A késdobálásról Bevezetés Már sok éve annak, hogy kést dobáltunk, több - kevesebb sikerrel. Ez tisztán tapasztalati úton működött. Felmerültek bizonyos kérdések, amelyekre nem kaptunk választ sehon nan. Ezek például ilyenek voltak: ~ A cirkuszi késdobálók mindig csak ugyanott állva találják el a céltáblát? ~ Az indián - történetekből készült képregényben a repülő kés pörög vagy sem? ~ Vajon igazat mondott - e az az évfolyamtársunk, aki azt állította, ki tudja számítani, hogy a kés mindig a hegyével álljon a céltáblába?, stb. Tényleg meglepő, hogy az évtizedek alatt nem találkoztunk ilyen dolgozatokkal; mert pl. az íjászattal kapcsolatos kérdések meg előkerültek: ~ az ősmagyarok íj - karakterisztikája egy középiskolai Fizika tankönyvből nézett vissza ránk; ~ a Landau - féle elméleti minimum - feladatok közt szerepel egy, ami nagyjából így hangzik: „Igazolja, hogy létezik optimális hosszúságú nyílvessző!”, stb. Ezek azt jelezték, hogy e témák egyáltalán nem nyilvánvalóak, azaz van / lenne mit fog lalkozni velük. Ehhez képest kés -, illetve tomahawk - dobálásról semmi nem jött elő. Ma már az interneten sok video található a késdobálás technikájáról, azonban sokkal kevesebb anyag van az elméletéről. Az egyik ilyen írás [ 1 ], amely e dolgozatot is inspi rálta. Elméleti vizsgálatok Az eldobott kés mozgásának elemzése fizikai feladat. Mondhatni, hogy egy sajátos ballisztikai probléma - családdal állunk szemben, melyet érdemes lehet felderíteni. Hogy ennek során mi vár ránk, mire bukkanunk, előre nem tudjuk, csak sejtjük, a más problémák kapcsán tapasztaltak alapján. Ilyen pl.: a bumeráng - probléma, ami minden, csak nem egyszerű; pedig a bumerángot, mint hajítófegyvert már régóta használják az ausztrál bennszülöttek is. Egy egyszerűbb mozgástani modell felállítása során néhány lényeges egyszerűsítéssel kell élnünk, a valóságos helyzethez képest. E1. A mozgást légüres térben lejátszódónak képzeljük, azaz a légellenállástól eltekin tünk. Ez azt jelenti, hogy tudomásul vesszük, miszerint a tényleges mozgás kisebb nagyobb mértékben el fog térni a feltételezettől; ezért pályakorrekciót kell(ene) alkal mazni. E2. A mozgást egy olyan függőleges síkban lejátszódónak képzeljük, amely átmegy a céltáblán. Valójában a függőleges sík felvétele nem magától értetődő lépés, hiszen a kést vízszintes vagy ferde síkban is el lehet hajítani – ld. internet!
2 Az elhajított kés mozgását két részből összetettnek képzeljük: ~ transzláció, azaz a kés tömegközéppontjának pályájával jellemzett haladó mozgás; ~ rotáció, azaz a kés tömegközéppontján átmenő – itt vízszintes helyzetű – tengely körüli forgás. Most tekintsük az [ 1 ] - ből vett 1. ábrát!
1. ábra Itt azt látjuk, hogy a kés pályája két részre osztható: ~ az első szakaszon a kés a kézben van; ekkor a pályája közelítőleg egy körív; ~ a második szakaszon az eldobott kés forogva haladó mozgást végez. Ezen az ábrán is felhívják a figyelmet az elméleti és a valóságos pálya közti különbségre. Most tekintsük a 2. árát – [ 1 ]!
Δφ
2. ábra
3 Itt a következő lényeges összefüggés levezetését könnyítik meg. A kés a kézben, a köríves szakaszon haladva vc sebességre gyorsul fel, melynek nagysága:
vc
s r r , t t
(1)
vc . r
(2)
innen:
E képletekben ω: a szögsebesség nagysága, amivel a kés egészen a becsapódásig forog. Látjuk, hogy a kés mindenképpen forgó mozgást is fog végezni, ha ezen a módon indít juk. Az interneten látható egy - két olyan dobási mód is, ahol a kést az elengedés előtti pillanatban egy mozdulattal mintegy visszarántják, azaz szögsebességét lecsökkentik, talán akár nullára is. Ekkor a kés nem, vagy csak alig forog a repülése során. Úgy tűnik, hogy ez a bonyolultabb és nehezebben kivitelezhető megoldás a nyerő – orosz módszer. Ott tartunk, hogy a kést elindítottuk: vc kezdősebességgel és ω szögsebességgel. Most tekintsük a 3. ábrát – [ 1 ] !
v
3. ábra
4 Itt azt látjuk, hogy a kés az eldobás pillanatában függőleges helyzetű, valamint, hogy kezdősebességének vc vektora a vízszintessel α szöget zár be. Ezt az ábrát mi a 4. ábra szerint módosítjuk.
4. ábra A hajítási parabola egyenletei, az ismert módon:
v x vc cos 0 konst. x(t) vc cos 0 t ;
ax 0
a y g v y (t) g t v c sin 0 g 2 y(t) t v c sin 0 t y 0 . 2
(3)
(4)
Ha x = x1 = l, akkor y1 y 0 h , azaz
h y1 y0 .
(5)
Az időt a ( 3 ) képletből kifejezve:
t
x . v c cos 0
(6)
5 Majd ( 4 ) és ( 6 ) - tal:
g x2 y(x) tg 0 x y0 . 2 vc cos 0 2
(7)
A 3. ábrán ennek a képletnek az y0 = 0 - val adódó változata jelenik meg. A 4. ábra szerint van különbség az l és a d mennyiségek között, azonban a leírás amúgy is közelítő jellege miatt ezt elhanyagoljuk. Most az x = x1 = l esetre, ( 5 ) és ( 7 ) - tel :
g l2 h l tg 0 , 2 v c cos 0 2 innen:
h gl tg 0 1 tg 2 0 ; 2 l 2 vc
(8)
rendezve:
h gl g l 2 0 . tg 0 tg 0 l 2 v 2 2 v c2 c
(9)
Innen a másodfokú egyenlet megoldó - képletével:
h g l g l 1 1 4 l 2 v c2 2 v c2 h v c2 g l g l 1 1 4 , tg 0 1,2 2 2 gl gl l 2 v 2 v c c 2 vc tehát:
h v2c g l g l tg 0 1,2 1 1 4 2 2 . gl l 2 vc 2 v c
( 10 )
A ( 10 ) képlet szerint két elhajítási szög is lehetséges. Minthogy a négyzetgyök alatt nem állhat negatív szám, ezért kirójuk, hogy
h g l g l 1 4 0 ; 2 2 l 2 v 2 v c
c
innen rendezéssel kapjuk, hogy:
h 2 2 v c 2 l g l vc2 g l2 0 ; további átalakításokkal:
( 11 )
6
vc2
h vc 2 1 0 ; 2 l gl g l 2
2
vc2 2 2 h vc 1 0 ; g l l g l 2
( 12 )
bevezetve az
v 2c u gl
( 13 )
jelölést, ( 12 ) és ( 13 ) - mal:
h u 2 2 u 1 0 ; l
( 14 )
teljes négyzetté kiegészítéssel:
u h h 1 0 ; l l 2
2
( 15 )
innen:
u h 1 h , l l 2
2
majd ebből:
h 2 h u 1 , l l innen pedig:
h h u 1 . l l 2
( 16 )
Minthogy ( 13 ) szerint fennáll, hogy
u0 ,
( 17 )
ezért ( 16 ) és ( 17 ) szerint:
h h 1 0 . l l 2
( 18 )
Ez teljesül, ha
h h 1 0 , l l 2
vagyis ha h / l tetszőleges valós szám, amint azt az 5. ábráról is leolvashatjuk.
( 19 / 1 )
7 y
6
5 f(x)=x+(1+x*x)^(1/2)
4
3
2
1
x=h/l -3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
5. ábra Ezután ( 14 ) megoldó - képlete:
h h u 0 1 . l l 2
( 19 )
Ezek szerint ( 19 ) fennállása esetén a ( 10 ) képlet h / l tetszőleges értéke esetén is működőképes. Próbáljuk ki / ellenőrizzük ( 19 ) - et! Legyen pl.: h / l = ± 0,2 ! a.) h / l = + 0,2 esete: a ( 14 ) reláció grafikus megoldása – 6. ábra – : u0 ≥ 1,2198039; 2 a ( 19 ) képlettel: u 0 0, 2 1 0, 2 1, 219803903 , egyezően az előbbivel. b.) h / l = - 0,2 esete: a ( 14 ) reláció grafikus megoldása – 6. ábra – : u0 ≥ 0,8198039;
a ( 19 ) képlettel: u 0 0, 2 1 0, 2 0,8198039027 , egyezően az előbbivel. 2
8 y 0.8
0.6
0.4
0.2
x-0 = 0,8198039 -0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x=u 1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
x+0 = 1,2198039
-0.2
-0.4 f(x)=x^2-2*(-0.2)*x-1 f(x)=x^2-2*(0.2)*x-1
-0.6
-0.8
-1
Az y = u2 - 2 ( h / l ) u - 1 ≥ 0 reláció vizsgálatához
-1.2
6. ábra Most ( 13 ) és ( 19 ) szerint:
h v 2c h 1 . l gl l 2
( 20 )
Minthogy életszerű a
h 0 l
( 21 )
választás, így ( 20 ) és ( 21 ) - gyel:
vc2 1 . gl Majd ( 10 ) és ( 21 ) - gyel:
( 22 )
9
2 g l v 2c g l g l v c2 tg 0 1,2 1 1 4 2 2 1 1 2 , g l 2 v c 2 v c g l vc tehát:
2 g l v c2 tg 0 1,2 1 1 2 . gl vc
( 23 )
Most választunk a két előjel közül: 2 g l vc2 tg 0 1 1 2 , gl v c
( 24 )
annak megfelelően, hogy a késdobálás általában lapos íven történik. Most tekintsük a 7. ábrát, ahol a ( 24 ) képlet jobb oldalát ábrázoltuk. 1.8
y
1.6 1.4
1.2 f(x)=x*(1-sqrt(1-1/(x*x)))
1
0.8 0.6
0.4 0.2
x=u -0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
-0.2 -0.4
-0.6 -0.8
7. ábra
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
10
Látjuk, hogy a vizsgált
h 0 esetben l
tg 0 1 0 45.
( 25 )
Az elhajítási szög nagysága ekkor ( 24 ) - ből:
2 2 g l v c 0 arctg 1 1 2 . v g l c
( 26 )
Most nézzük a kés forgását! Az állandó szögsebességű forgás miatt:
(t) 0 t .
( 27 )
Majd ( 6 ) és ( 27 ) - tel:
(t) 0
x . v c cos 0
( 28 )
Ha t = t1 , akkor x = l, így ( 28 ) - ból:
1 0
l . v c cos 0
( 29 )
Most ( 2 ) és ( 29 ) - cel:
1 0
l . r cos 0
( 30 )
Átalakítva:
l 1 l 1 0 0 1 tg 2 0 . r cos 0 r
( 31 )
Majd ( 24 ) és ( 31 ) - gyel:
2 2 g l v c l 1 0 1 1 1 2 . g l r v c 2
( 32 )
A megtett fordulatok N meghatározásához – ahol N pozitív egész vagy törtszám – :
1 0 N 2 ; most ( 32 ) és ( 33 ) összevetéséből:
( 33 )
11
2 2 v l g l c N 2 1 1 1 2 , g l r v c 2
innen a becsapódásig megtett fordulatok száma:
2 2 g l v c l N 1 1 1 2 . g l 2 r v c 2
( 34 )
A ( 34 ) képletből kiolvasható, hogy
N
l . 2 r
Összefoglalva: a
( 35 )
h l 0 esetben vc g l , 0 45 , N . l 2 r
Például: ha l = 10 m, r = 1 m, akkor
m m2 m vc g l 9,81 2 10 m 98,1 2 9,90 ; s s s 0 45 , l 10 m N 1,59 . 2 r 2 1 m Becslő jellegű számításainkat itt befejezzük. Megjegyezzük, hogy ~ képleteink szerint a késdobálás alapadatai: az l céltávolság, a vc kezdősebesség nagyság és az r hajítási sugár; ~ az internetes videók megtekintése után mondható, hogy választ kaptunk a bevezetőben feltett kérdésekre, a dobás gyakorlati kivitelezésének megfigyelése során.
Irodalom: [ 1 ] – http://www.knifethrowing.info/physics_of_knife_throwing.html
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2011. március 26.
