Základy modelování v MATLABU

Z´ aklady modelov´ an´ı v MATLABU

Josef Tvrd´ık, Viktor Pavliska, Petr Bujok

ˇ ÍSLO OPERACN ˇ ÍHO PROGRAMU: CZ.1.07 C ´ ˇ ÍHO PROGRAMU: NAZEV OPERACN ˇ AV ´ AN ´ Í PRO KONKURENCESCHOPNOST OP VZDEL PRIORITNÍ OSA: 2 ˇ ÍSLO OBLASTI PODPORY: 2.3 C POSÍLENÍ KONKURENCESCHOPNOSTI ´ ´ ˇ ÍCH TECHNOLOGIÍ VYZKUMU A VYVOJE INFORMACN ´ V MORAVSKOSLEZSKEM KRAJI ˇ Í C ˇ ÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/2.3.00/09.0197 REGISTRACN

OSTRAVA 2010

Tento projekt je spolufinancován Evropsk´ ym sociáln´ım fondem a státn´ım rozpoˇctem ˇ e republiky Cesk´

Název: Autor:

Základy modelován´ı v MATLABU Josef Tvrd´ık, Viktor Pavliska, Petr Bujok

Vydán´ı: Poˇcet stran:

prvn´ı, 2010 83

Studijn´ı materiály pro distanˇcn´ı kurz: Základy modelován´ı v MATLABU

Jazyková korektura nebyla provedena, za jazykovou stránku odpov´ıdá autor.

c Josef Tvrd´ık, Viktor Pavliska, Petr Bujok

c Ostravská univerzita v Ostravˇe

OBSAH

i

Obsah ´ 1 Uvod

3

2 V´ ypoˇ cetn´ı prostˇ red´ı Matlab

4

2.1

Co je Matlab? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Aritmetické v´ yrazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.3

Nˇekteré pˇr´ıkazové zkratky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3 Matematick´ e funkce, 2D grafy

12

3.1

Nˇekteré funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2

Nakreslen´ı 2D grafu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3

Editace 2D grafu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Logick´ e v´ yrazy

26

4.1

Reprezentace logick´ ych hodnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2

Relaˇcn´ı operátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3

Logické operátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4

Hledán´ı prvk˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.5

Mnoˇziny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Znakov´ eˇ retˇ ezce

37

5.1

Základn´ı operace s ˇretˇezci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2

Konverze mezi ˇc´ısly a ˇretˇezci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3

Pole ˇretˇezc˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.4

Porovnáván´ı a vyhledáván´ı ˇretˇezc˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6 Programov´ an´ı v Matlabu

44

6.1

ˇ ıdic´ı pˇr´ıkazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 R´

6.2

M-soubory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.3

Doporuˇcen´ı pro vhodn´ y v´ ybˇer pˇr´ıkaz˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

OBSAH

1

7 3D grafika

53

7.1

Jednoduché ˇca´rové grafy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.2

Kreslen´ı sloˇzitˇejˇs´ıch 3D graf˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.3

Editace 3D grafu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.4

Dalˇs´ı typy 3D graf˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8 Pr´ ace se soubory

67

8.1

Ukládán´ı a naˇc´ıtán´ı promˇenn´ ych, práce s workspace . . . . . . . . . . 67

8.2

N´ızko´ urovˇ nov´ y pˇr´ıstup do souboru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.3

Naˇcten´ı dat z Excelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9 Alternativy MATLABU

74

9.1

Octave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9.2

FreeMat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9.3

Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

ˇ sen´ 10 Reˇ eu ´ lohy

78

10.1 Náhodná procházka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 10.2 Objem tˇelesa metodou Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Literatura

83

3

1

´ Uvod

Tento text je urˇcen student˚ um pˇredmˇetu Základy modelován´ı v Matlabu. C´ılem pˇredmˇetu je seznámit se se základn´ımi operacemi tak, aby je student mohl vyuˇz´ıvat pro zpracován´ı dat, kreslen´ı graf˚ u a nauˇcil se programovat algoritmy modeluj´ıc´ı procesy v pˇr´ırodˇe i spoleˇcnosti, viz napˇr [3]. Text je rozdˇelen do kapitol, ve kter´ ych student postupnˇe z´ıská praktické zkuˇsenosti v uˇz´ıván´ı Matlabu. Kaˇzdá kapitola zaˇc´ıná pokyny pro jej´ı studium. Tato ˇca´st je vˇzdy oznaˇcena jako Pr˚ uvodce studiem s ikonou na okraji stránky. Pojmy a d˚ uleˇzité souvislosti k zapamatován´ı jsou vyznaˇceny na okraji stránky textu ikonou. V závˇeru kaˇzdé kapitoly je rekapitulace nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch pojm˚ u. Tato rekapitulace je oznaˇcena textem Shrnut´ı a ikonou na okraji. Odd´ıl Kontroln´ı ot´ azky oznaˇcen´ y ikonou by vám mˇel pomoci zjistit, zda jste prostudovanou kapitolu pochopili a snad vyprovokuje i vaˇse dalˇs´ı otázky, na které budete hledat odpovˇed’. U nˇekter´ ych kapitol je pˇripomenuta Korespondeˇ cn´ı u ´ loha. Pro kombinované a distanˇcn´ı studium jsou korespondenˇcn´ı u ´lohy zadávány v rámci kurzu daného se´ mestru. Uspˇeˇsné vyˇreˇsen´ı korespondenˇcn´ıch u ´loh je souˇca´st´ı podm´ınek pro z´ıskán´ı zápoˇctu v distanˇcn´ım a kombinovaném studiu. Zdrojové texty algoritm˚ u v Matlabu jsou tiˇstˇeny strojopisn´ ym typem, kter´ y vypadá napˇr. takto: y = x + (b-a) .* rand(1,n).

´ ˇ Í PROSTRED ˇ Í MATLAB 2 VYPO CETN

4

2

V´ ypoˇ cetn´ı prostˇ red´ı Matlab

Pr˚ uvodce studiem: C´ılem této kapitoly je seznámit se s Matlabem tak, abyste v nˇem mohli pohodlnˇe pracovat. Poˇc´ıtejte asi se tˇremi aˇz ˇcyˇrmi hodinami studia, zejména praktick´ ymi cviˇcen´ımi u poˇc´ıtaˇce.

2.1

Co je Matlab?

Matlab je v´ ypoˇcetn´ı prostˇred´ı pro maticové operace, technické v´ ypoˇcty a vizualizaci dat. Matlab uˇz po ˇradu let vyv´ıj´ı firma MathWorks a má mnoho uˇzivatel˚ u v bˇeˇzn´ ych operaˇcn´ıch systémech (Windows, Unix) po celém svˇetˇe. Je to jak interaktivn´ı v´ ypoˇcetn´ı systém, kter´ y interpretuje pˇr´ıkazy zadané v pˇr´ıkazovém oknˇe, tak programovac´ı jazyk vysoké u ´rovnˇe, kter´ y umoˇzn ˇuje rychlou a jednoduchou implementaci algoritm˚ u. Základn´ım datov´ ym typem jazyka je pole, coˇz m˚ uˇze b´ yt skalár, vektor, matice nebo dokonce v´ıce neˇz dvojrozmˇerné pole. Prvkem pole m˚ uˇze b´ yt ˇc´ıselná hodnota 308 v pohyblivé ˇrádové ˇca´rce, dvojitá pˇresnost, rozsah od −10 do 10308 (realmax = 1.7977e+308, realmin = 2.2251e-308), pˇr´ıpadnˇe alfanumerick´ y znak nebo ˇretˇezec znak˚ u stejné délky. Logické hodnoty se vyjadˇruj´ı ˇc´ıselnˇe, false jako 0, true jako 1. Matlab kromˇe základn´ıch operac´ı s takov´ ym polem a spousty vestavˇen´ ych dalˇs´ıch funkc´ı nab´ız´ı i programovac´ı pˇr´ıkazy pro vytváˇren´ı podprogram˚ u (funkc´ı) a pˇr´ıkazy pro ˇr´ızen´ı pr˚ ubˇehu v´ ypoˇctu (podm´ınˇen´ y pˇr´ıkaz, switch, cykly) známé z bˇeˇzn´ ych programovac´ıch jazyk˚ u. V´ yhodou Matlabu je i velmi kvalitn´ı dokumentace, která je pˇr´ıstupná on-line prostˇrednictv´ım Helpu a dovoluje jak rychlé vyhledáván´ı témat, zejména funkc´ı Matlabu, tak rychlou a názornou instruktáˇz k základn´ım operac´ım. Pro seznámen´ı s ovládán´ım Matlabu a jeho základn´ımi moˇznostmi je velmi uˇziteˇcné spustit Help a proj´ıt Getting Started.

2.2

Aritmetick´ e v´ yrazy

Pro uˇz´ıván´ı Matlabu je d˚ uleˇzité zvládnout základn´ı operace s vektory a maticemi a také nauˇcit se myslet vektorovˇe“, abychom byli pˇripraveni efektivnˇe vyuˇz´ıt moˇz” nosti, které máme v Matlabu k dispozici. Nejdˇr´ıve si ukáˇzeme pár jednoduch´ ych pˇr´ıklad˚ u. Pˇr´ıkazy se zadávaj´ı na ˇra´dc´ıch pˇr´ıkazového okna (command window), vˇzdy na ˇra´dku ˇ adkov´ za promt >>. R´ y vektor a vytvoˇr´ıme pˇr´ıkazem, ve kterém prvky vektoru od-

2.2 Aritmetické v´ yrazy

5

dˇelené mezerami nebo ˇcárkou zadáme v hranat´ ych závorkách. Po zadán´ı pˇr´ıkazu se v´ ysledek vyhodnocen´ı zadaného v´ yrazu vyp´ıˇse také v pˇr´ıkazovém oknˇe: >> a = [3 2 5] a = 3 2 5 Pokud bychom chtˇeli v´ ypis v´ ysledku na obrazovku potlaˇcit, pˇr´ıkaz ukonˇc´ıme stˇredn´ıkem: >> a = [3 2 5]; T´ım jsme vytvoˇrili v pracovn´ı oblasti (Workspace) objekt s názvem odpov´ıdaj´ıc´ım uˇzitému identifikátoru, t.j. a, kter´ y m˚ uˇzeme dále uˇz´ıvat v dalˇs´ıch pˇr´ıkazech. Matlab v identifikátorech rozliˇsuje malá a velká p´ısmena, takˇze a a A nebo TEMP_1, temp_1 a Temp_1 jsou r˚ uzné objekty. Existuj´ıc´ı objekt m˚ uˇzete uˇz´ıt napˇr. jako vstupn´ı parametr funkce: >> size(a) ans = 1 3 Funkce size vrac´ı rozmˇery matice, prvn´ı u ´daj je poˇcet ˇra´dk˚ u, druh´ y poˇcet sloupc˚ u. Vˇsimnˇeme si, ˇze pokud hodnotu v´ yrazu nepˇriˇrad´ıme do nˇejaké námi pojmenované promˇenné, pˇriˇrad´ı se do promˇenné ans (zkratka pro answer, tj odpovˇed’ nebo v´ ysledek). Hodnota ans z˚ ustává nezmˇenˇena do doby, neˇz ji pˇrep´ıˇseme bud’ dalˇs´ım zadán´ım v´ yrazu bez pˇriˇrazen´ı do námi pojmenované promˇenné nebo námi explicitnˇe zadan´ ym pˇrepisem promˇenné ans, napˇr. ans(2) = 5; Následuj´ıc´ım pˇr´ıkazem >> b = a + 1 b = 4 3 6 jsme pˇriˇcetli zadanou skalárn´ı hodnotu (t.j. 1) ke kaˇzdému prvku vektoru. Matici vytvoˇr´ıme napˇr. pˇr´ıkazem, ve kterém jsou ˇrádkové vektory oddˇeleny stˇredn´ıkem >> B = [a; b; b-5.5] B = 3.0000 2.0000 4.0000 3.0000 -1.5000 -2.5000

5.0000 6.0000 0.5000


6

Funkce length vrac´ı maximáln´ı hodnotu z vektoru spoˇc´ıtaného funkc´ı size: >> length(B) ans = 3 Prvky matice nebo vektoru jsou pˇr´ıstupné pˇres jejich indexy, takˇze napˇr. prvek na druhém ˇra´dku a v prvn´ım sloupci m˚ uˇzeme pˇrepsat: >> B(2, 1) = 0 B = 3.0000 2.0000 0 3.0000 -1.5000 -2.5000

5.0000 6.0000 0.5000

S vektory a maticemi m˚ uˇzeme snadno provádˇet operace známé z lineárn´ı algebry (transpozice, inverze matice, pokud je moˇzná, atd.) Jejich zápis je velmi podobn´ y zápisu obvyklém v lineárn´ı algebˇre: >> a = a’ a = 3 2 5 >> det(B) ans = 54

% determinant

>> C = B^-1 % inverse matice B, stejn´ y v´ ysledek uzit´ ım inv(B) C = 0.3056 -0.2500 -0.0556 -0.1667 0.1667 -0.3333 0.0833 0.0833 0.1667 >> I = B * C I = 1.0000 0.0000 0 1.0000 0.0000 -0.0000

2.3

0 0 1.0000

Nˇ ekter´ e pˇ r´ıkazov´ e zkratky

Pro vytvoˇren´ı vektor˚ u a matic jsou uˇziteˇcné dalˇs´ı r˚ uzné v Matlabu vestavˇené funkce, které zkracuj´ı práci. Pokud tvoˇr´ı prvky vektoru sekvenci, pak ji m˚ uˇzeme zadat zkrá-

2.3 Nˇekteré pˇr´ıkazové zkratky

7

cenˇe zadán´ım doln´ı a horn´ı hranice (pak je implicitnˇe krok roven jedné) nebo poˇzadovan´ y krok explicitnˇe zadat: >> a a = >> b b =

= 1:5 1 2 = 10:-2:1 10 8

3

4

6

4

5 2

Matice a vektory m˚ uˇzeme vytváˇret pomoc´ı funkc´ı: matice (n × p), samé nuly matice (n × p), samé jedniˇcky jednotková matice (n × n) matice (n × p), náhodná ˇc´ısla z rovnomˇerného rozdˇelen´ı na [0, 1) matice (n × p), náhodná ˇc´ısla z normovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı

zeros(n, p) ones(n, p) eye(n) rand(n, p) randn(n, p)

Zadáme-li tˇemto funkc´ım jen jeden parametr, pak vytvoˇrená matice je ˇctvercová, je-li hodnota tohoto jednoho parametru rovna 1, pak vytvoˇr´ıme ˇctvercovou matici rozmˇeru 1 × 1, ˇcili skalár. Pˇr´ıklady: >> zeros(1, 3) ans = 0 >> eye(4) ans = 1 0 0 0 >> rand(3) ans = 0.4447 0.6154 0.7919

0 1 0 0

0

0 0 1 0

0.9218 0.7382 0.1763

>> 10 + 2*randn(3) ans =

0

0 0 0 1

0.4057 0.9355 0.9169


8

7.1181 11.1423 9.2002

11.3800 11.6312 11.4238

12.5805 11.3372 12.3817

Pro práci s vektory a maticemi je d˚ uleˇzité prázdné pole [], které má rozmˇer (0 × 0). Zaˇrazen´ım prázdného prvku (matice) vypouˇst´ıme odpov´ıdaj´ıc´ı prvky pˇr´ısluˇsného pole: a = 1 2 >> a(2) = [] a = 1 3

3

4

4

5

5

ˇ adek nebo sloupec matice m˚ R´ uˇzeme pˇrepsat vektorem >> X = ones(3, 4) X = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 >> X(1, :) = a X = 1 3 4 1 1 1 1 1 1

1 1 1

5 1 1

nebo prázdn´ ym polem, tj. vypustit cel´ y tˇret´ı sloupec. Symbol : v tomto pˇr´ıkladu znamená, ˇze operace se t´ yká vˇsech ˇra´dk˚ u matice X. >> X(:, 3) = [] X = 1 3 1 1 1 1

5 1 1

Pole m˚ uˇzeme zvˇetˇsovat i dynamicky tj. pˇridávat nové prvky v právˇe provádˇeném pˇr´ıkazu. Pokud by v novém poli nebyla nˇejaká hodnota dosud pˇriˇrazena, automaticky se dodaj´ı nuly, jak uvid´ıme v následuj´ıc´ım pˇr´ıkladu: a = 1 >> a(5) = -1 a = 1

2

3

2

3

0

-1


9

Zvláˇstn´ı v´ yznam má promˇenná end obsahuj´ıc´ı aktuáln´ı nejvyˇsˇs´ı hodnotu indexu. Pak napˇr. pˇrepsán´ı posledn´ıho prvku vektoru a hodnotou pˇredposledn´ıho prvku zap´ıˇseme takto: >> a(end) = a(end-1) a = 1 2 3

0

0

Kromˇe dosud zm´ınˇen´ ych aritmetick´ ych operátor˚ u jsou uˇziteˇcné operace na odpov´ıdaj´ıc´ıch prvc´ıch dvou pol´ı stejn´ ych rozmˇer˚ u, tj. operátory zaˇc´ınaj´ıc´ı teˇckou, .*, ./, .^. Napˇr. umocnit kaˇzd´ y prvek vektoru a odpov´ıdaj´ıc´ım prvkem téhoˇz vektoru zap´ıˇseme takto a dostaneme v´ ysledek: >> a.â ans =

1

4

27

1

1

Pˇ r´ıklad 2.1 Matici o rozmˇeru 2 × 5, jej´ımiˇz prvky jsou nezávislé náhodné hodnoty ze spojitého rovnomˇerného rozdˇelen´ı U ∼ (1, 11) vygenerujeme následuj´ıc´ım pˇr´ıkazem >> R = 1 + 10*rand(2, 5) R = 8.0605 3.7692 1.9713 1.3183 1.4617 9.2346

7.9483 4.1710

10.5022 1.3445

Matici náhodn´ ych hodnot z diskrétn´ıho rovnomˇerného rozdˇelen´ı s parametry (1, 10) (náhodná celá ˇc´ısla mezi 1 a 10) z´ıskáme tak, ˇze m´ısta za desetinnou teˇckou odˇr´ızneme pomoc´ı funkce fix: >> F = fix(R) F = 8 3 1 1

1 9

7 4

10 1

Jak uˇz bylo v jednom z pˇredchoz´ıch pˇr´ıkaz˚ u ukázáno, k celému ˇra´dku nebo sloupci matice se dostaneme vyuˇzit´ım symbolu : na pˇr´ısluˇsném m´ıstˇe indexu: >> f2s = F(2, :) % f2s = 1 1 9

druhy radek matice F 4

1


10

>> f2r = F(:, 2) f2r = 3 1

%

druhy sloupec matice F

Pokud v´ ysledek nˇejaké aritmetické operace pˇreteˇce“ rozsah datového typu, je v´ y” sledkem hodnota Inf, napˇr. >> realmax * 1.2 ans = Inf >> -realmax * 1.2 ans = -Inf Pokud v´ ysledek aritmetické operace nelze vyhodnotit (v´ yrazy Inf*0 nebo Inf/Inf ap.), má hodnotu NaN (not a number), napˇr. >> -realmax * 1.2 / (realmax * 1.2) ans = NaN Pro pohodlnˇejˇs´ı zadáván´ı pˇr´ıkaz˚ u z klávesnice m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt svisl´ ych ˇsipek na klávesnici, které nám umoˇzn ˇuj´ı listovat ve dˇr´ıve zadan´ ych ˇrádc´ıch a pak je na aktuáln´ım pˇr´ıkazovém ˇra´dku editovat. Podobnˇe je moˇzné vyuˇz´ıvat i dˇr´ıve zadané pˇr´ıkazy, které jsou zobrazeny na pracovn´ı ploˇse v oknˇe Command History. Pˇri interaktivn´ı práci s Matlabem je nˇekdy uˇziteˇcné si uloˇzit aktuáln´ı stav pracovn´ıho prostoru (workspace), tj. vˇsechny nebo námi vybrané dosud inicializované promˇenné (jejich seznam, typy a rozmˇery se objevuj´ı v oknˇe Workspace), abychom v pˇr´ıˇst´ım sezen´ı mohli pokraˇcovat od souˇcasného stavu. To je moˇzné volbou save Workspace as z menu File. Soubor se pak uloˇz´ı pod zadan´ ym jménem s pˇr´ıponou .MAT. Tento soubor pak otevˇreme z menu File ve volbˇe Open nebo pˇr´ıkazem load.


11

Shrnut´ı: - Datové typy v Matlabu - Inicializace vektor˚ u a matic - Funkce zeros, ones, rand, randn - Prázdné pole [], pˇr´ıstup k cel´ ym sloupc˚ um a ˇrádk˚ um matice

Kontroln´ı ot´ azky: 1. Jak vygenerujete náhodné ˇc´ıslo z rovnomˇerného spojitého rozdˇelen´ı na intervalu [−1, 1] ? 2. Jak vygenerujete náhodné ˇc´ıslo z normáln´ıho rozdˇelen´ı s parametry µ = 100 a σ 2 = 225 ? 3. Je nˇejak´ y rozd´ıl mezi vektory z´ıskan´ ymi následuj´ıc´ımi tˇremi pˇr´ıkazy: a = 1:5, b = 1 + fix(5*rand(1, 5)), c = randperm(5) ?

´ FUNKCE, 2D GRAFY 3 MATEMATICKE

12

3

Matematick´ e funkce, 2D grafy

Pr˚ uvodce studiem: C´ılem této kapitoly je seznámit ˇctenáˇre se základn´ımi matematick´ ymi funkcemi a s 2D grafikou v Matlabu. V prvn´ı ˇcásti kapitoly se nauˇc´ıme, jak na vektory efektivnˇe aplikovat základn´ı matematické funkce. Druhá ˇca´st kapitoly je vˇenována základ˚ um jednoduché vizualizace v Matlabu, vytváˇren´ı 2D graf˚ u. Na prostudován´ı této kapitoly, pochopen´ı a procviˇcen´ı pˇr´ıklad˚ u si vyhrad’te zhruba 4 hodiny.

3.1

Nˇ ekter´ e funkce

V prostˇred´ı Matlab je moˇzné pro snazˇs´ı v´ ypoˇcty s vektory pouˇz´ıt vestavˇené matematick´ e funkce. Matlab nab´ız´ı vˇetˇsinu znám´ ych a bˇeˇznˇe pouˇz´ıvan´ ych matematick´ ych funkc´ı. V téhle kapitole si objasn´ıme zp˚ usob práce s tˇemito funkcemi na ˇreˇsen´ ych pˇr´ıkladech a ukáˇzeme si, kde nalézt celkov´ y v´ yˇcet elementárn´ıch i speciáln´ıch matematick´ ych funkc´ı Matlab. Mezi nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı funkce v Matlabu patˇr´ı min, max, sum, prod, sort a sortrows. Nyn´ı si na jednoduchém pˇr´ıkladˇe ukáˇzeme jak tyto funkce pouˇz´ıt.

Pˇ r´ıklad 3.1 Nejprve vytvoˇr´ıme ˇradu ˇc´ısel 1 – 15, tˇemi napln´ıme matici o rozmˇeru 3 × 5 a tu pak transformujeme na potˇrebn´ y tvar funkc´ı reshape.

>> x = 1:1:15; >> A = reshape(x, 3, 5) A = 1 4 7 10 13 2 5 8 11 14 3 6 9 12 15 % Funkce reshape provede transformaci z vektoru % na matici a naopak, a zmenu rozmeru matic >> B = A’ B = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

3.1 Nˇekteré funkce

13

Pro seˇcten´ı hodnot prvk˚ u v jednotliv´ ych sloupc´ıch matice pouˇzijeme funkci sum. Pro stejnou operaci na ˇra´dc´ıch matice zadáme k této funkci parametr, jak ukazuje následuj´ıc´ı pˇr´ıkazy. >> sum(B) ans = 35 40 45 % Stejny vypocet provede prikaz sum(B, 1) % Provede soucet prvku v jednotlivych sloupcich B >> sum(B, 2) ans = 6 15 24 % Prikaz provedl soucet prvku v jednotlivych radcich A Stejnˇe jako souˇcet urˇcit´ ych prvk˚ u matice lze vypoˇc´ıst i souˇciny hodnot ˇra´dk˚ u (nebo sloupc˚ u) matice pomoc´ı funkce prod. >> prod(A) ans = 6 120 504 1320 2730 % Soucin prvku v jednotlivych sloupcich A Pro vypoˇcten´ı nejmenˇs´ı (nebo nejvˇetˇs´ı) hodnoty vektoru slouˇz´ı funkce min (max). V´ ysledkem takové funkce v matici dat nen´ı jedna hodnota, ale ˇra´dkov´ y vektor hodnot obsahuj´ıc´ı minimáln´ı (maximáln´ı) hodnoty sloupc˚ u, pˇr´ıpadnˇe i vektor s pozicemi tˇechto hodnot, jak ukazuje pˇr´ıklad. >> [Amin, Imin] = min(A) Amin = 1 4 7 10 13 Imin = 1 1 1 1 1 >> [Amax, Imax] = max(A) Amax = 3 6 9 12 15 Imax = 3 3 3 3 3 % Funkce min a max vyhledaji v kazdem sloupci matice


14

% nejmensi (nejvetsi) hodnotu a spolu s ni umoznuji % nalezt take index jeji pozice (Imin, Imax) >> [Amin, Imin] = min(min(A)) Amin = 1 Imin = 1 >> [Amax, Imax] = max(max(A)) Amax = 15 Imax = 5 % Opakovane pouziti funkce min (nebo max) umoznuje % nalezt minimum (maximum) v cele matici cisel Funkce sort setˇr´ıd´ı prvky vektoru, jak ukazuje pˇr´ıklad, kde je vytvoˇren ˇra´dkov´ y vektor pˇeti prvk˚ u z normáln´ıho rozdˇelen´ı N(0,100)a následnˇe setˇr´ıdˇen. >> a = 10*randn(1, 5) a = -1.8671 7.2579 >> sort(a) ans = -5.8832 -1.8671

-5.8832

21.8319

-1.3640

-1.3640

7.2579

21.8319

Funkce sort setˇr´ıd´ı prvky matice v jednotliv´ ych ˇrádc´ıch (sloupc´ıch) matice, jak ukazuje pˇr´ıklad, kde je setˇr´ıdˇena matice A po sloupc´ıch A = 2 6 1 8 5 2 >> sort(A, 1) ans = 2 5 1 8 6 2 % Setrideni prvku ve sloupcich matice a následnˇe po ˇra´dc´ıch.


15

A = 2 6 1 8 5 2 >> sort(A, 2) ans = 1 2 6 2 5 8 % Setrideni prvku na radcich matice Pro tˇr´ıdˇen´ı matice funkc´ı sort je moˇzné pomoci parametru zobrazit matici p˚ uvodn´ıch index˚ u vˇsech prvk˚ u matice. >> [A, i] = sort(A, 1) A = 2 5 1 8 6 2 i = 1 2 1 2 1 2 % K matici byla vytvorena navic i matice % puvodnich indexu prvku pred setridenim % Obdobne pro radky matice. Oproti tomu funkce sortrows neproház´ı hodnoty ve sloupc´ıch matice nezávisle na ostatn´ıch sloupc´ıch, ale tˇr´ıd´ı ˇrádky matice na základˇe hodnot v jednom sloupci. Tˇr´ıd´ı tedy pouze ˇra´dky, jak ukazuje pˇr´ıklad. A = 9 6 5 8 5 2 >> sortrows(A, 1) ans = 8 5 2 9 6 5 % Setridi vsechny radky matice podle hodnot % sloupce, jehoz cislo je uvedeno jako druhy % vstupni parametr funkce, v tomto pripade "1"

V´ yˇcet elementárn´ıch matematick´ ych funkc´ı v Matlabu vyvolá pˇr´ıkaz:

16


>> help elfun Stejn´ ym zp˚ usobem lze pak z helpu vyvolat v´ yˇcet speciáln´ıch funkc´ı kl´ıˇcov´ ym slovem specfun ˇci funkc´ı pro výpoˇcty s maticemi kl´ıˇcov´ ym slovem matfun. Elementárn´ı matematické funkce Matlabu jsou rozdˇeleny do ˇctyˇr kategori´ı: goniometrick´ e exponenci´ aln´ ı – pro v´ ypoˇcet mocnin a logaritm˚ u komplexn´ ı – kter´ ymi se hloubˇeji zab´ yvat nebudeme zaokrouhlovac´ ı – pro pˇrevod ˇc´ısel na vyˇsˇs´ı ˇrády a celoˇc´ıselné dˇelen´ı Argumentem kaˇzdé funkce v Matlabu m˚ uˇze b´ yt bud’to skalár, vektor nebo matice. Pˇ r´ıklad 3.2 Nejprve vytvoˇr´ıme pˇetisetprvkov´ y vektor x, kter´ y je následnˇe argumentem funkce sinus. >> x = 0:pi/499:2*pi; >> y = sin(x);

Pokud bychom za pˇr´ıkazem pro v´ ypoˇcet funkce sinus nezadali ukonˇcovac´ı znak (;), probˇehl by v´ ypis vˇsech vypoˇcten´ ych hodnot sinu na obrazovku. Z v´ yˇctu exponenciáln´ıch funkc´ı si v následuj´ıc´ım pˇr´ıkladu ukáˇzeme v´ ypoˇcet hodnoty exponenciáln´ı funkce, mocninné funkce a logaritmu. Pˇ r´ıklad 3.3 Je vytvoˇrena matice A, jej´ıˇz prvky jsou argumentem exponenciáln´ı a mocninné funkce. >> A = [1 2; 3 4] A = 1 2 3 4 >> B = exp(A) % Vypocte exponencialni funkce prvku matice A B = 2.7183 7.3891 20.0855 54.5982 >> C = sqrt(A) % Vypocte odmocninu prvku matice A C = 1.0000 1.4142 1.7321 2.0000


17

Následuj´ıc´ı pˇr´ıkaz v´ ypoˇcte pˇrirozen´ y logaritmus z prvk˚ u p˚ uvodn´ı matice A násoben´ ych ˇc´ıslem π. >> D = log(pi * A) D = 1.1447 1.8379 2.2433 2.5310

Obdobnˇe proved’te v´ ypoˇcet pro binárn´ı a dekadick´ y logaritmus matice A z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu. Pˇ r´ıklad 3.4 Vytvoˇr´ıme matici rozmˇeru (3 × 5), jej´ıˇz prvky jsou pseudonáhodná ˇc´ısla z normáln´ıho, respektive z rovnomˇerného rozdˇelen´ı. >> A = 10*randn(3, 5); % Hodnoty z normalniho rozdeleni N(0, 100) >> B = 10*rand(3, 5); % Hodnoty z rovnomerneho rozdeleni, tedy <0;10> >> C = abs(A); % Absolutn´ ı hodnoty prku matice A

Srovnejte hodnoty prvk˚ u v´ ysledn´ ych matic B a C z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu. Pˇ r´ıklad 3.5 Následuj´ıc´ı pˇr´ıkazy vytvoˇr´ı ˇctvercovou matici 5. ˇra´du pseudonáhodn´ ych hodnot z normáln´ıho rozdˇelen´ı a tyto hodnoty zaokrouhl´ı na nejbliˇzˇs´ı celá ˇc´ısla. >> A = 100 * randn(5); >> B = round(A);

Pomoci nápovˇedy zjistˇete dalˇs´ı moˇznosti zaokrouhlován´ı reáln´ ych ˇc´ısel. Zaokrouhlete prvky matice A v´ıce zp˚ usoby a v´ ysledky porovnejte. Matlab obsahuje také mnoˇzstv´ı základn´ıch statistick´ ych funkc´ı jsou napˇr.: pr˚ umˇer, medián, modus, rozptyl ˇci smˇerodatná odchylka. Pˇ r´ıklad 3.6 V následuj´ıc´ım pˇr´ıkladu vytvoˇr´ıme matici A a vypoˇcteme vektory obsahuj´ıc´ı pr˚ umˇery (m) a smˇerodatné odchylky (s) jednotliv´ ych sloupc˚ u. >> A = 2 5

3 6

1 9

4 8


18

-1 -6 5 >> m = mean(A) m = 2 1 5 >> s = std(A) s = 3.0000 6.2450

0

4

4.0000

4.0000

Kdybychom chtˇeli provést stejn´ y v´ ypoˇcet pro ˇrádky matice, matici bychom pˇred aplikován´ım funkce museli transponovat pˇr´ıkazem A’. Pˇ r´ıklad 3.7 Pˇr´ıklad ukazuje, jak nalézt nejvˇetˇs´ı hodnotu matice A z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu. >> max_A = max(max(A)) max_A = 9

3.2

Nakreslen´ı 2D grafu

Silnou stránkou Matlabu je vizualizace dat. V této ˇca´sti se budeme zab´ yvat dvourozmˇernou vizualizac´ı, neboli vytváˇren´ım 2D graf˚ u. K vytvoˇren´ı 2D grafu jsou nezbytná data (namˇeˇrená, vypoˇctená), nejˇcastˇeji vektor hodnot argumentu a k nˇemu odpov´ıdaj´ıc´ı vektor funkˇcn´ıch hodnot. Podstatné je zvolit k dat˚ um vhodn´ y typ grafu. V Matlabu se nejˇcastˇeji pouˇz´ıvá k vykreslen´ı 2D grafu funkce plot. Pˇ r´ıklad 3.8 Vytvoˇr´ıme vektor x ekvidistantnˇe rozdˇelen´ ych hodnot v intervalu < 0, 6π >. K tomuto vektoru vytvoˇr´ıme vektory stejné délky hodnot zadán´ım funkce y. Z tˇechto dvou vektor˚ u je pak sestrojen graf. >> x = 0:pi/400:6*pi; >> y = exp(-0.2 * x) .* sin(x); >> plot(x, y)

Zadán´ım tˇechto tˇr´ı pˇr´ıkaz˚ u dostaneme v oknˇe Figure(1) následuj´ıc´ı graf.

3.2 Nakreslen´ı 2D grafu

19

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

−0.2

−0.4

0

5

10

15

20

Podrobnˇejˇs´ı popis pˇr´ıkazu plot, jeho dalˇs´ıch nepovinn´ ych parametr˚ u, moˇznost´ı interaktivn´ı práce s grafem, export obrázku do r˚ uzn´ ych formát˚ u atd. nalezneme v helpu. Dalˇs´ı moˇznosti 2D vizualizace jsou pod kl´ıˇcov´ ym slovem graph2d. V praxi ˇcasto nastává situace, kdy potˇrebujeme nˇekolik v´ ystup˚ u vizuálnˇe srovnat (napˇr. srovnat dvˇe kˇrivky v´ yvoje produktivity dvou firem, ap.). V Matlabu jsou k dispozici dvˇe moˇznosti, jak takovéto srovnán´ı povést. V prvn´ı ˇradˇe máme moˇznost vykreslit oba grafy do téhoˇz grafického okna Figure (grafy se mohou prot´ınat, prol´ınat, doporuˇcuje se pro menˇs´ı poˇcet graf˚ u). Dále je moˇzné celé grafické okno Figure rozdˇelit na nˇekolik samostatn´ ych podoken, a do kaˇzdého pak vykresl´ıme jeden z v´ ystup˚ u. Pˇ r´ıklad 3.9 Vytvoˇr´ıme vektor ekvidistantnˇe rozloˇzen´ ych hodnot v intervalu < −π, π >. K tomuto vektoru pak vytvoˇr´ıme vektory y1 a y2 zadan´ ymi funkcemi. Pak sestroj´ıme graf kˇrivek obou funkc´ı do jednoho grafického okna. >> >> >> >>

x = -pi:0.01:pi; y1 = 50 * exp(-0.08 * x) .* sin(x.^3); y2 = 25 * exp(0.08 * x) .* (-sin(x.^3)); plot(x, y1, ’r.-’, x, y2, ’k--’, ’lineWidth’, 3)


20

Zp˚ usob zadán´ı souˇcasného vykreslen´ı dvou graf˚ u do jednoho okna je velmi jednoduch´ y a intuitivn´ı. Za kaˇzdou definic´ı dvojice veliˇcin x a y následuje v apostrofech kombinace tˇr´ı vlastnost´ı, v poˇrad´ı barva kˇrivky, znaˇcka bodu funkce a styl ˇcáry. Parametrem ’lineWidth’ jsme zvˇetˇsili tlouˇst’ku kˇrivek. V následuj´ıc´ım obrázku je v´ ysledek: 80

60

40

20

0

−20

−40

−60

−80 −4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Dalˇs´ı zp˚ usob zobrazen´ı v´ıce graf˚ u v jediném obrázku je pomoc´ı pˇr´ıkazu hold. Aktivace pˇr´ıkazu hold zabrán´ı pˇrepisován´ı grafického okna nov´ ym grafem, dalˇs´ı grafy jsou do okna pˇrikreslovány aˇz do deaktivace tohoto pˇr´ıkazu. Oproti pˇredchoz´ımu pˇr´ıstupu, pˇr´ıkaz hold umoˇzn ˇuje souˇcasné vykreslen´ı r˚ uzn´ ych typ˚ u graf˚ u v jednom grafickém oknˇe. Pˇ r´ıklad 3.10 Pˇr´ıklad ukazuje jak vytvoˇrit pro data z minulého pˇr´ıkladu kaˇzd´ y graf jiného typu a vloˇzit jej do jednoho grafického okna na sebe. Pˇriˇcemˇz prvn´ı z graf˚ u bude vykreslen jako spojnicov´ y, a druh´ y graf jako ploˇsn´ y. >> hold on; % Dale zadane grafy kresli do aktualniho okna >> plot(x, y1, ’r’);

3.2 Nakreslen´ı 2D grafu

21

>> bar(x, y2); >> hold off;

80

60

40

20

0

−20

−40

−60

−80 −4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Aktivace pˇr´ıkazu hold zabrán´ı pˇrepisován´ı grafického okna nov´ ym grafem, dalˇs´ı grafy jsou do okna pˇrikreslovány aˇz do deaktivace tohoto pˇr´ıkazu. Nyn´ı si ukáˇzeme i druh´ y zp˚ usob vykreslován´ı v´ıce graf˚ u do grafického okna rozdˇeleného na podokna. K tomu slouˇz´ı pˇr´ıkaz subplot, kter´ y umoˇzn ˇuje rozdˇelit grafické okno do nˇekolika podoken. Pˇr´ıkaz subplot má tˇri parametry, kde prvn´ı ˇc´ıslo je poˇcet dˇelen´ı celého grafického okna horizontálnˇe, druhé ˇc´ıslo je poˇcet dˇelen´ı okna vertikálnˇe a tˇret´ı je ˇc´ıslo podokna, do kterého má b´ yt následuj´ıc´ı graf vykreslen (pozn. ˇc´ıslován´ı podoken zaˇc´ıná z levého horn´ıho rohu grafického okna postupnˇe doprava a dál dol˚ u). Okno lze rozdˇelit i na r˚ uznˇe velké ˇca´sti. Pˇ r´ıklad 3.11 Vytvoˇr´ıme vektor ekvidistantnˇe rozloˇzen´ ych hodnot x v intervalu < −π, π > a k nˇemu dva vektory stejné délky y1 a y2. Dále je horizontálnˇe rozdˇeleno grafické okno a do kaˇzdé poloviny je nakreslen jeden z graf˚ u.


22

>> x = -pi:0.01:pi; >> y1 = 50 * exp(-0.08 * x) .* sin(x.^3); >> y2 = 25 * exp(0.08 * x) .* (-sin(x.^3)); >> subplot(2, 1, 1); % Tento prikaz vykresli nasledujici graf do horni % poloviny grafick´ eho okna >> plot(x, y1); >> subplot(2, 1, 2); % Tento prikaz vykresli nasledujici graf do dolni % poloviny grafick´ eho okna >> plot(x, y2);

Grafick´ y v´ ystup pˇredchoz´ıch pˇr´ıkaz˚ u je zobrazen na obrázku: 100

50

0

−50

−100 −4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

40

20

0

−20

−40 −4

Pozor je tˇreba dát na ˇskály vyznaˇcené na osách graf˚ u. Jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu se oba grafy zdaj´ı b´ yt co do vertikáln´ıch rozmˇer˚ u shodné, pˇri pohledu na vertikáln´ı osu vˇsak zjist´ıme, ˇze prvn´ı graf má dva a p˚ ul krát vˇetˇs´ı amplitudu. Je to zp˚ usobeno t´ım, ˇze grafické okno Matlabu je rozdˇeleno rovnomˇernˇe bez ohledu na mˇeˇr´ıtka os jednotliv´ ych graf˚ u.

3.3 Editace 2D grafu

3.3

23

Editace 2D grafu

D˚ uleˇzitou souˇca´st´ı grafick´ ych v´ ystup˚ u jsou jejich popis a dalˇs´ı grafické doplˇ nky, které napomáhaj´ı k snadnˇejˇs´ı ˇcitelnosti grafu. Matlab umoˇzn ˇuje zobrazen´ı tˇechto informac´ı pˇr´ımo v oknˇe grafu jednoduch´ ymi pˇr´ıkazy. Kaˇzd´ y graf je moˇzné popsat nadpisem (title), popisy os (xlabel a ylabel), legendou (legend), libovolnˇe um´ıstˇen´ ym textov´ ym polem v oknˇe grafu (text) a grafickou mˇr´ıˇzkou (grid):

Pˇ r´ıklad 3.12 Vytvoˇr´ıme vektory ekvidistantnˇe rozloˇzen´ ych hodnot x v intervalu < −π, π > a k nˇemu vektor stejné délky funkce y. Pak vykresl´ıme graf této funkce zelené barvy a k nˇemu nadpis, popisy os, legendu, ve které je aritmetick´ y v´ yraz pro v´ ypoˇcet hodnot funkce a textové pole, um´ıstˇené podle zadan´ ych hodnot souˇradnice.

>> >> >> >> >> >> >> >> >>

x = -pi:0.01:pi; y = 25 * exp(0.08 * x) .* (-sin(x.^3)); plot(x, y, ’g’); title(’Vizu´ aln´ ı zobrazen´ ı funkce’); xlabel(’x’); ylabel(’y’); legend(’25 * exp(0.08 * x) .* (-sin(x.^3))’); text(-1.5, -17, ’graf funkce’); grid on;


24

Vizuální zobrazení funkce 40 3

25*exp(0.08*x).*(−sin(x. )) 30

20

y

10

0

−10 graf funkce −20

−30

−40 −4

−3

−2

−1

0 x

1

2

3

4

Pˇr´ıkaz text, vyp´ıˇse zadan´ y textov´ y ˇretˇezec na urˇcené souˇradnice v grafu. Existuje i obdobn´ y pˇr´ıkaz gtext, kter´ y po spuˇstˇen´ı nab´ız´ı zvolit m´ısto pro vloˇzen´ı ˇretˇezce do grafu interaktivnˇe kliknut´ım myˇs´ı.

Dalˇs´ı z parametr˚ u zobrazen´ı grafu je vyvolán pˇr´ıkazem axis. S jeho pomoc´ı jsme schopni nastavit pomˇer os grafu x a y (napˇr. intervaly hodnot na osách, stejné mˇeˇr´ıtko, nebo stejnˇe dlouhé osy). Podrobn´ y popis tohoto pˇr´ıkazu i s mnoha dalˇs´ımi parametry naleznete v helpu (pro srovnán´ı tento pˇr´ıkaz aplikujte na jeden graf nejprve s parametrem equal a následnˇe s parametrem square). Shrnut´ı: - Pˇr´ıkaz subplot k rozdˇelen´ı grafického okna. - Nastaven´ı pomˇeru a krajn´ıch mez´ı os grafu. - Pˇrikreslován´ı graf˚ u do grafického okna pˇr´ıkazem hold. - Interaktivn´ı práce v grafickém oknˇe.

Kontroln´ı ot´ azky:


25

1. Jak budete generovat náhodné ˇc´ıslo z rovnomˇerného rozdˇelen´ı z intervalu [a, b)? 2. Znáte pˇr´ıklad, kdy je v´ ysledek funkce zároveˇ n vstupn´ım parametrem jiné funkce? 3. Kdy je vhodné pouˇz´ıt vykreslován´ı v´ıce graf˚ u do jednoho obrázku souˇcasnˇe a kdy dˇelen´ım okna pomoci subplot?

´ VYRAZY ´ 4 LOGICKE

26

4

Logick´ e v´ yrazy

Pr˚ uvodce studiem: C´ılem této kapitoly je nauˇcit se pracovat s logick´ ymi v´ yrazy, které je pak dále moˇzno pouˇz´ıvat pˇredevˇs´ım ve sloˇzitˇejˇs´ıch podm´ınˇen´ ych pˇr´ıkazech if - else. V u ´vodu se seznám´ıme se základn´ımi relaˇcn´ımi operátory, poté se nauˇc´ıme skládat logické v´ yrazy do sloˇzitˇejˇs´ıch konstrukc´ı pomoc´ı logick´ ych operátor˚ u. Dále se budeme vˇenovat hledán´ı a zjiˇst’ován´ı pˇr´ıtomnosti prvk˚ u ve vektorech a na závˇer se dotkneme i tématu práce s mnoˇzinami. Prob´ıraná látka je pomˇernˇe jednoduchá a celá kapitola by vám nemˇela zabrat v´ıce neˇz 3 hodiny i s vypracován´ım u ´kol˚ u.

4.1

Reprezentace logick´ ych hodnot

Hodnoty logick´ ych v´ yraz˚ u jsou v Matlabu reprezentovány pomoc´ı ˇc´ıseln´ ych hodnot 0 a 1. Jak se snadno m˚ uˇzeme pˇresvˇedˇcit, existuj´ı i pˇreddefinované konstanty false a true:

>> false ans = 0 >> true ans = 1

4.2

Relaˇ cn´ı oper´ atory

Relaˇcn´ı operátory ve své základn´ı podobˇe slouˇz´ı pˇredevˇs´ım pro porovnáván´ı ˇc´ısel a jejich v´ ysledkem je logická hodnota:

>> 4 > 2 ans = 1 >> 10 <= 1 ans = 0

V Matlabu m˚ uˇzeme pouˇz´ıvat následuj´ıc´ı relaˇcn´ı operátory:

4.3 Logické operátory

27

Operátor Alternativa V´ yznam a a a a a a

== b ∼= b < b > b <= b >= b

eq(a, b) lt(a, b) gt(a, b)

a a a a a a

je je je je je je

rovno b r˚ uzné od b menˇs´ı neˇz b vˇetˇs´ı neˇz b menˇs´ı rovno b vˇetˇs´ı rovno b

Pozor! Je velk´ y rozd´ıl mezi == a = • v pˇr´ıpadˇe x == 5 jde o v´ yraz, jehoˇz hodnotou je 0 nebo 1 (porovnán´ı x s ˇc´ıslem 5) a x se nemˇen´ı, zat´ımco • v pˇr´ıpadˇe x = 5 jde o pˇriˇrazen´ı (pˇr´ıkaz), které nevrac´ı logickou hodnotu, n´ ybrˇz zmˇen´ı obsah promˇenné x. Pozn´ amka 4.1 Srovnávat lze také celé matice, pokud jsou rozmˇerovˇe stejné. V´ ysledkem je stejnˇe velká matice odpovˇed´ı – srovnán´ı prob´ıhá prvek po prvku: >> A = [1 2; 3 4]; B = [1 1; 4 4]; >> A < B ans = 0 0 1 0 V´ ysledek lze ˇc´ıst tak, ˇze pouze ve druhém ˇrádku a prvn´ım sloupci je hodnota v matici A ostˇre menˇs´ı neˇz v matici B.

4.3

Logick´ e oper´ atory

S logick´ ymi hodnotami lze také pracovat pˇri logick´ ych operac´ıch. V tˇechto pˇr´ıpadech je ˇc´ıslo nula vˇzdy chápáno jako nepravda a jakékoliv jiné, tj. nenulové ˇc´ıslo jako pravda. K dispozici pak máme následuj´ıc´ı operátory: Operátor Alternativa V´ yznam x & y x | y ∼x

and(x, y) or(x, y) not(x) xor(x, y)

Pˇr´ıklad pouˇzit´ı:

x a zároveˇ ny x nebo y negace x exkluzivn´ı nebo


28

>> 0 & 1 ans = 0 >> 0 | 1 ans = 1 >> ~6 ans = 0 K dispozici jsou téˇz operátory pro ne´ uplné vyhodnocován´ı logického souˇcinu a souˇctu, kdy vyhodnocován´ı skonˇc´ı v okamˇziku, kdy je jiˇz znám v´ ysledek na základˇe ˇcásti v´ yrazu. Jedná se vlastnˇe o zdvojené symboly pro tyto operace: >> 0 && (4 < 5) ans = 0 >> 1 || (4 < 5) ans = 1 Ani v jednom z tˇechto pˇr´ıklad˚ u se nevyhodnocoval v´ yraz 4 < 5, nebot’ v´ ysledek celého v´ yrazu je jasn´ y jiˇz z prvn´ı ˇcásti. V´ yˇse uvedená vlastnost ne´ uplného vyhodnocován´ı m˚ uˇze m´ıt nˇekdy neˇza´douc´ı vedlejˇs´ı u ´ˇcinky a je proto vˇzdy zapotˇreb´ı jednat obezˇretnˇe a zváˇzit, zda je vhodné tohoto zp˚ usobu vyuˇz´ıt, ˇci ne, pˇr´ıpadnˇe v jakém poˇrad´ı ˇcásti sloˇzeného v´ yrazu zapsat. Napˇr´ıklad pˇri pouˇzit´ı ˇcásti kódu jako je tento: if ((value > 3) && check(value)) ... end se volán´ı funkce check provede pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze hodnota promˇenné value je vˇetˇs´ı neˇz 3. Koneˇcnˇe stejnˇe jako u relaˇcn´ıch operátor˚ u lze logick´ ymi operátory spojovat celé matice, pokud maj´ı stejné rozmˇery: >> A = [1; 1; 0; 0]; B = [1; 0; 1; 0]; >> C = [A, B, A & B, A | B, xor(A, B)] C = 1

1

1

1

0

4.4 Hledán´ı prvk˚ u

1 0 0

4.4

0 1 0

0 0 0

1 1 0

29

1 1 0

Hled´ an´ı prvk˚ u

Hodnoty pravda a nepravda také vrac´ı funkce (kvantifikátory) any a all. Je-li jejich parametrem vektor, vracej´ı skalár, tzn. logickou hodnotu, zda alespoˇ n jeden, resp. vˇsechny prvky vektoru maj´ı nenulovou hodnotu (logickou hodnotu true). Napˇr.: >> V = [0 1 2 3]; W = [1 2 3 4]; X = [0 0 0 0]; >> [any(V), any(W), any(X)] ans = 1 1 0 >> [all(V), all(W), all(X)] ans = 0 1 0 Pokud tyto funkce aplikujeme na matici, jako v´ ysledek z´ıskáme vektor odpovˇed´ı – ke kaˇzdému sloupci matice jednu odpovˇed’: >> A = [0 1 0; 1 2 0] A = 0 1 0 1 2 0 >> any(A) ans = 1 1 0 >> all(A) ans = 0 1 0 Kde je v odpovˇedi jedniˇcka, tak v takovém sloupci v poˇrad´ı daná podm´ınka plat´ı. Chceme-li z´ıskat jedinou odpovˇed’ pro celou matici, m˚ uˇzeme funkce aplikovat v´ıcekrát. Dotaz

30


>> any(any(A)) ans = 1 zjist´ı, zda v celé matici je alespoˇ n jedno ˇc´ıslo nenulové; kombinac´ı funkc´ı >> all(any(A)) ans = 0 zase zjist´ıme, zda vˇsechny sloupce matice obsahuj´ı alespoˇ n jedno nenulové ˇc´ıslo apod. Pozn´ amka 4.2 Podobnˇe funguj´ı i nˇekteré numerické funkce, napˇr. mean, std, median, min, max, sum, prod, takˇze m˚ uˇzeme velmi snadno spoˇc´ıtat ˇrádkov´ y vektor sloupcov´ ych pr˚ umˇer˚ u, smˇerodatn´ ych odchylek atd.

Pˇ r´ıklad 4.1 Pomoc´ı operátor˚ u any a all m˚ uˇzeme zjistit, zda aspoˇ n jeden ˇci vˇsechny prvky matice nebo vektoru splˇ nuj´ı nˇejakou logickou podm´ınku, napˇr. zda vˇsechny prvky matice jsou nezáporné: >> B = [-1, 3, 3; -1, 0, 3] B = -1 3 3 -1 0 3 >> all(all(B >= 0)) ans = 0

Zat´ımco funkce any a all dávaly odpovˇedi ano a ne, s pomoc´ı funkce find lze naj´ıt pozice prvk˚ u, které nˇejakou podm´ınku splˇ nuj´ı. Pˇresnˇe definováno, funkce find vrac´ı sloupcov´ y vektor pozic nenulov´ ych prvk˚ u v matici: >> A = [0 1 0; 1 2 0] A = 0 1 0 1 2 0 >> find(A) ans = 2

4.4 Hledán´ı prvk˚ u

31

3 4 V takovémto jednoduchém pˇr´ıpadˇe se pozice poˇc´ıtaj´ı od jedniˇcky po sloupc´ıch smˇerem od shora dol˚ u, aktuáln´ı pozice tedy odpov´ıdá pˇrepoˇctu: pozice = ˇra´dek + poˇcet ˇrádk˚ u × (sloupec − 1) A = 0 1

1 2

0 0

% % %

Pozice v A = 1 2

3 4

5 6

Pozn´ amka 4.3 Funkci find lze donutit“, aby pozice prvk˚ u vracela jako dva vektory, kdy v jednom ” budou indexy ˇra´dk˚ u a ve druhém indexy sloupc˚ u; správné souˇradnice pak z´ıskáme, vezmeme-li dvojice ˇc´ısel ze stejn´ ych pozic v tˇechto vektorech: >> [radky, sloupce] = find(A) radky = 2 1 2 sloupce = 1 2 2 Pro lepˇs´ı pˇrehlednost pak m˚ uˇzeme tyto sloupcové vektory vypsat vedle sebe v jedné matici: >> [radky, sloupce] ans = 2 1 % cteno po radcich vidime souradnice 1 2 2 2

V´ ysledek nyn´ı ˇcteme tak, ˇze nenulové prvky jsou v matici A ve druhém ˇra´dku a prvn´ım sloupci, v prvn´ım ˇra´dku a druhém sloupci a také v druhém ˇra´dku a druhém sloupci.


32

Funkce find se nejˇcastˇeji pouˇz´ıvá pro nalezen´ı prvk˚ u splˇ nuj´ıc´ıch logickou podm´ınku. Napˇr. pozice záporn´ ych prvk˚ u vektoru b nalezneme pomoc´ı: b = [0.2621, -0.0435, -0.4815, 0.3214, -0.0553]; >> find(b < 0) ans = 2 3 5 Jejich vypuˇstˇen´ı z vektoru b m˚ uˇzeme dosáhnout elegantnˇe napˇr. takto: >> b(find(b < 0)) = [] b = 0.2621 0.3214 V nˇekter´ ych situac´ıch se neobejdeme bez funkce logical, která pˇrevád´ı ˇc´ıselné hodnoty na logické: >> logical(3.8) ans = 1 Jedná se napˇr´ıklad o pˇr´ıpad, kdy potˇrebujeme vybrat prvky z matice v závislosti na logick´ ych hodnotách v jiné matici. Vˇse vysvˇetl´ı následuj´ıc´ı pˇr´ıklad: Pˇ r´ıklad 4.2 Budeme cht´ıt z´ıskat prvky z hlavn´ı diagonály matice A a z demonstraˇcn´ıch d˚ uvod˚ u k tomu nepouˇzijeme vestavˇenou funkci diag(A). Pomoc´ı funkce eye(n) z´ıskáme n-rozmˇernou jednotkovou matici: >> eye(3) ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Tuto matici bychom chtˇeli pouˇz´ıt jako masku“ pro v´ ybˇer prvk˚ u z matice A. Kdyˇz ” vˇsak pouˇzijeme pˇr´ımo následuj´ıc´ı konstrukci, obdrˇz´ıme: >> A A = 1 4 7

= [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] 2 5 8

3 6 9

>> A(eye(3)) ??? Subscript indices must either be real positive integers or logicals.

4.5 Mnoˇziny

33

V tomto pˇr´ıpadˇe nám pom˚ uˇze v´ yˇse zm´ınˇená funkce logical: >> A(logical(eye(3))) ans = 1 5 9

4.5

Mnoˇ ziny

Vektor lze chápat jako mnoˇzinu, pokud neobsahuje ˇza´dné duplicitn´ı prvky – tento poˇzadavek spln´ı funkce unique: >> v = [7 7 2 3 3 3 7 7 2]; >> mnozina = unique(v) mnozina = 2 3 7

Pozn´ amka 4.4 M˚ uˇzeme si povˇsimnout, ˇze funkce vrac´ı v´ ysledek setˇr´ıdˇen´ y od nejmenˇs´ıho ˇc´ısla po nejvˇetˇs´ı.

Funkce unique (podobnˇe jako i dalˇs´ı dále uvedené funkce) má nˇekolik variant pouˇzit´ı. Pokud potˇrebujeme znát indexy prvk˚ u v´ ysledné mnoˇziny v p˚ uvodn´ı mnoˇzinˇe, m˚ uˇzeme pouˇz´ıt následuj´ıc´ı konstrukci: >> [B, I, J] = unique([7 7 2 3 3 3 7 7 2]) B = 2

3

7

I = 9

6

8

J = 3

3

1

2

2

2

3

3

1

V promˇenné B je uloˇzena v´ ysledná mnoˇzina a I a J jsou indexové vektory tak, ˇze plat´ı: B = A(I) a A = B(J). Z vektoru I tedy poznáme, ˇze napˇr. prvn´ı prvek


34

v´ ysledné mnoˇziny B byl v p˚ uvodn´ım vektoru na devátém (posledn´ım) m´ıstˇe. Toto m˚ uˇzeme ovlivnit pˇridán´ım dalˇs´ıho parametru ’first’, kter´ ym zajist´ıme, ˇze budou vyb´ırány prvn´ı v´ yskyty ze vstupn´ıho vektoru: >> [B, I, J] = unique([7 7 2 3 3 3 7 7 2], ’first’) B = 2

3

7

I = 3

4

1

J = 3

3

1

2

2

2

3

3

1

Mnoˇzinové operace lze provádˇet i s maticemi. V tomto pˇr´ıpadˇe mus´ıme ale specifikovat, zda chceme pracovat s prvky matice, anebo s jej´ımi ˇrádky. Toto provedeme jednoduˇse pˇridán´ım parametru ’rows’ v pˇr´ıpadˇe, kdy poˇzadujeme aby prvky mnoˇzin byly jednotlivé ˇra´dky matice. >> M M = 1 2 1 2

= [1 2 3 3; 2 5 1 7; 1 2 1 1; 2 5 1 7] 2 5 2 5

3 1 1 1

3 7 1 7

>> unique(M) ans = 1 2 3 5 7 >> unique(M, ’rows’) ans = 1 2 1 1 1 2 3 3 2 5 1 7

4.5 Mnoˇziny

35

Dalˇs´ı funkce pro práci s mnoˇzinami jsou union, intersect, setdiff a setxor, pˇriˇcemˇz jejich v´ yznam a varianty pouˇzit´ı jsou shrnuty v následuj´ıc´ı tabulce: Funkce

union

Varianta

V = V = [V, V =

setxor

sjednocen´ı mnoˇzin: V = M ∪ N ˇra´dkové sjednocen´ı matic M, N V =M ∪N V = M (I) ∪ N (J) intersect(M, N) pr˚ unik mnoˇzin: V = M ∩ N intersect(M, N, ’rows’) ˇra´dkov´ y pr˚ unik matic M, N I, J] = intersect(M, N) V = M ∩ N V = M (I), V = N (J) setdiff(M, N) rozd´ıl mnoˇzin: V = M \ N setdiff(M, N, ’rows’) ˇra´dkov´ y rozd´ıl matic M, N I] = setdiff(M, N) V =M \N V = M (I) setxor(M, N) symetrick´ y rozd´ıl mnoˇzin: V =M 4N setxor(M, N, ’rows’) sym. rozd´ıl ˇrádk˚ u matic M, N I, J] = setxor(M, N) V =M 4N V = M (I) ∪ V = N (J)

V = union(M, N) V = union(M, N, ’rows’) [V, I, J] = union(M, N)

V = V = intersect [V,

setdiff

Popis

V = [V,

Zaj´ımavá je také funkce ismember, která slouˇz´ı pro zjiˇst’ován´ı, zda nˇejak´ y prvek v mnoˇzinˇe leˇz´ı nebo neleˇz´ı. Jej´ı pouˇzit´ı má opˇet nˇekolik variant: • ismember(x, S) – vrac´ı true, pokud prvek x ∈ S, jinak vrac´ı false. >> ismember(5, [2 5 8 10]) ans = 1 • ismember(M, S) – vrac´ı pole nul a jedniˇcek o stejné velikosti jako mnoˇzina M, pˇriˇcemˇz jedniˇcky jsou na m´ıstech prvk˚ u z mnoˇziny A, které leˇz´ı v mnoˇzinˇe S. >> ismember([1, 2, 3, 5, 10], [2 5 8 10]) ans = 0 1 0 1 1 • ismember(M, S, ’rows’) – maticová varianta • [TF, I] = ismember(M, S) – nav´ıc jeˇstˇe do promˇenné I vloˇz´ı indexy odpov´ıdaj´ıc´ı pozic´ım, na kter´ ych se prvky z mnoˇziny M v mnoˇzinˇe S nacházej´ı


36

>> [TF, I] = ismember([1, 2, 3, 5, 10], [2 5 8 10]) TF = 0 1 0 1 1 I = 0

1

0

2

4

Je tedy zˇrejmé, ˇze plat´ı: >> all(TF == logical(I)) ans = 1 V souvislosti s mnoˇzinami nesm´ıme opomenout ani funkci isempty(M), která vrac´ı true v pˇr´ıpadˇe, ˇze mnoˇzina M je prázdná. Shrnut´ı: - Logické hodnoty true, false - Operátory ==, ∼=, <, > - Operátory any, all - Mnoˇzinové operace: sjednocen´ı, pr˚ unik, rozd´ıl, pˇr´ısluˇsnost prvku do mnoˇziny.

Kontroln´ı ot´ azky: 1. Vysvˇetlete rozd´ıl mezi: • x = (z == y) a • x == (z == y) 2. Vysvˇetlete rozd´ıl mezi pouˇzit´ım (x & y) a (x && y) 3. Sestavte pˇr´ıkaz, kter´ y pro zadanou matici zjist´ı, zda jsou vˇsechny jej´ı prvky vˇetˇs´ı neˇz 3. 4. Je dána matice A = [1 2 3; 4 5 6; 1 2 3]. Jak zjist´ıte, zda jsou hodnoty prvk˚ u v prvn´ım ˇrádku matice A menˇs´ı neˇz hodnoty prvk˚ u ve tˇret´ım sloupci matice A. Zapiˇste v´ ysledek operace.

37

5

Znakov´ eˇ retˇ ezce

Pr˚ uvodce studiem: V této kapitole se nauˇc´ıme pracovat s ˇretˇezcov´ ymi promˇenn´ ymi (angl. string), které v Matlabu slouˇz´ı pro reprezentaci textov´ ych dat. Po základn´ıch operac´ıch a konstrukc´ıch se budeme zab´ yvat porovnáván´ım a vyhledáván´ım v ˇretˇezc´ıch a v závˇeru si uvedeme pˇrehled nejˇcastˇeji pouˇz´ıvan´ ych funkc´ı, které se pˇri práci s ˇretˇezci znak˚ u pouˇz´ıvaj´ı. Na kapitolu si vyhrad’te zhruba 2 aˇz 3 hodiny.

5.1

Z´ akladn´ı operace s ˇ retˇ ezci

Znakov´ y ˇretˇezec v Matlabu je ˇra´dkov´ y vektor, jehoˇz prvky jsou jednotlivé znaky. Pro vytvoˇren´ı ˇretˇezce slouˇz´ı apostrofy, do kter´ ych se vep´ıˇse obsah ˇretˇezce, pˇriˇcemˇz takto vytvoˇren´ y ˇretˇezec m˚ uˇzeme uloˇzit do promˇenné: >> nazev = ’Uvod do Matlabu’ nazev = Uvod do Matlabu Pokud je potˇreba m´ıt v ˇretˇezci znak apostrof, je potˇreba dát toto najevo zpˇetn´ ym lom´ıtkem zapsan´ ym pˇred poˇzadovan´ ym znakem. Jedno zpˇetné lom´ıtko se také zap´ıˇse jako dvˇe zpˇetná lom´ıtka: >> ’\’\\’ ans = ’\

Pozn´ amka 5.1 Jelikoˇz je ˇretˇezec vektor sloˇzen´ y ze znak˚ u, m˚ uˇzeme s n´ım pracovat znak po znaku jako s bˇeˇzn´ ym polem – k jednotliv´ ym znak˚ um tedy lze pˇristupovat pomoc´ı index˚ u stejnˇe jako u ˇc´ıseln´ ych vektor˚ u a matic: >> nazev = ’Uvod do Matlabu’; >> nazev(1) ans = U >> nazev(9:14) ans =

´ RET ˇ EZCE ˇ 5 ZNAKOVE

38

Matlab >> length(nazev) ans = 15

Pozn´ amka 5.2 Pokud chceme vypsat obsah ˇretˇezce bez onoho ans =“ na zaˇca´tku, je na m´ıstˇe ” pouˇzit´ı funkce disp: >> disp(nazev(9:14)) Matlab

Zapsán´ı v´ıce ˇretˇezc˚ u jako prvk˚ u ve vektoru má za následek jejich spojen´ı – zˇretˇezen´ı: >> J = ’Josef’; P = ’Petr’; >> oba = [J, ’ a ’, P] oba = Josef a Petr

5.2

Konverze mezi ˇ c´ısly a ˇ retˇ ezci

Je-li ˇca´st´ı nˇejakého vektoru ˇretˇezec, chápe se jako ˇretˇezec cel´ y vektor. Proto se následuj´ıc´ı pˇr´ıklad nechová tak jak by se na prvn´ı pohled mohlo zdát. x = 35; >> disp([’Vysledkem je cislo: ’, x]) Vysledkem je cislo: # Pˇredchoz´ı pˇr´ıklad proto nam´ısto ˇc´ısla 35 vypsal znak #“, kter´ y se nacház´ı na 35. ” pozici v tabulce znak˚ u. Pro nápravu této situace existuje funkce num2str, která pˇrevád´ı ˇc´ısla na jejich textovou podobu: >> disp([’Vysledkem je cislo: ’, num2str(x)]) Vysledkem je cislo: 35 Opaˇcná funkce str2num pˇrevád´ı platnou textovou podobu ˇc´ısla na ˇc´ıslo, se kter´ ym je moˇzné dále poˇc´ıtat – provádˇet matematické operace.

5.2 Konverze mezi ˇc´ısly a ˇretˇezci

39

>> c = str2num(’1’) + str2num(’1’) c = 2 Jeˇstˇe vˇetˇs´ı moˇznosti pˇri formátován´ı v´ ystupu dává funkce sprintf, která se chová obdobnˇe jako stejnojmenná funkce z jazyka C. Prvn´ım argumentem funkce je tzv. formátovac´ı ˇretˇezec“ a za n´ım následuje pˇredem neurˇcen´ y poˇcet vlastn´ıch dat, která ” maj´ı b´ yt do v´ ystupu zahrnuta. Jejich poˇcet je urˇcen aˇz za bˇehu programu a mus´ı odpov´ıdat poˇctu formátovac´ıch sekvenc´ı z formátovac´ıho ˇretˇezce. Formátovac´ı moˇznosti, jeˇz tato funkce nab´ız´ı jsou opravdu ˇsiroké, takˇze pro podrobnosti odkazujeme sp´ıˇse na help. Nejˇcastˇejˇs´ı formátovac´ı sekvence jsou následuj´ıc´ı: • %d: celé ˇc´ıslo • %e: exponenciáln´ı notace zápisu desetinného ˇc´ısla • %f: fixn´ı zápis desetinného ˇc´ısla • %g: obdobnˇe jako %e nebo %f, ale netisknou se zbyteˇcné nuly • %s: ˇretˇezec U desetinn´ ych ˇc´ısel m˚ uˇzeme ovlivnit na kolik m´ıst nebo platn´ ych ˇc´ıslic chceme v´ ystup naformátovat. Vˇse nejlépe vysvˇetl´ı pˇr´ıklad pˇrevzat´ y pˇr´ımo z helpu Matlabu: Pˇr´ıkaz

V´ ystup

sprintf(’%0.5g’, (1 + sqrt(5))/2) sprintf(’%0.5g’, 1/eps) sprintf(’%15.5f’, 1/eps) sprintf(’%d’, round(pi)) sprintf(’%s’, ’hello’) sprintf(’The array is %dx%d.’, 2, 3)

1.618 4.5036e+15 4503599627370496.00000 3 hello The array is 2x3

Pozn´ amka 5.3 Uˇziteˇcné ˇcasto b´ yvá pouˇzit´ı \n, které zp˚ usob´ı zalomen´ı v´ ystupu na nov´ y ˇra´dek: >> sprintf(’%1d\n%2d\n%3d\n%4d\n%5d’, 1, 2, 3, 4, 5) ans = 1 2 3 4 5


40

5.3

Pole ˇ retˇ ezc˚ u

ˇ ezce lze ukládat také do matic. Podm´ınkou vˇsak je, ˇze vˇsechny ˇretˇezce musej´ı Retˇ m´ıt stejnou délku. Kdyˇz se pokus´ıme o následuj´ıc´ı konstrukci, obdrˇz´ıme chybové hláˇsen´ı: >> jmena = [’Josef’; ’Petr’; ’Viktor’] ??? Error using ==> vertcat CAT arguments dimensions are not consistent. Nápravu sjednáme bud’ tak, ˇze ruˇcnˇe dopln´ıme mezery tak, aby mˇely vˇsechny ˇretˇezce stejnou délku, anebo, coˇz je vhodnˇejˇs´ı, pouˇzijeme k tomu urˇcenou funkci char, která pˇridá mezery na konce kratˇs´ıch ˇretˇezc˚ u, aby vzniklá matice mˇela ve vˇsech ˇra´dc´ıch stejn´ y poˇcet sloupc˚ u: >> jmena = char(’Josef’, ’Petr’, ’Viktor’) jmena = Josef Petr Viktor

Pozn´ amka 5.4 D´ıky funkci strjust nemus´ı b´ yt texty v matici nutnˇe zarovnány doleva. Pˇr´ıpustn´ ymi parametry jsou left, center a right: >> strjust(jmena, ’right’) ans = Josef Petr Viktor

Pokud nám z nˇejakého d˚ uvodu poˇzadavek na stejnou délku ˇretˇezc˚ u nevyhovuje, m˚ uˇzeme m´ısto matice pouˇz´ıt tzv. pole bunˇek (angl. cell array). Rozd´ıl oproti matic´ım je vesmˇes jen v typu závorek – u pole bunˇek se pouˇz´ıvaj´ı sloˇzené: >> M = {’Josef’, ’Tvrdik’; ’Petr’, ’Bujok’; ’Viktor’, ’Pavliska’} M = ’Josef’ ’Tvrdik’ ’Petr’ ’Bujok’ ’Viktor’ ’Pavliska’

5.4 Porovnáván´ı a vyhledáván´ı ˇretˇezc˚ u

5.4

41

Porovn´ av´ an´ı a vyhled´ av´ an´ı ˇ retˇ ezc˚ u

Chceme-li porovnat dva ˇretˇezce, zda jsou shodné, nen´ı relaˇcn´ı operátor ==“ na m´ıstˇe, ” pokud nás nezaj´ımá shodnost jednotliv´ ych znak˚ u, která nav´ıc funguje jen pro stejnˇe dlouhé ˇretˇezce jako u ˇc´ıseln´ ych vektor˚ u: >> ’Jana’ == ’Dana’ ans = 0 1 1 1 >> ’Ano’ == ’Ne’ ??? Error using ==> eq Matrix dimensions must agree. Pro srovnáván´ı podle obvykl´ ych pˇredstav je k dispozici funkce strcmp: >> strcmp(’Jana’, ’Dana’) ans = 0 Pomoc´ı funkce strfind(text, vzor) slouˇz´ı k vyhledáván´ı podˇretˇezce v jiném ˇretˇezci. V´ ysledkem je vektor vˇsech vyhovuj´ıc´ıch pozic´ı. >> strfind(’krabice hranice slepice’, ’ice’) ans = 5 13 21 Pozn´ amka 5.5 Je moˇzno také pouˇz´ıt funkci findstr(s1, s2), která se liˇs´ı od pˇredchoz´ı pouze v tom, ˇze u n´ı nezáleˇz´ı na poˇrad´ı parametr˚ u s1 a s2 a vˇzdy provád´ı vyhledáván´ı kratˇs´ıho ˇretˇezce v delˇs´ım (v pˇr´ıpadˇe, ˇze maj´ı ˇretˇezce stejnou délku, tak se v podstatˇe jedná o porovnán´ı dvou ˇretˇezc˚ u).

Pˇ r´ıklad 5.1 Nˇekdy je vˇsak pouˇzit´ı operátoru ==, resp. ∼= ve spojitosti s ˇretˇezci elegantn´ı. Napˇr´ıklad pro odstranˇen´ı mezer z ˇretˇezce m˚ uˇzeme pouˇz´ıt následuj´ıc´ı konstrukci: >> s = ’retezec s mezerami’; >> neprazdne_znaky = (s ~= ’ ’); >> s(neprazdne_znaky)


42

ans = retezecsmezerami Promˇenná neprazdne_znaky je v tomto pˇr´ıkladˇe logick´ y vektor obsahuj´ıc´ı jedniˇcky v m´ıstech, kde se v ˇretˇezci s vyskytuj´ı znaky r˚ uzné od mezery.

Nahrazov´ an´ı podˇ retˇ ezc˚ u: Funkce strrep odpov´ıdaj´ıc´ı vzorky v zadaném ˇretˇezci nahrad´ı jin´ ym zadan´ ym ˇretˇezcem: >> strrep(’zena Bozena neni zenata’, ’zena’, ’spor’) ans = spor Bospor neni sporta Funkc´ı pracuj´ıc´ıch s ˇretˇezci je jeˇstˇe v´ıce, ale nebudeme je vˇsechny dopodrobna rozeb´ırat, takˇze alespoˇ n v rychlosti zm´ın´ıme: • lower, upper – mˇen´ı velikost p´ısmen • dec2base, base2dec – pˇrevod mezi mezi des´ıtkovou a zvolenou soustavou • ischar – dává odpovˇed, zda zadan´ y parametr je skuteˇcnˇe ˇretˇezec • isletter, isstrprop, isspace apod. – vrac´ı matici odpovˇed´ı, zda dané znaky v ˇretˇezci jsou p´ısmena, ˇc´ısla, prázdné znaky, . . ., podobn´ ych funkc´ı je celá ˇrada. V´ıce se m˚ uˇzete dozvˇedˇet z nápovˇedy k jednotliv´ ym funkc´ım – jejich pˇrehled z´ıskáte pˇr´ıkazem: >> help strfun

5.4 Porovnáván´ı a vyhledáván´ı ˇretˇezc˚ u

43

Shrnut´ı: - Vytváˇren´ı ˇretˇezc˚ u a vnitˇrn´ı reprezentace v Matlabu - Pˇr´ıstup k jednotliv´ ym znak˚ um ˇretˇezce - Konverze ˇc´ıseln´ ych hodnot na ˇretˇezce a naopak ˇ ezce v matici a v poli bunˇek - Retˇ - Porovnáván´ı ˇretˇezc˚ u - Vyhledáván´ı v ˇretˇezc´ıch - Náhrada v ˇretˇezc´ıch

Kontroln´ı ot´ azky: 1. Vytvoˇrte pˇr´ıkaz, kter´ ym zjist´ıte index posledn´ıho v´ yskytu ˇretˇezce v promˇenné sub v textové promˇenné txt. 2. Vytvoˇrte pˇr´ıkaz, kter´ y z plného jména souboru (vˇcetnˇe absolutn´ı cesty a pˇr´ıpony) vyp´ıˇse pouze vlastn´ı jméno souboru. Napˇr. pro vstup C:\temp\readme.txt vyp´ıˇse pouze readme. 3. Pˇredpokládejte, ˇze v poli bunˇek M máte uloˇzeny ˇretˇezce. Vytvoˇrte pˇr´ıkaz, jehoˇz v´ ysledkem bude matice jedniˇcek a nul koresponduj´ıc´ı s porovnán´ım jednotliv´ ych ˇretˇezc˚ u s ˇretˇezcem ’yes’.

´ Í V MATLABU 6 PROGRAMOVAN

44

6

Programov´ an´ı v Matlabu

Pr˚ uvodce studiem: C´ılem této kapitoly je seznámit se se základn´ımi moˇznostmi zápisu algoritm˚ u v Matlabu. Poˇc´ıtejte asi se tˇremi aˇz ˇsesti hodinami studia, v závislosti na tom, jak jste zdatn´ı v algoritmizaci a jak zkuˇsen´ı v programován´ı v jin´ ych programovac´ıch jazyc´ıch.

6.1

ˇ ıdic´ı pˇ R´ r´ıkazy

V Matlabu máme k dispozici bˇeˇzné pˇr´ıkazy pro zápis algoritmu vˇcetnˇe tzv. ˇr´ıdic´ıch struktur jako je vˇetven´ı a cyklus, známé z jin´ ych programovac´ıch jazyk˚ u. Sekvence pˇr´ıkaz˚ u se zap´ıˇse bud’ jako posloupnost ˇra´dk˚ u, kdy na kaˇzdém ˇrádku je jeden pˇr´ıkaz nebo v´ıce pˇr´ıkaz˚ u na jednom ˇra´dku staˇc´ı oddˇelit stˇredn´ıkem. Je-li pˇr´ıkaz ukonˇcen stˇredn´ıkem, vyhodnocen´ y v´ yraz vyhodnocen´ y v tomto pˇr´ıkazu se nevypisuje na obrazovku. Pokud má zápis pˇr´ıkazu pokraˇcovat na dalˇs´ım ˇra´dku, je pˇredcházen tˇremi teˇckami na konci pˇredchoz´ıho ˇrádku. Identifikátor muˇze m´ıt aˇz 31 alfanumerick´ ych znak˚ u nebo podtrˇz´ıtek, zaˇc´ıná p´ısmenem, velká a malá p´ısmena se rozliˇsuj´ı. Jako identifikátory neuˇz´ıvejte Matlabem uˇz´ıvané názvy konstant, promˇenn´ ych a funkc´ı jako napˇr. pi, eps, ans, Inf, NaN, realmax, realmin (a také i, j, pokud budete poˇc´ıtat s komplexn´ımi ˇc´ısly), nebot’ t´ım byste si pˇrepsali jejich nastavené hodnoty. Vˇse za znakem procento (%) do konce ˇrádku je komentáˇr. Podm´ınˇen´ y pˇr´ıkazy má tvar if podminka1 prikaz1 elseif podminka2 prikaz2 else prikaz3 end ˇ asti elseif a else jsou nepovinné, podm´ınˇen´ C´ y pˇr´ıkaz m˚ uˇze b´ yt zapsán i na jednom ˇra´dku. Pˇrep´ınaˇc má tvar switch(v´ yraz) case value1 prikaz1 case value2 prikaz2

ˇ ıdic´ı pˇr´ıkazy 6.1 R´

45

... ... ... case valuen prikazn otherwise nejaky prikaz ˇ ast otherwise je nepovinná. C´ Cykly lze zapsat bud’ jako while podminka prikaz end nebo for

identifik´ ator = vektor prikaz

end Vˇsude, kde je moˇzno zapsat pˇr´ıkaz, m˚ uˇze to b´ yt i sekvence v´ıce pˇr´ıkaz˚ u. Pˇ r´ıklad 6.1 V cyklu typu for probˇehne desetkrát pˇriˇrazen´ı vektoru náhodn´ ych ˇc´ısel do i−tého ˇrádku matice: for i = 1:10 P(i, :) = 2 + 3*rand(1, 5); end

Pˇ r´ıklad 6.2 V cyklu typu while probˇehne rozeb´ırán´ı hromady, dokud hromada nen´ı menˇs´ı nebo rovna 1. Na obrazovku se vyp´ıˇse poˇcet proveden´ ych odbˇer˚ u. hromada = 10; poc = 0; while hromada > 1 hromada = hromada - rand(1); poc = poc + 1; end display(poc)


46

6.2

M-soubory

Sekvence pˇr´ıkaz˚ u je moˇzné zapsat do textov´ ych soubor˚ u, jejichˇz jméno má pˇr´ıponu .m“. Celou sekvenci pˇr´ıkaz˚ u pak vyvoláme jménem souboru bez pˇr´ıpony. Pokud tato ” sekvence nemá ˇza´dné vstupn´ı parametry, ˇr´ıkáme takovému souboru skript (dávka). Pˇri jej´ım vyvolán´ı je pak sekvence pˇr´ıkaz˚ u postupnˇe interpretována stejnˇe jako bychom ji znovu po jednotliv´ ych pˇr´ıkazech znovu zadávali v pˇr´ıkazovém oknˇe. T´ım si m˚ uˇzeme uˇsetˇrit ˇcas i naˇsi zbyteˇcnou práci. Velmi uˇziteˇcn´ ym prostˇredkem je zapsat sekvenci pˇr´ıkaz˚ u jako funkci, tj. vytvoˇrit podprogram. Tak máme k dispozici postup pro modulárn´ı strukturu program˚ u v Matlabu. Vytvoˇrenou funkci m˚ uˇzeme pak volat (spouˇstˇet) s r˚ uzn´ ymi hodnotami vstupn´ıch parametr˚ u. Syntaxi zápisu funkce m˚ uˇzeme ve struˇcnosti vyjádˇrit schématem function[seznam vystupnich parametru]... = jmeno_funkce(seznam vstupnich parametru) ---- prikazy provedene pri volani funkce ---Pokud funkce vrac´ı jen jednu hodnotu (jednu promˇennou, m˚ uˇze to b´ yt ale i vektor nebo matice), v´ ystupn´ı parametr nemus´ı b´ yt v hranat´ ych závorkách. Promˇenné zavedené uvnitˇr funkce jsou lokáln´ı, takˇze nepˇrepisuj´ı hodnoty stejnˇe nazvan´ ych promˇenn´ ych ve volaj´ıc´ım modulu a po skonˇcen´ı bˇehu funkce lokáln´ı promˇenné zmiz´ı z pamˇeti poˇc´ıtaˇce a m´ısto, které v pamˇeti zab´ırali, uvoln´ı. Zvolené jméno funkce mus´ı b´ yt shodné se jménem souboru, ve kterém je zdrojov´ y text funkce uloˇzen (bez pˇr´ıpony .m“). Uˇz´ıván´ı funkc´ı je i v´ yhodné s ohledem na délku v´ ypoˇctu, nebot’ pˇri ” prvn´ım volán´ı probˇehne kompilace funkce a dalˇs´ı volán´ı je rychlejˇs´ı neˇz opakovaná interpretace jednotliv´ ych pˇr´ıkaz˚ u. Pˇ r´ıklad 6.3 Jako pˇr´ıklad funkce si ukáˇzeme náhodn´ y v´ ybˇer k hodnot (bez opakován´ı) z mnoˇziny {1, 2, . . . , N }, k ≤ N . Pokud by bylo N = 49 a k = 7, je to procedura losován´ı Sportky. Pˇr´ıklad peˇclivˇe prostudujte, nebot’ ilustruje nˇekolik uˇziteˇcn´ ych operac´ı s vektory v Matlabu. % random sample, k of N without repetition % function result = nahvyb(N, k) opora = 1:N; % N micku je v osudi nahv = []; % zadny micek neni zatim vytazen for i = 1:k index = 1 + fix(rand(1) * length(opora)); % vybran micek nahv(end+1) = opora(index); % uz je vytazen

6.2 M-soubory

opora(index) = []; end result = nahv;

47

% v osudi vytazeny micek zrusit

Uveden´ y zp˚ usob implementace náhodného v´ ybˇeru je jen jedn´ım z mnoha moˇzn´ ych. Je to vlastnˇe velmi pˇr´ımoˇcar´ y model fyzického losován´ı z osud´ı. Pˇ r´ıklad 6.4 Jin´ y zp˚ usob implementace m˚ uˇze vyuˇz´ıt funkci randperm. Pak je zápis algoritmu jeˇstˇe kratˇs´ı: % random sample, k of N without repetition % function result = nahvybperm(N, k) pom = randperm(N); % utvor nahodnou permutaci cisel 1:N result = pom(1:k); % vyber k prvnich

Nyn´ı m˚ uˇzeme porovnat, kter´ y z tˇechto dvou algoritm˚ u je rychlejˇs´ı. Pro testován´ı si nap´ıˇseme jednoduch´ y skript. N = % sem budeme pri spousteni zadavat hodnoty, napr. 49 nebo 200 k = % sem budeme pri spousteni zadavat hodnoty, napr. 7 nebo 3 opak = 10000; tic for ii = 1:opak pom = nahvyb(N, k); end toc tic for ii = 1:opak pom = nahvybperm(N, k); end toc Na obrazovce se pak objev´ı tyto v´ ysledky: N = 49 k = 7

48


Elapsed time is 0.756440 seconds. Elapsed time is 0.455496 seconds. N = 200 k = 3 Elapsed time is 0.458998 seconds. Elapsed time is 0.797050 seconds. Vid´ıme, ˇze pro vˇetˇs´ı k a menˇs´ı N je rychlejˇs´ı algoritmus nahvybperm, zat´ımco pro menˇs´ı k a vˇetˇs´ı N je tomu naopak. Pˇ r´ıklad 6.5 Nˇekdy potˇrebujeme náhodn´ y v´ ybˇer s vylouˇcen´ım nˇekter´ ych prvk˚ u, tzn. ˇze tyto prvky se v nˇem nesm´ı objevit. Toho m˚ uˇzeme snadno dosáhnout malou modifikac´ı funkce nahvyb: % random sample, k of N without repetition, % numbers given in vector expt are not included % function vyb = nahvyb_expt(N, k, expt); opora = 1:N; if nargin == 3 % pokud zadame jen N a k, funguje jako nahvyb opora(expt) = []; % pred losovanim vyjmeme zakazane micky end vyb = zeros(1, k); % zabereme misto pro vsech k micku for i=1:k index = 1 + fix(rand(1) * length(opora)); vyb(i) = opora(index); opora(index) = []; end

Pokud bychom chtˇeli naprogramovat takov´ y v´ ybˇer s vylouˇcen´ım nˇekter´ ych prvk˚ u modifikac´ı funkce nahvybperm, taková modifikace by mohla vypadat tˇreba takto: Pˇ r´ıklad 6.6 % random sample, k of N without repetition, % numbers given in vector expt are not included %

6.2 M-soubory

49

function vyb = nahvybperm_expt(N, k, expt) vyb = randperm(N); if nargin == 3 zrus = zeros(1, length(expt)); for ii = 1:length(expt) zrus(ii) = find(vyb == expt(ii)); end vyb(zrus) = []; end vyb = vyb(1:k);

Pˇri volán´ı funkce nemus´ı b´ yt vˇzdy zadán pln´ y poˇcet vstupn´ıch i v´ ystupn´ıch parametr˚ u. Pro oˇsetˇren´ı takového volán´ı jsou urˇceny funkce nargin a nargout (bez parametr˚ u), které vracej´ı aktuáln´ı poˇcet pˇr´ısluˇsn´ ych parametr˚ u, viz pˇredchoz´ı ukázka. Pokud programujete nˇejakou funkci, vˇzdy si dobˇre rozvaˇzte, zda dovol´ıte ne´ uplné zadán´ı vstupn´ıch parametr˚ u. Pokud to nen´ı pro uˇzivatele nutné nebo extrémnˇe v´ yhodné, tak si nekomplikujte ˇreˇsen´ı a vyˇzadujte pˇri volán´ı funkce vˇsechny vstupn´ı parametry. Nˇekdy potˇrebujeme, abychom mohli jako vstupn´ı parametr pro nˇejak´ y algoritmus zadat funkci, která má b´ yt v tomto algoritmu pouˇzita. Napˇr. máme naprogramovan´ y algoritmus (v Matlabu jako podprogram function) hledaj´ıc´ı minimum funkce, v tomto algoritmu potˇrebujeme minimalizovanou funkci vyhodnocovat, a pˇritom chceme, abychom takov´ y podprogram mohli vyuˇz´ıvat nejen pro jednu pevnˇe danou funkci, ale abychom poˇzadovanou funkci mohli zadat. K tomu nám v Matlabu slouˇz´ı funkce feval, jej´ımiˇz vstupn´ımi parametry jsou jméno funkce a hodnota argumentu funkce, v´ ystupem je pak funkˇcn´ı hodnota zadané funkce v zadaném bodu. Pˇr´ıkazem y = feval(fnname, x);

vyhodnot´ıme v bodˇe x tu funkci, jej´ıˇz jméno je zadáno. Jméno funkce fnname m˚ uˇze b´ yt zadáno jako ˇretˇezec se jménem funkce nebo nebo jako tzv. handle, coˇz je jméno funkce uvedené znakem @. Samozˇrejmˇe funkce tohoto jména mus´ı b´ yt dostupná, napˇr. jako m-soubor nebo jako vestavˇená funkce Matlabu. Pˇ r´ıklad 6.7 Volán´ı funkce feval ukáˇzeme v jednoduchém pˇr´ıkladu. Máme naprogramovanou funkci (uloˇzenou v m-souboru, která m˚ uˇze b´ yt poˇzadovanou alternativou ke standardn´ımu vyhodnoceni druhé odmocniny:


50

function y = mojeodmocnina(x) % % druhou odmocninu pocita funkce sqrt, % pokud je argument zaporny, % tak vysledek je komplexni cislo % % mojeodmocnina bude pro x > 0 vracet hodnotu NaN % if x >= 0 y = sqrt(x); else y = NaN; end Pak v pˇr´ıkazu m˚ uˇzeme specifikac´ı funkce zadat, jakou verzi v´ ypoˇctu odmocniny si pˇrejeme: >> y = feval(’sqrt’, -25) y = 0 + 5.0000i >> y = feval(@mojeodmocnina,-25) y = NaN

6.3

Doporuˇ cen´ı pro vhodn´ y v´ ybˇ er pˇ r´ıkaz˚ u

Pˇri zápisu algoritm˚ u v Matlabu se vyplat´ı uvaˇzovat vektorovˇe“, nebot’ ˇradu ope” rac´ı je moˇzno v Matlabu zapsat efektivnˇeji neˇz uˇzit´ım postup˚ u znám´ ych z jazyk˚ u nepodporuj´ıc´ıch vektorové a maticové operace (napˇr. Pascal nebo C). Pˇredevˇs´ım je nutno velmi uváˇzlivˇe uˇz´ıvat cykl˚ u, zejména vnoˇren´ ych. R˚ uznou ˇcasovou nároˇcnost ukazuj´ı následuj´ıc´ı pˇr´ıklady v´ ypoˇctu souˇctu druh´ ych mocnin prvk˚ u vektoru a. ˇ Pˇ r´ıklad 6.8 Casovˇ e nejnároˇcnˇejˇs´ı je klasick´ y postup“ naˇc´ıtán´ı druh´ ych mocnin ” jednotliv´ ych prvk˚ u v cyklu: N = 10000 a = rand(50, 1) tic for i = 1:N

6.3 Doporuˇcen´ı pro vhodn´ y v´ ybˇer pˇr´ıkaz˚ u

51

s = 0; for j = 1:length(a) s = s + a(j)^2; end end toc Elapsed time is 1.2700 Vyuˇzit´ım aritmetické operace pro vˇsechny prvky vektoru (zde a .* a nebo a.^2) dosáhneme témˇeˇr osminásobného zkrácen´ı potˇrebného ˇcasu: tic for i = 1:N s = sum(a .* a); end toc Elapsed time is 0.1600 A vyuˇzijeme-li skalárn´ı souˇcin, potˇrebn´ y ˇcas jeˇstˇe o trochu zkrát´ıme: tic for i = 1:N s = a’ * a; end toc Elapsed time is 0.1100

Pˇ r´ıklad 6.9 V tomto pˇr´ıkladu porovnáme ˇcasovou nároˇcnost dynamické a statické alokace pamˇeti. Prohlédnˇeme si zdrojové texty funkc´ı nahvyb a nahvyb_expt. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe se pamˇet’ pro vylosované m´ıˇcky obsazuje dynamicky vˇzdy po vylosovan´ı kaˇzdého m´ıˇcku, ve druhém pˇr´ıpadˇe staticky obsad´ıme pamˇet’ pro vˇsechny vylosované m´ıˇcky na zaˇca´tku, dopˇredu v´ıme, pro vylosované m´ıˇcky budeme potˇrebovat vektor délky k. Pro ˇcasové porovnán´ı si nap´ıˇseme následuj´ıc´ı skript: opak = 1000; N = 500; k = 100; tic for ii = 1:opak


52

v1 = nahvyb(N, k); end toc tic for ii = 1:opak v1 = nahvyb_expt(N, k); end toc Po spuˇstˇen´ı skriptu dostaneme následuj´ıc´ı v´ ysledky. Elapsed time is 1.343568 seconds. Elapsed time is 1.007942 seconds. Vid´ıme, ˇze statické alokace v tomto pˇr´ıpadˇe vede k zhruba o tˇretinu menˇs´ım ˇcasov´ ym nárok˚ um.

Shrnut´ı: ˇ ıdic´ı struktury v Matlabu (vˇetven´ı, cykly, pˇrep´ınaˇc) - R´ - Skripty a funkce v Matlabu, vstupn´ı a v´ ystupn´ı parametry funkc´ı - Lokáln´ı promˇenné - Vyuˇzit´ı vektorov´ ych a maticov´ ych operac´ı - Statická a dynamická alokace pamˇeti poˇc´ıtaˇce

Kontroln´ı ot´ azky: 1. Kdy pouˇz´ıt skript, kdy funkci? 2. Jak budete generovat náhodné ˇc´ıslo z diskrétn´ıho rovnomˇerného rozdˇelen´ı z intervalu [1, 100]? 3. Kdy m˚ uˇze b´ yt jméno funkce vstupn´ım parametrem jiné funkce? 4. M˚ uˇzete generovat náhodn´ y v´ ybˇer k hodnot z [1, 2, . . . , N ] pomoc´ı funkce randperm jin´ ym zp˚ usobem, neˇz je uvedeno v textu? Zkuste navrhnout moˇzné ˇreˇsen´ı.

53

7

3D grafika

Pr˚ uvodce studiem: C´ılem této kapitoly je pochopit princip práce s 3D grafikou v Matlabu, zejména pak r˚ uzné moˇznosti v´ ypoˇctu hodnot Z-souˇradnic a interaktivn´ı editace 3D graf˚ u. Pro pochopen´ı látky a zvládnut´ı cviˇcen´ı si vyhrad’te alespoˇ n ˇctyˇri hodiny.

7.1

Jednoduch´ eˇ c´ arov´ e grafy

Nejjednoduˇsˇs´ı pˇr´ıpad vykreslován´ı 3D graf˚ u v Matlabu je v pˇr´ıpadˇe, kdy máme tˇri vektory promˇenn´ ych stejn´ ych rozmˇer˚ u. V takovém pˇr´ıpadˇe se jedná o tzv. ˇcárové grafy a vytváˇr´ı se pomoci pˇr´ıkazu plot3. Pˇ r´ıklad 7.1 Vytvoˇr´ıme vektor ekvidistantnˇe rozloˇzen´ ych hodnot x a nakresl´ıme ˇcárov´ y graf, kde souˇradnice y a z jsou dopoˇcteny podle zadan´ ych funkc´ı. >> x = -pi:pi/60:pi; >> plot3(x, sin(x), 2 .* cos(x)); Grafem je pak následuj´ıc´ı kˇrivka v 3D prostoru:

2 1 0 −1 4

−2 1

2 0.5

0 0 −2

−0.5 −1

7.2

−4

Kreslen´ı sloˇ zitˇ ejˇ s´ıch 3D graf˚ u

Kreslen´ı graf˚ u sloˇzitˇejˇs´ıch funkc´ı v 3D si ukáˇzeme na jednoduch´ ych pˇr´ıkladech.

54

7 3D GRAFIKA

Pˇ r´ıklad 7.2 Chceme nakreslit graf funkce f (x, y) = exp(−(x2 + y 2 )) pro hodnoty x ∈ [−1, 2; 1.2] a y ∈ [−2; 2]. Nejdˇr´ıve vytvoˇr´ıme vektory hodnot x-ové i y-ové souˇradnice pro s´ıt’ vhodné hustoty: x = -1.2:0.05:1.2; y = -2:0.1:2; Pak pˇr´ıkazem meshgrid vytvoˇr´ıme matice X a Y typu (length(y) × length(x)), v tomto pˇr´ıpadˇe tedy typu (41 × 49), ve kter´ ych odpov´ıdaj´ıc´ı prvky pˇredstavuj´ı vˇsechny dvojice hodnot prvk˚ u vektor˚ u x a y. Pak uˇz jen vyhodnot´ıme z-tovou souˇradnici (matice Z typu (41 × 49)) a pˇr´ıkazem mesh nakresl´ıme tzv. drátový graf do okna Figure. [X Y] = meshgrid(x, y); Z = exp(-X.^2 - Y.^2); mesh(X, Y, Z); % Vykresleni stejneho grafu dosahneme % zadanim prikazu: ’mesh(x, y, Z)’

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 2 1

2 1

0

0

−1

−1 −2

−2

O trochu sloˇzitˇejˇs´ı je nakreslen´ı trojrozmˇerného grafu funkce tehdy, kdyˇz matici z-tov´ ych souˇradnic nem˚ uˇzeme spoˇc´ıtat pˇr´ımo, ale máme jen funkci vyhodnocuj´ıc´ı z-tovou souˇradnici v daném bodˇe zadaném souˇradnicemi x a y. Pˇ r´ıklad 7.3 Chceme nakreslit graf funkce, jej´ıˇz hodnotu um´ıme spoˇc´ıtat jen v jed-

7.2 Kreslen´ı sloˇzitˇejˇs´ıch 3D graf˚ u

55

nom zadaném bodu. Vytvoˇr´ıme vektory x a y ekvidistantnˇe rozloˇzen´ ych hodnot a k nim s´ıt’ souˇradnic. Dopoˇcteme souˇradnice vektoru z a vykresl´ıme drátov´ y graf s isoliniemi dané funkce. function z = ackley(x) % Vyhodnocujeme funkci v bodA, zadan´ em vektorem x d = length(x); a = -20 * exp(-0.02 * sqrt(sum(x .* x))); b = -exp(sum(cos(2 * pi * ones(1, d) .* x))/d); z = a + b + 20 + exp(1); S´ıt’ souˇradnic v rovinˇe xy pak vytvoˇr´ıme podobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu. >> x = -3:0.05:3; >> y = -3:0.05:3; >> [X Y] = meshgrid(x, y); Vypoˇc´ıst hodnoty funkce um´ıme pouze v bodech zadan´ ych jako dvouprvkov´ y vektor. Pak nezb´ yvá neˇz spoˇc´ıtat matici Z po jednotliv´ ych prvc´ıch for i = 1:length(y) for j = 1:length(x) Z(i, j) = ackley([X(i, j) Y(i, j)]); end end V´ ypoˇcet je moˇzno trochu zrychlit, kdyˇz z matic X a Y vytvoˇr´ıme vektory, v´ ysledn´ y vektor zz pˇredem inicializujeme na poˇzadovanou délku, aby uvnitˇr cyklu nebylo jeho prvky alokovat dynamicky aˇz v pr˚ ubˇehu v´ ypoˇctu a pak z nˇeho pˇr´ıkazem reshape vytvoˇr´ıme matici poˇzadovanou pro kreslen´ı 3D grafu: xx = X(:); yy = Y(:); zz = zeros(length(xx), 1); for i = 1:length(xx) zz(i) = ackley([xx(i) yy(i)]); end Z = reshape(zz, length(y), length(x)); Pak teprve m˚ uˇzeme nakreslit graf následuj´ıc´ımi pˇr´ıkazy:

56

7 3D GRAFIKA

meshc(X, Y, Z); axis([-3 3 -3 3 -1 4]); xlabel(’x’); ylabel(’y’); zlabel(’z’); Graf Ackleyho funkce po pˇredchoz´ıch pˇr´ıkazech vypadá, jak ukazuje následuj´ıc´ı obrázek:

4 3

f(x)

2 1 0 −1 2 0 −2 x2

7.3

−3

−2

0

−1

1

2

3

x1

Editace 3D grafu

Stejnˇe jako u 2D grafiky, i zde je moˇzné vytvoˇrené grafy editovat. V grafickém oknˇe Figure máme mnoho dostupn´ ych nástroj˚ u pro interaktivn´ı u ´pravy v´ ysledného obrázku (napˇr. popis a editaci os grafu, vkládán´ı text˚ u a grafick´ ych symbol˚ u, rotace obrázku, uloˇzen´ı do souboru, export do jiného formátu atd). Pˇ r´ıklad 7.4 Nakresl´ıme drátov´ y graf funkce f (x, y) = exp(−x2 − y 2 ). >> x = -1.2:0.05:1.2; >> y = -2:0.1:2; >> [X Y] = meshgrid(x, y);


57

>> Z = exp(-X.^2 - Y.^2); >> mesh(X, Y, Z); % popisky jednolivych os grafu >> xlabel(’X’); >> ylabel(’Y’); >> zlabel(’Z’); % nastaven´ ı meznich hodnot jednotlivzch os v porad´ ı: % ([xmin xmax ymin ymax zmin zmax]) >> axis([-2 2 -2 2 0 1]); % vlozeni legendy do grafu >> legend(’Z = exp(-X.^2 - Y.^2)’); % vlozeni nazvu grafu funkce >> title(’Graf funkce Z = exp(-X.^2 - Y.^2)’);

Graf funkce Z=exp(−X.2−Y.2)

1

0.8

Z

0.6

0.4

0.2

0 2 2

1 1

0 0 −1 Y

−1 −2

−2

X

Okno pro interaktivn´ı editaci grafu je na následuj´ıc´ım obrázku v jehoˇz pravé ˇca´sti jsou vysvˇetleny popisy nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ıch funkc´ı editace grafu nab´ıdky Insert.

58

7 3D GRAFIKA

Po aplikaci nˇekter´ ych funkc´ı interaktivn´ı editace m˚ uˇze graf vypadat napˇr. takto:

1

Graf funkce

0.9 1

0.8

X: 0 Y: 0 Z: 1

0.8

0.7 0.6

Z

0.6 0.4

0.5

Z=exp(−X.2−Y.2)

0.4 0.2

0.3

0 2

2 0

0 −2 Y

−2

0.2 0.1

X

Editace grafu v Matlabu lze provádˇet jak pomoc´ı pˇr´ıkaz˚ u, tak interaktivnˇe v grafickém oknˇe Figure. Uˇziteˇcnou interaktivn´ı editac´ı grafu je rotace grafu. Rotaci grafu si ukáˇzeme v následuj´ıc´ım pˇr´ıkladu. Pˇ r´ıklad 7.5 Vytvoˇr´ıme vektory x a y ekvidistantnˇe rozloˇzen´ ych hodnot. Vykres-


59

l´ıme drátov´ y graf Schwefelovy funkce spolu s popisy a pak nakreslen´ y graf v oknˇe Figure interaktivnˇe rotujeme. Schwefelova funkce je definovaná jako:

function y=schwefel(x) % Schwefel’s function, <-500, 500>, % glob. min f(x_star)~0, (for d < 80 0 <= f(x_star) < 1e-10), % x_star = [s, s, ..., s], s = 420.968746 d = length(x); sz = size(x); if sz(1) == 1 x = x’; end y = 418.9828872724338 * d - sum(x .* sin(sqrt(abs(x))));

Dopoˇcteme prvky s´ıtˇe souˇradnic této funkce:

>> >> >> >>

x = -10:0.1:10; y = -10:0.1:10; [X Y] = meshgrid(x, y); for i = 1:length(y) for j = 1:length(x) Z(i, j) = schwefel([X(i, j) Y(i, j)]); end end

a následuj´ıc´ımi pˇr´ıkazy pak vykresl´ıme jej´ı graf:

>> >> >> >> >>

mesh(X, Y, Z); title(’Graf Schwefelovy funkce’); xlabel(’x’); ylabel(’y’); zlabel(’z’);

60

7 3D GRAFIKA

Tento graf m˚ uˇzeme z v´ ychoz´ı polohy následnˇe pomoci tlaˇc´ıtka Rotace 3D rotovat tak, abychom doc´ılili lepˇs´ı pohled na graf, jak ukazuj´ı následuj´ıc´ı obrázky:

Podrobnosti ponecháváme na ˇctenáˇri, kter´ y m˚ uˇze potˇrebné informace z´ıskat v helpu, kde také se dozv´ı i o dalˇs´ıch moˇznostech 3D grafiky v Matlabu.

7.4 Dalˇs´ı typy 3D graf˚ u

7.4

61

Dalˇ s´ı typy 3D graf˚ u

V následuj´ıc´ıch pˇr´ıkladech jsou nakresleny r˚ uzné typy 3D graf˚ u Rastriginovy funkce, která je definovaná následovnˇe.

function y = rastrig(x) % Rastrigin’s function, <-5.12, 5.12>, glob. min f(0) = 0 d = length(x); sz = size(x); if sz(1) == 1 x = x’; end y = 10*d + sum(x .* x - 10 * cos(2 * pi * x));

Nejprve vypoˇcteme s´ıt’ souˇradnic spoleˇcnou pro vˇsechny typy graf˚ u.

>> x = -3:0.05:3; >> y = -3:0.05:3; >> [X Y] = meshgrid(x, y); for i = 1:length(y) for j = 1:length(x) Z(i, j) = rastrig([X(i,j) Y(i,j)]); end end

Pˇ r´ıklad 7.6 Nakresl´ıme graf isolini´ı pˇr´ıkazem contour.

contour(X, Y, Z); xlabel(’x1’); ylabel(’x2’); zlabel(’f(x)’); title(’Graf isolinii rastriginovy funkce’);

62

7 3D GRAFIKA

Graf isolinií rastriginovy funkce

1

f(x)

0.5 0 −0.5 −1 3

3

2

2

1

1

0

0 −1

−1 −2

x2

−2 −3

x1

−3

Pˇ r´ıklad 7.7 Nakresl´ıme graf isoploch pˇr´ıkazem contourf. contourf(X, Y, Z); xlabel(’x1’); ylabel(’x2’); zlabel(’f(x)’); title(’Graf isoploch Rastriginovy funkce’);

Graf isoploch rastriginovy funkce

1

f(x)

0.5 0 −0.5 −1 3

3

2

2

1

1

0

0

−1

−1 −2

x2

−2 −3

−3

x1


63

Pˇ r´ıklad 7.8 Nakresl´ıme drátový graf pˇr´ıkazem mesh.

mesh(X, Y, Z); xlabel(’x1’); ylabel(’x2’); zlabel(’f(x)’); title(’Dratovy graf Rastriginovy funkce’);

Drátový graf rastriginovy funkce

60 50

f(x)

40 30 20 10 0 4 2

4 2

0

0

−2 x2

−2 −4

−4

x1

Pˇ r´ıklad 7.9 Nakresl´ıme drátový graf s isoliniemi pˇr´ıkazem meshc.

meshc(X, Y, Z); xlabel(’x1’); ylabel(’x2’); zlabel(’f(x)’); title(’Dratovy graf Rastriginovy funkce s isoliniemi’);

64

7 3D GRAFIKA

Drátový graf rastriginovy funkce s isoliniemi

60 50

f(x)

40 30 20 10 0 4 2

4 2

0

0

−2

−2 −4

x2

−4

x1

Pˇ r´ıklad 7.10 Nakresl´ıme plastický graf pˇr´ıkazem surf. surf(X, Y, Z); xlabel(’x1’); ylabel(’x2’); zlabel(’f(x)’); title(’Plasticky graf Rastriginovy funkce’);

Plastický graf rastriginovy funkce

60 50

f(x)

40 30 20 10 0 4 2

4 2

0

0

−2 x2

−2 −4

−4

x1


65

Pˇ r´ıklad 7.11 Nakresl´ıme plastický graf s isoliniemi pˇr´ıkazem surfc. surfc(X, Y, Z); xlabel(’x1’); ylabel(’x2’); zlabel(’f(x)’); title(’Plasticky graf Rastriginovy funkce s isoliniemi’); Plastický graf rastriginovy funkce s isoliniemi

60 50

f(x)

40 30 20 10 0 4 2

4 2

0

0

−2 x2

−2 −4

−4

x1

66

7 3D GRAFIKA

Shrnut´ı: - 3D ˇca´rov´ y graf. - Dopoˇcten´ı Z-ové sloˇzky souˇradnic grafu. - Interaktivn´ı editace a u ´prava 3D grafu. - Práce s help pro ˇsirˇs´ı moˇznosti vytváˇren´ı 3D graf˚ u.

Kontroln´ı ot´ azky: 1. Kdy je moˇzné pouˇz´ıt vykreslován´ı 3D grafu pˇr´ıkazem plot3? Jaké má tento pˇr´ıkaz omezen´ı? 2. Co provád´ı pˇr´ıkaz meshgrid a kdy jej pouˇzijeme? 3. Kdy pro vykreslen´ı funkce pouˇzijeme pˇr´ıkaz plot3 a kdy pˇr´ıkaz mesh? 4. Jaké jsou v´ yhody interaktivn´ı editace grafu a oproti pˇr´ıkazové a naopak? 5. Co umoˇzn ˇuje rotace 3D grafu?

67

8

Pr´ ace se soubory

Pr˚ uvodce studiem: C´ılem této kapitoly je objasnit ˇctenáˇri, jak v Matlabu efektivnˇe ukládat a zpˇetnˇe naˇc´ıtat data. Dále je zde popsán n´ızko´ urovˇ nov´ y pˇr´ıstup do souboru. Pro pochopen´ı a procviˇcen´ı tématu poˇc´ıtejte alespoˇ n se tˇremi hodinami studia.

Matlab umoˇzn ˇuje práci s mnoha typy dat jako jsou ˇc´ıselné vektory a matice, textové soubory, tabulkové soubory, ale i r˚ uzné grafické objekty, objekty zvuku ˇci dokonce videa. V Matlabu máme ˇradu moˇznost´ı, jak importovat data ze soubor˚ u a exportovat data do soubor˚ u r˚ uzn´ ych formát˚ u. Podrobnosti nalezneme v helpu pod hesly fileformats, iofun a odkazech na dalˇs´ı poloˇzky. Zde uvedeme jen nˇekteré pˇr´ıklady práce se soubory, které nám budou uˇziteˇcné pˇri práci s Matlabem, pˇri naˇc´ıtán´ı vstupn´ıch dat z textov´ ych soubor˚ u a pˇri ukládán´ı v´ ysledk˚ u do textové tabulky se sloupci s konstantn´ı ˇs´ıˇrkou.

8.1

Ukl´ ad´ an´ı a naˇ c´ıt´ an´ı promˇ enn´ ych, pr´ ace s workspace

Nejprve si ukáˇzeme nejjednoduˇsˇs´ı zp˚ usob, jak v Matlabu ukládat promˇenné do binárn´ıho souboru a zpˇetnˇe je naˇc´ıst. Pˇ r´ıklad 8.1 Vytvoˇr´ıme skalár, vektor ekvidistantnˇe rozloˇzen´ ych hodnot a matici 5 × 5, která má na hlavn´ı diagonále hodnoty z rovnomˇerného rozdˇelen´ı a na ostatn´ıch pozic´ıch nuly. Skalár a matici uloˇz´ıme do souboru s názvem ’Ulozeni.mat’. >> a = 1; b = -0.5:0.01:0.5; C = rand(5) .* eye(5); % Nasledujici prikaz ulozi promenne a a C % do souboru s nazvem Ulozeni.mat >> save(’Ulozeni.mat’, ’a’, ’C’); % Promenne ulozime stejne prikazem >> save Ulozeni.mat a C;

Uloˇzené promˇenné a a C do binárn´ıho souboru lze pak kdykoliv moˇzné do Matlabu naˇc´ıst.

´ 8 PRACE SE SOUBORY

68

Pˇ r´ıklad 8.2 Naˇcteme promˇenné ze souboru s názvem ’Ulozeni.mat’ do pracovn´ıho prostˇred´ı Matlab. Promˇenné s jejich podrobnostmi vyp´ıˇseme pˇr´ıkazem whos na obrazovku. >> load ’Ulozeni.mat’; >> whos -file ’Ulozeni.mat’ Name

Size

C a

5x5 1x1

Bytes 200 8

Class double array double array

Pˇr´ıkaz whos s parametrem -file a nazev_souboru vyp´ıˇse promˇenné uloˇzené v souboru nazev souboru. Pˇ r´ıklad 8.3 Matici (6 × 2) uloˇzenou v souboru, jehoˇz jméno je v ˇretˇezci (promˇenná) fdatname a soubor má následuj´ıc´ı obsah 2.138E0 3.421E0 3.597E0 4.340E0 4.882E0 5.660E0

1.309E0 1.471E0 1.490E0 1.565E0 1.611E0 1.680E0

naˇcteme snadno do promˇenné (matice) X pˇr´ıkazem dlmread X = dlmread(fdatname, ’ ’);

Druh´ y parametr znamená specifikaci oddˇelovaˇce (delimiter) datov´ ych poloˇzek, v tomto pˇr´ıpadˇe je to mezera (alespoˇ n jedna mezera znamená konec ˇc´ıselné poloˇzky, u jin´ ych oddˇelovaˇc˚ u jako je tabulátor nebo stˇredn´ık to je jinak, tam kaˇzd´ y v´ yskyt oddˇelovaˇce znamená novou poloˇzku). Podobnˇe snadno lze naˇc´ıtat data i z jin´ ych formát˚ u, napˇr. tabulky z Excelu pˇr´ıkazem xlsread ap.

8.2

N´ızko´ urovˇ nov´ y pˇ r´ıstup do souboru

N´ızko´ urovˇ nov´ y pˇr´ıstup do souboru slouˇz´ı k nastaven´ı námi urˇceného vzhledu a formátován´ı souboru. Tento pˇr´ıstup umoˇzn ˇuje kombinovat r˚ uzné datové typy v jednom

8.2 N´ızko´ urovˇ nov´ y pˇr´ıstup do souboru

69

souboru. Pˇr´ıkaz n´ızko´ urovˇ nového zapisován´ı do souboru má tvar fprintf(fid, ’form´ at_promˇ enn´ e’, n´ azev_promˇ enn´ e), nejprve je ovˇsem nutné zajistit otevˇren´ı existuj´ıc´ıho ˇci vytvoˇren´ı nového souboru pˇr´ıkazem fopen, v obecném tvaru fid = fopen(’nazev_souboru’, ’parametr’); kde hodnota parametru specifikuje, jak´ ym zp˚ usobem má b´ yt soubor otevˇren: ’r’: otevˇre soubor pro ˇcten´ı (read) ’w’: otevˇre soubor pro zápis (write) – neexistuj´ıc´ı se zaloˇz´ı, existuj´ıc´ı se pˇrep´ıˇse ’a’: otevˇre soubor pro pˇripsán´ı (append) – neexistuj´ıc´ı se zaloˇz´ı, existuj´ıc´ı se rozˇs´ıˇr´ı K zápisu jednotliv´ ych poloˇzek promˇenné v Matlabu do ˇrádku souboru slouˇz´ı pˇr´ıkaz fprintf. Seznam poloˇzek, které maj´ı b´ yt zapsány, je pˇredcházen specifikac´ı formátu, posledn´ı pˇr´ıkaz ukonˇcuje ˇra´dek ve v´ ystupn´ım souboru. Následuj´ıc´ı pˇr´ıklady ukazuj´ı, jak formátovat jednotlivé typy dat. Jeden specifikátor formátu odpov´ıdá jednomu typu dat, tedy jednomu sloupci dat ve v´ ysledném souboru. Pˇ r´ıklad 8.4 Zápis dat do souboru. Seznam jednotliv´ ych promˇenn´ ych je pˇrecházen stejn´ ym poˇctem specifikátor˚ u formátu. Do souboru s identifikátorem fid zap´ıˇseme ˇra´dky s hodnotami promˇenn´ ymi mod_name, d, prvn´ı prvky z vektor˚ u a a b. Do téhoˇz ˇra´dku zap´ıˇseme promˇenné alfa a RSS a dále prvn´ıch d prvk˚ u z vektoru beta. fopen(’soub1’, ’w’); fprintf(fid, ’ %-10s %4.0f %11.3e %11.3e’, mod_name, d, a(1), b(1)); fprintf(fid, ’ %7.2f’ , alfa ); fprintf(fid, ’ %8.0f’ , evals); fprintf(fid, ’ %15.7e’, RSS); for i = 1:d fprintf(fid, ’ %14.5e’ , beta(i)); end fprintf(fid, ’%1s\n’, ’ ’);

Dalˇs´ı záznam (ˇra´dek) do souboru pak zap´ıˇseme volán´ım stejné sekvence pˇr´ıkaz˚ u, obvykle je tedy tato sekvence um´ıstˇena uvnitˇr nˇejakého cyklu. Na závˇer soubor zavˇreme pˇr´ıkazem fclose(fid). Pˇ r´ıklad 8.5 Vytvoˇr´ıme a zap´ıˇseme matici ˇc´ısel 1–15 rozmˇeru 3 × 5 do textového souboru.

70


% Vytvoreni rady cisel >> x = 1:15; % Zmena rozmeru vektoru s cisly na matici >> A = reshape(x, 3, 5); A = 1 4 7 10 13 2 5 8 11 14 3 6 9 12 15 Matici poté zap´ıˇseme do souboru: >> fid = fopen(’matA.txt’, ’a’); >> fprintf(fid, ’%2d %2d %2d\n’, A); % Prvky matice At jsou cteny po sloupcich a zapisovany % do jednotlivych radku souboru, viz. nasledujici obrazek >> fclose(fid);

V´ yznam parametru formátován´ı souboru je jednoduch´ y (%w.df ): w – definuje celkov´ y poˇcet znak˚ u, d – definuje poˇcet desetinn´ ych m´ıst, f – definuje formu v´ ystupu (f -float, d-decimal, e-exponential, s-string, c-character, aj.). Specifikaci formátu zápisu do souboru doplˇ nuj´ı nˇekteré speciáln´ı znaky: \n – pro pˇrechod na nov´ y ˇra´dek, \t – pro vloˇzen´ı tabulátoru, \’ – pro vloˇzen´ı apostrofu, aj.

8.3 Naˇcten´ı dat z Excelu

71

Z dalˇs´ıch uˇziteˇcn´ ych funkc´ı pro efektivn´ı práci se soubory uvedeme: fpos, která vrac´ı aktuáln´ı pozici indikátoru v daném souboru, a fseek, která pˇresouvá indikátor pozice v daném souboru s ohledem na parametr orientace (’bof’, ’cof’, ’eof’). Indikátor je ukazatel (”kurzor”) aktuáln´ı pozice (pro zápis nebo ˇcten´ı) v souboru.

8.3

Naˇ cten´ı dat z Excelu

Matlab umoˇzn ˇuje práci i se soubory nˇekter´ ych tabulkov´ ych procesor˚ u, jako je napˇr´ıklad Excel. K tomuto v Matlabu slouˇz´ı pˇr´ıkaz xlsread. Naˇcten´ı dat ze souboru Excelu demonstruje následuj´ıc´ı pˇr´ıklad.

Pˇ r´ıklad 8.6 Naˇcteme ˇc´ıselná a textová data z Excelu do Matlabu tak, aby nedoˇslo ke ztrátˇe ˇci znehodnocen´ı dat. Data ze souboru ’Data.xls’ naˇcteme do promˇenn´ ych ’cisla’ a ’texty’.

Následuj´ıc´ı pˇr´ıkaz v Matlabu naˇcte ˇc´ıselné hodnoty do promˇenné cisla a textové ˇretˇezce do promˇenné texty.

>> [cisla,texty] = xlsread(’data.xls’,-1)


72

Pomoc´ı parametru -1 pˇr´ıkazu xlsread v datech vybereme interaktivnˇe ˇc´ısla, které chceme naˇc´ıst do Matlabu a potvrd´ıme tlaˇc´ıtkem OK. Data jsou naˇctena do promˇenn´ ych a vypsána na obrazovku: cisla = 8500 17000 26000 texty = ’Petr’ ’Viktor’ ’Josef’

9800 18000 16000

10500 19000 27000

’Bujok’ ’Pavliska’ ’Tvrdik’

Dalˇs´ı moˇznosti práce s datov´ ymi soubory Excelu nalezne ˇctenáˇr opˇet v Helpu. Uvedené pˇr´ıklady jen ilustruj´ı základn´ı moˇznosti práce se soubory, o dalˇs´ıch operac´ıch se soubory vˇcetnˇe práce s grafick´ ymi formáty se potˇrebné informace naleznou v helpu. Shrnut´ı: - Matlab umoˇzn ˇuje snadn´ y import a export dat. Mimo to lze pˇr´ımo za bˇehu Matlabu ukládat a naˇc´ıtat promˇenné, pˇr´ıpadnˇe celé pracovn´ı prostˇred´ı. - Matlab umoˇzn ˇuje n´ızko´ urovˇ nov´ y pˇr´ıstup do souboru, kter´ y dovoluje podrobnˇejˇs´ı volby formátován´ı dat.

8.3 Naˇcten´ı dat z Excelu

73

- N´ızko´ urovˇ nov´ y pˇr´ıstup do souboru umoˇzn ˇuje ukládán´ı dat z r˚ uzn´ ych typ˚ u do jednoho souboru.

Kontroln´ı ot´ azky: 1. Jaká je hlavn´ı v´ yhoda n´ızko´ urovˇ nového pˇr´ıstupu do souboru? 2. Co se stane, jestliˇze neuzavˇreme soubor po uloˇzen´ı pˇr´ıkazem fclose? 3. Co je zapotˇreb´ı udˇelat, abychom byli schopni naˇc´ıst z Excelu ˇc´ıselné i textové hodnoty?

74

9 ALTERNATIVY MATLABU

9

Alternativy MATLABU

Pr˚ uvodce studiem: C´ılem této kapitoly je seznámit ˇctenáˇre s jin´ ymi softwarov´ ymi alternativami systému Matlab, které jsou s n´ım v´ıce-ménˇe kompatibiln´ı, jednak co se t´ yˇce syntaxe zápisu a do znaˇcné m´ıry také souborem vestavˇen´ ych funkc´ı. Tato kapitola je sp´ıˇse pˇrehledová a jej´ım hlavn´ım u ´ˇcelem je poskytnout odkazy na nejˇcastˇeji pouˇz´ıvané programy, které jsou poskytovány pod r˚ uzn´ ymi, ale vesmˇes svobodn´ ymi licencemi. ˇ vˇenovan´ Cas y této kapitole záleˇz´ı pˇredevˇs´ım na zájmu ˇctenáˇre, nakolik se bude cht´ıt vˇenovat uveden´ ym odkaz˚ um a m˚ uˇze se pohybovat v rozmez´ı od p˚ ul hodiny aˇz po nˇekolik veˇcer˚ u stráven´ ych brouzdán´ım po internetu.

9.1

Octave

Octave je matematick´ y program, kter´ y je v rámci open source alternativ s programem Matlab asi nejv´ıce kompatibiln´ı. Octave nebyl v˚ ubec p˚ uvodnˇe zam´ yˇslen jako program, kter´ y by mohl nahrazovat komerˇcn´ı program Matlab, ale byl navrˇzen jako uˇzivatelsky pˇr´ıjemn´ y program pro psan´ı vysokoˇskolské uˇcebnice t´ ykaj´ıc´ı se návrhu chemick´ ych reaktor˚ u. Aˇckoli byl takto plánován, byl pouˇz´ıván v mnoha dalˇs´ıch vysokoˇskolsk´ ych a absolventsk´ ych kurzech chemického inˇzen´ yrstv´ı na univerzitˇe v Texasu. Matematické oddˇelen´ı této univerzity jej pouˇz´ıvalo také k v´ yuce diferenciáln´ıch rovnic a lineárn´ı algebry. Rozˇ s´ıˇ ren´ı Octave Matlabu znal´ y uˇzivatel velice záhy u Octave zjist´ı, ˇze ˇrada funkc´ı jemu d˚ uvˇernˇe znám´ ych zde prostˇe chyb´ı. Nejvˇetˇs´ı absenˇcn´ı známky základn´ı instalace Octave se snaˇz´ı napravit repozitáˇr funkc´ı Octave-forge s´ıdl´ıc´ı na adrese http://octave. sourceforge.net, které lze doinstalovat k jiˇz instalovanému základn´ımu Octave. V praxi to funguje tak, ˇze si uˇzivatel stáhne cel´ y bal´ık funkc´ı vˇcetnˇe instalaˇcn´ıch skript˚ u, v pr˚ ubˇehu instalace si volitelnˇe zvol´ı, o které funkce má zájem, následnˇe kompiluje, a pokud se vˇse zdaˇr´ı, m˚ uˇze si uˇz´ıvat vˇetˇs´ı kompatibility s Matlabem. Konkrétnˇe si tak uˇzivatel m˚ uˇze dopomoci napˇr´ıklad k sadám funkc´ı z oblasti: • ekonometrie, • paraleln´ı zpracován´ı dat, • tˇr´ırozmˇerná vizualizace (VRML), • spousta nov´ ych typ˚ u graf˚ u, • symbolické v´ ypoˇcty.

9.2 FreeMat

75

QtOctave QtOctave je grafick´ y frontend pro konzolovou aplikaci GNU/Octave, napsan´ y v Qt4. Sv´ ym rozvrˇzen´ım a funkcemi se snaˇz´ı vyrovnat proprietárn´ımu programu Matlab. Kromˇe grafického frontendu pro GNU/Octave nab´ız´ı téˇz integrovan´ y editor skript˚ u. V souˇcasné dobˇe jsou dostupné verze pro GNU/Linux a MS Windows.

Odkazy • Oficiáln´ı stránky Octave: http://www.octave.org • Doplnujˇ nuj´ıc´ı bal´ıˇcky pro Octave: http://octave.sourceforge.net/index. html ˇ y pr˚ • Cesk´ uvodce programem: http://www.octave.cz • 3D vizualizace do Octave: http://octaviz.sourceforge.net • Grafick´ y systém do Octave: http://octplot.sourceforge.net • Uˇzivatelsk´ y frontend (QtOctave): http://qtoctave.wordpress.com • Souhrn rozd´ıl˚ u mezi Octave a Matlabem: http://en.wikibooks.org/wiki/ MATLAB_Programming/Differences_between_Octave_and_MATLAB a http: //wiki.octave.org/wiki.pl?MatlabOctaveCompatibility • Seriál o Octave na serveru AbcLinuxu: http://www.abclinuxu.cz/serialy/ octave

9.2

FreeMat

Jedná se o projekt, za kter´ ym stoj´ı Samit Basu, ale dnes jiˇz velkou ˇcást v´ yvoje provád´ı komunita. Pokud jde o kompatibilitu s Matlabem, pak stránky produktu uvádˇej´ı pˇribliˇznˇe 95% kompatibilitu a na dalˇs´ıch vylepˇsen´ıch se pracuje. Naopak oproti Matlabu nen´ı moˇzno vytváˇret grafická uˇzivatelská rozhran´ı k aplikac´ım, ale nˇekteré partikulárn´ı ˇca´sti jsou postupnˇe zapracovávány. Silnou stránkou aplikace je moˇznost provádˇet paraleln´ı v´ ypoˇcty skrze MPI, coˇz v´ yraznˇe rozˇsiˇruje ˇskálu funkc´ı a moˇznost´ı tohoto nástroje. Nechyb´ı ani schopnosti 3D vizualizac´ı, coˇz je právˇe jedna z domén Matlabu. Pozitivem je také to, ˇze k dispozici jak pro Linux, tak také pro Mac OS i Windows. Celá skupina funkc´ı je vˇenována napˇr´ıklad grafick´ ym prostˇredk˚ um anal´ yzy dat. Na základˇe zadan´ ych dat zvládne vygenerovat pˇr´ımé proloˇzen´ı nejr˚ uznˇejˇs´ımi funkcemi. Nechyb´ı ani nástroje pro interpolaci ˇci extrapolaci dat, proloˇzen´ı Gaussovou kˇrivkou

76

9 ALTERNATIVY MATLABU

ˇci libovoln´ ym polynomem. Pokud jde o ˇreˇsen´ı diferenciáln´ıch rovnic je moˇzné uˇz´ıt i numerické metody, coˇz je právˇe pro oblast inˇzen´ yrstv´ı zásadn´ım zp˚ usobem d˚ uleˇzité. Program si bez pot´ıˇz´ı porad´ı i s ˇr´ıdk´ ymi maticemi, coˇz je dalˇs´ı, ne zcela triviáln´ı dovednost. Podobnˇe m˚ uˇze b´ yt uˇziteˇcná i podpora práce s v´ıce neˇz 2GB poli (pro 64bitové operaˇcn´ı systémy).

Odkazy • Domovská stránka: http://freemat.sourceforge.net/

9.3

Scilab SciLab = Scientific Laboratory (vˇedecká laboratoˇr). Scilab je vˇedeck´ y softwarov´ y bal´ık pro numerické v´ ypoˇcty. Poskytuje otevˇrené programovac´ı prostˇred´ı pro inˇzen´ yrské a vˇedecké aplikace.

Scilab byl vyv´ıjen od roku 1990 v´ yzkumn´ ymi institucemi INRIA (Institut National ´ de Recherche en Informatique et en Automatique) a ENPC (Ecole Nationale des Ponts et Chaussées). Od roku 1994 byl distribuován jako freeware i se zdrojov´ ym kódem. V souˇcasné dobˇe je pouˇz´ıván pro v´ yukové a pr˚ umyslové prostˇred´ı po celém svˇetˇe. Scilab nyn´ı spravuje Scilab Consorcium, zaloˇzené v kvˇetnu 2003. Scilab obsahuje stovky matematick´ ych funkc´ı s moˇznost´ı pˇridat dalˇs´ı programy z r˚ uzn´ ych programovac´ıch jazyk˚ u (FORTRAN, C, C++, JAVA...). Má propracovanou strukturu dat, pˇrekladaˇc, a dovoluje pouˇz´ıvat vyˇsˇs´ı programovac´ı jazyky. Dále obsahuje Scicos, coˇz je nˇeco jako Simulink pro Matlab, a nakonec jeˇstˇe pˇrekladaˇc Matlab to Scilab.

Toolboxy Toolboxy (v rámci SciLabu se jim ˇr´ıká atomy) jsou souborem funkc´ı, které rozˇsiˇruj´ı základn´ı sadu funkc´ı Scilabu. Mohou b´ yt bud’ komerˇcn´ı a nebo, coˇz je mnohem ˇcastˇejˇs´ı pˇr´ıpad, open source ˇci volnˇe ˇsiˇritelné. Autory tˇechto toolbox˚ u jsou bud’ samotn´ı autoˇri Scilabu nebo jin´ı programátoˇri, ˇcasto z univerzitn´ıho prostˇred´ı. Urˇcité mnoˇzstv´ı toolbox˚ u je dodáváno se Scilabem a lze si pˇri instalaci zvolit, zda budou nainstalovány. Základn´ı sadu m˚ uˇzeme rozˇs´ıˇrit doinstalován´ım nov´ ych toolbox˚ u. Nejvˇetˇs´ı databáz´ı volnˇe ˇsiˇriteln´ ych toolbox˚ u je na stránkách autoru Scilabu v tzv. toolboxes center. Zde jsou toolboxy ˇrazeny do kategori´ı, takˇze v nich je moˇzno pˇrehlednˇe vyhledávat. Alespoˇ n namátkou m˚ uˇzeme vyjmenovat: • neuronové s´ıtˇe,

9.3 Scilab

77

• data mining, • metody koneˇcn´ ych prvk˚ u. • genetické algoritmy • statistika • 2-D a 3-D grafika, • animace • simulace • klasické a robustn´ı ˇr´ızen´ı, • ˇr´ızen´ı signál˚ u • grafy • paraleln´ı Scilab vyuˇz´ıvaj´ıc´ı PVM • prostˇred´ı poˇc´ıtaˇcové algebry (Maple, MuPAD) Scilab dokáˇze pracovat pod operaˇcn´ımi systémy Windows 9X/2000/XP, GNU/Linux a UNIX. Zdrojové kódy jsou volnˇe ke staˇzen´ı na domovské stránce http://www. scilab.org. Odkazy • Domovská stránka: http://www.scilab.org • Adresa ke staˇzen´ı: http://www.scilab.org/products/scilab/download • Rozˇs´ıˇren´ı SciLabu: http://atoms.scilab.org/ • Elektronická kniha Basics on digital controller with scilab/scicos volnˇe ke staˇzen´ı: http://www.ebookaktiv.com/ebookcontroller/eBook_SCILAB.htm • Struˇcn´ y manuál a u ´vod do Scilabu v ˇceˇstinˇe: http://scilab.ic.cz

ˇ SEN ˇ E ´ ULOHY ´ 10 RE

78

10

ˇ sen´ Reˇ eu ´ lohy

Pr˚ uvodce studiem: Posledn´ı kapitola tohoto textu je vˇenována pˇr´ıklad˚ um ˇreˇsen´ı u ´loh v Matlabu. Vˇenujte dostateˇcn´ y ˇcas d˚ ukladnému pochopen´ı formulace u ´lohy i zp˚ usobu implementace v Matlabu. Moˇzná naleznete i jin´ y zp˚ usob implementace, tˇreba i jednoduˇsˇs´ı a vhodnˇejˇs´ı. Odhadovan´ y ˇcas potˇrebn´ y ke studiu je 3 aˇz 6 hodin.

10.1

N´ ahodn´ a proch´ azka

Pˇredstavte si, ˇze opil´ y námoˇrn´ık v pˇr´ıstavu má nastoupit na lod’. K tomu potˇrebuje pˇrej´ıt nástupn´ı molo k lodi. K jeho pˇrejit´ı potˇrebuje udˇelat urˇcit´ y poˇcet krok˚ u dopˇredu. Jelikoˇz je opil´ y, ne kaˇzd´ y krok, kter´ y se mu podaˇr´ı, je dopˇredu, nˇekdy se ´ vydá doleva nebo doprava. Uskal´ ı je v tom, ˇze pokud vykoná pˇr´ıliˇs mnoho krok˚ u do strany, spadne pˇres okraj mola do vody. Do odplut´ı lodi stihne námoˇrn´ık udˇelat nejv´ yˇse zadan´ y maximáln´ı poˇcet krok˚ u. Nyn´ı si naprogramujeme model námoˇrn´ıkovy cesty po molu. Mus´ıme nejdˇr´ıve pˇresnˇeji zformulovat pravidla pohybu námoˇrn´ıka: • krok vpˇred s pravdˇepodobnost´ı 0.6 • krok vpravo s pravdˇepodobnost´ı 0.2 • krok vlevo s pravdˇepodobnost´ı 0.2 Uveden´ ymi hodnotami pravdˇepodobnosti modelujeme u ´roveˇ n námoˇrn´ıkovy opilosti. Dále mus´ıme znát dalˇs´ı vstupn´ı parametry námoˇrn´ıkova pohybu: • Délka mola je 50 krok˚ u. • Námoˇrn´ık vycház´ı z pozice na poˇcátku mola, z n´ıˇz k levému i pravému okraji má 10 krok˚ u. • Do odplut´ı lodi stihne nejv´ yˇse 100 krok˚ u. Pak uˇz m˚ uˇzeme napsat program modeluj´ıc´ı námoˇrn´ıkovu cestu: N = input(’Pocet pokusu: ’); dosel = 0; nestih = 0; voda = 0; for i = 1:N kroky = 0; % Vynulovani kroku pro novou prochazku x = 0; % Souradnice pocatku prochazky

10.1 Náhodná procházka

y = 0; while x < 50 && abs(y) <= 10 && kroky < 100 kroky = kroky + 1; % Dalsi krok r = rand; if r < 0.6 % rozhodovani kam x = x + 1; % krok dopredu elseif r <0.8 y = y + 1; % krok vpravo else y = y - 1; % krok vlevo end; end; if x >= 50 dosel = dosel + 1; end; if abs(y) > 10 voda = voda + 1; end if kroky >= 100 nestih = nestih + 1; end end; dosel = 100 * dosel / N; disp(’Celkova uspesnost (%): ’) disp(dosel) voda = 100 * voda / N; nestih = 100 * nestih / N; disp(’Voda (%): ’) disp(voda) disp(’Nestihnul (%): ’) disp(nestih)

79


80

10.2

Objem tˇ elesa metodou Monte Carlo

Máme urˇcit objem tˇelesa (tvarem pˇripom´ınaj´ıc´ım bábovku) na následuj´ıc´ım obrázku:

Toto tˇeleso je pr˚ unikem tˇelesa pod plochou grafu funkce z = exp(−x2 − y 2 )

(1)

a válce o polomˇeru 1, v´ yˇsce 1 a stˇredem podstavy v bodˇe (0, 0, 0). Povˇsimnˇeme si, ˇze funkce (1) má nejvˇetˇs´ı hodnotu rovnou jedné v bodˇe (0, 0) a jej´ı vodorovné ˇrezy jsou kruˇznice. Zdrojov´ y kód této funkce upraven´ y pro nakreslen´ı grafu tˇelesa na obrázku následuje: function z = babovka(x, y, r) if (x^2 + y^2) <= r^2 z = exp(-x^2 - y^2); else z = 0; end

Objem tohoto tˇelesa v tomto pˇr´ıkladu m˚ uˇzeme urˇcovat r˚ uzn´ ym zp˚ usobem, napˇr. jako souˇcet objemu jeho válcové ˇcásti a objemu zakulaceného vrˇsku, kter´ y bychom snadno urˇcili jednoduchou numerickou metodou:

10.2 Objem tˇelesa metodou Monte Carlo

h = x = d = z = for

81

0.001 0: h: 1; length(x); exp(-x.^2); ii = 1:d-1 prumer(ii) = (x(ii) + x(ii + 1)) /2; V(ii) = pi * prumer(ii)^2 * (z(ii) - z(ii + 1));

end V = sum(V); V = V + pi * exp(-1) Takto spoˇc´ıtáme, ˇze objem tˇelesa je 1.9859. Jsou u ´lohy, kdy vhodná numerická metoda nen´ı k dispozici. Proto si zde ukáˇzeme ˇreˇsen´ı naˇs´ı u ´lohy stochastickou metodu Monte Carlo. Jej´ı princip spoˇc´ıvá v tom, ˇze náhodnˇe vygenerujeme velké mnoˇzstv´ı bod˚ u rozdˇelen´ ych rovnomˇernˇe ve vˇetˇs´ım tˇelese, jehoˇz objem um´ıme snadno urˇcit. Zjist´ıme relativn´ı ˇcetnost bod˚ u, které jsou souˇcasnˇe i uvnitˇr tˇelesa, jehoˇz objem zjiˇst’ujeme, a pak hledan´ y objem spoˇc´ıtáme jako souˇcin relativn´ı ˇcetnosti bod˚ u uvnitˇr a objemu vˇetˇs´ıho tˇelesa. Hledan´ y objem tˇelesa lze tedy vypoˇc´ıtat takto: nt , Vt = Vv nv kde Vv je objem vˇetˇs´ıho tˇelesa, nv je poˇcet bod˚ u vygenerovan´ ych ve vˇetˇs´ım tˇelese a nt poˇcet bod˚ u v tˇelese, jehoˇz objem zjiˇst’ujeme. V naˇs´ı u ´loze je vˇetˇs´ım tˇelesem válec o objemu Vv = l π r2 , po dosazen´ı l = 1, r = 1 dostaneme Vv = π. Skript ˇreˇs´ıc´ı u ´lohu pro tˇeleso definované na zaˇcátku této ˇcásti textu následuje. Vˇsimnˇeme si, ˇze vzhledem k symetrii tˇelesa staˇc´ı zjiˇst’ovat ˇcetnost bod˚ u jen pro jeden kvadrant (x ≥ 0, y ≥ 0). r = 1; % polomer valce nvalec = 0; nbabovka = 0; for ii = 1:100000 x = r * rand(1); y = r * rand(1); if (x^2 + y^2) <= r^2 % je v kruhu o polomeru r nvalec = nvalec + 1; % pocet bodu uvnitr valce v = rand(1); % svisla souradnice bodu z = babovka(x, y, r); if v <= z % vygenerovany bod je v babovce nbabovka = nbabovka + 1; end


82

end end nvalec objem_valec = pi * r^2; objem_babovka = objem_valec * nbabovka / nvalec V´ ysledky z 5 opakovan´ ych spuˇstˇen´ı skriptu jsou v následuj´ıc´ı tabulce. Zjiˇstˇen´ y objem tˇelesa je pˇribliˇznˇe 1.99.

Pr˚ umˇer

Poˇcet bod˚ u

Objem

78496 78610 78477 78694 78409

1.9900 1.9887 1.9894 1.9823 1.9919

78537

1.9885

Pr˚ umˇern´ y poˇcet bod˚ u uvnitˇr válce o pr˚ umˇeru 1 je 78537 ze 100000 bod˚ u náhodnˇe vygenerovan´ ych ve ˇctverci o stranˇe 1. Tedy pomˇer tˇechto hodnot by mˇel b´ yt pˇribliˇznˇe ˇ roven π/4. Ctyˇrnásobek tohoto pomˇeru je 3.141488 a je opravdu dosti pˇresnˇe roven π. Shrnut´ı: - Peˇclivá a jasná formulace ˇreˇseného problému, vstupn´ı a v´ ystupn´ı data. - Volba co nejjednoduˇsˇs´ıho ˇreˇsen´ı a vhodné implementace.

Kontroln´ı ot´ azky: 1. Jak byste modelovali menˇs´ı a vˇetˇs´ı opilost námoˇrn´ıka v prvn´ı u ´loze? Upravte skript a vyzkouˇsejte 2. Jak byste spoˇc´ıtali objem tˇelesa, které vznikne pr˚ unikem tˇelesa pod plochou grafu funkce (1) a kvádru o rozmˇerech a × b × 1 s podstavou a × b v rovinˇe z = 0, s hranami rovnobˇeˇzn´ ymi s osami a zadanou polohou vrcholu nejbliˇzˇs´ımu poˇca´tku (0, 0)? Upravte skript k ˇreˇsen´ı této u ´lohy a ovˇeˇrte na poˇc´ıtaˇci pro a = 1, b = 0.5 a polohu vrcholu nejbliˇzˇs´ımu poˇca´tku (0.3, 0.3).

LITERATURA

83

Literatura [1] Manuál Matlab, souˇca´st instalovaného softwarového prostˇred´ı. [2] B¨ ullow J.: Sb´ırka jednoduch´ ych pˇr´ıklad˚ u pro ˇreˇsen´ı elektrotechnick´ ych a fyzikáln´ıch u ´loh, Západoˇceská univerzita v Plzni, 2007. [3] Engelbrecht A. P.: Computatinal Intelligence: An Introduction. Chichester: John Wiley & Sons, 2007. [4] Hahn B., Valentine D.: Essential MATLAB for Engineers and Scientists, Elsevier, 2007. [5] Hanselman D., Littlefield B.: Mastering MATLAB 7, Pearson Prentice Hall, 2005. [6] Heringová B., Hora P.: MATLAB D´ıl I. – Práce s programem, 1995, http: //www.cdm.cas.cz/czech/hora/vyuka/mvs/tutorial.pdf. [7] Heringová B., Hora P.: MATLAB D´ıl II. – Popis funkc´ı, 1995, http://www. cdm.cas.cz/czech/hora/vyuka/mvs/reference.pdf. [8] Karban P.: V´ ypoˇcty a simulace v programech Matlab a Simulink, Computer Press, 2006. [9] Knight A.: Basics of Matlab and Beyond, Chapman and Hall, 2000. [10] Majerová D.: Lekce Matlabu v ˇceˇstinˇe: http://uprt.vscht.cz/majerova/ matlab/index.html. [11] Poláˇcek J.: Seriál o Octave na serveru AbcLinuxu: http://www.abclinuxu. cz/serialy/octave.

Základy modelování v MATLABU

Recommend Documents