ARIKA, Vol. 05, No. 1 ISSN: 1978-1105
Pebruari 2011
ANALISA ANALITIS KARATERISTIK ARUS MOTOR DC YANG DISUPLAI PENYEARAH DIODA SATU FASA
Vicky Salamena Teknik Elektro Politeknik Negeri Ambon
[email protected]
ABSTRAK This study intends to look at the characteristics of current drawn by the dc motor when supplied by a singlephase diode rectifier. Characteristics of this current will depend on the output of a single-phase sinusoidal rectifier and electrical characteristics of dc motors. Assessments carried out by modeling a single-phase diode rectifier in order to obtain output voltage equation. Next modeled as a series dc motor electric ekiuvalen thus obtained mathematical model. By using Kirchoff Voltage Law is obtained first order differential equation is not homogeneous due to the excitation voltage ac source. This equation contains the parameters of the current as a function of time. Electric current equation is then simulated to obtain the dc motor input current curve as a function of time or current dc motor moment. The result is a instantanous current characteristic curve dc motor function of time, steady-state current at t = 0, and the average current which is a dc currents. Keywords: rectifier diode, dc motor model, the flow characteristics ABSTRACT This study intends to look at the characteristics of current drawn by the dc motor when supplied by a singlephase diode rectifier. Characteristics of this current will depend on the output of a single-phase sinusoidal rectifier and electrical characteristics of dc motors. Assessments carried out by modeling a single-phase diode rectifier in order to obtain output voltage equation. Next modeled as a series dc motor electric ekiuvalen thus obtained mathematical model. By using Kirchoff Voltage Law is obtained first order differential equation is not homogeneous due to the excitation voltage ac source. This equation contains the parameters of the current as a function of time. Electric current equation is then simulated to obtain the dc motor input current curve as a function of time or current dc motor moment. The result is a instantanous current characteristic curve dc motor function of time, steady-state current at t = 0, and the average current which is a dc currents. Keywords: rectifier diode, dc motor model, the flow characteristics
Pendahuluan Penyearah satu fasa adalah rangkaian dioda yang menyearahkan sumber tegangan ac satu fasa menjadi tegangan dc. Ada beberapa penyearah satu fasa, tetapi yang sering digunakan adalah penyearah gelombang penuh sistem jembatan. Penyearah jembatan ini mempunyai keluaran dc yang cukup baik sehingga memperkecil harmonisa dan menghasilkan nilai tegangan rata-rata yang maksimal. Rangakain kendali motor dc dengan menggunakan penyearah tak terkendali satu fasa ditunjukkan oleh Gambar 1.
Rangkaian kendali penyearah tak terkendali 1 fasa
40 ARIKA, Pebruari 2011
Vicky Salamena
Pengendalian motor dc dengan penyearah tak terkendali satu fasa yang ditunjukkan oleh Gambar 1 merupakan pengendalian motor on/off untuk motor dc. Penyearah hanya menyediakan sumber dc dengan amplitudo tegangan tetap kepada motor dc. Bila diinginkan untuk melakukan proses asutan (starting), maka dipasang resistor variabel yang seri dengan armatur sehingga arus armatur tergantung dari besar nilai resistor variabel. Untuk suplai ke motor dc sumber tegangan ac dikendalikan oleh empat buah dioda, setengah perioda positif disalurkan oleh dioda D1 dan D2 dan selanjutnya setengan perioda negatif disalurkan oleh dioda D3 dan D4 ke motor dc. Demikian juga arus yang mengalir disalurkan oleh dua pasang dioda tersebut. Armatur motor dc merupakan belitan yang dapat dinyatakan dengan suatu rangkaian RL seri. Bila rotor telah berputar maka akan timbul tegangan induksi armatur yang sebanding dengan putaran, bila putaran telah mencapai suatu nilai tunak (steady-state) yang konstan maka nilai tegangan iduksi juga konstan sebesar E. Diagram ekiuvalen armatur motor dc ditunjukkan oleh Gambar 2.
Diagram ekiuvalen armatur motor dc Bentuk dan karakteristik penyearah dioda jembatan dan rangkaian ekiuvalen motor dc akan mempengaruhi bentuk gelombang tegangan dan arus. Diagram dari bentuk tegangan dan arus ditunjukkan oleh Gambar 3.
Bentuk tegangan dan arus dari rangkaian Gambar 3.10 Tegangan yang masuk ke motor terdiri dari setengah periode pertama yaitu 0 ≤ ωt ≤ π dan setengah periode kedua π ≤ ωt ≤ 2π . Tegangan rata-rata atau tegangan dc untuk satu periode T adalah:
VDC
= =
1 T Vm sin(ωt ) d (ωt ) T ∫0 2 Vm
(1)
π
Arus yang mengalir ke motor diperoleh dengan bantuan rangkaian ekiuvalen penyearah dan motor seperti Gambar 4.
Vol. 05, No. 1
Analisa Analitis Karateristik Arus Motor DC
41
Penyearah dan rangkain ekiuvalen motor dc Karena rangkaian ekiuvalen untuk setengah periode pertama dan kedua sama, maka persamaan hukum kirchoff tegangan untuk ke duanya adalah:
v s (t ) = VR + VL + E atau
Vm sin(ωt ) = Ri(t ) + L
di (t ) +E dt
(2)
Pembahasan Persaman (2) mempunyai suku-suku dengan derajat turunan pertama atau biasa disebut sebagai persamaan diferensial orde satu. Persamaan yang diturunkan dari hukum kirchoff tegangan ini mengandung parameter arus sebagai fungsi waktu yang secara sistem dieksitasi (diteral) oleh tegangan sumber keluaran penyearah v s (t ) = Vm sin ωt sehingga dalam bentuk matematis dinyatakan sebagai persamaan diferensial orde satu tak-homogen. Bentuk umum dari persamaan (2) menurut Soedojo P. (1995) adalah:
dy + p ( x) y = r ( x) dx
(3)
dan solusinya adalah: − p ( x ) dx ⎡ ∫ p ( x ) dx r ( x) dx + c ⎤ y ( x) = e ∫ ⎢⎣ ∫ e ⎥⎦ dengan ∫ p ( x)dx adalah faktor integrasi dan c adalah konstanta gabungan dari hasil integrasi.
(4)
Untuk persamaan (2) dapat dinyatakan dalam bentuk umum persamaan diferensial orde satunya seperti persamaan (3) adalah:
L atau
di (t ) + Ri (t ) = Vm sin(ωt ) − E dt
V sin(ωt ) − E di (t ) R + i (t ) = m dt L L
Untuk persamaan (5) arus sebagai fungsi waktu yaitu berikut,
p(t ) =
R L
r (t ) =
dan
(5)
i(t ) , sehingga p(t ) dan r (t ) adalah sebagai
Vm sin ωt − E L
dan penyelesaian dari faktor integrasi adalah:
R
R
∫ p(t )dt = ∫ L dt = L t Penentuan Persamaan Arus Solusi untuk persamaan (5) menurut persamaan (4) dapat ditulis sebagai berikut,
42 ARIKA, Pebruari 2011
Vicky Salamena
− p ( t ) dt ⎡ p ( t ) dt = e ∫ e∫ r (t ) dt + c ⎤
⎢⎣ ∫
i(t )
= e R
dengan bentuk
R − t L
⎥⎦
⎡Vm ⎢ ∫e ⎣L
R t L
sin ωt dt −
R ⎤ E Lt e + c⎥ R ⎦
(6)
t
∫ e L sin ωt dt diselesaikan dengan bentuk parsial ∫ u dv = u.v − ∫ v du , R
dengan memisalkan : u = e L
t
R
du =
R Lt e dt L
sehingga diperoleh: R
R
R
t t⎛ 1 1 R t ⎞ ∫ e L sin ωt dt = e L ⎜⎝ − ω cos ωt ⎟⎠ − ∫ − ω cos ωt ⋅ L e L dt
∫
Bentuk − −
1
ω
cos ωt ⋅
R
R Lt e dt adalah merupakan integral dari perkalian dua fungsi maka dapat L
diselesaikan dengan persamaan parsial sepert di atas, sehingga diperoleh,
− ∫−
1
ω
cos ωt ⋅
R
R
R Lt e dt L
t R e L cos ωt dt ∫ ωL R R t ⎤ R ⎡ 1 Lt R L e t sin ω e sin ωt dt ⎥ − = ⎢ ∫ ωL ⎣ ω ωL ⎦
=
dengan mensubtitusi (**) ke (*) diperoleh, R
t
∫ e L sin ωt dt = − = −
1
ω 1
ω
R
t
e L cos ωt + R
t
e L cos ωt +
R R t ⎤ R ⎡ 1 Lt R L e t sin ω e sin ωt dt ⎥ − ⎢ ∫ ωL ⎣ ω ωL ⎦ R
R
t R Lt R2 e sin ω t − e L sin ωt dt 2 2 ∫ ω L (ωL ) R
Selanjutnya bentuk di atas diatur lagi dengan mengumpulkan bentuk
t
∫ e L sin ωt dt disalah satu ruas
maka diperoleh, R
⇒
t
∫ e L sin ωt dt + R 2 + (ωL )
(ωL )2
2
∫e
R
R2
(ωL )2
R t L
t
∫ e L sin ωt dt = −
sin ωt dt
= −
1
ω
e
R t L
1
ω
R
t
e L cos ωt +
R
R Lt e sin ωt ω2L R
t R cos ωt + 2 e L sin ωt ω L
Setelah memisahkan bentuk integral perkaliannya sendiri maka diperoleh hasilnya sebagai berikut,
∫e
R t L
sin ωt dt =
−
1
ω
R
t
R
R Lt e sin ωt ω2L 2 R 2 + (ωL )
e L cos ωt +
(ωL )2
=
R t ⎞ ⎛ RL t L ⎜ sin ω ω cos ωt ⎟⎟ R e t − L e 2 ⎜ 2 R + (ωL ) ⎝ ⎠
L
Menurut Kreyszig E. (1993) ada identitas trigonometri yaitu:
A cos x + B sin x =
A 2 + B 2 sin( x ± δ )
dengan
tan δ =
sin δ A =± cos δ B
Vol. 05, No. 1
Analisa Analitis Karateristik Arus Motor DC
43
Setelah menerapkan identitas tersebut pada (***)diperoleh, R
t
R t ⎛ RL t ⎞ L ⎜ R e t − L e sin ω ω cos ωt ⎟⎟ 2 ⎜ 2 R + (ωL ) ⎝ ⎠ ωL θ = tan −1 dan R 2 + (ωL) 2 = Z R
L
∫ e L sin ωt dt = dan maka R
t
∫ e L sin ωt dt =
R
L
R 2 + (ωL )
R 2 + (ωL ) sin ( ωt − θ ) e L 2
2
t
R
=
t L sin ( ωt − θ ) e L Z
Kemudian memasukan (****) ke (6) sehingga diperoleh persamaan arus sebagai berikut,
i(t )
= e
R − t L
⎡Vm ⎢ ⎢⎣ L
R R ⎤ t ⎞ ⎛L E t ⎜ sin ( ωt − θ ) e L ⎟ − e L + c ⎥ ⎜Z ⎟ R ⎥⎦ ⎝ ⎠
atau R − t i(t ) = Vm sin ( ωt − θ ) − E + c e L (
R
Z
dengan: Z = R + j(2π fL) dan
θ = tan −1
7)
2π fL R
Penentuan Nilai Batas c dengan Kondisi Awal Menurut Rashid M. H. (1999) Untuk kasus arus beban kontinu, konstanta c pada persamaan (7) dapat ditentukan dengan kondisi ω t = π sehingga i (t ) = i (π / ω ) = I 1 , selanjutnya diperoleh, R⎛ π ⎞
− ⎜ ⎟ V E + c e L⎝ ω ⎠ I1 = m sin ( π − θ ) − untuk t = π / ω Z R Sesuai identitas trigonometri sin (π − θ ) = sin π cos θ − cos π sin θ , kemudian nilai sin π = 0 ; cos π = −1 dan sin (π − θ ) = sin θ diperoleh, R⎛ π ⎞
− ⎜ ⎟ V E I1 = m sin ( θ ) − + c e L ⎝ ω ⎠ Z R
dengan demikian c dapat dinyatakan: R⎛ π ⎞
E V ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ c = ⎜ I1 + − m sin ( θ )⎟ e L ⎝ ω ⎠ R Z ⎝ ⎠ Arus masukan motor persamaan (7) dapat ditulis kembali dengan mensubtitusi bentuk c, maka R⎛ π
i (t ) =
⎞
Vm E V ⎛ ⎞ ⎜ −t ⎟ E sin ( ωt − θ ) + ⎜ I 1 + − m sin ( θ )⎟ e L ⎝ ω ⎠ − Z R Z R ⎝ ⎠
(8)
Sesuai dengan perioda tegangan yang ditunjukkan pada Gambar 3 maka pada kondisi tunak i(t = 0) = i(t = π / ω ) , yaitu i (t = 0) = I 1 dengan demikian dapat dicari persamaan arus I1 sebagai berikut,
I 1 = i ( t = 0)
R⎛ π
=
penyelesaian bentuk tersebut didapat,
I 1 = i ( t = 0)
⎞
Vm E ⎛ E V ⎞ ⎜ − (0) ⎟ sin ( (0) − θ ) − + ⎜ I 1 + − m sin (θ )⎟ e L ⎝ ω ⎠ Z R ⎝ R Z ⎠ R⎛ π ⎞
= −
Vm E ⎛ E V ⎞ ⎜ ⎟ sin ( θ ) − + ⎜ I 1 + − m sin (θ )⎟ e L ⎝ ω ⎠ Z R ⎝ R Z ⎠
Kemudian menyatakan I 1 = i ( t = π ω ) ,
44 ARIKA, Pebruari 2011
Vicky Salamena
I 1 = i( t = π ω ) =
R⎛ π
π ⎞
Vm E ⎛ E V ⎞ ⎜ −( )⎟ sin (π − θ ) − + ⎜ I 1 + − m sin (θ )⎟ e L ⎝ ω ω ⎠ Z R ⎝ R Z ⎠
diperoleh penyelesaian sebagai berikut, I 1 = i ( t = π ω ) = Vm sin (θ ) − E + ⎛⎜ I 1 + E − Vm sin (θ )⎞⎟ Z R ⎝ R Z ⎠ Dengan menyelesaikan i (t = 0) = i (t = π / ω ) diperoleh, R⎛ π ⎞
V E ⎛ E V E V E ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ V ⎞ − m sin ( θ ) − + ⎜ I 1 + − m sin (θ )⎟ e L ⎝ ω ⎠ = m sin (θ ) − + ⎜ I 1 + − m sin (θ )⎟ Z R ⎝ R Z R Z Z R ⎝ ⎠ ⎠ Diperoleh bentuk
I1 sebagai berikut, −
I1
=
R⎛ π ⎞ ⎜ ⎟⎞ 2 Vm ⎛E V ⎞ ⎛ sin ( θ ) − ⎜ − m sin (θ )⎟ ⋅ ⎜ 1 − e L ⎝ ω ⎠ ⎟ ⎟ Z ⎝R Z ⎠ ⎜⎝ ⎠
R⎛ π ⎞ ⎛ ⎜ ⎟⎞ ⎜1 − e L ⎝ ω ⎠ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dan kemudian menyederhanakan bentuk tadi menjadi
I1 =
⎛ ⎜ Vm 2 sin ( θ )⎜1 − R⎛ π ⎞ Z ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 1− e L⎝ω ⎠
⎞ ⎟ E ⎟− ⎟ R ⎠
(9)
Bentuk eksponensial dalam kurung dapat disederhanakan sebagai berikut,
⎛ ⎜ 2 ⎜1 − R⎛ π ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 1− e L⎝ ω ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
=
1− e
R⎛ π ⎞ ⎜ ⎟ L⎝ ω ⎠
1− e −1 =
−e
R⎛ π ⎞ ⎜ ⎟ L⎝ ω ⎠
1 −e
−2
R⎛ π ⎞ ⎜ ⎟ L⎝ ω ⎠
R⎛ π ⎞ ⎜ ⎟ L⎝ ω ⎠
=
−1− e 1− e
+1 = +1
1+ e 1− e
R⎛ π ⎞ ⎜ ⎟ L⎝ω ⎠
R⎛ π ⎞ ⎜ ⎟ L⎝ ω ⎠
−
R⎛ π ⎞ ⎜ ⎟ L⎝ω ⎠
−
R⎛ π ⎞ ⎜ ⎟ L⎝ ω ⎠
:
−e
R⎛ π ⎞ ⎜ ⎟ L⎝ ω ⎠ R⎛ π ⎞ ⎜ ⎟
− e L⎝ ω ⎠
dari penyelesaian di atas dan disubtitusikan ke persamaan (9) diperoleh: −
I1 =
R⎛π ⎞ ⎜ ⎟ L ⎝ω ⎠
Vm 1+ e E sin ( θ ) − R⎛π ⎞ − ⎜ ⎟ Z R 1− e L ⎝ω ⎠
(10)
Selanjutnya persamaan (10) disubtitusikan ke persamaan
i(t ) diperoleh:
⎛ ⎞ R⎛ π ⎞ ⎟ ⎜ −t ⎟ Vm E ⎜ Vm 1+ e E E Vm i(t ) = sin ( ωt − θ ) − + ⎜ sin ( θ ) sin (θ )⎟ e L ⎝ ω ⎠ − + − R⎛π ⎞ − ⎜ ⎟ Z R ⎜ Z R R Z ⎟ L ⎝ω ⎠ 1 e − ⎝ ⎠ R⎛π ⎞ − ⎜ ⎟ L ⎝ω ⎠
atau R ⎛ R ⎛⎜ π − t ⎞⎟ R⎛ π ⎞ ⎞ ⎜ e L⎝ ω ⎠ + e− L t ⎜ −t ⎟ ⎟ Vm Vm E L⎝ω ⎠ i(t ) = sin ( ωt − θ ) + sin ( θ ) ⎜ e − ⎟− R⎛π ⎞ − ⎜ ⎟ Z Z ⎜ ⎟ R L ⎝ω ⎠ ⎝ 1− e ⎠
Vol. 05, No. 1
Analisa Analitis Karateristik Arus Motor DC
45
kemudian bentuk eksponensial dalam kurung diselesaikan menjadi, R R ⎛ R ⎛⎜ π − t ⎞⎟ − t R⎛ π ⎞ ⎞ L ⎜ e L⎝ ω ⎠ + e− L t ⎜ −t ⎟ ⎟ 2 e L⎝ ω ⎠ = e − ⎜ ⎟ R⎛π ⎞ R⎛π ⎞ − ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ L⎝ω ⎠ 1− e L ⎝ω ⎠ ⎝ 1− e ⎠
maka R − t ⎛ ⎜ 2e L V V m m = sin ( ωt − θ ) + sin ( θ ) ⎜ R⎛π ⎞ − ⎜ ⎟ Z Z ⎜ L ⎝ω ⎠ e 1 − ⎝
i(t )
⎞ ⎟ E ⎟− ⎟ R ⎠
atau
⎛
⎜ i(t ) = Vm ⎜ sin ( ωt − θ ) + Z
2
⎜ ⎝
1− e
−
R⎛π ⎞ ⎜ ⎟ L ⎝ω ⎠
sin ( θ ) e
−
R t L
⎞ ⎟ E ⎟− ⎟ R ⎠
(11)
Persamaan (11) merupakan persamaan arus yang ditarik oleh motor dc selama periodav 0 dengan i (t ) ≥ 0
≤ ωt ≤ π
Arus rms diode dapat ditentukan dari persamaan (11) sebagai berikut,
Ir
1 π (i(t ) )2 dωt ∫ 0 2
=
π
1 2 ∫0
=
⎡ ⎢Vm ⎢Z ⎢⎣
2
⎤ ⎛ R ⎞ − t ⎟ ⎜ 2 E⎥ L (12) ( ) ( ) sin ω t θ sin θ e − − + ⎟ ⎜ R⎛π ⎞ ⎥ dω t − ⎜ ⎟ R ⎟ ⎜ ⎥⎦ 1− e L ⎝ω ⎠ ⎠ ⎝
Untuk menyelesaikan persamaan (12) pertama menyelesaikan dahulu [i(t )] , dengan menyederhanakan konstana-konstanta yang ada dalam persamaan menjadi suatu simbol tertentu sebagai berikut, 2
= Vm sin ( ωt − θ ) +
i(t )
Z
2 Vm ⎛ Z ⎜1 − e ⎜ ⎝
R⎛π ⎞ − ⎜ ⎟ L ⎝ω ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
sin ( θ ) e
−
R t L
−
E R
dengan inisialisasi sebagai berikut,
A=
Vm Z
Persamaan arus,
i(t )
(i(t ) )2
B=
2 Vm ⎛ Z ⎜1 − e ⎜ ⎝
R⎛π ⎞ − ⎜ ⎟ L ⎝ω ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
sin ( θ )
c=
R L
i(t ) dapat disusun kembali menjadi: −ct −D = A sin ( ωt − θ ) + B e
(A sin( ωt − θ ) + B e
) (
D=
E R
)
− D × A sin( ωt − θ ) + B e − c t − D = A 2 sin 2 ( ωt − θ ) + 2 AB sin ( ωt − θ ) e − c t − 2 AD sin ( ωt − θ ) + B 2 e − 2 c t − 2 BD e − c t + D 2 =
−ct
Selanjutnya adalah menarik inegral dari masing-masing suku dalam persamaan tersebut. Hasilnya adalah: π
2 ∫ (i(t )) d (ωt ) 0
π
=
π
−ct 2 2 ∫ A sin ( ωt − θ ) d (ωt ) + ∫ 2 AB sin( ωt − θ )e d (ωt ) 0
0
π
π
0
0
− ∫ 2 AD sin ( ωt − θ ) d (ωt ) + ∫ B 2 e − 2 c t d (ωt )
46 ARIKA, Pebruari 2011
Vicky Salamena
π
π
− ∫ 2 BD e − c t d (ωt ) + ∫ D 2 d (ωt ) 0
0
− π ⎞ ⎛ ⎜1 + e ω ⎟ ⎜ ⎟ = π 2 ⎠ ⎛ cos (θ ) − c sin (θ ) ⎞ A + 2 AB ⎝ ⎜ ⎟ 2 2 ω ⎛ c ⎞ ⎝ ⎠ ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ ⎝ ω ⎠ c −2 π ⎤ ω B2 ⎡ ω − 4 AD cos (θ ) + ⎢1 − e ⎥ 2c ⎣ ⎦ c
c − π ⎤ ω − 1 + π D2 ⎢e ⎥ c⎣ ⎦ Hasil integrasi dimasukan kembali pada persamaan (12), sehingga diperoleh,
+ 2BD
Ir
=
ω⎡
c ⎤ ⎡ − π ⎞ ⎛ ⎜1 + e ω ⎟ ⎥ ⎢ ⎟ ⎜ ⎠ ⎛ cos (θ ) − c sin (θ )⎞ ⎥ ⎢ π A 2 + 2 AB ⎝ ⎜ ⎟ ⎥ ω ⎛ c2 ⎞ ⎝ ⎠ 1 ⎢⎢ 2 ⎥ ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ ω ⎠ 2⎢ ⎥ ⎝ ⎥ ⎢ c c 2 2 − π − π ⎤ ⎤ ωB ⎡ ω⎡ ω 2⎥ ⎢ ω 1 e 2 BD e 1 π D −4 AD cos (θ ) + − + − + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 2c ⎣ c⎣ ⎦ ⎦ ⎦ ⎣
c ⎤ ⎡ − π ⎞ ⎛ ⎜1 + e ω ⎟ ⎥ ⎢ ⎜ ⎟ ⎠ ⎛ cos (θ ) − c sin (θ )⎞ ⎥ ⎢ π A 2 + AB ⎝ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢4 ω ⎛ c2 ⎞ ⎝ ⎠ ⎥ ⎢ ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ ω ⎠ ⎥ ⎢ ⎝ ⎥ ⎢ c c 2 −2 π ⎤ ⎤ π ωB ⎡ ω⎡ − π ⎢ 1 − e ω ⎥ + BD ⎢e ω − 1 ⎥ + D 2 ⎥ −2 AD cos (θ ) + ⎢ ⎥ ⎢ 4c ⎣ c⎣ ⎦ ⎦ 2 ⎦ ⎣
=
(13)
Arus rata-rata (dc) yang masuk ke motor adalah: ⎤ ⎛ R ⎞ π ⎡ − t ⎟ 2 E⎥ Id = 1 ⎢Vm ⎜ sin ( ωt − θ ) + L ( ) sin θ e − ⎜ ⎟ R⎛π ⎞ ⎥ d (ωt ) − ⎜ ⎟ 2π ∫0 ⎢ Z ⎜ ⎟ R⎥ L⎝ω ⎠ ⎢⎣ ⎝ 1− e ⎠ ⎦ =
π π π ⎤ 1 ⎡ −ct ⎢ ∫ A sin ( ωt − θ ) d (ωt ) + ∫ B e d (ωt ) − ∫ D d (ωt ) ⎥ 2π ⎣ 0 0 0 ⎦
Dengan menyelesaikan pengintegralan per setiap suku diperoleh arus rata-rata sebagai berikut, c ⎤ ⎡ − π ⎞ ⎛ Id = 1 ⎢ 2 A cos ( θ ) + B ω ⎜1 − e ω ⎟ − πD ⎥ ⎟ ⎜ 2π ⎢⎣ c⎝ ⎥⎦ ⎠ =
⎤ E ωL Vm ⎡ sin θ ⎥ − ⎢ cos ( θ ) + R πZ⎣ ⎦ 2R
(14)
Implementasi Numoris dan Simulasi Penyearah gelombang penuh satu fasa seperti Gambar 5 disuplai dengan tegangan ac sinusoidal satu fasa Vs = 120 V pada frekuensi 60 Hz yang adalah tegangan root mean square (rms). Sebagai beban dipasang sebuah motor dc yang memiliki pada putaran konstan sebesar
E = 10 V .
L = 6.5 mH , R = 2,5 Ω dan tegangan induksi armatur
Vol. 055, No. 1
Annalisa Analitis Kaarateristik Arus Motor DC
47
Gam mbar 5 Penyearah satu fasa yang y terhubung dengan ekiuvvalen motor dcc Dari hasil h pembahasan yang telah diuraikan d sebellumnya dapat diperoleh, d (1) aruus beban keadaaan tunak pada saat ωt = 0 adalah: a −
I1
R⎛π ⎞ ⎜ ⎟
L⎝ω ⎠ E = Vm sin ( θ ) 1 + e − R⎛π ⎞ − ⎜ ⎟ Z R 1− e L ⎝ω ⎠ −
R⎛π ⎞ ⎜ ⎟
2V s 1+ e L ⎝ω ⎠ E = sinn ( θ ) − R⎛π ⎞ − ⎜ ⎟ R + j 2πfL R L⎝ω ⎠ 1− e −
2,5 −3
⎛ ⎜
π
⎞ ⎟
6 , 5⋅10 ⎝ 2π ⋅60 ⎠ 2 ⋅120 10 0 1+ e = sin 44 , 42 − −3 2,5 ⎛ π ⎞ − 2,5 2,5 + j 2π ⋅ 60 6 ⋅ 6,5 ⋅ 10 ⎜ ⎟ −3 1 − e 6, 5⋅10 ⎝ 2π ⋅60 ⎠ = 32,81-A (2) arrus beban rata-rrata adalah: Id = Vm ⎡⎢ cos ( θ ) + ωL sinθ ⎤⎥ − E πZ⎣ R ⎦ 2R
(
)
(
)
−3 = Vs 2 ⎡ cos ( 444 ,42 ) + 2π ⋅ 60 ⋅ 6 ,5 ⋅ 10 sin (444 ,42 ) ⎤ − 10 ⎢ ⎥ π ⋅ 3,5 ⎣ 2 ,5 ⎦ 2 ⋅ 2 ,5 = 19,64-A i(t ) yangg ditarik oleh motor Untukk melihat kurvaa karakteristik arus a m dc, makaa semua parameeter yang telahh diketaahui dimasukann pada persamaaan (11) sehinggga diperoleh, ⎛ ⎞ 2 ,5 − t ⎟ 2 10 i(t ) = 169 ,7 ⎜ sin ( ωt − 44 ,42 ) + 6 ,5⋅10 − 3 sin 44 , 42 e ⎜ ⎟− 2 ,5 ⎛ π ⎞ − 3 ,5 ⎜ 2 ,5 ⎜ ⎟ −3 ⎟ 1 − e 6 ,5⋅10 ⎝ 2π ⋅600 ⎠ ⎝ ⎠ = 48 ,49 sin ( ωt − 44 ,42 ) + 1 ,46 e − 384 ,62 t − 4
(
= 48 ,49 sin ( ωt − 44 ,42 ) + 70 ,78 e
)
− 384 ,62 2t
−4
dengann
Vm = Vs ⋅ 2 = 120 ⋅ 2 = 169 ,7 --V Z = R + j X = 2 ,5 + j 2π ⋅ 60 ⋅ 6 ,5 ⋅ 10 −3 = 3 ,5 ∠ 44 ,42 0 -Ω Sehingga: Z = 3 ,5 dan θ = 44 ,42 0 = 44 ,42 ⋅ π = 0 ,7753 − rad 180 Demikkian pula teganngan sumber:
Vm = Vs ⋅ 2 sin ωt = 169 ,7 sin ωt Selanjutnya dengan menggunakan m program Matlaab diperoleh diiagram arus sesaat yang masu uk ke beban daan tegang gan sumber, Haartanto T.W.D. dan Prasetyo Y.W.A (2003)) dengan perinttah sebagai berrikut , w=2*pi*60; t=0:.00001::.0333; v=169.7*sin n(w*t);
48 ARIKA, Pebruari 2011
Vicky Salamena
i=48.49*sin(w*t-0.7753)+70.78*exp(-384.62*t)+4; plot(t,i,'b',t,v,'r'); xlabel('t,detik'); ylabel('i,amper/v,tegangan'); grid; 200 i(t) v(t)
150
i,amper/v,tegangan
100 50 0 -50 -100 -150 -200
0
0.005
0.01
0.015 0.02 t,detik
0.025
0.03
0.035
Tegangan dan arus fungsi waktu Hasil plot yang dilakukan dengan program Matlab memperlihatkan bahwa motor dc yang mengandung beban induktif menyebabkan arus motor yang tertinggal sebesar 44,420 listrik. Pada saat t=0 arus I1=32,81 seperti terlihat pada kurva. Selang plot yang diambil sebesar dua perioda yaitu dari ωt = 0 sampai ωt = 4π .
Kesimpulan Dari hasil pembahasan diperoleh: 1. Persamaan arus sesaat yang masuk ke motor
⎛
i(t )
= Vm ⎜ sin ( ωt − θ ) + ⎜
Z ⎜ ⎝
2.
4.
1− e
Arus beban kondisi steady-state pada saat
I1 3.
2
= Vm sin ( θ ) 1 + e
Z
1− e
−
R⎛π ⎞ ⎜ ⎟ L ⎝ω ⎠
ωt = 0
R⎛π ⎞ − ⎜ ⎟ L ⎝ω ⎠ R⎛π ⎞ − ⎜ ⎟ L ⎝ω ⎠
−
sin ( θ ) e
−
R t L
⎞ ⎟ E ⎟− ⎟ R ⎠
E R
Arus rata-rata atau arus dc yang ditarik oleh motor: ⎡ ⎤ Id = Vm ⎢ cos ( θ ) + ωL sin θ ⎥ − E R πZ⎣ ⎦ 2R Hasil plot dengan program Matlab menampilkan bahwa motor dc yang mengandung beban induktif menyebabkan arus tertinggal dari tegangan sebesar 44,420 listrik.
Daftar Pustaka Hartanto T.W.D. dan Prasetyo Y.W.A., 2003, Analisis dan Desain Sistem Kontrol dengan Matlab, Penerbit Andi Offset, Yogyakarta Kreyszig E., 1993, Advanced Engineering Mathematics, Seventh Edition, John Wiley & Sons Inc. Singapore Lander C.W., 1993, Power Electronics, Third Edition, Mc Graw-Hill New Delhi India Rashid M.H., 1999, Elektronika Daya: Rangkaian, Devais, dan Aplikasinya, Jilid 1, Penerbit PT Prenhallindo, Jakarta Soedojo E., 1995, Asas-Asas Matematika Fisika dan Teknik, Cetakan Pertama, Gadjah Mada University Press, Yogyakarta
