ALJABAR BOOLEAN -Definisi -AB dua-nilai
Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom
Pendahuluan
Aljabar Boolean (AB), pertama kali dikemukakan oleh matematikawan Inggris, George Boole tahun 1854. Tahun 1938, Claude Shannon, penggunaan AB untuk rangkaian sirkuit yg meneriman masukkan 0 dan 1 dan keluaran juga 0 dan 1. AB telah menjadi dasar teknologi komputer digital. Penggunaan : rangkaian pensaklaran, rangkaian digital, dan IC (integrated circuit) koputer.
Definisi Aljabar Boolean Definisi Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner + dan , dan sebuah operator uner ’. Misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B. Maka, tupel (B, +, , ’) disebut Aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c B berlaku aksioma-aksioma atau postulat berikut :
Definisi Aljabar Boolean ….
(i) a + b B (hasil operasi + tetap berada di dalam B) (ii) a b B (hasil operasi tetap berada di dalam B) 2. Identitas: (i) a + 0 = a (ii) a 1 = a 3. Komutatif: (i) a + b = b + a (ii) a b = b a 4. Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c) (ii) a + (b c) = (a + b) (a + c) 5. Komplemen: Untuk setiap a B terdapat elemen unik a’ B sehingga (i) a + a’ = 1 (ii) a a’ = 0 1. Closure:
# disebut Postulat Huntington (diformulasi oleh E.V. Huntington tahun 1904)
Definisi Aljabar Boolean ….
Elemen 0 dan 1 adalah dua elemen unik yang di dalam B. Kedua elemen unik dapat berbeda-beda pada beberapa aljabar Boolean (misalnya dan U pada himpunan, F dan T pada proposisi), namun secara umum kita tetap menggunakan 0 dan 1 sebagai dua buah elemen unik yang berbeda. Elemen 0 disebut elemen zero, sedangkan elemen 1 disebut elemen unit. Operator (+) disebut operator penjumlahan, ( ) disebut operator perkalian, dan ( ’ ) disebut operator komplemen.
Definisi Aljabar Boolean ….
Terdapat perbedaan antara aljabar Boolean dengan aljabar biasa untuk aritmetika bilangan riil: 1.
Hukum distributif yang pertama,
a (b + c) = (a b) + (a c), sudah dikenal di dalam aljabar biasa, tetapi hukum distributif yang kedua, a + (b c) = (a + b) (a + c), benar untuk aljabar Boolean, tetapi tidak benar untuk aljabar biasa.
Definisi Aljabar Boolean ….
Aljabar Boolean tidak memiliki kebalikan perkalian (multiplicative inverse) dan kebalikan penjumlahan; karena itu, tidak ada operasi pembagian dan pengurangan. 3. Aksioma nomor 5 mendefinisikan operator yang dinamakan komplemen yang tidak tersedia pada aljabar biasa. 2.
Definisi Aljabar Boolean ….
4.
Aljabar biasa memperlakukan himpunan bilangan riil dengan elemen yang tidak berhingga banyaknya. Sedangkan aljabar Boolean memperlakukan himpunan elemen B yang sampai sekarang belum didefinisikan, tetapi pada aljabar Boolean dua-nilai, B didefinisikan sebagai himpunan dengan hanya dua nilai yaitu 0 dan 1.
Definisi Aljabar Boolean ….
Hal lain yang penting adalah membedakan elemen himpunan dan peubah (variable) pada sistem aljabar. Sebagai contoh, pada aljabar biasa, elemen himpunan bilangan riil adalah angka, sedangkan peubahnya seperti a, b, c, dan sebagainya. Dengan cara yang sama pada aljabar Boolean, orang mendefinisikan elemen-elemen himpunan dan peubah seperti x, y, z sebagai simbol-simbol yang merepresentasikan elemen.
Definisi Aljabar Boolean ….
Berhubung elemen-elemen B tidak didefinisikan nilainya (kita bebas menentukan anggota-anggota B), maka untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, orang harus memperlihatkan: 1.
2. 3.
Elemen-elemen himpunan B, kaidah/aturan operasi untuk dua operator biner dan operator uner, himpunan B, bersama-sama dengan dua operator tersebut, memenuhi postulat Huntington.
Jika ketiga persyaratan di atas dipenuhi, maka aljabar yang didefinisikan dapat dikatakan sebagai aljabar Boolean.
Definisi Aljabar Boolean ….
Contoh 1 Misalkan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} adalah pembagi dari 60. Tunjukkan cara membentuk B menjadi sebuah aljabar Boolean. Penyelesaian: Elemen-elemen himpunan B sudah didefinisikan. Sekarang kita tentukan kaidah operasi operator +, , dan ’. Misalkan kita definisikan a + b = KPK(a, b) = kelipatan persekutuan terkecil a b = PBB(a, b) = pembagi bersama terbesar a’ = 60/a
Definisi Aljabar Boolean ….
Maka sekarang kita tunjukkan apakah B bersamasama dengan kedua operator biner dan operator uner memenuhi postulat Huntington. Ketertutupan
(closure): jelas berlaku karena setiap operasi + dan terhadap elemen-elemen himpunan B selalu menghasilkan nilai yang terletak di dalam B. Misalnya:
3 + 4 = KPK(3, 4) = 12, 3 4 = PBB(3, 4) = 1, 3’ = 60/3 = 20, 15 + 60 = KPK(15, 60) = 60, 15 60 = PBB(15, 60) = 15, dan lain-lain.
Definisi Aljabar Boolean ….
Identitas: 1 adalah elemen identitas untuk operasi penjumlahan dan 60 adalah elemen identitas untuk operasi perkalian, karena (i) a + 1 = KPK(a, 1) = a (1 sebagai elemen zero) (ii) a 60 = PBB(a, 60) = a (60 sebagai elemen unit)
Definisi Aljabar Boolean ….
Komutatif: jelas berlaku karena (i) a + b = b + a = KPK(a, b) (ii) a b = b a = PBB(a, b)
Definisi Aljabar Boolean ….
Distributif: jelas berlaku karena (ditunjukkan dengan contoh) (i) 20 (3 + 5) = PBB(30, KPK(3, 5)) = PBB(20, 15) = 5 (20 3) + (20 5) = KPK(PBB(20, 3), PBB(20, 5)) = KPK(1, 5) = 5
(ii) 20 + (3 5) = KPK(20, PBB(3, 5)) = KPK(20, 1) = 20 (20 + 3) (20 + 5) = PBB(KPK(20, 3), KPK(20, 5)) = PBB(60, 20) = 20
Definisi Aljabar Boolean ….
Komplemen: jelas berlaku karena (i) a + a’ = KPK(a, 60/a) = 60 (ii) a a’ = PBB(a, 60/a) = 1 Kesimpulan : Oleh karena semua postulat Huntington dipenuhi, maka B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} yang didefinisikan pada operator biner + dan , dan operator komplemen ’ adalah sebuah aljabar Boolean.
Aljabar Boolean Dua-Nilai
Mengingat B tidak ditentukan anggotaanggotanya, maka kita dapat membentuk sejumlah tidak berhingga aljabar Boolean.
Pada aljabar Boolean terhingga, banyaknya anggota B terbatas, tetapi paling sedikit beranggotakan dua buah elemen karena (menurut definisi) di dalam B harus terdapat dua elemen yang berbeda.
Aljabar Boolean Dua-Nilai ….
Aljabar Boolean yang terkenal dan memiliki terapan yang luas adalah aljabar Boolean duanilai (two-valued Boolean algebra).
Aljabar Boolean dua-nilai didefinisikan pada sebuah himpunan B dengan dua buah elemen 0 dan 1 (sering dinamakan bit – singkatan dari binary digit), yaitu B = {0, 1}, operator biner + dan , operator uner ’.
Aljabar Boolean Dua-Nilai ….
Kaidah untuk operator biner dan operator uner ditunjukkan pada tabel di bawah ini : a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
ab 0 0 0 1
a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
a+b 0 1 1 1
a 0 1
a’ 1 0
Aljabar Boolean Dua-Nilai ….
Kita harus memperlihatkan bahwa postulat Huntington benar untuk himpunan B = {0, 1} dengan dua operator biner dan satu operator uner yang didefinisikan di atas: Closure : jelas berlaku karena dari tabel terlihat hasil tiap operasi adalah 1 atau 0 B. Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa: (i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1 (ii) 1 0 = 0 1 = 0 yang memenuhi elemen identitas 0 dan 1 seperti yang didefinisikan pada postulat Huntington.
Aljabar Boolean Dua-Nilai ….
Komutatif:
jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner. Distributif: a (b + c) = (a b) + (a c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran untuk semua nilai yang mungkin dari a, b, dan c.
Aljabar Boolean Dua-Nilai ….
a
b
c
b+c
a (b + c)
ab
ac
(a b) + (a c)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Oleh karena nilai-nilai pada kolom a (b + c) sama dengan nilai-nilai pada kolom (a b) + (a c), maka kesamaan (a b) + (a c) = (a b) + (a c) adalah benar.
Aljabar Boolean Dua-Nilai ….
distributif a + (b c) = (a + b) (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i). Komplemen: jelas berlaku karena tabel memperlihatkan bahwa: Hukum
(i) a + a’ = 1, karena 0 + 0’ = 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’ = 1 + 0 = 1 (ii) a a’ = 0, karena 0 0’ = 0 1 = 0 dan 1 1’ = 1 0 = 0
Aljabar Boolean Dua-Nilai ….
Postulat
6 dipenuhi karena aljabar Boolean dua-nilai memiliki dua buah elemen yang berbeda 1 dan 0 dengan 1 0.
Karena keenam postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersamasama dengan operator biner + dan operator komplemen ’ merupakan aljabar Boolean.
Aljabar Boolean Dua-Nilai ….
Aljabar Boolean dua-nilai mempunyai terapan yang sangat luas dalam bidang elektronika, khususnya pada perancangan sirkuit di dalam komputer. Beberapa terapan lainnya juga ditemukan di bidang teknik sipil, teknik mesin, dan sebagainya.
Untuk selanjutnya, jika disebut aljabar Boolean, maka aljabar Boolean yang dimaksudkan di sini adalah aljabar Boolean dua-nilai.
