A Lee-Carter m´ odszer magyarorsz´ agi alkalmaz´ asa Baran S´ andor, G´ all J´ ozsef, Isp´ any M´ arton, Pap Gyula Alkalmazott Matematika ´ es Val´ osz´ın˝ us´ egsz´ am´ıt´ as Tansz´ ek, Debreceni Egyetem, Informatikai Kar
1
Feladatok: hazai mortalit´ asi adatokra a Lee-Carter modell illeszt´ ese el˝ orejelz´ es, Lee-Carter vari´ ansok vizsg´ alata, CI, (becsl´ esi) hib´ ak Jel¨ ol´ esek: ´ vk¨ mx,t: hal´ aloz´ asi r´ ata (Demogr´ afiai E onyv) x: ´ eletkor (1, . . . , 100) t: ´ ev (1949-2003) 2
Lee-Carter m´ odszer: Lee, R. D., and Carter, L. R. 1992. ”Modelling and forcasting the time series of U.S. mortality”, Journal of the American Statistical Association 87, no. 419 (September): 659-671. Lee, R. D. 2000. ”The Lee-Carter method for forcasting mortality, with various extensions and applications”, North American Actuarial Journal 4, no. 1: 80-91. Booth, H., Maindonald, J., and Smith, L. 2002. ”Age-time interactions in mortality projection: applying Lee-Carter to Australia”, Working Paper, The Australian National University Renshaw, A. E., and Haberman, S. 2003. ”Lee-Carter mortality forcasting with age-specific enchancement”, Insurance: Mathematics and Economic 33: 255-272. 3
Lee-Carter modell: ln(mx,t ) = ax + bx kt + εk,t ax : ´ eletkori ,,f˝ o” ¨ osszetev˝ o kt: hal´ aloz´ asi szint a t ´ evben, bx : ´ erz´ ekenys´ eg az x ´ eletkorban ∆ ln(mx,t) ∆kt = bx , ∆t ∆t εx,t ∼ N (0, σε): hiba
4
Nem egy´ ertelm˝ u param´ eterek: ax + bx kt = (ax − cbx ) + bx (kt + c), ax + bxkt = ax + (cbx )(kt /c),
Felt´ etelek: N X
x=1
bx = 1,
T X
kt = 0
t=1
5
Param´ eterek becsl´ ese: T 1 X ˆ ax = ln(mx,t) T t=1
Mx,t := ln(mx,t) − ˆ ax
M = Mx,t
ˆ es ˆ kt : SVD (szingul´ aris felbont´ as) az M -re, azaz: M = U DV , bx ´
ˆ bx =
1 Ux,1, c
ˆ kt = cD1,1V1,t,
PN ahol c = x=1 Ux,1 6
Illeszt´ es ´ es el˝ orejelz´ es: ˆ kt id˝ osorra illeszt´ es (ARIMA), ⇒ ˆ kt, majd mortalit´ as el˝ orejelz´ es: m ˆ x,t = exp ˆ kt ax + ˆ bx ˆ
Megjegyz´ es:
PT ˆ t=1 kt = 0,
ˆ kt tipikusan cs¨ okken˝ o,
ha ˆ bx < 0 akkor a r´ ata n¨ ovekv˝ o! K´ et illeszt´ es: 55 ´ ev (1949–2003) ´ es 15 ´ ev (1989–2003) alapj´ an
7
ˆ ax , f´ erfiak Férfiak 0 −1
1949 − 2003
−2
1989 − 2003
−3
a
x
−4 −5 −6 −7 −8 −9 0
10
20
30
40
50 Életkor
60
70
80
90
100
8
ˆ ax , n˝ ok Nök 0 −1
1949 − 2003
−2
1989 − 2003
−3
a
x
−4 −5 −6 −7 −8 −9 0
10
20
30
40
50 Életkor
60
70
80
90
100
9
ˆ erfiak bx, f´ Férfiak 0.14 0.12 1949 − 2003
0.1 1989 − 2003
0.08
b
(1) x
0.06 0.04 0.02 0 −0.02 −0.04 −0.06 0
10
20
30
40
50 Életkor
60
70
80
90
100
10
ˆ ok bx, n˝ Nök 0.04 0.035 1949 − 2003
0.03 1989 − 2003
0.025
bx
(1)
0.02 0.015 0.01 0.005 0 −0.005 0
10
20
30
40
50 Életkor
60
70
80
90
100
11
Tov´ abbi szingul´ aris ´ ert´ ekek haszn´ alata: M = U DV (1)
(2)
(3)
bx , b x , b x , . . . (1)
kt
(2)
, kt
(3)
, kt
,...
becsl´ eseik: (i) ˆ bx =
ahol ci =
1 Ux,i, ci
(i) ˆ kt = ciDi,iVi,t,
PN x=1 Ux,i
el˝ orejelz´ es:
X (i) (i) ˆ m ˆ x,t = exp ˆ bx ˆ ax + kt i 12
(1)
Hal´ aloz´ asi szintek (indexek): f´ erfiak (kt
(2)
, kt
(3)
, kt
)
30
20
10
0
KTF1
-10
KTF2 KTF3
-20 1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
43
46
49
52
55
Sequence number
13
(1)
Hal´ aloz´ asi szintek (indexek): n˝ ok (kt
(2)
, kt
(3)
, kt
)
80
60
40
20
0
-20 KTN1 -40
KTN2
-60
KTN3 1
7 4
13 10
19 16
25 22
31 28
37 34
43 40
49 46
55 52
Sequence number
14
Id˝ osorok illeszt´ ese a hal´ aloz´ asi szintekre, esete, autokorrel´ aci´ o: KTF1 1,0
,5
0,0
-,5
Confidence Limits
ACF
(1)
p´ elda: kt
Coefficient
-1,0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Lag Number
15
esete, parci´ alis autokorrel´ aci´ o: KTF1 1,0
,5
0,0
-,5
Confidence Limits
Partial ACF
(1)
kt
Coefficient
-1,0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Lag Number
16
els˝ orend˝ u differenci´ ai, autokorrel´ aci´ o: KTF1, diff(1) 1,0
,5
0,0
-,5
Confidence Limits
ACF
(1)
kt
-1,0
Coefficient 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Lag Number Transforms: difference (1)
17
els˝ orend˝ u differenci´ ai, parci´ alis autokorrel´ aci´ o: KTF1, diff(1) 1,0
,5
0,0
-,5
Confidence Limits
Partial ACF
(1)
kt
-1,0
Coefficient 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Lag Number Transforms: difference (1)
18
(1)
kt
-re illesztett n´ eh´ any (legjobb) modell ¨ osszefoglal´ asa:
ARIMA
AIC
SBC
P (konstans)
P (param´ eter)
(0,1,0)
97,63
99,62
,000015
–
(1,0,0)
124,45
126,45
–
,000
(0,1,1)
95,91
99,89
,000
,0617
(1,1,0)
95,67
99,65
,000
,0529
19
Az elfogadott modellek: 55 ´ ev eset´ en ˆ k(1) : ARIMA(0,1,0), negat´ıv konstanstag, ˆ k(2) : az els˝ orend˝ u diff. feh´ er zaj, ˆ k(3) : ARIMA(0,1,0) (f´ erfiak), ARIMA(1,0,0) (n˝ ok) 15 ´ ev eset´ en ˆ k(1) : ARIMA(0,1,0), negat´ıv konstanstag, ˆ k(2) : ARIMA(1,0,0) (f´ erfiak), feh´ er zaj (n˝ ok), ˆ k(3) : feh´ er zaj, 20
Tov´ abbi k´ erd´ esek, megjegyz´ esek: intervallum becsl´ es, hib´ ak: ln(mx,t+s) = ˆ ax + αx + (ˆ bx + βx)(ˆ kt+s + ut+s) + εx,t+s βx sz´ or´ asbecsl´ ese: bootstrap, kev´ es adat, M v´ eletlen´ıt´ ese, majd SVD kicsi mintam´ eret, nagy sz´ or´ asok!!! 21
El˝ orejelz´ esek: 1. modell: az eredeti Lee-Carter (1 szingul´ aris ´ ert´ ek haszn´ alata), 2. modell: 2 szingul´ aris ´ ert´ ek haszn´ alata, 3. modell: 3 szingul´ aris ´ ert´ ek haszn´ alata
22
55 (minta)´ ev eset´ en, 25 ´ eves f´ erfi: 25 éves férfi
−3
4
x 10
megfigyelt adatok
3.5
1. modell
Halálozási ráta
3
2. modell 3. modell
2.5
2
1.5
1
0.5 1950
1960
1970
1980
1990 2000 Évek
2010
2020
2030
2040
23
55 (minta)´ ev eset´ en, 50 ´ eves f´ erfi: 50 éves férfi 0.03
megfigyelt adatok
0.025 1. modell
Halálozási ráta
2. modell
0.02 3. modell
0.015
0.01
0.005 1950
1960
1970
1980
1990 2000 Évek
2010
2020
2030
2040
24
55 (minta)´ ev eset´ en, 75 ´ eves f´ erfi: 75 éves férfi 0.1
0.095
megfigyelt adatok 1. modell
Halálozási ráta
0.09
2. modell 3. modell
0.085
0.08
0.075
0.07
0.065 1950
1960
1970
1980
1990 2000 Évek
2010
2020
2030
2040
25
55 (minta)´ ev eset´ en, 25 ´ eves n˝ o: 25 éves nö
−3
3
x 10
2.5
megfigyelt adatok 1. modell 2. modell
Halálozási ráta
2
3. modell
1.5
1
0.5
0 1950
1960
1970
1980
1990 2000 Évek
2010
2020
2030
2040
26
55 (minta)´ ev eset´ en, 50 ´ eves n˝ o: 50 éves nö
−3
7.5
x 10
megfigyelt adatok
7
1. modell
Halálozási ráta
6.5
2. modell 3. modell
6
5.5
5
4.5
4 1950
1960
1970
1980
1990 2000 Évek
2010
2020
2030
2040
27
55 (minta)´ ev eset´ en, 75 ´ eves n˝ o: 75 éves nö 0.09
0.08
megfigyelt adatok 1. modell
0.07 Halálozási ráta
2. modell 3. modell
0.06
0.05
0.04
0.03 1950
1960
1970
1980
1990 2000 Évek
2010
2020
2030
2040
28
15 (minta)´ ev eset´ en, 25 ´ eves f´ erfi: 25 éves férfi
−3
1.8
x 10
1.6 megfigyelt adatok
1.4 1. modell 2. modell
Halálozási ráta
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
1990
1995
2000
2005
2010
2015 Évek
2020
2025
2030
2035
2040
29
15 (minta)´ ev eset´ en, 50 ´ eves f´ erfi: 50 éves férfi 0.017 0.016 megfigyelt adatok
0.015 1. modell
Halálozási ráta
0.014
2. modell
0.013 0.012 0.011 0.01 0.009 0.008
1990
1995
2000
2005
2010
2015 Évek
2020
2025
2030
2035
2040
30
15 (minta)´ ev eset´ en, 75 ´ eves f´ erfi: 75 éves férfi 0.085
0.08
megfigyelt adatok 1. modell
0.075 Halálozási ráta
2. modell
0.07
0.065
0.06
0.055
1990
1995
2000
2005
2010
2015 Évek
2020
2025
2030
2035
2040
31
55 ´ ev eset´ en, minden ´ eletkorra Férfiak
Halálozási ráta
0.15
0.1
0.05
0 80 60
2040 2020
40
2000 20
Életkor
1980 0
1960 Évek
32
15 ´ ev eset´ en, minden ´ eletkorra Férfiak
0.14
Halálozási ráta
0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 80 60
2040 2030
40
2020 2010
20 Életkor
2000 0
1990 Évek
33
