ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA MATHEMATICA VII MATEMATIKA 4. Matematické vzdělávání v kontextu proměn primární školy

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA MATHEMATICA VII

MATEMATIKA 4 Matematické vzdělávání v kontextu proměn primární školy Sborník příspěvků z konference s mezinárodní účastí

Mathematical Education in a Context of Changes in Primary School The Conference Proceedings

OLOMOUC 2010

Anotace Sborník obsahuje pĜíspČvky úþastníkĤ vČdecké konference s mezinárodní úþastí Elementary Mathematics Education 2010, která se pod názvem "Matematické vzdČlávání v kontextu promČn primární školy“ konala ve dnech 28. - 30. 4. 2010 na Pedagogické fakultČ UP v Olomouci. Výsledky vČdeckovýzkumné, odborné a pedagogické þinnosti úþastníkĤ konference jsou zamČĜeny na aktuální problémy matematické pĜípravy uþitelĤ primárních škol i školské praxe. Cíl a zamČĜení konference Prezentace pĤvodních výsledkĤ v oblasti elementární matematiky a didaktiky matematiky, zamČĜené k využití v teorii i praxi primární školy a v pregraduální pĜípravČ uþitelĤ. Teoretické reflexe i výstupy výzkumĤ na pracovištích v ýR a zahraniþí v souvislosti se zmČnami v kurikulu i metodách vyuþování matematice. Hlavní témata konference Inovativní pĜístupy k profesní pĜípravČ uþitele matematiky primární školy. Reflexe obsahových i metodických promČn matematické komponenty primárního vzdČlávání. Abstract The proceedings contain contributions from all the participants of the scientific conference Elementary Mathematics Education 2010 with international participation that took place 28. – 30. 4. 2010 at the Faculty of Education of Palacký University in Olomouc. The results of scientific research, professional work, and pedagogical activities of conference participants are focused on current problems in the mathematical preparation of primary school teachers and school practice. Aims of the conference Presentation of previous results in elementary mathematics and mathematical didactics focused on its usage in primary school theory and practice and in the mathematical preparation of primary school teachers. Theoretical reflection and research outputs at workplaces in the Czech Republic and abroad in connection with changes in curriculum and teaching mathematics´ methods. Programový výbor/Programme committee Georg Malaty (Joensuu, Finsko), Helena Siwek (Krakow, Polsko), Jolanta Seidel (Bydgoszcz, Polsko), Adam Plocki (Krakow, Polsko), Ondrej Šedivý (Nitra, Slovensko), Pavol Hanzel (Banská Bystrica, Slovensko), Jana Coufalová (PlzeĖ, ýeská republika), Alena Hošpesová (ýeské BudČjovice, ýeská republika), Bohumil Novák (Olomouc, ýeská republika) Organizaþní výbor/Organizing committee Anna Stopenová, Jitka Laitochová, David Nocar, Dita Navrátilová, KateĜina Šupíková, Eva Hotová, Jitka HodaĖová, Tomáš Zdráhal Za pĤvodnost a správnost jednotlivých pĜíspČvkĤ odpovídají jejich autoĜi. PĜíspČvky neprošly redakþní ani jazykovou úpravou. Editor © Martina UhlíĜová, 2010

ISSN 0862-9765 ISBN 978-80-244-2511-5

OBSAH Úvodem ……………………………………………………………..……………. Plenární přednášky Eveleigh Frances The Role of Assessment in Effective Pedagogy in Primary Mathematics ……. Malaty George Developments in Using Visualizations, Functional Materials and Actions in Teaching Mathematics: understanding of relations, making generalizations and solving problems ……………………………………………………….… Swoboda Ewa Ile różnych klocków domina można ułożyć z kafelków „wisienki” …………... Vondráková Eva Otevřená mysl jako podmínka efektivního fungování péče o nadané ………... Příspěvky Andrzejewska Jolanta Edukacja matematyczna dziecka w przedszkolu–analiza porównawcza treści programowych ................................................................................................... Beránek Jaroslav Využití historických témat ve vyučování matematice na 1. stupni základní školy .................................................................................................................. Bilewicz-Kuźnia Barbara, Parczewska Teresa Kształtowanie pojęć matematycznych na etapie edukacji elementarnej ........... Blažková Růžena, Vaňurová Milena Charakteristika nadaného žáka s poruchou učení z hlediska matematických úloh ........................................................................................... Brinckova Jaroslava Edukačné koncepcie rozvoja matematickej gramotnosti v príprave učiteliek Predškolskej pedagogiky ………………………………………….………….. Cachová Jana Kalkulačka a její místo v aritmetice primární školy ….………...………… Círus Lukáš Jak britské standardy pro oblast ICT pomáhají matematice ………………… Coufalová Jana, Chmelová Miroslava Individuální předpoklady žáků prvního stupně pro další rozvoj jejich matematického myšlení …...……………………..…………………………… Coufalová Jana, Chmelová Miroslava, Hrabětová Regina Žáci, učitelé a algoritmy ……………………………………………………… Dušková Jana, Pěchoučková Šárka Práce s textem slovní úlohy …………………….………….…………………. Gerová Ľubica Podmienky pre rozvoj matematickej gramotnosti študentov pred vstupom na vysokú školu ……………………………………….………………………….

7

10

18 27 36

40

47 52 57 62 67 72 78 84 88 94

Heřmánková Pavla Matematika a současnost .………………………………..………...………… Híc Pavel, Pokorný Milan Skúsenosti s kombinovanou formou výučby predmetu logika, množiny, relácie Hodaňová Jitka Modely a modelování v matematice v primárním vzdělávání ........................... Holubová Drahomíra Odraz duševní pohody – tělesné zdraví ............................................................. Hošpesová Alena, Matějů Bohuna, Fantová Šárka Mozaiky jako podnětná výuková prostředí ........................................................ Hotová Eva Identifikace matematicky nadaných žáků .......................................................... Jakubowicz-Bryx Anna Miejsce edukacji matematycznej w nowych programach kształcenia zintegrowanego ................................................................................................. Jančařík Antonín Rozvoj početních dovedností u mladších školních dětí ……………..…….. Janků Magdaléna Didaktické hry v hodinách matematiky na 1. stupni ZŠ ……………………… Kaslová Michaela Rezervy inovací vyučování matematice …………………..………………….. Klenovčan Pavel Prestavba vyučovania matematiky …………………..……………………….. Kováčik Štefan Rovnice v matematike a ich význam pre učivo fyziky ………………………... Kováčik Štefan, Sebínová Katrína Možnosti využitia Excelu v matematike ……………..……………………….. Krejčová Eva O některých zkušenostech ze soutěživých metod a forem práce v hodinách matematiky na 1. stupni ZŠ ……………………………………… Laitochová Jitka Matematika anglicky ….……………………………………………………… Lucká Mária Interaktívne testovanie ako nástroj motivácie vo vyučovaní matematiky v 4. ročníku ZŠ ….……………………………………………………...........… Lucká Mária, Malčík Martin, Pokorný Milan, Švecová Libuše Diagnostika stavu vedomostí žiakov 3. a 5. ročníka ZŠ z matematiky ……….. Mokriš Marek Priestor a tvar – pohľad na matematickú gramotnosť študentov odboru predškolská a elementárna pedagogika ……………………………………… Nawolska Barbara O dobrych wynikach i błędnych rozwiązywaniach zadań …………………… Nocar David Inovovaný koncept matematické složky profesní přípravy učitelů primární školy na Pedagogické fakultě Univerzity Palackého v Olomouci ……………. Novák Bohumil Nestandardní aplikační úloha, její reflexe a interpretace budoucími učiteli primární školy ……………………………………………………...………..

100 105 110 114 119 124 128 133 137 141 146 152 157 162 167 171 176 182 187 192 199

Nováková Eva Pět let se Cvrčkem ……………………………………………………………. Nowak Jolanta Działaj - odkrywaj - konstruuj czyli kształtowanie pojęcia liczby naturalnej w umyśle dziecka ..……………………………………………………………. Nowak Zbigniew Burza pytań jako metodyka pracy z tekstem matematycznym ……………...… Partová Edita Očakávania a realita efektivity interaktívnej digitálnej tabule ………...… Partová Edita, Žilková Katarína Rozvíjanie pojmu relácia v predškolskom veku prostriedkami IKT …...….. Gabriela Pavlovičová Výroková logika vo vyučovaní elementárnej matematiky …………………… Perný Jaroslav Rozvíjení geometrické představivosti žáků …..………………………………. Prídavková Alena, Šimčíková Edita Návrh Stimulačného programu z matematiky pre deti zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia …………………………...…………………… Příhonská Jana Shodné a rozdílné aspekty matematické edukace v primární škole na Slovensku a v České republice ………………….…...……………………….. Příhonská Jana, Vilimovská Lucie, Čálková Tereza Aktivizující metody ve výuce s využitím IKT technologií na základní škole …. Roubíček Filip Geometrická představivost jako složka matematické gramotnosti ………….. Seidel Jolanta, Sobieszczyk Maria Zajęcia komputerowe na etapie wczesnoszkolnej edukacji - poziom umiejętności i wspomaganie ich rozwoju …………………………..…..…….. Shromáždilová Miluše Využití interaktivní tabule v matematice primární školy ………………….. Scholtzová Iveta Niektoré aspekty matematickej gramotnosti študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika …………………..…………………...………….. Sotáková Kristína Model zlomku v otvorenom softvérovom prostredí …………………………... Stopenová Anna Geometrie v učivu primární školy ..................................................................... Šedivý Ondrej Symetria v prírode a symetria v školskej matematike ……………………….. Šťastná Alena Řízené objevování v matematice na 1. stupni ZŠ .............................................. Tichá Marie Podnětná výuková prostředí pro přirozenou diferenciaci ………………..….. Trnková Veronika Matematika z pohledu začínajících učitelů ....................................................... Uhlířová Martina Model of the teacher development with re-spect to the level of ICT implementation ………………………………………………...……………...

205 209 215 220 225 230 235 240 245 250 255 260 266 271 277 282 287 294 298 303 308

Vršanská Lenka Didaktické pomůcky v matematice primární školy ........................................... 313 Zdráhal Tomáš Geometrická interpretace největšího společného dělitele ………………..….. 317 Zeľová Veronika, Gombár Miroslav Zmena, vzťahy, závislosť – pohľad na matematickú gramotnosť študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika …………………….……….. 321 Postery Olšáková Věra, Molnár Josef Práce s talenty ………………………………………………………………... 328 Janků Magdalena, Šťastná Alena, Šupíková Kateřina 1. ročník studnetské grantové soutěže na UP – prezentace schválených projektů na katedře matematiky ........................................................................ 330 Recenze…………. ………………………………………………………………..

333

ÚVODEM

Po roční přestávce se v Olomouci opět setkávají učitelé vysokých i základních škol, jejichž vědecká, odborná i pedagogická práce je věnovaná aktuálním problémům matematiky v primárním vzdělávání a vysokoškolské přípravě učitelů matematiky u nás i v zahraničí. Tématem letošní olomoucké konference Elementary Mathematics Education 2010 se stalo „Matematické vzdělávání v kontextu proměn primární školy“. Proměna školy znamená nejen změnu kurikulárního rámce vzdělávání, ale přináší zřetelně se zvyšující nároky na osobnostní a profesní kvality učitelů. Řešení složitých situací ve vzdělávacím procesu spojených se změnou přístupu k dítěti, vytváření prostředí poskytující dostatek podnětů pro jeho osobnostní rozvoj, diferenciace a individualizace výuky, integrace dětí se speciálními vzdělávacími potřebami, posílení mezipředmětové integrace, ale i změny v sociálních poměrech dětí, to vše přináší nové požadavky na profesní přípravu učitelů. Rovněž vliv evropské dimenze vzdělávání, zavádění nových technologií do škol a další faktory vyžadují, aby kvalifikační požadavky na učitele primární školy byly reflektovány v koncepci přípravného a dalšího vzdělávání. Je skutečností školskou praxí neustále potvrzovanou, že učitele nestačí vybavit nějakými (např. matematickými) poznatky, nějakými recepty, jednou provždy. Orientace studenta učitelství v prostředí akademického poznání, jeho způsobilost vybírat, aktualizovat, aplikovat, způsobilost adekvátním způsobem komunikovat se širokým spektrem partnerů (žáky, kolegy, rodiči, veřejností) se ukazuje jako nezbytná pro jeho praxi. Uvedené myšlenky byly reflektovány a na příkladech z konkrétní edukační reality konkretizovány v různé souvislosti v převážné většině příspěvků konference. Záštitu nad konferencí „Matematické vzdělávání v kontextu proměn primární školy“ přijala děkanka Pedagogické fakulty UP prof. PaedDr. Libuše Ludíková, CSc., jíž patří dík za podporu organizátorů z Katedry matematiky PdF UP v Olomouci i všech účastníků. Spolupořadatelem je Společnost učitelů matematiky JČMF, která organizací pověřila pracovní skupinu pro matematiku na 1. stupni ZŠ. Organizátoři zpracovali pro účastníky konference a další zájemce recenzovaný sborník plných textů příspěvků v jazyce prezentace jako jeden z titulů řady Acta Universitatis Palackianae Olomucensis a sborník abstrakt příspěvků v anglickém jazyce. Oba sborníky jsou vydány Vydavatelstvím Univerzity Palackého. Programový i organizační výbor konference věří, že konference úspěšně naváže na předchozí ročníky a přispěje k dalšímu rozvoji didaktiky matematiky.

V Olomouci dne 10. 3. 2010

Bohumil Novák

7

PLENÁRNÍ PŘEDNÁŠKY

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

THE ROLE OF ASSESSMENT IN EFFECTIVE PEDAGOGY IN PRIMARY MATHEMATICS Frances EVELEIGH

Abstract This paper discusses the role that large scale systemic assessment programs can play in informing classroom practice and enhancing student learning outcomes. Although large scale assessment provides only a brief snapshot of a student’s ability it plays a vital role in informing teachers about mathematical learning and pedagogy. The experiences of international programs such as the Trends in Mathematics and Science Study (TIMSS), as well as the Australian National Assessment Program – Literacy and Numeracy (NAPLAN) provide examples of how large scale assessment programs can provide diagnostic information to school administrators and teachers to improve teaching and learning.

Introduction Over the past three decades the star of large scale testing has continued to rise. As governments and educational bodies have become more accountable to key stakeholders in schooling systems worldwide, the role of system-wide assessment has gained strength and importance. In an attempt to gaze through the lens of primary school mathematics teachers and extract that which is appropriate, useful and even critical from these assessment programs, the data provided by international and national assessments such as the Trends in Mathematics and Science Study (TIMSS) and the Australian National Assessment Program – Literacy and Numeracy (NAPLAN) are examined with the intent of provoking thought toward the opportunities to improve current practices and teaching opportunities within the classroom. The role of large-scale assessment in international and national contexts is complex. In the case for national assessments, Davey (1992, 1) states ‘Any proposed national examination must be part of a broader plan, a plan that also integrates objectives, standards, teaching, assessment, and accountability for results.’ There is a tension between those who advocate that the purpose of large scale assessment is for learning and those who deem that the purpose of these assessments is accountability; (the idea of holding schools, principals and jurisdictions responsible for results.) As much funding, planning and energy is expended on any large scale assessment, stakeholders will understandably attempt to gain as much information as possible from their exercise. For many countries a national test may attempt to serve both purposes; learning and accountability, providing direction for governments and policy makers and simultaneously reporting diagnostically at class and student level. The attempted union of

10

these two purposes may bring dissention as it did in the United Kingdom. The Cambridge Report (Alexander 2009), a comprehensive enquiry into primary education, recommends that the two aims should be uncoupled. There are inherent common strengths and weaknesses in large scale assessments. Opponents of national testing justifiably argue that too much importance is often placed upon a point-in-time assessment that has limited scope. Students are judged and reported on a single piece test in which they are expected to perform at their peak. In terms of the testing instrument it is reasonable to assume that there may be limitations on curriculum coverage. The rich and varied mathematics curricula that is hopefully offered in the classroom cannot be covered in a national test designed to cater for a whole population. There are limitations in the item types presented in test forms and some concepts, in particular spatial ideas, can be difficult to test in a pen and paper medium. There are also implications for validity and reliability which begs the question: are the tests well-targeted and actually testing what they purport to test? Adams (2003) believes that whilst point-in-time tests can provide accurate information about systems (and possibly schools), standardised tests do not necessarily provide reliable information about individual students once measurement errors are taken into account. There is also the view that system-imposed testing may adversely affect students and teachers, adding load and reducing the time that should be concentrated on what might be considered as more valuable learning time. On the other hand, however, national testing has the potential to provide useful information on many levels to a wide variety of stakeholders. For government departments, the information provided may guide policy development, allocation of funding and resources, the implementation of professional development programs and decision-making for the future. For principals and teachers, diagnostic information at school and classroom level can provide information to guide data-driven school-level interventions and initiatives. The information provided by large scale assessment programs can provide insight into the necessary emphasis of future school programs. In conjunction with other information, the effectiveness of implemented strategies can be measured over time, highlighting school-specific needs that require further targeting to improve the quality of education. Parents and students can be provided with an individual snapshot of a student’s performance highlighting areas of excellence and those of greater need. Large scale testing can also allow for comparability of results between countries, jurisdictions and provide reliable information at these and school levels. Consistency can be maintained and comparisons can be made over time. ‘The aim is to combine traditional top-down models of monitoring with bottom-up approaches to pupil assessment at school level, so that the quality of education is gauged more effectively and thus improved’ (Eurydice 2009, 20). The Context of National Testing in Europe and Australia Eurydice (2009) contends that throughout Europe the greater incidence of school autonomy has coincided with the need to regulate the monitoring of education systems and hence the widespread implementation of national tests. In some countries this is still being developed whilst others embraced the idea at the end of the last century. National testing manifests itself in different forms in various European countries where differences involve the age at and frequency with which students are tested. With different

11

educational priorities, each country approaches assessment with a combination of formative and summative forms of assessment, corresponding with varying levels of mandatory education. Table 1 shows both the types of tests and the frequency with which they were administered in primary and lower secondary in 2008/2009, as published in National Testing of Pupils in Europe: Objectives, Organisation and Use of Results (Eurydice 2009). Table 1 Number and type of national tests and school years in which they are administered, in primary and lower secondary 2008/2009.

Table 1 shows that whilst the majority of European countries administer large scale cohort testing, the countries of Belgium (German speaking), Czech Republic, Greece, Wales and Liechtenstein have not yet embraced this assessment form, with no national tests in the primary or lower secondary years or equivalent ages. According to the Eurydice report (2009), this investigation into the national testing scene was requested by the Czech Presidency of the Council of the European Union during the first half of 2009. The Czech Republic’s interest has heightened due to debate at

12

a national policy level regarding the introduction of national testing as an instrument for improving the quality of education, with national tests being viewed as a strong possibility for the future. Research projects have been undertaken at the primary and lower secondary school years with results and data being examined. Whilst its neighbours Slovakia, Germany and Austria have embarked on national testing programs, the Czech Republic has held onto the principle of constant pupil assessment with its main aim being to determine learning and attainment levels ascertained internally at school level. Introduced in Australia in 2008, the National Assessment Program – Literacy and Numeracy (NAPLAN) replaced state-based large cohort assessments administered by the individual states and territories. Each student in Years 3, 5 7 and 9 completes a suite of tests in Literacy (Reading, Writing and Language) and Mathematics (Numeracy). In Mathematics (Numeracy), systemic differences needed to be addressed to take account of differing state-based curricula. In some states for example, the Year 7 cohort comprises the last year of the primary system, whilst in other jurisdictions, it is the first year of secondary schooling; with implications for content in the areas of Algebra and Statistics. The national test in Australia continues to evolve. The various state departments have slowly relinquished their past programs and accepted the permanency of NAPLAN. Energies have subsequently turned to programs aimed at supporting teachers and assisting schools in accessing, understanding, manipulating and using the rich data generated by this program. With the launch of an Australian curriculum programmed for early 2011 and several years scheduled for its complete implementation, the national mathematics test can theoretically grow to be more closely aligned with learning in the classroom. Implications for primary mathematics teachers In the classroom setting, it is the primary teacher who is best placed to determine the needs of students and capture evidence of learning, employing many tools and forms of assessment as learning growth of students is monitored. Greater focus on methods and training for enhancing teacher assessment practices should be paramount. These should include tools for engaging with the data produced by large scale testing programs. As teachers who become practiced in applying research findings from programs such as TIMSS, move through their careers and eventually take leadership roles within schools, acceptance and application of large scale data will be commonplace and a key component of a student’s profile. This information should enhance the picture of each student that has already evolved out of daily formative assessment processes such as class tests, informal interaction and observation. ‘Despite these variations in approaches to pupil assessment, the process of assessing learning outcomes forms part of the overall structure of education systems. In all countries, pupil assessment forms an integral part of teaching and learning and thus, ultimately, an instrumental factor in improving the quality of education’ (DePascale 2003, 11). Rather than fearing research outcomes from large scale testing, it is instead an opportunity for learning and selectively taking the components transferable and applicable to the classroom. It is a widespread practice among countries in Europe to provide information enabling schools to measure themselves against the national average results achieved by pupils in national tests, and to make improvements on the basis of that comparison. This is true of

13

most national tests designed to monitor schools or the education system as a whole (Eurydice 2009). As primary teachers of mathematics become further exposed to national testing, the gains are numerous. The testing instruments for mathematics are written and designed by expert test developers, undergoing much rigour in their development that would be difficult to replicate in school or classroom contexts. In Australia, the items are repeatedly panelled and reviewed by interest groups and representatives of key stakeholders, including teachers. All items are trialled and carefully analysed with only a small percentage of the overall trial pool selected for inclusion in the final tests. The matrix of the test is complex and a fine balance of all the constraints and specifications needs to be maintained. A spread of difficulty within the test is necessary to discriminate between the lower ability students and those who are more able. This needs to occur in sub-strands, with testing of the mathematical areas of number, space (geometry), measurement and chance and data (statistics) covered at both ends of the difficulty scale. Test items developed under such scrutiny provide exemplars for teachers to follow. Classroom professionals can adapt the principles of sound test constructions and apply them in the smaller context. Assessment, whether formal or informal, at the classroom level is a crucial aspect of monitoring both effective classroom practice and the quality of learning. A great advantage of national mathematics tests is that they have the potential to allow primary teachers to compare the effectiveness of their teaching across time. This feature is difficult using Traditional Test Theory models. The measurement principles that underpin large scale assessments such as TIMSS and NAPLAN allow for the construction of a Numeracy scale which remains constant over time. By using internationally recognised analysis programs and techniques grounded in the Rasch measurement model, a calibrated interval scale, independent of the test items and student sample, can be constructed to measure student performance against a stable ruler. Future tests can be linked to the scale and student performance measured against the same ruler to allow valid and defensible comparisons. As the programs of learning and even individual lessons delivered by teachers are evaluated and refined, the objective feedback provided in the form of student results in international and national assessments can assist teachers in self monitoring, leading to greater efficacy. Schools are able to monitor the success of initiatives or specific areas that may have been targeted and help determine allocation of resources for future programs. Cohorts of students are also able to be scrutinised. In NAPLAN, students in Year 3 can be compared to current students in Year 5. Alternatively over time, the results of students in Year 5 can be compared to the results that these same students achieved two years ago when in Year 3. This means that as a student does the NAPLAN tests every two years, comparison of the results from subsequent tests can be made and progress on the scale observed. In mathematics, this can provide great insight into a school and classroom. Particular year groups may demonstrate weaknesses in mathematics or in specific areas of the domain. The reporting format for NAPLAN allows teachers to view class results at substrand level allowing quick recognition of areas for concern even to the less experienced teacher. To use an example, some students may demonstrate fewer correct items in the items that are specifically testing ‘spatial’ concepts. Further and often frequently, whole class or year groups may demonstrate a weakness in a specific sub-strand or content area, in this

14

case, ‘Space’. It may then be apparent that Year 3 and Year 5 demonstrate less ability in this sub-strand when compared to a national group. In turn this directs focus for schools and classrooms with new strategies for improved learning in this target area or for a target group. A specific program put into action can then be monitored over the next few courses of national testing and the effectiveness of implemented strategies evaluated. This promotes sound teacher pedagogical practices of identifying and addressing need, implementing strategies, monitoring, evaluating and re-evaluating. For classroom teachers, specific items in the mathematics tests can be studied and in the case of multiple choice items, distracters (incorrect options) can be analysed. Wellcrafted multiple choice options provide rich feedback as the distracters can operate on the different levels of student learning. Quality diagnostic information that is easily accessible to teachers can provide further pointers to student, class, year or school weaknesses and strengths. Sound and practical reporting is a crucial aspect of a large-scale testing program. The information must be readily accessible, easily interpretable and suit the needs of the key stakeholders. Schools and primary teachers require reports in a format that is easy to access and provides a greater level of detail. In Australia, this information is made available to schools and teachers either online or on CD. By interacting with the data, teachers can closely examine trends at the different school levels, comparing their school and class results with national and state means, and clusters of ‘like’ schools. Perhaps the most prominent international mathematics large-scale assessment involving primary school students is the Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS), undertaken every four years with Year 4 and Year 8 students, providing data about national and international trends in mathematics and science achievement (Thomson 2007). The curriculum focus of TIMSS is threefold. The intended curriculum, the implemented curriculum and the attained curriculum are all examined, with the implemented curriculum being that which is interpreted and delivered by classroom teachers and considers the opportunities that are provided for students to learn mathematics, the varied instructional practices among countries and the factors which influence these variations (Thomson 2007). The released TIMSS items, along with the scoring guide for each item and item almanacs, are currently available. These include the statistics for each item shown for each participating country; the number of students attempting each item, the percent who chose the correct response, percentage of students who chose each incorrect option in multiple choice items and the percentage who responded to various marking codes for constructed response items; extending to the percentage of boys and girls in each country who selected the correct answer. This type of information allows teachers to engage with the data, gaining insight into how items in international assessments are constructed and scored, then transferring what is applicable to their own testing. Challenges for Large Scale Systemic Assessments A danger for teachers overly concentrating on the results of large-scale assessment is the potential to inadvertently narrow the curriculum being taught, choosing to focus instead only on the content which is covered by such tests. Another temptation for primary teachers of mathematics may be to rush from one topic to another, in essence to ‘tick off’ one content area, to ensure all topics have been reached by the appointed date of the national

15

test. The specific needs of each class in terms of the programming, sequencing and delivering of learning experiences should not be driven by impending test dates. Primary teachers are well-positioned to determine the depth and coverage of content areas for the students in their care. Well-supported teachers provided with professional development opportunities can develop greater capacity in challenging all students within the basic topics including advanced students. ‘Students, teachers and researchers can all be considered to be learners; partners in an international collaboration to develop new knowledge and to understand and improve the practices and outcomes of our classrooms’ (Clarke and Novotna 2008, 89). In order for teachers to implement effective early mathematics education, they need to be supported by better teacher preparation and ongoing professional development opportunities. The teacher is the key to effective, high-quality mathematics education in early childhood classrooms (Lee and Ginsburg 2009). Concluding comments There are challenges specific to primary school teachers in the area of mathematics. Mathematics is a subject in which it is socially acceptable to profess inability or failure. There is a desperate need to not only raise standards in mathematics but to also raise the profile of mathematics (Hoyles 2010). ‘A fundamental mathematical competency is the capacity to think and reason mathematically. This involves asking probing and exploratory questions about what is possible, what could happen under certain conditions, how one might go about investigating a certain situation, and analysing logically the connections among problem elements’(PISA 2003, 32). Surely this characteristic is to be valued in mature independent functioning citizens in society and should be encouraged. The primary years are vital for fostering and maintaining positive attitudes towards mathematics. The importance of ability in early mathematics cannot be overstated with success in mathematics a predictor of academic success in later school years in both mathematics and English (Duncan et al 2007). Hoyles (2010) also believes that those who are denied access to opportunities to succeed in mathematics have fewer opportunities in later life. ‘Standardised tests are shaped by and evolve in accordance with national policy agendas and educational structures. They have emerged as an important instrument in education policy and are used for measuring and monitoring the performance of individual pupils, schools and education systems’ (Eurydice 2009, 63). Despite its detractors, the presence of large scale assessment appears fixed with few signs of abating. Whilst these instruments are administered to a large cohort, the assessment materials and the results generated in the hands of teacher professionals can be dissected to have a positive effect at student level. By encouraging closer inspection of mathematics assessment instruments and the data provided by programs such as TIMSS and NAPLAN, teachers’ knowledge can be further expanded with a sharpened view of individual student capabilities. The challenge that faces all mathematics teachers is to learn the skills that enable them to engage with the data and information that come from large scale programs and use these to improve teaching, learning, pedagogy and student outcomes.

16

References 1. ADAMS, R. J. (2003) Cohort Testing: Are you expecting too much? Keynote address: 2003 Joint Roundtable Conference of the Australasian Accountability Network and the PMRT National Measurement Advisory Group. July 14 – 16, 2003. Darwin, Northern Territory. 2. BLACK, Paul; William, Dylan (1999) Assessment for Learning: Beyond the Black Box. Assessment Reform Group. University of Cambridge. 3. CLARKE, D.J. & Novotna, J. (2008) ‘Classroom Research in Mathematics Education as a Collaborative Enterprise for the International Research Community: The Leaner's Perspective Study’ In O. Figueras, J.L. Cortina, S. Alatorre, T. Rojano, & A. Sepulveda (Eds.), Proceedings of the Joint Meeting of PME32 and PME-NA XXX, Volume 1, 89120. 4. DAVEY, Lynn (1992) ‘The case for a national testing system’ Practical Assessment, Research & Evaluation, 3(1). Retrieved February 11, 2010 from http://PAREonline.net/getvn.asp. This paper has been viewed 21,333 times since 11/13/1999. 5. DUNCAN, G. J., Dowsett, C. J., Claessens, A., Magnuson, K., Huston, A. C., Klebanov, P., et al. (2007) ‘School readiness and later achievement’ Developmental Psychology, 43(6), 1428- 1446. 6. EACEA; Eurydice (2009) National Testing of Pupils in Europe: Objectives, Organisation and Use of Results. Brussels: Eurydice Network. 7. HOUSE OF COMMONS (2007), Testing and assessment: Third report of Session 2007-08, Children,Schools and Families Committee, London 8. LEE, J.S; Ginsburg, H.P (2009) ‘Early childhood teachers’ misconceptions about mathematics education for young children in the United States’ Australasian Journal of Early Childhood 34(4) December 2009. 9. MONS, Nathalie (2009) Theoretical and Real Effects of Standardised Assessment, literature review. Eurydice Network. 10. OECD (2005) Formative Assessment – Improving Learning in Secondary Classrooms. Paris: OECD, 2005. 11. THOMSON, S; Buckley, S (2009) Informing mathematics pedagogy : TIMSS 2007 Australia and the world. Australian Council for Educational Research, Melbourne.

Contact address Ms Frances Eveleigh; MEd UNSW, BEd UNSW, Dip Teach Syd CAE Research Fellow, Australian Council for Educational Research (ACER) 1/140 Bourke Road, Alexandria NSW 2015

Phone: +612 8338 6807 E-mail: [email protected]

17

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

DEVELOPMENTS IN USING VISUALIZATION, FUNCTIONAL MATERIALS AND ACTIONS IN TEACHING MATHEMATICS: UNDERSTANDING OF RELATIONS, MAKING GENERALIZATIONS AND SOLVING PROBLEMS (PART I) George MALATY Including figures in textbooks had been a difficult task in the 19th century. Therefore, in teaching mathematics, Geometric textbooks were the only ones having figures. The development of print technology in the 20th century has encouraged publishers and authors to include figures in mathematics textbooks, up to using figures unrelated to the content discussed and even unrelated to mathematics. In Finland, our work with teachers through in-service and pre-service education, and as well our work in mathematical clubs, started from Joensuu, have made figures use of special meaning in visualizing mathematical ideas. Visualization developed, by us, has become of variety of roles. From one hand it assists children to construct and understand mathematical concepts and relations, and from the other hand it is a tool to demonstrate a mathematical problem to children and as well a tool for children to solve mathematical problems and pose mathematical problems. We do use a type of dynamic visualization, where the main property it has is being isomorphic to the visualized mathematical entity. For more accuracy, our approaches to achieve understanding and leading to discovery are not depending on only visualization, but among others functional materials and actions. Indeed, visualization, functional materials and actions could be alternatives, but in different cases two or the three are needed. In using more than one of these facilitators, one could have a major role, but also the used facilitator could be of equal value. These facilitators can be used effectively for not only Primary School, but as well, in some cases, in Secondary School and Higher Education. About the terms used by us, we do use functional materials instead of the commonly used term ‘manipulatives’. This is related to our type of using these materials, where most of them have to be made by teachers and students for use in specific cases. About actions, we mean the physical participation of students in a performance designed by the teacher. Finally, we have to remember that there is no facilitator, which can bring alone understanding and leading to discovery of concepts and relations, the main facilitator is the teacher, who is the architect of the learning process. Visualization, geometry teaching and geometry development The oldest Finnish mathematical textbook, known to me, is a Geometry textbook written in Swedish by Henrik Heikel. The Second Edition of 1844 is the one available to me (Heikel 1844). This textbook includes 92 pages without any single geometric figure. After these pages, the textbook has 7 pages of 121 geometric figures. To make the textbook readable, figures are numerated, while in the margins of text pages the needed figures are mentioned

18

(Fig. 1). In addition, the size of each of figures’ page is of doubled size of text page. The left half of figures’ page is empty, and only the right half has figures and folded over the left one. This manual printing technique makes the reading of the book possible by opening the needed folded figures page to bring the figure or figures needed close to the corresponding text (Fig. 2). For instance Fig.81 is mentioned in page 66 at the left margin (Fig. 1), while in the sixth page of figures pages, Fig. 81 is presented (Fig. 2). Three years later the problem of including figures with text in the same page was solved in the Finnish translation of the same textbook (Heikel 1847, 77). Here I cannot avoid the attraction of making comment on the elegancy of the problems provided in this textbook. For instance, in Fig. 88 among others, it is easy to prove that there are four congruent quadrilaterals, and the intersection of two equivalent hexagons in a right triangle leads to an elegant proof of the Pythagorean theorem. Fig.1. Heikel 1844 textbook, p.66

Fig.2. Sixth page of the 7 figures’ pages of Heikel’s 1844 textbook

19

Having figures in printed textbook in the 19th Century wasn’t easy task, but this was inevitable task for Geometry textbooks. This can be seen from the manual work in printing the first Geometry textbook in Finland (Fig. 2). Visualization had been the way through which not only geometry has been developed. But Geometry, with its visual images, had led the mankind to find a new way of thinking. This is because deductive thinking, which is much wider than syllogism, had been emerged through working in geometry. Since Euclid (fl. 300 BC), and even before him, visualization in geometry has been of essential role in providing images of abstracts, starting from visualizing a point, that which has no part by the first definition of Euclid’s Elements (Fitzpatrick 2008, 6). Visualization had given a relevant environment for thinking, to move from intuition to deduction. Euclid’s definitions, starting from that of a point wouldn’t be exceptions. In addition, visualization and its use in searching for proofs had assisted the progress in building a deductive system to discover the need for axioms. In the way of writing the axioms, Euclid didn’t use figures in presenting his axioms, but the statements he wrote reflects imagination of corresponding figures. This was also the case for Hilbert, 2300 years later, in writing, the regarded, more rigorous form of Euclid’s axioms. But, in addition, Hilbert has used figures in presenting some of his axioms. The first two axioms of Group II, Axioms of Order, are good examples. The First one states that “If A, B, C are points of a straight line and B lies between A and C, then B lies also between C and A” (Hilbert 1902, 3). This statement would be enough to get imaginary visualization of the corresponding figure, but Hilbert had provided a corresponding figure as in Fig.3 (Hilbert 1902, 4).

Fig.3. The figure used by Hilbert in his book: The Foundations of geometry (English translation, 1902, p.4) Going back to Euclid’s definition of a point, despite the fact that the Elements of Euclid starts with the definition of a point, no doubt that this was a synthesis of earlier findings in geometry, started to be seen in Greece three hundreds before Euclid’s elements. This means that Euclid’s Elements, among others his definition of a point was effected by a work based on interaction between visual thinking and abstract thinking. Visualization in teaching arithmetic Despite the progress achieved in the 19th century, in using figures in Geometry textbooks, till the end of that century no figures has appeared in neither arithmetic, nor Algebra textbooks, at least in Finland. Nevertheless, in 1888 arithmetic textbook of Ernst Bonsdorff we can see a way of visualizing arithmetical ideas by using mathematical text. This we can see among others in using letters S, K, Y to mean Hundreds, Tens and Ones to justify the performance of addition in a column, which the textbook presented at the bottom of the same page, as seen in Fig. 4 (Bonsdorff 1888, 6).

20

Fig.4. Bonsdorff 1888 textbook, p.6 Fig.5. Ceder 1912 textbook, p.32 In the first two decades of the 20th century figures started to be a tool to present arithmetic ideas, but the progress of printing gave a chance to include other types of figures in mathematics textbooks. One of our best textbooks authors of the 20th century, Kaarlo Rober Ceder, had used a cube to represent the relation between volume unites: cube meter, cube decimeter, cube centimeter and cube millimeter in his arithmetic textbook of 1912 (Ceder 1912, 32). An example of the other type of use, we can see from a textbook of Kaarlo Aukusti Merikoski (Merikoski 1963, 30), where in giving simple word problems, related to animals, a figure of a field and cows were presented. The solution of each word problem was in need of making a subtraction, and the animals mentioned Fig.6. Merikoski 1963 textbook, p. 30 in word problems were not always cows. These two types of visualization have been used in the first half of the 20th century and both have continued to exist up to the date. In some more details: the 1970s textbooks, of the ‘New Math’ era were of less figures of the type of Fig. 6, but in the 1980s, at the time of ‘Back-to-Basics’ era, such figures, and even others of no relation neither to the text nor to the discussed topic, had increased. In the 1970s, for Primary School textbooks, the focus was on presenting figures of sets, where this presentation was not always correct. For instance, for the addition of two numbers (Fig. 7), in an artificial way two disjoint sets

21

were presented and then encircled to get the so-called union of the two sets (Rikala, Suni, Virtanen 1970, 15). For Secondary Schools, sets presentations were used to form typical Venn Diagrams, and other types alike were used, among them arrow diagrams in studying the topic of Relations and Functions (Wolff, Holmström & Paltakari 1974, 109). Here to notice that, mathematics textbooks since the time of the ‘New Math’ are written mainly by teachers and not mathematicians as before. The main reason was the opposition of mathematicians, to the ‘New math’ movement. A good example of this opposition can be seen from the paper of Rolf Nevanlinna (Nevanlinna 1966).

Fig.8. Wolff, Holmström & Paltakari textbook 1974, p.109 Fig.7. 1970 Rikala, Suni & Virtanen 1970 textbook, p. 15 (’tai’ means’or’) In the 1980s, where Sets based curriculum was already abandoned, the development of color print technology encouraged textbooks authors and publishers, to present colorful figures in textbooks, related or not related to the discussed topic. But, where the problems were simple, the exaggeration of using colors made the perception of the figures difficult for both students and teachers. Functional materials use in teaching arithmetic In our work, instead of the commonly used term ‘manipulatives’, we are using the term ‘Functional Materials’. The reason is that the materials we use haven’t to manipulate children, but assist them to understand and discover. Till the beginning of the second half of the 1980s, the use of Functional Materials wasn’t common in Finnish schools. Nevertheless, here to mention that one of our best authors of Primary School textbooks of the 1950s and 1960s, Toivo Vahervuo, has used a type of visualization in his textbooks, which he turned into a type of functional materials named ‘Satatalo’, i.e. ‘Hundred House’. Figures 9, 10 and 11 are some of Vahervuo’s textbooks. They are good enough to present the idea of constructing ‘Satatalo’ and its possible uses (Vahervuo 1965, 95, 106, 101).

Fig.9. Vahervuo 1965 textbook, p.95

Fig.10. Vahervuo 1965 textbook,

22

Fig.11. Vhervuo 1965 textbook, p.101 Figure 10 is closed to the form of ‘Satatalo’ and in Figure 11 the letter K stands for “Kymmenen”, which means “Ten”. In ‘Satatalo’, plastic rectangular material replaced each rectangle in Fig. 10. On the back of each rectangular material, the letter K was written. The ten red circles of each rectangle in Fig.10 were replaced in ‘Satatalo’ by 10 circular plastic materials. Each plastic rectangular material of ‘Satatalo’ has 10 relevant pockets, to allow the fixing of the needed number of circular materials. Having two faces for both of the rectangular and circular materials explains one of the advantages of functional materials, which do not easy to achieve in using figures. In ‘Satatalo’ one face of the circular material was black and the other face was white, and this gives the chance to make a needed discrimination. ‘Satatalo’ was easy to fold. For individual use, smaller form of ‘Satatalo’ was available. A use of other two Functional Materials had started in the 1970s. These two are the older version of Dienes Multibase Arithmetic Blocks (MAB) and Unifix blocks. To some extent the visits of Tamas Varga’s (1919-1987) to Finland in the 1970s had been of affect in bringing these Functional Materials to Finland. Varga was deeply impressed by the work his fellow Hungarian Zoltan P. Dienes had made outside Hungary, in particular Dienes’s uses of Functional Materials (Servais, W. & Varga, T., 1971). The older version of MAB is the wooden one of the late 1950s. Where the use of MAB was not common in any time in Finnish Schools, with the exception of the 10-base blocks set, which has gained popularity in the last 10 years, and are named Decimal System tools. Unifix materials had been of more use in the 1970s, and it is still used. One of the advantages emphasized of using Unifix blocks was the significantly less noise it brings to classroom, in contrast to the case of using wooden materials. The other emphasized advantage was the easy way of stringing the blocks. These two properties, of Unifix materials, were the ones motivated Charles Tracey to invent them in England at the beginning of the 1950s. About the using of functional materials in Finland, and worldwide, we may need to give some brief background. At least, three names cannot be forgotten, one is Friedrich Froebel (1782–1852), the second is Maria Montessori (1870–1952) and the Third is Lev Vygotsky (1996-1934). They are not only pioneers in this field, but in addition they have effected on others work later, in particular the affect of Froebel on Cuisenaire’s and Montessori on Dienes’s. At the time of the ‘New Math’, some of those involved in curriculum reform were interested in finding a way to make the abstract structure of the new curriculum achievable for children, and accepted by their parents. The funds gave for curriculum reform, at that time, gave the chance to the spread of materials developed earlier than the ‘New Math’ movement. Besides Unifix Blocks, we can mention to the spread of Cuisenaire Rods, Geoboard and Vygotsky’s Logical Blocks. As the case of Unifix Blocks, Cuisenaire Rods and Geoboard were 23

developed at the beginning of the 1950s. The Belgium primary school teacher Georges Cuisenaire (1891-1976) had developed his rods with the help of the Egyptian-French mathematician Caleb Gattegno (1911-1988), who is the inventor of the Geoboard (Servais & Varga 1971, Malaty 1988). Regards Finland, Cuisenaire Rods, Geoboard, Vygotsky’s Logic Blocks and others were known to those involved in ‘New Math’ reform, but these materials hadn’t got a wide spread in schools at the time of the ‘New Math’, in particular Cuisenaire Rods were found complicated. Actions role in teaching mathematics and practical-theoretical reasons Besides visualization and Functional Materials, I am speaking about actions use in teaching mathematics in the title of my paper. The reason for this addition is that achieving understanding is not always possible by using visualization, functional materials or both. By actions we mean the physical participation of students in tasks designed by the teacher to achieve specific goal. This may sound relevant to young children. This in general true, but in our experience we have found that even for adult students, actions could be of special role in leading to discovery. As an example, in teaching university students, with no background in permutations, I have found that, making a row of three chairs in front of students in auditorium and asking three students to investigate the possible ways of their sitting on the chairs have been of special affect in understanding the permutation concepts. After this first investigation, I asked the students to return to their places, and then I asked the entire group to think about the number of possible permutations of sitting three students on three chairs. When some of the students failed in find the correct number, I asked again the three students to come to the front for assistance. This time, I asked the whole group about the alternative cases of sitting of one of the three students on the so-called first chair. This was an easy question to them, but the simple actions of students had been a key issue to find the formula nP

r = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) .. .( n − r + 1 ) , for the number of permutations of r objects

taken from n distinct objects. This doesn’t mean that using of actions lead by itself to discovery. Teacher’s heuristic questions and the way of writing students’ answers are of a vital role. The teacher has to think and write in details about his plans, where this plan should be of a manuscript type. Here we have to say that in our work we do underline teacher’s role as the main facilitator. In using visualization, functional materials or actions, teacher’s work is the work of the architect of learning, and learning for us is that of understanding and discovering. Developing the use of visualization, functional materials and actions Since the middle of the 1980s a large part of my work has become related to Primary School Mathematics. This, among others, has included pre-service and inservice education of teachers, and the establishment of mathematical clubs, started by the one established by me in 1988 at the ‘Normal School’, i.e. the Practice School of the University of Joensuu. Through this work, developing the use of visualization, functional materials and actions in Primary School was one of my main interests, and part of this use I am going to present in my paper. This explains, why my previous discussion was related to the time before the middle of the 1980s. Some of my work was related to developing the use of ‘Satatalo’ and Unifix materials, but some of that

24

has been published before, and this we are not going to repeat in the present paper (see Malaty 1996). In the next part, I’ll give some examples of my use of visualization, functional materials and actions in teaching mainly arithmetic. For teaching mathematics in secondary schools and tertiary level, heuristic questions are of special meaning, but also visualization, functional materials and actions can be of use at this level too (see Malaty 2005). Here to remark that visualization, functional materials and actions are facilitators. These facilitators have to assist the teacher in offering students the chance to understand and rediscover specific concept or relation, and as well solve or pose a problem. They form a frame, environment and images for learning. Regards the question: Which one of the three facilitators is more relevant? The answer is that this depends on the nature of the object of study and the learner’s needs. Using a combination of two or all of the three could be in some cases necessary, and again we here underlining the role of the teacher. Asking about the positive sides of using visualization and functional materials, the common answer is related to the use of senses, or in more details this allows the use of visual sense for visualization and working on hand for functional materials. About the using of actions, the answer would be having physical and/or social participation in classroom activities. But, one positive side else would be necessary to mention: using of visualization, functional materials and action can stay in learner’s mind as association of learning. The learner can use this association to go back to the process happened in the classroom. He can repeat, or imagine, what was done in using specific visualization, functional materials or actions to make a check on his knowledge. This association can also be of help to the learner to make reflections on what was learned. Final remarks on Part I This part was done to give the background of my work since the middle of the 1980s in developing the using of visualization, functional materials and actions in teaching mathematics to assist the students in understanding and discovering mathematical relations, making generalizations and solving problems. References 1. BONSDORFF, E., 1888. Lasku-oppi. Alkeisopistoja varten. Helsinki: Weilin & Göös. 2. CEDER, K. R., 1912. Luvunlaskun oppikirja. Oppikouluja varten. Helsinki: OTAVA. 3. FITZPATRICK, R. (ed.) 2008. Euclid’s Elements of Geometry. The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885). From Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus B.G. Teubneri, 1883–1885. USA: Richard Fitzpatrick (GNU General Public License, Online version is available: http://farside.ph.utexas.edu/euclid/Elements.pdf). 4. HEIKEL, H. 1844. Lärobok i Geometrin, för Lägre Elementarskolor, innefattande Första Boken af Euclides’ Elementa. Second Edition. ÅBO: hos J.C. Frenckell & Son.

25

5. HEIKEL, H. 1847. Mittauden Oppi-Kirja, jossa löytyy Ensimäinen Kirja Eukliideksen Alkeista. Kääntänyt D. E. D. Europæus. Helsinki: A. E. Öhmanin kostannuksella. 6. MALATY, G., 1988. What is wrong with the 'back-to-basics' movement, and what was wrong with the 'new-math' movement. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, Volume 19, 1, pp. 57-65. 7. MALATY, G., 1996. Joensuu and mathematical thinking. In: Mathematics for Tomorrow’s Young Children. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 302-316. 8. MALATY, G., 2005. Geometry for All and for Elite. In: Problemy teorii i praktiki obucheniya matematikeö. St. Petrsburg: Herzen University, pp. 250-257. 9. MALATY, G., 2006. Can Visualization Answer the Why's in Mathematics Teaching. In: Mathematical Education: Past, Present, future. Moscow: SGPU Publishers, pp. 247-252. 10. MERIKOSKI, K., 1960. Kansakoulun laskentokirja I. III ja IV vuosiluokan oppimäärä. Fifth Edition. Helsinki: Valistus. 11. NEVANLINNA, R., 1966. Reform in Teaching Mathematics. The American Mathematical Monthly, Vol. 73, No. 5 (May, 1966), pp. 451-464. 12. RIKALA, S., SUNI, K. & VIRTANEN, K., 1970. Matematiikka 2. 2. kouluvuoden laskennon oppikirja. Second Edition. Helsinki: valistus. 13. SERVAIS, W . & VARGA, T., 1971. Teaching School Mathematics. A Unesco Source Book. Middlesex: Penguin Books Ltd. 14. VAHERVUO, T., 1965. Pienen koululaisen laskento, 1-2. Tenth Edition. Helsinki: OTAVA. 15. WOLFF, C., HOLMSTRÖM, R. & PALTAKARI, R., 1973. Matematiikan tiedot, 7. Helsinki: Kirjayhtimä.

Contact address Prof. Dr. George Malaty Mathematics Education, University of Joensuu P.O.Box 111, 80101 Joensuu, Finland Tel.: 358-13- 251 2303 E-mail: [email protected]

26

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

ILE RÓŻNYCH KLOCKÓW DOMINA MOŻNA UŁOŻYĆ Z KAFELKÓW „WISIENKI”1 Ewa SWOBODA Streszczenie W projekcie, częściowo opisanym w tym artykule, byliśmy szczególnie zainteresowani rozwijaniem intuicji geometrycznych. Propozycję swoją nazwaliśmy „kafelki”. Zaproponowane narzędzie było proste, dało się łatwo adoptować do różnych indywidualnych sytuacji w klasie. dawało możliwość realizacji dalszych celów związanych z edukacją matematyczną. Przez cały rok trwania projektu uczniowie oswajali się z podstawowymi reprezentacjami dla takich relacji jak obrót, translacja, symetria osiowa. Intuicyjnie nabywali wiadomości o własnościach tych relacji. W następnym roku chcieliśmy aby dzieci w sposób jawny wykorzystały intuicje tworzone w trakcie wcześniejszych zajęć. Przedstawione tu zadanie prowokowało do dyskusji i stawiania hipotez. Wykorzystanie specyficznego kodowania matematycznego pozwoliło odkryć i wyjaśnić wiele istotnych związków między przekształceniami geometrycznymi. Wstęp Poszukiwanie sposobów zainteresowania uczniów matematyką jest dziś jednym z palących problemów dydaktyki matematyki. Pobudzanie uczniów do aktywności na lekcjach może odbywać się środkami zewnętrznymi – atrakcyjny kolorowy podręcznik, ciekawe gry planszowe, zajęcia z komputerem są niewątpliwie silnymi atutami współczesnego nauczania. Równie ważne może być jednak sięgnięcie do matematyki jako takiej, i budzenie zainteresowania poprzez rozwiązywanie problemów, które są z jednej strony bliskie dziecku, z drugiej – dają mu szansę na kreatywną pracę na swoim własnym poziomie rozwoju. Poczucie sukcesu to jeden z najstarszych i najskuteczniejszych sposobów zachęcania do podjęcia wysiłku. Projekt NaDiMa, którego realizację rozpoczęliśmy w roku szkolnym 2008/09, stawia sobie za cel wspieranie zainteresowania uczniów matematyką poprzez sugerowania takich zadań, w których każdy może pracować na swoim własnym poziomie, bez obawy o brak sukcesu. W Polsce byliśmy szczególnie zainteresowani rozwijaniem intuicji geometrycznych, gdyż ten dział matematyki jest u nas traktowany po macoszemu. Zapoznawanie uczniów z pojęciami i zagadnieniami geometrycznymi nie powinno się ograniczać do zapoznawania się z podstawowymi kształtami (koło, kwadrat, prostokąt, trójkąt), ale może obejmować również relacje między tymi kształtami (podobieństwo, symetrie). Badanie kształtów i zjawisk geometrycznych może odbywać się dynamicznie. Wymaga to organizowanie takich działań w których 1

Artykuł powstał w oparciu o projekt NaDiMa 142453-PL-2008-Comenius-CMP Motivation via Natural Differentiation in Mathematics.

27

dziecko nie tylko wizualnie analizuje kształty, ale jest też mobilizowane do refleksji nad dokonywanymi ruchami. Propozycję swoją nazwaliśmy „kafelki”, gdyż narzędziem pracy były kafelki z jednym podstawowym motywem, ale funkcjonującym w dwóch wersjach (jako swoje lustrzane odbicia). Dodatkowo motyw ten wydrukowany był na kartoniku kwadratowym i na prostokątnym. Stąd podstawowy zestaw składał się z czterech rodzajów kafelków (rys. 2).

Rys.2. Rodzaje kafelek przygotowanych dla dzieci.

Zaproponowane narzędzie spełniało wymogi które stały na początku naszego projektu: było proste, dało się łatwo adoptować do różnych indywidualnych sytuacji w klasie. Przedstawimy, że dawało możliwość realizacji dalszych, podstawowych celów: umożliwia realizację podstawowych celów, treści i pryncypia dotyczące nauczania matematyki na określonym poziomie edukacyjnym oraz dotyczy istotnych matematycznych zagadnień, procesów i procedur wykraczających poza ten poziom i jest bogatym źródłem aktywności matematycznych. 1. Realizacja projektu Praca nad stworzeniem SLE „Tiles” odbywała się na kilku poziomach edukacyjnych. Początkowo projekt obejmował dzieci przedszkolne (6 latki), klasę pierwszą, trzecią oraz klasy IV, V i VI (czyli dzieci w wieku od 5 do 12 lat). Niektóre zajęcia przeprowadzono także z uczniami gimnazjum (13 lat). Tworzenie propozycji SLE przebiegało etapami. Każda faza projektu była efektem działań na etapie poprzednim, oraz stanowiła podstawę dla powstania fazy następnej. W zamyśle, miało to dawać szansę na tworzenie różnych scenariuszy zajęć dostosowanych do różnego poziomu wiekowego, pozwalało różnorodnie kontynuować scenariusze, w zależności od obserwowanych potrzeb dzieci i proponowanych przez nie rozwiązań. Równocześnie wspólna analiza obserwacji zebranych na różnych poziomach edukacyjnych dawała lepszą podstawę do interpretowania zaobserwowanych zjawisk. W tym artykule skupię się głównie na etapie VI, który nazwę domino. Aby jednak w pełni zrozumieć rolę tego etapu, trzeba opisać wcześniejsze etapy pracy dzieci. Uczniowie musieli mieć dość dużo czasu na zapoznanie się z narzędziem. Również, poprzez to narzędzie realizowali podstawowy cel, jakim było tworzenie intuicji przekształceń izometrycznych. Poniżej opiszę krótko te etapy. Fazy I – V realizacji projektu Faza I • Zapoznanie nauczycieli z ideą projektu, wybór zagadnień realizowanych w ramach projektu; Nauczyciele musieli między innymi zapoznać się z ideą budowania intuicji geometrycznych poprzez sprawdzanie dzieci w regularności geometryczne oraz wypracować narzędzie pozwalające na zrealizowanie tej koncepcji w klasie. Zależało nam na tym, by narzędzie było łatwe do wykorzystania i by dało się łatwo modyfikować

28

a z drugiej strony – by pozwalało projektować różnorodne zajęcia bezpośrednio związane z realizacją treści kształcenia. •

Zapoznanie uczniów z projektem i z narzędziem badawczym (kafelkami);

Na początek dzieci dostały kafelki, i miały z nich ułożyć coś interesującego. Był to czas spontanicznej aktywności uczniów, ich swobodnej twórczości, zabawy. Testowano również przydatność narzędzia – kafelków, zarówno pod kątem pojęć i procedur matematycznych, możliwych do osiągnięcia na zajęciach, jak i atrakcyjności narzędzia na różnych poziomach edukacyjnych. Faza II. Układanki jednowymiarowe (szlaczki) W drugiej fazie projektu postanowiliśmy skupić uwagę uczniów na wzorze jednowymiarowym, czyli szlaczku. Zajęcia przeprowadzone w klasach dotyczyły układania szlaczków oraz burzenia ich. W założeniach matematycznym celem tego typu zajęć było odróżnienie odbicia lustrzanego (zmieniającego uporządkowanie płaszczyzny) od przesunięcia i obrotu (które zachowują uporządkowanie płaszczyzny). „Psucie szlaczka” było zadaniem odwrotnym do „układania” szlaczka, i jako takie dawało inne możliwości poznania własności odbicia lustrzanego i skonfrontowania ich z własnościami obrotu i przesunięcia. Odbywało się to w sposób następujący: Na tablicy jeden uczeń układał wzorek. Wybieraliśmy osobę, która wzorek będzie naprawiać oraz osobę, która go popsuje. Pierwsza z osób wychodziła z klasy, aby nie widzieć procesu burzenia, po czym wracała naprawić szlaczek. Dzieciom została narzucona konieczność zachowania jednowymiarowości układanki oraz jej ciągłości. Szlaczek musiał być ciągłą sekwencją znaków. Faza III. Kodowanie i dekodowanie szlaczka Schematyczny rysunek obrazował strukturę szlaczka. Uczniom zadanie przedstawiono w formie informacji, że szlaczek ten wykonały dzieci z innej szkoły, które przesłały tylko schemat (rys.4). Przygotowano dwa schematy – jeden dla uczniów młodszych, drugi dla starszych, z klas IV – VI. a)

b) Rys.4. Schematyczne rysunki szlaczka: a) dla dzieci młodszych, b) dla uczniów klas IV-VI.

Celem tych zajęć było sprowokowanie do opisywania słowami zależności tkwiących w geometrycznych szlaczkach. Zakładaliśmy, że zajęcia będą prowokować do argumentowania i dyskusji, niełatwych w obrębie zjawisk geometrycznych. Faza IV. Układanki kierowane Kolejną fazą projektu były tzw. układanki kierowane. Do odpowiednio przygotowanej muzyki uczniowie tworzyli układankę o zadanym temacie. Celem zajęć była obserwacja naturalnych skojarzeń dziecięcych z wywołanym tematem, wzmocnionym odpowiednią muzyką. Zasugerowane tematy to: (a) rwąca rzeka mająca ukierunkowywać na wykorzystanie translacji, (b) karuzela – wykorzystanie obrotów, (c) lustro – wykorzystanie symetrii osiowej.

29

Faza V. Rekonstrukcja posadzki To zadanie było w pewnym sensie dualne do zadania polegającego na naprawianiu zepsutego szlaczka. Uczniowie dostali do uzupełnienia 3 mozaiki dwuwymiarowe, konstruowane według różnych reguł (rys.7). Posadzki były tworzone z kafelków kwadratowych i prostokątnych, co miało uczulić uczniów na problem odległości pomiędzy elementami.

Rys.7. Posadzki do rekonstrukcji w ramach SLE „Kafelki”

Podsumowanie etapów I – V. Etapy, opisane powyżej, w nauczaniu szkolnym były rozłożone na cały rok szkolny. Poprzez udział w tych zajęciach uczniowie oswajali się z podstawowymi reprezentacjami dla takich relacji jak obrót, translacja, symetria osiowa. Intuicyjnie nabywali wiadomości o pewnych własnościach tych relacji. Na przykład zdawali sobie sprawę, że odbicie lustrzane nie jest sprowadzalne do złożenia przesunięć i obrotów. Potrafili odkrywać związki funkcjonujące lokalnie, i uogólniać je na płaszczyznę. Próbowali te związki opisywać słownie. OPIS I ANALIZA FAZY VI. DOMINO. Tworzenie geometrycznego domina Na tym etapie chcieliśmy aby dzieci w sposób jawny wykorzystały niektóre z intuicji tworzonych w trakcie wcześniejszych zajęć. Uczniowie klas starszych (4 – 6 klasa) dostali do rozwiązania następujący problem: Ile można zbudować klocków domina składających się z dwóch kwadratowych kafelków?

Rys. 8 Różne strategie poszukiwania rozwiązania

Zajęcia przeznaczone były do pracy w klasie, dlatego nauczycielka od razu zasugerowała rozpatrzenie przypadku tylko dla jednego typu kafelków – nazwijmy je „Prawe” (dzieci już wiedziały, że istnieją kafelki „prawe” i „lewe”). Już na tym poziomie są możliwe (co obserwowałyśmy) różne strategie związane z realizacją tego zadania. Pierwsze układy pojawiały się dość przypadkowo. Siedzący blisko siebie uczniowie nie byli w stanie rozpoznać, czy mają te same rozwiązania, czy inne. Nie byli również w stanie powiedzieć, czy są to wszystkie możliwe rozwiązania. Co

30

więcej, nie wiedzieli, czy rzeczywiście układy które mają przed sobą różnią się między sobą, czy może są między nimi takie same. Taka sytuacja prowokowała do dyskusji i była naturalnym punktem wyjścia do poszukiwania podejść bardziej uporządkowanych. Pytania do dyskusji: •

Czy istnieje „pewna” strategia znalezienia rozwiązania problemu?

•

Jak sprawdzić, że klocki są różne?

Strategia „pewna” została zaproponowana przez innego ucznia tej klasy. Bez układania wiedział, że wszystkich kombinacji będzie 16. Oto układ stworzony przez niego.

Rys. 9. Konfiguracje wstępne dla kafelków „prawych”

Należało teraz tylko sprawdzić, czy któryś z tych układów się powtarza. Wiadomo, że w układzie równoległym – czyli poprzez przesunięcie – nie da się nałożyć żadnego klocka na inny. Ale w obrocie? Znów okazało się na lekcjach, że możliwość dokonywania manipulacji była bardzo pomocna w rozwiązaniu tego problemu. Strategią sprawdzającą było obracanie dowolnego „domina” o 180 stopni (domino miało mieć kształt prostokąta, i jedyna możliwość wykrycia „bliźniaka” sprowadzała się do sprawdzenia czy nie ma klocków leżących „do góry nogami”). Wielokrotnie sprawdzając, uczniowie odkryli, że spośród 16 wstępnych układów tylko 10 jest różnych, inne mają swoich „bliźniaków”. Wypracowaną strategię tworzenia konfiguracji początkowej można było powtórzyć dla klocków tylko lewych, oraz dla lewych-prawych, czy prawych-lewych. Poszukiwanie „bliźniaków” w tych układach było sposobnością do stawiania hipotez. Stwierdzali oni na przykład: •

w samych „lewych” będzie to samo co w „prawych”, czyli też znajdziemy 10 różnych,

•

może te „bliźniaki” układają się jakoś specjalnie, na przykład wzdłuż jednej przekątnej

•

w „prawych-lewych” też powinny być jakieś bliźniaki.

31

Weryfikacja tych hipotez bardzo motywowała do dalszych poszukiwań. Zadanie okazało się dla uczniów bardzo interesujące, zwłaszcza, że niektóre hipotezy udało się potwierdzić, inne nie. Domina jednorodne (składające się z kafelków tego samego typu) zachowywały się tak samo przy analizie konfiguracji początkowych – wykorzystując zarówno dwa kafelki lewe, jak i dwa prawe, dostawało się 10 różnych domin. W obu przypadkach były takie domina, które po obrocie o 180 stopni wyglądały tak samo – i było ich po 4 w każdej konfiguracji początkowej (uczniowie mówili: te są jakieś dziwne). Na dodatek wcale nie były umieszczone w jakichś specjalnych miejscach tabeli konfiguracji początkowej, na przykład nie leżały na przekątnej. Konsternację wzbudził fakt, że w konfiguracji początkowej dla układów prawy-lewy żadne domino nie ma swego bliźniaka! Ten fakt sprowokował do poszukiwań w szerszym zbiorze, i wtedy okazało się, że prawe-lewe mają bliźniaków w całym układzie konfiguracji początkowych dla lewych-prawych. Przeliczenie ilości klocków domina wyglądało następująco: 1. Liczba rozwiązań dla klocków zbudowanych z dwóch kafelków jednego typu: •

4 · 4 = 16

•

16 – 4 = 12

•

12 : 2 = 6

•

6 + 4 = 10

•

Zatem można zbudować 10 klocków składających się z dwóch kafelków prawych.

2. Podobnie wygląda przeliczenie dla klocków lewych, czyli jest ich też 10. 3. Klocków zbudowanych z kafelka lewego i prawego jest 16, żaden nie posiada „bliźniaka”. 4. Budując klocki z kafelków dwóch typów w porządku prawy-lewy mamy ich znów 16 i wszystkie one są „bliźniakami” dla klocków poprzedniej grupy. Wynika z tego, że różnych klocków domina jest 36. Znalezienie odpowiedzi jednak nie zakończyło zadania. Praca nad tym zadaniem rozbudziła chęć poszukiwania odpowiedzi na pytanie dlaczego tych klocków domina jest tyle. Mówiąc ściślej – dlaczego w każdej z serii konfiguracji podstawowych te klocki układały się w inne ilości, oraz – co spowodowało istnienie „bliźniaków”. Taka potrzeba dalszego badania zadania była naturalnym punktem wyjścia do matematyzacji i do wykorzystania specyficznego kodowania matematycznego.

32

Analiza zadania poprzez kod językowy Jednym z możliwych rozwiązań jest zapis kolejnych układów w formie tabeli PP

P90P

P180P

P270P

P P90

P90 P90

P180 P90

P270 P90

PP180

P90 P180

P180 P180

P270P180

PP270

P90 P270

P180 P270

P270 P270

Tabela 1 – zapis dla konfiguracji podstawowej domina składającego się z kafelków prawych

Potrzeba zapisu efektów obracania kolejnych klocków domina spowodowała refleksję nad własnościami obrotu. Składając obroty uczniowie w naturalny sposób sumowali kąty oraz zauważyli, że kolejność kafelków w dominie ulegnie zamianie. Dlatego po obrocie o 1800 odpowiednie klocki przechodziły w klocki następujące: P180 P180

P180 P270

P180 P

P180 P90

P270 P180

P270 P270

P270 P

P270 P90

PP180

PP270

PP

P P90

P90 P180

P90P270

P90P

P90 P90

Tabela 2 – zapis dla konfiguracji podstawowej klocków prawych, po obrocie

Sam proces tworzenia tabel umożliwił funkcjonowanie przejścia, które Z. Krygowska określa zmianą roli symboliki w geometrii. Jej zdaniem, w specyficznych sytuacjach symbol zmienia się z środka opisu na narzędzie operacji, które – zgodnie z wyrażeniem Poincarégo – w niektórych wypadkach „myśli za ucznia”. (Krygowska, 1977, t.1., s. 37). Rzeczywiście, możliwość zapisania w sposób uporządkowany wszystkich układów – konfiguracji początkowych – oraz dalsza analiza tego zapisu pozwoliły odkryć i wyjaśnić te związki, które do tej pory były niejasne. Krygowska tak to określa: Odpowiedni zapis danych i odpowiednia umowa umożliwiają manipulację symbolami, która przy właściwej „treściwej” interpretacji prowadzi do sformułowania ostatecznego wniosku (Krygowska, 1977, t.1. s.36). Nareszcie stało się jasne, które klocki nie miały swojego „bliźniaka”: były to układy zakodowane PP180, P180P, P90P270, P270 P90 . Zapis ten również uzmysławiał, że są to klocki, których wewnętrzna struktura jest specyficzna – obie połówki domina były w stosunku do siebie ułożone w obrocie o 1800 . Zauważenie tego faktu pociągało za sobą konkluzję – w obrocie o 1800 kolejność połówek się zmieni, i w rezultacie pozycja pierwszego kafelka zmieni się o kąt 2 x 1800, czyli o kąt pełny. Pozostałe związki wynikały z analizy zapisów, porównania miejsc w tabeli 1 i 2. Zbierając w punktach te obserwacje, można zapisać: •

•

Wewnętrzna kolejność w parze się zmienia (kafelek z lewej strony domina przechodzi na kafelek z prawej). Taka zmiana kolejności musi spowodować dublowanie się kafelków, ponieważ tabela konfiguracji wyjściowej ujmowała wszystkie możliwe wzajemne układy. Zapisując układ w obrocie o 1800 wystarczy do kąta początkowego dodać wartość 1800, ale zapisać ją w pomniejszeniu o 3600, gdyż jest to wartość pełnego obrotu, który „nic nie zmienia”.

33

• •

Kolumny tabeli konfiguracji początkowych przechodzą w wiersze tabeli konfiguracji w obrocie o 1800. Klocki składające się z kafelków obróconych względem siebie o 1800 nie posiadają „bliźniaków”.

Podsumowanie zajęć „domino”. Wielu nauczycieli uważa, że na takie zajęcia nie ma miejsca w klasie, w trakcie normalnej nauki szkolnej. Twierdzą oni, że przecież trzeba realizować podstawowy program szkolny ( z którego są rozliczani), a takie zadania – wprawdzie interesujące – nadają się jedynie na pracę pozalekcyjną. Chcemy przekonać, że nie mają oni racji. Wystarczy postawić sobie pytanie: Jaka matematyka jest w tym zadaniu i spróbować znaleźć powiązania z tym, co znajduje się w szkolnym programie nauczania. Mogą to być na przykład następujące hasła: • • • • • • •

Rozpoznawanie geometrycznych relacji: obrotu, przesunięcia, symetrii osiowej – jako specyficznych konfiguracji dwóch figur przystających. Wyróżnienie spośród nich symetrii osiowej – jako przekształcenia, które zmienia orientację płaszczyzny. Rozpoznawanie nietrywialnych własności relacji geometrycznych. Poszukiwanie związków między relacjami. Ukierunkowanie na dynamiczne rozumienie przekształceń (przekształcenie jako ruch). Opis tego ruchu w każdym przekształceniu geometrycznym. Opisywanie przekształceń geometrycznych, ukierunkowane na opis definicyjny .

Dodatkowo, praca nad takim zadaniem daje szansę na realizacja wyższych celów kształcenia matematycznego. Są wśród nich: • • •

Umiejętność rozwiązywania problemów. Wyczulenie na dostrzeganie geometrii wokół nas. Umiejętność znajdowania reguły ogólnej dla wielu poszczególnych przykładów, poprzez wiele różnych reprezentacji wizualnych.

Zadania takie wzmacniają kreatywność wśród uczniów, pobudzają inwencję, wymuszają stawianie hipotez i argumentowanie. Dają radość odkrywania. Obserwowani przez nas uczniowie nie bali się eksperymentowania, pracowali samodzielnie – a różnice w podejściach stawały się często motorem do wspólnej dyskusji. Zakończenie Wieloetapowa praca nad tym zadaniem była źródłem wielu istotnych matematycznych aktywności, bardzo ważnych w kształceniu matematycznym – i nieczęstych na tym etapie kształcenia. Równocześnie poznawali pojęcia geometryczne w nowy, ale interesujący dla siebie sposób. Przede wszystkim uczniowie dokonywali przejścia od statycznego rozpoznawania relacji geometrycznych do rozumienia dynamicznego. Na dodatek wiązali ze sobą te oba podejścia. Dokonywało się to w wyniku refleksji nad dokonywanymi przekształceniami. Uświadamiali sobie wiele geometrycznych zjawisk funkcjonujących w trakcie dokonywania manipulacji kafelkami. W trakcie zajęć domino na plan pierwszy wysunął się obrót. Dzięki temu, że uczniowie mieli już wiele wcześniejszych doświadczeń z symetrią osiową, zagadnienia dotyczące obrotów mogły być w centrum uwagi, i tylko one mogły stanowić przedmiot refleksji. Obrót występował zarówno jako fizycznie wykonywany ruch, jak i jako relacja. Wzajemne przenikanie się tych dwóch ujęć miało miejsce podczas refleksji

34

związanej z tworzeniem tabel opisujących konfiguracje początkowe układów kafelków tworzących domino, tworzeniem tabel opisujących obrót o 1800 a następnie w trakcie ich analizowania. Kafelki – jako materiał dydaktyczny – są dobrym narzędziem dla dzieci najmłodszych, ale także dla uczniów młodszych i starszych klas szkoły podstawowej. Pozwalają one dzieciom pracować na swoim własnym poziomie, być narzędziem dla realizowania swojej własnej twórczości. Literatura: 1. CALLINGHAM R.: (2004) Primary students’ understanding of tessellation: an initial exploration, Proceedings of the 28th Conference of International Group for the Psychology of Mathematics Education, vol. 2, 183-190. 2. HEJNÝ, M,. JIROTKOVA, D.: (2004) Svĕt aritmetiky a svĕt geometrie, Dvacet pĕt kapitol z didaktiky matematiky, red. Milan Hejny, Jarmila Novotna, Nada Stehlikova, Univerzita Karlova v Praze – Pedagogicka fakulta, Praha. 3. HEJNY, M.: (1997) Rozwój wiedzy matematycznej, Dydaktyka Matematyki 19, 1528. 4. HIELE VAN P.: (1986) Structure and Insight. A Theory of Mathematics Education, Academic Press Inc. London. 5. JAGODA E.: (2004) Kształt i położenie, czyli statyczne i dynamiczne ujęcie relacji symetrii (studium przypadku), Dydaktyka Matematyki 27, 51-90. 6. JAGODA E.: (2008) Building the concept of line symmetry, W: B. Maj, M. Pytlak, E. Swoboda (red.), Supporting Independent Thinking Through Mathematical Education, Wydawnictwo Uniwersytetu Rzeszowskiego, 109-120. 7. MARCHINI C., Vighi P.: (2009) Can we develop geometrical understanding by focusing to isometries? A teaching experiment by the means of geometrical artefacts, W: J. Novotna & H. Moraova (red.), SEMT’09 – International Symposium Elementary Math. Teaching, Prague: UK-PedF, 169-176. 8. ROŻEK, B.: (2009) Kształty w zabawach z najmłodszymi – epizody dydaktyczne. W: E.Swoboda., J. Guncaga: Child and Mathematics, Wydawnictwo Uniwersytetu Rzeszowskiego, 93-101 9. SWOBODA, E.: (2006) Przestrzeń, regularności geometryczne i kształty w uczeniu się i nauczaniu dzieci, Wydawnictwo Uniwersytetu Rzeszowskiego. 10. SWOBODA E.: (2009) Regularności geometryczne w uczeniu się dzieci, In E.Swoboda, J.Gunčaga: Dziecko i matematyka, Wydawnictwo Uniwersytetu Rzeszowskiego. 11. TURNAU S.: 1988, Ornamenty. W Z. Semadeni (red.), Nauczanie początkowe matematyki, tom 4, 228-240. 12. VOPĔNKA, P.: (1989) Rozpravy s Geometrii. Panorama, Praha. 13. WITTMANN E. CH.: (2001) Developing mathematics education in a systemic process, Educational Studies in Mathematics 48, 1-20. Kontaktní adresa Dr. Ewa Swoboda Instytut Matematyki Uniwersytet Rzeszowski, Polska E-mail: [email protected]

35

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

OTEVŘENÁ MYSL JAKO PODMÍNKA EFEKTIVNÍHO FUNGOVÁNÍ PÉČE O NADANÉ Eva VONDRÁKOVÁ Podobně jako v matematice, i v péči o nadané závisí „řešitelnost“ úlohy na podmínkách, za kterých práci s nadanými, tedy jejich vzdělávání a výchovu, realizujeme. Na téma vzdělávání (a výchova) nadaných existuje ve světě množství odborné literatury, řada institucí a organizací, které se tématem zabývají a další rozsáhlé zdroje informací, například různé webové stránky. Kromě toho jsou v různých částech světa odborníci, zejména učitelé a psychologové, ale také rodiče, které přivedli k zájmu o toto téma jejich děti a žáci, reagující na běžnou péči jinak, než je obvyklé. Potřebu vyjádřit se k systému vzdělávání má také řada nyní úspěšných odborníků. „Školní historie“ některých z nich rozhodně nebyla jednoduchá a k jejich pozdější úspěšné realizaci v náročné profesi došlo v řadě případů v rozporu s předpověďmi jejich pedagogů. Nebo byli „bezproblémoví“, ale přesto se způsobem svého vzdělávání nespokojeni a nyní se realizují v oblasti vzdělávání, aby pomohli zlepšit situaci pro své potenciální budoucí kolegy. Efektivitou vzdělávání se často zabývají také ekonomové. Nejen oni docházejí oprávněně k názoru, že je zapotřebí zlepšit stávající systém a nabízejí svá odborná doporučení. Samozřejmě žádná z uvedených skupin nemá a nemůže mít všechny potřebné informace, vedoucí k co nejlepšímu řešení situace v péči o nadané. Je zapotřebí umožnit komunikaci a výměnu informací jak mezi různými profesními skupinami, tak mezi vzdělávacími systémy a rodiči. Problematika se týká všech zemí (i těch, které se jí zatím nevěnují) a je řešena v celém světě. Nadané děti mají své charakteristické vzdělávací potřeby a zvláštnosti, které se projevují bez ohledu na místo a dobu, ve které žijí. Přestože existují mezi jednotlivými státy někdy i velké rozdíly v mnoha směrech, ať už jde o ekonomickou a politickou situaci, tradice a uznávaný systém hodnot i pokročilost v oblasti péče o nadané, některé zákonitosti se objevují vždy a všude. Společnost pro talent a nadání (STaN), která začala pracovat ve školním roce 1988/89 a byla založena jako pobočka ECHA (European Council for High Ability) má za dobu své existence poměrně rozsáhlé zkušenosti a přehled o dění ve světě. Zdrojem informací je, vedle průběžného studia zahraniční odborné literatury, aktivní účast na řadě významných zahraničních konferencí a workshopů, spolupráce se zahraničními odborníky i vlastní činnost, zejména více než 15 let zkušeností s organizováním Klubu rodičů nadaných dětí. Samozřejmě i v ČR existují vnitřně motivovaní odborníci, kteří se zabývají buď vzděláváním a výchovou nadaných, nebo problematikou, která je pro práci s nadanými důležitá. V rámci STaN tyto iniciativy vyhledáváme a seznamujeme s nimi další odborníky v této oblasti a také rodiče nadaných dětí. Činíme tak v rámci pravidelných setkání Klubu rodičů (od r. 1993), nebo na Pracovních dnech STaN (od roku 1989), kterých se zatím uskutečnilo 58. Informujeme také v rámci dalších přednášek

36

a seminářů, zejména pro učitele. Zároveň zde předáváme aktuální informace o dění v zahraničí. V tomto sdělení uvedeme kazuistiky některých mimořádně intelektově nadaných jedinců z ČR i ze zahraničí, se kterými jsme měli možnost se seznámit. S jejich pomocí poukážeme na některé důležité okolnosti, působící na rozvoj nadání i osobnosti mimořádně nadaných dětí a studentů. Naše informace pocházejí zejména z těchto zdrojů: ECHA (European Council for High Ability) – www.echa.info WCGTC (World Council for Gifted and Talented Children) – www.world-gifted.org NYEX (Network of Youth Excellence) – www.nyex.info ICIE (International Centre for Innovation in Education) – www.icieparis.net, www.icieconference.net www.joanfreeman.com Další informace můžete najít na webových stránkách Společnosti pro talent a nadání: www.talent-nadani.cz Na základě dlouhodobých zkušeností i výměny informací s výše zmíněnými odborníky bychom zde chtěli zmínit alespoň některé podmínky a překážky úspěšné práce s nadanými. Osvědčuje se: Důvěra ve schopnosti a zodpovědnost studentů (žáků, dětí), jejich vlastní, co nejméně zvnějšku řízená činnost na problémech, které považují za zajímavé, důležité a smysluplné, možnost kontaktu s vrstevníky, kteří mají podobné zájmy, s dospělými, kteří jsou jim vhodným modelem pro nápodobu, s průvodcem, který je seznamuje se světem poznání, nabízí zajímavá témata a na požádání odpovídá a vysvětluje (ale nevnucuje). Škodí: Vysoká míra vnějšího řízení a nevyžádaná pomoc, protože studentům bere iniciativu, snižuje jejich sebedůvěru a brání rozvoji tvořivosti. Stejně tak překáží byrokracie, od administrativních zásahů do jakékoli formy vzdělávání a výchovy, počínaje předškolní, po vědeckou činnost špičkových odborníků. (Prosím nezaměňovat s nezbytnou mírou uspořádanosti věcí, nutnou pro jejich efektivní fungování.) Prakticky totéž platí i pro výchovu a vzdělávání mnohem mladších dětí. Pokud jde o systém vzdělávání, setkáváme se v současné době se škodlivými doporučeními některých osob a institucí, které v roli odborníků pracují s nadanými dětmi a jejich rodiči. Opakovaně jsme se např. setkali s doporučením předčasného zahájení školní docházky u intelektově mimořádně nadaných dětí. Z naší zkušenosti známe několik dětí, pro které by byl tento typ akcelerace velmi vhodný. Netýká se ale všech podobně nadaných dětí. Takovýto krok je třeba důkladně zvážit a rozhodovat se zodpovědně, s přihlédnutím k řadě dalších okolností. Mechanické uplatňování pravidel, byť převzatých z kvalitní odborné literatury, je velkým rizikem pro další rozvoj osobnosti i nadání dětí. Kvalita odborníků, jejich vnitřní motivace, znalosti, zkušenosti, ale i obor, který vystudovali, mohou být přínosem nebo také rizikem pro další rozvoj nadání a osobnosti dětí. Respektování a dodržování etiky v práci psychologů a pedagogů někdy chybí. Porozumění podstatě problematiky je důležité pro zodpovědné rozhodování a eliminaci omylů při vzdělávání

37

a výchově všech, v našem případě nadaných dětí. Velmi důležitá je vnitřní motivace, schopnost probudit a podporovat v dětech radost z poznávání. „Cit pro dítě“, respektování jeho zájmů a osobnostních zvláštností. Otevřená mysl – zájem o dění, získávání a výměnu informací v rámci celého světa. Schopnost a ochota komunikovat. Tato témata se určitě objeví na nejbližších konferencích o nadaných, na které bychom účastníky EME konference rádi pozvali: 3.ICIE konference, Athény, 7.-12.6.2010 www.icieconference.net 12.ECHA konference, Paříž, 6.-9.7.2010 www.echa2010.eu Kontaktní adresa PhDr. Eva Vondráková Společnost pro talent a nadání, Praha E-mail: [email protected]

38

PŘÍSPĚVKY

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

EDUKACJA MATEMATYCZNA DZIECKA W PRZEDSZKOLU – ANALIZA PORÓWNAWCZA TREŚCI PROGRAMOWYCH Jolanta ANDRZEJEWSKA Abstrakt W artykule autorka opisała najważniejsze zmiany w edukacji małego dziecka, które zaszły w Polsce w ostatnich kilku dekad. Zmiany te prześledziła analizując podstawy programowe i programy edukacji przedszkolnej z 1962 r., 1973 r., 1984 r. 1992 r., 1999 r. i 2008 r.. W dokumentach analizowała treści edukacyjne realizowane w przedszkolach w zakresie matematyki. CHILDREN’S MATHEMATICAL EDUCATION AT NERSERY SCHOOL – A COMPARATIVE ANALYSIS OF CURRICULA CONTENTE Abstract In the article the author described the most important changes in a Little child's education which had occured in Poland in last seventeen years. She followed through these changes analysing the curricular basis and kindergarten education curricula from 1962 r., 1973 r., 1984r. 1992, 1999 and 2008. In the documents she analysed nursery teachers' tasks and educational contents accomplished in kindergartens. Wprowadzenie Reforma polskiego systemu oświaty na poziomie przedszkola zachęciło autorkę do podjęcia próby uchwycenia najważniejszych zamian w edukacji matematycznej małego dziecka w ostatnich latach. W tym celu poddano analizie dokumenty: − program wychowania w przedszkolu 1962 r., − program wychowania w przedszkolu z 1973 r., − program wychowania w przedszkolu z 1984 r. − podstawę programową wychowania przedszkolnego z 1992 r., − podstawę programową z 1999r. − podstawę programową z 2008 r. − wybrane programy wychowania przedszkolnego z 2009r.. Podczas badań porównawczych poszukiwano odpowiedzi na podstawowe pytanie: Jakie treści z edukacji matematycznej ujęte w podstawach i programach wychowania w przedszkolu miało przyswoić dziecko w placówkach oświatowych w kilku ostatnich dekadach? Edukacja matematyczna dziecka w wieku przedszkolnym w kolejnych podstawach programowych bardzo powoli zmieniała się. Było to uzależnione min. od

40

zainteresowania władz oświatowych edukacją matematyczną dziecka w przedszkolu oraz od rozwoju wiedzy na temat małego dziecka w naukach psychologicznych, medycznych, pedagogicznych i matematyce. Od 1962 roku do 1999 r. w programach wychowania w przedszkolu podkreślano, iż dziecko ma: przyswajać wiedzę i informacje pod kierunkiem nauczyciela, być nauczane i kształcone w określonych zakresach pod okiem pedagoga, wdrażane i przyzwyczajane do konkretnych zadań z zakresu myślenia matematycznego. Obraz dziecka radykalnie zmienił w 1999 r. Dziecko stało się podmiotem aktywnym i miało za zadanie: budować obraz siebie, określać schemat własnego ciała, ustalać swoje miejsce w świecie, samodzielnie gromadzić doświadczenia i wyodrębniać pewne cechy przedmiotów i zjawisk, rozwiązywać sytuacje trudne, po wielu próbach dochodzić do wiedzy, że liczby można porządkować, porównywać, dodawać i odejmować, poszukiwać wiedzy w różnych źródłach, dokonywać wyborów i samooceny, rozwijać odporność emocjonalną, wyrażać siebie poprzez różne działania np. konstruowanie gier, tworzenie zadań z treścią i zapisywanie czynności matematycznych. Przedszkolak miał być zachęcany do samodzielnych działań w sytuacjach nietypowych, ciekawych, nowych, aby przyzwyczaić się do działania w społeczeństwie podlegającym permanentnej transformacji. Wychowanek miał podejmować różne zadania skupiając się na jednym problemie, który w przyszłości, na kolejnych szczeblach edukacji miał pozwolić mu na poszerzanie wiedzy i doskonalenie umiejętności. Rozwiązania metodyczne pojawiające się w placówkach przedszkolnych po reformie w 2000r. zachęcały dziecko do działań twórczych, badawczych, inspirowały do licznych poszukiwań i konstruowania gier. W tym czasie szczególnie akcentowano działania, których pomysłodawcą, motorem i inicjatorem było samo dziecko. Podkreślano, iż logika dziecięca wynikająca z myślenia na poziomie przedoperacyjnym powinna być doceniana i szanowana. Obowiązująca od 2009 r. podstawa programowa i skonstruowane na jej bazie programy definiują m.in. dziecko, jako aktywny, niepowtarzalny, podmiot uczący się, który charakteryzuje się: świadomością sprawstwa, ciekawością poznawczą, samodzielnością badawczą, aktywnością twórczą, odpornością emocjonalną, umiejętnością planowania i organizowania własnych działań, umiejętnością korzystania z różnych źródeł informacji. Obecnie dziecko w trakcie edukacji przedszkolnej, realizowanej w przedszkolach, oddziałach przedszkolnych w szkołach, punktach i zespołach przedszkolnych, ma doświadczać autonomii, sukcesu i twórczej radości uczenia się, nabierać wiary we własne możliwości, być stymulowane rozwojowo oraz uczyć się samokontroli i samooceny. Treści programowe Treści z zakresu pojęć matematycznych w kolejnych programach wychowania w przedszkolu znajdowały się w różnorodnych rozdziałach i obejmowały różne zakresy. W 1962 roku zaplanowano realizację treści edukacyjnych z zakresu matematyki w podrozdziale: kierowanie poznawaniem przez dziecko rzeczywistości i wyrabianie umiejętności zachowania się w kontaktach z ludźmi i światem przyrody. W tym czasie rozwijanie umiejętności z zakresu matematyki obejmowało jedynie:

41

− − − − − − −

zapoznanie dziecka z mierzeniem długości i szerokości (krokiem, stopą, rozpiętością palców ręki), pojemności (garścią, szczyptą), objętości (palcami, ręką, oburącz), mierzenie za pomocą własnej miary, ocenianie różnic wymiarów (o tyle dłuższy, o tyle grubszy, o tyle mniejszy), zapoznanie z wagą (porównywanie ciężaru różnych drobnych rzeczy, masy sypkiej w naczyniach, określanie różnicy ciężarów: cięższy, lżejszy waży tyle samo, po równo), wprowadzenie i utrwalenie pojęcia „para” jako nazwy kompletu przedmiotów użytkowych (para butów, rękawiczek, pończoch), monograficzne opracowanie zbiorów do 10 przedmiotów, wprowadzenie i utrwalenie pojęć i nazw brył (kula, sześcian) oraz figur geometrycznych (koło, kwadrat, prostokąt, trójkąt), przyswojenie określeń położenia (wysoko- nisko, obok, przed, naprzeciw, na prawo od, na lewo od) i kierunku (w przód- w tył, w lewo- w prawo, na wprost, w tył), odróżnianie na własnym ciele strony prawej i lewej, przyswajanie określeń czasu (rano, południe, wieczór, dzisiaj, wczoraj, jutro), nazywanie dni tygodnia w prawidłowej kolejności.

Od 1973 roku w nowo obowiązującej podstawie programowej treści z edukacji matematycznej znajdowały się w rozdziale: rozwijanie mowy i myślenia w podrozdziale: poznawanie stosunków jakościowych i ilościowych. Edukacja matematyczna po raz pierwszy została połączona w programach wychowania przedszkolnego z rozwijaniem mowy i myślenia dziecka. Treści skupiały się wokół obszarów: • poznawanie stosunków jakościowych i ilościowych: położenia przedmiotów w przestrzeni; wielkości przedmiotów, wzrastającej i malejącej przy ich porządkowaniu; długości; masy; objętości: manipulowanie, rozpoznawanie figur geometrycznych i operowanie ich nazwami, • przyswajanie i używanie określeń czasu (poszerzono treści programowe o nazwy pór roku i nazwy miesięcy), • przyswojenie określeń czasu (długo – krótko, teraz, najpierw, potem, długo – dłużej, dawno, prędko- prędzej – najprędzej) oraz mierzenie czasu trwania różnych czynności (mycia, sprzątania) za pomocą klepsydry oraz porównywanie z czasem mierzonym wg zegarka sprężynowego, • poznawanie zbiorów (ten nowy obszar edukacyjny został przez autorów szeroko i szczegółowo opracowany a w jego skład wchodziło: klasyfikowanie przedmiotów i figur geometrycznych według cech jakościowych: wielkości, kształtu, barwy, przeznaczenia, gromadzenie przedmiotów o wspólnej cesze, tworzenie podzbiorów, spostrzeganie zawierania się jednego zbioru w drugim, wyodrębniania przedmiotu o określonych cechach, • klasyfikowanie zbiorów wg cech ilościowych (nowością było: porównywanie liczebności dwóch zbiorów za pomocą łączenia w pary, posługiwanie się liczebnikami głównymi i porządkowymi w określonym do wieku zakresie (np. dzieci trzyletnie- jeden , dwa), liczenie przedmiotów, porządkowanie zbiorów wg ich liczebności wzrastającej lub malejącej, rozkładanie zbioru na podzbiory i ponowne ich łączenie jako przygotowanie do dodawania liczb, praktyczne

42

zaznajomienie się z dodawaniem liczb oraz działaniem odwrotnym – odejmowaniem w zakresie 10. Podczas zmian programowych w 1984 r. przyjęto, iż treści z edukacji matematycznej będą się znajdować w rozdziale: wychowanie umysłowe. W podrozdziale pt „kształtowanie pojęć matematycznych” zachęcano nauczyciela do prowadzenia zabaw i zajęć oraz wykorzystania spontanicznych okazji do: − kształtowania pojęć dotyczących położenia przedmiotów dodając do poprzednio wymienionych w programach następujące pojęcia: poza, obok, między, daleko, blisko, wyżej, niżej, naprzeciw, wewnątrz, na brzegu, na zewnątrz, − określenia kierunku w przestrzeni w toku wykonywanych ćwiczeń (dodano w nowych programach do góry, na dół, przed siebie, za siebie, w bok), − określenia wielkości przedmiotów w toku wykonywanych czynności manipulacyjnych, − określenia miary, długości, szerokości, wysokości, ciężaru, pojemności, czasu, − poznawania figur geometrycznych płaskich i przestrzennych, − wyodrębniania zbiorów przedmiotów, ich klasyfikowania, tworzenia podzbiorów, ćwiczenie w posługiwaniu się słowem „nie” (np. nie jest zielony), − kształtowanie pojęci liczby elementów zbioru, − wprowadzenie do arytmetyki: posługiwanie się liczebnikami głównymi i porządkowymi, podział na podzbiory rozłączne i ponowne ich złączenie, odczytywanie cyfr oznaczających liczby i znaków w następującej kolejności:>,<,+,. Reforma programowa z 1992 r. nie wniosła żadnych zmian w treściach z edukacji matematycznej dziecka. Dopiero kolejna reforma z 1999r. oparta na doniesieniach z badań i koncepcji „Dziecięcej matematyki” E. Gruszczyk – Kolczyńska współpracującej z E. Zielińską diametralnie zmieniły treści i metodykę edukacji matematycznej dziecka w wieku przedszkolnym w Polsce. W podstawie programowej z 1999r. zapisano, iż nauczyciel ma realizować treści programowe w ramach określonych obszarów edukacyjnych. Treści z zakresu matematyki znajdowały się m.in. w obszarach: tworzenie okazji doskonalących pamięć, zdolności kojarzenia, umiejętności skupienia uwagi na rzeczach osobach; dostrzeganie i opisywanie różnic, podobieństw i relacji między przedmiotami i zjawiskami; stwarzanie okazji do porządkowania, klasyfikowania i liczenia; poznawanie, stosowanie, tworzenie symboli i znaków. Podstawa programowa z 1999r., korzystającą z najnowszej teorii pedagogicznej i psychologicznej, jako główny cel wychowania przedszkolnego akcentowała wspomaganie i ukierunkowywanie rozwoju dziecka zgodnie z jego wrodzonym potencjałem i możliwościami rozwojowymi w relacjach ze środowiskiem społecznokulturowym i przyrodniczym. W edukacji przedszkolnej pojawiły się rozwiązania praktyczne oparte na teorii interaktywnego poznawania świata przez dziecko J. Piageta, teorii poznawania świata przez doświadczenia L. Wygotskiego i koncepcji współpracy z dzieckiem w obrębie wspólnego epizodu zaangażowania R. Schaffera. Przedszkole wobec dziecka i jego rodziny pełniło zdaniem J Lubowieckiej (2006) szereg funkcji: opiekuńczo - zdrowotną, stymulacyjną, profilaktyczną, korektywną (, kompensacyjną, dydaktyczną, socjalizacyjną, osobotwórczą, kulturotwórczą i integrującą różne społeczności. Po raz pierwszy, od 1999r., dziecko zaczynało edukację matematyczną od zdobycia orientacji w schemacie własnego ciała i przestrzeni. Przedszkolak nazywał poszczególne części własnego ciała, rysował postać ludzką, poznawał schemat ciała

43

drugiej osoby i jego położenia w przestrzeni oraz orientował się na kartce papieru i w przestrzeni z uwzględnieniem różnych przedmiotów. Nowością było także wprowadzenie rytmów i rytmicznej organizacji czasu. Dziecko miało: dostrzegać rytmy w wypowiedziach słownych, wyliczankach, wierszach, zauważać i kontynuować rytmy w ćwiczeniach, wdrażać się do przekładania dostrzeżonych regularności z jednej reprezentacji na inną, dostrzegać rytmiczną organizację czasu i przemienność w porach dnia, dniach tygodnia i porach roku. Koncepcja „Dziecięcej matematyki” uwzględniała: łączenie przez dzieci czynności i skutków, przewidywanie skutków działań, ustalanie zmian odwracalnych i nieodwracalnych, ustalanie przebiegu różnych czynności, wzbogacanie schematów i formułowanie propozycji ulepszeń lub naprawy szkód, układanie historyjek obrazkowych i słowne ich przedstawianie treści Zdaniem E. Jaszczyszyn (2008, s. 5) „warto zapewnić dziecku kontakt z różnymi rodzajami materiałów do czytania również podczas układania podpisów do historyjek obrazkowych” ponieważ stwarza to warunki do rozwoju i uczenia się w wielu obszarach. W programach dodano, do aspektu kardynalnego i porządkowego liczby, aspekt miarowy i mnogościowy. Ówczesna reforma wprowadziła kształtowanie umiejętności liczenia obiektów, umiejętności dodawania i odejmowania, układania i rozwiązywania zadań z treścią. Pojawiły się nowe pojęcia i zadania dla nauczyciela np. intuicja geometryczna, kształtowanie odporności emocjonalnej dzieci i zdolności do wysiłku intelektualnego. Treści edukacji matematycznej przestały być rygorystycznie dzielone na grupy wiekowe, poruszano problem dzieci niepełnosprawnych będących w grupach integracyjnych, w których dokonuje się odkrywanie „innego” zawsze poprzez poznanie siebie” D. Al. – Khamisy (2006, s. 198- 199). Podstawa programowa z 2008 r. nie poszerzyła treści edukacji matematycznej ale wyznaczyła zakres wiedzy i umiejętności, jakimi ma wykazać się dziecko kończące przedszkole. W dokumencie wyeksponowano poznanie i rozumienie przez dziecko własnych emocji, zachowań i działań oraz rozumienie zjawisk. W nowej podstawie programowej zaakcentowano szczególnie rozwój kompetencji społecznych, emocjonalnych i poznawczych dziecka, które mają pomóc podopiecznemu w funkcjonowaniu w określonych kontekstach społecznych, przyrodniczych i kulturowych. „Budowanie wiedzy” dziecka oparte zostało na koncepcji m.in. J. Brunera i D. Wooda. Rolą nauczyciela w nowej rzeczywistości oświatowej programowej jest działanie w racjonalności emancypacyjnej i mi.in.: aktywizowanie myślenia dziecka, motywowanie do działania poznawczego i uczenia się, uczenie krytycznego myślenia, inicjowanie aktywności twórczej (A. Jakubowicz - Bryx, 2008), diagnozowanie i monitorowanie osiągnięć i postępów dziecka, obserwowanie kariery dziecka. Nauczyciel nie wyznacza „pułapu rozwoju” ani dla siebie, ani dla dziecka. Samodoskonali się, poszukuje oraz świadomie wnika w głąb zjawisk społecznych i rozwojowych (J. Andrzejewska, 2009). W opinii A. Jakubowicz – Bryx (2004) na nauczycielu spoczywa odpowiedzialność wyboru różnorodnych strategii nauczania wspierających rozwój dziecka z uwzględnieniem możliwości i gotowość jednostki na nowe doświadczenia życiowe. Podsumowanie Analizując podstawy programowe realizowane w kolejnych latach można zaobserwować kierunki przemiany polskiej edukacji przedszkolnej do 2009 r. 1. Poszerza się zakres treści edukacyjnych pod względem ilościowym i jakościowym.

44

2. 3. 4. 5. 6.

7.

8.

Poznawanie świata matematyki przez dziecko z działania praktycznego tu i teraz zmienia się na działanie wykraczające poza ramy czasowo-przestrzenne i zmierzające, ku rozumieniu przyczynowości. Zmienia się rola nauczyciela przedszkola. Z osoby stawiającej dziecku zadania z zakresu matematyki według jednolitego programu stał się partnerem wspierającym rozwój dziecka. Zmienia się znaczenie diagnozowania dziecka w zakresie umiejętności matematycznych. Obecnie diagnoza jest ważna a na jej podstawie planuje się działania nauczyciela w strefie najbliższego rozwoju dziecka (SNR). Środowisko edukacyjne do nauki pojęć matematycznych dawniej kreowane wyłącznie przez nauczyciela obecnie jest tworzone przez nauczyciela i dzieci np. konstruowanie gier matematycznych. Zdaniem J. Nowak (2007, s.402) po latach doceniono polisensoryczne poznanie świata przez dziecko, które w „kakofonii obrazów, dźwięków, smaków, zapachów porusza się z naturalną, przyrodzoną swobodą. Na tej drodze nabywa i gromadzi ono doświadczenia, które będą warunkowały jego dalszy rozwój”. Zdaniem B. Grzeszkiewicz (2009, s. 376) w rozwijaniu szeregu umiejętności dzieci bardzo ważna jest postawa nauczyciela, który powinien „dawać emocjonalne wsparcie, uczyć sposobów radzenia sobie w sytuacjach trudnych, prowokować ciekawość i dociekliwość poznawczą i stwarzać warunki do działania w dziecka w wielu obszarach” Nowym elementem akcentowanym w pedagogice jest tutoring rówieśniczy (J. Nowak 2009, s. 118), którego celem jest „wymiana myśli, budowanie wiedzy społecznej, obejmującej ten obszar zagadnień, który nie ma swojego odzwierciedlenia w świecie materialnym” oraz szeroko rozumiana edukacja dialogowa.

Literatura: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8.

AL.- KHAMISY, D. Edukacja przedszkolna a integracja społeczna, Warszawa: Wydawnictwo Akademickie „Żak”, 2006 s. 198. ISBN 83-89501-58-9. ANDRZEJEWSKA, J. (ed.) Wspieranie rozwoju kompetencji komunikacyjnych dzieci. Lublin: Wydawnictwo UMCS 2009 s.18 ISBN 978-83227-2951-9. ANDRZEJEWSKA, J., WIERUCKA, J. Razem w przedszkolu. Program wychowania przedszkolnego. Warszawa: WSiP, 2009.ISBN 978-83-02-10820-4. FIEDLER, M. Matematyka już w przedszkolu, Warszawa WSiP, 1977. GRUSZCZYK – KOLCZYŃSKA, E., ZIELIŃSKA E., Dziecięca matematyka. Program dla przedszkoli , klas zerowych i placówek integracyjnych, Warszawa, WSiP1999 ISBN 978-83-02-07338-0. GRZESZKIEWICZ, B. Adaptacja dziecka do warunków szkolnych. In KUSIAK, K., NOWAKOWSKA – BURYŁA, I., STAWINOGA, R. (ed.) Edukacyjne konteksty rozwoju dziecka w wieku wczesnoszkolnym, Lublin: Wydawnictwo UMCS, 2009 s.376. ISBN 978-83-227-3053-9. JAKUBOWICZ-BRYX, A. Rola nauczyciela w rozwijaniu aktywności twórczej dzieci w młodszym wieku. In BEDNAROVA J. (ed.) Tvořivost učitele v primárním vzdělávání, Uniwersytet Liberec, 2008, s. 100-106. ISBN 978-80-7372-422-1. JAKUBOWICZ-BRYX, A., Kompetencje dydaktyczne nauczycieli wczesnej edukacji. In JAKUBOWICZ-BRYX, A. PLENKIEWICZ M. (ed.) Edukacja

45

wczesnoszkolna i przedszkolna w warunkach przemian początku XXI wieku. Bydgoszcz: Wyd. AB 2004, s.25-34. ISBN 83-7096-539-3. 9. JASZCZYSZYN, E. Wspieranie nauki czytania. Wychowanie w Przedszkolu 9, 2008 LUBOWIECKA, J. Funkcje i zadania współczesnego przedszkola. Wychowanie w Przedszkolu 1, 2006 10. NOWAK, J. Integracja sensoryczna – radość dziecka w naturalnym odkrywaniu świata. In PIWOWARSKI, R. (ed.) Dziecko sukcesy i porażki, Warszawa: Instytut Badań Edukacyjnych, 2007, s.409-417. ISBN 978-83-87925-81-9 11. NOWAK, J. Tutoring rówieśniczy jako wsparcie rozwoju poznawczego dziecka. In Surma, B. (ed.) Dziecko i dorosły w koncepcji pedagogicznej Marii Montessori – teoria i praktyka. Łódź –Kraków: Wydawnictwo Wyższej Szkoły FilozoficznoPedagogicznej IGNATIANUM, Wydawnictwo Palatum, 2009, s.117-124. ISBN 978-83-7614-064-3 ISBN 978-83-927276-3-7. 12. Podstawa programowa wychowania przedszkolnego dla przedszkoli , oddziałów przedszkolnych w szkołach podstawowych oraz innych form wychowania przedszkolnego, z dn. 23 grudnia 2008 r. Dziennik Ustaw z dn. 15 stycznia 2009 r. Nr 4. poz. 17 załącznik nr 1 Program wychowania w przedszkolu, Warszawa PZWSZ 1973. Program wychowania w przedszkolu, Warszawa, PZWSZ 1962. Kontaktní adresa dr Jolanta Andrzejewska Uniwersytet Marii – Curie Skłodowskiej w Lublinie Wydział Pedagogiki i Psychologii Zakład Pedagogiki Przedszkolnej ul. Narutowicza 12 20-004 Lublin E-mail: [email protected]

46

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

VYUŽITÍ HISTORICKÝCH TÉMAT VE VYUČOVÁNÍ MATEMATICE NA 1. STUPNI ZÁKLADNÍ ŠKOLY Jaroslav BERÁNEK Abstrakt Příspěvek prezentuje dvě možnosti využití historie matematiky k motivaci žáků na 1. stupni ZŠ, a to historické početní pomůcky a historický vývoj numeračních soustav a měrových jednotek THE USE OF HISTORICAL TOPICS AT TEACHING MATHEMATICS AT THE ELEMENTARY SCHOOL Abstract The contribution shows two possibilities how to use the history of Mathematics for motivation of elementary school pupils. They are historical calculating tools and the historical development of the numeration systems and units of measurement.

1. Úvod Mezi důležité úkoly učitele matematiky na školách všech stupňů je učinit výuku matematiky pro žáky zajímavou; učitelé musí přemýšlet o tom, jak je možno žáky motivovat ke snaze o aktivní zvládnutí probíraného učiva. Možností pro splnění tohoto úkolu je samozřejmě mnoho; poměrně málo jsou však využívána témata z historie matematiky. Tato oblast je přitom opomíjena neprávem. Děti v mladším i starším školním věku jsou velmi zvídavé a vhodně zvolené historické téma takřka vždy probudí jejich zájem dozvědět se něco navíc. To následně vede ke zvýšení jejich zájmu o příslušnou partii učiva. Témata z historie lze využít různým způsobem. V další části příspěvku uvedeme dva náměty, které mohou posloužit k výše uvedenému účelu (texty jsou převzaty zejména z [1], [2], [3], [7], [9], [10], [11]). 2. Historické početní pomůcky Ukázky a využití různých historických „technických pomůcek“ při počítání je vhodné zejména pro 1. stupeň základní školy. Mezi tyto historické pomůcky patří různé kamínky, paličky a uzlíky. Jejich úlohou bylo reprezentovat skutečný počet sčítaných objektů, které měly podstatně větší rozměry. Při větším počtu sčítaných objektů má tento způsob jednu nevýhodu – jejich velký počet komplikuje rychlé zjištění výsledku. Proto se postupem doby začaly sdružovat do skupin. Vytváření skupin vedlo nakonec k objevu počítadla. Uvedené vytváření skupin je možno využít i pro starší žáky při zavádění zápisů čísel v pozičních nedesítkových číselných soustavách. Nejstarší historicky známé počítadlo je tzv. abakus. Existovalo již ve 4. stol. př. n. l., ale pravděpodobně je ještě starší. Tato výpočetní pomůcka stojí na půli cesty mezi prsty

47

a mechanickými kalkulátory. Nejstarším důkazem existence abaku je tzv. Salamínská tabule objevená v roce 1846. Tato mramorová tabule je 1,5 metrů dlouhá a 0,75 metrů široká. Jsou do ní vytesané početní kolonky, číselné znaky a symboly mincí. Název Abakus je odvozen od řeckého slova abys, což označovalo destičku pokrytou pískem, do kterého se psaly výpočty. Abakus pochází pravděpodobně od Babylóňanů. Byl vytvořen na principu desítkové soustavy. Byla to deska, rozdělená na několik svislých sloupců. První sloupec (první zprava v Řecku, první zleva v Egyptě) představoval jednotky, sousední desítky, další stovky, tisíce atd. Egypťané, Řekové a Římané na abaku manipulovali s kamínky, Číňané s dřevěnými paličkami a Indiáni s mušlemi. Římané zdokonalili abakus tím, že v každém sloupci zavedli označení pro číslo 5 a tím umožnili počítat s menším množstvím kamínků. Kámen na označeném místě měl hodnotu pěti kamínků. Abakus byl neustále zdokonalován, existovala celá řada jeho verzí. V některých se používaly „žetony“ s vyobrazením příslušné číslice, v jiných byl zase povrch desky posypán jemným pískem, do kterého se psaly číslice. Ve všech těchto verzích šlo jen o modifikace principu, který v dnešní době známe z dětských počítadel. Východní neboli čínský abakus se používá i v dnešní době v Číně – suan pan, v Indonésii a v Japonsku – soroban. Je to rámeček rozdělený na dvě části, na hůlkách jsou navlečeny korálky. Každý ze dvou korálků v horní části reprezentuje pět jednotek a každý z pěti korálků v dolní části má jednu jednotku. První sloupec vpravo představuje jednotky, druhý desítky atd. Ještě v 17.století se toto počítadlo v Evropě používalo. Každý obchodník nosil s sebou destičku, nebo plátno, kde bylo vyznačeno několik svislých a vodorovných linek. Pokud obchodník potřeboval, posunoval po linkách mince nebo zrna. Abakus dovedl sčítat a odčítat: na následujících dvou obrázcích (viz [11]) je abakus v poloze pro číslo 215 a abakus znázorňující součet čísel 215 a 123. Středověký počtář počítal: pět a tři jednotky je osm, jedna desítka a dvě desítky jsou tři desítky, dvě stovky a jedna stovka jsou tři stovky, tedy výsledek je 338.

Mezi další dnes již zapomenuté pomůcky patří vrubovky a rabuše. Pomocí zářezů (vrubů) byla na vrubovkách zaznamenávána porovnávaná množství, což umožnilo rozhodnout o nedostatku či přebytku jednoho z nich ve srovnání s druhým. V češtině se dodnes užívá slov „vrub, vroubek“ ve smyslu dluh. Nejstarší vrubovky jsou známy z vykopávek z doby kamenné. Jedná se o kosti zvířat se systematicky vyrytými zářezy, pomocí kterých si lovci zaznamenávali počet ulovených zvířat. Nejstarší nález pochází z Věstonic na Moravě a byl objeven v roce 1936 (tzv. věstonická vrubovka). Vrubovky se uplatnily také jako doklad o daních. Například v Anglii se používaly od 12. století do roku 1826. Rabuše byly po délce naštípnutá dřívka, na které se nejprve vyřezal anebo vysekal záznam a potom se dřívko rozštíplo úplně. Tím vznikly dva shodné záznamy pro věřitele a pro dlužníka. Další velmi zajímavou početní pomůcku vynalezl skotský matematik John Napier (tzv. Napierovy kostky). Motivací pro jeho kostky bylo zřejmě starověké indické

48

násobení zvané Gelosia. Každé číslo od 1 do 9 má podle Napiera svou vlastní kostku, hranol, na kterém je vyznačen jeho dvojnásobek, trojnásobek až devítinásobek. Tyto kostky sloužily pro aritmetickou operaci – násobení, které bylo díky této početní pomůcce poměrně jednoduché. Schéma je na obrázku (viz [11]):

Chceme-li zjistit, kolik je například 2*24 nebo 7*24, dáme vedle sebe kostky označené číslicí dvě a čtyři. Výsledky pak určíme ze druhého a sedmého řádku. Na následujícím obrázku (viz [10]) je ukázáno řešení příkladu 7385 . 568. Vedle sebe položíme kostky pro čísla 7, 3, 8 a 5. Vyhledáme čísla páté, šesté a osmé řady. Tato čísla sečteme od pravé strany a získáme výsledný součin. Z každého součtu zapíšeme do výsledku jen jednotky, vyšší řády přičteme jako přenos k dalšímu součtu.

Napierův vynález se stal základem pro pozdější konstrukci prvních automatických početních strojů. Stačilo hranoly nahradit válečky, vložit je do skříňky a spojit s mechanismem, kterým by bylo možno otáčet. První mechanický kalkulátor sestavil Wilhelm Schickard v roce 1623. Toto mechanické zařízení sčítalo, odčítalo, násobilo a dělilo. Tento německý matematik pravděpodobně sestrojil dohromady tři stroje, ale bohužel se nezachoval ani jeden z nich. Pouze konstrukční podrobnosti jsou zaznamenané na kresbě modelu objeveném v listě Keplerovi z roku 1624. Podle tohoto návrhu byl zkonstruován počítací stroj pro Tübingenské muzeum v roce 1960 a jeden exemplář je i v muzeu v Mnichově.

49

3. Historický vývoj numeračních soustav a měrových jednotek Příklady historického vývoje numeračních soustav a jejich ukázky, stejně jako historický vývoj měrových jednotek, je téma pro výuku velmi „vděčné“. Nejprve se budeme zabývat vývojem numeračních soustav. Žáci se o historické znaky nahrazující čísla většinou živě zajímají. Už pravěký člověk používal primitivní aritmetiku. Jestliže zjišťoval počet ovcí, které ráno vyháněl na pastvu, položil za každou ovci na hromádku kamínek. Večer pomocí těchto stejných kamínků kontroloval, zda se všechny ovce vrátily. Aniž uměl kamínky počítat, tvořil ve skutečnosti vzájemně jednoznačná zobrazení mezi dvěma množinami. Jiný způsob, jak člověk zjišťoval počet věcí, bylo dělání zářezů nebo vrubů do hole nebo do kosti. Nejstarší doklad o tomto způsobu číselných záznamů je z doby před 30 000 lety (věstonická vrubovka). Číselné zprávy se uchovávaly i jinými způsoby: Uzly na provaze, oblázky nebo lasturami, většinou seřazenými do skupin po pěti. Při tomto způsobu numerace se užíval jeden číselný znak – čárka, zářez, uzel apod., který značil číslo 1. Opakováním čárky, zářezu nebo vrubu apod. se dalo zapsat číslo větší než 1. Při větším čísle se čárky sdružovaly do skupin po pěti, čímž se dosáhlo toho, že zápis byl přehlednější. Počítání na prstech se vyvinulo až na jistém stupni společenského vývoje. Počet deseti prstů dal vlastně základ dnešnímu způsobu zapisování čísel v desítkové soustavě. Jeden z nejstarších způsobů zapisování čísel je numerace Egypťanů. Staří Egypťané zapisovali čísla pomocí čárek a tvořili skupiny po deseti. Opakovaným seskupováním po deseti dostávali stále větší skupiny, pro které zaváděli další číselné znaky. Egyptský systém zapisování čísel se opíral o číslo deset, které tvořilo základ. V egyptské numeraci nezáleželo na tom, v jakém pořadí byly znaky uspořádány. Egypťané nepotřebovali znak pro nulu. Další zajímavou numerační soustavou je numerace ve starověkém Babylonu, kde se kombinují základy 10 a 60, dále je to numerace řecká, římská, numerace starých Mayů, atd. Numerace Mayů je založena na základu dvacet, kombinovaném se základem pět. Základ dvacet vznikl patrně proto, že použili všechny prsty na rukou i nohou. Pro současnost má největší význam numerace římská, neboť s římskými číslicemi se setkáváme i dnes. Nyní následuje několik poznámek k historickému vývoji čísel desetinných. Čísla, která nejsou přirozená, se vyskytovala už v egyptské i římské numeraci (jednalo se o zápisy zlomků s čitatelem jedna). Další rozvoj průmyslu a obchodu, mořeplavby, vědy a techniky si vynutil potřebu stále obtížnějších aritmetických výpočtů, proto se úsilí matematiků té doby zaměřilo na rozšiřování číselných oborů Ve 14.–15. stol. al-Káší poprvé vyložil učení o desetinných číslech ve své knize Klíč k umění výpočtů (1427), v roce 1585 Simon Stevin vydal dílo „O desetinných výpočtech“. Značný motivační vliv mají některá témata z historického vývoje měrových jednotek. Zpočátku, když lidé potřebovali měřit, volili za jednotku délky některou část svého těla; měřilo se např. na lokte, sáhy, stopy apod. Takovéto měření však bylo nejednotné. Lidé si uvědomovali nutnost stanovit jednotku délky obecně. Český král Přemysl Otakar II. (1628) se snažil sjednotit jednotky délky v celém svém království (čtyři zrna ječmene položená vedle sebe byly jeden prst, čtyři prsty představovaly jednu dlaň, deset prstů znamenalo jednu píď, tři pídě představovaly jeden loket pražský aneb český). V Čechách a na Moravě byla metrická soustava zavedena v roce 1871. Pro žáky je dále zajímavé, že na příklad v Anglii ještě donedávna používali staré jednotky délky jako palec, stopa, yard. Yard byla vzdálenost od královy špičky nosu ke konci jeho natažené ruky. Další historické jednotky jsou pro měření obsahu a objemu. I o těchto jednotkách je vhodné se zmínit; už proto, že jsou běžně užívány v pohádkách pro děti (sáh, korec, věrtel,...). Nyní se zmíníme o vývoji geometrie obecně. Požadavky zemědělství, stavebnictví a vojenství daly vznik počátkům geometrie již ve starověku.

50

Na babylónské hliněné destičce z 21. stol. př. n. l. byl nalezen plán nepravidelného pozemku, jehož obsah určil zeměměřič tak, že ho rozdělil na obdélníky, trojúhelníky a další čtyřúhelníky, jejichž obsahy sečetl. O úrovni měření obsahu v Římě svědčí propracovaný systém jednotek. Tyto jednotky byly např. ingerum (9,25 ha), heredium (0,5 ha), centurie (50 ha). V našich zemích se potřeba měření obsahu rozvíjela ve středověku, v souvislosti se zakládáním vesnic, budováním hradů a vyměřováním zemědělské půdy. Užívalo se těchto jednotek: korec (0,288 ha), lán (18,4 ha). 4. Závěr V příspěvku jsme poukázali na dvě možnosti, jak využít historii matematiky ve výuce jako motivační faktor. Nejsou to samozřejmě možnosti jediné; v historických pramenech existují např. úlohy, které lze řešit i se žáky na 1. stupni ZŠ. Cílem příspěvku nebylo podat ucelený přehled všech možností využití historických témat ve výuce. Záměrem bylo připomenout, že tyto možnosti existují. V této souvislosti je rovněž nutné připomenout vhodnost zařazení témat z historie matematiky do přípravy budoucích učitelů na 1. stupni ZŠ, zejména v souvislosti s tvorbou nových studijních programů, např. v rámci jejich akreditace. Literatura 1. BALADA, F. Z dějin elementární matematiky. Vyd. 1. Praha : Státní pedagogické nakladatelství, 1959. 238 s. 2. DEPMAN, I., FOLTA, J.: Vyprávění o matematice. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1974. 3. JELÍNEK, M.: Numerační soustavy 3. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1974. 83 s 4. KONFOROVIČ, A. G. Významné matematické úlohy. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1989. 208 s. ISBN 80-04-21848-2. 5. LUHAN, M.: Kapitoly z dějin matematiky 1. Vyd. 1. České Budějovice: Pedagogická fakulta JČU 1984. 6. MELICHAR, J., A KOL.: Metodická příručka k vyučování matematiky pro 4. ročník ZŠ. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1987. 190 s 7. STRUIK, D. J. Dějiny matematiky 1. vyd. Praha : Orbis, 1963. 250 s. 8. ŠEDIVÝ, J., FOLTA, J.: Světonázorové problémy matematiky 1. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1983. 9. ZNÁM, Š. Pohĺad do dejín matematiky. 1. vyd. Bratislava, Praha: Alfa, Státní nakladatelství technické literatury, 1986. 239 s. 10. Dostupné z http://www.fi.muni.cz/usr/jkucera/pv109/vystavka/xsafarik_napier.htm (citováno dne 28. 1. 2010) 11. Dostupné z http://www.fi.muni.cz/usr/jkucera/pv109/xdavidov.html (citováno dne 28. 1. 2010) Kontaktní adresa Doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. Masarykova Univerzita, Pedagogická fakultan Poříčí 7, 603 00 Brno, Česká Republika Telefon: +420 549 491 673 E-mail: [email protected]

51

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

KSZTAŁTOWANIE POJĘĆ MATEMATYCZNYCH NA ETAPIE EDUKACJI ELEMENTARNEJ Barbara BILEWICZ-KUŹNIA, Teresa PARCZEWSKA Abstrakt Dzieci w wieku przedszkolnym badają rzeczywistość przede wszystkim poprzez działanie. Dominujące w początkowym okresie czynności praktyczne, stopniowo przekształcają się w czynności werbalne, będące opisem uprzednio wykonywanych czynności przedmiotowych, te z kolei przechodząc przez stadium mowy cichej stają się czynnościami umysłowymi. W miarę rozwoju dziecka zwiększa się rola procesów myślowych, które są zawsze procesem poznawania pośredniego i towarzyszą działaniu nadając mu cechy coraz większej ogólności. Kształtowanie pojęć matematycznych jest procesem długotrwałym, który na etapie wychowania przedszkolnego i wczesnoszkolnego zostaje zaledwie zapoczątkowany, a realizowany na kolejnych poziomach edukacji. THE FORMATION OF MATHEMATICAL CONCEPTS AT THE ELEMENTARY-EDUCATION STAGE Abstract Children who are of pre-school age examine reality mostly through action. The dominant practical activities in the initial period gradually transform into verbal activities, which are the description of previously-performed activities connected with a particular subject; these, in turn, after the silent-speech phase, become intellectual activities. The formation of concepts is the organisation of a child’s activity in such a way that the child can create new concepts on its own, with the assistance of a teacher and with the use of well-selected didactic aids. The article focuses attention on the regularity of the process of the formation of mathematical concepts in the case of children of pre-school and early school age. Wyjaśnienie terminu pojęcie Pojęcia są przedmiotem badań wielu dyscyplin naukowych, takich jak: filozofia, psychologia, pedagogika, logika. Zdefiniowanie terminu pojęcie jest skomplikowane. Wybór jednej definicji oznacza wybór pewnego podejścia teoretycznego, a jednocześnie określa kategorię sposobu definiowania terminów pokrewnych, takich jak klasa czy kategoria (T. Maruszewski 2001, s. 295-296). Na ogół przez pojęcie rozumie się reprezentację umysłową, która zawiera opis istotnych właściwości pewnej klasy (tamże). W pedagogice pojęcie jest określane jako treść myślowa odpowiadająca właściwościom elementów zbioru wchodzących w zakres danej nazwy. Na treść pojęcia

52

składa się zbiór właściwości charakterystycznych dla danej nazwy, natomiast na zakres – zbiór wszystkich desygnatów danej nazwy (W. Okoń 1981, s. 232). Pojęcia pełnią cztery podstawowe funkcje: 1. Zapewnienie ekonomii funkcjonowaniu poznawczemu poprzez redukcję różnorodności informacji przetwarzanych przez umysł – jednostka może ograniczyć wysiłek poświęcony na analizę jednostkowych właściwości jakiegoś przedmiotu; 2. Rozumienie i wyjaśnianie – istotną rolę odgrywają przy wyjaśnianiu pojęcia teoretyczne, które odnoszą się do nieobserwowalnych właściwości obiektów. Pojęcia te umożliwiają nie tylko wyjaśnić wystąpienie jakiegoś konkretnego zdarzenia ale także wielu innych zdarzeń, a także to, jak to się stało, że zdarzenie to wystąpiło; 3. Możliwość wykonywania różnych operacji na reprezentacjach przedmiotów, a nie na samych przedmiotach – pojęcia są wykorzystywane jako materiał myślenia. Pozwala to na wykonywanie operacji myślowych na materiale symbolicznym, pozwala na dokonywanie swobodnych przekształceń reprezentacji umysłowych; 4. Komunikowanie się (T. Maruszewski 2001, s. 295-296). Pojęcia matematyczne w sposób istotny różnią się od pojęć innych dyscyplin naukowych. Nie są one statycznym odzwierciedleniem cech wyróżnionej klasy przedmiotów lub zjawisk, lecz stanowią schematy aktywności, schematy przekształcania przedmiotów i stosunków między nimi. Treść pojęć matematycznych nie zawiera cech obiektów, lecz określone relacje między nimi, określone sposoby manipulowania przedmiotami lub ich umownymi zastępnikami. W procesie odkrywania treści pojęcia, ważną rolę przypisuje się procesom schematyzacji, abstrahowania, uogólniania, matematyzowania i specyfikacji. Sposoby i zasady kształtowania pojęć matematycznych Pojęcia matematyczne – nawet te najprostsze - mają charakter operatywny, dlatego też ich kształtowanie oznacza organizowanie różnorodnych czynności dzieci w taki sposób, aby następowała stopniowa interioryzacja, czyli przekształcanie ich w czynności umysłowe. Jak stwierdza E. Gruszczyk-Kolczyńska (1988, s. 324) „rozumowanie prowadzące do pojmowania sensu elementarnych pojęć matematycznych musi być utrzymane w konwencji operacyjnej, co najmniej na poziomie konkretnym”. Operatywny charakter pojęć matematycznych określa drogę ich kształtowania, którą współczesna dydaktyka nazywa nauczaniem czynnościowym. Założeniem takiego nauczania jest: • ustalenie, jakie czynności fizyczne mogą stanowić poprawną merytorycznie i dydaktycznie podstawę dla kształtowania określonych pojęć, • organizowanie różnorodnych czynności dzieci i takie kierowanie nimi, aby następowała stopniowa interioryzacja, czyli przekształcanie ich w czynności umysłowe. Na etapie wychowania przedszkolnego nauczyciel powinien zachęcać dzieci do wykonywania czynności manipulacyjno-ruchowych, polegających na wykorzystywaniu rzeczywistych przedmiotów, takich jak: zabawki, kredki, klamerki do bielizny, spinacze biurowe, klocki, guziki, kasztany, żołędzie, szyszki. Dziecko przesuwając je, łączy i dzieli, odtwarza sytuacje znane mu z doświadczenia lub wykonuje zadania proponowane przez nauczyciela. W dalszej kolejności powinny wystąpić czynności manipulacyjno-ruchowe wykonywane z wykorzystaniem zastępników przedmiotów

53

(klocki, kartoniki, patyczki). Tego typu działania pozwalają pomijać nieistotne cechy przedmiotów, koncentrując uwagę na sposobach manipulowania nimi, adekwatnie do wprowadzanych pojęć. Następny etap to czynności umowne wykonywane z wykorzystaniem środków graficznych, takich jak: schematy, tabele, grafy. Po tych czynnościach powinny wystąpić czynności werbalne i umysłowe wykonywane z wykorzystaniem symboli matematycznych. Do głównych zasad pracy z dzieckiem w procesie kształtowania pojęć należy zaliczyć następujące: • nie przeszkadzać rozwojowi dziecka – brać pod uwagę aktualny poziom jego rozwoju, • prowokować dziecko do podejmowania aktywności – stwarzać sytuacje zachęcające do działań zróżnicowanych treściowo i o różnym stopniu złożoności, • uważnie obserwować dziecko – dostrzegać trudności w różnych sytuacjach zadaniowych i zabawowych, • dawać dziecku tyle czasu na wykonanie zadania, ile potrzebuje. Rozwiązania metodyczne Dla zilustrowania praktycznych sposobów wprowadzania i rozwijania pojęć matematycznych przedstawiamy przykładowy konspekt zajęć, mający na celu opracowanie liczebnika 5 w aspekcie kardynalnym. Temat: Kocia rodzina-- ćwiczenia w przeliczaniu w zakresie 5 Cele kształcenia: - doskonalenie umiejętności przeliczania elementów zbioru, - wprowadzenie liczebnika 5 i cyfry go oznaczającej, - badanie równoliczności zbiorów poprzez przyporządkowywanie, - przygotowanie do zrozumienia, że w ciągu liczb naturalnych każda liczba jest o 1 większa od poprzedniej i o 1 mniejsza od następnej. Metody: - podająca (opowiadania, objaśnienia i instrukcje), - poszukująca (zadania), - praktyczna (zadania, ćwiczenia). Formy: praca indywidualna i zbiorowa Środki dydaktyczne: maskotki kotów (4 szare i 1 czarna), 5 styropianowych, wzory cyfr od 1 do 5, drewniane klocki, guziki, kartoniki z cyframi, kolorowy papier, klej. Przebieg zajęć: Czynności nauczyciela i dzieci N.: Zapraszam was wszystkich do zabawy. Zaśpiewamy piosenkę o kotku, a wy będziecie robić, to, co kot z piosenki. Dzieci chodzą po sali, naśladują ruchy kotów. N.: Teraz usiądźcie i posłuchajcie bajki o kociej rodzinie. Były sobie raz kotki: Mamakocica, Tata-kot i ich Dzieci-kociątka: Puszek i Mruczuś. Wszyscy mieli szare futerka (Nauczyciel prezentuje maskotki kotów). N. Policzcie, ile kotów było w tej rodzinie? Teraz policzymy wszyscy głośno: jeden, dwa, trzy, cztery (liczeniu towarzyszy gest

54

Uzasadnienie poczynań nauczyciela i dzieci - zabawa orientacyjno-porządkowa

- zainteresowanie dzieci i skupienie ich uwagi na pomocach

- przeliczanie w zakresie 4

wskazywania, dotykanie liczonych elementów). Jak wygląda cyfra 4? Kto ją odnajdzie na tablicy? (kartoniki z cyframi przypięte są do brzegu tablicy). Nazwijcie cyfry, które wskażę. Dzieci odczytują cyfry: 1,2,3,4. N.: Sięgnijcie teraz do koszyków z klockami, każdy z was weźmie 4 klocki, które w naszej zabawie będą oznaczały 4 koty. Ustawcie klocki przed sobą. Policzcie, ile ich jest. Pokażcie na palcach. Policzcie klocki kolegi, porównajcie na swoich palcach. Pewnego dnia w rodzinie szarych kotków urodziła się mała Kizia, która o dziwo była zupełnie czarna. N. dokłada do rodziny szarych kotów maskotkę czarnego kota. Ile jest teraz kotów? Co zrobić, żebyście mieli też 5. Ile klocków trzeba dołożyć? Przeliczcie je jeszcze raz. Codziennie rano kocia mama ustawiała w kuchni 5 miseczek mleka, po jednej miseczce dla każdego kotka. Chętne dziecko przyporządkowuje każdemu kotu miskę (jedna miska dla jednego kota). W naszej zabawie miskami będą kolorowe guziki. Proszę, by każdy wziął tyle guzików, ile jest klocków i ułożył je pod nimi. Czego jest więcej, kotów czy misek? Jak wygląda cyfra 5. N. przypina odpowiednią cyfrę na tablicy. Co noc Tatuś-kotek wychodził na polowanie i wracał do domu wcześnie rano. Ale pewnego dnia polował dłużej niż zwykle i nie było go jeszcze, gdy mama podała śniadanie. N. zabiera jedną maskotkę kota, a dzieci odsuwają jeden klocek. Mama ustawiła, jak zwykle 5 miseczek z mlekiem. Czego jest więcej – kotów czy misek. O ile więcej? Mama zabrała miskę Taty-kota (nauczycielka odsuwa na bok miskę). Dzieci odsuwają jeden guzik). Policzcie, ile kotów zostało w kuchni? Ile misek zostało? Ile jest kotów, a ile misek (dzieci stwierdzają, że jest tyle samo). Po śniadaniu zebrała się całą rodzina kotów. Policzcie je. Będziemy klaskać tyle razy, ile jest kotów (dzieci klaszczą i głośno liczą). Która z cyfr na tablicy oznacza 5. Podskoczcie pięć razy. Pięć razy uderzcie dłońmi o podłogę.

55

-utrwalanie znajomości cyfr od 1 do 4.

- indywidualne przeliczanie w zakresie 4 - ćwiczenia w liczeniu, - odwzorowywanie ilości klocków przy użyciu klocków i placów - odwzorowywanie liczebności kotów przy użyciu klocków - zwiększanie ilości elementów w zbiorze o 1, - wprowadzenie liczby 5 jako 4 +1

- ćwiczenia w przeliczaniu w zakresie 5 -porównywanie liczebności elementów w zbiorach równolicznych przez przyporządkowywanie - zapoznanie z wizerunkiem graficznym cyfry 5

- pokaz cyfry 5 - porównywanie liczebności zbiorów nierównolicznych, - posługiwanie się określeniami o 1 więcej , o 1 mniej - uświadomienie dzieciom, że liczba 5 jest o 1 większa od 4.

- badanie równoliczności zbiorów

- odtwarzanie gestem i liczebności zbiorów - przeliczanie w zakresie 5 - przybliżenie wzoru cyfry 5

ruchem

N. rozdaje dzieciom kartony z sylwetami kotów. Policzcie, ile jest kotów na waszym kartonie i przyklejcie w górnym rogu kartki odpowiednią cyfrę. Wyklejcie sylwety kotów kawałkami kolorowego papieru. Zbudujcie z klocków domek dla kociej rodziny.

- rozpoznawanie cyfry 5 wśród innych już poznanych - doskonalenie sprawności manualnych

zachęcenie do aktywności w zabawie

kontynuowania

Wnioski: 1. Efektywne uczenie się matematyki wymaga aktywnych, zróżnicowanych, powtarzanych wielokrotnie działań dziecka. 2. Przejście od działań fizycznych, manipulacyjnych do poprawnego rozumienia i zinterioryzowania pojęcia matematycznego jest procesem długotrwałym i złożonym, wymagającym zaangażowania nauczyciela i rodziców. 3. Do opanowania pojęć matematycznych dzieci potrzebują wielu doświadczeń (w kolejności) z realnymi przedmiotami, ich zastępnikami i symbolami, w aktywności zabawowej, dzięki czemu będą mogły lepiej zrozumieć zjawisko odwracalności, samodzielnie formułować uogólnienia oraz dostrzegać i rozwiązywać problemy matematyczne. Literatura 1. GRUSZCZYK-KOLCZYŃSKA E.: Jak kształtuje się u dzieci psychiczna dojrzałość do uczenia się matematyki. Wychowanie w Przedszkolu 1988, nr 6. 2. MARUSZEWSKI T.: Psychologia poznania. Gdańsk 2001, Gdańskie Wydawnictwo Psychologiczne. 3. OKOŃ W.: Słownik pedagogiczny. Warszawa 1981. 4. WASIUKIEWICZ J.: Kształtowanie pojęć względnych. Życie Szkoły 1985, nr 6. Kontaktní adresa Dr. Barbara Bilewicz-Kuźnia, Dr. Teresa Parczewska Instytut Pedagogiki UMCS w Lublinie

56

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

CHARAKTERISTIKA NADANÉHO ŽÁKA S PORUCHOU UČENÍ Z HLEDISKA MATEMATICKÝCH ÚLOH Růžena BLAŽKOVÁ, Milena VAŇUROVÁ Abstrakt V poslední době výzkum mimořádně nadaných dětí směřuje k postižení dílčích schopností dítěte. Do popředí zájmu se dostávají nadané děti se specifickými poruchami učení. V prezentované sondě jsme se pokusili zachytit výkonové rozpory u matematicky nadaného žáka s poruchou v oblasti čtení i částečnou poruchou v oblasti psaní. Sledovali jsme a zaznamenali jsme průběh řešení matematických úloh různého zaměření s různými možnostmi postupů, které vedou ke správnému výsledku. Cílem bylo upozornit na dílčí výkonové zvláštnosti, které by mohly vést méně empatického pedagoga ke znevýhodnění žáka. CHARACTERIZATION OF GIFTED PUPIL WITH SPECIFIC LEARNING DISABILITIY FROM MATHEMATICAL TASKS POINT OF VIEW Abstract In the past few years research of exceptionally gifted children has been aimed at understanding partial abilities of the child. Gifted children with specific learning disabilities are focused upon. In the probe which is presented, we tried to record the performance differences in a mathematically gifted pupil with a failure in reading and partial failure in writing. We have observed and recorded process of mathematical problems solving on various topics with various strategies that can lead to correct results. The aim was to draw attention to the partial specific performance, which could result in disadvantaging of the pupil by less empathic teachers.

1. Úvod V posledních letech došlo k významným změnám ve vymezení pojmu mimořádného nadání směrem k jeho vnitřní diferenciaci. Nadání se dnes chápe jako mnohostranný fenomén, jako multidimenzionální konstrukt. Současně s touto proměnou je při vyhledávání nadaných žáků a studentů kladen větší důraz na postižení dílčích schopností, ale i mimointelektových proměnných a faktorů prostředí, jež mohou nadání významně utvářet. Nadání tedy z dnešního úhlu pohledu není vymezováno pouze jako všeobecná schopnost, obvykle označovaná jako vysoké IQ, jak tomu bylo dříve. Dnes většinou neplatí, že rozumově nadané je pouze to dítě, které dosáhlo výkonu IQ 130 a více v inteligenčním testu. Stále častěji se setkáváme s požadavkem odborníků hledat a identifikovat různorodost, tj. vyhledávat různé talenty, používat různé diagnostické nástroje, identifikovat i potenciál k mimořádnému výkonu a hodnotit motivaci a tvořivost.

57

V daném kontextu vyvstává i požadavek cíleně vyhledávat tzv. minoritní populace nadaných žáků, tj. ty, jež doposud unikaly pozornosti odborníků a nebyly účinně identifikovány ani vzdělávány. Ve školním a pedagogicko-psychologickém kontextu je nejvíce zastoupena skupina nadaných dětí se specifickými vývojovými poruchami učení. Vymezit tuto specifickou skupinu nadaných je však velmi nesnadné. Ukazuje se, že žádnou populaci není tak obtížné definovat jako právě nadané jedince s poruchami učení. Většina pokusů definovat a popsat paralelní existenci nadání s poruchou učení tak stále vychází převážně z oddělených jednostranných přístupů k dětem, tedy z hlediska poruch učení nebo z hlediska nadání. Pro většinu nadaných žáků a studentů s poruchou učení však toto oddělené vymezování obvykle znamená, že jsou identifikováni buď pouze jako „nadaní“, nebo jako „s poruchou učení“ a následně vzděláváni a vedeni v souladu pouze s touto jedinou identifikací. Ve školské praxi tedy velmi záleží na tom, jaké profesní kompetence má učitel, který takového žáka vzdělává. To znamená, zda je schopen identifikovat nadání žáka i přes jeho eventuelní poruchu učení a jeho nadání pak dále rozvíjet. Např. dobrý učitel matematik je schopen rozvíjet matematické nadání žáka a eliminovat nedostatky žáka způsobené poruchou učení. Pokud však učitel ulpívá na formálním způsobu vyučování (např. klade důraz na formální postupy a zápisy), může talent úplně potlačit a výuku žákovi značně znepříjemnit. I když problematika nadaných dětí s poruchami učení je studována v literatuře přibližně posledních třicet roků a pozornost je jí věnována i u nás (Portešová, 2009), je nutné konstatovat, že v této oblasti je jen málo empirických výzkumů, které by se opíraly o jasné validní metody a kritéria a které by přesněji mapovaly případné chyby pedagogické identifikace. 2. Výzkumná sonda V prezentované empirické sondě jsme se pokusili zachytit a zaznamenat výkonové rozpory mezi schopnostmi a handicapy v rámci matematiky u matematicky nadaného žáka s poruchou v oblasti čtení – s dyslexií, i částečnou poruchou v oblasti psaní. Sledovali a zaznamenali jsme průběh řešení matematických úloh různého zaměření, s různými možnostmi postupů vedoucích ke správnému výsledku. Cílem bylo také upozornit na dílčí výkonové zvláštnosti, které by mohly vést méně empatického pedagoga k identifikační chybě a znevýhodnění žáka. Ve spolupráci s Institutem výzkumu dětí, mládeže a rodiny, Fakulty sociálních studií MU jsme sledovali žáka 5. ročníku základní školy, u kterého se projevovalo mimořádné nadání v matematice, ale i v jiných oblastech (např. hudba, technické nadání, výtvarné nadání). Při několika setkáních byly chlapci zadávány pracovní listy s úlohami zaměřenými na tyto oblasti: kombinatorika, slovní a logické úlohy, operace s přirozenými čísly, závislosti, geometrie. Na každé schůzce chlapec obdržel pracovní listy se zadáním úloh. Každý pracovní list obsahoval tři úlohy kombinatorické, úlohu na sledování závislosti, dvě až tři úlohy slovní, dvě až tři úlohy geometrické. Sledovali jsme postup řešení, chlapcův slovní komentář a čas, po který jednotlivé úlohy řešil. Celý průběh byl zaznamenán videokamerou, aby bylo možné postupy, způsob řešení a výsledky lépe následně interpretovat.

58

3. Výsledky pozorování Jednotlivé úlohy jsme hodnotili z hlediska chlapcova přístupu k řešení, originality postupu, schopnosti najít všechna řešení úlohy a schopnosti interpretovat výsledky práce jak slovně tak písemně. Obecně lze říci, že chlapec řešil úlohy s kombinatorickým obsahem spolehlivě. Obvykle vycházel ze systematického zápisu čísel, nebo využíval grafického znázornění a ihned zapsal správný výsledek. Jeho slovní komentář byl minimální. Číselné řady – doplňování číselných řad podle nalezeného pravidla zvládl bezpečně. Zřejmě je zvyklý řešit podobné úlohy z jiných testů (Scio, Mensa aj.), kterými prošel v minulosti. Také u sledování zákonitostí při operacích s přirozenými čísly (sčítání dvou, tří atd. po sobě jdoucích čísel) projevoval systematičnost v experimentu, rychlý vhled, schopnost zobecnit pravidlo a ověřit ho. Úlohy zaměřené na geometrickou představivost řešil s naprostým přehledem. Úroveň jeho geometrické představivosti je výborná. Slovní úlohy typů, se kterými se žáci setkávají ve výuce (i když je jednalo o náročnější úlohy), řešil rychle zpaměti. Psal velmi úsporně, spíše to byly poznámky k probíhající myšlenkové činnosti. Teprve u úloh netradičních, náročnějších na myšlenkovou činnost bylo patrné, že ho zaujaly a za každou cenu je chtěl vyřešit. Vždy sáhl ke grafickému znázornění. Na ukázku uvedeme některé z úloh a podrobně popíšeme chlapcův postup řešení: 1. Květinářka měla 30 karafiátů. Uvázala z nich kytice po sedmi květech a po třech květech. Kolik kytic celkem uvázala? Chlapec nakreslil 7 karafiátů a 3 karafiáty do řady a okamžitě sdělil výsledek – „3 po sedmi a 3 po třech, celkem 6 kytic“. Tato úloha ho ihned podnítila k formulaci další úlohy: „Jak by to dopadlo, kdyby se kytice vázaly po sedmi a po čtyřech karafiátech“. Vzápětí vyslovil řešení: "2 kytice po sedmi a 4 kytice po čtyřech". A doplnil výpočet: 2.7 = 14, 30 – 14 = 16, 16 : 4 = 4. . 2. Rozdělujeme koláče na talíře. Jestliže dáváme na talíř 6 koláčů, dva koláče zbudou. Kdybychom dávali na talíř 8 koláčů, zůstane jeden talíř prázdný. Kolik je koláčů a kolik talířů? Chlapec řešil úlohu pouze graficky. Nakreslil postupně dvě řady talířů. Do talířů v horní řadě zapisoval číslo 6 a k němu vždy přičetl 2. Do talířů v dolní řadě zapisovat číslo 8. Takto hledal číslo, jehož osminásobek je číslo o 2 větší než šestinásobek jiného čísla. Sledoval a znázornil i skutečnost, že v případě osmi koláčů na talířích, zůstane jeden talíř prázdný. Experimentálně tak přišel na řešení 5.6 + 2 = 4.8 = 32, tzn. Koláčů je 32 a talířů je 5. 3. Jirka a Petr váží dohromady 81 kg, Jirka a Tomáš 79 kg a Petr a Tomáš 74 kg. Kolik kilogramů váží každý z chlapců? Tuto úlohu řešil specifickým postupem. Nejprve si ujasnil vztahy mezi dvojicemi chlapců a přišel na to, že Tomáš je o 7 kg lehčí než Jirka a o 2 kg lehčí než Petr. Petr je je o 5 kg lehčí než Jirka. Zpaměti pak dopočítal hmotnost každého chlapce.

59

4. Na míse bylo 48 koláčů. Tatínek snědl jednu šestinu ze všech, Radek snědl jednu pětinu zbytku a maminka snědla jednu čtvrtinu zbytku po Radkovi. Kolik koláčů zůstalo na míse? Kolik koláčů každý snědl? Úlohu řešil zpaměti. Velmi stručně uvedl správné řešení: 48 ⇒ 40 ⇒ 32 ⇒ 24. 5. Výměnný obchod: 2 pera můžeš vyměnit za 6 tužek. Pero vyměníš za sešit a bloček. Sešit vyměníš za bloček a dvě tužky. Za kolik bločků vyměníš sešit? Chlapec si opět začal znázorňovat úlohu graficky. Specificky si označil jednotlivé předměty již v zadání, ale vyžadoval barevné pastelky, které by mu více pomohly. Protože je momentálně neměl k dispozici, znázornil si situaci pomocí čtyř typů obdélníků. Toto grafické znázornění mu však vzhledem ke své složitosti a nepřehlednosti neusnadnilo řešení. Nad úlohou přemýšlel dlouho a chtěl ji za každou cenu dořešit s námi, ne doma. Poté jsme mu navrhly, aby k označení předmětů využil písmena (p – pero, t – tužka, s – sešit, b – bloček) a nepatrně upozornili, aby si všímal vztahů mezi předměty (p = s + b a 2p = 6t). Vzápětí úlohu bleskově vyřešil. Přitom prokázal schopnost pracovat s písmeny a elementy algebraického myšlení. 4. Závěry pozorování U sledovaného chlapce jsme pozorovali tyto charakteristiky: -

výraznou myšlenkovou činnost, kterou nepotřebuje zaznamenávat, dobrý vhled téměř do všech úloh, využití vizualizace při každé příležitosti, schopnost a snahu úlohu vyřešit, využití úsporných zápisů vedoucích ke správnému řešení, vysokou úroveň geometrické a prostorové představivosti, výraznou stručnost písemného vyjadřování. touhu dozvědět se další informace, naučit se více, přednost dává příkladům originálním, které dříve neřešil; příklady algoritmické povahy nebo příklady, ve kterých se opakuje stejný typ řešení, ho již nezajímají.

Dále se u chlapce projevila lehčí specifická porucha dyslexie ev. dysgrafie tím, že jeho písmo je velmi neúhledné, často zaměňuje písmena i slova (známka – zápalka; přičítá – třičítá atd.), často škrtá. Písemné odpovědi na otázky jsou velmi stručné, heslovité, neodpovídá ve větách. Často využívá zkratek nebo symbolů. 5. Závěr Výzkumná sonda byla pro nás přínosem a bude zajímavé chlapce sledovat dál při jeho studiu na víceletém gymnáziu. Uvědomili jsme si nutnost individuální práce s takovým žákem, neboť z toho, co chlapec prezentuje v písemné formě, nemusí být patrný jeho vysoký myšlenkový potenciál. Je potřeba s ním komunikovat verbálně, aby mohl své myšlenky sdělit. Formální a málo osobní přístup k hodnocení jeho písemné práce může žáka značně znevýhodnit i poškodit. Při práci s nadanými žáky s poruchami učení mají učitelé matematiky velkou zodpovědnost, aby správně identifikovali nadání a přitom tolerovali

60

projevy způsobené poruchami učení. V tomto směru je třeba také zaměřit přípravu budoucích učitelů na práci s nadanými žáky. Příspěvek byl zpracován v rámci řešení Výzkumného záměru VZ MSM 0021622443 Speciální potřeby žáků v kontextu RVP pro základní vzdělávání. Literatura 1. BLAŽKOVÁ, R., VAŇUROVÁ, M.: Několik úloh pro práci s nadanými žáky v matematice v rámci inkluzivního vzdělávání. In: Matematika z pohladu primárného vzdelavania. Banská Bystrica: Univerzita Mateja Bela, 2009. s. 25 - 30. ISBN 97880-8083-742-6. 2. BLAŽKOVÁ, R., VAŇUROVÁ, M.: Objevováním známého učíme objevovat neznámé. In: Učitel a nadaný žák. Brno: Masarykova univerzita, 2008. s. 7 – 18. ISBN 978-80-7392-054-8. 3. KOSHY, V. Teaching Mathematics to Able Children. London: David Fulton Publishers 2001. ISBN 1-85346-687-5. 4. PORTEŠOVÁ, Š. Skryté nadání. Psychologická specifika rozumově nadaných žáků s dyslexií. Brno: Masarykova univerzita, 2009. ISBN 978-80-210-5014-3. Kontaktní adresa RNDr. Růžena Blažková, CSc. RNDr. Milena Vaňurová, CSc. Katedra matematiky Pedagogická fakulta MU Poříčí 31, 603 00 Brno Telefon: +420 549 491 678 E-mail: [email protected] [email protected]

61

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

EDUKAČNÉ KONCEPCIE ROZVOJA MATEMATICKEJ GRAMOTNOSTI V PRÍPRAVE UČITELIEK PREDŠKOLSKEJ PEDAGOGIKY Jaroslava BRINCKOVÁ Abstrakt Príspevok charakterizuje zmeny v rozvoji kompetencie budúcich učiteliek predškolskej pedagogiky, zamerané na zvýšenie úrovne matematickej gramotnosti detí vo veku 5 – 8 rokov. Uvádza matematické úlohy, vhodné na rozvoj jednotlivých úrovní matematickej gramotnosti a ich prepojenie Štátny vzdelávací plán ISCED 0, realizovaný pod názvom Dieťa a svet v okruhu Ľudia. Pre ISCED 1 prezentuje úlohy v okruhu Matematika a práca s informáciami. Prezentuje skúsenosti učiteliek Predškolskej a elementárnej pedagogiky s prípravou pracovných listov pre žiakov a ich aplikáciou v praxi. EDUCATIONAL APPROACHES OF MATHEMATICAL LITERACY DEVELOPMENT AT TEACHER PREPARATION OF PRE-SCHOOL PEDAGOGY Abstract The article is dealing with changes in development of next teacher competences at pre-school pedagogy. The changes are focused on increasing of mathematical literacy at the age of 5 – 8 years. This article shows mathematical problems suitable for development of separate mathematical literacy levels and their connection with State educational idea ISCED 0 realized as A child and a world in sphere People. This article presents the problems in sphere Mathematics and work with information for ISCED 1. There are presented the teachers experience of Pre-school and elementary pedagogy with preparation of working sheets for pupils and with its application in practice. 1. Štátný vzdelávací program a zmeny v príprave učitelek MŠ Nový štátny vzdelávací program (ŠtVP), platný od roku 2008 na Slovensku podporuje komplexný prístup pri rozvíjaní žiackych spôsobilostí poznávať, konať, hodnotiť, dorozumievať sa i porozumieť si na danom stupni vzdelávania. Stanovuje Vzdelávacie oblasti - okruhy, do ktorých patrí problematika vyčlenená z obsahu celkového vzdelávania a z formulovania kľúčových kompetencií. Vzdelávací obsah ISCED-0 v predprimárnej (materskej) škole je realizovaný pod názvom Dieťa a svet. Je rozdelený do štyroch okruhov: Ja som, Ľudia, Príroda, Kultúra. Prvýkrát sa v doterajšej histórii vzdelávacích, výchovných, či výchovno-vzdelávacích programov pre materské školy v SR sa v ŠtVP objavujú obsahové a výkonové štandardy. [2] Výkonové štandardy prezentujú produkt výchovno-vzdelávacej činnosti a nie sú len procesom vzdelávania. Umožňujú učiteľkám materských škôl orientovať sa v tom, aké

62

spôsobilosti má dieťa dosiahnuť pred vstupom do ZŠ. Každý tematický okruh zahŕňa tri vzdelávacie oblasti rozvoja osobnosti dieťaťa: 1. perceptuálno-motorickú, 2. kognitívnu, 3. sociálno-emocionálnu. Vzdelávacie oblasti v sebe zároveň v rôznej miere zahŕňajú podoblasti a prierezové tematiky. Členenie vzdelávacích oblastí je výrazne teoretické. Tematické okruhy a vzdelávacie oblasti rozvoja sa interaktívne prepájajú a rozvíjajú integrovane. Sú prostriedkom na dosiahnutie špecifických cieľov v procesuálnej činnosti. Vzťahy medzi štyrmi okruhmi, vzdelávacími oblasťami, podoblasťami a prierezovými témami tvoria kompaktný celok, ktorý možno znázorniť priestorovým grafom na obr. 1. Podoblasti: pohybová, zdravotná, prírodovedná, matematicko-logická, jazyková, komunikatívná, etická, vlastenecká, informačná, umelecko-expresívná (hudobná, výtvarná, literárnu), pracovná Prierezové tematiky: osobnostný a sociálny rozvoj, ochranu života a zdravia, dopravnú výchovu – výchovu k bezpečnosti v cestnej premávke, environmentálnu, mediálnu, multikultúrnu výchovu, výchovu k tvorivosti, rozvoj predčitateľskej gramotnosti a gramotnosti vo všeobecnosti, informačnokomunikačné technológie. Obr. 1: Model vzdelávania v MŠ SR

Obsah výchovy a vzdelávania v ŠtVP má rámcový charakter. Rozpracováva sa v dvojúrovňovom participačnom modeli na podmienky materskej školy v školskom vzdelávacom programe. Podrobnejšie sa na základe poznania aktuálnych rozvojových možností detí konkretizuje v plánoch výchovno-vzdelávacej činnosti. Matematické poznanie sa rozvíja hlavne v kognitívnej oblasti Ľudia. Táto oblasť je zameraná na rozvíjanie sociálnych skúseností a vzťahu ku spoločenstvu ľudí. Rozvíja schopnosť vytvárať si kontakt s ďalšími skupinami ľudí. Oboznamuje deti s pracovnými a inými aktivitami ľudí. Rozvíja ich predstavy o miestach, kde ľudia žijú a tvoria. Učí o prostrediach, v ktorých sa ľudia nachádzajú, o multikultúre, etnikách, rasách. V perceptuálno–motorickej oblasti rozvoja dieťaťa sa v tejto časti kladie dôraz na dodržiavanie pravidiel hudobno-pohybových hier. Kognitívna oblasť má tieto zložky: ľudské činnosti a ich umelecké stvárnenie, význam práce, farby, matematické predstavy, jazykové zručnosti. Učiteľky pripravujú rôzne aplikačné úlohy (AU) pre jednotlivé zložky tematického okruhu Ľudia, ako súčasť riešenia projektov, realizovaných v prierezových témach. Zoskupenie učiva do tematických oblastí a prierezových tém si vyžaduje inováciu v príprave učiteliek predškolskej pedagogiky. 2. Tvorba aplikačných úloh rozvíjajúcich matematickú gramotnosť predškolákov Cieľom učiteľovho pôsobenia je vytvárať správne predstavy detí. [3, s.11]. Aplikačné úlohy majú byť jasne prepojené s kľúčovým učivom a utvrdzovať predstavy detí. Majú z neho vychádzať, rozširovať ho a tým rozvíjať matematickú gramotnosť a tým aj matematické kompetencie detí. Ukázať spojenie učiva so skutočným svetom. Majú deťom poskytovať možnosť výberu s prihliadnutím na typ ich inteligencie, dávať dostatočne primeraný čas na riešenie a mať zmysluplný obsah. To, či je daná úloha,

63

ktorú učiteľ zaradí do vyučovania, dobrou úlohou, závisí od rôznych situácií. Označenie úlohy slovom „dobrá“, nie je len vlastnosťou danej úlohy, oveľa viac to závisí od vzťahu úlohy a riešiaceho žiaka. Dobrá pritom môže byť aj banálne jednoduchá úloha, pokiaľ na vyučovaní vzbudí ďalšie otázky, usudzovanie, argumentovanie a ďalšie premýšľanie.[4] Faktory ovplyvňujúce tvorbu matematických úloh môžeme nasledovným spôsobom znázorniť graficky : Reálna situácia

Matematický obsah Úloha Obtiažnosť úlohy

Obr 2 : Tri faktory ovplyvňujúce tvorbu matematických úloh

Pri určovaní matematických kompetencií (matematické myslenia a argumentácia; komunikácia; modelovanie; riešenie a tvorby problémových úloh; reprezentácie; symbolické, formálne a technické zručnosti; používanie nástrojov a prístrojov) vieme rozlíšiť tri stupne ich obtiažnosti. Sú to: reprodukcia, prepojenie a reflexia. Tieto sa najčastejšie rozvíjajú pri riešení projektových úloh. Pre krátkosť článku vyberáme dva z projektov, realizovaných so študentkami Predškolskej pedagogiky v dennej aj v externej forme štúdia. Viac projektov prezentujeme v prednáške. Projekt 1: Dopravné prostriedky – plavba loďou Úloha 1: Delenie plochy na časti a farbenie Tangramu Máš dva jednofarebné trojuholníky na obr. 3, rozdelené na menšie časti tak, že obsahujú dva rovnaké veľké a dva malé trojuholníky, jeden štvorec, stredné veľký trojuholník, a rovnobežník. Vyfarbi ich piatimi pastelkami (červená, zelená, svetlo Obr. 3: Trojuholníky-Tangram

Obr. 4: Tangram

a tmavo modrá, žltá) a rozstrihaj tak, ako je na obrázku 4. Zo všetkých dielov jedného Tangramu zlož loďku. Z druhého zostav panáčika - námorníka. Úloha 2: Do tabuľky 1 priraď každému vyfarbenému tvaru čiarku do štvorčeka podľa farby. Ktorých tvarov je najviac a ktorých najmenej. Koľko je všetkých trojuholníkov?

64

T2 Tab. 1

I I I I I I I

Úloha 3: Staviame prístavné hradby z kociek Každej čiarke v predchádzajúcej tabuľke priraď kocku podľa farby. Potom z nich postav hradby v prístave Pentíčkovo tak, že kocky rovnakej farby položíš na seba. Úloha 3: Kreslíme hradby Každej kocke v hradbách Pentíčkova vymaľuj jeden štvorček podľa je farby v tabuľke T2. Začni od dolného riadku a postupuj smerom hore. Nakreslil si logo mesta Pentíčkovo. Ak si rýchlo skončil skús riešiť úlohu v pracovnom liste [5, s. 36] Riešenie úloh v projekte 1 komplexne rozvíja schopnosti modelovania a reflexie viacerých možných spôsobov vyfarbenia a strihania. Vedie k evidencii usporiadaných dvojíc v tabuľke. Precvičuje skladanie a stavbu podľa predlohy. Deti vedia tvoriť modely zložitých situácií a pracovať s nimi. Učia sa vybrať, porovnávať a vyhodnocovať primerané stratégie riešenia problémov. Uvažujú o svojom postupe a formulujú svoje interpretácie a zdôvodnenia. Projekt 2: Hrací automat alebo pozrime sa hračkám do bruška Detský hrací automat hrá tak, že na valci sú umiestnené kolíčky, ktoré pri dotyku s posuvným jazdcom vydávajú odpovedajúce tóny. Kolíčky sú umiestnené na povrchu valca tak, aby ležali na jednej priamej čiare (závitnici). Otáčaním sa valca, pri súčasnom posuve jazdca sa stretávajú. Hračka je modelom priamej čiary v priestore. Pred hraním sa s hracím automatom precvičíme s deťmi rôzne druhy čiar v rovine. Druhy čiar: v priestore

krivé krivé

lomené oblé

v rovine (jednoduché

priame - závit

otvorené priame

priamka polpriamka

a zložené)

úsečka lomené konvexné uzavreté

nekonvexné oblé

65

kruh, elipsa,...

Vyskúšajte si: Na papier tvaru obdĺžnika nakreslite priamu čiaru tak, aby bola uhlopriečkou tohto obdĺžnika. Papier stočte do tvaru valca a pomaly posúvajte ceruzku zdola nahor po čiare, pri súčasnom otáčaní valca. Projekt rozvíja technické zručnosti dieťaťa, jeho priestorovú predstavivosť aj cit pre rytmus v hudbe. Učí ho slovne opísať a umelecky stvárniť rozmanité ľudské činnosti, ktorých efekt je založený na matematickom poznaní. Deti majú objaviť jednoduchú stratégiu hracieho automatu (verklíka) na úrovni prepojenia a reflexie. Záver Oba projekty sú realizované v predškolskej príprave detí a sú propedeurikou rozvíjania predstáv o štatistických pojmoch. V ŠtVP pre ISCED-1 sa s týmito pojmami oboznamujú žiaci už od 1. ročníka ZŠ v oblasti Matematika a Práca s informáciami. Rozvíjajú matematické kompetencie detí na úrovni prepojenia a reflexie. Najmä kompetencie modelovania, argumentácie a komunikácie. Úlohy realizované v nami pripravených pracovných listoch jednotlivých projektov doplnili učiteľky úlohami vybranými z Pracovných listov V. Uherčíkovej [6, s.35]. V ankete so študentkami Predškolskej pedagogiky v externej forme sa až 48% opýtaných vyjadrilo, že nikdy nevnímali matematiku v iných činnostiach ako v matematických. Využitie medzipredmetovej integrácie v príprave projektových úloh zvýšilo ich schopnosť rozvíjať matematické poznanie aj v iných oblastiach výučby a života detí. Tvorba pracovných listov, zohľadňujúcich regionálne špecifiká školy je pre učiteľov prácou tvorivou a zmysluplnou. Príprava učiteľa na tento typ vyučovania v MŠ je však časovo veľmi náročná. Príspevok vznikol s podporou Grantu KEGA 3/7068/09: Matematika v schválených štátnych vzdelávacích programoch pre 1. a 2. stupeň základnej školy a pre gymnáziá (ISCED 1, 2, 3) Literatúra 1. 2. 3. 4.

5. 6.

BRINCKOVÁ, J.: Didaktická hra v geometrii. Bratislava: DONY 1996 BRINCKOVÁ, J.: Vyučovanie matematiky z pohľadu súčasnej školském reformy. Tvorivá práca učiteľa. Banská Bystrica: UMB 2010. v tlači GEROVÁ, Ľ., KOVÁČIK, Š.: Didaktika matematiky pre asistenta učiteľa (a nielen pre neho). Banská Bystrica: UMB, 2006. ISBN 80-8083-201-3 RUWISCH, S.: Gute Aufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule – Einführung. In: Ruwisch – Peter Koop (Hrsg.): Gute Aufgaben in Mathematikunterriche der Grundschule. Mildenberger, Offenburg 2003, s. 5-14, ISBN 3-619-01482-5 UHERČÍKOVÁ, V., HAVERLÍK, I.: Didaktika rozvíjania základných matematických predstáv. Bratislava: DONY, 2007. ISBN 978-80-968087-4-8 UHERČÍKOVÁ, V., HAVERLÍK, I.: Pracovné listy na rozvíjanie matematických predstáv u detí v MŠ a v ZŠ. Bratislava: DONY, 2007. ISBN 978-80-968087-3-1

Kontaktní adresa Doc. RNDr. Jaroslava Brincková, CSc. Katedra matematiky FPV UMB Tajovského 40, 974 01 Banská Bystrica Telefon: +421 484 467 122 E-mail: [email protected]

66

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

KALKULAČKA A JEJÍ MÍSTO V ARITMETICE PRIMÁRNÍ ŠKOLY Jana CACHOVÁ Abstrakt Je možné používat už na prvním stupni základní školy (od první třídy) ve vyučování matematice kalkulačku? Právě na tuto otázku se pokouší příspěvek hledat odpověď. Zabývá se pojetím aritmetiky primární školy a ukazuje, že pokud kalkulačka bude do vyučování matematice vhodně začleněna, může kladně přispět k rozvíjení číselných představ dětí. CALCULATOR AND ITS PLACE IN PRIMARY SCHOOL ARITHMETIC Abstract It is possible to use calculators in the teaching of mathematics in primary school (first class)? We want to answer that question in this paper. The paper deals with the concept of primary school arithmetic. If you plug in the calculator appropriately in the teaching of mathematics, then the calculator can positively contribute to the development of numerical images of children.

1. Číselné představy v primární škole Mnozí učitelé na otázku, zda považují za vhodné používat kalkulačky na prvním stupni základní školy, striktně odpovídají „ne“. Zastávají názor, že kalkulačka žákům zbytečně ulehčuje numerické výpočty, ve kterých mnohdy spatřují hlavní náplň matematického vzdělávání v primární škole. Domnívají se, že by se žáci vůbec nenaučili počítat, kdyby ztratili příležitost rozvíjet své počtářské dovednosti. Cílem tohoto příspěvku je ukázat, že tomu tak být nemusí a že vhodné činnosti s kalkulačkou mohou naopak přispívat k rozvíjení poznání. Naučit se počítat je bezesporu pro žáky primární školy důležité. Současné RVP pro základní vzdělávání klade na prvním stupni na práci s čísly a početními operacemi velký důraz. Bylo tomu tak ostatně i dříve. Už od roku 1774, kdy byla v Čechách uzákoněna povinná šestiletá školní docházka, byly počty součástí tzv. trivia. Také K. Kehr a F. Krček se ve své knize pro učitele Praxe ve škole obecné (1889) zabývali mimo jiné i vyučováním početním a jeho vyučovatelskými zásadami (didaktikou). Ve své příručce zdůrazňují, že je pro vyučování důležitá nejen jeho názornost, ale neméně důležitý je i proces samotné abstrakce: „…Ač dosud bylo žádáno, že všechno vyučování početní musí počínati od názorů, bylo by přece prohlásiti vyučování takové za zlé užívání názornosti, kdyby se na názoru stavovalo a z mezí jeho nevystupovalo. Jest naprosto třeba, by názor vedl k abstrakci a dostoupil pojmu… Kde není názoru, tu se vyučování nedostává do duše dětské; kde

67

však cvičení (v abstrahování) chybí, nezůstává naučené v duši dětské… Nevede-li názor k abstrakci, nepovznáší-li se od zvláštního k obecnému, nemá vyučování početní ni nejmenší vzdělavatelské ceny…“ Pro správné fungování procesu přechodu od názorně konkrétního k abstraktnímu pojmu pak v knize dávají následující návod: „…Učiteli jest … aby postupným pokračováním dospíval od názoru k pojmu, a to tak, aby při počátečném počítání (v nejnižší třídě) a) počínal názorem skutečných věcí (předměty z okolí, stereotypní prostředky znázorňovací, tělesa na počítadlech); aby b) přistupoval ku kresleným pomůckám (obrazy číselné a t. d.); dále aby c) prostředku názorného nechal, ale pojmenování jeho podržel (4 kuličky a 2 kuličky, 2 čárky a 4 čárky); aby po té d) přidával k číslu jiná pojmenování (kolik jest 5 krejcarův a 3 krejcary? – květin, domův, zvířat, litrův a t. d.) a konečně aby e) nechal všeho pojmenování a cvičil prosté číslo (1+5, 2x2, 6-4) tak všestranně, že dětem není více potřeba, aby počítajíce musily užívati názorných pomůcek, a řešíce úkol, aby si pomáhaly snad prsty, čárkami a t. d.“ Tyto postupy odpovídají Brunerovu rozdělení číselných reprezentací (1977), které rozlišuje reprezentace enaktivní (například prsty nebo různá počítadla), ikonické (číselné obrazce jako třeba oka na hrací kostce či dominovém kameni) a symbolické (což jsou číslovky v psaném textu i mluvené řeči, číslice, ale mezi tyto reprezentace je rovněž možné zařadit i kalkulačku). Kehr a Krček už před více jak 120-ti lety začínající učitele nabádali, aby pamatovali na to, že „při počtech názor, poznání a cvičení vždy mají býti pospolu“. M. Hejný a F. Kuřina v knize Dítě, škola a matematika (2009), rovněž určenou pro učitele, také zdůrazňují význam abstrakce a abstrakčních zdvihů pro žákovo poznávání, které podle nich prochází cestou od motivace přes izolované a univerzální modely až k abstraktním znalostem a jejich zařazení do poznatkové struktury dítěte. Vzdělávací proces autoři chápou „jako proces konstruování poznatkových struktur u jednotlivých žáků, jako proces kultivace žákova duševního světa“. Poznávání by tak s každým novým pojmem mělo procházet uvedenými etapami, ovšem dítě zároveň staví na předchozích zkušenostech a vychází ze své kognitivní struktury. Že ani malí prvňáčci při vstupu do školy nejsou z pohledu číselných představ zdaleka čistým nepopsaným listem, ale že si s sebou z rodiny, školky, her atd. přinášejí své první zkušenosti s čísly a prvotní číselné představy, potvrdilo i menší šetření úrovně početní gramotnosti čerstvých prvňáčků, které jsme počátkem letošního školního roku realizovali celkem se 165 dětmi. Výsledky šetření ukazují, že skutečně není namístě děti podceňovat. Mnohé děti zvládly velmi dobře vyjmenovat číselnou řadu (skoro polovina jich dokázala překročit číslo 50, téměř pětina pak přesáhla i číslo 100), více než třetina dětí byla schopna zapsat všechny číslice a skládat z nich i čísla druhé desítky. Až na jediné dítě vesměs všechny dokázaly určit počet prstů na jedné ruce, někteří sčítali s přechodem přes desítku, 55 dětí, tedy rovná třetina dovedla určit polovinu z deseti… Pro ilustraci uvádím přehled počtu správných odpovědí k jednotlivým početním úlohám, které jsme zadali všem zúčastněným dětem: • Kolik je: 1 a 1, 2 a 1, 3 a 1, 2 a 3, 3 a 7, 5 a 6, 10 a 10, 12 a 3, 17 a 6? (Dětem byly úlohy úmyslně zadávány s „a“ namísto „plus“, protože se domníváme, že je to pro předškolní děti přirozenější. Pokud se ale stalo, že dítě zadání nerozumělo, byly mu úlohy zadávány s „plus“.) Z následujícího grafu na obr. 1 můžeme vyčíst, kolik dětí správně zodpovědělo jednotlivé úlohy. Překročit první desítku ve výpočtu 5 a 6 zvládla správně necelá třetina dětí, druhou desítku v úloze 17 a 6 pak přibližně každé šesté dítě.

68

Kolik je? 92,7%

86,1%

80,6% 71,5% 53,3% 36,4%

32,1%

29,1% 15,8%

Početní úlohy 1a1

2a1

3a1

2a3

3a7

5a6

10 a 10

12 a 3

17 a 6

88

48

26

Počet správných odpovědí 153

142

133

118

60

53

Obrázek 1 První zkušenosti s čísly děti nabývají z mateřského jazyka přirozenou cestou komunikace. K tomu se současně přidávají další zkušenosti z her, z prostředí rodiny a mateřské školy, z dětského světa, na jejichž základě se předškolní dítě určitým způsobem orientuje v kvantitativních jevech. Pro děti po vstupu do první třídy je velice důležité, aby bylo počítání s čísly spojené s realitou jejich života, s jejich jazykem, aby se čísla vázala k předmětům a situacím, se kterými se děti denně dostávají do kontaktu a mají s nimi svou vlastní zkušenost. To platí i pro další ročníky prvního stupně. Úroveň početní gramotnosti jednotlivých dětí v první třídě se velmi liší. Práce učitele je zde velmi náročná – poznávací proces je vždy individuální záležitost, což pro prvňáčky platí dvojnásob. Zvláště v první třídě jsou velmi patrné rozdíly mezi jednotlivými dětmi - některé se nacházejí na úrovni názorných představ, potřebují konkrétní model, kdežto jiné už zakreslování konkrétního počtu předmětů nebo vybarvování určitého počtu stejných objektů v pracovním sešitě spíše nudí a brzdí, protože už zvládají nejprve správně vyřešit úlohu abstraktně, a pak teprve vše dokreslují. 2. Kalkulačka v první třídě Neubrand a Möller (1999) ve svém pohledu na číslo kromě čísla kardinálního, ordinálního, čísla jako míry, operátoru a kódu uvádějí ještě jako důležitý aspekt i číslo ve významu početním (Rechenzahlen), a sice jednak z pohledu algebraických pravidel počítání, jednak pravidel algoritmických. Tento kalkulativní pohled na číslo je velmi důležitý právě z hlediska abstrakce. Podnětné činnosti s kalkulačkou mohou být vhodným prostředkem k jeho naplnění. Zvláště dětem, které mají už jisté zkušenosti s čísly, kalkulačka nabízí možnost rychleji abstrahovat, objevovat vztahy a souvislosti. Kalkulačka by neměla být jen jakási „kompenzační pomůcka“, ale nástroj, který umožní žákovi mnohé pochopit a přirozeně mu také usnadní v mnoha směrech práci a umožní řešit problémy bez techniky stěží zvládnutelné. Od samého počátku školní docházky je také prostřednictvím kalkulačky možné spojovat matematiku s problémy žákova života, se zajímavými souvislostmi a s aplikacemi matematiky. Samozřejmě je nutné, aby děti

69

dokázaly počítat s kalkulačkou i bez ní, kombinovat činnosti s kalkulačkou s dalšími modely čísla, s různými pohledy na číslo. V článku pro časopis Komenský (Kuřina, Cachová, 2009) je popsána tzv. Didaktická struktura aritmetiky: I. Všechna přirozená čísla můžeme vytvořit postupným přičítáním čísla 1 (začínáme od čísla 0). Tento princip patrně znají žáci z tradičního počítání na prstech a z chůze (ke každému počtu kroků můžeme přidat další krok, tah figurkou ve hře typu Člověče, nezlob se můžeme o další krok prodloužit, …). II. V množině přirozených čísel můžeme počítat po deseti (10, 20, 30, …), po stech (100, 200, 300, …), po tisících (1 000, 2 000, 3 000, …),…, což umožňuje zapsat libovolné přirozené číslo pouze pomocí deseti číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Např. 7 823 znamená 7 · 1 000 + 8 · 100 + 2 · 10 + 3. Idea tohoto přístupu je „zhmotněna“ v měně s použitím korun, desetikorun, stokorun, tisícikorun, … . III. Libovolná dvě přirozená čísla můžeme sečíst s jednoznačným výsledkem. Součet vyjadřuje počet prvků sjednocení dvou disjunktních množin. IV. Libovolná dvě přirozená čísla můžeme vynásobit s jednoznačným výsledkem. Představa, s níž je budováno násobení přirozených čísel, vychází z názorné a jazykovým citem podpořené definice násobení jako opakovaného sčítání, tedy ve smyslu 3 · 4 = 4 + 4 + 4. Uvedené čtyři principy můžeme v rozsahu kalkulačky snadno ověřit. Tyto principy mohou být jasným východiskem pro podnětné činnosti s kalkulačkou na prvním stupni školy, počínaje první třídou. Pokusíme se to doložit následujícími ilustracemi: Kalkulačka dokáže dětem předvést, jak jdou čísla za sebou, ale i jak jdou za sebou desítky, stovky, tisíce, … Také může žákům přiblížit další pravidelné narůstání číselných posloupností, např. po dvou, po třech, po čtyřech… Vyrovnat se kalkulačce v tomto směru může být pro žáčka první třídy výzvou. • Kolik písmen je ve tvém jméně? Které ze tvých jmen je delší? Kdo ve třídě má nejdelší jméno? • Jedu výtahem v mrakodrapu, už jsem ve 20. patře. Počítej další patra se mnou po 10. Jak vysoký je tvůj mrakodrap? • Kopeček zmrzliny stojí 8 Kč. Kolik bude stát zmrzlina pro celou třídu, když si každý dá 1 kopeček, 2 kopečky …? Pomocí kalkulačky můžeme spočítat nejen malá, ale i větší množství předmětů, pracovat s jejich pořadím. Naučit se „číst“ čísla je neméně potřebné než naučit se číst slova. Kalkulačka velmi brzy umožňuje řešit úlohy spjaté s každodenní praxí žáka a s prostředím rodiny a školy. • Zobrazte na kalkulačce a) který rok máme letos, b) ve kterém roce jste se narodili. • Teploměr ukazuje 8 stupňů. Kolik ukáže, když se oteplí o 2, 3, 4 stupně? • Čekám na poště. Mám na lístku číslo 17. Jaké číslo má člověk, který přišel po mně jako třetí, čtvrtý, pátý, desátý? Jsme přesvědčeni, že kalkulačka může ve vyučování matematice pomáhat od první třídy. Jde však o to ji umět vhodně využívat. I v dnešní době se má žák naučit zpaměti základní spoje sčítání a násobení. Kalkulačka mu to však může usnadnit, pokud je přirozeně zapojena „do procesu učení“. Žák musí umět řešit zpaměti určité typy úloh,

70

protože řešení úloh rozvíjí myšlení, kultivuje paměť a soustředění. Odstraněním zdlouhavých výpočtů však můžeme vyřešit nejen více úloh, ale i úlohy zajímavější a podnětnější z hlediska rozvoje intelektuálních schopností žáka. V současné době zkoušíme v pěti prvních třídách realizovat experimentální výuku s kalkulačkami. Za podpory grantu GAČR 406-08-0710 jsme každého žáka vybavili kalkulačkou s dvouřádkovým displejem. Očekáváme, že technické možnosti kalkulačky pomohou dětem získat nadhled, ulehčí pomocné výpočty, aby žáci mohli lépe sledovat vztahy a vlastnosti mezi čísly, a tak lépe porozumět kvantitativním vztahům okolního světa. Příspěvek vznikl s podporou grantu GAČR 406-08-0710. Literatura 1. 2. 3. 4. 5.

BRUNER, J., S.: The Growth of Representational Processes in Childhood, ruský překlad, Psichologija poznanija. Moskva: Progress, 1977. KRČEK, F., KEHR, C.: Praxe ve škole obecné. Brno: Knihkupectví K. Winklera, 1889. NEUBRAND, M., MÖLLER. M.: Einführung in die elementare Aritmetik. Franzbecker, 1999. HEJNÝ, M., KUŘINA, F.: Dítě, škola, matematika: konstruktivistické přístupy k vyučování, 2. aktualizované vydání, Praha: Portál, 2009. CACHOVÁ, J., KUŘINA, F.: K pojetí aritmetiky na prvním stupni základní školy. Komenský, 134 (2), 2009, Brno: Masarykova Univerzita.

Kontaktní adresa PhDr. Jana Cachová, Ph.D. Katedra matematiky, PdF UHK Rokitanského 62, 500 03 Hradec Králové Telefon: +420 493 331 466 E-mail: [email protected]

71

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

JAK BRITSKÉ STANDARDY PRO OBLAST ICT POMÁHAJÍ MATEMATICE Lukáš CÍRUS Abstrakt Příspěvek ukazuje, jak britské standardy v oblasti ICT vhodně podporují výuku matematiky žáků mladšího školního věku. HOW THE BRITISH STANDARDS FOR ICT HELP TO MATHEMATICS Abstract The contribution shows how the British standards on ICT appropriately promote the teaching of mathematics students younger school age. Úvod Ve svém příspěvku bych se rád podíval, jak Britské standardy v oblasti ICT přesahují do učiva matematiky a to v části, která postihuje žáky mladšího školního věku. Oblasti, které mohou být inspirativní pro výuku na našem prvním stupni ZŠ, jsou rozděleny do dvou skupin Key Stage 1 a Key Stage 2, skládají se z jednotek, nebo chceme-li z lekcí zpracovaných tak, aby byly učiteli vodítkem a studnou nápadů pro práci se žáky. Každá jednotka má svůj název, po němž následuje stručná anotace tématu. Vlastní jednotka je poté rozdělena do oddílů, kde zpravidla první uvádí do situace a další pak jsou souborem krátkých již zaměřených úloh. Oddíly jsou strukturovány a začínají vždy cílem, následují aktivity a jejich předpokládané výsledky, na závěr jsou pak zařazeny poznámky pro učitele. V každé lekci se uvádí vazby a propojení na vybrané lekce, ve kterých je dané aktivity možno využívat a dále rozvíjet. Cíle a aktivity jsou strukturovány do třech základních skupin, první pro většinu žáků, dále pak pro pomalejší a třetí pro nadané žáky. Následně vybírám jednotlivé lekce mající přesah právě do matematiky a uvádím i se stručnou anotací, tak abych přiblížil jejich obsah a ukázal jiný pohled na výuku ICT, jako inspiraci pro naše podmínky. Za českým názvem ponechávám číslování tak, jak je uvedeno v dokumentu, který je volně dostupný na http://www.standards.dfes.gov.uk/schemes2/it/?version=2 . Key Stage 1 Odpovídá výuce na přelomu preprimárního a primárního stupně vzdělávání v našem školství (podle věku žáků by to u nás byl poslední ročník MŠ a 1. ročník ZŠ). Je rozdělen na 10 klíčových fází (1A – 2E). Výběr z témat prvního roku a jejich stručná charakteristika

72

Úvod do modelování 1A První klíčovou fázi lze nazvat Úvodem do modelování a žáci se v ní seznamují s tím, že počítač dokáže modelovat, či chceme-li simulovat reálné jevy, se kterými se setkávají ve svém okolí. Na příkladu oblékání medvídka, zkoušejí vybírat předměty z nabídky a manipulovat s nimi, vysvětlují si, že na rozdíl od reálných 3D předmětů, jsou počítačové modely v 2D. Učí se pracovat s jednoduchými didaktickými dobrodružnými hrami. Označování a třídění 1D V této části se žáci učí třídit informace podle kriterií do skupin, opět k těmto operacím užívají textový procesor a slovní banku. Žáci se učí popisovat objekty pomocí klíčových slov a podle nich je poté třídit. Porozumění pokynům a pochopení toho, co se stalo 1F Tato část je věnovaná instrukcím a pokynům, žáci poznávají, jak je důležitá přesnost a správné řazení. Učí se pracovat podle návodu a vytvářet vlastní návod. Žáci se seznamují s možnostmi ovládání zařízení, jako jsou videorekordér, televize, domácí spotřebiče a hračky. Žáci se učí poznávat a nastavovat (programovat) domácí spotřebiče tak aby vykonávaly činnosti, které mají. Lze tedy shrnout, že v této části se žáci učí „ pracovnímu postupu“ a uvědomují si, že výsledek záleží nejen na jednotlivých krocích, ale i na jejich pořadí. Výběr z témat druhého roku a jejich stručná charakteristika Cesty – ovládání Floor furtle (jednoduchý robot) 2D S pomocí programovatelného robota se žáci učí zadávat příkazy a sled příkazů, tak aby se robot pohyboval podle jejich zadání. Učí se, že robot není živou bytostí, ale reaguje přesně podle zadaných (naprogramovaných) instrukcí. Žáci se učí zadávat pokyny i pomocí čísel, např. 5 kroku vpravo, 3 kroky rovně a 1 vlevo. Kontrolují, zda se robot pohyboval podle jejich zadání. Poslední klíčovou myšlenkou je, že pokyny mohou být opakované a tak si děti zkoušejí naprogramovat například schodový pohyb po podlaze, nebo pohyb do čtverce. Otázky a odpovědi 2E Závěrečná kapitola předškolní výuky je věnována informacím a jejich vypovídací hodnotě. Například, že informace mohou být ukryty v grafech, mají svá omezení a nedokážou nám poskytnout odpovědi na všechny otázky. Dále pak se věnuje otázkám a odpovědím, zaměřuje se na otázky, jejichž odpověď je ano, ne. Vysvětluje co je to databáze a jak z ní vybírat informace. Key Stage 2 Odpovídá výuce na převážně na našem prvním stupni základní školy (2.- 5. ročník ZŠ). Je rozdělen na 18 klíčových fází (3A – 6D). Výběr z témat třetího roku a jejich stručná charakteristika Úvod do databází 3C Žáci se učí sbírat a ukládat informace. Učí se využívat databáze k hledání odpovědí na otázky. Učí se porovnávat papírové spisy a databáze vytvořené na počítači. Jedná se o postup, při němž nejprve pracují žáci se záznamovými kartami, do nichž ukládají informace (např. kolik je v dané zoo jednotlivých druhů zvířat). Učí se, že je důležité shromažďovat a ukládat informace organizovaně, protože to je jediná cesta

73

k rychlému nalézání odpovědí na jejich dotazy. Postupně se seznamují s elektronickou verzí záznamových karet na PC, učí se do nich zaznamenávat, získávat z nich odpovědi na otázky a nakonec se učí i vytvářet jednoduché grafy. Prohlížení simulací 3D V této lekci se žáci seznamují s počítačovými simulacemi a učí se rozlišovat mezi simulacemi reálného světa a světa imaginárního, dále pak se učí předpovídat vývoj simulovaných dějů a hodnotit jejich reálnost. Žáci budou chápat výhody simulací např. pro výcvik pilotů, nebo tak, že pomocí nich lze měnit životní podmínky rostlin a pozorovat jejich chování. Jde o obrovskou možnost nahlédnout do světa, do kterého se nelze podívat v běžných školních podmínkách. A vlastně nejen školních, ale v podmínkách ve kterých se učit nové činnosti, může být životu nebezpečné. Velký důraz se klade na diskusi žáků o reálnosti simulací, o dopadech simulovaných jevů na skutečný život. Výběr z témat čtvrtého roku a jejich stručná charakteristika Rozvíjení práce s obrázky prostřednictvím opakování postupů 4B Žáci vytvářejí v grafickém editoru pozadí pomocí opakujících se motivů a razítek. Používají štětce, u nichž mění velikost stopy, malují pomocí vytečkování plochy. Pro vytvoření tapety se učí vytvořit sami na určitou plochu grafický nápad a ten po té rozkopírovat, k tomu účelu se učí různými způsoby vybírat určitou část plochy. Žáci se učí pomocí efektu zrcadlení (symetrie) vytvářet různé vzory, například krajky či zdobené koberce. Během své práce se učí ukládat obrázek a mohou se pak zpětně podívat na průběh své práce. Větvení databází 4C Žáci se učí chápat složitější databáze, kde nedochází pouze k větvení na ANO a NE, ale již složitěji a učí se tyto postupy chápat na zařazení rostlin a živočichů či hudebních nástrojů do systému. Žáci se pokusí vytvořit pomocí série otázek s odpovědí ANO, NE systém, na jehož konci bude možné třídit zvířata do skupin, nejprve vše zpracovávají na papír. Sběr a prezentace informací – dotazníky a grafy 4D V této části se žáci učí sbírat informace v takové podobě, aby byly snadno zpracovatelné, učí se vytvářet grafy, které je budou věrohodně prezentovat. V první řadě se žáci seznamují s různými typy grafů a diskutují jejich využití a vypovídací hodnotu. Dále pak, s cílem motivovat je k vytvoření školní databáze o žácích, diskutují jak nejlépe a nejefektivněji shromáždit data o žácích, postupně by měli dojít k tomu, že nejefektivnější bude vytvořit dotazníkový arch se srozumitelnými otázkami a na které budou moc žáci odpovídat a podle dotazníku vytvoří strukturu databáze. Po vytvoření a sběru dat mohou následovat otázky typu: Je rovnováha v odpovědích mezi chlapci a dívkami, jsou rozdíly mezi daty sebranými v celé škole a v naší třídě? Učitel vede žáky k tomu, že nejideálnější pro porovnání je výstup do grafu. Dále pak se žáci učí stanovovat hypotézy a ověřovat je podle výstupů výzkumu. V závěru této části žáci zkouší zaznamenat do tabulky například délku slunečního stínu během dne, nebo výšku vrcholu rostoucí rostliny v závislosti na čase a hledají pro tyto data adekvátní a vypovídající graf. Dochází k závěru, že koláčové grafy nejsou schopny postihnout transparentně změny dat, a vidí, že ideální jsou grafy čárové (X,Y). Modelování jevů na obrazovce 4E

74

Zde žáci porovnávají, co se naučili o programování robota, který se jim pohyboval po podlaze s programováním virtuálního robota, který se pohybuje na monitoru. Uvědomují si, že prostor a kroky jsou menší než na zemi. Na tomto příkladu si uvědomí, že se pro programování virtuálního robota používá úplně stejný jazyk. Je třeba, aby se žáci seznámili s orientací v prostoru na monitoru a dále pak uvidí, že robot na obrazovce bude reagovat na jejich instrukce okamžitě, na rozdíl od Floor Turtle, která vykonávala příkazy teprve po odeslání. Žáci si budou uvědomovat, že pokud nezadají příkaz, tak jak má vypadat, dostanou chybové hlášení. Vědí, že jednoduché kroky lze násobit jejich opakováním. Výběr z témat pátého roku a jejich stručná charakteristika Grafické modelování 5A Žáci se učí vytvářet a manipulovat s objekty v grafickém editoru. Mimo jiné řeší úkoly jakými je například kreslení plánku třídy, kdy geometrické 2D tvary zastupují skutečné předměty. Manipulací s nimi na ploše počítače zkoušejí navrhnout nová rozmístění nábytku ve třídě a diskutují na d těmito možnostmi a jejich klady a zápory. Analýza dat a pokládání otázek pomocí složitějšího vyhledávání 5B V této části se žáci učí vyhledávat data ze složitějších databází, jejich úkolem bude předávání dat i v grafické podobě, tisknout je a používat, aby dostali odpovědi na otázky. Žáci začínají s vyhledáváním na CD a internetu, například vyhledávat informace o vesmíru, třídit planety podle toho zda mají měsíce, nebo podle velikosti. V připravených databázích třídí data podle znamének, menší, větší, rovná se, dále pak vyhledávat data podle více než jednoho kriteria (např. planety s plynnou atmosférou a alespoň jedním měsícem), pracují s logickými operátory „A“ a „NEBO“. Vyhodnocování informací, kontrola správnosti a věrohodnosti 5C V této kapitole se žáci učí vyhodnocovat informace a odhalovat chyby a nedostatky. Žáci diskutují nad využíváním a fungováním databází v běžném životě (školní agenda, nemocnice, evidence obyvatel) a diskutují o účelu a použitelnosti databází a následcích možných chybách v uložených datech. Je vhodné připravit pro žáky cvičnou databázi, která bude obsahovat chyby a nepřesnosti a úkolem žáků bude odhalit je a diskutovat možné následky. Je dobré naučit žáky zpracovávat data a i pomocí grafu, kde se mohou objevovat anomálie, nad kterými by se měli zamyslet a eventuelně je dokázat najít a odstranit. Úvod do tabulkového kalkulátoru 5D Žáci používají tabulkový kalkulátor a jednoduché vzorce pro výpočty nákladů např. školního výletu. Chápou výhody v tom, že stačí měnit pouze aktuální vstupy a neustále budou vypočítávány náklady. Nejprve se učí vstupovat a zadávat data do buněk, po té se učí zadávat vzorce do buněk (sčítání, odčítání, násobení a dělení), krom jednoduchých vzorců mohou postoupit ke složitějším i se závorkami. Vrcholem této kapitoly je používání funkce SUMA. Výběr z témat šestého roku a jejich stručná charakteristika Modelování pomocí tabulkového kalkulátoru 6B Žáci budou v této části používat tabulkový kalkulátor a zamýšlet se jak se mění v závislosti na proměnných. Nejprve je dobré žákům připomenout jejich předcházející zkušenosti s tabulkami a dále pak se s nimi pustíme do zkoumání matematických problémů pomocí tabulkového procesoru. Žáci se učí formulovat samostatně vzorce,

75

které jim pomohou vyřešit zadané problémové situace. Počítají například obvod a obsah obdélníka a poznávají, jak změny v délkách stran ovlivní plochu a obvod. Žáci se učí kopírovat vzorce tak, aby ušetřili práci a mohli snadněji počítat další hodnoty. Vrcholem této kapitoly je vyšetření některých složitějších matematických funkcí a to tak, že si žáci vytvoří tabulku a podle vzorce nechají vypočítat výsledky a po té vytvoří z hodnot graf. Jedná se např. o tyto fce y = x 2 , y = 2x, y = x + 3 Řízení a sledování – Co se stane když… 6C V této lekci se žáci učí, jak je možné využívat vstupní zařízení počítače k řízení činností. Připojují světelné, tlakové a teplotní senzory, pomocí nichž mohou ovládat počítačem naprogramovaná výstupní zařízení. Tak například, když se setmí, může se jim rozsvítit světlo. Žáci přemýšlí a diskutují o rozdílu mezi událostí vyvolanou změnou fyzikálních podmínek a událostí spuštěnou podle načasování. Diskutují o ekonomičnosti, například co je ekonomičtější, zda časové nebo teplotní ovládání vytápění bytu, zvažují i kombinace obou alternativ. Žáci se učí zadávat instrukce tak, aby například světlo na výstupu pravidelně rozsvěcovalo a zhasínalo. Po té se žáci učí používat dvě vstupní čidla a jejich princip si vysvětlují na příkladu otevírání a zavírání dveří (vstoupí na jedno tlakové čidlo – dveře se otevřou, projdou a vstoupí na druhé a dveře se zavřou). Žáci pak pracují na plánku domu, který je vybaven čidly pro řízení teploty, ovládání dveří, světla, ale i hlídání. Používání internetu jako zdroje informací a jejich interpretace 6D Žáci se učí vyhledávat informace na internetu a kriticky je hodnotit a porovnávat s ostatními, ověřovat tak jejich pravdivost. Žáci se učí vybírat podstatné informace (ať z knih, encyklopedií na CD či internetu) a vzájemně s nimi seznamovat třídu. Na internetu si žáci vytváří seznam vlastních oblíbených odkazů, učí se vyhledat a po té vytisknout vyhledané informace. Učí se vyhledávat pomocí klíčových slov a používat spojky „and“. V neposlední řadě se učí chápat autorská práva a to v případě, když používají obrázky či text pro vlastní prezentace. Závěr Po prostudování britských učebních plánů jsem si položil otázku, v čem vidím jejich výhody a zda-li by se některé prvky daly použít u nás. Nejprve bych se však rád zamyslel nad jejich koncepcí a srovnal ji s naší, kterou v sobě zahrnuje Rámcové vzdělávací program pro základní vzdělávání. U nás se v podstatě oficielně dostaly ICT na první stupeň základní školy až s RVP ZV. Ze zkušeností s tvorbou konkrétních ŠVP, lze konstatovat, že výuka ICT je většinou jako samostatný předmět nasazována do 4. či 5. ročníku. Učitelé jako by měli obavy z nasazení na nižší první stupeň a přitom právě od mala se žáci učí s počítačem pracovat, a pokud ho mají doma, je pro většinu především nástrojem ke hraní her. Je škoda nerozvíjet u žáků komplexní pohled na využívání ICT. Srovnáme-li zpracování obou dokumentů tak první čeho si všimneme, je že britské standardy jsou oproti našim RVP velice precizně rozpracované do jednotlivých kapitol. Každá kapitola má svůj cíl, kde se stručně píše podstata toho, co by se žáci měli naučit. Následují oddíly zaměřené na úvodní seznámení a pak sada úloh, které mají učiteli pomoci navodit témata a nápady pro práci s žáky. V každé lekci jsou uvedeny očekávané výstupy, kterých by žáci měli dosáhnout a to jak pro většinu žáků, tak pro žáky, kteří dosahují menších pokroků, ale také pro ty, kteří mají na víc. Obsahuje technický slovník, kde jsou uvedeny klíčové pojmy, se kterými se pracuje a odkazy na

76

zdroje materiálů. V závěru je i možné využít kompletní verzi pro tisk. Naše RVP nabízejí učiteli daleko větší volnost, ale na druhou stranu se obávám toho, že přílišná volnost může vést k tomu, že ŠVP různých škol budou nekompatibilní a hlavně pro samotné učitele může být problém hodiny naplnit. A myslím, že právě tendence vyučovat ICT na prvním stupni nejdříve od 4. ročníku nahrává k potvrzení této mé myšlenky. Myslím, že ideální kombinací by byly RVP tak, jak jsou postavené, ale obohacené o jakýsi nápadník k jednotlivým tématům, který by byl propracovaný tak jako britské standardy. Britské standardy nám, respektive učitelům ukazují jak je možné nenásilnou a přirozenou formou rozvíjet dovednosti potřebné právě v matematice, a které se žáci v Británii učí. Berte můj příspěvek jako ukázku, kde se můžeme inspirovat v tom, jak učit ICT již na prvním stupni základní školy, tak aby se nestávaly jen hodinami o užívání kancelářského balíku. Chceme přeci vychovávat samostatně myslící žáky a ne jen úředníky. Literatura 1. PALASTHY H., LEHOTSKÝ M., CÍRUS L.:Učebné osnovy IKT na Slovensku., In Aktuální otázky vysokoškolské přípravy pedagogických pracovníků, Ústí nad Labem: Pedagogická fakulta UJEP, 2009. s.259-269, ISBN 978-80-7414-193-5 2. ICT at key stages 1 and 2. dostupné na Internetu http://www.standards.dfes.gov.uk/schemes2/it/?version=2 3. Kol. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání (RVP ZV). Praha: VUP, 2005 4. PRÚCHA, Jan; WALTEROVÁ Eliška; MAREŠ Jiří. Pedagogický slovník. Praha: Portál, 2003. ISBN 80-7178-772-8 5. Kol. Vzdělávání pro život v informační společnosti. Praha: Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta, 2005. ISBN 80-7290-202-4 Kontaktní adresa Mgr. Lukáš Círus Katedra matematiky a ICT PF UJEP Hoření 13 400 96 Ústí nad Labem E-mail: [email protected]

77

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

INDIVIDUÁLNÍ PŘEDPOKLADY ŽÁKŮ PRVNÍHO STUPNĚ PRO DALŠÍ ROZVOJ JEJICH MATEMATICKÉHO MYŠLENÍ Jana COUFALOVÁ, Miroslava CHMELOVÁ Abstrakt V rámci předvýzkumu s cílem mapovat individuální předpoklady žáků prvního stupně pro další rozvoj jejich matematického myšlení provedeného v roce 2009 byla vytvořena a žákům prvního stupně prezentována gradovaná série 15 matematických úloh různé obtížnosti. Kvalitativní i kvantitativní zpracování výsledků ukázalo značné individuální rozdíly v úspěšnosti řešení úloh, které přesahují aktuální úroveň učiva daného ročníku, i v postupech řešení. Významné rozdíly byly zaznamenány i v časech potřebných k řešení úloh jednotlivými žáky. THE INDIVIDUAL PREDISPOSITION OF THE ELEMENTARY CHILD FOR FURTHER DEVELOPMENT OF HIS MATHEMATICAL THINKING Abstract This paper describes the results of preliminary research conducted in 2009 with the goal of mapping out primary students’ individual predisposition for further development of mathematical thinking. A series of mathematical problems with gradually increasing levels of difficulty was created and presented to the primary students. It was found out that a relatively high percentage of students are able to solve even more difficult problems than it would corresponded to the common curriculum in particular grade. The important variations were also recorded in time students needed for successful a particular problem solving.

Úvod Vztah mezi mentálním vývojem dítěte a jeho možnostmi učit se je jedním z problémů, které jsou v pedagogickém výzkumu stále aktuální. Již v 60. až 70. letech rozvinul myšlenky o vlivu vyučování na vývoj žáka H. Aebli a L. V. Zankov. Zankov chtěl na základě rozsáhlého empirického výzkumu dosáhnout optimálního vývoje všech žáků, i tzv. nejlepších a nejslabších. Zankov teoreticky návázal především na myšlenky Vygotského. Psychodidaktické výzkumy zaměřené na zónu nejbližšího vývoje tak, jak ji zavedl Vygotskiij, ukazují klady i rizika vyučování založeného na Vygotského koncepci (Brown a Ferrara 1985, Kozulin et al., 2003). Teorie L. S. Vygotského zavrhuje vyučování jako proces, který sleduje vývoj dítěte a respektuje jeho aktuální úroveň, a navrhuje naopak postup, který jde před tímto vývojem „táhne“ dítě za sebou. To znamená, že vyučování není zaměřeno na dosaženou úroveň rozvoje (zóna aktuálního

78

rozvoje), ale na žáka jsou kladeny požadavky, které do jisté míry přesahují jeho současné možnosti (zóna nejbližšího rozvoje - zone of proximal development). Výzkumy zaměřené na ověření platnosti Vygotského teorie ve vyučování (Kozulin et al., 2003) potvrzují možnost dosáhnout při vhodném vedení vyšší úrovně žáků než odpovídá jejich mentálnímu věku. V souvislosti s těmito výzkumy je však nutné položit si otázku, do jaké míry hraje při řešení náročnější úlohy roli vedení žáka učitelem a do jaké míry se jedná o projev toho, že v dítěti samotném je skryt potenciál, který mu dosavadní vyučování neumožnilo projevit. Odhalit tento potenciál a umožnit dítěti odpovídající rozvoj znamená individualizovat vyučování. K ověření hypotézy o existenci tohoto vyššího potenciálu žáků a nutnosti individualizace již na úrovni vyučování elementární matematiky byl v roce 2009 proveden předvýzkum, jehož cílem bylo zmapovat individuální předpoklady žáků prvního stupně pro další rozvoj jejich matematického myšlení. Metodika výzkumu Za účelem diagnostiky matematických předpokladů žáků 1. stupně byla vytvořena gradovaná série 15 matematických úloh různé obtížnosti. Kromě vlastních námětů autorka čerpala z pracovních sešitů pro výuku matematiky na 1. stupni ZŠ a publikace Rozvíjíme logické myšlení (Rougier 2002). Protože cílem předvýzkumu bylo zjistit potenciál jednotlivých žáků, byly úlohy voleny záměrně tak, aby je bylo možné řešit různým způsobem. Výsledné řešení bylo následně zaznamenáno jako vyřešeno, částečně vyřešeno, nevyřešeno. Diagnostika žáků byla provedena v pěti ročnících 1. stupně základních škol ve čtyřech různých městech České republiky (Praha, Plzeň, Rokycany a Ejpovice). V tomto příspěvku se zaměříme pouze na úlohy řešené v prvních a druhých ročnících základních škol. V roce 2009 byly úlohy zadány 119 respondentům. Autorka zadala 80 % úloh osobně, zbylé úlohy byly zadány studentkami 2. ročníku kombinovaného studia Učitelství pro 1. stupeň ZŠ. Zadávající před rozdáním úloh stručně vysvětlila svůj záměr a sledovala reakce třídních učitelek i respondentů. Testování proběhlo anonymně. Výsledky byly rozeslány zpětně pouze informativně, společně s tímto příspěvkem. Žáci se také mohli později seznámit s různými možnostmi řešení úloh. Před zadáním úloh i během samotného řešení byly zaznamenány různé reakce třídních učitelek. Většina ze zmíněných vyučujících připustila, že každý žák může mít určitý potenciál, být na odlišné myšlenkové úrovni. Většina vyučujících ale poté tento názor popřela svými poznámkami, např. „Ale to jsme se ještě neučili, to ty děti nemůžou vědět.“ nebo „Vždyť musí nejdřív dostat základ, aby mohli řešit takové úlohy.“ V průběhu řešení měly některé třídní učitelky snahu vstupovat do samostatné práce žáků a ovlivňovat výsledek šetření, např. „Co to tam píšeš? Podívej se na to pořádně!“ V obou sledovaných ročnících byly zadány shodné úlohy. První úloha byla zadána hromadně. Řešení úloh nebylo časově omezeno. Další úlohy byly zadány již individuálně. Zadávající poznamenala čas zadání i čas odevzdání jednotlivých úloh.

79

Úloha č. 1 Doplň na místo teček chybějící obrázek.

Autorka předpokládala, že respondenti kromě na první pohled evidentního řešení, kdy v prvních dvou řádcích doplní kružnici a v dalším řádku „položený“ obdélník, budou řešit úlohy i dašími způsoby. Protože se ale nepodařilo zaznamenat záměry respondentů, byly další způsoby řešení pokládány za vyřešení úlohy. Doba řešení úlohy U každého řádku by měla být možnost řádek dopsat dále. vyřešili Naprostá většina respondentů vyřešila úlohu č. 1 v časovém intervalu vyřešili částečně do tří minut. V následujícím grafu 1 jsou nevyřešili vidět výrazné odchylky v čase, který respondenti využili k řešení. Tato skutečnost může být do značné míry čas řešení úlohy [min] určena stupněm obtížnosti úlohy, dále také tím, že žáci pomalu kreslí. Graf č. 1 45 40 35

četnost

30 25 20 15 10 5 0

< 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Úloha č. 2 Půjde-li šnek po naznačené přímce, najde jablko. Který šnek to je? Naznač jeho cestu. Dokážeš napsat, co to znamená, když jde někdo po přímce? Dokážeš napsat, co je to přímka?

V úloze č. 2 se záměrně objevilo neznámé slovo, matematický pojem, s kterým se v běžném životě respondenti většinou nesetkávají. Autorka zaznamenala některá intuitivní chápání pojmu.Vysvětlení pojmu přímka ukazovalo výrazně rozdílnou úroveň myšlení žáků. Část řešitelů zůstávala v úrovni konkrétního myšlení Řešení úlohy č. 2 22% někteří označili přímku jako rovnou 31% cestu, tyč či trať, jiní jako zem, po částečně vyřešili intuitivní chápání které šneci mají jít. U některých pojmu 2% částečně vyřešili žáků je však již patrný nastupující proces abstrakce. Dva z respondentů nevyřešili - intuitivní chápání pojmu uvedli, že přímka je rovná přímá nevyřešili čára. Jeden žák naznačil přímku do vzduchu, což komentoval sdělením, 45% že je to čára, která vede k ničemu. Graf č. 2

80

Úloha č. 3 Vypočítej: 8+2= 7+6= 13 - 4 = 5+0= Které příklady ještě neumíš vypočítat?

14 + 9 = 26 + 14 =

27 - 27 = 0 + 128 =

Výsledky počítání příkladů v úloze č. 3 mají velký vypovídající charakter vzhledem k tomu, že v prvním ročníku se v České republice pracuje většinou s číselným oborem do 20, ve druhém do 100 a číselný obor do 1 000 poznávají dle Doba řešení úlohy Rámcového vzdělávacího programu žáci zpravidla až ve 3. ročníku. 1. ročník Omezení číselným oborem vyřešili v jednotlivých ročnících může mít pro 1. ročník nevyřešili některé žáky demotivující charakter. 2. ročník Autorka u žáků 1. stupně zaznamenala vyřešili zájem o velká čísla již od prvního ročníku 1. stupně základní školy. čas na řešení úlohy 85% respondentů z prvních Graf č. 3 ročníků základních škol správně vypočítalo více než dva ze zadaných příkladů na sčítání a odčítání. Řada žáků dokázala bez problémů provést transfer dosavadních poznatků do dosud neprobíraného číselného oboru. Nejvíce žáci chybovali překvapivě v příkladu druhém, při odčítání s přechodem přes desítku. Zde Řešení úlohy č. 3 1. ročník vyvstává otázka, zda probírání odčítání 17% 18% vyřešili jako inverzní operace souběžně se vyřešili částečně sčítáním není v prvním ročníku nevyřešili zavádějící. vyřešili 2. ročník Z uvedeného grafu 4 je evidentní, že někteří žáci 1. ročníku potřebovali pro vyřešili částečně 43% řešení dokonce méně času než žáci 2. 57% ročníku. Někteří žáci prvního ročníku 65% potřebovali na řešení příkladu až sedm minut, přesto v řešení byli zcela Graf č. 4 neúspěšní. 10 9 8

četnost

7 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Úloha č. 4 Jana dostala od maminky na sešity 20 Kč. Koupila si jeden sešit se lvem za 12 Kč. Za kolik korun si mohla koupit druhý sešit? Výsledky úlohy č. 4 ukázaly, že žáci neuvažovali o více řešeních. Toto zjištění se výrazně nelišilo ve srovnání uvedených dvou ročníků. Jediný respondent uvedl dvě řešení. Výsledky ukazují, že žáci tohoto věku nemají potřebu hledat další řešení, nalezením jednoho považují úlohu za vyřešenou. V počátečním vyučování matematice se úlohy podobného typu vyskytují minimálně, dominují úlohy i z pohledu učitele

81

„jasné“ a „jednoznačné“. Žáci jsou tak ochuzováni o významný podnět k rozvoji myšlení. 1%

Řešení úlohy č. 4

34%

vyřešili částečně se dvěmi řešeními vyřešili částečně s jedním řešením nevyřešili 65%

Graf č. 5

Úloha č. 5 Pokračuj v řadě čísel. 12, 13, 14, 15, 16, 17, . , . , . , . 5, 4, 3, . , . , . , .

95, 97, . , . , . , . , .

V úloze č. 5 měli žáci doplnit řady čísel. V zadání byl záměrně naznačen větší počet teček, aby někteří respondenti mohli případně využít znalost záporných čísel a vyjmenovat řadu lichých čísel. Bylo také možno doplnit řadu čísel podle jiného vzorce. Záporná čísla uvedlo 13 respondentů z druhého ročníku. Děti se zřejmě setkaly se zápornými čísly v běžném životě a dokázaly tento poznatek využít. 9 respondentů našlo jiný způsob řešení např. opakování zadání. Svoji roli zde pravděpodobně sehrálo to, že v počátečním vyučování se poměrně často zadávají úlohy podobného typu jako úloha č. 1, tj. opakování určité skupiny prvků. Čas řešení se u této úlohy významně nelišil, úloha byla průměrně řešena za 4 minuty (od 2 do 6 minut). Úloha č. 6 Řeš slovní úlohu. Kolik bys musel mít peněz, aby sis mohl koupit tyto známky na dopis, když všechny stojí stejně? Jak jsi počítal?

Slovní úlohu vyřešilo 47 respondentů. U 8 respondentů mohlo být chybné řešení způsobeno neorientací v obrázku. Žáci se v těchto případech zmýlili v počtu známek, viděli pouze čtyři, ale poté spočítali 40Kč. V úloze č. 6 bylo zaznamenáno několik různých způsobů řešení. Někteří žáci prvního ročníku, kteří úlohu vyřešili, využili počítání po deseti (10, 20, 30, 40, 50). Jeden žák prvního ročníku určil počet známek a tento počet vynásobil deseti (5 · 10). Pouze dva žáci prvního ročníku uvažovali podobně jako většina respondentů z druhého ročníku, kteří sčítali cenu jednotlivých známek (10 + 10 + 10 + 10 + 10). Použití operace násobení v situaci, kdy nebylo násobení ve škole probíráno, je málo pravděpodobné, ale žáci si s úlohou poradili prostředky, které běžně používali pro řešení jednodušších úloh (využití číselné řady, operace sčítání).

82

12%

Řešení úlohy č. 6 25%

42% 6%

58%

57% vyřešili vyřešili částečně nevyřešili nevyřešili - chybně spočítáno

vyřešili nevyřešili

Graf č. 6

Závěr Kvalitativní i kvantitativní zpracování výsledků ukázalo značné individuální rozdíly v úspěšnosti řešení úloh, které přesahují aktuální úroveň učiva daného ročníku, i v postupech řešení. Problematika individualizace vyučování elementární matematiky a dopady induvidualizace na rozvoj matematického myšlení jednotlivých žáků budou předmětem dalšího autorčina zkoumání. Literatura 1. 2. 3. 4.

BROWN, A. L., FERRARA, R. Diagnosing Zones of Proximal Development. In: Wertsch, J., Culture, Communication, and Cognition: Vygotskian Perspectives. New York, Cambridge Univ. Press, 1985, 62–81 s. BROWN, A. L., FRENCH, L. A. The zone of potential development. Implication for intelligence testing in the year 2000. Intelligence 1979. 255-277 s. KONZULIN, A., et al. Vygotsky’s Educational Theory in Cultural Context. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 2003. ROUGIER, R. Rozvíjíme logické myšlení. 3.vyd. Praha: Portál 2002. 21-48 s. ISBN 80-7178-727-2

Kontaktní adresa Doc. PaedDr. Jana Coufalová, CSc. katedra matematiky Fakulta pedagogická ZČU v Plzni Sedláčkova 38, 306 14 Plzeň Fax: +420 377 636 002 Telefon: +420 377 636 000 E-mail: [email protected]

Mgr. Miroslava Chmelová The International Montessori School of Prague & ZS JAM Hrudičkova 2107/16 148 00 Prague 4 - Roztyly Telefon: +420 272 937 758 E-mail: [email protected]

83

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

ŽÁCI, UČITELÉ A ALGORITMY Jana COUFALOVÁ, Miroslava CHMELOVÁ, Regina HRABĚTOVÁ Abstrakt Problematika chápání algoritmu učiteli počátečního vyučování, přeceňování nácviku početních algoritmů, ale i podceňování algoritmizace činností u části učitelů. Možnosti přístupu k individuálním algoritmům žáků. Historicko-kulturní aspekty algoritmů početních operací. PUPILS, TEACHERS AND ALGORITHMS Abstract Problems of primary teachers´ understanding of an algorithm, maximization of the training of numerical algorithms but also minimalization of the process of the algorithm development in a part of teachers. Possibilities of an approach to individual algorithms of pupils. Historical-cultural aspects of algorithms of numerical operations. Úvod Pro řadu učitelů je stále cílem vyučování matematice na 1. stupni základní školy naučit žáky bezchybně a rychle sčítat, odečítat, násobit a dělit. V mnohých zůstává představa, že „rozumět matematice“ je úkolem vyšších stupňů vzdělávání. Bohužel se zdá, že po několika letech spojených s chutí „dělat věci jinak“ upadá část učitelů znovu do rutiny mechanického nácviku početních operací. Rámcový vzdělávací program přinesl však i druhý extrém – ve snaze být co nejvíce tvořivými a originálními vnímá část učitelů algoritmus jako něco svazujícího. Uvedené extrémy ukazují, že práce s algoritmy v matematice má aspekty, které přesahují oborové zaměření. Všimněme si některých z nich. V kognitivní psychologii je algoritmus chápán jako sled operací, které se opakovaně používají, aby došlo k dosažení cíle – vyřešení problému (Sternberg, 2002). V dalším textu budeme chápat algoritmus jako postup – návod na realizaci procedury (algoritmus písemného odečítání víceciferných čísel, algoritmus konstrukce trojúhelníka, známe-li velikosti jeho stran, algoritmus řešení určitého typu slovních úloh apod.). Algoritmus a vlastní vzdělávací zkušenost učitele Vytvoření algoritmu vede bezpochyby k zefektivnění početních procesů. Z hlediska vyučování matematiky je podstatné, jakou cestou žák k algoritmu dospěje. Cesta může být čistě formální, algoritmus je učitelem žákům sdělen, vysvětlen, poté je žáky procvičován. Algoritmus může však být také výsledkem žákových objevů, cílem procesu hledání řízeného učitelem. Abychom zjistili, do jaké míry je tento proces ovlivněn výsledkem algoritmizace u samotného učitele, provedli jsme následující experiment.

84

120 studentů oboru Učitelství pro 1. stupeň ZŠ bylo na seminářích vyzváno, aby zpaměti určili součet 230 + 120 a poté popsali algoritmus, který k nalezení součtu použili. Společně se podařilo najít následující postupy: 1) 230 + 120 = 230 + (100 + 20) = (230 + 100) + 20 = 330 + 20 = 350 2) 230 + 120 = (200 + 30) + (100 + 20) = (200 + 100) + (30 + 20) = 300 + 50 = 350 3) 230 +120 = 23 · 10 + 12 · 10 = (23 +12) · 10 = 35 · 10 = 350 Po společné analýze jednotlivých algoritmů byla studentům položena otázka: „Který postup je nejlepší?“ Odpověď měli studenti vyjádřit zakroužkováním čísla algoritmu. Křížkem měli vyznačit odpověď na další otázku: „Který postup byste doporučili svým žákům?“ Odpovědi mohli doplnit slovním komentářem. Z odpovědí vyplynulo, že téměř všichni studenti považují za „nejlepší“ algoritmus, který sami používají. Jeho preferenci odůvodňovali nejčastěji slovy: „Tak jsme se to ve škole učili.“, nebyli ochotni přijmout výhody jiného postupu. Na druhou otázku přibližně polovina studentů (48 %) odpověděla v tom smyslu, že nelze říci, který algoritmus je pro žáky nejlepší, protože každému žákovi vyhovuje jiný postup. Ostatní ovšem považovali „svůj“ algoritmus za nejlepší i pro žáky. Výsledek je alarmující o to více, že 70 respondentů tvořili studenti kombinované formy studia, vesměs učitelé doplňující si kvalifikaci. Všichni studenti již prošli kurzem pedagogiky, který obsahoval témata individualizace vyučování, transmisivní a konstruktivistické pojetí vyučování apod. Z uvedených výsledků je zřejmé, jak silně ovlivňuje vlastní vzdělávací zkušenost učitele jeho přístup k volbě algoritmu. Skutečnost, že má učitel algoritmus zcela zautomatizovaný, se často stává překážkou v jeho komunikaci se žákem. Zejména studenti učitelství na pedagogické praxi a začínající učitelé se obtížněji vžívají do situace, že žák teprve algoritmus objevuje. Aby si budoucí učitelé uvědomili jednotlivé kroky algoritmů pamětného a písemného počítání, je vhodné do jejich přípravy zařadit provádění početních operací v nedesítkových číselných soustavách. V tomto prostředí se uplatňují stejné principy početních algoritmů jako v desítkové soustavě, ale student je nucen provádět uvědoměle každý krok, protože výsledky nejsou zautomatizovány a zafixovány. Individuální algoritmus žáka Pokud učitelé připouštějí možnost volby algoritmu žákem, nemusí to vždy znamenat, že to chápou jako možnost užívat i zcela individuální „ve škole neprobíraný“ algoritmus. Zejména při práci s nadanými žáky, kteří jsou schopni řešit úlohy ještě dříve, než je k tomu ve škole probírán příslušný algoritmus, se setkáváme s postupy, které se odlišují. Takový žák dokáže pomocí prostředků, které již ovládá, provádět i náročnější výpočty. V prvním pololetí proběhl mezi žákem 1. třídy, který pracuje jako nadané dítě podle individuálního plánu, a učitelem následující rozhovor navazující na povídání o možnostech klasického a digitálního fotoaparátu: Ž: „Kolik snímků je na jednom filmu?“ U: „Třicet šest.“ Ž: (asi za minutu) „To znamená, že na dvou filmech jich je 72?“ U: „Jak to víš?“ Ž: „No přece 35 a 35 je 70, protože 30 a 30 je 60 a plus 5 a 5 je 70 a 2 je 72.“ U: „Kde se vzaly ty 2?“ Ž: „Z těch šesti. 1 a 1 jsou 2.“

85

Co se stane s takovým individuálním algoritmem později, tedy v období, kdy žák ve škole pozná i jiné postupy? Mohou nastat následující situace: a) Žák opouští dosavadní algoritmus a spontánně přijímá nový, protože ho považuje za lepší. („Počítal jsem to jinak, ale vidím, že takhle je to lepší.“) b) Žák opouští dosavadní algoritmus, protože ho považuje za špatný (někdy i zakázaný) a učitelem předložený algoritmus za správný. („Počítal jsem to jinak, ale má se to počítat takhle.“) c) Žák dále používá dosavadní algoritmus, ale tváří se, že přijal algoritmus, který používá učitel nebo jiní žáci. („Počítám to jinak, ale paní učitelka to neví. Když chce, vypočítám to i podle ní.“) d) Žák dále používá dosavadní algoritmus, protože mu vyhovuje, učitel to respektuje. („Vím, jak to počítají ostatní, ale já to počítám trochu jinak. Paní učitelka říkala, že je můj postup zajímavý.“) Je zřejmé, že z hlediska rozvoje žákovských kompetencí jsou cenné situace a), d), ale v praxi bohužel stále převažují situace b), c). Honzík jede s maminkou tramvají, která je zařízená tak, že část sedadel je označená jako „domácí“ a část jako „hosté“. Po obsazení sedadel se cestujícím ukazuje na displeji „skóre“. Honzík se baví tím, že počítá, kolik lidí dohromady sedí. M: „A co kdyby tam bylo 19:19?“ H: „Tak to je 38.“ M: „Jak jsi to vypočítal?“ H: „To je tajemství.“ M: „A prozradíš mi to?“ H: „Já ti to pošeptám, ale neprozraď to paní učitelce.“ M: „Neprozradím.“ H: (šeptá do ucha): „To máš jako 20 a 20 je 40 a uberu ty dvě a to je 38.“ M: „Kde jsi vzal dvě?“ H: „No z těch 20 bez jedné.“ Historicko-kulturní aspekty algoritmů početních operací. Početní algoritmy mají historické a kulturní pozadí. Řadu příkladů uvádí Liping Ma, když srovnává postupy užívané při provádění početních operací v amerických a v čínských školách (Ma, 2009). I v naší škole však najdeme algoritmy, které mají svůj historický základ ve zcela odlišných podmínkách rakouského školství. Při objevování algoritmu písemného odčítání učitelé zpravidla vychází ze situací, které vznikají při nakupování nebo půjčování a vracení peněz: „V peněžence mám 62 Kč. Kolik korun mi zůstane, když zaplatím za nákup 37 Kč?“ Situaci demonstrujeme modelem peněz. Použijeme 6 desetikorun a 2 korunové mince. Když chceme zaplatit, musíme 1 desetikorunu rozměnit. Manipulaci s penězi odpovídá algoritmus písemného odčítání, ve kterém si „vypůjčíme“ v menšenci jednu desítku, „rozměníme ji“ na 10 jednotek a ty „přidáme“ k dosavadním jednotkám (dostaneme 5 desítek a 12 jednotek). Postupně pak odčítáme 12 – 7 = 5, na místo jednotek zapíšeme 5, 5 – 3 = 2, na místo desítek napíšeme 2, rozdíl je 25 (62 – 37 = (50 + 12) – (30 + 7) = (50 – 30) + (12 – 7) = 20 + 5 = 25). Podle popsaného algoritmu, který vyžaduje "přeskupení" (62 vyjádříme jako 50 + 12), počítají například žáci v amerických školách. Postup odpovídající naší tradici je však jiný. Využívá tzv. dočítání (7 a kolik je 12?) a skutečnosti, že rozdíl se nezmění,

86

pokud menšence i menšitele zvětšíme o stejné číslo. Jestliže jsme o 10 jednotek zvětšili menšence (místo 2 uvažujeme 12), o 1 desítku musíme zvětšit i menšitele (3 + 1 = 4, 4 a kolik je 6?). Uvedený příklad ukazuje, jak musí učitel umět rozložit algoritmus na dílčí kroky, aby nalezl situace, které podnítí odpovídající objevitelské činnosti žáků. V praxi se bohužel setkáváme s tím, že motivační situace neodpovídá výslednému algoritmu. V transmisivním vyučování učitel mnohdy motivuje žáky výše popsanou situací nakupování, ale potom jim sdělí algoritmus založený na dočítání. Pokud by žáci dospěli k objevu algoritmu konstruktivistickou cestou, byl by to zřejmě nejprve algoritmus založený na „výpůjčce“ z jednotek vyššího řádu. Závěr I když jsme se zaměřili především na početní algoritmy, je zřejmé, že popsané problémy se týkají i dalšího učiva. Aby žák používal algoritmus s porozuměním jeho struktuře, musí se učitel sám zbavit stereotypu řešení problémů, musí vytvořit prostředí podnětné pro žákovské objevy a respektovat rozdílnost kognitivních procesů svých žáků. Literatura 1. STERNBERG, R. J. Kognitivní psychologie. 1.vyd. Praha: Portál, 2002. 636 s. ISBN 80-7178-376-5 2. MA, L. Knowing and teaching elementary mathematics : teachers' understanding of fundamental mathematics in China and the United States. New York: Routledge, 2009. 166 s. ISBN 978-08058-2909-9

Kontaktní adresa Doc. PaedDr. Jana Coufalová, CSc. Mgr. Miroslava Chmelová – doktorské studium Mgr. Regina Hrabětová – doktorské studium katedra matematiky, Fakulta pedagogická ZČU v Plzni Sedláčkova 38, 306 14 Plzeň Telefon: +420 377 636 000 E-mail: [email protected]

87

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

PRÁCE S TEXTEM SLOVNÍ ÚLOHY Jana DUŠKOVÁ, Šárka PĚCHOUČKOVÁ Abstrakt Cílem činností se slovními úlohami, které byly zadány žákům pátého ročníku, bylo učit děti pracovat s textem, vyhledávat potřebné a nadbytečné údaje, tvořit zápis slovní úlohy a zejména učit se vhledu do problému popisovaného danou slovní úlohou. Ukázalo se, že ne všichni žáci jsou schopni identifikovat v textu nadbytečné údaje a vyřadit je ze zápisu. To mělo negativní dopad na následnou tvorbu nové slovní úlohy. WORKING WITH WORD PROBLEMS Abstract The goal of activities with word problems presented to primary students was to teach the children how to work with text, search for necessary and unnecessary data, make notes and particularly learn an insight into the problem described in the word problem. It turned out that not all students are able to identify redundant information in the text and exclude them from registration. This had a negative impact on the subsequent creation of a new problem.

1. Úvod Ve výuce matematiky mají důležité místo slovní úlohy. Jsou přínosné nejen pro rozvoj samostatného myšlení žáků, ale také pro zvyšování úrovně schopnosti aplikovat vědomosti a dovednosti. Na počátku procesu práce se slovní úlohou je setkání žáka s jejím textem. které do značné míry determinuje, jak bude řešitelský proces probíhat. Lze předpokládat, že úloha bude žákem následně správně řešena, pokud budou splněny podmínky čtení textu s porozuměním, nalezení a uchopení všech potřebných objektů a vztahů týkajících se řešené situace, tedy získání celkového vhledu do struktury slovní úlohy. 2. Řešení slovních úloh Slovní úloha může být zadána konceptuálně nebo procesuálně (Ruppeldtová, 2005). Za konceptuální bývá považováno takové zadání úlohy, které je uvedeno jako popis situace, jež se nemění s časem. Je-li zadání uvedeno jako posloupnost informací o změnách v dané situaci, ke kterým dochází postupně, označujeme je jako procesuální. Procesu řešení slovních úloh je tradičně věnována značná pozornost odborníků i učitelů. Za základní rozdělení tohoto procesu považujeme Polyovo dělení (1973) do čtyř etap: uchopování, stanovování strategie, realizace strategie, interpretace výsledků. My se budeme podrobněji zabývat etapou uchopování slovní úlohy. Podle Novotné (2000) tato etapa zahrnuje:

88

1.

uchopování a identifikaci všech objektů a vztahů, které se týkají dané řešené situace, se současným vyřazením vztahů a objektů nadbytečných; 2. hledání a nalezení všech vztahů týkajících se procesu řešení; 3. hledání a nalezení sjednocujícího pohledu; 4. získání celkového vhledu do struktury problému. Vhledem do struktury slovní úlohy chápeme jednak ucelené pochopení vztahů mezi jednotlivými prvky, které obsahuje text slovní úlohy, jednak uvědomění si souvislostí. Na základě úplného vhledu do struktury slovní úlohy žák volí správnou strategii, která vede k nalezení řešení úlohy. Uchopení textu slovní úlohy je velmi úzce spojeno s porozuměním textu obecně. Na základě výzkumu bylo zjištěno, že mezi základní příčiny nesprávného uchopení slovní úlohy patří (Novotná, 2000): 1. žák má nedostatečné předchozí zkušenosti a znalosti související s kontextem nebo potřebným matematickým zázemím úlohy; 2. žák nečte zadání pozorně, s porozuměním; 3. žák nesprávně interpretuje jeden nebo více termínů použitých v zadání úlohy; 4. žák není schopen spojit oddělené informace a vztahy do jednoho komplexnějšího celku. Krejčová (2005) uvádí, že žáci mají problémy se čtením textu s porozuměním, což se může projevit přehlédnutím otázky a následně pak řešením složené slovní úlohy jako slovní úlohy jednoduché. Jak je vidět z předchozího textu, jedním ze základních předpokladů úspěšného řešení slovní úlohy je mimo jiné správné porozumění textu a určení vztahů a souvislostí mezi údaji. K tomu může, zvlášť ve vyšších ročnících, přispět také vhodný zápis slovní úlohy. Ze zkušeností učitelů 1. stupně však vyplývá, že mnohdy právě zápis slovní úlohy činí některým dětem větší potíže než vlastní řešení úlohy. Správnému určení vztahů a souvislostí mezi údaji napomáhá také vlastní tvorba slovních úloh žáky, při které si lépe uvědomují strukturu úlohy a učí se v ní orientovat. 3. Sonda na základní škole V průběhu školního roku byly žákům 1. stupně postupně zadány 4 série úkolů zaměřených na: 1. vytvoření zápisu a zadání slovní úlohy; 2. vytvoření textu slovní úlohy podle sady obrázků; 3. vytvoření textu jednoduché slovní úlohy na dané téma; 4. vytvoření textu jednoduché slovní úlohy podle zadaného příkladu nebo odpovědi na slovní úlohu. Inspirací k uvedeným aktivitám byly přednášky a semináře našich kolegyň doc. PaedDr. Jany Coufalové, CSc. (2002) a Renaty Nechanické (2002). Cílem činností bylo probudit zájem žáků o řešení slovních úloh, učit je pracovat s textem, vyhledávat potřebné a nadbytečné údaje, tvořit zápis slovní úlohy a zejména učit se vhledu do problému popisovaného danou slovní úlohou. V následujícím textu se budeme zabývat pouze aktivitou 1. Sondy se zúčastnilo 42 žáků pátých ročníků dvou tříd (5.A, 5.B) ZŠ Kubatova České Budějovice, kteří pracovali ve skupinách po pěti nebo šesti. Byla pro ně připravena následující testová baterie slovních úloh:

89

Úloha 1: (procesuálně zadaná jednoduchá slovní úloha na odčítání se silným regionálním kontextem) Žáci 5.A (ve druhé třídě zadáno 5.B) jeli s paní učitelkou na školní výlet do hlubocké ZOO vlakem. Ujeli 15,3 km. Zpátky do Budějovic se vrací pěšky. Po 8,9 km cesty jsou unaveni a odpočívají. Kolik kilometrů jim ještě zbývá do Českých Budějovic? Úloha 2: (konceptuálně zadaná jednoduchá slovní úloha na sčítání, slovo „zlevněný“ má funkci antisignálu) Novákovi chtějí strávit letošní dovolenou v Krkonoších, nemají ale stan. V letáku objevili, že právě probíhají letní slevy. Stan, který se jim líbí, byl zlevněn o 470 Kč a nyní stojí 1 499 Kč. Jaká byla jeho původní cena? Úloha 3: (konceptuálně zadaná jednoduchá slovní úloha na dělení obsahující nadbytečný číselný údaj a nadbytečné slovní informace) Jirkův tatínek je řidič a vozí uhlí. Když auto plně naloží, uveze 7 tun uhlí. Nakládání trvá 25 minut. Kolikrát se musí obrátit, aby složil paní Novotné objednaných 15 tun uhlí? Úloha 4: (konceptuálně zadaná jednoduchá slovní úloha na násobení obsahující nadbytečný číselný údaj a nadbytečnou slovní informaci) Ve školní jídelně vaří každý pracovní den 892 obědů pro 32 tříd a učitelský sbor. Kolik obědů uvaří v jídelně za měsíc červen, který má 22 pracovních dnů? Po úvodní motivaci dostala každá skupina arch balicího papíru se zadáním jedné slovní úlohy (každá skupina měla jinou úlohu), barevný mastný pastel, lepenku a nůžky. Úkolem dětí bylo vytvořit zápis dané úlohy, zadání slovní úlohy zapečetit a arch předat další skupině. Podle zápisů slovních úloh pak skupiny vytvářely nové zadání slovní úlohy. Poté následovalo opětovné předání mezi skupinami. Celý tento postup se ještě jednou opakoval. Celkově tedy byly vytvořeny dva zápisy a dvě zadání, přičemž žádná skupina nepracovala dvakrát se stejnou slovní úlohou. Po ukončení této části následovala expozice práce jednotlivých skupin spojená s reflexí, diskuse nad prací skupiny a řešení žáky zvolené úlohy. Sonda trvala dvě vyučovací hodiny v jednom bloku. Zápis slovní úlohy byl posuzován z několika hledisek: • kondenzace textu (vhodná, částečná, nedostatečná, vyřazení/ponechání nadbytečných číselných údajů a informací); • posouzení zápisu jako výchozího materiálu pro zpracování následného zadání; • formální správnost (respektování struktury zápisu, který obsahuje známé údaje a vhodně transformovanou otázku s neznámým hledaným údajem); • obsahová správnost (zda jsou do zápisu vybrány nosné informace, nezbytné číselné údaje a uvažována spojitost s reálným životem). Zadání slovní úlohy bylo hodnoceno podle následujících kritérií: • vytvoření konceptuálně/procesuálně zadaného textu slovní úlohy; • zachování typu jednoduché slovní úlohy (na sčítání, odčítání, násobení nebo dělení) vzhledem k původnímu textu; • formální správnost (respektování struktury zadání, které obsahuje známé údaje a vhodně formulovanou otázku s neznámým údajem) vzhledem k původnímu textu;

90

•

obsahová správnost (zda zadání osahuje nosné informace, nezbytné číselné údaje a vyjadřuje sepětí s reálným životem).

Nyní se zaměříme na podrobnější analýzu úlohy 3. Úkolem první skupiny bylo vytvořit zápis slovní úlohy (obr. 1). Kondenzace textu je pouze částečná, protože zápis obsahuje nadbytečný číselný údaj a také nadbytečné slovní informace, což zřejmě vyplývá z nedostatečného uchopení textu výchozí slovní

obr. 1

úlohy. Zařazení nadbytečných slovních informací usnadňuje práci další skupině při tvorbě nového textu úlohy. Také z hlediska formálního a obsahového lze zápis hodnotit jako částečně správný. Další skupina transformovala uvedený zápis do nového zadání slovní úlohy (obr. 2).

obr. 2

Vzhledem k původnímu textu byl zachován typ jednoduché slovní úlohy na dělení, která byla opět zadána konceptuálně. Po formální stránce byla respektována struktura zadání, jen za otázkou chybí otazník. Text obsahuje nosné informace, nezbytné číselné údaje. Ze zápisu je převzat i nadbytečný údaj. Třetí skupina vytvořila na základě nového zadání nový zápis slovní úlohy (obr. 3). Kondenzace výchozího textu je nedostatečná. Skupina jednak nedovedla vyhodnotit číselný údaj 25 min jako nadbytečný, jednak nesprávně transformovala otázku předložené slovní úlohy. Nelze tedy hovořit ani o formální, ani o obsahové správnosti. Zápis v této podobě představuje ztížení podmínek pro další skupinu.

91

obr. 3

Poslední skupina vytvořila následující slovní úlohu (obr. 4). Výsledkem práce této skupiny je konceptuálně zadaná jednoduchá slovní úloha na násobení. Ke změně typu slovní úlohy došlo na základě nedostatečného uchopení textu a následně chybného zápisu zadané slovní úlohy předchozí skupinou. Vytvořený text je možné považovat za formálně správný, tzn. že respektuje strukturu slovní úlohy. Ačkoliv došlo ke změně smyslu původní úlohy po stránce obsahové, zadání zahrnuje

obr. 4

nosné informace i nezbytné číselné údaje a také jeden nadbytečný číselný údaj převzatý z předloženého zápisu. V procesu tvorby dvojího zápisu a dvojího zadání je výsledkem obsahově zcela odlišná slovní úloha, kontext je změněn. Konceptuální zadání se zachovalo, avšak místo jednoduché slovní úlohy na dělení získáváme jednoduchou slovní úlohu na násobení. Došlo tedy i ke změně typu úlohy. Za hlavní příčinu popsané situace považujeme to, že žáci nedovedli identifikovat nadbytečný číselný údaj, který se v závěrečné práci se slovní úlohou změnil na údaj nezbytný. Potíže tedy nastaly hned v prvním kroku etapy uchopování – v uchopování a identifikaci všech objektů a vztahů, které se týkají dané řešené situace, se současným vyřazením vztahů a objektů nadbytečných. 4. Závěr Sonda odhalila určité nedostatky v práci žáků s textem slovní úlohy v oblasti vhledu do struktury úlohy a jejího uchopení, což se projevilo ve tvorbě zadání i kvalitního zápisu. Domníváme se, že popsané aktivity by bylo vhodné zařadit do vyučovacích hodin matematiky na prvním stupni. Literatura 1. 2.

COUFALOVÁ, J. Matematika s didaktikou pro 2. ročník učitelství 1. stupně ZŠ. 1.vyd. Plzeň: Západočeská univerzita, 2002. 114 s. ISBN 80-7082-922-2. KREJČOVÁ, E. Slovní úlohy a rozvíjení kombinačního a funkčního myšlení. In HÍC, P.; ŽÍDEK, O.; POKORNÝ M. (ed) Induktívné a deduktívné prístupy

92

3.

4. 5. 6.

v matematike Trnava: Trnavská univerzita v Trnave, 2005, s. 155 - 157. ISBN 808082-030-9. NECHANICKÁ, R. Učitelská a řešitelská soutěž na 1. stupni ZŠ. In JIROTKOVÁ, D.; STEHLÍKOVÁ, N. (ed) Dva dny s didaktikou matematiky 2002 Praha: Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta, 2002, s. 91. ISBN 80-7290-1060. NOVOTNÁ, J. Analýza řešení slovních úloh. 1.vyd. Praha: Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta, 2000. 126 s. ISBN 80-7292-011-0. POLYA, G. How to solve it: a new aspect of mathematical method. 2.vyd. Princeton: Princeton University Press, 1973. 253 s. ISBN 0-691-02356-5. RUPPELDTOVÁ, J. Fenomény náročnosti slovných úloh. In HÍC, P.; ŽÍDEK, O.; POKORNÝ M. (ed) Induktívné a deduktívné prístupy v matematike Trnava: Trnavská univerzita v Trnave, 2005, s. 223 - 229. ISBN 80-8082-030-9.

Kontaktní adresa Mgr. Jana Dušková ZŠ Kubatova České Budějovice Kubatova 1, 370 04 České Budějovice Telefon: +420 387 318 864 E-mail: [email protected]

PhDr. Šárka Pěchoučková, Ph.D. KMT FPE ZČU Plzeň Klatovská 51, 306 14 Plzeň Telefon: +420 377 636 274 E-mail: [email protected]

93

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

PODMIENKY PRE ROZVOJ MATEMATICKEJ GRAMOTNOSTI ŠTUDENTOV PRED VSTUPOM NA VYSOKÚ ŠKOLU Ľubica GEROVÁ Abstrakt Článok sa zaoberá niektorými podmienkami pre rozvoj matematickej gramotnosti študentov počas ich stredoškolského štúdia. Ide o študentov, ktorí majú záujem pokračovať v štúdiu na vysokých školách v odbore Predškolská a elementárna pedagogika. Ako učitelia budú pôsobiť v materských školách a na 1. stupni ZŠ. Táto problematika súvisí s riešeným projektom VEGA „Analýza matematickej prípravy študentov odboru Predškolskej a elementárnej pedagogiky z pohľadu rozvoja matematickej gramotnosti“ (2008 – 2010).1 CONDITIONS FOR DEVELOPMENT OF STUDENTS MATHEMATICAL LITERACY BEFORE THEIR ENTRANCE TO UNIVERSITY Abstract The article is dealing with some conditions for development of student mathematical literacy during their study at secondary schools. We mean the students who want to continue their study at universities in the branch Pre-school and elementary pedagogy. They will teach in the kindergartens and at elementary schools. This theme is connected with the solved project “Analysis of students mathematical preparation in the branch Pre-school and elementary pedagogy from mathematical literacy development point of view” (2008 – 2010).

Úvod Slovné spojenie matematická gramotnosť rezonuje v posledných rokoch častejšie v odborných kruhoch i vo verejnosti. Skúsenosti, poznatky a zistenia súvisiace aj priamo s riešeným projektom VEGA boli publikované vo viacerých prácach a zborníkoch napr. (Gerová, Klenovčan, 2005 – 2007), (Gerová, 2009), (Kováčik, 2009), (Gombár, Mokriš, Zeľová, 2009), (Klenovčan, 2009). Nadobúdanie matematickej gramotnosti človeka je celoživotný proces. Jedným obdobím v tomto procese je stredoškolské štúdium. Počas neho by sa mala rozvíjať matematická gramotnosť aj tých študentov, ktorí sa neskôr budú pripravovať na učiteľské povolanie. Oni budú dôležitým činiteľom, pretože budú ovplyvňovať rozvíjanie matematickej gramotnosti svojich žiakov. Skúmali sme niektoré podmienky, ktoré môžu súvisieť s rozvíjaním matematickej gramotnosti študentov na strednej škole.

1

Príspevok vznikol s podporou grantu VEGA č. 1/0192/08.

94

Vychádzajúc z poznatkov Pedagogických fakúlt jednotlivých univerzít v Banskej Bystrici, v Trnave a v Prešove väčšina študentov prichádza do 1. ročníka vysokej školy zo stredných škôl pedagogického zamerania (SPgŠ, PaSA), z akadémií (obchodnej, hotelovej), menej z gymnázií a z ďalších SOŠ a SOU (Klenovčan, 2009, s. 100). Preto naše zistenia o podmienkach sa týkali týchto škôl. Vzhľadom na to, že v tomto období prechádza stredná škola aj obsahovými zmenami v jednotlivých predmetoch, uvádzame niektoré údaje, ktoré popisujú situáciu pred aj po zavedení štátneho vzdelávacieho programu (ďalej len ŠVP). Dáta sme získavali z rozhovorov s učiteľmi SŠ a zo sprístupnených informácií na webových stránkach škôl, MŠ SR a Štátneho pedagogického ústavu. Cieľom nášho prieskumu bolo diagnostikovať podmienky pre rozvoj matematickej gramotnosti študentov pred vstupom na vysokú školu. K podmienkam zaraďujeme časový, obsahový, materiálny a ľudský faktor. Úroveň matematickej gramotnosti študentov pred vstupom na VŠ je odrazom prostredia, v ktorom študovali a tiež ich vlastnej aktívnej činnosti. Pri skúmaní problémov vytýčených cieľom sme použili metódu získavania nových údajov (empirické metódy pedagogického výskumu) - obsahovú analýzu písomných dokumentov oficiálnej povahy (učebné plány, učebné osnovy, štandardy, ŠVP ISCED 3A, učebnice a zbierky úloh z matematiky, profil absolventa) a metódu spracovania získaných údajov (teoretické metódy) - analýzu, syntézu, zovšeobecňovanie. Pri hodnotení získaných údajov sme vychádzali aj z vlastných dlhoročných pedagogických skúseností a pozorovaní. 1. Učebný plán. Vyučovací predmet Matematika Matematické poznatky, zručnosti a skúsenosti študentov, s ktorými prichádzajú na vysokú školu sú čiastočne podmienené možnosťami, ktoré určuje učebný plán predmetu. Nasledujúca tabuľka sumarizuje údaje škôl, z ktorých prichádzajú študenti – budúci učitelia. Tabuľka 1 Prehľad počtu hodín matematiky Gymnázium SPgŠ, PaSA OA SOU, 4-roč. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4 4 3 3 3 3 2 - 3 3 2 2 2 2 2 2 UP do 2 2 2 3 2 2 3 2008/9 4 3 3 1 2 2 2 - 3 3 2 - 2 2 1 1 UP po 2 2 2 - 2 2 2 2 2008/9 Poznámka: Uvádzané dve možnosti počtu hodín pri niektorých typoch škôl súvisia s rôznymi študovanými odbormi Napr. na PaSA ide o odbor „animátor voľného času“ (3,3,2) a „učiteľstvo pre MŠ a vychovávateľstvo“ (2,2,2). Počet hodín matematiky na jednotlivých školách je ovplyvnený aj rozhodnutím vedenia školy o pridelení tzv. „voľných“ hodín pre jednotlivé predmety.

Časový priestor pre vyučovanie matematiky na každom type školy a v každom ročníku sa zmenšil, a tým i možnosti ovplyvňovať rozvíjanie matematickej gramotnosti študentov. Počas 4-ročného štúdia na gymnáziu je to približne o 99 hodín menej, na pedagogických školách o 66 menej, na OA podľa odboru až o 132 menej. Ak si uvedomujeme, že úlohy súvisiace s rozvojom matematickej gramotnosti vyžadujú od riešiteľa komplexnejšie prepojenie matematických poznatkov a zručností na rôznej úrovni, tak „tréning“ činností, ktoré tomu napomáhajú, si vyžaduje, aby učiteľ mal naň dostatok času a nebol v časovej tiesni. Dá sa očakávať, že učiteľ v snahe splniť požiadavky pre osvojenie si základného učiva v obmedzenom čase, sa v budúcnosti bude menej orientovať na komplexnejšie, neštandardné úlohy. Zistenia ukázali

95

(Gombár, M. – Mokriš, M.- Zeľová, 2009, s. 62), (Kováčik, 2009, s. 526), (Gerová, 2009, s. 516), že aj pri vyššom počte hodín matematiky do r. 2008/9 úroveň matematickej gramotnosti študentov pri nástupe na VŠ mala (niekedy aj značné) rezervy. Kováčik (2009, s. 526) uvádza, že „ ... Údaje uvedené ... poukazujú na nedostatočné kompetencie budúcich učiteľov, ... Nedostatočné kompetencie pramenia zo slabej matematickej prípravy budúcich učiteľov už na strednej škole.“ 2. Školská učebnicová literatúra Matematické úlohy, ktoré vychádzajú z charakteristiky matematickej gramotnosti, ako to uviedla správa PISA (2003), by mali mať svoje miesto v školskej literatúre určenej pre študenta. Preto sme zisťovali, ktoré tituly učitelia pri vyučovaní matematiky používajú. Napriek neustálym menším alebo väčším obsahovým úpravám v učebných osnovách v minulom období ide stále o učebnice a zbierky úloh, ktorých prvé vydania vyšli ešte v 80-tych rokoch 20. storočia (autori Smida, Odvárko, Šedivý, Riečan s kolektívmi). Na gymnáziách súbežne s nimi, ale menej často, učitelia od r. 1996 používajú aj novšiu sadu učebníc (T. Hecht s kolektívom). Od r. 2009 sa začali používať už aj nové učebnice matematiky pre gymnáziá, ktoré vyšli v súvislosti so zavedením ŠVP, no zatiaľ len prvé časti pre 1. a 2. ročník (Kubáček). Druhé časti ešte nie sú k dispozícii. SOŠ a SOU používajú len tituly z 80-tych rokov (autori Calda, Odvárko, Petránek, Kolouchová, Jirásek, Vejsada s kolektívmi). Podľa vyjadrení učiteľov, ktorí vyučujú matematiku na gymnáziu, väčšinou nepoužívajú len jednu učebnicu pre príslušný ročník, ale kombinujú ich podľa toho, ktoré tematické celky so žiakmi preberajú a kde je toto učivo prijateľnejšie spracované pre príslušnú skupinu žiakov. Mnohí však vyhľadávajú a tvoria potrebné učebné texty sami, pretože pre niektoré témy im súčasné učebnice nepostačujú. Na SOŠ učitelia zostali len pri používaní učebníc, ktoré študentom pomáhajú 25 rokov. Stretli sme sa aj s tým, že študent učebnicu vôbec nemá a učiteľ mu poskytuje len svoje stručné poznámky. V súvislosti so ŠVP učitelia zatiaľ nemajú žiadne informácie o nových učebniciach. Zostáva im len možnosť kombinovať „staré“ učebnice s vlastnými zdrojmi. Analogická situácia je aj v SOU. 3. Matematické úlohy z pohľadu PISA Bez riešenia úloh nie je jednoduché pochopiť matematiku. Posudzovali sme úlohy v používanej školskej literatúre na stredných školách, aby sme zistili, ktoré z nich pomáhajú rozvíjať matematickú gramotnosť študentov v zmysle PISA. Predpokladali sme, že vzhľadom na menované druhy literárnych titulov sa budú vyskytovať len sporadicky. Potvrdilo sa, že v niektorých učebniciach sa úlohy tohto druhu nevyskytujú, v niektorých len ako motivačné príklady, v podobe cvičení je ich podstatne menej. Slovné úlohy sú síce kontextom prepojené so životom v spoločnosti, ale ich formulácia nezodpovedá použitým nástrojom štúdie PISA. Vďaka niektorým tematickým celkom v učebniciach matematiky (Kubáček, 2009) študenti budú už častejšie riešiť úlohy, ktoré sú zámernejšie a konkrétnejšie orientované na rozvoj ich matematickej gramotnosti. Tieto úlohy vyžadujú väčší časový priestor pre riešenie. Budúcnosť ukáže, ako bude splnený zámer pri zníženom počte vyučovacích hodín. Zaujímala nás aj charakteristika úloh. Publikácie, v ktorých sme vhodné úlohy neidentifikovali, neuvádzame. Šedivý, J. a kol.: Matematika pre 3. ročník gymnázia, 1991 – ide o štandardné úlohy na upevnenie učiva, ale vzhľadom na tematické celky Elementárne metódy spracovania štatistických súborov a Základné pravdepodobnostné pojmy sú úlohy spojené s reálnym

96

životom danej doby; jednou časťou matematického obsahu podľa PISA je náhodnosť (štatistika a pravdepodobnosť); počet úloh: 66; úlohy súvisia s kompetenciami na úrovni reprodukcie, príp. prepojenia. Riečan, B a kol.: Matematika pre 4. ročník. gymnázia, 1987 – úlohy sú z tematických celkov Diferenciálny počet – prehľad aplikácií, Systematizácia poznatkov o riešení slovných úloh, Optimalizačné úlohy; ide o štandardné slovné úlohy, ktoré však môžu byť použité ako prípravné úlohy k riešeniu požadovaných úloh (PISA) a o úlohy spojené s rozhodovaním; optimalizačné úlohy sa najviac približujú požiadavkám podľa PISA a sú spojené s kompetenciami aj na úrovni prepojenia, inak ide o kompetencie na úrovni reprodukcie; počet úloh: 11. Smida, J. a kol.: Zbierka úloh z matematiky pre 1. ročník gymnázia, 1992 - úlohy sú z tematického celku Rovnice a nerovnice, Sústavy rovníc a nerovníc, Lineárna optimalizácia; niektoré úlohy je možné použiť ako prípravné, úlohy z lineárnej optimalizácie možno považovať za podobné tým, ktoré požaduje PISA; uplatňujú sa prvé dve úrovne kompetencií.; počet úloh: 12. Bušek, I. a kol.: Zbierka úloh z matematiky pre 3. ročník gymnázia, 1988 – úlohy sú z tematického celku Elementárne metódy spracovania štatistických súborov; počet: 41; zistená situácia je analogická ako pri učebnici matematiky pre 3. roč. (Šedivý a kol.). Bušek, I. a kol.: Zbierka úloh z matematiky pre 4. ročník gymnázia, 1991 – ide o tematický celok Systematizácia poznatkov o riešení rovníc a nerovníc (sú to algebraické úlohy, ktoré sa výhodne riešia pomocou grafov funkcií), Systematizácia poznatkov o riešení geometrických úloh (úlohy o vzájomnej polohe útvarov, úlohy o vzdialenostiach, veľkostiach a mierach), Systematizácia poznatkov o riešení slovných úloh (matematizácia slovných úloh s nematematickým obsahom, zásada dvoch skúšok pri riešení slovných úloh, optimalizačné úlohy riešené pomocou parametrických systémov útvarov); počet: 17; zadania úloh sú spojené s reálnou situáciou, ide o tradičné školské úlohy, ktoré môžu byť dobrou prípravou k úlohám v zmysle PISA, uplatňuje sa úroveň reprodukcie i prepojenia. Hecht, T. a kol.: Matematika pre 1. ročník gymnázia a SOŠ, zošit 2 Rovnice a nerovnice, 2006 - ide o úlohy spojené s grafickým riešením, zostavovaním tabuliek a ich čítaním, rozhodovaním, kontexty úloh sú z reálneho života; počet úloh: 10; sú na úrovni reprodukcie i prepojenia. Hecht, T. a kol.: Matematika pre 1. ročník gymnázia a SOŠ, zošit 4 Kombinatorika, 2006 – sú to bežné školské úlohy, ale prepojené so životom ľudí v spoločnosti, použiteľné sú ako prípravné úlohy na úrovni reprodukcie; počet: 5. Hecht, T. a kol.: Matematika pre 2. ročník gymnázia a SOŠ, zošit 1 Funkcie, 2006 úlohy sú použité ako úvodné príklady a motivácia k učivu, sú orientované na odhad, vnímanie meniacich sa veličín, čítanie a tvorbu grafov; počet: 6; ide o úroveň reprodukcie i prepojenia. Hecht, T.: Matematika pre 4. roč. gymnázia a SOŠ, zošit 1 Postupnosti, 2005 - úlohy vychádzajú z prostredia financií a merania teploty na reprodukčnej úrovni; počet: 4. Kubáček, Z.: Matematika pre 1. ročník gymnázia, 1. časť, 2009 – úlohy sú z tematického celku Percentá, pomer, mierka, kurzy a v ňom ide o aplikáciu poznatkov ZŠ v nových situáciách (pre študentov), ktoré súvisia s každodenným životom ľudí; počet: 19; v ďalšom celku Vzorce a vzťahy s písmenami aj bez nich sa vyskytujú úlohy, kde študent vystupuje v úlohe autora, lebo dotvára zadanie úlohy, posudzuje ponúknuté návrhy, opravuje nesprávne vzťahy, vysvetľuje reálnu situáciu podľa uvedených vzťahov, rozhoduje podľa údajov v tabuľkách, používa rôzne druhy grafov, dopĺňa chýbajúce údaje; počet: 32; v tematickom celku Bez rovníc to nepôjde sa upevňujú

97

základné matematické poznatky v situáciách každodenného života, úlohy sú svojim charakterom podobné tým z predchádzajúceho celku; počet: 8; zastúpené sú kompetencie na všetkých troch úrovniach. Kubáček, Z.: Matematika pre 2. ročník gymnázia, prvá časť 2009 – v tematickom celku Približné čísla sú úlohy orientované na čítanie informácií z tabuľky, tvorbu tabuľky, využívanie číselných údajov z rôznych prostredí reálneho života, na vysvetľovanie výsledkov, na úlohy s viacerými otázkami, na kontext reálneho života v súčinnosti zmysluplných výpočtov; počet: 31; v celku Rovnice a nerovnice sa tiež vyskytujú úlohy s viacerými otázkami, s kontextom reálneho života pre zmysluplné výpočty, s kontrolou správnosti ponúknutých výsledkov; počet 10; názov tematického celku Úroky, úspory, pôžičky napovedá, že úlohy sú úzko späté so životom študenta (práca s grafmi, tabuľkami, vzorcami, čítanie s porozumením,...); počet: 73; zastúpené sú všetky úrovne. Z uvedeného vyplýva, že v používanej literatúre na SŠ, okrem dvoch ostatných menovaných učebníc matematiky, je možné identifikovať niektoré úlohy, ktoré čiastočne vyhovujú podmienkam PISA, vychádzajú zo situácií, ktoré sú dané v štúdii PISA (osobný život, škola alebo zamestnanie, voľný čas, spoločnosť a veda), je v nich zastúpený matematický obsah (kvantita, priestor a tvar, zmena, vzťahy a závislosť, náhodnosť), ale na druhej strane počet úloh je nepostačujúci k rozvíjaniu matematickej gramotnosti študentov a aj keď kontext vychádza zo života spoločnosti, je len estetickou zložkou úlohy. Ide skôr o precvičenie matematického učiva ako o riešenie problémov. Kubáčkove učebnice sú krokom vpred. No sú určené len študentom gymnázia. 4. Učiteľ Učiteľ je dôležitým činiteľom v procese rozvíjania matematickej gramotnosti študentov. Rozhoduje jeho odborná pripravenosť, tvorivosť, záujem, osobný prínos. Ak sú jeho schopnosti a zručnosti dostatočné, dokáže naplno využiť potenciál úlohy. Tvorivosť je náročná činnosť. Vyžaduje si dostatok času, ktorý učiteľ vždy nemá k dispozícii. Preto je dôležité, aby mal dostatok materiálu k efektívnej práci a mohol pozornosť sústreďovať najmä na študenta. Zatiaľ vhodný úlohový materiál každý učiteľ nemá. 5. Študent Cesta k vyšším úrovniam matematickej gramotnosti študentov vedie cez rozvíjanie ich schopností. S tým je však spojená aj niekoľkoročná práca samotného študenta počas ZŠ a SŠ. Potrebuje motiváciu k činnosti, ktorou by mala byť najmä potreba riešiť problémy v reálnej situácii. Mal by prejaviť záujem a uplatniť svoju aktivitu, aby sa mohol postupne zdokonaľovať vo svojich poznatkoch, zručnostiach, schopnostiach a kompetenciách. Podľa Brinckovej (2009, s. 500) „Nevyhnutnou súčasťou cieľov vzdelávania je vypestovať u žiakov zodpovednosť za vlastné učenie sa.“ Tvorcovia ŠVP ponechávajú možnosti rozvíjania matematickej gramotnosti v rozširujúcich hodinách matematiky. Nie je to však istá cesta, pretože nebude schodná pre všetkých. Záležať bude na tom, či bude o tieto hodiny záujem zo strany študentov (i učiteľov). Tým sa starostlivosť z tohto hľadiska nedostane všetkým rovnako. Záver K zlepšeniu podmienok pre rozvíjanie matematickej gramotnosti študentov stredných škôl je potrebné: - využiť všetky možnosti, ktoré dovoľuje učebný plán v rámci rozdelenia dobrovoľných hodín pre matematiku, dôvodom je aj dosiahnutá nízka úroveň matematickej gramotnosti 15-ročných žiakov (výsledky PISA 2003, 2006);

98

- zabezpečiť učebnice a zbierky s vhodnými úlohami pre všetky typy škôl; tvorbu doplnkovej literatúry orientovať na rozvíjanie matematickej gramotnosti; - motivovať študentov k tomu, aby sa aj vlastnou aktivitou snažili rozvíjať svoju matematickú kompetenciu, ktorú formuloval Európsky parlament: „Matematická kompetencia je schopnosť rozvíjať a používať matematické myslenie na riešenie rôznych problémov v každodenných situáciách. Vychádzajúc z dobrých numerických znalostí sa dôraz kladie na postup a aktivitu, ako aj na vedomosti. Matematická kompetencia zahŕňa na rôznych stupňoch schopnosť a ochotu používať matematické modely myslenia (logické a priestorové myslenie) a prezentácie (vzorce, modely, diagramy, grafy, tabuľky).“ (ISCED 3A) Literatúra 1. BRINCKOVÁ, J.: Školská reforma a medzipredmetové vzťahy vo vyučovaní matematiky“. In: IMEM 2009. Ružomberok: 2009, s. 497-505. ISBN 978-80-8084471-4 2. GEROVÁ, Ľ.: Matematická gramotnosť – kompetencia matematickej argumentácie študentov Predškolskej a elementárnej pedagogiky. In: Zborník „Príprava učiteľov v procese školských reforiem“. Prešov: PF PU, 2009. s. 512-518. ISBN 978-80-5550024-9 3. GEROVÁ, Ľ., - KLENOVČAN, P.: Riešenie matematických úloh pre 1. stupeň ZŠ z pohľadu rozvíjania matematickej gramotnosti. In: CD „Induktívne a deduktívne prístupy v matematike“. Trnava: PF TU, 2005. s. 78-88. ISBN 80-8082-030-9 4. GEROVÁ, Ľ.- KLENOVČAN, P.: Riešenie praktických situácií a rozvoj matematickej gramotnosti. In: Zborník „Matematika 2“. Olomouc: PF UP, 2006. s. 78-83. ISBN 80-244-1311-6 5. GEROVÁ, Ľ.- KLENOVČAN, P.: Rozvíjanie matematickej gramotnosti budúcich učiteľov – elementaristov. In: Zborník „Vyučování matematice z pohledu kompetencí žáka a učitele 1. stupně základního vzdělávání“. Plzeň: PF ZU, 2007. s. 48-53. ISBN 978-80-7043-548-9 6. GOMBÁR, M. – MOKRIŠ, M.- ZEĽOVÁ, V.: Analýza úrovne matematickej gramotnosti študentov Predškolskej a elementárnej pedagogiky – oblasť kvantita. In: Zborník „Matematika z pohľadu primárneho vzdelávania“. Banská Bystrica: UMB, 2009. s. 58-62. ISBN 978-80-8083-742-6 7. KLENOVČAN, P.: Matematická gramotnosť študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika. In: Zborník „Matematika z pohľadu primárneho vzdelávania“. Banská Bystrica: UMB, 2009. s. 97-101. ISBN 978-80-8083-742-6 8. KORŠŇÁKOVÁ, P.: Úlohy 2003, matematika. Bratislava: ŠPÚ,2004. ISBN 8085756-89-7 9. KOVÁČIK, Š.: Matematická gramotnosť – kompetencia riešenia a tvorby problémových úloh študentmi predškolskej a elementárnej pedagogiky. In: Zborník „Príprava učiteľov v procese školských reforiem“. Prešov: PF PU, 2009. s. 522-527. ISBN 978-80-555-0024-9 Kontaktná adresa PaedDr. Ľubica Gerová, PhD. Katedra matematiky FPV UMB Tajovského 40, 974 01 Banská Bystrica, SR Telefón: +421 48 446 7122 E-mail: [email protected]

99

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

MATEMATIKA A SOUČASNOST Pavla HEŘMÁNKOVÁ Abstrakt Úroveň matematických znalostí českých žáků základních škol a dovedností nutných při jejich prokazování klesá. Rovněž vývoj obliby matematiky v rámci stejné cílové skupiny vykazuje klesající trend. Přestože by již zahájená reforma českého školství měla vést k odstranění mnohých negativních vlivů, je nutno i nadále inovovat stávající výuku a navrhovat a zkoumat nové směry, kterými by se mohla výuka matematiky ubírat a směřovat k naplňování cílů vzdělávací oblasti i ke zkvalitňování orientace žáků ve světě 21. století. Jedním z takovýchto směrů by mohlo být průběžné zařazování úloh s ekonomickou tematikou do výuky již od základní školy. MATHEMATICS AND PRESENT Abstract The quality of the mathematical knowledge and the skills necessary for its demonstration decreases among the pupils of the Czech grammar schools. Also the evolution of the popularity of mathematics shows the same decreasing trend within the same target group. In spite the reformation of the Czech school system has already started and elimination of many negative phenomena is expected, the innovation of the current tuition and the design and investigation of the new courses in the tuition of mathematics is necessary for both meeting the targets in the educational field and improving the orientation of pupils in the 21st century. The continuous implementation of the mathematical problems with the economic subject matter into the tuition in the grammar schools could be one of these courses.

1. Úvod Snaha o zkvalitňování výuky je nejen v oblasti matematiky významnou složkou vzdělávání na všech stupních vzdělávání. Změny ve společnosti se dějí neustále, proto je snahou stále aktuální. Předložená práce je kompilací s hodnotícími stanovisky. V článku se snažím ve stručnosti popsat teze mé vědecké práce, analyzovat stávající stav těch aspektů výuky matematiky, které jsou východisky pro mé další bádání, a naznačit směr, kterým se můj výzkum bude ubírat. 2. Současná úroveň výsledků žáků v matematice V roce 2008 byla zveřejněna závěrečná první zpráva mezinárodního srovnávacího výzkumu TIMSS 2007, ve kterém byli zapojeni žáci čtvrtých a osmých tříd základních škol. Více než 9000 českých žáků bylo testováno ve dvou oblastech – v matematice

100

a přírodních vědách. Česká republika se do výzkumu TIMSS zapojila už potřetí. Výsledky výzkumu z roku 2007 a jejich porovnání s předchozími lety (1995 a 1999) mohou být cennými východisky pro následující pedagogické výzkumy zabývající se příčinami stávajícího stavu a návrhy na zvýšení efektivity vzdělávání v uvedených oblastech. Vzhledem k zaměření článku budou dále v této kapitole popsány výsledky žáků čtvrtých tříd vyjádřené počty dosažených bodů a procentním zastoupením odpovědí ve výzkumech TIMSS pouze z oblasti matematiky. 2.1. Výsledky žáků 4. tříd Výsledek českých žáků čtvrtých tříd v matematice byl v roce 2007 podprůměrný (486 bodů, přičemž průměr odpovídá 500 bodů, Martin, 2009). Přitom zhoršení vyjádřené jako rozdíl průměrných výsledků České republiky v letech 1995 až 2007 je největší ze všech evropských zemí a členských zemí OECD, které se do výzkumu zapojily v obou letech (odpovídá průměrnému zhoršení výsledků testovaných žáků o 54 bodů!; Tomášek, 2008). Ve výsledcích žáků z matematiky byly kromě obsahové náplně (zvládnutí učiva) hodnoceny také dovednosti, které mají žáci při práci s učivem prokázat. Čeští žáci byli průměrní při používání znalostí, ale při jejich prokazování a v uvažování byli podprůměrní, přičemž nejhůře si vedli v prokazování znalostí. V jejich používání byli chlapci úspěšnější než dívky, v ostatních oblastech byly jejich výkony srovnatelné. Výsledky získané průzkumem obliby matematiky ukazují vývoj směrem k vyhraněným názorům (Tab. 1). Mezi lety 1995 a 2007 přibylo žáků, kteří mají matematiku velmi rádi a velmi neradi, každých o 11 %. Celkově však došlo k výraznému poklesu obliby matematiky u devítiletých žáků (nerad(a) a velmi nerad(a)), a to ze 17 % na 28 %. Tabulka 1. Srovnání oblíbenosti matematiky u českých žáků 4. ročníku základních škol v letech 1995 a 2007 (Tomášek, 2008). Stupeň oblíbenosti [žáci v %] Rok Velmi rád(a) Rád(a) Nerad(a) Velmi nerad(a) 1995 36 48 13 4 2007 47 25 13 15 3. Neustálá inovace výuky matematiky v souladu s potřebami společnosti Celkově na tom není Česká republika s výsledky vzdělávání v matematice nejhůře. Zdviženým ukazováčkem je však trend vývoje, prokázaný ve výsledcích mezinárodních výzkumů, přičemž nejhorší situace je u nejmladších dětí. Mnozí odborníci vidí příčinu v ještě stále špatně nastavených cílech a pojetí výuky matematiky (viz např. Šteffl, 2010). Jedná se o pojetí výrazně akademické, zaměřené na přípravu budoucích studentů gymnázií a vysokých škol. Smysluplnost od života odtrženému pojetí matematiky dodává především její využitelnost v budoucím studiu či povolání. Ani tento aspekt však není pro české žáky dostatečnou motivací, neboť Česká republika patří k zemím s nejnižším zastoupením žáků, kteří chtějí studovat na vysoké škole (Martin, 2009). Přestože v mezinárodních výzkumech čeští učitelé uvádějí, že od žáků vyžadují méně často, aby se učili nazpaměť vzorce a postupy a častěji požadují, aby dávali nové poznatky do souvislosti s každodenním životem, jedná se stále často

101

o pouze nepatrné a formální propojení s běžným životem dětí (Martin, 2009, Šteffl, 2010). Výše popsané výsledky výzkumu TIMSS 2007 postihují výchozí stav v době zahájení reformy českého školství, která by kromě jiného měla vést k odstranění mnohých negativních jevů. Žák by se měl z pasivního příjemce informací stát aktivním člověkem orientujícím se ve společnosti a využívajícím získaných poznatků k řešení problémů. Jistě je potřeba dát inovaci školství dostatek času. Společnost se však dnes vyvíjí velice rychle a proto je snad už nyní čas navrhovat a zkoumat další možná opatření ke zvyšování kvality výuky i tak etablovaných oborů, jako je matematika. 4. Rozvoj ekonomického myšlení populace již od základní školy U mnohých lidí vzbuzuje matematika spíše obavy a ve společnosti není přikládán vzdělání v matematice zásadní význam. Postoje žáků k matematice se v průběhu jejich vzdělávání mění, přičemž zásadní vliv na vytváření těchto postojů má škola a učitel. Celkový obraz matematiky ve vnímání žáků dotváří rovněž dospělí lidé z jejich okolí a také celebrity, které jsou idolem pro mládež a které se mnohdy pyšní svým negativním postojem k matematice (Stopenová, 2007). Není potom divu, že matematika bývá vnímána jako věda neužitečná pro běžný život a práci. Mnohé z událostí a problémů, se kterými se dnešní společnost potýká, nás však přesvědčují o opaku. Současná ekonomická krize a její příčiny a stále rostoucí zadlužování států i jednotlivců v době klesajícího i rostoucího HDP, jsou pouze nejkřiklavějšími důsledky rozhodnutí nejen politiků, ale i obyčejných lidí, a odráží kromě jiného současný stav schopnosti lidí aplikovat základní matematické a logické operace a pracovat s čísly. Důležitou součástí matematického vzdělávání jsou podle Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání nestandardní aplikační úlohy a problémy, jejichž řešení může být do značné míry nezávislé na znalostech a dovednostech školské matematiky. Autoři v odkazovaném dokumentu poukazují na vhodnost prolínání těchto úloh všemi tematickými okruhy v průběhu celého základního vzdělávání. Mezi cíle vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace patří mimo jiné rozvoj vnímání složitosti reálného světa a jeho pochopení, rozvíjení zkušeností s matematickým modelováním, provádění rozboru problému a plánu řešení, odhadování výsledků, volba správného postupu k vyřešení problému a vyhodnocování správnosti výsledku vzhledem k podmínkám úlohy nebo problému (Jeřábek, 2007). Součástí výuky na základních školách by měla být také průřezová témata (viz Jeřábek, 2007). V odkazovaném dokumentu jsou popsány vztahy průřezových témat k některým vzdělávacím oblastem, ale ani jednou se mezi nimi neobjevuje oblast Matematika a její aplikace. Ve své vědecké práci jsem se začala zabývat zařazením úloh s ekonomickou tématikou do výuky matematiky na SŠ. Při výběru vhodných témat však narážím na to, že mnohé úlohy, které by mohly napomáhat k rozvoji ekonomického myšlení v tom nejširším slova smyslu, jsou příliš jednoduché z pohledu postupů a matematických operací využitelných při jejich řešení a jejich zařazení se tedy hodí spíše na základní školu. V běžném životě v ekonomickém světě se totiž nejčastěji setkáváme s matematickými úlohami, k jejichž řešení je zapotřebí především právě poznatků z elementární matematiky vyučované na základní škole. Přitom pokud budeme ekonomické myšlení vnímat skutečně v nejširším smyslu tohoto pojmu a řadit do něj schopnost práce s čísly a hodnotami, vnímání naší pozice v ekonomickém světě a vzájemné vztahy mezi námi a těmito hodnotami, mohli bychom jej rozvíjet zařazením vhodných úloh do výuky v oblasti Matematika a její aplikace již

102

od základní školy (přičemž jejich obtížnost by měla být závislá na míře rozumové vyspělosti žáků). Zařazení těchto úloh by mohlo přispívat nejen k předcházení ekonomických problémů v různé šíři a hloubce, k rozvoji myšlení a využívání matematických poznatků v životě ve společnosti 21. století, ale také k rozvoji osobnostních kompetencí včetně kompetencí řešit problémy a v neposlední řadě k posílení vědomí žáka ve vlastní schopnosti logického uvažování, vnímání matematiky jako užitečného předmětu a tím ke zvýšení její obliby. Zároveň by zařazení takovýchto úloh přispívalo k naplňování dílčích cílů vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace i některých průřezových témat – lze najít průnik například s cíli témat Osobnostní a sociální výchova nebo Výchova demokratického občana. 5. Závěr Jako vystudovaný učitel matematiky patřím do skupiny, která dle výzkumů vnímá matematiku jako významně užitečnější, pestřejší a zábavnější (viz např. Pöschl, 2005) než jak ji vnímají studenti. V uvedeném textu jsem se snažila poukázat na nezbytnost kvalitní výuky matematiky na všech stupních vzdělávání jako na nenahraditelný nástroj v boji s ekonomickými problémy současné společnosti. Tento boj se totiž neodehrává pouze mezi ekonomy, vedením velkých bank a podniků a politiky, jeho součástí je každý z nás. Míra naší účasti je samozřejmě odlišná, ale tím spíše se zdá nutné rozvíjet ekonomické myšlení vhodnými způsoby již u žáků základních škol, kdy ještě nevíme, jakým směrem se bude ubírat jejich životní dráha. Kromě toho, elementární matematika zaměřená na rozvoj ekonomického myšlení v kontextu dnešního světa se může stát užitečným nástrojem k rozvoji kompetencí k řešení problémů, občanských kompetencí a kompetencí k učení. Prakticky orientovaná výuka matematiky pak může být vnímána jako užitečná a navíc může motivovat k učení i ty žáky, kteří jsou v matematice méně úspěšní. Informace uvedené v článku jsou spíše hodnocením stávajícího stavu a vizemi do budoucna, na praktické uchopení problematiky a konkrétní návrhy metod a úloh, které by mohly vést k jejich naplnění, bych se chtěla soustředit ve své další práci. Literatura 1. 2.

3.

4.

JEŘÁBEK, J. et al. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání [online]. 3. verze. Praha: VÚP, 2007. Dostupný z WWW: . ISBN neuvedeno. MARTIN, M.O., et al. TIMSS 2007 Internatinal Mathematics Report: Findings from EIA′s Trends in International Mathematics and Science Study at the Fourth and Eighth Grades. 2. upravené vydání. Boston: TIMSS & PIRLS, 2009. ISBN 1889938-48-3. Dostupné z WWW: . PÖSCHL, R. Vnímání významu matematiky a fyziky středoškolskými studenty. Praha, 2005. 65 s. Diplomová práce. Univerzita Karlova v Praze, Matematickofyzikální fakulta. Dostupný z WWW: . STOPENOVÁ, A., NOVÁK, B. Je možné změnit postoje žáků k matematickému vyučování? In COUFALOVÁ, J. (ed.) Vyučování matematice z pohledu kompetencí žáka a učitele 1. st. základního vzdělávání. 1. vyd. Plzeň: Západočeská univerzita, 2007. ISBN 978-80-7043-548-9. s. 172-176. Dostupný také z WWW: .

103

5. 6.

ŠTEFFL, O. Blog.aktuálně.cz [online]. Citováno [2010-02-05]. Dostupný z WWW: . TOMÁŠEK, V., et al. Výzkum TIMSS 2007: Obstojí čeští žáci v mezinárodní konkurenci? 1. vyd. Praha: UIV, 2008. ISBN 978-80-211-0565-2. Dostupné z WWW: .

Kontakt Mgr. Pavla Heřmánková PdF UP v Olomouci, Žižkovo náměstí 5, 771 40 Olomouc a Moravská vysoká škola Olomouc Jeremenkova 42, 772 00 Olomouc Telefon: +420 587 332 356 E-mail: [email protected]

104

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

SKÚSENOSTI S KOMBINOVANOU FORMOU VÝUČBY PREDMETU LOGIKA, MNOŽINY, RELÁCIE Pavel HÍC, Milan POKORNÝ Abstrakt V prvej časti článku autori sumarizujú svoje skúsenosti, ktoré nadobudli počas piatich rokov kombinovanej vúčby predmetu Logika, množiny, relácie s použitím troch e-learningových kurzov Logika, Množiny a Binárne relácie. V druhej časti článku autori opisujú nové elektronické testy k tomuto predmetu, ktoré pripravili v tomto akademickom roku ako doplnkový študijný materiál, ktorý by mal pomôcť študentom pri samostatnej príprave na tento predmet. EXPERIENCE WITH B-LEARNING IN THE SUBJECT LOGIC, SETS, BINARY RELATIONS Abstract In the first part of the paper the authors summarize their experience with combination of the classical way of teaching and e-learning courses Logic, Sets, and Binary Relations in teaching of the subject Logic, Sets, Binary Relations. In the second part of the paper the authors characterize new electronic tests designed during this academic year as an additional study material for students of this subject.

1. Úvod Pedagogická fakulta Trnavskej univerzity sa už od svojho vzniku snaží využívať výhody IKT vo vzdelávaní, najmä vo vyučovaní prírodovedne zameraných predmetov (pozri napr. [9], [11]), matematiku nevynímajúc. Spočiatku išlo najmä o používanie izolovaných programov v rámci počítačom podporovaného vzdelávania. Významný krok vpred nastal v roku 2003, kedy TU začala používať LMS EKPTM, ktorý priniesol dovtedy neprístupné možnosti využitia IKT na dosiahnutie vzdelávacích cieľov (pozri napr. [8]). Od tohto roku začali aj autori tohto článku intenzívne pripravovať e-learningové kurzy a doteraz ich pripravili šesť: Grafové algoritmy v školskej praxi, Binárne relácie, Logika, Množiny, Opisná štatistika a Testovanie štatistických hypotéz. O obrovskom význame IKT vo vyučovaní matematiky na univerzitách svedčí aj skutočnosť, že väčšina univerzít a fakúlt ich pomerne značne využíva v rámci vzdelávacieho procesu. Podľa Hanzela (pozri [1]) sa výraz e-learning pri riešení problémov vo vzdelávaní objavuje veľmi frekventovane a predstavuje kvalitatívne nový prístup k realizácii vzdelávania, ktorý je založený na aplikácii softvérových produktov. Podľa Klenovčana (pozri [10]) v súčasnej dobe môžeme pozorovať pomerne veľký rozmach vyučovacích metód, ktoré sú podporované počítačmi a rôznymi sieťovými systémami. Súhrnne sú nazývané ako e-learningové metódy. Sú jednou z alternatív,

105

ktorá by mala zabrániť nežiaducemu znižovaniu úrovne vyučovania. Sumarizujúca štúdia o vyučovaní matematiky v prostredí IKT autorky K. Žilkovej [12] akcentuje najmä potrebu vytvárania interaktívneho prostredia a využívania dynamických aktivít v matematickom vzdelávaní, pričom poukazuje na možnosť veľkej variability vo výbere technických aj programových produktov. 2. Vyučovanie predmetu Logika, množiny, relácie V nasledujúcej časti článku sa budeme venovať skúsenostiam s využitím kurzov Logika, Množiny a Binárne relácie vo vyučovacom procese. Všetky tri kurzy majú viacero spoločných čŕt. V prvom rade je to skutočnosť, že hoci tematicky patria do oblasti matematiky, nie sú primárne určené pre prípravu budúcich učiteľov matematiky či odborníkov z matematiky, ale pre prípravu budúcich učiteľov na prvom stupni ZŠ. Tomu je samozrejme prispôsobené aj spracovanie všetkých troch kurzov. Tieto obsahujú menej teórie a dôkazov, ale množstvo príkladov a úloh, na ktorých si študenti okamžite preveria, či daný pojem alebo poznatok správne pochopili. Ďalšou spoločnou vlastnosťou všetkých troch kurzov je, že slúžia vo vyučovaní jedného spoločného predmetu s názvom Logika, množiny, relácie. Kurz Binárne relácie je rozdelený do desiatich kapitol, ktoré pokrývajú problematiku karteziánskeho súčinu, definície binárnej relácie a jej určenia charakteristickou vlastnosťou, vrcholového grafu binárnej relácie, inverznej a doplnkovej relácie, vlastností binárnych relácií, relácie ekvivalencie a rozkladu, relácie usporiadania, lineárne usporiadanej množiny a zobrazenia. V jeho finálnej podobe sme ho vo vyučovacom procese po prvý raz použili v akademickom roku 2005/2006. Vyučovanie predmetu Logika, množiny, relácie vtedy prebiehalo kombinovanou formou, kedy časti logika a množiny sa preberali klasickým spôsobom, zatiaľ čo časť binárne relácie sa preberala pomocou e-learningového kurzu, ku ktorému mali denní študenti štyri 90-minútové konzultácie a externí študenti jednu 180-minútovú konzultáciu (poznamenajme, že odhadovaný čas potrebný na zvládnutie učiva obsiahnutého v kurze je 40 - 50 hodín). Z uvedených časových dotácií je zrejmé prudké zníženie počtu kontaktných hodín oproti klasickému spôsobu vyučovania. V akademickom roku 2005/2006 sme kurz použili pre 22 študentov dennej a 52 študentov externej formy štúdia odboru „Predškolská a elementárna pedagogika“ a s výsledkami tohto nového spôsobu vyučovania sme boli spokojní. Binárne relácie tvorili približne polovicu obsahu predmetu, čomu bolo prispôsobené aj záverečné hodnotenie, kde zo 100 bodov na záverečnom teste bolo možné získať 50 za logiku a množiny (ďalej 1. časť) a zvyšných 50 za relácie (ďalej 2. časť). Z výsledkov záverečného testu vyplýva, že priemerná úspešnosť v 1. časti bola 78% (denní študenti), resp. 73% (externí študenti) a priemerná úspešnosť v 2. časti bola 86% (denní študenti), resp. 80% (externí študenti). Je zrejmé, že študenti dokázali zvládnuť učivo obsiahnuté v kurze viac než len na minimálnej požadovanej úrovni pre úspešné absolvovanie predmetu. Hodnota korelačného koeficientu medzi oboma časťami testu bola 0,59 (denní študenti), resp. 0,42 (externí študenti) a 95% intervaly spoľahlivosti pre korelačný koeficient sú (0,20;0,82), resp. (0,16;0,63). Možno teda povedať, že študenti zvládli obsah kurzu tým lepšie, čím lepšie výsledky dosiahli v 1. časti. (pozri [7]) Podobný spôsob výučby predmetu sme použili aj v nasledujúcom akademickom roku pre 32 študentov dennej a 50 študentov externej formy štúdia tohto odboru. Z výsledkov záverečného testu vyplýva, že priemerná úspešnosť v 1. časti bola 59% (denní študenti), resp. 62% (externí študenti) a priemerná úspešnosť v 2. časti bola 63% (denní študenti), resp. 66% (externí študenti). Hoci úspešnosť študentov poklesla, študenti opäť zvládli učivo viac než len na minimálnej požadovanej úrovni. Hodnota

106

korelačného koeficientu medzi oboma časťami testu bola 0,65 (denní študenti), resp. 0,58 (externí študenti) a 95% intervaly spoľahlivosti pre korelačný koeficient sú (0,38;0,82), resp. (0,35;0,74). Pretože kurz Binárne relácie sa ukázal ako vhodná alternatíva ku klasickému vyučovaniu, vďaka ktorej možno znížiť počet kontaktných hodín bez toho, aby sme museli redukovať vzdelávacie ciele, spracovali sme aj zvyšnú časť predmetu v podobe kurzov Logika a Množiny. Kurz Logika je rozdelený do desiatich modulov, ktoré pokrývajú problematiku jednoduchých, kvantifikovaných a zložených výrokov, výrokových funkcií, negácií, implikácií, tautológií a dôkazov. Kurz Množiny je rozdelený do piatich modulov, ktoré pokrývajú problematiku intuitívnej teórie množín, operácií s množinami, intervalov a Vennových diagramov. Oba kurzy obsahujú aj autotest a sú vhodné aj ako doplnkový študijný materiál pre študentov stredných škôl. V ich finálnej podobe sme ich vo vyučovacom procese po prvý raz použili v akademickom roku 2007/2008. V tomto akademickom roku sme sa rozhodli urobiť experiment so 45 študentami denného štúdia, z ktorých 30 tvorilo experimentálnu skupinu a študovalo prostredníctvom všetkých troch kurzov s 12 hodinami kontaktnej výučby a zvyšných 15 tvorilo kontrolnú skupinu, ktorá sa učila klasickým spôsobom a mala 24 kontaktných hodín typu cvičenia s vyučujúcim, kde podrobne prebrali určenú látku. Z výsledkov záverečného testu vyplýva, že priemerné skóre experimentálnej skupiny bolo 79,1, zatiaľ čo priemerné skóre kontrolnej skupiny bolo 70,7. Pomocou U-testu sme nulovú hypotézu „Medzi výsledkami študentov kontrolnej a experimentálnej skupiny v záverečnom teste nie je signifikantný rozdiel.“ zamietli. (pozri [3]) Skupina 91 externých študentov v tomto akademickom roku študovala prostredníctvom všetkých troch kurzov s 8 kontaktnými hodinami a dosiahla priemernú úspešnosť 73,9, čo je vyššia úspešnosť ako pri kontrolnej skupine, ktorú tvorili denní študenti. Výsledky študentov v tomto akademickom roku nás viedli k tomu, aby sme prešli k výučbe kombinovanou formou prostredníctvom elektronických kurzov a 8-12 hodín kontaktnej výučby. V akademickom roku 2008/2009 sa výučby predmetu Logika, množiny, relácie kombinovanou formou zúčastnilo 39 denných a 79 externých študentov, pričom denní študenti mali 12 kontaktných hodín výučby a externí 8 hodín. Priemerné skóre skupiny denných študentov v záverečnom stobodovom teste bolo 72,7 a skupiny externých študentov 65,5. Použitím t-testu sme na hladine významnosti 99% zamietli nulovú hypotézu, ktorá znela „Medzi priemermi skupiny denných a externých študentov v záverečnom teste nie je signifikantný rozdiel.“ (pozri [4]) Z výsledkov študentov v rokoch 2005 až 2009 jasne vyplýva, že ani v jednom akademickom roku študenti (denní ani externí) nemali vážnejšie problémy zvládnuť látku obsiahnutú v kurzoch na viac než minimálnej požadovanej úrovni, hoci počet kontaktných hodín s vyučujúcim sa postupne zredukoval až na 8-12 hodín. 3. Elektronické testy ku kurzom Logika, Množiny a Binárne relácie Aby sme poskytli študentom ešte väčší komfort pri štúdiu prostredníctvom vyššie opísaných troch kurzov, rozhodli sme sa v roku 2010 pripraviť a použiť vo vyučovaní elektronické testy k týmto kurzom. Tieto testy majú za cieľ ešte viac skvalitniť spätnú väzbu študentov o stupni zvládnutia látky, ktorú si naštudovali v elektronických kurzoch. Taktiež poskytnú študentom ďalšie úlohy, na ktorých si môžu prehĺbiť a utvrdiť svoje poznatky z oblasti výrokov, množín a binárnych relácií. Ku každému kurzu sme vytvorili sériu testov, ktoré sme rozdelili do nasledujúcich skupín: jednoduché a zložené výroky; výrokové funkcie, kvantifikované výroky, nutná a postačujúca podmienka; negácie výrokov, implikácia; tautológie a kontradikcie,

107

dôkazy; operácie s množinami; intervaly a Vennove diagramy; binárne relácie, určenie a grafy; vlastnosti binárnych relácií; relácia ekvivalencie, rozklad, relácia usporiadania; zobrazenia. V každom z týchto testov je minimálne 20 úloh, na ktorých si študenti precvičia nadobudnuté vedomosti z príslušných modulov v kurzoch v rámci domácej prípravy. Po vyplnení testu si študent môže pozrieť, v ktorých úlohách urobil chybu a ktoré riešil správne a ak niečo neporozumel, môže sa k tomu vrátiť na nasledujúcej kontaktnej hodine. V testoch sa vyskytujú tieto typy úloh: výber správnej odpovede z jednej či viacerých možností; priraďovacie úlohy; úlohy na doplnenie krátkej odpovede; výber z preddefinovanej množiny slov; kliknutie na správne miesto. Na obrázku 1 vidíme ukážku z pripravených testov.

Obrázok č. 1: Ukážka z testu Na výrobu testov dnes už existuje veľké množstvo softvéru. My sme použili Wondershare QuizCreator. Hlavnými dôvodmi pre výber tohto softvéru bola jednoduchosť jeho ovládania, nakoľko priemerne vyspelý užívateľ dokáže so softvérom pracovať intuitívne bez akéhokoľvek návodu po niekoľkých hodinách a tiež možnosti, ktoré poskytuje či už pri nastavení, ako treba test zostaviť (či chceme spätnú väzbu po každej úlohe alebo až na konci po prejdení celého testu, či chceme náhodne vybrať úlohy a podobne) a v akom tvare ho treba publikovať (softvér dokáže publikovať test ako Flash aplikáciu umiestniteľnú na web, ako spustiteľný súbor, ako off-line verziu na CD s automatickým spustením sa, ako kvíz vo Worde či v Exceli, ktorý si možno vytlačiť a dokonca aj ako SCORM/AICC balíček jednoducho umiestniteľný do LMS). Obrovskou výhodou tohto softvéru je aj veľmi jednoduchý a intuitívny import obrázkov a matematických vzorcov do otázok, naviac matematické vzorce zadávame rovnako ako vo Worde. 4. Záver Hoci príprava elektronických vzdelávacích materiálov, ako sú e-learningové kurzy či testy k nim, je pomerne náročný proces, výsledky s ich použitím vo vzdelávacom procese naznačujú, že sa oplatí investovať čas do ich prípravy. Je vhodné, ak sa podarí pri príprave spolupracovať medzi rôznymi univerzitami či fakultami, ako tomu je napríklad v našom prípade, kedy v rámci projektov KEGA 3/4149/06 s názvom „Tvorba elektronických kurzov z matematiky“ a KEGA 3/7263/09 s názvom „E-learning ako

108

efektívny nástroj vo vyučovaní matematiky“ spolupracujeme s pracovníkmi KM FPV UMB v Banskej Bystrici. Tento článok vznikol vďaka podpore projektu KEGA 3/7263/09 s názvom „E-learning ako efektívny nástroj vo vyučovaní matematiky“. Literatúra 1.

HANZEL, P.: Možnosti elektronickej podpory vzdelávania v príprave učiteľov pre 1. stupeň ZŠ. In: Zborník Cesty (k) poznávaní v matematice primárni školy. Olomouc: UP Olomouc, 2004, s. 107 – 112. ISBN 80-244-0818-X 2. HÍC, P. – POKORNÝ, M.: Binárne relácie. On-line kurz. Trnava: Trnavská univerzita, 2005. ISBN 80-8082-061-9 3. HÍC, P. – POKORNÝ, M.: E-learning ako efektívny nástroj v matematickej príprave budúcich učiteľov na 1. stupni ZŠ. Acta Universitatis Palackianae Olomucensis, Facultas Paedagogica 2008, Mathematica VI, Olomouc 2008, s. 109113. ISBN 978-80-244-1963-3 4. HÍC, P. – POKORNÝ, M.: E-Learning as an Efficient Alternative to Classical Way of Teaching. Proceedings of Didmattech 2009. (in print) 5. HÍC, P. – POKORNÝ, M.: Logika. On-line kurz. Trnava: Trnavská univerzita, 2007. ISBN 978-80-8082-148-7 6. HÍC, P. – POKORNÝ, M.: Množiny. On-line kurz. Trnava: Trnavská univerzita, 2007. ISBN 978-80-8082-149-4 7. HÍC, P. – POKORNÝ, M.: Skúsenosti s e-learningom pri príprave budúcich učiteľov ZŠ. Acta Universitatis Palackianae Olomucensis, Facultas Paedagogica 2006, Mathematica V. Olomouc: 2006, s. 87-91. ISBN 80-244-1311-6 8. HORVÁTH, R. – MIŠÚT, M: The New Improvements of E-leaning System at Trnava University. In: ICETA 2005 – 4nd International Conference on Emerging Telecommunications Technologies and Applications. Košice: 2005, s.157-160, ISBN 80-8086-016-6 9. KIRCHMYEROVÁ, J., PETERKOVÁ, V.: E-learning Implementation IntoTrnava University External Bachelor Study, In: Proceeding 6th International Conference Virtual University, Bratislava, Slovakia, 2005, pp. 76-78. ISBN 80-227-2336-3 10. KLENOVČAN, P.: Príprava budúcich učiteľov 1. stupňa ZŠ s podporou Internetu. In: Zborník Cesty (k) poznávaní v matematice primárni školy. Olomouc: UP Olomouc, 2004, s. 139 – 141. ISBN 80-244-0818-X 11. PETERKOVÁ, V., PAVELEKOVÁ, I.: Analýza efektivity využitia e-learningu pri vyučovaní odborných predmetov. In: Proceedings of the Conference Modern trends in education of Professional and laymen in health disciplines, Trnava, 2009, pp. 111-119. ISBN 978-80-8082-295-8 12. ŽILKOVÁ, K.: Školská matematika v prostredí IKT. Bratislava: Pedagogická fakulta UK Bratislava, 2009, 138 s. ISBN 978-80-223-2555-4. Kontaktná adresa PaedDr. Milan Pokorný, PhD. Pedagogická fakulta TU Priemyselná 4, P.O.BOX 9 91843 Trnava, Slovenská republika Phone: +421 33 5514618 E-mail:[email protected]

doc. RNDr. Pavel Híc, CSc. Pedagogická fakulta TU Priemyselná 4, P.O.BOX 9 91843 Trnava, Slovenská republika Phone: +421 33 5514618 E-mail: [email protected]

109

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

MODELY A MODELOVÁNÍ V MATEMATICE V PRIMÁRNÍM VZDĚLÁVÁNÍ Jitka HODAŇOVÁ Abstrakt V současné době je cílem učitelů matematiky zkvalitnit vzdělávací proces na školách. V této souvislosti se hovoří o tzv. matematické gramotnosti žáků, jejíž úroveň je zkoumána a hodnocena v rámci mezinárodního pedagogického výzkumu. Matematická gramotnost se soustřeďuje na schopnosti či kompetence jednotlivce užívat matematiku (matematické poznání) funkčním způsobem ve svém životě. Významné místo mezi geometrickými tvary ve školské matematice zaujímá čtverec. Jeho vlastnosti umožňují řešit zajímavé početní úlohy. Současně čtverec představuje zdroj a inspiraci pro různé způsoby geometrického modelování v rovině i v prostoru. Geometrické modelování rozvíjí schopnosti dítěte a splňuje požadavky očekávaných kompetencí, které jsou stanoveny Rámcovým vzdělávacím programem pro základní vzdělávání. MODELS AND GEOMETRICAL MODELLING IN MATHEMATICS IN THE ELEMENTARY EDUCATION Abstract The main mathematics teacher objective is to improve the quality of the education in the school at the present. The pupils´ mathematical literacy is discussed and its level is evaluated in the frame of the international pedagogical research. The mathematical literacy concentrates on ability or competency of an individual to use mathematics (mathematical knowledge) in a practical, functional way in pupil´s life. The square displaces the significant position between mathematical shapes in the education in the schools. Its feature enables to solve interesting numerical tasks. At the same time the square represents the resource and inspiration for various way of the mathematical modelling in plane and in space. The geometrical modelling cultivates the child´s abilities and discharges the requirements of expected competencies given by Framework curriculum for basic education. Rozvoj matematických kompetencí je cílem všech školních vzdělávacích projektů na všech úrovních matematického vzdělávání. V současné době je cílem učitelů matematiky zkvalitnit vzdělávací proces na školách. V této souvislosti se hovoří o tzv. matematické gramotnosti žáků, jejíž úroveň je zkoumána a hodnocena různými srovnávacími testy jak na národní úrovni tak v rámci mezinárodního pedagogického výzkumu. V rámci mezinárodních pedagogických výzkumů je matematická gramotnost žáků zkoumána na základě dvou výzkumných projektů, které se zabývají srovnáváním

110

vzdělávacích výsledků žáků ve výuce matematiky na mezinárodní úrovni. Jsou to projekty, které jsou v dokumentech a publikacích označovány pod názvem TIMSS a PISA. Pojem gramotnosti (ať matematické nebo přírodovědné) je formulován a vymezen pouze v projektu PISA. V projektu PISA je matematická gramotnost chápána jako schopnost jedince poznat a pochopit roli, kterou hraje matematika ve světě. V projektu TIMSS se pojem matematické gramotnosti explicitně nevyskytuje. Cílem vzdělávání v matematice je vychovat tvořivého a přemýšlivého odborníka, který bude schopen matematizovat reálné situace, transformovat problémy z reálného života do matematických vztahů, formulovat matematický problém, řešit tyto problémy matematickými prostředky a interpretovat výsledky výpočtů. Matematická gramotnost ve studii PISA se soustřeďuje na kompetence (schopnosti) jednotlivce užívat matematiku (matematické poznání) v daném kulturním prostředí pro praktický život jedince. Mezi očekávané kompetence v geometrii patří, mimo jiné, také: • • • •

užívání a rozlišování základních pojmů v geometrii, poznání a pojmenování základních geometrických úvarů, schopnost znázornit základní druhy mnohoúhelníků, trojúhelníků, využívání poznatků v početních a v konstrukčních úlohách.

Významné místo ve školské matematice zaujímá čtverec. Jeho vlastnosti umožňují řešit zajímavé početní úlohy a současně představuje zdroj a inspiraci pro různé způsoby geometrického modelování. Na obrázku č. 1 je čtverec rozdělený na sedm částí. Obrázek č.1:

Čtverec rozstříhaný na sedm dílů je výchozím útvarem pro skládání tangramů.Vyznačený způsob rozdělení čtverce poskytuje možnosti sestavení tisíců různých obrázků (např. zvířata, předměty, lidské postavy i geometrické obrazce). Sestavováním obrazců podle předlohy si žáci procvičují svoji konstruktivní představivost, smysl pro geometrii a její zákonitosti a naučí se „vidět“ plochu. Kromě toho žák může také rozvinout svoji vlastní fantazii a tvořivost a vytvářet vlastní obrázky. Největší hodnotu má sestavení takového obrazce z něhož není na první pohled patrné, jakou kombinací jednotlivých dílů vznikl. Tato tzv. „neprůhledná řešení“ jsou nejtěžší. Dalším způsobem geometrického modelováním je skládání origami. Výchozím geometrickým tvarem pro vytvoření origami je opět čtverec. Až do poloviny 20. století se toto umění předávalo především ústně. Pak ale japonský mistr Akira Jošizawa, který studoval deskriptivní geometrii, navrhl soubor symbolů, které představují jednotlivé kroky při skládání. Každou skládanku můžeme pomocí těchto geometrických symbolů

111

popsat. Naučit se číst a orientovat se v grafickém návodu skládanky může být chápáno jako předstupeň schopnosti číst údaje z technického výkresu konstruktéra nebo architekta. Současně se skládáním origami žáci učí používat geometrické pojmy a učí se formulovat kostruktivní postupy. V obrázku č. 2 jsou uvedeny ukázky grafických postupů při skládání. Uvedené origami je určené pro žáky primární školy. Obrázek č.2:

112

Origami jsou určeny jak žákům základních škol, tak studentům středních i vysokých škol. Některé origami jsou rovinné a některé origami –modely jsou prostorové. Jsou učební pomůckou, výchovným prostředkem i herní činností. Patří mezi aktivity, které rozvíjí schopnosti dítěte a splňují požadavky očekávaných kompetencí stanovených Rámcovým vzdělávacím programem pro základní vzdělávání. Literatura 1. ARTüre-scheelová,z. Kouzelné origami. Nakladatelství Ikar:Praha, 1996. ISBN 807202-064-1 2. DARDENNE, A. Origami-skládání z papíru. Nakladatelství Garamond: Praha, 2008. ISBN 978-80-7234-590-8 3. BEECH, R. Origami l´art du papier plié. Nakladatelství Editions Fleures:Paříž, 2006. ISBN13: 978-2-215-07444-1 4. Dušek F.: Matematické zájmové kroužky. Praha: SPN, 1971. 5. Varga T.: Hrajeme si s matematikou. Praha: Albatros, 1988 6. Dudeney H. E.: Matematické hlavolamy. Praha: Nakladatelství Olympia, 1995. ISBN 80-7033-380-4 7. http://origamiworld.cz Kontaktní adresa Jitka Hodaňová, Mgr., Ph.D. Katedra matematiky, Pedagogická fakulta UP, Žižkovo nám. 5, 771 40, Olomouc, ČR, tel. 00420 585 635 706, fax 00420 585 231 400 E-mail: [email protected]

113

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

ODRAZ DUŠEVNÍ POHODY – TĚLESNÉ ZDRAVÍ Drahomíra HOLUBOVÁ Abstrakt Příspěvek ukazuje, že vývoj dítěte jako celku je mimořádně důležitý. Dále naznačuje úlohu pohody a problém stresu, jejich vliv na zdraví dítěte. Na závěr pro plynulý přechod z MŠ do ZŠ uvádíme přehled námětů pro rozvoj logickomatematického myšlení v posledním ročníku MŠ. REFLEX OF MENTAL WEATHER – PHYSICAL HEALTH Abstract Benefit shows that the child evolution as a whole is exceedingly important. Further it indicates an exercise of humour and problem of stress, their influence over the chilďs health. At the close for fluent passage from the kindergarten to basic school we introduce a survey of the subjects for development of logically - mathematical thinking in last form of kindergarten. I.1.Dětství je hodnotné samo o sobě a není jen pouhou přípravou na dospělost Americký psycholog Jerome Bruner měl a má velký vliv na předškolní výchovu. Od doby, kdy formuloval svou teorii o spirále kurikula (1977), kde se jedná o témata, která leží v srdci přírodních věd a matematiky, a základní témata, která dávají tvar životu i literatuře, vývoj značně pokročil. Přesto i dnes je pro vychovatele a pedagogy stále velmi užitečné spojovat v daném momentě přiměřené a vhodné požadavky na dítě se zárodkem komplexnějších a propracovanějších vědomostí, které budou po dítěti požadovány později. Bruner říká :" Učení by nás nemělo jen někam přivádět, ale mělo by nám umožňovat, abychom dál postupovali snadněji." Dítěti bychom neměli nabízet znalosti, které v sobě neobsahují možnosti jeho dalšího rozvoje. Bruner pohlíží na předškolní výchovu jako na součást života dítěte, která je plnohodnotná sama o sobě a která má své vlastní specifické potřeby, ale zároveň jako na výchovu, která musí dítě adekvátním způsobem připravit na budoucnost. I.2. Důležité je dítě jako celek. Je zdůrazňováno zdraví tělesné i duševní, stejně jako nutnost přemýšlení a duchovních prožitků Každé dítě má primární a sekundární potřeby a je nutné v předškolní výchově s nimi počítat. Velmi důležitou součástí vývoje dítěte je jeho zdraví a úroveň životních podmínek (např. kvalitní školní stravování, dostatečný pobyt na čerstvém vzduchu, vhodné oblečení aj.). Chápeme-li osobnost dítěte komplexně, je třeba také koordinovat práci jednotlivých odborníků ve výchovné práci. Různé aspekty dětského vývoje ani jako různé oblasti vědění nelze oddělovat od kontextu ve vztahu učitel - dítě. Vývoj dítěte celku je mimořádně důležitý. Pojem dítěte jako celek zahrnuje tělesnou, duchovní, citovou a intelektuální stánku jeho osobnosti.

114

I.3. Výchovu a vzdělávání je třeba začít od toho, co už dítě umí Během hry nebo při řešení problému, kdy dospělý dítěti pomáhá, dítě uplatňuje dovednosti a poznatky, které už ovládá. Pokyny pomáhají dítěti k tomu, aby si uvědomilo své schopnosti, ale jenom tehdy, jedná-li dítě "v rámci stupně jeho vývoje". Když se dítěti poskytne vhodná pomoc, je schopno provádět činnosti na vyšší úrovni. Metoda postupných kroků pomůže dítěti vyvíjet se svým vlastním tempem. Cílem je proto vytvořit obrazně řečeno "co nejnižší práh", na němž může vychovatel začít dítě seznamovat například se základy aritmetiky, protože jejich pochopení předpokládá u dítěte určitou minimální vyzrálost funkcí. Sepětí teorie a praxe je pro každý obor lidské činnosti nezbytné - teorie bez praxe je mrtvá a praxe bez teorie neužitečná. Jejich spojení v tomto oboru znamená, že teoretické poznatky mohou informovat a obohacovat praktickou činnost vychovatele, což mu umožňuje zřetelněji vidět, co a jak má dělat. Taková práce s dětmi je pro člověka výzvou, formou seberealizace, posilou a současně i vysoce kvalifikovanou profesí. II. Škola podporující zdraví a) Zdravá mateřská škola Potřeba inovovat modelový program ZMŠ z roku 1995 vznikla s tvorbou kurikula PZ v MŠ. Dalším podnětem pro úpravy se stal pozdější modelový Program podpory zdraví ve škole z roku 1998 určený školám poskytujícím stupeň povinného vzdělávání. Složení současného modelového programu. Filozofie podpory zdraví. Principy integrující podporu zdraví ve škole. Zásady podpory zdraví ve škole: a)pohoda prostředí b)zdravé učení Představa holistického pojetí, že zdraví vychází z celistvé struktury lidské bytosti (organismu, psychiky, osobnosti) a jejího prostředí, je interakčním přístupem doplněna o mechanismus, v němž složky zdraví (a nemoci) mají svou dynamiku a vzájemně na sebe působí. Současné pojetí zdraví uznává úlohu subjektivního pocitu zdraví - pohody. Koncem sedmdesátých let, v konfrontaci s narůstajícími zdravotními problémy lidstva, dospěly věda a výzkum k poznání, že zdraví není jen objektivně zjistitelný a ověřitelný stav, ale že má i mocnou složku subjektivní, to, jak se člověk sám cítí. Ve stavu pohody prožíváme pocit souladu, harmonie, pozitivního naladění, bezpečí. Pro každého člověka, zvláště pro dítě ve vývoji, je důležité, aby se cítil v co nejlepší pohodě. Čím lepší je stav jeho funkční rovnováhy, tím hladší a účinnější je průběh těch funkcí, které právě něčím zatěžuje (např. učením, prací, událostmi nebo naopak nudou). Tělesné zdraví prožíváme jako pohodu těla a bezproblémový chod jeho funkcí, duševní zdraví jako pohodu týkající se našeho myšlení a prožívání, sociální zdraví jako pohodu ve vztazích. Pro mnoho lidí je významnou složkou jejich zdraví složka duchovní - vztah k hodnotám, které člověka přesahují. O kvalitě individuálního zdraví z velké části rozhoduje kvalita sociálního prostředí, v němž člověk žije (rodina, škola aj.). b) Co pohodě nejvíce škodí: STRES Stres je dynamický, psychosomatický proces, jehož součástí je emoční prožívání situace, která převyšuje adaptační schopnost jednotlivce, takže ten ji nezvládá.

115

Dlouhodobě stresy se v kterémkoli věku spolupodílejí na vzniku většiny onemocnění ohrožujících život i v pozdějších obdobích. V něm mohou mít svůj původ kardiovaskulární onemocnění, poruchy metabolismu, snížení imunity vůči infekčním a nádorovým onemocněním a další choroby; mohou také přinést závislost na některé látce poškozující zdraví. V předškolním věku stres škodí zdraví nejvážněji. Dětský organismus je nezralý, emoční složka stresu je v tomto věku zvlášť silná. To je způsobeno tím, že u dítěte 6 - 81etého převládají emoce nad intelektem, emoce živelné nad vyššími city. Poruch emocí a jejich projevů v chování dětí si musíme všímat a hledat jejich příčinu. Ta většinou spočívá v reakci dítěte na nadměrnou nebo nepřiměřenou záttěž jeho schopnostem. Pro ochranu psychického zdraví všech dětí je nutné včas zachytit přítomnost emocionálních problémů a poruch, protože ovlivňují celkové klima školy. Preventivně zasáhnout dříve, než se emocionální porucha zafixuje a projeví trvalým porušením zdraví dítěte. Odolnost vůči stresu v dospělosti se získává prožíváním pohody v dětství. Je důležité, aby tomuto přístupu porozuměli rodiče a škola vůbec. Podporovat duševní odolnost znamená postupovat tak, aby se dítě cítilo bezpečně, naladěně a vyrovnaně. V důsledku těchto posilujících prožitků se pak cítí zdravější a objektivně je skutečně méně nemocné. Škola - místo s rizikem nepohody, ale s potřebou pohody. Dobře se svou školou naloží ti, kteří budou s institucionálními riziky počítat, svou situaci analyzují, možná rizika vytipují, pojmenují a něco proti nim udělají. Pomáhat ostatním nalézt zdravý životní styl se daří lépe těm, kteří pro něj již něco dělají a sami dokážou měnit své zvyklosti. Učitelka ví, že nestačí, aby měla děti jenom ráda. Ví také, že na druhé straně nejde o to formovat dětskou duši podle nějakého vzoru. Její povolání vyžaduje tvořívost a improvizaci, stejně jako umění pracovat koncepčně s jasnou představou cílů a zároveň schopnost pracovat týmově, předvídat a získávat lidi. Učitelka si uvědomuje vliv, který má její postoj ke zdraví na všechny v okolí, především na děti a chová se podle toho. • Svým chováním podporuje zdraví i jiných lidí. Vyrovnaností své osobnosti pozitivně působí na své okolí. • Její přístup ke světu, přírodě, společnosti, člověku a jeho zdraví, avšak i k sobě je odpovědný. • Chápe zdraví jako celek vzájemně propojených součástí - zdraví biologického, psychického, společenského, sociálního a environmentálního. c) Spolupráce MŠ a ZŠ Nástup dítěte do školy je významným mezníkem v jeho životě. Zásadním způsobem se mění jeho každodenní režim, poměr mezi hrou a pracovní činností, sociální vztahy a vazby. Ve škole, která se adaptaci dětí nevěnuje a postupuje především kupředu v učivu, zkouší a známkuje, dochází v řadě případů ke krizi. Pro individuální zdraví dítěte, ale i pro celkové zdravé klima ve třídě je důležité, aby se každé dítě dobře adaptovalo na nové podmínky. Pohoda prvňáčků je jedno z významných kritérií Programu podpory zdraví. Protože MŠ záleží na tom, jak ZŠ příjme své příští žáky, soustavně s ní spolupracuje a vytváří příznivé podmínky pro jejich bezproblémový přechod. Zajímá se o pedagogické zaměření, způsob výuky, seznamuje ZŠ se svým projektem podpory zdraví. Tato spolupráce má podstatný význam pro ověření nároků kladených na děti a pro zajištění

116

organické návaznosti výchovně vzdělávací práce v duchu podpory rozvoje zdraví. Při hospitacích v MŠ zaměřených na pozorování dětí, poznává učitelka ZŠ své budoucí žáky. III. 1. Mladší školní věk (6 - 12 let)

Z psychologického hlediska jsou to poměrně klidné roky. Přesto i tento věk s sebou přináší stres. Stresující mohou být například nároky, jež provázejí začátek školní docházky. Ve škole se dítě učí srovnávat se s ostatními spolužáky, všímá si připomínek učitelů a uvědomuje si, jaké jsou jeho vlastní schopnosti i schopnosti druhých, pokud jde o učení či sportovní aktivity. Pokud dítě vidí sebe v horším světle než ostatní, vystavuje se riziku nízkého vědomí vlastní hodnoty. Říká se - škola základ života. Aby to tak doopravdy bylo, měli by se o to přičinit nejen učitelé, ale především rodiče. Vždyt' i ve škole platí, že nejdůležitější je zúčastnit se a ne vítězit. Prvňáček, který má už předem ze školy strach, může trpět úzkostí a přehnanou pečlivostí. Naopak dítě, které počítá s tím, že ne vždy se všechno povede, ale pokaždé se to dá nějak napravit, dokáže učení přijmout za své a přiměřeně svým možnostem se snaží. Když se dítěti plně věnujeme v první třídě, v dalších letech to budeme mít o to lehčí. Důležité je včas rozpoznat, kdy už dítě pociťuje únavu a dopřát mu přestávku. Jednak pomáhá odstranit napětí a navíc vědomí, že přijde chvilka uvolnění, přispívá u dětí ke krátkodobému zvýšení pozornosti. Ovšem ze všeho nejdůležitější je naše vlídné povzbuzování a zároveň pevné vedení. Dítě roste, sílí, jeho mozkové buňky se propojují, zrají, jeho schopnosti a dovednosti se rozvíjejí plynule, postupně, s určitou zákonitostí. Můžeme dítě mnohému naučit, ale nemůžeme mu najednou přidat několik centimetrů na výšce, několik kilogramů na váze a několik stupňů na zralosti nervového systému, tak aby ve škole klidně sedělo a dávalo pozor jen na to, co se mu k pozornosti předkládá. V předškolní době si dítě převážně hrálo - nyní se bude převážně učit. Proti tomu se nedá nic dělat. Povšimněme si však slovíčka "převážně". To nám chce říci, že přechod není tak prudký. Dítě se učilo i před tím a bude si hrát ještě dlouho potom. Existuje mnoho cenných rad, jak nejlépe zabezpečit dítěti úspěšný vstup do základní školy, a které přirozenou a nenásilnou cestou povedou dítě k samostatnosti a úspěchu na cestě ke vzdělání. Jedna z nich může být, aby učitel 1. ročníku ZŠ poznal, jaké vědomosti, dovednosti a návyky zvládli žáci MŠ, neboť na tyto základy a zkušenosti bude postupně navazovat. Při rozvoji logického a matematického myšlení je třeba zaměřovat pozornost dítěte na objekty a vztahy (relace) mezi nimi, které má dítě poznávat především svou vlastní činností. Přitom je třeba dbát na to, abychom dávali důraz vždy na praktickou stránku věci, tj. objevování počtu konkrétních věcí, vztahů mezi nimi, vždy s přímou účastí dítěte. Matematické závěry budou dítěti tím bližší, čím použitelnější budou pro jiné oblasti jeho činnosti. Proto je třeba zdůraznit, že výuka pojmům z oblasti matematiky v tomto věku se musí vždy zaměřovat na přímé pozorování a manipulaci s předměty. Učitelka řídí činnost a hru dětí a nabízí jim vhodné materiály a situace. Metody, stejně jako učebnice, jsou pouhými prostředky školní výuky, které se v rukou učitele mohou velmi měnit. Nepřeceňujme tedy zbytečně tyto prostředky, ale raději doceňme osobnost učitele, který je na obtížné cestě žáka za poznáním tím nejpovolanějším rádcem.

117

III.2. Spokojený prvňáček Při vhodné volbě metod, zejména s využitím povzbuzení, pochvaly, cvičení a procvičování, při uplatnění nejefektivnějšího výchovného prostředku - hry s respektováním individuálních zvláštností dětí je možné předejít zklamání z neúspěchu a stresu z neznámého. Nejlepší prevencí je však jistota, že výchovně vzdělávací systém základní školy je natolik volný a přizpůsobivý, aby jeho požadavky mohly být přiměřené 6 - 8leté populaci jako celku a jednotlivému dítěti zvlášť. Literatura 1. 2.

BRUCEOVÁ, Tina : Výchova dětí od 3 do 8 let. Praha: Portál, 1996, 172 s. BURIÁNOVÁ, Jana et. Al : Vedeni mateřské školy. Praha: Dr. Josef Raabe, s.r.o., 1997,250 s. 3. DIVÍŠEK, Jiří: Rozvíjení matematických představ. Praha: SPN, 1987,99 s. 4. FÁBRYOVÁ, Lena : Než budou číst. lnformatorium, roč. 8 (2001/02), s. 16. 5. Kolektiv: Kurikulum podpory zdraví v mateřské škole. Portál, 2000, 224 s. vydání, Praha 6. Kolektiv: Modifikace časově tematických plánů. Štíty: Ústřední ústav pro vzdělávání pedagogických pracovníků, 2000, 50 s. 7. Kolektiv: Rámcový program pro předškolní vzdělávání. Praha: Výzkumný ústav pedagogický, 2001, 37s. 8. Kolektiv: Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Praha Výzkumný ústav pedagogický, 2002, 142 s. 9. KÖSSELOVÁ, Květa: Šimon půjde do školy. Praha: Portál, 1995,225 s. 10. KŘÍŽOVÁ, Jitka - MRUŠKOVIČOVÁ, Lydia : Rozvíjení základních matematických představ v mateřské škole. Praha: Naše vojsko, 1988, 145 s. 11. KUBICKÁ, Eva: Metody práce při úpravě poruch učení u dětí základní školy. 1. vydání, Ostrava - Kunčice : Grafie, spol. s.r .0., 1994, 61 s. 12. KUBAČKOVÁ, Marcela: Zkušenosti s navázáním spolupráce rodiny a školy. Moderní vyučování, roč. 10 (2004/02), s. 11-12. 13. MELGOSA, Julián : Zvládni svůj stres. Praha: Advent - Orion, 2001, 190 s. Kontaktní adresa Holubová Drahomíra, RNDr. Mgr. Katedra matematiky PdF MU v Bmě, Poříčí 31 Brno, 603 00 Telefon: +420 549 491 670 E-mail: drahol @ mail.muni

118

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

MOZAIKY JAKO PODNĚTNÁ VÝUKOVÁ PROSTŘEDÍ Alena HOŠPESOVÁ, Bohuna MATĚJŮ, Šárka FANTOVÁ, Abstrakt V příspěvku popisujeme výsledky experimentálního vyučování, při kterém žáci 2. ročníku řešili geometrické úlohy s mozaikami. Úlohy byly zpracovány tak, aby se při jejich řešení vytvářelo prostředí podnětné pro výuku geometrie. Zároveň byly vytvářeny podmínky pro přirozenou diferenciaci žáků. MOSAICS AS SUBSTANTIAL LEARNING ENVIRONMENT Abstract In this paper we describe the results of a teaching experiment in which 2nd grade pupils were solving geometrical problems with Mosaics. The problems were elaborated in such a way that their solution led to creation of substantial learning environment for primary school geometry. At the same time conditions for natural differentiation were fostered.

1. Úvodem Výuka geometrie na 1. stupni základního vzdělávání je relativně mladou částí kurikula. Koncem osmdesátých let se v tehdejších československých osnovách opírala o modifikovaný axiomatický systém euklidovské geometrie (Kabele, Janků, 1977). Není pochyb, že to nebylo přiměřené věku žáků. Logická konstrukce geometrie vyžaduje, aby žáci byli schopni uvažovat na formální deduktivní úrovni, což obvykle na počátku základního vzdělávání nejsou a postrádají i nezbytné předchozí znalosti geometrie (van Hiele, 1999). Žáci měli široké zkušenosti geometrické povahy, ty ale nekorespondovaly s pojmy, které se v osmdesátých letech učili používat ve škole. Tato situace způsobila rozpor mezi úrovní myšlení žáků a úrovní, kterou požadovala geometrie, jež se měli naučit. Situace vyústila v nezájem dětí o geometrii, který přetrval i v další školní docházce a studiu. Učebnicové řady, které vznikly po roce 1989, sice více staví na přirozených zkušenostech žáků; dodržují ale většinou pořadí pojmů takové, jak je diktuje axiomatický systém. Žákovské bohaté zkušenosti se příliš nevyužívají. Na velmi jednoduché úrovni se operuje s pojmy „přímka“, „polopřímka“, „trojúhelník“ a dalšími, pro které děti mají malé praktické použití a vůbec nevidí jejich smysl. Z rozhovorů s učiteli vyplývá, že si s geometrií neví rady a že geometrie patří k prvním tématům, které se při nedostatku času vypouštějí. Domníváme se, že je škoda nevyužít přirozených zkušeností žáků z her a navrhujeme zařadit do školní geometrie různé činnosti se stavebnicemi a skládankami. V tomto příspěvku ukážeme, jakou geometrii pěstujeme při činnostech s mozaikami.

119

2. Projekt NaDiMa, podnětná prostředí a přirozená diferenciace Od roku 2008 spolupracujeme s kolegy z Polska, Německa a Nizozemí na řešení projektu programu Comenius s názvem „Motivace prostřednictvím přirozené diferenciace v matematice“ (Motivation via Natural Differentiation in Mathematics“, NaDiMa). Cílem projektu je metodické zpracování několika výukových prostředí, která by podporovala přirozenou diferenciaci žáků a jejich odzkoušení ve školní praxi. Součástí řešení projektu v České republice je i psychologické testování toho, jaké posuny v motivaci žáků způsobuje experimentální vyučování v těchto výukových prostředích. Výuková prostředí chápeme v souladu s Wittmannem (2001, 194) jako podnětná výuková prostředí (substantial learning environments), neboli „výukové celky, které (a) představují ústřední cíle, obsahy a principy výuky matematiky na daném stupni, (b) týkající se důležitých matematických obsahů, procesů a postupů, které jdou nad rámec této úrovně a zároveň jsou bohatým zdrojem matematických aktivit; (c) jsou flexibilní a lze je upravit podle konkrétních podmínek ve třídě; (d) spojují matematické, psychologické a pedagogické aspekty výuky matematiky, a tak vytváří živnou půdu pro empirický výzkum.“ V chápání přirozené diferenciace vycházíme z následujícího (stále ještě rozpracovávaného) vymezení: všichni žáci ve třídě dostanou stejné zadání úkolu, které svou povahou umožňuje, aby je každý žák řešil podle svých aktuálních schopností. Žák může volit své cesty řešení, použití pomůcek a prostředků, způsobů zápisů i úlohu, kterou bude řešit. Přirozená diferenciace by neměla spočívat v tom, že učitel rozdá různé pracovní listy, ale na základě jednoho zadání umožňuje řešit různě obtížné úlohy do různé hloubky. V českobudějovickém týmu (členkami tohoto týmu jsou autorky příspěvku) jsme se rozhodly pro zpracování výukového prostředí pro geometrii, které jsme nazvali Mozaiky. Jako učební pomůcky jsme použili mozaiku geometrických tvarů z přílohy k učebnici matematiky pro 1. ročník (Hošpesová a kol., 1996, obr. 1) a Tangram. V metodickém zpracování jsme se snažily vytvořit výukové prostředí v duchu výše uvedené Wittmannovy charakteristiky. Úlohy jsme zpracovávaly tak, aby umožňovaly přirozenou diferenciaci žáků. 3. Experimentální vyučování Experimentální vyučování zahrnovalo jedenáct po sobě jdoucích hodin geometrie ve 2. ročníku základní školy. Vzhledem k tomu, že učitelka, která ve třídě učila, zařazovala geometrii zhruba jedenkrát týdně, rozprostřelo se do tří měsíců. Před experimentálním vyučováním a po něm dvě licencované psycholožky otestovaly všechny děti, abychom zjistily, zda takto pojaté vyučování mělo nějaký vliv na motivaci dětí k matematice. Součástí testování bylo i posouzení kognitivních schopností a percepce a posouzení osobnosti dětí. Na přípravě vyučování spolupracovaly všechny tři autorky tohoto příspěvku. Diskutovaly jsme o cíli vyučování v návaznosti na kurikulárními dokumenty, o souvislostech s důležitými geometrickými pojmy. Tyto myšlenky jsme použily při formulování úloh a rozpracovaly až k možným otázkám pro závěrečnou diskusi se žáky. Hodinu učila jedna z autorek. Byl pořízen videozáznam a sebrány všechny žákovské práce. Po společném rozboru jsme připravovaly další hodinu. Obr. 1

120

Postupně děti v experimentálním vyučování řešily rozmanité úlohy, ve kterých spojovaly tvary mozaiky (obr. 1), např. : • Tvoř tvary podle předlohy. • Sestavuj tvary ze 2, 3, 4 tvarů skládanky a pojmenuj je. • Sestavuj tvary ze 2, 3, 4 čtverců z mozaiky. • Sestavuj tvary ze 2, 3, 4 trojúhelníků z mozaiky. Pro skládání tvarů jsme také použily tradiční skládanku Tangram. Děti řešily úkoly jako např.: Obr. 2 • Sestavuj tvary podle předlohy. • Sestav trojúhelník, čtverec apod. ze 2, 3, 4 tvarů Tangramu. Ilustrujme náš přístup na řešení úloh se „čtvercem rozděleným na dvě části“. Pro řešení výchozí úlohy dostaly děti čtvercový papír rozstřižený na dvě části (viz obr. 2). Zadání výchozí úlohy znělo: Ze dvou dílů mozaiky skládej tvary tak, že díly spojíš celou stranou. Pokud to umíš, vzniklé tvary pojmenuj. Nalezené tvary nakresli/obkresli na papír nebo zakresli do bodové sítě. Jak děti úlohu vyřešily? Cílem zařazení této úlohy bylo prohloubení představ o núhelnících. Předpokládaly jsme, že žáci najdou různých počet tvarů, což se potvrdilo. Všech 8 tvarů našel jen jeden žák. Při řešení děti porovnávaly shodné strany, otáčely tvary, rozhodovaly, zda nejsou tvary shodné s těmi, které už složily. Diferenciaci umožňovalo i to, že si děti mohly vybrat, zda zaznamenají výsledky zakreslením/obkreslením na papír, nebo zda budou překreslovat tvar do bodové sítě. Kreslení dětí samozřejmě nebylo přesné (obr. 3). Domníváme se ale, že nepřesnosti nebyly vzhledem k cíli zařazení úlohy příliš důležité. Správný záznam do bodové sítě předpokládal použití podobnosti. S tím měly děti u některých tvarů obtíže (obr. 4). Na videozáznamu jsme našly některé momenty, kdy toto svým jazykem komentují: „Musím nakreslit čtverec, ale jako našikmo“. „To je dlouhej trojúhelník. Musím ho zmenšit, aby se mi tam vešel“. Při pojmenování tvarů děti užívaly názvy lichoběžník, pětiúhelník, které přesahují předpokládané výstupy RVP pro toto období.

Obr. 3

Obr. 4

Na řešení této úlohy pak navazovala další úloha: Rozstřihni čtverec jedním rovným střihem na dva díly podle svého (učitelka doplnila ukázkou). Z těchto dílů skládej tvary. Pokus se čtverec rozstřihnout tak, aby mohlo vzniknout co nejvíce tvarů. V následné diskusi jsme chtěly dojít k závěru, jak počet řešení úlohy souvisí s tím, kolik dvojic shodných stran vzniklé tvary mají. Řešení žáků na obr. 5 a 6 ukazují, že bylo pro žáky obtížné vůbec pochopit zadání úlohy. Žák, který vypracoval řešení 5, nepostupoval podle zadání. Svou práci komentoval slovy: „Ale já nevím, jak to mám rozstřihnout.“ Žákyně, která zpracovala řešení na obr. 6, rozstřihla výchozí čtverec správně. Pak ale vytvářela tvary, které nebyly spojené celou stranou. Nejlépe se problému zmocnil žák, který zaznamenal svá

121

řešení na obr. 7. Svou práci komentoval slovy: „Lépe to (rozstřihnout) už nejde.“ Žák, jehož řešení je na obr. 8, úlohu řešil dvěma způsoby: jednou rozdělil čtverec na 2 shodné pravoúhlé trojúhelníky, podruhé na 2 shodné obdélníky. Řešení na obrázku 9 komentoval žák slovy: „Mělo by to být ještě jinak.“

Obr. 5

Obr. 7

Obr. 6

Obr. 8

Obr. 9

4. Výsledky psychologického vyšetření Děti byly v počátku vyšetření dobře seznámeny s tím, že psychologické vyšetření je spojeno s geometrií a s úkoly, které v rámci tohoto předmětu v předchozích měsících dělaly. V rámci psychologického vyšetření byly podněcovány k tomu, aby verbalizovaly své pokroky (např. účel práce). Většinou dospívaly k tomu, že jim úkoly „trénovaly hlavu“ a že jejich cílem bylo, aby byly „nápaditější v životě“. Na verbální úrovni (byť je validita dětské výpovědi v tomto věku stále ještě částečně sporná) bylo možné konstatovat jednoznačný posun v motivaci k matematice. Zatímco před započetím experimentu děti uváděly, že se matematiku učí, aby toho hodně věděly a měly dobrou známku, případně aby udělaly radost rodičům, tak po realizaci tréninku se ve větší míře objevila motivace „hodně toho vědět“, a zesílil i fakt, že „matematika je zábava“ (více než polovina dětí ho uvádí na prvním či druhém místě jako důvod, proč se matematiku učí). Opakovaně nejnižší motivační potenciál k učení byla „snaha být lepší než spolužáci“. V kognitivní oblasti došlo v porovnání s původními výkony k průměrnému zlepšení o 23,4 %. Tento výkon výrazně přesahuje běžný vývojový posun v průběhu třech měsíců, nicméně je třeba vzít v úvahu jednak fakt možného zácviku na úkolovou situaci (děti si po třech měsících pamatují, jaký úkol dělaly, již mají vytvořené schéma řešení, mohou využít aspoň částečně předchozí zkušenosti), jednak velký rozptyl výkonů. Pozorovatelné byly posuny ve schopnosti vizuálně zpracovat (překreslit) složitou grafickou předlohu (Reyova figura). Zde se zdálo, že děti po 3 měsících jednoznačně lépe přistupují k úkolu, lépe si práci organizují a méně se „vyděsí“ složitostí úkolu, jsou schopny si práci lépe strukturovat a částečně též víc „riskovat“ (ve smyslu odhadnout řešení, když si nejsou jisté jeho správností).

122

V rámci projektivních technik bylo možno sledovat posuny např. v lepším odhadu vlastních sil, praktičtější přístup k úkolové činnosti, zlepšení tvořivosti. 5. Diskuse Především je nutné odpovědět na otázku, zda můžeme Mozaiky považovat na podnětné výukové prostředí. V německy psané literatuře je tento pojem spojen zejména s aritmetikou a vytvářením předpojmů algebry. Podle našeho soudu splňují Mozaiky všechny Wittmannem požadované charakteristiky. Pro učitele ale může být obtížné si je uvědomit. Zejména kladení otázek, které by pomohly dětem verbalizovat činnosti, které provádějí intuitivně a v jejichž pozadí stojí obtížnější geometrické pojmy (např. shodná zobrazení), klade velké nároky na učitelovy znalosti geometrie. Myslíme si ale, že je to jedna z možností, jak ukázat souvislost školní geometrie a každodenní zkušenosti dítěte. Jako obtížně splnitelný ve 2. ročníku se ukázal požadavek vnitřní diferenciace třídy, který je jedním z úkolů projektu. Umožňovaly jsme dětem, aby zaznamenávaly řešení úloh různým způsobem. Ukázalo se, že si záznam výsledků kreslením (do sítě, i na volný papír) musí nejprve vyzkoušet. Zpočátku bylo vidět, že děti volí způsob záznamu náhodně. Některé výsledky ale byly i přesto překvapivě dobré. Teprve v posledních hodinách se nám jevil žákovský výběr metody záznamu cílevědomější. Řešení projektu v současné chvíli pokračuje testováním výukového prostředí ve všech ročnících prvního stupně. Teprve pak bude možné dokončit metodické rozpracování. Už dnes ale můžeme říci, že nám Mozaiky přinesly mnohou radost. Poznámka: Výzkum byl podpořen projektem programu Comenius „Motivation via Natural Differentiation in Mathematics“č.142453-LLP-1-2008-1-PL-COMENIUS-CMP Literatura 1. DOLK, M., HOSPESOVA, A., KRAUTHAUSEN, G., ROUBICEK, F., SCHERER, P., SWOBODA, E., TE SELLE, A., TICHA, M. Natural Differentiation in Mathematics (NaDiMa). In J. Novotná & H. Moraova (Eds.) SEMT 2009. August 23 - 28, 2009. Proceedings, Prague : Charles University, 271-272. 2. HOŠPESOVÁ, A., DIVÍŠEK, J., KUŘINA, F. Svět čísel a tvarů. Matematika pro 1. ročník. Sada příloh. Praha : Prométheus, 64 str. 3. KABELE, J., JANKŮ, M. Stati k rozvoji pokrokových směrů ve vyučování. Praha : SPN, 1977. 4. KRAUTHAUSEN, G., SCHERER, P. Möglichkeiten natürlicher Differenzierung im Mathematikunterricht der Grundschule – Potenzial ausgewählter Lernumgebungen. Grundschulunterricht, 6, v tisku. 5. VAN HIELE, P.M. Developing Geometric Thinking through Activities that Begin with Play. Teaching Children Mathematics, 1999, 310-316. 6. WITTMANN, E. C. Mathematics in Designing Substantial Learning Environments. In M. Van den Heuvel-Panhuizen (Ed.), PME 25. Proceedings of the 25th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 1, pp. 193-197). Utrecht : Freudenthal Institute, 2001. Kontaktní adresa Doc. PhDr. Alena Hošpesová, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, Pedagogická fakulta Jeronýmova 10, 371 15 České Budějovice Telefon: +420 606 606 905 E-mail: [email protected]

123

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

IDENTIFIKACE MATEMATICKY NADANÝCH ŽÁKŮ Eva HOTOVÁ Abstrakt Příspěvek poukazuje na možnosti identifikace matematicky nadaných žáků na základní škole. THE IDENTIFICATION OF MATHEMATICALLY GIFTED PUPILS Abstract The paper deals with posibilities of mathematically gifted pupils´ identification in elementary school. 1. Úvod Nadání představuje celý soubor znaků, charakteristických projevů a rysů, které, objevují-li se společně, potvrzují, že se jedná o výjimečné nadání. Samotná identifikace - rozpoznání, objevení nadání je do určité míry problémem zejména proto, že se tyto znaky ne vždy objevují komplexně a nejsou jednoduše pozorovatelné navenek. Značným problémem je i to, že tyto typické znaky většinou nejsou známé ani odborníkům, učitelům, rodičům (Laznibatová, 2001). Hříbková (2005, str. 38) v procesu vyhledávání nadaných rozlišuje mezi dvěma pojmy: identifikací a výběrem. Identifikací v jejím pojetí rozumíme „proces vyhledávání dětí, které svými předpoklady a chováním vyhovují k zařazení do speciální edukační nabídky určené pro nadané děti.“ Jedná se o děti s tzv. latentním nadáním, děti s dosud nemanifestovaným nadáním spadajícími převážně do nižších věkových kategorií. Naproti tomu výběr nadaných vnímá jako „takové vyhledávání nadaných, kdy jediným nebo hlavním kritériem pro posuzování nadání je podávaný výkon v dané oblasti a pouze nejúspěšnější děti, které mimořádné výkony v této oblasti podávají, jsou zařazovány do speciálních edukačních nabídek pro nadané“ (tamtéž, str. 39). 2. Metody identifikace Metod identifikace existuje celá řada. Mohli bychom je rozdělit do dvou základních skupin: na metody objektivní (nejčastěji prováděné poradenskými pracovníky) a metody subjektivní (zde spadá posouzení učiteli, rodiči, spolužáky, sourozenci, přáteli) (Sejvalová, 2004). Při objektivních metodách je využíváno standardizovaných testů, u subjektivních metod jde především o posouzení osobami dlouhodobě znajícími posuzované dítě a to buď z prostředí školního, domácího nebo ze zájmové činnosti dítěte. Užití jednotlivých metod se odvíjí od věku dítěte. Jinak budeme zjišťovat míru schopností u předškolních dětí, jinak při diagnostice školáků či dospělých jedinců.

124

Výběr metod je rovněž ovlivněn druhem nadání, který je předmětem vyhledávání a cílem edukační nabídky, pro který je identifikace prováděna. Při identifikaci je třeba počítat s možnými nepřesnostmi a chybami, které by se daly rozdělit do dvou skupin: • pozitivní chyby - identifikujeme dítě jako nadané, přičemž ve skutečnosti nadané není - jedná se o tzv. neúčinnou identifikaci, • negativní chyby - identifikace naopak nadané dítě nezachytí - dochází k tzv. neefektivní identifikaci (Jurášková, 2003). Abychom omezili výskyt těchto omylů, zařazujeme do procesu identifikace metody objektivní i subjektivní, neboť nám pomáhají utvářet celistvý obraz o daném jedinci. Jiné dělení uvádí Hříbková (2007), rozlišuje metody pedagogické, psychologické a alternativní. Posledně jmenovaná skupina v sobě zahrnuje často lékařské metody hrající roli převážně při identifikaci sportovního nadání. Oba přístupy ke klasifikaci metod identifikace můžeme přehledně znázornit v tabulce: Metody identifikace

psychologické

pedagogické

ostatní

Testy inteligence Testy divergentního myšlení a tvořivosti

Didaktické testy

objektivní

Psychofyziologické metody

subjektivní

Posuzovací škály chování dítěte při vyučování

Nominace učitelem Školní známky Výsledky v soutěžích (školních i mimoškolních)

Rodičovská nominace Nominace spolužáky Vlastní nominace

Tab. č. 1 Metody identifikace 3. Charakteristika matematicky nadaného žáka Díky jedinečnosti každého jedince není možné vytvořit celistvý seznam charakteristických vlastností a schopností nadaného dítěte, uvedeme nyní nejčastěji uváděné znaky, schopnosti a projevy nadaného žáka objevující se v odborných publikacích. Zaměřili jsme se především na oblast kognitivní a na charakteristiky, jež jsou pozorovatelné přímo ve vyučovacím procesu. Burjan (2005) dělí charakteristiky nadaných žáků do dvou skupin: na pozitivní a negativní. Je přesvědčen o tom, že napříč velkým individuálním rozdílům mají matematicky nadaní žáci obecně i jisté společné psychologické rysy – související s matematickým nadáním. Mezi pozitivní rysy řadí: • disciplínu a systematičnost myšlení, • kritické myšlení, • schopnost analyzovat problém,

125

• • • •

schopnost rozboru možných případů a vyčerpání možností (kombinační myšlení), schopnost dedukce, schopnost myšlenkového experimentu, hypotetického myšlení, schopnost a potřebu věcné argumentace.

Negativní rysy: • potřeba zvládat životní situace intelektuálně, racionálně, potřeba mít v každé životní situaci dostatek informací a chápat kauzální souvislosti, • očekávání logického myšlení a konání ze strany jiných, • skeptický přístup k tvrzením nepodloženým přiměřenou argumentací. Doplňme tento výčet o schopnosti a charakteristiky, kterými matematicky nadaní jedinci disponují podle Košče (1972), Makridese (2006), Zhoufa, Novotné (2001) a které můžeme pozorovat i u mladších žáků (9-11 let): • neobvykle velký zájem o matematiku, • vytváření vlastních postupů řešení úloh, • neoblíbeností rutinních, lehkých úloh postavených na ustavičném opakování a preferencí úloh náročnějších, • smyslem pro dokončení úkolu (vnitřní motivace), • výbornou prostorovou představivostí, • používáním větších „skoků“ v úvahách, zapisováním jen některých kroků řešení, • v případě divergentní úlohy schopností nalézat více řešení, • rychlostí rozumových operací, řešení mnohých úloh zpaměti, • schopností vidět a vyvozovat možné vztahy a souvislosti zejména v oblasti matematických pojmů a úloh, • schopností analyzovat situaci a diferencovat v ní podstatné od nepodstatného, • nadprůměrnou schopností abstraktně myslet a pracovat, • schopností rychle pochopit a aplikovat matematickou myšlenku, • nadprůměrnou schopností odůvodňovat, • používáním srozumitelných, jednoduchých, racionálních argumentů. 4. Identifikace nadaného žáka učitelem primárního stupně Pro identifikaci nadaného žáka učitelem je nezbytné, aby byl učitel detailně připraven a informován o specifikách nadaných jedinců, aby měl k dispozici jistá kritéria, popisy chování a projevy nadaného dítěte (Laznibatová, 2001). Pedagog může totiž při práci s nadanými žáky narazit na řadu netypických projevů, odpovědí žáků, může se dostat do situací, na které by měl být předem připravený. Jako jeden z objektivních ukazatelů matematického nadání by mohl učiteli posloužit vlastní didaktický test, který by ale nebyl sestaven z úloh vyžadujících výborné zvládnutí učiva v daném ročníku, ale ve kterém by byly zařazeny především úlohy: • vyžadující dobrý logický úsudek, • vyžadující prostorovou představivost, • řešené pomocí inverzních operací, • vyžadující kombinační myšlení, • úlohy mající více řešení,

126

• úlohy s nejednoznačným zadáním, • různé matematické hádanky, křížovky, hlavolamy, algebrogramy apod. Dalším z možných ukazatelů by mohlo být i dobrovolné zapojení žáků a případně jejich úspěšnost v různých matematických soutěžích (např. Matematický klokan – kategorie Klokánek) nebo olympiádách (Matematická olympiáda – kategorie Z5). 5. Závěr Za místo, kde by mělo docházet k rozpoznávání a poté i podporování nadaných žáků, je obecně považována škola. Můžeme se oprávněně domnívat, že jakmile budou mít učitelé dostatek informací o charakteristických projevech nadání a budou vědět, co mají na svých žácích pozorovat, že se budeme moci s velkou pravděpodobností spolehnout na správnou identifikaci ze strany učitelů. Příspěvek byl zpracován s podporou projektu ESF OP VK „Vyhledávání talentů pro konkurenceschopnost a práce s nimi" (CZ.1.07/1.2.08/02.0017). Literatura 1. BURJAN, V. Zamyslenie nad niektorými didaktickými a psychologickými aspektmi práce s matematickými talentami. In Ani jeden matematický talent nazmar. Sborník příspěvků. Hradec Králové : PdF UK v Praze, 2005. s. 7-15. ISBN 80-7290-224-5. 2. HOTOVÁ, E. Matematické vzdělávání žáků mimořádně nadaných na 2. stupni ZŠ. Disertační práce. Olomouc, 2008. 3. HŘÍBKOVÁ, L. Nadání a nadaní. Pedagogicko-psychologické přístupy, modely, výzkumy a jejich vztah ke školské praxi. Praha: UK, 2005. ISBN 80-7290-213-X. 4. HŘÍBKOVÁ, L. Základní témata problematiky nadaných. Praha : Univerzita Jana Amose Komenského, 2007. ISBN 978-86723-25-9. 5. JURÁŠKOVÁ, J. Základy pedagogiky nadaných. Pezinok : Formát, 2003. ISBN 80-89005-11-X. 6. KOŠČ, L. Psychológia matematických schopností. Bratislava : SPN, 1972. 7. MAKRIDES, G. Objevování, motivace a podpora matematických talentů na evropských školách. MATH.EU Projekt, 2006. 180 s. ISBN 9963-634-31-1. 8. LAZNIBATOVÁ, J. Nadané dieťa. Bratislava : IRIS, 2001. ISBN 80-88778-23-8. 9. SEJVALOVÁ, J. Talent a nadání – jejich rozvoj ve volném čase. Praha : IDM MŠMT, 2004. ISBN 80-86784-03-7. 10. ZHOUF, J., NOVOTNÁ, J. Projekt MathEU: Identifikace, motivace a podpora matematických talentů v evropských školách. In Ani jeden matematický talent nazmar. Sborník příspěvků. Hradec Králové : PdF UK v Praze, 2005. s. 94-101. ISBN 80-7290-224-5. Kontaktní adresa Mgr. Eva Hotová, Ph.D. Katedra matematiky Pedagogická fakulta UP v Olomouci, Žižkovo nám. 5, 771 40 Olomouc Telefon: +420 585 635 716 E-mail: [email protected]

127

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

MIEJSCE EDUKACJI MATEMATYCZNEJ W NOWYCH PROGRAMACH KSZTAŁCENIA ZINTEGROWANEGO Anna JAKUBOWICZ-BRYX Abstrakt Mając na uwadze całą złożoność mechanizmów poznawczych, jakie muszą być zaangażowane w proces nabywania przez małych uczniów umiejętności i wiedzy matematycznej należy ze szczególną uwagą podchodzić do przygotowania dzieci do uczenia się matematyki. W artykule zastanawiam się nad tym, na ile kolejna reforma programowa zmieniła oblicze edukacji wczesnoszkolnej. Poruszam problem miejsca edukacji matematycznej w całym systemie kształcenia zintegrowanego ze szczególną analizą miejsca kształcenia matematycznego w nowych programach przeznaczonych na pierwszy etap kształcenia. THE PLACE OF MATHEMATICS EDUCATION IN NEW INTEGRATED EDUCATION CURRICULA Abstract Being aware of the complexity of cognitive mechanisms involved in the acquisition of mathematical knowledge and skills by young learners, special attention should be attached to preparing children for mathematics instruction. The article attempts to determine to what extent, if at all, another curriculum reform has changed early school education. It mentions the issue of place of mathematics education within the entire integrated education system, analysing in particular the place of mathematics education in new curricula devoted to the first stage of education. O edukacji zintegrowanej mówimy obecnie jako o refleksji nad wiedzą o uczeniu. Wychodzimy przy tym z założenia, że tak rozumiana edukacja w sposób znaczący wpływać powinna na zmiany uczenia się i na zmiany we wszystkich obszarach ludzkiego życia. Każda kolejna reforma oświatowa powoduje dyskusję nad celami kształcenia i to zarówno ogólnymi, jak i celami szczegółowymi, wyznaczającymi kierunki postępowania dydaktyczno-wychowawczego nauczycieli edukacji wczesnoszkolnej. Merytoryczne przygotowanie nauczycieli pierwszego szczebla kształcenia ma kolosalne znaczenie dla przyszłej edukacji młodego pokolenia. Od nauczycieli edukacji wczesnoszkolnej zależeć będzie to, czy posiadane przez uczniów wiedza i umiejętności w pełni oparte będą na właściwie skonstruowanych pojęciach. Matematyka jako niewątpliwie specyficzna dziedzina wiedzy wymaga tego, by stosowane tam metody pozwalały na pełne jej rozumienie. „Matematyka to świat idei, świat wymyślony, chociaż bardzo mocno zakotwiczony w realnej, otaczającej nas rzeczywistości. H. Steinhaus uważał, że >>między duchem a materią pośredniczy

128

matematyka<<. Podkreślał w ten sposób fakt, że pojęcia matematyczne mają swoje korzenie w fizycznych działaniach i percepcji otaczającego nas świata, ale swoją istotą wychodzą daleko poza ten świat. Droga do świata materialnego, do świata idei z natury rzeczy nie może być łatwa ani krótka” (SWOBODA, 2007, s. 70). Na matematykę nie można zatem patrzeć jak na twór będący zasobem gotowej wiedzy, będący zbiorem przepisów, algorytmów czy regułek. Niewątpliwie jest to przecież nauka, która stanowi użyteczne narzędzie ułatwiające rozumienie otaczającego nas świata, jest to pewien sposób patrzenia na świat i myślenia o nim. Ucząc matematyki właśnie w taki sposób powinniśmy o niej myśleć. Podczas poznawania tej dziedziny nauki uczymy przecież wnioskowania, weryfikacji, wyposażamy dzieci we wzorce i środki argumentacji, uczymy analizowania wypowiedzi, zadawania pytań, rozwijamy intuicję i dociekliwość, jak również wdrażamy do pokonywania trudności i wytrwałości w działaniu. Praktyczna przydatność matematyki i doniosłość jej zastosowań zmusza młode pokolenie do tego, aby ją przyswoić, skonstruować „od nowa” na własny użytek, czyniąc z niej efektywne narzędzie pomocne w poznawaniu i rozumieniu otaczającego świata i umożliwiając lepszy rozwój w innych dziedzinach nauki (RECLIK, 2006, s. 116). Mając na uwadze całą złożoność mechanizmów poznawczych, jakie muszą być zaangażowane w proces nabywania przez małych uczniów umiejętności i wiedzy matematycznej należy ze szczególną uwagą podchodzić do przygotowania dzieci do uczenia się matematyki. Jak podkreśla Gruszczyk-Kolczyńska (2006, s. 118-121) od początku wprowadzenia w szkołach zintegrowanego nauczania obserwuje się groźną tendencję do realizowania pewnych zakresów kształcenia kosztem innych. Niestety dotyczy to często edukacji matematycznej. Może to być przyczyną nadmiernych trudności i niepowodzeń szkolnych oraz obniżenia efektywności nauczania matematyki. Przekształcanie rzeczywistości niewątpliwie wymaga jej poznania i rozumienia we wszystkich aspektach. W tym procesie doniosłe znaczenie ma praca dydaktycznowychowawcza szkoły. Świadome realizowanie tych założeń powinno być odzwierciedlone w dokumentach ministerialnych oraz programach nauczania przeznaczonych dla poszczególnych szczebli edukacji. W grudniu 2008 roku Ministerstwo Edukacji Narodowej wprowadziło nową Podstawę Programową kształcenia ogólnego. W jej ramach powstała także nowa podstawa dla pierwszego etapu kształcenia – edukacji przedszkolnej i wczesnoszkolnej. Programy kształcenia zintegrowanego w swoich założeniach powinny jako jeden z głównych celów stawiać sobie kształcenie logicznego myślenia, na bazie którego powstaje przecież myślenie matematyczne. Interesujące jest zatem na ile kolejna reforma programowa zmieniła oblicze edukacji wczesnoszkolnej w zakresie kształcenia matematycznego. Analiza funkcjonujących na rynku programów nauczania z pewnością pozwoli na spostrzeżenia w tym obszarze. W podstawie programowej czytamy, że edukacja matematyczna to wspomaganie rozwoju umysłowego oraz kształtowanie wiadomości i umiejętności matematycznych dzieci. Dokument ten zakłada, że uczeń klas I-III powinien posiadać wiedzę i umiejętności matematyczne w zakresie następujących kategorii: 1. w zakresie czynności umysłowych ważnych dla uczenia się matematyki; 2. w zakresie liczenia i sprawności rachunkowych; 3. w zakresie pomiaru; 4. w zakresie obliczeń pieniężnych. Autorzy poszczególnych programów nauczania starali się nawiązywać do tych elementów uszczegółowiając je w bardzo różnorodny sposób. W każdym jednak

129

programie, co należy tu podkreślić, edukacja matematyczna została wydzielona jako oddzielny blok treści programowych. W tygodniowym planie zajęć wyznaczonym przez podstawę programową edukacja matematyczna obejmuje 4 godziny. Analiza zawartości programów pod kątem umiejscowienia w nich edukacji matematycznej została przeze mnie dokonana na podstawie następujących 10 dostępnych programów opracowanych zgodnie z nową podstawa programową: 1. Bieleń B., Janicka-Panek T., Małkowska-Zegadło H., Szkoła na miarę, NOWA ERA, Warszawa 2009. 2. Brzózka J., Harmak K., Izbińska K., Jasiocha A., Went W., Razem w szkole, WSiP, Warszawa 2009. 3. Faliszewska J., Odkrywam siebie. Ja i moja szkoła. MAC EDUKACJA, Kielce 2009. 4. Hanisz J., Wesoła szkoła i przyjaciele, WSiP, Warszawa 2009. 5. Jarząbek M., Mitoraj-Hebel A., Sirak-Stopińska K., Zachodny B., Kolorowa klasa, OERON, Gdynia 2009. 6. Juszkiewicz A., Od A do Z. Edukacja z pasją, DIDASKO, Warszawa 2009. 7. Korcz A., Zagrodzka D., Witaj szkoło!, EDUKACJA POLSKA, Warszawa 2009. 8. Misiorowska E., Cyrański Cz., Nasza klasa, MAC EDUKACJA, Kielce 2009. 9. Pięta H., Orzechowska D., Tolak I., Stępień M., Uczę się z Ekoludkiem, ŻAK, Warszawa 2009. 10. Stolarczyk E., Gra w kolory, JUKA, Warszawa 2009. We wszystkich analizowanych programach nauczania edukacja matematyczna jest wydzielona jako osobne treści kształcenia w podziale na poszczególne klasy. Jest to zasadnicza różnica w porównaniu z programami poprzednio funkcjonującymi na rynku. Korzystający z nich nauczyciele mogą więc bez żadnych problemów szczegółowo odczytać treści z zakresu kształcenia matematycznego. W omawianych programach znajdujemy różny układ materiału matematycznego. W kilku edukacja matematyczna prezentowana jest w postaci tabeli z podwójnym układem kolumn zawierających treści kształcenia lub treści edukacyjne i działania w ich zakresie oraz zakładane osiągnięcia uczniów na danym poziomie kształcenia (programy: 1, 5, 8, 10). W innych do tych dwóch elementów dopisane zostały jeszcze procedury osiągania celów w edukacji matematycznej (program 9), lub też treści zostały podzielone na podstawowe i ponadpodstawowe (program 2). Natomiast w kilku mamy jedynie podział samych treści na poszczególne klasy z wyróżnieniem ich jako treści stymulujących określone obszary inteligencji matematyczno-logicznej (program 3), bądź też jako treści wypisane w formie osiągnięć w zakresie doskonalenia umiejętności matematycznych (program 7) czy też mamy do czynienia z pełnym odzwierciedleniem wiadomości i umiejętności zawartych w nowej podstawie programowej i „dopisaniem” do niej treści kształcenia (program 6). Autorzy programów nauczania w wielu przypadkach zamieszczają również uwagi związane z realizacją treści matematycznych oraz szczegółowo odnoszą się do realizacji celów kształcenia w tym zakresie. Czasem uwagi te odnoszą się do realizacji treści matematycznych dla każdej z trzech klas (program 4), kiedy to autorka proponuje nauczycielom kolejność opracowywania zagadnień i wskazuje najbardziej przydatne dla poszczególnych treści sposoby i metody pracy. W innym podkreśla się na samym wstępie programu znaczenie metody czynnościowej dla zdobywania wiedzy i umiejętności matematycznych (program 5). W pozostałych programach autorzy ograniczyli się do jedynie do prezentacji celów kształcenia w zakresie edukacji matematycznej, wyróżnionych bądź to przy każdym z omawianych poziomów nauczania, bądź to na samym początku programu.

130

Układ treści kształcenia w omawianych programach jest dość spójny. We wszystkich programach ma charakter spiralny. Jak podkreślają twórcy programu Witaj szkoło! „treści matematyczne są podporządkowane logice wprowadzanych pojęć matematycznych i nie ma konieczności łączenia ich z tematami realizowanymi w danym momencie w ramach edukacji polonistycznej, przyrodniczej, społecznej. Poza tym treści matematyczne mogą być realizowane w dowolnym momencie dnia. Oczywiście można mówić o luźnej integracji treściowej, ponieważ w edukacji matematycznej używane są na przykład liczmany związane z daną porą roku” (s. 35). Edukacja matematyczna, czytamy w następnym programie nauczania, polega na zdobywaniu przez dzieci kolejnych doświadczeń, obejmujących stosunki ilościowe określonych przedmiotów i ich wzajemne relacje. Podstawowe pojęcia, którymi dziecko powinno się posługiwać, to pojęcie liczby i działania arytmetycznego (program 10, s. 18). Z kolei w programie Wesoła szkoła i przyjaciele podkreśla się, że „świat jest uporządkowany, mierzalny, porównywalny, ma swoją strukturę, gęstość, trwałość – i te cechy można opisać językiem matematyki. Celem edukacji matematycznej jest zatem kształcenie umiejętności ilościowego, relacyjnego, schematycznego ujmowania, opisywania, przedstawiania i przekształcania rzeczywistości (s. 8). Należy również pamiętać przy realizacji wszelkich programów nauczania o zaleceniach, które płyną z podstawy programowej. W obszarze edukacji matematycznej otrzymuje nauczyciel następujące wskazówki: „w pierwszych miesiącach nauki w centrum uwagi jest wspomaganie rozwoju czynności umysłowych ważnych dla uczenia się matematyki. Dominującą formą zajęć są w tym czasie zabawy, gry i sytuacje zadaniowe, w których dzieci manipulują specjalnie dobranymi przedmiotami, np. liczmanami. Następnie dba się o budowanie w umysłach dzieci pojęć liczbowych i sprawności rachunkowych na sposób szkolny. Dzieci mogą korzystać z zeszytów ćwiczeń najwyżej przez jedną czwartą czasu przeznaczonego na edukację matematyczną. Przy układaniu i rozwiązywaniu zadań trzeba zadbać o wstępną matematyzację: dzieci rozwiązują zadania matematyczne, manipulując przedmiotami lub obiektami zastępczymi, potem zapisują rozwiązanie (podstawa programowa s. 58). Niewątpliwie istotny w tym zakresie jest również komentarz do realizacji programów nauczania opracowanych na podstawie nowej podstawy programowej, w którym to czytamy: „programy nauczania, konstruowane zgodnie z zaleceniami zawartymi w podstawie, powinny zawierać konkretyzację i rozszerzenie treści kształcenia w edukacji matematycznej, w każdym roku nauczania początkowego. Należy jednak zachować realizm pedagogiczny, rozszerzony zakres edukacji matematycznej musi uwzględniać możliwości umysłowe dzieci, odpowiednio z klasy I, II i III. Jest to konieczne, ponieważ nadmierne i specyficzne trudności w nauce matematyki zaczynają się już w pierwszym okresie nauki szkolnej. Nie oznacza to jednak, że można zrezygnować z poszukiwania i rozwijania zadatków uzdolnień matematycznych u uczniów na tym etapie edukacji. Są one częste, a niepielęgnowane marnieją i nie sposób tego naprawić w następnych latach” (podstawa programowa s. 65). W analizowanych programach nauczania edukacja matematyczna funkcjonuje jako wydzielony obok pozostałych element wczesnej edukacji. Z pewnością taki układ jest korzystniejszy w porównaniu z poprzednimi funkcjonującymi do czerwca 2009 programami, w których to niejednokrotnie zakres treści matematycznych był włączony w rozmaite „aspekty” dla przykładu znaleźć można ją było w aspekcie społecznokulturowym. Wydzielenie edukacji matematycznej sprzyja łatwiejszej interpretacji treści przez nauczycieli na poszczególnych poziomach kształcenia zintegrowanego a tym samym uświadomieniu faktu, że nie należy na siłę integrować aktywności

131

matematycznej z pozostałymi działaniami polonistycznymi, społecznymi czy przyrodniczymi. Warto tu bowiem pamiętać, że „wchodzenie w świat matematyki nie jest podobne do wspinania się po drabinie – najpierw jeden szczebelek, potem drugi i następny. Budowanie swojej własnej matematyki polega na tworzeniu tzw. sieci pojęciowej. Rozumienie określonego matematycznego pojęcia jest możliwe dzięki rozumieniu innego matematycznego pojęcia, dochodzenie do określonych własności to wykorzystywanie pewnych technik myślowych będących narzędziem nie tylko dla tej jednej własności, technik typowych dla myślenia matematycznego. Rozumienie zależności i relacji, dostrzeganie prawidłowości, widzenie reguły w pojedynczym zjawisku – to podstawa dla funkcjonowania w świecie matematyki” (SWOBODA, 2007, s. 72-73). Wprowadzona koncepcja kształcenia zintegrowanego pozwoliła na zbliżenie matematyki w edukacji wczesnoszkolnej doświadczeniom dzieci. Umożliwianie dzieciom powiązania działań rachunkowych z sytuacjami życia codziennego sprzyja rozwijaniu myślenia matematycznego i doskonaleniu umiejętności związanych z różnymi zakresami edukacji matematycznej. Zmiany w systemie szkolnictwa zapoczątkowane w grudniu 2008 roku, związane z podstawą programową, spowodowały pojawienie się na rynku wielu nowych programów nauczania dla kształcenia zintegrowanego. Ich szczegółowa analiza wykazała, że treści kształcenia dotyczące obszaru matematycznego mają znacznie korzystniejszy układ w porównaniu z programami poprzednio funkcjonującymi na rynku wydawniczym. Czy przyczyni się to do zmiany w codziennej praktyce szkolnej – z pewnością będzie interesującym do zaobserwowania elementem. Mogę wyrazić tu nadzieję, że edukacja matematyczna znajdzie właściwe miejsce w bloku codziennych zajęć uczniów klas I-III. Literatura 1. GRUSZCZYK-KOLCZYŃSKA E., O niektórych pułapkach zinegrowanego kształcenia [W:] MOROZ H., (red.), Edukacja zintegrowana w reformowanej szkole, Impuls, Kraków 2006, ISBN 978-83-7308-695-1. 2. RECLIK R., Kompetencje matematyczne studentów edukacji wczesnsozkolnej. [W:] KUSZTELAK A., ZDUNIAK A., (red.), Kształcenie zawodowe w teorii i praktyce edukacyjnej, Wydawnictwo Wyższej Szkoły Bezpieczeństwa, Poznań 2006, ISBN 978-83-922-909-2-6. 3. SEIDEL J., SOBIESZCZYK M., Podręcznik dla ucznia klas I-III szkoły podstawowej. Szansa czy zagrożenie edukacji? [W:] Acta Universitatis Palackianae Olomucensis - Matematika 3, Univerzita Palackeho, Olomouc 2008, ISBN 978-80244-1963-3. 4. SWOBODA E., Kształcenie myślenia matematycznego dzieci w wieku pzredskzolnym. [W:] LASKA E. I., Nauczyciel wobec wczesnej edukacji dzieci, Wydawnictwo Uniwersytetu Rzeszowskiego, Rzeszów 2007, ISBN 978-83-7338327-2. Kontaktní adresa Dr Anna Jakubowicz-Bryx Uniwersytet Kazimierza Wielkiego ul. Chodkiewicza 30, 85-064 BYDGOSZCZ Phone: +48 52 34 19 300 E-mail: [email protected]

132

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

ROZVOJ POČETNÍCH DOVEDNOSTÍ U MLADŠÍCH ŠKOLNÍCH DĚTÍ Antonín JANČAŘÍK Abstrakt Zvládnutí základních matematických operací (sčítání, odčítání, násobení a dělení) nejprve s přirozenými a následně i racionálními čísly patří mezi základy matematiky, s nimiž se děti seznamují na prvním stupni základních škol. Cílem každého učitele je samozřejmě to, aby žáci nejenom počítali bez chyb, ale aby také prováděli výpočty co možná nejrychleji. V tomto kontextu je naprosto přirozená otázka, jaké rychlosti při výpočtech lze dosáhnout? Příspěvek představuje několik technik, které napomáhají rozvoji početních dovedností, a představuje výsledky, jichž lze dosáhnout pomocí výuky počítání s japonským počítadlem Soroban. DEVELOPMENT OF BASIC ARITMETICAL OPERATIONS AT ELEMENTRARY SCHOOL Abstract Basic arithmetical operations first with natural and subsequently with rational numbers forms the basics of mathematics that children meet already at primary school level. Needless to say, every teacher’s goal is not only to have their pupils carry out these calculations without mistakes but also as fast as possible. The question that one naturally asks in this context is what speed in carrying out these calculations can be achieved. This contribution presents several techniques that support development of calculation skills, and also presents results that can be achieved when teaching calculations using the Japanese calculator Soroban.

1. Úvod Zvládnutí základních matematických operací (sčítání, odčítání, násobení a dělení) nejprve s přirozenými a následně i racionálními čísly patří mezi základy matematiky, s nimiž se děti seznamují na prvním stupni základních škol. Cílem každého učitele je samozřejmě to, aby žáci nejenom počítali bez chyb, ale aby také prováděli výpočty co možná nejrychleji. Přičemž se žáci učí jak písemným algoritmům, tak i výpočtům z paměti. V tomto kontextu je naprosto přirozená otázka, jaké rychlosti lze dosáhnout? Cílem tohoto příspěvku je představit některé techniky, které rozvoji početních dovedností napomáhají a výsledků, kterých mohou naprosto normální děti díky nim dosahovat.

133

2. Hra Cink Hra Cink je jednoduchou hrou, kterou lze používat pro rozvoj početních dovedností s předškolními a mladšími školními dětmi. V této hře hráči postupně vykládají na stůl kartičky s obrázky ovoce. Cílem hry je v okamžiku, kdy se na kartách objeví právě pět kusů stejného druhu ovoce, zazvonit na zvoneček uprostřed stolu. Na základě zkušeností se jedná o velice oblíbenou hru dětí každého věku. Při opakovaném hraní hry je patrné zlepšení a zrychlení provádění aritmetických operací. Požadované operace, které se ve hře vyskytují (sčítání a odčítání), jsou prováděny v podstatě okamžitě. Autor článku tuto hru hraje s pětiletým synem od jeho 3 let, nejprve ve variantě, že se zvoní pouze na stejné druhy ovoce, od čtyř let podle základních pravidel. Chlapec je naprosto vyrovnaný soupeřem nejen dospělým, ale i mnohem starším dětem. Současně se výrazně rozvíjí jeho početní dovednosti i mimo hru, sčítání s přechodem přes desítku a začíná násobit jednociferná čísla. Hru cink lze hrát nejen doma, ale i ve škole nebo ve školní družině. 3. Hra desítka Druhou představovanou hrou je hra Desítka (viz [3]). Ze zamíchané hromádky s kartami s čísly od jedné do desíti vyberme 4 karty. Cílem hry je z vylosovaných číslic sestavit matematický výraz tak, aby každá z číslic byla použita právě jednou a výsledek byl roven deseti. Pokud jsou vylosovaná čísla 2,3,5,7, máme dvě možné řešení (3+7−5)x2 nebo 3x5−7+2. V praxi se osvědčilo věnovat hře cca 5 až 10 minut na začátku hodiny. Pokud se hra žákům zalíbí, je možné ji hrát i na konci hodiny za odměnu. Procvičované dovednosti se hodí při řešení slovních úloh s celočíselným řešením, úloh z kombinatoriky, při hledání řešení diofantických rovnic, soustav lineárních rovnic či např. i při zjišťování lineární závislosti a nezávislosti vektorů. V průběhu hry žáci řeší velké množství početních úloh. Při častém hraní tak dochází k výraznému zlepšení početních dovedností. V praxi se u zkušenějších hráčů osvědčilo hraní ve dvojicích s přibližně stejnou výkonností. Dobří hráči jsou schopni odehrát celý balíček Ligretto (tedy čtyřicet čtveřic) do pěti minut. Hru lze samozřejmě modifikovat a hrát ji i pro jiné požadované výsledky. U zkušenějších hráčů však tato změna nepůsobí komplikace a nedochází ke zpomalení. Řešení jsou nalézána ve srovnatelném čase. 4. Aloha (Abacus Learning of Higher Arithmetic) Uvedené výsledky jsou však poměrně nezajímavé v porovnání s výkony, které lze nalézt na internetu, především na serveru YouTube (http://www.youtube.com/). Není neobvyklé, že předškolní děti sčítají a odčítají dvoumístná čísla z paměti. Starší děti násobí z paměti i více ciferná čísla, sčítají a odčítají dlouhé řady čísel či provádějí víceciferné dělení. Jsou tyto výsledky náhodné, popřípadě projevem geniality vybraných dětí, nebo jsou výsledkem použitých výukových metod? Při bližším zkoumání zjistíme, že většina dětí z těchto ukázek se učí pracovat s počítadly, respektive s jejich speciální variantou – sorobany. Sorobany jsou počítadla, která byla vyvinuta na území Japonska a Číny. Pravděpodobně jedinou zemí, která má v současnosti zařazenou práci se Sorobanem ve školním kurikulu, je Japonsko. Počet hodin věnovaných tomu tématu je však velmi redukován a téma je zařazováno především z historicko-kulturních důvodů. Japonské děti se tak práci se sorobany učí

134

především v soukromých školách, které navštěvují v odpoledních hodinách (o počítání na sorobanu více viz [1]).

Soroban Zatímco Japonsko od používání Sorobanů pomalu ustupuje, stávají se stále populárnější v dalších zemích – Indii, Brazílii, Velké Británii či USA. V těchto zemích jsou zakládány školy rozvíjející početní a paměťové dovednosti (srovnej s [2]). Jedním z nejlépe propracovaných programů je programů je ALOHA (Abacus Learning of Higher Arithmetic). Tento program je určen pro děti ve věku od pěti do dvanácti let a kromě vlastního počítání na Sorobanu zahrnuje i další doprovodné aktivity. Jednou z nich je i počítání na prstech, které je dobrou průpravou pro počítání na Sorobanu. Díky upravenému systému, který zahrnuje přechod přes pětku (celá ruka) a desítku, dovoluje na prstech zobrazit libovolné číslo od jedné do devadesáti devíti (viz obrázky).

Počítání na prstech (zdroj http://aloha-usa.com/) Menší počet používaných prstů a následně poté i počtu kuliček na počítadle umožňuje snazší představu celé situace i bez fyzické realizace. Je tedy obvykle, že po zvládnutí výpočtů na počítadle, zvládají děti i výpočty z paměti, a to při zachování vysoké rychlosti výpočtu. Původ dovednosti zpravidla prozrazují drobné pohyby prstů, či rukou, které kopírují práci s počítadlem. 5. Závěr Ukázky práce žáků ze škol Sorobanu dokazují, že s dětmi lze dosahovat velice zajímavých výsledků při výpočtech z paměti. Přestože práce se Sorobanem nemá v Čechách tradici a nemůžeme očekávat její zařazení do Rámcových vzdělávacích programů, lze učivo na prvním stupni o toto téma rozšířit. První pokusy, které byly na toto téma provedené v rámci diplomové práce Elišky Kučerové ([4]) a autora článku, ukázaly, že děti práce se Sorobanem baví a jsou schopné ji pochopit a Soroban

135

samostatně používat. V upravené (a pravděpodobně méně účinné) metodě, lze pro trénink výpočtů používat i klasická počítadla. Literatura 1. 2. 3. 4.

GREEN P. How to use a finese abacus: A step-by-step guide to addition, subtraction, multiplication, division, roots and more. Lulu.com, 2007 HATTA, T. HIROSE,T. IKEDA, K. FUKUHARA H. Digit memory of soroban experts: Evidence of utilization of mental imagery. Applied Cognitive Psychology, vol. 3, iss. 1, 23-33, 2006 JANČAŘÍK, A. Hry v matematice. Praha : UK v Praze, Pedagogická fakulta, 2007 KUČEROVÁ E. Budování číselných představ dětí ve věku 10 – 12 let pomocí Sorobanu (diplomová práce), PedF UK v Praze, 2008

Kontaktní adresa RNDr. Antonín Jančařík Ph.D. Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova v Praze M. D. Rettigové 4, 116 39 Praha 1 Telefon: +420 221 900 252 E-mail: [email protected]

136

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

DIDAKTICKÉ HRY V HODINÁCH MATEMATIKY NA 1. STUPNI ZŠ Magdalena JANKŮ Abstrakt Příspěvek pojednává o využití didaktických her ve vyučování matematice ZŠ. Zároveň obsahuje čtyři konkrétní náměty didaktických her vhodných k zařazení do výuky matematiky na 1. stupni ZŠ. Tyto hry jsou určeny především k upevňování a procvičování probraného učiva. DIDACTIC GAMES IN TEACHING MATHEMATICS AT PRIMARY SCHOOL Abstract This article talks about usage of didactic games in teaching mathematics at primary school. It contains four ideas and suggestions for didactic games, which can be used in teaching mathematics at primary school. These games are mainly intended for consolidation and exercise mathematical subject matter.

1. Úvod V procesu formování a kultivace osobnosti žáka hraje klíčovou úlohu motivace. „Žák, který se nebude chtít učit, který nebude mít o učení zájem, který nebude k učení motivován, si nevybuduje žádnou poznatkovou strukturu, ba ani si ji budovat nezačne, neboť k tomu je potřeba jeho aktivita.“1 Zaujmout žáky pro výuku a účinně je motivovat k činnosti jsou základní úkoly a problémy každého učitele. Podstatou motivace je vzbudit pozornost, aktivizovat žáky a dodat jim energii a chuť k jednání. Učitel může ovlivňovat motivaci svých žáků mnoha způsoby. Na 1. stupni ZŠ je jedním z možných postupů využití didaktické hry. Hra je pro žáky mladšího školního věku přirozenou činností a potřebou. Základními rysy dětské osobnosti jsou totiž hravost, spontánnost a aktivita. Didaktická hra je hra s rámcovými pravidly, která směřuje k realizaci vzdělávacího cíle stanoveného učitelem. Didaktické hry mohou být zařazeny kdykoli během vyučovací hodiny. Je vhodné je využít při opakování a upevnění učiva, ale i při výkladu nové látky nebo při řešení náročnějších učebních problémů. V matematice hry zpřístupňují zajímavou formou osvojení a procvičení základních početních operací. Zároveň přispívají k rozvoji logického myšlení, kombinačního úsudku, paměti, tvořivosti, představivosti a orientace v rovině a v prostoru. Významný je i výchovný účinek didaktických her. Podporují socializaci a sebekontrolu jedince. Žáci jsou nuceni 1 HEJNÝ, M., KUŘINA, F. Dítě, škola a matematika. 1. vyd. Praha: Portál, 2001. ISBN 80-7178-581-4. s. 105

137

dodržovat stanovená pravidla, spolupracovat, komunikovat mezi sebou, učí se vyhrávat i prohrávat. Zařazení didaktické hry do hodiny by nemělo být náhodné. Vždy je třeba skloubit herní a učební motivy a tak směřovat k vytyčenému didaktickému cíli. V současnosti je také důležité, aby didaktické hry napomáhaly k osvojení očekávaných výstupů a především aby rozvíjely klíčové kompetence žáků, tak jak je uvádí RVP ZV. Jsou jimi: • kompetence k učení, • kompetence k řešení problémů, • kompetence komunikativní, • kompetence sociální a personální, • kompetence občanské, • kompetence pracovní. 2. Příklady her Z pohádky do pohádky 1. ročník Cíl: Řetězové počítání – určit konečný počet věcí (předmětů). Kompetence k řešení problémů – rozpozná a pochopí problém, samostatně řeší problémy, užívá při řešení problémů logické, matematické a empirické postupy. Pomůcky: Kartičky s čísly, připravená pohádka. Postup: Dětem vyprávíme vymyšlenou pohádku o drakovi a princezně, kterou přijde zachránit princ. Princ postupně seká drakovi hlavy a ty buď odpadají nebo znovu přirůstají. Děti mají za úkol zdvihnout kartičku s číslem správného počtu drakových hlav po třech (popř. čtyřech) úkonech. Příklad pohádky Bylo jednou jedno království a v něm žila krásná princezna Jednička. Jednoho dne však do království přiletěl obrovský sedmihlavý drak a princeznu Jedničku unesl. Její tatínek král dal vyhlásit, že kdo mu dceru přivede zpátky dostane velkou odměnu. Přihlásil se jen statečný princ Mínus a takhle s drakem bojoval: Nejprve mu usekl jednu hlavu. Drakovi však narostly dvě nové hlavy. Princ pak jednou ranou usekl tři hlavy. Kolik hlav měl v tuto chvíli drak? … Matematický fotbal od 1. ročníku Cíl: Procvičení dané početní operace. Kompetence k učení – žáci organizují a řídí vlastní učení Postup: Aktivita se hraje podobně jako slovní fotbal. Učitel zadá příklad k procvičení probírané látky (např. na procvičení odčítání zadá příklad 16 - 5) a vyvolá jednoho žáka. Pokud žák odpoví správně, vymyslí další příklad na dané téma on a vyvolá někoho ze spolužáků. Takto si žáci mezi sebou posílají pomyslný míč. Pokud někdo odpoví špatně nebo nebude vědět odpověď vypadává ze hry. Vyvolaný žák by měl odpovídat co nejrychleji např. do 5 sekund (záleží na obtížnosti úloh). Hra se může hrát, podle časových možností, dokud nezůstane jen jeden vítěz.

138

Manufaktura od 2. ročníku Cíl: Procvičit početní operace. Kompetence sociální a personální – spolupráce ve skupině, sebeovládání, respekt k druhému, zvládání stresové situace. Pomůcky: Listy papíru se zadáním úloh, tužka. Postup: Třídu rozdělíme do skupin po 4-5 žácích, každá skupina tvoří manufakturu. Jejich úkolem je spočítat 6 (nebo více) matematických úloh (např. spočítat příklad 90:10 – 8 + 3x5 + 32) přičemž na zpracování úkolů je stanoven relativně krátký čas. Žáci v manufaktuře pracují samostatně, každý z nich zastává část práce výrobní linky. První člen udělá jeden krok v řešení úlohy (pozn. počet kroků při řešení úlohy musí být stejný jako počet žáků ve skupinách), výsledek předá dál a začne pracovat na druhé úloze. Každý člen skupiny udělá jeden krok v řešení úlohy, výsledky úloh se hromadí u posledního člena skupiny. Po uplynutí stanoveného času se hodnotí, která skupina měla správně vyřešených více úkolů, která skupina nejlépe spolupracovala. Bingo 5. ročník Cíl: Opakování nebo upevnění probírané látky, žáci se učí rozumět pojmům a správně je přiřazovat. Kompetence komunikativní – práce s matematickým jazykem a matematickými symboly. Pomůcky: Tabulka o 9 polích, tužka. Postup: Každý žák si připraví arch na Bingo - nakreslí si od ruky tabulku 3x3 čtverečky. Učitel napíše na tabuli 12 pojmů (popř. i více pojmů) z právě probírané látky – např. z oboru geometrie v rovině napíše pojmy: čtverec, obdélník, trojúhelník, kružnice, bod, přímka, úsečka, rovnoběžky, kolmice, obvod, obsah, mnohoúhelník. Žáci si do čtverečků vepíší z 12 nabízených 9 libovolně vybraných pojmů. Učitel pak postupně čte definice nebo popisy pojmů (ne pojmy samotné) v libovolném pořadí. Pokud má žák daný pojem v tabulce, zakřížkuje ho. Komu se podaří proškrtat celý řádek, sloupec nebo úhlopříčku, zvolá Bingo! Pro kontrolu přečte pojmy a zopakuje jejich definice či popisy (může i vlastními slovy). Hra pokračuje dokud někdo ze žáků neproškrtá všechna pole v tabulce. 3. Závěr Didaktické hry jsou pro učitele mnohdy náročné na přípravu. Kromě přípravy pomůcek je nutné, aby si předem promyslel cíle hry, kompetence, které chce jejím prostřednictvím rozvíjet, aby určil pravidla a organizaci hry, vhodné zařazení hry do vyučovací hodiny, časovou dotaci či způsob ukončení hry a její zhodnocení. Na příkladech těchto čtyř her jsem některé z těchto kroků udělala. Nicméně si myslím, že je na každém učiteli, aby si danou hru přetvořil podle potřeb svých a svých žáků. Literatura 1.

COUFALOVÁ, J. Využívání didaktických her v hodinách matematiky na 1. stupni ZŠ. In Matematické vzdělávání z pohledu žáka a učitele primární školy: sborník příspěvků z konference s mezinárodní účastí = Mathematical Education from Pupil's and Primary School Teacher's view: the conference proceedings. 1. vyd.

139

2. 3. 4.

5. 6.

Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2008. s. 73 – 77. ISBN 978-80-2441963-3. HANSEN ČECHOVÁ, B. aj. Nápadník pro rozvoj klíčových kompetencí ve výuce. 1. vyd. Praha: www.scio.cz, 2006. ISBN 80-86910-53-9. HEJNÝ, M., KUŘINA, F. Dítě, škola a matematika. 1. vyd. Praha: Portál, 2001. ISBN 80-7178-581-4. KARÁSKOVÁ, V., NOVÁK, B. Didaktické hry pohybového charakteru s matematickým námětem. In Podíl matematiky na přípravě učitele primární školy. Mezinárodní vědecká konference Olomouc, 25. – 27. dubna 2002. 1. vyd. Olomouc: Univerzita Palackého, 2002. s. 72 – 75. ISBN 80-244-0440-0. KREJČOVÁ, E., VOLFOVÁ, M. Didaktické hry v matematice. 3. vyd. Hradec Králové: Gaudeamus, 2001. ISBN 80-7041-423-5. LEVICKÁ, J. Didaktické hry pre 1. stupeň základných škôl. 1. vyd. Bratislava: AT publishing, 2007. ISBN: 80-88954-32-0.

Kontaktní adresa Mgr. Magdalena Janků KMT PdF UP v Olomouci Žižkovo náměstí 5, 771 40 Olomouc Telefon: +420 585 635 705 E-mail: [email protected]

140

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

REZERVY INOVACÍ VYUČOVÁNÍ MATEMATICE Michaela KASLOVÁ Abstrakt Inovace v současnosti nemohou postupovat do nekonečna. Slabinou inovačního procesu je nedostatek jeho přehodnocení a popis a charakteristika rezerv. Jak hodnotit efektivita inovací. Kde jsou rezervy inovačních procesů ve vyučování matematice? RESERVES IN THE INNOVATION PROCESS OF MATHS TEACHING Abstract The process of contemporary innovation cannot be developed ad infinitum. The absence of the innovation reconsideration and of the their description and the characteristic represents the obstacle of the innovation. How can we evaluate the innovation effectiveness? Where we can discover the reserves of innovation process in mathematics teaching?

1. Úvod Procesy inovací po roce 1990 byly ovlivněny především negativními stránkami pojetí vyučování v předchozích dvaceti letech. Objevovaly se analýzy pedagogických situací, oprašovaly se historické pedagogické směry, hledaly se ty jejich složky, které by mohly odstranit tehdy vymezená negativa. Vyhledávaly se inspirace v zahraničí, avšak často vytrženě z kontextu. Vyučování matematice bylo hodnoceno učitelskou obcí do jisté míry pod vlivem emocí ve snaze odstranit „množinovou matematiku“ a takové kapitoly, které se obtížně vyučují (pozn. vzpomeňme na zasedání v budově VÚP, kam přišla delegace učitelek za odstranění učiva geometrie z osnov 1. st. ZŠ). Motivy k úpravám byly ovlivňovány dvěma hlavími proudy: První proud představovaný především pracovníky podílejícími se na výzkumu v oblasti didaktiky matematiky se snahou prosadit konečně to, co se ukazuje pro žáka schůdnější (ne nutně pro učitele). Druhý proud představovaný především zkušenějšími praktiky, kde bylo možné sledovat zhruba tři tendence: a) odstranit vše, co se dělalo od sedmdesátých let – přenést veškerou zodpovědnost na učitele v oblasti postupů i výběru učiva, b) změnit především obsah bez velkých změn v transmisívnosti a unicitě v učebním stylu i hodnocení žáků, c) stavě na dílčích změnách v obojím s posílením pravomocí učitele. Poslední skupina byla v prvních diskusích více v pozadí a pro jistou umírněnost byla tlačena jakoby na druhou stranu barikády s nařčením, že o žádné změny nestojí. V období hledání a experimentování se postupně oklešťovaly pravomoci učitele v oblasti výchovné. Po roce 2000 se posilovala práva rodičů a nepřímo i představitelů obcí zasahovat do koncepcí a ŠVP, po padesátých letech dvacátého století jde

141

v některých školách opět k výrazným zásahům neprofesionálů do vyučovacího procesu. Se ŠVP se posílila práva, ale i zodpovědnost a pravomoci učitele v oblasti vzdělávací. Pro nejasnost cílů se oslabila role inspekce, její práce sklouzla do administrativní roviny. Tím vymizelo odborné zrcadlo pro učitele nad rámec školy, které by vytvářelo podmínky pro hlubší diskusi a platformu pro případné další úpravy. Příčina tkví dodnes mimo jiné i ve vzdělání a přípravě inspekce, ve strachu vymezit to, o čem a jak by měla inspekce s učitelem mluvit, posílit inspekci na bázi odborného partnerství. Nacházíme se v relativně vhodném prostředí pro uplatnění řady novinek, pro přehodnocování, úpravy, avšak chybí energie a možná vůle dotáhnout věci do konce. Nastupují ústupky z různých důvodů nejen ekonomických. Původní relativně přesně formulované požadavky, cíle jsme nechali okleštit nebo jsme je postupně opustili či připustili dokonce jejich likvidaci: opět nárůst dětí ve třídách omezující volby vhodných učitelských strategií, což nás nutí vracet se k tomu, co jsme původně razantně odmítali. V novém kontextu se původní ideje (co a jak vyučovat) mohou jevit nereálné. 1.1. Rezervy v přípravě na školu Rezervy najdeme v malé kooperaci mezi základní a mateřskou školou nejen na úrovni konkrétních zařízení, ale i na vyšší úrovni. Nízká koordinace vyúsťuje v to, že se stále v řadě regionů nezměnilo pojetí zápisu dítěte do školy a mateřská škola stále připravuje dítě z pohledu toho, na co se školy stereotypně ptají, i když by pracovaly s dětmi na důležitějších kompetencích. Škola naopak argumentuje, že tak pokračuje, protože to děti z mateřské školy umí, aniž by se zkoumalo, zda je to smysluplné a o čem to vypovídá. Blokací je navíc problematické další vzdělávání učitelů, které až na výjimky nepřipouští společné akce pro obě skupiny tak, aby se jedna seznámila se změnami v pojetí i obsahu té druhé. Je to vzájemně vynucená stereotypie. Pro její nalomení je podle našich zkušeností potřeba mediátora zvenčí, která má vhled do specifik obou skupin. Další úskalí pro inovace představuje stereotypie lékařských prohlídek, u kterých se lékaři bez profesní přípravy pro školství, ptají na věci, které nesouvisejí se zdravotním stavem, ale specifickými schopnostmi a znalostmi (tříletá a pětiletá prohlídka). Pojetí změn a inovací je „masírováno“ médii, jak dobrými komunikátory bez odborného vzdělání či s časově či lokálně omezenou zkušeností, tak diskutabilními programy ze zahraničí (vedle těch opravdu dobrých). Výběr je prováděn na základě jiných kriterií (líbivost, doba, …), než by bylo třeba. Zejména programy souvisejícími s matematikou potřebují takovou rytmizaci, aby je dítě dokázalo zpracovat se zamyšlením a ne pasivně sledovat, bezduše napodobovat, opakovat vytržené z kontextu. V horším případě některé programy obsahují i chyby (například překladové - puntík není žeton, v terminologii pravoúhelník není pouze čtverec, v určení počtu objektů, v interpretaci použitých vztahů mezi objekty). Negativně působí i některá „odborná“ překladová literatura, ze která v tlaku na školu mateřskou nebo základní čerpají rodiče (Co mám umět než půjdu do školy). Dalším prostředím nastavujícím skrytě specifické standardy, těžko ovlivnitelné, jsou pedagogicko-psychologické poradny, jejichž pracovníci nemají zpravidla matematické vzdělání vyšší než maturitní a nemají za sebou žádné kurzy didaktiky matematiky či předmatematické gramotnosti; zde neuvažujeme o metodice, ale o didaktice jako oboru, který uvažuje o alternacích v závislosti na proměnlivosti podmínek a o přednostech a úskalích případně rezervách jednotlivých směrů, kroků, rozhodnutí.

142

1.2 Rezervy v plánování na prvním stupni Po učiteli se požaduje, aby nejpozději v přípravném týdnu sestavil plán na celý rok. Absurdita tohoto požadavku spočívá v tom, že to dělá učitel bez toho, aniž by byl v kontaktu s dětmi. Zkušenost učitele může být je orientačním nástrojem pro sestavení plánu. Více než dvacet let se zdůrazňuje v pedagogické psychologii, že dítě je unikum, že dítě má svůj specifický rozvoj s přihlídnutím k věkovým a vývojovým zákonitostem. Přesto plánujeme bez toho, aniž bychom zjistili, jak na tom dítě je. V některých regionech dokonce inspekce požaduje striktní datové dodržené plánu, nepřipouští vytváření časových rezerv v plánu ta, aby učitel mohl pružně reagovat na situaci ve třídě a prodloužit či zkrátit danou etapu, Jsou dokonce školy, které inspekce donutila přepisovat materiály tak, aby plán a třídní knihy byly den ode dne v souladu, což vede v daných regionech k průběžnému přepisování plánů tak, aby data souhlasila pro případ inspekce. Co s plánem při zvýšené nemocnosti, při neočekávaných akcích školy (soutěže, projekty, exkurze, prohlubující akce jako je první pomoc, protidrogové bloky, podíl na akcích obce, …)? Plán hraje řadu funkcí. Může být navíc orientací pro rodiče, avšak je třeba zvážit také to, zda je v užívané podobě funkční. Neměl by být učitelem glosovaný? Obsahuje diagnostické bloky umožňující jeho modifikaci? Obsahuje plán i metody práce, metody řešení, změny v úrovni argumentace a komunikace? Nezavedeme tím nové formalismy? Jak připravit studenty / učitele na nové a účinnější plány u jednotlivých předmětů? Jak včlenit individualizované přístupy k žákovi do plánů (individualizovaný plán v matematice ovšem předpokládá i individualizovaný plán v jiných předmětech ve vzájemné provázání)? Zde nestačí pedagogické teorie o plánování, zde jsou rezervy v didaktikách oborů. To úzce souvisí s pojetím učebnic a metodických příruček. Metodická příručka je výkladem a dodatkem učebnice. V rámci určité filozofie nabízí, doporučuje či ukládá určité postupy, které v duchu daného systému umožňují relativně optimální cestu. Jak to funguje v praxi? Podle našeho průzkumu 65 % učitelů používá kromě učebnice a pracovních sešitů (pracovních učebnic) ještě další materiály, které někdy vhodně doplňují učebnice, jindy jsou ovšem vystavěny na zcela odlišné filozofii. Je to ve prospěch žáka nebo ne? Má stát plán na dané sérii učebnic, nebo má být natolik flexibilní, aby umožňoval alternace v učebních materiálech? Plánování a individuální pán pro nadprůměrné dítě, dítě žijící v cizině či dítě s výraznější specifickou poruchou učení, kterému nestačí individualizovaný plán je relativně jasné po legislativní stránce v obecné rovině. Konference Dva dny s didaktikou matematiky umožnila diskutovat opakovaně na toto téma. Individualizované a individuální plány učitelům mnohdy splývají. Chybí představa, jak takový plán sestavit, jak s ním pracovat, do jaké míry má do něho být vtažena rodina. Jestliže škola postupuje pro rodiče neznámými postupy, pak je plán pro ně vodítkem, pod kterým doma sami nebo ve spolupráci s doučujícími mohou postupovat proti duchu školních vzdělávacích programů, zakládat tak schizofrenní prostředí brzdící žáka. 1.3 Rezervy a využívání materiálů Didaktika tělesné výchovy pěstuje u svých studentů schopnost „využívat všestranně, různorodě jakékoli nářadí“ ( když vytáhneme švédskou lavičku, tak ne jen pro to, abychom ji přešli). Pod „matematickou švédskou lavičkou“ si můžeme představit celkem cokoli. Praxe ukazuje, že využít pestře jednoho typu problému, situace dostatečně neumíme, což vede v důsledku ke dvěma efektům: pohybujeme se po „povrchu“, potřebujeme zbytečně mnoho materiálu a ztrácíme čas přecházením od

143

jednoho k dalšímu, i když prvek novosti může být obsažen I v tom, že na situaci pohlížíme z jiného úhlu, obměnou kontextu, metody nebo formy práce měníme smysl činnosti, objevujeme nové souvislosti. Sledování učitelské práce v nových podmínkách ukazuje, že učitel vyrábí stále další a další materiály, kopíruje, přepisuje, aniž by přehodnotil materiál, který mák dispozici. Jsou školy, které vyházely „staré pomůcky“ ze sedmdesátých let a nyní vyrábějí jejich kopie, nebo místo jedné pomůcky sérii nových, které jednotlivě nahrazují tytéž funkce, jako komplexnější starší pomůcka. Záplava materiálů nemusí být pokaždé funkční, bylo by dobré zvážit efektivitu jejich používání v kooperaci s kognitivními psychology. Záplava pomůcek a materiálů může na žáka působit stejně negativně, jako nadbytek hraček na dítě. 1.4 Rezervy v metodách práce a stimulaci myšlenkových procesů Aby bylo působení na dítě efektivnější, bylo by vhodné provázat didaktiky oborů. V některých evropských zemích dochází od osmdesátých let k postupnému prohlubování spolupráce mezi didaktiky oborů, aby se dítěti, které je zahrnováno řadou informací, dostalo cílené iniciace týchž myšlenkových pochodů v různých oborech současně. Uveďme příklad: v určitém období nerozvíjí matematika - přechod od uvažování k usuzování a při tom jazyk - analogie, přírodní vědy - komparace a jiný předmět - korekce, avšak jde o snahu soustředit se na jeden z myšlenkových procesů ve více předmětech v totéž období; proces je zahajován v tom z předmětů, u kterého se předpokládá snazší „start“. Není nutné přejímat ze zahraničí vše, ale zvážit, zda by to žákům přece jen neusnadnilo i nástup například ke kvalitnějším metodám učení. 1.5 Rezervy v oblasti příprav na tématické celky Rozsah českých učebnic matematiky je vydavateli i hygieniky (ekonomicky i rodiči a školami) na minimum, tlak na učitele směřuje k tomu, aby se řešilo vše, co je v učebnici. Vzniká dojem, že učebnice představuje základ pro školní matematiku. Zejména u začátečníků nebo nekvalifikovaných učitelů (viz zkušenosti z jejich školení) se vyskytují stížnosti na to, že jde často o celky náročné, které nelze v předpokládaném termínu „projít“. Jsou státy, kde jsou kapitoly uvedeny zmínkami o tom, co vše musí žák probrat, čím projít, než k dané kapitole přistoupí. Nazvěme období, ve kterém tyto aktivity žák provádí, přípravným obdobím. Každý celek vyžaduje jinak dlouhé přípravné období. Obtížné téma tedy není nutné přesouvat do vyšších ročníků za každou cenu, ale nabízí se možnost „roztáhnout“ přípravné období na delší dobu třeba i do více nižších ročníků (například Itálie příprava na zlomky od prvního ročníku). 1.6 Rezervy v hodnocení učebnic Trh českých učebnic je unikátní zemí v Evropě: na počet obyvatel nabízíme k výběru největší počet učebnic matematiky pro jeden ročník. I když připustíme, že každá učebnice vychází z jiné filozofie, v čem se učebnice liší? Formálně? Zaručuje doložka MŠMT, že dítě bude pracovat podle učebnice, která neredukuje školní matematiku na pouhý nácvik kalkulu, která nutí dítě myslet? Podle kterých kriterií jsou psány posudky? Jsou tato kriteria v souladu s tím jaké představy o vzdělávání má například SUMA JČMF? Zajímá nás, zda nevedou cvičení k posilování formalismu? Zda učebnice nezprimitivněla jazyk natolik, že dítě pracuje domýšlením a vciťováním?

144

1.7 Rezervy v diagnostikování a hodnocení Učitel nemá k dispozici takové nástroje (které nemají žáci ani rodiče k dispozici), kterými by kvalifikovaně diagnostikoval jednotlivé žákovské schopnosti, kompetence tak aby žákům mohl žákům individualizovat plány, aby mohl hlouběji rozebrat situaci a byl schopen vedle hodnocení známkou charakterizovat práci slovy. 1.8 Rezervy ve spolupráci s druhým stupněm a SŠ Připravuje první stupeň žáky na to, aby zvládli to, co je v RVP, nebo připravuje děti na testy (srovnávací české nebo mezinárodní, přijímací)? Spolupracuje druhý stupeň s prvním tak, aby bylo jasné na co navazuje a první k čemu připravuje? Jsou organizovány vzdělávací akce pro obě skupiny dohromady? Jsou k tomu maeriály? 2. Závěr Uvedený výčet není ani úplný, ani rozpracovaný do všech potřebných detailů. Přednáška předpokládá ilustraci jednotlivých typů rezerv. Výčet okruhů je pokládán za podnět k diskusi ve snaze nenahrazovat jednu inovací druhou aniž by stávající inovační procesy nebyly zhodnoceny a více dopracovány. Rezervy všech okruhů mají příčiny v nedostatečné spolupráci různých složek ovlivňujících proces i kvalitu výuky matematice. Dopracování některých inovačních recesů není možné za podmínek, které současná politika připouští: rostoucí počty žáků na prvním stupni, přetrvávající vysoké počty nekvalifikovaných sil na školách některých regionů, nedopracovaný systém dalšího vzdělávání učitelů, nefungující spolupráce skupin dospělých, podílejících se na vzdělávání žáků prvního stupně ZŠ. Dotažení inovačních procesů je závislé nejen na finančních zdrojích, ale především na vůli příslušných orgánů (nejsou pod tlakem) věc řešit, v absenci dlouhodobějších cílů v našem školství. Literatura 1.

2. 3. 4. 5.

KASLOVÁ, M. Příprava dítěte na školní matematiku. In Idea a realita vysokoškolského vzdělávání učitelek mateřských škol na pedagogické fakultě, edit.: Jana Kropáčková, I. vyd., Praha: UK Pedf Praha, 2006, s.119 – 124. ISBN 978-807290-326-9 KASLOVÁ, M. Kořeny ? postupného snižování úrovně absolventů SŠ. In Sborník Symposia Matematika a současnost, I. vyd. , Liberec: Technická univerzita Liberec, 2008, s. 15 – 20. ISBN 978 – 80 – 7399-614-7. LONGO, P.B., DAVOLI, A., SANDRI, P. Osservare, valutare, orientace gli alunni di difficolta. I. vyd. Bologna: Pitagora Editrice, 2003. 245 s. ISBN 88-371-1375-7. MARCHIVE, A. La pédagogie a l´éprouve de la didactique. Rennes : Press universitaires de Rennes, 2008. 154 s. ISBN 978-2-7565-0682-4. SEDLÁKOVÁ, M. Vybrané kapitoly z kognitivní psychologie. I. vyd. Praha: Grada Publishing, 2004. 227 s. ISBN 80 – 247-0375-0.

Kontaktní adresa PhDr. Michaela Kaslová KMDM UK Pedf Rettigové 4, 116 39 Praha 1 Telefon: +420 221 900 247 E-mail: [email protected]

145

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

PRESTAVBA VYUČOVANIA MATEMATIKY1 Pavel KLENOVČAN Abstrakt Príspevok sa zaoberá aktuálnymi problémami vyučovania matematiky. Venuje sa aj niektorým súvislostiam medzi výsledkami testovaní žiakov v matematickej gramotnosti a pregraduálnou prípravou budúcich učiteľov pre 1. stupeň základnej školy. CONVERSION OF TEACHING MATHEMATICS Abstract The article is dealing with actual problems of teaching mathematics. It shows some coherence between results of testing pupils´ mathematical literacy and pre-gradual preparation of next teachers for elementary school, too. Rozvoj matematickej gramotnosti a výsledky, ktoré dosahujú naši žiaci v rôznych prieskumoch sú pomerne častou témou v kruhoch odbornej, najmä učiteľskej verejnosti. Aj v príspevku s názvom Implementácia výsledkov z testovania matematickej gramotnosti do školského vzdelávacieho programu nižšieho sekundárneho vzdelávania (Kuzma, J., Ringlerová, V., 2008, s. 138) sa konštatuje: „Zdá sa, že na hodinách matematiky sa v dostatočnej miere u žiakov nepestuje a nerozvíja ich schopnosť matematike rozumieť a matematiku aplikovať v riešení problémov z reálneho života“. Naviac, správa PISA, Slovensko, Národná správa 2006 (www.statpedu.sk) uvádza, že „Pozícia Slovenskej republiky klesla z priemeru krajín OECD medzi krajiny s výkonom pod priemerom krajín OECD.“ Príčiny, prečo je tomu tak, môžeme pomenovať, ale napriek tomu nemusí byť zrejmé, či aj tie nie sú len dôsledkami iných javov a širších súvislostí. Pripomeňme, že „PISA sa snaží podnietiť vyučovanie matematiky, ktoré bude klásť dôraz na procesy spojené s riešením problémov v kontexte reálneho života, bude žiakov učiť transformovať tieto problémy do podoby vhodnej pre použitie matematického prístupu, použiť relevantnú matematickú vedomosť na riešenie problému a vyhodnotiť riešenie v originálnom kontexte problému“ (OECD PISA, 2004, s. 17). Vidíme, že proklamované ciele nie sú jednoduché a ich splnenie vyžaduje široké spektrum zručností a kompetencií. Zdá sa ale, že v prvom rade je nevyhnutné mať spomínanú „relevantnú matematickú vedomosť“. Vytvárame dostatočné podmienky pre jej získanie? Pozrime sa na danú problematiku z viacerých strán v kontexte • cieľov a úloh OECD (Organization for Economic Co-operation and Development), • učebných osnov a štátnych vzdelávacích programov, • (a hlavne) prípravy budúcich učiteľov. 1

Príspevok vznikol s podporou projektu VEGA 1/0192/08

146

Úlohou OECD je pomôcť budovať silné ekonomiky svojim členským štátom, zvýšiť ich efektivitu, ako aj rozširovať liberalizáciu medzinárodného obchodu. OECD má tiež pomôcť udržiavať stabilitu a rozvíjať národné ekonomiky a prispievať k znižovaniu nezamestnanosti (www.europskaunia.sk.oecd). Pre splnenie tohto dôležitého cieľa využíva (a financuje) OECD rôzne nástroje. Jedným z nich je aj nástroj testovania 15 ročných žiakov z tzv. matematickej, prírodovednej a jazykovej gramotnosti. Tieto typy gramotnosti 15 ročných žiakov považuje zrejme OECD za rozhodujúce z pohľadu svojich úloh a cieľov. Nadobúdanie gramotnosti je ale celoživotný proces a začína sa rozvíjať už v predškolskom veku. Gramotnosť je jedným z pilierov počiatočného učenia sa, ale aj nástrojom socializácie dieťaťa. Matematická gramotnosť je jednou z foriem gramotnosti a je taká dôležitá a nevyhnutná ako dominantná gramotnosť čítania a písania. Učiteľ materskej a základnej školy by mal byť teda schopný rozvíjať ju u svojich žiakov. Dokáže to, ak je na túto činnosť sám dostatočne odborne pripravený. Schopnosť učiteľa rozvíjať gramotnosť (aj matematickú) svojich žiakov je formovaná jeho prípravou pred nástupom na VŠ, jeho vysokoškolskou prípravou ale aj celkovými podmienkami (učebné plány, osnovy, vybavenie školy, ...), v ktorých pôsobí. Nezanedbateľným faktorom je aj matematická úroveň záujemcov o štúdium. Podrobnejšie sa tomu venuje Š. Kováčik a uvádza: „Nie sme celkom spokojní ani s matematickými vedomosťami uchádzačov o štúdium učiteľstva. Na doučenie učiva je nedostatok času.“ (Kováčik, 2005, s. 255). Autori správy Matematická gramotnosť, správa – 2003 (OECD PISA, 2004) uvádzajú, že slabinou našich žiakov boli úlohy, ktoré súvisia najmä s používaním a interpretáciou pravdepodobnostných pojmov, s interpretáciou grafov a priestorovou predstavivosťou. Naši žiaci majú teda problémy aj s úlohami z oblasti „analýzy a spracovania údajov“, ktoré sú preferované v učebných osnovách už primárnych stupňov mnohých vyspelých, a v prieskumoch PISA úspešných, krajín. Z európskych krajín sú to napr. Česká republika, Veľká Británia a Fínsko (podrobnejšie v Paštéková, M., 2009). Ďalšou príčinou môže byť úroveň vzdelania a to, čo si pod vzdelaním predstavujeme a čo preferujeme. Dobrou ukážkou môže byť niekoľko nasledovných citátov: • Vzdelanie sa tu teda predstavuje takmer iba ako prívesok ekonomiky a dieťa takmer ako nástroj na potreby trhu – jeho školskou úlohou má byť špičkovo surfovať po internete, pracovať s Excelom, učiť sa takzvané veci potrebné pre život, a popri tom – aby bolo menej nudy – sa hrať a viesť dialóg s učiteľom ako priateľom. Po škole sa takýto človek zaradí do pracovno-výrobného procesu, aby pekne rástlo HDP a iné ukazovatele... Naši experti si pritom poplietli základný rozdiel medzi zručnosťami a vzdelaním. V škole sa netreba učiť žehliť, šoférovať ani googlovať, pretože praktickým zručnostiam učí život. Stredobodom vzdelania je predsa človek ako kultúrna bytosť, ktorá si osvojuje základné povedomie o civilizácii, kultúre a učí sa pritom abstraktne myslieť. Toľko omieľaná požiadavka školy zviazanej s praxou je nezmysel – načo potom všetkých učiť Štúra na slovenčine či deriváciu na matematike? Pravé vzdelanie je takmer vždy „nepraktické” a „neužitočné”. (Hanus, M., 2006). • Vzdělání se týká kořenů a květů, operabilita plodů. Vzdělání vyžaduje vědomosti a schopnost usebrání rozumu a mysli. Operabilita vyžaduje informace a schopnost obratného zacházení s nimi. Tyto dva pojmy bychom neměli směšovat, i když dnes pro ně oba bývá používán název vzdělání. (Vopěnka, P. v Kopka, J., 2004).

147

•

My sa nevieme zaoberať tým, že čítanie by malo byť naozaj o čítaní, prírodovedné vzdelávanie o prírodovednom (vedeckom) poznávaní a matematická gramotnosť o matematickom svete a jeho funkciách. Všetko dohromady je o základných nástrojoch našej kultúry, ktoré ako nástroje vo vzdelávaní prosto chýbajú. Čo môže pomôcť? Sotva to bude súčasná snaha o redukciu osnov, ktorá vraj vytvorí priestor univerzálnej tvorivosti. V jej pozadí chýba povedomie o tom, čo tradičné oblasti vzdelania môžu deťom poskytnúť a o čo sa vo vzdelávaní vôbec oplatí usilovať. (Pupala, B., 2008). Na prvý pohľad sa môže zdať, akoby tieto citáty boli v protiklade s cieľmi a zámermi OECD PISA. Prax ale ukazuje, že odborníci a vedci, ktorí boli a sú úspešní pri riešení závažných problémov praxe, majú v prvom rade kvalitné vzdelanie a často sú „odchovaní“ na tzv. čistej a „nepraktickej“ matematike. Uvedomujeme si ale, že nie všetci absolventi stredných a vysokých škôl budú riešiť závažné problémy, ktoré by vyžadovali náročný matematický aparát. Kvalitné vzdelanie im ale môže naozaj pomôcť riešiť mnohé praktické problémy, či už osobné alebo pracovné. Samozrejme u žiaka 1. stupňa ZŠ nevieme často povedať ani to, ktorým smerom sa bude uberať jeho profesijná dráha. Poskytovať preto naozaj kvalitné vzdelanie už (a najmä) na 1. stupni ZŠ je pravdepodobne nevyhnutné – a nielen z pohľadu prípadnej budúcej úspešnosti napr. v prieskumoch PISA. V zmysle Štátneho vzdelávacieho programu pre 1. stupeň základnej školy v Slovenskej republike (2008) má mať absolvent primárneho vzdelania v oblasti matematického a prírodovedného myslenia osvojené tieto kľúčové kompetencie (spôsobilosti): - používa základné matematické myslenie na riešenie rôznych praktických problémov v každodenných situáciách a je schopný (na rôznych úrovniach) používať matematické modely logického a priestorového myslenia a prezentácie (vzorce, modely), - je pripravený ďalej si rozvíjať schopnosť objavovať, pýtať sa a hľadať odpovede, ktoré smerujú k systematizácii poznatkov. Pre všetky stupne vzdelávania, s výnimkou predprimárneho vzdelávania, sa zavádza päť základných tematických okruhov, ktoré sa postupne špirálovite rozvíjajú už od 1. ročníka ZŠ: Čísla, premenná a počtové výkony s číslami, Postupnosti, vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy, Geometria a meranie, Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika, Logika, dôvodenie, dôkazy. Vidíme, že aj Štátny vzdelávací program (ďalej len ŠVP) kladie na žiakov 1. stupňa ZŠ, ale najmä na ich učiteľov, veľké nároky, ktoré znížený počet týždenných vyučovacích hodín z 19 na 14 ešte znásobuje. Najdôležitejšiu úlohu pre dosiahnutie proklamovaných cieľov zohráva, podľa nášho názoru, práve príprava budúcich učiteľov pre 1. stupeň ZŠ. Tá by mala, okrem iného, reflektovať aj hlavné princípy a ciele vzdelanostnej politiky štátu tak, ako sú formulované v ŠVP pre 1. stupeň ZŠ. Pozornosť, ktorá sa venuje príprave budúcich učiteľov (pre všetky predmety a pre všetky stupne škôl) je dlhodobo veľmi nízka. Svedčia o tom aj neustále projekty venované rôznym doplňujúcim „doškoľovaniam“ (v niektorých prípadoch ide hlavne o komerčné záležitosti). V príspevku Čo je potrebné ešte dodať k reforme vzdelávacieho systému a prestavbe vyučovania matematiky (Bálint, Ľ., 2008) sú analyzované zmeny v cieľoch a obsahu vyučovania matematiky v základnej a strednej škole a navrhnuté

148

niektoré možnosti riešenia, ako efektívne riadiť vyučovací proces s cieľom kvalitného rozvíjania kompetencií žiakov. Aj tu sa ale konštatuje (str. 59), že „... otázka pregraduálneho štúdia budúcich učiteľov a postgraduálneho štúdia učiteľov mešká, čo môže vážne ohroziť permanentnú realizáciu začatej reformy.“ Ďalej sa preto zameriame hlavne na pregraduálnu prípravu budúcich učiteľov pre 1. stupeň ZŠ, ktorej sa, v súvislosti s reformou školstva, venuje menšia pozornosť. Všimnime si, aká je súčasná situácia napr. na PF UMB v Banskej Bystrici. Príprava učiteľov pre 1. stupeň ZŠ sa v súčasnej dobe na PF UMB uskutočňuje v magisterskom stupni štúdia v odbore Predškolská a elementárna pedagogika (Učiteľstvo pre primárne vzdelávanie Mgr.), ktorému predchádza bakalárske štúdium (Predškolská a elementárna pedagogika Bc.). V tabuľke 1 je uvedený stručný plán matematickej prípravy v školskom roku 2008/2009 a jeho zmena v novoakreditovanom programe od školského roku 2009/2010 tak, ako ich uvádza Sprievodca štúdiom (2008, s. 82-89 a 2009, s. 69-72). Tabuľka 1 Matematická príprava na PF UMB 1. roč. Bc. ZS

LS

2008/09 3 (P) 4 (P) 2009/10 3 (P)

5(P)

2. roč. Bc. ZS

LS

3. roč. Bc. ZS

LS

1. roč. Mgr. ZS

LS

2. roč. Mgr. ZS

LS

Spolu

6 (PV)

0

2 (P)

2(P)

2 (PV)

19

0

0

4 (P)

0

0

12

Poznámka. P – povinné predmety, PV – povinne voliteľné predmety. Celkový počet hodín všetkých povinne voliteľných predmetov počas celého bakalárskeho štúdia je 36 hodín (z toho matematické predmety 4 hodiny) a tzv. povinný minimálny výber je 18 hodín. Celkový počet hodín všetkých povinne voliteľných predmetov počas celého magisterského štúdia je 28 hodín (z toho matematické predmety 4 hodiny) a tzv. povinný minimálny výber je 24 hodín. Znamená to, že kvalifikáciu pre vyučovanie matematiky na 1. stupni ZŠ môže získať študent, ktorý absolvuje v 1. ročníku Bc. Štúdia v zimnom semestri 3, v letnom semestri 5 hodín matematiky a v zimnom semestri 1. ročníka Mgr. štúdia len 4 týždenné vyučovacie hodiny z matematiky. Túto stručnú analýzu počtu týždenných hodín z matematiky v jednotlivých semestroch neuvádzame len z dôvodu na poukázanie klesajúceho počtu hodín. Za veľký nedostatok považujeme aj sústredenie výučby v podstate výhradne do prvého ročníka (v Mgr. štúdiu dokonca do prvého semestra) v oboch stupňoch štúdia. To, podľa nášho názoru, nemôže zaručiť systematický rozvoj kompetencií pre povolanie učiteľa (aj matematiky) na 1. stupni ZŠ. Myslíme si, že by bolo užitočné, ak by Ministerstvo školstva SR malo aj pre prípravu budúcich učiteľov (podobne ako pre základné a stredné školy) vypracované hlavné princípy a ciele vzdelanostnej politiky a dôsledne trvalo na ich dodržiavaní. Podobnú požiadavku vyslovuje aj E. Petlák (2008, s. 5): „... –v príprave budúcich učiteľov, a aj učiteľov v praxi, je potrebné dotvoriť filozofiu vzdelávania tak, aby sa už naznačené a ďalšie prístupy stali pre nich istou normou, istou samozrejmosťou práce.“ Je známe, že niektoré schopnosti, napríklad geometrické myslenie a priestorovú predstavivosť je možné rozvíjať optimálne len v určitom veku detí.“ Keďže ten spomínaný vek detí je prevažne vek žiakov 1. stupňa ZŠ, opäť sa ako kľúčový problém ukazuje kvalita učiteľov tohto stupňa. Určite by bolo užitočné, keby aj Slovenská matematická spoločnosť (SMS), ktorá je sekciou Jednoty slovenských matematikov

149

a fyzikov, venovala väčšiu pozornosť príprave učiteľov 1. stupňa ZŠ a snažila sa aj o legislatívne možnosti kontroly študijných programov jednotlivých fakúlt tak po stránke rozsahu ako aj po obsahovej stránke. Po zhrnutí predchádzajúcich poznámok vidíme východisko z danej situácie v nasledovných troch oblastiach: • Precízne sformulovať zo strany MŠ SR hlavné princípy a ciele vzdelanostnej politiky pre prípravu učiteľov a prostredníctvom akreditačnej komisie trvať na ich dôslednom dodržiavaní pri tvorbe študijných programov (aj vzhľadom na kreditový systém štúdia). • Vytvoriť legislatívne podmienky pre odbornú garanciu SMS pri tvorbe študijných programov učiteľstva všetkých stupňov škôl. • Vytvoriť osobitný študijný program Učiteľstvo pre 1. stupeň ZŠ tak, aby pokrýval 1., 2. aj 3. stupeň vysokoškolského štúdia. Konkrétne informácie, ktoré žiaci v škole získajú, budú tvoriť len malú časť z informácií, ktoré budú v živote potrebovať. Ani zvládnutie určitej sústavy vedomostí nezaručuje ešte schopnosť využiť ich v praktickej činnosti a v budúcom povolaní. Množstvo informácií, aj vďaka elektronickej komunikácii, neustále narastá. Školy sa stávajú informačnými centrami s prístupom k celosvetovým informáciám. Už aj žiaci na nižších stupňoch škôl pracujú s veľkým množstvom informácií. Mali by byť pripravení triediť ich, vyberať dôležité a odmietať nepodstatné alebo neplatné. Potvrdilo sa, že práca s nimi nie je dostatočne zvládnutá ani u ich budúcich učiteľov. S úlohami pre 15ročných žiakov majú značné problémy aj študenti 1. ročníka odboru Predškolská a elementárna pedagogika. Napr. v (Gerová, 2009, s. 515) sa uvádza pri riešení rovnakej úlohy: „V testovaní 15-ročných žiakov krajín OECD 26 % z nich odpovedalo správne“ (myslí sa v SR), „ ... v našom testovaní len 5,02 % budúcich učiteľov. Ukázali sa nedostatky rôzneho charakteru. Časť z nich súvisela s neovládaním učiva ZŠ, časť s nedostatočnou úrovňou čitateľskej gramotnosti respondentov, časť s nepochopením zadanej úlohy a s nesprávnym vyriešením úlohy.“ Ďalej sa uvádza, že „Viacerí študenti majú problém s učivom ZŠ a SŠ (pojem graf, druhy grafov, práca s nimi, ich čítanie a zostavovanie, ich štatistické využitie). ... Schopnosť študentov argumentovať je nedostatočná. ... Majú problém sformulovať súvislé zmysluplné vety pre svoje vysvetlenie.“ (Gerová, 2009, s. 516). Zvládnutie takéhoto tlaku si od žiakov a ich učiteľov vyžaduje istú prípravu a práve matematika môže poskytnúť rámec aj pre osvojenie si praktických myšlienkových zručností a zvládnutie princípov kritického myslenia. Matematika a vyučovanie matematiky má dostatok prostriedkov, ako možno prirodzeným spôsobom spojiť vzdelávacie a výchovné, alebo širšie povedané, nekognitívne ciele. Ukazuje sa ale ako nutné, aby budúci učitelia boli pripravení tak, aby vedeli primerane a samostatne reagovať na neustále obsahové a organizačné zmeny, ktoré ich počas ich profesionálneho života čakajú. Matematika prispieva, alebo by mohla „prispievať k osobnostnému rastu žiaka, k jeho hodnotovému systému, k jeho vzťahu ku spoločnosti, k jeho občianskemu vyzrievaniu.“ (Hejný, M., 1998). To všetko by malo byť, pri snahe o úspech reformy vzdelávacieho systému, dostatočným dôvodom na zameranie našej pozornosti najmä na prípravu budúcich učiteľov 1. stupňa ZŠ, ktorí budú vyučovať (aj) matematiku.

150

Literatúra 1. BÁLINT, Ľ. 2008: Čo je potrebné ešte dodať k reforme vzdelávacieho systému a prestavbe vyučovania matematiky. Bratislava: ŠPÚ, In: Pedagogické spektrum, č. 2, s. 57 – 69. ISSN 1335-5589. 2. GEROVÁ, Ľ.: Matematická gramotnosť - kompetencia matematickej argumentácie študentov Predškolskej a elementárnej pedagogiky. In: Zborník „Príprava učiteľov v procese školských reforiem“. Prešov: PF PU, 2009. s. 512-518. ISBN 978-80-5550024-9. 3. HANUS, M. 2006: Nezotročme si deti. Týždeň. 19/2006. 4. HEJNÝ, M. 1998: Ciele vyučovania matematiky. Pedagogické rozhľady, 1998, č. 3, s. 11-14. 5. KOPKA, J. 2004: Výskumný přístup při výuce matematiky, UJEP, Ústí nad Labem 2004. ISBN 80-7044-604-8. 6. KOVÁČIK, Š.: Nultý ročník ZŠ, integrované vyučovanie matematiky a budúci učitelia. In: Zborník z medzinárodnej vedeckej konferencie „Príprava učiteľov elementaristov a európsky multikultúrny priestor“, 22.-23. júna 2005, Prešov. Prešov : PF PU, 2005. 7. KUZMA, J., RINGLEROVÁ, V. 2008: Implementácia výsledkov z testovania matematickej gramotnosti do školského vzdelávacieho programu nižšieho sekundárneho vzdelávania. Bratislava: ŠPÚ, In: Pedagogické spektrum, č. 2, s. 116 – 141. ISSN 1335-5589. 8. OECD PISA. 2004. Matematická gramotnosť, správa – 2003. Bratislava: ŠPÚ. ISBN 80-85756-89-9. 9. PAŠTÉKOVÁ, M. 2009: Hromadné spracovanie údajov na 1. stupni ZŠ. In: Zborník príspevkov z konferencie s medzinárodnou účasťou matematika z pohľadu primárneho vzdelávania. Banská Bystrica: Univerzita Mateja Bela. ISBN 978-808083-742-6. 10. PETLÁK, E. 2008: Reforma školy a súvislosti. Bratislava: ŠPÚ, In: Pedagogické spektrum, č. 2, s. 1 – 9. ISSN 1335-5589. Kontaktná adresa Doc. RNDr. Pavel Klenovčan, CSc. Katedra matematiky FPV UMB Tajovského 40, 974 01 Banská Bystrica Tel.: +421 48 446 7224 E-mail: [email protected]

151

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

ROVNICE V MATEMATIKE A ICH VÝZNAM PRE UČIVO FYZIKY Štefan KOVÁČIK Abstrakt Napriek mnohým školským reformám (na základnej škole) sa za posledných šesťdesiat rokov nepodarilo vyriešiť kardinálny problém fyziky – neznalosť riešenia rovníc. Z fyziky sa stala iba popisná teória a učiteľ je v pozícii mága, ktorý vie fyzikálne úlohy vyriešiť. Paradoxné je, že učivo „Riešenie rovníc“ je zvládnuteľné prijateľnými metódami s určitým obmedzením už na primárnom stupni základnej školy. EQUATIONS IN MATHEMATICS AND ITS IMPORTANCE FOR PHYSICS Abstract The cardinal problem in physics – not knowing about solving of equations – has not been solved over last sixty years in spite of many school reforms at primary school. The physics became only descriptive theory and the teacher is a person, who knows to solve physical problems. But on the other hand “Solving equations” can be already mastering by suitable methods with certain limitation at elementary school. Úvod Učebné osnovy dávajú v mnohých smeroch učiteľovi dostatok voľnosti. Podobne je to aj pri učive o rovniciach, ktoré je zaradené do nepovinného, alebo rozširujúceho učiva, teda jeho prebratie je ponechané na rozhodnutie a ochotu učiteľa. Zvyčajne sa rovniciam venuje len okrajová, niekedy dokonca žiadna pozornosť. Jedným z dôvodov obchádzania rovníc sú nedocenení učitelia, ktorí si plnia iba základné povinnosti. 1. Metódy riešenia rovníc a nerovníc Vo vysokoškolskej príprave sa budúci učitelia oboznámia s metódami riešenia rovníc a nerovníc. Mali by poznať klady i nedostatky rôznych metód riešenia rovníc a nerovníc na 1. a 2. stupni základnej školy, mali by tieto rovnice (aj nerovnice) vedieť vyriešiť. V praxi môžu využiť svoje poznatky o nasledovných metódach: ‰ Pokus a omyl pozostáva z dvoch krokov: náhodný výber a vyhodnotenie. Metódu vie použiť žiak ak o riešení má minimálne poznatky. Jej nedostatky: Nabáda k hádaniu, nezaručuje nájdenie výsledku, dá sa účelne použiť len pri malých celých číslach. ‰ Riadený pokus – omyl je metóda podobná pokusu a omylu, ale výber sa robí na základe predchádzajúcich skúseností. Niekedy sa nazýva tabuľková metóda. Hoci má už systematický prístup, má podobné nedostatky ako pokus a omyl. ‰ Grafické riešenie sa opiera o nakreslenie (modelovanie) situácie. Je to názorná, ale na čas náročná metóda. Vhodné je jej využitie pri vysvetľovaní, alebo ako príprava iných metód, použiteľná je pri menších číslach.

152

‰ ‰ ‰

Obmeny počtových výkonov sa využívali najmä v množinovej koncepcia vyučovania matematiky. K spoju možno napísať ďalšie tri obmeny počtových výkonov. Ekvivalentné úpravy pri riešení rovníc sa učia a používajú hlavne na 2. a 3. stupni. Značná časť tohto učiva je zvládnuteľná už aj na prvom stupni ZŠ. Neekvivalentné úpravy sa vyskytujú pri úlohách s použitím mocnín a odmocnín, žiaci sa s nimi stretnú na strednej škole.

Riešenie nerovníc je náročnejšie ako riešenie rovníc a preto na primárnom stupni ZŠ sa uplatňujú prvé tri z uvedených metód. Postačuje, ak žiak nájde aspoň tri korene nerovnice. Pri znázorňovaní sa môže využiť číselná os zaradená v rozširujúcom učive. Obmeny počtových výkonov sa používali v ére množinovej matematiky v rokoch (1976 – 1990). Žiaci sa naučili riešiť rovnice a následne používali rovnice aj pri riešení slovných úloh. (Predtým sa slovné úlohy riešili bez použitia rovníc – úsudkom.) Metóda bola postavená na súvislosti medzi sčítaním a odčítaním, respektíve medzi násobením a delením. Jedna zo známych veličín na obrázku č. 1a, alebo č. 1b bola nahradená neznámou. V zostavenej rovnici bolo potrebné poprehadzovať členy tak, aby neznáma zostala sama na jednej strane. Sčítanie a odčítanie:

Násobenie a delenie:

2+†=5 †+ 2 = 5

2.†=8 †. 2 = 8

5–†=2 5–2 =†

8:†=2 8:2 =†

4

5 2 2

3

8

Obrázok číslo 1: Grafy a) sčítania a odčítania, b) násobenia a delenia. Tento postup riešenia rovníc mal závažné nedostatky, v dôsledku čoho sa nakoniec od takéhoto postupu upustilo. o Riešenie bolo použiteľné len pre rovnice s tromi členmi. Ak žiaci prišli na 2. stupeň a mali riešiť zloženú rovnicu so štyrmi a viacerými členmi (teda aj s viacerými operáciami) – nevedeli doterajšie poznatky s obmenami využiť. o Prístup bol formalizovaný. Význam obmeny počtových úkonov sa stratil vo formalizme a rutine. Ekvivalentné úpravy sú oveľa efektívnejšou metódou riešenia rovníc, vhodné je znázornenie na rovnoramenných váhach (Obr. č. 2). Závažia majú uvedenú hmotnosť, neznámu môže znázorňovať balík, hračka, kocka, ... Na váhach možno zrozumiteľne vysvetliť všetky štyri ekvivalentné úpravy. Rovnováha sa nezmení, ak na obe misky váh pridáme (odoberieme) rovnakú hmotnosť; ak náklad na oboch miskách váh vynásobíme (vydelíme) tým istým číslom. Paralelne s obrázkom váhy učiteľ tvorí aj zápis rovnice. (* Záporný člen môže byť znázornený balónikom priviazaným o misku váh. )

153

8

12

2.x + 8 = 12 + x / - x

8

12

x + 8 = 12 / - 8

4

x

=4

Obrázok číslo 2. Ukážka využitia modelu váh pri riešení rovníc. 2. Rovnice a slovné úlohy Riešenie rovníc by nemalo byť odtrhnuté od reálneho sveta. Slovná úloha by mohla poslúžiť ako motivácia pre zavedení rovníc, ale nakoniec znalosť riešenia rovníc by mala vyústiť najmä do zručnosti riešenia slovných úloh. Aby žiak vedel úspešne a efektívne riešiť slovné úlohy s použitím rovníc mal by vedieť: 1. Zostaviť rovnicu na základe analýzy situácie v slovnej úlohe. 2. Vyriešiť rovnicu. 3. Vykonať kontrolu správnosti riešenia slovnej úlohy. (Využiť pri tom obmenenú slovnú úlohu.) Prvým zdrojom chýb je zlé zostavenie rovnice, teda nesprávny prepis jednoduchého výroku do matematického zápisu. „Najčastejšou prekážkou v úspešnom riešení slovných úloh je neporozumenie úlohy.“ (Gerová, 2005s.150) Hoci význam slov viac, menej, o niekoľko viac – o niekoľko menej, niekoľkokrát viac - niekoľkokrát menej, ... sú známe, problematické je ich správne použitie pri zostavovaní rovníc. Príklad 1.: Edo má o 3 € viac ako Jana. ... Komu pridať 3€?... (E+3=J, alebo E=J+3?) Príklad 2.: Eva má 2-krát viac ceruziek ako Dana. ... (E.2=D ... alebo E=2.D) Príklad 3.: Ivo má 12 € a Oto má o 1/3 viac. ... (I=O+1/3 ... I+1/3=O ... I=O+(1/3).I ...) Ak je pri riešení slovnej úlohy vhodné zostaviť sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych, majú študenti zaužívané označovať neznáme písmenami x, y, čo zdôrazňuje formálnosť poznatkov. Vieme, že oveľa zrozumiteľnejšie je označenie premennej prvým písmenom slova. Takéto označenie sa uplatnilo napríklad v počítačových programoch, lebo napovedá žiakovi s akou premennou má do činenia. Príklad 4.:

Kabát a pár topánok stojí 100 €. . . . . . . . . . . . . . . . k + t = 100. Dva kabáty a tri páry topánok stoja 230 € . . . . . . . . 2k + 3t = 230. Koľko stojí kabát? Koľko stojí pár topánok? . . . . .

Nároky na vyriešenie takejto sústavy rovníc, sú zvládnuteľné aj na 2. stupni ZŠ. Žiak by mal ovládať aj opačnú činnosť – zo zostavenej rovnice by mal vedieť vytvoriť výrok (vetu), teda preformulovať matematický zápis na reálnu situáciu. Druhým zdrojom chýb je riešenie zostavených rovníc, chýba dostatok zručností a počtárskej rutiny. Ak sa aj učiteľ rozhodne riešiť so žiakmi úlohy pomocou rovníc (čo je možné), nevenuje dostatok času na nácvik, chýbajú známe „štósiky“ úloh, na získanie potrebných zručností. Takéto úlohy sa v učebniciach nevyskytujú, preto by ich mal tvorivý učiteľ vložiť do pracovných listov pre samostatnú prácu žiakov.

154

Tretím zdrojom chýb pri riešení slovných úloh je kontrola správnosti riešenia slovnej úlohy. Obyčajne sa redukuje na skúšku správnosti riešenia rovnice, čím sa nedá odhaliť, či bola rovnica správne zostavená. Ak k neúplnej skúške pridáme aj absenciu správneho odhadu nazývaného „zdravý sedliacky rozum“, neraz pripustí riešiteľ aj úplne absurdný výsledok. Kontrola správnosti by sa mala vykonať (aspoň občas a dôsledne) pomocou riešenia obmenenej slovnej úlohy. 3. Fyzikálne učivo Vieme, že mnohé disciplíny sa stali vedami na základe toho, že sa podarilo vzťahy medzi veličinami vyjadriť a popísať matematických funkciami, teda zapísať vzorcom. Vo fyzike to obdivuhodne zvládol Isaac Newton (1643 – 1727).. Ak do vzorca dosadíme niekoľko konkrétnych číselných údajov a jeden údaj zostane neznámy, vznikne rovnica – ktorú by mal žiak riešiť. Samozrejme problém je najčastejšie sformulovaný ako slovná úlohu. Prehľad fyzikálneho učiva základnej školy v SR [1] v tematických celkoch: 6. ročník (66 h) 7. ročník (66 h) 8. ročník (66 h) 9. ročník (66 h)

1. Látka a teleso (45 h) 2. Elektrický obvod (21 h) 1. Pohyb a sila (35 h) 2. Mechanické vlastnosti kvapalín a plynov (31 h) 1. Práca. Energia. Teplo (25 h) 2. Elektromagnetické javy (32 h) Exkurzie ( 5 h) 1. Svetelné javy (20 h) 2. Akustika (8 h) 3. Astronómia (10 h) 4. Energia v prírode, technike a spoločnosti (20 h) 5. Upevňovanie vedomostí a zručností, exkurzie (8 h)

Uvedieme niekoľko známych vzorcov z fyziky základnej školy. s=v.t (Rovnomerný pohyb: dráha = rýchlosť . čas) F1 . A = F2 . B (Rovnováha na páke: Sila1 . rameno sily „A“ = Sila2 . rameno sily „B“.) F1 . r = F2 . R (Rovnováha na kolese na hriadeli: Sila1 . polomer „r“ = Sila2 . polomer „R“.) P1 . V1 / t1 = P2 . V2 / t2 (Stavová rovnica plynov: Tlak . objem : teplota = konštanta.) I=U/R (Ohmov zákon: Prúd = napätie : odpor.) Ak sa v rovnici vychádzajúcej zo vzorca vyskytujú len tri veličiny, pri ich riešení využívajú učitelia úvahu. Často sa uchyľujú k mnemotechnickým pomôckam napríklad otáčajúci sa ∆UIR. Manipulácia s ním síce vedie k správnemu výsledku, ale súvislosti zostávajú žiakmi nepochopené. Ak sa v rovnici vyskytuje viac veličín, alebo operácií, ekvivalentné úpravy by zjavne zjednodušili riešenie úloh. 4. Riešenie slovných úloh budúcimi učiteľmi Hoci budúci učitelia prvého stupňa ZŠ vyriešili množstvo zložených slovných úloh, ich riešiteľské zručnosti sú nedostačujúce. Mali by ovládať dva postupy riešenia: 1. riešenie pomocou jednoduchých slovných úloh, 2. riešenie pomocou jednej zloženej úlohy, (pomocou výrazu so zátvorkami). V oboch týchto postupoch možno použiť rovnice. Ak majú študenti riešiť slovné úlohy pomocou rovníc, chybovosť riešenia úloh je okolo 30 %. (Problematika sa preberá v elementárnych matematických zručnostiach.)

155

Na didaktike matematiky požadujeme riešenie slovných úloh oboma spôsobmi bez použitia rovníc, tu je chybovosť nad 50 %, teda horšia ako pri riešení pomocou rovníc. Chyby v oboch prípadoch spôsobuje povrchná analýzy a z neporozumenia úlohy. Záver Pri riešení zložených slovných úloh, čo je náročné učivo, sa stretávame s tým, že mnohí budúci učitelia inklinujú k riešeniu úloh s použitím rovníc. Je to zaujímavý predpoklad pre zavedenie učiva o rovniciach už na 1. stupni ZŠ. Preto navrhujeme: Zaradenie časť učiva, o riešení rovníc, do povinnej časti učebných osnov primárneho stupňa základnej školy. Skvalitnilo by to porozumenie fyzikálneho učivu základnej (a následne aj strednej) školy. Ak hovoríme, že matematiku učíme pre život, mal by sa o jej užitočnosti presvedčiť už žiak na základnej škole, kde matematické poznatky môže využiť veľmi efektívne vo fyzike. „Poznanie medzipredmetových vzťahov učiteľmi prvého stupňa zabezpečuje ich príprava na povolanie na fakultách? (Brincková, 2003, s.133) Viac fyzikálnych úloh zaradiť do učebníc matematiky primárneho stupňa základnej školy a obohatiť učebnice aj o úlohy s prírodovednou problematikou. Takéto úlohy zaradené v predstihu, alebo paralelne s vyučovaním fyziky majú veľkú motivačnú hodnotu pre matematiku, ale aj pre prírodovedné predmety. V množinovej koncepcii sa rovnice riešili už v prvom štvrťroku 1. ročníka ZŠ, ale túto dobrú myšlienky pochoval formalizmus a nedostatočná príprava učiteľov. A tak sa stalo, že so špinavou vodou sa vylialo i dieťa. „Väčšina študentov inklinuje k riešeniu úloh pomocou rovníc, má na pomerne nízkej úrovni zápis riešenia, ...“ (Gerová, 1997, s.152) Možno práve táto skutočnosť by mohla byť odrazovým mostíkom pre uvedené učivo. Zrejme kladnú úlohy by zohralo aj ocenenie práce učiteľov. Literatúra [1] http://www.infovek.sk/predmety/fyzika/dokumenty.html [2] Brincková,J.: Integrované tematické vyučovanie pomáha rozvíjať samostatnosť žiakov ZŠ vo vyučovaní matematiky. In: Sborník z konference s mezinárodní účastí věnované počátečnímu vyučování matematiky. ZU Plzeň, Srní 2003. s. 131 – 134. ISBN 80-7082-955-9 [3] GEROVÁ, Ľ.: Problémy študentov elementaristov pri riešení slovných úloh. In: Zborník z medzinárodnej vedeckej konferencie „Príprava učiteľov elementaristov a európsky multikultúrny priestor“, 22.-23. júna 2005, Prešov. Prešov: PF PU, 2005 [4] Gerová, Ľ. – Sobôtková, Ž.:K príprave študentov na riešenie matematických problémových úloh so žiakmi 1. stupňa ZŠ. In: Acta universitas Matthaei Belii, FUMB č. 4. (s. 151-158), Banská Bystrica 1997. Kontaktná adresa Štefan Kováčik, RNDr, Fakulta prírodných vied UMB, Tajovského 40, P.O.Box 217 974 00 Banská Bystrica Tel.: +0421-48-4364411, Fax: +0421-48-4364444 E-mail: [email protected]

156

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

MOŽNOSTI VYUŽITIA EXCELU V MATEMATIKE Štefan KOVÁČIK, Katarína SEBÍNOVÁ Abstrakt V súčasnej dobe rýchleho rozvoja informačno-komunikačných technológií je nevyhnutné, aby s týmto vývojom držali krok aj vysoké školy zamerané na prípravu budúcich učiteľov. Počítače sú všade okolo nás a je preto potrebné, aby ich učiteľ vedel využívať tak vo svojom bežnom živote, ako aj vo svojej profesii, priamo vo vyučovaní. V článku sú popísané niektoré možnosti využitia tabuľkového procesoru Excel vo vyučovaní matematiky. Oveľa väčšie možnosti využitia má Excel v učive matematiky na druhom a treťom stupni. POSSIBILIES OF EXCEL USAGE IN MATHEMATICS Abstract In recent period of rapid development of ICT is essential, that Colleges of Education which prepare future teachers keep pace with this development. The computers are all around us. It is necessary that teachers can use them for their common life and also in their job, right in teaching. In the paper are described some possibilities of Excel usage in teaching of mathematics. 1. Úvod V súčasnosti je počítač bežným pracovným nástrojom a počítačová gramotnosť je jednou zo základných požiadaviek, ktoré sa kladú na dnešného človeka. Tento trend potvrdzuje aj ŠVZ, v ktorom sa hovorí o nutnosti informatickej prípravy už na 1. stupni ZŠ, samozrejme spôsobom primeraným veku dieťaťa. V príprave budúcich učiteľov je preto dôležité nezanedbať aj túto stránku práce učiteľa a pripraviť študentov tak, aby vedeli využívať moderné digitálne technológie nielen v bežnom živote, ale aj vo svojej budúcej profesii. Do prípravy budúcich učiteľov je zaradené zvládnutie všeobecných poznatkov o počítači a získavanie základných zručností v práci s aplikáciami kancelárskeho balíka a internetom. Sú to všetko znalosti a zručnosti, ktoré študenti využívajú pri učení sa, v komunikácii, pri zábave a budú ich potrebovať aj vo svojej budúcej práci. Časť prípravy je orientovaná na využitie digitálnych technológií v učiteľskej praxi a študenti sa oboznamujú aj s možnosťami využitia počítačov na vyučovaní. V článku je ukázané, ako možno pri vyučovaní matematiky na 1. st. ZŠ použiť niektoré z rozmanitých nástrojov tabuľkového editora Excel. 2. Excel a počítadlo Pred rokom 1976 bolo súčasťou zariadenia každej triedy v prvom a druhom ročníku základnej školy stovkové počítadlo. Po zavedení množinovej matematiky do škôl sa

157

prestali používať počítadlá. Ale po opustení množinovej koncepcie vyučovania matematiky sa už v triedach počítadlá znova neobjavili. Učitelia ich nahrádzajú inými materiálnymi pomôckami na počítanie. Jednou takouto pomôckou by mohol byť aj počítač, presnejšie didaktický program vytvorený napríklad v tabuľkovom editore Excel. Úspešne ho možno použiť už na matematike v prvom ročníku základnej školy. Tu sa žiaci učia sčítať a odčítať v obore do 20 mimo prechodu cez základ. Výhod použitia počítača je niekoľko: • Žiak môže pracovať vlastným tempom. • Počítač žiaka kontroluje bez potreby zásahu učiteľa. • Ak je v triede dostatok počítačov, práca je vysoko efektívna, lebo počítače zabezpečia stopercentnú aktivitu všetkých žiakov. • Už samotná práca pri počítači je pre žiakov motivujúca a inšpirujúca. • Učiteľ „voľný čas“ na hodine využije na individuálnu prácu so slabšími žiakmi. Inšpiráciou môže byť nasledovná ukážka vytvorená v Exceli: č. 1.

2.

Zadanie úlohy 3

4

+

+

7

5

Počítadlo =

=

8

9

O O

O O

O O

O

O

O

O

☺

Obrázok 1 Počítadlo v Exceli

Program je určený na zdokonaľovanie sčítania dvoch čísla od nula do 10. Program pracuje nasledovne: • Sadu úloh pre žiaka napíše učiteľ, neskôr to môže aj žiak sám. • Do farebného okienka žiak vpíše výsledok. • Ak je výsledok správny, v okienku za výsledkom sa objaví smajlík. (Podľa uváženia učiteľa to môže byť aj niečo iné.) • Ak je výsledok nesprávny, v počítadle sa krúžkami, alebo inými znakmi znázorní zdanie úlohy. Žiak zistí výsledok počítaním po jednom. Samozrejme, že sa dajú vyrobiť aj počítadlá pre iné číselné rozsahy a pre operácie odčítanie, násobenie a delenie. Pre zobrazenie oznamu ako aj počítadla využijeme podmienkovú funkciu IF. V ľavom hornom okienku počítadla (v dialógovom riadku) vložíme vzorec: =IF(AND($B5>0;OR($B5+$D5<$F5;$B5+$D5>$F5));"O";" "). Do ďalších okienok stačí vzorec skopírovať a upraviť podľa potreby súradnice a číselný rozsah podmienok. 3. Excel a písomná previerka Zaujímavou pomôckou môže byť vytvorenie a využitie excelovského programu ako písomnej previerky počtárskych zručností žiakov. Písomná previerka môže obsahovať úlohy s jednou i viacerými operáciami. Program je vytvorený tak, že každú vypočítanú úlohu skontroluje. Výsledky kontroly – udelené body môže žiak vidieť. Vtedy sa program využíva na nácvik a zdokonalenie počítania. Ak výsledky – tabuľku bodov umiestnime tak, aby žiak nevidel (uvidí ju len učiteľ), je program využiteľný ako písomná previerka.

158

P.č. 1.

Body 12

+

37

=

65

+

33

=

... 10.

49

=

1

P.č. 1.

...

...

90

0

10.

Spolu:

2

Body 27

+

37

–

12

=

30

+

20

–

40

=

88

=

0 ...

10

1

Spolu:

2

Obrázok 2 Test

4. Excel a dotazník V matematike sa menej používajú dotazníky, ale napriek tomu ich možno využiť napríklad pri riešení matematických úloh. Učitelia úlohy rýchlejšie skontrolujú, ale kontrola bude orientované len na správne výsledky. Učiteľov zaujímajú aj typy chýb, ktoré urobili žiaci. Pri najhrubšom triedení sú to nasledovné chyby: • Chyby z nepozornosti. • Chyby spôsobené nesprávnym logickým postupom. • Numerické chyby. • Nedôslednosť a neúplnosť pri riešení, nedostatok zručností. Typy chýb usmernia ďalšiu vyučovaciu činnosť, čím sa práca učiteľa stáva efektívnejšou. Pri tvorbe takéhoto excelovského testu môžeme využiť začiarkovacie, alebo prepínacie políčko. Vo všeobecnosti možno vytvoriť šablónu, do ktorej vložíme ľubovoľné zadanie. Ukážka: Úloha 1.

Body Na parkovisku stálo 57 osobných áut. Z nich 29 bolo strieborných a 35 áut malo značku Kia. Koľko najmenej áut bolo strieborných a malo značku Kia? 5 7 29 28 6

?

Obrázok 3 Ukážka testu z riešenia slovných úloh

Pre učiteľa bude najnáročnejšou úlohou vytvorenie anticipovaných odpovedí. Takéto odpovede nemôžu byť vybrané len náhodne, ale ich hodnota by mala byť vypočítateľná z čísel vyskytujúcich sa v zadaní slovnej úlohy. Inak hrozí riziko, že úspešnosť hádania správnych výsledkov bude príliš vysoká, čo bude žiakov motivovať k hádaniu. 5. Niekoľko ukážok využitia Excelu na 2. a 3. stupni Tu možno Excel využiť v dvoch rovinách: 1. Učiteľ vytvorí program, ktorý žiaci využijú pri riešení matematických úloh. Odbúra sa tým množstvo neproduktívnych činností, ale môže sa stať, že žiakom unikne podstata riešenia matematického problému. Takýto program by bol osožný najmä pre učiteľa, ktorý by ho využil pri tvorbe zadávaných úloh. 2. Oveľa dôležitejší, z pohľadu porozumenie učiva je postup, pri ktorom žiaci naprogramujú Excel tak, aby vedel vykonať výpočet.

159

Trojuholníková nerovnosť je známa v tvare súčtu a rozdielu. Žiaci vytvoria obidve verzie, do programu vložia – zadajú veľkosti strán – program rozhodne o zostrojiteľnosti trojuholníka. Príklad: Dá sa zostrojiť trojuholník so stranami a = , b = , c = ? Matematické podmienky, ktorá musia platiť súčasne: a+b>c, b+c>a, a+c>b. Do buniek žiak zadá veľkosti strán, do testovacieho okienka príkaz: =IF(AND(A4< B4+C4;B4
b

c

3

4

5

trojuholník je pravouhlý trojuholník nie je 3 4 4 pravouhlý trojuholník nie je 2 5 6 pravouhlý Obrázok 4 Úloha na Pytagorovu vetu

2. z dvoch daných strán vypočíta stranu tretiu, aby trojuholník bol pravouhlý. Grafické riešenie sústavy rovníc je pomerne náročné na čas. Žiaci zvládnu tvorbu programu, ktorý vypočíta údaje potrebné v tabuľke, z nich Excel zostrojí potrebné grafy funkcií. Príklad: Riešte graficky sústavu rovníc: x + y = 17, 2x + 3y = 41 x+y=17

Grafické riešenie sústavy rovníc

2x+3y=41 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 5

6

7

8

9

10

11

Obrázok 5 Graf riešenia sústavy rovníc

160

x

x+y=17 2x+3y=41

5

12

10,33333

6

11

9,666667

7

10

9

8

9

8,333333

9

8

7,666667

10

7

7

11

6

6,333333

Goniometrické funkcie si vyžadujú použitie tabuliek a učivo obsahuje aj veľa výpočtov. Mnoho z týchto úloh je efektívnejšie riešiť s použitím Excelu. 6. Záver Tieto ukážky práce s Excelom boli čiastočne odskúšané na Pedagogickej fakulte UMB v Banskej Bystrici vo vyučovaní predmetu IKT, so študentmi - budúcimi učiteľmi 1. aj 2. stupňa. Niektorí študenti 2. a 3. ročníka sa s takýmto predmetom stretli po prvý raz počas svojho štúdia. Mnohí študenti sa s tabuľkovým kalkulátorom len oboznamovali. „Cieľom je ukázať inú stratégiu myslenia a iný prístup k riešeniu matematických problémov, ako sú naučení v doterajšej matematike. Druhým cieľom je naučiť ich s počítačom dokázať vykonať niečo viac, ako bežný používateľ“ (Kováčik, 2004, s.133). Ukazuje sa tak, že predmet, v ktorom by si študenti osvojili základy práce s počítačom sa aj teraz javí ako nevyhnutnosť, smerujúca k tomu, aby študenti na tomto základe mohli rozvíjať pokročilejšie zručnosti, ktoré využijú vo svojom ďalšom pedagogickom pôsobení. Literatúra 1. 2.

KOVÁČIK, Š, SEBÍNOVÁ, K.: Je programovanie prežitkom? In: Acta Universitatis Matthaei Belii. Zborník vedeckovýskumných prác č. 8. Banská Bystrica : PF UMB, 2004, s. 133-141. ISBN 80-8083-019-3 BROŽ, M.: Microsoft Excel 2003, podrobná príručka. Computer Press, 2004. ISBN 8025104060

Kontaktná adresa RNDr. Štefan Kováčik, PhD. Katedra matematiky, Fakulta prírodných vied UMB Banská Bystrica, Tajovského 40, 974 01 Banská Bystrica, Slovensko Telefon: +421 48 446 7123 E-mail: [email protected] RNDr. Katarína Sebínová Katedra matematiky, Fakulta prírodných vied UMB Banská Bystrica, Tajovského 40, 974 01 Banská Bystrica, Slovensko Telefon: +421 48 446 7123 E-mail: [email protected]

161

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

O NĚKTERÝCH ZKUŠENOSTECH ZE SOUTĚŽIVÝCH METOD A FOREM PRÁCE V HODINÁCH MATEMATIKY NA 1. STUPNI ZŠ Eva KREJČOVÁ Abstrakt Jedním z diskutovaných didaktických přístupů je zařazování soutěží do vyučování. Tyto názory jsme se snažili konfrontovat s realitou – s postoji učitelů, ale zejména s přístupem žáků k zmiňované aktivitě. Na základě experimentálního šetření v podmínkách vyučování matematice na 1. stupni ZŠ prezentujeme stanoviska respondentů k soutěžím obecně. Součástí experimentu jsou reflexe zadavatelů soutěží, studentů kombinované formy studia oboru 1. stupeň ZŠ. ON SOME EXPERIENCE OF COMPETITIVE METHODS AND FORMS OF WORK IN MATHEMATIC LESSONS AT PRIMARY SCHOOL LEVEL Abstract One of the discussed didactic approaches is including competitions into the learning/teaching process. We tried to confront these opinions with reality - with attitudes of teachers but mainly with approaches of pupils to the mentioned activity. On the basis of experimental research under the conditons of teaching mathematics at primary school level we present opinions of respondents on competitions in general. A part of the experiment is formed by reflections of competition creators/users students of the combined form of study of the course for primary school teachers. Příspěvek na letošní konferenci navazuje na předchozí sdělení, a to na didaktické hry v matematice, o kterých jsem se zmiňovala vloni v Tálech a na skupinové a kooperativní formy vyučování, kterými jsem se zabývala na našem společném setkání před dvěma lety právě zde v Olomouci. Dnes jsou předmětem soutěže a soutěžení v hodinách matematiky. Matematické soutěže v tom nejznámějším smyslu slova jako je Matematický klokan, Pythagoriáda, Matematická olympiáda či různé korespondenční semináře byly nejednou námětem vystoupení na těchto konferencích. Zejména pak tolik rozšířený Matematický klokan, o němž referoval (ale hlavně se podílí na jeho přípravě a realizaci) doc. B. Novák. V dané souvislosti připomeňme jeho vystoupení v roce 2002 s názvem „Matematická soutěž – nová příležitost pro žáka i pro učitele“. Původně jsem si chtěla tento titul, protože je mně názorově blízký, s určitou změnou „vypůjčit“: „Soutěž v hodinách matematiky – dobrá příležitost pro žáka i pro učitele“. Skutečně se

162

domnívám, že soutěže a soutěžení ve vyučování mohou být při promyšleném přístupu přínosem pro obě strany – pro učitele, ale hlavně pro žáky. Tématikou soutěží se v příspěvku zaměřeném na využívání didaktických her v hodinách matematiky dotkla také doc. J. Coufalová. Z šetření u studentů kombinované formy studia vyplynulo, že většina učitelů zařazuje hry soutěžního charakteru (53 %), přičemž převažují soutěže pro jednotlivce (72 %). I když soutěže a soutěžení ve většině tříd patří mezi zcela běžnou „záležitost“ ve vyučování, názory pedagogů na ně nejsou ani zdaleka jednotné. Dokladem odlišných stanovisek na soutěže mohu být postoje dvou autorů v připojené literatuře uváděných pramenů. Pojmenujme je A a B. A: Soutěže žáky silně motivují, odstraňují z vyučování nudu. B: Mnoho dětí ztrácí díky soutěžím motivaci, učení je nebaví. A: Největším přínosem soutěživých metod je povzbuzení zájmu žáků o vyučování, o školu vůbec. B: Mnoho dětí v důsledku zařazování soutěží pak o učení ztrácí zájem. A: Soutěživé metody učí žáky pracovat na hranici svých možností, aktivizují je a z dlouhodobého pohledu vedou ke zlepšení jejich výsledků. B: Dlouhodobé systematické užívání soutěží jako jedné z běžných metod výuky může mít neblahý vliv na učení a jeho výsledky samotné. A: Soutěživé metody učí děti předepsanému učivu zajímavým způsobem, ale zároveň jim jsou nenásilným prostředkem pro řešení interpersonálních vztahů uvnitř kolektivu, a tím i vytváření podnětného pracovního prostředí. B: Soutěže (zejména časté) mohou mít nepříznivý vliv na celkové klima třídy, brání učení. Soutěživost vylučuje radost dětí z úspěchu druhých či poskytování pomoci spolužákům. A: Soutěže učí děti správně ohodnotit své schopnosti a naučí je využívat je ve svůj prospěch. B: Problematickým aspektem soutěží je spravedlnost. A: Atmosféra „sportovního“ měření sil, vzájemná konkurence, zdravá rivalita, připravuje děti na lehčí vstup do života. B: Jistá konkurence mezi dětmi tak jako tak existuje. Proč by je měla škola připravovat na veškerá úskalí budoucího života? Z citovaných vyjádření „A“ a „B“ k této problematice je patrný jejich diametrálně odlišný názor na tuto aktivitu, a to jak z pohledu motivace, aktivizace myšlenkového úsilí, vzbuzení zájmu, tak pokud jde o vytváření podnětného pracovního klimatu, možnosti sebehodnocení žáků a jejich hodnocení učitelem. A jak se na soutěže dívají ti, jichž se týkají bezprostředně? Za účelem snahy posoudit jejich postoje k diskutované metodě jsme se zaměřili na žáky 1. – 5. ročníku základní školy a na soutěžení v hodinách matematiky. Realizovali jsme dvě nezávislá experimentální šetření; první v průběhu 2. pololetí školního roku 2008/2009, druhé v 1. pololetí školního roku 2009/2010. Zjišťování mělo charakter pedagogického experimentu a zapojilo se do něho 57 učitelů (studentů kombinované formy studia oboru 1. stupeň ZŠ). Ti předem domluveným způsobem oslovili celkem 1 119 žáků 1. – 5. ročníku ZŠ. Postup – jednotlivé etapy: 1. příprava dvou různých typů soutěží (individuální a skupinkové),

163

2. realizace soutěží v hodinách matematiky na 1. stupni ZŠ (volba ročníků podle možností) a záznam jejich průběhu (reflexe učitelů), 3. zjištění stanovisek žáků k soutěžím (na základě individuálního rozhovoru nebo technikou dotazníku). Výsledky předkládáme v následně připojené tabulce a histogramu. S ohledem na limitující rozsah příspěvku se omezujeme jen na přístupy respondentů k soutěžení v hodinách matematiky obecně. Tabulka č. 1 Frekvence odpovědí „rád“, „nevím“, „nerad“ na soutěže v hodinách matematiky. rád ročník I. II. III. IV. V. celkem

počet žáků 168 251 170 258 272 1119

abs. četnost 114 183 119 210 212 838

rel. četnost 67,86 72,91 70,00 81,40 77,94 74,89

nevím abs. rel. četnost četnost 28 16,67 37 14,74 25 14,70 21 8,14 28 10,29 139 12,42

nerad abs. rel. četnost četnost 26 15,48 31 12,35 26 15,29 27 10,47 32 11,76 142 12,69

Graf č. 1 Zájem žáků o soutěže v hodinách matematiky. 100 80 %

60 40 20 0 1.

2.

3.

4.

5.

ročník rád

nevím

nerad

K zjištěným údajům je zapotřebí přistupovat opatrně. Zejména je třeba zdůraznit, že počet žáků v dílčích souborech (podle ročníků) není vyrovnaný; je dán konkrétní situací – stávajícím pracovním zařazením studentů. Nelze opominout ani skutečnost, že třebaže všichni obdrželi celkem jasné pokyny k realizaci experimentu, v přístupech se promítly některé odlišnosti (různá pedagogická zkušenost a znalost prostředí, vlastní postoje aj.). Jako náročná se pro žáky ukázala volba a zdůvodňování nabízených alternativ. Právě z tohoto důvodu nelze nahlížet na zjištěné absolutní a relativní četnosti okem statistika, údaje mají informativní charakter. I přes tyto výhrady je možné chápat získané výsledky jako data s širší platností. Výsledky především naznačují, že soutěže v hodinách matematiky se těší u žáků 1. stupně ZŠ značnému zájmu. Téměř 75 % respondentů uvedlo, že mají tuto činnost v oblibě. Zájem žáků jednotlivých ročníků o tuto aktivitu nevykazuje větší rozdíly (minimum 67,9 % I. ročník, maximum 81,4 % - IV. ročník).

164

A v čem spatřují žáci důvody oblíbenosti nebo naopak neoblíbenosti soutěží obecně, dále pak individuálních a skupinových soutěží v matematice? Podle uváděných argumentů můžeme žáky rozdělit na několik skupin. V případě oblíbenosti soutěží na čtyři: 1. předmět matematika je baví, jsou v něm dobří „Protože rád počítám.“ „Matematika mně jde a baví mě.“ 2. snaha vyniknout „Zjistím, jak jsem chytrý.“ „Protože chci být lepší.“ 3. soutěžení je pro ně zábava a určité napětí „Lépe mi ubíhá hodina. „Baví mě to napětí.“ „Protože jsou napínavé.“ 4. touha něco vyhrát „Protože jde o body“„Dá se něco vyhrát.“ Hlavní příčiny, které vedly žáky naopak k označení „nerad“, shledávají jednoznačně v náročnosti předmětu: „Protože je to těžké.“ „Matika mně nejde.“ „Protože to nepochopím.“ Součástí popisovaného experimentálního šetření byly i reflexe zadavatelů soutěží – studentů kombinované formy studia (viz výše). Shrneme-li názory a zkušenosti těchto 57 učitelů, jsou jejich stanoviska na zařazování soutěží do hodin matematiky (s výjimkou dvou)1) inspirující. „Já se přikláním k jednoznačnému verdiktu, že soutěže ve škole ano. Je na nás, učitelích, jaký typ soutěže volíme, co bude pro nás a hlavně naše žáky směrodatné v závěru soutěže. Děti soutěže milují, soutěžení k nim patří, podobně jako hry. I to dítě, které je slabší, si rádo zasoutěží. Musí ale vědět dopředu, že má naději, třeba se svou skupinou.“ „Mám matematické soutěže ráda. S oblibou je pro děti připravuji. Je důležité, jak samotnou soutěž prezentujeme. Upřednostňuji soutěže skupinové, abych zapojila dle individuálních možností co nejvíce žáků, aby se touto formou naučili spolupracovat, vzájemně si pomáhat a doplňovat se.“ „Myslím, že nikdy nemůžeme uspokojit potřeby všech a že soutěžením, ať už individuálním či skupinovým, se děti mohou lecčemu naučit, a to s efektivnějších dopadem a pro ně navíc s emocionálním zážitkem. Velmi záleží na pravidlech a organizaci.“ „Děti jsou od přírody soutěživé. Co se mě týče, hry a soutěže, nejlépe v propojení, zařazuji do hodin často a mám s tím jen dobré zkušenosti. Je jisté, že každá věc se dá „zneužít“, tedy i soutěž. Je v rukách učitele, jak si s tím poradí. “ Velice výstižně vyjadřuje své mnohaleté zkušenosti na vliv soutěživých metod na žáky O. Suchoradský: „Vždy záleží na učiteli, který takový způsob učení uplatňuje. Zda dokáže děti přesvědčit, že výsledek a umístění není smyslem a jediným účelem použité metody. Je na něm, aby dokázal odhadnout průběh soutěže, uměl v ní najít roli pro každého žáka třídy.“ Přirozeně i neúspěch – pohra k tomuto měření „sil“ patří. Zažít neúspěch v soutěži je však pro zúčastněného méně bolestivá záležitost než konfrontace svých neznalostí v běžné školní práci (podrobněji viz [8], [9]). 1) „U nás ve škole je zákaz jakýchkoli soutěží ve vyučování, i v hodinách tělesné výchovy. Já se s touto filozofií ztotožňuji.“

165

Podobně se staví k soutěžím G. Petty. Také zdůrazňuje, že se soutěživostí je třeba zacházet opatrně a citlivě. V ideálním případě by měl být odměňován nejen úspěch, ale i snaha. Soutěže poskytují žákům silnou motivaci, zejména když mají povahu didaktické hry. Závěr Příspěvek vychází z přesvědčení, že jedním z prvořadých předpokladů dobrých výsledků ve vyučování je získání zájmu žáků, aktivizace jejich vědomostí a dovedností, vytváření podnětného pracovního prostředí. O těchto skutečnostech rozhoduje nejen charakter vyučovacího předmětu, ale také přístup učitele – uplatňované metody a formy práce. Jednou z nich jsou soutěže. Názory na jejich využití ve vyučování se v literatuře různí. Snažili jsme se je porovnat se situací v reálném prostředí, tedy zjistit postoje soutěžících samotných a také jejich učitelů. I přes určitou obezřetnost se vyvozování obecněji platných závěrů je možné na základě vyhodnocení experimentálního šetření u 1 119 respondentů konstatovat, že soutěže se těší u žáků 1.stupně ZŠ značné oblibě, zejména pak skupinové. Pozitivně se k jejich zařazování do vyučování stavějí i učitelé (57). Tyto skutečnosti mohou být určitou výzvou k zamyšlení nad širším uplatňováním soutěživých metod při procvičování a opakování učiva. Literatura [1] COUFALOVÁ, J.: Využívání didaktických her v hodinách matematiky na 1. stupni ZŠ. In: Sborník z konference s mezinárodní účastí Matematické vzdělávání z pohledu žáka a učitele primární školy. Olomouc, UP 2008. [2] FISCHER, R.: Učíme děti myslet a učit se. Praha: Portál 1997. [3] KREJČOVÁ, E.: Kooperativní učení a vyučování z pohledu žáka a učitele. In: Sborník z konference s mezinárodní účastí Matematické vzdělávání z pohledu žáka a učitele primární školy. Olomouc, UP 2008. [4] KREJČOVÁ, E.: Hry a matematika. 1. vyd. Praha: SPN – pedagogické nakladatelství, 2009. [5] LINHARTOVÁ, T.: Soutěží děti rády? Moderní vyučování 3, 2008. [6] NOVÁK, B.: Matematická soutěž – nová příležitost pro žáka i pro učitele. In: Sborník z konference s mezinárodní účastí Podíl matematiky na přípravě učitele primární školy. Olomouc, UP 2002. [7] PETTY, G.: Moderní vyučování. 1. vyd. Praha: Portál, 1996. [8] SUCHORADSKÝ, O.: Soutěživé formy a metody ve výuce matematiky. 1. vyd. Hradec Králové: Liquet, 1992. [9] SUCHORADSKÝ, O.: Vliv soutěživých metod na žáky. Komenský, č. 9/10, 1997. [10] Seminární práce studentů kombinovaného studia oboru učitelství pro 1. stupeň ZŠ. Kontaktní adresa RNDr. PaedDr. Eva Krejčová, CSc. Univerzita Hradec Králové Pedagogická fakulta, Katedra matematiky Rokitanského 62, 500 03 Hradec Králové Telefon: +420 493 331 463 E-mail: [email protected]

166

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

MATEMATIKA ANGLICKY Jitka LAITOCHOVÁ Abstrakt Zabýváme se novým seminářem pro budoucí učitele matematiky, který je také vhodným volitelným předmětem pro budoucí učitele primární školy. Seminář si klade za cíl seznámit studenty s anglickou matematickou terminologií. Je vytvořen ze tří modulů. Blíže se zde zabýváme modulem Functions and Graphs. Součástí tohoto příspěvku je ukázka studijního materiálu, kde se studenti učí číst čísla. MATHEMATICS IN ENGLISH Abstract We deal with a new seminar intended for prospective teachers of mathematics. The seminar can also serve as a suitable optional elective for prospective primary school teachers. Its objective is to make students acquainted with the English mathematical terminology. The seminar consists of three modules. In the paper we deal with the Functions and Graph module. The paper also shows a part of a text created for students to teach them how to read numbers. 1. Výukové moduly matematiky v anglickém jazyce Na Katedře matematiky PdF UP Olomouc se v současné době řeší tříletý projekt ESF Inovativní přístup k přípravě budoucích učitelů matematiky s využitím výukových modulů v anglickém jazyce v rámci operačního programu OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost. V dnešní době je potřeba studentům nabídnout k jejich odborné přípravě adekvátní jazykové vybavení. Pro naše studenty, t.j. studenty oboru Matematika se zaměřením na vzdělávání, připravujeme volitelný seminář, který obsahuje tři vzdělávací moduly s matematickou tematikou. Moduly jsou zaměřeny na vybrané základní poznatky geometrie, algebry a matematické analýzy. V rámci semináře mají studenti možnost navštívit partnerskou instituci projektu, a to Evropskou základní školu v Brně, na které probíhá výuka matematiky v anglickém jazyce. Cílovou skupinou projektu jsou tedy budoucí učitelé matematiky na 2. stupni, ale seminář je koncipován tak, že bude vhodný pro učitele všech typů škol, tedy pro učitele primární školy, učitele matematiky středních škol a může být zajímavý i pro studující odborné matematiky nebo studující anglického jazyka. Předpokladem studia tohoto semináře je, že studenti mají základní znalost anglického jazyka. Důraz je totiž kladen na mluvenou matematiku, na základní terminologii uvedených matematických disciplín a vše je ilustrováno jen na jednoduchých matematických úlohách.

167

Jednotlivé moduly mají následující názvy Geometrical Thinking (Geometrické myšlení), How to Solve Systems of Equations (Jak řešit soustavy rovnic) and Functions and Graphs (Funkce a grafy). Výuka seminář se koncipována na 12 výukových týdnů, a to dvě vyučovací hodiny týdně. 2. Modul Funkce a grafy Zaměříme se nyní na modul Functions and graphs, protože je to modul, jehož jsem autorkou, ostatní moduly vytvářejí moji kolegové. V úvodu tohoto modulu se zabýváme jazykem mluvené matematiky, a to čtením čísel, různých matematických symbolů a matematických zápisů. Dále si (samozřejmě v angličtině) zopakujeme například pojem funkce a graf funkce, zopakujeme si rovnice přímek, seznáme se s anglickou terminologií diferenciálního počtu a pojednáme o určení průběhu funkce. Při té příležitosti můžeme zdůraznit, že derivace je úžasný nástroj k nalezení přesného průběhu funkce mezi dvěma body grafu funkce. V tomto modulu můžeme na diferenciální počet také na chvíli zapomenout a vrátit se v myšlenkách na základní školu a zkoumat funkční závislosti a grafy fukcí tak, jak se to na základní škole dělá. K dispozici máme například britské učebnice matematiky pro 8. třídu základní školy, a to verzi pro žáky, pro učitele a sbírku příkladů, viz publikace (1-3). A grafy mohou vyprávět příběhy... První zkušeností s výukou v tomto semináři napovídají, že tento seminář může být velmi poučný a zároveň zábavný jak pro studenty, tak pro vyučující. Výuka v semináři se dá lehce přizpůsobit znalostem studentů v matematice i v anglickém jazyce. Semináře mohou sloužit pro opakování a prohlubování znalostí jak v matematice, tak i v anglickém jazyce. Především však vybaví studenty anglickou matematickou terminologií a snad je zbaví i případného ostychu používat cizí jazyk a inspirují je ke studiu cizí literatury. Navíc mohou seznámit studenty se zahraničními učebnicemi a výkladovými slovníky. Vhodným doplňkem výuky v semináři je také naslouchání matematickým přednáškám rodilých mluvčích na Internetu. 3. Ukázka materiálů pro studenty Nyní nahlédneme do studijních materiálů, které studentům ukazují, jak číst čísla. Reading numbers 100, 200, 300, 400, 500 1 100, 1 200, 1 500, 1 900 1 000, 2 000, 3 000, 4 000 10 000, 20 000, 70 000 100 000, 200 000, 500 000

One hundred, two hundred, three hundred, four hundred, five hundred Eleven hundred, twelve hundred, fifteen hundred, nineteen hundred One thousand, two thousand, three thousand, four thousand Ten thousand, twenty thousand, seventy thousand One hundred thousand, two hundred thousand, five hundred thousand

168

At least two methods exist for reading numbers aloud. The choice of method is decided for each number. For example it is easier to say twelve hundred than one thousand two hundred. A general rule of spoken mathematics is simplicity, that is, fewer words improves communication. 1 000 000, 106

One million 9

1 000 000 000, 10

One billion 12

1 000 000 000 000, 10 107, 502, 751, 289 1 284, 9 582, 4 687

12 985, 73 629, 46 772

One trillion One oh seven, five hundred (and) two, seven fifty one, two eighty nine Twelve hundred (and) eighty four, ninety five eighty two, four thousand six eighty seven Twelve thousand nine eighty five, seventy three thousand six twenty nine, forty five thousand seven seventy two

A lecturer may add variety and emphasis. For example, if only the size of the number is relevant, then 12 965 may be spoken as about thirteen thousand or roughly thirteen thousand or twelve thousand and something. It is considered emphatic to express 1 284 as one thousand two hundred and eighty four. A lecturer may use voice intonation to add to the emphasis. To suppress emphasis 1 284 may be spoken as twelve eighty four. The more words used to read a number, the more emphatic is the result. 1.0, 1.01

One point oh, one point oh one

-5.67, -9.

Minus five point six seven, minus nine

5.67 0.0001, 1E-4, 10

Five and sixty seven hundredths -4

Ten to the minus four

0.009, 9E-3

Nine thousandths

3.14159

Three point one four one five nine

3.14159

Pi

A decimal 10.0 is read ten point oh or ten depending on the context. The use of tenths, hundredths and thousandths in the reading of decimals is normal in certain subjects, for example, engineering applications. A standard constant like 3.14159 appears in speech as pi rather than three point one four one five nine. The logarithm base 2.718 will be read as two point seven one eight or base e. Příspěvek vznikl v rámci řešení projektu ESF „Inovativní přístup k přípravě budoucích učitelů matematiky s využitím výukových modulů v anglickém jazyce“, reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0104. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

169

Literatura 1. SMP Interact book 8C for the mathematics Framework. Cambridge University Press, 2003. ISBN 978-0-521-53801-5. 2. SMP Interact teachers quide to 8C for the mathematics Framework. Cambridge University Press, 2003. ISBN 978-0-521-53802-5. 3. SMP Interact practice for book 8C for the mathematics Framework. Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-53803-3. Kontaktní adresa Doc. RNDr. Jitka Laitochová, CSc. Katedra matematiky PdF UP Olomouc Žižkovo nám. 5a Telefon: +420 585 635 713 E-mail: [email protected]

170

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

INTERAKTÍVNE TESTOVANIE AKO NÁSTROJ MOTIVÁCIE VO VYUČOVANÍ MATEMATIKY V 4. ROČNÍKU ZŠ Mária LUCKÁ Abstrakt Príspevok sa zaoberá možnosťami využitia počítača pri interaktívnom overovaní vedomostí v oblasti primárneho vzdelávania. Prezentuje súbor testov z matematiky vytvorený v softvérovom prostredí Hot Potatoes, ktorý je určený prednostne pre žiakov 4.ročníka. Testovací nástroj má netradičné grafické spracovanie a okrem overenia vedomostí môže slúžiť ako motivačný prostriedok pre vzbudenie záujmu detí o matematiku a tiež ako nástroj na prehĺbenie a ľahšie osvojenie nových vedomostí. INTERACTIVE TESTING AS A MOTIVATION TOOL IN TEACHING MATHEMATICS IN FOURTH GRADE AT BASIC SCHOOLS Abstract In proposed paper we discuss possibilities of using computers in interactive knowledge testing in primary school education. We present a mathematical test package created in the Hot Potatoes software environment. The created testing tool has unusual graphical elaboration and is preferably devoted to the 4th class scholars. Beyond the knowledge testing it could serve as a motivation tool for attracting of scholar’s interest in mathematics and as a tool for deeper and easier acquirement of new knowledge.

1. Úvod Informačno-komunikačné technológie (IKT) zasahujú v súčasnosti takmer do všetkých oblastí vzdelávania, primárne vzdelávanie nevynímajúc. Moderné IKT súčasnosti sú silným informačným médiom a veľmi rozšíreným prostriedkom získavania a prehlbovania vedomostí. Sú účinnou pomôckou učiteľa pri príprave a tvorbe učebných materiálov a motivačným nástrojom na spestrenie vyučovania. Podľa výskumu prezentovaného v článku [16], ktorý bol realizovaný v rámci istého československého projektu medzi učiteľmi na I. stupni ZŠ, sa viac ako 92% učiteľov domnieva, že počítače by mali byť využívané aj na I. stupni ZŠ a asi 60% si myslí, že využitie počítača vo výučbe ma silný motivačný náboj. Pritom je všeobecne známy pozitívny vzťah mladých ľudí k počítačom, čo dokumentuje aj pozitívna a systematická snaha a úsilie mnohých pedagógov, aby sa počítač stal súčasťou bežného vyučovacieho procesu [3, 9, 14, 15]. V súčasnosti je vidieť viaceré snahy o integrovanie počítačov a internetu do moderného spôsobu overovania vedomostí. Spätná väzba vo svojich tradičných formách, akými sú rôzne písomné testy, referáty, má dnes aj svoje nové formy založené na moderných informačno-komunikačných technológiách. Počítač slúži jednak na

171

priebežné, prípadne záverečné hodnotenie vedomostí, ale svojimi výstupmi pomáha pedagógom stanoviť úroveň získaných vedomostí. Ak je prístup k testu na internete jednoduchý a test je urobený zábavnou formou, môže byť pre žiaka nezanedbateľným stimulátorom so silným motivačným nábojom. Žiakovi pomáha bez stresu a v prípade potreby aj bez prítomnosti učiteľa overiť a prehĺbiť si svoje vedomosti. Napomáha mu takto nielen hlbšie pochopiť preberané učivo, ale vytvára podmienky pre prípadné budovanie pozitívneho vzťahu k danému predmetu. V súčasnosti existuje množstvo viacero softvérových produktov umožňujúcich tvorbu interaktívnych testov, ale aj portálov s už hotovými testami. Z existujúcich portálov spomenieme tie, ktoré podľa nás na Slovensku významnou mierou prispievajú k rozvoju a aplikácii počítačov vo vzdelávaní na základnej škole. Predovšetkým je to spoplatnený internetový portál www.zborovna.sk, ktorý školám a ich pedagógom vytvára priestor na cennú výmenu informácií. Učitelia majú možnosť poskytnúť svojim kolegom nimi vytvorené materiály, učebné texty, prezentácie, či hotové testy a podeliť sa so svojimi skúsenosťami. Všetky zhotovené materiály je možné si v prípade záujmu stiahnuť do svojho počítača a v prípade potreby ich aj sprostredkovať žiakom. Ďalším, taktiež spoplatneným portálom, obsahujúcim banku testov z učiva základnej školy z rôznych predmetov, je portál www.edupage.sk. Na tomto portáli možno nájsť už pripravené testy, ktoré sú rozdelené podľa ročníkov a predmetov, pričom sa dotýkajú niektorých tém učiva pre všetkých deväť ročníkov základnej školy. Okrem hotových testov stránky poskytujú možnosť tvorby nových testov a vytvárajú priestor komunikácie. Asi najväčší súbor testov učiva základnej školy sme našli na stránkach projektu „Škola hrou“ [13]. Súbor má názov „Albert“ a obsahuje takmer 2000 testov z rôznych predmetov učiva ZŠ, čo je nesporne jeho veľkým pozitívom. Testy sú určené pre žiakov základnej školy, sú však tiež spoplatnené, a tak nie sú voľne prístupné pre všetkých používateľov internetu. Navyše majú podobnú, graficky nie veľmi príťažlivú formu, neumožňujú okamžitú spätnú väzbu, a neobsahujú ani pomoc pri riešení. Každý test má spravidla desať otázok, ktoré sa síce vždy načítajú v inom poradí, ale s rovnakými otázkami. Nezodpovedanie jednej otázky neumožňuje pokračovať v odpovedaní na ďalšiu otázku. Všetky položky majú formu uzavretých testov s voľbou jedinej správnej odpovede (väčšinou z troch). V záverečnom hodnotení žiakov poskytujú informácie o počte riešených testov, o čase strávenom ich riešením a obsahujú tiež porovnanie s ostatnými žiakmi. Uvedené skutočnosti nás viedli k návrhu projektu KEGA s názvom „Vieš, čo vieš?, so začiatkom riešenia v roku 2010, ktorého cieľom je vytvoriť bezplatný otvorený internetový portál pre žiakov základných škôl, s bankou testov zatiaľ z prírodovedných predmetov. Pripravované testy budú zaujímavé netradičnosťou spracovania, prístupné bezplatne a online pre všetkých používateľov internetu. Projekt si takto kladie za cieľ vytvoriť zaujímavú alternatívu pre žiakov na zmysluplné využitie počítača a internetu nielen v škole, ale aj doma vo voľnom čase. Na tvorbu testov sme sa rozhodli použiť softvérový produkt Hot Potatoes, ktorý je voľne dostupný na stránke [6] a poskytuje používateľsky priateľské prostredie na tvorbu testov. Pre tento softvér sme na našom pracovisku v roku 2007 vytvorili slovenské používateľské rozhranie, ktoré je v súčasnosti súčasťou jeho distribúcie. Domnievame sa, že aj toto prispelo k rozšíreniu programu Hot Potatoes a jeho používaniu na tvorbu testov na Slovensku tak, ako je to napríklad vidieť aj na stránkach [9],[14],[15]. 2. Interaktívny test pre žiakov 4.ročníka ZŠ. Testy z matematiky, ktoré v tejto časti budeme prezentovať, boli vytvorené programom Hot Potatoes [6] a sú určené predovšetkým pre žiakov 4. ročníka ZŠ. Boli

172

vytvorené ako súčasť seminára „Tvorba interaktívnych počítačových testov pomocou programu HOT POTATOES“, kde v rámci súťaže o najlepší súbor testov získali prvé miesto. Ich autorkou je Viera Čentešová, súčasná študentka magisterského štúdia Učiteľstva pre primárne vzdelávanie na Pedagogickej fakulte Trnavskej univerzity. Súbor testov s názvom „Mach a Šebestová skúšajú“ pozostáva z desiatich monotematických testov. Sú to: 1. Násobenie a delenie, 2. Geometria, 3. Porovnávanie čísel, 4. Zaokrúhľovanie, 5. Zlomky, 6. Delenie so zvyškom, 7. Sčítanie a odčítanie, 8. Premeny jednotiek, 9. Čísla a ich zápis, 10. Rímske čísla. Testy sú v súčasnosti sú umiestené na stránke: http://pdfweb.truni.sk/testy a v rámci jednej témy sa odlišujú svojou formou. Pri ich tvorbe boli využité všetky možnosti, ktoré softvér Hot Potatoes ponúka. Je tu možné nájsť tu kvíz, doplňovačku, priraďovačku, zoraďovačku a krížovku. Základom tvorby testových otázok sú učebnice matematiky pre 4. ročník ZŠ a učebné osnovy pre 4.ročník. Testy sú konštruované tak, aby rozvíjali kompetencie žiakov v oblasti matematiky, pričom posilňujú návyky v oblasti práce s prirodzenými číslami v obore do 10 000 a znalosť ich využitia na opis a riešenie problémov z reálnej situácie. Pri formulovaní úloh sa kladie dôraz na prácu s číslami, na správnu aplikáciu komutatívnosti a asociatívnosti sčítania a násobenia a tiež na racionalizáciu výpočtov, na zaokrúhľovanie čísiel na desiatky, vykonávanie odhadov a porovnávanie čísel. Každá z desiatich monotematických oblastí obsahuje približne 25 otázok. Napríklad kvíz obsahuje väčšinou 17 úloh a je zostavený tak, že po každom novom načítaní stránky sa ukáže iba limitovaný počet otázok, ktorý je väčšinou nastavený na desať. Otázky sú vyberané náhodne, čím je zabezpečená rôznosť dvoch následne vygenerovaných testov. Toto znemožňuje žiakom odpisovanie správnych odpovedí od svojich susedov. Otázky v kvízoch sú obsahujú väčšinou slovne sformulované úlohy zo života, ktoré sú buď skonštruované ako problémy Macha a Šebestovej alebo otázky, ktorými sa oni obracajú na svojich poradcov – žiakov. Na niektoré otázky žiaci odpovedajú výberom jedinej správnej odpovede z ponúkaných možných odpovedí, kedy žiaci odpovedajú stlačením správneho tlačidla znázorňujúceho „?“. Pri odpovediach na otázky s viacerými správnymi odpoveďami žiaci označujú správne odpovede stlačením všetkých tlačidiel - štvorčekov - pri správnych odpovediach. Spomínaná zostava testov obsahuje aj úlohy požadujúce vpísanie krátkej správnej odpovede, aj keď táto forma sa nám však hlavne u mladších žiakov nezdá ako veľmi vhodná. Výnimkou je iba prípad, keď treba do voľného políčka vpisovať číslo. Ak totiž odpoveďou má byť nejaké slovo, musia byť pri tvorbe a zostavovaní testu považované za správne odpovede všetky možnosti slovného vyjadrenia, ktoré vystihujú správnu odpoveď bez ohľadu na interpunkčné znamienka, veľké či malé písmená, a tiež rôzne synonymá. Pri zostavovaní testových úloh tohto typu bola využitá aj tzv. hybridná forma konštrukcie otázok. Táto kombinuje krátku odpoveď (vpísanie riešenia do rámčeka) s výberom odpovede (označenie jednej správnej odpovede vybranej z daných možností). Prakticky to znamená, že v prípade, že žiak na danú otázku neodpovie správne a teda do voľného políčka nevpíše správne slovo, program mu automaticky ponúkne ukáže správne možnosti odpovede. Správnosť zvolenej odpovede žiak overuje po každej odpovedi stlačením tlačidla „Skontroluj“. Program mu takto poskytne okamžitú spätnú väzbu. Dozvie sa dosiahnuté skóre (percentuálne hodnotenie) a aj celkový počet doteraz zodpovedaných otázok. Ak žiak nevie na položenú otázku odpovedať, môže získať pomoc stlačením tlačidla „Pomoc“ za cenu zníženia bodového hodnotenia alebo sa správnu odpoveď dozvie

173

stlačením tlačidla „Ukáž odpoveď“. Navigácia pri testovaní je zabezpečená pomocou tlačidiel znázorňujúcich šípky. Týmto spôsobom si žiak sám riadi priebeh testu, pričom okamžitá spätná väzba spôsobuje stimulujúci a motivujúci efekt. Nájdenie správnej odpovede, a prípadná možnosť opravy so získaním istého, aj keď menšieho množstva bodov, má na žiakov stimulujúci efekt.

Obr. 1. Titulná stránka testov z matematiky pre 4.ročník ZŠ Týmto sa podstatne líši interaktívne overovanie vedomostí od písomného overovania vedomostí, kde žiak zistí výsledky a môže sa zamýšľať nad prípadnými chybami až potom, keď test opraví učiteľ, aj keď v tomto prípade už nie je možné výsledky testu zmeniť. V súčasnom spracovaní testovacieho balíčka „ Mach a Šebestová“, je každá otázka hodnotená samostatne, okrem otázok v kvíze, ktorý je hodnotený ako jeden celok. V budúcnosti plánujeme s využitím programovej jednotky „Masher“, ktorý je súčasťou Hot Potatoes, vytvoriť z každého tematického celku jednu samostatnú testovú jednotku tak, aby žiak po jej skončení mohol dostať celkové hodnotenie za všetky otázky v teste. Plánujeme tiež využiť možnosť voľby rôznej váhy otázok, a testový celok spracovať tak, aby testy spĺňali podmienky reliability a validity. 3. Pilotné overenie testu žiakmi 5. ročníka ZŠ Pilotné overenie testu sme robili na začiatku nového školského roka 2009, preto ho na hodinách informatiky realizovali žiaci dvoch tried piateho ročníka. Na teste sa zúčastnilo 39 žiakov zo 4. Základnej školy v Senici. Po skončení testu a zodpovedaní všetkých testových otázok z jedného monotematického celku, žiaci dostali dotazník s otázkami týkajúcimi sa zvolenej metódy testovania a tiež názoru na testovacie prezentované testovacie prostredie „ Mach a Šebestová skúšajú“. Na otázku, či sa žiakom viac páči forma overovania vedomostí pomocou počítača viac ako klasická papierová forma, odpovedalo pozitívne 87%, negatívne 5% a 8% žiakov v tom nevidelo rozdiel. Pritom viac ako 2/3 žiakov deklarovalo jasný záujem vyskúšať si testy aj doma, a asi štvrtina sa vyjadrila, že si testy asi doma vyskúšajú a iba dvaja žiaci z opýtaných nemali záujem o domácu prácu s testami. To, čo žiakom na testovaní najviac chýbalo, bolo ocenenie a ohodnotenie ich výsledku zo strany učiteľa. Aj keď mali informáciu o čiastkovom hodnotení, predsa im celkové hodnotenie chýbalo. Ako sme už spomínali, tento nedostatok plánujeme v ďalšej verzii testov odstrániť.

174

4. Záver V našej práci sme prezentovali súbor testov z učiva matematiky pre žiakov 4. ročníka základných škôl. Okrem opisu testovacieho prostredia „Mach a Šebestová skúšajú“ sme prezentovali výsledok výskumu urobeného po skončení pilotného testovania, vykonaného na vzorke žiakov piateho ročníka. Testovací súbor bude v prepracovanej podobe začlenený do väčšej banky testov s názvom „Vieš, čo vieš?. Pripravovaný internetový portál bude bezplatný, otvorený, netradične spracovaný a bude poskytovať možnosť online overovania vedomostí žiakov základných škôl. 5. Poďakovanie Naše poďakovanie patrí študentke Viere Čentešovej za realizáciu testovacieho celku a tiež za poskytnutie výsledkov výskumu na ZŠ. Článok vznikol vďaka podpore projektu KEGA č. 175-006TVU-4/2010. Literatúra [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16]

BÁLINT, Ľ., 1995. Učebné osnovy matematiky pre 1. stupeň základnej školy. BERO, P., PYTLOVÁ, Z., 2000. Matematika pre 4. ročník ZŠ - učebnica. Bratislava:Orbis Pictus Istropolitana, ISBN 80-7158-270-0. BINTEROVÁ, H., 2005 – 2007. Vyučování matematice z pohledu dnešní doby. Výzkumný ústav pedagogický v Praze, ISSN 1802-4785. BURJAN, V., 2005. Tvorba a využívanie školských testov v pedagogickej praxi. Metodicko-pedagogické centrum v Bratislave, ISBN 80-8052-228-6. GAJDUŠEK, J. 2001. Testy, ich tvorba a využitie. http://kekule.science.upjs.sk/fyzika/didaktika/06.htm http://hotpot.uvic.ca/ KOMENDA, S., ZAPLETALOVÁ, J., 1996. Analýza didaktického testu. Olomouc. LAPITKA, M., 1988. Tvorba a použitie didaktických testov. Bratislava. MEGYESIOVÁ, M., 2010. http://www.megym.wbl.sk/ TUREK, I., 1995. Didaktické testy. Bratislava, MPC. RHEINBERG, F., MAN, F., MAREŠ, J., 2001. Ovplyvňovanie učebnej motivácie žiakov. Pedagogika, 51. ROSA, V., 2007. Metodika tvorby didaktických testov. Bratislava SPN, 72 s. ISBN 978-80-89225-32-3. http://www.skolahrou.sk/index.php POLÁČIKOVÁ, K., 2010. http://www.supermatematika.wbl.sk/Uvod.html TOMKOVÁ, E., 2010. http://www.zsmalinovpart.edu.sk/matika/testy.htm UHLÍŘOVÁ, M., 2004. Prijali učitelé počítač? E-pedagogium (on-line), 2004, roč. 4, č.1, ISSN1213-749. http://epedagog.upol.cz/epedl.2004/index.html

Kontaktná adresa doc. RNDr. Mária Lucká, PhD. Pedagogická fakulta TU Priemyselná 4, P.O.BOX 9 91843 Trnava, Slovenská republika Phone: +421 33 5514618-535 E-mail: [email protected]

175

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

DIAGNOSTIKA STAVU VEDOMOSTÍ ŽIAKOV 3. A 5. ROČNÍKA ZŠ Z MATEMATIKY Mária LUCKÁ, Martin MALČÍK, Milan POKORNÝ, Libuše ŠVECOVÁ Abstrakt V prvej časti článku stručne charakterizujeme projekt s názvom „Diagnostika stavu znalostí a dovedností žáků v česko-slovenské příhraniční oblasti se zaměřením na jejich rozvoj”, ktorý je spoločným ERDF projektom Metodického a evaluačného centra, o.p.s., Ostravskej univerzity v Ostrave a Trnavskej univerzity v Trnave. V druhej časti článku opisujeme testované schopnosti žiakov 3. a 5. ročníka ZŠ z matematiky a analyzujeme dosiahnuté výsledky v jednotlivých oblastiach, pričom porovnávame dosiahnuté výsledky žiakov ČR a SR a taktiež výsledky chlapcov a dievčat. KNOWLEDGE DIAGNOSTICS OF THE THIRD AND FIFTH GRADE PUPILS AT BASIC SCHOOLS IN MATHEMATICS Abstract In the first part of the paper we briefly characterize the ERDF project “Knowledge and skills diagnostics of scholars in the Czech-Slovak borders area focused on their development”, which is being solved in cooperation of Methodical and Evaluative Centre, o.p.s., Ostrava University in Ostrava and Trnava University in Trnava. In the second part of the paper we describe tested skills in mathematics with the third and fifth grade pupils at basic schools and analyze the results in individual fields comparing the achieved results of pupils in the Czech Republic and Slovakia and at the same time the results of boys and girls.

1. O projekte Projekt „Diagnostika stavu znalostí a dovedností žáků v česko-slovenské příhraniční oblasti se zaměřením na jejich rozvoj“ patrí do operačného programu cezhraničnej spolupráce ČR – SR na roky 2007 – 2013. Projekt je financovaný z Programu prihraničnej spolupráce Česká republika − Slovenská republika a z fondu Európskej únie ERDF (Európsky fond regionálneho rozvoja, Spoločne bez hraníc). Riešenie projektu sa začalo 1.7.2008, pričom na jeho riešení spolupracovali Metodické a evaluačné centrum, o.p.s., Ostravská univerzita v Ostrave a Univerzita Konštantína Filozofa v Nitre. V priebehu mesiaca augusta 2009 bola Pedagogická fakulta Trnavskej univerzity kontaktovaná riešiteľským kolektívom projektu z Ostravskej univerzity v Ostrave a Metodického a evaluačného centra, o.p.s. ohľadom možnosti zapojenia Trnavskej univerzity do projektu namiesto dovtedajšieho hlavného cezhraničného partnera, ktorým bola Univerzita Konštantína Filozofa v Nitre. Po nutnej sérii administratívnych

176

a organizačných krokov prišlo k navrhovanej zmene hlavného cezhraničného partnera a na projekte ďalej spolupracovali Metodické a evaluačné centrum, o.p.s., Ostravská univerzita v Ostrave a Trnavská univerzita. V rámci riešenia projektu plánujeme overovať vstupné a výstupné vedomosti žiakov 3., 5. a 7. ročníka ZŠ a 1. a 3. ročníka SŠ v matematike, materskom jazyku, cudzom jazyku (anglickom alebo nemeckom) a prírodovednom základe (biológia, chémia, fyzika), identifikovať problémové body vo vzdelávaní, navrhnúť zmeny v didaktických prístupoch, realizovať školenia pre učiteľov formou e-learningu, usporiadať konferencie pre učiteľov a implementovať didaktické prístupy do vzdelávacieho procesu s vyhodnotením relatívneho prírastku vedomostí a zručností. 2. Testovanie vstupných zručností žiakov Jednou z prvých veľmi dôležitých aktivít projektu bolo práve zistenie úrovne vstupných vedomostí a zručností žiakov 3., 5. a 7. ročníka ZŠ a 1. ročníka SŠ, ktorého realizácia začala pilotným testovaním v apríli 2009 a od mája 2009 pokračovala ostrým testovaním. Testy merali úroveň vedomostí a zručností žiakov v kľúčových oblastiach. Rámcový vzdelávací program základného vzdelávania (ďalej RVP ZV) a rámcové vzdelávacie programy stredného vzdelávania v Českej republike obsahujú v jednotlivých vzdelávacích oblastiach ako výstupy žiaka iba jeho zručnosti. Testovanie úrovne zručností žiakov bolo vykonané pre tri vzdelávacie oblasti rámcových vzdelávacích programov a to pre oblasti: • Jazyk a jazyková komunikácia (Český jazyk a literatúra, Cudzí jazyk), • Matematika a jej aplikácie – vzdelávacia oblasť je súčasne vzdelávacím odborom, • Človek a príroda – vzdelávacie odbory: Fyzika, Chémia, Prírodopis a Zemepis. Pritom vzdelávací odbor Zemepis nebol predmetom testovania. Celé testovanie prebiehalo elektronickou formou, to znamená, že žiaci nikam necestovali, ale prostredníctvom Internetu vyplnili testy z matematiky, materinského jazyka, cudzieho jazyka a prírodovedného základu. Obrovskou výhodou takéhoto spôsobu realizácie testovania bola možnosť zapojenia veľkej vzorky žiakov, významná pomoc výpočtovej techniky pri vyhodnocovaní a analyzovaní výsledkov a možnosť spracovať a odovzdať výsledky testov takmer okamžite, až na výsledný percentil. Našou snahou bolo, aby testovanie nielen konštatovalo aktuálny stav, ale aby poskytovalo žiakom, rodičom, učiteľom a vedeniu školy cenné informácie, ktoré by mohli využiť pre skvalitnenie výučby a domácej prípravy na vyučovanie. Pri príprave testovacieho prostredia boli podrobne analyzované dve možnosti zobrazovania testov – podľa jednotlivých úloh alebo rolovacím spôsobom podľa predmetov. Nakoniec bol zvolený spôsob rolovania príkladov po jednom až troch blokoch v jednotlivých predmetoch, čo umožnilo žiakom vnímať kontext celého testu a prípadne sa vracať k už vyriešeným úlohám. Veľká pozornosť bola tiež venovaná práci s časom. Doba riešenia úloh v jednotlivých predmetoch bola ohraničená a žiaci prostredníctvom zmenšujúcej sa úsečky videli, koľko času im zostáva. Pokiaľ test realizoval žiak s diagnostikovanými špeciálnymi vzdelávacími potrebami, bolo možné čas zdvojnásobiť. Výsledky testov sa ukladali po blokoch pre prípad, že by z nejakého dôvodu došlo k prerušeniu dodávky elektrickej energie a tak prerušeniu testovania, aby žiak mohol pokračovať v riešení po poslednom uloženom výsledku v bloku.

177

Na základe analýzy výsledkov budú v rámci projektu vytvorené didaktické materiály pre žiakov, rodičov a učiteľov. Na vstupné testovanie bude s odstupom dvoch rokov nadväzovať výstupné testovanie, aby sme mohli zistiť veľkosť relatívneho prírastku vo vedomostiach žiakov. 3. Analýza výsledkov vstupného testovania žiakov 3. ročníka ZŠ z matematiky Testovanie sa uskutočnilo na vzorke 1 592 žiakov, z ktorých bolo 527 dievčat z ČR, 579 chlapcov z ČR, 289 dievčat zo SR a 197 chlapcov zo SR. Pre účely tohto článku budeme pod českými žiakmi rozumieť žiakov Moravsko-sliezskeho kraja a pod slovenskými žiakmi žiakov Trnavského, Trenčianskeho a Žilinského kraja. Žiaci riešili test pozostávajúci z desiatich úloh, ktoré boli zamerané na testovanie deviatich dôležitých matematických schopností.

chlapci dievčatá SR ČR všetci žiaci 0%

20%

40%

60%

80%

100%

Graf. č. 1: Celková úspešnosť žiakov 3. ročníka vo vstupnom teste Priemerná úspešnosť všetkých žiakov bola 74,3%. Priemerná úspešnosť chlapcov bola 74,6% a dievčat 74,1%. Pri testovaní nulovej hypotézy „Medzi priemernou úspešnosťou chlapcov a dievčat 3. ročníka ZŠ v teste z matematiky nie je signifikantný rozdiel.“ pomocou t-testu je pravdepodobnosť omylu v prípade zamietnutia nulovej hypotézy 57,6%, preto túto hypotézu prijímame. Priemerná úspešnosť žiakov z ČR bola 72,5% a zo SR 78,6%. Pri testovaní nulovej hypotézy „Medzi priemernou úspešnosťou českých a slovenských žiakov 3. ročníka ZŠ v teste z matematiky nie je signifikantný rozdiel.“ pomocou t-testu je pravdepodobnosť omylu v prípade zamietnutia nulovej hypotézy menej ako 0,1%, preto túto hypotézu zamietame. Celková úspešnosť žiakov 3. ročníka je zobrazená na grafe č. 1. Z dôvodu limitovaného rozsahu článku si rozdelíme úlohy do dvoch skupín. Do prvej skupiny zaradíme úlohy, pri riešení ktorých vykonávame najmä operácie sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie a ktoré nemajú nematematický kontext. Do druhej skupiny zaradíme slovne zadané úlohy prevažne s nematematickým kontextom. Úspešnosť žiakov 3. ročníka v jednotlivých skupinách je zobrazená na grafoch č. 2 a 3. Z týchto grafov vidno, že najväčší rozdiel medzi slovenskými a českými žiakmi bol práve v riešení úloh z prvej skupiny. Rozdiely pri riešení slovne zadaných úloh sú výrazne menšie. Ak si všimneme výsledky dievčat a chlapcov vidíme, že dievčatá boli úspešnejšie pri riešení úloh prvej skupiny, zatiaľ čo chlapci boli úspešnejší pri riešení slovne zadaných úloh.

178

chlapci dievčatá SR ČR všetci žiaci 0%

20%

40%

60%

80%

100%

Graf. č. 2: Celková úspešnosť žiakov 3. ročníka vo vstupnom teste v úlohách, pri riešení ktorých vykonávame najmä operácie sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie a nemajú nematematický kontext

chlapci dievčatá SR ČR všetci žiaci 0%

20%

40%

60%

80%

100%

Graf. č. 3: Celková úspešnosť žiakov 3. ročníka vo vstupnom teste v slovne zadaných úlohách

4. Analýza výsledkov vstupného testovania žiakov 5. ročníka ZŠ z matematiky Testovanie sa uskutočnilo na vzorke 1 827 žiakov, z ktorých bolo 617 dievčat z ČR, 606 chlapcov z ČR, 329 dievčat zo SR a 275 chlapcov zo SR. Žiaci riešili test pozostávajúci z 15 úloh, ktoré boli zamerané na testovanie deviatich dôležitých matematických schopností. Priemerná úspešnosť všetkých žiakov bola 55,4%. Priemerná úspešnosť chlapcov bola 55,9% a dievčat 54,9%. Pri testovaní nulovej hypotézy „Medzi priemernou úspešnosťou chlapcov a dievčat 5. ročníka ZŠ v teste z matematiky nie je signifikantný rozdiel.“ pomocou t-testu je pravdepodobnosť omylu v prípade zamietnutia nulovej hypotézy 27,8%, preto túto hypotézu prijímame. Priemerná úspešnosť žiakov z ČR bola 54,0% a zo SR 58,2%. Pri testovaní nulovej hypotézy „Medzi priemernou úspešnosťou českých a slovenských žiakov 5. ročníka ZŠ v teste z matematiky nie je signifikantný rozdiel.“ pomocou t-testu je pravdepodobnosť omylu v prípade zamietnutia nulovej hypotézy menej ako 0,1%, preto túto hypotézu zamietame. Celková úspešnosť žiakov 5. ročníka je zobrazená na grafe č. 4.

179

chlapci dievčatá SR ČR všetci žiaci 0%

20%

40%

60%

80%

100%

Graf. č. 4: Celková úspešnosť žiakov 5. ročníka vo vstupnom teste chlapci dievčatá SR ČR všetci žiaci 0%

20%

40%

60%

80%

100%

Graf. č. 5: Celková úspešnosť žiakov 5. ročníka vo vstupnom teste v úlohách, pri riešení ktorých vykonávame najmä operácie sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie a nemajú nematematický kontext chlapci dievčatá SR ČR všetci žiaci 0%

20%

40%

60%

80%

100%

Graf. č. 6: Celková úspešnosť žiakov 5. ročníka vo vstupnom teste v slovne zadaných úlohách Rovnako ako pri žiakoch 3. ročníka, aj teraz si rozdelíme úlohy do dvoch skupín. Úspešnosť žiakov 5. ročníka v jednotlivých skupinách je zobrazená na grafoch č. 5 a 6. Z týchto grafov je vidieť, že rozdiel medzi slovenskými a českými žiakmi bol opäť väčší v úspešnosti riešenia úloh z prvej skupiny. Na rozdiel od žiakov 3. ročníka, v 5. ročníku boli chlapci úspešnejší ako dievčatá pri riešení úloh z oboch skupín. Článok vznikol vďaka podpore projektu „Diagnostika stavu znalostí a dovedností žáků v česko-slovenské příhraniční oblasti se zaměřením na jejich rozvoj“, financovanému z Programu prihraničnej spolupráce Česká republika − Slovenská republika a z fondu ERDF Európskej únie (Európsky fond regionálneho rozvoja, Spoločne bez hraníc).

180

EVROPSKÁ UNIE EVROPSKÝ FOND PRO REGIONÁLNÍ ROZVOJ SPOLEČNĚ BEZ HRANIC

Literatúra [1] MALČÍK, M., ŠVECOVÁ, L. Educational Management Optimization Modeled on the Outcomes of Electronic Testing. In Proceedings Information and Communication Technology in Education. Rožnov pod Radhoštěm :University of Ostrava, 2009. [2] MALČÍK, M., ORZELOVÁ, L. Elektronická podpora měření výsledků vzdělávání. In Soft kompetence v informační společnosti. Ostrava: Ostravská univerzita 2008. s. 101-107. ISBN 978-80-7368-513-3. [3] KONÍČEK, L., MALČÍK, M., MAŤAŠEJE, H., MAZUROVÁ, V. Evaluace výsledků vzdělávání. Ostrava: Ostravská univerzita v Ostravě, 2007. ISBN 978-807348-342-9.

Kontaktná adresa doc. RNDr. Mária Lucká, PhD. Pedagogická fakulta TU Priemyselná 4, P.O.BOX 9 91843 Trnava, Slovenská republika Phone: +421 33 5514618 E-mail: [email protected]

RNDr. Martin Malčík, Ph.D. Pedagogická fakulta OU Reální 5 701 03 Ostrava, Česká republika Phone: +420 597 092 509 E-mail:[email protected]

PaedDr. Milan Pokorný, PhD. Pedagogická fakulta TU Priemyselná 4, P.O.BOX 9 91843 Trnava, Slovenská republika Phone: +421 33 5514618 E-mail: [email protected]

RNDr. Libuše Švecová, Ph.D. Metodické a evaluační centrum, o.p.s. Bráfova 5 701 03 Ostrava, Česká republika Phone: +420 597 091 197 E-mail: [email protected]

181

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

PRIESTOR A TVAR – POHĽAD NA MATEMATICKÚ GRAMOTNOSŤ ŠTUDENTOV ODBORU PREDŠKOLSKÁ A ELEMENTÁRNA PEDAGOGIKA Marek MOKRIŠ Abstrakt Jednou zo súčastí riešenia vedeckého projektu VEGA MŠ a SAV 1/0192/08 Analýza matematickej prípravy študentov odboru Predškolskej a elementárnej pedagogiky z pohľadu rozvoja matematickej gramotnosti je diagnostika úrovne matematickej gramotnosti študentov – budúcich učiteľov pri vstupe na vysokú školu. V príspevku sú analyzované výsledky riešenia úlohy z matematickej oblasti priestor a tvar. SPACE AND SHAPE – VIEW OF MATHEMATICAL LITERACY OF UNDERGRADUATE STUDENTS IN THE FIELD OF PRE-SCHOOL AND ELEMENTARY EDUCATION Abstract Diagnostics of the level of mathematical literacy attained by the undergraduate trainees at the outset of their study is one of the aims of the scientific project VEGA MŠ a SAV 1/0192/08 Analysis of mathematical preparedness of the students of Pre-school and Elementary Education from the aspect of mathematical literacy. The paper provides an analysis of task solving in the following area of mathematics space and shape.

1. Charakteristika prieskumu a testovej položky V akademickom roku 2008/2009 bol na Pedagogických fakultách UMB v Banskej Bystrici, PU v Prešove a TU v Trnave realizovaný prieskum, ktorý sa venoval matematickej gramotnosti denných študentov 1. ročníka odboru Predškolská a elementárna pedagogika. Podrobnejšiu charakteristiku projektu uvádza P. Klenovčan (2009). V tomto príspevku sa budeme venovať druhej testovej položke (informácie o ostatných testových položkách je možné nájsť v článku Ľ. Gerovej, 2009), ktorá mala nasledovný tvar:

182

Stavebnica Samko mal samolepky tvaru štvorca so stranou 3 cm. Na obrázkoch vidíte stavbičky z kociek s dĺžkou hrany 3 cm, ktoré si postavil.

Otázka 1: Koľko samolepiek použil, ak oblepil všetky steny stavbičky na obrázku A? Otázka 2: Koľko samolepiek použil, ak oblepil všetky steny „deravej“ stavbičky na obrázku B (aj zvnútra)? Otázka 3: Koľko samolepiek použil, ak oblepil všetky steny stavbičky, ktorú postavil z dvoch „deravých“ kociek (ako na obrázku B), položených presne na seba s otvorom dopredu? Otázka 4: Koľko samolepiek použil, ak oblepil všetky steny stavbičky zloženej z 10 „deravých“ kociek (ako na obrázku B), položených presne na seba s otvorom dopredu? Informácie o úlohe (Gerová, 2009): škola alebo zamestnanie, voľný čas Situácia priestor a tvar; zmena, vzťahy a závislosť (otázka č. 4) Obsah Kompetencie a úroveň • otázky č. 1, 2 –matematické myslenie; reprodukcia • otázka č. 3 – reprezentácia; prepojenie • otázka č. 3 – modelovanie; prepojenie upravená úloha z MOZ4-II-2 (1985/86), s. 75 Zdroj 6 bodov Hodnotenie povrch kocky, funkcie Súvis s učivom ZŠ 2. Štatistická analýza výsledkov riešenia úlohy Dosiahnutú úspešnosť v riešení úlohy U2 charakterizujeme prostredníctvom nástrojov popisnej štatistiky. Skúmanou premennou boli: miesto štúdia (Banská Bystrica, Prešov, Trnava) a typ absolvovanej strednej školy (A – gymnázium, B – stredná pedagogická škola, C – stredná priemyselná škola, D – stredná odborná škola). Namerané údaje sú uvedené v nasledujúcich tabuľkách. Miesto štúdia Banská Bystrica Prešov Trnava spolu

N platných

87 129 39 255

Popisná štatistika Početnosť Modus módu

Maximum

Sm. odch.

0

6

2,2298

2,3333 2 1 32 0 Viacnásobný 2,2308 2 9 0 2,360784 2 0 65 0 Tab. 1.: Popisná štatistika – miesto štúdia študentov

6 6 6

2,2442 2,0191 2,1995

Priemer

Medián

2,4598

2

0

183

25

Minimum

Hodnoty aritmetického priemeru dosiahnutého skóre v testovacej položke nasvedčujú, že typ absolvovanej strednej školy by mohol ovplyvňovať úspešnosť študentov v riešení úlohy. Typ absolvovanej strednej školy A B C D spolu

N platných

Priemer

Medián

Popisná štatistika Početnosť módu

Modus

Minimum

62 3,2581 3 6 20 0 92 2,0217 1 0 27 0 74 2,3108 2 0 18 0 Viacnásobný 27 1,5926 1 9 0 255 2,3608 2 0 65 0 Tab. 2.: Popisná štatistika – typ absolvovanej strednej školy

Maximum

Sm. odch.

6 6 6 6 6

2,3395 2,0807 2,1829 1,7155 2,1995

Na overenie vplyvu miesta štúdia a typu absolvovanej strednej školy na hodnotu dosiahnutého priemerného skóre sme použili jednosmernú analýzu rozptylu. Na hladine významnosti α=0,05% bola závislou premennou hodnota skóre v testovacej položke (U2) a kategoriálne premenné boli miesto štúdia a typ absolvovanej strednej školy. Prostredníctvom ANOVA (Tab. 3) bol za významný faktor označený typ absolvovanej strednej školy. Miesto štúdia ani vzájomná interakcia miesta štúdia a typu absolvovanej strednej školy nebola preukázaná. Efekt SČ Stupně volnosti PČ MESTO 1,20 2 0,60 TYP ŠKOLY 84,03 3 28,01 MESTO*TYP ŠKOLY 19,02 6 3,17 Tab. 3: Viacfaktorová analýza rozptylu

F 0,129 6,012 0,681

p 0,879 0,001* 0,666

Test významnosti nám však nevypovedá, ktorý z typov absolvovanej strednej školy sa od ostatných líši v hodnote dosiahnutého priemerného skóre. Na zistenie danej skutočnosti sme použili Scheffeho post-hoc test (Tab. 4).

Tab. 4: Scheffeho post-hoc test – typ strednej školy

Táto tabuľka zobrazuje štatistickú významnosť rozdielov priemerov iba medzi skupinami A-B (p=0,007801) a skupinami A-D (p=0,011890). Možno teda vysloviť záver, že absolventi gymnázia dosiahli v sledovanej položke lepšie výsledky ako absolventi strednej pedagogickej a strednej odbornej školy, zatiaľ čo výsledky absolventom strednej priemyselnej školy sa od ostatných štatisticky významne nelíšia. Výsledky získané prostredníctvom Scheffeho testu sme konfrontovali so závermi neparametrického Mann-Whitneyho U-testu. Ten preukázal signifikantný rozdiel (na hladine významnosti α = 5%) medzi dosiahnutým skóre v testovacej úlohe nielen medzi

184

študentmi gymnázia a strednej pedagogickej a strednej odbornej školy (A-B, p=0,001402; A-D, p=0,002440), ale aj medzi študentmi gymnázia a absolventmi strednej priemyselnej školy (A-C, p=0,018939). Štatistický významný rozdiel medzi absolventmi ostatných typov stredných škôl (B, C, D) navzájom nebol preukázaný. Zistené závery možno podložiť aj nasledujúcim grafom, v ktorom študenti gymnázia (typ strednej školy A) majú vyššiu priemernú úspešnosť v riešení úlohy vo všetkých sledovaných miestach štúdia. Aj na základe toho usudzujeme, že typ absolvovanej strednej školy ovplyvňuje úspešnosť riešenia úlohy.

Dané výsledky naznačujú, že na pedagogické fakulty prichádzajú študenti, z pohľadu matematickej gramotnosti v oblasti geometria a tvar, rôzne disponovaní. Z tohto dôvodu by bolo vhodné na jednotlivých fakultách integrovať do profesijnej prípravy budúcich absolventov študijného programu Predškolská a elementárna pedagogika disciplínu, ktorej cieľom by bolo odstránenie rozdielov v úrovni matematickej gramotnosti v závislosti od typu absolvovanej strednej školy. K analogickým záverom došla aj analýza ostatných testových položiek (M. Gombár – M. Mokriš – V. Zeľová, 2009; V. Zeľová – M. Gombár, v tomto zborníku; I. Scholtzová, v tomto zborníku). Potrebu a význam takýchto vstupných meraní na začiatku profesijnej prípravy budúcich učiteľov pre predprimárnu a primárnu edukáciu zdôrazňujú aj M. Mokriš a I. Scholtzová (2008) z dôvodu, že „analýza získaných poznatkov je východiskom pre vytvorenie optimálnej štruktúry matematického vzdelávania budúcich učiteľov pre predprimárnu a primárnu edukáciu s cieľom dosiahnutia maximálnych vzdelávacích efektov“. Perspektívnou metódou pri odstraňovaní nehomogenity v úrovni matematickej gramotnosti by mohlo byť aj využívanie nástrojov elektronickej podpory vzdelávania. Aj podľa Ľ. Gerovej a P. Klenovčana (2008) by doplňujúce elektronické kurzy mohli kompenzovať znížený rozsah výučby.

185

Príspevok bol spracovaný ako súčasť grantového projektu Analýza matematickej prípravy študentov odboru Predškolskej a elementárnej pedagogiky z pohľadu rozvoja matematickej gramotnosti. (MŠ SR VEGA 1/0192/08). Literatúra 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. 8.

GEROVÁ, Ľ. Úlohy pre zisťovanie úrovne matematickej gramotnosti. In Matematika z pohľadu primárneho vzdelávania. Zborník príspevkov z konferencie s medzinárodnou účasťou. 1. vyd. Banská Bystrica: Univerzita Mateja Bela, 2009. s. 50 – 57. ISBN 978-80-8083-742-6. GEROVÁ, Ľ. - KLENOVČAN, P. Možnosti rozvíjania matematickej gramotnosti študentov predškolskej a elementárnej pedagogiky. In MATEMATIKA 3. Matematické vzdělávání z pohledu žáka a učitele primární školy. Sborník z konference s mezinárodní účastí. ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS. FACULTAS PAEDAGOGICA. MATHEMATICA VI. 1. vyd. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2008. s. 91 – 95. ISBN 978-80-2441963-3. GOMBÁR, M. – MOKRIŠ, M. – ZEĽOVÁ, V. Analýza úrovne matematickej gramotnosti študentov Predškolskej a elementárnej pedagogiky – oblasť kvantita. In Matematika z pohľadu primárneho vzdelávania. Zborník príspevkov z konferencie s medzinárodnou účasťou. 1. vyd. Banská Bystrica: Univerzita Mateja Bela, 2009. s. 58 – 62. ISBN 978-80-8083-742-6. KLENOVČAN, P. Matematická gramotnosť študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika. In Matematika z pohľadu primárneho vzdelávania. Zborník príspevkov z konferencie s medzinárodnou účasťou. 1. vyd. Banská Bystrica: Univerzita Mateja Bela, 2009. s. 97 – 101. ISBN 978-80-8083-742-6. MOKRIŠ, M. Matematická gramotnosť študentov na začiatku ich profesijnej učiteľskej prípravy. In MATEMATIKA 3. Matematické vzdělávání z pohledu žáka a učitele primární školy. Sborník z konference s mezinárodní účastí. ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS. FACULTAS PAEDAGOGICA. MATHEMATICA VI. 1. vyd. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2008. s. 178 – 183. ISBN 978-80-244-1963-3. MOKRIŠ, M. – SCHOLTZOVÁ, I. Matematická gramotnosť študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika na začiatku profesijnej prípravy. In ACTA MATHEMATICA 11. Zborník zo VI. Nitrianskej matematickej konferencie. 1. vyd. Nitra: Fakulta prírodných vied UKF v Nitre, 2008. s. 159 – 164. ISBN 978-808094-396-7. SCHOLTZOVÁ, I. Niektoré aspekty matematickej gramotnosti študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika. In V tomto zborníku, 2010. ZEĽOVÁ, V. – GOMBÁR, M. Zmena, vzťahy, závislosť – pohľad na matematickú gramotnosť študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika. In V tomto zborníku, 2010.

Kontaktní adresa Mgr. Marek Mokriš, PhD. Prešovská univerzita, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej edukácie 17. novembra 15, 081 16 Prešov, Slovensko Telefon: +421 51 7470544 E-mail: [email protected]

186

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

O DOBRYCH WYNIKACH I BŁĘDNYCH ROZWIĄZANIACH ZADAŃ Barbara NAWOLSKA Abstrakt W artykule zaprezentowane są przykłady zadań i pomysły ich rozwiązania. Dane w zadaniach są takie, że prowokują niepoprawne działania. Mimo tych niepoprawności, uzyskane wyniki są dobre. Dlatego rozwiązujący są przekonani o słuszności wybranej strategii. Dopiero zmiana danych zadania, sprawia, że można zauważyć nieracjonalność wcześniejszego postępowania. OF CORRECT RESULTS TO INCORRECT SOLUTIONS OF PROBLEMS Abstract This article shows a series of example problems and ideas leading to their solutions. The initial data of these problems provokes the use of improper operations. Despite this, the calculated results are good. This is why the person solving the problems is convinced the chosen strategy is correct. It is only when the initial data is modified that one can notice the irrationality of the earlier approach. Wstęp Podczas wielotetniej pracy z dziećmi i studentami, i analizy ich umiejetności w zakresie rozwiązywania zadań tekstowych, udało mi się zaobserwować przypadki, w których, moim zdaniem, kolejność rozwiązywanych zadań oraz dobór danych w zadaniu może mieć wpływ na sposób rozwiązania. Zilustruję to na kilku przykładach. 1. Zadanie o ciężarówkach Często rozwiązuję ze studentami zadania, których rozwiązanie poprzez symulację da się uogólnić i wykorzystywać w wielu innych lecz analogicznych zadaniach. Jednym z nich jest zadanie: Firma przewozowa ma 7 samochodów ciężarowych o ładowności 10 ton i 2 tony. Ile ma samochodów o ładowności 10 ton a ile o ładowności 2 tony, jeżeli jednorazowo maksymalnie mogą przewieźć 54 tony towaru? Jest to zadanie złożone właściwe. Aby je rozwiązać nie stosując ani równań ani układów równań można zastosować następujacą symulację: ładujemy na wszystkie ciężarówki (a jest ich 7) towar, ale tylko po 2 tony (bo na małe ciężarówki więcej się nie zmieści). W ten sposób załadujemy łącznie 14 ton (7 aut po 2 tony tj. 14 ton). Pozostało nam do załadowania jeszcze 40 ton towaru (54-14=40). Nie możemy go załadować na małe auta, ponieważ one są już maksymalnie wyładowane. Ten towar musimy umieścić na dużych ciężarówkach. Ponieważ na każdej dużej są już 2 tony towaru, to możemy na nie doładować tylko po 8 ton (10-2=8). Zatem wystarczy sprawdzić ile razy 8 mieści się

187

w 40 (40:8=5) i na tyle aut dużych doładujemy po 8 ton. Jest więc 5 aut dużych zaś reszta (7-5=2) to auta małe. Każdorazowo, gdy studenci rozwiązują to zadanie, to pojawiają się, wśród innych, pomysły aby rozdzielić całość towaru po 10 ton (54:10=5 r 4) i następnie proponują rozdzielenie reszty 4 ton po 2 tony, co według nich jest prostą drogą do stwierdzenia, że: jest 5 dużych ciężarówek o ładowności 10 ton i 2 małe o ładowności 2 tony. Myślę, że jest to efekt dobierania rachunków tak, by otrzymać odgadnięty wcześniej wynik. Studenci nie widzą w swoim postępowaniu niczego niewłaściwego i nawet upierają się, że mają rację gdy próbuję zakwestionować ich sposób rozwiązania. Za wszelką cenę przekonują mnie, że skoro ich wyniki spełniają warunki zadania, to rozwiązanie musi być poprawne. Nawet dla wzmocnienia swoich wypowiedzi używają moich własnych słów, że jedno zadanie możemy przecież rozwiązywać różnymi sposobami i każdy poprawny sposób powinien być przez nauczyciela zaakceptowany. A skoro uzyskali dobre wyniki, to sposób jest bezdyskusyjnie dobry. W takich przypadkach proponuję im rozwiązanie zadania analogicznego ze zmienionymi danymi: Firma przewozowa ma 7 samochodów ciężarowych o ładowności 7 ton i 3 tony. Ile ma samochodów o ładowności 7 ton a ile o ładowności 3 tony, jeżeli jednorazowo maksymalnie mogą przewieźć 37 ton towaru? W tej sytuacji sposób przez nich proponowany zawodzi, bo ani dzielenie całości towaru po 3 tony (37:3=12 r 1) ani dzielenie po 7 ton (37:7=5 r 1) do żadnego sensownego rozwiązania nie prowadzi. Przy tych nowych danych widać, że te pomysły dzielenia nie pozwalają na znalezienie odpowiedzi. Zatem pomysłów tych nie da się obronić. 2. Zadanie o zabawkach Innym razem podczas zajęć, poprosiłam studentów pedagogiki o rozwiązanie zadania: W hurtowni było 1030 zabawek zapakowanych do 99 małych i 2 dużych pudeł. W każdym małym pudle było po tyle samo zabawek, w każdym dużym było 2 razy więcej niż w jednym małym. Ile zabawek było w małym a ile w dużym pudle? Jest to również zadanie złożone właściwe, a ponadto występuje w nim porównywanie ilorazowe. Rozwiązanie zadania wymaga zarówno dostrzeżenia wszystkich warunków określających związki między niewiadomymi, umiejętnego ich porównania i wykorzystania efektów porównania jak i rozumienia zwrotu 2 razy więcej. Aby je rozwiązać wystaczy zauważyć, że w dużym pudle mieści się tyle zabawek co w 2 małych, czyli w 2 dużych jest tyle co w 4 małych. „Zamieniając“ w ten sposób duże pudła na 4 małe, mamy łącznie jakby 103 (99+4) małe pudła, po tyle samo zabawek w każdym. Rozdzielając wszystkie zabawki (1030) do tych „małych“ (103) pudeł obliczamy, że w małym jest po 10 (1030:103) zabawek. W dużym zaś 2 razy więcej czyli 20. Taki sposób rozwiązania jest dostępny uczniom klas młodszych. Gdy studenci przedstawili mi swoje rozwiązania, to oprócz poprawnych rozwiązań (takich jak powyżej) lub rozwiązań za pomocą równań, bądź nawet układów równań więc niedostępnych dziecim, pojawiały się rozwiązania, w których dokonywano bezpodstawnie podziału na równe części, choć te części równe nie były. Tak postępowało wielu studentów. Stosowali oni:

188

1) dzielenie wszystkich zabawek między pudła małe: 1030 : 99 = 10 r 40 i stwierdzali, że w małych mieści się po 10 zabawek, zaś w dużych jest ta reszta 40 zabawek czyli po 20 w każdym. 2) dzielenie wszystkich zabawek między wszystkie pudła (99 małych i 2 duże razem 101 pudeł): 1030:101=10 r 20 i stwierdzali, że w każdym jest po 10 a te 20 reszty trzeba rozdzielić po równo do 2 dużych (czyli jeszcze po 10) i będzie w nich łącznie po 20 zabawek. Być może takie postępowanie jest efektem niewłaściwej analogii do zadań o ciężarówkach, a może tylko dobieraniem działań tak, by uzyskać wynik, który łatwo było przewidzieć. Zauważmy, że w żadnym z tych przedstawionych obliczeń nie można było rozdzielać wszystkich zabawek (1030) po równo ani do 99 małych pudeł (bo oprócz tych 99 małych były jeszcze 2 duże) ani do 101 pudeł (bo nie było w nich po tyle samo zabawek). Gdyby dane w zadaniu były inne niż są, nie mielibyśmy szansy, wykonując analogiczne dzielenia, na uzyskania jakiegokolwiek sensownego rozwiązania. Np. rozważmy analogiczne zadanie ze zmienionymi danymi: W hurtowni było 130 zabawek zapakowanych do 5 małych i 4 dużych pudeł. W każdym małym pudle było po tyle samo zabawek, w każdym dużym było 2 razy więcej niż w jednym małym. Ile zabawek było w małym a ile w dużym pudle? Uwzględniajac te nowe dane i stosując sposób zaproponowany przez studentów mamy odpowiednio: 1) dzielenie wszystkich zabawek między pudła małe: 130:5=26 i uzyskany wynik jest bezużyteczny, bo jeśli zastosować analogiczne rozumowanie to w małym jest 26 a w dużym co? może 52 bo ma być 2 razy więcej lecz 5·26+4·52 daje dużo więcej zabawek niż 130! 2) dzielenie wszystkich zabawek między wszystkie pudła (5 małych i 4 duże, razem 9 pudeł): 130:9=14 r 4. Ten wynik też jest bezużyteczny bo jesli zastosować rozumowanie analogiczne jak proponowali studenci to w każdym (małym i dużym) jest po 14 a te 4 zabawki reszty rozdzielone po równo do 4 dużych (czyli po 1) daje wynik 15 zabawek w dużym lecz to nie jest 2 razy wiecej niż w małym! Dopiero przy nowych danych widać, że zaproponowane pomysły nie prowadzą do rozwiązania. Przy nowych danych żaden student nie chciał już wykonywać takich dziwnych obliczeń. 3. Zadanie o naczyniach Kolejnym zadaniem rozwiązywanym (po dłuższej przerwie) przez studentów pedagogiki wczesnoszkolnej, było zadanie następujące: Do 6 małych garnków i 5 dużych stojących na jednej półce zmieści się 65 litrów mleka, a do 3 małych garnków i 4 dużych, które stoją na drugiej półce zmieszczą się 43 litry mleka. Jaka jest pojemność dużego, a jaka małego garnka? Jest to zadanie złożone właściwe. Jego rozwiązanie wymaga dostrzeżenia wszystkich warunków określających związki między niewiadomymi, a także umiejętnego ich porównania i wykorzystania efektów porównania. Ze względu na adresata tego zadania: uczniów klas młodszych; najlepiej do jego rozwiązania wykorzystać symulację rysunkową. Oznaczmy w tym celu małe naczynie małym, a duże dużym prostokątem. Wówczas:

189

na pierwszej półce: ▄ ▄ ▄ ▄ ▄ ▄ █ █ █ █ █ razem 65 litrów, na drugiej półce: ▄▄▄████ razem 43 litry. Porównując te dwa zestawy zauważamy, że na pierwszej półce jest o 22 (65-43) litry mleka więcej niż na drugiej i znajduje się ono w 3 małych i 1 dużym naczyniu. Wykorzystując tę informację i porównując ją z zestawem naczyń na drugiej półce (robimy to analogicznie jak przed chwilą), zauważamy, że na drugiej pólce jest taki zestaw 3 małych naczyń i 1 dużego a ponadto jeszcze kolejne 3 duże; zawierają one łącznie 43 litry. Zatem w 3 dużych mamy 21 (43-22) litrów, co upoważnia nas do wniosku, że w dużym mieści się 7 (21:3) litrów mleka. Pozostaje do wyznaczenia pojemność małego naczynia. Można to zrobić biorąc pod uwagę np. to, że w 3 małych i 1 dużym mieszczą się 22 litry. W dużym mieści się 7, to w 3 małych mieści się 15 (22-7), a stąd prosty wniosek, że w małym mieści się 5 (15:3) litrów i zadanie jest rozwiązane w sposób dostępny uczniom klas młodszych. Studenci, oprócz dobrych rozwiązań, podali zupełnie niepoprawne oraz takie, których nie można uznać za poprawne, mimo dobrego wyniku. Przyjrzyjmy się tym niepoprawnym rozwiązaniom, w których wyniki były dobre. Jedna ze studentek obliczyła, że na jednej z półek jest 11 garnków (6 małych i 5 dużych). Ponieważ mieściło się w nich 65 litrów mleka, więc całość mleka rozdzieliła po równo do tych 11 naczyń (65:11=5 r 10). Uzyskaną resztę 10 litrów rozdzieliła po równo do dużych pięciu naczyń (10:5=2). Następnie stwierdziła, że w dużych mieści się po 7 litrów (5+2=7) zaś w małych tylko po 5. Sprawdziła jeszcze, że ten wynik spełnia warunki zadania. Ten dobry wynik nie jest rezultatem poprawnego rozumowania a jedynie zbiegu przypadków. Zauważmy, że nie miała ona prawa rozdzielać całości (65 l) mleka po równo do 11 naczyń, bo naczynia nie miały jednakowej pojemności. Gdyby ich pojemność była inna niż to jest w zadaniu np. małe mieściłyby po 3 litry zaś duże po 6 litrów, to łącznie byłoby w nich (6·3+5·6) 48 litrów. Rozdzielając 48 na 11 równych części (48:11=4 r 4), a więc postępując tak jak to zrobiła studentka, nie mielibyśmy szansy uzyskania jakiegokolwiek sensownego rozwiązania. Przy nowych danych widać nieracjonalność postępowania studentki. Studentka posłużyła się w istocie fałszywą analogią do zadania o liczbie ciężarówek z podaną ich ładownością. Druga z pań zauważyła że łącznie na obu półkach jest 9 (6+3) małych i 9 (5+4) dużych naczyń, a w nich łącznie 108 (65+43) litrów mleka. Rozdzieliła więc całość mleka po równo do 18 (9+9) naczyń: 108:18=6. Postępowała więc analogicznie jak jej koleżanka, ale nie mając reszty z dzielenie zmieniła dalszą strategię. Stwierdziła, że gdyby naczynia mieściły po tyle samo mleka, to byłoby w nich po 6 litrów. Skoro jednak naczynia różnią się pojemnością, to zabierze po 1 litrze z każdego małego i dołoży ten 1 zabrany litr do każdego dużego. W ten sposób w małych zostanie 5 (6-1) a w dużych będzie 7 (6+1). Następnie, bez sprawdzenia, podała odpowiedź: Pojemność dużego to 7 l a małego 5 l. Ta studentka też bezpodstawnie dokonała podziału na równe części, chociaż równych części wcale nie było i całkiem przypadkowo udało jej się trafić na dobry wynik. Jednak jej pomysł zliczenia wszystkich naczyń małych i dużych nie był zły. Można go wykorzystać. Wystaczy zauważyć, że małych garnków jest tyle samo co dużych (po 9), tworzą więc 9 par (1 mały i 1 duży) a w każdym takim zestawie mieści się tyle samo mleka. Wystarczy łączną ilość mleka ze wszystkich garnków (65+43) a więc 108 litrów rozdzielić na 9 takich części. Wówczas wiemy, że w takim zestawie jest łącznie 12 l mleka (108:9=12). Na drugiej półce mamy 3 takie zestawy (tworzą go 3 małe i 3 duże garnki) i jeszcze jeden duży garnek. W tych 3 zestawach jest

190

3·12=36 litrów, więc w tym pozostałym dużym garnku jest 43-36=7 litrów a w małym jest 12-7=5 litrów i zadanie jest rozwiązane. Wróćmy do sposobu rozwiązania zaprezentowanego przez tę studentkę, w którym bezpodstawnie dokonała podziału całości (108 l) mleka po równo do 18 naczyń. Gdyby ich pojemność była inna niż to jest w zadaniu np. małe mieściłyby po 3 litry zaś duże po 7 litrów, to łącznie byłoby w nich (9·3+9·7) 90 litrów. Rozdzielając 90 na 18 równych części (90:18=5), i dalej postępując tak jak to zrobiła studentka (zabierając litr z małego (5-1=4) i dokładając go do dużego (5+1=6), nie mielibyśmy szansy uzyskania wyniku spełniającego warunki zadania. Przy nowych danych widać uchybienia w postępowania studentki. Trzecia osoba porównała zawartość obu półek i określiła różnicę między nimi. Słusznie wywnioskowała, że w 3 małych i 1 dużym są łącznie 22 litry. Jednakże dalej już postępowała inaczej. Tę ilość mleka (22 l) rozdzieliła, bezpodstawnie, po równo na 4 części (22:4=5 r 2) po czym stwierdziła, że wobec tego w małym musi się mieścić 5 l zaś w dużym 7 (5 i reszta 2). Sprawdziła, że uzyskane przez nią liczby spełniają warunki zadania i udzieliła odpowiedzi. Gdyby ich pojemność była inna niż to jest w zadaniu np. małe mieściłyby po 3 litry zaś duże po 7 litrów, to na pierwszej półce w 6 małych i 5 dużych byłoby łącznie 53 litry, zaś na drugiej półce byłoby łącznie (3·3+4·7) 37 litrów mleka. Różnica między półkami to 3 małe i 1 duży o łącznej pojemności 16 (53-37) litrów. Rozdzielając 16 litrów na 4 mamy wynik (16:4=4), którego nie da się wykorzystać tak jak to zrobiła studentka Zakończenie Przytoczone przykłady rozwiązań są prawdopodobnie aplikacją sposobu wcześniej poznanego. Zgodnie z psychologicznym pojęciem transferu, to co robimy wcześniej może wpływać pozytywnie na to co robimy potem (trafna analogia), ale, jak widać może też wpływać hamująco, utrudniać to, co się robi potem (pozorna, błędna analogia). Przedstawione zadania albo treściowo, albo w strukturze matematycznej wydają się być podobne i rozwiązujący wykorzystuje gotowy, sprawdzony schemat. To że wynik jest poprawny, zdaje się być czynnikiem potwierdzającym „słuszność i skuteczność“ zastosowanego rozwiązania. Ponadto, w niektórych przypadkach, gdy rozwiązujący jest w stanie przewidzieć wynik, to tak wykonuje obliczenia, by ten wynik uzyskać. Czasami wystarczy zmiana danych, by takim zachowaniom zapobiegać. Ale czy warto zapobiegać. Może właśnie lepiej dawać pary zadań, z których pierwsze prowokuje fałszywe analogie i dziwne rachunki, zaś drugie uświadamia, że takie postępowanie do celu nie prowadzi. Wszak uczymy się na własnych błędach i potem już nie popełniamy takich samych, tylko nowe. Literatura 1.

KRYGOWSKA, Z. Elementy aktywności matematycznej, które powinny odgrywać znaczącą rolę w matematyce dla wszystkich. Dydaktyka Matematyki nr 6. PWN, Warszawa 1986, s. 25 – 41. ISBN 83-01-07792-1, ISSN 0208-8916.

Kontaktní adresa dr Barbara Nawolska Uniwersytet Pedagogiczny w Krakowie ul. Ingardena 4 Telefon: +48 12 662 66 19 E-mail: [email protected]

191

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

INOVOVANÝ KONCEPT MATEMATICKÉ SLOŽKY PROFESNÍ PŘÍPRAVY UČITELŮ PRIMÁRNÍ ŠKOLY NA PEDAGOGICKÉ FAKULTĚ UNIVERZITY PALACKÉHO V OLOMOUCI David NOCAR Abstrakt Inovovaný koncept matematické složky profesní přípravy učitelů primární školy na Pedagogické fakultě UP v Olomouci obsahuje matematické moduly, které vznikly jako jeden z výstupů projektu ESF řešeného ve spolupráci dvou pedagogických fakult v ČR. V rámci tohoto projektu byl zapracován soubor elektronických studijních opor do LMS Claroline, který umožňuje v daném oboru studium v kombinaci prezenční formy studia a e-learningu. Příspěvek informuje o další inovaci těchto modulů za přispění rozvojového projektu MŠMT realizovaného na Pedagogické fakultě UP. Tato inovace je založena především na převedení studijních modulů do LMS Unifor, neboť tento systém je aktuálně upravován speciálně pro potřeby matematického vzdělávání. THE INNOVATED CONCEPT OF MATHEMATICAL PART OF PROFESSIONAL TEACHER TRAINING FOR PRIMARY SCHOOLS AT THE FACULTY OF EDUCATION AT PALACKÝ UNIVERSITY IN OLOMOUC Abstract In the innovated concept of mathematical part of professional teacher training for primary schools at the Faculty of Education at Palacký University in Olomouc, there are mathematical modules, which were prepared in cooperation of two Czech faculties of education as an output of ESF project. A set of electronic study supports in LMS Claroline prepared within the project enables a possibility of combining both full-time and e-learning forms of study. The author of the contribution informs on another innovation of these mathematical modules with support of Development project of Ministry of Education realized on Faculty of Education. This innovation is especially based upon a conversion of study modules from LMS Claroline to LMS Unifor because this system is currently customizing especially for mathematical educational needs. 1. Úvod Hledání optimálního modelu pregraduální přípravy učitelů je považováno za dosud neuzavřené, za stále aktuální. V návaznosti na postupnou implementaci Boloňské deklarace [1] do české vzdělávací soustavy reflektuje mimo jiné požadavek koncipovat také vysokoškolské vzdělání učitelů sekundárních škol v ČR jako strukturované, s bakalářským a navazujícím magisterským stupněm. Poněkud jiná je situace u vysokoškolské přípravy učitelů primárních škol.

192

Inovovaný koncept profesní přípravy učitelů primární školy na Pedagogické fakultě Univerzity Palackého v Olomouci je koncipován jako pětiletý, nestrukturovaný, tak, aby vyhovoval moderním trendům současné pedagogiky a vzdělávání učitelů. K zásadním koncepčním změnám patří akcent na nové pojetí profese učitele primární školy v souvislosti s proměnami primárního vzdělávání [5, 6], které vyžaduje rozšíření a posílení klíčových kompetencí, posun od kompetence předmětové ke kompetenci pedagogické a psychodidaktické. Studijní program má modulární charakter. Jako součást předmětového modulu obsahuje modul matematických předmětů, který vznikl jako jeden z výstupů projektu ESF řešeného ve spolupráci dvou pedagogických fakult v ČR (Pedagogické fakulty Univerzity Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem a Pedagogické fakulty Univerzity Palackého v Olomouci). Projekt byl dokončen v červnu 2008 a jeho náplní bylo zpracování souboru interaktivních studijních opor pro oborově předmětové i didakticky zaměřené matematické disciplíny. Tento soubor modulů implementovaných do LMS Claroline umožnil v daném oboru studium v kombinaci prezenční a distanční formy studia. Distanční část studia je realizována elearningovou podporou. 2. Zkušenosti z matematické přípravy učitelů primární školy Naše dosavadní zkušenosti z profesní přípravy učitelů matematiky jsou do značné míry v souladu s názory pedagogického terénu, školské správy i samotných učitelů matematiky s delší pracovní stáží. Zdůrazňují požadavek integrálního přístupu k vysokoškolské přípravě učitelů matematiky, v němž se po celou dobu studia navzájem prolínají odborně předmětová a pedagogicko psychologická stránka. Uvedený přístup podle našeho názoru umožňuje a vyžaduje: • permanentní inovaci struktury i obsahu jednotlivých předmětů ve vzájemných odborně matematických i pedagogických souvislostech, optimalizaci rozsahu výuky perspektivou rozšíření nabídky volitelných (výběrových) předmětů, • postupné vytváření podmínek pro širší uplatnění aktivizujících forem výuky a dovednostních edukačních technologií včetně širokého využití ICT. Vzhledem ke specifickému charakteru matematiky jako vzdělávacího předmětu či oboru studia se obecně přikláníme k funkčnímu využití některých prvků distančního vzdělávání, například využití distančního textu (studijní opory) pro určitou ucelenou obsahovou část, modul nebo předmět studia s podporou multimediálních, informačních a komunikačních technologií zvanou e-learning. Naše dosavadní zkušenosti ukazují, že i přes neobyčejně vysokou motivaci studentů je nezbytné poskytnout jim nejen průběžnou studijní podporu obvyklou formou tutoriálu - osobního kontaktu v rámci distanční části studia, ale vymezit i prostor pro přímou kontaktní výuku některých partií prezenční formou. Z těchto zkušeností vyvstává otázka, do jaké míry využívat e-learningové podpory či dalších distančních prvků v prezenčním studiu. Stejně tak se lze zamýšlet nad tím, do jaké míry využívat prezenčních prvků v kurzech realizovaných distanční formou, která je v současné době stále více e-learningového charakteru. K distančnímu vzdělávání samozřejmě patří prezenční prvky, jako jsou tutoriály (nejběžnější prezenční prvek v rámci distančního vzdělávání sloužící k vzájemnému poznání, diskusi, řešení studijních problémů), letní školy (několikadenní prezenční setkání za účelem získání dovedností, kterých nelze dosáhnout pouhým samostudiem) či rezidenční školy (podobné jako letní škola, ale na rozdíl od letní školy, která zpravidla trvá týden, rezidenční školy se pořádají pouze o víkendech) [2].

193

Stejně tak nelze opomíjet přínos informačních a komunikačních technologií a s tím související e-learningovou podporu pro zkvalitnění a zefektivnění vzdělávacího procesu realizovaného prezenční formou. Dosavadní zkušenosti ukazují, že nejefektivnější způsob realizace vzdělávacího procesu je tvořen kombinací jak prvků prezenčních, tak distančních. Zakomponujeme-li do prezenčního studia takové distanční prvky, jako je elearning či on-line vzdělávání, lze takovouto kombinaci označit za „smíšené“ vzdělávání, které se v zahraničí označuje termínem Blended learning. Např. John R. Pratt ve svém článku The Manager’s Role in Creating a Blended Learning Environment velmi výstižně uvádí: „With a Blended learning approach, you can take advantige of the strengths of e-learning and traditional learning methods.“ [4]. V překladu stručně a hlavně velmi výstižně řečeno: „S příchodem Blended learningu získáváme výhody jak síly e-learningu, tak tradičních výukových metod.“ Dnes již nejen v zahraničí, ale i v ČR je pojem blended learning velmi aktuální a diskutovaný. Důvodem je překonávání krize čistého e-learningu, která započala v Evropě již v roce 2000, jejíž příčinou bylo především zchudnutí sociálních kontaktů ve vzdělávacím procesu. Blended learning dle výše uvedených charakteristik k těmto obavám a krizi vzdělávacího procesu nevede. Studenti se učí v sociálním prostředí tradiční univerzity a e-learning je jen doplňkovým elementem. V rámci již zmíněného projektu ESF byly pro studenty prezenční a kombinované formy studia připraveny e-learningové studijní opory, jejichž cílem je vytvořit efektivní doplněk k prezenčním prvkům výuky pro podporu jejich samostudia. Specifickou cílovou skupinu a současně adresátem s uvedeným záměrem zpracovaných studijních opor se stali studenti, kteří: • získávají vysokoškolským studiem plnou magisterskou kvalifikaci pro vyučování matematice na primárním stupni ZŠ (kombinované studium učitelství pro 1. st. ZŠ), • rozšiřují svou dosavadní magisterskou kvalifikaci v oboru učitelství pro 1. st. ZŠ. Studijní opory jsou adresovány především těm studentům kombinované formy studia, kteří mají určité - alespoň minimální - pedagogické zkušenosti z vyučování na základní škole, postupně si vytvářejí vlastní edukační styl a své intuitivní empirické poznatky z edukační reality považují za užitečné konfrontovat s literaturou. Většina potencionálních uživatelů na uvedeném stupni školy již působí, často delší dobu. Tato skutečnost má na přijetí textů podle našeho názoru minimálně dva, možná protichůdné, dopady. Jedním z aspektů, které je třeba při celkovém posouzení opor zohlednit, je časový odstup studentů od ukončení středoškolského matematického vzdělávání, což má na systematické vysokoškolské studium matematiky dopad negativní. Výrazně pozitivní motivace studentů kombinované nebo rozšiřující formy studia, pro něž je úspěšné absolvování studijního programu obvykle nejen získáním profesní kvalifikace, ale i řešením existenčních zaměstnaneckých problémů, může ovšem uvedený handicap významně kompenzovat. O to důležitější se proto jeví právě způsob zpracování. Zpracování, které by umožnilo poskytnout uživatelům pojmovou, terminologickou a symbolickou, ale také metodologickou základnu pro systematické studium matematiky. Tím umožnilo budoucím učitelům vzdělávání alespoň „nahlédnout“ do světa matematiky jako vědy, která má svůj systém, strukturu a řád, přesný a specifický jazyk, jejíž zvládnutí vyžaduje plnou koncentraci a náročné systematické studium. Tím také získat alespoň minimální nadhled nad didaktickými aplikacemi matematického učiva v didaktickém systému základní školy, jak je prezentován v kurikulu, učebnicích matematiky a dalších didaktických materiálech, s nimiž učitelé primární školy pracují.

194

Předpokladem realizace uvedeného záměru bylo strukturovat studijní materiály tak, aby byla akcentována možnost využít jej k samostatnému studiu - učební činnosti, řízené formou omezeného počtu kontaktních konzultací v kombinovaném studiu. Charakter a obsah textu umožňuje ovšem využít studijní oporu nebo její část i studentům prezenčního studia. Vytvoří se tak větší prostor pro uplatnění aktivizujících vzdělávacích metod a postupů při utváření jejich pedagogických kompetencí. Základem studijních opor se staly přednášky autorů z předmětů Logika a algebra, Elementární aritmetika a algebra s didaktikou, Elementární geometrie s didaktikou a Didaktika matematiky (A. Stopenová, J. Eberová, B. Novák). Všechny opory zohledňují didaktické aspekty, reflektují stávající kurikulární rámec primárního matematického vzdělávání, jak jej vymezuje Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Soubor je tvořen studijními oporami: • Didaktika matematiky 1 • Didaktika matematiky 2 • Elementární aritmetika a algebra s didaktikou • Elementární aritmetika s didaktikou • Elementární geometrie s didaktikou • Matematika s didaktikou 2 • Matematika s didaktikou 3 • Matematika s didaktikou 4 Jako virtuální vzdělávací prostředí byl v rámci realizace projektu ESF vybrán LMS Claroline. Tento systém je volně dostupný ze stránek http://www.claroline.net. Kromě on-line distribuce studijních opor umožňuje tento systém: • řešit a odesílat zadané úkoly, • provádět cvičné testy, • dělat si poznámky do kalendáře, • spravovat veřejné a soukromé diskuse, • vytvářet studijní skupiny • zveřejňovat aktuální oznámení (také na e-mail) • kontrolovat statistiky uživatelských aktivit

Obrázek 1: Náhled do LMS Claroline (studijní text)

195

Obrázek 2: Náhled do LMS Claroline (interaktivní flash animace) 3. Inovovaný koncept matematických modulů v přípravě učitelů primární školy Po uplynutí dvou semestrů výuky matematiky studentů učitelství pro 1. st. ZŠ od ukončení společného projektu PdF UP a Pdf UJEP s e-learningovou podporou LMS Claroline se skýtá další možnost inovace matematické složky profesní přípravy učitelů primární školy na PdF UP v Olomouci. Tato inovace postihuje především formální stránku matematických studijních modulů a je založena na převedení e-learningových studijních modulů do LMS Unifor. Tento export studijních modulů a jejich následný import do jiného LMS je dán především z několika následujících hledisek: 1. Systém LMS Unifor společnosti Net University, s.r.o. byl pořízen pro e-learningové zázemí nejen Pedagogické fakulty, ale celé Univerzity Palackého. Studenti získávají po nástupu ke studiu automaticky přístup do tohoto systému. Proto je efektivnější elearningovou podporu různých složek studia (předmětů, oborů) studentům sjednotit. 2. Studijní agenda je na Univerzitě Palackého zajišťována systémem IS/STAG Západočeské univerzity v Plzni stejně jako 11 dalších univerzit České republiky. Pro zjednodušení a zefektivnění sdílení studijní agendy v systému IS/STAG a v systému LMS Unifor vytvořily ZČU a Net University, s.r.o. „staguni modul“, který automaticky propojuje tyto dva systémy. Při přihlášení studenta do LMS Unifor dojde automaticky k synchronizaci LMS s IS/STAG a studentovi se v LMS přiřadí jen moduly k předmětům, které má v rámci svého studia zapsány v IS/STAG. 3. Za přispění rozvojového projektu MŠMT realizovaného na PdF UP je v současné době e-learningová platforma LMS Unifor upravována speciálně pro potřeby matematického vzdělávání. Tato úprava vychází ze zakoupení licence od americké společnosti Design Science, Inc. na produkt WebEQ. Tato aplikace umožňuje vkládat do webových stránek a tudíž i do e-learningových modulů v LMS libovolné matematické vzorce. Tyto vzorce lze dodatečně editovat na stejném principu jako je Microsoft Equation nebo Math Type. Editor vzorců lze v LMS použít i při zadávání úkolů nebo testů. Stejné nástroje má poté k dispozici i student při vypracovávání úkolu a při testování. Díky tomuto nástroji lze testové otázky typu „multiple choice“ nahradit testovými otázkami vyžadující tvořenou odpověď studentem.

196

Obrázek 3: LMS Unifor (náhled do studijního textu disciplíny)

Obrázek 4: LMS Unifor (náhled na testovou otázku s možností tvořené odpovědi – zapsání vzorce pomocí panelu aplikace WebEQ)

197

4. Závěr Profesní příprava učitelů primární školy na Pedagogické fakultě Univerzity Palackého v Olomouci je stále inovována dle aktuálních potřeb a trendů. Matematická část této přípravy nezůstává pozadu. Na Katedře matematiky PdF UP jsou tímto směrem koncipovány projekty, které napomáhají potřebné inovace realizovat. Příspěvek poukázal na jeden konkrétní příklad realizace e-learningové podpory matematických předmětů pro profesní přípravu studentů oboru Učitelství pro 1. st. ZŠ jak v prezenční, tak v kombinované formě studia. Dále zde bylo nepřímo poukázáno na velkou výhodu e-learningových studijních opor, která vychází především z jejich elektronické podstaty, neboť tyto studijní opory lze kdykoliv snadno a rychle inovovat dle aktuálních požadavků, trendů a možností. V neposlední řadě příspěvek poukazuje na efektivní propojení distančních prvků vzdělávání s prezenčním studiem v tzv. blended learning, které dle našich zkušeností je efektivní a tento způsob vzdělávání je v posledních letech velmi aktuální a diskutovaný i v ostatních zemích EU. Příspěvek poukazuje na výstupy projektu ESF „Zvýšení úrovně vzdělávání v matematice ve studijním oboru Učitelství pro 1. stupeň ZŠ“, reg. č. CZ.04.1.03/3.2.15.3 a rozvojového projektu MŠMT „Rozvoj LMS systému UNIFOR s ohledem na zvýšení komfortu autorů distančních studijních textů při vytváření multimediálních studijních opor“ realizovaného na Pedagogické fakultě Univerzity Palackého v Olomouci. Literatura 1. 2. 3.

4. 5. 6.

Evropský prostor vysokoškolského vzdělávání, Společné prohlášení ministrů školství evropských států na setkání v Boloni dne 19. června 1999. Dostupné na World Wide Web: < http://www.bologna.msmt.cz/files/DeklaraceBologna.pdf>. NOCAR, D. Od E-learningu k Blended learningu. In: Bulletin Komory daňových poradců České republiky 6/06. Brno: KDP ČR, 2006. ISSN 1211-9946. NOVÁK, B. Integrace prvků distančního vzdělávání do přípravy učitelů matematiky. In: Sborník abstrakt a elektronických verzí příspěvků z XXI. mezinárodního kolokvia. HÁJKOVÁ, E., VÉMOLOVÁ, R. (eds.) Vyškov: VVŠ PV, 2003. ISBN 80-7231-105-0. PRATT, J. R. The Manager’s Role in Creating a Blended Learning Environment. In: Home Health Care Management & Praktice, Dec 2002; vol. 15. Thousand Oaks: Sage Publications, 2002. ISSN 1084-8223. SPILKOVÁ, V. a kol. Současné proměny vzdělávání učitelů. 1. vyd. Brno: Paido, 2004. ISBN 80-7315-081-6. SPILKOVÁ, V. a kol. Proměny primárního vzdělávání v ČR. 1. vyd. Praha: Portál, 2005. ISBN 80-7178-942-9.

Kontaktní adresa Mgr. David Nocar, Ph.D. Univerzita Palackého v Olomouci, Pedagogická fakulta, Katedra matematiky Žižkovo nám. 5 77140 Olomouc, ČR Telefon: +420 58 563 5709 E-mail: [email protected]

198

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

NESTANDARDNÍ APLIKAČNÍ ÚLOHA, JEJÍ REFLEXE A INTERPRETACE BUDOUCÍMI UČITELI PRIMÁRNÍ ŠKOLY Bohumil NOVÁK Abstrakt V příspěvku shrnujeme výsledky šetření mezi studenty učitelství primární školy. Zajímalo nás, jak učitelé (a studenti učitelství) vnímají pojem „nestandardní aplikační úlohy a problémy“, jak jej interpretují z hlediska své současné či budoucí praxe. Výpovědi budoucích učitelů ukázaly úroveň jejich dosavadní orientace v problematice a naznačují potřebu systematické pozornosti věnované otázkám obsahu vzdělávání v didakticky zaměřené komponentě pregraduální přípravy. NON-STANDARD APPLICATION EXCERCISES AND PROBLEMS, THEIR REFLECTION AND INTERPRETATION BY PRIMARY SCHOOL PROSPECTIVE TEACHERS Abstract In the contribution we summarise results of a questionnaire survey conducted among primary school prospective teachers. We were interested in their perception of the term “non-standard application exercises and problems” and in their interpretation of the term from the point of view of their current and future teaching practice. Collected opinions of prospective teachers showed the level of their hitherto orientation in the area and suggested necessity of systematic focus on issues of the content of education in the didactic oriented component of pre-gradual training.

1. Úvod Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání vymezuje vše, co je společné a nezbytné v povinném základním vzdělávání žáků, specifikuje úroveň klíčových kompetencí, jichž by měli žáci dosáhnout, vymezuje vzdělávací obsah ve vzdělávacích oblastech - očekávané výstupy a učivo, které budou ve školních vzdělávacích programech didakticky transformovány do učebních osnov jednotlivých předmětů a rozpracovaných výstupů a učiva. Jak zdůrazňuje Kropáč (2003), směřuje optimální vyjádření zamýšlených cílů výuky, jejího obsahu i očekávaných kompetencí žáků k jednoznačnosti jejich výkladu a kontrolovatelnosti výsledků činnosti. V našem příspěvku se zaměříme na jeden ze čtyř tematických celků vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace v 1. a 2. období (1. - 5. ročník) - Nestandardní aplikační úlohy a problémy. Zajímalo nás, jak učitelé (a studenti učitelství) primární školy pojem „nestandardní aplikační úlohy a problémy“ vnímají a rozumí mu, jak jej interpretují z hlediska své současné či budoucí praxe.

199

2. Pojem nestandardní aplikační úloha (problém) a jeho konkretizace v očekávaných výstupech RVP ZV Pedagogika ani oborové didaktiky uvedený pojem jednoznačně nevymezují, ani s ním obvykle nepracují. Názvem úloha jsou označovány situace, které subjekt stimulují k činnosti směřující k vyřešení této situace. Úlohy používané v souvislosti s cíli učení jsou označovány jako učební úlohy. Učební úloha se obvykle vymezuje jako „každá pedagogická situace, která se vytváří proto, aby zajistila u žáků dosažení určitého učebního cíle.“ (Průcha aj.,1995, s. 240). Učební úlohy představují široké spektrum, od nejjednodušších, jejichž řešení vyžaduje pamětní reprodukci či rutinní činnost, po složité, obtížné, které vyžadují tvořivé myšlení. Jedna z často uváděných klasifikací učebních úloh zohledňuje míru tvořivosti řešitele při řešení. Pak můžeme (s určitým zjednodušením) rozlišit úlohy „standardní“ - které k řešení využívají známého vzorce, pravidla nebo postupu (receptu, algoritmu) a „nestandardní“ (problémové), k jejichž řešení známé postupy a algoritmy nestačí. Žák musí řešit matematický problém, hledat a objevovat metodu, postup řešení (heuristika), protože jeho dosavadní zkušenost řešení úlohy neumožňuje. „Stupeň heurističnosti“ je typickým příkladem, kdy je nutno brát v úvahu nejen úlohu samu, ale i kompetence jejího řešitele. Pro některé žáky (vzhledem k věku, individuálním schopnostem, úrovni a rozsahu předběžných matematických poznatků a prostředků, kterými jsou vybaveni) je určitá úloha „heuristická“, pro jiné je její řešení pouze rutinní záležitostí. Také další autoři, např. Kopka (2007), považují „nestandardní“ úlohy za zajímavější, i když obtížnější, než rutinní úlohy - vedou k objevování, domýšlení, nacházení nových cest při řešení a tím rozvíjejí poznávací schopnosti žáků. Aplikačními úlohami (úlohami na aplikaci matematických poznatků) se obvykle rozumí úlohy, které se vztahují ke zkušenostem žáků z reálného života. Uvedený aspekt úloh je v didaktice matematiky často reflektován. Najdeme jej například již v klasických koncepcích realistického vyučování H. Freudenthala nebo činnostního vyučování A. Z. Krygowské, nověji se zamýšlí nad skutečnou reálností situace v souvislosti s kontextovými (slovními) učebními úlohami Siwek (2005). Kompetence žáků samostatně pracovat s daty, jejich schopnost použít nástroje matematiky k řešení reálných situací z praktického života, jsou považovány za významný projev matematické gramotnosti. Jak zdůrazňuje Boero (2006), mělo by se odhadování, dokazování, modelování - sloužící k interpretaci přírodních jevů a k předvídání jejich vývoje - stát jádrem matematického vzdělávání již na základní škole jako významná složka rozvoje matematického myšlení. RVP ZV s pojmem nestandardní aplikační úlohy a problémy explicitně pracuje. Považuje je za důležitou součást matematického vzdělávání a charakterizuje je jako takové úlohy, „jejichž řešení může být do značné míry nezávislé na znalostech a dovednostech školské matematiky, ale při němž je nutné uplatnit logické myšlení.“ (RVP ZV, 2005). Příslušné učivo 1. stupně uvádí ve čtyřech heslech: slovní úlohy, číselné a obrázkové řady, magické čtverce, prostorová představivost. V didaktických materiálech (učebnicích matematiky pro 1. stupeň ZŠ a metodických příručkách) jsou očekávané výstupy tematického okruhu Nestandardní aplikační úlohy a problémy různým způsobem konkretizovány, vztaženy k naplňování klíčových kompetencí a propojovány s jinými celky a pojmy. Uveďme alespoň jeden příklad, jak může být očekávaný výstup RVP „žák řeší jednoduché praktické slovní úlohy a problémy, jejichž řešení je do značné míry nezávislé na obvyklých postupech a algoritmech školské matematiky“ podrobněji rozpracován.

200

•

•

• •

V publikaci Novák, Nováková (2008) se připomíná návaznost očekávaného výstupu na jiné výstupy – na výstupy žák „řeší a tvoří úlohy, ve kterých aplikuje a modeluje osvojené početní operace“, „popisuje jednoduché závislosti z reálného života“, „čte a sestavuje jednoduché tabulky a diagramy“ aj., očekávaný výstup dále konkretizuje a dává do souvislosti s vymezeným učivem žák doplňuje číselné a logické řady a určuje, podle jakých pravidel a pravidelností jsou vytvořeny; matematizuje jednoduché reálné situace s využitím zlomku a desetinného čísla a řeší je; řeší úlohy, které mají více než jedno řešení, objevuje postup řešení; řeší slovní úlohy (např. z matematických soutěží) vyžadující logickou úvahu, uvádějí se odkazy na konkrétní ukázky úloh v učebnicích, směřujících k realizaci očekávaného výstupu, zdůrazňuje se význam výstupu pro dosahování cílů matematického vzdělávání a utváření klíčových kompetencí, především kompetence k řešení problémů (např. experimentováním a objevováním nejen výsledků úloh, ale také cest a efektivních postupů k jejich řešení více způsoby).

3. Nestandardní aplikační úlohy z pohledu znalostí a názorů budoucích učitelů primární školy - cíle a metoda šetření Zkušenosti z uskutečňování matematické komponenty vysokoškolské přípravy učitelů primárních škol ukazují, že jejich představa o matematice prvního stupně je značně deformovaná. Hejný (2004) na několika ukázkách dokládá, že nevnímají matematiku jako prostor pro kultivaci myšlení, řešení problémů, pro diskusi, hledání a prověřování zákonitostí. Pro ně je matematika „cvičiště k osvojení si procedur“ (s. 115). Položili jsme si tedy otázku, jaký je pohled - a připravenost - budoucích učitelů (studentů prezenčního studia) či obvykle začínajících, dosud nekvalifikovaných učitelů (studentů kombinované formy studia), na problematiku nestandardních aplikačních úloh, jak je Rámcovým vzdělávacím programem jako základním kurikulárním dokumentem explicitně nastavena. Ochota učitelů přijímat vzdělávací programy je totiž podmíněna právem (či spíše povinností) učitelů vypracovat vzdělávací programy školy, Školní vzdělávací programy, a tematické plány výuky zohledňující konkrétní podmínky, následně na jejich základě projektovat a realizovat vlastní výuku. Pro učitele je přitom velmi důležitá reflexe vlastní činnosti: dovednost zpětně analyzovat a hodnotit svou činnost, následně ji měnit, inovovat, signifikantně ovlivňuje kvalitu činnosti učitele, může významně rozvíjet jeho didaktické myšlení a jednání (Nezvalová, 2000). Studentům oboru učitelství pro 1. stupeň ZŠ (63 studentům prezenční a 59 studentům kombinované formy studia) byly v seminářích na počátku kurzu didaktiky matematiky položeny k písemnému vyjádření následující úkoly: 1. Vysvětlete, jak rozumíte pojmu „nestandardní aplikační úloha“. 2. Označte v následujícím souboru úloh takové, které považujete za „nestandardní“ (zakroužkujte, příp. zdůvodněte, proč jsou nestandardní). 3. Vyřešte označené úlohy způsobem, který očekáváte od žáka primární školy. 4. Pokuste se odhadnout, kolik procent žáků 5. ročníku vyřeší jednotlivé úlohy správně. Soubor úloh, který byl studentům předložen k posouzení, tvořilo 13 úloh z učebnic matematiky a ze starších ročníků soutěže Matematický klokan, kategorie Klokánek. Z poměrně rozsáhlého materiálu, který šetření přineslo, uvádíme pouze několik autentických ukázek a stručný pokus o určitá zobecnění. Jsme si vědomi omezené

201

výpovědní hodnoty šetření a pokoušíme se vyhýbat kategorickým soudům. Zcela mimo naši pozornost zůstal v tomto příspěvku úkol 3, který by si vyžádal samostatnou studii. Že ovšem správné řešení úloh nebylo pro budoucí učitele samozřejmostí, dokládá následující „řešení“ jedné z posuzovaných úloh. Jeho autorka nepovažovala úlohu za obtížnou, o čemž svědčí její odhad úspěšnosti řešení žáky ZŠ:

4. Shrnutí výsledků Odpovědi respondentů na otázku 1 lze s jistou mírou zjednodušení rozlišit podle zaměření • na úlohu jako objekt, např. „neobvyklá, zajímavá matematická úloha“, „ úloha, která rozšiřuje základní učivo“, „úloha „navíc“, složitější na přemýšlení, nemusí ji vyřešit každý žák“, „neúplná úloha, kde se něco zkoumá“, • akcent na „nestandardní“, např. „zjišťuje logické myšlení“, „ve které žák nevystačí s běžnými algoritmy nebo je třeba jejich určitá kombinace“, “kde nevyužijí žáci algoritmu, ale sami tvoří a objevují“, „která vyžaduje tvořivost, obměny zaběhnutých postupů“, „žák musí objevit způsob řešení“, „kde si žák vyzkouší různé metody řešení“, • akcent na „aplikační“, např. „úloha aplikovaná na praktické užití v životě, spojení s životní realitou“, „musí aplikovat naučené postupy na nestandardních příkladech“, • na rozvoj osobnosti žáka, např. „je stěžejní pro nadanější žáky“, „zajímavé úlohy pro talentované, nadané žáky“, „je potřeba více přemýšlet, zapojit logické myšlení, rozvíjí se matematické schopnosti žáků“, „se kterou se nesetkávají denně, musí přemýšlet o řešení“, „zábava pro nadané žáky“, • na vyučování jako edukační proces, např. „slouží ke zpestření hodiny“, „zvláštní využití matematických úloh - internet, vycházky, …“. Odpovědi na otázku 2 byly značně rozmanité, obvykle bez bližšího zdůvodnění. Do výpovědí respondentů se zřejmě promítla vlastní zkušenost, jejich obtíže, které se při řešení vyskytly. Z nabídky posuzovaných úloh byly jako „nestandardní“ nejčastěji označené tyto: 1. Na stole leží pět karet označených čísly 5, 1, 4, 3, 2. Tvým úkolem je seřadit je do následujícího pořadí: 1, 2, 3, 4, 5 (prohlédni si obrázek). Vyměnit můžeš kterékoliv dvě karty. Jaký nejmenší počet výměn musíš udělat? (84 % respondentů). Respondenti ocenili potřebu provést experiment, při němž byly zaměněné karty (resp. čísla karet) postupně zaznamenávány. Absence matematických pojmů a známých numerických postupů, hledání řešení pomocí experimentu, ale také „aranžmá“ úlohy s grafickým znázorněním výchozí situace vedly k označení úlohy jako „nestandardní“.

202

2. Michal si napsal jedno trojciferné číslo a jedno dvojciferné číslo. Urči součet těchto čísel, jestliže jejich rozdíl je 989. (72 % respondentů). Úlohu lze zařadit do tematického celku Číslo a početní operace (pojmy trojciferné a dvojciferné číslo, součet, rozdíl). Podmínky úlohy - zadaný rozdíl čísel (989), trojciferné, dvojciferné - vedou k jedinému možnému dvojcifernému číslu 10. 3. Ulice na obrázku se jmenuje Barevná. Najdete tam modrý, červený, žlutý, růžový a zelený dům. Domy jsou očíslovány od 1 do 5. Víme, že: • modrý a žlutý dům jsou označeny sudými čísly, • červený dům sousedí pouze s modrým domem, • modrý dům stojí mezi zeleným a červeným domem. Jakou barvu má dům číslo 3? (88 % respondentů).

1

2

3

4

5

Vysoké procento respondentů, kteří označili úlohu jako „nestandardní“, je odrazem skutečnosti, že úlohu nepovažovali za typickou slovní učebnicovou úlohu na aplikaci a procvičení matematického učiva. Řešení vyžaduje logickou úvahu, založenou na analýze jednotlivých podmínek, nepředpokládá prakticky žádné předběžné matematické poznatky (kromě pojmu sudé číslo, intuitivně chápaného vztahu „mezi“ a výrazu „pouze“). Stejně rozdílné byly odhady úspěšnosti řešení vybraných úloh, pohybovaly se v rozmezí od 10 do 90 %. Zajímavá byla některá zdůvodnění odhadů jednotlivých úloh, v nichž se jen minimálně promítly vlastní pedagogické zkušenosti. Domníváme se, že odhad procenta úspěšných řešení spíše vypovídá o vlastních řešitelských kompetencích respondentů a reflektuje obtíže, s nimiž se při řešení setkali. Nechyběla ani odpověď 0 % u několika studentek kombinovaného studia, které komentovaly situaci například slovy: „když si představím svou třídu, opravdu nevidím nikoho, kdo by úlohu vyřešil“. K zadání úkolu 4 nás však vedlo také to, že v některých ročnících soutěže Matematický klokan byla získána data o skutečné úspěšnosti řešení jednotlivých úloh (každoročně přibližně od 5 000 účastníků), což umožnilo porovnat odhady respondentů se skutečností. Tabulka 1: Skutečná úspěšnost řešení Číslo úlohy 1 2 3

Skutečnost správných řešení (%) 36 21 45

Skutečnost nesprávných řešení (%) 52 51 46

Skutečnost neřešených (%) 12 28 9

5. Závěr Výpovědi budoucích učitelů naznačily úroveň jejich dosavadní orientace v problematice a současně potřebu systematické pozornosti věnované otázkám obsahu vzdělávání a učebních úloh v didakticky zaměřené komponentě pregraduální přípravy.

203

Zdá se, že respondenti vycházeli z vlastních subjektivních, intuitivních zkušeností získaných na předchozích stupních školy „ v roli žáka“, které vcelku úspěšně dokázali uplatnit. Dovednost reflektovat úlohy z hlediska svých didaktických kompetencí, využít a interpretovat je ve své praxi edukace např. při práci s nadanými žáky, sledovat a rozvíjet různé oblasti myšlení těchto žáků – numerické, symbolické, verbální, logické, analytické, kritické, prostorové představivosti – jak je uvádějí Blažková, Vaňurová (2009), považujeme v matematickém vyučování za významnou. Tematický okruh RVP, jímž jsme se v příspěvku zabývali, je považován za „průřezový“ - tyto úlohy by měly prolínat všemi tematickými okruhy 1. i 2. stupně základního vzdělávání. Nestandardní úlohu lze totiž právem považovat za výzvu k tvorbě vlastních úloh jako jeden z významných předpokladů kreativní a efektivní práce učitele matematiky. Příspěvek byl zpracován v rámci řešení projektu ESF CZ 1.07/1.2.08/02.0017 „Vyhledávání talentů pro konkurenceschopnost a práce s nimi“. Literatura 1. BOERO, P. Students´everyday experience and teaching and learning of mathematics. In: M. Uhlířová (ed.) Matematika jako prostředí pro rozvoj osobnosti žáka primární školy. AUPO, Fac. Paed., Mathematica V - Matematika 2. Olomouc: Univerzita Palackého, 2006, s. 10 - 12. ISBN 80-244-1311-6. 2. HEJNÝ, M. Dominanty matematické přípravy budoucího učitele. In: M. Uhlířová (ed.) Cesty (k) poznávání v matematice primární školy. Sborník příspěvků z konference s mezinárodní účastí. Olomouc: Univerzita Palackého, 2004, s. 112 118. ISBN 80-244-0818-X. 3. KOPKA, J. Výzkumný přístup při výuce matematiky. Ústí n. L.: Univerzita J.E. Purkyně, 2007. 169 s. ISBN 978-80-7044-926-4. 4. KROPÁČ, J. Exemplifikační úlohy a jejich využití ve vzdělávacích programech. ePedagogium, IV/2003, s. 5 - 18. ISSN 1213-7499. 5. NEZVALOVÁ, D. Reflexe v pregraduální přípravě učitelů. Olomouc: Univerzita Palackého, 2000. 72 s. ISBN 80-244-0208-4. 6. NOVÁK, B., NOVÁKOVÁ, E. Matematika a její aplikace. In: Průvodce výukou dle RVP na 1. stupni ZŠ. 2. díl. Olomouc: Prodos 2008, s. 107 - 158. ISBN 978- 807230-235-2. 7. PRŮCHA, J., WALTEROVÁ, E. MAREŠ, J. Malý pedagogický slovník. Praha: Portál 1995. ISBN 80-7178-029-4. 8. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Praha: VÚP 2005. [cit. 2010-16-2] Dostupné na http://www.vuppraha.cz/ramcove-vzdelavaciprogramy/zakladni-vzdelavani . 9. SIWEK, H. Dydaktyka matematyki. Teoria i zastosowania v matematyce szkolnej. WSiP, Warszawa 2005. 335 s. ISBN 83-02-09303-3. Kontaktní adresa Bohumil Novák, doc. PhDr., CSc. Katedra matematiky Pedagogické fakulty UP v Olomouci Žižkovo nám. 5, 771 40 0lomouc Telefon: +420 585 635 701 E-mail: [email protected]

204

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

PĚT LET SE CVRČKEM Eva NOVÁKOVÁ Abstrakt Příspěvek shrnuje pět ročníků kategorie Cvrček soutěže Matematický klokan v České republice. Představuje typické soutěžní úlohy a uvádí některé statistické údaje z minulých ročníků soutěže. FIVE YEARS WITH THE CRICKET Abstract In the contribution we present a survey of the last five years with the Cricket category of the Mathematical Kangaroo in the Czech Republic. We present typical tasks and include some statistical data from previous years. 1. Úvod Většina učitelů primární školy ví, že Cvrček je označení jedné kategorie soutěže Matematický klokan pro žáky 2. a 3. ročníku ZŠ [2]. Pět let, po které připravujeme soutěžní úlohy a analyzujeme výsledky dosažené žáky této „předsoutěžní“ kategorie, považujeme za příležitost k malému zamyšlení nad smyslem soutěže a dosavadními zkušenostmi, které jsme získali. 2. K soutěžním úlohám Na základě poznatků z několika evropských států, v nichž jako přípravu na skutečnou soutěžní kategorii Ècolier (Klokánek) nabízejí již žákům 2. a 3. ročníku ZŠ (ve věku 8 – 9 let) a jejich učitelům typické „klokanské“ úlohy, jsme se rozhodli uskutečnit podobný pokus v České republice. Pro 11. ročník soutěže v roce 2005 jsme připravili takové úlohy a nabídli je k experimentálnímu ověření. Původní záměr uskutečnit v tomto roce pouze pilotní projekt určený pro omezený počet zájemců z olomouckého regionu bylo nutno korigovat vzhledem k požadavku zapojení do soutěže z jiných oblastí republiky a nabídnout soutěžní test k ověření v podstatně širším měřítku. Protože uvedená kategorie nemá širší mezinárodní ekvivalent, bylo nutno mimo jiné zvolit nové pojmenování – Cvrček. Sestavili jsme test tvořený souborem úloh, přizpůsobený obsahovou náročností i dalšími aspekty věku žáků, a organizačně připravili jeho uskutečnění. Vycházeli jsme přitom z následujících východisek: • využít značné obliby matematiky jako školního předmětu na 1. stupni ZŠ a zájmu učitelek (v kategorii Klokánek, 4. – 5. ročník je téměř každoročně nejvyšší počet účastníků, soutěž má zejména na 1. stupni ZŠ velmi příznivý ohlas),

205

•

ověřit možnost zadat test s položkami typu multiple-choice (úloh s výběrem odpovědi ze 4 nabídnutých možností) již ve 2. ročníku ZŠ – předpokládá se přitom větší role učitelek, případná pomoc při čtení textu nebo interpretaci zadání – při dodržení podmínky, že úlohy řeší žáci se svou učitelkou. Nejde o absolutní výsledek žáků ve smyslu prokázání jejich matematických znalostí, akcent je položen na motivaci žáků. Námět úloh i způsob jejich prezentace jsou přizpůsobeny věku dětí:

Verča, Honzík, Zdenda a Zuzka mají kočky. Verča má strakatou kočku. Zuzčina kočka je k nám otočena zády. Honzíkova je bílá a má jen čtyři fousky. Poznáš, která kočka patří Zdendovi ?

(A) •

• •

(B)

(C)

(D)

počet úloh byl snížen na 12, což považujeme za maximum vzhledem k možnostem koncentrace dětí na řešení, doba vymezená pro řešení soutěžního testu byla zkrácena na 45 minut. Maximální bodový zisk účastníka je tedy 60 - poloviční, než v jiných kategoriích, nejsou využívány karty odpovědí jako v ostatních „soutěžních“ kategoriích, ale správná odpověď je vyznačována přímo do testu, zadání úloh je podstatně zjednodušeno, u kontextových úloh jsme důsledně vycházeli ze žákům známého prostředí s využitím krátkých jednoduchých vět.

Typ a charakter úloh užitých v testu ilustrujeme na několika ukázkách z ročníku 2006 (zadání všech úloh na http://matematickyklokan.net/). Z tohoto ročníku jsou k dispozici údaje o úspěšnosti řešení jednotlivých úloh od 367 respondentů. Tabulka 1: Obtížnost soutěžních úloh Úloha č. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Správně (%) 60 51 53 34 7 21 57 80 55 33 16 79

Nesprávně (%) 38 43 24 62 89 64 32 16 38 53 61 17

Neřešilo (%) 1 4 22 2 2 13 10 2 5 12 22 3

Dále jsme se v našem příspěvku zaměřili na úlohy s nejvyšší (č. 8, č. 12) a nejnižší (č.5) úspěšností řešení. Náš pokus o interpretaci je značně subjektivní, neopírá

206

se o žádné výzkumné šetření. Společné pro uvedené úlohy je to, že řešitel v nich v různé míře uplatní geometrickou (prostorovou) představivost. (8) Míša přeložila list papíru na polovinu a potom z něj kus vystřihla, jak vidíte vpravo. Který z obrázků může uvidět, když list papíru rozevřete?

A

B)

C)

D)

Úloha má nejvyšší úspěšnost řešení z celého testu. Uvedenou skutečnost interpretujeme tím, že v prvních ročnících ZŠ jsou manipulativní činnosti založené na překládání a vystřihování papíru propedeuticky využívající představu osové souměrnosti poměrně časté. Činnost, kterou řešení úlohy vyžaduje, tedy nebyla pro žáky nijak neobvyklou. (12) Kolik kostek jsme odebrali? A) 8 B) 5 C) 6

D) 7

Vysoká míra úspěšnosti řešení reflektuje podle našeho názoru dosavadní dětské zkušenosti s manipulací s kostkami. Při hrách pracují se stavebnicemi rozmanitého druhu, skládají obrázky z jednotlivých částí vyobrazených na stěnách krychlí. Rovněž úlohy podobného typu - stavba z krychlí a kótovaný půdorys stavby - jsou v učebnicích matematiky značně frekventované. Nejnižší úspěšnost řešení vykazuje následující úloha: (5) Kolika způsoby můžeš přečíst slovo FERDA? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 Uvedená skutečnost souvisí podle našeho názoru s tím, že žáci se obvykle nesetkávají s divergentní úlohou, která má více než jedno řešení. Správná odpověď předpokládá nalezení všech cest, záznam průchodu labyrintem písmen v řádcích i sloupcích, přitom jejich dosavadní „čtenářské zkušenosti“ odpovídá spíše čtení textu v horizontální linii zleva doprava. 3. Ještě několik statistických údajů V následujících letech byly postupně získávány zkušenosti a ohlasy ze školské praxe. Vývoj počtu účastníků kategorie Cvrček za období 5 let udává následující tabulka. Domníváme se, že jejich značný počet, blížící se počtu v kategorii Klokánek, je do značné míry odrazem obliby soutěže u učitelů 1. stupně ZŠ. Postupně se také zpřesňoval odhad obtížnosti úloh, který se projevil mimo jiné v počtu žáků, kteří dosáhli plného bodového zisku. Tuto stránku soutěže ovšem považujeme za problematickou - snaha zpřístupnit úlohy i „průměrným“ žákům někdy vede k tomu, že

207

plný počet bodů získá velmi vysoký počet řešitelů, podstatně vyšší než v jiných kategoriích soutěže (např. v ročníku 2008). Tabulka 2: Počty účastníků v letech 2005 - 2009 Ročník

Počet účastníků

Průměrný bodový zisk

2005 2006 2007 2008 2009

11 076 46 832 60 744 70 942 70 084

nezjištěno 28,53 30,92 37,06 30,78

Počet účastníků s maximálním bodovým ziskem nezjištěno 185 267 1 542 196

4. Závěr Za podnětnou zkušenost považujeme to, že úlohy mohou být využity nejen k realizaci jednorázové soutěže, ale v každodenní praxi učitelů primární školy. Z rozhovorů s učiteli lze soudit na využívání úloh při frontální výuce i individualizované práci s nadanými žáky či s těmi, které zaujme neobvyklý typ úloh. Rámcový vzdělávací program poskytuje prostor pro rozvíjení klíčové kompetence k řešení problémů - vhodným prostředkem jsou právě úlohy z naší soutěže. Soutěž, i v kategorii Cvrček, se stává také jedním z vhodných nástrojů popularizace matematiky, formování pozitivního vztahu žáků primárního stupně vzdělávání k matematice a umožňuje využít obliby soutěže k rozvoji dalších aktivit příznivě ovlivňujících atmosféru školního vyučování a jeho celkové klima. Poskytuje příležitost ke změně postoje k matematice jako školnímu předmětu. Uvedené aktivity však mohou mít formativní vliv na žáka pouze tehdy, když učitel zná žákovu osobnost, když vytvoří prostředí pro učební činnosti tak, aby vnímal matematické vyučování jako řešení zajímavých problémů. Za významné považujeme také to, že Cvrček umožňuje rovněž rodičům zprostředkovat jiný pohled na matematické vyučování, než obvykle zažívali ve škole sami. Jejich setkávání se zajímavými, podnětnými soutěžními úlohami se může stát vítaným impulsem pro prohloubení spolupráce mezi školou a rodiči. Literatura 1. KUBÁTOVÁ, E. Učební úlohy ze soutěže Matematický klokan a jejich řešení žákem primární školy. Disertační práce. Olomouc: UP, 2005. 2. NOVÁK, B., KUBÁTOVÁ, E., MOLNÁR, J., NAVRÁTILOVÁ, D. Deset let s Matematickým klokanem. Olomouc: VUP 2005. 38 s. ISBN 80-244-1179-2. 3. NOVÁK, B., KUBÁTOVÁ, E. Počítejte s Klokanem. Kategorie Klokánek. Sbírka úloh s řešením pro 4. a 5. ročník ZŠ z mezinárodní soutěže Matematický klokan 2000 - 2004. Olomouc: Prodos, 2007. 62 s. ISBN 978-80-7230-176-8. 4. Kategorie Cvrček. Dostupné na: http://matematickyklokan.net/ Kontaktní adresa Eva Nováková, Mgr., Ph.D. Evropská základní škola Brno, Čejkovická 10 E-mail: [email protected]

208

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

DZIAŁAJ – ODKRYWAJ – KONSTRUUJ CZYLI KSZTAŁTOWANIE POJĘCIA LICZBY NATURALNEJ W UMYŚLE DZIECKA Jolanta NOWAK Abstrakt Kształtowanie pojęcia liczby naturalnej jest jednym z podstawowych zadań w edukacji matematycznej małego dziecka. Wymaga ono stwarzania wielu sytuacji do gromadzenia doświadczeń, które pozwolą skonstruować dziecku rozumienie liczby w podstawowych jej aspektach. W artykule przedstawiono wyniki badań dotyczące znajomości liczby naturalnej przez dzieci sześcioletnie objęte różną długością oddziaływania edukacyjnego. ACT – DISCOWER – FORMULATE FRAMING THE CONCEPT OF A NATURAL NUMBER IN A CHILD’S MIND Abstract Formulating the notion of a natural number in a child’s mind is one of the fundamental tasks in teaching mathematics to young children. It requires that a number situations be created facilitating acquisition of experiences allowing a child to gain understanding of a number in its elementary aspects. The article presents the results of research on the knowledge of a natural number demonstrated by six year olds with a different educational span. 1. Liczba naturalna jako jedno z kluczowych pojęć matematycznych Świat opisany jest za pomocą liczb, ale to człowiek nadaje im znaczenie poprzez odniesienie do konkretów. Liczba jest pojęciem abstrakcyjnym, które stopniowo zostaje wypełnione treścią, wynikającą z zastosowania liczby w konkretnej sytuacji praktycznej jako cechy ilości, porządku, miary wielkości, wartości, symbolu czy działania. Dzieci wyrastają wśród liczb. Początkowo są jedynie świadkami bądź odbiorcami komunikatów przesyconych liczbami, których znaczenie zależy od kontekstu ich użycia. Wraz ze wzrastającą aktywnością sensomotoryczną oraz nabywaniem umiejętności komunikacyjnych, uczą się „odczytywać rzeczywistość przez okulary ludzkiej kultury” (Dolya, 2007, s.14), poznają narzędzia symboliczne, za pomocą których mogą zrozumieć i opisać świat. Początków dziecięcego liczenia można doszukiwać się w charakterystycznym zachowaniu małego dziecka, które uważnie obserwuje otoczenie, a następnie stara się wyłonić z niego poszczególne elementy i nazwać je. Pokazując obiekty, dziecko często zamiennie używa nazw właściwych dla poszczególnych przedmiotów, zaimków wskazujących bądź liczebników. Wiedzione wewnętrzną intuicją, każdemu elementowi

209

przyporządkowuje tylko jeden liczebnik. Początkowo powtarza te nazwy, ale w miarę poszerzania zakresu liczebników, zaczyna świadomie kontrolować kolejność ich wypowiadania. Dba również o to, aby nie pominąć żadnego elementu przy liczeniu. Można zatem powiedzieć, że przeliczanie jest pierwszym doświadczeniem w użyciu liczb przez dziecko. Pozwala ono wyczuwać wzory nazewnicze liczb, stosowane w naszym systemie numerycznym. Jednak to, że dzieci liczą do 10 czy 20 nie oznacza, że rozumieją, jakie wartości kryją się za każdą z wymienionych liczb. Świadczy to jedynie o znajomości liczebników i uchwyceniu pewnego rytmu podczas ich wymieniania (por. Siwek, 2004, s.161; Matzarakis, 2009, s.25). Dzięki recytowaniu nazw liczb po kolei dzieci intuicyjnie poznają to, co nazywamy aspektem porządkowym liczby. Liczba początkowo kojarzona jest ze słowem wymawianym jako część serii. Stanowi ona pojedyncze ogniwo w łańcuchu liczbowym. W toku działań na konkretach liczebnik porządkowy pozwala dziecku określić, który z kolei element w danym zbiorze jest wyodrębniony. Jednak, u podstawy rozumienia pojęcia liczby w aspekcie ordynalnym, co podkreśla Z. Cydzik (1986) „leżą stosunki ilościowe zachodzące między liczbami w ciągu liczb naturalnych”(s.64). Zatem sprawność w nazywaniu kolejnych liczebników to za mało, aby wyznaczyć właściwe miejsce danej liczbie w ciągu liczbowym. Tu potrzebne jest zrozumienie dwóch podstawowych relacji, jakie zachodzą między daną liczbą a liczbami sąsiednimi. Konieczne jest zatem stworzenie dziecku okazji do przeliczania konkretnych zbiorów przedmiotów i porządkowania ich w układzie wzrastającym lub malejącym, co pozwoli mu wychwycić stosunki ilościowe, a tym samym uzmysłowi znaczenie wymawianych liczebników. Jak zauważa E. Gruszczyk-Kolczyńska (1997, s.37), w trakcie przyporządkowywania: gest – obiekt - liczebnik, dziecko powoli zaczyna dostrzegać, że ostatni z wymienianych liczebników nazywa nie tylko wskazywany przedmiot, ale także odnosi się do wszystkich elementów zbioru i określa ich liczbę. W miarę nabywania doświadczenia w przeliczaniu dowolnych przedmiotów dziecko orientuje się, że ułożenie elementów nie wpływa na liczebność zbioru. Stopniowo też abstrahuje od różnic jakościowych, skupiając się na wspólnej cesze ilościowej, którą wyraża liczba kardynalna zbioru. Kształtowaniu poczucia „jest tyle” sprzyja powtarzający się rytm liczenia oraz określona przestrzeń czasowa dla wykonywanej czynności. Osiągnięcie intuicyjnego rozumienia liczebników głównych stanowi, zdaniem D. Wooda (2006, s.216), moment zwrotny w myśleniu matematycznym małego dziecka. Liczby uzyskują nowe znaczenie jako symbole wyrażające moc zbioru. Porównywanie liczebności zbiorów, wyróżnianie zbiorów równolicznych, wskazywanie zbiorów o określonej liczbie elementów, grupowanie obiektów zgodnie z podaną liczbą to tylko niektóre propozycje czynności, pozwalające dzieciom uchwycić istotę aspektu mnogościowego liczby. Wyjście poza przeliczanie jest kolejnym ważnym krokiem na drodze konstruowania pojęcia liczby naturalnej w umyśle dziecka. Stanowi bowiem warunek niezbędny do zrozumienia arytmetyki. Istotną kwestią jest postrzeganie liczby jako „całości”, a nie jako części procesu liczenia. Możliwe jest to dzięki tworzeniu rozpoznawalnych wzorów z przedmiotów. Zapamiętanie kształtu wzoru pozwala dziecku określić liczbę elementów bez przeliczania. To z kolei ułatwia dostrzeżenie związków zachodzących między liczbami, co stanowi podstawę wykonywania obliczeń. Umiejętność rozpoznania wzorów, będących efektem ustrukturyzowania elementów, prowadzi do dostrzegania prawidłowości. Ważne jest, aby dzieci nie operowały liczbami w sposób mechaniczny, ale zauważały reguły i świadomie je stosowały. Odkrycie wzoru daje

210

dziecku pewność działania oraz zmienia optykę patrzenia na różne sytuacje. Doświadczanie liczenia w strukturze zapewnia większą świadomość relacji z innymi liczbami, pozwala przewidywać, projektować, bezkolizyjnie przejść od konkretu do abstrakcji. Oddzielnym zagadnieniem jest poznanie wewnętrznej struktury liczb. Dzieci badają skład liczby poprzez swobodne grupowanie elementów w obrębie zbioru, tworzenie podzbiorów. Odbiciem owych działań na materiale konkretnym są reprezentacje enaktywne, które powstają w umyśle dziecka. Stanowią one fundament dla zrozumienia aspektu algebraicznego liczby. Zapis symboliczny, wyrażający możliwe warianty rozkładu określonej liczby elementów na dwie, trzy lub więcej części, uświadamia dzieciom, że „ta sama liczba kardynalna może być tworzona na różne sposoby, ale zawsze będzie to „jedna” liczba”(Wood, 2006, s.217). Wzbogacenie obrazu pojęciowego liczby o wymiar algebraiczny przybliża dziecko do wykonywania działań arytmetycznych i zapoznaje z podstawowymi własnościami tych działań. W miarę poszerzania obszaru dziecięcych eksploracji wyłaniają się coraz to nowe problemy, które wymagają nabycia kolejnych kompetencji matematycznych. Sprawdzanie: jaki jestem duży, ile kroków ma pokój, co jest cięższe: miś czy klocki kierunkuje uwagę dzieci na pomiar różnych wielkości. Poprzez tego typu ćwiczenia dzieci konstruują podstawy rozumienia aspektu miarowego liczby. Początkowo jednostki miary dobierane są w sposób dowolny, występuje szacowanie „na oko”, porównywanie pomiarów wykonanych różnymi jednostkami. Z czasem dopiero dzieci zaczynają poznawać i korzystać z ogólnie przyjętych systemów pomiaru. Według H. Siwek (2004, s.164), jest to najtrudniejszy aspekt liczby, ale też najbardziej ogólny, uniwersalny, stanowiący podstawę do wprowadzania liczb wymiernych, całkowitych i rzeczywistych. Użycie liczb w różnych codziennych sytuacjach wymaga często zapamiętania. Jeżeli liczb jest więcej, bądź trzeba dokonać na nich szeregu operacji matematycznych, wówczas niezbędne jest zanotowanie tych działań. Cyfry, których używamy w zapisie to symbole arbitralne, które nie mają żadnej logiki, nie wyglądają jak pojęcia, które oznaczają. Przyswojenie przez dziecko nazw kolejnych liczb nie jest równoznaczne ze zrozumieniem pisemnego systemu symbolicznego. Samo współwystępowanie dwóch systemów wymaga znacznego wysiłku ze strony dziecka, aby je opanować. Szczególnie dużym wyzwaniem jest przyswojenie liczb w zakresie drugiej dziesiątki, gdzie sposób zapisu za pomocą cyfr znacznie różni się od sposobu wymawiania nazw tych liczb. Często dorośli nie dostrzegają tego problemu i operują swobodnie symbolicznym i werbalnym systemem nazywania liczb, oczekując, że dzieci będą rozumiały ich sens. Stąd ważne wydaje się zorganizowanie różnorodnych ćwiczeń na konkretach, z wykorzystaniem prezentacji graficznych oraz zapisu symbolicznego, które przybliżą dzieciom dziesiątkowy system pozycyjny i ułatwią zrozumienie tego kodu. Jak wynika z wcześniejszych rozważań proces tworzenia pojęcia liczby naturalnej ma charakter złożony, wielowymiarowy. Pojęcia tego nie można poznać bezpośrednio drogą sensoryczną, ani też nie można udostępnić w postaci gotowego pakietu informacji. Pojęcie to bowiem jest efektem aktu myślenia. Powstaje w wyniku badania, łączenia wielu doświadczeń zmysłowych, które stanowią tworzywo do dalszej obróbki intelektualnej. Aby w umyśle dziecka powstało pojęcie liczby naturalnej, musi dojść do scalenia wszystkich omówionych aspektów (por. Siwek, 2004, s.165; Stucki, 1998, s.130). Rolą nauczyciela jest zatem tworzenie różnorodnych sytuacji edukacyjnych, w których dzieci będą miały okazję obserwować, manipulować, przeliczać,

211

porządkować, porównywać czy dokonywać pomiarów. Stosując różne strategie nauczania-uczenia się, nauczyciel małego dziecka powinien pamiętać, że „czynnikiem inicjującym zmiany rozwojowe jest aktywność własna osoby rozwijającej się w kontekście środowiska”(Andrzejewska, 2009, s.30). Stąd istotna jest bieżąca, funkcjonalna diagnoza, która pozwoli określić możliwości dziecka i jego gotowość do podjęcia nowych wyzwań. Przykłady procedur diagnostycznych można znaleźć w wielu opracowaniach autorstwa m.in. E. Gruszczyk-Kolczyńskiej (1997) czy D. Al-Khamisy. Ważne jest także odpowiednio przygotowane środowisko fizyczne uczenia się, które stworzy dziecku pole do gromadzenia doświadczeń niezbędnych do budowania nowych kategorii pojęciowych. Wśród materiałów edukacyjnych, jakie powinny znaleźć się w zasięgu oka i ręki dziecka, na szczególną uwagę zasługują kształty Numicon. Zabawa nimi pozwala dzieciom w wieku przedszkolnym i wczesnoszkolnym rozwijać bogate obrazy pojęciowe liczb, budować rozumienie struktury liczb oraz dostrzegać związki zachodzące pomiędzy liczbami. Wielość i różnorodność ćwiczeń stwarza okazje do rozwijania myślenia matematycznego. Odwołuje się przy tym do trzech kluczowych umiejętności małego dziecka: uczenia się przez działanie, uczenia się przez patrzenie oraz silnego wyczucia wzoru. Jednak warto pamiętać, że siła nie tkwi w klockach, ale w sposobach ich wykorzystania w procesie edukacyjnym. 2. Poziom znajomości pojęcia liczby naturalnej u dzieci 6-letnich W latach 2008-2009 przeprowadzono badania diagnostyczne, które miały na celu wykazanie zależności między długością oddziaływania edukacyjnego a poziomem rozumienia pojęcia liczby naturalnej przez dzieci w wieku przedszkolnym. Objęto nimi 93 dzieci sześcioletnich, w tym 48 dzieci uczęszczających przynajmniej 3 lata do przedszkola i 45 dzieci objętych oddziaływaniem jednorocznym. Badania były realizowane na terenie miasta Bydgoszczy przez studentów pedagogiki przedszkolnej, uczestniczących w seminarium magisterskim prowadzonym pod moim kierunkiem naukowym. W celu zebrania danych empirycznych skonstruowano test sprawdzający, w którym uwzględniono trzy aspekty liczby naturalnej: kardynalny, porządkowy i symboliczny. Dobór aspektów został podyktowany analizą treści programowych wychowania przedszkolnego, dotyczących kształtowania pojęcia liczby naturalnej. Ze względu na możliwości psychofizyczne dziecka 6-letniego, opracowano test o charakterze praktycznym. Zawierał on 12 zadań, po 4 do każdego aspektu liczby. Przyjęta procedura badawcza zakładała indywidualną rozmowę z każdym dzieckiem, podczas której badacz stawiał przedszkolaka w konkretnych sytuacjach problemowych. Zachowania prezentowane przez dzieci podczas rozwiązywania problemów były dokładnie odnotowywane, a następnie klasyfikowane ze względu na poziom poprawności i samodzielności wykonania zadania. Przyjęto następującą kategoryzację: poziom wysoki – poprawne, samodzielne wykonanie zadania; poziom średni poprawne wykonanie zadania z niewielką pomocą dorosłego; poziom niski – niepoprawne wykonanie zadania, bądź brak rozwiązania. Wartościowania uzyskanych wyników dokonano w kategoriach ilościowych i jakościowych, co pozwoliło wyprowadzić wnioski dla teorii i praktyki pedagogicznej. Zestawienie uzyskanych wyników badań prezentuje rycina 1. Porównując uzyskane wyniki badań testowych, można zauważyć wyraźne dysproporcje w prezentowanym przez dzieci sześcioletnie poziomie znajomości liczby naturalnej. Zdecydowanie lepsze rezultaty osiągnęły dzieci uczęszczające przez dłuższy

212

czas do przedszkola w porównaniu z sześciolatkami objętymi jednorocznym oddziaływaniem edukacyjnym. Rozbieżność wyników między badanymi zespołami

Ryc. 1. Poziom znajomości liczby naturalnej przez dzieci sześcioletnie uczęszczające do przedszkola i oddziału przedszkolnego

wynosi ponad 18%, i to zarówno w odniesieniu do grup prezentujących wysoki poziom rozumienia liczby naturalnej w badanych aspektach, jak i tych dzieci, które zostały zakwalifikowane zgodnie z przyjętymi kryteriami na poziom średni. Natomiast wskaźnik procentowy dzieci, które nie poradziły sobie z zadaniami, jest stosunkowo niski i ma wartość zbliżoną w obu badanych grupach. Najmniej problemów sprawiły badanym sześciolatkom zadania związane z rozumieniem liczby naturalnej w aspekcie kardynalnym. Dzieci sprawnie przeliczały przedmioty posługując się liczebnikami głównymi w zakresie 10. Niewielkie trudności, szczególnie wśród dzieci z oddziału przedszkolnego, pojawiły się przy wskazywaniu zbiorów o określonej liczbie elementów. Dzieci kilkakrotnie przeliczały elementy, zanim ostatecznie wskazały prawidłowy zbiór. Najwięcej błędów wystąpiło w zadaniach, które sprawdzały umiejętność posługiwania się odpowiedniością wzajemnie jednoznaczną dla określenia stosunków ilościowych. Dzieci, uczęszczające rok do przedszkola, nie rozumiały pojęcia „tyle samo”. Jednak przy niewielkiej pomocy dorosłego zazwyczaj poprawnie wykonywały zadania. Kolejny obszar badań dotyczył rozumienia liczby w aspekcie porządkowym. Pewnym zaskoczeniem dla badacza był relatywnie niski poziom wykonania zadania, w którym dzieci miały określać za pomocą liczebników porządkowych miejsce zabawki w szeregu. Często zmieniały brzmienie końcówki nazwy liczebnika lub podawały liczebnik główny. Natomiast nie było problemów ze wskazaniem przedmiotu, którego miejsce w szeregu określał badacz. Oznacza to, że dzieci już rozumieją, ale jeszcze nie nabyły sprawności w nazywaniu. Dużym wyzwaniem, głównie dla grupy jednorocznej, okazało się uzupełnianie brakujących liczb w ciągu liczbowym, jak również wskazanie relacji porządkujących (mniejszości, większości). Tutaj kilkoro badanych, mimo pomocy dorosłego, nie wykonało proponowanych zadań. Ostatni aspekt, który uwzględniono w badaniach testowych dotyczył znajomości cyfr jako symbolicznego zapisu liczby. Zarówno rozpoznawanie jak i nazywanie liczb w zakresie 10 zapisanych na kartonikach nie sprawiło dzieciom w obu grupach większych kłopotów. Trudności pojawiły się podczas wykonywania zadań wymagających odtworzenia z pamięci kształtu cyfr i ułożenia ich ze sznurka oraz zapisania. Najsłabiej utrwalony obraz graficzny liczby miały dzieci z oddziału przedszkolnego, stąd znaczna liczba błędów podczas wykonywania tych zadań.

213

Na podstawie analizy jakościowej zgromadzonych danych empirycznych oraz obserwacji poczynionych podczas prowadzenia badań można przyjąć, że długość oddziaływania edukacyjnego w znaczącym stopniu wpływa na poziom rozumienia liczby naturalnej przez dzieci sześcioletnie. Przedszkole bowiem stanowi przestrzeń bogatą w surowiec stymulujący doznania zmysłowe, które stanowią fundament do konstruowania osobistych struktur umysłowych i budowania kategorii pojęciowych. Nauczyciel natomiast dokonuje bieżącej diagnozy poziomu myślenia logicznomatematycznego dziecka, określa jego przedwiedzę ujmowaną w kategoriach wiedzy nieformalnej, a następnie wprowadza dziecko w celowo zaaranżowane sytuacje edukacyjne i pomaga mu w nadawaniu matematycznego sensu podejmowanym działaniom. Literatura 1. AL-KHAMISY D.: Diagnoza gotowości szkolnej sześciolatka, Raabe, Warszawa 2007. ISBN 978-83-89504-54-8. 2. ANDRZEJEWSKA J. (red): Wspieranie rozwoju kompetencji komunikacyjnych dzieci, Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, Lublin 2009. ISBN 978-83-227-2951-9. 3. CYDZIK Z.: Nauczanie matematyki w klasie pierwszej i drugiej, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1986. ISBN 83-02-02950-5. 4. DOLYA G.: Technologia rozwoju dziecka, Key to Learning Polska, 2007. ISBN 978-83-60919-00-2. 5. GRUSZCZYK-KOLCZYŃSKA E.: Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1997. ISBN 8302-06528-5. 6. MATZARAKIS D.: Jak moje dziecko może nauczyć się logiczno-matematycznego myślenia? Wydawnictwo JEDNOŚĆ, Kielce 2009. ISBN 978-83-7442-734-0. 7. SIWEK H.: Kształcenie zintegrowane na etapie wczesnoszkolnym. Rola edukacji matematycznej. Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2004. ISBN 83-7271-308-1. 8. STUCKI E.: Nauczanie matematyki w klasach niższych. Część I. Wydawnictwo Uczelniane WSP w Bydgoszczy, Bydgoszcz 1998. ISBN 83-7096-211-4. 9. WOOD D.: Jak dzieci uczą się i myślą. Społeczne konteksty rozwoju poznawczego. Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 2006. ISBN-10 83-233-21582. ISBN-13 978-83-233-2158-3.

Kontaktní adresa Jolanta Nowak, doktor Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Instytut Pedagogiki Zakład Pedagogiki Przedszkolnej ul. Chodkiewicza 30 85 – 069 Bydgoszcz e-mail: [email protected]

214

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

BURZA PYTAŃ JAKO METODYKA PRACY Z TEKSTEM MATEMATYCZNYM Zbigniew NOWAK Abstrakt Jedną z najstarszych i najpopularniejszych heurystyk stosowanych w rozwiązywaniu problemów jest brainstorming polegający na wytwarzaniu pomysłów rozwiązania z odroczonym procesem ich oceny. W artykule opisano możliwości zastosowania na lekcjach matematyki procedury wzorowanej na niej, lecz odwrotnej, której istotą jest generowanie przez uczniów pytań-problemów do podanego tekstu matematycznego, ich odroczona ocena oraz układanie do nich i rozwiązywanie zadań z treścią. BRAIN-QUESTIONING AS A METHODOLOGY OF WORKING WITH THE MATHEMATICAL TEXT Abstract Brainstorming relied on production of ideas of solutions with delayed opinion about them is one of the oldest and the most popular heuristics used in solving problems. In present article there is described the possibility that can be used during the mathematics lessons, inspired on these heuristics, but opposite – its essence constitutes generating questions-problems connected with the given mathematical text by the pupils, delayed opinion about these questions and composing and solving exercises with the text. Mniej jest trudności w rozwiązaniu problemu niż w postawieniu go. Joseph de Maistre 1. Wiem, że nie wiem Jednym z ważnych elementów pracy na lekcjach matematyki w klasach początkowych jest rozwiązywanie zadań z treścią. Nie sposób przecenić walorów tej metodyki, niemniej i ona, jak wszystko, co robimy na lekcjach, ma też swoje ograniczenia. Tak, np. wbrew temu, co się na ogół twierdzi, zadania z treścią są w swojej istocie nie tyle prawdziwymi sytuacjami życiowymi, co „preparatami” z życia. Dorosły autor zadania z całego bogactwa i złożoności okoliczności wybiera te i tylko te, które dla jego rozwiązania będą potrzebne, odrzucając wszystko, co mogłoby utrudnić dostrzeżenie i rozwiązanie problemu. Najpierw formułowane jest więc zagadnienie matematyczne, a dopiero potem szukamy dla niego „ciała”, gdy prawdziwe sytuacje życiowe powstają „od dołu”, przychodzą z całą swoją dosłownością i doniosłością, w uwikłaniu dziesiątek dodatkowych, często sprzecznych okoliczności.

215

To, co więc jest najtrudniejsze w prawdziwych sytuacjach życiowych, to nie jest rozwiązanie problemu, ile wyłowienie go z „szumu informacyjnego”, ocena i selekcja danych oraz możliwie precyzyjne ujęcie. W jakiś istotny sposób przypomina to film biograficzny gdzie patrząc wstecz z perspektywy dokonanego, wybitnego żywota wybieramy te fakty i zdarzenia, które okazały się w przyszłości ważne, ignorując wszystko to, co było nieistotne. Prawdziwe życie jest jednak otwartą księgą, tajemnicą, permanentnym ryzykiem wyborów i decyzji. Zadania „gotowe“, zamieszczane w podręcznikach są tego pozbawine. Na sztukę umiejętności zadawania pytań i ich kluczową w poznaniu funkcję zwracano uwagę od zawsze. Arystoteles twierdził, że pierwszym obowiązkiem filozofa jest się wszystkiemu dziwić, a Abelard, iż wytrwałe pytanie jest kluczem wszelkiej mądrości. Jak zaś słusznie zauważa H. Bergson: Pytanie dobrze postawione – to pytanie rozwiązane (za: Cackowski 1964: 24). Jak się podkreśla, świat przyrody i cywilizacji, jest oceanem ignorancji, która staje się problemem i może być przezwyciężona dopiero wtedy, gdy czyjś intelekt ją odzwierciedli i zada o nią pytanie. W tym sensie początkiem wszelkiej wiedzy jest sokratejskie uświadomienie sobie niewiedzy (scio me nihil scire), a sztuka zadawania pytań staje się równie ważna, jak stawiania hipotez i szukania na nie odpowiedzi. Kłopotem nauki, a co za tym idzie kłopotem nas wszystkich jest to, iż bardzo wcześnie w naszym życiu przestajemy się dziwić i zadawać pytania, a szkoła jest niestety jedną z tych instytucji, która ich stawiania skutecznie oducza. Jedną z pierwszych rzeczy, jakiej się dowiaduje uczeń w szkole jest to, iż należy wszystko rozumieć, niczemu się nie dziwić i o nic nie pytać, a nim coś się powie, albo o coś zapyta najpierw trzeba się upewnić czy pytanie można zadać: czy nie będzie niewygodne dla nauczyciela, naiwne lub ośmieszające. Jeżeli przejdzie tę wewnętrzną cenzurę, dopiero wtedy może być w miarę bezpiecznie zadane. Zważywszy że pytania dzieci są możliwością wniknięcia do mentalności, zainteresowań, nadziei i obaw dzieci, ograniczenie ich aktywności w tym względzie jest zatrzaskiwaniem jedynych bodaj drzwi, które do nich prowadzą. Burza pytań1 Wśród wielu heurystyk, które służą optymalizacji szans na rozwiązanie problemów, jedną z najstarszych i zapewne najpopularniejszą jest brianstorming znany w Polsce jako „burza mózgów”. Polega ona, jak wiadomo, na generowaniu pomysłów rozwiązania problemu z ich odroczoną oceną. Na jej podstawie, ale niejako à rebours, opracowano procedurę polegającą na nieograniczonym stawianiu pytań z ich odroczoną oceną. Metoda ta znana jako „burza pytań” (brain-questioning) może znaleźć ciekawą, jak się zdaje, aplikację na lekcjach matematyki, ucząc nie tylko dyscypliny intelektualnej, umiejętności zadawania i formułowania pytań, ale także może się przyczynić do istotnego rozwoju nieskrępowanego twórczego myślenia, które często tradycyjna edukacja ogranicza, a nawet tłumi. Burza pytań jest heurystyczną procedurą nurtu darwinowskiego, której założeniem jest przekonanie, iż ilość (pomysłów, pytań) przechodzi w jakość. Znaczy to, że im więcej zadanych zostanie pytań, tym większa jest szansa, iż znajdą się wśród 1

Podobny do opisywanego sposób pracy z tekstami matematycznymi spopularyzowała w Polsce J. Hanisz jako tzw. metodę „kruszenia”, niemniej tu dokonuję jej istotnej, jak sądzę modyfikacji i teoretycznej i praktycznej. Por. J. Hanisz, Układanie i rozwiązywanie zadań tekstowych metodą „kruszenia”. Życie Szkoły 1990, nr 8. s. 387.

216

nich pytania nowe, ciekawe i poznawczo ważne. Zasadniczymi regułami, którymi powinna się rządzić „burza pytań“ są wytyczne: 1. Nie oceniaj. Każde pytanie jest potencjalnie równie dobre. Warunkiem sukcesu jest zawieszenie wewnętrznej cenzury. 2. Ilość rodzi jakość. Im więcej postawi się pytań, tym bardziej rośnie szansa na pytania ciekawe i twórcze. 3. Współdziałaj. Rozwijaj i ulepszaj pytania wcześniej postawione (por. Nęcka 1994: 94-96). Metodyka pracy w „burzy pytań” Punktem wyjścia w „burzy pytań” jest przygotowany tekst matematyczny, który powinien być tekstem „bogatym”, tj. takim, który będąc atrakcyjny treściowo dla dzieci zawiera równocześnie wiele danych liczbowych pozwalających sformułować dużo pytań. Nie należy się martwić tym, iż początkowo dzieci nie będą umiały wykorzystać całego materiału treściowego, to przyjdzie wraz z opanowaniem procedury i rozwojem ich twórczych możliwości. Kolejność kroków metodycznych jest następująca: 1. Prezentacja treści. Ze względu na obszerność takich tekstów oraz na możliwość ich selektywnego traktowania powinny one być zawsze eksponowane w formie pisemnej, pisemno-obrazkowej itp., tak by uczniowie mieli zapewniony z nim ciągły kontakt wzrokowy. Po dokonaniu analizy treści i objaśnieniu trudności przystępujemy do części inwentycznej, która polega na układaniu pytań. 2. Wymyślanie pytań do fragmentów, lub całości tekstu. Stosując zasadę odroczonej oceny zapisujemy (nauczyciel lub sami uczniowie) wszystkie pytania generowane przez dzieci aż do wyczerpania się ich inwencji, lub ustalonego wcześniej czasu. Pytania zapisywane są anonimowo, co ma sprzyjać ich krytyce i dopracowywaniu. Jedyną możliwością ingerencji w treść pytań jest na tym etapie korekta językowa jako, że ortogramy słów będą na widoku uczniów i mogłyby doprowadzić do utrwalenia się błędów. Ta procedura jest tak odległa zwykle od szkolnych doświadczeń dzieci, że należy się liczyć z tym, iż pierwsze sesje mogą się okazać nie w pełni udane. Dzieci będą generować mało pytań i, na skutek działania cenzury wewnętrznej, w większości pytania banalne. Po zakończeniu fazy inwentycznej wskazane jest przejście na pewien czas do innych zajęć lub choćby zrobienie przerwy śródlekcyjnej. Ma to dać dzieciom czytelny sygnał przejścia do następnej fazy – krytycznej. Może się to okazać ważne, gdyż po pierwszym okresie onieśmielenia, gdy uczniowie odkryją, iż premiowana jest nieskrępowana niczym fantazja, będą mieć kłopot z szybkim przejściem do dyscypliny myśli i słowa. Inną możliwością sygnalizowania tej zmiany może być stosowanie przez nauczyciela jakichś umownych rekwizytów, np. beretu artysty w fazie twórczej, okularów w fazie krytycznej. 3. Krytyczna analiza zapisanych pytań. Odczytywane kolejno pytania są oceniane z punktu widzenia możliwości udzielenia na nie odpowiedzi. Zarówno akceptacja pytania jak i jego odrzucenie powinno być uzasadnione. Na tym etapie można także kolegialnie dopracowywać pytania. W analizie i ocenie pytań oraz przy ich odrzucaniu sugeruje się unikać wartościowania na pytania „dobre“ i „złe“. Lepiej pytać czy na dane pytanie możemy udzielić odpowiedzi, czy nie, a ciekawe pytania przed ich wymazaniem warto zapisać by móc wrócić do nich. Dzieci, których pytania zostały

217

ocenione jako „złe“, mogą nie chcieć uczestniczyć w kolejnej „burzy pytań”, lub, co gorsze, pójść drogą pytań banalnych, ale na pewno dobrych. Oprócz pytań, na które nie można odpowiedzieć z powodu braku danych, do najczęstszych wad pytań należy to, iż: a) mają charakter informacyjny (odpowiedź zawarta jest w treści), b) są pytaniami tożsamymi, co do stawianego problemu, a jedynie inaczej wyrażonymi słownie, c) są niedookreślonymi pytaniami o charakterze zależnościowym (np. „o ile jest więcej” ale nie wiadomo od czego?), d) zawierają tezę, której prawdziwość matematyczną dopiero należy dowieść (np. „o ile jest więcej jabłoni od grusz?”, gdy należy w istocie dopiero sprawdzić, których drzew jest więcej). Dwie ostatnie kategorie pytań nadają sią do wspólnej poprawy, doprecyzowania i dopracowania do standardu, który umożliwi sformułowanie do nich poprawnego zadania. 4. Do pytań, które przeszły krytyczną ocenę, dzieci korzystając z tekstu kolejno układają zadania, rozwiązują je sprawdzają rozwiązania i udzielają odpowiedzi. W przypadku klasy pierwszej, a może i drugiej, ciekawe efekty przynosi zastosowanie rozsypanki zdaniowej lub wyrazowej, z której wybierając potrzebne elementy treści uczniowie będą układać swoje zadania. Warunkiem powodzenia jest tu umiejętna selekcja danych w kontekście rozpatrywanego problemu, tak by w tekście znalazły się wyłącznie informacje konieczne i wystarczające do jego rozwiązania. Ta część przypomina zabawę z klockami lego, gdzie rozłożywszy wyjściową konstrukcję na poszczególne elementy możemy z nich budować własne konstrukcje, a wzbogacając budulec o elementy z innych zestawów jeszcze bardziej rozszerzyć zakres możliwości twórczych. 5. Powrót do pytań, które zostały odrzucone w fazie krytycznej i ustalanie warunków treści i danych liczbowych, które umożliwią sformułowanie do nich zadań i ich rozwiązywanie. Ten etap daje satysfakcję uczniom, których pytania zostały wcześniej odrzucone, tworząc ważną i pozytywną sugestię, że nie ma złych pytań, czasem tylko brak jest informacji umożliwiających udzielenie na nie odpowiedzi. Powinno to zaowocować w przyszłości większą śmiałością i inwencją w generacji pytań, co jest kluczem do sukcesu w tej procedurze. Twórczość Systematyczna praca tą, i innymi metodami heurystycznymi powinna przyczynić się do wzrostu sił twórczych uczniów, i ich wrażliwości na problemy, które można po pewnym czasie poddać prostemu badaniu, stosując znane jej kryteria zaproponowane przez Joy P.Guilforda. Są nimi: 1. Wrażliwość na problemy, rozumiana tu jako zdolność do dostrzegania nowych problemów. 2. Płynność myślenia, rozumiana tu jako liczba wytworzonych przez uczniów pytań do tekstów zawierających porównywalną liczbę danych, lub do tego samego tekstu użytego po raz drugi w pewnym dystansie czasowym. Jest to centralne kryterium w heurystyce darwinowskiej. Stopniowo uczniowie powinni wytwarzać ich coraz więcej. 3. Giętkość myślenia, rozumiana tu jako wytwarzanie różnorodnych pytań odnoszących się do wszystkich potencjalnych zależności, umiejętność kojarzenia odległych przestrzennie i tematycznie fragmentów treści tekstu.

218

Jest to kryterium bardziej uznaniowe niż poprzednie, ale w konkretnego tekstu zazwyczaj empirycznie rozstrzygalne. 4. Oryginalność myślenia. (Tu jest) rozumiana jako pojawianie unikalnych obok takich, które mają charakter powszechny i banalny. 5. Elaboracja (dopracowanie). (Tu jest) rozumiane jako umiejętność nad pytaniami w celu nadania im ciekawszej i doskonalszej Kozielecki 1992: 151)

warunkach się pytań współpracy formy (za:

Zakończenie Jeżeli omawiana procedura „burzy pytań” przyjmuje założenie, iż ilość przechodzi w jakość, to w równej mierze odnosić się to może do liczby tworzonych pomysłów, jak i do ludzi, którzy te pomysły proponują. Im więcej będzie twórczych umysłów, tym więcej będzie ciekawych pytań. Jak twierdzi Thomas S. Kuhn, w swej tyle głośnej, ile kontrowersyjnej pracy: Struktura rewolucji naukowych, wiążą się one bardziej właśnie ze stawianiem nowych, ciekawych pytań, niż z szukaniem na nie odpowiedzi (Kuhn 2001). Zapewne pisać w kontekście zabaw z dziećmi o rewolucjach naukowych jest grubą przesadą, ale z drugiej strony nigdy nie wiemy, gdzie i kiedy geniusz-rewolucjonista się objawi i czy nie chodzi może do naszej klasy?! Literatura 1. 2. 3. 4.

CACKOWSKI, Z. Problemy i pseudoproblemy. 1. wyd. Warszawa: Książka i Wiedza, 1964. 414 s. KOZIELECKI, J. Myślenie i rozwiązywanie problemów. W: Psychologia Ogólna. T. I. 1. wyd. Warszawa: PWN, 1992. 198 s. ISBN 83-01-10212-8. KUHN, T.S. Struktura rewolucji naukowych. 2. wyd. Warszawa: Wydawnictwo Fundacji Aletheia, 2001, 368 s. ISBN 83-87045-75-6. NĘCKA, E. TroP. Twórcze rozwiązywanie problemów. 1.wyd. Kraków: Oficyna Wydawnicza „Impuls“, 1995. 226 s. ISBN 83-85543-48-1.

Kontaktní adresa dr Zbigniew Nowak Uniwersytet Pedagogiczny w Krakowie ul. Ingardena 4 Telefon: +48 12 421 69 56 E-mail: [email protected]

219

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

OČAKÁVANIA A REALITA EFEKTIVITY INTERAKTÍVNEJ DIGITÁLNEJ TABULE Edita PARTOVÁ Abstrakt Príspevok sa zaoberá efektívnym a formálnym využívaním interaktívnej tabule vo vyučovaní matematiky, na prvom stupni základnej školy, pričom niektoré zistenia sú platné aj v iných predmetoch. EXPECTATIONS AND REALITY OF EFFICIENCY OF INTERACTIVE DIGITAL WHITEBOARD Abstract The paper dealls with an efficient and formal using of intaractive digital whiteboard in mathematics teaching at primary school, but some of findings are valid in other subjects. 1. Úvod Objav digitálnej tabule na trhu vzdelávacích pomôcok vyvolal obrovské nadšenie medzi učiteľmi aj žiakmi. Prvý moment prekvapenia z toho, že môžeme písať a zmazať vlastným prstom, ovládať programy na obrazovke počítača premietanej na tabuľu alebo vidíme na vlastnom počítači to čo sa píše na tabuľu je porovnateľný so zážitkom z kúzelníckeho predstavenia. Obdobie tohto nadšenia žiakov i učiteľov nepotrvá dlho preto treba využiť súčasný stav pre propagáciu aj menej atraktívnych predmetov, ktoré pomocou tabule získajú novú dimenziu a je šanca upútať pozornosť detí, a získať kladný vzťah k predmetom z ktorých verejnosť považuje za nezáživné. Dokonca dá sa očakávať aj odvážnejší efekt: v súčasnosti obľúbené predmety sa budú meniť v menšej miere, lebo sú už atraktívne. Prírodovedné predmety, na ktorých sa často nedali vhodne demonštrovať niektoré pojmy a postupy, nedali sa viackrát opakovať pokusy alebo sa nedalo reálne experimentovať, pomocou interaktívnej digitálnej tabule sa môžu vyrovnať v pútavosti. Interaktívna digitálna tabuľa je však len učebná pomôcka. Bez vhodnej metodiky, softvéru a digitálneho obsahu nemožno očakávať jej výrazný vplyv na vyučovanie. Samotná tabuľa nezmení vyučovane, aby sa ukázal prínos interaktívnej digitálnej tabule, učitelia musia zmeniť svoje vyučovacie návyky. 2. Rozšírenie digitálnych tabúľ na Slovensku Na Slovensku sa v prvej fáze rozšírili interaktívne biele tabule, teda na klasickú bielu tabulu sa pripevnilo snímacie zariadenie, spojené s počítačom a dataprojektorom.

220

Tieto zariadenia obsahovali spravidla „len“ ovládací softvér, prípadne návod na tvorbu obsahu a niekoľko málo ukážok. Napriek tomu sa tešili veľkému úspechu, ako vždy, keď sa prví nadšenci pustia do inovácie vyučovania. Pod vplyvom rôznych modernizačných projektov vznikli špeciálni predajcovia viacerých, pokročilejších modelov interaktívnych digitálnych tabúľ a dnes sa na trhu vyskytuje približne desiatka modelov. Rozdiel medzi rôznymi tabulami je niekedy len v malých detailoch. Podstatné vlastnosti majú všetky tabule rovnaké: obyčajnú bielu tabuľu zmenia na obrazovku počítača, čo znamená ovládať všetky programy priamo z tabule pomocou digitálneho pera, používať špeciálny softvér tabule, teda písať kresliť, tak, ako na klasickú tabuľu, všetky záznamy sa dajú uchovať, vytlačiť alebo zmazať, je možnosť používania farebných pier, gumovania a vkladania obrázkov alebo pozadia. Presnosť ovládania, predná alebo zadná projekcia, komfort premietacieho zariadenia (projektora) ovplyvňujú kvalitu interaktívnych digitálnych tabúľ ale za zásadné rozdiely možno považovať: a) možnosť zdieľania súborov medzi niekoľkými počítačmi a tabuľou b) možnosť ovládania dotykom. 3.

Očakávania voči interaktívnych tabúľ Spravidla považuje za znak efektivity, že žiaci sa naučia viac učiva za kratší čas, preto aj v propagácií interaktívnych tabúľ sa tento argument odznieva. Domnievame sa, že vo vyučovacom procese by sa mali sledovať iné ukazovatele, trvácnosť, hĺbka a šírka poznatkov, začlenenie nových poznatkov do rôznych štruktúr známych poznatkov, schopnosť zmysluplne požívať poznatky a v tejto oblasti má interaktívna digitálna tabuľa vysoký potenciál. Ak očakávame, že digitálna tabuľa bude „učiť bez učiteľa“ alebo pomocou digitálnej tabule sa budú žiaci učiť bez námahy alebo sa za daný vyučovací čas osvoja dvojnásobok predpísaného učiva, alebo sa automaticky zlepšia ich známky, budeme sklamaní. Účinok digitálnej tabule závisí od profesionálnych kvalít učiteľa. Očakávania, že učiteľ bude mať menej práce sú tiež mylné, učiteľ sa musí vzdelávať a pripravovať sa na vyučovanie neobvyklým spôsobom, v ktorej využije možnosti interaktívnej digitálnej tabule a tým dosiahne vyššiu kvalitu vyučovania. 4. Súčasný stav používania interaktívnej digitálnej tabule na Slovensku Interaktívne tabule na školách zastihol podobný osud, aký sme pozorovali pri rozšírení počítačov do škôl. Pre niektoré školy to bola očakávaná modernizácia, pre druhé neželaná záťaž a práca naviac a pre niektoré nanútená zbytočnosť. V súčasnosti existujú školy, na ktorých je v každej triede interaktívna tabuľa, sú také kde je niekoľko interaktívnych tabúľ (3-4), na niektorých je jedna tabuľa v špeciálnej učebni a na niektorých ešte nemajú interaktívnu tabuľu. Údaje, ktoré uvádzame nie sú výsledkom veľkého výskumu, boli získané na dostupnej vzorke prevažne v Bratislave a širšom okolí počas pedagogickej praxe študentov, na základe informácií externých študentov, a absolventov študijného odboru učiteľstvo pre 1.stupeň ZŠ. Spôsoby využitia tabule sú na základe týchto informácií rôznorodé, čo sa týka efektivity, metód aj frekvencie. Zatiaľ sa nedajú zistiť žiadne pravidlá ani tendencie vo využívaní, jedine čo podľa uvedených zistení dá konštatovať je, že tam, kde je nadšený učiteľ (učitelia) sa interaktívna tabuľa používa často a tam, kde sa učitelia len zoznamujú s tabuľou používajú sporadicky. Nie je zriedkavý ani administratívny prístup k používaniu tabule,

221

teda tabuľa je zatvorená v špeciálnej učebni, sprístupňuje sa „na kľúč“ a šetrí sa energiou, čo znamená, že tabuľa sa takmer nepoužíva. Druhý aspekt používania interaktívnej tabule je efektivita. V tejto oblasti sú v rovnakej situácii učitelia nadšenci, ako tí, ktorí sa snažia zoznámiť s novou pomôckou. Je pomerne málo skutočne užitočných kurzov, seminárov, kde by učitelia mohli získať osvedčené návody vyskúšané a overené postupy používania interaktívnej tabule, väčšinou sú odkázaní na inštruktáž predajcov a dodávaný softvér. Ďalší digitálny obsah musia tvoriť sami, čo znamená naučiť sa pracovať v novom digitálnom prostredí. Niekoľko expertných skupín pracuje v súčasnosti na príprave alebo implementácii obsahu aj metód a foriem vyučovania pomocou digitálnej tabule, preto by sa mal tento stav v blízkej budúcnosti zlepšiť. Treba upozorniť na triezvy prístup k tejto novej naozaj účinnej pomôcke a očakávať od jej používania to, v čom je skutočne efektívna a neočakávať to, čo tabuľa neposkytuje. 5. Prínos interaktívnej tabule pre zefektívnenie vyučovania Niektorí učitelia sa domnievajú, že sa interaktívna tabuľa využívala len na premietanie obsahu obrazovky počítača, teda slúži ako premietacie plátno. Tento skreslený názor vzniká pre nadmerné zdôraznenie možnosti zachovania všetkých funkcií doteraz používaného softvéru (text, tabuľka, prezentácia, kreslenie a pod.) na úkor vyzdvihnutia nových možností, technických i pedagogických. Pokúsime sa sformulovať v čom vidíme hlavný prínos digitálnej tabule: • Motivačný účinok- digitálna tabula pripomína dnešným deťom svoje digitálne hračky, nemusia sa vrátiť k pomôckam, ktoré sú z ich pohľadu zastaralé, získajú nové poznatky a skúsenosti tým istým spôsobom ako sa zabávajú. • Interaktivita- narozdiel od premietacieho plátna digitálna tabuľa je interaktívna, čo sa premieta môžu žiaci doplniť, dokončiť, dotvoriť, prerobiť, priamo na tabuli digitálnym perom alebo rukou, tak ako na klasickej tabuli robili kriedou. Naviac môžu interaktívne zasahovať do obsahu zo svojho vlastného počítača. Interaktivita vyžaduje od žiakov aktívnu účasť na dianí v triede. • Rozširovanie a prehlbovanie poznatkov- interaktívna digitálna tabuľa umožňuje rýchly a jednoduchý prechod medzi rôznymi digitálnymi materiálmi: webové stránky, výučbový softvér, prezentácia tabuľový softvér, text apod. čím umožňuje objaviť súvislosti medzi rôznymi zdanlivo nesúvisiacimi témami. • Manipulácia- hoci deti nemanipulujú so skutočnými predmetmi, prichytenie a presúvanie obrázkov dáva pocit skutočnej jednoduchej manipulácie, kým ovládanie obrázkov myšou je komplikovaná riadiaca činnosť. Tento efekt oceňujú najmä mladší žiaci a deti v predškolskom veku. Narábanie myšou vyžaduje riadenie na diaľku: vykonávajú pohyby na vodorovnej ploche stola a výsledok sa ukáže na obrazovke, čo je pre malé deti nielen namáhavá fyzická činnosť ale i psychická. • Príprava na vyučovanie- treba konštatovať, že digitálna tabuľa je pomôcka predovšetkým pre učiteľa. Na začiatku vyžaduje vynaloženie pomerne veľkej námahy na vzdelávanie a tvorivosť pri overení, hľadaní a tvorbe vzdelávacieho obsahu. Možnosť ukladania a opätovného vyvolania a dotvorenia už vypracovaného obsahu pri dlhodobom používaní prináša svoje výhody. • Skupinová práca- vypracovať. kontrolovať a hodnotiť skupinovú prácu žiakov znamená pre učiteľa prácu naviac (pripraviť texty alebo obrázky pre každú

222

skupinu, vytlačiť, vytvoriť hodnotiaci systém). Na digitálnej tabuli s možnosťou zdieľania je to pohodlné a výsledky práce môžu žiaci prezentovať priamo na veľkej tabuli, učiteľ na veľkej tabuli môže sledovať priebeh práce skupiny pričom skupiny sa navzájom nevidia. Uľahčenie skupinovej práce vedie aj k zjednodušeniu diferencovanej práce žiakov. 6. Zahraničné skúsenosti Prvou je hodnotiaca správa národného projektu „Projekt rozširovania digitálnej tabule na základných školách„ ktorú zverejnil kolektív Metropolytan University v Manchester v Anglicku v roku 2007. Jedným z cieľov výskumu bolo overiť vzdelávací dopad a efektivitu požívania digitálnej tabule. Zistenia: • vo všeobecnosti učitelia prijímali novú pomôcku s nadšením, lebo videli jej okamžité využitie pre frontálne vyučovane, • žiaci prijímali nadšením tabuľu, lebo im umožňuje „vidieť učivo“, • tabule boli pevne namontované v triedach a učitelia spravidla nechali tabuľu zapnutú celý deň, aj vtedy, keď nepoužívali. • najvýznamnejší vplyv na používanie interaktívnej tabule mala dĺžka času používania. • ak učitelia používajú tabuľu dlhodobo a majú podporu, sú schopní zmeniť svoje vyučovacie stratégie. Morison a Kirby sledovali vplyv implementácie v interaktívnej tabule Smartboard v USA a zistili:

90% učiteľov sa cíti pohodlnejšie a sebaistejšie v triede počas používania interaktívnej tabule. 95% učiteľov používa interaktívnu tabuľu denne na prezentáciu obsahu vyučovania a na získanie záujmu žiakov zapojiť sa do vyučovania, 50% používa aj priložený softvér. Učitelia najčastejšie vykonávali tieto činnosti v triede s interaktívnou tabuľou: prezentácia a upevnenie vyučovacích faktov a postupov, vyvodenie špeciálnych informácií pre sprístupnenie učiva alebo obohatenie témy, individuálne činnosti alebo práca v malých skupinách, interaktívne didaktické hry, opakovanie učiva, precvičovanie učiva. 81% učiteľov uviedlo že sa zvýšila ich schopnosť diferencovane vyučovať 62% uviedlo že dostatočne pochopili ako môžu využiť interaktívnu tabuľu pre plánovane vyučovania. 7. Záver Interaktívna digitálna tabuľa je nepochybne pomôckou 21. storočia. Rozširovanie tejto pomôcky podporujú na Slovensku rôzne projekty. Po skúsenostiach so zavedením počítačov do vyučovania máme možnosť sa vyvarovať podobných chýb pri implementácii interaktívnej tabule do vyučovania. Spravidla najjednoduchšia fáza projektu je vybavení škôl technikou. Veríme, že tentokrát projekty budú pokračovať aj vzdelávaním učiteľov a inými spôsobmi podpory učiteľovej práce napríklad: tvorba digitálneho obsahu, kritické hodnotenie profesionálne vytvoreného obsahu, podpora odborných tímov (odborník pre pedagogiku, psychológiu a vyučovací predmet, informatik, výtvarník) pre tvorbu digitálnych materiálov. Zodpovedné školské orgány by mali podporovať intenzívnejšiu spoluprácu učiteľov z rôznych škôl. Pedagogické

223

fakulty musia držať krok s vývojom a do predmetovej aj metodickej prípravy učiteľov musia zaradiť aj prácu s interaktívnou tabuľou, na Pedagogickej fakulte univerzity Komenského už niekoľko rokov plníme túto úlohu. Príspevok bol spracovaný ako súčasť projektu MŠ SR KEGA 3/7027/09 Vyučovanie matematiky a prírodovedy pomocou interaktívnej tabule.

Literatura 1. MORRISON,B., KIRBY,P.:Applying SMART Board Technology in Elementary School Classrooms: Investigation of a School-Wide Initiative. University of New Brunswick, 2008, dostupné na: www.smarttech.com 2. Kolektív:Evaluation of the Primary Schools Whiteboard Expansion Project. Education & Social Research Institute, Manchester Metropolitan University, 2007, dostupné na: http://www.becta.org.uk 3. PARTOVÁ, E. – ŽILKOVÁ, K.: Schopnosť odhaliť lineárny vzor pomocou softvéru u detí predškolského veku. In: IMEM Congress 2009. Ružomberok : Katolícka univerzita, Pedagogická fakulta, 2009 S. 648-653 ISBN 978-80-8084471-4.

Kontaktní adresa doc. RNDr.Edita Partová, Csc. Univerzita Komenského v Bratislave, Pedagogická fakulta Račianska 59, Bratislava E-mail: [email protected]

224

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

ROZVÍJANIE POJMU RELÁCIA V PREDŠKOLSKOM VEKU PROSTRIEDKAMI IKT Edita PARTOVÁ, Katarína ŽILKOVÁ Abstrakt Príspevok sa zaoberá metódami a prostriedkami rozvíjania pojmu relácia v predprimárnom vzdelávaní. Podrobnejšie sú rozpracované výsledky pozorovania detí počas práce s počítačovým programom na počítači aj na digitálnej tabuli. Prekvapujúcim výsledkom bol prirodzený, intuitívny prístup detí k obsluhe digitálnej tabule a k riešeniu úloh. DEVELOPING OF RELATION SENSE BY USING OF ICT IN PRESCHOOL EDUCATION Abstract Paper deals with teaching methods, and tools for developing of sense of relations in preschool education. There is detailed analysis of observation of children’s activities with computer and digital whiteboard. The surprising result was the intuitive approach to solving problems and to handling digital whiteboard.

1. Relácie a ich význam Relácie v predškolskej príprave sú jedným z kľúčových matematických pojmov, ktoré sú potrebné pre budovanie systému matematických pojmov, ale tvoria aj základ pre mnohé kľúčové kompetencie napr. „riešenie problémov a tvorivosť, uvažovanie a učenie, argumentácia a hodnotenie“, teda majú širšie uplatnenie ako len oblasť matematiky. Nie je náhodou, že v každom predškolskom vzdelávacom programe (kurikulum) doma i v zahraničí majú relácie ústredné postavenie. Téma relácie bola aj medzi prvými námetmi pre tvorcov výučbového softvéru. Vzdelávací program v predprimárnom vzdelávaní kladie hlavný dôraz na triedenie a usporiadanie, teda na reláciu ekvivalencie a reláciu usporiadania na množine. Edukačné aktivity pri rozvíjaní uvedených predstáv prebiehajú v situáciách, ktoré sú blízke detskému svetu a používajú sa veku primerané pomôcky. Treba dbať na postupný prechod medzi reprezentáciami od konkrétneho k abstraktnému. Postupne sa zvyšuje stupeň abstrakcie od najnižšieho veku v malých krokoch, pričom sa očakáva, že pred nástupom do školy bude na úrovni ikonickej reprezentácie, čo je základ k pochopeniu pojmu číslo. (V tejto súvislosti treba kriticky hodnotiť obsah vzdelávacieho programu v oblasti vykonávania operácií s číslami, na čo nie je pripravené myslenie detí a hrozí falošné hodnotenie zapamätaných základných spojov za pochopenie operácií.)

225

Reprezentácie pojmov Pri aktivitách sa používajú na začiatku vzdelávacieho procesu konkrétne predmety zo školského alebo rodinného prostredia, alebo priamo osoby v reálnom priestore. Podľa úrovne rozvoja abstraktného myslenia je možné postupne striedať reálne predmety obrázkami, virtuálnymi predmetmi až nakoniec symbolmi ak dieťa preukáže nadpriemernú schopnosť abstrakcie. Podobná postupnosť sa dodržuje pri činnostiach (aktivitách), ktoré dieťa používa pri osvojovaní pojmov usporiadanie resp. triedenie. Bezpodmienečne musia začať manipuláciou so skutočnými predmetmi alebo pohybovať sa v reálnom priestore, neskôr nasleduje manipulácia s obrázkami (rovinnými útvarmi), neskôr s virtuálnym obrázkom, až nakoniec sa zavedie symbol, pravidlo, na vyznačenie výsledku usporiadania a triedenia (napríklad spojiť čiarou). 2. Triedenie a usporiadanie v predškolskej matematike Proces poznávania matematických pojmov na predprimárnom stupni vzdelávania sa spravidla začína a veľmi často ani nedospeje k vzniku poznatkov, iba k vytvoreniu modelov, niekedy len separovaných. Hlavným cieľom je získať skúsenosti s modelmi matematických pojmov a postupov. Koncom 20. storočia intenzívne vstúpili do vzdelávania informačné technológie, ktoré rozšírili priestor pre modelovanie, začali sa používať virtuálne modely. V súčasnosti je dostupné množstvo softvéru, ktorý rozvíja kompetencie triedenia a usporiadania. Počas vzdelávania učiteľov pre materské školy sme zistili, že napriek dostupnosti, nie je efektivita používania informačných technológií a internetových zdrojov na želanej úrovni. Dôvodov je niekoľko a v rôznych oblastiach: • v teoretickej oblasti si niekedy neuvedomujú učitelia, že nevhodne voleným príkladom alebo úlohou môže dôjsť k skresleniu predstavy; • zvolená metodika je zameraná len na špeciálny prípad; • softvér je spravidla v cudzej reči; • veľký softvérový balík neumožňuje pohotové využívanie cvičenia pre danú vekovú skupinu. Samozrejme, že sú aj vynikajúce internetové lokality s danou tematikou, rešpektujúce vedeckú pravdivosť, vekové odlišnosti, stupeň náročnosti, interaktivitu, spätnú väzbu. Za takú považujeme napríklad: www.nlvm.usu.edu, www.ixl.com. Našou snahou bolo vytvoriť podobné vzdelávacie zdroje v slovenskom jazyku, prispôsobené požiadavkám slovenských škôl a materských škôl. Preto sme v roku 2000 vytvorili internetový portál www.matika.sk, kde postupne uverejňujeme didaktický softvér pre primárne a predprimárne vzdelávanie. 3. Výskum adekvátnosti programov Prvá fáza výskumu bola zameraná na oblasť usporiadania. Vytvorili sme niekoľko počítačových programov pre usporiadanie podľa predloženého vzoru. Používali sme len lineárne vzory so stupňujúcou náročnosťou. Viac o tejto fáze sa dočítate v [4]. Na základe skúseností z prvej fázy výskumu, ktorá sa uskutočnila v špeciálnej počítačovej učebni pri frontálnom zamestnaní a deti pracovali len s počítačom, sme urobili v druhej fáze výskumu niekoľko zmien: • Pridali sme k lineárnym vzorom úlohu na usporiadanie podľa počtu (obr. 2) a triedenie na dve triedy podľa jedného kritéria (obr. 1). • Zvolili sme metódu prípadových štúdií individuálnej práce detí.

226

• Použili sme rôzne typy pomôcok, najskôr skutočné predmety (kocky), neskôr počítač a nakoniec digitálnu tabuľu. 4. Didaktické hľadiská pri tvorbe programov Tvorba uvedených programov zameraných podľa vzdelávacieho obsahu na triedenie a usporiadanie prebiehala vo viacerých etapách. V etape navrhovania programu bolo potrebné rozhodnúť o niekoľkých strategicky dôležitých otázkach. K najdôležitejším z nich možno zaradiť: • definovanie požiadaviek na proces z hľadiska funkčnosti programov; • výber prostredia, v ktorom sa budú programy tvoriť; • návrh scenára a algoritmických prípadových štúdií (workflow, usecase); • návrh spôsobu ovládania z hľadiska cieľového užívateľa; • výber konkrétnych objektov, ktoré sa budú triediť a usporadúvať; • výber používaných farieb; • hrubý náčrt celkového vzhľadu programu. Po predchádzajúcej analýze pokračoval proces tvorby programov v aplikačnej rovine v programovacom prostredí Imagine. O technickej stránke z hľadiska použitých programovacích techník a štruktúr sa zmieňovať v tomto príspevku nebudeme. Po prvých testovacích overovaniach (uskutočnených na detskej, ale aj dospelej populácii z blízkeho kruhu autoriek) bolo potrebné uskutočniť niektoré zmeny týkajúce sa najmä užívateľského hľadiska. K najviac diskutovaným problémom patril spôsob umiestňovania predmetov dieťaťom, t. j. či bude dieťa premiestňovať objekty stlačením a zároveň premiestnením počítačovej myši, alebo len stlačením niektorého z tlačidiel, resp. tzv. „dvojklikom“.

Obr. 1 Triedenie podľa farieb

Obr. 2 Usporiadanie podľa počtu

Výsledné programy možno kategorizovať ako uzavreté interaktívne výučbové prostredia, pri využití ktorých sa vyžaduje skúmanie modelu bez možnosti zásadne ho meniť. Istá variabilita je, v prípade programov o triedení, zabezpečená generovaním rôznych tvarov, resp. farieb, alebo v prípade usporiadania v prvotnom náhodnom zobrazení objektov (generovanie vzoru, usporiadanie podľa počtu), ktoré je treba usporiadať. Tieto modifikácie založené síce na náhodnom generovaní farieb, tvarov, alebo počtu sú korigované tak, aby bolo možné zabezpečiť gradáciu úloh z hľadiska ich náročnosti. Ďalšie požiadavky, ktoré bolo nutné akceptovať pri tvorbe programov, vychádzajú z potreby rešpektovať vek cieľovej skupiny. Preto je výsledný vzhľad jednoduchý, prehľadný, bez špeciálnych efektov a rušivých prvkov, ktoré by mohli byť príčinou

227

odpútania pozornosti. Tiež spôsob ovládania programov je intuitívny a ľahko zvládnuteľný. Používanie programov nie je závislé na znalosti niektorého z jazykov a sú odolné voči nechceným vstupom (preklepom, „klikom“ myši, alebo iným chybám začiatočníkov). Ďalším didaktickým často diskutovaným kritériom je zabezpečenie spätnej väzby. V nami vytvorených programoch je spätná väzba zabezpečená interaktívnou vizuálnou odpoveďou na vstupný podnet. Forma pozitívnej reakcie spočíva v tom, že sa vytvorí odtlačok daného útvaru na vopred stanovenom mieste, alebo zostane útvar na pozícii, na ktorej ho dieťa zanechá. Negatívnou odpoveďou je, že sa aktívny útvar vráti na pôvodné (domovské) miesto. Z viacerých pedagogicko-psychologických dôvodov akcentujeme však dôležitosť prítomnosti učiteľa pri používaní edukačného softvéru, preto nie je potrebná iná forma spätnej väzby. Z vyššie uvedených charakteristík programov tematicky cielených na oblasť triedenia a usporiadania vyplýva, že ich možno kategorizovať aj ako vzdelávacie programy zamerané na učenie objavovaním, skúsenostné učenie, ale aj programy určené na precvičovanie. 5. Didaktické efekty digitálnej tabule Prvé skúsenosti z overovania adekvátnosti programov prostredníctvom digitálnej interaktívnej tabule s deťmi predškolského veku naznačujú niektoré pozitívne, ale aj negatívne znaky v kontexte porovnania práce detí s počítačom a počítačovou myšou. 6.1. Manipulácia s virtuálnymi predmetmi na digitálnej tabuli Pomerne veľkým prekvapením bola skutočnosť, že šesťročné dieťa sa postavilo k interaktívnej tabuli (ktorú pred overovaním nikdy nevidelo) prirodzene, bez ostychu a bez strachu. Po formulácii úlohy, aby roztriedilo útvary zobrazené na tabuli podľa tvaru tak, že ich môže chytiť rukou, automaticky začalo presúvať geometrické útvary po tabuli na vyhradené miesta. Zo začiatku bolo premiestňovanie úplne plynulé a nerobilo žiaden problém. Neskôr dieťa činnosť zrýchlilo, čoho následkom bola sťažená manipulácia s objektmi. Preto sme ponúkli dieťaťu na premiestňovanie predmetov digitálne pero. Veľmi rýchlo objavilo princíp manipulácie s perom, zintenzívnilo silu dotyku na objekt a ďalší priebeh bol opäť pomerne plynulý. Použitie interaktívnej tabule pomohlo odstrániť príznačný problém manipulácie s počítačovou myšou, ktorá nie je pre dieťa prirodzenou činnosťou a v mnohých prípadoch si vyžaduje špeciálny nácvik. Následkom prílišnej sústredenosti na obsluhu počítača je odpútanie pozornosti od podstaty problému. Pozitívnym efektom sa javí aj to, že riešenie úlohy pri interaktívnej tabuli umožňuje dieťaťu voľný pohyb, a tiež prirodzenú komunikáciu s učiteľom, resp. spolužiakmi. Činnosť nie je silne individualizovaná a učiteľ má tak možnosť využiť pri aktivitách rôzne organizačné formy a vyučovacie metódy. Sporná stránka použitia interaktívnej tabule je spojená s jej nasvecovaním pomocou projektora. K dispozícii sme mali len spôsob osvetľovania tabule zdola a spredu. Pri tomto spôsobe si často užívateľ nevhodne tieni. Milým prekvapením bolo, že dieťa intuitívne odstúpilo od tabule tak, aby si robilo minimálny tieň, a zároveň malo prehľad o tom, ako má útvary rozmiestnené. Rozhodovanie, zdôvodňovanie, sebakontrola Pri práci s počítačom bolo veľakrát náročné zistiť myšlienkové pochody dieťaťa pri hľadaní kľúča na triedenie alebo usporiadanie. Deti bez slov pozerali na monitor a po rozhodnutí premiestnili niektorý z útvarov na predznačené miesto. Identifikácia opodstatnenosti rozhodnutia (objav pravidla, alebo metóda pokus - omyl) je náročná

228

a nie vždy možná. Pri práci s interaktívnou tabuľou sme si všimli momenty rozhodovania dieťaťa a pochopenia. Činnostne sa táto skutočnosť prejavila napríklad ukazovaním si pokračovania vzoru rukou (perom), podobne určovaním počtu, pokyvovaním hlavy, jemným šepkaním a tiež už aj po prvotnom rozhodnutí (v priebehu realizácie premiestňovania) spomalením činnosti, či zastavením vykonávalo dieťa sebakontrolu. Tieto skutočnosti sú mimoriadne dôležité pre učiteľa nielen pri identifikácii zdroja prípadného problému a v následnej možnosti navigovať dieťa, či poskytnúť mu podporné pomôcky, ale aj pri konkrétnejšej pochvale o postupe dieťaťa. Záver Zistenia na základe pozorovania detí pri riešení úloh sú v súlade s očakávanými výstupnými kompetenciami pre predškolský vek: „...hľadá a objavuje súvislosti medzi jednotlivými informáciami, objavuje tie, ktoré sú nápomocné pri riešení problému...“ Naviac sa javí, že uplatnenie relácii pri zložitých úlohách by mohol byť jeden z prejavov nadpriemerných matematických schopností, podobne ako spontánny prístup k informačným technológiám. Overenie týchto domnienok bude predmetom ďalších výskumných projektov. Príspevok bol spracovaný ako súčasť grantových projektov MŠ SR KEGA 3/6021/08 a MŠ SR KEGA 3/7027/09 zaoberajúcich sa problematikou vyučovania matematiky a prírodovedy pomocou interaktívnej tabule.

Literatúra 1. 2. 3. 4.

BELZ, H. – SIEGRIST, M. Klíčové kompetence a jejich rozvíjení. Portál, Praha, 2001. ISBN80-7178-479-6 BLOCK, S.: Learning Technology by Stephen Block: Classification of educational software. Keele University, 1995. Dostupné na: http://www.keele.ac.uk/depts/aa/landt/lt/docs/atcbttyp.htm ORTON, A. Patterns in the teaching and learning of mathematics. London ; New York : Continuum, series: Continuum studies in mathematics education, 2005. PARTOVÁ, E. – ŽILKOVÁ, K.: Schopnosť odhaliť lineárny vzor pomocou softvéru u detí predškolského veku. In: IMEM Congress 2009. Ružomberok : Katolícka univerzita, Pedagogická fakulta, 2009 S. 648-653 ISBN 978-80-8084471-4

Kontaktná adresa Doc. RNDr. Edita Partová, CSc. Pedagogická fakulta, Univerzita J. Selyeho v Komárne Bratislavská cesta 3322, 94501 Komárno e-mail: [email protected] PaedDr. Katarína Žilková, PhD. Pedagogická fakulta, Univerzita Komenského v Bratislave Račianska 59, 813 34 Bratislava, SR E-mail: [email protected]

229

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

VÝROKOVÁ LOGIKA VO VYUČOVANÍ ELEMENTÁRNEJ MATEMATIKY Gabriela PAVLOVIČOVÁ Abstract V príspevku sa zaoberáme rozvojom logického myslenia žiakov primárneho stupňa vzdelávania. Vychádzame z potreby rozvoja kritického myslenia ako jednej zo základných kognitívnych kompetencií človeka. Primerane veku dieťaťa, podľa Piagetovej teórie kognitívneho vývoja jedinca, navrhujeme didaktickú aktivitu zameranú na triedenie súboru objektov podľa viacerých charakteristík. Podmienky výberu správneho objektu sú formulované ako zložené výroky tvaru konjunkcie, disjunkcie a negácie. Taktiež uvádzame tabuľkový záznam tohto triedenia a aplikáciu tejto aktivity pri štúdiu výrokovej logiky na vysokej škole. SENTENTIONAL CALCULUS IN TEACHING ELEMENTARY MATHEMATICS Abstract In this article we deal with development of pupil´s logical thinking at the primary level of education. The reason for it lies in requirement of development of critical thinking as one of the man´s basic cognitive competence. According to Piaget´s theory of men´s cognitive development we propose didactic activity which is focused on sorting out the set of objects by various characteristics. Conditions for choosing a correct object are formulated as a logical conjunction, disjunction and negation of a predication. We also present table of this sorting and application of this activity as a part of sententional calculus at the university.

1. Teoretické východiská Medzi kľúčové kognitívne kompetencie človeka Turek, I. (2008,s.214-215) zaraďuje riešenie problémov, kritické myslenie a tvorivé myslenie. Kritické myslenie má zásadný vplyv na efektívne učenie sa a jednou z jeho kompetencií je i schopnosť používať kritériá – intelektuálne štandardy, na hodnotenie kvality myslenia (je moje myslenie, tvrdenie jasné, správne, presné, zamerané komplexne na problém, je logické?). Logického myslenie je úzko spojené práve s kritickým myslením a jeho rozvoj je jedným z cieľov vyučovania matematiky na všetkých stupňoch vzdelávania. Z hľadiska psychológie vývoja detského myslenia je určité vekové obdobie zvlášť priaznivé pre jeho vývin. Podľa Piagetovej teórie kognitívneho vývoja jedinca ( Čáp, Mareš, 2007, s.393) je to vekové obdobie 7-8 až 11-12 označené ako tretie vývojové štádium – štádium konkrétnych operácií, v ktorom dôležitými procesmi sú:

230

•

logické myslenie a operovanie s abstraktnými pojmami, no zatiaľ len vo vzťahu ku konkrétnym objektom, ktoré môže dieťa priamo vnímať svojimi zmyslami, • dieťa je v tomto období schopné pochopiť identitu, overuje si aj vratnosť mentálnych operácií, • chápe stálosť počtu objektov (okolo 6 rokov) a stálosť hmotnosti objektov (okolo 9 rokov), • dokáže triediť podľa viacerých charakteristík ( nie len podľa jednej ako doteraz), • experimentuje (nie však systematicky). Ako uvádza Čáp, J. (2007, s.393), “dieťa je aktívne, stretáva sa s poznávacími konfliktami a snaží sa ich riešiť. Za týmto účelom prechádza od jednej operácie k druhej, overuje priame a vratné operácie, zoskupuje ich do zložitejších štruktúr, čo je podstatné pre riešenie problémov a pre vývoj intelektu.” Vidíme, že práve primárny stupeň vzdelávania je vhodným obdobím pre rozvoj logického myslenia a je potrebné ponúknuť žiakom dostatok podnetov a problémových úloh z tejto oblasti matematiky. Aktuálne sa týmto otázkam venuje aj štátny vzdelávací program, v ktorom sa v rámci riešenia aplikačných úloh a úloh rozvíjajúcich špecifické matematické myslenie očakáva nadobudnutie týchto žiackych postojov: žiak • rozlišuje a triedi svet okolo seba podľa pravdivosti a nepravdivosti javov, • nadobúda pocit potreby kvantifikácie javov svojho okolia, • uvedomuje si dôležitosť triedenia javov a vecí, • získa potrebu vedieť zdôvodniť pravdivosť alebo nepravdivosť výrokov, situácie (obrázkovej alebo situačnej). V súvislosti s konkrétnou realizáciou školskej reformy a jej požiadaviek sa ponúka otázka pripravenosti učiteľov z praxe a ich schopnosti správne sa vyjadrovať a formulovať svoje otázky a tvrdenia cieľavedome tak, aby so žiakmi komunikovali podľa princípov výrokovej logiky. Priestor na zvyšovanie týchto matematických kompetencií učiteľov vidíme v rámci ich kontinuálneho vzdelávania. Na čo však musíme klásť dôraz ako učitelia budúcich učiteľov je naučiť študentov primárneho stupňa vzdelávania aplikovať novonadobudnuté vedomosti z výrokovej logiky v konkrétnych úlohách a problémoch určených žiakom 1. stupňa ZŠ. Preto sme svoje i my úsilie sústredili na tvorbu úloh a aktivít, ktoré by boli konkrétnym návodom ako pracovať so žiakmi v škole a zároveň pripravovať budúcich učiteľov. Motivovala nás účasť na seminári s belgickou lektorkou Sandrou Loyens, ktorá prezentovala hru s deťmi v materskej škole zameranú na rozvoj logického myslenia detí. 2. Didaktická aktivita: BYSTRÉ HLAVIČKY Popis aktivity Na prezentovanie hlavnej myšlienky tejto aktivity sme si vybrali súbor objektov – „bystrých hlavičiek“ – ktoré sa líšia dvomi charakteristikami(znakmi): tvarom čapice (trojuholník, štvoruholník) a vzorom čapice (bodkovaná, pásikovaná, károvaná). Pripravíme si tento materiál z papiera a na začiatku vyzveme žiakov, aby vytvorili skupinky týchto hlavičiek podľa nejakého spoločného znaku. Týmto spoločne s nimi odhalíme charakteristické znaky odlišnosti týchto objektov. Pokračujeme tým, že žiakov vyzveme, aby ukázali hlavičku podľa našich inštrukcií, pričom použijeme len dichotomické triedenie, napr. ukáž hlavičku, ktorej čapica má tvar trojuholníka; ukáž

231

hlavičku, ktorej čapica nie je pásikovaná.... Potom sa sústredíme na triedenie objektov podľa dvoch znakov, pričom budeme vytvárať zložené výroky vo forme konjunkcie, disjunkcie a negácie. Manipulačná činnosť

A.

Vyberte hlavičku s čapicou, ktorá má tvar trojuholníka a je bodkovaná.

Dôležitá je uvedená formulácia, vyhýbame sa formulácii tvaru: Vyberte panáčika s bodkovanou trojuholníkovou čapicou. Našim cieľom je uvedomenie si práve spojky a. Žiaci viacerými obmenenými výbermi s použitím spojky a, intuitívne zistia, že správny je stále len jeden objekt. B.

Vyberte panáčika s čapicou, ktorá má tvar trojuholníka a nie je bodkovaná.

Negácia druhej podmienky umožňuje správny výber z dvoch ďalších možností pre vzor čapice – pásikovaná a károvaná. Uvedomujeme si, že použitím spojenia nie je, získavame doplnkový výber možností k situácii A. C. Vyberte panáčika s čapicou ktorá má tvar trojuholníka alebo je bodkovaná. Použitie spojky alebo môže byť pre žiakov nové, ale z doterajších bežných skúseností vedia, že spojka alebo nám dáva širšiu možnosť výberu. Necháme žiakov vyberať správne objekty a postupne objavíme, že nesprávny výber je len v prípade, ak vybraný objekt nemá ani jeden uvedený znak. Upozorníme, že spojka alebo nevylučuje možnosť splnenia obidvoch znakov súčasne (ako pri spojke a). D. Vyberte panáčika s čapicou, ktorá má tvar trojuholníka alebo nie je bodkovaná Táto formulácia je najťažšia a dáva možnosť širšieho výberu, keďže znova pri výbere vzoru čapice máme o jednu možnosť viac. Je potrebné žiakov usmerňovať a nechať overovať správnosť či nesprávnosť ich výberu aj výberu ich spolužiakov. Počas celej aktivity kladieme dôraz na správne vyjadrovanie sa a k tomu postupne vyzývame aj žiakov. Pri výbere objektov používame aj formulácie, ktoré vedú k určeniu pravdivosti daného tvrdenia a tiež obsahujú slová typu: všetky, aspoň, práve... Odporúčame formulácie typu: ...ukážte mi všetky hlavičky, ktorých čapica je pásikovaná, ...má táto hlavička čapicu, ktorá má tvar štvoruholníka alebo je károvaná? ...máme aspoň jednu hlavičku, ktorej čapica má tvar trojuholníka? ...je pravda, že táto hlavička má čapicu, ktorej tvar nie je trojuholník? Tabuľkový záznam Po nadobudnutí týchto prvotných skúseností, motivujeme žiakov k hľadaniu spôsobu, ako zaznamenať možnosti výberu určených objektov a zistiť, koľko je všetkých správnych aj nesprávnych možností. Navrhujeme tabuľkový záznam, ktorý je žiakom blízky a zároveň ich učíme orientovať sa v tabuľke. V riadkoch budú všetky možnosti výberu podľa jedného znaku a v stĺpci podľa druhého znaku. Dohodneme sa na spoločnom znázornení určených znakov v tabuľke tak, že riadky a stĺpce, ktoré spĺňajú dané podmienky vyznačíme vodorovnou a zvislou čiarou (môžeme ich aj vyfarbiť a pod.)

232

A. Vyberte hlavičku s čapicou ktorá

Vzor

má tvar trojuholníka a je bodkovaná

Tvar

Pri spojke a sa správne objekty nachádzajú len na spoločných políčkach vyznačených riadkov a stĺpcov. B.Vyberte hlavičku s čapicou, ktorá

Vzor

má tvar trojuholníka a nie je bodkovaná

Tvar

Vidíme, že negáciou druhej podmienky môžeme použiť dva ďalšie vzory čapice, teda máme dve správne možnosti výberu. C. Vyberte panáčika s čapicou ktorá má tvar trojuholníka alebo je bodkovaná.

Vzor Tvar

Pri spojke alebo sa správne objekty nachádzajú na všetkých políčkach určených vyznačenými riadkami aj stĺpcami. D. Vyberte panáčika s čapicou, ktorá má tvar trojuholníka alebo nie je bodkovaná

Vzor Tvar

Nesprávne môžeme určiť len jeden objekt, ten ktorý patrí do prvého riadku aj stĺpca.

233

Uvedené úlohy môžeme aplikovať na rôznych súboroch objektov určených viacerými odlišujúcimi znakmi. Je dôležité, aby súbor objektov bol úplný (napríklad, ak by sme pridali k nášmu súboru ďalšiu charakteristiku – je veselá, je smutná – musíme doplniť ďalších šesť smutných hlavičiek.) Aplikácia pre vysokoškolských študentov Pri štúdiu základov výrokovej logiky so študentmi na vysokej škole, môžeme aplikovať tieto úlohy ako slovné úlohy z výrokovej logiky. Napríklad v prípade po D, by sme postupovali takto: Úloha: Zistite, koľko správnych možností výberu máme, ak chceme z daného súboru objektov vybrať hlavičku s čapicou, ktorá má tvar trojuholníka alebo nie je bodkovaná. 1. Formulujeme elementárne výroky ...elementárny výrok p: čapica má tvar trojuholníka, ...elementárny výrok q: čapica je bodkovaná ...zložený výrok: Čapica má tvar trojuholníka alebo nie je bodkovaná (p v q´) 2. Vytvoríme tabuľku pravdivostných hodnôt p

q

q´

(p v q´)

1 1 0 0

1 0 1 0

0 1 0 1

1 1 0 1

Z tabuľky vidíme, že máme len jednu možnosť nesprávneho výberu, a to keď je konečná pravdivostná hodnota 0, teda čapica je tvaru štvoruholníka a je bodkovaná.

Na pohľad elementárna záležitosť môže byť pre študentov problémom. Ak použijem súbor viacerých objektov, tak nám vedomosti z výrokovej logiky pomôžu pri správnom výbere a určovaní všetkých možností výberu. Môžeme úlohy gradovať tým, že použijeme napríklad tri odlišujúce znaky, čím sa úloha trochu skomplikuje. My sme so študentmi riešili takéto úlohy v rámci seminára z didaktiky matematiky (5. ročník štúdia) a ich postoj k takýmto úlohám bol veľmi pozitívny. Študenti ocenili prepojenie ich vysokoškolských vedomostí z výrokovej logiky s konkrétnou aktivitou určenou žiakom na 1. stupni ZŠ a zároveň našli „zmysel tej múdrej matematiky “ pre ich budúcu učiteľskú prax. Literatura 1. ČÁP, J., MAREŠ, J. Psychologie pro učitele, Praha, Portál, 2007,s. 392-393, ISBN 978-80-7367-273-7 2. ŠEDIVÝ, O., KRIŽALKOVIČ, K. Didaktika matematiky pre štúdium učiteľstva I. stupňa ZŠ, Bratislava, SPN, 1990, ISBN 80-08-00378-2 3. TUREK, I. Didaktika, Bratislava, Iura Edition, 2008, ISBN 978-80-8078-198-9 Kontaktní adresa PaedDr. Gabriela Pavlovičová, PhD. Constantine The Philosopher University Tr. Andreja Hlinku 1, 949 74 Nitra, Slovakia E-mail: [email protected]

234

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

ROZVÍJENÍ GEOMETRICKÉ PŘEDSTAVIVOSTI ŽÁKŮ Jaroslav PERNÝ, Jana HANKOVÁ, Tereza NOVÁKOVÁ Abstrakt Příspěvek se zabývá dalšími možnostmi rozvoje geometrické představivosti žáků primární školy za výrazného přispění našich studentek učitelství 1. stupně základní školy. Při řešení problémů se uplatňuje mentální manipulace s objekty rovinnými i prostorovými, zejména při skládání a rozkládání obrazců a těles a při pohledu na tělesa. Zadání úloh je studenty i vhodně výtvarně doplněno. DEVELOPMENT OF GEOMETRICAL IMAGINATION OF PUPILS Abstract Other possibilites of development of space imagination of pupils in primary school are discussed in this contribution. Many topics of mental manipulation with both plane and spatial objects, especially folding and decomposition of figures and solids, came into existence with help of our students of teaching primary school. Setting out the problems is also suitable and art integrated with help of these students. 1. Úvod Jednou z významných kompetencí člověka užitečnou pro běžný život a zvláště pak pro některá povolání je geometrická představivost. Ukazuje se, že její úroveň u naší populace klesá. Jedním z důvodů je i často menší pozornost této problematice při výuce našich žáků na školách. Je možno hledat několik příčin: upřednostňování jiných témat v důsledku snížení časové dotace na vyučování matematiky, menší připravenost učitelů v této oblasti, ale i mínění, že geometrická představivost je vrozená a někdo ji tedy má a jiný ne. I když tento poslední důvod má své určité opodstatnění, přesto je možno představivost rozvíjet u všech žáků. 2. Hlavní část Mezi možnosti, jak úroveň geometrické představivosti u školní mládeže zvýšit, je např. zařazovat některé prvky formou her již na 1. stupni základní školy. Ukazuje se, že obojí je žáky pozitivně přijímáno, ale vyžaduje to tvořivost a nápaditost v práci učitele. V souvislosti s tím je velice důležité již při vysokoškolské přípravě budoucích učitelů zaměřit se na tuto problematiku, nabízet studentům ukázky a náměty takovýchto problémových úloh a herních činností, získat je pro věc a vést je k vlastní tvořivosti v této oblasti. V kurzech didakticky zaměřených předmětů se snažíme zahrnovat do matematiky geometrická témata, zejména z tzv. spontánní geometrie, která studenti zpracovávají formou semestrálních prací. Snažíme se tak získat studenty pro tuto „jinou“ geometrii, aby napomohli zlepšit výše zmíněný stav. Některé práce studentů, zejména učitelství pro 1. stupeň základní školy, jsou velice zdařilé a prokazují vysoký

235

stupeň kreativity. Je potěšitelné, že řada studentů tyto práce tvořivým způsobem dále rozpracuje do svých diplomových prací. Zvláště příjemné je zjištění, že někteří studenti v této činnosti pokračují i ve své praxi na školách po ukončení studia a nebo výsledky své tvořivosti i publikují pro učitelskou veřejnost. Chtěl bych zde ukázat dílčí výzkumy našich studentek v oblasti rozvoje geometrické představivosti žáků na školách, které provádějí během svých praxí a v rámci Studentské grantové soutěže TUL. V přílohách prezentuji některé ukázky tvořivých námětů pro rozvíjení geometrické představivosti, které převzaly naše studentky od nás a z literatury a dále je sami rozvíjejí a které je možno využít při výuce matematiky na základních školách. Jsou převážně ze „spontánní geometrie“ a jsou rozděleny do několika typových skupin: Sítě těles, Skládání a rozkládání obrazců a těles (zejména krychlových), Zobrazování těles, Skrývačky obrazců. 2.1 Ukázka testu na geometrickou představivost 1 . Ze kterých sítí by bylo možné složit krychli? Zakroužkuj ANO nebo NE.

ANO NE

ANO NE

ANO NE

ANO NE

2. Která krychlová tělesa tvoří dohromady krychli? B

A

ANO NE C

…… + …… …… + ……

D

…….+ …… E

F

3. Na obrázcích je pět pohledů na sestavu těles před tebou. Přiřaď k obrázkům správná označení: zepředu, zezadu, zprava, zleva, ze shora

A zepředu …..

B zezadu …..

C D zprava ….. zleva …..

236

E ze shora …..

Test byl zadán na čtyřech školách. Škola A v menším městě, škola B malotřídka, škola C s výukou dle Montessori, škola D úplná vesnická. 2.2 Výsledky testů na geometrickou představivost Úloha 1: průměrná úspěšnost v procentech (max.100%) 100,00% 80,00% Chlapci

60,00%

Dívky

40,00%

Celkově

20,00% 0,00%

A (4.A)

A (4.B)

51,43%

54,26%

Dívky

46,67%

54,26%

60%

60%

58,18%

Celkově

48,75%

54,26%

52,50%

60%

56,52%

Chlapci

B 51,43%

C

D

60%

55%

Poměrně nízká úspěšnost žáků Úloha 2: průměrná úspěšnost v procentech (max.100%) 100,00% 80,00% Chlapci

60,00%

Dívky 40,00%

Celkově

20,00% 0,00%

A (4.A)

A (4.B)

Chlapci

85,71%

90,48%

Dívky

85,19%

Celkově

85,42%

B

C

D

90,48%

81,48%

91,60%

95,24%

100%

83,33%

87,88%

92,86%

91,67%

82,05%

89,85%

Velmi dobrá úspěšnost žáků Úloha 3: průměrná úspěšnost v procentech (max.100%) 100,00% 80,00% Chlapci

60,00%

Dívky 40,00%

Celkově

20,00% 0,00%

A (4.A)

A (4.B)

Chlapci

51,43%

54,26%

Dívky

28,89%

48,56%

Celkově

38,75%

51,42%

B 28,56%

C

D

64,44%

76,67%

20%

70%

76,36%

27,50%

66,15%

76,52%

Značně rozdílná úspěšnost žáků

237

3. Závěr Domnívám se, že odstraňování strachu a získávání studentů učitelství 1. stupně ZŠ pro výuku geometrie, spolu s dostatečnou nabídkou námětů je možnou cestou ke zlepšení úrovně geometrické představivosti našich žáků. Takto připravení tvořiví učitelé dokáží úspěšně náměty rozpracovat při vyučování a vytvářet z nich další, tak aby žáky vhodně motivovali a rozvíjeli jejich představivost i další požadované kompetence. Příspěvek byl zpracován v rámci řešení projektu SGS-FP-TUL č.161/2010. Literatura 1. 2.

PERNÝ, J.: Tvořivostí k rozvoji prostorové představivosti. TU Liberec 2004. ISBN 80-7083-802-7. PŘÍHONSKÁ, J.: Tvořivost v matematice v přípravě učitele primární školy. In: USTA ad Albim BOHEMICA 2/2008, Ústí nad Labem, 2009. ISSN 1213-7618.

Kontaktní adresa Doc. PaedDr. Jaroslav Perný, Ph.D., Jana Hanková, Tereza Nováková KMD a KPV FP TU v Liberci Voroněžská 13, Liberec 1 Telefon: +420 485 352 285 E-mail: [email protected] Přílohy 1. Rozděl obrazce jedním řezem tak, aby se z takto vzniklých částí dal sestavit čtverec.

3. Ve spleti čar uvnitř čtverce jsou skryty 2 obrazce, které vidíte vedle čtverce vpravo. Najděte je

238

2. Rozstřihni čtverec a sestav: ze 2 dílů: trojúhelník, čtverec ze 4 dílů: trojúhelník, čtyřúhelník

4.Vyhledej shodné obrazce.

Studentka Hanková si vytvořila pro žáky pomocníka kobylku Emilku. 1. Emilka si na krychli označila tři body. Jenže její krychlička se rozlepila. Zkus doplnit do rozlepené krychle body tak, aby souhlasily s Emilčiným obrázkem.

2. Emilce si poskládala k sobě více těles a zkoumala, jaké je uvidí z různých stran.

A

B

C

D

3. Emilka si včera postavila z krychliček sena velké krychle. Hříbátko Pepina jí ale v noci tajně krychle rozbilo. Pomoz Emilce najít k sobě správné dvojice tak, aby společně tvořily krychli.

5 2 1

3

4

239

6

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

NÁVRH STIMULAČNÉHO PROGRAMU Z MATEMATIKY PRE DETI ZO SOCIÁLNE ZNEVÝHODŇUJÚCEHO PROSTREDIA Alena PRÍDAVKOVÁ, Edita ŠIMČÍKOVÁ Abstrakt Súčasťou riešenia projektu APVV MŠ SR Dynamické testovanie latentných učebných kapacít detí zo sociálne znevýhodneného prostredia je aj tvorba stimulačného programu z matematiky. Východiskom na jeho kreovanie boli skúsenosti z tvorby dynamického testu a jeho aplikácie na vzorke žiakov pochádzajúcich zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia. V článku je prezentovaná ukážka návrhu stimulačného programu vytvoreného pre jednu z oblastí matematického kurikula, ktorá sa týka matematickej schopnosti komparovať. PROPOSAL OF STIMULATION PROGRAM IN MATHEMATICS FOR CHILDREN FROM SOCIALLY DISADVANTAGING BACKGROUND Abstract Developing a stimulation program in mathematics is a part of APVV MŠ SR Project Dynamické testovanie latentných učebných kapacít detí zo sociálne znevýhodneného prostredia (Dynamic Testing of Latent Learning Capacities of Children from Socially Disadvantaged Background). Experiences from the previous stages of the project – construction of the dynamic test and its application on the sample of children from socially disadvantaging environment – served as departure points for developing the stimulation program. The paper presents the sample of the stimulation program focused on one area of mathematical curriculum – ability to make comparison.

Úvod V kontexte s cieľmi formulovanými v grantovom projekte riešenom na Pedagogickej fakulte PU v Prešove je vytváraný stimulačný program z matematiky pre deti zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia. Zámerom programu je modifikovať kognitívne funkcie dieťaťa, čo by malo mať za následok zvýšenie jeho školskej úspešnosti v procese vzdelávania. Východiskom pre tvorbu stimulačného programu boli skúsenosti a výsledky získané pri vytváraní a aplikácii testovacej batérie na dynamické testovanie matematických schopností. Proces tvorby inštrukčnej časti dynamického testu a výsledky testovania sú prezentované v príspevkoch členiek riešiteľského tímu (Prídavková – Scholtzová, 2009, Šimčíková, 2009). Výskum ukazuje, že vytvorený dynamický test môže byť vhodným komplementom klasických testovacích postupov používaných napríklad psychológmi. Výsledky získané z dynamického testovania môžu odhaliť v určitej miere skryté potenciality dieťaťa učiť sa v budúcnosti. Zároveň však

240

môžu odhaliť aj nerozvinuté, resp. málo rozvinuté kognitívne funkcie dieťaťa potrebné na jeho úspešné napredovanie v matematickom vzdelávaní. V príspevku je prezentovaný návrh stimulačného programu na rozvoj matematickej schopnosti komparovať. Východiská pre tvorbu stimulačného programu Tvorba návrhu položiek zaradených do stimulačného programu vychádzala z viacerých zdrojov. Jednotlivé časti sú usporiadané tak, aby rešpektovali etapy poznávacieho procesu (Hejný – Kuřina, 2001). Cieľom je konštruovať u dieťaťa koncept porovnávania prirodzených čísel podľa veľkosti. Pri aplikácii stimulačného programu sa predpokladá posilnenie resp. rozvíjanie deficitných kognitívnych funkcií u jednotlivca. Východiskom bola taxonómia funkcií konštruovania poznatkov Jensena (2009). V prezentovanej ukážke sa vyskytujú tieto súvisiace funkcie konštruovania poznatkov: • Pozornosť – pomáha učiacemu sa udržiavať mentálnu ostražitosť. • Stopy, znaky, symboly – deficit tejto funkcie sa prejavuje v tom, že jednotlivec má problém s porozumením symbolov a znakov, ktoré vystupujú ako náhrady reality. Táto funkcia je predpokladom pre abstraktné myslenie. • Verbálne nástroje a koncepty – jedným z prejavov nedostatočného rozvoja tejto funkcie je slabá receptívna slovná zásoba dieťaťa. Verbálne nástroje a koncepty pomáhajú učiacemu sa všímať si, uchovávať, transformovať a podávať informáciu. • Zachovanie identity – rozvoj tejto funkcie konštruovania poznatkov orientuje žiaka k rozlišovaniu medzi hlavnými a náhodnými charakteristikami. Ak nie je dostatočne rozvinutá, potom má žiak problémy so zachovaním ustálenosti. • Abstrakcie – rozvoj tejto funkcie vedie žiakov k hľadaniu jednoduchších spôsobov riešenia problémov buď zvyšovaním, alebo znižovaním ich abstrakcie. Deficit sa prejavuje pri používaní abstraktného myslenia. • Mentálne transformácie – podporuje rozvoj schopnosti žiaka modelovať a formovať myšlienky a vytvárať mentálne reprezentácie. Ben-Hour (2006) sa vo svojej práci zaoberá kognitívnym prístupom vo výučbe matematiky. Podľa neho matematické kurikulum už od materskej školy obsahuje šesť základných kognitívnych operácií a štruktúr: • uchovávanie (konzervácia), • alocentrické myslenie, • znázornenie (reprezentácia), • priestorový a časový význam, • predstava reálnych vzťahov, • sebaregulácia. Všetky uvedené kognitívne operácie a štruktúry sú vzájomne prepojené a u detí sa rozvíjajú postupne prostredníctvom sprostredkovanej manipulácie a pohybmi medzi predmetmi. Konzervácia sa vzťahuje ku kognitívnej schopnosti posúdiť zmeny pomocou logickej dedukcie. Je to zrejmé pri pochopení počtu akýchkoľvek predmetov, skupín, ale aj v súvislosti s časom. Konzervácia je základom matematických operácií. Reprezentácia je súčasťou konzervácie a ako kognitívne nástroje okrem vizualizácie využíva aj jazyk, pojmy, symboly. Počítanie zahŕňa symboly, geometria jazyk a ikony.

241

Alocentrické myslenie sa prejavuje v schopnosti pozerať sa na svet z rôzneho uhla pohľadu, spájať objekty v čase, používať objektívny rámec vzťahov. Napr. pojmy „viac“, „menej“ pochopíme iba vtedy, keď si ich dokážeme predstaviť vo vzťahu ku skutočnosti. Priestorový a časový význam má úzke prepojenie s predchádzajúcimi pojmami. Malé deti najprv chápu iba ohraničený priestor dnu, vonku, zamieňajú čas s priestorom, čas je pre ne príliš abstraktný. Staršie deti chápu Euklidovský význam priestoru a vývoj končí asi v treťom – štvrtom ročníku (deti si uchovávajú napr. vlastnosti vzdialenosti, zvislé a vodorovné čiary a pod.). Predstava reálnych vzťahov je dôležitá v ranom matematickom myslení. Ide o vzťahy medzi jednotkami a skupinami na základe operácie s číslami. Ak takéto vzťahy dieťaťu predkladáme bez manipulácie s objektami, vyzerajú ako skutočné. Vytváranie reálnych vzťahov je dôsledok alocentrického myslenia. Sebaregulácia (kognitívna a emocionálna) v matematickom riešení problémov predstavuje schopnosť stanoviť si ciele, určiť ich prioritu a zhodnotiť, ktorý z nich možno dosiahnuť ľahko, ktorý ťažko a tak regulovať vlastný úspech. Návrh stimulačného programu – komparácia Položky v stimulačnom programe sú tvorené vo forme inštrukcií, ktoré dáva učiteľ žiakovi v procese „riešenia problému“. Východiskom na ich formuláciu boli predovšetkým skúsenosti z tvorby a aplikácie dynamického testu z matematiky, kreovaného v rámci grantového projektu a prezentované teoretické východiská. Ciele stimulačného programu sú vyšpecifikované a zoradené podľa nášho názoru do zámerného sledu na seba nadväzujúcich činností: 1.

Opísať vlastnosti objektov. 1.1 Vytvoriť skupinu objektov s danou vlastnosťou.

2.

Identifikovať spoločné a rozdielne vlastnosti dvojíc objektov. 2.1 Určiť spoločné a rozdielne vlastnosti dvojíc objektov rôzneho druhu. 2.2 Určiť spoločné a rozdielne vlastnosti dvojíc objektov rovnakého druhu.

3.

Porovnať dvojicu objektov podľa daného kritéria. 3.1 Výsledok porovnania vyjadriť pomocou binárnej relácie, t. j. vzťahom medzi dvoma objektmi.

4.

Porovnať dve skupiny objektov na základe počtu objektov v skupine. 4.1 Vytvoriť dvojice objektov z dvoch skupín – prosté zobrazenie. 4.2 Výsledok porovnania vyjadriť pomocou binárnej relácie (viac, menej, rovnako).

5.

Porovnať dve prirodzené čísla podľa veľkosti. 5.1 Určiť počty objektov v skupinách a vyjadriť ich prirodzenými číslami. 5.2 Výsledok porovnania prirodzených čísel zapísať pomocou relačných znakov. 5.3 Výsledok porovnania vyjadriť verbálne.

V 1. etape, ktorej cieľom je opísať vlastnosti objektov, sa pracuje na dvoch úrovniach abstrakcie. Najprv sa manipuluje s reálnymi objektmi, potom nasleduje práca s obrázkami. Úlohy sú formulované pomocou otázok: Čo to je? Čo vidíš na obrázku? Na čo sa to používa? Z čoho je to urobené? Aké to je (veľkosť, tvar, farba, materiál, tvrdosť,...)?

242

V časti, kde je cieľom vytvoriť skupinu objektov s danou vlastnosťou, sú využité inštrukcie typu: Pozri sa na veci na stole. Vyber (oddeľ) veci, ktoré patria k sebe. Prečo si vybral tieto veci? Prečo patria k sebe? Pozri sa na veci na obrázkoch. Označ veci, ktoré patria k sebe (zakrúžkuj, vyfarbi, podčiarkni). Prečo si vybral tieto veci? Prečo patria k sebe? Pri identifikovaní spoločných a rozdielnych vlastností dvoch objektov pracujeme na troch úrovniach abstrakcie: manipulácia s reálnymi objektmi, práca s obrázkami, na čo nadväzuje úroveň mentálnych reprezentantov objektov. Na všetkých troch úrovniach sa využívajú dvojice objektov, najprv rôzneho, potom rovnakého druhu. Pozri sa na tieto dve veci a povedz, čo majú spoločné (rovnaké, čím sa podobajú). Povedz, čím sa líšia. Ďalšia časť stimulačného programu je zameraná na komparáciu dvojice objektov podľa daného kritéria (veľkosť, dĺžka, hrúbka, výška, šírka, vek, objem, hmotnosť, množstvo atď.) Aj v tejto etape sa postupuje cez tri úrovne abstrakcie: manipulačne, obrázkovo a abstraktne. Príklad formulácie úlohy: Pozri sa na tieto dve ceruzky a porovnaj ich podľa dĺžky. Predpokladáme, že žiak spontánne vyjadrí výsledok porovnania pomocou binárnej relácie (je dlhšia, je kratšia). Ak žiak zvládne porovnávanie dvojíc abstraktných objektov podľa danej vlastnosti a je schopný vyjadriť výsledok porovnania verbálne, využitím binárnej relácie, potom je možné prejsť k etape, kde ide o porovnávanie dvoch skupín na základe počtu objektov v skupinách. Tvorením dvojíc objektov z dvoch skupín, t. j. využitím prostého zobrazenia medzi množinami, žiaci hľadajú riešenie úlohy: Zisti, čoho je viac. Pracuje sa na dvoch úrovniach abstrakcie – manipuláciou s reálnymi predmetmi a vytváraním dvojíc objektov, ktoré sú znázornené na obrázku (spájaním čiarou, vyfarbovaním a pod.). Nasleduje identifikovanie skupiny objektov, ktoré nie sú zaradené do dvojíc a diskriminácia objektov, ktoré nemajú dvojicu. V závere tejto časti programu sa očakáva od žiaka vyjadrenie výsledku komparácie (viac, menej, rovnako), ako aj jeho reakcia na otázku: Prečo je ... viac (menej, rovnako)? Nakoniec nastupuje fáza, v ktorej je identifikovaný počet objektov v skupinách (kardinálnych resp. ordinálnym spôsobom) a ten je vyjadrený prirodzeným číslom. Úloha: Zisti, koľko je tu cukríkov a povedz. Spočítaj, koľko je tu detí a povedz. Ide tu o vyjadrenie počtu objektov pomocou prirodzeného čísla, pričom je možné použiť napríklad kartičky s číslami. Nasleduje časť, v ktorej je žiak vedený k zápisu výsledku porovnania pomocou relačných znakov a k verbálnemu vyjadreniu výsledku porovnania. V záverečnej etape stimulačného programu je žiak schopný porovnať dve prirodzené čísla bez konkrétneho názoru a vyjadriť výsledok porovnávania verbálne aj písomne. Záver Prezentovaná ukážka stimulačného programu na rozvoj jednej z kognitívnych funkcií a zároveň jednej matematickej schopnosti - porovnávať - predstavuje proces, ktorý je dlhodobý a jeho aplikácia je závislá od učebných kapacít konkrétneho dieťaťa. Uvedomujeme si, že deti zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia majú často málo, resp. žiadne skúsenosti so zovšeobecňovaním, chýba im potrebná slovná zásoba na vyjadrovanie (obmedzený jazykový kód) a tým vzniká aj problém vo formulácii odpovedí na otázku „prečo“.

243

Súčasťou programu bude manuál pre učiteľov, ktorí budú metodicky pripravení na jeho implementáciu do praxe. Test a program bude administrovaný v závislosti od podmienok a potrieb konkrétnej triedy (individuálne alebo skupinovo). Určite si bude vyžadovať odborne a metodicky fundovaného pedagóga, schopného robiť diagnostiku a schopného kreatívne reagovať na vzniknuté situácie. Príspevok vznikol v rámci riešenia grantového projektu APVV MŠ SR (APVV-0073-06). Literatúra 1. BEN-HUR, M. Kognitivní přístup při výuce matematiky. In Inkluzivní a kognitivní edukace. Sborník přednášek. Praha: UK v Prahe, Pedagogická fakulta, 2006. s. 253257. ISBN 80-7290-258-X 2. HEJNÝ, M. – KUŘINA, F. Dítě, škola a matematika. Konstruktivistické přístupy k vyučování. Praha: Portál, 2001. ISBN 80-7178-581-4. 3. JENSEN, M. Dynamic Assessment, Learning, Culture and Cognition. Roswell: ICML Training Institute, 2009. 142 s. 4. PRÍDAVKOVÁ, A. – TOMKOVÁ, B. Determinanty dynamického testovania matematických schopností detí zo sociálne znevýhodneného prostredia. In Matematika 3. Acta Universitatis Palackianae Olomucensis: Facultas Paedagogica. Mathematica IV. Olomouc: UP Olomouc, 2008, s. 226-229. ISBN 978-80-2441963-3. 5. PRÍDAVKOVÁ, A. – SCHOLTZOVÁ, I. Prvé výsledky dynamického testovania matematických schopností detí zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia. In Mathematics from Primary Education View. The conference Proceedings. Banská Bystrica: UMB Banská Bystrica, 2009, s. 185–190. ISBN 978-80-8083-742-6. 6. SCHOLTZOVÁ, I. – ŠIMČÍKOVÁ, E. Dynamické testovanie matematických schopností detí zo sociálne znevýhodneného prostredia – pohľad prvý. In Matematika 3. Acta Universitatis Palackianae Olomucensis: Facultas Paedagogica. Mathematica IV. Olomouc: UP Olomouc, 2008, s. 255-258. ISBN 978-80-2441963-3. 7. ŠIMČÍKOVÁ, E. Dynamické testovanie matematických schopností detí zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia – pohľad druhý. In: Mathematics from Primary Education View. The conference Proceedings. Banská Bystrica: UMB Banská Bystrica, 2009, s. 217–221. ISBN 978-80-8083-742-6. Kontaktní adresa doc. RNDr. Alena Prídavková, PhD. PaedDr. Edita Šimčíková Prešovská univerzita, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej edukácie Ul. 17. novembra 1, 081 16 Prešov, Slovensko Telefon: +421 51 7470542 +421 51 7470543 E-mail: [email protected] [email protected]

244

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

SHODNÉ A ROZDÍLNÉ ASPEKTY MATEMATICKÉ EDUKACE V PRIMÁRNÍ ŠKOLE NA SLOVENSKU A V ČESKÉ REPUBLICE Jana PŘÍHONSKÁ Abstrakt Příspěvek se zamýšlí nad základními problémy vzdělávání v primární škole a vymezuje shodné a rozdílné aspekty matematické edukace na Slovensku a v České republice na základě komparace Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání (ČR) a Štátneho vzdelávacieho programu (SR). IDENTICAL AND DIFFERENT ASPECTS OF MATHEMATICAL EDUCATION IN PRIMARY SCHOOL IN SLOVAKIA AND CZECH REPUBLIC Abstract The basic problems of education in primary school are discussed in contribution. Both identical and different aspects of mathematical education in Slovakia and Czech republic under comparison Frame Educational Program in Czech and State Educational Program in Slovakia are determined there.

1. Úvod Úkoly didaktiky matematiky je možno zjednodušeně vymezit hledáním odpovědí na otázky: Proč?, Co?, Jak? a Koho?. Někteří autoři uvádějí ještě S čím? a Kde?. Tyto otázky je však možné zahrnout do Jak?, ale není možné je od sebe striktně oddělit, vzájemně se prolínají, podmiňují a ovlivňují. Hledání odpovědí na otázku Proč? se týká stanovení cílů vyučování matematiky, které jsou širší než pouhé zprostředkování konkrétních vědomostí. Zejména na prvním stupni ZŠ, kde je matematika především formativním předmětem, má vyučování matematiky plnit další výchovné cíle, které se nacházejí pod povrchem konkrétního matematického učiva, jako např. rozvíjení schopností argumentace, přesnosti vyjadřování, kritického přístupu k řešení problémů. Řešení otázky Jak? se týká problematiky metod a organizačních forem vyučování matematiky. Otázka Co? je problémem vymezení obsahu učiva, stanovení učiva základního a rozšiřujícího pro jednotlivé ročníky základní školy, ale i pro jednotlivé stupně školního vzdělávání. Tři základní složky učiva – vědomosti, dovednosti a hodnotová orientace se zájmy a postoji žáka, tvoří složitou, navzájem propojenou strukturu, která bývá označována jako cílové kompetence žáka. To vše souvisí se stanovením kurikula (předepsaného, realizovaného, osvojeného, formálního, skrytého, atd.) a v důsledku konkretizací příslušných dokumentů jako školních vzdělávacích programů.

245

1.1. Obsah vzdělání Obsah vzdělání je sice dán základními pedagogickými dokumenty (pojetím studijního oboru, Rámcovým vzdělávacím programem, školním vzdělávacím programem, učebnicemi, učebními plány), avšak na realizaci jeho výchovných možností se podílí v prvé řadě učitel. Učitel je ten, který obsah rozpracovává a pod jehož vedením si ho žáci osvojují. V souvislosti se společenskými změnami, jež naší zemi přineslo členství v Evropské unii, vystupují do popředí mimo jiné otázky transformace našeho školství. Bohužel dochází u nás i ve světě ke snižování počtu hodin výuky matematiky a přetváření jednotlivých učebních předmětů na integrované bloky, jako přírodovědné či společenskovědní. Z řad matematiků se ozývají obavy z vytlačení matematiky ze sestavy školních předmětů a jejímu parciálnímu začlenění do těchto bloků. Podobné obavy shledáváme i na Sloensku. Prof. Šedivý z Fakulty přírodních věd UKF Nitra na konferenci EFETM1 v Ostravě 2008 vyjádřil obavy nad vytlačováním matematiky v důsledku snižování časové dotace a s tím související redukcí obsahu učiva. Nebezpečím je zejména formální způsob výuky matematiky s přesnými pravidly a bezobsažnými symboly, místo aby byla matematika chápána jako metoda poznávání aplikovatelná v každodenním běžném životě. Vstup do evropského společenství přináší zvýšené nároky na školství, zejména pak z důvodu vysoké konkurenceschopnosti. Pro vlastní realizaci transformace školství je rozhodující samotná osobnost učitele. Dobře připravený učitel je zárukou pro poskytování kvalitního vzdělávání žáků. Práce s obsahem vzdělání, v němž vyniknou metodologické prvky, vede žáky k tomu, že obsah nejen formálně zvládnou, ale dokáží s ním i aktivně pracovat. V souvislosti s výše zmíněnými změnami v rámci transformace školství a diskuzí z konferencí nad problematikou matematického vzdělávání v České republice a na Slovensku jsme si položili otázku, jaké jsou shodné a rozdílné aspekty matematické edukace v primární škole na Slovensku a v České republice na základě komparace Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání (ČR) a Štátneho vzdelávacieho programu (SR). 2. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Základní školství prochází ve školním roce 2007/2008 změnou, kdy podle směrnic Ministerstva školství mládeže a tělovýchovy si každá škola vytváří svůj Školní vzdělávací plán (dále jen ŠVP) podle zásad stanovených v příslušném Rámcovém vzdělávacím programu pro základní vzdělávání (dále jen RVP). Na 1. stupni ZŠ základní vzdělávání usnadňuje svým pojetím přechod žáků z předškolního vzdělávání a rodinné péče do povinného, pravidelného a systematického vzdělávání. Je založeno na poznávání, respektování a rozvíjení individuálních potřeb, možností a zájmů každého žáka (včetně žáků se speciálními vzdělávacími potřebami). Vzdělávání svým činnostním a praktickým charakterem a uplatněním odpovídajících metod motivuje žáky k dalšímu učení, vede je k učební aktivitě a k poznání, že je možné hledat, objevovat, tvořit a nalézat vhodný způsob řešení problémů. Vyžaduje podnětné a tvůrčí školní prostředí, které stimuluje nejschopnější žáky, povzbuzuje méně nadané, chrání i podporuje žáky nejslabší a zajišťuje, aby se každé dítě prostřednictvím výuky přizpůsobené individuálním potřebám optimálně vyvíjelo v souladu s vlastními předpoklady pro vzdělávání. 1

Experience in Further Education of Teachers in Mathematics

246

Vzdělávací obsah vzdělávacích oborů je tvořen očekávanými výstupy a učivem. V rámci 1. stupně je vzdělávací obsah dále členěn na 1. období (1. až 3. ročník) a 2. období (4. až 5. ročník). Toto rozdělení má škole usnadnit distribuci vzdělávacího obsahu do jednotlivých ročníků. Očekávané výstupy mají činnostní povahu, jsou prakticky zaměřené, využitelné v běžném životě a ověřitelné. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání stanovuje očekávané výstupy na konci 1. období jako orientační (nezávazné) a na konci 2. období jako závazné. K dosažení očekávaných výstupů je učivo strukturováno do jednotlivých tématických okruhů (témat, činností). Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace je v základním vzdělání založena především na aktivních činnostech, které jsou typické pro práci s matematickými objekty a pro užití matematiky v reálných situacích, umožňuje tak získávat matematickou gramotnost. Žáci si postupně osvojují některé pojmy, algoritmy, terminologii, symboliku a způsoby jejich užití. 2.1. Odlišnosti ve vzdělávacích programech České republiky a Slovenska Aspekty formální Základním rozdílem první části obou vzdělávacích programů je, že v ČR je koncipován na celé základní vzdělávání, zatímco ve SR je koncipován na primární školní vzdělávání. A to v • Charakteristice • Pojetí • Cílech Liší se také tím, že v ČR jsou samostatným bodem programu Klíčové kompetence, zatímco ve SR jsou to Vzdělávací standardy a Profil absolventa jehož součástí jsou klíčové kompetence. Z větší části se shodují vzdělávací oblasti: • Jazyk a komunikace • Umění a kultura • Zdraví a pohyb • Člověk a svět práce České Matematika a její aplikace a Informační a komunikační technologie jsou na Slovensku spojeny do Matematika a práce s informacemi. Obdobně spojené jsou Člověk a společnost a Člověk a příroda do Příroda a společnost. Liší se v ČR Člověk a jeho svět od v SR Člověk a hodnoty. Z větší části se shodují i průřezová témata • Osobnostní a sociální rozvoj • Environmentální, Multikulturní a Mediální výchova Liší se v ČR • • oproti SR • • •

Výchova demokratického občana Výchova k myšlení v evropských a globálních souvislostech Dopravní výchova Ochrana života a zdraví Tvorba projektu a prezentační zručnosti

247

Ostatní části programů, jako Rámcové učební plány, Vzdělávání žáků se specifickými potřebami, Materiální, personální a další podmínky se v podstatě shodují. Aspekty obsahové - Primární vzdělávání Charakter vzdělávacích programů v ČR i SR je v podstatě shodný – oba dokumenty jsou dvouúrovňové – státní vzdělávací programy a školní vzdělávací programy. Pojetí základního vzdělávání, resp. Primárného vzdelávania - ISCED 12 jsou rovněž obdobné. Také cíle - postupné rozvíjení klíčových kompetencí (spôsobilostí) žáků jako základu všeobecného vzdělání - jsou obdobné. Aspekty obsahové - matematika ¾ Vzdělávací oblasti Základním rozdílem je, že vzdělávací obsah matematiky na 1. stupni ve SR – Matematika a práca s informáciami - je rozdělený do pěti tematických okruhů

• • • • •

Čísla, premenná a počtové výkony s číslami Postupnosti, vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy Geometria a meranie Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika Logika, dôvodenie, dôkazy

Zatímco v ČR – Matematika a její aplikace - pouze do čtyř • Číslo a početní operace • Závislosti, vztahy a práce s daty • Geometrie v rovině a prostoru • Nestandardní aplikační problémy a úlohy Samostatným okruhem v ŠVP v SR je kombinatorika, pravděpodobnost a statistika. Tato je v RVP zařazena jako součást nestandardních aplikačních úloh a problémů, kde jedním z očekávaných výstupů je, že „žák užívá při řešení úloh a problémů logickou úvahu a kombinační úsudek“ Cíle a obsah SR – rozvoj tých schopností žiakov, pomocou ktorých sa pripravia na samostatné získavanie a aplikáciu poznatkov • pojem prirodzeného čísla a počtové výkony s prirodzenými číslami • rozvíjanie orientácie žiakov v rovine a v priestore, meranie • riešenie slovných úloh a problémov z kombinatoriky, statistiky,... • induktívne rozvíjať matematické nazeranie a logické myslenie ČR – utváření a rozvíjení klíčových kompetencí žáků • obor přirozených čísel, vlastnosti početních operací s přirozenými čísly • závislosti a jejich vlastnosti, diagramy, grafy, tabulky • základní útvary v rovině a prostoru, délka, obsah, osová souměrnost • slovní úlohy, logické řady, prostorová představivost ¾

2

ISCED – International Standard Classification of Education

248

Aspekty obsahové – informatika Podstatným rozdílem vzdělávacích programů v ČR a SR je zařazení informatické výchovy ve ŠVP SR, což se projevuje v časové dotaci na výuku matematiky v prvním až čtvrtém ročníku: SR – 1. - 4. ročník / 14 hodin(4+4+3+3), ve 3 a 4 ročníku je pevně zařazena 1hodina informatické výchovy, zatímco ČR – 1. - 5.ročník / 20 hodin (4+4+4+4+4) a zařazení samostatného předmětu „Informační a komunikační technologie“ Vzdělávací obsah informatiky v ŠVP SR je součástí oblasti „Matematika a práce s informacemi“ a je rozdělena na pět tematických okruhů • • • • •

Informace okolo nás Komunikace prostřednictvím IKT Postupy, řešení problémů, algoritmické myšlení Principy fungování IKT Informační společnost

Vzdělávací oblast „Informační a komunikační technologie“ v RVP ČR je samostatná, v rozsahu minimálně 1 hod za 1 období a má tři části • Základy práce s počítačem • Vyhledávání informací a komunikace • Zpracování a využívání informací Žáci se učí využívat prostředky výpočetní techniky (kalkulátory, počítačový software, výukové programy) v rámci nestandardních aplikačních úloh, využívat vhodný počítačový software, určité typy výukových programů a používat některé další pomůcky, což umožňuje přístup k matematice i žákům, kteří mají nedostatky v numerickém počítání a v rýsovacích technikách. Žáci se zdokonalují rovněž v samostatné a kritické práci se zdroji informací. Literatura 1. 2. 3.

KOLEKTIV AUTORŮ. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Praha, VÚP, 2004. KONCEPCIA ROZVOJA VÝCHOVY A VZDELÁVANIA v Slovenskej republike na najbližších 15-20 rokov (projekt „MILÉNIUM“. Školský vzdelávací program ISCED 1 pre 1. stupeň ZŠ.

Kontaktní adresa doc. RNDr. Jana Příhonská, Ph.D. Fakulta přírodovědně humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci Voroněžská 1329/13, 461 17 Liberec 1 Telefon: +420 485 352 370 E-mail: [email protected]

249

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

AKTIVIZUJÍCÍ METODY VE VÝUCE S VYUŽITÍM IKT TECHNOLOGIÍ NA ZÁKLADNÍ ŠKOLE Jana PŘÍHONSKÁ, Lucie VILIMOVSKÁ, Tereza ČÁLKOVÁ Abstrakt Příspěvek informuje o řešení projektu SGS – Studentská grantová soutěž – na Fakultě přírodovědně-humanitní a pedagogické TU v Liberci. Projekt je zaměřený na využívání IKT technologií ve výuce matematiky, speciálně využití power point prezentací a SMART technologií na základní škole, případně na nižším stupni víceletých gymnázi. ACTIVATING METHODS WITH USAGE OF ICT TECHNOLOGY IN TEACHING MATHEMATICS IN THE BASIC SCHOOL Abstract The information about solution of Project SGS 2010 – Student Project Competition – in Faculty of Science, Humanities and Education, Technical University of Liberec is given. The focus of project is on usage of ICT technologies especially using power point presentation and SMART technologies in teaching mathematics in basic school. 1. Matematické vzdělávání v interaktivním prostředí Jak jsme se již zmínili, vzájemná interakce učitel-žák hraje při vyučování významnou roli. Z pohledu výchovně-vzdělávacího procesu se tento pojem pojí s pojmem školního klimatu, jehož součástí je prostředí, dílčí aktivity, komunikace a jednotliví aktéři (učitel – žáci). [2] Právě u aktérů se sleduje vzájemná komunikace. Jednak z verbálního hlediska (kdo hovoří, kdy, s kým, s jakým cílem, v jakém kontextu), ale zároveň v kontextu používání neverbálních prostředků a jejich důsledků. Existuje více přístupů ke zkoumání školního klimatu a interakce učitel-žák/žáci. Tyto se v podstatě liší výběrem objektu studia a zkoumanou proměnnou. Zkoumaným jevem je však vždy interakce mezi učitelem a žáky v průběhu vyučovací hodiny, vliv přímého a nepřímého působení učitele na výkonnost žáků, jejich postoje a celkovou efektivitu učitelovy práce. Předmětem zájmu vyučování v počítačovém prostředí je právě jeho vliv na školní klima, na interakci učitel-žák, na využívání moderních didaktických metod a forem a přístupu k vyučování. Změny, které vyplývají přímo z eventuální integrace prvků IKT do vyučování matematiky je nutno v tomto kontextu mapovat na dvou úrovních: [2] Úroveň využívání vhodných softwarových aplikací, určených na podporu vyučování. Do popředí se dostávají interaktivní produkty, které s sebou přinášejí jistou dávku dynamiky – aplikace, které reagují změnou výsledku na vstupní data.

250

Úroveň využívání informačních, komunikačních a dalších technických prostředků, které umožňují jednak efektivní uplatnění první úrovně a jednak tvoří interaktivní prostředí, pomocí něhož se matematika stává neoddělitelnou součástí reálného světa. 1.1. Interaktivní tabule Interaktivní tabule je zařízení umožňující transformaci obyčejné tabule (z bílého plastu) na dotykovou obrazovku, jejímž prostřednictvím je možné ovládat počítač a jeho aplikace. Další vlastností je možnost zaznamenání a zpracování uživatelských poznámek zapsaných elektronickými pery do digitální podoby a jejich možné další zpracování v reálném čase. Obě varianty přispívají k realizaci efektivnějšího vzdělávání s možností využití nové vzdělávací metody a techniky. Příjemci se tak mohou stát spolutvůrci scénáře vyučovací jednotky, vytvářejí hypotézy a mají možnost jejich následné verifikace, korekce, rozvíjení. Otvírají se tak nové možnosti pro spolupráci, interakci, tvorbu a realizaci vlastních nápadů a myšlenek. Učitel vytváří podnětné prostředí, aktivizuje účastníky procesu vhodnou motivací, problémovou situací, hypotézou apod. a usměrňuje příjemce ke konstrukci vlastní poznatkové struktury. Využívání prostředků informačních technologií umožňuje předkládat zkoumaný jev v různých souvislostech a působí v tomto směru na různé smysly příjemce. Proto v této souvislosti hovoříme o interaktivní tabuli. Pomocí interaktivní tabule je možné využívat různé multimediální produkty, animační techniky, volně se pohybovat po internetu, získávat průběžně informace, realizovat všechny ty aktivity, které běžně realizujeme při požívání počítače. V souvislosti s rozšiřováním interaktivních produktů se zařazuje metoda „sdílení aplikací, resp. souborů“ [2] v reálném čase, v rámci jedné místnosti, budovy, případně na dálku. Interaktivní prostředí umožňuje i uplatnění virtuálních manipulačních metod v rámci vyučování matematiky, kdy modely předmětné manipulace jsou v tomto případě virtuální. Interaktivita je všeobecným požadavkem ve vyučování, zvlášť pak ve vyučování matematiky. Rozvoj prostředků IKT umožňuje efektivní využívání interaktivních zařízení a interaktivních programových aplikací v matematickém vzdělávání na různých úrovních – od názorných demonstračních ukázek v interaktivním prostředí, přes žákovskou zkušenost a manipulaci s interaktivními produkty, až po případný vlastní návrh, realizaci, resp. spoluúčast na tvorbě matematických interaktivních výstupů. V tomto směru odkazujeme případné zájemce na monografii K. Žilkové [2], kde je popsána a dokumentována celá řada metod a prostředků pro využívání interaktivních prostředků ve vyučování matematiky včetně praktických návodů a odkazů. 2. Současný stav poznání Rozpracování problému např. s využitím power pointové prezentace nebo smart technologií umožňuje v plné míře uplatnit tvůrčí náměty a prvky vlastní fantazie učitelů i žáků samotných. Moderní ICT technologie, jako je prezentační software či aplikace pro Smartboard nabízejí mnoho možností, jak žáky zaujmout a podnítit jejich zvědavost, probudit v nich zájem k uplatnění vlastních námětů při řešení a zpracování zadaného problému. Zkušenosti studentů z pedagogických praxí a hospitační činnosti ukazují na nedostatečné nebo jen mizivé využívání zmíněných technologií. [1] V rámci didaktických předmětů (Matematika pro praxi, Kapitoly z didaktiky a Výběrový seminář), které jsou zaměřeny na metody řešení úloh na PedF TUL se zabýváme problematikou rozvoje tvůrčích schopností studentů-budoucích učitelů

251

a zároveň žáků základní školy. Zaměřujeme se na využití prezentačního softwaru při výuce matematiky a SMART technologií s ohledem na využívání interaktivních tabulí. Studenti v rámci svých semestrálních prací řeší vybrané problémy či přímo zpracovávají daný tematický celek a učí se využívat moderní výukové technologie. V některých případech jsou schopni sami navržené technologie otestovat ve škole, bohužel jen ve velmi malé míře. Jak se často ukazuje, učitelé z praxe nemají v tomto směru dostatečné informace či materiál, se kterým by mohli přímo pracovat. Dalším problémem je mnohdy nedostatečná vybavenost škol. Při zpracování problémů se zaměřujeme na různé řešitelské strategie, motivaci a vlastní prezentaci. Cílem je rozvoj vlastních tvůrčích schopností budoucích učitelů, které se projevují jako schopnost řešit věci původně, neočekávaně, důvtipně, překvapivě a objevně v tom, že se při řešení neopírají o již osvědčené existující postupy, ale přicházejí s novými nápady. Tím studenti-budoucí učitelé vnášejí do vyučování jistou „novost“, kterou považujeme za základní kvalitativní znak tvořivosti. Rolí učitele je, aby zajímavým výkladem (spojeným např. s názornými ukázkami), vhodně volenou motivací, způsobem řízení a vedení vyučovacích hodin eliminoval potenciální zdroj negativní motivace žáků – např. strach. Proto se kromě novosti zaměřujeme i na různé motivační činitele ovlivňující pozitivní vztah žáka k matematice. 2.1.

Cíl projektu Projekt SGS je zaměřený na aktivizující metody ve výuce matematiky se zaměřením na využití prezentačního softwaru a SMART technologií na různých stupních škol. K tomuto účelu bude zpracován soubor problémů, který bude ověřován v praxi na základních školách jako výzkumná sonda. Problémové situace budou zpracovány s ohledem na motivaci, rozvíjení řešitelských strategií žáků a jejich aktivní přístup k řešení problémů. Navržený soubor problémů by měl sloužit jako prostředek pro rozvoj vlastních tvůrčích schopností jak učitelů z praxe, tak samotných žáků. Cílem projektu je • Sestavení souboru problémů z hlediska různých metod řešení a zaměření s využitím smart technologií a prezentačního softwaru; • Vytvoření elektronických verzí problémů – CD pro učitele z praxe; • Sestavení metodické příručky pro učitele • Ověření navrženého materiálu přímo v praxi na základních školách – druhý rok řešení 3. Způsob řešení projektu Řešení projektu je rozděleno do následujících fází 1. Ve spolupráci s vybranými studenty magisterského studia pro 1. a 2. stupeň základní školy připravit dotazníkové šetření na základní školách, příp. nižších ročnících víceletého gymnázia. Cílem je zjištění skutečného stavu informovanosti o nových možnostech využití moderních didaktických technologií se zaměřením na využívání ICT technologií. Získat přehled o využívání interaktivních tabulích, získat přehled o dostupných výukových materiálech pro učitele a zjistit skutečný stav jejich využívání. 2. Navržení souboru problémů pro základní školy jako doplňkový výukový materiál, využitelný v různých fázích vyučovacího procesu a různých stupních základní školy.

252

3. 4. 5. 6.

Navržené problémy zpracovat elektronicky v aplikaci SMART a jako prezentace v Power pointu. Připravit a zpracovat metodickou příručku pro učitele k využití zpracovaného souboru problémů. Metodická příručka by měla odrážet náměty z praxe na základě otestování navrženého souboru problémů. Otestovat navržený soubor problémů na několika základních školách, příp. nižších ročnících víceletých gymnázií. Navrhnout řešení problematiky v dalších letech.

3.1 Dotazníkové šetření K realizaci první fáze projektu byl vytvořen dotazník pro učitele, kterým chceme zmapovat situaci ve využívání informačně komunikačních technologií. O vyhodnocení dotazníkového šetření budeme informovat na některé z nadcházejících konferencí.

Využití IKT při výuce matematiky Pohlaví: žena muž Matematiku vyučujete na: 1. stupeň

ZŠ 2. stupeň ZŠ

víceleté gymnázium

Délka praxe: Jakými IKT (informačně-komunikační technologie) je vybavena škola, v níž učíte? PC video dataprojektor DVD přehravač Smartboard jiné: .................................................................................................................................... Jste s touto vybaveností spokojen/a?

ANO

NE

Pokud NE, proč? ......................................................................................................................... Využíváte při výuce matematiky IKT?

ANO

NE

Pokud NE, z jakého důvodu? ............................................................................................................................................ Pokud ANO, jakou formou IKT používáte? výukové programy prezentace power-point software

video internet

jiné: .................................................................................... Jak často využíváte IKT k výuce matematiky? nikdy zcela výjimečně jednou měsíčně několikrát do měsíce jednou týdně každou hodinu jiné: ..................................................................................................................................... Pokud využíváte při výuce matematiky IKT, jakou část hodiny tomu obvykle věnujete?

253

celou hodinu

nejméně 20 minut

maximálně 20 minut

Jaké jsou podle Vás VÝHODY využívání IKT při výuce matematiky? ............................................................................................................................................ Jaké naopak spatřujete NEVÝHODY v používání IKT při výuce matematiky? ............................................................................................................................................ 4. Závěr Vstup do evropského společenství přináší zvýšené nároky na školství, zejména pak z důvodu vysoké konkurenceschopnosti. Pro vlastní realizaci transformace školství je rozhodující samotná osobnost učitele. Domníváme se, že na základní škole je jednou z rozhodujících kvalit učitele míra jeho tvořivosti. Dobře připravený učitel je zárukou pro poskytování kvalitního vzdělávání žáků. A nejen to. Jde i o budování kladného vztahu žáků k matematice, o celkový osobnostní růst žáka, schopnost formulace myšlenek, argumentace, kritického hodnocení, tvořivého přístupu k řešení problémů apod. Cílem řešeného projektu není naučit učitele vytvářet prezentace ani vytvářet SMART aplikace. To je otázka dalších vzdělávacích kurzů a případných školení, stejně tak jako spolupráce s odborníky daného oboru. Ve spolupráci se studenty magisterského studia učitelství pro 1. a 2. stupeň se chceme pokusit připravit pro učitele jisté náměty pro využití hotových produktů ve vyučování matematiky. Hotové prezentace by měly sloužit především jako informace a námět při přípravě na vyučovací hodinu a zpracované problémy v aplikaci Notebook pro Smart Board přímo ve vyučovací hodině. Příspěvek byl zpracován v rámci řešení projektu SGS-FP-TUL č.143/2009. Literatura 1.

2.

PŘÍHONSKÁ, J.: Prezentační software v přípravě budoucích učitelů. In: Žilková, K.: Potenciál prostredia IKT v školskej matematike. (CD), Univerzita Komenského v Bratislave, 2009, s. 44-53. ISBN 978-80-223-2754-1 ŽILKOVÁ, K.: Školská matematika v prostredí IKT (Informačné a komunikačné technológie). Univerzita Komenského Bratislava, 2009. ISBN 978-80-223-2555-4

Kontaktní adresa doc. RNDr. Jana Příhonská, Ph.D. Fakulta přírodovědně humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci Voroněžská 1329/13, 461 17 Liberec 1 Telefon: +420 485 352 370 E-mail: [email protected]

254

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

GEOMETRICKÁ PŘEDSTAVIVOST JAKO SLOŽKA MATEMATICKÉ GRAMOTNOSTI Filip ROUBÍČEK Abstrakt Geometrická představivost – schopnost interpretovat geometrický obsah obrazů a modelů, vybavovat si představy geometrických objektů na základě různých podnětů a manipulovat s představami ve své mysli – je důležitá pro poznávání matematiky i její užití v praxi. Úroveň geometrického poznání žáků je dána kvalitou představ, které si žák vytvořil o geometrických objektech, a kvantitou vazeb, které mezi objekty identifikuje. Výuka geometrie na prvním stupni ZŠ by měla být založena na pozorování skutečnosti a intuici. V textu jsou popsány náměty činností pro rozvíjení geometrické představivosti žáků. GEOMETRICAL IMAGINATION AS A PART OF MATHEMATICAL LITERACY Abstract Geometrical imagination – ability to interpret geometrical content of figures and models, to evoke images of geometrical objects on the basis of different impetus and to manipulate with images mentally – is important for mathematical cognition and its use in practise. The level of pupils’ geometrical knowledge is determined by the quality of ideas of geometrical objects that the pupil has formed and by the quantity of the links that he/she identifies among the objects. Teaching of geometry at primary school should be based on observation of reality and intuition. Suggestions of activities for developing geometrical imagination of pupils are described. 1. Úvod Představivost je často spojována s trojrozměrným prostorem; hovoří se o prostorové představivosti jako schopnosti orientovat se v trojrozměrném prostoru na základě představy nebo dvojrozměrného obrazu. Představivost jako jeden z předpokladů zvládnutí studia geometrie se však neomezuje pouze na trojrozměrný prostor, ale je uplatňována i v dvojrozměrném prostoru – rovině. Pro představivost v tomto pojetí, která zahrnuje trojrozměrný i dvojrozměrný geometrický prostor, se vžil pojem geometrická představivost. Pěstovat geometrickou představivost znamená učit vidět geometrii kolem sebe, poznávat svébytný svět geometrie, rozumět jeho zákonitostem a používat je v běžných životních situacích. Žák, který má dobrou geometrickou představivost, dovede interpretovat geometrický obsah obrazů a modelů, vybavovat si představy geometrických objektů na základě různých podnětů a manipulovat s představami ve své mysli. Geometrická představivost jako důležitá složka matematické gramotnosti je

255

nezbytná nejen při řešení geometrických úloh, ale i pro modelování v aritmetice (například při znázorňování čísel a vytváření modelů kvantitativních vztahů při řešení slovních úloh). 2. Reprezentace geometrických objektů Úroveň geometrického poznání žáků je dána kvalitou představ, které si žák vytvořil o geometrických objektech, a kvantitou vazeb, které mezi objekty identifikuje. Pro učitele, který působí na proces učení žáka, je znalost těchto charakteristik důležitá. Geometrické představy a kontexty, se kterými žáci operují, nemůže učitel vzhledem k jejich mentální povaze sledovat přímo, ale pouze prostřednictvím vnějších projevů. Nejde tedy v žádném případě o objektivní zjišťování představ žáka, ale spíše o usuzování na základě smyslově vnímatelných indicií. Duval (1995) charakterizuje smyslově vnímatelné (tzv. sémiotické) reprezentace jako prostředek k vyjádření mentálních reprezentací (k jejich zviditelnění nebo zpřístupnění) a poukazuje na jejich nepostradatelnost nejen pro komunikaci, ale také pro rozvoj samotné matematické činnosti. Mentální a sémiotické reprezentace netvoří oddělené oblasti, neboť rozvoj mentálních reprezentací (představ) se uskutečňuje zvnitřněním sémiotických reprezentací (modelů). 3. Pojetí geometrie v primárním vzdělávání Přestože množinové pojetí geometrie v primárním vzdělávání je již minulostí, stále se setkáváme s náznaky axiomatického přístupu k výuce geometrie, kdy jsou žáci nejprve seznámeni se základními geometrickými útvary jako bod a přímka, než přistoupí ke trojúhelníku a další „složitějším“ útvarům. Takto abstrahovaný svět geometrie nejenže žáky nezaujme, kvůli absenci představ a vazeb na reálný svět mu ani neporozumí. Současné pojetí školské geometrie staví na zkušenostech žáků (intuici a smyslovém vnímání) a axiomatiku zavádí postupně až na druhém stupni ZŠ a SŠ. Kuzniak (2006) vymezil tři paradigmata geometrie odpovídající třem stupňům školy: Geometrie I – přirozená geometrie je založena na pozorování skutečnosti, intuitivním poznávání a ověřování platnosti poznatků pomocí měření nebo konstrukce. Geometrie II – přirozená a axiomatická geometrie je založena na smyslovém vnímání skutečnosti a ověřování hypotéz pomocí souboru axiomů. Geometrie III – formální a axiomatická geometrie je založena na souboru axiomů, které jsou nezávislé na skutečnosti. 4. Didaktická struktura geometrie Základem výuky geometrie na prvním stupni ZŠ by neměla být matematická struktura (tj. struktura založená na představě geometrického prostoru jako množině bodů), ale struktura didaktická, která vychází z přirozených přístupů dítěte k poznávání prostoru (Kuřina, 2001). F. Kuřina uvádí čtyři principy didaktické struktury geometrie: a) dělení prostoru na části (Geometrický objekt je vymezen v prostoru svou hranicí, např. kružnice je hranicí kruhu.) b) vyplňování prostoru (Jde o princip komplementární k dělení prostoru; souvisí s měřením a mírou geometrických objektů.) c) pohyb v prostoru (Posuvný a otáčivý pohyb se objevuje v geometrických konstrukcích; s pohybem souvisí vytváření např. rotačních těles.) d) dimenze prostoru (Žáci žijí v trojrozměrném prostoru, proto je pro ně přirozeným prostředím stejně jako jeho dvojrozměrné obrazy.)

256

5. Náměty pro rozvíjení geometrické představivosti Uvedené principy nacházíme v geometrických úlohách, jimiž podporujeme u žáků budování a rozvíjení představ o geometrických útvarech, jejich polohových a metrických vlastnostech a vztazích mezi nimi. Úloha Rozdělte obdélník pomocí jeho úhlopříčky na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky a sestavte z nich různé mnohoúhelníky. patří mezi ty, které je vhodné řešit modelováním. Budeme-li uvažovat jen případy, že trojúhelníky se dotýkají dvěma shodnými stranami, získáme šest různých konvexních mnohoúhelníků včetně původního obdélníku (viz obr. 1). Pokud tuto podmínku neuplatníme, je řešení nekonečně mnoho (viz obr. 2). Manipulací s modely žáci získávají řadu podnětů a obohatí své představy o mnohoúhelnících. Je ovšem důležité, aby žáci nejen mnohoúhelníky vymodelovali, ale dále s nimi pracovali – charakterizovali je (přestože neumějí vzniklé mnohoúhelníky geometricky pojmenovat).

Obr. 1 Konvexní mnohoúhelníky sestavené ze dvou shodných pravoúhlých trojúhelníků

Obr. 2 Příklady nekonvexních mnohoúhelníků sestavených ze dvou trojúhelníků Vytvoření velkého počtu různých mnohoúhelníku vede k myšlence jejich třídění podle různých hledisek. Žáci sami mohou navrhnout, podle jakého hlediska by bylo možné sestavené mnohoúhelníky rozdělit. Jedním z jejich hledisek zřejmě bude počet stran (trojúhelníky, čtyřúhelníky, pětiúhelníky, šestiúhelníky). Jiným hlediskem pro třídění může být konvexita (konvexní a nekonvexní), což žáci pojmenují po svém např. „bez koutů“ a „rohaté“. Vzniklé mnohoúhelníky lze roztřídit také podle jejich obvodu (na třídy mnohoúhelníků se stejným obvodem). Při porovnávání obvodů sestavených mnohoúhelníků žáci objevují postupy, jak zjistit, kdy mají dva mnohoúhelníky stejný obvod (přestože neumějí určit přesně délku jednotlivých stran). Zadání tohoto typu úkolu lze různě modifikovat: Kolik různých čtyřúhelníků lze sestavit ze čtyř shodných rovnoramenných pravoúhlých trojúhelníků? (V tomto případě je základem skládačky čtverec rozdělený úhlopříčkami.) Sestavte ze čtyř zelených a ze čtyř červených shodných rovnoramenných pravoúhlých trojúhelníků souměrný čtvercový ornament. Na obr. 3 jsou ornamenty, z nichž první zleva je pouze osově souměrný, druhý osově i středově souměrný a třetí pouze středově souměrný (bereme

257

v úvahu barvu trojúhelníků v ornamentu a předpokládáme, že zobrazení barvy zachovává).

Obr. 3 Souměrné čtvercové ornamenty Uvedené aktivity přirozeně vedou ke dvěma důležitým geometrickým pojmům: shodnost a souměrnost. Dělení geometrického útvaru na shodné části má dále souvislost s modelováním zlomku jako části celku. Modelem celku, který je dělen na stejné části, je často kruh, čtverec nebo obdélník. Zajímavým modelem je však také rovnostranný trojúhelník. Úkol Rozdělte rovnostranný trojúhelník na dva, tři a čtyři shodné trojúhelníky. nepatří mezi nejsnazší (viz obr. 4). Vzniklé obrázky lze použít jako modely zlomků (polovina, třetina, čtvrtina) nebo jako modely k rozpoznávání těles na základě jejich pravoúhlého průmětu (při pohledu zepředu nebo shora).

Obr. 4 Rovnostranný trojúhelník rozdělený na dva, tři a čtyři shodné trojúhelníky K vytvoření dobré představy osově souměrného útvaru lze využít rozmanitých prostředků: vystřihování z přeloženého listu papíru, kreslení obrazu pomocí obdélníkového zrcátka, software dynamické geometrie (ve spojení s interaktivní tabulí) a jiné (viz Roubíček, 2008). Jedním z úkolů, které přispívají k rozvíjení představy osové souměrnosti, může být sestavování souměrného obrazce podle předlohy s využitím zrcátka (pozn. existuje jako didaktická pomůcka) nebo dokreslování obrazce ve čtvercové síti. V rámci modelování osové souměrnosti lze u žáků intuitivně budovat představy dalších shodných zobrazení, aniž bychom žákům vysvětlovali konstrukční postupy. Vše je založeno na objevování pravidelností v obrazech nebo modelech, které jim předkládáme nebo které si sami vytvoří. Středovou souměrnost, otočení a posunutí získáme složením dvou osových souměrností, což lze jednoduše modelovat i mladším žákům. Například vystřižením obrazce z přeloženého listu papíru vytvoříme vzor, na kterém mohou žáci objevit, že obrazec je ve vzoru zobrazen „zrcadlově“ (jako nepřímo shodný), nebo je posunutý či otočený o 180° (viz obr. 5).

Obr. 5 Objevování shodných zobrazení ve vzoru

258

Všechny výše uvedené náměty byly založeny na užití shodných útvarů. Geometrické útvary byly buď sestavovány ze shodných útvarů, nebo rozdělovány na shodné útvary. Pro uplatnění principu vyplňování prostoru můžeme použít také útvary různého tvaru, např. polymina, která vytvoříme složením různého počtu shodných čtverců (viz obr. 6). Při skládání nejde jen o pokrývání obrazce danými díly, ale také pohyb – otáčení a posouvání dílů (v některých variantách se využívá i překlápění dílů). Na práci s polyminy jsou založeny oblíbené deskové hry Ubongo a Blokus a různé hlavolamy, proto jsou vítanou pomůckou pro výuku geometrie.

Obr. 6 Sestavování mnohoúhelníku z polymin 6. Závěr Popsané činnosti jsou blízké zkušenostem žáků, které získali při hře s různými skládačkami nebo obyčejným papírem. Přirozeně je vedou k objevování vlastností geometrických útvarů, které jsou základem geometrických konstrukcí a propedeutikou míry. Respektují pojetí tzv. přirozené geometrie a základní didaktické principy a umožňují zapojení všech žáků s různou úrovní geometrického poznání. Jejich smyslem je ukázat žákům geometrické modely v širších souvislostech a tím podpořit budování jejich představ jako základ matematického poznání. Příspěvek byl vypracován s podporou grantu GAČR č. 406/08/0710 a výzkumného záměru AV0Z10190503. Literatura 1. 2. 3. 4.

DUVAL, R. Sémiosis et pensée humaine: Registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Bern: Peter Lang, 1995. KUŘINA, F. Geometrie a svět dětí. O vyučování geometrii na prvním stupni. Hradec Králové, 2001. KUZNIAK, A. Paradigmes et espaces de travail géométriques. Éléments d´un cadre théoretique pour l´enseignement et la formation des enseignants en géométrie. Canadian Journal of Science and Mathematics Education, vol 6.2, pp. 167-188, 2006. ROUBÍČEK, F. Reprezentační prostředí pro shodná zobrazení v rovině. In Stehlíková, N.; Jirotková, D. (ed.) Dva dny s didaktikou matematiky 2008, Sborník příspěvků. Praha: Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta, 2008, s. 115-120.

Kontaktní adresa PhDr. Filip Roubíček, Ph.D. Matematický ústav AV ČR, v.v.i. Žitná 25, 115 67 Praha 1 Telefon: +420 222 090 750 E-mail: [email protected]

259

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

ZAJĘCIA KOMPUTEROWE NA ETAPIE WCZESNOSZKOLNEJ EDUKACJI – POZIOM UMIEJĘTNOŚCI I WSPOMAGANIE ICH ROZWOJU Jolanta SEIDEL, Maria SOBIESZCZYK Abstrakt Zauważalny w ostatnich latach rozwój sprzętu komputerowego, oprogramowania oraz różnych technik informatycznych spowodował, iż informatyka w ciągu kilkunastu lat przekształciła się z dyscypliny typowo akademickiej w ogólnokształcący przedmiot szkolny. Edukacja informatyczna w szkole ma na celu przygotowanie uczniów do świadomego i prawidłowego korzystania z komputerów oraz technologii informacyjnej. Na tym poziomie kształcenia informatycznego trzeba koncentrować się przede wszystkim na stworzeniu odpowiednich warunków do nabywania przez uczniów określonych umiejętności, kompetencji i zachowań. Nowelizacja Ustawy o systemie oświaty z 2008 z mocą obowiązującą od roku szkolnego 2009/2010 wprowadziła znaczące zmiany w zakresie kształcenia informatycznego już w klasach I-III. Na tym etapie kształcenia umiejętności te dotyczą obsługi komputera i wybranych programów, gromadzenie informacji z Internetu oraz wykorzystania tych umiejętności w celach edukacyjnych. COMPUTER CLASSES AT THE STAGE OF EARLY SCHOOL EDUCATION – THE SKILLS LEVEL AND THE DEVELOPMENT SUPPORT Abstract The considerable development of computer devices, software and various IT techniques caused that computer science has converted in the last few years from the typically academic discipline into a school subject. IT education at school aims at preparing the students to a conscious and correct usage of computers and information technology. At this level of education we need to focus mainly on creating the comfortable conditions for students to acquire the particular skills, competences and reactions. The Amendment to the Education System in 2008, which has been valid since the school year 2009/2010, introduced significant changes concerning IT education at 1st to 3rd grade. At this phase of education, the above mentioned skills are connected with the basic computer operations, using some of the software, gathering information from the Internet and using some of these abilities for educational purposes. 1. Wprowadzenie Pełne wykorzystanie komputera w polskiej szkole to niedaleka i konieczna przyszłość. Szkoła musi przygotować młodych Polaków do swobodnego funkcjonowania w epoce informacji, musi wykształcić umiejętność poszukiwania

260

i porządkowania danych z różnych źródeł oraz efektywnego wykorzystania ich do rozwiązywania problemów. Nauczyciele jednak z ogromnym oporem sięgają po komputer, jako pomoc dydaktyczną. Wynika to często z braku przygotowania do pracy z komputerem, niechęci do tego nowoczesnego, aczkolwiek wymagającego środka dydaktycznego, a nawet z powodu braku w niektórych szkołach lub starzejącego się już sprzętu komputerowego w innych. Tymczasem, mimo niekwestionowanych zalet posiadania umiejętności komputerowych przez dzieci i młodzież pojawiają się opracowania różnych specjalistów na temat wpływu pracy na komputerze na ich rozwój intelektualny, społeczny i fizyczny. Jasne jest, że każdy pedagog i rodzic powinien mieć świadomość zagrożeń płynących z wielogodzinnego, często niewłaściwego korzystania przez dzieci z Internetu czy gier komputerowych. Zatem samodzielna praca przy komputerze w domu musi zostać ujęta w ramy celowego, świadomego i kontrolowanego procesu organizowanego w szkole z pełnym uczestnictwem w tym procesie nauczycieli i rodziców. 2. Miejsce edukacji informatycznej we współczesnej szkole Zmiany w edukacji wczesnoszkolnej, począwszy od reformy systemu oświaty w 1999 roku oraz ponowne zmiany w 2009 roku uwzględniają rozwój umiejętności komputerowych już na tym poziomie kształcenia. W pierwszym głównym okresie zmian w edukacji Podstawa programowa dla szkół podstawowych nie przewidywała w klasach I-III zajęć o charakterze informatycznym. Jedynie Rozporządzenie Ministra Edukacji narodowej i Sportu z dnia 12.02.2002 r. W sprawie ramowych planów nauczania w szkołach publicznych określająca wymiar obowiązkowych zajęć edukacyjnych przewiduje wymiar godzin do dyspozycji dyrektora szkoły, który mógł przeznaczyć je na „zorganizowanie zajęć dla grupy uczniów, z uwzględnieniem ich potrzeb i zainteresowań…”. W szkołach dysponujących odpowiednim sprzętem komputerowym, pracownią dostosowaną do warunków fizycznych uczących się dzieci oraz nauczycielem informatyki mającym odpowiednie kwalifikacje do pracy z małymi dziećmi takie wydzielone zajęcia komputerowe mogły być organizowane. Na terenie prawie 400-tysięcznego miasta Bydgoszcz takich szkół publicznych było zaledwie 6. W pozostałych szkołach wykorzystanie komputera na zajęciach kształcenia zintegrowanego miało charakter wspomagający pracę nauczyciela w postaci prezentacji multimedialnych. Rzadziej nauczyciele wykorzystywali programy edukacyjne, głównie jednak nauczyciel mając do dyspozycji jeden komputer sam taki program obsługiwał. Nowelizacja Ustawy o systemie oświaty (przyjęta przez Sejm 19 marca 2009 r.) i rozporządzenia zmieniające rozporządzenie w sprawie ramowych planów nauczania w szkołach publicznych (z 23 marca 2009 r.) wprowadziła do Podstawy programowej zajęcia komputerowe już od klasy I. Uczeń po klasie I powinien mieć ukształtowane następujące umiejętności w tym zakresie: • posługuje się komputerem w podstawowym zakresie: uruchamia program, korzystając z myszy i klawiatury, • wie, jak trzeba korzystać z komputera, żeby nie narażać własnego zdrowia, • stosuje się do ograniczeń dotyczących korzystania z komputera. Natomiast uczeń po klasie III: • umie obsługiwać komputer posługując się myszą i klawiaturą, • posługuje się wybranymi programami i grami edukacyjnymi, rozwijając swoje zainteresowania; korzysta z opcji programowych,

261

•

• •

wyszukuje i korzysta z informacji: - przegląda wybrane przez nauczyciela strony internetowe, - dostrzega elementy aktywne na stronie internetowej, nawiguje po stronach w określonym zakresie, - odtwarza animacje i prezentacje multimedialne, tworzy teksty i rysunki: - wpisuje za pomocą klawiatury litery, cyfry i inne znaki, wyrazy i zdania, - wykonuje rysunki za pomocą wybranego edytora grafiki, zna zagrożenia wynikające z korzystania z komputera, Internetu i multimediów: - wie, ze praca przy komputerze męczy wzrok, nadwyręża kręgosłup, ogranicza kontakty społeczne, - ma świadomość niebezpieczeństw wynikających z anonimowości kontaktów i podawania swojego adresu, - stosuje się do ograniczeń dotyczących korzystania z komputera, Internetu i multimediów.

Zajęcia komputerowe należy rozumieć dosłownie, jako zajęcia z komputerami prowadzone w korelacji z pozostałymi obszarami edukacji, wtedy komputery wykorzystywane są, jako: • urządzenia, które wzbogacają zintegrowany proces nauczania i uczenia się o teksty, rysunki i animacje tworzone przez uczniów, kształtujące ich aktywność na zajęciach /gry i zabawy/, utrwalające umiejętności /programy edukacyjne na płycie lub w sieci/, rozwijające zainteresowania (Jakubowicz-Bryx, 2005), • urządzenia, które są przedmiotem rozpoznania, stają się celem edukacji wraz z ich oprogramowaniem i szerokim zastosowaniem. Zajęcia takie powinny mieć miejsce w szkolnej pracowni komputerowej, w której uczeń ma dostęp do osobnego komputera podłączonego do Internetu. Przeznacza się wtedy odrębne zajęcia dydaktyczne w wymiarze 95 h. Oczywiście zmiany te dotyczą obecnych klas I, natomiast klasy II i III mogą być organizowane takie zajęcia z godzin przeznaczonych do dyspozycji dyrektora. W bydgoskich szkołach podstawowych zajęcia komputerowe w klasie I organizowane są jako odrębne dwie jednostki zajęć w tygodniu prowadzone najczęściej przez nauczyciela kształcenia zintegrowanego. Nie musi on kończyć studiów podyplomowych ani kursów kwalifikacyjnych dla prowadzenia zajęć komputerowych. Wystarczy, jeśli dysponuje odpowiednimi kwalifikacjami uznanymi przez dyrektora szkoły. Już nauczyciel mianowany musi posiadać umiejętności wykorzystania w pracy technologii informacyjnej i komunikacyjnej (Rozporządzenie MENiS, 2004). Nauczyciel klas I na zajęciach komputerowych może wykorzystać różne koncepcje prowadzenia tych zajęć ujęte w podręcznikach. Wykaz podręczników dopuszczonych do użytku szkolnego na zajęcia komputerowe obejmuje następujące serie: • Zajęcia komputerowe dla szkoły podstawowej • Informatyka Europejczyka • Lekcje z komputerem • Przygoda z komputerem • Wesoła Szkoła i przyjaciele. Zajęcia komputerowe • Razem w Szkole. Zajęcia komputerowe

262

• •

KlikPlik Zajęcia komputerowe. Szkoła na miarę.

3. Skuteczność zajęć komputerowych w klasach I-III Zanim nowa podstawa programowa zobligowała szkoły do wprowadzenia zajęć komputerowych do klasy I od roku szkolnego 2009/2010 w niektórych szkołach publicznych takie zajęcia były już prowadzone we wszystkich trzech klasach. Zatem można już mówić o pewnych doświadczeniach wynikających z tego eksperymentu. Najważniejsze pytania, jakie nasuwa się w tym momencie są następujące: a/ Jakie są umiejętności uczniów klas niższych w zakresie obsługi komputera i wykorzystania go w procesie uczenia się? b/ Czy poziom umiejętności w zakresie obsługi komputera jest zależny od systematycznej realizacji programu zajęć komputerowych? Do badań wybrano po jednej klasie I, II, III, w których realizowano zajęcia komputerowe według koncepcji programowej Komputerowe opowieści, wydawnictwa Czarny Kruk 2002. Program ten został dopuszczony do użytku szkolnego /DKOS-401440/02/. Drugą grupą badanych byli uczniowie klas I, II i III, w których systematycznych zajęć komputerowych nie prowadzono. Badania przeprowadził student UKW P. Kopydłowski. Badania testowe obejmowały następujące umiejętności /tabela 1/. Tabela 1. Zestawienie badanych umiejętności Umiejętności obsługi komputera Klasa I Klasa II

Klasa III

1. znajomość elementów zestawu komputerowego

1.bezpiecznego uruchamiania i wyłączania komputera

1. bezpiecznego uruchamiania i wyłączania komputera

2. zna funkcje klawiszy

2. zakładania folderów i zapisywania w nich plików z wykonanymi zadaniami

2. zakładania folderów i zapisywania w nich plików z wykonanymi zadaniami

3. wykonywania zadań w edytorze grafiki Paint

3. wykonywania zadań w edytorze grafiki Paint

4. wykonywanie zadań i obsługę programów znajdujących się na płycie CD

4. wykonywanie zadań i obsługę programów znajdujących się na płycie CD 5. wykonywanie zadań w edytorze WORD

3. rozpoznaje ikony programu graficznego Paint 4. zna ikony na pasku zadań

6. wyszukiwanie informacji w Internecie

Test miał charakter praktyczny. Uczniowie indywidualnie wykonywali wskazane czynności przy komputerze. Czynności te punktowane były w skali 0, 1. Słowna ocena poziomu umiejętności została przyjęta na podstawie następujących kryteriów:

263

Tabela 2. Kryteria oceny testów klasa I liczba pkt. 0-11 12-22 23-31

klasa II liczba pkt. 0-14 15-29 30-44

klasa III liczba pkt. 0-12 13-22 23-33

przedziały % 0-30 31-60 61-100

poziom umiejętności niski średni wysoki

W tabeli 3 przedstawione zostały uzyskane wyniki testowania w obu grupach badanych. Tabela 3. Zestawienie ogólnych wyników testu w poszczególnych klasach Dane

Klasy II

I

III

z edukacją informatyczną

bez edukacji informatycznej

z edukacją informatyczną

bez edukacji informatycznej

z edukacją informatyczną

bez edukacji informatycznej

średnia liczba pkt. % uzysk. pkt.

25,8

27,0

31,0

18,0

29,0

18,0

83,2

86,8

70,1

41,0

87,6

54,4

poziom

wysoki

wysoki

wysoki

średni

wysoki

średni

Wyniki uzyskanych badań pozwalają na sformułowanie następujących wniosków: a/. Systematycznie prowadzone zajęcia komputerowe /szczególnie w klasie II i III/ powodują, że umiejętności uczniów w tym zakresie są ukształtowane na wysokim poziomie. A zatem już w młodszym wieku szkolnym możliwe jest ukształtowanie niezbędnych umiejętności potrzebnych do pracy z komputerem. Zastanawiające są jednak wyniki uzyskane w klasie I. Zarówno w klasie, w której realizowana była edukacja informatyczna oraz w klasie, w której specjalnych zajęć z komputerem nie było dzieci wykazały podobnie wysoki poziom umiejętności. Przypuszczać należy, iż umiejętności te uczniowie nabyli w trakcie posługiwania się komputerem w warunkach domowych. Badane umiejętności są przecież niezbędne do obsługi gier komputerowych, którymi dzieci zajmują się na co dzień w domu. b/. Tak wysoki poziom umiejętności komputerowych pozwala nauczycielom z całą świadomością wykorzystywać ten środek dydaktyczny za zajęciach zintegrowanych. Komputer jest instrumentem motywującym do uczenia się nie tylko matematyki (Havel C., Kordek D., Sroll P., 2008; Fulier J., 2001; Uhlirova M., 2002), ale też innych obszarów edukacyjnych (Węgrzyn - Białogłowicz K., 2007; Solich K., 2005). Komputerowe programy edukacyjne wspomagają proces uczenia się (Kiełb Starczewska E., 2007) pełniąc funkcję aktywizująco-motywującą, poznawczo-twórczą, ćwiczeniową, kontrolną, wychowawczą i terapeutyczną. c/. W związku z wprowadzeniem obowiązkowych zajęć komputerowych i nabywaniem przez uczniów młodszych umiejętności obsługi komputera, programów komputerowych oraz korzystania z Internetu oczywiste staje się takie redagowanie zadań w podręcznikach do kształcenia zintegrowanego, które wymagałyby stosowania tych umiejętności. Literatura 1. FULIER J. (2001), Niektore aspekty vyuzivania pocitacov a Internetu v piprave ucitel’ov matematiky. W: Matematika v priprave ucitel’ov 1. stupna zakladnej skoly, Banska Bystica, ISBN 80-8055-519-2

264

2. HAVEL C., KORDEK D., ŚROLL P. (2008), The computer the motivational instrument in edukaction of matehematics. W: Matematika 3, Olomouc , ISBN 97880-244-1963-3 3. JAKUBOWICZ – BRYX A. (2005), Multimedialne programy komputerowe w opinii uczniów klas niższych, W: Jankowski K., Sitarska B., Tkaczuk C. (red.) Media i metody wspomagające jakość kształcenia, Siedlce, ss.241-250, ISBN 8370510-356-5 4. KIEŁB-STARCZEWSKA E. (2007), Komputerowe wspomaganie edukacji z zastosowaniem immersyjnego nauczania –uczenia się. W: M. Królica, E. Piwowarska, E.Skoczylas-Kortyla (red.) Edukacja przedszkolna i wczesnoszkolna na początku XXI wieku. Częstochowa, ISBN 978-7455-019-2 5. SOLICH K. (2005), Komputer w nauce czytania i pisania. Edukacja i Dialog, nr 3 6. WĘGRZYN-BIAŁOGŁOWICZ K. (2007), Edukacyjne programy komputerowe środkiem wspomagania rozwoju kompetencji językowych dziecka przedszkolnego. W: E.I. Laska (red.) Nauczyciel wobec wczesnej edukacji. Rzeszów, ISBN 978-837338-327- 2 7. UHLIROVA M. (2002), Poćitać a matematicke myśleni. W: Podil matematyki na priprave ućitele prymarni śkoly. UP Olomoluc, ISBN 80-244-0440-0 Kontaktni adresa Dr Jolanta Seidel Uniwersytet Kazimierza Wielkiego Instytut Pedagogiki 85-064 Bydgoszcz ul. Chodkiewicza 30 e-mail: [email protected]

Dr Maria Sobieszczyk Uniwersytet Kazimierza Wielkiego Instytut Pedagogiki 85-064 Bydgoszcz ul. Chodkiewicza 30 e-mail: [email protected]

265

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

VYUŽITÍ INTERAKTIVNÍ TABULE V MATEMATICE PRIMÁRNÍ ŠKOLY Miluše SHROMÁŽDILOVÁ Abstrakt Příspěvek se věnuje využití interaktivní tabule v matematice primární školy. Obsahuje ukázky příkladů vytváření vhodných interaktivních materiálů pro dané učivo matematiky v jednotlivých ročnících primární školy. UTILIZATION OF INTERACTIVE TABLE IN PRIMARY SCHOOL MATHS Abstract The report deals with the usage of interactive smartboard during Maths lessons at lower primary schools. It gives examples of creating suitable interactive materials to be used in different years of lower primary school.

1. Úvod Současné vzdělávací cíle, tak jak je stanovuje RVP ZV, lze splnit za použití nových inovativních metod a forem práce se žáky. V posledních letech nabývají mimořádného významu informační a komunikační technologie, zejména interaktivní tabule. Interaktivní tabule se vyrábějí od počátku 90. let. O jejich úspěšnosti a oblibě svědčí řada vydávaných interaktivních učebnic a výukových programů (např. nakladatelství Nová škola, Fraus, Tobiáš a další), webové stránky s výukovým materiálem (např. www.veskole.cz, www.chytretabule.cz), řada odborných článků v pedagogických časopisech i na výše uvedených internetových stránkách. Využívání interaktivní tabule motivuje, aktivizuje žáky, rozvíjí jejich klíčové kompetence a celkově vede k lepším výsledkům vzdělávání. Výzkum, který na konci května 2009 provedl Ústav pro informace ve vzdělávání, ukázal, že interaktivní tabuli využívá v hodinách matematiky 63 % z dotázaných učitelů (více na www.uiv.cz). 1.1. Využití interaktivní tabule v 1. ročníku Učiteli 1. ročníku se nabízí celá řada různých cvičení a úloh, které může využít ve všech etapách vyučování. Žák např. maluje, vybarvuje, dokresluje nebo seskupuje předměty podle zadání, počítá předměty na obrázku, přiřazuje k číslicím (obrázkům) stejný počet obrázků (správná čísla), upravuje řadu obrázků tak, aby zůstal určený počet. Při práci s číselnou řadou vytváří vzestupné a sestupné číselné řady, dopisuje (přiřazuje) chybějící čísla, opravuje chybně napsané číselné řady apod. Interaktivní tabuli (zejména interaktivní

266

tabuli SMART Board) lze vhodně využít i při nácviku psaní číslic. Interaktivní tabuli lze dále využít k zautomatizování spojů sčítání a odčítání v číselném oboru do 10 (později do 20 bez přechodu desítky). Další možnosti využití interaktivní tabule nabízí porovnávání čísel. Žáci např. porovnávají počet předmětů na obrázcích, velikost stejných geometrických útvarů, přiřazují znaménka rovnosti a nerovnosti atd. Interaktivní tabuli lze dále využít k procvičení orientace v prostoru (např. Dej žluté jablíčko do pravého horního rohu…); učivo o geometrických útvarech můžeme využít k upevňování znalosti barev (např. Vybarvi všechny kruhy zeleně…). Interaktivní tabule dává rovněž možnost ukázat, že geometrické tvary mohou být v různých polohách, aniž by se změnil jejich tvar. Žáci se o tom mohou přesvědčit tím, že pootočí geometrické útvary do potřebné polohy. Při probírání učiva o geometrických tělesech jsou možnosti interaktivní tabule omezené, žáci mohou u probíraných geometrických těles např. určovat jejich počet, třídit je či vyhledávat podle pokynů učitele. Interaktivní tabule může být naopak vhodně využito k rozvoji geometrické představivosti a tvořivosti žáků. 1.2. Využití interaktivní tabule ve 2. ročníku Také ve 2. ročníku nabízí interaktivní tabule velké možnosti co do rozmanitosti matematických úloh. Pomocí interaktivních materiálů procvičujeme a upevňujeme dovednost pamětného počítání v rozšířeném číselném oboru do 100. Novým učivem 2. ročníku je také násobení a dělení čísly 2, 3, 4, 5 (v některých školách jsou ve 2. ročníku probrány i další spoje násobilek). K upevnění probraných násobilkových spojů můžeme využít kromě tradičních cvičení i hrací kostky (animace flash) či kostky domina.

Obr. 1 V rámci tematického okruhu Geometrie v rovině a v prostoru může být interaktivní tabule využita např. k popisu základních rovinných útvarů, k porovnávání velikosti rovinných útvarů, k pojmenování těles atd. 1.3. Využití interaktivní tabule ve 3. ročníku Ve 3. ročníku je dokončeno násobení a dělení v oboru násobilek do 100. Vytvořené interaktivní materiály slouží k procvičení a upevnění učiva: žáci násobky čísel zapisují, spojují, třídí, vybarvují, kroužkují apod., dále hledají správné řady násobků, odhalují

267

„vetřelce“ mezi násobky (obrázek č. 2), doplňují chybějící násobky. K zautomatizování učiva slouží cvičení, kdy žáci spojují příklady se správnými výsledky (a naopak), dopisují chybějící činitele, opravují špatné výsledky, určují společné násobky (dělitele) čísel, doplňují tabulky, počítají řetězce, užívají násobení a dělení při řešení praktických úloh.

Obr. 2 V rámci tematického okruhu Geometrie v rovině a v prostoru můžeme žákům na interaktivní tabuli zprostředkovat např. učivo o přímce (žáci určují body náležící přímce, vyznačují na přímce dané body), polopřímce (žáci určují počátek polopřímky, barevně vyznačují dané polopřímky atd.), obvodu (žáci určí obvod jednoduchého obrazce sečtením délek jeho stran) a jednotek délky (žáci např. převádí jednotky délky s užitím měnitele 1 000, 100 a 10.). 1.4. Využití interaktivní tabule ve 4. ročníku Interaktivní tabule může být nově využita při výkladu učiva o zlomcích: k vytvoření názorné představy zlomku jako části celku, k zavedení příslušné matematické terminologie, k řešení jednoduchých úloh na výpočet zlomku z daného čísla a k sčítání zlomků se stejným jmenovatelem.

Obr. 3

268

Z geometrického učiva mohou interaktivní materiály čerpat náměty např. z učiva o jednotkách (žáci převádí jednotky délky, času a hmotnosti, třídí číselné údaje s jednotkami); žáci mohou také řešit jednoduché slovní úlohy na výpočty obsahu obdélníku a čtverce. 1.5. Využití interaktivní tabule v 5. ročníku Interaktivní materiály v podstatě rozšiřují již vytvořený soubor cvičení na násobení a dělení (sčítání a odčítání) v nižších ročnících; od nich se liší nejen jednodušší grafikou, ale především větší obtížností jednotlivých matematických úloh.

Obr. 4 V 5. ročníku rozšiřujeme také poznatky žáků z učiva o zlomcích, zavádíme nové pojmy desetinný zlomek a desetinné číslo. Žáci např. doplňují řadu po sobě jdoucích desetinných čísel, zaokrouhlují daná desetinná čísla na desetiny, sčítají a odčítají přirozená a desetinná čísla, násobí a dělí desetinná čísla stem. V rámci tematického okruhu Geometrie v rovině a v prostoru mohou žáci počítat obvod a obsah obdélníku a čtverce, povrch kvádru a krychle, převádět jednotky obsahu, řešit úlohy z praxe na výpočty obsahů obdélníku a čtverce, povrchu kvádru a krychle. 2. Závěr Možnosti využití interaktivní tabule v matematice primární školy jsou velké, na učitele však kladou další nároky (především v oblasti informační gramotnosti učitelů). Záleží nejen na schopnostech, ale především ochotě učitelů vytvářet vhodné interaktivní materiály. Učitel může samozřejmě využít již vytvořené interaktivní materiály, které najde např. na portálu podporujícím interaktivní výuku www.veskole.cz (na těchto webových stránkách jsou dostupné ke stažení také některé mé vlastní interaktivní materiály). Při tvoření vlastních interaktivních materiálů mohou učitelé vycházet ze dvou závazných a dosud platných pedagogických dokumentů (RVP ZV, VP ZŠ), neméně důležitým zdrojem inspirací jsou učebnice matematiky, pracovní sešity, pracovní učebnice, pracovní karty a listy a metodické příručky.

269

Další možnosti využití nabízí převedení interaktivních materiálů do formátu Word; žáci tak mohou současně s interaktivní tabulí plnit zadané úkoly v lavicích nebo samostatné práci v pracovním listě předchází názorná ukázka na interaktivní tabuli. Záleží na kreativitě každého učitele, jak s jednotlivými interaktivními materiály v hodinách matematiky naloží. Literatura 1. 2. 3. 4.

Vzdělávací program Základní škola. 1.vyd. Praha: Fortuna, 1996. 280 s. ISBN 807168-337-X. COUFALOVÁ, J., PĚCHOUČKOVÁ, Š., HEJL, J., HERVERT, J. Pracovní sešit II. Matematika pro čtvrtý ročník ZŠ. 1.vyd. Praha: Fortuna, 1995. 40 s. COUFALOVÁ, J., PĚCHOUČKOVÁ, Š., HEJL, J., POTŮČEK, J. Pracovní sešit I. Matematika pro pátý ročník ZŠ. 1.vyd. Praha: Fortuna, 1997. 32 s. ISBN 807168-491-0. www.uiv.cz

Kontaktní adresa Bc. Miluše Shromáždilová Základní škola Zborovice, okres Kroměříž, příspěvková organizace Sokolská 211, 768 32 Zborovice Telefon: +420 573 369 102 E-mail: [email protected]

270

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

NIEKTORÉ ASPEKTY MATEMATICKEJ GRAMOTNOSTI ŠTUDENTOV ODBORU PREDŠKOLSKÁ A ELEMENTÁRNA PEDAGOGIKA Iveta SCHOLTZOVÁ

Abstrakt Jednou zo súčastí riešenia vedeckého projektu VEGA MŠ a SAV 1/0192/08 Analýza matematickej prípravy študentov odboru Predškolskej a elementárnej pedagogiky z pohľadu rozvoja matematickej gramotnosti je diagnostika úrovne matematickej gramotnosti študentov – budúcich učiteľov pri vstupe na vysokú školu. V príspevku sú analyzované výsledky riešenia úloh z matematických oblastí: kvantita zmena, vzťahy a závislosť; náhodnosť. Komparované boli údaje získané prostredníctvom testovania študentov na troch vysokých školách na Slovensku, ktoré pripravujú učiteľov pre primárne vzdelávanie.

SOME ASPECTS OF MATHEMATICAL LITERACY OF UNDERGRADUATE STUDENTS IN THE FIELD OF PRE-SCHOOL AND ELEMENTARY EDUCATION Abstract Diagnostics of the level of mathematical literacy attained by the undergraduate trainees at the outset of their study is one of the aims of the scientific project VEGA MŠ a SAV 1/0192/08 Analysis of mathematical preparedness of the students of Pre-school and Elementary Education from the aspect of mathematical literacy. The paper provides an analysis of task solving in the following areas of mathematics: quantity; change, randomness. The data for comparison were obtained via testing students of the three universities in Slovakia that provide training for primary teachers.

1. Úvod Nadobúdanie gramotnotnosti v jej rôznych formách je celoživotný proces. Jednou zo súčastí všeobecnej gramotnosti je aj matematická gramotnosť. Jej rozvíjanie sa začína už v predškolskom veku a pokračuje počas celého edukačného procesu, ktorého súčasťou je aj matematické vzdelávanie. Učiteľ pôsobiaci v materskej škole a v primárnej škole by mal byť schopný realizovať svoje pedagogické pôsobenie tak, aby v pozitívnom zmysle prispieval k rozvíjaniu matematickej gramotnosti žiakov. V tomto kontexte je dôležitá pregraduálna príprava budúcich učiteľov. Niektoré skúsenosti s vysokoškolskou prípravou študentov odboru Predškolská a elememtárna pedagogika v tomto smere uvádzajú Gerová, Ľ. - Klenovčan P. (2008); Mokriš, M. (2008); Mokriš, M. – Scholtzová, I. (2008). Danej problematike sa venuje aj riešenie vedeckého projektu VEGA MŠ a SAV 1/0192/08 Analýza matematickej prípravy

271

študentov odboru Predškolskej a elementárnej pedagogiky z pohľadu rozvoja matematickej gramotnosti. (Bližšie informácie uvádza Klenovčan, 2009). 2. Charakteristika prieskumu a testvých položiek Jednou zo súčastí riešenia projektu je diagnostika úrovne matematickej gramotnosti študentov – budúcich učiteľov pri vstupe na vysokú školu. Testovanie bolo realizované prostredníctvom piatich úloh (bližšie informácie uvádza Gerová, 2009). Niektoré čiastkové výsledky sú spracované v príspevkoch Gombár, M. – Mokriš, M. – Zeľová, V. (2009) – 3. úloha; Mokriš, M. (2010) – 2. úloha; Zeľová (2010) – 1. úloha. V tomto príspevku analyzujeme úlohy č. 4 a 5. 4. Lúpeže Televízny reportér ukázal tento graf a povedal: „Graf ukazuje veľký nárast počtu lúpeží od roku 1998 do roku 1999.“ Otázka: Považujete tvrdenie reportéra za vyhovujúce vysvetlenie grafu? Uveďte zdôvodnenie svojej odpovede.

Gerová (2009) uvádza nasledovné Informácie o úlohe: spoločnosť Situácia náhodnosť (odporúčané k téme štatistika); zmena, vzťahy a Obsah závislosť Kompetencie a úroveň • matematická argumentácia; prepojenie Koršňáková, 2004, s. 13 Zdroj 3 body Hodnotenie diagramy, štatistika Súvis s učivom ZŠ 5. Maják Majáky sú veže, ktoré zo svojho vrcholu vysielajú svetelný signál. Pomáhajú námorným lodiam nájsť cestu, keď sa blížia k pobrežiu. Maják vysiela svetelný signál s pravidelným pevným vzorom. Prácu jedného majáka vidíte znázornenú na obrázku.

Otázka: Vytvorte k znázornenému majáku aspoň dve otázky vhodné pre žiakov na hodine matematiky. Uveďte k nim aj svoje riešenia.

272

Informácie o úlohe (Gerová, 2009): spoločnosť Situácia kvantita; zmena, vzťahy a závislosť Obsah Kompetencie a úroveň • riešenie a tvorba problémových úloh; reflexia upravená úloha - The PISA 2003 Assessment Framework, Zdroj s.57 pravidelne sa opakujúca postupnosť, deliteľnosť čísel Hodnotenie diagramy, štatistika Súvis s učivom ZŠ 3. Štatistická analýza výsledkov Výsledky, dosiahnuté v riešení úlohy U4, sú charakterizované prostredníctvom nástrojov popisnej štatistiky. Skúmané premenné: miesto štúdia (Banská Bystrica, Prešov, Trnava) a typ absolvovanej strednej školy (A – gymnázium, B – stredná pedagogická škola, C – stredná priemyselná škola, D – stredná odborná škola). Získané údaje sú prezentované v Tabuľke1 a Tabuľke 2. Miesto štúdia

N platných

Banská Bystrica Prešov

87 129 39 255

Trnava spolu

Typ absolvovanej strednej školy A B C D spolu

Popisná štatistika Početnosť módu

Priemer

Medián

Modus

0,666667

0

0

56

Minimum

Maximum

Sm. odch.

0

3

1,007722

3 3 3

0,900581 0,955134 0,944451

0,558140 0 0 89 0 0,666667 0 0 24 0 0,611765 0 0 169 0 Tab. 1.: Popisná štatistika – miesto štúdia študentov-U4

N platných

Priemer

Medián

Popisná štatistika Početnosť módu

Modus

Minimum

Maximum

62 0,806452 0 0 35 0 92 0,576087 0 0 61 0 74 0,459459 0 0 56 0 27 0,703704 0 0 17 0 255 0,611765 0 0 169 0 Tab. 2.: Popisná štatistika – typ absolvovanej strednej školy-U4

3 3 3 3 3

Sm. odch.

1,037631 0,892382 0,894262 0,992852 0,944451

Hodnoty mediánu, modusu a aritmetického priemeru dosiahnutého skóre v testovanej položke ukazujú nedostatočnú pripravenosť absolventov stredných škôl na riešenie úloh z oblastí: náhodnosť (štatistika) a zmena, vzťahy, závislosť (algebra). Overenie vplyvu miesta štúdia a typu absolvovanej strednej školy na hodnotu dosiahnutého priemerného skóre bolo realizované prostredníctvom jednosmernej analýzy rozptylu. Na hladine významnosti α=0,05% bola závislou premennou hodnota skóre v testovacej položke (U4) a kategoriálne premenné boli miesto štúdia a typ absolvovanej strednej školy. Prostredníctvom ANOVA (Tab.3) nebol zistený významný faktor, ktorý by ovplyvňoval úspešnosť riešenia úlohy č. 4, dokumentuje to aj graf č.1. Efekt SČ Stupně volnosti PČ F MESTO 0,043 2 0,021 0,024 TYP ŠKOLY 2,646 3 0,882 0,990 MESTO*TYP ŠKOLY 5,235 6 0,872 0,979 Tab. 3: Viacfaktorová analýza rozptylu – U4

273

p 0,976 0,398 0,440

Graf 1.

Výsledky, dosiahnuté v riešení úlohy U5, sú charakterizované prostredníctvom nástrojov popisnej štatistiky. Skúmané premenné: miesto štúdia (Banská Bystrica, Prešov, Trnava) a typ absolvovanej strednej školy (A – gymnázium, B – stredná pedagogická škola, C – stredná priemyselná škola, D – stredná odborná škola). Získané údaje sú prezentované v Tabuľke 4 a Tabuľke 5. Miesto štúdia Banská Bystrica Prešov

Priemer

Medián

Modus

87

3,2299

3

4

129 39 255

Trnava spolu

Typ absolvovanej strednej školy A B C D spolu

Popisná štatistika Početnosť módu

N platných

21

Minimum

Maximum

Sm. odch.

0

6

1,884460

6 6 6

1,658787 1,601282 1,726515

3 2 0 3,1473 33 3 4 0 3,4103 10 3 4 0 3,2157 60 Tab.4.: Popisná štatistika – miesto štúdia študentov-U5

N platných

Priemer

Medián

Popisná štatistika Početnosť módu

Modus

Minimum

Maximum

4 6 0 62 3,6129 15 3 4 0 92 2,9783 23 3 2 0 74 3,0541 21 3 2 0 27 3,5556 7 3 0 255 3,2157 4 60 Tab. 5.: Popisná štatistika – typ absolvovanej strednej školy-U5

6 6 6 6 6

Sm. odch.

1,831911 1,657340 1,719285 1,601282 1,726515

Overenie vplyvu miesta štúdia a typu absolvovanej strednej školy na hodnotu dosiahnutého priemerného skóre bolo realizované prostredníctvom jednosmernej analýzy rozptylu. Na hladine významnosti α=0,05% bola závislou premennou hodnota skóre v testovacej položke (U4) a kategoriálne premenné boli miesto štúdia a typ

274

absolvovanej strednej školy. Prostredníctvom ANOVA (Tab.6) nebol zistený významný faktor, ktorý by ovplyvňoval úspešnosť riešenia úlohy č. 5, dokumentuje to aj graf č.2. Efekt SČ Stupně volnosti PČ F MESTO 3,51 2 1,757 0,586 TYP ŠKOLY 12,52 3 4,172 1,392 MESTO*TYP ŠKOLY 6,76 6 1,126 0,376 Tab. 6: Viacfaktorová analýza rozptylu – U5

p 0,557 0,246 0,894

Graf 2.

4. Záver Analýza faktorov, ovplyvňujúcich matematickú gramotnosť budúcich učiteľov, by mohla byť determinujúcim činiteľom pri formulácii základných predpokladov pre efektívne zmeny matematickej prípravy študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika. Pozitívne postoje k matematike môžu byť aj odrazom dobrej úrovne matematickej gramotnosti. Dá sa očakávať, že učiteľ s kladným vzťahom k matematike, bude v tomto duchu pôsobiť aj na svojich žiakov. Príspevok bol spracovaný ako súčasť grantového projektu Analýza matematickej prípravy študentov odboru Predškolskej a elementárnej pedagogiky z pohľadu rozvoja matematickej gramotnosti. (MŠ SR VEGA 1/0192/08).

Literatura 1.

GEROVÁ, Ľ. Úlohy pre zisťovanie úrovne matematickej gramotnosti. In Matematika z pohľadu primárneho vzdelávania. Zborník príspevkov z konferencie s medzinárodnou účasťou. 1.vyd. Banská Bystrica: UMB, 2009. s.50–57. ISBN 978-80-8083-742-6.

275

2.

GEROVÁ, Ľ. - KLENOVČAN, P. Možnosti rozvíjania matematickej gramotnosti študentov predškolskej a elementárnej pedagogiky. In MATEMATIKA 3. Matematické vzdělávání z pohledu žáka a učitele primární školy. Sborník z konference s mezinárodní účastí. ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS. FACULTAS PAEDAGOGICA. MATHEMATICA VI. 1.vyd. Olomouc: UP, 2008. s.91–95. ISBN 978-80-244-1963-3. 3. GOMBÁR, M. – MOKRIŠ, M. – ZEĽOVÁ, V. Analýza úrovne matematickej gramotnosti študentov Predškolskej a elementárnej pedagogiky – oblasť kvantita. In Matematika z pohľadu primárneho vzdelávania. Zborník príspevkov z konferencie s medzinárodnou účasťou. 1.vyd. Banská Bystrica: UMB, 2009. s.58–62. ISBN 978-80-8083-742-6. 4. KLENOVČAN, P. Matematická gramotnosť študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika. In Matematika z pohľadu primárneho vzdelávania. Zborník príspevkov z konferencie s medzinárodnou účasťou. 1. vyd. Banská Bystrica: UMB, 2009. s.97– 01. ISBN 978-80-8083-742-6. 5. KORŠŇÁKOVÁ, P. Matematika, úlohy 2003. 1.vyd. Bratislava: ŠPÚ, 2004. s.40. ISBN 80-85756-89-7. 6. MOKRIŠ, M. Matematická gramotnosť študentov na začiatku ich profesijnej učiteľskej prípravy. In MATEMATIKA 3. Matematické vzdělávání z pohledu žáka a učitele primární školy. ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS. FACULTAS PAEDAGOGICA. MATHEMATICA VI. 1.vyd. Olomouc: UP, 2008. s.178–183. ISBN 978-80-244-1963-3. 7. MOKRIŠ, M. Priestor a tvar – pohľad na matematickú gramotnosť študentov odboru predškolská a elementárna pedagogika. In V tomto zborníku, 2010. 8. MOKRIŠ, M. – SCHOLTZOVÁ, I. Matematická gramotnosť študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika na začiatku profesijnej prípravy. In ACTA MATHEMATICA 11. Zborník zo VI. Nitrianskej matematickej konferencie. 1.vyd. Nitra: FPV UKF, 2008. s.159–164. ISBN 978-80-8094-396-7. 9. The PISA 2003 Assessment Framework - Mathematics, Reading, Science and Problem Solving Knowledge and Skills. OECD, 2003. Dostupné na na World Wide Web: 10. ZEĽOVÁ, V. – GOMBÁR, M. Zmena, vzťahy a závislosť – pohľad na matematickú gramotnosť študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika. In V tomto zborníku, 2010.

Kontaktní adresa doc. RNDr. Iveta Scholtzová, PhD. Prešovská univerzita, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej edukácie 17. novembra 15, 081 16 Prešov, Slovensko Telefon: +421 51 7470541 E-mail: [email protected]

276

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

MODEL ZLOMKU V OTVORENOM SOFTVÉROVOM PROSTREDÍ Kristína SOTÁKOVÁ Abstrakt Cieľom príspevku je poukázať na využitie softvéru Vizuálne zlomky v primárnom vzdelávaní. Softvér je určený na vyučovanie proporcionality v matematike na základnej škole. Jednou z oblastí výskumu využitia počítačov vo výučbe matematiky je otvorené softvérové prostredie. Ide o prostredie, v ktorom môže užívateľ vytvárať vlastné aktivity s nástrojmi, ktoré má k dispozícii. V tomto príspevku budeme hovoriť o softvérových nástrojoch na modelovanie zlomku. FRACTION´S MODEL IN OPEN EDUCATIONAL ENVIRONMENT Abstract The main goal of the paper is to show using one of the didactic software set for teaching mathematics at the primary school. We describe proportionality with focusing to use the software Visual fraction in this part of mathematics. Open educational software is one of the examined points of computers used in mathematics. It is a free surroundings where the user can form his own activities with some tools which are available and where he can discover new concepts and relations. In the paper we describe the software tools of modelling fraction.

1. Využitie softvéru Vizuálne zlomky v matematike Softvér Vizuálne zlomky slúži ako virtuálna stavebnica interaktívnych nástrojov určených na učenie proporcionalite. Na jeho vytvorení sa podieľali pracovníci Fakulty matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v rámci medzinárodného projektu Colabs. Softvér Vizuálne zlomky umožňuje žiakom základnej školy poznávať matematiku (pojmy a vzťahy v oblasti zlomkov a čísel) nielen vlastným objavovaním a konštruovaním v otvorenom prostredí, ale aj prostredníctvom riešenia úloh v uzavretom prostredí prezentovanom na pracovných listoch. 2. Pojem zlomok v školskej matematike Medzi náročné učivá školskej matematiky z hľadiska spôsobu výkladu, patrí učivo o proporcionalite. Náročnosť nespočíva v nácviku algoritmov, ktoré si žiaci majú osvojiť, ale najmä v tom, že proporcionálne myslenie si vyžaduje vytvorenie zložitej štruktúry pojmu zlomok, desatinné číslo, percento a pomer. Ako hlavný problém sa javí vybudovanie konceptu zlomku a jeho následná aplikácia v konkrétnych úlohách. V didaktike matematiky odporúčajú viacerí autori nielen použiť rôzne modely, ale treba umožniť žiakovi, od raného školského veku, tvorivo s nimi pracovať (pozri [1],

277

[2], [4]). Otvorené prostredie Vizuálnych zlomkov je pokusom uviesť žiakov do problematiky proporcionality dynamickým prepojením učiva o zlomkoch, desatinných číslach, percentách a pomere. V tomto príspevku sa zameriame podrobnejšie na možnosti modelovania zlomku za pomoci virtuálnej stavebnice Vizuálne zlomky v primárnom vzdelávaní. 3. Možnosti implementácie Vizuálnych zlomkov do vyučovania matematiky Softvér Vizuálne zlomky je vhodné zaradiť takmer do všetkých fáz vyučovacieho procesu a jeho využitie nepresahuje rozsah učebných osnov. Skôr možno povedať, že jednotlivé fragmenty učiva o proporcionalite počnúc rozdeľovaním celku na rovnaké časti v 2.ročníku, končiac rozdeľovaním celku na percentuálne časti v 7. ročníku, ako aj učivo o pomere sú obsiahnuté v tomto softvéri. Autori softvéru chceli prepojiť pojem zlomku a operácií so zlomkami s proporcionalitou na vizuálnych modeloch. Hlavným nedostatkom súčasného vyučovania zlomkov v primárnom vzdelávaní je, že sa učiteľ pri výklade obmedzuje na znázornenie uvádzané v učebniciach a v pracovných listoch – teda na finálne znázornenie. Úplne sa zabúda na manipuláciu s reálnymi predmetmi, ktoré majú toto učivo objasniť. Uvedené znázornenia sú už pripravené tak, že napovedajú správny postup, teda to, čo by mal žiak sám objaviť. M. Hejný upozorňuje, že jedným z najčastejších znakov formalizmu v učive o zlomkoch je predstava zlomku ako dvoch čísel (čitateľ a menovateľ) oddelených zlomkovou čiarou (pozri [1]). Ďalšie chyby, ktorých sa žiaci pri chápaní zlomku dopúšťajú: - zamieňanie počtu častí a počtu prvkov v každej časti - presvedčenie, že zlomok s veľkým menovateľom je veľký zlomok Aby sa zabránilo formalizmu, odporúča pracovať najskôr s modelmi a až neskôr prejsť na zápis zlomkov pomocou číselnej symboliky. Žiakovi sú v prostredí Vizuálnych zlomkov umožnené konkrétne činnosti s objektami, s ktorými sa dá manipulovať a ktorých vlastnosti sa dajú meniť, čo má pri zovšeobecňovaní predstavy zlomku veľký význam. V otvorenom prostredí je možné pracovať najskôr bez číselnej symboliky len s konkrétnymi modelmi. 4. Modelovanie zlomku pomocou softvéru Vizuálne zlomky V nasledujúcich riadkoch opíšeme jednotlivé prvky tejto virtuálnej stavebnice z didaktického hľadiska v súvislosti s teóriou pojmotvorného procesu zlomku. 4.1. Model zlomku ako časti celku Virtuálna stavebnica Vizuálne zlomky poskytuje predovšetkým širokú paletu modelov časti celku. Slúži na to ikona s názvom obrázkové zlomky. Autori softvéru dali tejto ikone názov podľa toho, akú má funkciu. Prostredníctvom nej je možné vybrať na plochu rôzne modely spojitej časti celku (pozri obr. 1).

Obr.1. Časti celku modelované pomocou ikony obrázkové zlomky

278

Každý z týchto modelov pomáha pri vytváraní predstáv o zlomku ako časti celku, ale nezastáva ešte úlohu univerzálnych modelov, nakoľko je stále spojený s celkom, z ktorého vznikol. (napr. štvrtina hrnčeka, polovica koláča, osmina pizze a pod.) Ďalšími nástrojmi modelovania zlomku sú ikony s názvom kruh, obdĺžnik a úsečka. Kruhový (ale aj obdĺžnikový) model, na rozdiel od obrázkových zlomkov, umožňuje užívateľovi zvoliť viacero možností vyznačenia danej časti celku, a to spojito, náhodne, pravidelne (pozri obr. 2).

Obr. 2. Rôzne spôsoby modelovania jednej polovice –spojito, náhodne, pravidelne Pod modelom kruhu, obdĺžnika a úsečky je umiestnený pohyblivý bežec, ktorým sa dá nastaviť počet dielov znázorňujúcich časti celku. Žiaci sa môžu vhodnou manipuláciou presvedčiť o rovnosti zlomkov napr. ½, 2/4, 3/6 (pozri obr.3).

Obr.3. Pomocou pohyblivého bežca je možné rozdeliť celok na ľubovoľný počet (najviac však na 12) rovnakých častí Modely kruh a obdĺžnik majú v tomto softvéri niekoľko možností nastavenia: Dieliky je možné vyznačovať buď postupným klikaním na obdĺžnik, alebo premiestňovaním zo zásobníka dielikov. Dynamika toho druhého spôsobu spočíva aj v tom, že jednotlivé dieliky je možné vynášať na plochu (pozri obr.4), ľubovoľne ich otáčať a ukladať vedľa seba. Je to jedna z charakteristík virtuálnej stavebnice, podporujúcej predstavu zlomku ako mnohosti, ako to demonštruje aj nasledujúca úloha. Úloha: Aký zlomok predstavujú časti kruhu na obr. 4? Žiak si môže pomôcť premiestnením dielikov do kruhu, z ktorého boli jednotlivé časti vzaté.

Obr. 4 Obrázok k úlohe

279

4.2. Model zlomku ako operátora Na zobrazenie modelu zlomku ako operátora slúži ikonka skupina. Aktivovaním tejto ikony môžeme vyniesť na plochu ľubovoľný počet jabĺk, broskýň, kníh, áut, slimákov, mušlí a iných objektov (vždy len jeden druh tvorí skupinu). Každý z daných objektov je možné kliknutím zmeniť (napr. jablko sa zmení na ohryzok, otvorená kniha na zatvorenú knihu a pod). Pomocou ikony skupina je možné modelovať zlomok ako operátor na konkrétnych obrázkových objektoch – napr. ¼ jabĺk, 2/3 áut a pod. Pni zlomkoch modelovaných ikonou skupina nie je možné vytvoriť zlomok väčší ako jeden celok. Z pohľadu Piagetovej psychológie (ale aj didaktiky matematiky) je to zámerné, lebo s obrázkovými modelmi zlomku pracujú najmä žiaci nižších ročníkov. Kognitívne konštrukcie, bez ktorých nie je možné utvrdenie pojmov, sa podľa J. Piageta nedajú oddeliť od konštrukcií citových a sociálnych ( pozri [5]). Preto je vhodné používať pri práci s modelmi nielen modely vytvorené horeuvedenými ikonami, ale ich včleniť do celkového pozadia obrázku. Pri Vizuálnych zlomkoch takýto kontext navodíme napríklad vhodným pozadím, vybratým z ponuky pozadí (backround) softvéru, stiahnutým z internetu, alebo vlastným obrázkom.

Obr. 5. Ukážka pracovného listu zahŕňajúceho viacero úloh v jednom kontexte Okrem toho je k dispozícii panel s nástrojmi na kreslenie. Učiteľ takto môže na obrazovke počítača, vytvoriť multifunkčný obrázok zahrňujúci viacero úloh v jednom kontexte (pozri obr. 5.). 5. Záver Pri vyučovaní zlomkov v etape primárneho vzdelávania je dôležité, aby žiakova skúsenosť s rozličnými modelmi časti celku bola bohatá na vizuálnu predstavu, ktorá má významné miesto najmä z hľadiska proporcionálneho myslenia. Prácou s otvoreným prostredím „Vizuálne zlomky“ možno vyprovokovať túto predstavu reflexiou vlastného myslenia žiaka tým, že žiak sám tvorí a selektuje možnosti znázornenia zlomku a manipuluje s ním.

280

Literatura 1. HEJNÝ, M.: Představa celku a jeho časti. Pedagogická fakulta, Praha. http://www.kafomet.cz/files/pdf/celok.pdf, 2005, online 2. HEJNÝ, M. A kol.: Teória vyučovania matematiky 2, SPN Bratislava 1990, ISBN 80-08-01344-3 3. KALAŠ, I.., BLAHO, A., LEHOTSKÁ, D.: Logotron visual fractions: Activity Guide. Cambridge: Logotron 2005 4. SIEMON, D.: The missing link in building fraction knowledge and confidence, Conference of the Australian Association of Mathematics Teachers, 2003 5. PIAGET, J., INHELDEROVÁ, B.: Psychologie dítěte, SPN Praha 1970, 14-247-70 6. SOTÁKOVÁ, K.: Virtuálna stavebnica z pohľadu konštruktivizmu, Acta Fac. Paed. Univ. Tyrnaviensis, Ser. C, 2005, pp. 54-58. Príspevok bol spracovaný vďaka podpore grantového projektu „Vieš, čo vieš“ (MŠ SR KEGA 175-006TVU-4/2010) Kontaktní adresa PaedDr. Kristína Sotáková, PhD. Katedra matematiky a informatiky Pedagogická fakulta Trnavská univerzita Priemyselná 4 P. O. Box 9 918 43 Trnava, SR Telefon: +421 903 637 437 e-meil: [email protected]

281

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

GEOMETRIE V UČIVU PRIMÁRNÍ ŠKOLY Anna STOPENOVÁ Abstrakt Geometrie je jedním z nejstarších vědních oborů matematiky. Výuka geometrie na 1. stupni základní školy by měla být založena na pozorování okolního světa dítěte, na intuitivním ověřování platnosti poznatků pomocí různých manipulativních činností (modelováním, vybarvováním, vystřihováním atd.) a řešením geometrických úloh. GEOMETRY IN PRIMARY SCHOOL CURRICULUM Abstract Geometry is one of the oldest mathematical branches of knowledge. Geometry tutorship at the first stage primary schools should be based on observing schoolchildren’s surrounding, intuitive verifying knowledge validity on the basis of manipular activities (molding, colouring, and cutting with scissors) and solving geometrical exercises. 1. Několik poznámek z historie geometrie Geometrie, věda o vlastnostech a vzájemných vztazích prostorových útvarů vzniklých abstrakcí z hmotných těles (Všeobecná encyklopedie, 1999). Geometrie je jedním z nejstarších vědních oborů matematiky. Formovala se na základě zkušeností s vyměřováním polí, s architekturou, s astronomií, s cestováním a objevováním nových zemí atd. Poznatky byly sdělovány formou návodů, jak v určitých situacích jednat. V 6. stol. př. n. l. se geometrické znalosti rozšířily do starověkého Řecka. Díky významným vědcům jako byli Thales z Milétu, Pythagoras ze Samu, Eukleides z Alexandrie, Archimédes ze Syrakus aj. dosáhla geometrie velkého rozkvětu. Platon považoval geometrii za ušlechtilou vědu, která zdokonaluje ducha. Na bráně jeho akademie byl dokonce nápis „Nevstupuj, kdo neovládáš geometrii!“ (Historie matematiky I., 1994). Od Egypťanů převzali geometrii Řekové a na jejím základě vybudovali celou matematickou disciplínu. Euklides byl autorem díla, které ovlivnilo geometrii na tisíciletí. Toto dílo asi z roku 325 př. n. l. se nazývá Stoicheia, v překladu Základy. Euklidovy Základy mají 13 knih, které jsou pozoruhodné nejen svým obsahem shrnujícím tehdejší geometrické znalosti řeckých matematiků, ale i snahou o logický výklad geometrie postupem, který se stal vzorem přesného vědeckého myšlení nejen v matematice, ale i v ostatních vědách. V úvodu každé knihy jsou definovány základní pojmy, o nichž se v knize hovoří. Po těchto definicích následují věty, které Euklides nazývá postuláty a axiómy (současná matematika pojmy postulát a axióm neodlišuje), čímž rozumíme taková tvrzení, která vyplývají z našich zkušeností, a proto je přijímáme

282

bez důkazu. Pak následují poučky, jejichž platnost je dokazována na základě vyslovených definic, postulátů a axiómů, nebo pouček dokázaných předtím. Některé Euklidovy definice podle dnešních hledisek definicemi nejsou, jsou jen názorným, někdy dosti nepřesným popisem geometrických útvarů. Soustava Euklidových postulátů a axiómů byla neúplná a Euklides se při důkazech některých vět odvolával na takové vlastnosti geometrických útvarů, které z postulátů a axiómů nevyplývaly. Např. za definici nelze považovat Euklidovo tvrzení "čára je délka bez šířky", když jsme předem nedefinovali, co je to délka a šířka. Pokud jde o neúplnost Euklidových axiómů, jejich souhrn stačil k důkazům převážné většiny vět elementární geometrie až do 19. století, kdy se celá řada významných matematiků pokoušela Euklidovu soustavu axiómů doplnit. Úplnou axiomatickou soustavu, z níž dnes odvozujeme všechny věty elementární geometrie, zpracoval německý matematik David Hilbert ve svém díle Grundlagen der Geometrie (Základy geometrie) z roku 1899. Nepřesnosti v definicích a neúplnost soustavy axiómů však v žádném případě nesnižují Euklidovy zásluhy. 2. Geometrie primární školy Matematika poskytuje žákům vědomosti a dovednosti potřebné pro orientaci v praktickém životě a vytváří předpoklady pro úspěšné uplatnění ve většině oborů profesionální přípravy i různých směrů studia na středních školách. Rozvíjí intelektuální schopnosti žáků, jejich paměť, představivost, tvořivost, abstraktní myšlení, schopnost logického úsudku. Současně přispívá k vytváření určitých rysů osobnosti jako je vytrvalost, pracovitost, kritičnost. Předmětem geometrie je tedy studium vlastností a vzájemných vztahů prostorových útvarů. Část geometrie, s níž se seznamují žáci na základní škole, se nazývá elementární neboli euklidovská geometrie. 2.1 Množinové pojetí geometrie Od roku 1976 bylo zavedeno postupně od 1. ročníku množinové pojetí matematického vzdělávání. Matematické poznatky byly budovány na základě množinových představ. Byla koncipována systematická výuka geometrie, která začínala ve 2. ročníku (nejprve pojmy úsečka, polopřímka, přímka, později rovinné a prostorové útvary, prezentované jako množiny bodů určené charakteristickou vlastností). Obtíže, spojené s vysokou abstrakcí probíraných pojmů např. nekonečné a neomezené množiny, nebylo v takto pojatém vyučování možno překlenout ani dostatečně vhodným názorem, který by dětské geometrické zkušenosti nedeformoval (Novák, 2004). Od 1. 9. 1990 bylo možné použít alternativní učebnice matematiky, ve kterých dochází k překonání množinového pojetí matematického vyučování. Objevuje se jiný přístup ke geometrii na 1. stupni, který je založen na přirozeném a postupném poznávání geometrických vlastností prostoru, v němž žák žije a jeho praktických zkušenostech. Můžeme souhlasit s názorem Kuřiny na koncepci geometrického vzdělávání žáků primární školy hlavně proto, že děti přicházející z mateřských škol mají spíše zkušenosti s prostorovými útvary než např. s úsečkou. Podle jeho názoru by měla být výuka geometrie založena na těchto čtyřech principech: dělení prostoru na části, vyplňování prostoru, pohyb v prostoru a dimenze prostoru (Kuřina, 1991). 2.2 Geometrie ve vzdělávacím programu Základní škola Od roku 1996 se na ZŠ učilo podle učebních osnov Vzdělávacího programu ZŠ. V tomto programu je uváděno učivo, „co by měl žák umět“ a příklady rozšiřujícího učiva (Vzdělávací program Základní škola, 1996)

283

V ročnících na 1. stupni ZŠ jsou celky týkající se těchto oblastí: Orientace v prostoru. Rýsování úseček a měření jejích délek Rovinné obrazce. Obvod. Rovnoběžky, různoběžky, kolmice, kružnice. Souměrnost. Obsah čtverce a obdélníku, síť kvádru a krychle. Rovinné obrazce, tělesa. 2.3 Geometrie v rámci RVP Změnou vztahující se ke konkretizaci učiva v pedagogických dokumentech je Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání (RVP), který lze považovat za výchozí pokus o koncentraci na cílové kompetence žáka nikoliv na soubor jeho poznatků (Novák, 2004). V RVP je jednou z oblastí matematiky „Geometrie v rovině a v prostoru“ žáci určují a znázorňují geometrické útvary a geometricky modelují reálné situace, hledají podobnosti a odlišnosti útvarů, které se vyskytují všude kolem nás, uvědomují si vzájemné polohy objektů v rovině (resp. v prostoru), učí se porovnávat, odhadovat, měřit délku, obvod a obsah (resp. povrch a objem propedeuticky), zdokonalovat svůj grafický projev. Zkoumání tvaru a prostoru vede žáky k řešení polohových a metrických úloh a problémů, které vycházejí z běžných životních situací. Žáci, jejich učitelé, ale také rodiče i všichni ostatní lidé by si měli uvědomovat, že úplné základy geometrie potřebuje ke svému životu každý člověk, i když si to mnohdy neuvědomuje. Poznatky a dovednosti získané v matematice jsou předpokladem k poznávání přírodovědných oborů, ekonomiky, techniky a využití počítačů. Vyučování geometrie směřuje k tomu, aby se žáci naučili: • řešit metrické geometrické úlohy, vypočítat obvody a obsahy rovinných obrazců, povrchy a objemy těles, užívat základní vztahy mezi rovinnými obrazci (shodnost, podobnost) • orientovat se v rovině a v prostoru, užívat soustavu souřadnic, chápat vztah mezi čísly a body jako základ počítačových znázornění a projektů. Také v ostatních oblastech matematiky můžeme spatřit jakési využití znalostí, dovedností a schopností z oblasti geometrie: • provádět početní výkony s přirozenými desetinnými čísly a zlomky, a to pamětně i písemně; při řešení složitějších úloh užívat racionálně kapesní kalkulátor, • řešit úlohy z praxe s užitím početních výkonů, včetně užití procentového počtu a jednoduchého úrokování, • provádět odhady výsledků řešení a posuzovat jejich reálnost, provádět potřebné zaokrouhlení, • číst a užívat jednoduché statistické tabulky a diagramy, • užívat proměnnou, chápat její význam, řešit rovnice a nerovnice a užívat je při řešení úloh, • zapisovat a graficky znázornit závislosti kvantitativních jevů v přírodě a ve společnosti a pracovat s některými konkrétními funkcemi při řešení úloh z praxe, • dokazovat jednoduchá tvrzení a vyvozovat logické závěry z daných předpokladů. (RVP pro 1. stupeň ZŠ) 3. Pojetí výuky geometrie v primární škole Cílem geometrie primární školy je pochopit základní geometrické pojmy a vztahy (tvar, poloha, velikost, uspořádání), získat prvotní představy o prostoru a dokázat se v něm orientovat, rozvinout a zdokonalit grafické dovednosti, dokázat řešit úlohy vyžadující představivost, tvořivost a úsudek.

284

Geometrie je na základní škole spolu s aritmetikou součástí předmětu matematika. K jejich vzájemnému propojování dochází například při výuce zlomků, při práci se čtverečkovaným papírem či s číselnou osou. Geometrické prvky učiva se vyskytují v různé míře i v ostatních vyučovacích předmětech primárního vzdělávání. Geometrie se uplatňuje při čtení, psaní (tvarové vlastnosti písmen a číslic) a kreslení. Představy některých geometrických pojmů napomáhají i k pochopení dalších poznatků negeometrické povahy. Geometrie slouží ke komunikaci mezi lidmi, k organizaci předmětů i organizaci práce, slouží k dodržování bezpečnosti například silničního provozu. Geometrických komponent (orientace v rovině a v prostoru) využíváme k orientaci v textu, v knihách, na mapě, ve škole, v knihovně či v místě bydliště. Slouží také například k popisu cesty, okolního prostředí i polohy předmětů. Ve většině případů využíváme geometrických poznatků nevědomě všichni. Geometrie napomáhá i žákům s poruchami čtení v podobě okénka ke čtení, nevidomým umožňuje orientaci v prostoru, neslyšícím poskytuje řadu grafických symbolů. I pro postižené na vozíčku uplatňují architekti a stavitelé geometrický prvek roviny, když projektují a staví domy bez bariér s využitím nakloněné roviny, vodorovné roviny a posunutí ve formě výtahu (Stopenová, 2007). Uvedením konkrétních modelů základních pojmů geometrie primárního vzdělávání můžeme ukázat, že geometrie je všude kolem nás, je přirozenou součástí školního vzdělávání dětí i reálného života dospělých, a proto se bez geometrických znalostí v životě neobejdeme. Zjištěné skutečnosti lze využít pro integraci geometrie v dalších vyučovacích předmětech primárního vzdělávání. Výskyt a doložené množství konkrétních příkladů geometrie v učivu vyučovacích předmětů i mimoškolní realitě potvrzují, že geometrie je všude kolem nás. Už i při prvním pohledu na učebnice matematiky pro 1. ročník kterýchkoliv autorů se dostáváme k obrázkům, které vycházejí ze znalostí elementární geometrie. Ilustrátor užívá ke zpestření učebnice výrazné barvy a různé tvary rovinných útvarů. Potřeba základních poznatků z geometrie, které se nám zdají jako všeobecné poznatky, nás upoutají hned na počátku. Znalost geometrie nemůžeme spatřovat jen v tom, že děti poznají základní geometrické útvary a znají jejich vlastnosti, umí s nimi manipulovat, ale také především geometrie rozvíjí jejich prostorovou představivost a hlavně její aspekty jako je orientace v prostoru a rovině (s těmito aspekty se setkávají děti už v předškolním věku, učitelé na ně navazují na 1. stupni ZŠ), odhady velikostí včetně porovnávání velikostí (např. při učení psaní – odhad velikostí písma, mezer mezi slovy atd.), vidět předměty na obrázku – pozadí, stavět stavby z kostek – krychlová tělesa a znázorňování staveb v rovině (kótovaný půdorys), vytváření mozaiky (potřeba představy základních rovinných geometrických útvarů), skládání, stříhání, nalepování a slepování různých útvarů. Mnoho lidí si vůbec neuvědomuje, jaké množství geometrických poznatků ovlivňuje náš běžný život a jaké obrovské možnosti nám tato věda nabízí. Při výuce geometrie v oboru Učitelství pro 1. stupeň ZŠ studenty seznamujeme se základy geometrie na základě axiomatického systému (axiomy incidence, uspořádání, shodnosti, spojitosti a rovnoběžnosti) tak, aby získali dostatečný nadhled, ale pak se snažíme o to, aby studenti viděli geometrii kolem sebe neustále a dokázali toto předávat i svým žákům.

285

4. Závěr Je důležité, aby žáci a především jejich učitelé viděli souvislosti geometrie s ostatními částmi matematiky, s jinými vyučovacími předměty, s realitou, která je obklopuje a s ostatními oblastmi kultury. V učení je důležité všímat si prvků geometrie v přírodě, technice, sportu, ale také v umění. Je třeba ve výuce primární školy žáky seznamovat a rozvíjet poznatky z geometrie řešením úloh, které mají blízko ke hravé dětské činnosti. Literatura 1. Historie matematiky I. Sborník - Seminář pro vyučující na středních školách Brno: JČMF, 1994 2. KUŘINA, F. O vyučování na prvním stupni. Hradec Králové: Pedagogický ústav v Hradci Králové, 1991. 3. NOVÁK, B. Vybrané kapitoly z didaktiky matematiky 2. Olomouc: Vydavatelství UP, 2004. str. 61. ISBN 80-244-0916-X 4. http://www.vuppraha.cz/wp-content/uploads/2009/12/rvpzv-lmp.pdf 5. STOPENOVÁ, A. Integracja geometrii z przedmiotami nauczania w szkole podstawowej. In: Efektywnošč ksztalcenia zintegrowanego – Implikace dla teorii i praktyki. Katovice: Wyzsza szkola pedagogiczna TWP w Warszawie, 2007. str. 107-112. ISBN 83-88278-86-X 6. Všeobecná encyklopedie. 3. sv., Praha: Diderot,1999. str.43. ISBN 80-902555-5-8 7. Vzdělávací program Základní škola. Praha: Fortuna, 1996. Kontaktní adresa Anna Stopenová, PaedDr. Ph.D. Katedra matematiky Pedagogické fakulty UP v Olomouci Žižkovo nám. 5, 771 40 Olomouc Telefon: +420 585 635 711 E-mail: [email protected]

286

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

SYMETRIA V PRÍRODE A SYMETRIA V ŠKOLSKEJ MATEMATIKE Ondrej ŠEDIVÝ Abstrakt V príspevku uvádzame príklady symetrie, ktoré možno pozorovať v prírode. V druhej časti charakterizujeme geometrické zobrazenia, najmä osovú súmernosť, stredovú súmernosť a súmernosť podľa roviny. Súčasne uvádzame niektoré geometrické útvary osovo, stredovo súmerné a rovinovo súmerné. SYMETRY IN NATURE AND SYMETRY IN SCHOOL MATHEMATICS Abstract This article presents some examples of symmetries which can be observed in nature. In the second part we characterize the geometrical transformations, particularly point symmetry, axis symmetry or plain symmetry (reflection). Concurrently we introduce some geometrical shapes which are axis, point or plain symmetric. Sme obklopení priestorom. V tomto priestore môžeme pozorovať, môžeme hľadať panenskú prírodu, môžeme si všímať lesy a lúky, polia, rieky a jazerá, ale aj moria, uvidíme rozmanité druhy rastlín, zvierat, ale aj neživú prírodu a v nej minerály, kryštály. Môžeme pozorovať pohyby hviezd, striedanie ročných období, dažďové kvapky, snehové vločky, kruhy vo vode po hodení kameňa do vody, tvar oblakov, atď. Nemecký astronóm Johannes Kepler napísal malú knižku „Šesťcípa snehová vločka“. V nej dokazoval, že snehová vločka musí vzniknúť stlačením malých rovnakých čiastočiek dohromady. Jeho hlavným dôkazom bola šesťuholníková symetria snehových vločiek, ktorá je prirodzeným dôsledkom pravidelného rozmiestnenia. Najjednoduchšie matematické objekty sú čísla. Týmito číslami vieme charakterizovať vzory, ktoré nachádzame v prírode. Navštívime ríšu rastlín. Zistíme, že ďatelina poľná má tri lístky (štvorlístok je pre šťastie – to je len zriedkavý prípad). Takmer pri všetkých kvetoch sa dá počet okvetných lístkov vyjadriť v číslach zo zvláštnej postupnosti čísiel: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Uveďme vytvorenie členov tejto postupnosti 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21, 13+21=34, 21+34=55, 34+55=89. V prírode nájdeme napr. ľalie, ktoré majú tri okvetné lístky, iskerník päť, stračia nôžka osem, nechtík trinásť, atď. Čísla v uvedenej postupnosti sú vlastne čísla Fibonacciho postupnosti. Okvetné lístky nie sú tým jediným, pričom sa stretneme s Fibonacciho postupnosťou. Ak si všimneme zložený kvet slnečnice, nájdeme nasledovné: kvety slnečnice sú usporiadané do dvoch pretínajúcich sa postupností špirál – jedna sa zatáča v smere a druhá proti smeru hodinových ručičiek. Pri niektorých druhoch je počet špirál v smere hodinových ručičiek tridsaťštyri a počet špirál proti smeru hodinových ručičiek päťdesiatpäť. Opäť sú to po sebe idúce Fibonacciho čísla.

287

V prírode môžeme nájsť aj rôzne geometrické tvary, napr. trojuholníky, štvorce, päťuholníky, šesťuholníky, kocky, gule, valce, kužele, a pod. Na prechádzke prírodou môžeme sa stretnúť s takzvanou symetriou. Symetria pôsobí na naše zrakové zmysly a vyvoláva v nás pocit krásy. Symetria je rovnako matematický, ako aj estetický pojem. Symetriu nachádzame na rastlinách v rozložení listov a kvetných lístkov, na tele živočíchov, ale aj v neživej prírode. Na obrázkoch môžeme pozorovať symetriu.

Symetria zohráva dôležité miesto v kryštalografii.. Totiž významnou vlastnosťou kryštálov je pravidelnosť polohy a vzájomného usporiadania jednotlivých plôch, t.j. kryštálová súmernosť alebo symetria. Rozlišujú sa tri prvky súmernosti: • Rovina súmernosti rozdeľuje kryštál na dve súmerné časti tak, že sa jedna časť zhoduje so zrkadlovým obrazom druhej časti. • Os súmernosti je abstraktná priamka prechádzajúca cez stred kryštálu. Pri otáčaní okolo tejto osi 360° sa kryštál opäť dostane do polohy zhodnej s východiskovou pozíciou. • Stred súmernosti kryštálu je miesto, v ktorom každej jeho ploche zodpovedá zhodná a rovnobežná protiľahlá plocha otočená okolo tohto abstraktného stredu o 180°. Ukážky tvarov z kryštalografických sústav

288

Príroda nám predložila krásu vyjadrenú symetriou. Na druhej strane človek poznajúc symetriu staval nádherné stavby. Geometria sa vo veľkej miere uplatnila v staviteľstve a architektúre.

Po prechádzke prírodou vráťme sa do školy a uveďme geometricky čiastočne to, čo sme videli a podajme presný pohľad na súmernosť. Začneme všeobecnejšie. Zobrazenie f z množiny M do množiny M ´ je predpis, ktorý každému prvku X z množiny M priraďuje najviac jeden prvok X ´ z množiny M ´ . Keďže budeme sa zaoberať geometrickými zobrazeniami a bodovými množinami, prvky X a X ´ budú body. Môžeme uviesť aj ďalšie vlastnosti zobrazení, ktoré ukazujú obrázky.

Zobrazenie f z M na M ´

Zobrazenie g M do M ´

289

Zobrazenie h M na M ´ Zobrazenie nazývame prosté práve vtedy, keď každým dvom rôznym vzorom odpovedajú dva rôzne obrazy. Zhodné (zhodnostné) zobrazenie alebo zhodnosť je geometrické zobrazenie, ktoré každým dvom bodom X , Y priradí body X ´,Y ´ tak, že X ´Y ´ = XY , t.j. v ktorom obrazom úsečky je úsečka zhodná. Nebudeme sa zaoberať všetkými zhodnými zobrazeniami, sústredíme sa najmä na osovú súmernosť v rovine, stredovú súmernosť a súmernosť podľa roviny (rovinová súmernosť). Osová súmernosť Osová súmernosť je geometrické zobrazenie, jednoznačne určené pevnou priamkou – osou o – , ktoré každému bodu X priradí bod X ´ tak, že body X , X ´ ležia na komici na os o a priesečník X 0 tejto kolmice s osou o je stredom úsečky XX ´ .

Zrejme pre každý bod Y ∈ o je Y = Y0 = Y ´ , teda každý bod ležiaci na osi o je samodružným bodom príslušnej osovej súmernosti. V osovej súmernosti obrazom úsečky je úsečka s ňou zhodná, obrazom priamky je priamka, obrazom ľubovoľného trojuholníka je trojuholník s ním zhodný.

290

Trojuholníky ABC , A´B´C´ sú nepriamo zhodné. Útvar, ktorý sa v osovej súmernosti s osou o zobrazí sám na seba, nazývame osovo súmerný podľa osi o . Útvar môže byť súmerný podľa niekoľkých osí. Na obrázku sú vyznačené osi pravidelných n − uholníkov.

Na základe porovnania môžeme vysloviť poznatok: 1. Osi súmernosti pravidelných n − uholníkov pre n nepárne prechádzajú vrcholmi a stredmi protiľahlých strán. 2. Osi súmernosti pravidelných n − uholníkov pre n párne prechádzajú vrcholmi a stredmi protiľahlých strán.

291

Poznámka. Barokoví architekti využívali osové súmernosti pri návrhu stavieb1. Stredová súmernosť Nech je daný pevný bod S . Stredová súmernosť je geometrické zobrazenie, v ktorom bodu X odpovedá bod X ´ tak, že bod S je stredom úsečky XX ´ .

Útvary, ktoré sa v stredovej súmernosti zobrazia sami na seba, nazývame stredove súmerné. Pri pozorovaní pravidelných n − uholníkov prídeme k záveru: 1. Pravidelné n − uholníky s párnym n sú stredovo súmerné. 2. Pravidelné n − uholníky s nepárnym n nie sú stredovo súmerné. Na obrázku je vrtuľa lietadla a snehová vločka, obe sú stredovo súmerné.

Rovinová súmernosť Rovinová súmernosť (súmernosť podľa roviny) je geometrické zobrazenie v priestore určené pevnou rovinou - rovinou súmernosti δ , ktoré každému bodu X priradí bod X ´ tak, že body X , X ´ ležia na komici na rovinu δ a priesečník X 0 tejto kolmice s rovinou δ je stredom úsečky XX ´ .

1

Obrázky Kadleček z knihy Staňková, J. – Peckar, J.: Tisíciletý vývoj architektúry. SNTL, Praha 1979

292

Zrejme pre každý bod Y ∈ δ platí Y = Y0 = Y ´ , teda každý bod ležiaci v rovine súmernosti je samodružný bod príslušnej rovinovej súmernosti. Útvary, ktoré sa v rovinnej súmernosti zobrazia sami na seba, nazývame rovinovo súmerné. Vezmime napríklad kocku, táto má deväť rovín súmernosti, tri roviny prechádzajúce stredmi rovnobežných hrán a šesť uhlopriečnych rovín.

Kocka je aj stredovo súmerná. Kocka má deväť osí súmernosti – šesť priamok spojujúcich stredy jej protiľahlých hrán a tri priamky spojujúce stredy protiľahlých stien. Literatúra

1. 2. 3.

IAN STEWART: Čísla prírody. Neskutočná skutočnosť matematickej predstavivosti. Archa, Bratislava 1996. ISBN 80-7115-117-3 JAROSLAV BAUER – FRANTIŠEK TVRZ: Minerály, horniny a drahé kamene. Príroda, Bratislava 1985, ISBN 64-198-85. Naša príroda. Vydal Reader’s Digest Výber. Bratislava 2000. ISBN 80-88983-037.

Kontaktná adresa

Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra E-mail: [email protected]

293

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

ŘÍZENÉ OBJEVOVÁNÍ V MATEMATICE NA 1. STUPNI ZŠ Alena ŠŤASTNÁ Abstrakt Příspěvek ukazuje základní principy metody řízeného objevování a jejich aplikaci na řešení problémových úloh při výuce matematiky na 1. stupni ZŠ. Upozorňuje na výhody, které metoda objevování poskytuje a její pozitivní vliv na žáky a učitele. CONTROLLED DISCOVERING IN MATHEMATICS EDUCATION AT PRIMARY SCHOOL Abstract The paper shows basic principles of controlled discovering methods and their application on solving problem exercises in mathematics education at primary schools. It presents the advantages this method of discovering provides and its positive influence on pupils and teachers. 1. Úvod Základní vzdělávání na 1. stupni usnadňuje svým pojetím přechod žáků z předškolního vzdělávání a rodinné péče do povinného, pravidelného a systematického vzdělávání. Mělo by být založeno na poznávání, respektování a rozvíjení individuálních potřeb, možností a zájmů každého žáka. Vzdělávání svým činnostním a praktickým charakterem a uplatněním odpovídajících metod má motivovat žáky k dalšímu učení, vést je k učební aktivitě a k poznání, že je možné hledat, objevovat, tvořit a nalézat vhodnou cestu řešení problémů (Jeřábek a kol., 2005). Základní vzdělávání má dle platného Rámcového vzdělávacího programu klást důraz na chápání školské matematiky jako na výuku matematických činností, porozumění základním myšlenkovým postupům a pojmům matematiky a jejich vzájemným vztahům než na seznamování žáků s matematickými teoriemi. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace je v základním vzdělávání založena především na aktivních činnostech, které jsou typické pro práci s matematickými objekty a pro užití matematiky v reálných situacích. Poskytuje vědomosti a dovednosti potřebné v praktickém životě a umožňuje tak získávat matematickou gramotnost. Pro tuto svoji nezastupitelnou roli se prolíná celým základním vzděláváním a vytváří předpoklady pro další úspěšné studium. I přes tuto reformní změnu si žáci postupně osvojují některé pojmy, algoritmy, terminologii, symboliku a způsoby jejich užití. 2. Heuristika - metoda řízeného objevování Jedna z metod, která splňuje požadavky na vzdělávání je metoda řízeného objevování - heuristika. Tato metoda vychází z přesvědčení, že žáci budou matematice lépe rozumět, když budou vidět, jak se matematika tvoří a když si toto vytváření sami

294

na jim odpovídající úrovni vyzkoušejí. Žáci přicházejí do školy s mnoha otázkami „Proč?“ a „Jak?“ a s touhou dostat na všechny své otázky odpovědi. Bohužel jsou často špatnou metodou, např. pouhou transmisí poznatků, tyto touhy znát, vědět, objevovat potlačovány. Metoda řízeného objevování přináší žákům zajímavý způsob učení, který je baví, při kterém se sami podílejí na získávání nových poznatků, na vytváření matematiky, kterou potřebují. Vyučování pomocí řízeného objevování spojuje pěstování tvořivosti žáka s osvojováním matematických dovedností. Takové vyučování vychází z myšlenky „nejlepší způsob, jak se něčemu naučit, je objevit si to sám“, a tím poskytuje možnost žákům zažít pocit objevitelského nadšení. Také zde hraje velkou roli trvalejší osvojení vědomostí a schopnost využívat je při řešení problémů. Metoda řízeného objevování je velmi náročná na učitelovu přípravu. Učitel musí vybrat vhodné učivo a připravit je tak, aby umožňovalo formulování přiměřených problémů. Učitel musí dopředu znát cíl, ke kterému se žáci mají dostat, znát otázky k diskuzi a umět žákům pomoci. Ale za tuto práci následuje také odměna ve formě většího uspokojení z práce, možností rozvíjet své vlastní vědomosti a dovednosti a také možností řešit nestandardní úlohy. Je nutné počítat s tím, že tato metoda zabere daleko víc času než tradiční vyučovací metody. Pokud chceme u žáků rozvíjet myšlení pomocí heuristických strategií jako jsou např. zobecnění, ilustrace či analogie, potřebujeme dostatek času, což bývá v hodinách matematiky velkým problémem. Tento problém se dá částečně kompenzovat cíleným zaměřením zkoumaného problému a také vědomím, že tato metoda není na úkor kvality vědomostí a rozvíjí nejen znalosti, ale i dovednosti a postoje žáků. Kromě rozvoje základních poznávacích procesů je tento typ vyučování důležitý také pro rozvoj procesů citových a volních, žáci se mimo jiné učí formulovat a obhajovat své názory, přijímají zodpovědnost za výsledky své práce a tím také rozvíjejí klíčové kompetence. V dnešní době tato metoda představuje ve světě „ významný způsob zefektivnění a modernizace výchovněvzdělávacího procesu. Učení se pomocí tvořivého řešení problémů, stejně jako vyučování touto metodou a strategií, představuje vrchol v jednotlivých druzích a způsobech vyučování a učení.“ (Zelina, 1990 s. 66) Metodu řízeného objevování ( heuristiku) založil maďarský matematik George Polya. Ten ve svém díle „ How to solve it?“ shrnul základní zásady vyučování podle této metody. Aby vyučovací hodina byla efektivní, musí být založena na: • Aktivitě žáka – náročnost úloh i jejich počet je takový, aby žák pracoval na hranici svých možností po celou učební dobu. • Vnitřní motivaci žáka - žák by měl mít zájem na tom, co dělá. • Postupných krocích heuristiky, ve kterých ukazujeme žákovi plán, podle kterého by měl postupovat. A jak probíhá vyučovací hodina touto metodou? Učitel předkládá žákům problém (ve formě otázky, experimentu, apod.), nechá je diskutovat, navrhovat hypotézy k jeho řešení, ale také hledat cesty k ověření nebo vyvrácení hypotéz. Žáci se přitom učí nebát se vyslovit svoje názory, nestydět se za chybu, kterou udělali sami, a současně i neposmívat se spolužákovi, kterému se něco nepodařilo. Kritériem pravdy je přitom v maximální možné míře nikoliv autorita učitele, ale realita. Více zkušeností s využitím této metody je na 2. a 3. stupni škol, ale možnosti využití této metody v hodinách matematiky nalezneme i na 1. stupni základní školy. Zde budeme aplikovat tuto metodu na učivo 3. třídy – početní operace - zobecňování. Při řešení budeme používat snadno zapamatovatelný metodický návod pro jednotlivé

295

kroky objevování DITOR. Tento návod vytvořili podle výše zmíněných Polyových zásad Zelina, Zelinová (1990). Jednotlivé kroky jsou: D - definuj problém, I - informuj se o problému, T - tvoř řešení, O - ohodnoť řešení, R - realizuj vybrané řešení v praxi. Při řešení žák samostatně pracuje, mobilizuje všechny vnitřní síly a tak přichází postupně k stanovenému cíli. 3. Příklad řízeného objevování na úloze pro primární vzdělávání D: Jak udělat z 2O dřívek co nejvíce čtvercových okének? I: Děti mají ve skupinkách k dispozici čtverečkovaný papír a hromádku 20 dřívek, z nichž budou skládat různé objekty. Tento problém probudí v žácích zvídavost a možnost samostatného přemýšlení, touhu objevovat a řešit neznámé úkoly. Učitel může ještě na úvod zmínit, co si žáci mají představit pod pojmem čtvercové okénko a kde se mohou s čtvercovými objekty v reálném životě setkat. Nyní máme za sebou první dvě fáze heuristických kroků řešení a přecházíme do fáze tvorby řešení. V té většinou učitel inspiruje žáky k samostatnému hledání řešení a udává jim směr zkoumání. Např. sestavujte z dřívek objekty o různé velikosti ve tvaru čtverce. Jaký nejmenší čtverec můžete sestavit? Jaký největší? Žáci sami zkoušejí z dřívek skládat různě velké čtverce až přijdou na to, že mohou čtverce poskládat vedle sebe, za sebou, pod sebou, atd. Zde je také prostor k diskuzi a k možnosti opakování pojmů – před, za, vedle atd. Pokud bychom nechali žáky pracovat, našli by se takoví, kteří by vytvořili co nejvíce nejmenších čtverců. Můžeme pomoci ostatním ze třídy dalšími otázkami a podněty např. Ze všech vašich dřívek vytvořte nejmenší čtverce. Kdo jich dokáže sestavit nejvíce? Kdo nejméně? Umí jich někdo složit jiný počet? V závislosti na schopnostech žáků by měli dříve či později přijít na to, že aby měli co nejvíce čtverců, musí mít čtverce alespoň jednu společnou stranu. V průběhu řízeného objevování lze také opakovat, zavádět či upevňovat matematické pojmy, zde např. vrchol, strana, čtverec, obsah, obvod, konvexní mnohoúhelník, nekonvexní mnohoúhelník, atd. V řízeném objevování na sebe jednotlivé úlohy navazují. V tomto případě můžeme navázat na předchozí úlohu takto: D: Najděte pravidlo, které nám popíše kolik dřívek je potřeba k vytvoření n čtvercových okének. I: K vytvoření tří čtvercových okének na obrázku potřebujete 10 dřívek.

296

Žáci sami zkoušejí přidávat a odebírat dřívka a přijít na princip přičítání dřívek. Můžeme je v tvoření řešení opět navést otázkami: Řekni, kolik dřívek potřebuješ k vytvoření 4, 5, 6, 10, 33 oken? První řešení výpočtu někteří žáci zvládnou odvodit sami, ostatním můžeme pomoci otázkami a podněty typu: Jakým způsobem budeme dřívka počítat? Jaké početní operace zde můžeme využít? Po tomto by už celá třída měla přijít na přičítání 3 dřívek pro každý nový čtverec. Někteří žáci přijdou i na řešení, že mohou okna také stavět pod sebe (ve více řadách) a tím použít méně dřívek. I pro toto řešení mohou vymyslet pravidlo a zaznamenat je např. do tabulky či obrázku. 4. Závěr Metoda řízeného objevování lze využít ve všech formách práce, v jakékoliv části hodiny, v dopoledních i odpoledních činnostech. Charakter řízeného objevování mají i některé didaktické hry, které bývají často do hodin matematiky zařazovány. Ale ať se tato metoda objevuje kdekoliv a kdykoliv, má vždy jeden cíl - naučit děti přemýšlet o věcech, rozvíjet jejich vnitřní matematický svět, podpořit u dětí zájem o matematiku a její vyučování. Literatura: 1. JEŘÁBEK, J. a kol. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. 1. vyd. Praha: Výzkumný ústav pedagogický v Praze, 2005. 92.s. ISBN 2. ZELINA, M. Tvořivost v matematice: metodický materiál pro učitele matematiky. Olomouc: Krajský pedagogický ústav Ostrava, 1990. ISBN 90-9000158-9-1. 3. POLYA, G. How to solve it? USA: Princeton University Press, 1985. 4. http://lide.uhk.cz/pdf/ucitel/cachoja1/MATEJ/ULOHY/ULOHY.HTM Kontaktní adresa Mgr. Alena Šťastná Pedagogická fakulta – katedra matematiky Žižkovo náměstí 5 Olomouc 771 40 Telefon: +420 774 553 727 E-mail: [email protected]

297

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

PODNĚTNÁ VÝUKOVÁ PROSTŘEDÍ PRO PŘIROZENOU DIFERENCIACI Marie TICHÁ Abstrakt V příspěvku se budeme zabývat některými otázkami spojenými s vytvářením a vyhledáváním podnětných výukových prostředí a možnostmi, které pro zkvalitnění vzdělávání poskytují. Budeme charakterizovat pojem podnětné výukové prostředí. Ukážeme, jaké možnosti poskytuje pro přirozenou diferenciaci, jako jednu z forem vnitřní diferenciace. SUBSTANTIAL LEARNING ENVIRONMENTS FOR NATURAL DIFFERENTIATION Abstract In the contribution we will discuss several questions related to the creation and discovery of substantial learning environments and the potential they bear for general improvement of education. The concept of substantial learning environment will be characterized. We will also demonstrate what potential it has for natural differentiation as one of the forms of inner motivation. 1. Úvodem Při mnoha příležitostech a v různých souvislostech bylo zdůrazněno, že matematika je součástí mnoha oblastí života. Proto roste význam matematického vzdělávání a potřeba dosažení funkční matematické gramotnosti. To klade velké nároky na znalost předmětu a pedagogické dovednosti a techniky učitelů, na jejich profesní kompetence. Učitelům je třeba pomáhat obohacovat, rozvíjet a prohlubovat profesní dovednosti. K nim patří také dovednost reagovat na heterogenitu a vytvářet podmínky pro rozvoj vzdělávacích předpokladů všech žáků. 2. Přirozené rozdíly mezi dětmi; potřeba individualizace a diferenciace Obecně je přijímaný poznatek, že děti se učí různě, potřebují různou dobu i když se učí stejnou látku, ve stejných podmínkách, se stejně starými spolužáky, s týmž učitelem. Proto se objevují snahy o uplatňování principu individualizace výuky. Individualizace souvisí s diferenciací. Byly hledány a navrhovány různé způsoby vnější i vnitřní diferenciace, které respektují rozdíly mezi žáky, jejich individuální zvláštnosti a jejichž cílem je optimální rozvoj žáků (Skalková, 1999). Jedna z forem vnitřní diferenciace je přirozená diferenciace. Myšlenka přirozené diferenciace se v oblasti matematického vzdělávání začala prosazovat a uplatňovat v pracech kolem projektu „Mathe 2000“. My jsme se o problematiku přirozené diferenciace začali zajímat v rámci probíhajícího řešení projektu Comenius „ Motivation via Natural Differentiation in Mathematics“ (NaDiMa). Velmi inspirující pro nás byly práce E. Wittmanna, P. Scherer a G. Krauthausena (Wittmann, 2001; Krauthausen,

298

Scherer, 2007). Jedná se o takový přístup k problematice heterogenity ve výuce matematiky, kdy diferenciace není chápána jako problém, ale jako něco normálního, dokonce v některých aspektech přínosného. Podstatné je, že se ukazuje, že všichni žáci ve třídě mohou současně pracovat na stejném obsahu, řešit stejnou úlohu a to na různých úrovních podle svých schopností. Všichni dostanou stejné zadání, které jim umožňuje volit, „kterou cestou se dají“. Předpokládá se, že budou postupovat různě, že využijí různé cesty řešení, techniky, přístupy, budou pracovat s různými pomůckami, využívat různé reprezentace odpovídající jejich kognitivní úrovni. Ve shrnující diskusi předvedou a budou se snažit obhájit svůj postup a svoje výsledky. Přitom se učí jeden od druhého. Eventuálně také učitel předvede svou cestu jako jednu z možných. Možnost zpracovávat tentýž úkol na různých úrovních je přínosná jak pro žáky slabé, pomalejší, tak pro žáky vysoce nadané. Žáci na nižší úrovni se v závěrečné diskusi dovědí něco nového, posunou na vyšší úroveň, žáci na vyšší úrovni musí zpravidla hledat a uplatnit nové úhly pohledu. 3. Podnětná výuková prostředí Pokud chceme umožnit a podpořit přirozenou diferenciaci, musíme se snažit vytvořit podnětné prostředí pro učení, aby z něho mohl vyrůstat takový úkol, taková úloha, se kterou se budou schopni vyrovnat všichni žáci, i když na různé úrovni. Bylo ukázáno, že různé varianty otevřeného přístupu k vyučování poskytují možnost pro vnitřní diferenciaci. E. Wittmann zdůraznil vytváření podnětných výukových prostředí (substanzielle Lernumgebung, Substantial Learning Environment). Podnětné výukové prostředí je výukový celek s následujícími vlastnostmi: Představuje ústřední cíle, obsahy a principy výuky matematiky na dané úrovni. Týká se významných matematických obsahů, procesů a postupů. Je flexibilní a lze ho upravit podle konkrétních podmínek ve třídě. Spojuje matematické, psychologické a pedagogické aspekty výuky matematiky (Wittmann, 2001). E. Wittmann upozornil, že hledání, koncipování, vytváření prostředí podnětných pro učení je jednou z oblastí, ve které se spojují cíle badatelů a učitelů, kterou prostupuje nejen teorie a praxe, ale také matematika a didaktika matematiky a ve které mohou trvale a systematicky docela přirozeně spolupracovat badatelé a učitelé. Připomeňme, že J. Vyšín začátkem 70. let zdůrazňoval, že výzkum v didaktice matematiky je třeba provádět současně teoreticky i prakticky. Potřebná je soustavná spolupráce s učiteli a příprava podkladů pro zkvalitňování práce učitelů. 4. Podnětné výukové prostředí v naší práci Do jaké míry myšlenka vytváření podnětných prostředí koresponduje s našimi přístupy? Obdobné myšlenky byly základem našich úvah o studiu procesu uchopování situací (Koman, Tichá, 1995, 1998). Pod označením uchopování situace rozumíme myšlenkový proces, v němž se prolínají činnosti zaměřené zvláště na formulaci otázek a tvorbu úloh, které ze situace vyrůstají, řešení vytvořených úloh a interpretaci výsledků řešení. Uchopování situace s porozuměním vyžaduje nejen schopnost vytvoření matematického modelu, ale i nutnost komunikace, argumentace, silně se tu projevuje sociální aspekt. Snažíme se o autentické učení, o kontextové znalosti. Jsme vedeni snahou vést žáky i studenty učitelství k tomu, aby byli schopni matematiku vidět ve světě kolem sebe, v různých „matematických“ i „nematematických“ situacích (Koman, Tichá, 1998). V návaznosti na studium uchopování situací se věnujeme problematice rozvíjení a využívání dovednosti tvořit úlohy. Spatřujeme v tom jednak cíl, jednak prostředek matematického vzdělávání a také diagnostický i motivační prostředek. (Tichá, 2008).

299

5. O uchopování situace nazvané “Dvě nebo více osob v jednom autě” Situace: Každý den jezdím svým vlastním autem do práce. Také moji spolupracovníci, kteří bydlí v blízkých místech, jezdí každý svým autem. Úkol: Uvažujme, zda a jak bychom mohli snížit náklady na dopravu do zaměstnání (Koman, Tichá, 1996). První dvě věty představují a popisují situaci. Třetí věta naznačuje okruh otázek a problémů, na které chceme zaměřit zkoumání situace. Úvodní (otevřenou) situací pak může být: Adam a Bohouš jezdí každý svým autem, po stejné trase, ale ze dvou různých míst do stejného místa zaměstnání. Adama stojí jedna cesta do práce 18 Kč, Bohouše 6 Kč. Náklady na 1 kilometr jízdy mají stejné. Adam Bohouš práce o------------------------o------------o 12Kč 6 Kč Uchopování této situace žáci začínají otázkami typu: Kolik Kč utratí za cesty do práce za týden Adam? Kolik Kč by mohli ušetřit, kdyby Adam vozil Bohouše? Následují otázky: Kolik Kč má dát Bohouš Adamovi? A jak to udělat, aby to bylo spravedlivé? Tady se otvírá prostor pro přirozenou diferenciaci. Žáci i studenti zpravidla postupně navrhují různé strategie dělení nákladů. Například: nejdřív platí Adam, potom Bohouš; na stejné části; podle počtu cestujících osob; v poměru podle vzdáleností; kolik ušetří . Adam 12 9 15 15 13,50 4,50 Bohouš 6 9 3 6 4,50 1,50 Uvedenou jednoduchou situaci je možné mnoha způsoby modifikovat („měnit parametry“), to znamená měnit například topologii a metrické parametry dopravní sítě, také počet osob. O pravidlech dělení nákladů žáci rozhodují ve společné diskusi. Záleží na nich, pro kterou možnost se dohodnou (podrobně např. v Koman, Tichá, 1996). 6. Aritmetika, algebra - a co geometrie? Většina prací pojednávajících o přirozené diferenciaci, se kterými jsme měli možnost se seznámit, se vztahovala k aritmetice nebo algebře. V rámci řešení projektu NaDiMa jsme se proto pokusili navrhnout podnětné geometrické prostředí a položili jsme si otázku, zda a do jaké míry je v tomto prostředí možné realizovat přirozenou diferenciaci. Připravili jsme výukový experiment. Uskutečnili jsme pilotní výzkum (ve 3. ročníku) a poté výukový experiment (ve 4. ročníku a druhou část s týmiž žáky v 5. ročníku). Vycházeli jsme z přesvědčení, že rozvíjení dovednosti pohybovat a orientovat se v prostoru přispívá k rozvíjení matematické gramotnosti v různých oblastech (například vytváření geometrických představ, modelování reálné situace a používaní vhodného jazyka, propedeutika různých pojmů i postupů, algoritmického přístupu). Rozhodli jsme se pro dvě prostředí, která jsme nazvali Cesta a Pokoj. V prostředí Cesta jsme pracovali s plánem idealizované sítě ulic. V úvodních hodinách se žáci seznamovali s plánkem; strukturou popisu cesty; interpretací pokynů; vlastnostmi, které by měl popis splňovat. Posléze jsme se zaměřili na tři typy úkolů: (a) znázorňování slovně popsané cesty do plánku, (b) slovní popisování cesty zakreslené v plánku, (c) vlastní volba cesty a její popis.

300

S jistým časovým odstupem byl zadán úkol typu: Zakresli a popiš cestu z daného místa na dané místo přes daná místa. Žáci si mohli v každém případu zvolit jednu ze čtyř nabízených různě náročných možností (například: od autobusu do ZOO nebo z nádraží, přes poštu a lékárnu do ZOO). Předpokládali jsme, že díky možné volbě obtížnosti úkolu dojde k diferenciaci žáků. Že žáci budou volit různě „komplikované“ cesty, že budou uvažovat o různých možnostech, že se objeví kombinatorické úvahy a podobně. Toto očekávání se ale splnilo jen v omezené míře. S odstupem se domníváme, že takto zadané úlohy jsou vhodné spíše pro klasickou vnitřní diferenciaci (učitel zadá různé úkoly na základě svého posouzení úrovně znalostí jednotlivých žáků). V předchozích výzkumech jsme ukázali, že pro žáky i studenty učitelství je silně podnětné a motivující tvoření úloh (Tichá, 2008). Proto jsme se rozhodli pro nový úhel pohledu a v další fázi našeho zkoumání se zaměřujeme na diferenciaci při tvoření úloh v daném kontextu (plánek). Zadali jsme následující úkol: Víte, že v prostředí kolem nás, v každodenních situacích, vzniká řada otázek, úloh a problémů, se kterými se musíme nějak vypořádat. Jednou takovou situací, ze které mohou vyrůstat otázky a úlohy, může být plánek, který jsme pro vás připravili. Napište úlohu (úkol) z prostředí tohoto plánku části města. Co jsme zjistili? Žáci byli zřejmě ovlivněni předchozí prací s plánky (i když tento nový experiment se uskutečnil s více než půlročním odstupem) a proto nejčastější tvořili následující dva typy úloh: Popiš cestu: Z hotelu běž nejkratší cestou do restaurace. Z restaurace jdi na autobusovou zastávku a z ní jeď autobusem do plaveckého bazénu tak, aby ses cestou zastavil na poště. Z bazénu jdi do zoo a ze zoo zpátky do hotelu. Jak půjdeš? Zakresli. Kam dojdeš?: Od autobusové stanice jdeme vpravo. Na křižovatce vlevo a rovně, a přes další křižovatku rovně. Poté zabočíme vlevo. Kam jsme došli? Zcela výjimečně se objevovaly úlohy, ve kterých byl náznak kombinatoriky: Jdi z A do B. Můžeš jít kudy chceš. Nebo: Jdi z A do B přes C, D a E.; na pořadí nezáleží. Ve vytvořených úlohách jsme našli rozdíly, a to například v požadavku na počet míst, kterými se má procházet; na počet změn směru; na využití „šikmých“ spojnic atd. Pozorovali jsme, že každý žák pracoval sám a většinou s velkým zaujetím; potvrdilo se tak naše očekávání, že tvoření úloh vzbudí zájem. Můžeme říci, že tentokrát se projevila přirozená diferenciace, že všichni žáci plnili zadaný úkol podle svých možností. Ve shrnující diskusi pak popisovali svůj postup a mluvili o svých problémech s plněním tohoto úkolu. Zdůvodňovali svoje řešení formulacemi typu: Když to není dané, můžu jít kudy chci. Zpravidla si žáci nejprve načrtli cestu v plánku a poté ji popisovali. Potěšil nás výrazný posun ve struktuře i přesnosti jazyka žáků, v precizaci vyjadřování. Prostředí Pokoj se ukázalo jako celkem vhodný podklad pro přirozenou diferenciaci. V tomto prostředí jsme uplatňovali dvě základní činnosti: (a) modelování 3D prostoru a objektů ve 2D a (b) uspořádávání objektů v prostoru. Žáci měli k dispozici plán místnosti v měřítku 1 : 25 ve čtvercové síti a modely nábytku (s rozměry, které jsou násobkem 25 cm). Toto prostředí dává možnost rozvíjet zvláště modelování, odhady, měření, práci s měřítkem, představy o shodných zobrazeních (souměrnost, posunutí, otočení), vyplňování prostoru. Po několika úvodních vyučovacích hodinách, jejichž cílem bylo seznámení žáků s prostředím a způsoby práce v něm, byl žákům zadán úkol vybavit místnost nábytkem, přičemž záleží na nich samotných, pro kolik osob, zda použijí všechen nábytek a podobně. V práci žáků v prostředí Pokoj jsme evidovali poměrně velké rozdíly. Týkaly se zvláště rozdílných reálných zkušeností s touto činností, dovednosti odhadnout velikost nábytku (odhady

301

i měření), představ velikosti (potřebného) prostoru. Rozdíly byly v počtu kusů nábytku, počtu osob a podobně. Potěšitelná byla snaha po spravedlivém uspořádání v případě zařizování pokoje pro více osob. 7. Psychologické posouzení Součástí práce na NaDiMa projektu je také psychologické posouzení přínosu uskutečněného výukového experimentu provedené kvalifikovanými psychology. Toto posouzení ukázalo, že u většiny žáků došlo jak k pozitivnímu posunu v rámci kognitivních a percepčních dovedností, tak i k rozvoji motivace k matematice. Dále došlo k posunu v rámci sebehodnocení v matematice a k celkově pozitivnějšímu vztahu k matematice. U většiny žáků došlo ke zvýšení jednoho z těchto dvou motivačních faktorů pro učení se matematice: (a) matematika je zábava, (b) chci toho z matematiky hodně vědět. 8. Poznámka na závěr Jak už bylo řečeno, tento článek přináší informace o probíhajícím výzkumu, o jeho východisku i průběžných výsledcích. Jsme přesvědčeni, že tvorba podnětných výukových prostředí dotýkajících se probírané látky, by měla být ve středu zájmu didaktiky matematiky. Měli bychom k ní vztahovat výzkum i vzdělávání učitelů. První zkušenosti z práce zacílené na tuto problematiku ukazují, že se jedná o dlouhodobou a nepřetržitou výzkumnou činnost zaměřenou na teoretické a experimentální řešení perspektivních problémů cílů, obsahu a metod vyučování a učení se žáků matematice. Výzkum je podporován granty GAČR 406/08/0710, 142453-LLP-1-20089-1-PLCOMENIUS-CMP a AV ČR - AV0Z10190503. Literatura 1. KOMAN, M., TICHÁ, M. Jak pomocí pravidelností a závislostí získávat vhled do situací. 5. setkání učitelů matematiky všech stupňů a typů škol. Plzeň 1996, 50-53. 2. KOMAN, M., TICHÁ, M Cestování - čas - peníze. Matematika, fyzika, informatika, 5 a 6, 1995/96, 227-232 a 281-284. 3. KOMAN, M., TICHÁ, M. On Travelling Together and Sharing Expenses. Teaching Mathematics and its Applications. Oxford University Press, vol.17, no. 3, 1998, p.117 - 122. ISSN 0268-3679 4. KRAUTHAUSEN, G., SCHERER, P. Einführung in die Mathematikdidaktik. München : Elsevier, Spektrum, 3. Auflage 2007. ISBN 978-3-8274-1611-7 5. SKALKOVÁ, J. Obecná didaktika. 292 S., Praha : ISV 1999. ISBN 80-85866-33-1 6. TICHÁ, M. Tvoření úloh jako jedna z cest rozvíjení profesionality učitelů. In: M. Uhlířová (ed.) Matematické vzdělávání z pohledu žáka a učitele primární školy. UPOL, Olomouc 2008, s. 264-268. ISBN 978-80-244-1963-3 7. WITTMANN, E. Developing mathematics education in a systemic process. Educational Studies in Mathematics vol. 48, no.1, 2001, p. 1–20. ISSN 0013-1954 Kontaktní adresa Marie Tichá, CSc. Matematický ústav AV ČR, v.v.i. Žitná 25, 115 67 Praha 1 Telefon: +420 222 090 726 E-mail: [email protected]

302

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

MATEMATIKA Z POHLEDU ZAČÍNAJÍCÍCH UČITELŮ Veronika TRNKOVÁ Abstrakt Příspěvek je zaměřen na dotazníkové šetření, které zjišťovalo zájem o matematiku u studentů oboru Učitelství pro 1. stupeň základní školy na Pedagogické fakultě Univerzity Palackého v Olomouci. Cílem našeho příspěvku je analyzovat vztah a postoj k matematice u budoucích učitelů primární školy a zmapovat nejvýznamnější příčiny nezájmu o matematiku. MATHEMATICS FROM THE PERSPECTIVE OF NEW TEACHERS Abstract The article is focused on the questionnaire survey, which tried to find out the degree of interest in mathematics by students of Teacher Education for primary schools at Palacký University in Olomouc. The aim of our report is analyze relation and attitude towards mathematics by future teachers of primary schools and chart most considerable causes lack of interest about mathematics.

1. Úvod Matematika bývá označována za královnu věd. Setkáváme se s ní denně. Spolu s českým jazykem tvoří předměty, které žáky základních škol doprovází od počátku povinné školní docházky až po její ukončení. Matematika bývá ve všeobecnosti považována za velmi náročný a ne právě oblíbený předmět. Je ovšem jednou ze základních vzdělávacích oblastí, která je založena na aktivních činnostech typických pro práci s matematickými objekty a pro užití matematiky v reálných situacích. Přispívá k formování volních a charakterových vlastností, vede ke kázni ve vyjadřování a k efektivitě organizace vlastní práce. Odstranění averze vůči matematice spatřujeme v zajímavém a přitažlivém pedagogickém přístupu učitelů. Domníváme se, že by tento předmět měl být oblíbený zejména u budoucích učitelů matematiky. Velmi těžce může učitel vzbudit zájem žáků o matematiku, pokud on sám k ní nemá kladný vztah. Cílem našeho příspěvku je analyzovat prostřednictvím dotazníkového šetření postoje k matematice u budoucích učitelů primární školy a zmapovat nejvýznamnější příčiny nezájmu o matematiku. 2. Učitel matematiky „Učitelem označujeme člověka, který soustavně odborně vzdělává a vychovává děti, mládež nebo dospělé. Učitel je rozhodující složkou ve výchovném procesu – je jeho

303

iniciátorem. Jeho úkolem je pečovat o tělesný, rozumový a volní rozvoj vychovávaného.“ (Grecmanová; Holoušová; Urbanovská, 2002, s. 164) Po staletí jsou formovány požadavky na vlastnosti učitelů, podle kterých jsou vybíráni, připravováni a také hodnoceni. Neexistuje snad žádné povolání, které by bylo tak normováno, jako je tomu u učitelské profese. Vztahy k vyučujícím předmětům se formují ve škole a ovlivňují je především učitelé svým přesvědčením o předmětu. Úspěšnost výuky nezáleží tolik na tom, jaké vlastnosti učitel má, ale spíše na tom, co učitel fakticky dělá a jak to dělá. V matematice pak záleží na vhodném výběru úloh, vyučovacích formách a metodách, ale také na tom, jak učitel interpretuje zkoumaný matematický problém. Učitel matematiky by se měl pokusit představit žákům matematiku jinak než jako nudný, nezáživný a neoblíbený předmět, který jim v lepším případě „nevadí“ (Novák, 2004). 3. Charakteristika výzkumného šetření Velmi frekventovanou metodou získávání dat v pedagogickém výzkumu bývá dotazník. I my jsme se prostřednictvím této metody rozhodli zkoumat postoje studentů 1. stupně základní školy k matematice. Respondenti vyplňovali námi vytvořený dotazník. Celkový počet položek v dotazníku byl 21, což považujeme z hlediska výpovědní hodnoty dotazníku za dostatečné. Dotazníky byly uvedeny vysvětlením podstaty výzkumného šetření a pokyny k vyplňování. Zdůrazňována byla anonymita respondentů a význam šetření pro naše výzkumné účely. Z hlediska formy požadované odpovědi šlo o uzavřené, polouzavřené i otevřené položky. Respondenti vyjadřovali svůj názor u uzavřených otázek zakroužkováním odpovědi. Případná oprava se prováděla přeškrtnutím chybného údaje a zakroužkováním druhé možnosti. V případě, že se respondenti z různých důvodů k otázce nevyjádřili, nechali položku nevyplněnou. Při zpracování dat jsme zjišťovali četnost a relativní četnost zvolených odpovědí. V analýze dat vycházíme ze vzorce: fi = (ni * 100) ÷ ∑. Absolutní četnosti ni vyjadřuje počet statistických jednotek, relativní četnosti fi vyjadřuje % rozložení a celková četnost ∑ udává počet všech respondentů, kteří odpověděli na danou otázku. Výzkum jsme zahájili v březnu roku 2007. Samotný sběr dat byl ukončen na konci června roku 2007. 3.1 Výzkumný vzorek Pro naše výzkumné účely jsme na základě stratifikovaného výběru vybrali reprezentativní vzorek 70 studentů 3. a 4. ročníku oboru Učitelství pro 1. stupeň základní školy (dále jen U1ST) z Univerzity Palackého v Olomouci. Návratnost dotazníků byla 79 %. 3.2 Výsledky průzkumu V následujících grafech jsou v procentech uvedeny odpovědi respondentů na vybrané dotazníkové položky.

304

3.2.1 Asociace k matematice

 

Graf 1 Asociace k matematice

Matematika spolu s výukou českého jazyka tvoří osu základního vzdělání. Poskytuje žákům vědomosti a dovednosti potřebné pro orientaci v praktickém životě a vytváří předpoklady pro úspěšné uplatnění ve většině oborů profesionální přípravy i různých směrů studia na středních školách. Rozvíjí intelektuální schopnosti žáků, jejich paměť, představivost, tvořivost, abstraktní myšlení, schopnost logického myšlení. I přesto však matematika v některých z nás vyvolává nepříjemné pocity (to bohužel uvedla téměř 1/4 našich dotázaných studentů). Z nabídnutých alternativ se nejvíce respondentů ztotožnilo s asociací početních příkladů. Pouze pro 3 respondenty představuje matematiky zábavu či radost. 3.2.2 Ohodnocení matematiky

  Graf 2 Ohodnocení matematiky

Graf znázorňuje vztah respondentů k matematice a důležitost matematiky v životě člověka u pohledu respondentů pomocí klasifikačních známek. Odpovědi respondentů

305

na otázky nepotvrdily domněnku, že budoucí učitelé mají k matematice spíše negativní vztah. Studenti U1ST hodnotí svůj vztah k matematice spíše první polovinou klasifikačních známek (známky 1, 2, 3) než známkami 4 a 5. Nejčastěji volili možnost známky 3. Je potěšující, že všichni respondenti jsou si vědomi důležitosti matematiky, ačkoliv k ní nemají ryze kladný vztah. Graf má u této proměnné sestupnou tendenci. 3.2.3 Zájem o matematiku u respondentů ve volném čase

  Graf 3 Zájem o matematiku ve volném čase

V posledních letech jsme svědky prudkého rozvoje informační a komunikační technologií. Budoucích učitelů, kteří obohacující vyučování o poznatky z internetu, ovšem není příliš. Doufejme, že se jedná spíše o dočasný problém a že se pedagogický software stane v blízké budoucnosti důležitou pomůckou ve vyučování matematiky. Nejenom Pedagogická fakulta Univerzity Palackého v Olomouci pořádá každoročně pro své studenty zajímavé matematické semináře, na kterých přednášejí převážně učitelé z praxe, kteří svými poznatky, nápady a radami obohacují budoucí učitele. Z odpovědí respondentů bohužel vyplynulo, že ani matematické semináře studenti příliš nenavštěvují. Na základě analýzy odpovědí můžeme konstatovat, že oslovení respondenti ve svém volném čase matematiku téměř nevyhledávají.   4. Příčiny nezájmu o matematiku Z analýzy výpovědí respondentů vyplynul jako nejvýznamnější faktor, který ovlivňuje zájem o matematiku, učitel. Výčet nejčastěji vyskytujících se příčin uvádíme spolu s některými vyjádřeními respondentů:  • Negativní zkušenosti z vyučovacích hodin matematiky, 9 „Matematika pro mě představovala každodenní stres ze hry Mrazík.“ 9 „Měli jsme učitele, který nás nazýval morálním bahnem. To snad mluví za vše…“ • špatný výklad učitele matematiky, vztah k učiteli, 9 „Paní učitelka nás ponižovala, jako kdyby jí dělalo dobře, když jsme něco nevěděli.“ 9 „Vzteklá paní učitelka Steklá.“

306

• způsob vyučování (zaměřen především na výkon žáka), 9 „Neustálý dril, dril, dril!“ 9 „Nekonečné počítání podle vzorečků, aniž bych věděla, k čemu mi to je dobré. Učitelka, která si myslela, že když na mě bude křičet, pochopím kombinatoriku. Prostě hrůza!“ • přináší těžkosti, strach, stres, děs (vliv zanedbání na sebe navazujícího učiva) – pocit méněcennosti, 9 „Už jenom z představy, že budeme mít zítra matematiku, jsem dostávala horečku.“ • s přibývajícími školními léty narůstá obtížnost látky, 9 „Na 1. stupni byla matematika skvělá. S přibývajícími léty se můj pohled na ni negativně změnil.“ • návaznost učiva (nutné pochopení učiva), 9 „Matematika mě nebaví, protože v ní nejde nic „vypustit“.“ • vliv rodiny, 9 „U nás v rodině nemá matematiku nikdo rád…“ • vliv známých a vlivných osobností. 5. Závěr Výsledky průzkumu dokazují, že vztah k matematice je velmi rozmanitý. Všichni respondenti jsou ovšem přesvědčeni o potřebnosti matematiky a uvědomují si její nezbytnost pro život. Domníváme se, že by bylo žádoucí, aby se začínající učitelé více zajímali o matematiku ve svém volném čase. Získají tak nejenom potřebné poznatky pro své sebevzdělávání, ale i informace o tom, jak ukazovat krásu matematiky a jak budovat pozitivní vztah k matematice u svých žáků. Literatura 1. 2. 3.

GRECMANAVÁ, H.; HOLOUŠOVÁ, D.; URBANOVSKÁ, E. Obecná didaktika I. Olomouc: Hanex, 2002. NOVÁK, B. Vybrané kapitoly z didaktiky matematiky 2. 1. vyd. Olomouc: Vydavatelství Univerzity Palackého, 2004. ISBN 80-244-0916-X. TRNKOVÁ, V. Zájem studentů 1. stupně ZŠ o matematiku. Diplomová práce, 2008.

Kontaktní adresa Mgr. Veronika Trnková Základní škola Slatiňany T.G.Masaryka 136, 538 21 Slatiňany Telefon: +420 775 221 454 E-mail: [email protected]

307

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

MODEL OF THE TEACHER DEVELOPMENT WITH RE-SPECT TO THE LEVEL OF ICT IMPLEMENTATION Martina UHLÍŘOVÁ Abstract The contribution deals with preliminary results of Attitudes towards Computer Assistant Teaching (abbr. as ”ATCAT”) research into the issue of educational implementation of ICT tools in the primary school context. In this respect, I focus on primary mathematics. The model of teacher development with respect to the level of ICT implementation (the ACOT research) is given as a theoretical base of the presented classification of teachers according to their attitudes to utilising computers when teaching primary mathematics. MODEL ROZVOJE UČITELE VZHLEDEM K MÍŘE IMPLEMENTACE ICT Abstrakt Příspěvek je věnován dílčím výsledkům výzkumu ATCAT (Attitudes towards Computer Assistant Teaching) zaměřeného na problematiku edukační implementace prostředků ICT v prostředí primární školy, konkrétně primární matematiky. Model rozvoje učitele vzhledem k míře implementace ICT je představen jako teoretické východisko sestavené typologie učitelů vzhledem k jejich postojům k využití počítače ve výuce primární matematiky. Computers have become a common part of our everyday life. It has become obvious that individual success in the global information society will depend on the ability to obtain, analyze and utilise information rather then on the amount of actual factual encyclopaedic knowledge. School as an integral part of the society should reflect current requirements of the society and prepare individuals in the framework of the information society which is being formed. New economic conditions should initiate the transformation of ”traditional school” into a modern teaching environment based on the new humanism philosophy. In order to fulfil all the above mentioned requirements, the school has to implement ICT tools not only as a natural component of its educational environment but also as a tool of transition from a transmisive concept to constructivist concept. ICT implementation into educational reality is not an isolated process equivalent to providing schools with computers. Technology should not be the aim but a didactic tool and educational environment encouraging change. We focus on the personality of the teacher, who is – according to V. Spilková [6] the initiator of changes. Educational implementation of ICT tools is a long-term innovative process. The changes as well as implementation of new technologies can be successful only on condition that they are willingly accepted by the majority of teachers. Only then – as Příhonská [5] points out,

308

can successful ICT integration into teaching mathematics be accompanied by a relevant and efficient level of use. The general features of the innovative process were described by E. Rogers [2] in the beginning of 1960s. Rodgers was a prominent diffusionist. His theory of the progress of innovation acquisition in society was created in order to describe cases of implementing radical inventions such as the ancient invention of the process of iron production or the use of mobile telephones. He suggested that the spread of new inventions or solutions is made possible by spreading information via various channels. The innovative process can be successful only when suitable conditions are present. Even then the process is a jump one not a gradual one. At first, the innovation is adopted by a handful of enthusiast, whose risk in case of failure is great. They face general scepticism, indifference and lack of understanding. Should the innovation be successful, the number of those who adopt it must rise until a critical amount is surpassed. The process then becomes irreversible. In theory, every single adopter experiences five phases: discovery, interest, trial, decision and adoption. Rogers [2] categorises the ”innovative process adopters” into five categories depending in which phase the adoption occurred: innovators – enthusiasts (2,5%), early adopters – visionaries (13,5%), early majority – pragmatists (34%), later majority – conservatives (34%) and laggards - skeptics (16%). The innovation process (i.e. a number of teachers – adopters as a function of time) has been graphed in the Cartesian system (see Fig. 1) using the S-curve.

Fig. 1: S-curve of innovation phases. In the early 1990s Rogers’ theory was applied on the issue of educational implementation of computers in the framework of the American Apple Classrooms of Tomorrow research (abbr. as ”ACOT”) [3]. A diffusion model of the teacher development with re-spect to the level of ICT implementation was suggested. Four phases are recognised: survival, mastery, impact and innovation. The first phase – survival – is connected to implementation of new standards of qualification, which are usually very explicit about the necessity of information literacy of

309

teachers. Facing existential threats, teachers not qualified in this respect try to overcome the obstacle themselves. They usually fight mastering basic operations, often using the trial – error method. As knowledge of technology grows, the phase of mastery connected with mastering the technical aspects of work with computer comes. The use of computers spreads and the efficiency of use rises. This is the phase of new strategies acquisition and better teaching models implementation. The dependence on IT specialists decreases. Teachers at this level use technologies in an instructive way. In the impact phase the orientation of teachers shifts to the pupil. Technologies are not an aim but a tool, which is commonly used in many educational activities of teachers. The teacher seeks the most effective way of using the technologies in his teaching methods. Instructive attitudes are supplemented by constructive ones. Finally, (some) teachers reach the diffusion phase, i.e. the phase of full innovation. Such teachers are able to adjust the curriculum (subject syllabi) as well as teaching methods and are able to reach beyond the generally given teaching aims. The process of the teacher’s personality development is a complex one. It is an interrelated total which is closely connected to the level of teacher’s competence reached in the ICT area. The process of the teachers’ development includes development of their knowledge, skills, attitudes and understanding so that they could handle a number of complex decision making situations in education. The Attitudes towards Computer Assistant Teaching research (abbr. as ”ATCAT”) was aimed at the issue of educational implementation of ICT tools in the primary school context. Preparing the primary school teachers typology with respect to their attitudes towards using computers in teaching mathematics was one of the research aims. Total of 148 respondents – 3rd, 4th and 5th class teachers – were questioned. The research had a form of a questionnaire research with a semantic differential method. We used cluster analysis [4] in order to identify the basic types of teachers according to their attitudes to using computers in teaching primary mathematics. We built on the evaluation of average assessment factors and energy of individual respondents with respect to the concept indicator B: The computer and I in teaching mathematics. The cluster analysis resulted in assigning a given number of clusters to individual teachers. Each cluster was characterized by an average assessment factor and an average energy factor. The cluster analysis was carried out for 2, 3 and 4 clusters consecutively. When doing so we observed the way students are differentiated by the given number of clusters. The 3 cluster analysis seemed the most suitable. The obtained results are included as Tab. 1 and Fig. 2. Description statistics — 3 clusters cluster 1 – A 32 cluster 2 – B 80 cluster 3 – C 36 cases cases cases fact. Avg SD D avg SD D avg SD D B_e 5.33 4.11 0.53 4.11 0.53 0.28 6.01 0.78 0.61 0.58 0.34 B_h 3.39 4.56 0.47 4.56 0.47 0.22 Tab. 1: Cluster analysis results.

310

Fig. 2: Cluster analysis results.

Type A (cluster 1, n1 = 32) Type A teachers are characterized by a low assessment of benefit of computer use in teaching mathematics and an opinion that using computers in teaching implies great amount of energy, i.e. it is demanding and implies overcoming obstacles. Most of Type A teachers are probably early users, for which even their own work as users is difficult. Type B (cluster 2, n2 = 80) Type B teachers see certain sense and benefits in incorporating IT into teaching primary mathematics. They give an ”average” level of assessment and an ”average” level of energy. Most likely, these are teachers who ”adopted” computers as a useful tool. However, applying computers in teaching is still quite difficult for them. Type C (cluster 3, n3 = 36) Type C teachers are aware of possible benefits of computers in teaching primary mathematics. They give the best assessment. Type C teachers are probably advanced computer users as the educational implementation of computers does not imply any relevant rise of energy for them. When interpreting the results we tried to find out whether and to what extent our typology corresponded to the above given ”model of teacher development with respect to the level of ICT implementation”. Having studied respondent reactions, we believe that phases typical of primary school teachers are survival and mastery while impact and innovation are only a perspective to come. The survival phase corresponds to Type A teachers.

311

Such teachers fight mastering basic operations, often using the trial – error method. As Brdička [1] points out, using computers is often ”a necessary condition of survival at their current positions”. The possibility of direct implementation of computers into teaching mathematics is not considered or regarded as relevant. The computer is an enemy rather than a partner or assistant. The mastery phase brings technical and user knowledge. Techniques of work with computers are improved while the level of dependency on computer specialists decreases. This phase is typical for Type C teachers. Type B teachers are a transition type between Type A and Type C teachers. They adopted computers as a useful tool but they do not know how to incorporate it in teaching in a sensible way. They are aware of the benefits of computer use but preparation of relevant computer aided activities and classes as well as their performance are still demanding for them. The educational implementation of ICT tools is a longterm innovative process. The fact that a number of teachers already adopted computers as a useful and motivating tool is comforting. However, there are teachers who did not accept the challenge yet. Universities preparing primary school teachers can see this as a challenge too – they should adjust their pre- and post gradual information training in such a way that the number of ”practising” teachers rises beyond the imaginary critical amount. References [1]

BRDIČKA, B.: ICT a kvalita výuky. Česká škola.cz [online]. Available from www.ceskaskola.cz. [cited 2002-11-18] [2] BRDIČKA, B.: Vliv technologií na rozvoj lidského myšlení. [online].Available from http://omicron.felk.cvut.cz/ bobr/hmind/start.htm [cited 2004-04-07] [3] HAYMORE, J. - RINGSTAFF C.: Apple Classroom for Tomorrow. ACOT, Report #10, 1990 [online]. Available from http://images.apple.com/education/k12/leadership/ /acot/pdf/rpt10.pdf [cited 200201-28] [4] CHRÁSKA, M.: Postoje k učitelské profesi v pregraduální učitelské přípravě. Sociální a kulturní souvisloti výchovy a vzdělávání: 11.výroční mezinárodní konference ČAPV [online].Available from http://www.ped.muni.cz/capv11/ [cited 2004-10-10] [5] PŘÍHONSKÁ, J.: Presentation software and it’s use in teaching mathematics. In:Matematyka XII, Prace naukowe,Akademia Im.Jana Dlugosza w Czestochowi, Czestochowa 2007, s. 359-367. ISBN 978-83-7455-013-0, ISSN 1896-0286 [6] SPILKOVÁ, V.: Proměny primární školy a vzdělávání učitelů. Praha 1997. ISBN 80-86039-41-2 [7] UHLÍŘOVÁ, M.: Přijali učitelé počítač? E-Pedagogium, 2004, roč. 4, č. 1, ISSN 1213-7499 [online]. Available from [cited 2007-11-21] Contact address RNDr. Martina Uhlířová, Ph.D. Katedra matematiky PdF UP v Olomouci Žižkovo nám. 5, 771 40 Olomouc Tel: 0685635712, e-mail: [email protected]

312

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

DIDAKTICKÉ POMŮCKY V MATEMATICE PRIMÁRNÍ ŠKOLY Lenka Vršanská Abstrakt Prezentace seznamuje s jednoduchými a levnými pomůckami pro vyvození, nácvik a upevnění malé násobilky pro žáky druhých a třetích tříd. Její první část charakterizuje didaktické pomůcky a ukazuje jejich základní rozdělení na tradiční a netradiční. Ve druhé části je názorně ukázáno a popsáno 7 netradičních pomůcek včetně způsobu jejich použití ve výuce. TEACHING AIDS IN MATHEMATICS OF PRIMARY SCHOOL Abstract This presentation gives informations about simple and cheap teaching aids for eduction, practise and fixture small multiplication table for pupils of second or third classes. Its first part describes teaching aids and shows its basic classification for traditional and untraditional. In the second part is illustratively shown and described 7 untraditional teaching aids including technique its using in lessons of mathematics.

1. Didaktické pomůcky v matematice primární školy 1.1.

Didaktické pomůcky pro vyučování matematice •

Didaktické prostředky zahrnují všechny materiální předměty, které zajišťují, podmiňují a zefektivňují průběh vyučovacího procesu.

ƒ Jde o takové předměty, které v úzké souvislosti s vyučovací metodou a organizační formou výuky napomáhají dosažení výchovně vzdělávacích cílů. 1.2.

Tradiční pomůcky

•

reálné předměty

•

napodobené peníze

•

stavebnice

•

demonstrační nástěnné tabule

•

geometrické skládanky

•

geometrické modely těles

•

hry typu puzzle

•

krychlové stavebnice

•

soubory karet

•

pomůcky pro rýsování

•

Causenaireovy tyčinky

•

soubor číselných os

•

různé druhy počitadel

•

čtvercové sítě

•

početní lišty

•

sítě se soustavou souřadnic

313

1.3.

Netradiční pomůcky ve vyučování ƒ K vyučovacím prostředkům patří také vybavení školní třídy (různé druhy tabulí) a přístrojové vybavení (televize, počítač, videopřehrávač, DVD přehrávač). ƒ V posledních letech nabývají mimořádného významu informační a komunikační technologie (vizualizér, dataprojektor, interaktivní tabule, tablet, hlasovací zařízení).

1.4.

Pomůcky pro nácvik a upevnění malé násobilky ƒ

Ve své práci jsem se soustředila na pomůcky, které nám napomáhají při vyvození, nácviku a upevnění znalostí malé násobilky.

ƒ

Pomůcky, které si můžeme vyrobit sami, nejsou finančně náročné.

ƒ

Vycházela jsem z vlastních zkušeností a možností.

1.5.

Vyvození řad násobků, hra s příklady •

Práce jednotlivce.

•

Žáci se učí řady násobků.

•

Nejdříve procvičují řady násobků, přikládají správné příklady. Procvičují dělení.

•

Na pokyn hledají sudá čísla, lichá čísla, číslo větší než, menší než.

•

Více variant hry, záleží na učiteli a jeho otázkách.

•

Možná kontrola na tabuli.

1.6.

Barevné příklady ƒ

Práce jednotlivce, dvojic.

ƒ

Rozstříhané násobky podle barev.

ƒ

Po založení jedné části, žák vidí příklad

ƒ

Výsledek si ověří odkrytím druhé části.

ƒ

Strany se mohou střídat.

ƒ

Možnost samostatné kontroly.

314

1.7.

Procvičovací tabulka ƒ

Práce jednotlivce, dvojic.

ƒ

Žák pokládá na tabulku kartičky s čísly.

ƒ

Opakování učiva, upevnění výrazů činitel, součin, dělenec, dělitel, podíl

ƒ

Možnost kontroly

1.8.

Už umím násobilku ƒ Práce jednotlivce. ƒ Skládání příkladů násobilky, podle návodu. ƒ Opakování učiva. Příklad, který žák umí, otočí, ihned vidí správný výsledek. Žák sám vidí, které příklady mu dělají potíže. Ty si dá stranou a pracuje s nimi. ƒ Možnost kartičky

1.9.

okamžité

kontroly,

otočením

Kouzelná schránka

ƒ Práce jednotlivce, dvojic. ƒ Žák si vezme kartičku s příkladem, řekne výsledek. ƒ Po vhození příkladu se ihned přesvědčí o správnosti výsledku. ƒ Možnost okamžité kontroly 1.10. Barevné slovní úlohy s kontrolou ƒ Práce jednotlivce. ƒ Po přečtení úlohy, žák musí napsat zadání a výpočet. ƒ Kontrolu provede sám. ƒ Při obtížích se jde poradit k učiteli. ƒ Procvičování termínů součin, podíl, součet, rozdíl.

315

1.11.

Barevné skládání

ƒ Práce jednotlivce, dvojice, skupiny. ƒ Procvičení násobků zábavnou formou. ƒ Kartičky rozstříháme dle přerušované linie. ƒ Úkolem žáků je příklad a výsledek. ƒ Možnost kontroly.

přikládat

samostatné

k sobě

připravené

Kontaktní adresa Lenka Vršanská ZŠ Polabany 1. Družstevní 305, Pardubice, 530 09 Telefon: +420 466 401 865 E-mail: [email protected]

316

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

GEOMETRICKÁ INTERPRETACE NEJVĚTŠÍHO SPOLEČNÉHO DĚLITELE Tomáš ZDRÁHAL Abstrakt Největší společný dělitel (NSD) dvou přirozených čísel můžeme názorně interpretovat hvězdicovými polygony. Cílem příspěvku je ukázat, že takto můžeme pojem NSD názorně přiblížit i žákům prvního stupně základní školy a navíc je seznámit s ideou Euklidova algoritmu, který se při hledání NSD používá. GEOMETRIC INTEPRETATION OF THE GREATEST COMMON DIVISOR Abstract The greatest common divisor (GCD) of two natural numbers can be interpreted graphically by star polygons. The aim of this paper is to show that the concept GCD can be illustrated also to Elementary School pupils and moreover we can show them the idea of the Euclidean algorithm that is in GCD finding used. Využití programu Cabri geometrie k ilustraci dělitelnosti a největšího společného dělitele pro žáky 2. stupně základní školy bylo popsáno např. v článku [3]. Zde bude ukázáno, že něco podobného lze použít i v případě žáků stupně 1. Cabri geometrie se stala už téměř standardní součástí softwarového vybavení českých základních škol a je také dostupná i těm nejmladším školákům. Cabri se ovládá více méně intuitivně a protože pro shora uvedený účel stačí zvládnout jenom několik geometrických konstrukcí, bylo možné dále popsané aktivity skutečně s běžnou třídou 1. stupně základní školy provádět. Stačilo k tomu pouze názorné předvedení operací • sestrojení pravidelného n-úhelníka a • sestrojení vektoru dvěma danými body. (Poznamenejme zde, že součástí Cabri Geometrie je velmi názorná nápověda, díky které předchozí dvě operace zvládne učitel, který se s tímto programem ještě nesetkal, během několika minut. Žáci jsou potom schopni na základě jeho instrukcí provést úkoly, které jim bude učitel postupně zadávat, prakticky okamžitě.) Teoretickým východiskem pro všechny následující úvahy je Euklidův algoritmus, přesněji řečeno jeho verze využívající modulo operaci. Jak je známo, počítá Euklidův algoritmus v každém kroku k podíl qk a zbytek rk ze dvou čísel rk−1 a rk−2: rk−2 = qk rk−1 + rk přičemž rk je menší než rk−1 . Algoritmus dělení přitom zajišťuje, že takový podíl a zbytek existují. Původní Euklidův algoritmus hledá podíl a zbytek postupným odečítáním. To znamená, že rk−1 je opakovaně odečítáno od rk−2 dokud je zbytek rk

317

menší než rk−1. Pro naše účely je však vhodnější postup, který používá k výpočtu podílu a zbytku celočíselné dělení a modulo operaci. Tato operace dává zbytek po vydělení dvou čísel, tj. platí rk ≡ rk−2 mod rk−1 a tento zbytek je ekvivalentní třídě kongruence v modulární aritmetice. (Tato skutečnost nám vysvětluje, proč je NSD roven právě počtu cest v hvězdicovém polynomu – viz dále.) Podívejme se nyní na hvězdicové polygony. Jsou to pravidelné n-úhelníky, které se sestrojují tak, že v daném polygonu (např. pravidelném mnohoúhelníku, který „umí Cabri Geometrie sestrojit sama“ – my zadáme pouze délku strany a počet vrcholů) se ve směru hodinových ručiček spojují jen ty vrcholy, které jsou od sebe „vzdáleny“ o daný počet vrcholů. Tak např. hvězdicový polygon 12/1 je „obyčejný“ pravidelný dvanáctiúhelník (vrcholy jsme spojili tak, že jsme postupně ve směru pohybu hodinových ručiček spojovali vrcholy sousední), hvězdicový polygon 12/2 dostaneme tak, že budeme postupně ve směru pohybu hodinových ručiček spojovat každý druhý vrchol - vše je jasné z níže zobrazených nákresů. Vrátíme-li se při kreslení nějakého hvězdicového polygonu do vrcholu, z kterého jsme začínali, až tehdy, když jsme prošli již všemi vrcholy ostatními, řekneme, že tento hvězdicový polygon má jednu cestu. (Je to v případě např. polygonu 12/1 či polygonu 12/5. V polygonu např. 12/6 však potřebujeme celkem 6 cest, abychom „prošli“ všemi vrcholy - vše je názorně vidět na dole uvedených obrázcích. Nyní můžeme provádět s žáky tyto aktivity: Nechat narýsovat v Cabri ještě další hvězdicové polygony, a sice takové, aby na základě svých obrázků mohli odpovědět na otázku: Jak se liší polygony typu n/k od polygonů n/n–k? Dále je přimějeme k tomu, aby věnovali pozornost počtu cest u jednotlivých typů našich obrázků týkajících se hvězdicových polygonů o 12 vrcholech. Bude nás zajímat, jak počet cest souvisí s typem polygonu. (Pochopitelně i zde je můžeme nechat narýsovat ještě jiné polygony o jiném počtu vrcholů a znovu se budeme ptát na souvislost typu polygonu s počtem cest.) Celý problém jim můžeme interpretovat také takto: Při hodině tělesné výchovy stojíš v kruhu; dejme tomu, že je vás celkem 12 Dostaneš míč a máš jej hodit po směru pohybu hodinových ručiček žákovi, který je sousedem Tvého souseda (tedy „přes jednoho“). Tento udělá totéž atd. Přijde míč ke všem 12 žákům?[Ne] Kolik míčů tedy potřebuješ, aby se hry zúčastnili všichni? [2]. Nakresli v Cabri obrázek celé situace! [Hvězdicový polygon 12/2]. Další aktivity ve třídě jsou zřejmé: Měníme pravidlo, podle kterého mají žáci míč v kruhu přemisťovat, ale otázky pokládáme pořád tytéž. Později budeme měnit i počty žáků v kruhu. Teprve potom můžeme položit otázku: Jaký je největší počet míčů v této hře, aby • se všichni žáci v kruhu hry zúčastnili a aby • se nemohlo u nějakého žáka „sejít“ více míčů najednou? Rozebereme s žáky výše uvedenou situaci. V případě hry (polygonu) 12/5 je tento nejvyšší počet míčů zřejmě roven 1. Opravdu, všichni žáci v kruhu jsou do hry zapojeni tehdy, mají-li k dispozici alespoň jeden míč (neboť hvězdicový polygon spojuje všechny vrcholy (žáky)) a v případě, že hrají s více než jedním míčem, nemůže mít žádný žák najednou u sebe více než jeden míč. Naproti ve hře (polygonu) 12/4 jeden míč pro všechny žáky nestačí – aby se zúčastnili hry všichni, musí mít k dispozici

318

alespoň 4 míče. Mají-li však těchto míčů více než 4, může se stát, že se u nějakého žáka „sejde“ více míčů. V tomto případě je tedy největší počet míčů roven 4. Necháme žáky takto rozebrat i ostatní typy polygonů o 12 vrcholech, popř. i další polygony o jiném počtu vrcholů. Sami přijdou na to, že ten největší počet míčů, na který se ptáme, je vlastně roven počtu cest v polygonu. A že je to vlastně největší společný dělitel čísel n/k, se ale dovědí až později. Zatím to ví pouze jejich učitel, který v této hře vidí shora uvedenou verzi Euklidova algoritmu…

319

Jak vypadají hvězdicové polygony 12/8., 12/9. 12/10 a 12/11?

Literatura 1. BENNET, A., NELSON, L.: Mathematics, an activity approach, Allyan and Bacon, Inc., Boston, London, Sydney, Toronto, 1985. 2. MILLER, C., HEEREN, V.: Mathematical ideas, Scott, Foresman, Glenview, Illinois, Oakland, London, 1982. 3. RYS, P., ZDRÁHAL, T.: Největší společný dělitel a Cabri Geometrie, Podíl matematiky na přípravě učitele primární školy, UP Olomouc (2002), 163-166. Kontaktní adresa Doc. RNDr. Tomáš Zdráhal, CSc. Univerzita Palackého v Olomouci, Pedagogická fakulta, Katedra matematiky Žižkovo nám. 5, 771 40 Olomouc Tel. 58 563 5710 E-mail: [email protected]

320

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

ZMENA, VZŤAHY, ZÁVISLOSŤ – POHĽAD NA MATEMATICKÚ GRAMOTNOSŤ ŠTUDENTOV ODBORU PREDŠKOLSKÁ A ELEMENTÁRNA PEDAGOGIKA Veronika ZEĽOVÁ, Miroslav GOMBÁR Abstrakt Jedným z hlavných cieľov projektu VEGA MŠ a SAV 1/0192/08 Analýza matematickej prípravy študentov odboru Predškolskej a elementárnej pedagogiky z pohľadu rozvoja matematickej gramotnosti je diagnostika úrovne matematickej gramotnosti študentov – budúcich učiteľov pri vstupe na vysokú školu. Prostredníctvom uvoľnených úloh štúdie OECD PISA sme skúmali úroveň vstupnej matematickej gramotnosti študentov – budúcich učiteľov elementaristov. V analýze sa zameriavame na jednu z oblastí výskumu OECD PISA – Zmena, vzťahy, závislosť. CHANGE, RELATIONSHIPS, DEPENDENCE – MATHEMATICAL LITERACY OF STUDENTS OF PRE-SCHOOL AND ELEMENTARY PEDAGOGY Abstract One of the main tasks of VEGA MS and SAV 1/0192/08 projects – Analysis of mathematical preparation of students in Pre-school and elementary pedagogy - progress of mathematical literacy view is diagnostic of mathematical literacy level of students – future teachers of primary school. We’ve examined entry mathematical literacy level of students through easy-does-it missions of OECD PISA study. In analysis we are focusing to one of OECD PISAs study scope - Change, relationships, dependence. 1. Úvod Výsledky výskumu PISA na Slovensku ukázali, že 15-roční žiaci nevedia v dostatočnej miere využiť vedomosti získané z matematiky na riešenie každodenných problémov. Ako uvádza P. Klenovčan (2009), nevyhnutnou súčasťou gramotnosti je aj matematická gramotnosť a učiteľ základnej školy by mal byť schopný rozvíjať ju u svojich žiakov. Dokáže to, ak je na túto činnosť sám dostatočne odborne pripravený. 2. Charakteristika skúmanej oblasti Podľa štúdie PISA oblasť Zmena, vzťahy, závislosť zahŕňa matematické prejavy zmeny ako aj funkčné vzťahy a závislosti medzi premennými. Z učiva školskej matematiky má úzky vzťah k algebre. Do tejto oblasti patria matematické vzťahy v podobe rovníc, nerovníc, ale aj vzťahy všeobecnejšej povahy (napr. ekvivalencia, deliteľnosť, inklúzia), reprezentované viacerými spôsobmi (symbolicky, algebraicky, tabuľkovo, geometricky). Do testovania tejto oblasti sme zaradili úlohu, v ktorej sa

321

matematický problém rieši pomocou špecifickej stratégie založenej na tom, že všeobecný problém sa pomocou špecializácie rozloží na: • konkrétne prípady, • hľadanie analógie, • vyslovenie hypotézy, • zovšeobecnenie. Učebné osnovy z matematiky (platné od 1.9.1997) uvádzajú, že žiak 9. ročníka ZŠ by mal okrem iného z danej oblasti: • vedieť určiť dve veličiny, medzi ktorými je funkčná závislosť, • vedieť objaviť súvislosti medzi veličinami, • poznať význam parametrov v rovnici lineárnej funkcie, • poznať základné vlastnosti lineárnej funkcie, • vedieť aplikovať vedomosti pri riešení úloh s danou problematikou. Do prieskumu sme vybrali takú úlohu, na ktorej úspešné vyriešenie stačia vedomosti na úrovni 9. ročníka základnej školy. 3. Charakteristika prieskumu a testovej položky V akademickom roku 2008/2009 bol na troch vybraných pedagogických fakultách realizovaný prieskum úrovne matematickej gramotnosti denných študentov 1. ročníka odboru Predškolská a elementárna pedagogika, ktorého sa zúčastnilo 255 študentov. Prieskum bol realizovaný v rámci projektu VEGA MŠ a SAV 1/0192/08 Analýza matematickej prípravy študentov odboru Predškolskej a elementárnej pedagogiky z pohľadu rozvoja matematickej gramotnosti, ktorý nadväzuje na dlhodobé skúsenosti autorov projektu v oblasti matematickej gramotnosti (P. Klenovčan – Ľ. Gerová, 2008.; M. Mokriš, (2008); M. Mokriš – I. Scholtzová, 2008) Podrobnejšie informácie o realizovanom prieskume prináša príspevok P. Klenovčana (2009), analýzu výsledkov ostatných úloh testovania príspevky autorov M. Mokriša, M. Gombára a V. Zeľovej (2009); M. Mokriša (2010). Celkovému zhodnoteniu získaných výsledkov sa venuje príspevok I. Scholtzovej (2010). S cieľom zistiť úroveň matematickej gramotnosti študentov zapojených do prieskumu v oblasti Zmena, vzťahy, závislosť bola použitá nasledujúca úloha. Jej charakteristiku prináša príspevok Ľ. Gerovej (2009). 1. OVOCNÝ SAD Farmár vysádzal jablone vždy do tvaru štvorca. Okolo nich ako ochranu proti vetru vysadil celoročne zelené stromy. Obrázok nižšie ukazuje model vysadených jabloní a celoročne zelených stromov, a to pre počet (n) riadkov jabloní: = celoročne zelený strom = jabloň

Otázka 1 Doplňte nasledovnú tabuľku: n Počet jabloní 1 1 2 4 3 4

Počet stále zelených stromov 8

7 Otázka 2 a/ Nech n je počet riadkov jabloní. Nájdite vzťah (vzorec) pre výpočet počtu jabloní a počtu celoročne zelených stromov. Počet jabloní je ................. a počet celoročne zelených stromov je ............... b/ Zistite, pre aký počet riadkov vysadených jabloní sa počet jabloní rovná počtu stále zelených stromov a zapíšte váš výpočet.

322

Otázka 3 Predpokladajme, že farmár chce zväčšovať svoj sad. Ak ho zväčší, ktoré číslo bude rásť rýchlejšie, počet jabloní alebo počet celoročne zelených stromov? Vysvetlite svoju odpoveď.

Bodové hodnotenie úlohy spolu s úspešnosťou riešenia jednotlivých elementov úlohy uvádzame v nasledujúcej tabuľke: Tabuľka 1 Bodové hodnotenie k úlohe č. 1 – Ovocný sad Bod. Číslo otázky Jav hod. 1 (1. časť tab.) 1 b. Za zápis 5 správnych údajov vpísaných do 1. časti tabuľky. 1 (2. časť tab.) 1 b. Za zápis 2 správnych údajov vpísaných do 2. časti tabuľky. 2a (1. otázka) 1 b. Za vyjadrenie „n2“ symbolicky alebo slovne. 2a (2. otázka) 1 b. Za vyjadrenie „8n“ symbolicky alebo slovne. 2b 1 b. Uvedenie správneho výsledku („8“). 3 (1. časť) 1 b. Vyslovenie záveru. 3 (2. časť) 1 b. Zdôvodnenie záveru. Spolu 7 b.

Úspešnosť riešenia 96,48% 70,31% 45,31% 33,98% 37,89% 43,75% 25,00% 50,39%

Z tabuľky môžeme vidieť, že celková úspešnosť riešenia úlohy študentmi bola 50,39%. Najmenší problém mali s riešením prvej časti, nízku úspešnosť dosiahli v tej časti úlohy, kde museli získané informácie zovšeobecniť a uvedené riešenie zdôvodniť. 4. Štatistická analýza testovej položky Rovnako ako pri analýze ostatných úloh výskumu sme chceli potvrdiť hypotézu, že nie je štatisticky významný rozdiel v dosiahnutom skóre v testovanej úlohe medzi študentmi študujúcimi na Pedagogickej fakulte v Banskej Bystrici, Prešove a Trnave. Skôr, ako sme pristúpili k verifikácii danej hypotézy, overili sme predpoklady pre posúdenie normality dát z dôvodu výberu vhodnej testovacej štatistiky. Výsledky ukázali, že ani jeden zo súborov nemal normálové rozloženie (normalitu sme overovali prostredníctvom Andersom-Darlingovho testu – vo všetkých prípadoch bola hodnota p menšia ako 0,05). Na základe tohto zistenia sme na testovanie danej hypotézy použili neparametrický Mann-Whitneyeho U-testu (vypočítaný p-level U testu pre jednotlivé mestá uvádzame v nasledujúcej tabuľke). Tabuľka 2 Vypočítaný p-level pre jednotlivé mestá

Porovnávané mestá Prešov vs. Banská Bystrica Prešov vs. Trnava Banská Bystrica vs. Trnava

p-level 0,334241 0,626607 0,969029

U-test nepotvrdil rovnocennosť nameraných stredných hodnôt v tejto úlohe medzi študentmi v jednotlivých mestách. Na základe toho môžeme konštatovať, že nie je

Graf č. 1

323

štatisticky významný rozdiel v úspešnosti riešenia úlohy z oblasti Miera, vzťahy a závislosť medzi študentmi odboru Predškolská a elementárna pedagogika v jednotlivých mestách. Záver demonštrujeme na grafe č.1. Neparametrický U-test sme tiež použili na testovanie hypotézy, že nie je štatisticky významný rozdiel medzi študentmi gymnázií (A), stredných pedagogických škôl (B), stredných priemyselných škôl (C), stredných odborných škôl (D). U-test preukázal signifikantný rozdiel medzi dosiahnutým skóre v testovacej úlohe iba medzi študentmi gymnázia a ostatných typoch škôl (A-B p=0,000022; A-C p=0,000082; A-D p=0,00423) na zvolenej hladine významnosti α = 5% . Štatisticky významný rozdiel medzi študentmi ostatných typov škôl (B,C,D) navzájom nebol preukázaný (B-C p=0,749923, B-D p=0,732801, C-D p=0,541466). Uvedené závery možno dokumentovať na grafe č. 2. Študenti gymnázia (ukončená škola A) majú v priemere vyššiu úspešnosť oproti študentom ostatných typov škôl. Na základe zistených skutočností je možné predpokladať, že výsledky testovania sú závislé práve na type ukončenej školy a nie na meste, v ktorom študenti študujú.

Graf č. 2

5. Záver Na základe zistených skutočností môžeme konštatovať, že na pedagogické fakulty v jednotlivých mestách prichádzajú študenti, ktorí sú z pohľadu matematickej gramotnosti v oblasti Miera, vzťahy a závislosť, rôzne disponovaní. Ich schopnosť aplikovať vedomosti z matematiky pri riešení úloh reálneho života a problémových úloh nie je závislá na meste, v ktorom študujú ale na type školy, ktorý majú absolvovaný. Z dôvodu rôznej diferencovanosti študentov by bolo preto vhodné na jednotlivých fakultách integrovať do profesijnej prípravy budúcich absolventov študijného programu Predškolská a elementárna pedagogika disciplínu, ktorej cieľom by bolo odstránenie rozdielov v úrovni matematickej gramotnosti v závislosti od typu absolvovanej strednej školy. Literatura 1.

2.

BÁLINT, Ľ. Učebné osnovy z matematiky pre 5. – 9. ročník ZŠ. Bratislava: Ministerstvo školstva, 1997. Dostupné na: http://www.statpedu.sk/documents//16/ pedagogicke_dokumenty/zakladna_skola/ucebne_osnovy/zs_2_stupen/UO_matema tika_5-9_ZS.pdf BEROVÁ, M. Trendy v matematike a v prírodovedných predmetoch. Bratislava: ŠPÚ, 2004. s. 35. ISBN 80-88992-72-9.

324

3.

GEROVÁ, Ľ. Úlohy pre zisťovanie úrovne matematickej gramotnosti. In Matematika z pohľadu primárneho vzdelávania. Zborník príspevkov z konferencie s medzinárodnou účasťou. 1. vyd. Banská Bystrica: Univerzita Mateja Bela, 2009. s. 50 – 57. ISBN 978-80-8083-742-6. 4. GEROVÁ, Ľ. - KLENOVČAN, P. Možnosti rozvíjania matematickej gramotnosti študentov predškolskej a elementárnej pedagogiky. In MATEMATIKA 3. Matematické vzdělávání z pohledu žáka a učitele primární školy. Sborník z konference s mezinárodní účastí. ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS. FACULTAS PAEDAGOGICA. MATHEMATICA VI. 1. vyd. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2008. s. 91 – 95. ISBN 978-80-2441963-3. 5. GOMBÁR, M. – MOKRIŠ, M. – ZEĽOVÁ, V. Analýza úrovne matematickej gramotnosti študentov Predškolskej a elementárnej pedagogiky – oblasť kvantita. In Matematika z pohľadu primárneho vzdelávania. Zborník príspevkov z konferencie s medzinárodnou účasťou. 1. vyd. Banská Bystrica: Univerzita Mateja Bela, 2009. s. 58 – 62. ISBN 978-80-8083-742-6. 6. KLENOVČAN, P. Matematická gramotnosť študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika. In Matematika z pohľadu primárneho vzdelávania. Zborník príspevkov z konferencie s medzinárodnou účasťou. 1. vyd. Banská Bystrica: Univerzita Mateja Bela, 2009. s. 97 – 101. ISBN 978-80-8083-742-6. 7. MOKRIŠ, M. Matematická gramotnosť študentov na začiatku ich profesijnej učiteľskej prípravy. In MATEMATIKA 3. Matematické vzdělávání z pohledu žáka a učitele primární školy. Sborník z konference s mezinárodní účastí. ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS. FACULTAS PAEDAGOGICA. MATHEMATICA VI. 1. vyd. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2008. s. 178 – 183. ISBN 978-80-244-1963-3. 8. MOKRIŠ, M. Priestor a tvar – pohľad na matematickú gramotnosť študentov odboru predškolská a elementárna pedagogika. In V tomto zborníku. 9. MOKRIŠ, M. – SCHOLTZOVÁ, I. Matematická gramotnosť študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika na začiatku profesijnej prípravy. In ACTA MATHEMATICA 11. Zborník zo VI. Nitrianskej matematickej konferencie. 1. vyd. Nitra: Fakulta prírodných vied UKF v Nitre, 2008. s. 159 – 164. ISBN 978-808094-396-7. 10. SCHOLTZOVÁ, I. Niektoré aspekty matematickej gramotnosti študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika. In V tomto zborníku. Kontaktní adresa PaedDr. Veronika Zeľová, PhD. Katedra matematickej edukácie Pedagogická fakulta PU v Prešove 17. novembra č. 1, 081 16 Prešov Telefon: +420 51 7470 544 E-mail: [email protected] Ing. Miroslav Gombár, PhD. Ústav digitálnych kompetencií PU Ul. 17. novembra č. 11, 080 01 Prešov E-mail: [email protected]

325

POSTERY

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

PRÁCE S TALENTY Věra OLŠÁKOVÁ, Josef MOLNÁR

Abstrakt Poster obsahuje informace o cílech a metodách práce projektu ESF OP VpK č. CZ.1.07/1.2.08/02.0017 „Vyhledávání talentů pro konkurenceschopnost a práce s nimi“.

WORK WITH TALENTS Abstract The poster contain a information about goals and word methods of the project ESF OP VpK č. CZ.1.07/1.2.08/02.0017 „Vyhledávání talentů pro konkurenceschopnost a práce s nimi“ Jak poznat talentované dítě v útlém věku? Jak pracovat s mimořádně nadaným žákem v prostředí běžné třídy základní či střední školy? Tyto a mnoho dalších otázek si položila skupina lidí ze Základní a mateřské školy Čtyřlístek, s.r.o. v Uherském Hradišti, ze Základní školy Komenského v Malenovicích, z Gymnázia Zlín - Lesní čtvrť, z Pedagogické a Přírodovědecké fakulty Univerzity Palackého v Olomouci a ze Společnosti pro talent a nadání v Praze, kteří podali prostřednictvím ZŠ Čtyřlístek společný grantový projekt ESF OP VpK s názvem „Vyhledávání talentů pro konkurenceschopnost a práce s nimi“, který byl v loňském roce přijat pod č. CZ.1.07/1.2.08/02.0017 Uvádí se, že přibižně 20 % dětí má potenciál k vynikajícím výkonům, že je lze zařadit mezi nadané. Mnoho z nich však svůj talent nerozvine a neuplatní. Je škoda, že se v současné době se skupinou nadaných dětí ve školách málo pracuje a potenciální intelekty postupně zanikají. Náš projekt má pomoci právě v této oblasti. Nadaní žáci a studenti budou na spolupracujících školách identifikováni pomocí čtyř kriterií: didaktických a diagnostických testů, výsledků v intelektových soutěžích, názorů jejich vyučujících a jejich rodičů. Takto vytipovaným žákům a studentům budou ve vzájemné spolupráci učitelů, rodičů, žáků a studentů i odborníků z oblasti práce s talenty sestaveny individuální vzdělávací plány, které budou zaměřeny nejen na rozvoj celkového intelektu, ale zejména na rozvoj nadání v oblasti, ve které žák projeví nadprůměrný intelekt. Pedagogové budou s těmito žáky pracovat zejména v běžných vyučovacích hodinách též pomocí ICT a e-learningových aplikací. Plánovanými výstupy jsou (kromě práce s cílovou skupinou 200 žáků a studentů a 50 učitelů) výukové materiály pro žáky a metodické materiály pro jejich učitele, které budou vydány jak v tištěné, tak v elektronické podobě, a to zvlášť pro MŠ, 1. stupeň ZŠ, 2. stupeň ZŠ a pro gymnázia.

328

Literatura: 1. CALÁBEK, P., ŠVRČEK, J., VANĚK, V. Péče o matematické talenty v České republice. Olomouc : UP, 2008. CAMBELL, J. R. Jak rozvíjet nadání vašich dětí. Praha : Portál, 2001. 2. HŘÍBKOVÁ, L. Nadání a nadaní. Pedagogicko–psychologické přístupy, modely, výzkumy a jejich vztah ke školské praxi. Praha : Grada, 2009. 3. JURÁŠKOVÁ, J. Základy pedagogiky nadaných. Praha : IPPP, 2006. 4. LAZNIBATOVÁ, J. Nadané dieťa. Bratislava : IRIS, 2001. MACHŮ, E. Rozpoznávání a vzdělávání rozumově nadaných dětí v běžné třídě základní školy. Brno : Masarykova Univerzita, 2006. 5. MAŇÁK, J., ŠVEC, V. Cesty pedagogického výzkumu. Brno : Paido, 2004 6. MÖNKS, F. J., YPENBURG, I. H. Nadané dítě. Praha : Grada, 2002. 7. OSTATNÍKOVÁ, D., LAZNIBATOVÁ, J., JURÁŠKOVÁ, J. Spoznajte nadané dieťa - rodičom, psychológom a pedagógom. Bratislava : ASKLEPIOS, 2003. 8. ULOVEC, A., ČERETKOVÁ, S., DOCKERTY, A., MOLNÁR, J., SPAGNOLO, F.: Motivating and Exciting Methods in Mathematics and Science: Case Studies. Olomouc : UP Olomouc and University Vienna, 2009. 9. VONDRÁKOVÁ, E. Péče o nadané děti jako znak dobré školy. 30.11.2006/ 7.3. 2010. <www.talent-nadani.cz> 10. Práce s nadanými dětmi. 7. 3. 2010. <www.zsctyrlistek.cz>

Kontaktní adresy PhDr. Věra Olšáková Základní a mateřská škola Čtyřlístek, s.r.o Tyršovo nám. 363, 686 03 Uherské Hradiště Telefon: +420 603 502 863 E-mail: [email protected] Doc. RNDr. Josef Molnár, CSc. KAG PřF UP v Olomouci tř. 17. listopadu 12 771 46 Olomouc Telefon: +420 58 563 4641 E-mail: [email protected]

329

ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2010 MATHEMATICA VII

1. ROČNÍK STUDNETSKÉ GRANTOVÉ SOUTĚŽE NA UP – PREZENTACE SCHVÁLENÝCH PROJEKTŮ NA KATEDŘE MATEMATIKY Magdalena JANKŮ, Alena ŠŤASTNÁ, Kateřina ŠUPÍKOVÁ Abstrakt Poster prezentuje tři projekty schválené na katedře matematiky a financované z prostředků na specifický vysokoškolský výzkum. 1.YEAR OF STUDENTS´ GRANT COMPETITION AT UPOL UNIVERSITY – PRESENTATION OF PROJECTS APPROVED ON THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS Abstract Poster introduces three projects approved on the department of mathematics which are financed from special resources for the university researches.

1. Úvod V souvislosti s novým způsobem financování specifického výzkumu vyhlásil rektor Univerzity Palackého v Olomouci 1. ročník studentské grantové soutěže na UP. Jejím cílem je podpora projektů realizovaných studenty doktorského nebo magisterského studijního programu a financovaných z prostředků na specifický vysokoškolský výzkum. Na katedře matematiky byly podány tři projekty studentek doktorského studijního programu Pedagogika se zaměřením na matematiku. Všechny tři projekty byly přijaty Grantovou radou a budou v roce 2010 realizovány. 2. Vlastní projekty 2.1. Projekt: Využití učebních pomůcek ve výuce matematiky. Hlavní řešitel: Magdalena Janků Projekt je zaměřen na výzkum využívání učebních pomůcek ve výuce matematiky na základních školách v olomouckém kraji (popř. ve zlínském kraji). Cílem projektu je zjistit, jaké učební pomůcky využívají ve svých hodinách učitelé matematiky na základních školách v olomouckém kraji (popř. ve zlínském kraji) a informovat je o možnostech využívání nových učebních pomůcek. V rámci projektu budou zakoupeny nové učební pomůcky vhodné k využití v hodinách matematiky na základních školách. S jejich pomocí bude vytvořena publikace se souborem úloh a námětu pro práci s vybranými učebními pomůckami. Se zpracovanými výsledky projektu budou seznámeni studenti učitelství i učitelská veřejnost, pro které bude uspořádán didaktický

330

seminář. Součástí projektu bude návštěva veletrhu didaktické techniky a prostředků Worlddidac Basel 2010 a studijní pobyt v zahraničí. Dílčí výstupy řešeného problému budou prezentovány při aktivních vystoupeních na konferencích v ČR i v zahraničí a publikovány v odborném tisku.

2.2. Projekt: Heuristické přístupy ve vyučování matematice. Hlavní řešitel: Alena Šťastná Projekt je zaměřen na inovaci výuky matematiky na 2.stupni základní školy. Cílem projektu je vytvořit modelové hodiny matematiky, ve kterých bude předvedena práce učitele a žáků v hodinách matematiky využitím heuristického přístupu a didaktických pomůcek. Z těchto modelových hodin bude vytvořena publikace, která poslouží novým i stávajícím učitelům jako pomůcka či návod pro zefektivnění a zpopularizování hodin matematiky. Tyto hodiny budou následně odučeny v rámci výzkumu disertační práce na základních školách. Součástí projektu bude návštěva kurzu Heuréka Brno, aktivní účast na konferencích v ČR i v zahraničí, návštěva veletrhu didaktické techniky a prostředků Worlddidac Basel 2010 a zahraniční stáž, kde budou sbírány materiály a podněty pro realizaci a také prezentovány dosavadní výsledky projektu.

2.3. Projekt: Výzkum úrovně matematické gramotnosti studentů učitelství matematiky na fakultách připravujících učitele. Hlavní řešitel: Kateřina Šupíková Projekt je zaměřen na zjištění úrovně matematické gramotnosti studentů učitelství matematiky na fakultách připravujících učitele v Moravském regionu - na pedagogických fakultách UP v Olomouci, MU v Brně, příp. OU v Ostravě na počátku vysokoškolského studia, při jejich vstupu na vysokou školu. Ve stávající situaci, kdy ke studiu nastupují absolventi středních škol různého typu a zaměření (gymnázia čtyřletá a víceletá, střední odborné školy aj.), s různou, v řadě případů nízkou úrovní předchozí matematické průpravy, obvykle bez přijímací zkoušky z matematiky, kdy nelze využít srovnatelné úrovně matematických kompetencí státní maturitní zkouškou, považujeme za potřebné s vyšší mírou objektivity zjistit vstupní úroveň oborově předmětových, tj. matematických kompetencí těchto studentů. Převažujících důvodů pro studium učitelství matematiky na vysoké škole je ve stávajících podmínkách několik – někteří studenti jsou motivováni vidinou přijetí do studia bez přijímacího řízení a dalšími podmínkami motivačních programů včetně stipendia, někteří vidí v učitelské profesi svůj způsob seberealizace a určité procento tvoří ti, kteří pouze zkoušejí štěstí. 3. Závěr Výstupy z projektů budou součástí empirické části disertačních prací studentek doktorského studijního programu Pedagogika se zaměřením na matematiku.

331

Kontaktní adresa Mgr. Magdalena Janků KMT PdF UP v Olomouci Žižkovo náměstí 5, 771 40 Olomouc Telefon: +420 585 635 705 E-mail: [email protected] Mgr. Alena Šťastná KMT PdF UP v Olomouci Žižkovo náměstí 5, 771 40 Olomouc Telefon: +420 585 635 705 E-mail: [email protected] Mgr. Kateřina Šupíková KMT PdF UP v Olomouci Žižkovo náměstí 5, 771 40 Olomouc Telefon: +420 585 635 705 E-mail: [email protected]

332

RECENZE

Na recenzích příspěvků se podíleli: Doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. RNDr. Růžena Blažková, CSc. Doc. RNDr. Jaroslava Brincková, CSc. Doc. RNDr. Pavel Klenovčan, CSc. Doc. RNDr. Josef Molnár, CSc. Doc. PhDr. Bohumil Novák, CSc. Doc. PaedDr. Jaroslav Perný, Ph.D. doc. RNDr. Jana Příhonská, Ph.D. Dr. Jolanta Seidel Doc. RNDr. Iveta Scholtzová, Ph.D. PaedDr. Anna Stopenová, Ph.D. Dr. hab. Graźyna Rygał Doc. PhDr. Oliver Židek, CSc.

333

Sponzoři

GlaxoSmithKline Slovakia s.r.o. Galvaniho 7/A 82104 Bratislava, Slovakia http://www.gsk.sk

BARZZUZ s.r.o. Rudohorská 30, prevádzka Skuteckého 19 97411 Banská Bystrica, Slovakia http://www.barzzuz.sk

VKÚ, akciová spoločnosť 976 03 Harmanec 13, Slovakia http://www.vku.sk