1
A rektellipszis csavarmozgása során keletkező felületről Előző dolgozatunkban – melynek címe: A kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről – felírtuk az általánosabb helyzetű ellipszis – mint alkotó ~ síkidom – csavarmozgásával származtatott csavarfelület paraméteres egyenletrendszerét, amely az alábbi: (1) (2) (3) (4) Itt mindegyik szögparaméter a 0 ~ 2π szögtartományban minden értéket felvesz, de a φ szög ezen kívül is eshet, tekintettel a z - koordinátára, ha z > h. Most azt a célt tűzzük magunk elé, hogy az alkotó ~ síkidom ellipszis helyett rektellip szis legyen – ld.: [ 1 ], [ 2 ]. A közvetlen feladat: a ( 4 ) képlet jobb oldalának felírása a rektellipszis esetére. Ezzel a síkgörbével már találkoztunk egy korábbi dolgozatunkban is, melynek címe: A lekerekített sarkú téglalapról. Ennek egyenleteit innen véve: (5) (6) Most előállítjuk a görbesereg polárkoordinátás egyenletét, illetve paraméteres egyenlet rendszerét – 1. ábra.
1. ábra
2
Ez utóbbival a „normált”görbe egy tetszőleges P* pontjának adatai: (7/1) (7/2) (7/3) Most meghatározzuk
kifejezését. ( 6 ) - ból, a P indexet már elhagyva:
rendezve:
(r)
most ( 7 ) - tel is:
(8) Most el kell döntenünk, hogy a „ + ” vagy a „ – ” előjel használandó. Ehhez térjünk vissza az 1. ábrához! Erről: (9) most ( 8 ) és ( 9 ) - cel: innen: ( 10 )
3
ez mindig teljesül, ha a gyökjel előtti „ – ” előjellel dolgozunk. Ez pl. úgy is belátható, hogy esetén ( 10 ) - ben csak ekkor állhat elő a 0 = 0 = 0 reláció. Eszerint ( 8 ) így alakul: ( 11 ) Mi az ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) képletekben nem ρ*( ψ*) - ot, hanem ρ( ψ ) - t szeretnénk látni, ezért további számításokat kell végeznünk. Ennek során felírjuk a közönséges és a normált görbe - adatok közti összefüggéseket. ~ A közönséges görbe - adatok: ( 12 ) ~ a normált görbe - adatok: ( 13 ) ~ a normálás összefüggései: .
( 14 )
Most ( 12 / 1 ), ( 13 / 1 ) és ( 14 / 1 ) - ből: ( 15 ) majd ( 12 / 2 ), ( 13 / 2 ) és ( 14 /2 ) - ből: ( 16 ) ezután ( 15 ) és ( 16 ) négyzetre emelésével és összeadásával: innen: ( 17 ) továbbá ( 16 ) és ( 15 ) hányadosából: innen: ( 18 ) Most ( 17 ) és ( 18 ) - cal: tehát:
4
innen: ( 19 )
Most ( 11 ) és ( 18 ) szerint: ( 20 ) Majd ( 19 ) és ( 20 ) - szal: ( 21 )
Ezzel a rektellipszis alkotó - görbéjű csavarfelület egyenletei az alábbiak: (1) (2) (3) ( 21 )
Ha m = 0 , akkor ( r ) szerint ellipszisről, ha m = 1, akkor téglalapról van szó. Az első esetben ( 21 ) helyett az eredeti ( 4 ) kifejezést használjuk. Most nézzük meg a ( 21 ) képlet működését két esetben! Adatok: a = 6 cm ; b = 3 cm ; m1 = 0,5 ; m2 = 15 . Az eredmények a 2. ábrán láthatók. E grafikonok a Graph ingyenesen letölthető program alkalmazásával készültek. Ezzel kitűzött feladatunkat megoldottuk.
(a)
5
2. ábra Megjegyzések: M1. A teljesség kedvéért idetesszük még a következő számítást is. ( 15 ) és ( 19 ) - cel: innen: ( 22 )
majd ( 16 ) és ( 19 ) - cel: innen: ( 23 )
Könnyen ellenőrizhető, hogy ( 23 ) és ( 22 ) négyzetösszege 1, hányadosuk pedig kiadja ( 18 / 2 ) - t. M2. Érdekessége a fenti számításoknak, hogy a normált egyenletekkel sokkal egyszerűbb képlet - alakok állnak elő, mint anélkül.
6
M3. A rektellipszis paraméteres egyenletrendszere ( 12 ) és ( 21 ) szerint: ( 24 )
( 25 )
M4. Egy fontos speciális eset: b = a. Ezt squircle - nek is nevezik. Ekkor ( 24 ) és ( 25 ) az alábbiak szerint alakul.
, tehát:
( 24 / 1 ) Itt felhasználtuk az ( 26 ) összefüggést is. Hasonlóan:
tehát:
( 25 / 1 ) A ( 24 / 1 ) és a ( 25 / 1 ) képletek megegyeznek a [ 3 ] - ban találtakkal.
7
M5. m = 0 esetén ( 6 ) szerint ellipszisről van szó. Ekkor azonban pl. a ( 20 ) és ( 21 ) képletek 0 / 0 határozatlan alakúak. Ahelyett, hogy nekilátnánk a L’Hospital ~ szabály alkalmazásával, rengeteg vesződség árán feloldani e határozatlanságot, könnyebb úton járva is eredményhez juthatunk. Ehhez csak annyit kell tennünk, hogy összehasonlítjuk az ellipszis ( 4 ) és a rektellipszis ( 19 ) polárkoordinátás egyenleteit. ( 19 ) - ből: ( 19 / 1 )
mivel m = 0 esetén
így ( 19 / 1 ) - ből: ( 20 / 1 )
Eszerint ( 20 ) és ( 20 / 1 ) alapján írhatjuk, hogy: ( 20 / 2 ) Ez megfelel annak is, hogy ( r ) - ből m = 0 - val és ( 7 / 3 ) - mal ( 20 / 1 ) adódik.
3. ábra
8
Most már arra is kíváncsiak vagyunk, hogy mire megy a Graph rajzoló program a határ esetekkel. Erre a választ a 3. ábra adja meg: ~ az m 0 esetet elfogadja, az m = 0 - t nem; itt m3 = 00001 - del készítettünk grafikont, mely gyakorlatilag egy ellipszist ábrázol; ~ az m1 = 1 eset nem okoz gondot: számunkra a téglalap rajzolása a legmeglepőbb. Kiegészítettük ezeket egy még negatívabb, m4 = 150 - nel készült ábrával is. Érdemes megfigyelni a fekete, a kék és a türkiz színű görbéket, az 0 < m ≤ 1 - nek meg felelő viselkedésüket! M6. Egy további érdekes speciális esetre jutunk, ha ( 24 / 1 ) és ( 25 / 1 ) - ben az s = 1 választással élünk; ez a négyzetet leíró képletekre vezet: ( 24 / 2 )
( 25 / 2 ) A ( 24 / 2 ) és a ( 25 / 2 ) képletek megegyeznek a [ 3 ] - ban talált megfelelőikkel.
4. ábra A 4. ábrán a = 6 ( cm ) fél - oldalhosszal rajzoltunk egy négyzetet, a Graph programmal.
9
M7. Most az van, hogy tudunk téglalapot és négyzetet is rajzoltatni a Graph programmal, de nem csak a határoló egyenesek megadásával, hanem egyetlen függvény, illetve egy paraméteres egyenletrendszer megadásával. Ezzel régi vágyunk teljesült. M8. A 3. ábra láttán elmondhatjuk, hogy a rektellipszis - feladatot sikeresen megoldottuk. Ne feledjük: az ábrázolt polárkoordinátás megadású görbék mindegyike egy darabból áll, nem úgy, mint pl. a ( 6 ) függvény szerintiek, melyeknek két ága van, a kétféle előjelnek megfelelően! Utóbbiak ábrázolása csak két külön grafikonnal sikerül. M9. A ( 26 ) szerinti m egy pozitív valós szám. Ámde a 2. és 3. ábra lila görbéje negatív m - mel készült, vagyis m - nek nem kell feltétlenül pozitívnak lennie. Ekkor s képzetes. M10. Az általunk látott [ 4 ] orosz munkában nem használják a rectellipse vagy squircle elnevezéseket. Helyette speciális kontúr néven nevezik a szóban forgó alakú határolással bíró síkidomokat. Továbbá megemlítik a ( 6 ) - ból kapott, az m m( ξ ) cserével előálló ( 27 ) általánosabb képlet - alakot. Az ilyen síkidom - határolást az általánosított speciális kontúr névvel illetik. Például az ( 28 ) alakú alkalmazást említik, repülőgépszárny - profil határgörbéje közelítő matematikai le írására, ahol a ( 28 ) függvény paramétereit a legkisebb négyzetek módszerével állítják elő, mérési eredmények adatsorai alapján. M11. Furcsa, de még mindig nem találjuk a rektellipszis elfogadott magyar megfelelőjét; talán ezért is használjuk a rectellipse - et így magyarítva. Esetleg szóba jöhetne az FG - ellipszis, illetve az FG - kör elnevezés is, a feltalálójukról elnevezve: Manuel Fernandez - Guasti ( 1992 ) – [ 3 ]. M12. Mostanra már igen általános zárt alkotó - görbével bíró csavarfelületeket ábrázolha tunk, saját képleteinkkel is, az elfajuló eseteket is ide számítva; pl.: tórusz, gömb, henger. M13. Az általánosításokról szólva: nem mehetünk el a [ 2 ] és [ 3 ] - ban talált figyelemre méltó általánosítások mellett sem. Meglehet, tanulmányoznunk kell majd ezt a témakört is.
10
Források: [ 1 ] – Weisstein, Eric W. "Rectellipse." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Rectellipse.html [ 2 ] – Fernandez Guasti, M. "Analytic Geometry of Some Rectilinear Figures." Int. J. Educ. Sci. Technol. 23, 895-901, 1992. vagy: http://investigacion.izt.uam.mx/mfg/arti/90-94/agrec_ijmest92.pdf [ 3 ] – Chamberlain Fong: Squircular Calculations https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1604/1604.02174.pdf [ 4 ] – Ju. V. Dabüdov ~ V. A. Zlügarjev: Geometrija krüla Moszkva, Masinosztrojenyije, 1987.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2016. 08. 16.
