A. PENYAJIAN DATA 1. Pengertian Data dan Statistika Statistika sangat erat kaitannya dengan data. Oleh karena itu, sebelum membahas mengenaistatistika, akan dijelaskan terlebih dahulu mengenai data. Data merupakan kumpulan datum, di mana datum merupakan fakta tunggal. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut. Ibu guru meminta Ratna untuk mengukur tinggi badan lima siswa Kelas XI A secara acak. Hasilnya adalah sebagai berikut. Daftar tinggi badan lima siswa Kelas IX A Nama
Dwi
Willi
Nita
Wulan
Dani
Tinggi (cm)
155
160
158
160
165
Tabel 3.1 Perhatikan Tabel 3.1 . Bilangan 155 cm merupakan tinggi badan seorang siswa. Fakta tunggal ini dinamakan datum. Adapun hasil seluruh pengukuran terhadap lima orang siswa disebut data. Berdasarkan data yang diperoleh pada Tabel 3.1, Ratna menyimpulkan bahwa dari kelima siswa tersebut, (i) siswa yang paling tinggi badannya adalah Dani, (ii) siswa yang paling pendek badannya adalah Dwi, dan (iii) tinggi badan Willi dan Wulan sama. Ketika Ratna menarik kesimpulan di atas, sebenarnya ia telah menggunakan statistika. Statistika adalah ilmu yang berhubungan dengan pengumpulan data, perhitungan atau pengolahan data, serta penarikan kesimpulan berdasarkan data yang diperoleh. Berdasarkan jenisnya, data dibedakan menjadi 2 macam, yaitu: 1. Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau bilangan. Data kuantitatif terbagi atas dua bagian, yaitu data cacahan dan data ukuran. a) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh dengan cara menghitung. Contoh
1.1. Peserta lomba sains matematika tahun 2013 berjumlah 1
110 orang. Jawab. Data diatas tergolong data distrik (cacahan) karena data diatas adalah data pada tahun 2013, dimana sudah pasti ada data pada tahun-tahun sebelumnya. Sehingga sangat jelas terlihat bahwa data diatas memiliki interval. b) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur. Contoh 1.2. Data tinggi badan siswa. 2. Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk angka atau bilangan.
Contoh 1.3. Data warna dan mutu barang.
2. Populasi dan Sampel Untuk menarik kesimpulan, kadang-kadang tidak diambil berdasarkan keseluruhan data. Misalnya, seorang peneliti ingin menguji kandungan air di sebuah sungai sehingga air tersebut layak diminum atau tidak. Untuk mengetahuinya, tentu tidak praktis untuk menguji semua air yang ada di sungai tersebut. Peneliti tersebut cukup mengambil satu gelas air sungai untuk diuji. Pada kasus ini, seluruh air tersebut dinamakan populasi, sedangkan satu gelas air untuk diuji dinamakan sampel. Contoh 2.1. Seseorang akan membeli sekarung beras. Untuk mengetahui apakah beras yang akan dibelinya berkualitas bagus atau tidak, maka orang tersebut cukup dengan meneliti segenggam beras yang diambil dari sekarung beras tersebut. Tentukan polulasi dan sampel dari pernyataan di atas. Jawab. a) Populasinya adalah sekarung beras b) Sampelnya adalah segenggam beras
3. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel Untuk memudahkan membaca data, biasanya data disajikan dalam bentuk tabel atau diagram. Pada bagian ini, akan dibahas penyajian data dalam bentuk tabel. 2
Diketahui data nilai ulangan Matematika 30 siswa Kelas IX A sebagai berikut. 6 9 10
8 9 8
7 8 8
6 6 6
6 7 6
5 7 5
7 7 9
8 6 9
8 8 7
5 7 6
Dapatkah kamu membaca data tersebut? Tentu saja dapat, meskipun untuk membacanya memerlukan waktu yang cukup lama. Jika data tersebut disajikan dalam tabel distribusi frekuensi, hasilnya akan tampak sebagai berikut. Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan Matematika 30 siswa Kelas IX A
Nilai
Turus
Jumlah Siswa
5
3
6
8
7
7
8
7
9
4
10
1 Jumlah
30
Sekarang, coba kamu baca data yang telah disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, kemudian bandingkan, manakah yang lebih mudah untuk dibaca?
B. Ukuran Pemusatan Data 1.
Mean (Rataan) Salah satu ukuran pemusatan data adalah mean atau rata-rata. Mean suatu data adalah jumlah seluruh datum dibagi oleh banyaknya datum. Mean dilambangkan dengan huruf kecil dengan garis diatasnya. Misalnya n , x , atau y . Akan tetapi, biasanya mean dilambangkan dengan Μ
(dibaca eks bar). 3
Jika suatu data terdiri atas n datum, yaitu x1, x2, ... xn, mean dari data tersebut dirumuskan sebagai berikut.
Mean (π)
ππππππ π
ππππ
ππ +ππ +β―+ππ
ππππππ π
ππππ
π
Jika data disajikan dalam tabel distribusi frekuensi seperti di bawah ini. Nilai ( )
Frekuensi ( ) Maka dapat dirumuskan
. .
2.
. .
Mean (π)
ππ ππ +ππ ππ +β―+ππ ππ ππ +ππ +β―+ππ
Median (Nilai Tengah) Median adalah nilai tengah dari data yang telah diu rutkan dari datum terkecil ke terbesar. Median dapat dinotasikan dengan Me. Jika banyak datum ganjil, mediannya adalah datum yang tepat berada di tengah data setelah diurutkan. Datum ini tepat membagi data menjadi dua kelompok datum yang sama banyak. Rumus median data ganjil dapat ditulis
Median
ππ
π π
Contoh 3.1. Diketahui data berat badan 9 siswa laki-laki kela IX A SMP Budikarya sebagai berikut. 47 57 53 50 45 48 52 49 55 Jawab. Urutkan data terlebih dahulu 45 47 48 49 50 52 53 55 57 Median = = x5 = 50 Maka terlihat median dari data tersebut terletak pada data ke-5 yaitu 50.
4
Jika banyak datum genap, mediannya adalah mean atau rata-rata dari dua datum yang terletak di tengah setelah data tersebut diurutkan. Rumus median genap dapat dituliskan
Median
π π
(ππ π
ππ+π ) π
Contoh 3.2. Diketahui data berat badan 16 siswa perempuan kela IX A SMP Budikarya sebagai berikut. 47 57 53 50 45 48 52 49 55 47 57 53 50 45 48 52 Jawab. 45 45 47 47 48 48 49 50 50 52 52 53 53 55 57 57 Median = (
3.
+
)
(
+
)
(
)=
+
5
Modus (Nilai yang sering muncul) Modus adalah datum yang paling sering muncul. Dinotasikan dengan Mo. Data yang memiliki dua modus disebut bimodal. Suatu data dikatakan tidakmempunyai modus apabila frekuensi setiap datumnya sama banyak. Contoh 4.1. Tentukan modus dari setiap data berikut. a. 4, 6, 3, 7, 4, 6, 5, 7, 8, 6, 9, 6. b. 12, 10, 8, 10, 9, 7, 8, 6, 5. c. 6, 6, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 4, 4, 10, 10, 3, 3, 2, 2. Jawab. a. Datum yang paling sering muncul adalah 6, yaitu sebanyak empat kali. Jadi, modusnya adalah 6. b. Datum yang paling sering muncul adalah 8 dan 10, yaitu sebanyak dua kali. Dengan demikian, modusnya ada dua, yaitu 8 dan 10. c. Data ini tidak memiliki modus karena frekuensi setiap datumnya sama banyak.
5
C. Ukuran Penyebaran Data 1.
Jangkauan (range) Jangkauan (R) atau rentang (Range) suatu data adalah selisih datum terbesar dengan datum terkecil. Dapat dirumuskan sebagai berikut.
R = πΏπππ β πΏπππ
Keterangan: R = jangkauan Xmax = datum terbesar Xmin = datum terkecil
Contoh 5.1. Diketahui data tinggi badan 20 siswa sebagai berikut. 150 155 160 157 158 160 155 150 175 140 Jawab. Petunjuk : 1) Urutkan data terlebih dahulu 2) Data terbesar β data terkecil 140 150 150 155 155 157 158 160 160 175 Datum terkecil
Datum terbesar
Jangkauan data tersebut adalah 145 β 175 = 30 2.
Kuartil. Kuartil suatu data diperoleh dengan membagi suatu data terurut menjadi empat bagian sama besar. Kuartil terdiri atas tiga macam, yaitu: 1. kuartil bawah (Q1) 2. kuartil tengah/median (Q2) 3. kuartil atas (Q3) Jika suatu data dilambangkan dengan garis lurus, letak kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atasnya adalah sebagai berikut.
6
Cara menentukan kuartil sebagai berikut:
1. Urutkan data dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar. 2. Tentukan Q2 atau median. 3. Tentukan Q1 dengan membagi data di bawah Q2 menjadi dua bagian yang sama besar. 4. Tentukan Q3 dengan membagi data di atas Q2 menjadi dua bagian sama besar.
Contoh 6.1. Tentukan kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil atas (Q3) dari datadata berikut. a) 20 35 50 45 30 30 25 40 45 30 35 b) 11 13 10 10 12 15 14 12 Jawab. a) Urutkan data 20 5 30 30 30 35 35 40 45 45 50 π
π
π
3
Jadi,
35
45
b) 10 10 11 12 12 13 14 15 π
π
π
7
π
1
11
π
2 1 5
12
12 2
12
π
13
14 2
13 5
Menentukan kuartil data tunggal Letak Qi = data ke i (n ο« 1) 4 dengan i = 1, 2, 3
dan n = banyaknya data
a. Jangkauan interkuartil (QR) Jangkauan interkuartil adalah selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah. Sehingga dapat dirumuskan menjadi: QR = Q3 - Q1
Contoh 6.2. Tekanan darah seorang pasien (dinyatakan dalam mmHg) rumah sakit dicatat sehingga diperoleh data berikut. 180 160 175 150 176 130 174 125 178 126 180 124 180 120 165 120 166 120 b. Simpangan kuartil Simpangan kuartil (jangkauan semiinterkuartil) adalah setengah dari jangkauan interkuartil. Sehingga dapat dirumuskan menjadi:
Qd = 1/2 QR atau Qd = 1/2(Q3 - Q1)
8
Contoh 6.3. Tentukan jangkauan simpangan kuartil data berikut 20 35 50 45 30 30 25 40 45 30 35 Jawab. 1. Urutkan data terlebih dahulu 20 25 30 30 30 35 35 40 45 45 50 2. Tentukan nilai kuartil 20 25 30 30 30 35 35 40 45 45 50 3π
π 35
π
45
3. Tentukan nilai jangkauan interkuartil β 45 β 3 15 4. Tentukan simpangan kuartilnya 1 ( β ) 2 1 (45 β 3 ) 2 (15)
75
9
RANGKUMAN a) Data merupakan kumpulan datum. b) Datum merupakan fakta tunggal. c) Statistika adalah ilmu yang berhubungan dengan pengumpulan data, perhitungan atau pengolahan data, serta penarikan kesimpulan berdasarkan data yang diperoleh. Berdasarkan jenisnya, data dibedakan menjadi 2 macam, yaitu: 1. Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau bilangan. Data kuantitatif terbagi atas dua bagian, yaitu data cacahan dan data ukuran. (i) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh dengan cara menghitung. (ii) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur. 2. Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk angka atau bilangan. d) UkuranPemusatanData a. Mean (Rataan) Jika suatu data terdiri atas n datum, yaitu x1, x2, ... xn, mean dari data tersebut dirumuskan sebagai berikut. Mean (π)
ππππππ π
ππππ
ππ +ππ +β―+ππ
ππππππ π
ππππ
π
atau
Jika data disajikan dalam tabel distribusi frekuensi menggunakan rumuskan sebagai berikut. Mean (π)
ππ ππ +ππ ππ +β―+ππ ππ ππ +ππ +β―+ππ
b. Median (Nilai Tengah) Rumus median data ganjil dapat menggunakan
Median
ππ
π π
Keterangan:
Ket: n = banyaknya datum f = frekuensi Rumus median data genap dapat menggunakan Median
π π
(ππ π
ππ+π ) π
: datum ke: datum ke-
c. Modus (Nilai yang Sering Muncul) Dikatakan Modus jika frekuensi setiap datumnya paling banyak.
10
e) Ukuran Penyebaran Data 1. Jangkauan (Range) R = πΏπππ β πΏπππ 2. Kuartil Kuartil suatu data diperoleh dengan membagi suatu data terurut menjadi empat bagian sama besar. Kuartil terdiri atas tiga macam, yaitu: a. kuartil bawah (Q1) b. kuartil tengah/median (Q2) c. kuartil atas (Q3) Cara menentukan kuartil sebagai berikut: 1. Urutkan data dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar. 2.
Tentukan Q2 atau median.
3.
Tentukan Q1 dengan membagi data di bawah Q2 menjadi dua bagian yang sama besar.
4.
Tentukan Q3 dengan membagi data di atas Q2 menjadi dua bagian sama besar.
Menentukan kuartil data tunggal Letak Qi = data ke dengan i = 1, 2, 3 c.
i (n ο« 1) 4
dan n = banyaknya data.
Jangkauan interkuartil (QR) QR = Q3 - Q1
d. Simpangan kuartil Qd = 1/2 QR atau Qd = 1/2(Q3 - Q1)
11
Uji Kompetensi I 1. Buatlah contoh lain lalu tentukan populasi dan sampel 2. Carilah data yang termasuk ke dalam data ukuran 3. Coba kamu cari data kualitatif yang lain 4. Kumpulkan data dari ukuran sepatu teman satu kelas kalian lalu sajikan dengan turus. 5. Siswa kelas IX B mengikuti ujian Sains. Distribusi nilai ujian yang diperoleh disajikan pada tabel berikut. Hitunglah meannya. Nilai ( )
5
6
7
8
9
10
Frekuensi ( )
8
3
3
6
5
2
6. Hitunglah mean, median dan modus dari data tinggi badan siswa kelas IX B SMP Budikarya. 154 153 159 165 152 149 154 151 157 158 154 157 162 168 150 153 156 160 154 147 7. Diketahui data nilai ulangan Matematika 15 siswa sebagai berikut. Tentukan jangkauannya! 80 85 60 75 50 91 67 52 100 82 55 68 91 100 70 8. Hasil pendataan usia, dari 12 anak balita (dalam tahun) diketahui sebagai berikut : 4, 3, 4, 4, 2, 1, 1, 2,1, 3, 3, 4 , tentukan : a. Kuartil bawah (Q1) b. Kuartil tengah (Q2) c. Kuartil atas (Q3) d. jangkauan interkuartil e. simpangan kuartil 9. Tentukan populasi dan sampel yang mungkin dari pernyataan-pernyataan berikut ini. a. Seseorang ingin mengetahui rata-rata umur siswa SMP kelas IX di Jawa Timur. b. Jika populasi ingin mengetahui tingkat pencemaran air di sungai A 12
sebagai akibat dari limbah industri, 10. Diketahui data nilai ulangan Bahasa Indonesia 15 siswa sebagai berikut. 8
6 7 8 7 5 9 6 5 8 8 10 10 6 7
a. Tentukan nilai Q1, Q2, dan Q3. b. Berapa banyak siswa yang nilainya di bawah Q2? c. Berapa banyak siswa yang nilainya di atas Q2?
13
Kunci Jawaban 5. Median = 7 6. Mean = 147,95 Median = 154 Modus = 154 7. = 50 8. 15 3 4 = 2,5 = 1,25 9. a. Populasi : seluruh siswa SMP kelas IX di Jawa Timur. Sampel : beberapa siswa SMP kelas IX di setiap kabupaten yang di catat umurnya. b. Populasi : seluruh air di sungai A Sampel : beberapa tabung (gelas) air dari sungai A yang diambil secara acak di beberapa tempat yang terpisah 10. a. 6 7 8 b.Banyak siswa yang nilainya di bawah c. Banyak siswa yang nilainya di atas
ada 5 siswa ada 7 siswa
14
15
