A Michelson-Morley kísérlet gyökeres átértékelése Az [1]-ben – több évnyi irányvesztett bolyongás után – végre sikerült rálelni a Dobó-féle dimenziótlan kD (vagy a vele lényegileg egyenértékő, modellünkben sebesség-dimenziójú Bolyai-féle k=c0kD) paraméter igazi helyére, valódi fizikai szerepére és jelentésére. Most az [1]-beli (3) összefüggés felhasználásával a szakirodalomban évtizedek alatt szinte már „lerágott csont”-tá idézett-taglalt Michelson-Morley kísérletet fogjuk átfogóan (újra)értelmezni. A kísérlet matematikai háttere Jelölje a K0-hoz képest v-sebességő Kv-rendszerben nyugvó interferométer osztóprizma utáni karhosszait Lv. (Értelmezésünkben a v-irányú és a v-re merıleges karok Kv-ben tökéletesen egyenlı hosszúságúak. Ugyanakkor viszont, ha most Kv „lassulni kezdene” K0ban, akkor a haladás irányában álló kar egyre jobban hosszabbodna a sebességre merıleges karhoz képest!) Az interferométer v-re merıleges irányú karjában terjedı fény sebességét c┴ jelöli az 1. Ábrán; míg a K0-ban mint a lokális éterhez képest nyugvó, lokálisan abszolút rendszerben a fény terjedési sebessége a c0 egyetemes fizikai állandó:
A c0 ←
b →
d
c┴
γ=900
B
f(v,c⊥) ← a 1. Ábra
D
Az 1. Ábra ABD háromszögének a, b, d oldalai hiperbolikus mértékőek. Itt a d oldal nem más, mint a c0 euklideszi mértékő (sebesség)mennyiség hiperbolikus mértéke. Kicsit részletesebben: a hiperbolikus geometriájú térben lévı ABD háromszög AB oldalának „jelen esetben eredeti”, azaz hiperbolikus mértéke d, míg ugyanezen AB oldal „klasszikus/középiskolás/megszokott”, azaz euklideszi mértéke c0. (Ld. errıl bıvebben [2]-t.) Hasonló áll az AD oldalra is, de a BD oldalra már nem! Ennél „a” euklideszi mértéke megváltozik. (Ld. a [6] (B’) alatti kifejezését.) Ebbıl kifolyólag (vagyis a Dobó-kontrakció ⊥
miatt) BD euklideszi mértéke v, c ⊥ v1 lesz, ahol k0 a K0 rendszer görbületi
paramétere.
A továbblépéshez – részben az ábrából is láthatóan – szükségünk van a hiperbolikus Pitagorasz-tételre, amely a hiperbolikus koszinusz-tétel speciális eseteként adódik (hasonlóan ahhoz, ahogyan a klasszikus, euklideszi Pitagorasz-tétel az euklideszi geometria koszinusz1
tételének speciális esete γ=900-ra). Éspedig azért van éppen e tételre szükségünk, mert – amint azt Dobó Andorral már számtalan írásunkban kifejtettük (ld. ehhez még [3]-t is, amely, megengedhetetlenül, kizárólagosan csak a „kDv=1 minden v-re” speciális esetre: az Einsteinféle speciális relativitáselméletre szőkíti a kérdéskör tárgyalását) – a (sebességreprezentációbeli) sebességterek, legalábbis a(z abszolút értékben) K0-hoz képest c0 alatti sebességő Kv-k tartományában (amikor |v|
cosh cosh cosh sinh sinh cos γ
I.
(A K0 rendszer görbületi paramétere: k0=c0kD0, szintén egyetemes – csak még KD0 számértéke ismeretének hiányában ismeretlen – állandó; továbbá cosh(…)≡ch(…) és sinh(…)≡sh(…)!) Ennek γ=900-ra alkalmazott speciális esete, azaz a hiperbolikus Pitagorasz-tétel:
!
"
II.
Fennáll a hiperbolikus függvények közötti alábbi összefüggés: $
cosh x √$&'()*
III.
(tanh(…)≡th(…))
+
Végül fel kell még írnunk a Dobó-féle alapösszefüggéseket is:
c, k , tanh
IV.
v k , tanh
0 1 k , tanh
(Itt például c┴ az euklideszi mértéke az 1. Ábrán a hiperbolikus háromszög AD oldalának, amelynek hiperbolikus mértéke éppen b. Ld. még továbbra is [2]-t.) A III.-t és IV.-t alkalmazva II.-re, adódik: 2
II.’
4
32& 4
2
54
2
14
32& 4 32& 4
Ebbıl kapjuk, hogy 1
1*
*
*
6 $& *
7 8* $& * 7
. c1 k,<
1
⇒
c 1 k , 91
*
6 $& * 7 8* $& * 7
:
⇒
c, c, v v v
1 = 1 c, v c, v k, k, k c, k, < , k,3 c, < ? v v v k, v k, v 1 1
1
k, k , k , k ,
2
Eredményül azt kaptuk tehát, hogy a K0-hoz (és így a lokális éterhez) képest v-sebességő Kv rendszerben, annak haladási irányára merılegesen terjedı (vákuumbeli) fénysugár c┴ sebessége K0-ban:
(1) c 1 c, ?
8*
$& * 6
8*
$& * 7
(Az oldalak euklideszi mértékeinek ismeretében, az euklideszi Pitagorasz-tétel alkalmazásával ugyanerre az eredményre jutunk. Ekkor a v, c ⊥ = c ⊥ c, )
összefüggésbıl kell a c⊥ sebességet kifejezni! A(1)-el azonos eredményt kapunk a [2]-ben szereplı (6) alapján is, ha a w=c0, u=c⊥, v=v és α=π/2 választással élünk. A továbbiakban pedig az α=0-t használjuk ki.) Ám nekünk a továbblépéshez e sebességösszetevı Kv-beli értékére lesz szükségünk – hiszen a címbeli Michelson-Morley kísérletet Kv-ben „végrehajtva” akarjuk újraértelmezni! A [4]ben leírtak szerint (ld. a 6)’ képletet, és az azt megelızı okfejtést) ehhez a K0 hiperbolikus terébıl át kell transzformálni c┴-t a Kv hiperbolikus terébe, c@1 -vé. Ez praktikusan c┴ nagyítását jelenti a (kv/k0)>1 arányossági tényezıvel (0
0):
(1)’. 51 5 ?
54
2& 4
54 2& 4
54
2& 4
B5 ? 54 B 2&
4
B5
B
?
54
2& 4
54 2& 4
B5 ? 4 B
4 C54 4 54
2& 4 4 B
B5 4 54 B5 4 54 4 54 3 3 B5 B B ? 4 4B 5 4 B 4 4B 5 4 4 4B 5 4 4 4B
Itt 1
3
fénysugarak hajszálpontosan egyenlı idık alatt futják be az osztóprizma utáni karokat, mielıtt újra találkoznának: (2) t 1@ t FF @
A v-re merıleges karban haladó fénysugárnak az út megtételéhez szükséges idı (felhasználva (1)’-t):
(3) . G 15
4H5 51
H5 B
4
?
B5
54
2& 4 54
2& 4
4
H5
B5
4 4B &5 4 4 &5 4
míg a v-irányú karban terjedı fény útját I
&I
8 8 (4) t FF @ JJ = JJ 8
C8
idı alatt futja be Kv-ben. A (4)-ben szereplı cv-k a jelen írás elején már említett [1]-beli (3) összefüggés alapján (w=c0):
&@
(5) c@FF 8 és
6 8 $& * 7
& &@ 6 8 $L *
FF (6) c&@ 8
6 8 K $& * * 6 7K
K8
7
Beírva (5)-t és (6)-t (4)-be:
(7) . G MM 5 5
HN
C5 2C 5 4
2 B
HN
B5
HN B
B5
V
&5 54
B 4 &5 4
K8
& &@
K
&@
$&
=
5 2O 4
5 L 4 B
L5
H
4 5 B
B5
W
K
P
B5
B 4 &5 4
& &@
$L
B5 B
HN B
54
4& 4
8 6 7* K
K8
6 8 K $L * * 6 7K
R &H = 5 C 5C5 HN Q
5 & 4 B
4 4 &4 4
&@
K8
X
4
8 6 7* K
2
C5 4 5 C 4 4 B
5 & 4 L B
H
4 5 B
B5
=
B5 B
54 5& 4 B
4 4 4 B C5 4 B 4 &5 4
A (2), (3), és (7) egyenletekbıl együttesen következıen: (8) 1
$
K
amibıl adódóan:
YLX
4 &5 4
2
B
4
2
O5 45 O 4 4 B
5 L 4 & B
4
H5
B5
U T S
54
5& 4 Y B
4 4B &5 4 4 &5 4
4 4B &5 4 4 &5 4
4
(9) k D,
4 4B &5 4
v
4 &5 4 1
⇒
k D, 0
k D, c, v c, k D, = v 0
⇒
k D, 1
⇒
(vagy v=0)
(A görbületi paraméter geometriai jelentése miatt k D, eleve pozitív /valós/ szám: k D, ∈ℜ, k D, >0.)
Azt kaptuk tehát eredményül, hogy ha a Michelson-Morley kétkaros interferométeres kísérlet valóban negatív, azaz ha a kettéosztott fénysugarak matematikai pontossággal egyenlı idık alatt járják be az egymásra merıleges karokat, akkor -
vagy pontosan nulla a Föld éterhez képesti sebessége (tehát Einstein kizárólagos következtetése az éter létezésének cáfolatára logikailag az értelmezési lehetıségek körének önkényes beszőkítése, illogikus volt!); hacsak bolygónk valódi sebességének iránya a lokális éterben nem éppen 450-os szöget zár be a két karral, azok felezı merılegeseként (ehhez ld. még Dobó több munkáját is e tárgyban);
-
vagy az éter Dobó-féle k-jának számértéke egzaktul kD0=1.1
Viszont a már eddig is többször hivatkozott [2] szépen, tömören összefoglalja korábbi kutatási eredményeinket, amelyek fizikai megfontolásokból kizárják a k D, =1 esetet, és csakis a k D, >1 értéket engedik meg, tekintik fizikailag értelmezhetınek.
Eszerint ha (2) fönnáll, ellentmondásra jutunk, tehát (2) nem állhat fenn! Ezt a bizonyítást nevezik a matematikában „reductio ad absurdum” bizonyításnak. Ez úgy mutatja meg egy állítás helytelen voltát, hogy abból valami képtelenséget vezet le. Itt a képtelenséget a (9) alatti kifejezés tartalmazza. Mint látható, ezen az úton is ugyanazt az eredményt kaptam, mint Dobó, aki v>0 és kD0>1 egyenlıtlenségekbıl direkt módon a (2)’
∆t t FF t ⊥ E 0
teljesülését bizonyította.
Mindebbıl pedig következik: ha feltételezzük, hogy Földünk lokális éterhez képesti sebessége nem pontosan nulla, továbbá, hogy e sebesség iránya nem pontosan felezi az interferométer egymásra merıleges karjainak szögét (ez utóbbi eshetıség elvileg kiszőrhetı a kísérletnek az év különbözı idıpontjaiban és bolygónk különbözı helyein történı többszöri, sorozatszerő elvégzésével/megismétlésével), akkor a Michelson-Morley kísérlet kiértékelése hibás! Elvégzıinek és Einsteinnek értelmezésével szemben valójában nem zárja ki Földünk (lokális) éterhez képesti mozgását! (Mivel az interferenciakép a berendezés elforgatása során nem változott, a csíkok nem tolódtak el, ezért a kísérlet bármilyen gondos elvégzése után is mindig ∆t=0 maradt. Ennek folytán a Föld lokális éterhez képesti sebessége nem határozható meg a mérési pontosságon belül!) 1
Ez még csak részben – éppen a lokális éterhez képest nyugvó, abszolút K0-ban – jelentené az eredeti Einsteini elmélethez való visszatérést; ugyanis a kDv (≥kD0) feltétel teljesülhet „minden |v|>0 értékre kD0-nál határozottan nagyobb kDv”-vel is!
5
Mielıtt azonban e rejtélyes kijelentés bıvebb kifejtésébe fognánk, meg kell ismerkednünk még egy további levezetéssel. Jelölje (ε·c0) a Föld lokális éterhez képest feltételezett sebességét: (10)
0[ε\1
Ekkor az (5) egyenletben is alkalmazott [1]-beli (3) összefüggés szerint: (11)
. c@
K8 &ε
$&ε
K $&6 ε6 * * 6 7K
K8
$&ε c ε
K , $& * 7
K
Most tegyük fel, hogy a Földhöz rögzített Kv-ben mért cv („a Földön nagyjából állandó”2) fénysebességnél legfeljebb N-szer nagyobb sebesség mérhetı Kv-ben, azaz bolygónkon! Emlékeztetünk – többek közt – a svájci Genf környékén a közelmúltban, a Genfi Egyetem kutatói által elvégzett lézeres kvantumoptikai (photon pair entanglement, azaz összegubancolódott/összecsatolódott fotonpár) kísérletre, amely azóta is értelmezhetetlen, már-már botrányos rejtély a hivatalos/mértékadó fizikusok számára; ugyanis az csak a határsebességnek gondolt vákuumbeli fénysebességnél legalább N=100-szor, még inkább N=115-ször nagyobb hatás/információ-sebesség feltételezésével magyarázható! (Ld. például: http://www.origo.hu/tudomany/20080819-osszecsatolodott-reszecskeparok-kvantummechanikakvantumszamitogepek.html Korábban errıl Dobó is írt részletesen.) Ekkor tehát a (11) alapján: (12)
N K8 c, $& K
ε
7* K
[ c, k D@
(1
feltételezve azt, hogy Földünkön a vákuumbeli fénysebességnél – mely „nagyjából állandó” – (elegendı pontossággal) N-szer nagyobb a mérhetı legnagyobb sebesség, azaz a túlléphetetlen határsebesség, c0kDv. Egyszerősítés után (13)
N
Ebbıl adódóan (14)
Azaz: (15)
$
K
$&ε ε
$& * 7
K
[1 ε
ε
K
K
. N1 ε [ k D, ^1 * _ k D, N1 εk D, [ k D, ε
⇒
0 [ k D, N1 εk D, ε
A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva kapjuk: (16)
2
k D,$,
`$&εab`* $&ε* Lcε
ezt is jelenti matematikailag az ε\1 előfeltevés
6
Mivel a geometriai tartalom miatt kD0>0 mindig fönn kell álljon, így a kisebbik gyök nyilvánvalóan elvetendı (hiszen 4ε>0), ezért: (17)
k D, E
`$&εLb`* $&ε* Lcε
g N1 ε
dε
`$&εL`$&ε$L * e fCε*
g N1 ε =
ε `$&ε
g
(Itt felhasználtuk azt, hogy ε kicsiny, N nagy értéket vesz fel; és így √1 = x g 1 = x/2.)
Például v=380 km/s éterhez képesti Föld-sebességgel számolva – ami majdnem 13-szorosa bolygónk Nap körüli átlagos keringési sebességének! – (ekkor ε≈0,0012679343, ha a K0-hoz, azaz az éterhez képest a vákuumbeli fény sebességét mint egyetemes fizikai állandót „nagyjából” a földi vákuumbeli fénysebességhez közeli értékőnek feltételezzük: c0≈299700 km/s), és továbbra is N=115 (a Földön elérhetı/mérhetı) maximális sebesség választással élve azt kapjuk, hogy (18)
k D, E 114,8541986
ami alig-alig marad el a gondolatkísérletünkben a Kv-beli felsı sebességkorlát szerepét játszó N=115 értéktıl. (İszintén bevallom: én magam egy kD0o1,000000001 körüli értéknek jobban örültem volna..) Értelmezést könnyítı emlékeztetıül: valójában most azt kaptuk, hogy ha a Földön – mely feltevésünk szerint 380 km/s sebességgel mozog a lokális éterhez képest – eddig (közvetve) mért/észlelt legnagyobb sebesség az itt mérhetı (vákuumbeli) fénysebességnél (mely „jó közelítéssel állandónak vehetı”) éppen 115-ször nagyobb, akkor bárhol a Világegyetemben a lokális éterhez képest észlelhetı sebességek felsı korlátja mint egyetemes fizikai állandó: kD0≥114,8541986. A kísérlet mőködése a gyakorlatban Valójában hogyan is mőködik a Michelson-Morley interferométer a gyakorlatban? Mert ugye elméleti levezetésünkkor azt feltételeztük, hogy a valóságban is megépített interferométerek – legjobb tudomásom szerint 20 cm és 16 m közé esı – karhosszai hajszálpontosan egyenlı hosszúságúak. Aligha kell kimerítıen bizonygatni, hogy pl. 16 m hosszú karok esetén a v-irányú és az arra merıleges karok soha nem tekinthetık pontosan egyenlı hosszúságúnak! Magyarán: interferenciagyőrők mindenképpen megjelennek az észlelıernyın – függetlenül attól, hogy van-e éter, avagy nincs, hogy ha van is: áll-e hozzá képest Földünk, avagy „száguld benne”… Szerencsére ezzel mindig is tökéletesen tisztában voltak e híres kísérlet elvégzıi; úgyhogy mérésüket valójában két lépésben hajtották végre. Az elsı lépés az általunk is tárgyalt elrendezés volt, majd ezt követte a második lépés, amelyben az interferométert pontosan 900kal elforgatva megismételték a mérést: azaz szerepet cserélt egymással a két kar.3 3
Persze azért azt is el kell ismerni, hogy a feltételezett v irányába eső kar hossza – még kis |v| értéknél is – megnő, ha v-re merőlegessé tesszük; míg az eredetileg arra merőleges kar hossza ellentétesen változik az
7
Interferenciagyőrők mindkét elrendezéskor keletkeztek – hiszen a két kar például 10 nm-es pontossággal aligha „egyenlı” hosszúságú –, ám ha Földünk valóban halad érzékelhetı v sebességgel a lokális éterben, akkor a kétféle elrendezésben (a karhosszak technikai pontatlanságból eredı eltérésébıl adódó aszimmetria következményeként) kétféle interferencigyőrő-rendszert kell kapni. Tömörebben: ha az eredeti, majd a 900-kal elforgatott állásban tapasztalt interferencia-eloszlások különböznek egymástól, akkor az „csakis”/legnagyobbrészt a Föld éterhez képesti v sebességével magyarázható! Ugyanis ha a két karhossz valóban matematikai pontossággal egyenlı hosszúságú lenne, akkor a kétféle állásban – továbbra is eltekintve a 3 lábjegyzetbeli járulékos hatástól – hajszálpontosan ugyanazt az interferencia-győrőrendszert kellene kapnunk; azaz a végeredmény szempontjából az interferométer karjaiból egy-egy, egymással pontosan egyenlı hosszúságú részt, legalábbis gondolatilag, akár „le is vághatnánk.” Igen ám, csakhogy mindebbıl az is következik, hogy a kísérlet lényegi tartalma szempontjából mindegy, hogy 20 cm vagy 16 m hosszúak-e az interferométer osztóprizma utáni karjai: kizárólagosan csak az az érdekes, hogy a két kar közötti valóságos (L1-L2)=∆L hosszkülönbség mekkora! (Ismételten utalunk a 3 lábjegyzetbeli megjegyzésre, amely most úgy is megfogalmazható, hogy a kétféle – elforgatás elıtti és utáni – állásban megvalósuló ∆L-k kicsit mindenképpen eltérnek egymástól; de e különbség, legalábbis föltevésünk szerint, másodlagosnak tekinthetı a primer jelenséghez képest. A fenti számértékekkel végzett utólagos számítás szerint az ebbıl eredı többlethatás, még 16 m-es karhosszaknál is mindössze: ∆L g 1,95 nm, azaz a λ=400 nm-es hullámhossznak kevesebb mint 0,5%-a; míg 20 cm-es karoknál már csupán 0,006%-a!) Készítettem egy egyszerő Excel-modellt. Ha λ=400 nm-es hullámhosszal (az emberi szem által látható 396 nm< λ<720 nm tartományban maradva) és ∆L≈0,1 mm-nyi karhosszkülönbséggel számolunk (ekkora pontosság még 16 m-es karok esetén is elvárható korunk és közelmúltunk mőszaki színvonalán), továbbra is az N=115 és a v≈380 km/s választással élve, akkor azt kapjuk, hogy a v-irányú és az arra merıleges karokat befutó fénysugarak a λ=400 nm hullámhossznak mindössze 0,04%-t kitevı fáziskülönbséggel egyesülnek újra az észlelıernyın! Ilyen parányi „fáziscsúszás” pedig biztosan nem okoz kimutatható/látható különbséget a kétféle állásban észlelt győrőrendszerek között. Természetesen, ha újabb kísérletek még nagyobb sebességeket mérnének Földünkön (N2>N=115), akkor a (kD0>) 114,8541986 alsó korlát értéke is nagyobbnak adódna. A teljességhez még az is hozzátartozik, hogy fönti levezetésünk – és így az azon alapuló Excell-számítás is – felsı korlátnak tekintendı; ugyanis arra a maximális hatást feltételezı határesetre vonatkozik, amikor a Földünk lokális éterhez képesti v sebessége éppen δ=0 szöget zár be az interferométer egyik karjával. Márpedig ennél nagyobb hatás a v·cosδ≤v
elforgatáskor, azaz megrövidül – és ezt a pluszhatást (mármint a hosszúság-kontrakcióból eredő aszimmetriát) most sem vesszük számításba! Azt viszont talán „joggal” feltételezhetjük, hogy kis |v|-kre ez a hosszúság0 változásból, 90 -os elforgatáskor összeadódó hatás még mindig elhanyagolható a két karhossz „egyenlőségének” műszaki pontatlanságából eredő hatás mellett. Dobó eredményeire támaszkodva belátható, 0 hogy elhanyagolható az a hiba is, amely nem teljesen pontos 90 -os elforgatásból ered. A kísérlet történeti hátterét ld. [5]-ben.
8
triviális egyenlıtlenség miatt soha nem fordulhat elı – kisebb annál inkább. (Részleteiben ld. még Dobó e tárgyú levezetéseit.) Végezetül ide másolom az Excel-modellel elvégzett egyik konkrét számításomat: Bemenı paraméterek: ε= 0,0012679346 N= 115,00 Lambda= 400 Delta_L= 0,000100
(0<ε<1) (N*cv=kDv*c0; alapesetben: N=115; N
Számított értékek: I. c+v-bıl: kD0= 114,8541986 c+v/c-v= 99,74675338%
(ekkor csak egy pozitív gyök van) 2 ε/kD0 = 9,61176E-08 2 ε2/kD0 = 1,21871E-10
tL/tII = 99,99991962% Delta_t= 5,36382E-19 Delta_s= 1,60754E-10
8
(c0=2,997*10 m/s)
Delta_s/Lambda= 0,04% kD0(1)= 115,1458015
II. c-v-bıl:
c+v/c-v= 99,74675328%
(ekkor két különbözı pozitív gyök van) 2 ε/kD0 = 9,56314E-08 2 (1) ε2/kD0 = 1,21254E-10 115,00000001 =(kD0+kD0 )/2
tL/tII = 99,99991962% (1)
Delta_t = 5,36382E-19 (1) Delta_s = 1,60754E-10 Delta_s(1)/Lambda= 0,04% kD0(2)= 1,10116E-05
Ez sem elfogadható gyök, mert - bár pozitív - mindig < 1. ε/kD0 = 2
c+v/c-v=
ε2/kD0 = 2
tL/tII = (2)
Delta_t = (2) Delta_s = (2)
Delta_s /Lambda=
Záró következtetésként megállapítható, hogy az unos-untalan hivatkozott MichelsonMorley kísérlet – mint az Einsteini speciális relativitáselmélet egyik sarkköve és támasza – nem alkalmas a technika mai színvonalán/pontosságán annak tapasztalati eldöntésére, hogy Földünk vajon mozog-e (s ha igen: mekkora 0
Topa Zsolt fizikus, szakközgazdász
Hivatkozások [1]
Topa Zsolt: A Dobó-féle kD jelentésének újragondolása (Kézirat, Budapest, 2008. október 23., csütörtök.)
4
COBE: Cosmic Background Explorer – amerikai műhold, amely 1989. és 1993. között térképezte fel a mikrohullámú háttérsugárzást.
9
[2]
Dobó Andor: Miért nem lehet k=1? (Kézirat, Budapest, 2009. március 25.)
[3]
I. M. Jaglom: Galilei relativitási elve és egy nemeuklideszi geometria (Gondolat, Budapest, 1985.)
[4]
Topa Zsolt: Sebességösszegzés – újragondolva (Kézirat, Budapest, 2006. április 26., szerda.)
[5]
Dobó Andor: A kísérlet bizonyító szerepérıl (Kézirat, Budapest, 2007. január 31.)
[6]
Topa Zsolt: Apróságok (Kézirat, Budapest, 2004. július 17.)
FÜGGELÉK A dolgozat elején leírtak megértését megkönnyítendı, most kicsit részletesebben kifejtem a hiperbolikus távolság és a Dobó-féle alapösszefüggéssel (ld. IV. egyenlet) hozzárendelt fizikai sebesség viszonyát. Mindehhez Dobó Andornak a nekem e tárgyban írt levelét, továbbá szóbeli magyarázatainak gondolatmenetét hívom segítségül. Elıször is a korábbi írásaimban közölteket pontosítani kívánom: a v=k0·th(d/k0) képlettel definiált mennyiség nem feltétlenül egyenlı a d hiperbolikus távolság euklideszi mértékével. Általánosan csak annyi állítható, hogy annak egy olyan felsı korlátja, amely az esetek egy részében egyenlı d euklideszi mértékével, míg az esetek másik részében nagyobb annál. Ez abból adódik, hogy más az euklideszi és hiperbolikus távolságok közötti összefüggés, ha a pontnégyes kettısviszonyát átmérın (vagyis középponton áthaladó és így leghosszabb húron), és más, ha (középponton nem áthaladó) húron értelmezzük. Ez, kicsit máshonnan közelítve a problémát, úgy is megfogalmazható, hogy a Dobó-féle alapösszefüggés a hiperbolikus sebességtér valamely d tagjához nem (feltétlenül) annak euklideszi mértékét rendeli, hanem egy „formális függvénydefiníciót” ad v-re –; ám e definíciószerő függvénykapcsolat az esetek speciális részében egyúttal a d euklideszi mértékét szolgáltatja, míg általánosan annak felsı korlátját! Ezek után térjünk rá Dobó tárgyalására:
Legyen k , th w c, ,
A b
k , th u c ⊥
és k , th v v
d .
D
a
B
10
Az ABD háromszög oldalainak euklideszi mértékei:
δ$ AD k , th
(1)
δ AB k , th
(2)
w 7 x ) 7
')
µ BD
(3)
k , th 1 th .
Az euklideszi mértékő oldalakra alkalmazva a („klasszikus”/euklideszi) Pitagorasz-tételt: δ$ = µ δ
4
k , th
5
=
w 7 x )* 7
* ')*
k , th
Egyszerősítve k , -val, majd az (5)-be helyettesítve a $
th x 1
)* +
összefüggés megfelelıit: $
$
6
1
7
ch ch ch
x )* 7
=
x )* 7
X1
$
w )* 7
Y1
$
y )* 7
A (6)-ból átalakítással nyerjük a hiperbolikus Pitagorasz-tételt:
Mivel chx
$
teljes összhangban II.-vel
$
b$&')* +
ezért (7) így is írható: 8
$
w $&')* 7
vagy ami ugyanaz: 9
$
3$&
8 * 7
$
x $&')* 7
$
3$&
* 7
y
$&')* 7
,
$
3$&
* 7
A (9)-bıl (10) vagy
@
w u = v
11
(11)
8 * 8 * $& 7
u w3
$&
.
A (10) illetve (11) közvetlenül megkapható a (3) és (4) alapján, ha figyelembe vesszük, hogy δ1=u, δ2=w és (12)
µ k , th 1 th v1 v, u
Iménti egyenlet kisárgított hátterő összefüggésére utalt a dolgozat elsı oldalán a „Dobó-kontrakció” elnevezés – melyet akár Dobó-féle sebesség-kontrakciónak is hívhatunk. Ekkor a (4) alapján (10’)
u = v ^1 _ w
vagy u = v, u w
ami megfelel (10)-nek. Nyilván, általános esetben v, u u, v.
Fenti levezetéssel – egyúttal – az általánosabb hiperbolikus koszinusz-tétel felhasználása nélkül, közvetlenül is származtattuk a Bolyai-geometria Pitagorasz-tételét.
Budapest, 2009. április 30. (E napon született Gauss 1777-ben!)
12
