ´ vykonávanych ´ operáci´ı so znakmi. ˆ Pozitivistické stanovisko teda spoˇc´ıva v redukcii matematiky na jej symbolicky´ jazyk. Hlavny´ doraz pri takomto ´ ´ ´ pr´ıstupe sa kladie na formálnu stránku matematickych teda na axiomaticku´ metodu. Pri axiomatickej metode ´ uvah, ´ ´ vychádzame vˇzdy z istého suboru axiom, zachytenych ´ v istom matematickom jazyku, a prostriedkami logiky z nich ˆ odvodzujeme d’alˇsie tvrdenia ako dosledky. Tym ´ dochádza k relativizácii pojmu pravdivosti. Pravdivost’takto dokázaˇ vychodiskov´ ´ ˇ nych e predpoklady (axiomy), sp´lna ´ tvrden´ı treba totiˇz chápat’ vyluˇ ´ cne v tom zmysle, zˇ e vˇsetko, cˇ o sp´lna ´ ˆ aj ich logické dosledky. Záruku za práve vysloveny´ záver preberá formálna logika.


3

Taktieˇz otázka existencie ideálnych matematickych ´ objektov sa takto prevádza na otázku dokázatel’nosti pr´ısluˇsnych ´ ´ existenˇcnych ´ tvrden´ı, zap´ısanych ´ vo formálnom jazyku, z danych ´ axiom. ´ ı spracovanych Vel’kou prednost’ou matematickych ´ teori´ ´ v takomto formálno-pozitivistickom duchu je ich prenosnost’ ˆ na rozne situácie. Len cˇ o v nejakej oblasti matematiky objav´ıme nejaké javy, ktoré moˇzno pomenovat’ pojmami naˇsej ´ ´ ˆ teorie tak, zˇ e su´ pritom splnené vychodiskov´ e axiomy, tak okamˇzite máme poruke cely´ rad dosledkov. Staˇc´ı urobit’ ´ ´ ´ zo slovn´ıka kodifikovaného onym pr´ısluˇsny´ preklad (interpretáciu) z jazyka jednej teorie do druhej, vychádzajuci ´ poˇciatoˇcnym ´ pomenovan´ım. ´ formálnu teoriu ´ Ak vˇsak chceme takuto aplikovat’ mimo matematiky, mus´ıme si poˇc´ınat’ uˇz trochu opatrnejˇsie. Sot´ ´ vaktoré okruhy javov reálneho sveta vyhovuju´ nejakym s absolutnou presnost’ou. I ked’ je táto ´ formálnym axiomam ˆ ze táto presnost’ u záverov odvodenych ˆ vychodiskov´ a zhoda vel’mi presná, moˇ logickymi dokazmi postupne ´ ´ dlhymi ´ ´ ´ cit’, zˇ e niektoré odvodené tvrdenia budu´ priamo odporovat’ realite. Táto poznámka sa klesat’. Nemoˇzno dokonca vyluˇ ˇ ˇ ˇ vˇsak netyka matematiky, ale má podstatne vˇseobecny´ charakter. Ziadne ponatie ´ len formálno-pozitivistického ponatia ˆ matematiky, ani matematika ako celok, ba vobec zˇ iadna oblast’ l’udského poznania nie je poistená proti zlyhaniu pri aplikáciách. • 38 ´ Väcˇ sˇ ina matematickych mnoˇz´ın. Na prvy´ pohl’ad ´ discipl´ın dnes formuluje svoje základné pojmy v term´ınoch teorie ´ ´ by sa teda mohlo zdat’, zˇ e teoria mnoˇz´ın prevzala na seba len ulohu akého si vˇseobecného, spoloˇcného matematického ˆ jazyka. Hoci toto samo by nebolo málo, postupne vychádza stále zretel’nejˇsie najavo, zˇ e dosledn´ e a najmä bezstarostné ´ mnoˇz´ın, a tak, v istom zmysle, podriad’uje pouˇz´ıvanie mnoˇzinového jazyka uvádza matematiku priamo do sveta teorie ´ ostatné matematické discipl´ıny tejto teorii. ´ Toto vysadn´ e postavenie v rámci matematiky nenadobudla teoria mnoˇz´ın náhodou, ale preto, lebo v nej doˇslo k od´ ´ vázˇ nemu zav´rsˇ eniu a kanonizovaniu predstáv rozv´ıjanych najvplyvnejˇs´ım vyvojov ym matematiky, a to ´ ´ ´ prudom ´ v dobe, ked’ sa vnutorn´ a jednota matematiky zaˇcala uˇz dávno prejavovat’ a potreba zjednotenia matematiky, t. j. ´ inˇstitucionalizovanu´ podobu, naplno pocit’ovat’. potreba dat’ tejto prejavenej jednote akusi • 39 ´ ˆ Zhodne podl’a Bolzana i Cantora je mnoˇzina suhrn nejakych l’ubovol’nych, cˇ asto i znaˇcne roznorod ych objektov – ´ ´ ´ prvkov mnoˇziny – v jeden celok. Nejaká mnoˇzina je tak samostatný, jediný objekt jednoznaˇcne urˇceny´ zoskupen´ım ˆ svojich prvkov, nezávisle od sposobu ich spojenia. Teda prvky sa na vytvoren´ı mnoˇziny podiel’aju´ len samotnou svojou pr´ıtomnost’ou. V pr´ıkrom rozpore s mnohymi uˇcebnicami rozˇs´ırenymi najmä na základnych ´ ´ ´ a strednych ´ sˇ kolách si tak dovol´ıme tvrdit’, zˇ e pojem mnoˇziny nie je zd’aleka takym ´ prirodzenym ´ pojmom, ako sa nám ich autori snaˇzia ˆ nahovorit’, a to hned’z dvoch dovodov. Nejaká mnoˇzina je totiˇz ideálny objekt, ktory´ vytvárame aˇz aktom myslenia tak, zˇ e si nejaké, cˇ asto i znaˇcne poˇcetné cˇ i dokonca nekoneˇcné“ zoskupenie objektov vyloˇz´ıme ako objekt jediny, ´ a navyˇse ” ˆ dosledne abstrahujeme nielen od vlastnost´ı jednotlivych väzieb a vzt’ahov medzi ´ objektov, no taktieˇz od akychkol’vek ´ nimi. • 41 Mnohé matematické objekty, ktoré sa kedysi povaˇzovali len za akési patologické kontrapr´ıklady pr´ıliˇs vˇseobecnych ´ ´ kratochv´ıle, sa moˇ ˆ zu zrazu ocitnut’v ´ centre pozornosti, cˇ i uˇz pre svoj hypotéz alebo za s´ıce zábavné, no na niˇc nie suce ˆ teoreticky´ vyznam, alebo uˇzitoˇcnost’ v aplikáciách, a zaradit’ sa tak do radu dostojn ych“ a vázˇ enych“ obyvatel’ov ´ ´ ´ ” ” matematického sveta. • 46 ´ ´ ´ ˇ u´ Teologické motivácie skutoˇcne zohrali vyznamn u´ ulohu pri vypracuvan´ ı vykladu absolutneho nekoneˇcna. Umoˇznuj ´ ´ nám totiˇz naˇse nedokonalé, ohraniˇcené, a tym ´ nutne i koneˇcné poznávanie opriet’ o nekoneˇcné poznanie dokonalej, ´ ´ ˆ zeme postupne vˇseveducej a vˇsemohucej bytosti, a tak mu zaruˇcit’ akysi ´ status objekt´ıvnosti. Teda rozumom moˇ poznávat’ to, cˇ o Boh obsiahne jedinym ´ pohl’adom. • 86 ´ teorie ´ ´ (. . .) Pravdivost’ vychodiskov ych mnoˇz´ın neslobodno chápat’ ako nieˇco viac neˇz puhu hypotézu, ktorá sa ´ ´ axiom ˆ ze verifikovat’ cˇ i falzifikovat’ len v istych moˇ ´ rozmedziach aplikáci´ı. • 89 ´ ´ (. . .) Analogie s geometriou, ktoré sme spom´ınali v suvislosti s Bolzanovym ´ a Cantorovym ´ pr´ıstupom k nekoneˇcnym ´ ´ ´ ´ mnoˇzinám, ako i v suvislosti s axiomami vyberu a determinovanosti, asponˇ dufame, dost’ jasne ukazuju´ absurdnost’ ´ ´ ˆ a neoprávnenost’akychkol’vek snáh zredukovat’matematiku na sˇ tudium modelov roznych oborov matematickych ´ ´ ob´ jektov v rámci nejakého raz a navˇzdy pevne zvoleného axiomatického systému teorie mnoˇz´ın (no nielen nej). Pokusy ´ casnosti vládnucej matematickej paradigmy treba len uv´ıtat’, nielen preto, zˇ e su´ stále pomerne prelomit’ putá tejto v suˇ


4

´ casnu´ vleklu´ kr´ızu teorie ´ vzácne, ale najmä preto, zˇ e táto paradigma je tieˇz spoluzodpovedná za suˇ mnoˇz´ın a na nej zaloˇzenej matematiky. • 94 (. . .) Námaha vynaloˇzená na odhalenie logickych zákonov a princ´ıpov sa nám vyplat´ı. Ich znalost’ nás totiˇz cˇ asto ´ zbavuje nutnosti mysliet’, cˇ o byva ´ neraz namáhavé, a hovor´ı sa, zˇ e to tieˇz bol´ı. Pri posudzovan´ı správnosti nejakych ´ ´ ´ ´ usudkov a uvah staˇc´ı potom celkom mechanicky overit’, cˇ i sa pr´ısluˇsná uvaha v kaˇzdom kroku riadi zákonmi logiky. • 95 ´ sa po cestách rozumu i nerozumu, logické i ne(. . .) Myslenie byva správne, menej správne i nesprávne, uberajuce ´ ˆ ze myslenie popisovat’, potom by ju totiˇz pr´ıklady nelogického“ myslenia vyvracali. Tak logické. Logika teda nemoˇ ” sa vˇsak na veci ned´ıvame. Naopak, ak sa myslenie nezhoduje s logikou, tym ´ horˇsie prenˇ – bez váhania ho oznaˇc´ıme za nesprávne. Logika teda vystupuje voˇci mysleniu ako nieˇco asponˇ zdanlivo prvotné a pln´ı voˇci nemu normat´ıvnu funkciu. • 103 ´ sa mu podar´ı rozˇs´ırit’ (. . .) Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) sa domnieval, zˇ e s pouˇzit´ım matematickych ´ metod ´ logiku na mathesis universalis – univerzálnu vedu o myslen´ı, ktorej puhou aplikáciou na konkrétne pojmy l’ubovol’nej vednej oblasti bude moˇzné z´ıskavat’v nej nové poznatky. Usiloval sa pritom, o vytvorenie symbolického kalkulu, ktory´ by umoˇznil previest’beˇzné l’udské myslenie na operácie so znakmi podl’a presne stanovenych ´ pravidiel, takˇze overenie ´ ´ správnosti, pr´ıpadne odhalenie nesprávnosti nejakého usudku by bolo moˇzné zredukovat’ len na puhe mechanické ˇ ı svojho zámeru prehliadnutie symbolického textu. Dodnes sa celkom presne nevie, ako d’aleko sám Leibniz v nap´lnan´ pokroˇcil. ´ do troch bodov: Presnejˇsie moˇzno Leibnizove snahy zhrnut’ a) vytvorenie univerzálneho systému, ktory´ by vˇsetky základné pojmy charakterizoval im priradenymi znakmi ´ a zloˇzené pojmy kombináciami pr´ısluˇsnych ´ znakov (tzv. characteristica universalis); ˇ ´ b) vybudovanie symbolického kalkulu, ktory´ by umoˇznoval previest’ logické uvahy s pojmami na vypoˇ ´ cty so zod´ povedajucimi znakmi (tzv. calculus ratiocinator); ´ ktorá by o kaˇzdom takto symbolicky vyjadrenom tvrden´ı umoˇznila rozhodc) formulácia rozhodovacej procedury, ´ cˇ i je pravdivé, alebo nepravdivé (tzv. ars iudicandi). nut’, Zámery, ktoré pritom Leibniz sleduje, nie su´ nijako skromné. Pokrok vˇsetkych vied, medzi nimi i matematiky, by ´ ˆ ˆ zitejˇs´ım dosledkom. ˆ bol len jednym, a vobec nie najdoleˇ Vˇsetky spory medzi l’ud’mi i medzi národmi by ustali. Ak ´ ´ a poˇc´ıtat’. Tak by sa zaraz zisby sa aj vyskytli nejaké nezhody a názorové rozdiely, staˇcilo by si spoloˇcne sadnut’ ´ spoznanu´ pravdu by s nezvratnou jasnost’ou a presvedˇcivost’ou, samozrejme, vˇsetci pritilo, kto má pravdu, a tuto jali a reˇspektovali. L’udstvo by mohlo postupne objavovat’ a nakoniec vyˇcerpat’ vˇsetky pravdy. Medzi nimi miesto ´ najpoprednejˇsie bude zauj´ımat’ Pravda o Boˇzej existencii a pravom náboˇzenstve, ktoré najviac suhlas´ ı s rozumom, ” ´ sa bude treba obávat’odpadnut´ı od neho práve tak málo, ako sa treba obávat’odvrátenia l’ud´ı od aritmetiky a nabuduce a geometrie, ktoru´ sa raz nauˇcili“. ˆ zu pripadat’ dnes, jeho projektu nemoˇzno upriet’ vel’koAkokol’vek utopicky´ a naivne nám tieto Leibnizove nádeje moˇ ´ lepost’. Pokial’ ide o metody, jeho génius prediˇsiel svoju dobu o viac neˇz dve storoˇcia a presne predv´ıdal smery ¨ neskorˇsieho rozvoja matematickej logiky – vyrokov y´ a predikátovy´ poˇcet, Godelovu aritmetizáciu metamatematiky, ´ ako aj symbolicku´ reprezentáciu poznatkov vyuˇz´ıvanu´ pri poˇc´ıtaˇcovej implementácii a spracovan´ı. • 111 (. . .) Nemoˇzno prehliadat’ rozdiely medzi logikou prirodzeného jazyka, ktorá nie je celkom prostá sporov – a ani ju netreba a nemoˇzno celkom ich zbavit’, ked’ˇze odrázˇ a cˇ asto protireˇcivé stránky skutoˇcnosti a myslenia, a formálnou matematickou logikou, ktorá si na jednej strane vynucuje isté obmedzenia (trebárs typovej povahy), aby sme v nej tak ´ l’ahko neupadli do formálnych sporov, no na druhej strane, bez postulovania istého minima axiom, ktorych ´ prijatie ˆ ´ nijako nemoˇzno zdovodnit’ na základe logiky beˇzného jazyka, nie je schopná zohrat’ ulohu základov matematiky. • 112 ´ (. . .) Je dobré vediet’, zˇ e v sˇ táte je dobre fungujuca, spol’ahlivá pol´ıcia, ktorá chráni zˇ ivoty, bezpeˇcnost’ a majetok obˇcanov a bdie nad dodrˇziavan´ım zákonov. A cˇ ´ım je pritom nenápadnejˇsia, tym ´ lepˇsie. No je vel’mi nepr´ıjemné, ked’ nás pol´ıcia sleduje na kaˇzdom kroku a okato dáva svoju vˇsadepr´ıtomnost’ najavo. Potom uˇz ani nevieme, cˇ i si máme ˆ zˇ elat’, aby fungovala bezchybne, alebo radˇsej menej poriadne a dosledne.


5

• 131 ˇ (. . .) Uˇzitoˇcnost’ abstrakcie aktuálneho nekoneˇcna by mala dostatoˇcne ospravedlnovat’ zavedenie ideálnych nekoneˇcnych ´ mnoˇz´ın. • 138 ˆ ˆ naˇsim Na pr´ıpade kvantovej mechaniky sa (. . .) definit´ıvne vyjasnilo, zˇ e rozne fyzikálne pojmy zodpovedaju´ skor idealizovanym javom samotnym, a to tym ´ predstavám o fyzikálnych javoch, neˇz tymto ´ ´ ´ väcˇ sˇ mi, cˇ ´ım menej su´ ony ´ ˆ zeme len odpr´ıstupné naˇsej skusenosti, no pozorovat’ niektoré ich stránky prostredn´ıctvom merac´ıch pr´ıstrojov moˇ ˆ ´ delene. Navyˇse sposob, akym medzi niektorymi fyzikálnymi javmi, nemus´ı nutne zodpovedat’ ´ sa realizuju´ suvislosti ´ ˆ ´ ´ ´ fyzikálne pojmy v nejakej teorii. ´ ´ sposobu, akym im prisluchaj uce Teoria si mus´ı nájst’ svoju ´ dávame do suvislosti ´ vlastnu´ cestu, ktorou nastol´ı vlastnu´ suvislost’. Pritom je cˇ asto nevyhnutné vytvorit’ nové ideálne pojmy, ktoré uˇz ˆ ´ ´ pr´ıpadne vobec nemoˇzno interpretovat’ na urovni javov fyzikálnej reality. Takáto fyzikálna teoria teda nutne obˆ metaforicky, neˇz by ju sahuje pojmy a matematicky´ popis vzt’ahov medzi nimi, ktoré vypovedaju´ o realite skor bezprostredne“ zobrazovali. ” • 138 ´ ´ ideálnych pojmov je (. . .) zabezpeˇcit’ hladké fungovanie aparátu teorie. Tá sa potom verifikuje na základe (. . .) Uloha ˆ im zodpovedajucich ´ zhody jej predpoved´ı o tych ´ jej pojmoch, ktoré moˇzno interpretovat’v realite, s meraniami hodnot ´ tym, fyzikálnych veliˇc´ın. Popritom vˇsak práve metaforicky´ rozmer teorie ´ zˇ e prostredn´ıctvom prirodzeného jazyka, len ´ na základe formálnej pr´ıbuznosti ich matematického popisu, prenásˇ a vyznamy zo sfér bl´ızkych naˇsej skusenosti do ´ ˇ nedosiahnutel’nych, ´ sfér pre nu nahrádza v mnohom naˇsej intu´ıcii jej stratenu´ oporu. Vyklady elektronu ako vlny, ´ ´ ´ ˇ ucich ´ pr´ıpadne ako cˇ astice su´ pr´ıkladmi dvoch takychto navzájom duálnych a uspeˇ sne sa dop´lnaj metafor. ´ • 144 ´ ´ ˆ Podl’a Hilberta ulohou matematiky nie je skumat’ iba tento svet, ale vobec vˇsetky moˇzné svety, pr´ıpadne, v trochu ˇ skromnejˇsej formulácii, nie iba to, cˇ o sa nám vo svete skutoˇcne ukazuje, ale aj vˇsetko to, cˇ o by sa nám v nom mohlo ˆ vobec ukázat’. ˆ ˆ Tak napr´ıklad po objavoch roznych neeuklidovskych ´ geometri´ı musela geometria vol’ky-nevol’ky opustit’ svoj povod´ ´ ny´ predmet, ktorym skumanie geometrie moˇznych ´ bol reálny priestor. Kleinov program jej potom vytyˇ ´ cil za ulohu ´ priestorov. A otázka, ktorá z nich sa v reálnom priestore skutoˇcne realizuje, bola vytesnená z rámca matematiky. Preto ani chápanie existencie ideálnych matematickych objektov neslobodno zuˇzovat’ len do podoby jestvovania ´ ´ ´ existenciu podmienovat’ ˇ sucien reálneho sveta, ani tuto ich intuit´ıvnou názornost’ou, ale treba ho viazat’ vyluˇ ´ cne na moˇznost’ ich bezosporného pojmového uchopenia v rozume. • 145 ˆ ze byt’ navzájom nezluˇcitel’ná. Uskutoˇcnen´ım (. . .) Uskutoˇcnitel’nost’ nejakych dvoch uskutoˇcnitel’nych objektov moˇ ´ ´ ˆ zeme zabránit’ uskutoˇcneniu iného, ktory´ eˇste dovtedy uskutoˇcnitel’ny´ bol. jedného objektu moˇ • 149 ´ Za cenu oslobodenia od obsahu svojich tvrden´ı (. . .) axiomatizovaná teoria dosahuje maximálnu vˇseobecnost’. Uˇz nie ˆ zité, o cˇ om hovor´ıme, ale ako o tom hovor´ıme. Akonáhle v nej samej hovor´ıme správne, t. j. nedostávame sa do je doleˇ sporov, tak hovor´ıme správne o vˇsetkom, prostredn´ıctvom cˇ oho ju moˇzno interpretovat’. • 159 ˇ Eˇste je potrebné nakrátko sa pristavit’ pri jednej námietke tradiˇcne vznásˇ anej proti formalistickému ponatiu mate´ zbavuje matematiku jej zmyslu a men´ı ju len na akusi ´ formálnu matiky. Podl’a nej formalizácia matematickych ´ teorii hru so symbolmi podl’a urˇcitych, presne stanovenych ´ ´ pravidiel. V istom zmysle je to námietka viac neˇz oprávnená. (. . .) ´ Nie je vˇsak niˇc nezmyselnejˇsie ako podsuvat’nieˇ co také Hilbertovi. Podobné námietky, samozrejme, najpresvedˇcivejˇsie ´ ´ vyvracia celé Hilbertovo matematické dielo, no dufame, zˇ e i naˇse uvahy tu dostatoˇcne dokladaju´ tu´ skutoˇcnost’, zˇ e ´ Hilbert svoj program formalizácie matematiky nerozpracoval v umysle zbavit’ matematiku jej zmyslu, ale s ciel’om dokázat’ jej bezospornost’, a tym ´ práve zaruˇcit’ jej zmysluplnost’ nielen vo vzt’ahu k okolitému svetu, ale, a to preˆ dovˇsetkym, vo vzt’ahu k sebe samej. Navyˇse vyprázdnenie povod neho obsahu niektorych ´ ´ matematickych ´ pojmov ich ani v naj menˇsom nezbavuje zmyslu, ale práve naopak, otvára ich moˇznosti zmysluplného naplnenia mnohymi ´ ˆ ˇ d’alˇs´ımi obsahmi, cˇ asto diametrálne odliˇsnymi od povodn´ eho i navzájom medzi sebou. Formalistické ponatie je tak ´ ´ ´ ´ akymsi vyusten´ ım klasického vyvojov´ eho prudu v matematike, usilujuceho o stále väcˇ sˇ iu presnost’ a univerzálnost’. ´ ´ • 161 ˆ zité nespuˇ ´ st’at’zo zretel’a cestu, ktorou by sme v pr´ıpade (. . .) I vtedy, ked’v matematike usudzujeme neformálne, je doleˇ ´ formalizáciu uskutoˇcnit’. Táto, do tych potreby mohli tuto cˇ ias nev´ıdane pr´ısna poˇziadavka na presnost’ matema´ ´ ´ celné, ale pod tlakom nevyhnutnosti ochránit’ tickych uvah bola formalizmom vnesená do matematiky nie samouˇ ´


6

´ cisko, kam by sme matematiku pred hroziacimi spormi. Obrazne povedané, formalizmus by nám mal poskytovat’ utoˇ ´ ´ ktorého, sa mohli uchylit’, nemal by sa vˇsak stat’naˇs´ım dobrovol’nym ´ ked’sa ocitneme v uzkych, ´ väzen´ım, medzi mury ´ iba zriedka prenikne závan cˇ erstvého vzduchu. cˇ o aké bezpeˇcie nám poskytuju, • 161 ˆ ze byt’ zdrojom novych (. . .) I samotná vol’ba vhodnej matematickej symboliky moˇ ´ pohl’adov do matematického sveta ˆ zu stat’ neprekonatel’nou hrádzou aj novych ´ objavov. Naopak, t’aˇzkopádna symbolika a neˇsikovné oznaˇcenie sa moˇ d’alˇsieho rozvoja tej-ktorej matematickej oblasti. To napokon nie je niˇc nové, staˇc´ı si len napr´ıklad uvedomit’, do ˆ Viètovmu oznaˇceniu, alebo inakej miery vd’aˇcia aritmetika a algebra za svoj rozvoj arabskym ´ cˇ isliciam a neskor finitezimálny poˇcet symbolike zavedenej Leibnizom. • 163 ˆ (. . .) Vˇsimnime si asponˇ jedno nedorozumenie, ku ktorému dochádza v dosledku pr´ıliˇs bezstarostnej formulácie ¨ ´ ´ [Godelovej vety o neuplnosti]. Tvrdenie kaˇzdá bezosporná teoria má model“ sa zvykne povaˇzovat’ za potvrdenie ” ˇ správnosti Hilbertovho ponatia existencie v matematike, cˇ iˇze sa mu rozumie ako tvrdeniu vˇsetko logicky moˇzné ” ´ (skutoˇcne) existuje“. Jednako takyto moˇzno hájit’ len z krajne platonskeho stanoviska, ktoré predpokladá on´ vyklad ´ ´ ¨ ´ tologizáciu mnoˇz´ın sˇ tudovanych mnoˇz´ın cˇ i asponˇ mnoˇziny prirodzenych veta o uplnosti nie ´ teoriou ´ cˇ ´ısel. Godelova ´ am akési skutoˇcné“ modely, t. j. vlastne je tvrden´ım o reálnom svete a ani najmenej nezaruˇcuje bezospornym ´ teori´ ” ´ zaruˇcuje, su´ len jej modelmi v teorii ´ mnoˇz´ın, teda su´ samy len akymisi aplikácie. Modely, ktoré bezospornej teorii ´ ideálnymi objektmi, ktorych ´ existencia je taktieˇz problematická, dokonca i v tom najbenevolentnejˇsom Hilbertovom ˇ ı – je totiˇz viazaná na bezospornost’ teorie ´ ponat´ mnoˇz´ın cˇ i asponˇ nejakého jej fragmentu. • 174 (. . .) Zvlásˇ tny rys matematickej formalizácie (. . .) spoˇc´ıva v jej tendencii neustále prekraˇcovat’ sféry javov, ktoré mala ˆ ˆ ´ zit’. Obrazne povedané, je to akysi povodne postihovat’, a vymykat’ sa povodn ym ´ zámerom, ktorym ´ mala sluˇ ´ dˇzin vypusteny´ z fl’aˇse. Je zauj´ımavé a snád’ i dost’ prekvapivé a neˇcakané, zˇ e táto tendencia sa tak nápadne prejavila práve ˆ pri formalizácii pojmu matematického dokazu, ked’ˇze id’e o sféru podriadenu´ pr´ısnym kánonom logiky, teda zdanlivo ovel’a pr´ıstupnejˇsiu formalizácii neˇz l’ubovol’ná iná sféra samotnej matematiky, o javoch reálneho sveta ani nehovoriac. • 181 Poznamenajme eˇste, zˇ e (. . .) mechanická generovatel’nost’ vˇsetkych ´ dokázatel’nych ´ tvrden´ı má ovel’a menˇs´ı prakticky´ vyznam, neˇz by sa niekomu mohlo zdat’ na prvy´ pohl’ad. I keby sme vytvorili pr´ısluˇsny´ program, na základe ktorého ´ by nám nejaky´ hypoteticky´ poˇc´ıtaˇc v dostatoˇcne dlhom cˇ ase vyp´ısal l’ubovol’né z dokázatel’nych tvrden´ı, a naozaj ´ ˇ spustili cely´ vypoˇ by sme sa zaˇcali topit’v h´rbe dokázanych ´ cet, naˇse poznanie by to pr´ıliˇs neobohatilo. Coskoro ´ tvrden´ı, medzi ktorymi by bolo niekol’ko uˇz dávno dobre známych, niekol’ko zauj´ımavych no drvivá väcˇ sˇ ina takych, ´ ´ novych, ´ ´ ˆ cˇ o by nám vobec niˇc nehovorili. ´ matematického poznania nespoˇc´ıva v trieden´ı náhodnych, hoci overenych ale práve v maPrvoradá uloha ´ ´ vysledkov, ´ ˆ ˆ tematizácii roznych sfér javov, stanovovan´ı hypotéz o nich a dokazoch cˇ i vyvráteniach takychto l’ud’mi vopred posta´ ´ hypotézu preverovali na naˇsom poˇc´ıtaˇci podl’a spom´ınaného programu, zostávalo venych ´ hypotéz. Keby sme takuto by nám len cˇ akat’ so zaloˇzenymi rukami, kedy nám vypadne zo stroja, no odpovede by sme sa aj tak nemuseli doˇzit’. ´ Len celkom vynimoˇ cne by nám pri niektorych, väcˇ sˇ inou vel’mi jednoduchych ´ ´ ´ a bez pomoci techniky rozhodnutel’nych ´ hypotézach vypadla v rozumnom cˇ ase odpoved’ v podobe dokázaného tvrdenia alebo jeho negácie. • 189 (. . .) Moˇznost’ neefekt´ıvne dokázat’ i to, cˇ o vlastne efekt´ıvne dokázat’ nemoˇzno, treba povaˇzovat’ za jeden z najvyznam´ ´ ´ je rysom, ktory´ najvyraznejˇ nejˇs´ıch metodologickych mnoˇz´ın. Práve pouˇz´ıvanie takychto metod sie ´ pr´ınosov teorie ´ ´ odliˇsuje matematiku dvadsiateho storoˇcia od celej matematiky dovtedajˇsej. • 190 ¨ Vo svetle Godelov ych, Tarského a Churchovych ´ ´ objavov sa matematické poznanie jav´ı ako otvoreny´ proces tvorivého ´ charakteru, ktory´ nemoˇzno nijako zav´rsˇ it’, ked’ˇze v kaˇzdom dielˇcom okamihu sa vyznaˇcuje neuplnost’ou. Navyˇse toto ˆ ze k pravde len bl´ızˇ it’, no nikdy poznávanie nemoˇzno vopred poistit’ pred omylmi a spormi. Toto poznávanie sa moˇ ˆ ze celkom vyˇcerpat’, lebo pravda je svojou povahou obsaˇzná, a nie formálna. Koneˇcne, tvorivu´ matemaju nemoˇ ´ ticku´ cˇ innost’ nemoˇzno zredukovat’ na nijaké mechanicky vykonávané ukony, ktoré by bolo moˇzné prenechat’ cˇ o ako ˆ dokonalému stroju. Teda kol’kokol’vek umu a dovtipu by sme na to vynaloˇzili, stále sa nám nepodar´ı zbavit’ sa nevyˆ hnutnosti pouˇz´ıvat’ svoj um a dovtip. • 193 ¨ ´ ˆ ´ Preˇco (. . .) Godelove vety o neuplnosti a ich dozvuky – veta Tarského a Churcha – zaposobili tak ohromujuco? Znamenali totiˇz, po páde mechanistického názoru vo fyzike a filozofii, definit´ıvny pád poslednej baˇsty veˇcnych, nemennych ´ ´


7

ˆ za aku´ matematici svoju vedu povaˇzovali (a poniektor´ı pˇstrosi medzi nimi dodnes a neotrasitel’nych ´ právd a istot, ´ Tym povaˇzuju). e postavenie, vierou v ktoré sa zˇ ivila, no i nádej niekedy ho ´ stratila matematika nielen svoje vysadn´ ´ ˆ ´ ´ v povodnej podobe opät’oˇzivit’a z´ıskat’, a bola naveky odsuden´ a k udelu ostatnych ´ vied smrtel’n´ıkov: zdiel’at’s l’udskym ´ ´ poznan´ım jeho nedokonalost’a nedokonanost’, nemoˇznost’stanovit’ cˇ okol’vek s koneˇcnou platnost’ou, k udelu musiet’sa navracat’ vˇzdy poznovu a prehodnocovat’ svoje staré“ pravdy, ktoré by tak rada povaˇzovala za veˇcné. I matematické ” poznanie sa totiˇz deje bez predbeˇznej záruky jeho bezospornosti. Nad matematikou tak, napriek vcelku uspokojivému ´ rozrieˇseniu paradoxov teorie mnoˇz´ın, naveky zavisol Damoklov meˇc objavenia sporov. • 194 ¨ [Godelove a d’alˇsie objavy] predovˇsetkym ´ mali matematikov vyprovokovat’ k rozpracovaniu hlbˇs´ıch pohl’adov na predmet matematického poznania a základy svojej vedy, k cˇ omu vˇsak doˇslo len sˇcasti a v miere nie celkom dostatoˇcnej. ˇ Dalej ich mali viest’ k väcˇ sˇ ej starostlivosti a zodpovednosti za bezospornost’ a pr´ıpustnost’ základnych ´ implicitnych ´ a predaxiomatickych predpokladov, z ktorych vychádzaju´ pri svojich abstrakciách. Namiesto toho vˇsak v mate´ ´ matike zavládla dovtedy nev´ıdaná bezstarostnost’ a l’ahkomysel’nost’. Moˇzno povedat’, zˇ e bremeno zodpovednosti ¨ ˇ z pliec d’alˇsej za bezospornost’ celej matematiky, ktorého t’archu eˇste Hilbert plne pocit’oval, Godel akoby naraz snal generácie. Ved’ ak bezospornost’ matematiky nemoˇzno dokázat’, tak sa vlastne nedá niˇc robit’. Otázka bezospornosti ˆ bola v dosledku toho nahradená otázkou relat´ıvnej bezospornosti, dokonca ani nie voˇci aritmetike, ale rovno voˇci ´ niektorému dost’ silnému axiomatickému systému teorie mnoˇz´ın (napr. ZF). ´ No z Gödelovej vety o uplnosti ´ potom vyplyva, zˇ e dovolené je vˇsetko myslitel’né (a ak je ZF sporná, tak absolutne ´ ´ ˆ ze mnoˇzinovej matematike zaruˇcit’ jej zmysel, ak je beˇznou praxou, zˇ e vˇsetko). Lenˇze ani bezospornost’ teorie ZF nemoˇ ´ ˆ a o ostatné kaˇzdy´ si predp´ısˇ e axiomy, aké mu na um z´ıdu, nájde si nejaké ich mnoˇzinové modely, sˇ tuduje si ich do vole ´ a ich modely rovnako oprávnené. sa nestará. Z cˇ isto formálneho hl’adiska su´ totiˇz vˇsetky takéto systémy axiom ˆ To vedie k zhubnému bujneniu neprehl’adnych vetiev najroznejˇ s´ıch matematickych discipl´ın, z ktorych väcˇ sˇ ina je ´ ´ ´ ˆ zu mat’ pocit, zˇ e uprostred zrozumitel’ná uˇz len h´rstke sˇ pecialistov sediacich na jednom konári. Mnoh´ı z nich s´ıce moˇ Cantorovho raja vystupuju´ cˇ oraz vyˇssˇ ie po konároch stromu poznania a zˇ ivia sa jeho sladkym ´ ovoc´ım, no pri pohl’ade ´ casná matematika cˇ oraz väcˇ sˇ mi pripom´ına babylonsku´ veˇzu a dneˇsn´ı matematici jej stavitel’ov, z ktorych zvonku suˇ ´ jeden uˇz nerozumie reˇci druhého. ´ Je trpkou ironiou, zˇ e táto strata spoloˇcnej reˇci, ktorá je najmarkantnejˇs´ım prejavom uˇz spom´ınanej kr´ızy mnoˇzinovej ´ matematiky, ide cˇ iastoˇcne na vrub teorie mnoˇz´ın, ktorá práve mala byt’ tym ´ univerzálnym jazykom vˇsetkej matematiky, ktory´ mal zaruˇcit’ jej jednotu. • 195 ´ Strata spoloˇcnej reˇci, a cˇ asto i zmyslu, nielen vo vede ako celku, ale aj v pomerne uzkych vednych ´ odvetviach a podod´ ´ vetviach je, zdá sa, nevyhnutnym a rozvetvujucej sa sˇ pecializácie, ktorá je vˇsak ´ sprievodnym ´ javom stále postupujucej ´ zi len pokroku poznania, o raste blalen cˇ iastoˇcne vyvolaná potrebami rozvoja pr´ısluˇsnych ´ vednych ´ discipl´ın a nesluˇ hobytu ani nehovoriac. V nemalej miere je tieˇz vyvolaná tvrdou konkurenciou, bojom o poz´ıcie a profesionálne i eko´ gigantickej armády vedeckych nomické preˇzitie, ako aj o rozhodovac´ı vplyv a zdroje financovania vyskumu vo vnutri ´ ´ pracovn´ıkov. Potreba objekt´ıvnych“ kritéri´ı hodnotenia vedeckej práce prinásˇ a obrovsky´ publikaˇcny´ a citaˇcny´ tlak, ” a tak armáda vedcov chrl´ı hory vedeckych ´ prác, v ktorych ´ je v mnoˇzstve humbugu a balastu cˇ oraz t’aˇzsˇ ie nájst’ zrnká naozajstného poznania. Asi to inak nejde – aj pri ryˇzovan´ı zlata vznikaju´ haldy hluˇsiny. A ak chceme podporovat’ ´ vedu, mus´ıme podporovat’ aj zlu“, ´ lebo neexistuje nijaky´ efekt´ıvny sposob, ˆ dobru“ ako ich oddelit’. Pritom pod ” ” ´ ktorá prinásˇ a bezprostredny´ zisk a hmotny´ uˇ ´ zitok. dobrou“ vedou nerozumieme len taku, ” • 199 ´ (. . .) Stároˇcná skusenost’ uˇc´ı, zˇ e najefekt´ıvnejˇs´ım kritériom zmysluplnosti a pravdy vo vede vˇseobecne a v matematike ´ zvlásˇ t’je zárovenˇ jedno z najsubjekt´ıvnejˇs´ıch – kritérium estetické. Pod toto kritérium spadá vnutorn´ a krása a symetria ´ nejakej teorie i krása sˇ irˇsieho celku, ktory´ sa dotvára aˇz jej rozpracovan´ım a zaraden´ım na to pravé, dosial’ prázdne ´ miesto v majestátnej budove matematiky a prepojen´ım dovtedy zdanlivo nesuvisiacich cˇ ast´ı.

Stano Krajˇci, 1.–17. 7. 2009

typeset by LATEX

Ani matematika si nemôˇze byt istá sama sebou

Recommend Documents