ANALÝZA RADAROVÝCH SIGNÁLŮ S VNITROPULSNÍ MODULACÍ V MATLABU

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV RADIOELEKTRONIKY FACULTY OF ELECTRICAL COMMUNICATION

ENGINEERING

AND

DEPARTMENT OF RADIO ELECTRONICS

ANALÝZA RADAROVÝCH SIGNÁLŮ S VNITROPULSNÍ MODULACÍ V MATLABU

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR’S PROJECT

AUTOR PRÁCE

Veronika Trnčíková

AUTHOR

VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR BRNO,2012

Doc. Ing. Jiří Šebesta, PhD

Prohlášení Prohlašuji, že svoji bakalářskou práci s vnitropulsní modulací v Matlabu jsem vedoucího semestrálního projektu a s informačních zdrojů, které jsou všechny literatury na konci práce.

na téma Analýza radarových signálů vypracovala samostatně pod vedením použitím odborné literatury a dalších citovány v práci a uvedeny v seznamu

Jako autor uvedené bakalářské dále prohlašuji, že v souvislosti s vytvořením tohoto projektu jsem neporušil autorská práva třetích osob, zejména jsem nezasáhl nedovoleným způsobem do cizích autorských práv osobnostních a jsem si plně vědom následků porušení ustanovení § 11 a následujících autorského zákona č. 121/2000 Sb., včetně možných trestněprávních důsledků vyplývajících z ustanovení § 152 trestního zákona č. 140/1961 Sb.

V Brně dne 13. srpna 2012

............................................ podpis autora

Poděkování Děkuji vedoucímu bakalářské práce Doc. Ing. Jiřímu Šebestovi, PhD za účinnou metodickou, pedagogickou a odbornou pomoc a další cenné rady při zpracování mého semestrálního projektu.

V Brně dne 13. srpna 2012

............................................ podpis autora

ii

iii

ABSTRAKT Tato práce se zabývá vlivem vnitropulsní modulace na funkci neurčitosti. Funkce neurčitosti nám udává rozlišovací schopnost systému v dálce a Dopplerově kmitočtu. Práce se skládá z obecného popisu základů radiolokace, jednotlivých modulací a vlastního řešení v programu MATLAB s využitím řídkých matic. V textu jsou obsaženy grafy funkcí neurčitosti pro jednotlivé modulace, vytvořené v MATLABu.

KLÍČOVÁ SLOVA Dopplerův kmitočet, funkce neurčitosti, vnitropulsní modulace, řídká matice, MATLAB.

ABSTRACT This thesis is dedicated to pulse modulation influence to the ambiguity function. The ambiguity function indicates the resolution of the system in range and Doppler frequency. The thesis contains the general introduction of radiolocation basis, individual modulations and the solution in MATLAB environment utilizing spare matrix principles. Graphs of ambiguity function for individual modulations created in MATLAB environment are included in the text.

KEYWORDS Doppler frequency, ambiguity function, pulse modulation, spare matrix, MATLAB.

iv

TRNČÍKOVÁ, V. Analýza radarových signálů s vnitropulsní modulací v MATLABu. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií. Ústav radioelektroniky, 2012. 62 s., 1 CD příloh. Bakalářská práce. Vedoucí práce: doc. ing. Jiří Šebesta, PhD.

v

Obsah 1.

Úvod ............................................................................................................................................... 1

2.

Základy radiolokace ........................................................................................................................ 2 2.1.

2.1.1.

Určení dálky .................................................................................................................... 3

2.1.2.

Azimut a polohový úhel .................................................................................................. 4

2.1.3.

Měření rychlosti .............................................................................................................. 4

2.2.

4.

Přesnost .......................................................................................................................... 6

2.2.2.

Rozlišení.......................................................................................................................... 7

Přizpůsobené filtry.................................................................................................................. 9

2.3.1.

Úzkopásmový signál ....................................................................................................... 9

2.3.2.

Přizpůsobený filtr.......................................................................................................... 10

2.3.3.

Odezva signálu v závislosti na Dopplerově posunutém signálu .................................... 11

Funkce neurčitosti ........................................................................................................................ 12 3.1.

Neurčitost ............................................................................................................................. 12

3.2.

Funkce neurčitosti ................................................................................................................ 15

Frekvenční modulace pulsu .......................................................................................................... 17 4.1.

Costasovo frekvenční kódování ............................................................................................ 18

4.1.1.

Definice Costasova signálu a funkce neurčitosti ........................................................... 19

4.1.2.

Čísla obsažená v Costasově oblasti ............................................................................... 21

4.2. 5.

Přesnost a rozlišení ................................................................................................................. 6

2.2.1.

2.3.

3.

Určování polohy a parametrů cíle .......................................................................................... 3

Nelineární frekvenční modulace (NLFM) .............................................................................. 22

Fázové kódování impulsu ............................................................................................................. 25 5.1.

Barkerův kód ........................................................................................................................ 27

5.1.1.

Kód minimálních vrcholů postranních laloků ................................................................ 28

5.1.2.

Vložené kódy ................................................................................................................ 29

5.1.3.

Polyfázové Barkerovy kódy ........................................................................................... 30

5.2.

Chirplinovy fázové kódy ........................................................................................................ 31

5.2.1.

Frankův kód .................................................................................................................. 31

5.2.2.

Kódy P1, P2 a Px............................................................................................................ 34

5.2.3.

Zadoff –Chu kód............................................................................................................ 36

5.2.4.

P3, P4 a Golombův polyfázový kód ............................................................................... 37

5.2.5.

Fázové kódy založené na nelineárním FM pulsu ........................................................... 37

5.3.

Asymptoticky perfektní kódy ................................................................................................ 39

vi

6.

5.4.

Golombův kód s ideální periodickou korelací ....................................................................... 39

5.5.

Ipatovův kód ......................................................................................................................... 40

Využití Matlabu při vykreslení funkce neurčitosti ........................................................................ 42 6.1.

Řídké matice ......................................................................................................................... 42

6.1.1. Definice řídké matice ......................................................................................................... 42 6.1.2.

7.

Použití řídkých matic v MATLABu ................................................................................. 42

6.2.

Výpočet funkce neurčitosti v MATLABu................................................................................ 43

6.3.

Vlastní realizace v MATLABu................................................................................................. 44

6.3.1.

ambfn7.m ..................................................................................................................... 44

6.3.2.

calplotsig7.m ................................................................................................................ 45

6.3.3.

cal_and_plot_amb_fm7.m............................................................................................ 45

6.3.4.

cal_and_plot_pamb7.m ................................................................................................ 46

6.3.5.

cal_and_plot_acf_and_spec7.m ................................................................................... 46

6.3.6.

Vykreslení funkce neurčitosti s pomocí GUI ................................................................. 46

Závěr............................................................................................................................................. 48

Použitá literatura .................................................................................................................................. 49 Seznam obrázků ................................................................................................................................... 50 Seznam tabulek .................................................................................................................................... 52 Seznam symbolů veličin a zkratek ........................................................................................................ 53 SEZNAM PŘÍLOH ................................................................................................................................... 54

vii

1. Úvod V průběhu druhé světové a studené války docházelo k prudkému rozvoji radiolokačních systémů. Tyto systémy zaručovaly výhodu při vzdušných a námořních operacích a to především indikací cíle a přibližného zjištění jeho polohy. Během následujících let se tyto systémy vyvíjely do dnešní podoby, kdy jsou schopné určit přesnou polohu cíle. Dříve byly používány hlavně ve vojenství, v dnešní době jsou však hojně používány i v civilním sektoru (řízení letového provozu, meteoradary). V mojí práci se budu zabývat vlivem vnitropulsní modulace na funkci neurčitosti. Ve druhé kapitole jsou rozebrány základní pojmy používané v radiolokaci. Třetí kapitola se věnuje funkci neurčitosti. Čtvrtá a pátá kapitola se věnuje jednotlivým modulacím. V poslední kapitole je pak uvedeno řešení funkce neurčitosti a její vykreslení pomocí programu MATLAB.

2. Základy radiolokace Slovo RADAR je zkratka anglického spojení Radio Detection And Rangig. V češtině se též používá slovo radiolokátor (dále jen radar). Jeho úkolem je detekce a lokalizace cílů. K tomuto využívá elektromagnetické vlny a jejich odrazu od cíle. Tímto lze stanovit jeho polohu a rychlost, případně další identifikační charakteristiky. Radary dělíme podle několika hlavních kritérií. Prvním kritériem je vyzařování. Podle tohoto kritéria dělíme radary na aktivní, pasivní a poloaktivní. Druhým kritériem je princip funkce. Tyto radary jsou buď primární nebo sekundární. Posledním je způsob použití. To znamená, že radary dělíme na pozemní a na palubách lodí nebo letadel.

Obr.2.1. Pozemní radar (přehledový radar RL-4AS)

Obr.2.2. Radar na palubě letadla (AWACS)

2

2.1.

Určování polohy a parametrů cíle

Na obr.2.3. je zobrazeno určení polohy cíle. Ta je popsána dálkou R, která určuje přímou vzdálenost mezi radarem a cílem, azimutem ΘAZ, což je úhel ležící v horizontální rovině mezi referenčním směrem a směrem osy anténního svazku a polohovým úhlem ΘEL, který je dán horizontální rovinou a osou anténního svazku. Horizontální rovina pozemního radaru je rovina, která prochází středem vyzařování antény a je kolmá na zemský rádius v témže bodě. U radaru na palubě letadla nebo lodi je tato rovina dána jejich příčnou a podélnou osou.

Obr.2.3. Sférické souřadnice

2.1.1. Určení dálky Dálka je přímá vzdálenost cíle od radaru. Čas je učen jako rozdíl τ mezi vysílaným signálem a příjmem signálu odraženého od cíle. Pokud lze cíl aproximovat malým bodem a prostředím je volné prostranství, používá se pro výpočet dálky vztah [2], [3], [4]:

R

1 C P  , 2

(2.1.)

kde CP j rychlost šíření a ½ se používá z toho důvodu, že radarový signál překonává vzdálenost radar – cíl dvakrát . Rychlost šíření se mění s výškou. Z tohoto důvodu se signál šíří po “ohnuté“ dráze. Tento jev však díky jeho nepatrnosti nemá vliv na vlnu, a proto ho ignorujeme.

3

Obr.2.4. Koncepce určování dálky radarem (převzato z [3])

2.1.2. Azimut a polohový úhel Azimut a polohový úhel jsou popsány jako úhel mezi směrem na cíl a určitým referenčním směrem. Měří se v době, kdy je anténa přímo namířená na cíl a je zároveň detekován signál.

Obr.2.5. Koncepce určování úhlů radarem (převzato z [3])

2.1.3. Měření rychlosti Radiální rychlost je dána Dopplerovým posuvem mezi vysílaným signálem a příjmem odraženého signálu. Dopplerův posuv je vlastně rozdíl mezi frekvencí přijímaného a vysílaného signálu a je dán vztahem [1], [2], [3]: 4

f D  fr  f0

,

(2.2.)

kde fD je Dopplerův posuv, fr je frekvence přijímaného signálu a f0 je frekvence vysílaného signálu. Může se stát, že radiální rychlost je vůči radiolokátoru mnohem menší než rychlost šíření vlny. V tomto případě pro výpočet Dopplerova kmitočtu platí vztah [1], [2], [3]:

fD  

2 f 0v 2v  c 

,

(2.3)

kde fD je Dopplerův posun, f0 frekvence vysílaného signálu, v je rychlost šíření, c je rychlost světla a λ je vlnová délka.

Obr.2.6. Složky rychlosti (převzato z [3])

Obr.2.7. Dopplerův posuv jako výsledek radiálního pohybu (převzato z [3])

Jak je patrno z obrázku, na vzniku Dopplerova kmitočtu se podílí pouze radiální rychlost. Dopplerův posuv je používán pro rozlišení pohyblivých cílů od clusteru (pozadí), dále k rozlišení jednotlivých cílů a k určení jejich rychlosti. Z obr.2.8. je zřejmé, že u stacionárního radaru je oblast, kdy je Dopplerův posuv nulový. V této oblasti je totiž vektor rychlosti cíle tangenciální vzhledem k anténě. Při nulovém nebo malém Dopplerově posuvu nelze oddělit cíl od clusteru. 5

Obr.2.8. Okolnosti vzniku Dopplerova posunu (převzato z [3])

2.2.

Přesnost a rozlišení

2.2.1. Přesnost Přesnost je vlastně rozdíl změřené hodnoty a skutečné hodnoty měřené veličiny. Je ovlivněna chybami, a to ať chybou systematickou, která je zapříčiněna metodou měření, špatným nastavením, nebo šumem. Pokud je poměr signál/šum k rušení (dále jen SNIR – Signal to Noise plus Interference Ratio) vysoký, můžeme měřit frekvenci pomocí čítače. Tento čítač čítá počet cyklů v daném časovém rozpětí nebo měří časový interval mezi několika nulovými přechody. Čítač pracuje s chybou při aditivním šumu nebo při rušení jinými sinusovými signály například nízký poměr signál/šum (dále jen SNR - Signál to Noise Ratio). Čím je SNIR nižší, tím větší je chyba měření. Pokud je SNIR podprahové, pak čítač selže úplně. Pokud máme nízký SNR, potom přijímaný signál musíme přivést na mnoho úzkopásmových filtrů. Každý filtr pracuje na jiné frekvenci. Volíme takový filtr, který pracuje na nejvyšším výstupním výkonu nebo přesahuje určitou mez. V některých aplikacích je výstupní výkon radaru ovlivňován šumem, zatímco v jiných rušením. Odraz od cíle je vždy doprovázen odrazem od okolí, clusterem, sousedních nebo vzdálených cílů. U vzdálených cílů nebo cílů s nižší odraznou plochou (dále jen RCS – radar cross section) je tepelný šum významný. Z tohoto důvodu se měření provádí souborem filtrů s Dopplerovým posunem. Používaný filtr je přizpůsobený a měří zpoždění. Filtr shromažďuje veškerou energii signálu na vrchol výstupní charakteristiky před dalším zpožděním. Přesnost měření je přímo úměrně závislá na tvaru charakteristiky filtru a nepřímo na SNR. 6

2.2.2. Rozlišení Rozlišovací schopnost radaru je schopnost rozlišit jednotlivé cíle či jejich vlastnosti. Rozlišení je přímo úměrné šířce hlavního spektra funkce neurčitosti a nepřímo úměrné SNIR. Rozlišení je uskutečňováno ve čtyřech dimenzích. Jsou jimi dálka, azimut, výška a radiální rychlost.

Obr.2.9. Zobrazení rozlišovací schopnosti na přehledovém indikátoru (převzato z [4])

Přehledový indikátor nám udává dálku a azimut. Radar je v obr.2.9. umístěn uprostřed indikátoru. Rozlišení v dálce je schopnost rozlišit cíle na stejném azimutu, ale při jiné dálce a je funkcí šířky pásma signálu radaru. U impulsního radaru je závislá na době trvání pulsu. Rozlišovací schopnost v dálce lze vyjádřit vztahem [3]: ,

(2.4.)

kde c je rychlost šíření signálu a ti je doba trvání impulsu.

7

Obr.2.10. Rozlišovací schopnost a zpracovaná doba trvání impulsu (převzato z [3])

Rozlišení v úhlu je nazýváno též stranovou odchylkou. Podle charakteru odchylky se jedná buď o odchylku v azimutu, nebo elevaci. Tato rozlišovací schopnost nám dává možnost rozlišit jednotlivé cíle ve stejné dálce.

Obr.2.11. Rozlišovací schopnost ve stranové odchylce (převzato z [3])

Rozlišení v Dopplerově kmitočtu je schopnost rozlišení cílů, které mají různou radiální rychlost při stejné dálce, elevaci a azimutu.

8

Obr.2.12. Obecná představa rozlišovací schopnosti v Dopplerově kmitočtu (převzato z [3])

2.3.

Přizpůsobené filtry

Přizpůsobený filtr je obsažen v přijímači a slouží k co největšímu odfiltrování rušení a propouští co největší signál. Na výstupu filtru je maximální SNR v případě, že jím projde signál, pro který je filtr určen. V radarových aplikacích je SNR nejdůležitějším parametrem. Z toho vyplývá, že přizpůsobené filtry jsou široce používány. Za nejpraktičtější radarový signál považujeme úzkopásmový signál. Pro tento signál je jednoduché vytvořit přizpůsobený filtr, a to díky použití komplexní obálky signálu.

2.3.1. Úzkopásmový signál Většina radarových signálů je úzkopásmových. Fourierova transformace je limitována úhlovou frekvencí. Šířka pásma signálu je 2W a její střed je nastavený na úhlové frekvenci ±ωC. Úzkopásmový signál je definován pomocí vzorce [1]: ,

(2.5.)

kde g(t) je obálka signálu, s(t) a Φ(t) jsou okamžité fáze signálu. V kanonickém tvaru má předešlá rovnice následující tvar [1]: ,

(2.6.)

kde gC(t) a gS(t) je základním pásmem signálu ohraničeném W. Vnitřní fáze I a fázový rozdíl Q úzkopásmového signálu mohou být detekovány pomocí I/Q detektoru.

9

Obr.2.13. I/Q detektor (převzato z [1])

Nejlepší volba úhlové frekvence ωC je taková, kdy je zabezpečeno [1]: ,

(2.7.)

kde u(t) je komplexní obálka signálu a ŝ(t) je Hilbertova transformace signálu s(t). Vzorec pro výpočet Hilbertovy transformace je [1]: ,

kde

(2.8.)

je konvoluce. Úhlová frekvence ωC ovlivňuje šířku pásma.

2.3.2. Přizpůsobený filtr V radarech používáme odrazu známého signálu od cíle k jeho detekci. Pravděpodobnost detekce závisí spíše na SNR než na tvaru signálu. Přizpůsobený filtr je lineární a jeho impulsová odezva je určena specifickým signálem tak, že je dosaženo maximálního SNR na jeho výstupu po průchodu signálu i šumu. Pro zjednodušení stačí implementovat přizpůsobený filtr do obálky signálu. Z tohoto důvodu musíme být schopni sestavit filtr i pro komplexní signály.

10

Obr.2.14. Definice přizpůsobeného filtru [1]

Hledáme impulsní odezvu h(t) nebo frekvenční odezvu H(ω), které nám určí maximální SNR. Vyjádření pomocí Fourierovy transformace [1]: .

(2.9.)

Pokud je vstupní signál tvořen signálem, pro který je filtr přizpůsobený, a bílým šumem (AWGN - Additive White Gaussian Noise), je maximální odezva na výstupu závislá na energii signálu. Potom je i SNR maximální. Pro jiné možnosti je odezva popsána autokorelační funkcí.

2.3.3. Odezva signálu v závislosti na Dopplerově posunutém signálu Signál odražený od pohybujícího se cíle je ovlivněn Dopplerovým posunem. Nejlepší je posuzovat tento posuv jako změnu nosné frekvence. Pokud Dopplerův posuv neznáme, nemůžeme naladit přijímač na správnou frekvenci a dochází k neshodě. Funkce neurčitosti popisuje výstup přizpůsobeného filtru, když vstupní signál je zpožděn o τ a Dopplerově posunut oproti nominálním hodnotám. K zobrazení funkce neurčitosti se používají grafické ploty, u nichž závisí na poměru mezi hlavním a bočními laloky.

Obr.2.15. Zisk antény (převzato z [3])

11

3. Funkce neurčitosti Funkce neurčitosti je vlastně autokorelační funkce v dálce, která je vyjádřena časem a v kmitočtu. Určuje nám rozlišovací schopnost systému v dálce a v Dopplerově kmitočtu. Může být vyjádřena pomocí následujících vzorců v časové rovině (3.1.) a kmitočtové rovině (3.2.) [1]: ,

( 3.1.)

.

3.1.

( 3.2.)

Neurčitost

Pojem neurčitost vychází z Heisenbergerova principu neurčitosti, který nám říká, že máme-li dvě veličiny, tak čím přesněji určíme jednu, tím nepřesněji určíme druhou veličinu Při zjišťování funkce neurčitosti měříme současně čas i kmitočet. To je důvod, proč je výsledek zatížen chybami, tzv. neurčitostmi. Pro snížení chyb v časové oblasti bychom museli použít co nejužší signál. To by však znamenalo zvětšení šířky kmitočtového pásma, což by vedlo k zvětšení chyby v kmitočtu. A naopak. Kdybychom zmenšili šířku kmitočtového pásma, dojde k rozšíření signálu v kmitočtové oblasti. Proto hledáme pro nás vhodný kompromis mezi kmitočtovým a časovým pásmem. Pro větší pohodlnost určení rozlišovací schopnosti dálky a Dopplerově kmitočtu se většinou používá diagram neurčitosti. Je to řez hlavním lalokem na polovině jeho energie rovinou rovnoběžnou s rovinou τ, fd. Diagram neurčitosti tedy vypovídá o souvislosti kmitočtu a času. Také nám ukazuje, že součin neurčitosti kmitočtu a času se blíží k jedné. Plocha neurčitosti pro jeden radioimpuls má tvar elipsy. Rozměr této elipsy je dán v časové oblasti velikostí šířky pulsu a v kmitočtové oblasti je velikost určena její převrácenou hodnotou (Obr. 3.1.). Každý cíl má svůj diagram neurčitosti, jak lze vyčíst z obrázku (Obr. 3.3.). Je třeba, aby jednotlivé elipsy byly v takové vzdálenosti, aby se nepřekrývaly. Pokud totiž dojde k jejich překrytí, nelze od sebe rozlišit jednotlivé cíle.

12

Obr.3.1. Plocha neurčitosti pro jeden radioimpuls (převzato z [3])

Obr.3.2. Konturové zobrazení jednoho impulsu

13

Obr.3.3. Plocha neurčitosti pro dva cíle (převzato z [3])

Jen výjimečně pracují radiolokační systémy pouze s jediným odraženým radioipulsem. Protože při vysílání pouze jednoho radioimpulsu odraženého od cíle není energie dostatečná k určení jednotlivých parametrů, skládá se signál většinou z celé řady těchto odražených pulsů, toto je zřejmé na obr.3.4. Plocha neurčitosti této skupiny je znázorněna na obr.3.5.

Obr.3.4. Funkce neurčitosti skupiny radioimpulsů (převzato z [3])

14

Obr.3.5. Plocha neurčitosti skupiny radioimpulsů (převzato z [3])

U skupiny radioimpulsů je rozlišovací schopnost v dálce dána šířkou jednoho impulsu. Rozlišovací schopnost v Dopplerově kmitočtu se nám však při skupině impulsů zlepšuje, protože kmitočet je funkcí délky skupiny.

3.2.

Funkce neurčitosti

Jak již bylo řečeno v úvodu, funkce neurčitosti je dvojrozměrnou autokorelační funkcí . Jak je zřejmé z obrázku 3.7., funkce neurčitosti je tvořena hlavním a postranními laloky. Absolutní hodnota této funkce má absolutní maximum v čase 0 a v dálce rovné 0. Funkce neurčitosti nám tedy udává rozlišovací schopnost systému v čase a v kmitočtu. Rozlišovací schopnost v čase je dána šířkou hlavního laloku v časové oblasti a rozlišovací schopnost v kmitočtu je zase dána šířkou hlavního laloku v kmitočtové oblasti. Periodicita funkce neurčitosti nám omezuje jednoznačnost určení zpoždění a Dopplerova kmitočtu. Vertikální řezy procházející špičkou autokorelační funkce mají tvar trojúhelníku o délce základny, která je rovna dvojnásobku šířky pulsu. Šířka autokorelační funkce má úroveň poloviny velikosti napětí.

15

Obr.3.6. Řez funkci neurčitosti

Dynamika systému je dána poměrem amplitud hlavního a postranního laloku. Na funkci neurčitosti má vliv šířka hlavního laloku. Například při impulsní kompresi se nám funkce neurčitosti otočí vůči osám. Velikost tohoto natočení je úměrná kmitočtovému zdvihu. Z toho vyplývá, že parametry funkce neurčitosti lze vylepšit vnitropulsními modulacemi. Jednotlivými typy modulace se zabývají následující kapitoly

Obr.3.7. Funkce neurčitosti

16

4. Frekvenční modulace pulsu Vnitropulsní kmitočtová modulace (LFM) má vliv na změnu šířky hlavního laloku. Jak již bylo řečeno dříve, funkce neurčitosti se natáčí vzhledem k osám v závislosti na kmitočtovém zdvihu.

Obr.4.1. Funkce neurčitosti impulsu s LFM

Obr.4.2. Plocha neurčitosti pro impuls s LFM

17

U řezů funkce neurčitosti v časové i kmitočtové oblasti je zřejmý rozptyl do bočních laloků. Proto většina modulovaných signálů musí byt zpracována pomocí metody okénka před nebo po modulaci.

4.1.

Costasovo frekvenční kódování

Costasovo frekvenční kódování je prakticky lineárního řádu užitém LFM. Jejich rozdíl je ukázán maticí na obr.4.3.

Obr.4.3. Matice signálu modulovaného LFM a Costasovým frekvenčním kódováním (převzato z [1])

Jak je zřejmé z obr.4.3., sloupce nám znázorňují M časových úseků a řádky M různých frekvencí. V každé této modulaci je jedna tečka obsažena v každém sloupci a řádku. Z tohoto vyplývá, že pro jeden časový úsek je zvolen jeden kmitočet, který je použit pouze jednou. Aktivní pořadí, tzn. rozmístění teček v matici, silně ovlivňuje funkci neurčitosti signálu. Funkce neurčitosti může být přibližně předpovězena jednotlivým překrýváním kopií lineární matice přes sebe a posouváním dle požadovaného zpoždění či kmitočtu. Pokud po posutí o dané zpoždění či Dopplerův kmitočet dojde k překrytí N bodů, pak lze předpokládat, že funkce neurčitosti bude mít vrchol přibližně N/M na odpovídající souřadnici. Specialitou Costasovy modulace je, že kromě nulového posuvu se nemůže překrývat více než jedna tečka. Toto nám zaručuje úzkou funkci neurčitosti v počátku a malé boční laloky. Pokud je kmitočtový zdvih Δf=1/tb, přesná hodnota funkce neurčitosti v soustavě teček bude rovna buď jedné nebo nule, podle odpovídajícího počtu překrytých teček.

18

Obr.4.4. příklad překrytí matic pro posuv τ/t = 1, υ/Δf = 1 (převzato z [1])

4.1.1. Definice Costasova signálu a funkce neurčitosti Zjištění, zda je signál Costasův lze pomocí rozdílové matice. Částí rozdílové matice je řádek i a sloupec j [1]. , (4.1.) kde i je i-tý prvek kódovací sekvence a i+j je menší než M. Tato rovnice nám udává tvoření řádků matice. Z toho vyplývá, že první prvek je dán rozdílem mezi daným prvkem a kódovací sekvencí, druhý řádek rozdílem mezi dalším prvek atd.

Obr.4.5. Rozdílová matice. Kódovací sekvence je 4, 7, 1, 6, 5, 2, 3 (převzato z [1])

19

Obr.4.6. Funkce neurčitosti pro sekvenci 4, 7, 1, 6, 5, 2, 3

Například pro první řádek matice z obr.4.5. lze první člen vypočítat jako rozdíl a2-a1=7-4=3. Z tohoto vyplývá, že v kladném normalizovaném zpoždění 1 je shoda, pokud dopplerův posuv je roven 3. Pak tedy přičteme 1 k hodnotě nashromážděné v umístění matice bočních laloků [zpoždění=+1, Dopplerův posuv = +3]. Pro Costasův signál by nashromážděná hodnota neměla být větší než 1. Z tohoto vyplývá, že pokud prvky v řádku rozdílové matice jsou různé, signál je Costasův. Frekvenční rozestup je rovný převrácené hodnotě časového trvání každé frekvence, což je zřejmé z následujícího vztahu [1]: . (4.2.)

20

4.1.2. Čísla obsažená v Costasově oblasti Costasova matice je velikosti MxM. Předpokládejme, že M = p -1, kde základní velikostí p je 2. Pokud j = 0,1,2,…p-2 a i = 1,2,…p-1 pak i = αj, kde α je základní element.

Obr.4.7 Costasova oblast (převzato z [1])

21

Obr.4.8. Funkce neurčitosti pro šířku M = 18 (vypracováno Welchem)

4.2.

Nelineární frekvenční modulace (NLFM)

Pulzní komprese dosažená pomocí nevyvážené LFM má velké autokorelační boční laloky. Ty se snažíme redukovat pomocí tvarování výkonového spektra. První metodou je změna pulzní amplitudy podél časové osy. Protože okamžitá frekvence LFM je lineárně závislá na čase, je odpovídající měnit amplitudu podél kmitočtové osy. Výsledné výkonové spektrum se potom blíží požadovanému. Tento způsob však v přizpůsobeném přijímači – vysílači způsobuje různé amplitudy. Tento problém můžeme obejít provedením amplitudového vážení pouze na přijímači. Avšak způsobená neshoda nám zapříčiní ztrátu SNR. V LFM vysílač setrvává na každé frekvenci určitý časový úsek, proto máme skoro stejné spektrum. Další metodou je odchýlení se od konstantního poměru frekvenční změny a strávit více času na jednotlivých frekvencích. Tento způsob se též nazývá nelineární frekvenční modulace (NLFM). Komplexní obálka NLFM je vyjádřena pomocí vztahu [1]: . 22

( 4.3.)

Princip statické fáze nám říká, že energetická spektrální hodnota na frekvenci je relativně velká, pokud poměr změny frekvence na čase je relativně malý. Spektrální hodnota, závislá na převrácené hodnotě poměru frekvenční změny, je také závislá na amplitudě signálu v čase. V NLFM se snažíme udržet signál konstantní a pouze tavrovat spektrum pomocí poměru frekvenční změny.

Obr.4.9. Transformace signálu do NLFM (převzato z [1])

Obr.4.10. Část funkce neurčitosti (převzato z [1])

Hlavním rozdílem mezi navrženým a skutečným spektrem je zvlnění ve středním kmitočtu. To lze spatřit na obrázku 3.10.. Toto zvlnění nelze odstranit dokud obálka zůstává konstantní. 23

NLFM má vysoké zpoždění bočních laloků ve vyšších Dopplerových frekvencích. To je velká nevýhoda této modulace.

24

5. Fázové kódování impulsu Fázové kódování je jednou z raných metod komprese. Dejme tomu, že máme impuls o dálce trvání T, který je rozdělen na M bitů o stejné délce trvání. Každý bit je různě fázově posunut. Komplexní obálka impulsu je dána následujícím vzorcem [1]: ,

(5.1)

kde um = exp (jΦm) a M je množina fází (Φ1, Φ2, …Φm), což je fázový kód, spojený s u(t). Jednotlivé kódy volíme podle daných kritérií. Mezi tato kritéria patří požadované rozlišení a frekvenční spektrum. Návrh kódu však může být komplikován, pokud použijeme různé fázové kódy pro vysílaný a referenční puls. Rozlišení lze zlepšit za cenu suboptimálního poměru signál/šum. Jednoduší je najít kód s dobrou korelací než s funkcí neurčitosti. Korelace fázově kódovaného signálu je vlastně posunutá funkce o zpoždění τ. V tabulce jsou uvedeny korelační funkce pro celočíselnou proměnnou doby trváni bitu. Z tabulky je zřejmé, že stačí počítat s celočíselnými proměnnými.

Obr 5.1. Interpolace v komplexní rovině (převzato z [1])

Z obr.5.1. je zřejmé, že interpolace v komplexní rovině vytváří konkávní sekci korelační funkce veličiny. To je zjednodušeno na hledání hodnoty vrcholu a součtu diskrétní korelační funkce pomocí minimalizace hodnoty vrcholu nebo integrálu korelační funkce.

25

10

8

Autokorelace

6 4 2 0 -2 -4 -6 -10

-5

0 τ/tb

5

10

-10

-5

0

5

10

10

Křížová korelace

8 6 4 2 0 -2 -4 τ/tb

Obr.5.2. Křížová korelace a autokorelace signálu (převzato z [1])

Obr.5.2. ukazuje celou křížovou korelační funkci signálů u(t) a v(t). Diskrétní hodnoty jsou spojeny pomocí přímek. Na tomto obrázku je přerušovanou čarou autokorelační funkce bez fázového kódování. Je zřejmé, že u(t) je symetrická, když křížová korelace je nesymetrická. Křížová korelační funkce má několik základních vlastností. U této funkce platí reverzní transformace (křížová korelace otočené řady je rovna obrácené křížové korelaci řady původní), konjugovaná transformace, konstantní multiplikační transformace a progresivně multiplikační transformace.

26

5.1.

Barkerův kód

Jedná se o jeden z nejznámějších kódů. Je tvořen souborem binárních fází o počtu M, které jsou větší než poměr špička/špička. Toto pravidlo je základním kritériem tohoto kódu.

Obr 5.3. Barkerův kód pro M = 13

Obr 5.4. Barkerův kód pro M = 13

27

V tomto kódu je obecně uvažováno, že neexistuje žádný binární kód pro hodnotu M > 13. V tab.5.1. je uveden přehled Barkerových kódů.

CODE LENGTH 2 3 4 5 7 11 13

CODE 11 or 10 110 1110 or 1101 11101 1110010 11100010010 1111100110101

Tab.5.1. Přehled Barkerových kódů (převzato z [1])

Ve všech fázově kódovaných signálech způsobuje přepínání fáze rozšiřování spektra postranních laloků. Tento efekt tedy zešikmí šířku pásma.

5.1.1. Kód minimálních vrcholů postranních laloků Binární kódy, které ač mají minimální boční laloky, nesplňují kritéria Barkerova kódu, jsou nazývány minimální vrcholy (MPS – Minimum Peak Sidelobe) kódu postranních laloků. V tab.5.2. je uveden jeden MPS kód až do délky M = 69. M

PSL

Sample Code

6 8 9 10 12 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

110100 10010111 011010111 0101100111 100101110111 01010010000011 001100000101011 0110100001110111 00111011101001011 011001000011110101 1011011101110001111 01010001100000011011 101101011101110000011 0011100110110101011111 01110001111110101001001 011001001010111111100011 1001001010100000011100111 10001110000000101011011001 010010110111011101110000111 1000111100010001000100101101 10110010010101000000011100111 100011000101010010010000001111 0101010010010011000110000001111 00000001111001011010101011001100 011001100101010100101100001111111 1100110011111111100001101001010101 00000000111100101101010101100110011 001100110001010010100000100000111110 0010101110100001001110110111110011110 00000000111100001101001010101001100110 001001100110101000010111110111100111100

28

M

PSL

Sample Code

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0010001000100011110111000011101001011010 00011100011101010010100100000001101100100 000100010001000111101110000111010010110100 0000000010110110010101011001100111000011100 00001111111011001110110010110010101011010111 000101010111100001100110001101101101111110110 0000111100000011001111011110110110010101010110 00001101001101001111110100001010001100110001000 000101010110101101100001111001100100111111110011 0000100101010101111101100011110011110010001101111 00001001011000011000111010101111000010011001101111 000111000111111100010001100100010010101001001001011 0000100101000101101011100000111100110010010001101111 00001001100101010101001111111100011010010110001101111 000010011001101010001010000001010010110011110001101111 0000100110000100110101010100001111000110010010001101111 00001001100110111010101011001011010001111011110001101111 000010010011010001010100011101101011000100011110001101111 0000100011110011100101010001011100100111101101011001101111 00001001001110100111000000100101000101000011101110001101111 000010101011100011011111000011001001011100110010010100101111 0000001011011010001001100010011000111100111101010001101010000 00000000101101011001100110001101001100101100000111010001010000 000010011001111010110100010010001110001011001010111110001101111 0100000010010000101000101110100111100110001100100011011111000010 00000001011011100000010110000110110011011110011100101010001010000 000000011010011011010001010100011100111001111100010010101101000010 0100000010100000110110010011010101100011110100100001001110011000010 00000000100111100100100111100011011001100010101010001110101001010000 000100110111111011011000010011010100000111010000100011000111000010101

Tab.5.2. MPS kódy do délky M = 69

Z tabulky je zřejmé, že pro různou velikost M se kód dělí do různých řádů. Pokud je M ≤ 28 pak k´d patří do druhého řádu, pro 28 < M ≤ 48 a M = 51 do třetího řádu a kódy délky M = 50 a 52 ≤ M ≤ 69 do řádu čtvrtého. Z tabulky lze vyčíst úrovně bočních laloků. Z tab.5.2. vyplývá, že pro všechny tyto kódy je limitem maximální hodnota M, pro které existuje binární úroveň řady. Největší předností Barkerových a MPS kódů je jejich relativně nízká komplexnost. Což znamená, že žádné multiplikátory nejsou požadované přijímačem. Nevýhodou těchto kódů se jeví, že kódy jsou známé jen pro omezené množství M a jejich hledání je velmi těžké.

5.1.2. Vložené kódy Chceme –li generovat řadu s nízkým vrcholem bočního laloku pro velké hodnoty M, je třeba vložit kód s kratší délkou. Dejme tomu, že máme dva kódy. Pro nalezení prvků vložené řady jsou dvě metody u  v nebo v  u , kde  je produkt Kroneckera. Pokud jsme zvolili metodu v  u , pak v je vnější kód a u vnitřní. Příklad (převzato z [1]) : Vložením kódu do 39 prvkového s použitím tří-prvkového Barkerova kódu u = [1 1 -1] a 13 prvkového kódu v = [1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1]. Pak nalezené kódy jsou: {1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1

1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 } 29

{ 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1

1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 }

Obrázek 5.5. nám zobrazuje vložený kód metodou v  u . Výsledných 39 prvků autokorelační funkce má pak dva vysoké laloky úrovně 13 a ostatní boční laloky úrovně 3.

Obr 5.5. Autokorelační funkce s laloky úrovně 13 a bočními laloky úrovně 3 (převazato z [1])

5.1.3. Polyfázové Barkerovy kódy Předpokládáme, že každá nebinární fázová hodnota vede k nižším bočním lalokům. Avšak nejzašší lalok je vždy roven jedné. Polyfázová sekvence s minimálním poměrem vrchol ku bočnímu laloku se nazývá Generalizovaná Barkerova řada nebo též polyfázový Barkerův kód. Systematické metody tvorby však nebyly doposud nalezeny.

M 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

PSL 0,50 0,77 1,00 0,53 0,66 0,11 0,83 0,89 0,91 0,72 0,97 0,80 0,93

Velikost fáze 104,52 313,47 73,04 225,31 90,62 60,00 180,00 0,00 240,00 106,48 93,06 316,72 60,61 270,86 72,33 28,48 294,09 151,07 250,77 62,87 53,57 42,22 270,79 215,59 41,51 161,92 335,47 56,97 127,04 137,24 12,74 6,67 224,63 19,27 233,50 34,17 259,06 266,63 327,97 158,47 13,78 22,74 221,64 94,65 144,89 163,15 171,04 344,57 241,31 185,77 282,58 147,97 209,41 79,19 115,84 114,84 248,44 213,38 123,12 154,90 140,20 12,75 149,65 303,48 121,65 66,96 133,73 202,45 100,74 37,89 236,27 167,69 86,72 169,45 34,20 143,95 14,33 17,81 5,51 5,37 142,33 211,98 297,96 123,75 91,46 1,09 205,83 314,02 156,28 23,66 26,46 38,51 97,32 49,41 305,85 286,47 197,00 65,76 241,32 137,61 319,19 47,96 178,58 303,06 Tab.5.3. Některé polyfázové Barkerovy kódy (převzato z [1])

30

Obr.5.6. Autokorelační funkce polyfázového Barkerova kódu pro M = 15

5.2.

Chirplinovy fázové kódy

Polyfázové Barkerovy kódy při derivaci optimalizují jen korelační funkce bočního laloku . Avšak jakmile cíl vrátí signál, je tento signál Dopplerovsky posunut a očekávané boční laloky jsou vyšší, než ty co byly předpokládané s nulovým posunem . Fázově modulovaný puls má obdobné vlastnosti funkce neurčitosti jako frekvenčně kódovaný signál (viz. kapitola 4).

5.2.1. Frankův kód Tento kód platí pouze pro kódy s čtvercovou délkou M = L2. Je derivován z fázové historie lineárně frekvenčně krokovaného pulsu. Nejprve byly prvky kódu vyjádřeny použitím Fourierovy transformační matice dané explicitně,

31

prvků L*L diskrétní

Dejme tomu, že máme signál o velikosti M = 16. Pak nám vznikne matice o velikosti 4*4

.

Kód j upraven koncentrováním řádků a násobením 2π/L, což v našem případě je π/2. Pak kód je:

.

Aperiodická autokorelační funkce tohoto kódu je znázorněna na obr.5.7. Korelační funkce je nulová, pokud je posunutí rovno násobkům L (nL), pro ortogonální matici. Autokorelační funkce má shodu veličin pro posunutí nL  1.

Obr 5.7. Autokorelační funkce Frankova kódu o 16 prvcích

32

Obr 5.8. Funkce neurčitosti Frankova kódu o 16 prvcích (převzato z [1])

Tento kód má dvě důležité vlastnosti. Pokud je kód dokonalý, aperiodická autokorelace má nízké boční laloky. Další důležitou vlastností je jeho spojitost s frekvenčně krokovaným kódem. Fáze segmentů se liší od segmentu k segmentu, což nám naznačuje frekvenční krokování. Pokud je frekvence prvního segmentu nulová, pak frekvence L–té sekvence je 1 / Ltb  l / T .

33

Obr.5.9. Konturové zobrazení 16-ti prvkového kódu

Diagonální “svah“, který přes počátek postupuje do prvního kvadrantu grafu dosahu – Doppleru. Druhotně oslabený “svah“ je duplikovaný 1/T v Doppleru. Použitím jiné verze Frankova Kódu je zřetelně vidět rozdíl spádu diagonálního “svahu“.

5.2.2. Kódy P1, P2 a Px P1, P2 a Px jsou modifikacemi Frankova kódu. Tyto modifikace však mají frekvenční člen uprostřed pulsu místo na počátku, jak je tomu u originálního Frankova kódu. Px kód nám ukazuje stejný aperiodický vrchol postranního laloku, avšak má nižší úroveň integrovaného bočního laloku. Prvky tohoto kódu jsou matematiky dané

34

jako prvky Frankova, a to S(n-1)L+K= exp (jΦn,k), pro 1 ≤ n ≤ L a 1 ≤ k ≤ L. Avšak v tomto případě jsou Φn,k dané. Px matici pro 16 prvků (převzato z [1]):

.

Tato matice je upravena řetězením řádků Px matice a násobením 2π/L, což v našem případě je π/2. Toto nám způsobí 16 bitový kód

Autokorelační funkce a fázová historie Px kódu je zobrazena na obr.5.10. a obr.5.11.

Obr.5.10. Autokorelační funkce 16-ti prvkového Px kódu (převzato z [1])

35

Obr.5.11. Fázová historie 16-ti prvkového Px kódu (převzato z [1])

Obr.5.12. Fázová historie 16-ti prvkového Frankova kódu (převzato z [1])

Boční laloky 16-ti prvkové korelační funkce mají, na rozdíl od 16-ti prvkového Frankova kódu konkávní tvar. Vrcholy obou kódů jsou však stejně velké. Kódy P1 a P2 jsou dle Lenise a Kretschmera. Tyto kódy jsou stejně jako předchozí použitelné pouze pro čtvercovou délku kódu. P2 kód je definován stejně jako Px, platí však pouze pro sudé L. Tento kód je palindromický v tom, že má konjugovanou symetrii přes všechny frekvence a sudě symetricky ke středu kódu. Kód P1 je definován jako S(n-1)L+K= exp (jΦn,k), pro 1 ≤ n ≤ L a 1 ≤ k ≤ L a zároveň platí [1]:

.

(5.3.)

5.2.3. Zadoff –Chu kód Tento kód je použitelný pro jakoukoliv délku danou Sm = exp (jΦm), kde Zadoff [1]: .

(5.4.)

Zadoffův kód má pro různou délku různé varianty. Ty se mění pomocí r nebo q a přidáním konstantního fázového posunu do všech elementů. Důležitou permutaci Zadoffova kódu prezentoval Chu [1]:

. 36

(5.5.)

Fázová konstanta 2π ukazuje hodnoty blízké palindromické fázi. Model auotokorelačního bočního laloku je obr 5.13. Pokud použijeme různé r, vyšší autokorelační laloky se posouvají po ose zpoždění. Jejich pozice může být předpovězena zkoumáním funkce neurčitosti.

Obr .5.13. Autokorelační funkce 16-ti prvkového Zadoof-Chuova kódování (převzato z [1])

5.2.4. P3, P4 a Golombův polyfázový kód Jde o posunuté a upravené funkce Zadoff – Chuova kódu. Jako kódy P1 a P2 jsou i kódy P3 a P4 představeny dvojicí Lewis a Kretschmer. Tyto kódy jsou definovány pro všechny délky M [1]: ,

(5.6.)

,

(5.7.)

.

(5.8.)

Golombův kód je dokonalý pro všechny délky M. Pokud je Dopplerův posuv cíle neznámý, můžeme použít vysoce tolerantní frekvenční modulaci vlnového průběhu. To je umožněno pro jednoduchý přijímač se zanedbatelnou degradací výkonu. Kód P4 se liší od P3 stejně jako P1 od originálního Frankova kódu.

5.2.5. Fázové kódy založené na nelineárním FM pulsu Fázové kódy mohou být odvozeny vzorkováním fázové historie nelineárního frekvenčně modulovaného pulsu. Zvolení historie fázového pulsu nám určuje vlastnosti výsledného kódu. 37

Příkladem takovéhoto kódu je P(n,k) kód. Tento kód je založen na krokové aproximaci funkce nelineární FM [1]:

,

(5.9.)

kde k a n jsou volné parametry a B je šířka pásma expandovaného pulsu. Abychom mohli generovat fázový kód, musíme nejprve konstruovat postupný puls pro požadovanou funkci energetické hustoty. Fázová historie postupné vlny je navzorkována a to vede k požadovanému kódu. Generování tohoto kódu nám ukazuje obr.5.14.

Obr.5.14. Generování P (n,k) kódu (převzato z [1])

Horní část nám ukazuje typickou váhovou funkci a odpovídající funkci okamžité frekvence. Spodní část ukazuje generování P(n,k) kódu krokovou aproximací fázové funkce. Pro náhodné hodnoty n a k jsou odpovídající prvky počítány pomocí numerických metod. P(n,k) délky N může být aproximován pro minimální vrchol bočního laloku hodnotou volného parametru n a k.

38

Obr 5.15. Autokorelační funkce P(n,k) (převzato z [1])

Vrchol bočního laloku P(2, 0,05) je o 10dB lepší než P4. Cenou je však ztráta rozsahu rozlišení. Kód P(n,k) je ovlivněn limity rozsahu pásma méně než P4, jelikož přírůstky fáze mezi prvky jsou menší.

Obr. 5.16. Funkce neurčitosti pro 16-ti prvkové P(n,k) kódovaní (převzato z [1])

5.3.

Asymptoticky perfektní kódy

Vlastností asymptoticky perfektních kódů je to, že poměr špička/špička se blíží k nule se zvyšující se délkou M. Frankův kód a Zadoff – Chuův kód jsou polyfázové, kdežto asymptoticky perfektní kódy jsou binární. Všechny m řady jsou limitované na délku M = 2n-1 Vrchol bočního laloku aperiodické autokorelace kódu m-řady je obvykle suboptimální. Pro různé cyklické posuny dostaneme různé boční laloky. Proto je třeba zkontrolovat M různých cyklických posunů.

5.4.

Golombův kód s ideální periodickou korelací

Jedná se o metodu pro generování dokonalých kódů se dvěma hodnotami. Tyto hodnoty jsou generovány pro všechny hodnoty mimo hodnot fáze M-4(l-λ) 39

Pro případ, že |β| = 1, vloží fázový posun 180° mezi dva druhy prvků. Pokud je β = exp(jΦ) pak platí [1]: ,

(5.10.)

.

(5.11.)

Alternativní metoda používá obou fází a amplitudového kódování. Z toho vyplývá, že vlastně použijeme původní binární sekvenci ve vysílacím konci.

5.5.

Ipatovův kód

U Golombových kódů je nevýhodou ztráta výkonu. Má –li kód ideální periodickou korelační funkci, pak DFT prvků musí být konstantní. Pokud dochází k neshodě mezi vysílacím a přijímacím koncem, pak tyto dva kódy musí mít DFT takovou, že násobky těchto dvou transformací jsou konstantní. V tab 5.5. jsou obsaženy kódy pro větší délky. Pokud není možné najít nulovou křížovou korelaci, lze najít alespoň binární kód s celou nenulovou DFT. Periodická autokorelační funkce optimálního kódu má nepravidelný tvar. Výsledkem toho je zvětšená velikost ALPHABET (fázové a amplitudové hodnoty) referenčního kódu použitého na přijímacím konci. K jejímu snížení se používá binární řady pouze se dvou nebo tří prvkovými periodickými autokorelačními funkcemi. M 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Sekvence 100 1000 10000 100000 1000000 11010000 100100000 1110100000 11100100000 110010100000 1100101000000 11001010000000 101001110100000 1100110101000000 11001101011000000 101011000011000000 1100010111100100000 10010001011100010000 111010001001000010000

40

Ztráta [dB] 1,76 0,00 0,46 1,19 1,88 1,25 2,21 2,24 1,11 0,51 0,17 0,85 0,62 1,00 0,85 1,09 0,46 0,46 0,45

M 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Sekvence 1100010010101110100000 10001101001000111000000 110000100101011101100000 1011110010010100011000000 10000101111001000101100000 100111101001010001001100000 1011001001110001101010000000 10011110000110101001000100000 100101001111100010001001100000 Tab.5.4. Ipatovův kód pro větší délky (převzato z [1])

41

Ztráta [dB] 0,86 0,46 0,25 0,49 0,51 0,40 0,53 0,50 0,51

6. Využití Matlabu při vykreslení funkce neurčitosti Pro vykreslení funkce neurčitosti lze použít program MATLAB s uživatelským rozhraním GUI (graphic user interface), který zjednodušuje změny parametrů a umožňuje rychlé a opakované použití daného programu.

6.1.

Řídké matice

6.1.1. Definice řídké matice V některé literatuře se uvádí, aby matice byla řídká, musí být počet nenulových prvků menší než 5%. V další literatuře je však uvedeno 10%. Obecně tedy platí, že řídká matice je matice, s velkým počtem nulových prvků. Výraz řídká matice není matematickým pojmem. Obecně se uvádí, že řídkost matice je dána jejím zpracováním v algoritmech. Tudíž matice je řídká, pokud nám počet jejích nenulových prvků zefektivní práci při použití v algoritmech.

6.1.2. Použití řídkých matic v MATLABu Matice obecně má m řádků a n sloupců. Program MATLAB ukládá matice do paměti po sloupcích společně s jejich řádkovými vektory. Při ukládání řídkých matic do paměti jsou ukládány pouze jejich nenulové prvky. Pokud chceme, aby námi uložená matice v MATLABu byla řídká, musíme o tom program “informovat“ pomocí speciálních příkazů. 6.1.2.1. Řídký zásobník Pokud neznáme počet nenulových prvků, nelze zapisovat přímo jednotlivé prvky, či řádky do paměti. Matice je totiž uložena jako posloupnost řídkých vektorů. Pro uložení těchto vektorů se v MATLABu používá tzv. řídký zásobník. Tento zásobník je datová struktura, která se skládá z následujících polí: -

plného vektoru, který obsahuje hodnoty všech prvků, plného vektoru, který se skládá z Booleovských hodnot (true/false) a dává nám informaci o obsazenosti dané pozice, seznamu pozic, které budou uloženy (pouze s hodnotou true).

Toto nám umožňuje přístup k prvkům v reálném čase. V tomto zásobníku probíhají téměř všechny operace, funkce a výpočty obsahující řídké matice. Je také 42

jediným místem, kde se může změnit nenulový prvek na nulový a naopak. Výsledek je vždy zapisován do zásobníku. 6.1.2.2. Přehled některých funkcí Nejzákladnějšími funkcemi pro práci s řídkými maticemi v MATLABu jsou příkazy pro jejich vytvoření: -

speye – pro vytvoření jednotkové matice, spdiag – pro vytvoření diagonální matice, sprand, sprandn, sprandsym – pro vytvoření náhodných matic se zadaným procentem nenulových prvků.

Dalšími důležitými příkazy jsou, příkazy pro vlastní prácí s řídkými maticemi: -

issprase – nám určuje zda je matice řídká či plná, nnz – zobrazuje počet nenulových prvků, nzmax – maximální počet nenulových prvků, v závislosti na alokaci paměti, spalloc – alokace paměti, nonzeros – výpis nenulových prvků, spones – nahrazení jedničkami, spfun – aplikace zadané funkce na všechny prvky, spy – zobrazení struktury matice, gplot – vykreslení grafu matice.

6.2.

Výpočet funkce neurčitosti v MATLABu

Pro výpočet funkce neurčitosti je použit vzorec (3.1.). Jelikož se jedná o neurčitý integrál jenž nelze v MATLABu spočítat, počítáme tuto funkci jako násobení dvou řídkých matic. Máme- li vzorky signálu u1, u2, u3 …um, pomocí příkazu spdiags vytvoříme řídkou matici, kde tyto vzorky tvoří hlavní diagonálu. Toto tvoří horní část matice u a spodní část matice je tvořena nulovou maticí o počtu řádků N, což vyjadřuje počet bodů mřížky na každé straně osy zpoždění.

43

Výsledná matice pak má tvar:

Dále pak vzniklou matici u transponujeme. To znamená, že vyměníme řádky za sloupce. Vzniklá matice je označena jako u´. Vlastní výpočet funkce neurčitosti je potom dán jako násobení těchto dvou matic: (6.1.)

6.3.

Vlastní realizace v MATLABu

Pro použití Matlabu s GUI je využito pěti m-souborů (vše převzato z [1]): -

ambfn7.m, calplotsig7.m, cal_and_plot_amb_fm7.m, cal_and_plot_pamb7.m, cal_and_plot_acf_and_spec7.m .

6.3.1. ambfn7.m Tento soubor byl sestaven Nadav Levanonem. Zahrnuje uživatelem definované části, které jsou aktivovány vždy, když uživatel změní jeden z parametrů signálu. Umožňuje uživateli ukládat/ nahrávat signály a kreslit jejich parametry. Uživatelské prostředí je na obr.6.1. Signál je definován pomocí vektoru u. Je zadán vektor amplitudy, fáze a frekvence. Tyto vektory jsou řádkové a musí mít stejnou délku. Můžeme definovat pouze jeden, dva nebo všechny tyto vektory. Ostatní mohou být neaktivní (pomocí zaškrtnutí políčka, které se nachází vedle každého z těchto vektorů). Dále jsou zde uvedeny další parametry:

44

-

r – Signál je popsán vektorem s definovanou délkou M. Často je potřeba zvýšit počet vzorků během jednoho bitu, aby bylo splněno nyquistovo kritérium. Tento parametr ovlivňuje signál. Je definován jako tb/ts. Při použití Costasova signálu o M elementech je šířka pásma přibližně M/tb, kde tb je doba trvání každého elementu. Vzorkovací interval by pak měl být ts
-

F.Mtb – Tento parametr definuje rozsah kreslené dopplerovské osy. Dále také definuje rozsah frekvenční osy ve spektrálním výkresu. -

T – Udává rozsah osy kladného zpoždění. Jedná se o T/Mtb.

-

N – udává počet bodů mřížky na ose kladného zpoždění.

-

K – udává počet bodů mřížky na dopplerově ose.

6.3.2. calplotsig7.m Tento soubor byl sestaven Eli Mezesonem a Nadav Levanonem. Je použit pro výpočet a vykreslení signálu, je-li signál definován u_amp a u_freq. Výstupní hodnoty zahrnují u(t), což je hodnota komplexní obálky signálu v čase t.

6.3.3. cal_and_plot_amb_fm7.m Tento soubor byl sestaven Eli Mezesonem a Nadav Levanonem. Počítá a vykresluje funkci neurčitosti daného signálu. Předpokládá, že pracovní prostor zahrnuje u (komplexní obálka signálu) a řádkový vektor t (časový vektor), kde t je shodně umístěný v bodech, na kterých je definováno u. V tomto souboru je definován vektor zpoždění, na kterém je počítána neurčitost. Vektor zpoždění nemusí být rovnoměrně rozložen, ale jeho hodnoty musí být celočíselnými násobky dt, což je vzorkovací perioda u(t). Dále zaleží i na celkovém počtu vzorků signálu m. Jsou možné dva případy: - T*m ≥ N signál je převzorkován vzhledem k ose zpoždění - T*m < N signál je podvzorkován je nutno snížit N, zvýšit T nebo zvýšit r. V tomto souboru je, jak už bylo řečeno, počítána funkce neurčitosti. Funkce neurčitosti se počítá podle postupu, uvedeném v kapitole 6.2. 45

6.3.4. cal_and_plot_pamb7.m Tento soubor byl sestaven Eli Mezesonem a Nadav Levanonem. Kreslí korelační funkci a spektrum daného signálu u(t), t a F (maximální normalizovaný Doppler délky signálu). V tomto souboru je definován vektor zpoždění. Jak už bylo uvedeno v kapitole 6.3.3., nemusí být tento vektor rovnoměrně rozmístěn a platí u něho i stejné podmínky. Rozdíl mezi touto a předchozí kapitolou je v tom, že zde počítáme cyklickou konvoluci řídké matice, kde každý řádek je cyklickou časově posunutou verzí vektoru u(t).

6.3.5. cal_and_plot_acf_and_spec7.m Tento soubor byl sestaven ELI Eli Mezesonem a Nadav Levanonem. Počítá a kreslí periodickou funkci neurčitosti daného signálu. Vychází z pracovního prostoru, který zahrnuje u (komplexní obálka signálu) a řádkový vektor t (časový vektor), kde t je shodně umístěný v bodech, na kterých je definováno u.

6.3.6. Vykreslení funkce neurčitosti s pomocí GUI

Pokud zvolíme zadaný signál, intervaly jsou vyplněny automaticky. Můžeme signál definovat i externě, a to v příkazovém okně MATLABu. Definici provedeme zadáním tří vektorů: u_amp, u_phase, f_basic (musí to být řádkové vektory stejné délky). Vektor u_amp musí být definován. Zbylé dva (jeden nebo oba) mohou být vynechány, ale je nutné změnit nastavení programu. V GUI je pět parametrů r, F*Mtb, T, N, K. Parametr, který ovlivňuje pouze signál a nejen vykreslování je r. Jestliže je signál daný vektorem s ohraničenou délkou (počet prvků daný M), je často nutné zvýšit počet vzorků během těchto prvků (bitů). A to z důvodu vyhovění Nyquistovu kritériu. V Costasově signálu o délce M je šířka pásma přibližně M/tb. Proto by měl být vzorkovací interval ts < tb(2M). Proto: tb/ts = r > 2M. Ve fázově kódovaném signálu končí hlavní spektrální lalok f = 1/tb. Spektrální boční laloky se zvětšují mnohem více a to s tempem 6dB/okt. Typický spektrální obal protíná hladinu -30dB v f = 10/tb, a 46

proto je zvolení r = 2 minimální hodnotou, doporučeno ale je r > 10. Vždy, když změníme parametr r, je nutné signál přepočítat.

Obr.6.1. Uživatelské prostředí

47

7. Závěr V mojí práci jsem se zaměřila na funkci neurčitosti jednotlivých signálů s vnitropulsní modulací. Vytvořila jsem přehledné shrnutí nejčastěji používaných modulačních kódů a signálů a nastínila jejich vliv na funkci neurčitosti Při modulaci obecně dochází ke snížení potřebné energie a k zúžení hlavního laloku funkce neurčitosti. Při kmitočtové modulaci dochází k natočení funkce neurčitosti vzhledem k osám v závislosti na kmitočtovém zdvihu. Fázové kódování je jednou z raných metod komprese. Ve všech fázově kódovaných signálech způsobuje přepínání fáze rozšiřování spektra postranních laloků. Tento efekt tedy zešikmí šířku pásma. Vlivu jednotlivých kódů na funkci neurčitosti jsou podrobněji věnovány předchozí kapitoly. V závěrečné kapitole jsem popsala program pro výpočet funkce neurčitosti, kde jsem využila dostupných m-souborů. V programu MATLAB s nadstavbou GUI jsem upravila uživatelské rozhraní a doplnila kódy jednotlivých vnitropulsních modulací. Program jsem dále doplnila o konturové zobrazení, které slouží k lepšímu určení rozlišovací schopnosti systému v dálce a v kmitočtu při dané modulaci.

48

Použitá literatura [1] LEVANON, N., MOZESON, E. Radar Signals. 1/E. John Wiley and Sons, Boston, 2004. [2] MAHAFZA, B. R. Radar Signal Analysis and Processing Using Matlab. CRC Press, New York, 2008. [3] DRAŽAN, L., Základy radiolokace – Základní principy radiolokace. RVO VA Brno, 2002 [4] Internetové stránky www.army.cz/images/id_8001_9000/8753/radar/radar.html [5] CÍCHA, T., Bakalářská práce – Řídké matice a jejich použití v numerické matice, Brno, 2009 [6] The MathWorksTM MATLAB R Documentation. Revision 2009a. http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/techdoc/matlab.html [7] GILBERT, J. R., MOLER C., SXHTREIBER, R.: Sparse Matrices in Matlab: Design and Implementation. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, vol. 13, pp. 333-356, 1991. [8] ZAPLATÍLEK, K., DOŇAR, B., MATLAB – tvorba uživatelských rozhraní, BEN ISBN 978-80-7300-133-9, Praha, 2008 [9] ZAPLATÍLEK,K., DOŇAR, B., MATLAB – začínáme se signály, BEN ISBN 807300-200-0, Praha, 2010 [10] ZAPLATÍLEK,K., DOŇAR, B., MATLAB – pro začátečníky, BEN ISBN 97880-7300-175-6, Praha, 2009

49

Seznam obrázků 2.1. Pozemní radar (přehledový radar RL-4AS) …………………………… 2 2.2. Radar n palubě letadla …………………………………………………. 2 2.3. Sférické souřadnice ……………………………………………………. 3 2.4. Koncepce určování dálky radarem …………………………………….. 4 2.5. Koncepce určování úhlů radarem …………………………………….... 4 2.6. Složky rychlosti ………………………………………………………... 5 2.7. Dopplerův posuv jako výsledek radiálního pohybu …………………… 5 2.8. Okolnosti vzniku Dopplerova posunu ………………………………… 6 2.9. Zobrazení rozlišovací schopnosti na přehledovém indikátoru ………... 7 2.10. Rozlišovací schopnost a zpracovaná doba trvání impulsu ……………. 8 2.11. Rozlišovací schopnost ve stranové odchylce …………………………. 8 2.12. Obecná představa rozlišovací schopnosti v Dopplerově kmitočtu …… 9 2.13. I/Q detektor …………………………………………………………… 10 2.14. Definice přizpůsobeného filtru ………………………………………… 11 2.15. Zisk antény …………………………………………………………….. 11 3.1. Plocha neurčitosti pro jeden radioimpuls ………………………………. 13 3.2. Konturové zobrazení jednoho impulsu …………………………………. 13 3.3. Plocha neurčitosti pro dva cíle ………………………………………… 14 3.4. Funkce neurčitosti skupiny radioimpulsů ……………………………… 14 3.5. Plocha neurčitosti skupiny radioimpulsů ………………………………. 15 3.6. Řezy funkcí neurčitosti …………………………………………………. 16 3.7. Funkce neurčitosti ………………………………………………………. 16 4.1. Funkce neurčitosti impulsu s LFM ……………………………………… 17 4.2. Plocha neurčitosti pro impuls s LFM …………………………………… 17 4.3. Matice signálu modulovaného LFM a Costasovým frekvenčním kódováním ………………………………………………………………………………….. 18 4.4. Příklad pro překrytí matic pro posuv τ/t=1, υ/Δf=1 ……………………. 19 4.5. Rozdílová matice. Kódovací sekvence je 4, 7, 1, 6, 5, 2, 3 ……………. 19 4.6. Funkce neurčitosti pro sekvenci 4, 7, 1, 6, 5, 2, 3 ……………………… 20 4.7. Costasova oblast ………………………………………………………... 21 4.8. Funkce neurčitosti pro šířku M = 18 (vypracováno Welchem) ………… 22 4.9. Transformace signálu do NLFM ……………………………………….. 23 4.10. Část funkce neurčitosti ………………………………………………… 23 5.1. Interpolace v komplexní rovině ………………………………………… 25 5.2. Křížová korelace a autokorelace signálu ………………………………... 26 5.3. Barkerův kód pro M = 13 ………………………………………………. 27 5.4. Barkerův kód pro M = 13 ……………………………………………… 27 5.5. Autokorelační funkce s laloky úrovně 13 a bočními laloky úrovně 3 ….. 30 5.6. Autokorelační funkce polyfázového Barkerova kódu pro M = 15 ……… 31 5.7. Autokorelační funkce Frankova kódu o 16 prvcích ……………………... 32 5.8. Autokorelační funkce Frankova kódu o 16 prvcích …………………….. 33 50

5.9. 5.10. 5.11. 5.12. 5.13. 5.14. 5.15. 5.16. 6.1.

Konturové zobrazení 16-ti prvkového Frankova kódu …………………. Autokorelační funkce 16-ti prvkového Px kódu ………………………... Fázová historie 16-ti prvkového Px kódu …………………………….. Fázová historie 16-ti prvkového Frankova kódu ……………………... Autokorelační funkce 16-ti prvkového Zadoff –Chuova kódu ………. Generování P (n, k) kódu ……………………………………………... Autokorelační funkce P (n, k)…………………………………………. Funkce neurčitosti pro 16-ti prvkové P (n, k) kódování ………………. Uživatelské rozhraní ……………………………………………………

51

34 35 36 36 37 38 39 39 47

Seznam tabulek 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

Přehled Barkerových kódů …………………………………………… MSB kódy do délky M = 69 …………………………………………. Některé polyfázové Barkerovy kódy ………………………………… Ipatovův kód pro větší délky …………………………………………

52

28 29 30 41

Seznam symbolů veličin a zkratek R ΘAZ ΘEL τ CP fD fr f0 v λ ΔR c ti ωC g(t) I Q ŝ(t) χ(τ,fd) Δf Φm B

šikmá dálka azimut polohový úhel čas rychlost šíření Dopplerův posuv (kmitočet) frekvence přijímaného signálu frekvence vysílaného signálu rychlost šíření vlnová délka rozlišovací schopnost v dálce rychlost šíření signálu doba trvání impulsu úhlová frekvence středu šířky pásma signálu obálka signálu vnitřní fáze úzkopásmového signálu fázový rozdíl úzkopásmového signálu Hilbertova transformace funkce neurčitosti kmitočtový zdvih fáze signálu šířka pásma

SNR SNIR RCS AWGN LFM NLFM

signal to noise ratio – poměr signál/šum signal to noise plus interference ratio – poměr signál/šum k rušení radar cross section – odrazná plocha additive white Gaussian noise – bílý šum lineární kmitočtová modulace nelineární kmitočtová modulace

53

SEZNAM PŘÍLOH A

Praktické řešení vlivu vnitropulsní modulace na funkci neurčitosti v prostředí MATLAB A.1 A.2 A.3 A.4 A.5 A.6

ambfn7 ………………………………………………… přiložené CD cal_and_plot_acf_and_spec7 ………………………….. přiložené CD cal_and_plot_amb_fn7 ………………………………… přiložené CD cal_and_plot_pamb7 …………………………………… přiložené CD calplotsig7 ……………………………………………… přiložené CD contour ………………………………………………….. přiložené CD

54

55