Mag- és neutronfizika
2. elıadás
Emlékeztetı: 1) Az atommagok protonokból és neutronokból állnak. Jelölés: A Pl. 197
ZX
4) Félempirikus kötési energia (Weizs äcker(Weizsä cker-féle) féle) formula „Energiavölgy” 2
B = bV A − bF ⋅ A 3 − bC ⋅
Z2 A
Au
79 vegyjel Ahol Z a protonok száma, A=Z+N nukleonszám (tömegszám), N a neutronok száma.
1
3
− bA ⋅
(N − Z )2 + b ⋅ δ ⋅ A− 3 4 P A
ε = E/A = –B/A (egyetlen nukleon átlagos energiá energiája) Az A = konstans metszetek parabolá parabolák!
2) Atommagok mérete
R = r0⋅A1/3 3) Energia és kötési energia Energiaskála nullpontja!
1/20
2/20
Radioaktív bomlások: Megmaradó mennyiségek • energia (E (E = mc2 figyelembe vételével) • nukleonszám (A (A) nukleonszámnukleonszám-megmaradás • elektromos töltés A 4 A− 4 (A = 4+A4+A-4) 1) α – bomlás: Z X → 2 He + Z − 2Y töltés-megmaradás X neve: anyamag, Y neve: leánymag töltés(Z = 2 +Z– +Z–2) 2) bétabéta-bomlások A A − ~ a) Negatív bétabéta-bomlás: Z X → Z +1Y + e + υ
• α – részecskék: 2 He atommagok • β – részecskék: nagy energiájú elektronok • γ - sugárzás: elektromágneses (fotonok) Atommagok átalakulnak egymásba megmaradó mennyiségek • energia (E (E = mc2 figyelembe vételével) • nukleonszám (A (A) • elektromos töltés (atommag: (atommag:+Ze, +Ze, elektron: -e ) Energiamegmaradás 2 2 2 a b + c + … M a ⋅ c = M b ⋅ c + M c ⋅ c + ... + Q 4
(e
−
= −10 e )
b) Pozitív bétabéta-bomlás:
A bomlás energiaenergia-feltétele: Q > 0, azaz Ma > Mb + Mc + …
Q a bomláskor „felszabaduló” energia (a keletkezett részecskék
elektron antineutrínó
A Z
X → Y + e+ + υ A Z −1
pozitron neutrínó c) Elektron befogás : (K(K-befogás)
A Z
X + e − → Z −A1Y + υ
mozgási energiájának formájában jelenik meg) 3/20
4/20
1
Radioaktivitás: vándorlás az energiavölgyön
Z
α-bomlás Z Z–2 N N–2
γ−bomlás
5/20
Exponenciális bomlástörvény felezési idı, aktivitás (1) Egy radioaktív anyagban lévı aktív atommagok N száma csökken, hiszen elbomlanak: N(t) csökkenı függvény. Legyen (λ⋅∆t ) annak a valószínősége, hogy egyetlen atommag ∆t idı alatt elbomlik ! Ekkor N atommagból N ⋅λ ⋅ ∆t bomlik el ∆t idı alatt. Az atommagok számának megváltozása (csökkenése) tehát:
∆N = − N⋅λ⋅∆t. Ebbıl kapjuk:
dN = −λ ⋅ N (t ) dt
Z+1),
Ez az oka annak is, hogy csak 4 db. stabil páratlanpáratlan-páratlan atommag van: 2H,6Li,10B,14N. (Az elsı négy páratlan számnak megfelelıen)
pozitív β-bomlás, bomlás, ill. elektronbefogás negatív β-bomlás
N
Érdekesség: a 40K, 92Nb stb. atommagok negatív β-bomlással (Z de elektronbefogással is (Z Z– Z–1) bomlanak! Hogy lehet ez? Az ok: a párenergia A = konst. konst. metszet parabola, de páros A kétféleképpen is lehet: (A = Z + N) páros Z + páros N (mélyebb) ptlan Z + ptlan N (magasabb)
6/20
Exponenciális bomlástörvény, felezési idı, aktivitás (2) Felezési idı: Az a T idı, amely alatt a kezdeti atommagszám a felére csökken. azaz N
N (T ) = N 0 ⋅ e −λT =
A második egyenletbıl kapjuk: λT
e
∆N = −λ ⋅ N (t ) ∆t
∆t
Ennek megoldása:
0 határátmenetben:
N (t ) = N 0 ⋅ e − λt
0
2
=2
Mindkét oldal logaritmusát véve:
T=
ln 2
λ
Aktivitás: Idıegység alatt bekövetkezett bomlások száma:
Ez az exponenciális bomlástörvény λ neve: bomlásállandó fizikai jelentése: idıegységre esı bomlási valószínőség 7/20
A=−
dN dt
Felhasználva a korábbi egyenletet kapjuk: A(t) = λ⋅ N(t)
8/20
2
A Poisson-eloszlás
A radioaktív bomlás statisztikus folyamat! (idıegységre esı bomlási valószínőséggel λ írjuk le) • Egy adott atomra vonatkozólag nem lehet megmondani, hogy pontosan mikor bomlik el.
P(k , at ) =
• Az exponenciális bomlástörvény csak nagyszámú részecske esetén használható.
P(k , at ) =
(at ) k!
k!
e −at
k várható értéke: k szórása:
< k >= a ⋅ t σ k = a ⋅t
Ha N = a ⋅ t a várható beütésszám, akkor ennek a szórása:
Annak a valószínőségét, hogy egy a aktivitású forrásban t idı alatt pontosan k db bomlás történjen a PoissonPoisson-eloszlás adja meg ( t << T, azaz a forrás aktivitásának csökkenését elhanyagoljuk): k
(at )k
σN = N
e −at 9/20
10/20
Bomlási sorok: Nagy tömegszámú atommagok bomlása során újabb radioaktív atommagok jönnek létre. Ezek tovább bomlanak, amíg végül stabil atommagot nem kapunk. A bomlások közül egyedül az α-bomlás változtatja meg a tömegszámot: néggyel csökkenti. Következmény: a bomlási sor minden elemének tömegszáma néggyel osztva ugyanannyi maradékot ad! Emiatt négy különbözı bomlási Z sort különböztetünk meg:
A = 4k, A = 4k+1, A = 4k+2, A = 4k+3 Az α-bomlásokat β-bomlások (és ezeket γ-bomlások) követik, hogy a sor követni tudja az energiavölgy hajlását. 11/20
N
12/20
3
Radioaktív egyensúly Tekintsünk egy mindössze 3 tagból álló radioaktív „családot”: 1 2 3, legyenek a bomlási állandók: λ1 és λ2. Az egyes atommagok száma N1(t), N2(t), N3(t). Az atommagok számának változását leíró egyenletek:
dN1 = −λ1 ⋅ N1 (t ) (csak bomlik) dt dN 2 = −λ2 ⋅ N 2 (t ) + λ1 ⋅ N1 (t ) (bomlik és keletkezik az elızıbıl) dt dN 3 = + λ2 ⋅ N 2 (csak keletkezik a megelızıbıl) dt Az elsı egyenlet megoldása már ismert: N1 (t ) = N10 ⋅ e −λ1⋅t
A további egyenletek megoldásához kezdeti feltételt adunk: N20= 0 és N30= 0, azaz kezdetben nincs semmi a „2” és a „3” anyagból. N (t) 2
A megoldás (levezetés a gyakorlaton):
N 2 (t ) = N1 (0) (ha λ1
≠ λ2 ).
λ1 − λ1t − λ2t −e e λ2 − λ1
A „2” izotóp aktivitása:
a2 (t ) = λ2 ⋅ N 2 (t ) = a1 (0)
λ2 − λ1t − λ2t −e e λ2 − λ1
Ezt egy kicsit átírhatjuk, felhasználva, hogy a1 (t ) = a1 (0) ⋅ e −λ1t
a2 (t ) = a1 (t )
1 − e − (λ2 − λ1 )t λ2 − λ1
λ2
13/20
a2 (t ) = a1 (t )
1 − e − (λ2 − λ1 )t λ2 − λ1
λ2
Speciális esetek: esetek: 1) Ha λ2 >λ1, akkor elegendıen hosszú idı után az exponenciális elhanyagolhatóan kicsiny lesz a2 (t ) ≈ a1 (t )
λ2
λ2 − λ1
a2 (t ) λ2 = = konst. , azaz idıtıl független! a1 (t ) λ2 − λ1
, amibıl
Másképpen: a1(t) = a2(t)
Hasonlóan belátható, hogy egy sok elemő bomlási sorban is elegendıen hosszú idı után a1(t) = a2(t) = a3(t) = …. , ha λ1 sokkal kisebb, mint a többi bomlásállandó. Ezt nevezzük szekuláris egyensúlynak.
Szekuláris egyensúlyban tehát a1(t) = a2(t) = a3(t) = … Ebbıl a(t ) = λ ⋅ N (t ) =
N (t ) ln 2 felhasználásával felhasználásával azonnal adódik: T
N1 (t ) N 2 (t ) N 3 (t ) = = = ... T1 T2 T3
Ezt másképpen felírva kapjuk: kapjuk
Ezt nevezzük átmeneti egyensúlynak. 2) Ha λ2 >> λ1, akkor teljesül az átmeneti egyensúly feltétele, de a nevezıben λ1-et elhanyagolhatjuk λ2 mellett, és kapjuk:
a2 (t ) λ2 = =1 a1 (t ) λ2
14/20
N1(t) : N2(t) : N3(t) … = T1 : T2 : T3 : … Szavakban: szekuláris egyensúlyban lévı bomlási sorban az egyes tagok anyagmennyiségeinek aránya a felezési idık arányával egyezik meg. Ez lehetıséget ad hosszú felezési idık meghatározására (pl. 238U felezési ideje 4,5 milliárd év.)
15/20
16/20
4
Radioaktív kormeghatározás: kormeghatározás: Radioaktí adioaktív izotó izotóp bomlá bomlási tulajdonsá tulajdonságait felhaszná felhasználva következtetü vetkeztetünk a minta életkorá letkorára. Ismerni kell a „kezdeti" arányt! Kormeghatározásra használt leggyakoribb izotópok: Izotóp (trícium)
12,262 év
Gyakoriság (stabilhoz képest) 1 · 10-18
(radiokarbon)
5568 év
2 · 10-12
3H 14C
40K 87Rb
Felezési idı
109
év
1010
év
1,3 · 5·
109
1,19 ·
Olyan kort (idıt) lehet legpontosabban meghatározni, amely az illetı izotóp felezési idejének nagyságrendjébe esik. Geológiai kormeghatározások (10 millió év – néhány milliárd év) • viszonylagos • abszolút Viszonylagos kormeghatározások (nem nukleáris módszerek) • paleontológiai (kövült ısmaradványok üledékes kızetekben) • földtani szelvényben történt elhelyezkedés alapján Abszolút kormeghatározások (nukleáris módszerek) • Rubídium-stroncium (Rb-Sr) módszer • Ólom-hélium módszer (Th, vagy uránsor alapján) • Kálium-argon módszer (K-Ar)
10-4
0,278
238U
4,51 ·
év
0,992739
235U
7,04 · 108 év
0.007204
232Th
1,39 · 1010 év
1.0
β - 50 Mrd év
87Sr RubídiumRubídium-stroncium módszer: 87Rb 87 Sr arányból lehet a kızet életkorára következtetni 87 Rb 17/20
ÓlomÓlom-hélium módszer: módszer: a radioaktív bomlási sorok alapján. • 238U –ból lesz végül 206Pb. Közben 8 db α-bomlás következik be. • 232ThTh-ból 208Pb lesz. Közben 6 db α-bomlás következik be 235 • U-ból 207Pb lesz. Közben 7 db α-bomlás következik be Ezek miatt a kızetben hélium halmozódik fel. Nehézségek: Nehézségek: • nehezen lehet szétválasztani az ólomizotópokat egymástól • általában mindhárom sor együttesen van jelen • a sorok mindenütt áthaladnak a Rn (radon) valamely izotópján ez nemesgáz, könnyen megszökhet, a sor „megszakad”. Káliumlium-argon mó módszer (T = 1,3 Mrd év) 40K 40 Ca (88%) 40K 40 Ar (12%) 40 40 Ca Ar Mérni kell a 40 , és 40 ará arányokat. K K Nehé Nehézsé zségek: gek: •40Ca igen gyakori, nemcsak a 40K bomlá bomlásából keletkezik •40Ar nemesgá nemesgáz, ezé ezért elszö elszökhet. 19/20
18/20
Radiokarbon mó módszer: dszer: ( T = 5568 év) A 14C a kozmikus sugá sugárzá rzás hatá hatására folyamatosan keletkezik. Egyensú Egyensúlyi koncentrá koncentráció ciója (CO2) a levegı levegıben 14C/12C = 1,2· 1,2·10-12 Ez épül be a nö növényekbe és állatokba is az anyagcsere folyamá folyamán. Amikor az élılény elpusztul, az anyagcsere megsző megszőnik, a 14C t utá utánpó npótlá tlása leá leáll, csak bomlik. 14 T N C 1 − 12 Itt t a halá halál óta eltelt idı idı, = 1,2 ⋅10 N 12C 2 T a felezé felezési idı idı. Trí Tríciumos mó módszer: dszer: ( T = 12,26 év) A 3H a kozmikus sugá sugárzá rzás hatá hatására folyamatosan keletkezik. Egyensú Egyensúlyi koncentrá koncentráció ciója (H2O) a levegı levegıben 3H/1H = 1· 1·10-18 A felszí felszíni vizekben ez a koncentrá koncentráció ció megı megırzı rzıdik. A felszí felszín alatti vizek korá korát a trí tríciumcium-koncentrá koncentráció ció alapjá alapján t meg lehet hatá határozni. 3 T N H 1 − 18 (Elpusztult élılények korá korát = 1⋅10 N 1H nem lehet meghatá 2 meghatározni vele mert a HH-csere folytató folytatódik a kö környezettel a halá halál utá után is)
( ) ( )
( ) ( )
20/20
5
