Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak
Király Balázs 2010-11. I. Félév
2
1. fejezet Első hét 1.1. Házi Feladatok 1.1. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0., 1., 2., 5., 10. elemét, ábrázoljuk ezeket az elemeket. Vizsgáljuk meg a sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából, adjuk meg alsóés felső határaikat! 4n + 3 , n∈N a = 5n + 4 b = (7 − 2n, n ∈ N) π c = sin(n · ), n ∈ N 2 n d = (−3 · 2 , n ∈ N) 1.2. Házi Feladat. Definíció alapján igazoljuk a következő sorozatok konvergenciáját és adjuk meg, hogy a sorozat mely elemei esnek a határérték ε = 0,02 sugarú környezetébe! 3n + 2 ; n∈N a = n+1 1 − 7n b = ; n∈N 2n − 1 6n − 1 c = ; n∈N 2 − 3n
3
4
1. FEJEZET. ELSŐ HÉT
2. fejezet Második hét 2.1. Házi Feladatok 2.1. Házi Feladat. A műveleti tulajdonságok alapján számítsuk ki a következő határértékeket! a) lim
n→∞
3n2 −2n3 +8 2n2 −7
2·3n −5·22n+2 n−1 +5·3n+2 4·2 n→∞
b) lim
√ √ c) lim ( n + 1 − n − 1) n→∞
√ d) lim (3n − 9n2 + n − 2) n→∞
12 +32 +···+(2n−1)2 n3 n→∞
e) lim
(−1)n n→∞ n 2n+1 3n + 5 g) lim n→∞ 3n − 1 f ) lim 1 −
n3 3n2 − n + 1 1−n lim n→∞ 3n2 + n + 1 r n−2 1 n−3 n 7+ · lim n→∞ n+2 n+5 r 2 n 3n + 5n − 1 lim n→∞ n3 − 7 √ √ √ n n n3 + 2 n2 − 4 n n + 1 √ lim n→∞ 2 n n−2
h)
i)
j) k)
5
6
2. FEJEZET. MÁSODIK HÉT
3. fejezet Harmadik hét 3.1. Házi Feladatok 3.1. Házi Feladat. Az átviteli-elv segítségével igazoljuk a következő határértékeket. −2 7x2 + 3x − 1 = −∞ b) lim (5x + 2) = −3 c) lim =@ x→−1 x→−3 x + 3 x→−∞ 2x − 3
a) lim
3.2. Házi Feladat. Határozzuk meg a műveleti tulajdonságok alapján következő határértékeket, ha léteznek ! a) lim (3x + 7)5 x→−3
2x2 − 3x + 5 x→∞ −3x2 + 2x − 1
x3 − 3x2 − 10x + 24 x→2 x3 − 4x2 + x + 6
j) lim
b) lim
3
2
x − 4x + 2 x→−∞ −5x2 + 7x
2 x→2 x − 2
k) lim
c) lim
2x+1 − 3 · 4x−1 + 2 x→∞ 3x − 2 · 22x−1 + 1
2 x→2 (x − 2)2
l) lim
d) lim
2x+1 − 3 · 4x−1 + 2 x→−∞ 3x − 2 · 22x−1 + 1 √ f ) lim (x2 − x4 − 2x)
tg3x x→0 sin 4x
m) lim
e) lim
x→∞
2x − 1 2x − 2
x2 − 2x x2 + 1
g) lim
x→∞
h) lim
x→∞
x
2x
x2 − 2x + 1 x→1 3x − 3
i) lim
7
8
3. FEJEZET. HARMADIK HÉT
4. fejezet Negyedik hét 4.1. Házi Feladatok 4.1. Házi Feladat. Jellemezzük az alábbi grafikonnal adott függvényt folytonosság szempontjából! Ahol a függvény nem folytonos, adjuk meg a szakadás típusát! Adjuk meg a kérdéses függvényhatárértékeket, ahol nem létezik a határérték, vizsgáljuk az egyoldali határértékeket:
lim f (x) =?, lim f (x) =?, lim f (x) =?, lim f (x) =?,
x→−∞
x→−4
x→−3
x→−2
lim f (x) =?, lim f (x) =?, lim f (x) =?, lim f (x) =?
x→0
x→1
x→2
9
x→∞
10
4. FEJEZET. NEGYEDIK HÉT
4.1. Feladat. Adjuk meg a következő függvények inverzét. Ha a függvény nem invertálható, szűkítsük le egy olyan halmazra, amelyen már létezik inverze. Adjuk meg az eredeti és az inverz függvény értelmezési tartományát és értékkészletét. a) f (x) =
1 log2 (−x + 3) + 1 3
b) f (x) = 27x2 − 36x + 10 π +2 c) f (x) = −3 sin −x + 4 √ d) f (x) = 3 3 2x − 5 − 2 e) f (x) = 2arctg(−2x + 3) + f) f (x) = −3tg
π 3
1 π x+ −5 2 2
4.2. Megoldások 4.2. Házi Feladat. Adjuk meg a következő függvények inverzét. Ha a függvény nem invertálható, szűkítsük le egy olyan halmazra, amelyen már létezik inverze. Adjuk meg az eredeti és az inverz függvény értelmezési tartományát és értékkészletét. 1 log2 (−x + 3) + 1 3 Megoldás. Értelmezési tartomány meghatározása:
a) f (x) =
−x + 3 > 0 3 > x
⇒
Df = {x ∈ R| x < 3}
Mivel f a log2 x függvény lineáris transzformáltja, ezért minden valós értéket felvesz, azaz Rf = R. Mivel f szigorúan monoton csökkenő (vagy mert a log2 x függvény lineáris transzformáltja), ezért kölcsönösen egyértelmű leképezéssel keletkezett, így a teljes értelmezési tartományon invertálható: 1 log2 (−x + 3) + 1 3 3(y − 1) = log2 (−x + 3) 23(y−1) = −x + 3 −23(y−1) + 3 = x = f (y) y =
Formális betűcsere után kapható a függvény inverze: f (x) = y = −23(x−1) + 3. Az inverz függvény értelmezési tartománya és értékkészlete: Df = Rf = R Rf = Df = {x ∈ R| x < 3}
♦
4.2. MEGOLDÁSOK
11
b) f (x) = 27x2 − 36x + 10 Megoldás. Mivel f egy polinom, ezért Df = R. Az érték készlet és az invertálhatóság vizsgálatához alakítsuk a másodfokú kifejezést teljes-négyzetté: 2 2 √ √ 18 18 2 − 12 + 10 = −2 = 27x − √ 3 · 3x − √ f (x) = 27x − 36x + 10 = 27 3·3 2 √ √ 18 √ = 3 · 3x − 3 − 2 = ( 3)2 (3x − 2)2 − 2 = 3 · (3x − 2)2 − 2 9 Ekkor α2 (3x − 2)2 3 · (3x − 2)2 3 · (3x − 2)2 − 2
≥ ≥ ≥ ≥
0 ∀α ∈ R 0 ∀x ∈ R / · 3 0 / −2 −2
Ebből következik, hogy az értékkészlet: Rf = {y|y ∈ R, y ≥ −2}. Az f függvény a g(x) = x2 függvény lineáris transzformációjával keletkezett. Mivel g páros függvény, ezért f több-egyértelmű leképezéssel keletkezett, így a teljes értelmezési tartományán nem invertálható. 4.1. Megjegyzés. A fenti eszmefuttatás helyett elegendő lenne mutatni két olyan értelmezési tartománybeli elemet (x1 , x2 ), ahol a függvény ugyazt az értéket veszi fel. (f (x1 ) = f (x2 )). Például most x1 = 0 és x2 = 43 , mert ekkor f (x1 ) = 3·(3·0−2)2 −2 = 10 = 3·(3· 43 −2)2 −2. Ekkor azonban nehezebben látható, hogy milyen szűkített értelmezési tartományt érdemes választani. Le kell szűkíteni az értelmezési tartományt. A függvény grafikonja egy parabola, melynek 2 2 talppontja 2 az x0 = 3 helyen van. A leszűkített értelmezési tartomány tehát vagy −∞, 3 vagy 3 , ∞ . Legyen Df sz = {x|x ∈ R, x ≤ 23 }, ekkor Rf sz = Rf . Az f függvény a Df sz halmazon szigorúan monoton csökkenő, így kölcsönösen egyértelmű. Ezen a halmazon már invertálható. 4.2. Megjegyzés. Igyekszünk olyan új értelmezési tartományt választani, melyen a függvény kölcsönösen egyértelmű és felveszi a teljes értékkészletét. Most már elvégezhető az invertálás: y = 3 · (3x − 2)2 − 2 y +2 = (3x − 2)2 3 r y +2 = 3x − 2 ± 3
12
4. FEJEZET. NEGYEDIK HÉT Mivel minden x ∈ Df sz elem esetén 3x − 2 negatív, ezért a fenti több-értelmű leképezés negatív ágát választjuk: r
y +2 = 3x − 2 3 r 2 1 y +2 − = x = f (y) 3 3 3 −
Formális betűcsere után kapható a függvény inverze: 2 1 f (x) = y = − 3 3
r
x+2 3
Az inverz függvény értelmezés tartománya és értékkészlet meghatározható önálló feladatként is, vagy származtathatók a Df = Rf sz
Rf = Df sz
összefüggések alapján: x+2 ≥ 0 3 x ≥ −2 Df = {x|x ∈ Rx ≥ −2} = Rf sz √
α ≥ 0 ∀α ∈ R+
r
x+2 ≥ 0 3 r 1 x+2 − ≤ 0 3 3 r 2 1 x+2 2 − ≤ , 3 3 3 3 2 Rf = {y|y ∈ R, y ≤ } = Df sz . 3
♦
4.3. Megjegyzés. Ábrázoljuk közös koordináta rendszerben az f függvényt és f inverzét. Az alábbi ábrán kék színnel látjuk az f azon ágát, melyen az inverziót végrehajtottuk (x ≤ 23 ) és sárgával az (x > 23 ) ágat, zölddel rajzoltuk az f függvényt és segítségül berajzoltuk az y = x egyenest is (pirossal).
4.2. MEGOLDÁSOK
13
π c) f (x) = −3 sin −x + +2 4 Megoldás. Mivel az f a sin x függvény lineáris transzformáltja, ezért minden valós helyen értelmezett, így Df = R. Az értékkészlet meghatározásakor a sin függvény ismert korlátaiból indulhatunk ki: −1 ≤ sin α −1 ≤ sin −x + π4 3≥ −3 sin −x + π4 5 ≥ −3 sin −x + π4 + 2
≤ 1 ∀α ∈ R ≤ 1 ∀x ∈ R ≥ −3 ≥ −1.
Ebből következik, hogy az értékkészlet: Rf = {y|y ∈ R, −1 ≤ y ≤ 5}. Az f függvény periodikus függvény, ezért több-egyértelmű leképezéssel keletkezett, így a teljes értelmezési tartományán nem invertálható. A sin α függvényt a − π2 ≤ α ≤
π 2
feltétel mellett szűkítjük le: π π ≤ −x + π4 ≤ 2 2 3 π − π≤ −x ≤ 4 4 3 π π≥ x ≥− 4 4 −
Legyen tehát Df sz = − π4 ,
3 π 4
.
Ezen az intervallumon az f függvény szigorúan monoton növő és az eredeti értékkészletének minden elemét felveszi: Rf sz = Rf = (−1, 5).
14
4. FEJEZET. NEGYEDIK HÉT Mivel a Df sz halmazon f kölcsönösen egyértelmű, ezért itt már invertálható: π y = −3 sin −x + +2 4 y −2 π = sin(−x + ) 4 −3 π 2−y = −x + arcsin 3 4 2−y π − arcsin + = x = f (y) 3 4 Formális betűcsere után megkapható a függvény inverze: 2−x π f (x) = y = − arcsin + . 3 4 Az inverz függvény értelmezési tartománya és értékkészlete: Df = Rf sz = (−1, 5) π 3 Rf = Df sz = − , π 4 4
♦
5. fejezet Ötödik hét 5.1. Házi Feladatok 5.1. Házi Feladat. Adjuk meg az alábbi függvények deriváltfüggvényét. 1.) f (x) = ex · (sin x + cos x) √ 5 2.) f (x) = x3 · ln x + 3 · 2x
17.) f (x) =
2
3
x + 3x + 2 + x − 5x + 6
18.) f (x) = sin7 x7
√ π 3.) f (x) = 3 · sin x + 3 x · cos x + cos 4
x
19.) f (x) = ee
4.) f (x) =
5 sin x 1 + cos x
20.) f (x) = sin x · sin 2x · sin 3x
5.) f (x) =
sin x + cos x sin x − cos x
21.) f (x) =
6.) f (x) =
ex − cos x x · ex
sin x + 2 cos x sin x − 2 cos x 7 1 22.) f (x) = ln sin x
7.) f (x) = sin x2
23.) f (x) = cos ctg(x2 + 1)
8.) f (x) = sin2 x r
x · arcsin x 1 + tg(1 − x2 ) 24.) f (x) = √ 2 1 − x2
1−x 1+x
9.) f (x) = arctg
25.) f (x) = sin2 x · cos3 x
√ 3 10.) f (x) = ctg 1 + x2
26.) f (x) = ln √
11.) f (x) = π · cos2 x3 − e2 · sin 2 q 12.) f (x) = esin(
x+ π2
2
)
27.) f (x) =
√ 13.) f (x) = log3 arctg x2 − 1
5
1 2x − 1
√ 3 1 + x2
r
x−1 x+2 6 √ 29.) f (x) = x+7 28.) f (x) =
14.) f (x) = ln ln2 x3 15.) f (x) = tgx · (ln tgx)7
4
√ 30.) f (x) = tgx3 · arctg x
16.) f (x) = (x2 + 1)(x3 + 2)(x4 + 3) 15
5 4
16
31.) f (x) = arcsin(cos x) 32.) f (x) = log3 ln x 7 − 5x 2x − 3 r 1 + ex 34.) f (x) = ln 1 − ex 33.) f (x) = ln
5. FEJEZET. ÖTÖDIK HÉT
35.) f (x) =
√ ln x1 x 1
36.) f (x) = x x x3 3 37.) f (x) = x 38.) f (x) = sin (xcos x )
5.2. Házi Feladat. Milyen szöget zár be az x-tengely pozitív felével az y = x · cos x görbéhez az x0 = 0 abszcisszájú pontjában húzott érintő? Írjuk fel az érintő egyenletét! 5.3. Házi Feladat. Hol metszi az x-tengelyt az y = ln 3x + 1 görbe x0 = húzott érintője? Írjuk fel az érintő egyenletét, készítsünk ábrát!
e 3
abszcisszájú pontjához
5.4. Házi Feladat. Keressük meg az y = sin x + cos x görbe azon pontjait, melyekben az érintő párhuzamos az x-tengellyel!
6. fejezet Hatodik hét 6.1. Házi Feladatok 6.1. Házi Feladat. A következő függvényeknek a) állapítsuk meg a monotonitási intervallumait és adjuk meg a szélsőértékeit b) állapítsuk meg a konvexitási intervallumait és adjuk meg az inflexiós pontokat. 6.1.1 f (x) =
ln x x
6.1.2 f (x) = x · ln x 6.1.3 f (x) = 2x3 − 15x2 + 24x + 7 6.1.4 f (x) = 3x −
2 x−5
6.2. Házi Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket L’Hospital szabály segítségével! sin 5x − sin 3x x→0 sin x
a) lim
ln x2 x→1 x − 1
b) lim
ln2 x x→1 x − 1
c) lim
d) lim+ x→0
e) lim
ln x ctgx
2ctg3x
x→0
f ) lim+
1 x
√
2x · ctgx2
x→0
g) lim x2 · sin x→∞
1 x 17
18
6. FEJEZET. HATODIK HÉT
h) lim
x→0
1 1 − 2 x sin x
i) lim+ xx x→0
j) lim
x→∞
2 arctgx π
x
6.3. Házi Feladat. Egy parabolaszelet alakú ablak szélessége és magassága egyaránt 16dm. Mekkora az a legnagyobb területű téglalap alakú mozaiklap, amely elhelyezhető úgy az ablakban, hogy szimmetria-tengelyük közös legyen? 6.4. Házi Feladat. Egy épülő atlétika pályán két párhuzamos egyenes szakaszból és az őket összekötő félkörívekből áll a futópálya. Hogyan kell kialakítani a pálya alakját, hogy a futópálya hossza 400m legyen és a lehető legnagyobb területű, téglalap alakú focipálya férjen el a belsejében? 6.5. Házi Feladat. Egy csatorna keresztmetszete 2m2 kell, hogy legyen. Az alakja egy téglalap és egy ráhelyezett félkör. Hogyan válasszuk a csatorna méreteit, hogy a kerület minimális legyen? 6.6. Házi Feladat. Írjuk fel az alábbi függvények adott ponthoz tartozó megadott fokszámú Taylorpolinomját és a Lagrange-féle maradéktagot! a) Az f (x) = e−x ,
n = 5,
x0 = 0 π 2
b) Az f (x) = sin2 x,
n = 4,
x0 =
ex − e−x , 2
x0 = 0,
n=5
c) f (x) =
6.7. Házi Feladat. Igazoljuk, hogy az f (x) = x3 + 3x2 − 5x + 1 függvény [0, 2] intervallumon teljesíti a Lagrange-tétel feltételeit, majd számoljuk ki a tételben szereplő ξ értéket!
7. fejezet Hetedik hét 7.1. Házi Feladatok 7.1. Házi Feladat. Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat. Z a) tgxdx Z
1 dx sin2 2x
Z
(x2 + 3)(x3 − 2) √ dx 3 2 x2
b) c) Z d)
tg2 xdx
Z r e) Z f)
1+x + 1−x
1−x dx 1+x
8
dx
x · 3x2 + 5
Z
1 2π · cos dx 2 x x
Z
5x dx 1 + 25x
g) h) Z
√
e
i) Z j) Z k)
x
dx
x3 · sin 3xdx ln3 xdx
Z l)
r
sin
√ 3 xdx
19
20
7. FEJEZET. HETEDIK HÉT
21
22
8. FEJEZET. TIZEDIK HÉT
8. fejezet Tizedik hét 8.1. Házi Feladatok 8.1. Házi Feladat. Végezzük el a kijelölt határozatlan integrálokat! Z 2x4 + 6x3 + 9x2 + 1 dx a) Z (x + 1)3 sin2 x n) dx Z cos6 x 3 2 18x − 6x + 29x + 11 Z b) dx ctg x + tg x (2x + 1)2 · (x2 − 4x + 5) dx o) Z 2 + tg2 x x Z c) dx 1 2x + 5 p) dx. Adjunk több megoldást! Z sin x x Z d) dx sin2 x + 2 (3x − 1)2 q) dx Z 3 cos2 x − 4 5 Z e) dx 2 1 + sin x x +x−6 r) dx Z 1 − cos x 1 √ dx f) Z 2 (x + x + 2) · (x2 + 4x + 5) x − 3 2x + 3 √ s) dx 3 Z 3 + 2x + 3 + 2x 2x g) dx √ Z 2 (x + 6x + 10)3 2+ 3 x √ √ √ dx t) Z 6 x+ 3 x+ x+1 h) sin3 2x · cos x dx Z 1 √ u) dx Z 11 − 6x + x2 3 i) ctg x dx Z √ v) x2 + 6x + 18 dx Z sin2 x · cos5 x dx
j)
Z r Z k) Z Z
Z x)
4
sin x dx
l) m)
sin7 x √ dx cos x
w)
1 dx sin5 2x
x−2 dx x−1 1 √
(x2 + 1) ·
1 − x2
Z √ y) x2 − 2x − 3 dx
dx
9. fejezet Tizenegyedik hét 9.1. Házi Feladatok 9.1. Házi Feladat. Legyen f (x) = −x2 . Osszuk a [0, 6] intervallumot 6 egyenlő részre. Legyen τ6 a fenti felosztás osztópontjaiból álló felosztás. Legyen ξ ∈ R6 és ξi az i-edik részintervallum felezőpontja. a) Számoljuk ki az s(f, τ6 ) alsó- és S(f, τ6 ) felső Darboux-közelítő összeget! b) Számoljuk ki az σ(f, τ6 , ξ) Riemann-féle közelítő összeget! c) Írjuk fel a fenti mennyiségeket általánosan, ha a [0, 6] intervallumot n egyenlő részre osztjuk. (Számoljuk ki a határértékeiket ha n → ∞.) 9.2. Házi Feladat. Számítsuk ki az alábbi határozott integrálokat! Ze2 a)
dx x · ln x
Zπ c) −π
e
Z4 b)
1 √ dx 1+ x
x3 · sin 5xdx
Zπ d)
ex · sin xdx
0
0
9.3. Házi Feladat. Számítsuk ki az alábbi improprius integrálokat, ha konvergensek! Z2 a) 1
Z∞ b)
1
p dx (x − 1)3
c)
d)
1 dx x2
−1
1 dx 2 + 3x2
−∞
Z∞
Z1
Z1 e) −1
1 dx 1 + x + x2
1
23
1 dx x
24
9. FEJEZET. TIZENEGYEDIK HÉT
Irodalomjegyzék [1] Bárczi Barnabás: Integrálszámítás [2] Császár Ákos: Valós Analízis I. [3] Eisner Tímea: Bevezetés az analízisbe II. http://www.ttk.pte.hu/mii/matematika/anyagok/anal2et.pdf [4] Fekete Zoltán, Zalay Miklós: Többváltozós függvények analízise [5] Gádor Endréné et al.: Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából /„Zöld összefoglaló feladatgyűjtemény”/ [6] Kovács József - Takács Gábor - Takács Miklós: Analízis [7] Németh József: Analízis példatár I. [8] Németh József: Analízis példatár II. [9] Németh József: Integrálszámítás példatár [10] Pap Margit: Integrálszámítás [11] Pethőné Vendel Teréz: Fejezetek a matematikai analízis köréből [12] Schipp Ferenc: Analízis I. http://www.ttk.pte.hu/mii/matematika/anyagok/Anal_P1.pdf [13] Schipp Ferenc: Analízis II. http://www.ttk.pte.hu/mii/matematika/anyagok/Anal_P2.pdf [14] Szabó Tamás: Kalkulus I. példatár [15] Szabó Tamás: Kalkulus II. példatár
25
