A tórusz körmetszeteiről Egy korábbi dolgozatunkban – melynek címe: A Cassini - görbékről – már foglalkoztunk a tórusz / gyűrűfelület metszeteivel, nevezetesen a forgástengelyével párhuzamos szeletelő síkokkal előálló metszetekkel. Akkor nem mentünk tovább, de most elérkezett ennek is az ideje. A szakirodalomban böngészve az látható, hogy régebben főleg csak az ábrázoló geo metriai tankönyvek foglalkoztak e témakörrel. Manapság, a számítógépi grafika és a számítógépes technológiák széles körű elterjedésével már az interneten is sok helyen találhatunk érdekes és szép látni - és olvasnivalókat. Most főleg ez utóbbiak segítsé gével dolgozzuk fel a címbeli témát, persze nem a teljesség igényével.
Villarceau-Kreise: • Jeder Schnitt eines Ringtorus mit einer Doppeltangentialebene zerfällt in zwei kongruente Kreise, welche von Y. Villarceau (1848) entdeckt wurden. Ein Ringtorus enthält mithin neben den Parallel und Meridiankreisen noch unendlich viele weitere Kreise.
1. ábra – [ 1 ] Az [ 1 ] anyagban – 1. ábra – azt olvashatjuk, hogy a tórusz mindazon metszetei, melyek a felületet két pontban érintő metszősík alkamazásával állnak elő, két egybevágó körre esnek szét, melyeket Y. Villarceau fedezett fel, illetve publikált először 1848 - ban. Azt is olvashatjuk még, hogy a tórusz a parallel - és a meridián körökön kívül még végtelen sok további kört is tartalmaz.
2
2. ábra – [ 2 ] A 2. ábra bal oldali részén azt szemlélhetjük, hogy a tórusz egy kiválasztott pontján, az előbbieknek megfelelően, négy kör halad át: ~ egy paralelkör, amelyet a tórusz tengelyére merőlegeses sík metsz ki a felületből; ~ egy meridiánkör, melyet egy a tórusz tengelyét tartalmazó sík metsz ki a felületből; ~ két Villarceau - kör. A 2. ábra jobb oldali részén a mondott módon kettévágott tórusz látható, a Villarceau körökkel. Most ez utóbbiakkal foglalkozunk részletesebben, főleg [ 2 ] nyomdokain haladva. Mi itt számítással dolgozunk, ahogy mostanság egyre többen. Persze, az Ábrázoló Geometria tantárgyban már sokat tanulhatott az érdeklődő Olvasó e témában; pl. a [ 3 ] műben geometriai úton kimutatják, hogy a gyűrűfelület metszete a felületet két pontban érintő síkkal két körből áll– amint azt az 1. ábra kapcsán is említettük. Egy ilyen alapinformáció birtokában már lényegesen egyszerűbben alakítható a számítás, amint azt hamarosan láthatjuk. Ehhez tekintsük a 3. ábrát is!
3. ábra Ennek alapján a felület egy P pontjának paraméteres egyenletrendszere:
3
xP = ( c + a ⋅ cos ϕ ) ⋅ cos ψ , yP = ( c + a ⋅ cos ϕ ) ⋅ sin ψ , z P = a ⋅ sin ϕ ; -------------------------------- 0 ≤ ϕ ≤ 360 , 0 ≤ ψ ≤ 360 , c>a>0 .
(1)
Jelölések: ~ a: a gyűrű keresztmetszetének sugara; ~ c: a gyűrű tengelyének sugara. Majd a P felületi pont algebrai egyenlete, az OPv = rP , OC = c jelölésekkel és Pitagorász tételével:
( rP − c )
2
+ zP 2 = a 2 ;
(2)
figyelembe véve, hogy
rP = xP 2 + yP 2 ,
(3)
( 2 ) és ( 3 ) - mal:
(
)
2
xP 2 + y P 2 − c + z P 2 = a 2 .
(4)
Most tekintsük a 4. ábrát is!
4. ábra
4
Itt a felületnek a ψ = 0 függőleges síkkal képezett metszetét láthatjuk, ahol már felvettük a
z = tgϑ⋅ x
(5)
egyenletű, a felületet két pontban érintő metszősíkot is, amelyre
a ϑ = arcsin . c
(6)
Ezután a 4. ábra szerint felvesszük az O középpontú, az eredeti Oxz koordináta rendszerhez ( k. r. - hez ) képest az y tengely körül ϑ szöggel elforgatott Ox1z1 k. r. - t. Ebben az új k. r. - ben a felületi P pont koordinátái ( x1P , z1P ). A régi koordinátákat az újakkal kifejezve:
xP = x1P ⋅ cos ϑ + z1P ⋅ sin ϑ , z P = x1P ⋅ sin ϑ − z1P ⋅ cos ϑ ;
(7)
figyelembe véve még, hogy az itteni esetben
z1P = − z1P ,
(8)
így ( 7 ) és ( 8 ) - cal:
xP = x1P ⋅ cos ϑ − z1P ⋅ sin ϑ , z P = x1P ⋅ sin ϑ + z1P ⋅ cos ϑ .
(9)
Ezekhez hozzávesszük még a könnyen érthető
yP = y1P
( 10 )
kapcsolatot, így ( 9 ) és ( 10 ) - zel a transzformációs egyenletek:
xP = x1P ⋅ cos ϑ − z1P ⋅ sin ϑ , yP = y1P , z P = x1P ⋅ sin ϑ + z1P ⋅ cos ϑ .
( 11 )
Most behelyettesítjük ( 4 ) - be ( 11 ) - et:
( x1P ⋅ cos ϑ − z1P ⋅ sin ϑ)
2
+ y1P
2
2
2 − c + ( x1P ⋅ sin ϑ + z1P ⋅ cos ϑ ) = a 2 ; ( 12 )
majd elvégezzük a négyzetre emelést:
5
( x1P ⋅ cos ϑ − z1P ⋅ sin ϑ)
2
+ y1P 2 − 2 ⋅ c ⋅
( x1P ⋅ cos ϑ − z1P ⋅ sin ϑ)
2
+ y1P 2 + c 2 + ( x1P ⋅ sin ϑ + z1P ⋅ cos ϑ) = a 2 ; 2
( 13 ) A bal oldal első és utolsó tagjának összege:
( x1P ⋅ cos ϑ − z1P ⋅ sin ϑ) + ( x1P ⋅ sin ϑ + z1P ⋅ cos ϑ) 2
2
=
= x1P 2 ⋅ cos 2 ϑ − 2 ⋅ sin ϑ⋅ cos ϑ⋅ x1P ⋅ z1P + z1P 2 ⋅ sin 2 ϑ + + x1P 2 ⋅ sin 2 ϑ + 2 ⋅ sin ϑ⋅ cos ϑ⋅ x1P ⋅ z1P + z1P 2 ⋅ cos 2 ϑ =
(
)
(
)
= x1P 2 ⋅ cos 2 ϑ + sin 2 ϑ + 0 + z1P 2 ⋅ sin 2 ϑ + cos 2 ϑ = = x1P 2 + z1P 2 , tehát:
( x1P ⋅ cos ϑ − z1P ⋅ sin ϑ) + ( x1P ⋅ sin ϑ + z1P ⋅ cos ϑ) 2
2
= x1P 2 + z1P 2 .
( 14 )
Ezután ( 13 ) és ( 14 ) szerint:
x1P 2 + y1P 2 + z1P 2 + c 2 − a 2 = 2 ⋅ c ⋅
( x1P ⋅ cos ϑ − z1P ⋅ sin ϑ)
2
+ y1P 2 ; ( 15 )
a metszősík egyenlete az elforgatott k. r. - ben:
z1P = 0 ;
( 16 )
most ( 15 ) és ( 16 ) - tal a keresett síkmetszet egyenlete az O x1y1 k. r. - ben:
x1P 2 + y1P 2 + c 2 − a 2 = 2 ⋅ c ⋅
( x1P ⋅ cos ϑ)
2
+ y1P 2 .
A ( 17 ) egyenletet négyzetre emelve:
(
x1P 2 + y1P 2 + c 2 − a 2
)
2
(
)
= 4 ⋅ c 2 x1P 2 ⋅ cos 2 ϑ + y1P 2 .
( 17 )
( 18 )
Átalakítással, ( 6 ) - tal is:
a2 c2 − a 2 a cos ϑ = 1 − sin ϑ = 1 − = 1 − 2 = , 2 c c c 2
2
2
majd ( 18 ) és ( 19 ) - cel:
(
x1P 2 + y1P 2 + c 2 − a 2
)
2
c2 − a2 2 = 4 ⋅ c 2 ⋅ x1P 2 ⋅ + y = 1 P 2 c = 4 ⋅ x1P 2 ⋅ c 2 − a 2 + c 2 ⋅ y1P 2 ,
(
)
( 19 )
6
tehát:
(x
2
1P
+ y1P 2 + c 2 − a 2
)
(
2
)
= 4 ⋅ x1P 2 ⋅ c 2 − a 2 + c 2 ⋅ y1P 2 .
Most alakítsuk át ( 20 ) bal oldalát!
(
B(20) ≡ x1P 2 + y1P 2 + c 2 − a 2
( +2 ⋅ ( c
) − a )⋅ x
)
2
{
(
)
= x1P 2 + c 2 − a 2 + y1P 2
(
2
)
( 20 )
}
(
2
=
)= + 2 ⋅ (c − a ) ⋅ y
= x1P 2 + c 2 − a 2 + 2 ⋅ x1P 2 + c 2 − a 2 ⋅ y1P 2 + y1P 2 = x1P 4 tehát:
2
2
1P
(
)
2
(
+ c2 − a2
)
2
(
B(20) = x1P 4 +2 ⋅ c 2 − a 2 ⋅ x1P 2 + c 2 − a 2
+ 2 ⋅ x1P 2 ⋅ y1P 2
)
2
2
2
2
2
1P
(
+ y1P 4 ,
)
+ 2 ⋅ x1P 2 ⋅ y1P 2 + 2 ⋅ c 2 − a 2 ⋅ y1P 2 + y1P 4 . ( 21 )
Most alakítsuk át ( 20 ) jobb oldalát! J (20) ≡ 4 ⋅ x1P 2 ⋅ c 2 − a 2 + c 2 ⋅ y1P 2 = 4 ⋅ c 2 − a 2 ⋅ x1P 2 + 4 ⋅ c 2 ⋅ y1P 2 ,
(
tehát:
(
)
(
)
)
J (20) = 4 ⋅ c 2 − a 2 ⋅ x1P 2 + 4 ⋅ c 2 ⋅ y1P 2 .
( 22 )
Most a B(20) = J(20) összefüggés alapján, ( 21 ) és ( 22 ) - vel:
(
)
(
x1P 4 + 2 ⋅ c 2 − a 2 ⋅ x1P 2 + c 2 − a 2
innen rendezéssel:
(
)
)
2
(
)
(
)
+ 2 ⋅ x1P 2 ⋅ y1P 2 + 2 ⋅ c 2 − a 2 ⋅ y1P 2 + y1P 4 = 4 ⋅ c 2 − a 2 ⋅ x1P 2 + 4 ⋅ c 2 ⋅ y1P 2 ,
(
x1P 4 − 2 ⋅ c 2 − a 2 ⋅ x1P 2 + c 2 − a 2
)
2
(
)
+ 2 ⋅ x1P 2 ⋅ y1P 2 − 2 ⋅ c 2 + a 2 ⋅ y1P 2 + y1P 4 = 0 . ( 23 )
A ( 23 ) egyenlet bal oldalát kellene most szorzattá alakítanunk; ez nem egy egyszerű mutatvány, ezért fordított utat követünk: felírjuk a valahonnan ismert szorzat - alakot, majd azt kifejtve konstatáljuk, hogy az megegyezik ( 23 ) bal oldalával. A mondott szorzat - alak [ 2 / 2 ] szerint: 2 2 S = x1P 2 + ( y1P − a ) − c 2 ⋅ x1P 2 + ( y1P + a ) − c 2 .
Megint azonos átalakításokat végzünk; a ( 24 ) szorzatot kifejtve:
( 24 )
7 2 2 S = x1P 2 + ( y1P − a ) − c 2 ⋅ x1P 2 + ( y1P + a ) − c 2 = 2 2 = x1P 2 − c 2 + ( y1P − a ) ⋅ x1P 2 − c 2 + ( y1P + a ) =
(
)
( = (x = (x = (x
) − c ) + ( x − c ) ⋅( y − a) + ( x − c ) ⋅( y + a) + ( y − a) ⋅( y + a) = − c ) + ( x − c ) ⋅ ( y − a ) + ( y + a ) + ( y − a ) ⋅ ( y + a ) = − c ) + ( x − c )⋅( y − 2⋅a ⋅ y + a + y + 2⋅a ⋅ y + a ) + ( y − a ) = − c ) + 2⋅( x − c )⋅( y + a ) + ( y − a ) = − 2⋅ c ⋅ x + c + 2⋅( x ⋅ y − c ⋅ y + a ⋅ x − a ⋅c ) + y − 2⋅ a ⋅ y + a = + x ⋅ ( −2 ⋅ c + 2 ⋅ a ) + y ⋅ ( −2 ⋅ c − 2 ⋅ a ) + 2 ⋅ x ⋅ y + y + c − 2 ⋅ a ⋅ c + a = − 2 ⋅ (c − a ) ⋅ x − 2 ⋅ (c + a ) ⋅ y + 2 ⋅ x ⋅ y + y + (c − a ) ,
= x1P 2
2
2
2
1P
1P
1P
= x1P 4 = x1P 4 = x1P 4
(
2
2
2
2
1P
2
2
2
2
2
2
2
2
1P
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
1P
2
2
1P
2
2
2
2
2
2
2
1P
2
2
1P
2
2
2
2
1P
2
2
(
2
4
2
1P
2
1P
2
1P
2
2
1P
2
1P
)
2
1P
2
1P
(
2
1P
1P
2
1P
1P
1P
1P
tehát:
2
1P
1P
2
1P
1P
2
1P
2
2
2
2
1P
1P
1P
2
2
2
1P
2
1P
1P
2
2
1P
2
1P
2
2
1P
4
4
1P
4
4
2
2
2
2
2
1P
)
(
S = x1P 4 − 2 ⋅ c 2 − a 2 ⋅ x1P 2 − 2 ⋅ c 2 + a 2 ⋅ y1P 2 + 2 ⋅ x1P 2 ⋅ y1P 2 + y1P 4 + c 2 − a 2 ( 25 ) Most ( 23 ), ( 24 ) és ( 25 ) szerint:
x1P 2 + ( y1P − a )2 − c 2 ⋅ x1P 2 + ( y1P + a )2 − c 2 = 0 .
( 26 )
Ez a metszet egyesített egyenlete. Ez kielégül, ha 2 x1P 2 + ( y1P − a ) − c 2 = 0 , 2 x1P 2 + ( y1P + a ) − c 2 = 0 ,
( 27 )
amiből: 2 x1P 2 + ( y1P − a ) = c 2 , 2 2 2 x1P + ( y1P + a ) = c .
4
1P
( 28 )
A ( 28 ) egyenletek két kör egyenlete: a Villarceau - köröké. E köröket az 5. ábrán mutatjuk meg, a [ 4 ] - ben láthatóhoz hasonló módon.
)
2
.
8
5. ábra Az 5. ábra a c / a = 2 méretviszony felvételével készült. Az 1. ábra bal oldali részén ezen körök ellipszis - vetületeit is ábrázolták. y
f(x)=2+4*sqrt(1-1/12*x*x) f(x)=2-4*sqrt(1-1/12*x*x)
6
f(x)=-2+4*sqrt(1-1/12*x*x) f(x)=-2-4*sqrt(1-1/12*x*x) x(t)=6*sin(t ), y(t )=6*cos(t) x(t)=2*cos(t), y(t)=2*sin(t)
5
4
3
2
1
O -11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
x 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
-2
-3
-4
-5
-6
6. ábra A mi rajzunk hasonló eredményeit a 6. ábrán szemléltetjük. Az ellipszisek egyenletei úgy állnak elő, hogy ( 28 ) - ban érvényesítjük az
11
12
13
9
xell = x1P ⋅ cos ϑ , yell = y1P
( 29 )
összefüggéseket, figyelemmel ( 6 ) - ra is. A 6. ábrán feltüntettük a tórusz felülnézeti kontúrköreit is. Most gondoljuk meg, hogy a tóruszt metsző síkot nem csak a ψ = 0°, hanem tetszőle ges ψ érték esetén is alkalmazzuk; ekkor tetszőlegesen sok – végtelenül sok – ilyen kör - pár áll elő.
7. ábra – [ 5 ] A 7. ábrán még egyszer áttekinthetjük az említett körseregeket. A 8. ábrán egy további szép grafikát csodálhatunk meg.
10
8. ábra – [ 6 ] Most tekintsük a 9. ábrát!
9. ábra – [ 7 ] Ez azt sugallja, hogy a Villarceau - kör ellipszis - vetülete a paralelkörök sugaraival, így magukkal a paralelkörökkel is állandó szöget zár be. Ennek ellenőrzésére a 10. ábrán feltüntetett korábbi eset négy pontjában kiszámoltuk a Graph szoftverrel is a 9. ábra szerinti α értékeket: a zöld ellipszis, az x tengely egyenese, valamint a türkizkék e1 , e2 , e3 egyenesek I. síknegyedbeli metszéspontjaira. Az eredmények:
11 e3
y 7
f(x)=2+4*sqrt (1-1/12*x*x) f(x)=2-4*sqrt(1-1/12*x*x) f(x)=-2+4*sqrt(1-1/12*x*x)
e2
6
f(x)=-2-4*sqrt(1-1/12*x*x) x(t )=6*sin(t), y(t )=6*cos(t ) x(t )=2*cos(t ), y(t)=2*sin(t ) f(x)=1/2*x f(x)=x
5
f(x)=3/2*x
4
e1
3
2
1
O -12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
x 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
10. ábra
α 0 = arctg2 − arctg0 = 63, 435 ;
α1 = arctg16,9443 − arctg0,5 = 60, 057 ; α 2 = arctg( − 3,4142) +180 − arctg1 = 61,325 ; α 3 = arctg( − 1, 6705) +180 − arctg1,5 = 64,595 .
(A)
Ezek a számok sem nem igazolják, sem nem cáfolják a 9. ábra sugallatát, hiszen numerikus okai is lehetnek annak, hogy nem egy és ugyanazon számot adnak eredményül. Így aztán más utakat kell keresnünk a kérdés tisztázására. Ehhez tekintsük a 11. ábrát is! Ennek segítségével határozzuk meg egy adott P pont ban a Villarceau - kör éritőjének vetülete és a paralelkör érintőjének vetülete által bezárt β szöget. A 9. ábra szerinti α szög és az itteni β szög között az összefüggés:
α + β = 90 .
( 30 )
A 11. ábrán alkalmazott jelölések: ( P)
~ tV ~
: a Villarceau - kör P pontbeli érintője;
tV( Pvet ) : az előző érintő vetülete; (P)
(P ) ~ t par és t parvet : a P pontbeli paralelkör és vetülete, melyek egymással párhuzamosak.
12
11. ábra A mellékábra szerint:
β=ψ−γ .
( 31 )
Majd ismét a főábráról a k2 Villarceau - kör egyenlet - rendszere:
xP = c ⋅ cos t ⋅ cos ϑ , yP = c ⋅ sin t + a , z P = c ⋅ cos t ⋅ sin ϑ . Itt t: egy itt bevezetett új változó. Megint a 11. ábra szerint: x tgγ = P ; b
( 32 )
( 33 )
majd ugyaninnen:
b=
c + a − yP ; sin t
ezután ( 32 / 2 ) és ( 34 ) - gyel:
( 34 )
13
c 1 − sin 2 t cos 2 t b= , + a − c ⋅ sin t − a = c ⋅ = c⋅ sin t sin t sin t tehát:
cos 2 t b = c⋅ . sin t
( 35 )
Most ( 32 / 1 ), ( 33 ) és ( 35 ) - tel:
tgγ =
c ⋅ cos t ⋅ cos ϑ = tgt ⋅ cos ϑ , cos 2 t c⋅ sin t
tehát:
tgγ = cos ϑ⋅ tgt ,
( 36 )
innen pedig:
γ (t ) = arctg ( cos ϑ⋅ tgt ) .
( 37 )
Ismét a 11. ábra szerint:
tgψ =
yP ; xP
( 38 )
most ( 6 ), ( 32 / 1 ), ( 32 / 2 ) és ( 38 ) - cal:
a c ⋅ sin t + a c = sin t + sinϑ , tgψ = = c ⋅ cos t ⋅ cos ϑ cos t ⋅ cos ϑ cos t ⋅ cos ϑ sin t +
tehát:
tgψ =
sin t + sinϑ . cos t ⋅ cos ϑ
Átalakításokkal: sin t + sinϑ tgt tgϑ 1 tgψ = = + = ⋅ tgt + tgϑ⋅ 1 + tg 2t , cos t ⋅ cos ϑ cos ϑ cos t cos ϑ tehát:
( 39 )
14
tgψ =
1 ⋅ tgt + tgϑ⋅ 1 + tg 2t , cos ϑ
( 40 )
innen pedig:
1 ψ(t ) = arctg ⋅ tgt + tgϑ⋅ 1 + tg 2t . cos ϑ
( 41 )
Most ( 31 ), ( 37 ) és ( 41 ) alkalmazásával:
1 β(t ) = arctg ⋅ tgt + tgϑ⋅ 1 + tg 2t − arctg ( cos ϑ⋅ tgt ) . cos ϑ
( 42 )
Ebből leolvasható, hogy rögzített ϑ esetén a β szög a t változó függvényében változik, azaz nem állandó a vetületi ellipszis különböző pontjaiban. A ( 30 ) kapcsolat miatt ugyanez mondható el az α szögről is. A mondott függvények lefutását a 12. ábra szemlélteti. béta, alfa
f(x)=atan(1.154700538*t an(x)+0.577350269*sqrt (1+t an(x)*tan(x)))-atan(0.866025404*tan(x)) f(x)=90-(atan(1.154700538*tan(x)+0.577350269*sqrt (1+tan(x)*tan(x)))-at an(0.866025404*tan(x)))
110
100
90
80
alfa
70
60
50
40
béta
30
20
10
t ( fok ) -30
-20
-10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
-10
-20
12. ábra Így a 9. ábra kapcsán ki is mondhatjuk, hogy az eléggé megtévesztő. Ugyanis a szerző azt kívánta demonstrálni a síkban, hogy a Villarceau - kör érintője a paralelkör érintő -
15
jével állandó szöget zár be, a térben. Ez nem volt egy sikeres próbálkozás. Most térjünk vissza a ( 42 ) képlethez! Estünkben t = 0 esetén β(0) = ϑ = 30°. A 11. ábra szerint is ekkor a P1 ponban és annak P1vet vetületében is párhuzamosak a megfelelő érintők, így a Villarceau - kör érintője és a paralelkör érintője által bezárt β* szög valódi nagyságban látszik, tehát példánkban β* = β(0) = ϑ = 30°. A szakirodalom szerint – [ 8 ] – a Villarceau - körnek bármely pontjában megvan ez a tulajdonsága, ezért nevezik a Villarceau - köröket a tórusz loxodrómáinak. Ezt a tulaj donságát azonban még be kellene látnunk. Először szemléltetünk. Ehhez tekintsük a 13. és 14. ábrákat is!
13. ábra A 13. ábrán a metszősíkban fekvő egyik Villarceau - kört és vetületét vázoltuk, három jellemző pontjával együtt. E körpontok arról nevezetesek, hogy bennük viszonylag egyszerűen megállapíthatóak az érintők hajlásszögei. ~ P0 pont: a 14. ábrán tisztázzuk, hogy az itteni Villarceau - kör érintője és a paralel kör érintője β* = ϑ szöget zárnak be egymással; ugyanis a jobb oldali ábrarész és ( 6 ) szerint:
cos α∗ =
a = sin ϑ ; c
ámde az ábra szerint:
( 43 )
16
14. ábra
α ∗ + β∗ = 90 ,
( 44 )
így ( 43 ) és ( 44 ) - gyel is:
(
)
( 45 )
a . c
( 46 )
sin β∗ = sin 90 − α ∗ = cos α∗ = sin ϑ , innen ( 6 ) - tal is:
β ∗ ( P0 ) = ϑ = arcsin
~ P1 pont: a 13. ábra mellékábrája szerint a két érintő közbezárt szöge ψ1, amelyre ( 6 ) - tal is:
tgψ1 =
a sin ϑ = = tgϑ → ψ1 ≡ β ∗ ( P1 ) = ϑ . c ⋅ cos ϑ cos ϑ
( 47 )
~ P3 pont: a 13. ábra szerint is amegfelelő érintők az x és x1 tengelyekkel párhuzamo sak, amelyek pedig ϑ szöget zárnak be egymással: β*( P2 ) = ϑ . Azt találtuk, hogy a Villarceau - kör három jellemző pontjában is ugyanaz a helyzet: az adott pontbeli Villarceau - kör érintője és a paralelkör érintője ugyanazt a szöget zárják be, mint amit a metszősík a vízszintes síkkal. Minthogy egy kört három pontja már meghatározza, és e három pontban az érintési tulajdonságok megegyeznek, vél hető, hogy a kör bármely pontjára is ugyanezek igazak. Ez, persze, nem matematikai bizonyítás, de szemléltetésnek már elég meggyőző lehet. Megjegyezzük, hogy a mondottak szempontjából lényeges megfigyelés, miszerint a 14. ábra alapján:
17
tgα =
1 ⋅ sin α ∗ tgα ∗ = . 1 ⋅ cos α ∗⋅ cos ϑ cos ϑ
( 48 )
Ismét az ábra szerint:
α + β = 90 .
( 30 )
Most a példánk adataival a P0 pontban nyerhető részeredmények az alábbiak:
α∗ = 90 − β∗ = 90 − 30 = 60 ; tgα ∗ tg60 tgα = = = 2, 0000 → α ≅ 63, 435 ; cos ϑ cos 30 β = 90 − α = 90 − 63, 435 ≅ 26,565 . a 2 = arcsin = 30 ; c 4 β∗ = ϑ = 30 ; ϑ = arcsin
( 49 )
Azt utolsó két részeredmény a Graph szerint megegyezik a 12. ábra megfelelő adataival: β( P0) = 26.5651° , α( P0 ) = 63.4349° . A következő feladat - rész adja magát: be kell bizonyítani, általában, hogy a Villarceau - kör valóban a tórusz loxodrómája. Ehhez tekintsük a 15. ábrát is!
15. ábra Az érintők által bezárt szög koszinusza az érintő egységvektorok skaláris szorzata:
cos β∗ = eV ⋅ e par ; a paralelkör érintő egységvektorának kifejezése a mellékábra szerint:
( 50 )
18
e par = −1 ⋅ sin ψ ⋅ i + 1 ⋅ cos ψ ⋅ j , tehát:
e par = − sin ψ ⋅ i + cos ψ ⋅ j .
( 51 )
A Villarceau - kör érintő egységvektora:
eV =
xɺ P ⋅ i + yɺ P ⋅ j + zɺP ⋅ k xɺ P + yɺ P + zɺP 2
2
2
;
( 52 )
majd a t szerinti deriváltak, ( 32 ) - vel is:
d ( c ⋅ cos t ⋅ cos ϑ) = −c ⋅ cos ϑ⋅ sin t , dt d yɺ P = ( c ⋅ sin t + a ) = c ⋅ cos t , dt d zɺP = ( c ⋅ cos t ⋅ sin ϑ ) = −c ⋅ sin ϑ⋅ sin t ; dt xɺP =
( 53 )
Az érintő - vektor hossza:
xɺP 2 + yɺ P 2 + zɺP 2 =
( −c ⋅ cos ϑ⋅ sin t ) + ( c ⋅ cos t ) + ( −c ⋅ sin ϑ⋅ sin t ) 2
2
2
;
a gyök alatti kifejezést átalakítva: 2 2 2 ( −c ⋅ cos ϑ⋅ sin t ) + ( c ⋅ cos t ) + ( −c ⋅ sin ϑ⋅ sin t ) =
= c 2 ⋅ cos 2 ϑ⋅ sin 2 t + c 2 ⋅ cos 2 t + c 2 ⋅ sin 2 ϑ⋅ sin 2 t = = c 2 ⋅ cos 2 ϑ⋅ sin 2 t + sin 2 ϑ⋅ sin 2 t + cos 2 t =
(
)
(
)
= c 2 ⋅ sin 2 t ⋅ cos 2 ϑ + sin 2 ϑ + cos 2 t = c 2 ⋅ sin 2 t + cos 2 t = c 2 , tehát gyökvonás után:
xɺP 2 + yɺ P 2 + zɺP 2 = c .
( 54 )
Ezután ( 52 ), ( 53 ) és ( 54 ) - gyel:
eV = − cos ϑ⋅ sin t ⋅ i + cos t ⋅ j − sin ϑ⋅ sin t ⋅ k . Most ( 50 ), ( 51 ) és ( 55 ) szerint:
( 55 )
19
cos β∗ = eV ⋅ e par = ( − cos ϑ⋅ sin t ⋅ i + cos t ⋅ j − sin ϑ⋅ sin t ⋅ k ) ⋅ ( − sin ψ ⋅ i + cos ψ ⋅ j) = = ( − cos ϑ⋅ sin t ) ⋅ ( − sin ψ ) + ( cos t ) ⋅ ( cos ψ ) = sin ψ ⋅ cos ϑ⋅ sin t + cos ψ ⋅ cos t , tehát:
cos β∗ = sin ψ ⋅ cos ϑ⋅ sin t + cos ψ ⋅ cos t .
( 56 )
A továbbiakban felhasználjuk a tgψ sin ψ = , 1 + tg 2 ψ 1 cos ψ = , 2 1 + tg ψ
( 57 )
azonosságokat. Most ( 39 ) - cel is: tgψ =
sin t + sinϑ , cos t ⋅ cos ϑ
2 2 sin t + sinϑ sin t + 2 ⋅ sin t ⋅ sinϑ + sin ϑ tg ψ = = , cos 2 t ⋅ cos 2 ϑ cos t ⋅ cos ϑ cos 2 t ⋅ cos 2 ϑ + sin 2 t + 2 ⋅ sin t ⋅ sinϑ + sin 2 ϑ 2 1 + tg ψ = = cos 2 t ⋅ cos 2 ϑ cos 2 t ⋅ 1 − sin 2 ϑ + sin 2 t + 2 ⋅ sin t ⋅ sinϑ + sin 2 ϑ = = cos 2 t ⋅ cos 2 ϑ 2
2
(
( cos =
2
)
)
(
)
t + sin 2 t + sin 2 ϑ⋅ 1 − cos 2 t + 2 ⋅ sin t ⋅ sinϑ
(1 + sinϑ⋅ sin t ) =
cos 2 t ⋅ cos 2 ϑ 2
=
1 + 2 ⋅ sin t ⋅ sinϑ + sin 2 ϑ⋅ sin 2 t = cos 2 t ⋅ cos 2 ϑ
1 + sinϑ⋅ sin t = , 2 2 cos t ⋅ cos ϑ cos ϑ⋅ cos t 2
így ezekkel:
sinϑ + sin t 1 + sinϑ⋅ sin t cos ϑ⋅ cos t cos ψ = 1 + sinϑ⋅ sin t
sin ψ =
, .
Majd ( 56 ) és ( 58 ) - cal:
( 58 )
20
cos β∗ = sin ψ ⋅ cos ϑ⋅ sin t + cos ψ ⋅ cos t = sinϑ + sin t cos ϑ⋅ cos t = ⋅ cos ϑ⋅ sin t + ⋅ cos t = 1 + sinϑ⋅ sin t 1 + sinϑ⋅ sin t cos ϑ 1 + sinϑ⋅ sin t = ⋅ sinϑ⋅ sin t + sin 2 t + cos 2 t = cos ϑ⋅ = cos ϑ , 1 + sinϑ⋅ sin t 1 + sinϑ⋅ sin t
(
)
tehát:
cos β∗ = cos ϑ ,
( 59 )
innen:
β∗ = ϑ .
( 60 )
Ez az, amit igazolni kellett. Látjuk, hogy a Villarceau - kör és a paralelkör adott P pontbeli érintőinek közbezárt szöge nem függ a t változótól, vagyis a P pontnak a Villarceau - körön felvett helyzetétől, így a ( 60 ) összefüggés az egész körre igaz, vagyis általános érvényű. Az sem csorbítja az általánosságot, hogy itt csak az egyik körrel foglalkoztunk, ugyanis egy adott tórusz - metszeten megjelenő Villarceu körpár körei egymás tükörképei – ld. pl.: az 5. és 8. ábrákat! Megjegyzések: M1. A t változó értelmezési tartománya:
−ϑ ≤ t ≤ 180 + ϑ . M2. Az ( 57 ) képlet alakilag pontosítandó, az alábbiak szerint: tgψ sin ψ = , + 1 + tg 2 ψ , ha ψ az I. vagy a IV. síknegyedben van ; 1 cos ψ = , 2 + 1 + tg ψ ------------------------------------------------------------------------------------ tgψ sin ψ = , 2 − 1 + tg ψ , ha ψ az II. vagy a III. síknegyedben van . 1 cos ψ = , 2 − 1 + tg ψ
( 61 )
( 57 / 1 )
21
Ezt jó lesz észben tartani! Érdekes, hogy az ismert matematikai zsebkönyvben – [ 9 ] – nem szerepelnek a mondott képletek az ( 57 / 1 ) alakban. Helyette ezt írják: ~ a régebbi kiadásban: „ Ezekben a képletekben a négyzetgyökjel elé + vagy – jelet kell tennünk aszerint, hogy a szóban forgó szög melyik síknegyedbe esik.”; ~ az újabb kiadásban:
tg 2 x 1 2 sin x = , cos x = . 1 + tg 2 x 1 + tg 2 x 2
Ez akár furcsának is mondható. M3. A ( 42 ) képletet a ( 60 ) - ra vezető módon is levezethetjük. Ekkor:
cos β = e par ⋅ eV ,vet ; itt:
eV ,vet =
xɺP ⋅ i + yɺ P ⋅ j xɺP + yɺ P 2
2
=
( 62 )
−c ⋅ cos ϑ⋅ sin t ⋅ i + c ⋅ cos t ⋅ j
( −c ⋅ cos ϑ⋅ sin t ) + ( c ⋅ cos t ) 2
2
;
( 63 )
a nevezőben a gyökjel alatti mennyiség:
( −c ⋅ cos ϑ⋅ sin t ) + ( c ⋅ cos t ) 2
(
2
= c 2 ⋅ cos 2 ϑ⋅ sin 2 t + c 2 ⋅ cos 2 t =
)
( ⋅ (1 − sin
)
= c 2 ⋅ cos 2 ϑ⋅ sin 2 t + cos 2 t = c 2 ⋅ cos 2 ϑ⋅ sin 2 t + 1 − sin 2 t =
(
)
= c 2 ⋅ sin 2 t ⋅ cos 2 ϑ − 1 + 1 = c 2
2
)
ϑ⋅ sin 2 t ,
amivel ( 63 ) így alakul:
eV ,vet =
− cos ϑ⋅ sin t ⋅ i + cos t ⋅ j 1 − sin 2 ϑ⋅ sin 2 t
.
Ezután ( 51 ), ( 62 ) és ( 63 ) - mal:
cos β = e par ⋅ eV ,vet = ( − sin ψ ⋅ i + cos ψ ⋅ j) ⋅ = ( − sin ψ ) ⋅
− cos ϑ⋅ sin t
( 64 )
− cos ϑ⋅ sin t ⋅ i + cos t ⋅ j 1 − sin ϑ⋅ sin t cos t 2
2
+ ( cos ψ ) ⋅ = 1 − sin 2 ϑ⋅ sin 2 t 1 − sin 2 ϑ⋅ sin 2 t cos ϑ⋅ sin t cos t = sin ψ ⋅ + cos ψ ⋅ , 2 2 2 2 1 − sin ϑ⋅ sin t 1 − sin ϑ⋅ sin t
=
22
tehát:
cos β = sin ψ ⋅
cos ϑ⋅ sin t 1 − sin ϑ⋅ sin t 2
2
+ cos ψ ⋅
cos t 1 − sin ϑ⋅ sin t 2
2
.
( 65 )
Most ( 58 ) és ( 65 ) - tel: sinϑ + sin t cos ϑ⋅ sin t cos ϑ⋅ cos t cos t cos β = ⋅ + ⋅ = 1 + sinϑ⋅ sin t 1 − sin 2 ϑ⋅ sin 2 t 1 + sinϑ⋅ sin t 1 − sin 2 ϑ⋅ sin 2 t
sinϑ + sin t ) ⋅ sin t + cos 2 t ( = cos ϑ⋅ (1 + sinϑ⋅ sin t ) ⋅ 1 − sin 2 ϑ⋅ sin 2 t = cos ϑ⋅
= cos ϑ⋅
tehát:
cos β =
sinϑ⋅ sin t + sin 2 t + cos 2 t
(1 + sinϑ⋅ sin t ) ⋅
1 − sin ϑ ⋅ sin t 2
2
1+sinϑ⋅ sin t
(1 + sinϑ⋅ sin t ) ⋅ cos ϑ
1 − sin 2 ϑ⋅ sin 2 t
1 − sin ϑ⋅ sin t 2
2
= = =
cos ϑ 1 − sin ϑ⋅ sin t 2
.
2
,
( 66 )
Azonos átalakításokkal ( 66 ) - ból kapjuk:
1 − cos 2 β 1 1 − sin 2 ϑ⋅ sin 2 t tgβ = = −1 = −1 = cos β cos 2 β cos 2 ϑ
(
)
sin 2 ϑ⋅ 1 − sin 2 t 1 − sin 2 ϑ⋅ sin 2 t − cos 2 ϑ = = = cos 2 ϑ cos 2 ϑ sin 2 ϑ⋅ cos 2 t sin ϑ⋅ cos t = = = tgϑ⋅ cos t , cos 2 ϑ cos ϑ tehát:
tgβ = tgϑ⋅ cos t .
( 67 )
Most ( 60 ) és ( 67 ) - tel: tgβ = cos t ⋅ tgβ ∗ ,
( 68 )
innen:
β(t ) = arctg ( cos t ⋅ tgβ ∗) .
( 69 )
23
A ( 69 ) képlet lényegesen egyszerűbb és elegánsabb, mint ( 42 ). Most megnézzük, hogy a kettő egymásba átalakítható - e. Felhasználva, hogy tgx − tgy tg ( x − y ) = , ( 70 ) 1 + tgx ⋅ tgy ( 42 ) és ( 70 ) - nel kapjuk, hogy: 1 ⋅ tgt + tgϑ⋅ 1 + tg 2t − arctg ( cos ϑ⋅ tgt ) = tgβ = tg arctg cos ϑ
1 ⋅ tgt + tgϑ⋅ 1 + tg 2t − ( cos ϑ⋅ tgt ) cos ϑ = = 1 2 ⋅ tgt + tgϑ⋅ 1 + tg t ⋅ ( cos ϑ⋅ tgt ) 1+ cos ϑ 1 − cos 2 ϑ 2 1 2 tgt ⋅ − cos ϑ + tgϑ⋅ 1 + tg t tgt ⋅ + tgϑ⋅ 1 + tg t cos ϑ cos ϑ = = = 2 2 2 2 1 + tg t + sin ϑ⋅ tgt ⋅ 1 + tg t 1 + tg t + sin ϑ⋅ tgt ⋅ 1 + tg t sin 2 ϑ 2 tgt ⋅ + tgϑ⋅ 1 + tg t cos ϑ = = tgϑ⋅ 1 + tg 2t + sin ϑ⋅ tgt ⋅ 1 + tg 2t
sin ϑ⋅ = tgϑ⋅
= tgϑ⋅ cos t ⋅
tgt
1
(
)
=
+ 1 + tg 2t 1 + tg 2t sin ϑ⋅ sin t ⋅ cos t + cos t = tgϑ⋅ = tgt 1 + sin ϑ⋅ sin t 1 + sin ϑ⋅ 1 + tg 2t
1 + tg 2t
⋅
sin ϑ⋅ tgt + 1 + tg 2t tgt 1 + tg 2t ⋅ 1 + sin ϑ⋅ 1 + tg 2t 1
sin ϑ⋅ sin t + 1 = tgϑ⋅ cos t , 1 + sin ϑ⋅ sin t
tehát:
tgβ = tgϑ⋅ cos t ,
egyezésben ( 67 ) - tel. A ( 60 ), ( 69 ) kapcsolatokat a 16. ábrán jelenítettük meg. A grafikon kék színű, azaz jobb oldali ága eredetileg negatív értékeket tartalmazott, ezért azok ( − 1 ) - szeresét vettük. Látjuk, az egyszerűbb képletalak már beavatkozást igényelt. Ettől eltekintve a 16. ábra képe teljesen megegyezik a 12. ábra alsó görbéje képével.
24 béta ( fok )
f(x)=atan(0.577350269*cos(x)) f(x)=-atan(0.577350269*cos(x))
90
80
70
60
50
40
30
20
10
t ( fok ) -30
-20
-10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
-10
-20
-30
16. ábra Ha a β = f ( t ) kapcsolat ábrázolására a ( 66 ) képletet választjuk, akkor a 17. ábra szerinti kép adódik, beavatkozás nélkül. béta ( fok )
f(x)=acos(0.866025404/(sqrt(1-0.25*sin(x)*sin(x))))
70
60
50
40
30
20
10
t ( fok ) -40
-30
-20
-10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-10
-20
-30
-40
-50
-60
17. ábra
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
25
M4. Látjuk azt is, hogy a másfajta levezetésnek több hozadéka is van: ~ ellenőrzést ad az eredeti eredményre, valamint ~ egyszerűbb és szebb képletalakok adódtak általa. Így aztán nem mondható, hogy felesleges volt a viszonylag sok befektetett munka. M5. Talán meglepőnek tűnhet az ( 54 ) képlet egyszerűsége. Jelentése: a Villarceau kört érintő vektor hosszának számértéke megegyezik a Villarceu - kör sugarával. Ha ugyanis egy pont e körön ω = 1 nagyságú szögsebességgel kering, akkor pálya menti sebességének nagysága – vagyis a körpályát érintő vektor hossza – : v = c ω = c , a körpálya minden pontjában.
Irodalom: [ 1 ] – http://geometrie.eduhi.at/data/AK/grundkursdg05.pdf [ 2 ] – http://mathworld.wolfram.com/Torus.html – http://mathworld.wolfram.com/VillarceauCircles.html [ 3 ] – Strommer Gyula: Geometria Tankönyvkiadó, Budapest, 1988., 670 ~ 671. o. [ 4 ] – http://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg06/jgg0610.pdf [ 5 ] – http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~bkloeckn/posts/2012-04-23HopfVillarceau.html [ 6 ] – http://pstricks.blogspot.hu/2013/02/cercles-de-villarceau.html [ 7 ] – http://www.bibnum.education.fr/files/villarceau-analyse.pdf [ 8 ] – Hajdu Endre: Ábrázoló Geometria II. Kézirat, Sopron, 1985., 64. o. [ 9 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963. 6. kiadás: Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2013. július 11.
