1. Úlohy a cíle teorie plasticity Schopnost tuhých těles deformovat se působením vnějších sil a po odnětí těchto sil nabývat původního tvaru a rozměrů se nazývá pružnost.
1.1 Plasticita, pracovní diagram Plasticita je pak schopnost tuhých těles nabývat za působení vnějších sil trvalé, nevratné deformace – nazývají se plastické deformace. DŮLEŽITÉ VZORCE: F A0
-
smluvní napětí: σ =
-
relativní prodloužení: ε =
-
Hookeův zákon: σ = Eε celkové přetvoření: ε cel = ε el + ε pl
Δl l0
Obr. 1.1: Smluvní pracovní diagram měkké oceli (výrazná mez kluzu) - pozn.: velikost průřezu se v průběhu zatěžování mění a proto hodnoty napětí σ nejsou skutečné, ale smluvní
σ
P B C
D
A
σ
Ry
ε
ε
pl
ε
cel
A – mez úměrnosti B – mez pružnosti C – mez kluzu (plasticity) P – vznik krčku na zkušebním vzorku, smluvní mez pevnosti σp D – přetržení zkušebního vzorku Deformační proces tělesa, při němž vznikají a rozvíjejí se plastické deformace tělesa, nazýváme plastickým přetvářením.
Smluvní diagram vede mylně k představě, že oblast P-D pracovního diagramu leží již mimo technické využití. Ve skutečnosti je řada technologických operací prováděna za bodem P, tedy v oblasti krčku. Trochu historie: Plastické přetváření je známo od bronzové doby, ale teorie plasticity je poměrně mladou vědní disciplínou. 1868 – Tresue předložil závěry svých pokusů o trvalém přetváření tuhých těles 1871 – Saint Venant publikoval práci o plastických deformacích Teorie plasticity: a) umožňuje efektivně využít vlastností materiálů b) řeší určování konkrétní únosnosti konstrukčních částí c) řeší problémy technologických procesů tváření (efektivnost využití zařízení, pomůže při správné volbě nástrojů a pracovního režimu) Teorie plasticity se rozvíjí ve dvou směrech: 1) fyzikální směr – teoretické studium vlastností elementárních částic (vychází z fyziky pevné fáze), umožňuje stanovit základní zákonitosti, které určují mechanické vlastnosti tuhých těles v celém oboru přetváření 2) matematicko-mechanický směr – vychází z experimentálně zjištěných mechanických vlastností materiálů, navazuje na teorii pružnosti a rozšiřuje ji při analýze napjatosti a přetvoření během různých podmínek působení vnějších sil a účinků. Obr. 1.2: Ocel obvyklých jakostí (třídy 10 nebo 11)
σ [MPa] σp=380 σk=240 σe=210 σú=200
ε
Proč NE síla a absolutní prodloužení v pracovním diagramu: Ve zkušební tyči působí tahová síla po celé délce tyče, takže prodloužení Δl je úměrné počáteční délce tyče l0. deformace materiálu, která je nezávislá na délce tyče je udána poměrným prodloužením (přetvořením) Δl ε= l0
Účinek síly se v tyči rozkládá po celé ploše průřezu A, takže mírou namáhání materiálu není síla, ale mechanické napětí ΔF , σ= ΔA určené podílem síly a plochy průřezu, v němž síla působí. Kvalita materiálu není narušena a velikost skutečného napětí je dána F , σS = ASk kde F – okamžitá hodnota síly ASk – okamžitá velikost plochy průřezu. K poruše dochází při nejvyšší hodnotě skutečného napětí F σD = D , AD která přesahuje hodnotu skutečného i smluvního napětí na smluvní mezi pevnosti. Následkem změny tvaru zúžením je napjatost v krčku trojosá a o poruše rozhodují všechna 3 hlavní napětí. Obr. 1.3: Smluvní pracovní diagram houževnatého materiálu σ
P C σp
εcel=0,005 εpl=0,002 (0,2%)
-
ε
nemá výraznou mez kluzu – vysokopevnostní oceli, termomechanicky zpracované konstrukční oceli úmluvou je zavedena mez kluzu pomocí napětí, které způsobí trvalou deformaci εpl=0,002 (σK02) nebo celkovou deformaci εcel=0,005 (σt05).
Protože u oceli je pracovní diagram pro tah i tlak souměrný podle počátku, uvádí se pouze část pro tah. U některých stavebních materiálů se meze v tlaku podstatně liší od mezí v tahu, např. beton.
Obr. 1.4: Pracovní diagram betonu
σ σp=3
tah +
porušení v tahu
ε
tlak -
σp=20
porušení v tlaku
Při odtěžování (snižování napětí) za mezí kluzu A a opětovném zatěžování vytváří pracovní diagram hysterezní smyčku SPS. K tomuto vlivu hystereze zpravidla nepřihlížíme a předpokládáme, že odtěžování a opětovné zatěžování probíhá lineárně pružně. Obr. 1.5: Hysterezní smyčka
σ σs
S
A
Ky
P
0
ε
Dále výsledky zkoušek často ukazují, že po předchozím tahovém zatěžování tělesa nad mez kluzu se tlaková mez plasticity snižuje – Bauschingerův efekt.
Obr. 1.6: Bauschingerův efekt σ S A
Ry
Rys
ε Rycs A'
-Ry
S' S''
Obvykle předpokládáme tzv. ideální Bauschingerův efekt, že mez plasticity v tlaku se sníží o stejnou velikost, o jakou se zvýšila mez plasticity při tahovém zatěžování. R ycs = 2 R y − R ys . Při uplatnění ideálního Bauschingerova efektu hovoříme o kinematickém zpevnění materiálu. Bauschingerův efekt se uplatní při cyklickém zatěžování. Obr. 1.7: Ideální Bauschingerův efekt σ S
Δσ
Ry
2Ry
Rycs -Ry
S''
Δσ
Rys
ε
Pro malé deformace (zhruba do meze kluzu) není změna průřezu významná, velikosti skutečných hodnot a průběhy obou diagramů (smluvního a skutečného) se neliší. Za mezí kluzu se však oba průběhy odlišují, zvláště za smluvní mezí pevnosti. Obr. 1.8: Skutečný pracovní diagram houževnatého materiálu
S=F/A
sD
spl
εpl εpl
ε
εel εcelk
-
pozn.: nastane-li lom při malých deformacích, hovoříme o křehkém lomu na rozdíl od plastického
1.2 Příčné napětí a Poissonovo číslo Současně s podélným prodloužením při namáhání tyče v tahu se mění i její příčné rozměry (dobře pozorovatelné u gumy). Obr. 1.9 Namáhání na tah
F
b0 b
tah +
l0 l
Δl
-
hodnota poměrného příčného zkrácení je kladná
Obr. 1.10 Namáhání na tlak
F
b b0
tlak -
l0 l
-
Δl
záporné znaménko poměrného příčného zkrácení odpovídá síle, která ho vyvolává
Poměrné příčné zkrácení Δb Δb = b0 − b . η= b0 Pro tlak i tah v pracovním diagramu platí η = με , kde μ je konstanta úměrnosti (Poissonovo číslo), závisí na druhu materiálu, její hodnota souvisí s tím, jak těleso při namáhání tahem a tlakem mění objem. Mějme hranol s počátečním objemem V0 = a 0 b0 c0 . Tahová síla rovnoběžná s hranou a0 způsobí poměrné prodloužení ε a = a 0 + εa0 = a0 (1 + ε ) , na hranách b, c nastane poměrné zkrácení η = με , proto b = b0 − ηεb0 = b0 (1 − με ) c = c0 − ηεc 0 = c0 (1 − με )
V = abc = a0 (1 + ε )b0 c0 (1 − με )
[
]
[
2
(
)]
V = V0 (1 + ε )(1 − με ) = V0 (1 + ε ) 1 − 2με + μ 2ε 2 pro malá ε plyne: V ≈ V0 [(1 + ε )(1 − 2με )] = V0 [1 − 2με + ε ] = V0 [1 + ε (1 − 2 μ )] Z odvozené závislosti plyne, že μmax<0,5, neboť objem tělesa se buď zvětšuje (tah) nebo zmenšuje. Hodnoty pro kov: μ=0,3, pro ε=0,01 je ΔV=0,004V0 (zvětšení objemu). 2
1.3 Aproximace pracovních diagramů Výpočty v teorii plasticity vyžadují analytickou závislost napětí na přetvoření. Přesné funkce vyjadřující průběh pracovního diagramu jsou velmi složité. Proto se používá aproximace průběhu pracovního diagramu. Obr. 1.11: Aproximace skutečného pracovního diagramu lomenou přímkou, pružně plastický materiál s lineárním zpevněním
σ Rys
Ry
εpl a) σ
Ry platí
εel
ε
dσ = E , modul pružnosti v tahu dε dσ = E z , modul zpevnění. dε
Bude-li Ez=0 pro εs>>εpl lze podle Prandtla provést aproximaci pomocí pracovního diagramu pro ideálně pružněplastický materiál. Obr. 1.12: Pracovní diagram pro ideálně pružněplastický materiál
σ
Ry
εpl
εel
ε
Jiná aproximace se řídí vztahem: σ = Aε m , kde A, m se určí dle potřeb řešené úlohy, obvykle se parabola vede 2 body nebo lze vycházet z požadavku rovnosti poměrných přetvárných prací skutečného a aproximovaného diagramu. Obr. 1.13: Aproximace pracovního diagramu pomocí vztahu σ = Aε m
σ σ=Aεm
ε
Další idealizace pracovních diagramů: Obr. 1.14: Aproximace pracovního diagramu pro tuhoplastický materiál s lineárním zpevněním
σ B
Rys Ry
εpl
ε
Obr. 1.15: Pracovní diagram pro ideálně tuhoplastický materiál
σ Ry
εpl
ε
Celková deformace lze rozložit: ε cel = ε el + ε pl . Z jednoosého namáhání tahového zkušebního vzorku za mezí plasticity lze získat závislost σ = H (ε pl ) . Obr. 1.16: K odvození vztahu σ = H (ε pl )
σ (σeq)
tečna
σeq=H(εeq,pl)
1
H'
σ=H(εpl)
dσ
σ
Ry Hs
0
1
εpl
εpl (εeq,pl)
d
εpl
Konstitutivní vztahy vyjadřujeme v teorii plasticity 2 hlavními způsoby: 1) teorie deformací Popisuje vztahy mezi konečnými hodnotami napětí a deformace. Například pro jednoosou napjatost materiálu se zpevněním lze napsat: ε cel = ε el + ε pl
ε el =
σ E
ε pl = ε cel =
σ HS
σ
E
+
⎛1
, sečnový modul plasticity
σ HS
1 ⎞
⎟⎟σ ε cel = ⎜⎜ + E H S ⎠ ⎝ Obr. 1.17 K odvození předchozích vzorců
σ Ry
εpl εel εcel
ε
2) teorie přetváření Formuluje vzájemné vztahy mezi přírůstky napětí a deformace. Například přírůstek podélné deformace při osovém tahu vyjadřuje vztah: 1 ⎞ ⎛1 dε = ⎜ + ⎟ dσ ⎝ E H′⎠ dσ H′ = , tečnový model plasticity. dε pl Experimentálně získané závislosti při jednoosé napjatosti se v teorii plasticity často transformují na obecnou napjatost prostřednictvím ekvivalentního napětí σeq a ekvivalentní plastické deformace εeq,pl.
