MŰSZAKI ISKOLA ADA, 2016.január
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015/2016-ös iskolaév, júniusi vizsgaidőszak
A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL Munkaterület: GÉPÉSZET, ELEKTROTECHNIKA, ÉPITÉSZET Tantárgy: MATEMATIKA
1. 2.
3. 4. 5. 6.
A malomban 4 kő 10 nap alatt 2000 kg búzát őröl meg. Hány napra van szükség 900 kg búza megőrléséhez, ha csak 3 kő működik? Az iskola három tanulója a matematikaversenyen kiemelkedő eredményt ért el: János ötödik lett 85 ponttal, Mária hatodik 81 ponttal, Péter pedig hetedik 77 ponttal. Az iskola vezetősége elhatározta, hogy e tanulók között 6640 dinárt oszt szét egyenes arányban az elért pontszámokkal és fordított arányban a helyezésekkel. Melyik tanuló mekkora összeget kapott? A fazék vízzel töltve 2 kg tömegű. Ha a víz 20%-át kiöntjük, az össztömeg 88%-ra csökken. Mekkora a fazék és az eredeti mennyiségű víz tömege külön-külön? Adott az ABCD tetszőleges négyszög. Legyenek az AB, CD és EF szakaszok felezőpontjai rendre az E,F és G pontok. Bizonyítsd be, hogy AG + BG + CG + DG = 0 ! Az ABC egyenlő szárú háromszög alapjának a hc = 80, szárának pedig a ha = 96 magasság felel meg. Számítsd ki a háromszög oldalainak hosszát! A háromszög oldalai 13, 14 és 15 egység hosszúak. Számítsd ki a 14 hosszú oldalhoz tartozó magasság hosszát!
(
)(
)
7.
Végezd el a jelölt műveletet: x 5 − 3 x 3 + 5 x − 3 : x 2 − x + 1 = ?
8.
Bontsd tényezőkre a polinomot: 8 x 2 y + 2bx − 8 xy 2 − 2by !
9.
Egyszerűsítsd az algebrai törtet: .
x 2 + y 2 − z 2 + 2 xy x 2 + z 2 − y 2 + 2 xz
x 2 + 4 xy + 4 y 2 x 2 − 2 xy ⋅ 2 = xy + 2 y 2 x − 4y2
10.
Egyszerűsítsd a kifejezést:
11.
1 1 x + − (a + b + x ) a b ab Egyszerűsítsd a kifejezést: = 1 1 2 x2 + + − a 2 b 2 ab a 2 b 2
12.
2b 4b a + 3b 3a + b Egyszerűsítsd a kiejezést: + ⋅ 3 + ⋅ 1 − = a −b a +b a − 3b 3a − b
13.
2a 4a a x Egyszerűsítsd a kifejezést: 2 + 2 + = : 2 x − 4 x + 4 x − 4 x + 2 ( x − 2)
14.
Egyszerűsítsd a kifejezést:
x +1 3x 1 : + 3 x − x +1 x +1 x +1 2
1
15. 16. 17. 18.
19. 20.
21. 22.
x2 2x + 3 x − − =0 2 x −4 x+2 2− x 2x + 3 1− x 3 Oldd meg a következő egyenletet: − 2 = 2 2x − 7x − 4 2x + x 2x − 8 Oldd meg x-re nézve a következő egyenletet: m (mx − 1) = 2 (2 x − 1) Oldd meg a következő egyenletet
Egy medencét két csapon át lehet megtölteni. Ha mindkét csap nyitva van, a medence 8 óra alatt telik meg. Egy alkalommal a két csap két órán át volt egyszerre nyitva, majd az elsőt elzárták, így a második csap 48 óra alatt töltötte meg a medencét. Mennyi idő alatt tölthető meg a medence egyedül az egyik és a másik csapon át? 14 5 2 3 31 Oldd meg az egyenletrendszert: + = 3, + = x + 2 y 2x + y x + 2 y 2 x + y 35 Oldd meg az egyenletrendszert: 2x+3y+4z=-1 -3x+y+3z=-8 x-2y-2z=9. 1− x Oldd meg az egyenlőtlenséget: >1 2x + 3 Hozd egyszerűbb alakra:
8
x y −5 3 x 4 y − 2 x5 y3 ⋅ : z z −3 z9 −1
23.
24.
−1
1 1 Igazold az egyenlőséget: + 1 + + 1 = 1 2+ 3 2− 3 2+i Adott a z = komplex szám. Határozd meg a valós és imaginárius részét és a modulusát. (3 − i )2
25.
Adott a z1 = 4 − i komplex szám. Határozd meg a z = x + yi komplex számot úgy , hogy
26.
z 7 legyen. Re{z ⋅ z1 } = 6 , Im = − 17 z1 6 2 x+4 Oldd meg az egyenletet: 2 − = 2− x +1 x −1 x −1 A m paraméter mely értékére lesz az adott egyenletnek két különböző valós gyöke: (m − 2)x 2 − (m + 1)x + m + 1 = 0
27. 28.
Határozd meg az a paraméter értékét úgy, hogy az (a + 3)x 2 − 3ax + 2a = 0 egyenlet gyökeire érvényes legyen: 2 x1 − x 2 = 3.
29.
A 2 x 2 − 3 x + 5 = 0 egyenlet x1 és x2 gyökeinek meghatározása nélkül határozd meg azt az Ay 2 + By + C = 0 egyenletet, amelynek y1 és y2 gyökei következőképpen függnek x1 és x2 –től: 1 1 y1 = x12 + x 22 , y 2 = + x1 x 2
30.
Keresd meg az egyenlet valós megoldásait:
31.
Határozd meg az egyenlet összes (valós és komplex) megoldásait: x 3 + 64 = 0 .
32.
Határozd meg az egyenlet valós megoldásait:
4
( x − 5)
− ( x − 5) = 3 . 2
2
2 x 2 − x − 5 = 1 − x. 2
33.
Határozd meg az egyenlet valós megoldásait: x − 4 + x + 4 − 2 x − 1 = 0 .
34.
Egyszerűsítsd a törtet:
35.
− x 2 − 4 x + 21 =? 3 x 2 + 20 x − 7 Hozd kanonikus alakra a másodfokú függvényt, majd vizsgáld ki tulajdonságait: y = − 2 x 2 + 3 x + 5.
(
)
36.
Oldd meg az egyenlőtlenséget: (x − 2 ) − 2 x 2 − 7 > 3 − 6 x.
37.
Oldd meg az egyenletrendszert: x 2 + y 2 − 13x − y + 30 = 0 ; x 2 + y 2 − 6 x − 2 y − 15 = 0
38.
Vizsgáld ki az exponenciális függvény tulajdonságait: y = 2 x −3 − 4.
39.
Oldd meg az exponenciális egyenletet: 5 x − 5 3− x = 20
40.
Oldd meg az exponenciális egxyenletet: 2 ⋅ 7 x + 5 ⋅ 3 x = 3 x + 6 ⋅ 7 x
41.
Oldd meg az egyenlőtlenséget: 125 x > 0,0016.
42.
Vizsgáld ki a logaritmusfüggvény tulajdonságait: y = −2 + 2 ⋅ log 2 x
43.
Logaritmáld a kifejezést: x =
44.
Oldd meg az egyenletet: log 2 5 ⋅ 2 x − 3 = 2 x + 1
2
a ⋅ 3 b2 a3 ⋅ 5 c
(
)
45.
Oldd meg az egyenletet: log(3 − x ) + log(6 − x ) = 1
46.
Oldd meg az egyenletet: log 3 x ⋅ log 9 x ⋅ log 27 x ⋅ log 81 x =
47.
Oldd meg az egyenletet: log 3 ( x + 1) + log 9 x 2 = log 1 3
48.
Oldd meg az egyenletet: log 52 x − 2 log 5 x − 3 = 0
49.
Oldd meg az egyenletet: log 2 1 +
50. 51. 52.
1 = x −1 4
−
1 2
2 3
1 2
+ log 2 1 − 1 Határozd meg a többi szögfüggvény értékékét, ha sin α = − , 3 1 π Határozd meg a többi szögfüggvény értékékét, ha: tgα = , 2 2 2 sin α ⋅ cos β − sin (α − β ) Igazold, hogy: = tg (α + β ) cos(α − β ) − 2 sin α ⋅ sin β 1
. x + 2 3π < α < 2π 2 3π <α < 2 2
53.
Igazold, hogy:
ctgα − tgα = cos 2α ctgα + tgα
54.
Igazold, hogy:
sin α + sin 3α = 2 sin α 1 + cos 2α
55.
Igazold, hogy: (cos α − cos β ) + (sin α − sin β ) = 2 − 2 cos(α − β ) 2
2
57.
π Vizsgáld ki az y = 3 ⋅ sin x + függvény tulajdonságait, és ábrázold a grafikonját. 6 Alakítsd szorzattá a kifejezést: sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x
58.
Oldd meg az egyenletet: 2 sin 2 x + sin 2 x = 0
56.
3
62.
Oldd meg az egyenletet: 4 cos 2 x + sin 2 2 x = 3 Oldd meg az egyenletet: cos x − cos 2 x = 1 Határozd meg a háromszög oldalait és szögeit, ha ismert a háromszög köré írható kör sugara R=3, az egyik oldala c = 5 és az egyik szöge α = 42 o 40′. Számítsd ki az a=4, b=5, c=6 oldalú háromszög b oldalához tartozó súlyvonalának hosszát.
63.
Határozd meg a komplex gyököket:
64.
Számítsd ki az m = 2 p − 3q; n = p + 2q vektorok skaláris szorzatát, ha p = 3, q = 4, p ⊥ q.
65.
Számítsd ki a vektorok közötti szöget: a = (− 2,2,1); b = (− 6,3,6 ).
66.
Határozd meg az adott vektorok vektoriális szorzatának intenzitását: m = 2 p − 3q; n = p + 2q , ha
59. 60. 61.
3
− 2 + 2i
p = 3, q = 4, p ⊥ q. 67.
Számítsd ki az adott vektorokra szerkeszthető paralelogramma területét: p = (1,−3,5); q = (− 3,8,2 ).
68.
Számítsd ki az ABCD tetraéder térfogatát, ha A(2,3,1), B(4,1,-2), C(6,3,7), D(-5,-4,8).
69.
Határozd meg azt az M(x,y) pontot, amely egyenlő távolságra van az A(0,1), B(3,-1) és C(2,-3) pontoktól.
70.
A P ( 2, 2) pont az AB szakaszt 2:3 arányban osztja. Határozd meg a szakasz B végpontját, ha A( −6,4).
71. 72. 73. 74.
Az ABC háromszög csúcsai A(3,−2 ); B (1,6 ). Határozd meg az Oy tengelyen fekvő C csúcsát, ha a háromszög területe 5 területegység. Számítsd ki a háromszög csúcsainak koordinátáit, ha az oldalak egyenletei: AB: x − 3 y − 1 = 0 BC: x + 2 y − 5 = 0 CA: 2x + y + 4 = 0 Az m és n paraméterek mely értékeire metsz le az adott egyenes az Ox tengelyről 3, az Oy tengelyről -2 hosszúságú metszeteket: (m − 3n − 2 )x + (2m + 4n − 1)y − 3m + n − 2 = 0 .
Írd fel azoknak az egyeneseknek az egyenletét, amelyek áthaladnak az M (2,−4 ) ponton és az y = 3x + 2 egyenessel α = 60° -os szöget zárnak be.
75. 76. 77. 78. 79. 80.
Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely merőleges a 2 x + 3 y = 7 egyenesre és tartalmazza az P (− 6,4 ) pontot.
Írd fel az A(2,−1); B(4,5); C(− 2,3) csúcspontú háromszög C csúcsából húzott magasságát tartalmazó egyenes egyenletét!
Írd fel az A(2,−1); B(4,5); C(− 2,3) csúcspontú háromszög C csúcsából húzott súlyvonalát tartalmazó egyenes egyenletét! Írd fel az x-3y+5=0 és 6x-2y-3=0 egyenesek közti szögek szimmetriatengelyeinek egyenletét! Számítsd ki az A(2,−1); B(4,5); C(− 2,3) csúcspontú háromszög C csúcsából húzott magasság hosszát!
(
)
Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely érinti az Ox tengelyt, áthalad az A 5, 5 ponton, K középpontja pedig az Oy tengelyen fekszik.
81.
Írd fel annak a 10 sugarú körnek az egyenletét, amely tartalmazza az M ( 4, 3) pontot és érinti az x − 3y − 15 = 0 egyenletű egyenest.
82.
Mekkora szög alatt látszik az x 2 + 2 y 2 − 6 = 0 ellipszis a P(1,4 ) pontból? 4
83.
Határozd meg az m paraméter értékét úgy, hogy az mx − 2 y = 9 egyenes érintse a 4 x 2 − y 2 = 36 egyenletű hiperbolát!
84.
Írd fel az y 2 = 8 x egyenletű parabola M(-2,3) ponton áthaladó érintőjének egyenletét!
85.
Határozd meg a 3 x 2 − y 2 = 12 és
86.
Teljes indukcióval igazold: 2 3 + 4 3 + 6 3 + … + (2n ) = 2n 2 (n + 1)
87.
Bizonyítsd be, hogy ∀n ∈ N számra érvényes: 133 11n+ 2 + 12 2 n +1
88.
Számítsd ki a sorozat határértékét: a n =
89. 90. 91. 92. 93. 94.
y 2 = 16 x görbék közös érintőit! 3
3n 3 + 5n 2 − 1 4n 3 − 3n + 2 Határozd meg a számtani sorozatot, ha az első 4 tagjának összege 14 és 2a3 + a5 = 0 ! A mértani sorozat első tagja 2, az n-edik pedig 1458. Az első n tag összege Sn=2186. Határozd meg az n és a q értékét! A számtani sorozat első három tagjának összege 36. Ha a második tagját 2-vel, a harmadik 11-gyel növeljük mértani sorozatot kapunk. Határozd meg a számtani sorozatot. 2 2 2 Számítsd ki a végtelen sor összegét: 2 + + + … + n −1 + … 5 25 5 3 Az egyenes, szabályos csonkagúla térfogata 74 cm , magassága 6 cm. Mekkora területűek az alaplapjai, ha azok különbsége 7 cm2? Egy 8 cm alapú, 12 cm szárú egyenlőszárú háromszög a szára körül forog. Határozd meg az így keletkezett forgástest térfogatát!
95.
Határozd meg a függvény értelmezési tartományát: y =
96.
Vizsgáld ki a függvény előjelét: y =
97.
(x
)(
(
)
(
)
Számítsd ki: lim 2 x 2 + x + 1 − 2 x 2 − 3 x + 4 = ?
99.
Számítsd ki: lim
x →∞
e2x −1 =? x → 0 sin 3 x cos 5 x − cos 3 x Számítsd ki: lim =? x →0 x2
101.
x + 3 Számítsd ki: lim x →∞ x + 1
102.
Határozd meg a függvény aszimptotáit: y =
103.
Keresd meg a függvény deriváltját: y = 3 x 2 − 4 x + 2 x
104.
Keresd meg a függvény deriváltját: y = arctg
105.
4x
=?
5x − 2 x 2 x −3
1+ x 1− x x Vizsgáld ki a függvény szélsőértékeit: y = 2 x − 3x + 2 5
)
log x 2 + 5 x − 6 . x−2
+ 4 x 2 + 6x + 9 . x2 − 9 sin x + tgx Vizsgáld ki a függvény párosságát: f ( x ) = . 1+ x2 + 1− x2 2
98.
100.
2
x 1+ x2
106.
Vizsgáld ki a függvény konvexitását: y =
107.
Vizsgáld ki a függvényt: y =
108.
2 1 Végezd el az integrálást: ∫ 3 x 3 + 4 x + 2 − dx = x x
109.
Végezd el az integrálást:
110.
x+2 2x + 1
∫ x ⋅ sin (2 x Végezd el az integrálást: ∫ x ⋅ e dx = 2
3
)
− 3 dx =
2x
1
111.
Számítsd ki: ∫ ln ( x + 1)dx = 0
112.
Számítsd ki az y = x 2 + 4 x és az y=x+4 görbék által határolt síkidom területét.
113.
Számítsd ki az y =
114.
test térfogatát! Hány négyjegyű szám írható fel a 0,1,2,3,4,5,6,7 számjegyekből, ha ugyanaz a számjegy minden számban csak egyszer fordulhat elő?
115.
Oldd meg az egyenletet: V32 n + 4 : V4n + 4 = 2 : 3
116.
Négy férfi és négy nő hányféleképpen helyezkedhet el egymás mellett a moziban, ha két egynembeli nem ülhet egymás mellé? Lexikográfiai sorrendben melyik lesz az A={a, b, c, d, e} halmaz 58. permutációja? Egy osztályban 10 lány és 14 fiú van. Az osztályvezetőségbe 4 tanulót kell választani akik közül legalább az egyik lány. Hányféleképpen lehet ezt megtenni?
117. 118.
1 , y=x és az x=3 görbék közötti síkidom x tengely körüli forgatásával kapott x
15
119.
1 Az x + 2 binom hatványának kifejtett alakjában melyik tag nem tartalmazza az x változót? x n
120.
1 Az a a + hatvány második és harmadik tag binomiális együtthatójának összege 78. a Határozd meg a hatvány 5. tagját!
6
