Tantárgy neve Tantárgy kódja Meghirdetés féléve Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) Számonkérés módja Előfeltétel (tantárgyi kód) Tantárgyfelelős neve Tantárgyfelelős beosztása
Alkalmazott matematika és módszerei I MTB1901 4 2+2 G Dr. Blahota István Főiskolai docens
1. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései A tárgy keretében a hallgatók a Matematikai Analízis alapvető témaköreivel ismerkednek meg. A szerzett ismereteket feladatmegoldásokban alkalmazzák. 2. A tantárgy tartalma Halmazok, relációk és függvények. Rendezett halmazok. Halmazok számossága, számhalmazok számossága. Nyílt és zárt halmazok. Halmazok távolsága és átmérője. Valós számok axiómarendszere. Természetes, egész és racionális számok. Hatványozás. Nevezetes egyenlőtlenségek. Valós számsorozatok. Sorozatok korlátossága és monotonitása. Sorozatok konvergenciája. Határértéktételek sorozatokra. Műveletek sorozatokkal. Cauchy-sorozatok. Teljesség. Sorok, sorok konvergenciája. Konvergencia kritériumok. Abszolút és feltételes konvergencia. Műveletek sorokkal. Elemi függvények. Függvények korlátossága és monotonitása. Függvény határértéke, folytonossága és egyenletes folytonossága. Határérték és folytonosság kapcsolata, monoton függvények. Műveletek folytonos függvényeken. Kompaktság. A kompaktság jellemzése. Kompakt halmazon folytonos függvények tulajdonságai. Összefüggőség. Monoton függvények. Függvénysorok pontonkénti és egyenletes konvergenciája. Hatványsorok. Konvergencia sugár. A differenciálszámítás elemei. Egyváltozós függvények deriváltja. Differenciálási szabályok. Határfüggvény és összegfüggvény differenciálása. L'Hospital szabály. Lagrange-féle maradéktag, Lagrange-féle középérték tétel, Rolle-féle középérték tétel. Lokális szélsőérték, konvexitás, monotonitás. Függvényvizsgálat. Magasabbrendű deriváltak, Taylor-sorok. Az integrálszámítás elemei. Primitív függvény. Határozatlan integrál. Határozott integrál. Darboux tétel. Egyváltozós függvények Riemann-integrálja. Integrálási szabályok. Integrálhatósági kritériumok. Integrálható függvények főbb osztályai. Az integrál alaptulajdonságai. Newton-Leibniz-formula. Az integrál mint a felső határ függvénye. Parciális és helyettesítéses integrálás. Racionális törtfüggvények integrálása, racionalizáló helyettesítések. Terület, ívhossz, forgástest térfogata és felszíne. Riemann-Stieltjesintegrál. Improprius integrálok.
Tételsor: 1. Relációk, függvények. Halmazok számossága, számhalmazok számossága. 2. Nevezetes egyenlőtlenségek. 3. Valós számsorozatok. Konvergencia és műveletek. Nevezetes sorozatok határértéke. 4. Numerikus sorok, konvergencia-kritériumok, műveletek sorokkal. 5. Függvények folytonossága, korlátosság és monotonitás, műveletek folytonos függvényeken. 6. Függvények határértéke, határérték és folytonosság kapcsolata, monoton függvények. 7. Függvénysorok és hatványsorok. 8. Elemi függvények, a differenciálhányados fogalma. 9. Differenciálhatóság és folytonosság. Deriválási szabályok. A differenciálszámítás középérték tételei. 10. Magasabbrendű deriváltak, Taylor-sorok. Lokális szélsőérték, konvexitás, monotonitás. L’Hospital-szabály. 11. Határozatlan integrál, integrálási szabályok. 12. Riemann-integrálhatóság, Darboux tétel. A Newton-Leibniz formula. 13. Improprius integrálok. A Riemann-Stieltjes integrál. Mintadolgozatok: (Mellékelve)
3. Évközi ellenőrzés módja Két zárthelyi dolgozat írása.
4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai
5. A kötelező ill. ajánlott irodalom Csernyák László (szerk.): Analízis. Tankönyvkiadó, 2001. W. Rudin: Matematikai analízis alapjai. Műszaki Kiadó, 1978. Makai I.: Bevezetés az analízisbe. Tankönyvkiadó, 1981. Kántor S.: Analízis I. Tankönyvkiadó, 1993. Császár Á.: Valós analízis I. Tankönyvkiadó, 1983. Leindler L. - Schipp F.: Analízis I. (Egységes jegyzet), Természettudományi Karok, Tankönyvkiadó, 1977. Rimán J.: Matematikai analízis feladat gyűjtemény. Tankönyvkiadó, Budapest, 1992. B. P. Gyemidovics: Matematikai analízis (Feladatgyűjtemény). Tankönyvkiadó, 1974. Makai I.: Differenciál és integrálszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1982. Pál J. - Schipp F. - Simon P.: Analízis II. Tankönyvkiadó, 1982. Bárczy Barnabás: Differenciálszámítás. Műszaki Kiadó, 2001. Bárczy Barnabás: Integrálszámítás. Műszkai Kiadó, 2000. Páles Zsolt: Bevezetés az analízisbe. Matematikai és Informatikai Intézet, Kossuth Lajos Tudományegyetem, Debrecen, 1997.
6. A tantárgy tárgyi szükségletei és ellátása Kréta, tábla (esetlegesen táblaíró filctoll, megfelelő táblával.)
Els˝o dolgozat A. v´altozat 2
+n 1. Legyen an = 6n aljuk meg monotonit´as, korl´atoss´ag szem2n2 +3 . Vizsg´ pontj´ab´ol! Ha konvergens sz´amoljuk ki a hat´ar´ert´ek´et, valamint keress¨ unk ² = 0, 01-hoz k¨ usz¨obindexet! (8 pont)
2. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi sorozatok hat´ar´ert´ekeit (6 pont): µ ¶n 2n2 − 3n3 + 1 sin(n) n−1 bn = cn = dn = n2 + 1 n 2n + 2 ∞ P
3. Mennyivel egyenl˝o az al´abbi m´ertani sor ¨osszege? (2 pont) 4. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi sor¨osszeget! (2 pont)
3
n=2
∞ ¡ ¢n P − 12
¡ 2 ¢n 3
n=1
5. Konvergensek-e az al´abbi sorok? (4 pont) ∞ X n 3n n=0
∞ X 2n (2n)! n=1
6. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi f¨ uggv´enyhat´ar´ert´ekeket (6 pont): x2 − 3x + 2 x→2 x2 − 5x + 6
µ
sin(x − 2) x→2 2x − 2
lim
lim
lim
x→∞
x−1 x+2
¶x
B. v´altozat 6n+1 1. Legyen an = 2n Vizsg´aljuk meg monotonit´as, korl´atoss´ag szem2 +3 . pontj´ab´ol! Ha konvergens sz´amoljuk ki a hat´ar´ert´ek´et, valamint keress¨ unk ² = 0, 01-hoz k¨ usz¨obindexet! (8 pont)
2. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi sorozatok hat´ar´ert´ekeit (6 pont): µ ¶n p 32n+2 + 9n−1 2n − 1 an = b = n2 + 1 − n c = n n 4 · 9n 2n + 2 3. Mennyivel egyenl˝o az al´abbi m´ertani sor ¨osszege? (2 pont) 4. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi sor¨osszeget! (2 pont)
∞ P n=0
2 (n+1)(n+2)
5. Konvergensek-e az al´abbi sorok? (4 pont) ∞ X (3n)! 3n n=1
∞ X 2n 2n n=0
1
2 9
−
1 3
+ ...
6. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi f¨ uggv´enyhat´ar´ert´ekeket (6 pont): x2 − 3x lim 2 x→0 x − 5x
µ
sin(x − 2) lim x→2 2x − 4
lim
x→∞
x−1 x+2
¶2
M´asodik dolgozat A. v´altozat 1. Deriv´alja le az al´abbi f¨ uggv´enyeket! (3+3+3 pont) a. (x3 − x22 )(2 − x)
b. (2x + x2 ) sin x
c.
tg (4x) cos x
2. Legyen f (x) = x21+1 . Hat´arozzuk meg a monotonit´asi intervallumokat, lok´alis sz´els˝o´ert´ekhelyeket ´es azok t´ıpus´at! (3+2+2 pont)
3. V´egezz¨ uk el az al´abbi integr´al´asokat! (4+3 pont) Z a.
Z3
x2 + 23 x dx (x3 + x2 )3
b. 2
x dx x2 − 1
4. Sz´amoljuk ki az al´abbi k´et f¨ uggv´eny ´altal k¨ozrez´art ter¨ uletet! (7 pont) f (x) = x2
g(x) = x + 1
B. v´altozat 1. Deriv´alja le az al´abbi f¨ uggv´enyeket! (3+3+3 pont) a.
x2 + x 2−x
b. sin(2x cos x)
c. sin(2x ) cos x
2. Legyen f (x) = x3 − 3x2 . Hat´arozzuk meg a konvexit´asi intervallumokat ´es az inflexi´os pontokat! (5+3 pont)
3. V´egezz¨ uk el az al´abbi integr´al´asokat! (3+4 pont)
2
Z a.
Zπ
x+1 dx x2 + 2x − 3
(x2 + sin x)(x3 − 3 cos x)2 dx
b. 0
4. Sz´amoljuk ki az al´abbi k´et f¨ uggv´eny ´altal k¨ozrez´art ter¨ uletet! (7 pont) f (x) = x4
g(x) = 1
C. v´altozat 1. Deriv´alja le az al´abbi f¨ uggv´enyeket! (3+3+3 pont) a. (3x − 22x )(2 − x)
b. (ex + xe ) sin x
c.
4 sin(4x) cos x
2. Legyen f (x) = x2x+1 . Hat´arozzuk meg a monotonit´asi intervallumokat, lok´alis sz´els˝o´ert´ekhelyeket ´es azok t´ıpus´at! (3+2+2 pont)
3. V´egezz¨ uk el az al´abbi integr´al´asokat! (3+4 pont) Z a.
Z3
x+1 3 ) dx (x2 + 2x
b. 2
x2
1 dx −1
4. Sz´amoljuk ki az al´abbi k´et f¨ uggv´eny ´altal k¨ozrez´art ter¨ uletet! (7 pont)
f (x) =
√
x
g(x) = x
3
