35
BAB III ALGORITMA KOHERENSI STRUKTUR EIGEN DAN SEMBLANCE
Dalam cakupan interpretasi dalam metode seismik, koherensi, kontinuitas, semblance dan kovarian, merupakan studi yang agak mirip. Dimana kesemuanya bertujuan untuk mengkonversi dari suatu volum yang dengan data kontinyu (refleksi normal) ke dalam volum dengan data yang tidak kontinyu (patahan atau bidang batas yang lain). Atribut seismik tersebut dioperaikan dalam suatu time-window dan menggunakan berbagai pendekatan matematis yang serupa dengan prinsip korelasi. Dikarenakan atribut tersebut dihasilkan langsung dari proses internal pada data itu sendiri, maka hasilnya akan bebas dari bias interpretasi. (Brown,1999).
Pada kajian ini digunakan asumsi dari kubus_analisa dalam bentuk matriks yang melingkupi I buah trace dan K buah sampel sebagai perlambangan pernyataan matematis dari dari cuplikan data seismik, ⎡ a11 ⎢a A = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣a K 1
a12 a 22 M aK 2
L a1I ⎤ L a 2 I ⎥⎥ O M ⎥ ⎥ L a KI ⎦
(3.1)
Matriks A pada persamaan (1) di atas merepresentasikan suatu data multichanel, dimana suatu kolom tunggal dari A merepresentasikan K sampel dari suatu trace
36
tunggal i, sementara suatu baris tunggal dari A memberikan suatu sampel waktu k yang sama untuk semua trace I. Sedangkan suatu entri tunggal aki adalah amplitudo pada sampel ke-k pada trace ke-i.
3.1 Algoritma Koherensi Struktur-Eigen Dari matriks A pada persamaan (3.1) di atas dapat diturunkan matriks kovariannya dengan terlebih dahulu menentukan kovarian dari salah satu komponen barisnya. Jika diambil baris ke-k dari matriks A:
a k = [a k 1
ak2
L
a kI
]
⎡ a k1 ⎤ ⎢a ⎥ T a k a k = ⎢ k 2 ⎥ [a k 1 a k 2 L a kI ] ⎢ M ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ a kI ⎦ ⎡ a k21 a k 1 a k 2 L a k 1 a kI ⎤ ⎥ ⎢ a k1a k 2 a k2 2 L a k 2 a kI ⎥ ⎢ = ⎢ M M O M ⎥ ⎥ ⎢ a kI2 ⎥⎦ ⎢⎣ a k 1 a kI a k 2 a kI L
(3.2)
(3.3)
Maka didapat untuk matriks kovarian dari matriks A secara keseluruhan adalah jumlah dari matriks kovarian dari masing-masing barisnya
37
K
C = A T A = ∑ a Tk a k k =1
⎡ 2 ⎢ ∑ a k1 ⎢ Kk =1 ⎢ a a k1 k 2 = ⎢∑ k =1 ⎢ M ⎢K ⎢ ∑ a k1 a kI ⎣⎢ k =1 K
⎤ a ⎥ k =1 ⎥ K L ∑ a k 2 a kI ⎥ ⎥ k =1 ⎥ O M K ⎥ 2 L a ∑ kI ⎥ k =1 ⎦⎥
K
∑ a k1 a k 2 L k =1 K
∑a k =1
2 k2
M
K
∑a k =1
k2
a kI
K
∑a
k 1 kI
(3.4)
Jika an bukan merupakan vektor nol, maka matriks kovarian dari masing-masing sampel baris sebagaimana pada persamaan (3.3) di atas merupakan matriks simetrik positif semidefinit rank-satu. Dari kondisi ini, matriks tersebut memiliki nilai-eigen positif tidak-nol tunggal. Namun pada persamaan (3.4) kondisi itu tidak berlaku lagi karena matriks C pada persamaan tersebut adalah hasil penjumlahan dari K buah matriks rank-satu pada persamaan (3.3). Hasilnya, matriks C tidak lagi merupakan matriks rank-satu, sehingga memiliki beberapa nilai eigen positif yang tidak-nol.
Pada definisi estimasi koherensi berdasar struktur-eigen, digunakan trace matriks dari matriks kovarian (C), yang dilambangkan dengan Tr(C), dimana trace matriks ini dapat diungkapkan dalam komponen matriks D, matriks C, atau dalam komponen nilai-eigen dari C: I
K
I
I
i =1
i =1
Tr (C) = ∑∑ a ki2 = ∑ cii = ∑ λi i =1 k =1
(3.5)
Dan estimasi koherensi berdasarkan struktur-eigen (Ec)nya adalah:
Ec =
λ1 Tr (C)
=
λ1 I
∑c i =1
ii
=
λ1 I
∑λ i =1
i
(3.6)
38
Dengan λ1 nilai eigen terbesar dari matriks kovarian C.
Secara fisis, persamaan di atas menunjukkan bahwa energi total dari data seismik yang terlibat adalah lebih besar dan sama dengan nol ( ≥ 0 ). Dimana sebagaimana kita ketahui bahwa pada perambatan gelombang, kuadrat amplitudo berbanding lurus dengan energi gelombang.
Pada kasus dengan kondisi yang memberikan nilai koherensi tertinggi (koherensi total), semua trace seismik identik, dimana nilai amplitudo a pada suatu sampel baris tertentu memiliki nilai yang sama untuk semua trace sesimik (kolom matriksnya). Sehingga nilai-nilai amplitudo dalam suatu sampel (baris) tertentu dapat diskalakan dari suatu baris yang lain yang dijadikan acuan.
Jika komponen baris pertama matriks A adalah: a1 = [x
x L x ] , x≠ 0
Maka komponen baris ke-k adalah: a k = N k [x
x L x]
= N k a1
Dimana Nk adalah besaran skalar yang merupakan rasio antara nilai-nilai amplitudo pada baris pertama dan ke-k, sebagai komponen penskalaan.
39
Sehingga untuk kasus ini, persamaan matriks C pada persamaan (3.4) dapat kembali disederhanakan menjadi matriks rank-satu, yaitu dinyatakan dalam matriks sebagaimana pada persamaan (3.3): a Tk a k = ( N k d1T )( N k d1 ) = N k2 a Tk a k
(3.7)
Maka untuk msing-masing sampel/baris: a1T a1 = a Tk a k a T2 a 2 = N 22 a1T a1 a T3 a 3 = N 32 a1T a1
(3.8)
M
a TK a K = N K2 a1T a1
Dan untuk matriks C nya didapat: K
C = A T A = ∑ a Tk a k = (1 + N 22 + N 32 + L + N K2 )a1T a1
(3.9)
k =1
Dimana matriks C pada persamaan (3.9) di atas kembali hanya memiliki nilai-eigen positif tidak-nol tunggal.
Sehingga, jika hasil di atas dioperasikan pada persamaan (3.6), untuk data dengan koherensi total, nilai Estimasi koherensi akan memberikan nilai tertinggi: Ec =
λ1
=
I
∑λ i =1
λ1 =1 λ1
(3.10)
i
Di sisi lain, seiring dengan menurunnya tingkat koherensi dari data seismik, maka rank matriks kovarian akan semakin bertambah dan nilai positifnya tidak lagi tunggal. Sehingga penyebut pada persamaan (3.6) akan semakin besar, maka nilai estimasi koherensinya (Ec) akan semakin kecil, yaitu lebih kecil dari satu. Secara
40
fisis, ini berarti energi yang terlibat dalam perhitungan terdistribusi diantara nilaieigen – nilai-eigen yang lain.
3.2 Algoritma Semblance Dari definisi yang diberikan Neidell dan Taner (1971): “Koefisien semblance didefinisikan sebagai normalisasi rasio energi output/input, dimana trace output merupakan penjumlahan sederhana dari trace input.”
Maka dari matriks D pada persamaan (3.1) dapat diturunkan persamaan semblance:
2
⎡ I ⎤ ∑ ⎢∑ a ki ⎥ k =1 i =1 ⎦ Sc = K ⎣ I I ∑∑ (a ki ) 2 K
(3.11)
k =1 i =1
3.3 Hubungan antara Koherensi Berbasis Struktur-Eigen dengan Semblance Untuk membandingkan antara estimasi koherensi berbasis struktur-eigen dan semblance, maka data kovarian pada persamaan (3.4) dinyatakan dalam ungkapan eigendecomposisinya: C = VΛV T
(3.12)
dimana Λ adalah matriks terdiri atas nilai-nilai eigen dari matriks C yang disusun dengan urutan menurun. V adalah matriks (IxI) yang kolomnya terdiri atas vektor-vektor eigen dari
matriks C V = [v 1
v2 L vi ]
41
Maka estimasi koherensi struktur eigen dapat diekspresikan pula sebagai berikut: Ec =
λ1 Tr (C)
=
v 1T Cv1 Tr (C)
(3.13)
Untuk mengekstraksi nilai-eigen yang dominan (λ1), vektor-eigen yang berasosiasi v1 terlebih dahulu didistribusikan pada vektor-eigen – vektor-eigen yang lain. Selanjutnya dengan mengaplikasikan parameter orthonormal dari vektor-eigen, didapatkan bentuk: v 1T Cv 1 = v 1T VΛV T v 1 = λ1
(3.14)
Selanjutnya dinyatakan ekspresi Semblance dalam komponen matriks D yaitu sebagaimana pada persamaan (3.11) berikut: 2
⎡ I ⎤ ∑ ⎢∑ a ki ⎥ S c = k =K1 ⎣ iI=1 ⎦ I ∑∑ (a ki ) 2 K
k =1 i =1
Dan ekspresi alternatif dalam matriks C sebagai berikut: Sc =
uT Cu Tr (C)
(3.15)
⎡1⎤ ⎢⎥ 1 ⎢1⎥ dengan u = I ⎢M⎥ ⎢⎥ ⎣1⎦ u tersebut adalah vektor yang ternormalisasi (yaitu u
menjumlahkan semua komponen dalam matriks C.
(3.16)
2
= 1 ), yang berfungsi untuk
42
Dari persamaan (3.13) dan (3.15) telah didapat perbandingan persamaan estimasi koherensi berbasis struktur-eigen dan semblance, dimana Ec diekspresikan sebagai fungsi dari vektor-eigen v1, sedangkan Sc dinyatakan dengan menggunakan vektor yang ternormalisasi u. Maka, untuk menemukan hubungan antara Sc dan Ec normalisasi vektor u terlebih dahulu dinyatakan dalam vektor-eigen dari matriks C. Hal ini mungkin dilakukan karena vektor-eigen orthonormal I, yaitu V = [v1 v2 ... vI] adalah independen/bebas linear serta menjangkau ruang dimensi I, yaitu RI.
Vektor u ∈ R I . Masing-masing vektor-eigen, v i ∈ R (1,2,K, I ) , menjangkau subruang RI. Dan vektor u ∈ R I yang digunakan dalam komputasi Sc, adalah vektor berdimensi I, sehingga dapat dilakukan rekonstruksi dengan kombinasi linear dari vektor-eigen matriks C:
u = J1v1 + J 2 v 2 + L + J I v I
(3.17)
Karena u dan vi ternormalisasi, maka Ji dapat ditentukan: J i = uT v i = u
2
vi
2
cos θ i = cos θ i
(3.18)
Persamaan di atas menunjukkan besarnya nilai dimana vektor ternormalisasi u yang dioperasikan pada setiap vektor-eigen vi(i = 1, 2, ..., I), yang bergantung pada sudut antara kedua vektor tersebut. Maka, dengan merujuk pada persamaan (3.18) tersebut, vektor u dapat diekspresikan dalam kombinasi linear dari vektor-eigen sebagai berikut: u = v 1 cos θ1 + v 2 cos θ 2 + L + v I cos θ I
(3.19)
Dari persamaan (3.19) di atas, perbedaan antara Sc dan Ec mulai terlihat jelas. Dimana Sc menggunakan vektor u, yang merupakan kombinasi linear dari semua
43
vektor-eigen, sedangkan Ec hanya menggunakan vj, yaitu vektor-eigen yang yang berasosiasi dengan nilai-eigen terbesar. Atau dengan kata lain, Sc dan Ec menggunakan sub-ruang yang berbeda dalam komputasi/perhitungan koherensinya.
Selanjutnya persamaan (3.19) disubstitusi ke dalam persamaan koherensi semblance (3.15), didapat: u T Cu ( J 1 v 1 + J 2 v 2 + L + J I v I ) C(J 1 v 1 + J 2 v 2 + L + J I v I ) = Tr (C) Tr (C) T
Sc =
(3.20)
Dengan melakukan perkalian serta dengan memperhatikan penggunaan dari parameter orthonormal dari vektor-eigen didapat: Sc =
J 12 v 1T Cv 1 + J 22 v T2 Cv 2 + L + J I2 v TI Cv I Tr (C)
(3.21)
Selanjutnya persamaan (3.13) dan (3.18) disubstitusi ke dalam persamaan (3.11) di atas, dan didapat: Sc =
λ1 cos 2 θ1 + λ 2 cos 2 θ 2 + L + λ I cos 2 θ I Tr (C)
(3.22)
Dari persamaan (3.22) terlihat jelas bahwa masing-masing bobot dari pembilangnya bergantung pada sudut antara sub-ruang yang terlingkupi oleh vektor u dan subruang yang dilingkupi dari masing-masingvektor-eigen vi. Masing-masing bobot tersebut dengan demikian yang menentukan kontribusi dari nilai-eigen yang berkorespondensi.
Jika pada kasus khusus dimana u = v1, maka sudut pada persamaan (3.22) adalah:
44
θ1 = 0,θ 2 = θ 3 = L = θ I =
π
2 cos θ1 = 1, cos θ 2 = cos θ 3 = L = cos θ I = 0
(3.23)
Maka didapat: Sc =
λ1 (1) + λ2 (0) + L + λ I (0) Tr (C)
=
λ1 Tr (C)
= Ec
(3.24)
dimana Sc akan memiliki nilai yang sama dengan Ec.
Namun, secara umum vektor u tidak sama dengan vektor-eigen v1. Dimana seiring dengan sampel cube analisis yang terus berubah (digilir) dalam suatu volume data seismik yang lebih besar, matriks kovarian C dan vektor-eigen v1 yang berhubungan, yang merupakan kuantitas dinamis, juga akan menyesuaikan dan mengalami perubahan pada setiap lokasi yang berbeda. Sedangkan vektor u bersifat statis dan tidak mengalami perubahan selama terjadi pergiliran cube analisis tersebut.
Batasan untuk semblance dan koherensi struktur-eigen diberikan oleh Rayleigh quotient yang menyatakan bahwa untuk suatu vektor u yang ternormalisasi dan suatu matriks C IxI positif semidefinit, yang kemudian didefinisikan dalam uTCu, maka akan memenuhi pertidaksamaan:
λ1 ≥ u T Cu ≥ λ I
(3.25)
dimana λ1 dan λI masing-masing adalah nilai-eigen terbesar dan terkecil dari C.
Kemudian, jika pertidaksamaan di atas dibagi oleh Tr(C), maka akan didapat hubungan antara semblance dan estimasi koherensi berdasar struktur-eigen sebagai berikut:
45
λ1 Tr (C)
≥
λI u T Cu ≥ Tr (C) Tr (C)
(3.26)
atau Ec ≥ Sc ≥
λ1
(3.27)
Tr (C)
Dan jika dinyatakan dalam bentuknya yang lengkap akan terlihat interaksi dari nilaieigen untuk estimasi koherensi yang berbeda:
λ1 Tr (C)
≥
λ1 cos 2 θ1 + λ 2 cos 2 θ 2 + L + λ I cos 2 θ Tr (C)
≥
λI Tr (C)
(3.28)
