Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=1, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk 1, a spin Oz tengely irányú spin komponensük vagy 1 ℏ vagy −1 ℏ lehet, a 0 értéket nem veheti fel. Ezek alapján azt mondjuk, hogy a fotonoknak kétféle polarizációja lehet. A fotonok energiáját a nekik megfelelő elektromágneses sugárzás határozza meg a jól ismert: E =h képlet alapján. Vizsgáljuk a következőkben a fotongáz statisztikus tulajdonságait. Egy L oldalélű és T hőmérsékletű zárt dobozt tekintünk. Tudjuk, hogy minden T>0 hőmérsékletű test egy folytonos spektrumú elektromágneses sugárzást (fotonokat) bocsát ki. Ezt sugárzást hőmérsékleti sugárzásnak is nevezik. A T hőmérsékletű doboz belsejében is jelen lesz ez a sugárzás ami állandóan kibocsátodik és elnyelődik. A doboz belsejében tehát foton gáz lesz jelen, ami termikus egyensúlyban van a T hőmérsékletű tartályal. Mivel a fotonok egymással nem hatnak kölcsön és a jelenlevő fotonok száma fluktuál, a kockában levő fotongáz úgy tekinthető mint egy makrókanónikus sokaságban levő nemkölcsönható részecskékből álló bozon rendszer. A rendszer statisztikáját a levezetett Bose-Einstein eloszlás írja le: 〈nq 〉=
1 e
E q− /kT
(1)
−1
ahol q a lehetséges egyfoton állapotokat jelenti. A célunk itt ezen fotongáz spektrális energiasűrűségét meghatározni. Az u ,T spektrális energiasűrűség megadja az egységnyi térfogatban levő azon fotonok összenergiáját, amelynek frekvenciája és d között van, ha d =1 : u ,T =
W , d ,T Vd
(2)
A fenti képletben V =L3 a rendszer térfogata, W meg azon fotonok összenergiája, melyeknek a frekvenciája és d között van. A keresett spektrális energiasűrűség felírható mint: u ,T =
1 N ,d 1 〈n 〉 E = f 〈 n 〉 E V d V
(3)
ahol E =h egy frekvenciájú foton energiája és f megadja az egyfoton állapotok sűrűségét a frekvencia-térben: f =
N , d . d
(4)
A (3)-as képletben 〈n 〉 megadja egy olyan egyrészecske állapot elfoglalási számát, amelyben a foton frekvenciája . Feladatunk tehát elöször is a lehetséges egyfoton állapotok meghatározása. A lehetséges foton állapotok a tér három irányába kialakuló állóhullámoknak felelnek meg. Ugyanazon állapotokról van szó mint szilárd testek esetén és amelyeket a Debye fajhőelmélet keretében tekintettünk. Ha
2 c k= ), annak a feltétele, hogy a k =k x x k y y k z z jelőli a foton hullámszám vektorát ( c tér mindhárom irányában állóhullámunk legyen (c az elektromágneses hullámok terjedési sebessége légüres térben): k x=
n ; k y = n y ; k z= n z L x L L
(15)
ahol: n x , n y , n z ∈{0,1, 2, ....i... ∞ } tetszőleges természetes szám lehet. A foton egyrészecske állapotokat tehát az n x , n y , n z kvantumszámok jelölik. Az egyrészecske állapotok a k tér pozitív nyolcadában a már ábrázolt egyenletes kockarács tipusú pont-sűrűséggel jellemezhetők. Egyetlen állapothoz a k x , k y , k z térben / L3 térfogat tartozik. A k térbeli állapotsűrűség: N k , k dk 4 k 2 dk k2 V f k = = = dk 8/ L3 dk 2 2
(16)
Figyelembe véve a fotonok két lehetséges polarizációját: f k =
k2V 2
A fotonok energiája
(17) c E=h =h =ℏ c k
(18)
Mivel bozonok esetén a rendszer kémiai potenciálja mindig kisebb kell legyen mint az egyrészecske állapotok energiája, a fotongáz kémiai potenciáljára =0 adódik. Az egyrészecske állapotok energiája ugyanis akármilyen kicsi, és a kémiai potenciál pozitív kell legyen. A kémiai potenciál és az E =h ismeretében meghatározható egy olyan egyrészecske állapot átlagos elfoglalási száma melyben a foton frekvenciája : 〈n 〉=
1 e −1
(19)
h
Az u ,T spektrális energiasűrűség meghatározásához a (3) képletben csak az f egyfoton állapotok sűrűségére van szükség a frekvenciatérben. Akárcsak a Debye fajhőelmélet esetén az állapotsűrűség a frekvenciatérben kiszámítható a k térbeli állapotsűrűségből, felhasználva, hogy: f k dk = f d Felhasználva, hogy
(20) dk 2 k =2 = c d c
(21)
azonnal adódik, hogy: f =
k 2 V 2 8 2 = 3 2 c c
(22)
A (3), (19) és (22) alapján felírhatjuk tehát a keresett spektrális energiasűrűség értékét: 3
u ,T =
8 h 3 h c e −1
(23)
Felhasználva a c= képletet azonnal megadható az u , T spektrális energiasűrűség a hullámhossz szerint is: u , T =u ,T
d 8 h c 1 = 5 h c/ d e −1
(24)
Az u , T spektrális energiasűrűséget függvényében két különböző hőmérsékleten az 1. ábrán szemléltetjük.
1. ábra. A spektrális energiasűrűség a hullámhossz függvényében két különböző hőmérsékleten Látható, hogy letezik egy m hullamhossz (és ezáltal egy m frekvencia) amire ennek a spektrális energiasűrűségnek maximuma van. A hőmérséklet növekedésével m csökken a Wien féle eltolódási törvény értelmében: m T = Konstans
(25)
A Wien féle eltolodási törvény azonnal következik a du , T m =0 d
,
(27)
egyenletből (Felhasználva, hogy a nem nagyon nagy hőmérsékletekre és hullámhosszakra: e h c/ ≫1 . Azonnal kiszámítható a teljes energiasűrűség is: ∞
∞
3
U 8 h =∫ u , T d = 3 ∫ h d V 0 c 0 e −1
(28)
Az
x= h változócsere alkalmazásával: ∞
3
U 8 h 1 x = 3 dx 4 4∫ x V c h 0 e −1
(29)
A kapott határozott integrál értéke ismert: 4 /15 . Flehasználva ezt az értéket: U 4 = T V
(30)
8 5 k 4 ahol: = az úgynevezett Stefan-féle konstans. A (30) összefüggést a Stefan törvénynek 15 c3 h3 szokták nevezni, és ennek értelmében a foton gáz energiasűrűsége a hőmérséklet negyedik hatványával arányosan nő. Ennek alapján a fotongáz állandó térfogaton mért mólhője: C V ~T
3
(31)
Kiszámíthatjuk azonnal a fotongáz nyomását is, felhasználva a makrókanónikus sokaságban a PV =ln Z kT
(32)
képletet. A bozon rendszerek esetén azt kaptuk, hogy: Z =∏ q
1 1−e −
(33)
q
A fenti szorzat az összes lehetséges egyrészecske állapotokra vonatkozik. Felhasználva, hogy =0 : ln Z =−∑ ln 1−e
−h q
q
(34)
Az egyrészecske állapotokra való összegzés elvégezhető, úgy hogy integrálunk a fotonok összes lehetséges frekvenciáira, figyelembe véve az f állapotsűrűséget: ∞
ln Z =−∫ f ln 1−e − h d 0
(35)
Figyelembe véve az állapotsűrűség (22) kifejezését: ln Z =−
8 V ∞ 2 8 V ln 1−e− h d =− 3 I 3 ∫ c 0 c
Az I integrál kiszámítása parciális integrálással történik:
(36)
∞
∞
−h 1 1 3 1 3 −h − h ∞ 3 − h e I = ∫ ' ln 1−e d = ln 1−e ⋮0 − ∫ d 30 3 30 1−e− h
(37)
A fenti kifejezés első tagja mindkét határban nulla, és ezáltal felírható: ln Z =
8V h ∞ 3 d ∫ c 3 3 0 e h −1
(38)
Figyelembe véve most az energia sűrűségre felírt (28) összefüggést, azonnal következik, hogy: ln Z =
U 1 V 1 U = V kT 3 3 kT
(39)
Felhasználva most a makrókanónikus sokaságban általános érvényű (32) képletet: PV 1 U 1U =ln Z = P= kT 3 kT 3V
(40)
Ennek értelmében a fotongáz nyomása egyenesen arányos a fotongáz energiasűrűségével.
