A színezett frízek osztályozása

Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar, Geometria Tanszék

Szakdolgozat

A színezett frízek osztályozása

Készítette:

Csiki Nóra

Matematika } ábrázoló geometria szak

TémavezetĞ:

Dr. Szenthe János

Egyetemi tanár Geometria Tanszék

Budapest, 200. április. 28.

Tartalom

BevezetĞ ................................................................................................................. 3 . A frízek és a frízcsoportok............................................................................... 6 2. A színezett frízek és szimmetria-csoportjaik .............................................. 3 A részcsoportok és normálosztók áttekintése a frízcsoportként elĞkerülĞ absztrakt csoportok körében..................................................... 5 A frízcsoportok részcsoportjainak áttekintése......................................... 20 A frízcsoportok normálosztóinak áttekintése......................................... 25 3. A színezett frízek osztályozása..................................................................... 28 4. A szimmetria és a frízek megjelenése a díszítĞmĬvészetekben .............. 32 Algebrai függelék ............................................................................................... 38 Irodalomjegyzék ................................................................................................. 42

BevezetĞ Mindennapi életünkben fontos szerepet tölt be a szimmetria. Környezetünkben a tárgyakat ösztönösen valamilyen szabály szerint helyezzük el. Épületeinken, öltözékünkön, használati és dísztárgyainkon gyakran figyelhetĞ meg a díszítĞelemek szabályos elrendezése. Padlók kövezeteit, templomok díszes rózsaablakait mind szabályosan elhelyezkedĞ motívumok díszítik. A természetben is szebbnél szebb példáit találhatjuk szimmetrikus formáknak. Dolgozatom az euklideszi sík szimmetria-csoportjának bizonyos diszkrét részcsoportjairól, a frízcsoportokról szól. A frízcsoportokat a síkon elhelyezkedĞ frízszerĬ minták szimmetriái alkotják. Mik is azok a frízek? } Szalagminták. Többek között az építĞmĬvészet egyik kedvelt díszítĞelemei más szimmetrikus mintákkal egyetemben. Megtalálhatóak díszes épületek homlokzatán, antik görög oszlopfĞkön; ikonokat, freskókat, festményeket körülölelĞ szegélyeken vagy akár mintás ruhadarabokon is. A szimmetrikus minták leírásához a geometria transzformációk nyújtanak nagy segítséget. Az euklideszi sík egybevágósági transzformációi (eltolások, tengelyes tükrözések, pontkörüli elforgatások, közöttük a centrális tükrözésekkel és a csúsztatva tükrözések) csoportot alkotnak. Ezt a csoportot az euklideszi sík izometria-csoportjának nevezzük. Egy síkbeli ponthalmazt, alakzatot szimmetrikusnak mondunk, ha van olyan nem identikus egybevágósági transzformáció a síkon, mely azt önmagába viszi. Egy szimmetrikus alakzat szimmetria-csoportját az Ğt fixen hagyó izometriák alkotják. Ezen csoportok részcsoportjai az euklideszi izometria-csoportnak. A geometriában és a tudomány egyéb területein, vagy akár a mĬvészetekben fontos szerepet játszó szimmetrikus alakzatok, minták szimmetria-csoportjait az euklideszi izometria-csoport diszkrét részcsoportjai adják. A vizsgált csoportok elemei között lehetnek eltolások is, melyek között mindig található legkisebb hosszúságú a csoportok diszkrét volta miatt. A csoportokban szereplĞ eltolások szerint három osztályba sorolhatjuk az euklideszi izometria-csoport részhalmazait. t Rozettacsoportok: nem tartalmaznak eltolásokat. Két fĞ típusukat különböztetjük meg3 a Cn-nel illetve a Dn-nel izomorfakat. Az elsĞben csak egy közös centrum körüli elforgatások vannak, a másodikba még bizonyos, a centrumon áthaladó tengelyre való tükrözések is tartoznak. Az egyszerĬ szabályos síkidomoktól kezdve egészen a rózsaablakokig számtalan példát találhatunk rozettákra.

–3–


4. oldal

t Frízcsoportok: csak azonos irányú eltolásokat tartalmaznak. Az csoportba tartozó eltolások elĞállnak a legkisebb eltolás egészszereseiként. 7 fĞbb típust különböztethetünk meg. Bármely fríznek definiálható egy az eltolások irányával párhuzamos tengelye. A szimmetria-csoportok tartalmazhatják még az adott tengelyre való tükrözést, a tengelyre merĞleges egyenesekre ill. tengely pontjaira történĞ tükrözéseket és a tengellyel párhuzamos irányú csúsztatva tükrözéseket. t Tapétacsoportok: tartalmaznak két (az adott irányokban legkisebb) nem párhuzamos eltolást és ezek egész együtthatós lineáris kombinációit. Itt már 7 lényegében különbözĞ típust különböztethetünk meg. A tapéták az egész síkot betöltĞ mintázatokat adnak. A leghíresebb példákkal a mór építészet remeke, a spanyolországi Alhambra szolgál. A szabályos minták klasszikus elméletének fĞ célja, hogy felsorolja az összes, különbözĞ tereken értelmezett szimmetria-csoportot. Ezen általános probléma egy sor további kérdést vonhat maga után, például, hogy különbözĞ kikötések mellett milyen szabályos mintákat alkothatunk meg. A klasszikus elmélet a szimmetriák feltérképezése mellett foglalkozik a minták szerkezetével is. Az elmélet a tudomány egyik legĞsibb ágai közé tartozik, melynek alapjait görög és egyiptomi mĬvészek rakták le. A XVII. században Kepler gazdagította lényeges eredményekkel az elméletet, de aranykora a XIX. században kezdĞdött. Az antik szabályos minták reneszánsza egyrészt a kristályok belsĞ szerkezetének vizsgálatának köszönhetĞ, másrészt a szabályos minták elméletének a matematika más ágaival különösen az algebrával, csoportelmélettel, számelmélettel, valós függvénytannal való szoros kapcsolatának felismerésének. A szabályos minták megközelíthetĞek még különbözĞ szélsĞérték-problémákon keresztül is. Sok fizikai rendszer egyensúlyi állapotát elemeinek szimmetrikus elhelyezkedései esetén éri el. Pierre Curie ennél nagyobb jelentĞséget tulajdonít a szimmetriáknak. Szerinte: „Szimmetria hiánya az, ami a jelenségeket okozza.” } ezen szavakkal is kifejezvén az alapvetĞ fizikai rendszerekben gyakran megfigyelhetĞ, szimmetria felé mutató tendenciát. A szimmetrikus minták elmélete központi szerepet játszik a genetikai kutatások terén is. Fejes-Tóth László könyve többek közt a szimmetrikus minták különbözĞ megközelítése közötti szoros kapcsolaton alapszik. [2] Dolgozatom elsĞ részében a színezetlen frízek áttekintése szerepel. Ehhez George E. Martin Transformation Geometry címĬ könyvét PR használtam. A továbbiakban többek között Coxeter 987-ben megjelent cikkét P3R dolgoztam fel, melyben a színezett frízek osztályozását vezeti be. Az osztályozás célja, hogy a hét fríztípusnak megfelelĞ színezett minták szimmetria-csoportjait meghatározzuk és az összes lényegében különbözĞ színezett fríztípust összegyĬjtsük. Coxeter elmélete a frízcsoportok részcsoportjaihoz, normálosztóihoz illetve azok faktorcsoportjaihoz kapcsolódik. Nem használja ki a frízcsoportok olyan tulajdonságait, melyek megkülönböztetik Ğket a többi euklideszi izometria-csoporttól. Így az osztályozás


5. oldal

alkalmazása színezett rozetták illetve tapéták esetén szinte csak számolási feladatokat igényel. Cikkében nem használja fel az eltolásoknak sokszor tulajdonított kitüntetett szerepét, így elmélete átvihetĞ akár nem}euklideszi geometriákra is. Oly módon kezeli az euklideszi sík két dimenziós voltát, hogy eredménye magasabb dimenziókban is értelmezhetĞ lehet.

. A frízek és a frízcsoportok Definíció: Egy F fríz az euklideszi sík olyan ponthalmaza, melyhez létezik egy a síkbeli egyenes, melynek S#a$ szimmetria-csoportja tartalmazza a fríz S#F$ szimmetria-csoportját és S#F$ tartalmaz egy 2 legkisebb eltolást (ismert, hogy ekkor minden eltolás a csoportban ennek hatványa lesz). A fríz szimmetria-csoportját nevezzük frízcsoportnak, az említett egyenest pedig a fríz tengelyének. (Azon esetekben, amikor a frízcsoport csak eltolásokat és a tengelyre merĞleges egyenesre történĞ tükrözéseket tartalmaz, akkor a tengely csupán párhuzamosság erejéig egyértelmĬ.) A frízcsoportban lévĞ eltolások egy végtelen ciklikus csoportot alkotnak, melyet T6829-val jelölünk. Állítás: Egy frízcsoport az eltolásokon kívül tartalmazhat még a fríz tengelyére történĞ tükrözést, a tengely valamely pontjára való centrális tükrözést, a tengelyre merĞleges egyenesre tükrözést és a tengellyel párhuzamos csúsztatva tükrözést. Ezeket rendre ;a -val, ;P-vel, ;m-mel és $}val jelöljük. A csoportokon belüli szorzást a transzformációk egymásutánjaként, kompozíciójaként értelmezzük. Például a $;P esetén elĞször ;P-t, majd $-t végezzük el. Definíció: Ha egy frízcsoport az eltolásokon kívül más transzformációt nem tartalmaz, azaz S#F$6829, akkor a fríz típusa F. Állítás: Legyen F&<2 egy fríz, szimmetria-csoportja S#F$. Ha ;CYS#F$, C az a tengely egy tetszĞleges pontja, C pedig a 2#C$ pont és M a CC szakasz felezĞpontja, akkor a RC'MP nyílt szakaszon nincs olyan X pont, melyre ;XYS#F$ teljesülne. Állítás: Legyen F&<2 egy fríz, S#F$ a szimmetria-csoportja. Amennyiben S#F$ tartalmaz a tengely egy pontjára mint centrumra történĞ tükrözést, ;C-t, továbbá Ci62i#C$ akkor biztosan tartalmazza ;Ci-t is. Mi legyen a CiCi& szakasz felezĞpontja, ekkor ;Mi is beletartozik a fríz szimmetria-csoportjába és 26;Mi;Ci. S#F$ további pontra történĞ tükrözést nem tartalmazhat. Következmény: Ha S#F$682';C9, akkor S#F$68;C';m9. Definíció: Ha egy S#F$ frízcsoportra teljesül, hogy S#F$682';C9, akkor a fríz típusa F2. Állítás: Legyen F&<2 egy fríz, melynek szimmetria-csoportja tartalmazza a fríz a tengelyére történĞ tükrözést és S#F$682,;a9. Ekkor S#F$ nem tartalmaz pontra történĞ

–6–


7. oldal

tükrözést, de bármely XYa ponthoz tartalmazza azt a csúsztatva tükrözést, mely az X pontot az Xi62i#X$ pontba viszi, ahol iYO. Definíció: Egy F fríz F típusú, ha S#F$682,;a9 teljesül. Állítás: Legyen F&<2 egy olyan fríz, melynek szimmetria-csoportja tartalmazza a fríz tengelyére történĞ tükrözést és a tengely egy C pontjára való tükrözést is. Ekkor, ha teljesül, hogy S#F$682, ;C, ;a9, akkor igazak a következĞ állítások: t S#F$ minden eleme egyértelmĬen elĞáll 2k;ai;Cj alakban., ahol i'jYh0' és kYO. t Azon csúsztatva tükrözés, mely a C pontot a Ci62i#C$ pontba viszi, eleme a frízcsoportnak, alakja pedig 2;a. t Az a tengelyre a Ci62i#C$ pontban emelt merĞleges egyenest jelölje ci, az Mi pontban emelt merĞlegest pedig mi, ahol Mi a CiCi& szakasz felezĞpontja. Ekkor a ;ci622i;a;C és a ;mi62#2i+$;a;C tükrözések bármely iYO-re elemei S#F$-nek. t Ha pedig c az a tengelyre C-ben emelt merĞleges egyenes akkor S#F$682';c';a9 Definíció: Egy F fríz típusa F2, ha teljesül, hogy S#F$682';a';C9. Állítás: Legyen az F fríz olyan, hogy egy bka egyenesre teljesül: S#F$682,;b9, ekkor S#F$ minden eleme elĞáll 2k;bj alakban, ahol kYO, jYh0, és maga a fríz nem centrálszimmetrikus és nem szimmetrikus az a tengelyre sem. Definíció: Egy F frízre azt mondjuk, hogy F2 típusú, ha teljesül, hogy S#F$682';b9. Állítás: Legyen az F&<2 fríz olyan, melynek S#F$ szimmetria-csoportja tartalmaz egy tengelypontra vonatkozó centrális tükrözést, ;C-t, valamint egy a tengelyre merĞleges egyenesre történĞ tükrözést, ;b-t, ahol CiZb és MiZb. Ekkor b csak valamely CMj szakasz felezĞmerĞlegese lehet; feltehetĞ, hogy CM-é. Bevezetve a $6;b;C jelölést, $ egy csúsztatva tükrözés lesz, melynek négyzete 2. Definíció: Egy F frízrĞl akkor mondjuk, hogy F22 típusú, ha teljesül, hogy S#F$68;b';C968$';C9. Állítás: Ha az F&<2 fríz olyan, hogy S#F$ tartalmaz csúsztatva tükrözést, de nem tartalmaz sem centrális, sem tengelyes tükrözést, akkor T olyan $ csúsztatva tükrözés, melyre S#F$68$9. Definíció: Ha egy F fríz olyan, hogy S#F$ szimmetria-csoportja megegyezik 8$9-val, akkor típusa F3.


8. oldal

Tétel: Egy F&<2 fríz típusa mindig a következĞ 7 típus egyike. . F, ahol S#F$6T6829Ce

A frízcsoport 2i alakú eltolásokból áll #iYO$. 2. F, ahol S#F$682,;a9CeOD A generátorokra teljesül, hogy 2;a6;a2.

Elemei eltolások, csúsztatva tükrözések és az a tengelyre történĞ tükrözés, melyek rendre 2i, 2i;aés ;a alakúak #iYO$. 3. F2, ahol S#F$682,;b9De, bka és ;b262};b.

Ekkor a csoport elemei a 2i eltolások vagy 2i;b alakra hozható tengelyes tükrözések #iYO$. 4. F3, ahol S#F$68$9Ce

A frízcsoport elemei $2i alakú eltolások és $2i& alakú csúsztatva tükrözések #iYO$. 5. F2, ahol S#F$682,;C9De, CYa és ;c262};c.

A csoport elemei 2i eltolások és 2i;C centrális tükrözések. 6. F2, ahol S#F$682,;C,';a9DeOD, CYa és ;a262;a, ;C262};C, ;a;C6;C ;a.

A csoport minden lehetséges transzformációt tartalmaz, melyeket egy frízcsoport tartalmazhat. 2i eltolások, 2i;a csúsztatva tükrözések, i60 esetén természetesen a fríz tengelyére történĞ tükrözés, 2i;C a tengely egy pontjára történĞ tükrözések és 2i;a;C az a tengelyre merĞleges egyenesre való tükrözések. 7. F22, ahol S#F$68$,;C9De, CYa, és ;C$6$};C.


9. oldal

A csoport elemei $i vagy $i;C alakúak, melyeket érdemes még továbbcsoportosítani. $262$ eltolás, így négy különbözĞ transzformációt jelölnek az elĞbbiek. 2$k mindig eltolás, 2$k$ csúsztatva tükrözés, 2$k;C centrális tükrözés, s végül 2$k;t tengelyes tükrözés, ahol ;t6$;C, tka és i'kYO. A különbözĞ csoportok Fmn típusú jelölései Fejes-Tóth Lászlótól származnak. A különbözĞ indexek a csoportban lévĞ transzformációkat jelzik. Alsó indexben szereplĞ -es jelenti, hogy a fríz szimmetria-csoportja nem tartalmaz pontra való tükrözést, a 2-es, hogy igen. A felsĞ indexeknél -es jelenti, hogy a fríz szimmetria-csoportja tartalmazza a fríz tengelyére történĞ tükrözést, s a 2-es pedig, hogy nem. A felsĞ indexben szereplĞ 3-as pedig jelöli, hogy fríz szimmetria-csoportja nem tartalmazza a fríz tengelyére történĞ tükrözést, de tartalmaz olyan csúsztatva tükrözést, melynek tengelye a fríz tengelye. A következĞ ábra segítségével könnyedén eligazodhatunk a fent említett frízcsoportok között. Az ábra csúcspontjaiban a négy lehetséges geometriai transzformáció helyezkedik el. A különbözĞ frízcsoportok aszerint vannak az ábrában elhelyezve, hogy mely geometriai transzformációkat tartalmazzák, s melyeket nem. (CYa, bka, $ pedig az a tengellyel párhuzamos csúsztatva tükrözés) ;CYS#F$? Z ;aYS#F$?

;aYS#F$?

Z

Z

Y F

;bYS#F$? Z

F

Y F2

;bYS#F$?

Y

Z 2

$YS#F$? Z

Y

F

Y F22

F2

Y F3

A második ábra pedig a fellelhetĞ részcsoport kapcsolatokat mutatja meg a különbözĞ frízek között, melynek nagy jelentĞsége lesz majd a színezett frízek tárgyalásánál.

F2

2

F2

F

3

F2

F

2

F

F

A továbbiakban használni fogjuk még Marjorie Senechal két karakteres szimbólumait is a 7 frízcsoport megkülönböztetésére. (Ezen jelöléseket fĞleg a krisztallográfusok használják.) Senechal ezekkel a jelölésekkel N. V. Belov 4 jegyĬ jeleit tette egyszerĬbbé.


0. oldal

Szimbólumaiban 1: vízszintes irányú eltolást, 2: középpontos tükrözést, g: vízszintes irányú csúsztatva tükrözést, m: pedig függĞleges tengelyre vagy vízszintes tengelyre vett tükrözést jelöl (attól függĞen, hogy az elsĞ vagy második helyen szerepel). Vízszintesnek a fríz tengelyének irányát tekintjük. Jelölései természetesen ugyanazon csoportokat adják, mint Fejes-Tóth Lászlóé. A 7 frízcsoportot absztrakt csoportként tekintve csupán négy különbözĞ csoportnak felelnek meg izometria erejéig: (Mostantól a frízcsoportokat a nekik megfelelĞ fríz típusának jelével jelöljük.) Állítás: F611Ce

F361gCe

F26m1De

F2612De

F226mgDe

F61mCeOD F26mmDeOD (D itt a fríz tengelyére történĞ tükrözés által generált kételemĬ csoportot jelöli.) Bizonyítás: t F611Ce és F361gCe F611Ce, S#F$6T6829, az egyetlen olyan frízcsoport, mely csupán az eltolásokat tartalmazza, izomorf Ce-nel, hiszen egy e rendĬ elem generálja. F361gCe, S#F$68$9. Izomorf Ce-nel, mivel egy végtelen rendĬ elem által generált csoport. Elemei eltolások és csúsztatva tükrözések. t A

De

diéder-csoportnak

a

8T'SiS26'ST6T}S98P'QiP26Q269

(S6P'T6QP'Q6TS) prezentációkkal való megadását belátható, hogy az említett három frízcsoport izomorf vele.

tekintve

egyszerĬen

F26m1De, eltolásokból és a fríz tengelyére merĞleges egyenesekre történĞ tengelyes tükrözésekbĞl áll. S#F$682';bi;b262};b';b269, úgy, hogy a ;b tükrözés b tengelye merĞleges a fríz tengelyére. Tehát 2 betöltheti T szerepét, ;b pedig S-ét. 2 a fríz tengelyével párhuzamos eltolás, hosszát jelölje t. Az így felírt szimmetria-csoport megegyezik azzal, melyet két, az a tengelyre merĞleges tengelyre tükrözés generál; ez 8;b';b2i;b2 6;b22 69, ugyanis az eltolás felbontható két tengelyes tükrözésre úgy, hogy az azok által generált csoport megegyezik a frízcsoporttal. Két olyan tengelyes tükrözésre van szükség, melyek tengelyei merĞlegesek az eltolás irányára, távolságuk pedig az eltolás nagyságának a fele. Legyen az egyik tengely a b egyenes, azaz bJb és b2 legyen párhuzamos b-gyel úgy, hogy d(b,b2)6t és a b2 egyenes a b-tĞl a 2 eltolás irányában helyezkedik el.


. oldal

A 2 és ;b ugyanazon csoportot generálja, mint ;b és ;b2, mivel 26;b2;b és ;b62;b . Így P és Q szerepét például ;b és ;b2 töltheti be. F2612De

eltolásokból

és

}

középpontos

megegyezik

S#F$682';Ci;C262 ;C';C269,

a

tükrözésekbĞl

áll,

8;C,;C2i;C2 6;C22 69

szimmetria-csoporttal. Itt ;C, ;C és ;C2 a fríz tengelyének egy-egy pontjára történĞ tükrözés. T szerepét továbbra is a 2 eltolás tölti be; S, P és Q szerepét pedig az adott középpontos tükrözések. Az elĞzĞekhez hasonlóan, ;C és ;C2 ugyanazon csoportot generálják, mint 2 és ;C, mivel a C és C2 pontok választhatóak úgy az a tengelyrĞl, hogy a rájuk történĞ tükrözések szorzata a 2 eltolást adja és C6C. Így 26;C2;C és ;C6;C. F226mgDe, tartalmaz eltolásokat, az a tengelyre merĞleges egyenesekre történĞ tükrözéseket, csúsztatva tükrözéseket és centrális tükrözéseket. S#F$68$,;Ci;C26';C$6$;C}9. Felírható 8;C';mi;C26;m269 alakban is, ahol $ egy az a tengellyel párhuzamos csúsztatva tükrözés, melyben az eltolás nagysága t, ;C pedig, a szokásos jelöléshez hĬen, egy tengelyen lévĞ pontra való tükrözés. Ebben az esetben T-nek a $ csúsztatva tükrözést feleltethetjük meg, S-nek és P-nek a megfelelĞ középpontos tükrözéseket, Q-nak pedig a ;m tengelyes tükrözést. A csúsztatva tükrözés elĞállítható egy a tengelyén lévĞ pontra való tükrözés, ;C, és egy a tengelyére merĞleges egyenesre való tükrözés, ;m, egymásutánjaként. Választható elsĞként a centrális tükrözés középpontja és ez már egyértelmĬen meghatározza a szükséges tengelyes tükrözést is. Legyen C az eredetileg megadott C pont, m pedig egy az a-ra M pontban merĞleges egyenes, ahol d#C'M$6t és M a C-tĞl a csúsztatva tükrözést meghatározó eltolás irányába helyezkedik el. Ekkor $ és ;C ugyanazon csoportot generálja, mint ;C és ;m, hiszen $6;m;C és ;C6;m$. t F61mCeOD 1m direktszorzata 11 (vagy 1g)-nek és 8;a9-nak. Az említett direktszorzatok a következĞ

módon

néznek

ki:

829O8;a9682';ai2;a6;a2';a269

vagy

8$9O8;a968$';ai$;a6;a$';a26968$';a968$;a';a9682';a9, melyek megfelelnek az S#F$682,;a9 szimmetria-csoportú F fríztípus definíciójának. A frízcsoport ekkor eltolásokból, csúsztatva tükrözésekbĞl és a tengelyre történĞ tükrözésbĞl áll. S#F$682';ai;a26'2;a6;a29. D68SiS269, Ce68T9 és ezen jelöléseket használva a két csoport direktszorzata: CeOD68T'SiS26'ST6TS9. Legyen a D-gyel izomorf csoport a vízszintes tükrözés által generált 8;a9 és a ciklikus végtele csoport pedig 2. Ezek direktszorzata az elĞbbiek alapján pontosan 1m-et adja. t F26mmDeOD mm direktszorzata m1 (vagy 12 vagy mg)-nek és 8;a9-nak. Az eddigiek alapján, minthogy m16F2, 126F2 és mg6F22, a direktszorzatok a következĞ eredményeket adják:


2. oldal

82';b9O8;a9682';b';ai2;a6;a2';b;a6;a;b';a26';b262};b9, 82';C9O8;a9682';C';ai2;a6;a2';C;a6;a;C';a26';C262};C9682';C';a9 682';b';a9682';b;a';a9682';C';a9, 8$';C9O8;a968$';C';ai$;a6;a$';C;a6;a;C';a26';C$6$};C968$;a';C';a9 682';C';a9, melyek megfelelnek az S#F$682';C';a9 szimmetria-csoportú F2 fríztípusnak. Ezen frízcsoport eltolásokból, centrális tükrözésekbĞl, az a tengelyre illetve arra merĞleges egyenesekre történĞ tükrözésbĞl és csúsztatva tükrözésekbĞl áll. A definícióban szereplĞ direktszorzatok m1, 12 illetve mg tényezĞi egyaránt izomorfak De-nel, 8;a9 pedig izomorf D-gyel.

2. A színezett frízek és szimmetria-csoportjaik A színezett frízek elméletének megalapozását B. L. van der Waerden és J. J. Burckhardt adták meg egy közös dolgozatukban P4R. A következĞkben elĞször az említett dolgozat alapján néhány fogalmat és tételt ismertetünk. Definíció: Legyen F&<2 egy fríz, S#F$ a szimmetria-csoportja. Legyen F kiszínezve az s's2'sN színekkel, vagyis minden egyes xYF ponthoz legyen egy s#x$Yhsiii6''N szín rendelve. Az így keletkezĞ y#x's#x$z párok halmazát az F fríz egy N-színezésének nevezzük. Legyen ez a színezés olyan, hogy az S#F$ frízcsoport minden 4 elemére teljesül a következĞ: ha x'yYF esetén s#x$6s#y$, akkor sy4#x$z6sy4#y$z, azaz 4 azonos színĬ tartományokat azonos színĬekbe vigyen. Az Fi6hxYFis#x$6si, #i6''N$ halmazt a fríz si színĬ részének, az S#Fi$6h4YS#F$i4#Fi$6FiS#F$ részcsoportot pedig az si szín stabilitási részcsoportjának nevezzük. A következĞkben megköveteljük még azt is, hogy S#F$ tranzitív legyen a színek halmazán, azaz bármely i'jN esetén van olyan 4YS#F$34#Fi$6Fj. Ez annyit jelent, hogy minden szín szerepe legyen egyenrangú. (A szomszédos mintaelemek határolópontjait nem mindig tudjuk a definíciónak megfelelĞen kiszínezni – az egészen precíz definícióhoz meg kéne engedni, hogy ilyen pontokat színezetlenül hagyhassunk. Ezen részletekkel a késĞbbiekben sem akarunk foglalkozni, a példákon majd láthatóvá válik, mit értünk színezett fríz alatt.) Egy F fríz N-színezése esetén, Coxeter elmélete szerint, fontos szerepet töltenek be az S#F$ azon részcsoportjai, melyek valamely szín stabilitási részcsoportjai, illetve az, mely minden színt fixen hagy. Definíció: Egy F színezett fríz szimmetria-csoportján az S#F$ azon részcsoportját értjük, mely minden színt megtart. Ez S#F$ normálosztója lesz. Általában egy stabilitási részcsoportot H-val fogjuk jelölni, a normálosztót pedig G-gyel. Megjegyzés: Ha 4YS#F$, akkor Usi színhez Tsj szín, hogy 4#Fi$6Fj. Ekkor persze }

4 #Fj$6Fi. Állítás: Ha 4YS#F$ olyan, hogy 4#Fi$6Fj, akkor S#Fj$64S#Fi$4}. Bizonyítás: Ha 6YS#Fi$, akkor 464}#Fj$646#Fi$64#Fi$6Fj, tehát S#Fj$4S#Fi$4}. 4 helyére

az }

inverzét

írva

}

}

ugyanígy

kapjuk,

hogy

S#Fi$4}S#Fj$4,

amibĞl

4S#Fi$4 4y4 S#Fj$4z4 6S#Fj$. Azaz mindkét oldal tartalmazza a másikat, így egyenlĞség áll fenn. – 3 –


4. oldal

Következmény: Bármely S#Fi$ és S#Fj$ konjugált, hiszen található olyan 4YS#F$, melyre 4#Fi$6Fj. Állítás: Ha 4'42''4NYS#F$ olyan elemek, hogy 4i#F$6Fi #i6,'N$, akkor S#F$6S#F$Y42S#F$YY4NS#F$ diszjunkt unió és 4iS#F$ azokat az elemeket tartalmazza, melyek az s színĬ részt az si színĬ részbe képezik. Bizonyítás: Legyen 6YS#F$ tetszĞleges és )YS#F$ olyan, hogy )#F$6Fi. Ekkor } } } 4i6#F$64i#F$6Fi, továbbá 4} i )#F$64i #Fi$6F miatt 4i )YS#F$, azaz )64i4i )Y4iS#F$.

Ezek szerint 4iS#F$ egy tetszĞleges eleme az s-színĬ részt az si színĬ részbe képezi, továbbá minden ilyen tulajdonságú elem benne van 4iS#F$-ben, ahogy az állítás második fele mondja. Az elsĞ rész ebbĞl már nyilvánvaló. Következmény: Egy F&<2 fríz s's2'sN színekkel való színezése esetén a fríz si -színĬ részéhez tartozó S#Fi$S#F$ stabilitási részcsoportjának indexe N. Hiszen az imént pontosan az S#F$-et állítottuk elĞ mint az S#Fi$ részcsoport N darab baloldali mellékosztályának diszjunkt uniója. Ezek alapján ha egy színezett fríz esetén adott a fríz G szimmetria-csoportja és egy szín H stabilitási részcsoportja, akkor a PG3HR6N egyenlet megadja a színek számát és a H szerinti mellékosztályok pedig az ugyanolyan színĬ tartományokat a frízen, mivel megadható egy kölcsönösen egyértelmĬ leképezés a mellékosztályok és a színezett részek között a következĞ módon. Jelöljük ki a fríz egy X egyszínĬ részét, melynek képei diszjunktak (ez megtehetĞ). Feleltessük meg ezt a részt a szimmetria-csoport egységelemének, egy tetszĞleges 4 elemnek pedig a 4#X$ részt. A következĞ példán egy F2 típusú fríz szerepel, melynél G682,;C';a9, HJ829 ekkor PG3HR64. Az egyszínĬ részeket a következĞk alapján kaphatjuk meg: 2}1#X$

2}1;a#X$

X

2}1;C;a#X$

2};C#X$

;a#X$

;C;a#X$

;C#X$

2#X$

2;a#X$

2;C;a#X$

2;C#X$

22#X$

22;a#X$

22;C;a#X$

22;C#X$

Végül, ha adott a G frízcsoportnak egy N indexĬ H részcsoportja, akkor a fríznek található olyan N-színezése, mely megfelel a feltételeinknek és az egyik szín stabilitási részcsoportja H lesz. Kijelölünk a frízben egy olyan X tartományt, melynek képei % 4#X$ felírást a fríz egy diszjunktak és (lényegében) kiadják a teljes frízt. (Az F6] 4YG

cellafelbontásának nevezzük.) X}et egyszínĬre festjük majd az elĞzĞ bekezdésben leírtaknak megfelelĞen színezünk. Állítás: Egy F&<2 színezett fríz esetén a G6\N i6S#Fi$ részcsoport normálosztó.


5. oldal

Bizonyítás: Legyen 4YS#F$ tetszĞleges és lássuk be, hogy 4G4}G. Tudjuk, hogy minden si színhez van olyan si% szín, melyre 4S#Fi$4}6S#Fi%$. Ezzel a jelöléssel } 4G4}6\N i64S#Fi$4 6\N i6S#Fi%$, ami tartalmazza \N i%6S#Fi%$6G-et.

Az eddigiek alapján szükségünk van a 7 színezetlen frízcsoport véges indexĬ részcsoportjaira és normálosztóira. Ehhez nagy segítséget nyújt, hogy ismerjük a csoportok absztrakt felépítését, így elegendĞ elĞször azok részcsoportjait feltérképeznünk, majd az eredmények segítségével könnyebben meghatározhatóak minden egyes frízcsoportra a keresett részcsoportok.

A részcsoportok és normálosztók áttekintése a frízcsoportként elĞkerülĞ absztrakt csoportok körében (A felhasznált algebrai tételek az algebrai függelékben megtalálhatóak.) Amennyiben külön nem jelöljük, kYO&. Ce Ce68T9, elemei Ti alakúak, iYO. Részcsoportjai 8Ti968T}i9Ce alakú ciklikus csoportok #iYE$, melyek mindig normálosztók, mivel Ce kommutatív. Az ilyen részcsoportok indexe i, kivéve i60 esetén, amikor e. Ce8T9*Ce8Ti9Ci, ha iYE&. De De68T'SiS26'ST6T}S96h'S'T'TS'T}'T}S'T2'T2S''Tn'TnS'T}n'T}nS' vagy pedig 8P'QiP26Q2696h,P'Q'PQ'QP'PQP'QPQ''#QP$n'#PQ$n'P#QP$n'Q#PQ$n'. T hatványait szoktuk eltolásoknak vagy páros elemeknek nevezni (utóbbi a 8P'QiP26Q269 prezentációból ered, ahol a P6S, T6QP és Q6TS helyettesítéseket használva pontosan T hatványai állnak páros sok betĬbĞl), e rendĬek. A TkS alakúakat tükrözéseknek vagy páratlan elemeknek nevezhetjük. Nem triviális részcsoportjai a következĞk lehetnek: t Egy elem által generáltak, melyek C2-vel izomorfak: 8TkS9, ahol kYO; indexük e. t Egy elem által generáltak, melyek Ce-nel izomorfak: 8Tk9; indexük k. t Két elem által generáltak, melyek De-nel izomorfak: 8Tk'TlS968TlS'Tl&kS9, ahol k'lYE és 0lk. Minden nem-ciklikus részcsoportjai felírható ilyen alakban. Indexük k. Normálosztói: t A Ce-nel izomorf, Tk által generált csoport normálosztó, hiszen ha H68Tk9, akkor SHS}6S8Tk9S}68STkS}96H; T-vel történĞ konjugálás érdektelen, mert a


6. oldal

generátor T-hatvány. De8T'S9*Ce8Tk968g T'g Sig S26'g ST g6g T}S g'g Tk69Dk, ahol T képe a faktorcsoportban g T, S-é pedig g S. t De-nel izomorf részcsoportok esetén H68Tk'TlS9, ahol k'lYE és 0lk. Ezen részcsoportok esetén elĞfordulhat, hogy normálosztót kapunk, de az is, hogy nem. De-ben a páros elemeket (eltolásokat) páratlannal (tükrözéssel) konjugálva az inverzüket kapjuk, hiszen TkSTm#TkS$}6TkT}mT}k6T}m. Ha H normálosztó, akkor definíció szerint UhYH és UgYG esetén ghg}YH. Továbbá h}YH miatt H[ghg}h}6g#hg}h}$. Ha g páros és h páratlan elemek, akkor a zárójelben is g áll és így g2YH. Például g6T, h6TlS ilyen, ezért T2YH fenn kell álljon. SĞt, könnyen belátható, hogy T2YH elégséges feltétele annak, hogy H normálosztó legyen. Ugyanis H-ban a legkisebb páros szó (melynek minden más H-beli páros szó hatványa) Tk, így T2YH azt jelenti, hogy TnYO3T26Tkn, ezért k6 vagy k62. Az elsĞ esetben H68T'T0S9 az egész csoport. A másodikban H68T2'S9 vagy H68T2'TS9; mindkét esetben 2 az index, ezért H valóban normálosztó és faktorcsoportként C2-t kapjuk. A De68P'QiP26Q269 felírásnál 8P'QPQ9 és 8PQP'Q9 felel meg az utóbbi két részcsoportnak. CeOD1 CeOD68T'SiS26'ST6TS96hTn'TnSinYO Részcsoportjai (mind normálosztó, mivel a csoport kommutatív): t 8S9C2 az egyetlen nem triviális e indexĬ részcsoport. t 8Tk96hTnkinYOCe, indexe 2k, faktorcsoportja S26'g ST g6g TS g9CkOD8g T'g S9 és ha k páratlan, CeOD8T'S9*Ce8Tk968g T'g Sig Tk6g akkor mindez egyszerĬbben C2k8g TS g9. -mal az elemek faktorcsoportbeli képeit S6S8Tk9. jelöljük, azaz g T6T8Tk9 és g t 8TkS96hT2nk'T#2n&$kSinYOCe, indexe 2k, faktorcsoportja CeOD8T'S9*Ce8TkS968g T'g Sig TkS g6g S26'g ST g6g TS g9C2k8g T9. t 8Tk'S96hTnk'TnkSinYOCeOD, indexe k, faktorcsoportja CeOD8T'S9*CeOD8Tk'S968g T'g Sig Tk6g S69Ck8g T9. DeOD1 Kényelmesebb most a De csoportot mint egy „eltolás” és egy tükrözés által generált csoportot tekinteni, azaz De68T'SiS26'ST6T}S9.


7. oldal

De8T'S9OD8U968T'S'UiS26U26'ST6T}S'UT6TU'US6SU9 6hTn'TnS'TnU'TnSUinYO. Nem triviális részcsoportjai: t MásodrendĬ ciklikus részcsoportok: 8U9'8TkS9, indexe e. t 8U'TkS9C2OC2D2, indexe e. t Végtelen ciklikus részcsoportok: 8Tk9'8TkU96hT2nk'T#2n&$kUinYO, indexük 4k. t 8Tk'U96hTnk'TnkUinYOCeOD, indexe 2k. t S"JTlS, így 8Tk'S"96hTnk'TnkS"inYODe, ahol feltehetĞ, hogy 0lk, indexe 2k. t S""JTmSU, így 8Tk'S""96hTnk'TnkS""inYODe, ahol 0mk, indexe 2k. t 8TkU'S"96hT2nk'T#2n&$kU'T2nkS"'T#2n&$kS"UDe, ahol 0l2k, indexe 2k. t 8Tk'S"'U96hTnk'TnkS"'TnkU'TnkS"UDeOD, indexe k. Normálosztóinak kiszámításánál fontos szerepet játszik, hogy S" és S"" ugyanúgy viselkedik, mint S: De8T'S96De8T'S"96De8T'S""9. Továbbá mivel U mindennel felcserélhetĞ, a vele való konjugálást nem kell vizsgálni. Így normálosztói a következĞek: t 8Tk9 normálosztó, mivel S8Tk9S}6S8Tk9S68T}k968Tk9.

Faktorcsoportja

pedig 8g T'g S'Uig g Tk6'g S26U g26'g ST g6g T}S g'Ug gT6g TU' g Ug gS6g SU9D g kOD. Páratlan k-ra TU'g g S9 alakban. ez felírható D2k8g t 8TkU9, szintén normálosztó, hiszen itt is elegendĞ az S-sel való konjugálást ellenĞrizni,

ami

Faktorcsoportja látszik, hogy

pedig

S8TkU9S68STkSU968T}kU}968UTk968TkU9.

8g T'g S'Uig g TkU6'g g S26U g26'g ST g6g T}S g'Ug gT6g TU' g Ug gS6g SU9, g

U6g g Tk,

ahol

ezért a csoport felírása tovább egyszerĬsíthetĞ és a következĞ

formára hozható: 8g T'g Sig T2k6g S26'g TS g6g ST g}9D2k. t 8Tk'U9 normálosztó, mivel elegendĞ az S-sel való konjugálást ellenĞrizni, ami S8Tk'U9S68T}k'U968Tk'U9. Faktorcsoportja az elĞzĞekhez hasonlóan számolva 8g T'g Sig Tk6g S26'g TS g6g ST g}9Dk. t Azt állítjuk, hogy a 8Tk'S"9 részcsoport csak k6'2 esetén normálosztó. T-vel vett konjugáltja

T}8Tk'S"9T68Tk'T}TlST968Tk'Tl}2S968Tk'T}2S"9, H68Tk'S"9

ami

csak

T2YH,

csoporttal, ha azaz ha k6'2. Ha k6, akkor lehet egyenlĞ a akkor a részcsoport indexe 2, így az biztosan normálosztó és faktorcsoportja 8Ui g U g269C2. Ha k62, akkor ellenĞrizhetĞ, hogy S}sel konjugálva is önmagába megy. A faktorcsoport felírható 8g T'S"' g Uig g T26S"6 g U g26'g SU6 g U gS"' g S"g gT6g TS"' g Ug gT6g TU9 g alakban, ami pedig leegyszerĬsítve 8g T'Uig g T26U g26'Ug gT6g TU9D g 2.


8. oldal

t 8Tk'S""9 részcsoport szintén k6'2 esetekben lesz normálosztó, mely az elĞzĞekhez hasonlóan számolható. Ha k6, akkor a részcsoport indexe szintén 2, így normálosztó,

faktorcsoportja

8g T'Uig g T26U g26'Ug gT6g TU9D g 2

pedig

8Ui g U g269C2.

k62

esetén

a

faktorcsoportot kapjuk.

t 8TkU'S"9 csupán k6-re lesz normálosztó. Az eddigiekhez hasonló módon g T-vel való konjugáltjából látszik, hogy T2YH}nak teljesülnie kell, ami csak k6}re lehetséges. Ekkor az index 2, vagyis H normálosztó, faktorcsoportja pedig izomorf a g T által generált C2-vel avagy az U g által generált D-gyel. t 8Tk'S"'U9 részcsoport normálosztó, ha k62. A T-vel való konjugálás eredménye T}8Tk'S"'U9T68Tk'T}2S"'U9, ami k6'2-re fog megegyezni a részcsoporttal. Ha k6, akkor a részcsoport egyenlĞ az eredeti csoporttal, ha pedig k62, akkor indexe 2, tehát normálosztó és faktorcsoportja C2-vel izomorf. A

frízcsoportok

vizsgálatánál

folyamatosan

igyekszünk

megkülönböztetni

az

egyébként izomorf D és C2 absztrakt csoportokat aszerint, hogy generátoruk (Ğsképe) irányításváltó vagy sem. A következĞ táblázatban a véges indexĬ részcsoportokról és normálosztókról kapott eredményeink összefoglalása található. Azon esetekben, ahol a vizsgált részcsoport nem normálosztó, a hozzá tartozó normálosztót a részcsoport konjugáltjainak metszeteként kaphatjuk. (Az elĞzĞek bĞvebb magyarázata megtalálható az algebrai függelékben.)

A teljes csoportot , a vizsgált részcsoportot , a hozzá tartozó normálosztót 1 jelöli. Továbbá kYO&, nYO. Ce6 8T9 9

11, 1g

Részcsoport

Jelölések

Elemek

k

kn

8T 9

hT

968P''QiiP 26Q2619 De68 T''SiiS26 1''ST6 6T}1968 QP''PiiP 261''P##QP$$6#QP$$}1P9 9 Részcsoport

Jelölések

8T 9

hT

8T2'TlS9 k

l

8T 'T S9

k2;

kn

hT2n'T2n&lS

l60'1 lYE;

kn

hT 'T

lk

CeO D168 T''SiiS26 1''ST6 6TS9 9

kn&l

P 3 R

Ce

k

P 3 R

Ce

2k

De

2

1

* Ck8g T9

m1, 12, mg

Elemek

k

S

1

* Dk8g T'g S9


I. táblázat – a frízcsoportként elõforduló csoportok véges indexû részcsoportjai

C28g T9 k

De

k

8T 9

P 3 R

1

1m

Részcsoport

Jelölések

Elemek

k

kn

*

8T 9

hT

Ce

2k

Ck8g T9OD18g S9

8TkS9

hTk2n'Tk2n&kS

Ce

2k

C2k8g T9

CeOD1

k

Ck8g T9

P 3 R

k

kn

8T 'S9

kn

hT 'T S T9OD18g S96C2k8g Tg S9. Továbbá ha k páratlan, akkor Ck8g 2

2

1

6TU''US6 6SU9 9 DeO D168T''S''UiiS 6U 61''ST6 6T} S''UT6 Részcsoport

mm

Jelölések

Elemek

k

kn

1

*

8T 9

hT

Ce

4k

Dk8g g T'g S9OD18U9

8TkU9

hTk2n'Tk2n&kU

Ce

4k

D2k8g T'g S9

2k

Dk8g T'g S9

k

8T 'U9 k

k61'2;

8Tk'S"9

k2;

k

8T 'S9

k2;

8T 'S"'U9

S"6T S; S"6TlS; m

S6T SU; S"6TlS;

k 2;

8T2'S"'U9 k

CeOD1

kn

kn

lYE; lYE;

lk lk

hT 'T S"

De

hTkn'TknS"

De

hTkn'TknS

k2;

l

mYE; l60'1

S"6T S;

lYE;

S"6TlS;

l60'1

l

S"6T S;

mk

De

hTkn'TknS

De

lYE;

l2k lk

2, 2,

De

2

hT2kn'T2nkS"'T2kn&kU'T2kn&kS"U

De

2k

hTn'TnS"'TnU'TnS"U

DeOD1

2

kn

kn

kn

hT 'T S"'T U'T S"U

g g S9. T'g S9OD18U96D TU'g Továbbá ha k páratlan, akkor Dk8g 2k8g

DeOD1

8Tk9 D18U9, g D28g g T'U9

4

2k

hT2n'T2nS"'T2n&1U'T2n&1S"U

kn

D18U9, g D28g g T'U9

4

2k

k

8Tk9 C28g g T96D18U9 8TkU9 C28g T9 k

8T 'U9

9. oldal

8T U'S"9

l

k61'2; S6TmSU; mYE; mk

8TU'S"9 k

kn

hT 'T U

8T 'S"9 8Tk'S9

kn


20. oldal

A frízcsoportok részcsoportjainak áttekintése Az eddigiek alapján egy frízrĞl eldönthetĞ részcsoportjainak segítségével, hogy különféle módokon hány színnel színezhetĞ. Láthatóvá válik majd, hogy egy frízcsoport minden véges indexĬ részcsoportja is frízcsoport, mégpedig egy az eredeti frízzel azonos tengelyĬ fríznek szimmetria-csoportja. Egy színezett fríz egyszínĬ része is egy frízt alkot, melynek szimmetria-csoportja a szín stabilitási részcsoportja. Továbbá ha adott egy színezetlen fríz és annak G szimmetria}csoportja, akkor egy N indexĬ H részcsoportja lényegében meghatározza a fríz egy N-színezését. Egy színezett fríz típusán a PG:HR6N összefüggést értjük, ahol G-t és H-t mint frízcsoport típust ismerjük. A véges részcsoportok indexe adja majd meg a lehetséges színek számát. A következĞkben meghatározzuk, milyen részcsoportjaik lehetnek frízcsoportoknak. A II. táblázat foglalja össze a frízcsoportok különbözĞ fríztípusú részcsoportjait és azok lehetséges indexeit. G jelöli a frízcsoportot, H pedig annak egy részcsoportját. Az egyes cellákban pedig a lehetséges PG:HR6N indexek találhatóak. k mindig pozitív egészet jelöl. Például az 1g mint önmaga részcsoportjának indexe bármely 2k} alakú pozitív egész szám lehet, mivel a csúsztatva tükrözés páratlan hatványai szintén csúsztatva tükrözések, míg páros hatványai már eltolások. G

H

11

1g

m1

12

11

k

1g

2k

m1

2k

12

2k

1m

2k

2k

mg

4k

4k}2

2k

2k

mm

4k

4k

2k

2k

1m

mg

mm

2k} k k k 2k} 2k

2k

k

II. táblázat – frízcsoportok részcsoportjai és lehetséges indexeik

11 G, a fríz szimmetria-csoportja egy végtelen ciklikus csoport, melyet egy 2 eltolás generál, részcsoportjai H682k9 alakú, szintén egyetlen eltolással generált ciklikus csoportok, melyek UkYO& esetén 11 típusú frízcsoportot alkotnak. PG3HR6P829382k9R6k, vagyis

mellékosztályainak

száma

k,

melyek

a

következĞk:

2082k9'

282k9'

2282k9''2k}82k9, mivel 2i82k962i&nk82k9, UnYO esetén. Vagyis UNYE-re létezik egy 11 típusú fríznek N-színezése. (Természetesen ameddig tudunk N db különbözĞ színt mondani.)


2. oldal

1g A szimmetria-csoport generátora egy, az a tengellyel párhuzamos $ csúsztatva tükrözés. G68$9, részcsoportjai H68$k9 alakúak, az elĞzĞekhez hasonlóan elegendĞ kYO& eseteket tekinteni. Az így kapott csoportok szintén végtelen ciklikus csoportok. Ha k páros, akkor $k eltolás és az általa generált H részcsoport 11 típusú frízcsoport; ha k páratlan, akkor $k csúsztatva tükrözés, s a vele generált H pedig 1g típusú. Mindkét esetben PG3HR6P8$938$k9R6k. Így itt is elmondható, hogy UNYE mellett kiszínezhetĞ a fríz N színnel, bár páros és páratlan N-re a színezések típusa nem ugyanolyan. m1 A fríz szimmetria-csoportját vagy egy eltolás és egy tengelyes tükrözés generálja, vagy pedig két tengelyes tükrözés. G682';b968;b';b29 izomorf De-nel. 26;b;b2, ;b6;b és b'b2ka. Utóbbi szépen mutatja a De szokásos megfogalmazását, amikor mint 2 párhuzamos tükrözés által generált csoportot tekintjük. Páros elemei az eltolások, a páratlanok pedig az eltolás irányára merĞleges tengelyre történĞ tükrözések. ElĞbbiek a csoport irányítástartó, végtelen rendĬ transzformációi (kivéve persze az egységelem, melynek rendje ), utóbbiak pedig az irányításváltóak, s mint minden tükrözés, másodrendĬek. Részcsoportjai a következĞek: t 82k968#;b;b2$k9, típusa 11, indexe pedig 2k. t 82k'2l;b968#;b;b2$k'#;b;b2$l;b9, l'kYE40lk részcsoportot a fríz tengelyére merĞleges egyenesre történĞ tengelyes tükrözés és egy eltolás generálja, típusa: m1, indexe: k. 12 Szimmetria-csoportja G682';C968;C1';C29, ahol ;C1';C2 az a tengelyre illeszkedĞ pontokra történĞ tengelyes tükrözések választhatóak úgy, hogy 26;C;C2 és ;C6;C, 2 a szokásokhoz hĬen egy eltolás. G részcsoportjai: t 82k968#;C1;C2$k9, típusa: 11, indexe: 2k. t 82k'2l;C9, l'kYE40lk. A generátorok ebben az esetben egy a fríz tengelyére esĞ pontra történĞ tükrözés és egy eltolás, típusa: 12, indexe: k. mg Szimmetria-csoportja szintén De-nel izomorf. Egy csúsztatva tükrözés és egy középpontos tükrözés generálja, de elĞállhat egy a tengelye merĞleges egyenesre történĞ tükrözés és egy centrális tükrözés által generált csoportként is. Ezek alapján G68$';C968;C';m9, ahol $6;m;C. Részcsoportjai: t 8$k968#;C;m$k9 páros és páratlan k esetén két különbözĞ típusú frízt határoz meg. Ha k62n}'nYE, akkor $k egy csúsztatva tükrözés, míg ha k62n'nYE, akkor $k


22. oldal

eredménye egy eltolás. Az elsĞ esetben a generált részcsoport típusa 1g, a második esetben pedig 11. Indexük viszont mindig 2k, vagyis 4n}2 és 4n. t 8$k'$l;m968#;C";m$k'#;C";m$l;m9, l'kYE40lk. Az elĞzĞhöz hasonlóan k és l paritásától függĞen a generált részcsoportok típusa különbözĞ. Amennyiben mindkettĞ páros, az elsĞ generátor egy eltolás, a második pedig egy az a tengelyre merĞleges egyenesre történĞ tükrözés; a csoport típusa ebben az esetben: m1, indexe pedig k62n. Ha k páros és l páratlan, akkor az elsĞ generátor eltolás, a második egy középpontos tükrözés, melynek centruma a fríz tengelyére esik. Így a frízcsoport típusa: 12, indexe: k62n. Ha a k páratlan, az elsĞ generátor csúsztatva tükrözés, a másik pedig l paritásától függĞen középpontos tükrözés vagy a fríz tengelyére merĞleges egyenesre való tükrözés. Az általuk generált frízcsoport típusa mindkét esetben mg, indexe: k62n}. 1m Ebben az esetben GCeOD, generátorai lehetnek egy 2 eltolás és egy a fríz tengelyére történĞ ;a tükrözés. Ekkor véges indexĬ részcsoportjai a következĞek: t 82k9 egy eltolással generált szimmetria-csoport, típusa: 11, indexe: 2k. t 82k;a9 egy csúsztatva tükrözéssel generált frízcsoport, típusa: 1g, indexe: 2k. t 82k';a9 részcsoportot egy eltolás és a fríz tengelyére történĞ tükrözés generálja, típusa: 1m, indexe k. mm Szimmetria-csoportja izomorf DeOD-gyel. Generátorai egy eltolás, egy középpontos tükrözés, ahol a tükrözés centruma a fríz tengelyén van és a fríz tengelyére történĞ tükrözés. Tehát G682';C';a9 részcsoportjai a következĞek: t 82k9 egy eltolással generált szimmetria-csoport, típusa: 11, indexe: 4k. t 82k;a9 egy csúsztatva tükrözéssel generált frízcsoport, típusa: 1g, indexe: 4k. t 82k';a9 egy eltolással és a tengelyre történĞ tükrözéssel generált csoport, melynek típusa: 1m, indexe pedig: 2k. t 82k'2l;C9 egy eltolás és egy középpontos tükrözés által generált frízcsoport típusa: 12, indexe: 2k. t 82k'2l;C;a9 egy eltolás és egy a fríz tengelyére merĞleges egyenesre történĞ tükrözés által generált csoportot ad, melynek típusa: m1, indexe pedig: 2k. t 82k;a'2l;C9 részcsoportot egy csúsztatva tükrözés és egy középpontos tükrözés generálja, így típusa: mg, indexe pedig: 2k.


23. oldal

t 82k'2l;C';a9 generátorai az eredeti csoporthoz hasonlóan egy eltolás, egy középpontos tükrözés és a fríz tengelyére történĞ tükrözés. Típusa ekkor: mm, indexe: k. Ezek alapján például ellenĞrizhetĞ Jarratt és Schwarzenberger felfedezése, miszerint minden 2k} alakú N esetén 7 féle, 4k}2 esetén 7 féle, illetve ha N64k, akkor 9 féle különbözĞ N-színezés van P3R. (Lásd a következĞ táblázatot.)


PG3HR64 .

P11:11R64

2.

P1g:11R64

3.

Pm1:11R64

4.

Pm1:m1R64

5.

P12:11R64

6.

P12:12R64

7.

P1m:11R64

8.

P1m:1gR64

9.

P1m:1mR64

0

Pmg:11R64

Pmg:m1R64

2

Pmg:12R64

3

Pmm:11R64

4

Pmm:1gR64

5

Pmm:m1R64

6

Pmm:12R64

7

Pmm:1mR64

8

Pmm:mgR64

9

Pmm:mmR64

24. oldal

Az adott fríz 4-színezése

III. táblázat – 4-színezések


25. oldal

A frízcsoportok normálosztóinak áttekintése A színezést meghatározhatjuk a fríz G szimmetria-csoportjának és annak G normálosztójának segítségével. Ehhez vizsgáljuk meg a keletkezĞ G*G faktorcsoportokat. Ekkor a PG3HR6N egyenletet a G*G alakú összefüggésre cserélhetjük. A IV. táblázatban a lehetséges G*G faktorcsoportok találhatóak, ahol G és G mint frízcsoport típus adott. KétszínĬ mintáknál a H részcsoport indexe 2, azaz normálosztó. Ekkor automatikusan egybeesik G-gyel és a PG:HR62 egyenlet helyett a G*G egyenletet kapjuk, ahol C2 vagy D. Azonban a G, G, adatokból a színezés típusa nem mindig állapítható meg egyértelmĬen. Ezért a következĞ részben tovább finomítjuk még a színezés ilyen módú megadását. Viszont a színezett fríz szimmetria-csoportja ebbĞl a felírásból olvasható ki, hiszen ez éppen G. G

G1

11

1g

m1

12

11

Ck

1g

C2k

m1

Dk

12

Dk

1m

CkOD

CkOD

mg

D2k

D2k}

C2

C2

mm

DkOD

D2k

D'D2

D'D2

1m

mg

mm

D

D

C2k} D C2 Ck Dk

IV. táblázat – frízcsoportok normálosztói és a lehetséges faktorcsoportok

gCe Ce68c9, részcsoportjai és egyben normálosztói 8ci9 alakúak, iYO&. t Az elsĞ esetben 11 generátora legyen a 2 eltolás. Normálosztói 82k9 alakúak, ahol kYO& és 82k9682}k9. UkYO& esetén 82k9 egy eltolásokból álló csoport, mely 11 típusú frízcsoportnak felelhet meg. G*G6829*82k9Ck UkYO esetén, mivel 82k96h'2}2k'2}k'20'2k'22k' és 829*82k9 6h2082k9'282k9'2282k9''2k}82k9. Azaz 11*11Ck. t A második esetben 1g generátora egy az a tengellyel párhuzamos $ csúsztatva tükrözés. G68$9, részcsoportjai 8$k9 alakúak. Az elĞzĞhöz hasonlóan az így kapott részcsoportok szintén végtelen ciklikus csoportok. Ha k páros, akkor $k eltolás és a kapott részcsoport 11 típusú frízcsoport, ha k páratlan, akkor $k egy 1g típusú frízcsoportot generál.


26. oldal

Mindkét esetben 8$9*8$k9Ck, azaz 1g*1gC2n} és 1g*1mC2n. m2mgDe De68T'SiS26'ST6T}S968P'QiP26Q269 (P6S'T6QP'Q6TS), normálosztói pedig 8Tk968#PQ$k9, 8T2'S968P'QPQ9 és 8T2'TS968PQP'Q9 alakúak. t m1682';b968;b';b29De. Normálosztói a következĞek: 82k9, ami 11 típusú, 822';b96822';b9 és 822'2;b96822';b29, ahol b és b2 az a tengelyre merĞleges egyenesek, így az utóbbiak szintén m1 típusú frízcsoportok lesznek. Faktorcsoportjaik: 82';b9*82k9Dk,

m1*11Dk

illetve

82';b9*822';b982';b9*822';b29D,

m1*m1D. t 12682';C968;C';C29. A csoport normálosztói: az 11 típusú 82k9 és az 12 típusú 82';C9 illetve 82';C29, ahol ;C és ;C2 szintén a fríz tengelyének egy-egy pontjára történĞ tükrözések. Faktorcsoportjaik: 12*11Dk illetve 12*12C2, ami persze izomorf D-gyel. t mg68$';C968;m';C9. Normálosztói a következĞek: 8$k9, típusa k paritásától függĞen 11 vagy 1g, továbbá 8$2';m9 illetve 8$2';C9, ahol ;C egy centrális tükrözés, ;m pedig tengelyes tükrözés, így a két normálosztó típusa 12 és m1. Faktorcsoportjaik: mg*11D2n, mg*1gD2n} és mg*12C2, mg*m1C2. mCeOD1 t CeOD68T'SiS26'ST6TS96hTk'TkSikYO, generátorait adhatja egy 2 eltolás és egy a fríz tengelyére történĞ ;a tükrözés. Részcsoportjai, melyek egyben normálosztók is, a következĞek voltak: az 11 típusú 82k9, az g típusú 82k;a9 és az m típusú 82k';a9. Faktorcsoportjaik pedig a következĞk lesznek: 1m*11CkOD, 1m*1gCkOD és 1m*1mCk. mmDeOD1 t DeOD68T'S'UiS26U26'ST6T}S'UT6TU'US6SU9 generátorai lehetnek egy eltolás, egy középpontos tükrözés, ahol a tükrözés centruma a fríz tengelyén van és egy a fríz tengelyére történĞ tükrözés. mm682';C';a9 normálosztói pedig: 11 típusú 82k9, 1g típusú 82k;a9, 1m típusú 82k';a9, 12 típusú 82k'2l;C9 ha k6'2, m1 típusú 82k'2l;C;a9, ha k6'2, mg típusú 82k;a'2l;C9 k6-re és mm típusú 82k'2l;C';a9 k62. Faktorcsoportjaik:


27. oldal

mm*11DkOD; mm*1gD2k; mm*1mDk; mm*12mm*m1D, ha k6 és mm*12mm*m1D2, ha k62; mm*mgD, ha k6; s végül mm*mmC2.

3. A színezett frízek osztályozása Az osztályozás lényege, hogy egy fríz ismeretében egyértelmĬen el lehessen dönteni, hogyan és hány színnel színezhetĞ, továbbá egy színezett mintáról meg tudjuk mondani, mi annak frízcsoportja és a színezés típusa. Egy fríz ismerete alatt a következĞt értjük: % 4YS#F$4#X$ cellafelbontása. Olyan színezéseket adott az F&2 minta és annak egy F6] keresünk ahol a megadott cellák egyszínĬek. A második részben tárgyaltak alapján egy fríz színezéséhez elegendĞ információt nyújthat annak szimmetria-csoportja és egy olyan részcsoportja, melyrĞl tudjuk, hogy a színek egyikét megtartja, azaz annak stabilizátora. A részcsoport és indexe megadják, összesen hány színnel színezzünk és mely cellák lesznek azonos színĬek. 6#X$ és 4#X$ cellák azonos színĬek, ha 4 és 6 ugyanazon H szerinti mellékosztályban vannak. Bármely színt kiválaszthatjuk alapszínnek, melyet stabilizáló részcsoportot keressünk, mivel beláttuk, hogy a különbözĞ színeket megtartó részcsoportok egymásba konjugálással átvihetĞek, így struktúrájukban megegyeznek. A színezett minta szimmetria-csoportját is egyszerĬen meg tudjuk határozni. Ez az a részcsoport a fríz G szimmetria-csoportjában, melynek elemei minden cellát vele megegyezĞ színĬbe visznek át. Ez G-nek normálosztója lesz, mégpedig H összes konjugáltjainak } a különbözĞ színek stabilitási részcsoportjainak } metszete. (Természetesen H minden konjugáltja vele azonos típusú frízcsoport.) Abban az esetben, ha a H részcsoport már maga is normálosztó, akkor G6H eredményhez jutunk, vagyis H megadásával már ismerté válik a színezett fríz szimmetria-csoportja is. Amennyiben a normálosztók felĞl szeretnénk megközelíteni a színezést, illetve annak egy egyértelmĬ meghatározását adni, akkor a következĞ adatokra van szükségünk: a G frízcsoport és a Gnormálosztó típusára, G*G absztrakt csoportra. -t tekinthetjük a színeken ható, tehát N-edfokú permutáció csoportnak. Ugyanis ha a 4'6YG elemek -beli képe azonos, akkor a 46} minden színt megtart, azaz 4 és 6 ugyanúgy permutálja a színeket, ezt tehát értelmezhetjük úgy, hogy -beli képük ennek a permutációnak feleljen meg. A színezett fríz szimmetria-csoportja G lesz. A színezést úgy tudjuk megadni, hogy megkeressük a H részcsoport típusát és indexét. Bizonyos G*G esetek csak úgy fordulhatnak elĞ, hogy G6H – ekkor könnyĬ dolgunk van. Vizsgáljuk meg, melyek a fennmaradó esetek és mit tehetünk ilyenkor. G mellékosztályainak segítségével PG3GR osztályba tudjuk csoportosítani a cellákat úgy, hogy egy osztályba bizonyosan azonos színĬ cellák kerülnek. Az így keletkezĞ osztályok száma azonban nagyobb, mint a színek száma, ha GH. H tehát az azonos színĬ osztályok megkereséséhez szükséges.

– 28 –


29. oldal

Az absztrakt csoportok részcsoportjainak és normálosztóinak táblázatát vizsgálva megállapíthatjuk, hogy pontosan akkor állhat elĞ G nála bĞvebb H-ból, ha Dk vagy DkOD és k2. Ha H6G, akkor a színek száma 2k illetve 4k, azaz a -ban szereplĞ Dk reguláris reprezentációját kapjuk, ezt Dk(2k)-val fogjuk jelölni. Ha pedig HG, akkor a színek száma k illetve 2k. Ebben az esetben Dk szokásos reprezentációjával állunk szemben. Az ilyen eseteket azon H-k vizsgálatával egyszerĬ kiszĬrni, melyek nem normálosztók. A következĞ eredményekhez jutunk (k ugyanazt jelöli, mint a táblázatokban): m1-ben az m1 és 12-ben az 12 csak k62-re lesz normálosztó, különben egy 11 típusú normálosztót ad. mg-ben az m1 k6-re lesz normálosztó, egyébként 11 típusú normálosztót eredményez, mg-ben még az 12 típusú részcsoportok sem normálosztók k6-re, különben a konjugálással kapott normálosztó típusa 11 lesz. mg-ben az mg pedig soha nem lesz normálosztó, 1g típusú normálosztót ad. mm-ben az m1 és az 12 csak k6'2-re normálosztó, különben 11 típusú normálosztót eredményeznek és végül szintén mm-ben az mg k6-re normálosztó, nagyobb k-ra 1g típusú normálosztót határoz meg és az mm típusú részcsoportjai pedig k62-re lesznek normálosztók, a többi esetben 1m típusú normálosztót határoznak meg. A kapott normálosztók természetesen mint önálló részcsoportok is megjelentek, s ebben az esetekben maguk töltötték be a normálosztó szerepét is. Ezeket az eseteket szeretnénk megkülönböztetni, hiszen a következĞ táblázatból látható, hogy így más struktúrájú színezéseket eredményeznek. Amennyiben meg szeretnénk állapítani az elĞzĞ eredmények alapján adott G és G esetén, hogy mi lehet a H részcsoport láthatjuk, hogy további két kétértelmĬ esetünk maradt. Az mg*11 és mm*11 esetekben az 11 típusú G kétféle (12, m1) bĞvebb H-ból is származhat. A felfedezett különbségek is eltérĞ típusú színezéseket eredményeznek. Ugyanis mg és mm szimmetria-csoportja tartalmaz mind függĞleges, mind vízszintes tengelyĬ tengelyes tükrözéseket, de nincs megkötve, hogy tartalmazzanak-e vagy sem olyan tükrözést, mely (legalább) egy színt megtart. Így a két esetet megkülönböztetjük. A különbségek pontosan akkor jelentkeznek, ha G 11 típusú. m-mel jelöljük, ha van a csoportban olyan tükrözés, mely (legalább) egy színt megtart és m"-vel, ha nincs. Ezen megkülönböztetések pontosan azokban az esetekben fordulnak elĞ, amikor a H és G részcsoportot különbözĞek. Összességében 30 féle színezett fríztípust különböztethetünk meg. Ezek összefoglalását adja az V. táblázat. A táblázatban az elsĞ oszlop mutatja a színek számát, második a frízcsoport adott színezéshez tartozó faktorcsoportját , s végül egy-egy példát „kis k-ra”. A táblázat is mutatja, hogy nagyobb megkülönböztetést azok az esetek igényelnek, ahol az egy színt megtartó részcsoportjai a frízcsoportnak nem normálosztók, azaz nem alkotják a színek szimmetria-csoportját is. Ezeket a részcsoportokból kiindulva külön meg kell említeni, illetve, ha a normálosztók felĞl indulunk ki, akkor még egyéb megkötéseket kell tennünk a normálosztóról illetve annak faktorcsoportjáról, hogy egyértelmĬ legyen a színek száma. A két megközelítés természetesen ugyanazon eredményt adja.


PG3HR6N

30. oldal

G*G

Színezett típusminta #k6, 2 vagy 3-ra$

P11311R6k

11*11Ck

2

P1g311R62k

1g*11C2k

3

P1g31gR62k}

1g*1gC2k}

4

Pm1311R62k

m1*11Dk#2k$

5

Pm13m1R62k

m1*m1D

k62

m1*11Dk

k2

6 7

P12311R62k

12*11Dk#2k$

8

P12312R6k

12*12C2

k62

9

12*11Dk

k2

0 P1m311R62k

1m*11DOCk

P1m31gR62k

1m*1gDOCk

2 P1m31mR62k

1m*1mCk

3 Pmg311R64k

mg*1gD#2k$4k

4 Pmg31gR64k}2

mg*1gD#2k}$4k}2

5 Pmg3mgR62k}

mg*1gD2k}


PG3HR6N

3. oldal

G*G

Színezett típusminta #k6, 2 vagy 3-ra$

6 Pmg3m1R62k

mg*m1C2

k6

7

mg*11C2k#m$

k

8 Pmg312R62k

mg*12D

k6

9

mg*11C2k#m"$

k

20 Pmm311R64k

mm*11DOCk#2k$

2 Pmm31gR64k

mm*1gD2k#4k$

22 Pmm3m1R62k

mm*m1Dk

k6'2

23

mm*11DODk#m$

k2

24 Pmm312R62k

mm*12Dk

k6'2

25

mm*11DODk#m"$

k2

26 Pmm31mR62k

mm*1mDk#2k$

27 Pmm3mgR62k

mm*mgD

k6

28

mm*1gD2k

k

29 Pmm3mmR6k

mm*mmD

k62

30

mm*1mDk

k2

V. táblázat – a színezett frízek típusai

4. A szimmetria és a frízek megjelenése a díszítĞmĬvészetekben „A szimmetria } bármely szĬken vagy tágan fogjuk is fel jelentését } olyan fogalom, mellyel az ember hosszú korokon át igyekezett a rendet, a szépséget és tökéletességet megérteni és megalkotni.” } írja Hermann Weyl P5R. „A szimmetria nyugalmat és kötelmet fejez ki, az aszimmetria mozgást és oldódást, rendet és törvényt az egyik, a másik önkényességet és véletlenséget, formai szigort és kényszert amaz, ez életet, játékot és szabadságot.” } olvashatjuk Dagobert Frey szavait Weyl könyvében. Az elĞbbi, elsĞ ránézésre egymásnak ellentmondó gondolatok jól tükrözik, mennyire sok helyütt fölbukkan a szimmetria az ember életében, gondolatvilágában. Dagobert Frey-nél a szimmetria merevséget sugároz, míg Weyl-nél Polükleitosz gondolata köszönt vissza, miszerint a szépség, a harmónia, a tökéletesség egyik fĞ megteremtĞje. Évezredeken keresztül minden kultúra mĬvészetében megtalálható a rendezett és rendezetlen motívumok sokasága más-más eszmét képviselve. Napjainkban legfĞképpen a díszítĞmĬvészetek, kézmĬves mesterségek kedvelt eszköze. A IX. századi velencei dózsék palotája már-már a szimmetriák jelképe lehetne.

Doge-palota, Velence. Az építését 309-ben kezdték meg. P7R 59. oldal

A díszítĞmĬvészetekben elĞforduló motívumok viszonylag nagy változatossága ellenére bizonyos alapvetĞ motívumok figyelhetĞek meg. Egyik legelterjedtebb díszítĞ motívumok a szalagdíszek, azaz a frízek. Ezen motívumok fĞ jellemzĞje a „végtelen” ismétlĞdés megjelenése véges mĬalkotásokon.

– 32 –


Szalagfonat-díszítmény. P8R 80. oldal

33. oldal

Ión homlokpillér feje. P8R 76. oldal

Megtalálhatóak képek, freskók szegélyein, mozaikok mintázatában, díszes homlokzatokon, korlátokon vagy akár hengeres felületeket körbefutva is. Az ismétlĞdĞ minták lehetnek akár geometriai elemek vagy élĞlényeket ábrázoló figurák.

Szarkofág a i.e. 400 körülrĞl, Ayía Triadha. PR 77. oldal

Részlet a babiloni királyi palota egy oszlopcsarnokának díszítésébĞl, i.e. VI. sz. P0R l96. oldal

Halottsiratás geometrikus stílusú görög vázán, i.e. 700 körülrĞl. P7R 5. oldal

Állatfigurák ismétlĞdĞ motívumával díszített rodoszi váza, i.e. VIII-VI. századból P8R 39.oldal


34. oldal

A vonal mentén ismétlĞdĞ minták egyik leggazdagabb „lelĞhelye ” a népmĬvészet. Népi motívumok szinte elképzelhetetlenek ritmikus ismétlĞdésük nélkül. Meghatározó szerepet tölt be az állandóan jelenlévĞ ritmus a sorminták között. Apró egységekre bontható fel akár egy hímzett ruhadarab, egy szĞttes vagy faragott tárgy mintázata. Nem kéne sokáig keresgélnünk ahhoz, hogy bemutatott 7 frízmintára szebbnél szebb példákat találjunk a fali szĞttesek között. SĞt nem csupán színes mintákat, hanem színezett motívumokat is találhatunk.

Perzsa selyem imaszĞnyeg, készült 600 körül. P7R 06. oldal

A fenti ábrán a keretmintában Pmg3m1R62 típusú színezett fríz látható. Legkorábbi példák a paleolitikum (i.e. 2000-0000, magdalénium) és a neolitikum (i.e. 9000-6000) korából származnak. Már a magdalén korból elĞkerülĞ leleteken találhatóak példák mind a 7 különbözĞ fríztípusra. Afrikában, Ázsiában és Európa különbözĞ területein egyaránt felelhetĞek voltak ott, ahol a kései paleolitikus és neolitikus kultúrák kialakultak. Minthogy ezen távoli kultúrák között a kommunikáció minimális volt, feltehetĞ, hogy a közös díszítĞelemek a természetben felelhetĞ hasonló modellekbĞl, valamint a szimmetria törvényeibĞl erednek. Fríz típusú minták leggyakrabban különbözĞ motívumok eltolásos ismétlésének eredményei, ahol az eredeti motívum szimmetriái határozzák meg a fríz szimmetria-csoportját, úgy, hogy az eredeti szimmetria-csoportot kombináljuk az eltolásokból álló (11 típusú) csoporttal. Másik módszer lehet a természetben elĞforduló szimmetrikus formák, növények mĬvészi sematizációja. A minták kezdetben mindig önálló jelentéssel bírtak. Az idĞ folyamán leegyszerĬsödtek és mára már „csak” díszítĞ funkciókat töltenek be. Az eredeti szimbolikus jelentéseket


35. oldal

mutatnak például szarvasagancs ismétlĞdésébĞl elĞálló 11 típusú, táncoló alakból keletkezĞ m1 és egy szigony ismétlésébĞl kialakuló 12 vagy mg típusú frízszerĬ minták.

Stilizált szarvasagancsok ábrázolása vonalmenti ismétlĞdéssel, paleolitikumból P6R 2.3. ábra

A kolo táncos különbözĞ sematikus figurái, paleolitikum P6R 2.46 ábra

A fríz ismétlésen alapuló szimmetriája lehetĞséget nyújt bizonyos periodikus természeti jelenségek ábrázolására is. Például: nappal és éjszaka váltakozása, a Nap naponkénti és évenkénti „újraéledése”, melyek ábrázolásával a frízek a naptár szerepét töltötték be. KülönbözĞ népcsoportoknál még ma is megfigyelhetĞek az elĞzĞekhez hasonló pontos szimbolikus jelentéssel bíró minták.

a.) Fel és le; A Nap; A víz; Lélegzés – Kongó

b.) A víz ritmusa – Kongó

c.) A Nap a víz ill. a horizont alatt és fölött – pueblo indiánoktól

d.) A telihold napjai – Celebesz

e.) Az évek végtelen futása – Celebesz

f.) A Nap folyamatos mozgása – Fiji

g.) A Nap folyamatos mozgása – Fiji

h.) A Nap folyamatos mozgása – Fiji

P6R 2.54. ábra


36. oldal

DíszítĞ motívumoknál különös jelentĞsége lehet egy fríz tengelyének az irányításának is. Ezt a fríz polaritásának nevezzük. Egy frízt polarizáltnak mondunk, ha szimmetria-csoportjának minden eleme megtartja a tengely irányítását. A tengely polaritásából származó irányított feszültség a „mozdulatlan mozgás” benyomását keltheti, idĞkomponenssel ruházva fel a mintát. Átfedéseket alkalmazva a frízek gyakran jelenhettek meg olyan kultúrák (pl. Egyiptom) díszítĞ mĬvészetében, ahol jellemzĞ volt a mozgásban lévĞ térbeli csoportok objektív, természetes axonometrikus ábrázolása. Hasonló dinamikus hatást hoznak létre az 1g, valamint az 1m típusú frízek, melyek tengelye polarizált. KöszönhetĞen bizonyos növények növekedésével, felépítésével való kapcsolatának az 1g típusú frízek jól alkalmazhatóak növényi díszítĞ mintáknál. Egy 1g minta szimmetria-csoportja tartalmaz csúsztatva tükrözést, így igen alkalmas irányított, alternáló jelenségek geometrikus díszítĞ mintákkal való ábrázolásához.

1m típusú frízek a neolitikumból, i.e. VI-III. sz. P6R 2.40. ábra

Az 12 típusú frízek szimmetriái között megtalálható középpontos tükrözések lehetĞséget nyújtanak ellenkezĞen irányított elemi szimmetrikus motívumok tengelymenti elhelyezéséhez vagy akár két ellentétes irányítású 11 típusú fríz kombinálásához is. Sok kultúrában elĞfordultak például spirális motívumok alkalmazásával.

12 típusú fríz az i.e. V-IV. századból, Irán P6R 242. ábra

12 típusú frízminta Máltáról, i.e. III. század


37. oldal

Minden más frízcsoport – m1, mm, mg – tartalmazza a fríz tengelyére történĞ tükrözést is, mely az állandóság és egyensúly benyomását kelti. Az m1 típusú frízekre több olyan példát is találni, mely az Ğskori „kolo” kultikus táncot ábrázolja. Természetesen a késĞbbiekben a táncos motívuma is csupán egyszerĬ díszítĞelemmé vált. A csúsztatva tükrözésnek és a fríz tengelyére merĞleges tengelyĬ tükrözésnek köszönhetĞen az mg típusú frízek a geometrikus díszítĞminták közt a szabályosan változó folyamatok szimbólumaként jelentek meg. mm típusú frízek gyakran szimbolizálják az idĞ egyenletes folyását és más hasonló jelenségeket, nagyfokú szimmetriáik miatt.

Algebrai függelék . Néhány egyszerĬ elmélet részcsoportokról és konjugáltjaikról Állítás: Legyen G tetszĞleges csoport, H ennek részcsoportja. Ha minden yYG elemre yHy}&H (vagy minden elemre xHx}H), akkor valójában minden y-ra (minden x-re) egyenlĞség áll fenn és így H!G. Ugyanis y6x} választással yHy}&H C xyHy}x}&xHx} C H&xHx} és ha x befutja G-t, akkor y6x} is. Megjegyzés: Ha H véges indexĬ, akkor xHx}&H-ból azonnal következik, hogy xHx}6H és x}Hx6H. Mert hát xHx} indexe G-ben azonos H indexével, így PG3HR6PxGx}3xHx}R, mivel a konjugálás automorfizmus; ezen egyenlĞség tovább folytatható a következĞkkel: PG3xHx}R6PG3HRPH3xHx}R és PH3xHx}R6, azaz xHx}6H. Ezt x}-el konjugálva x}Hx6H is kijön. Állítás: Ha H a G részcsoportja, akkor GJ\xYGxHx}!G. Hiszen tetszĞleges G-beli y-nal konjugálva az eredmény H néhány yxYG elemmel (persze az összessel, de ez most mindegy) vett konjugáltjainak a metszete lesz, így yGy}G. Továbbá részcsoport, mert részcsoportok metszete. Állítás: Ha H a G részcsoportja, akkor az általa tartalmazott normálosztók között van egy legbĞvebb, mégpedig az imént megadott G. Mert ha NH és N!G, akkor bármely xYG elemre N6xNx}xHx}, tehát H összes konjugáltja metszetének része N. Az pedig normálosztó, így valóban legbĞvebb. Ez a G egyben a G csoport H mellékosztályai szerinti reprezentációjának magja. Ennek segítségével igazolható a következĞ állítás, mely megmutatja, hogy a dolgozatban miért nem kerültek elĞ sehol végtelen indexĬ részcsoportok. Állítás: Ha H véges indexĬ részcsoportja G-nek, akkor a H által tartalmazott legbĞvebb normálosztó is véges indexĬ. Az alábbi egyszerĬ észrevételnek akkor vettük hasznát, amikor egy frízcsoportként elĞforduló absztrakt csoport olyan részcsoportját vizsgáltuk, mely nem normálosztó. Az összes konjugált és metszetük meghatározása helyett egyszerĬbben tölthettük ki az I. táblázat utolsó oszlopát.

– 38 –


39. oldal

Állítás: Ha H részcsoportja, de nem normálosztója G-nek, továbbá van H-nak olyan 2 indexĬ G részcsoportja, amely normálosztó G-ben, akkor ezen G a legbĞvebb H által tartalmazott normálosztó G-ben. Ez nyilvánvaló, hiszen ekkor H-nak nincsen G-nél bĞvebb valódi részcsoportja. Továbbá az összes konjugált metszete nem lehet H sem, mert H nem normálosztó G-ben. Másrészt tartalmazza G-et, mert legbĞvebb. Mindez együtt csak úgy lehetséges, ha megegyezik vele.

2. Részcsoportok tulajdonágainak vizsgálata generátoraik segítségével A következĞkben arról lesz szó, hogy ha adott egy (x''xn elemek által generált) G csoport és abban h''hk elemek, akkor hogyan lehet az általuk generált H részcsoport különbözĞ tulajdonságait könnyen megállapítani. Állítás: A h''hk és h" ''hm " elemek által generált részcsoportok pontosan akkor egyeznek meg, ha minden hi felírható a hj" elemekbĞl és minden hj" kifejezhetĞ a hi-kkel. Az elsĞ feltétel ugyanis az irányú, a második a & irányú tartalmazást garantálja a generált részcsoportok között. Kényelmes egy részcsoport generátorrendszerrel való megadását lépésenként úgy módosítani, hogy egy-egy lépesben csak elhagyunk néhány elemet, vagy csak hozzáveszünk néhányat, vagy egy elemet lecserélünk úgy, hogy a feltétel teljesüljön. Ennek alapján lesz például 8a'b'ab968a'b9 vagy 8a'akb968a'b968b'abm9, 8a'bab968abab'a9. Többszöri ismétlésével látható be az is, hogy DeOD minden részcsoportja generálható legfeljebb 3 elemmel. Például ha a De komponensben T a tartalmazott legnagyobb Ce részcsoport generátora, S valamely másodrendĬ elem, U pedig a D generátora, akkor 8T8'T5S'TS'T}5SU968T8'T5S'TS#T5S$}'T}5SU96 }

8T8'T5S'T6'T}5SU968T2'T5S'T}5SU968T2'#T2$ 2T5S'#T2$3T}5SU6 8T2'TS'TSU968T2'TS'#TS$}TSU968T2'TS'U9. Amellett, hogy háromra csökkentettük a generátorok számát, azt is elértük, hogy a generátorelemek „viszonylag egyszerĬ” alakúak legyenek. Állítás: x8h''hk9x}68xhx}''xhkx}9. Ugyanis a csoportmĬveletek felcserélhetĞek a konjugálással, ezért azt a generált részcsoport képzése elĞtt vagy után elvégezve ugyanazt az eredményt kapjuk. Következmény: A h''hk elemek által generált H részcsoport pontosan akkor normálosztó a x''xn által generált G csoportban, ha minden ik és jn indexre } xjhix} j YH és xj hixjYH.


40. oldal

Bizonyítás: Ha normálosztó, akkor a feltétel természetesen teljesül. Lássuk most a } másik irányt. A feltételbĞl azonnal következik, hogy Uj3xjHx} j &H'xj Hxj&H. Tovább konjugálva valamely xj% elemmel vagy az inverzével az eredmény még inkább része lesz H-nak. Ez viszont ugyanaz, mintha a két elem szorzatával konjugálunk volna. Ezt ismételgetve kiderül, hogy a xj-kbĞl és inverzeikbĞl képzett minden szóval konjugálhatunk, az eredmény része lesz H-nak. Márpedig G minden eleme ilyen, így UxYG3xHx}&H. Láttuk, hogy ekkor H normálosztó. Megjegyzés: Ha még H véges indexĬ, vagy ha minden xj véges rendĬ, akkor elegendĞ az iménti következményben xjhix} j YH-t megkövetelni. Hiszen ha xjr6 valamely r-re (azaz ha xj véges rendĬ), akkor az x} j -gyel való konjugálás helyettesíthetĞ az xj-vel való #r}$-szeri konjugálással, így H egy részhalmazát adja (persze ez az egész H lesz). Ha pedig H véges indexĬ, akkor egy korábbi megjegyzés értelmében xjHxj}&H maga után vonja xjHxj}6H-t. E két esetben tehát a feltétel egyik felébĞl következik a másik.

3. Prezentáció – csoportok megadása generátorokkal és relációkkal (Csak a véges prezentációkra térünk ki.) Legyenek x'x2''xn változójelek, melyekre mint egy csoport elemeire gondolunk. Legyenek R'R2''RN csoportelméleti összefüggések, egyenlĞségek, melyek az x''xn változókról szólnak. Definíció: a 8x''xniR'R2''RN9 prezentáció a G csoportot adja, ha G-nek van olyan g''gn generátorrendszere, melyre teljesülnek a következĞk: () az Rj összefüggésekben minden xi helyére sorra a megfelelĞ gi-t írva olyan egyenlĞségeket kapunk, melyek G-ben fennállnak; (2) minden ilyen típusú összefüggés, mely G-ben fennáll a g''gn generátorokra, következik az R''RN-bĞl kapott formulákból. A prezentációban szereplĞ xi elemeket generátoroknak, az Rj összefüggéseket (definiáló) relációknak nevezzük. Nem nyilvánvaló, de igaz, hogy minden prezentáció izomorfia erejéig meghatározza a csoportot, azaz ha G és G% egyaránt megfelel a definíció feltételeinek, akkor GG%. Ez alapján értelmes a G8x''xniR''RN9 jelölés és az „8x''xniR''RN9 (absztrakt) csoport” elnevezés. Az alatt, hogy egy g''gn által generált G csoportban fennállnak az 8x''xniR''RN9 csoport relációi, azt értjük, hogy az xi6gi helyettesítés mellett teljesülnek. Szoktuk a G68g''gniR#g''gn$''RN#g''gn$9 jelölést is alkalmazni. Persze egy prezentációval adott csoportnak nem könnyĬ felismerni a szerkezetét. Ebben segítenek a következĞk.


4. oldal

Tétel: A következĞ csoportok az alábbi prezentációkkal adhatóak meg: Ck8TiTk69, Ce8Ti-9, Dk8T'SiTk6S26'ST6T}S98P'QiP26Q26#PQ$k69, De8T'SiS26'ST6T}S98P'QiP26Q269. Tétel: Legyen G8x''xniR''RN9 és K8y''ykiQ''QK9. Ekkor m\k GOK8x''xn'y''ykiR''RN'Q''QK'yPimzi\k9 , ahol Pim azt mondja ki, hogy xiym6ymxi. Tétel: Legyen G8x''xniR''RN9 és w''wk legyenek az xi változókból képzett kifejezések. Legyen G-ben G az a részcsoport, melynek generátorait úgy kapjuk, hogy a wi kifejezésekbe rendre behelyettesítjük G megfelelĞ generátorait. Amennyiben G normálosztó G-ben, úgy G*G8x''xniR''RN'w6w266wk69. Több gyakran elĞkerülĞ absztrakt csoportnak van „általánosan elfogadott” prezentációja. Ilyenkor ahelyett, hogy azt írnánk: a G csoport a g''gn generátorokkal megfelel a G absztrakt csoport 8x''xniR''RN9 prezentációjának, a következĞ rövidítést alkalmazzuk: G6G8g''gn9. Például G6Dk82';9OD839 azt jelenti, hogy az G csoportot generálják a 2';'3 elemek és a T62'S6;'U63 helyettesítéssel G-t megadja a 8T'S'UiTk6S26U26'ST6T}S'UT6TU'US6SU9 prezentáció. A fogalmak könnyebb megértéséhez és a tételek bizonyításához Fuchs László Algebra P2R és Kuros Csoportelmélet P3R címĬ könyve, valamint Pelikán József elĞadásaiból írt Algebra jegyzet P4R ajánlott.

Irodalomjegyzék []

George E. Martin: Transformation Geometry (982, Springer-Verlag)

[2]

László Fejes-Tóth: Regular Figures (964, Pergamen Press)

[3]

H. S. M. Coxeter: A Simple Introduction to Colored Symmetry, International Journal of Quantum Chemistry, XXXI, 455-46 (987)

[4]

B. L. van der Waerden and J. J. Burckhardt: Farbgruppen, Zeitschrift für Kristallographie, CXV, 23-234 (96)

[5]

Hermann Weyl: Szimmetria (982, Bp. Gondolat Kiadó)

[6]

Slavik Jablan: Symmetry and Ornament, www.emis.de/monographs/jablan

[7]

E. H. Gombrich: A mĬvészet története (974, Bp. Gondolat Kiadó)

[8]

Az ókor mĬvészete (997, Bp. Anno Kiadó)

[9]

A klasszikus ókor, A mĬvészet története sorozat (2000, Bp. Magyar Könyvklub)

[0] A korai Civilizációk, A mĬvészet története sorozat (2000, Bp. Magyar Könyvklub) [] Art and History of Crete (996, Casa Editrice Bonechi) [2] Fuchs László: Algebra - egyetemi jegyzet (97, Bp. Tankönyvkiadó) [3] A. G. Kuros: Csoportelmélet (955, Akadémiai Kiadó) [4] Algebra jegyzet, Pelikán József elĞadásai alapján összeállította Gröller Ákos, www.cs.elte.hu/~pelikan/algebra.html A dolgozatban található címsorok (1g fríztípushoz tartozó) mintázata a www.peda.com-on található Tess .04 programmal készült, mely ingyenesen használható tanulási és iskolai célokra. A program segítségével az euklideszi sík izometria-csoportjának minden diszkrét részcsoportjához lehet megfelelĞ mintát rajzolni. – 42 –

A színezett frízek osztályozása

Recommend Documents