Feladattornyok
HALMAZOK – 9. évfolyam Alapfeladatok halmazábra készítésére, egyszerű halmazműveletekre: különbség, metszet, unió. 1.1. Adott az A = {1; 2; 3; 4; 5} és B = {3; 4; 5; 6; 7} halmaz. Készíts halmazábrát, majd sorold fel az 𝐴\𝐵, 𝐵\𝐴, 𝐴 ∪ 𝐵 é𝑠 𝐴 ∩ 𝐵 halmazok elemeit! 1.2. Adott az A = {3; 7; 11; 23; 31} és B = {11; 14; 23; 26; 27} halmaz. Készíts halmazábrát, majd sorold fel az 𝐴\𝐵, 𝐵\𝐴, 𝐴 ∪ 𝐵 é𝑠 𝐴 ∩ 𝐵 halmazok elemeit! 1.3. Adott a B = {4; 12; 13; 34; 55} és A = {13; 34; 55; 86; 97} halmaz. Készíts halmazábrát, majd sorold fel az 𝐴\𝐵, 𝐵\𝐴, 𝐴 ∪ 𝐵 é𝑠 𝐴 ∩ 𝐵 halmazok elemeit! 1.4. Adott az A = {a; b; c; d; e} és B = {c; d; e; f; g} halmaz. Készíts halmazábrát, majd sorold fel az 𝐴\𝐵, 𝐵\𝐴, 𝐴 ∪ 𝐵 é𝑠 𝐴 ∩ 𝐵 halmazok elemeit! 1.5. Adott az A = {a; c; f; m; p} és B = {c; e; f; n; o} halmaz. Készíts halmazábrát, majd sorold fel az 𝐴\𝐵, 𝐵\𝐴, 𝐴 ∪ 𝐵 é𝑠 𝐴 ∩ 𝐵 halmazok elemeit! 1.6. Adott a C = {11; 12; 13; 14; 15} és D = {13; 14; 15; 16; 17} halmaz. Készíts halmazábrát, majd sorold fel a 𝐶\𝐷, 𝐷\𝐶, 𝐶 ∪ 𝐷 é𝑠 𝐶 ∩ 𝐷 halmazok elemeit! 1.7. Adott az E = {x; y; t; f; e} és F = {f; y; r; d} halmaz. Készíts halmazábrát, majd sorold fel az 𝐸\𝐹, 𝐹\𝐸, 𝐹 ∪ 𝐸 é𝑠 𝐸 ∩ 𝐹 halmazok elemeit! 1.8. Adottak az A = {2; 4; 6; 8; 10}; B = {2; 4; 5; 6; 12} és C = {1; 2; 4; 6; 9; 13} halmazok. Ábrázold Venn-diagrammal a három halmazt! Sorold fel a következő halmazok elemeit: 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶; 𝐴\𝐵; 𝐴 ∩ 𝐵; 𝐶 ∪ 𝐴; 𝐵\𝐶. 1.9. Adottak az A = {a; b; c; d; e}; B = {b; c; e; f} és C = {a; b; f; h} halmazok. Ábrázold Venn-diagrammal a három halmazt! Sorold fel a következő halmazok elemeit: 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶, 𝐵\𝐴, 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 . 1.10. Az 1.1. – 1.9. feladatok mintájára készíts 5 egyszerű feladatot, majd ezeket oldd is meg! Alapfeladatok halmazműveletekre – különbség, metszet, unió -, melyekben a halmazok nem felsorolással vannak megadva. 1.11. Adott az A = {10-nél kisebb, pozitív páros számok} és B = {15-nél kisebb, 3-mal osztható pozitív számok}. Sorold fel a két halmaz elemeit! Készíts halmazábrát, majd sorold fel az 𝐴\𝐵 é𝑠 𝐴 ∩ 𝐵 halmazok elemeit! Oldal 1|7
Feladattornyok
1.12. Adott az A = {10-nél nem nagyobb pozitív páros számok} és B = {15-nél nem nagyobb, 3-mal osztható pozitív számok}. Sorold fel a két halmaz elemeit! Készíts halmazábrát, majd sorold fel az 𝐴\𝐵 é𝑠 𝐴 ∩ 𝐵 halmazok elemeit! 1.13. Adott az A = {𝑎 | 𝑎 < 7, 𝑎 𝜖 ℤ+ } és B = {𝑏 | 5 < 𝑏 ≤ 10, 𝑏 𝜖 ℤ}. Sorold fel a két halmaz elemeit! Készíts halmazábrát, majd sorold fel az 𝐴\𝐵 é𝑠 𝐴 ∩ 𝐵 halmazok elemeit! 1.14. Adott az A = {2𝑎 | 3 < 𝑎 < 7, 𝑎 𝜖 ℕ} és B = {3𝑏 | 1 < 𝑏 ≤ 4, 𝑏 𝜖 ℕ}. Sorold fel a két halmaz elemeit! Készíts halmazábrát, majd sorold fel az 𝐴\𝐵 é𝑠 𝐴 ∩ 𝐵 halmazok elemeit! 1.15. Adott az C = {𝑐 + 1 | 1 ≤ 𝑐 < 5, 𝑐 𝜖 ℕ} és D = {2𝑑 − 1 | 1 < 𝑑 ≤ 3, 𝑑 𝜖 ℕ}. Sorold fel a két halmaz elemeit! Készíts halmazábrát, majd sorold fel az 𝐶\𝐷 é𝑠 𝐶 ∩ 𝐷 halmazok elemeit! 1.16. Készíts az 1.11. – 1.15. feladatok mintájára 3 feladatot, majd oldd meg! Alapfeladatok részhalmazokra 1.17. Adott az A = {2; 5} halmaz. Sorold fel az összes részhalmazát! 1.18. Adott az A = {1; 8; 13} halmaz. Sorold fel az összes részhalmazát! 1.19. Adott az A = {3; 4; 9; 12} halmaz. Sorold fel az összes két elemű részhalmazát! 1.20. Adott az A = {e; f} halmaz. Sorold fel az összes részhalmazát! 1.21. Adott az A = {d; i; m} halmaz. Sorold fel az összes részhalmazát! 1.22. Adott az A = {x; y; z; v} halmaz. Sorold fel az összes két elemű részhalmazát! Alapfeladatok komplementer halmazműveletre 1.23. Adott a H = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} alaphalmaz és A = {2; 5; 7} halmaz. Sorold fel az 𝐴 halmaz elemeit! 1.24. Adott a H = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} alaphalmaz és A = {3; 5; 6} halmaz. Sorold fel az 𝐴 halmaz elemeit! 1.25. Adott a H = {2; 4; 6; 8; 10} alaphalmaz és A = {2; 4; 8; 10} halmaz. Sorold fel az 𝐴 halmaz elemeit! 1.26. Adott a H = {13; 16; 21; 45} alaphalmaz és A = {16; 21} halmaz. Sorold fel az 𝐴 halmaz elemeit! 1.27. Adott a H = {a; b; c; d} alaphalmaz és A = {a; b; c} halmaz. Sorold fel az 𝐴 halmaz elemeit! Oldal 2|7
Feladattornyok
Az eddigi feladatokban meg volt adva a kiinduló halmaz eleme, vagy neked kellett felsorolni. Fordítsunk ezen! Az alábbi feladatokban egy halmazábrát látsz, és halmazműveleteket. A Te feladatod az, hogy az ábra alapján felsorold a halmazművelet során kapott elemeket! 1.28.
B
A 11
5
8
3
4 13
7
Az ábra alapján sorold fel 𝐴\𝐵, 𝐵\𝐴, 𝐴 ∪ 𝐵 é𝑠 𝐵 ∩ 𝐴 halmaz elemeit! 1.29. B
A 4 2
7
9
1
3
Az ábra alapján sorold fel 𝐴\𝐵, 𝐵\𝐴, 𝐴 ∪ 𝐵 é𝑠 𝐵 ∩ 𝐴 halmaz elemeit! 1.30. B
A 1
5
14
3 11 7
2 9 C
Az ábra alapján sorold fel 𝐴\𝐵, 𝐶\𝐴, 𝐶 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐶 é𝑠 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 halmaz elemeit! 1.31. A a
B d
e
b c g
f h C
Az ábra alapján sorold fel 𝐵\𝐴, 𝐶\𝐵, 𝐴 ∪ 𝐶, 𝐴 ∩ 𝐵 é𝑠 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 halmaz elemeit! Oldal 3|7
Feladattornyok
Vegyes feladatok 1.32. Döntsd el, hogy a következő halmazok közül melyikre igaz, hogy 𝐴 ⊆ 𝐵 ! A = {3; 4; 5; 6} és B = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} A = {x| x + 18 = 24} és B = {3; 4; 5; 6; 7; 8} A = {x| 4 ≤ 𝑥 ≤ 7 é𝑠 𝑥 𝑒𝑔é𝑠𝑧 𝑠𝑧á𝑚} és B = {3; 4; 5; 6; 7; 8} A = {x| 4 ≤ 𝑥 ≤ 7 } és B = {3; 4; 5; 6; 7; 8} 1.33. Sorold fel a következő halmazok elemeit, majd készíts Venn-diagramot! A = {egyjegyű prímszámok halmaza} B = {legfeljebb kétjegyű négyzetszámok} C = {3-mal osztható egyjegyű számok} 1.34. Hány elemű az alábbi két halmaz uniója, illetve metszete? A = { 5-tel osztható kétjegyű számok} és B = { 3-mal osztható kétjegyű számok} 1.35. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorold fel az A∩B halmaz elemeit! 1.36. Legyen a H = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} alaphalmaz. Két részhalmaza A = {2; 4; 6; 7} és B = {1; 3; 5; 6; 7}. Add meg a következő halmazokat! Készíts Venn-diagramot! 𝑎) 𝐴 ∩ 𝐵
𝑏) 𝐴 ∪ 𝐵
𝑐) 𝐴\𝐵
𝑑) 𝐵\𝐴
𝑒) 𝐴̅
𝑖) 𝐴̅ ∪ 𝐵̅
𝑗) ̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴∪𝐵
𝑘) 𝐴̅\𝐵
𝑙) 𝐴\𝐵̅
̅̅̅̅̅̅ 𝑚)𝐴\𝐵
𝑓) 𝐵̅
𝑔) 𝐴̅ ∪ 𝐵
ℎ) 𝐴̅ ∩ 𝐵
𝑛) 𝐴\𝐻
𝑜) 𝐻\𝐴
1.37. Adottak a következő halmazok: A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}
B = {0; 2; 4; 6; 8; 10}
C = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13}
D = {2; 3; 5; 7; 9}
Sorold fel a következő halmazok elemeit! a) A, B és C halmaz esetén: 𝐴 ∪ 𝐵; 𝐵 ∪ 𝐴; 𝐵 ∪ 𝐶; 𝐴 ∪ 𝐴 b) A, B és D halmaz esetén: 𝐴 ∩ 𝐷; 𝐵 ∩ 𝐷; 𝐴 ∩ 𝐵 c) A, C és D halmaz esetén: 𝐴 ∪ 𝐶; 𝐷 ∩ 𝐶; 𝐷\𝐶; 𝐴 ∪ 𝐷 1.38. Adj meg két olyan halmazt, aminek az uniója a) {1; 2; 3}
b) {a; y; t}!
1.39. Adj meg két olyan halmazt, aminek metszete a) {0; 2}
b) {s; t; x; o}! Oldal 4|7
Feladattornyok
1.40. Hány eleműek az alábbi halmazok? A = {10-nél kisebb prímszámok} B = {3k|1 < k < 15, k egész szám} C = {25-nél nem nagyobb 5-tel osztható pozitív egész számok halmaza} 1.41. Az 𝑀 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} halmaz A, B és C részhalmazairól az alábbiakat tudjuk: 𝐴 ∩ 𝐵 = {2}; (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 = {5; 6}; 𝐴\𝐶 = {2; 3; 4} é𝑠 𝐶\𝐵({1; 5}. Határozd meg az A, B és C halmazokat! 1.42. Határozd meg az A és B halmaz elemeit, ha 𝐴 ∪ 𝐵 = {1; 2; 3; 4; 5; 6}; 𝐴\𝐵 = {2, 4; 6}é𝑠 𝐴 ∩ 𝐵 = {1; 3}. 1.43. Határozd meg az A és B halmazt, ha 𝐴 ∪ 𝐵 = {5; 6; 7; 8; 9; 10}; 𝐴\𝐵 = {8; 9; 10}; 𝐴 ∩ 𝐵 = {5} . 1.44. Határozd meg az A és B halmazt, ha 𝐴 ∪ 𝐵 = {5; 6; 7; 8; 9; 10}; 𝐵\𝐴 = {5; 6; 7; 8; 9; 10}; 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅. 1.45. Határozd meg az A és B halmazokat, ha 𝐴 ∪ 𝐵 = {1; 2; 3; 4; 5}; 𝐴 ∩ 𝐵 = {3; 5}; 𝐴\𝐵 = {1}é𝑠 𝐵\𝐴 = {2; 4}! Végül következzen néhány szöveges feladat. 1.46. Egy osztályban mindenki tanul valamilyen nyelvet. Angolul 25-en, németül 19-en tanulnak, mindkét nyelvet 16-an tanulják. Hányan vannak ebben az osztályban? 1.47. Egy osztály 28 tanulója közül 6-an felvételiznek matematikából, 8-an fizikából, 4 tanuló pedig mindkét tantárgyból. Hányan nem felvételiztek egyik említett tantárgyból sem? 1.48. Egy osztály létszáma 26. Az osztályban három nyelvet tanulnak: angolt, németet és franciát, és minden diák legalább egy nyelvet tanul. Angolul 14-en, németül 15-en és franciául pedig 5-en. Pontosan két nyelvet hat diák tanul. Hányan tanulják mindhárom nyelvet? 1.49. Egy pizzaárus 100 egymás utáni pizzarendelést jegyzett fel. 60 vásárló kért sajtot is és pepperonit is a pizzára, 80 vásárló sajtot, és 72 pepperonit. Oldal 5|7
Feladattornyok
Hányan rendeltek sajtos pizzát pepperoni nélkül? Hányan rendeltek pepperonis pizzát sajt nélkül? Hányan nem kértek se sajtot, se pepperonit? 1.50. A 100-nál nem nagyobb pozitív egész számok között hány olyan van, amelyik osztható 2-vel osztható 5-tel osztható 2-vel és 5-tel osztható 2-vel vagy 5-tel 1.51. Hány elemből áll az a halmaz, amelynek elemei az 5-tel osztható a 7-tel osztható a 35-tel osztható kétjegyű számok? 1.52. Két kirándulás közül az elsőre elment az osztály 70%-a, a másodikra a 80%-a. 15 gyerek vett részt mindkét kiránduláson. Mennyi az osztály létszáma? 1.53. Egy osztály létszáma 32. Az osztályban angolul és németül tanulnak, mindenki tanul valamilyen nyelvet. Mindkét nyelvet kilencen tanulják. Bizonyítsd be, hogy a németül és angolul tanuló diákok száma nem lehet egyenlő! 1.54. Egy faluban 55 családnak van életbiztosítása, 70 családnak casco biztosítása és 200 családnak van háztartási biztosítása. 30 család rendelkezik háztartási és életbiztosítással, 40 család háztartási és casco biztosítással, 28 család pedig casco és életbiztosítással. 18 családnak van mindhárom biztosítása. A faluban a családok 35 százalékának van legalább egy biztosítása. Hány család lakik a faluban? 1.55. Adott az A = {a; b; c; d; e} halmaz. Sorold fel az összes részhalmazát! 1.56. Adott a B = {x; y; z; v} halmaz. Sorold fel a kételemű és háromelemű részhalmazait!
Oldal 6|7
Feladattornyok
1.57. Egy társasház lakói szelektíven gyűjtik a szemetet. Összesen 97 lakóból 73-an a műanyagpalackokat és papírt is szétválogatják, 5 lakó csak a papír hulladékot. Hány lakó él ebben a társasházban, akik csak a műanyagpalackokat válogatja külön? 1.58. Egy online felmérésben 200 diákot kérdeztek arról, hogy merre nyaraltak az idei nyári szünetben. 10%-uk válaszolta azt, hogy idén nem nyaraltak. 16-an írták, hogy belföldön és külföldön is nyaraltak. 70%-uk válaszolta azt, hogy csak belföldön nyaraltak. Hány olyan diák volt köztük, akik csak külföldön nyaraltak? A csak külföldön nyaralók hány százaléka a felmérésben részt vevő diákok számának? Projekt alapú feladatok 1.59. Készíts halmazábrát az osztályodról a következő szempontokat figyelembe véve. Azt biztosan tudod, hogy hányan vagytok az osztályban, ebből hány fiú és hány lány van. Végezz felmérést arról, hogy a fiúk között hányan jártak már a Balatonnál, és hányan voltak a budapesti Margitszigeten. A lányok körében arról érdeklődj, hogy kinek a kedvenc színe a fekete, és kinek a rózsaszín. A kapott válaszok alapján készíts külön – külön halmazábrát a fiúknak és a lányoknak feltett kérdésekről. 1.60. Az előző feladathoz hasonlóan vegyél egy csoportot (ez lehet az osztályod, barátaid, rokonaid, stb.) és találj ki kettő (esetleg három) kérdést, amit érdemes nekik feltenni (pl. zenei érdeklődés, tanulmányi eredmények, stb.), majd a kapott válaszokból készíts halmazábrát!
Oldal 7|7
