LOGO
A kvantum-kommunikáció leírása sűrűségmátrix segítségével Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar
Hogyan tekinthetünk a sűrűségmátrixokra? Zajos kvantumrendszerek kvantumállapotra gyakorolt hatásának általános leírására alkalmazzuk. I. Részecske szemlélet pj, ψ
II. Részrendszer szintű leírás
j
III. Általános megközelítés
A sűrűségmátrix Mi a sűrűségmátrix? Matematikai eszköz az egyszerűbb kezelhetőség érdekében Absztrakció, amellyel könnyebben leírhatjuk a • • • •
kvantum-zaj hatását Kvantum-hibajavítás lépéseit Összefonódott kvantumállapotokat Kvantum-kommunikációs protokollokat
…érdemes foglalkozni vele? Igen, a kvantumrendszerek leírását és irányíthatóságát nagymértékben leegyszerűsíti és könnyebbé teszi.
Sűrűségmátrix I. Részecske szintű leírás
I. Részecske szemlélet A ψ j kvantumállapot előfordulási valószínűsége legyen p j .
Az állapotot a Pk projektorokkal mérhetjük meg:
A k kimenetel valószínűsége: k = ∑ Pr ( k | ψ j ) p j k
= ∑ ψ j Pk ψ j p j k
(
)
= ∑ p j tr ψ j ψ j Pk . k
Sűrűségmátrixokkal :
A k kimenetel valószínűsége: k = tr ( ρ Pk ) , ahol ρ ≡ ∑ p j ψ j ψ j sűrűségmátrix. j
A ρ sűrűségmátrix teljes mértékben meghatározza a mérések lehetséges kimeneteleit.
Néhány példa kvantumbitek leírására Legyen ψ = 0 , 1 valószínűséggel: ⎡ 1⎤ ρ = 0 0 = ⎢ ⎥ [1 0] = ⎣0 ⎦ Legyen ψ = 1 , 1 valószínűséggel: ⎡0 ⎤ ρ = 1 1 = ⎢ ⎥ [0 1] = ⎣ 1⎦ 0 +i 1 Legyen ψ = , 1 valószínűséggel. 2
⎡1 0⎤ ⎢0 0 ⎥ . ⎣ ⎦
⎡0 0 ⎤ ⎢ 0 1⎥ . ⎣ ⎦
⎛ 0 + i 1 ⎞⎛ 0 − i 1 ⎞ 1 ⎡1⎤ 1 ⎡1 −i ⎤ = − = ρ =⎜ 1 i . [ ] ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎣i 1 ⎦ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ 2 ⎣i ⎦ ⎝
Kvantumbit leírása Az állapot p valószínűséggel legyen ψ = 0 , és 1 − p valószínűséggel ψ = 1 Ekkor ρ = p 0 0 + (1 − p ) 1 1 0 ⎤ ⎡1 0⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡ p = p⎢ + (1 − p ) ⎢ =⎢ . ⎥ ⎥ ⎥ ⎣0 0 ⎦ ⎣ 0 1⎦ ⎣ 0 1 − p ⎦ Mérünk 0 , 1 bázisban: 0 ⎤ ⎡ 1⎤ ⎡p Pr ( 0 ) = tr ( ρ 0 0 ) = [1 0] ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ p 1 − 0 ⎣ ⎦⎣ ⎦ = p. Illetve, Pr (1) = 1 − p.
Egyszerűbb leírásmód A kvantumállapotunk legyen a következő: 0 : p = 0.1 1 : p = 0.1 0 + 1 2 0 − 1
: p = 0.15 : p = 0.15
2 0 +i 1 2 0 −i 1 2
: p = 0.25 : p = 0.25
Leírható egyetlen sűrűségmátrixszal, hiszen a 0 és 1 kimeneti kvantumállapotok valószínűségeinek összege ½.
⎡ 21 0 ⎤ ρ=⎢ 1 ⎥ ⎣0 2 ⎦
Unitér transzformációk leírása A kiindulási állapot p j valószínűséggel legyen a ψ j kvantumállapot. A rendszer változását leíró transzformáció legyen U. A transzformáció utáni állapot p j valószínűséggel U ψ j . A rendszer kiindulási sűrűségmátrixa: ρ = ∑ j p j ψ j ψ j . A transzformáció utáni végleges sűrűségmátrix ρ ' = ∑ j p j U ψ j ψ j U † . =U A Pauli -transzformációkra: UU † = U 2 = I.
ρ ' = U ρU . †
(∑ p U ψ j
j
j
)
ψ j U†.
Unitér transzformációk leírása A rendszerünk állapota p valószínűséggel ψ = 0 , illetve 1-p valószínűséggel ψ = 1 . 0 ⎤ ⎡p Ekkor: ρ = ⎢ . ⎥ ⎣0 1 − p ⎦ Hajtsunk végre egy X transzformációt az állapoton. Így: ⎡1 − p 0 ⎤ . ρ ' = XρX = ⎢ ⎥ p⎦ ⎣ 0
Unitér transzformációk leírása Legyen adott ψ = 0 és ψ = 1 , egyaránt 1 valószínűséggel. 2 I Ekkor: ρ = . 2
Teljesen kevert állapot
Ekkor, bármilyen U unitér transzformációt követően:
I † I ρ' =U U = . 2 2
Milyen mátrixokat használhatunk sűrűségmátrixként? A sűrűségmátrixunk legyen: ρ = ∑ j p j ψ j ψ j .
(
Ekkor: tr(ρ ) = ∑ j p j tr ψ j ψ j
)=∑ p j
j
=1
Bármilyen a vektorra: a ρ a = ∑ j pj a ψ j ψ j a = ∑ j pj a ψ j
2
≥0
Összefoglalva : Teljesüljön a tr ( ρ ) =1 feltétel, illetve a ρ pozitivitása.
I. Részecskeszemlélet: összefoglalás A p j valószínűséggel előforduló ψ j kvantumállapot
sűrűségmátrixa: ρ ≡ ∑ p j ψ j ψ j . j
Időfejlődés: ρ → ρ ' = U ρU † . Mérés: A mérést a Pk projektorral adhatjuk meg, A mérés kimenetele: tr ( Pk ρ ) valószínűséggel k. A Pk ρ Pk ' rendszer mérés utáni állapota: ρ k = . tr ( Pk ρ Pk )
Szükséges feltételek: tr ( ρ ) =1, és a ρ mátrix pozitív mátrix. A feltételeket figyelembe véve, a ψ j állapot és p j valószínűség
mellett ρ =∑ j p j ψ j ψ j .
Egy-kvantumbites zaj fellépése
Kvantumzaj modellezése X
Az X-kapu p valószínűséggel aktivizálódik.
(
ρ = ∑ j p j ψ j ψ j → ∑ j p j pX ψ j ψ j X + p j (1 − p ) ψ j ψ j
)
= pX ρ X + (1 − p ) ρ
Sűrűségmátrix használatának előnye: Egyszerűsített jelölésmód. Komplexebb rendszer leírása állapotvektorokkal bonyolult, nehezen kezelhető.
Kvantumzaj modellezése X
Az ideális kimenet: X ψ .
ρ → E ( ρ ) ≡ pX ρ X + (1 − p ) ρ Az a és b állapotok összehasonlítása azok F(a,b) minőségén (azonosságát) keresztül:
F (a, b ) ≡ a b . Azonos állapotokra = 1, Teljesen eltérőekre = 0. Az a állapot és σ = ∑ j p j φ j φ j minőségének meghatározása:
F (a,σ ) ≡
aσ a.
Az X kapu "minősége": F ( X ψ , E ( ψ ψ )) = =
ψ XE ( ψ ψ ) X ψ
=
ψ XpX ψ ψ X + (1 − p ) ψ ψ X ψ
= p ψ ψ ψ ψ + (1 − p ) ψ X ψ ψ X ψ = p + (1 − p ) ( ψ X ψ
)
2
.
A minőség maximális értéke ψ = 0 bemenet mellett
(
p,
)
ψ = 0 + 1 / 2 bemenet mellett pedig 1 lehet. 0 6 X ⎡⎣ 0 ⎤⎦ = 1 ;
⎡ 1 ⎤ 1 6 + + = 0 1 X 0 1 ( ) ( )⎥ ( 0 + 1 ). ⎢ 2 2 ⎣ 2 ⎦
1
II. Részrendszer szintű leírás
Parciális trace meghatározása A parciális trace meghatározása: trB ( a1 a2 ⊗ b1 b2 ) ≡ a1 a2 × tr ( b1 b2 = b2 b1 a1 a2 = 1 a1 a2 = a1 a2 .
Tetszőleges mátrixokra kiterjesztve: trB ( ψ ψ
* = α α ) ∑ klm kl ml k l , ha
ψ = ∑ kl α kl k l .
Példa: Legyen adott a b . Ekkor:
ρ A = trB ( a a ⊗ b b ) = b b a a = a a .
)
Részrendszer szintű leírás
ψ = ∑ kl α kl k l Pj projektor Pr( j ) = tr Pj ρ A , ahol
(
ρ A ≡ trB ( ψ
) ψ )≡∑
* α α k l klm kl ml
ahol ρ A az A részrendszer redukált sűrűségmátrixa. Az A rendszer mérésének kimenetelét meghatározó jellemzők az ρ A sűrűségmátrix alapján teljességgel megadhatóak.
Részrendszer szintű leírás Példa : Legyen ψ =
1 2
redukált sűrűségmátrixa :
= =
( 00
+ 11 ) . Az első ( A) rendszer
ρ A = trB ( ψ ψ
)
trB ( 00 00 ) + trB ( 00 11 ) + trB ( 11 00 ) + trB ( 11 11 ) 0 0 +1 1
I = 2
2
2 Alice nézőpontjából a 0 és az 1 állapot előfordulási valószínűsége is
1 . 2
A transzformált, bemért részrendszerek részecske-szinten kezelhetőek.
Részrendszer szemléletmód
ψ = ∑ kl α kl k l Pj projektor
(
)=∑
Pr( j ) = tr ( Pj ⊗ I ) ψ ψ
(
* α α tr ( Pj ⊗ I ) k l ⊗ m n klmn kl mn
* * = ∑ klmn α kl α mn l n ( Pj ⊗ I ) k m = ∑ klm α kl α ml l Pj k * = ∑ klm α kl α ml tr ( Pj k l
)
= tr ( Pj ρ A ) , ahol ρ A ≡ ∑ klm α kl α ml* k l az A rész-rendszer redukált sűrűségmátrixa.
)
III. Általános objektum szemlélet
III: Általános objektum szemlélet Egy kvantumrendszert leíró sűrűségmátrix egy pozitív mátrix, egységnyi trace-el
A p j valószínűségű ρ j állapot sűrűségmátrixa:
∑
j
pj ρ j .
Zárt kvantumrendszer dinamikája: ρ → ρ ' = U ρU † . A Pk projektorral elvégzett mérés kimenetele k, tr ( Pk ρ ) valószínűséggel. A mérés utáni állapot: ρk' =
Pk ρ Pk . tr ( Pk ρ Pk )
Teljes kvantumrendszer leírása: részrendszerek tenzor-szorzatával. Részrendszer meghatározása: a teljes rendszer maradék részrendszere szerint vett trace segítségével
Sűrűségmátrix alkalmazása: A kvantum-teleportációs protokoll leírása
Fény terjedésénél gyorsabb információcsere?
Fény terjedésénél gyorsabb információcsere?
⎛ 00 + 11 ⎞ A rendszer kezdeti állapota: ψ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
Bob kezdeti redukált sűrűségmátrixa megegyezik a Bell-állapotra kapható redukált sűrűségmátrix értékével: I ρB = . 2
Fény terjedésénél gyorsabb információcsere?
Alice elküldi Bobnak a kvantumbit visszaállításához szükséges klasszikus információt. Bob állapota a transzformáció ismeretét megelőzően:
B1 ψ + B2 Z ψ + B3 X ψ + B4 XZ ψ 2
Azaz : 1 4 1 4 1 4 1 4
valószínűséggel: B1 ψ ; valószínűséggel: B2 Z ψ ; valószínűséggel: B3 X ψ ; valószínűséggel: B4 XZ ψ .
Fény terjedésénél gyorsabb információcsere?
Bob végleges redukált sűrűségmátrixa:
ρ = ' B
trA ( B1 B1 ⊗ ψ ψ + ...) 4
⎡ α 2 αβ * ⎤ ⎡ α 2 ⎢ ⎥+⎢ 2 * ⎢⎣α β β ⎥⎦ ⎢⎣ −α * β =
2 −αβ * ⎤ ⎡ β ⎥+⎢ 2 β ⎥⎦ ⎢⎣αβ * 4 I = . 2
α *β ⎤ ⎡ β
2
⎥+⎢ α ⎥⎦ ⎣⎢ −αβ * 2
−α * β ⎤ ⎥ 2 α ⎦⎥
Fény terjedésénél gyorsabb információcsere?
Bob redukált sűrűségmátrixa azonos az Alice Alice mérése előtti és utáni sűrűségmátrixával. Bob bármilyen, a saját részrendszerén végrehajtható méréssel ugyanannyi információhoz jut Alice mérését követően, mint azt megelőzően!
