A hagyományos fa tartógerendák keresztmetszeti méreteinek arányairól Bevezetés Az idők során figyelve az ács, ill. a fás szakmai tananyag alakulását, feltűnt, hogy bizonyos kérdések nem, vagy csak alig kerülnek szóba. Mintha kimentek volna a divatból: a tankönyvekbe, illetve a szakkönyvekbe már nem férnek be. Most néhány ilyen feledésbe hajló, ámde nem jelentéktelen témát veszünk szemügyre.
A fa természetes felépítésének szerepe a hagyományos építőfa előállításában A mai, modernnek nevezett világban furcsán hangzik a szijács, vagy a geszt kifejezés. Sokan nem is tudják, hogy mit jelentenek ezek. Régebben beszéltek gesztfáról és színfáról – ld. 1. ábra! Forrása: [ 1 ].
1. ábra Geszt: a fatest keresztmetszetén felismerhető, sötétebb színezetű rész, mely a középhez közelebb helyezkedik el. Szijács: a geszttől kifelé elhelyezkedő, világosabb farész. Azokat a fákat, melyeknél a szíjács és a geszt jól elkülönül, gesztfáknak nevezték; azokat, ahol nem ismerhetők fel ezek a részek, színfáknak. Ma színesgesztű és egyszínű fájú anyagról beszélünk. A gesztfák: erdeifenyő, feketefenyő, vörösfenyő, kőris, akác, tölgy, dió, cseresznye. A színfák: lucfenyő, jegenyefenyő, bükk, gyertyán, nyír, éger. A legtöbb fa gesztfa. [ 2 ] - ben olvashatjuk, hogy a tölgyfa külső 10 ~ 15 évgyűrűjét jó munkánál nem használták fel. Régóta tudták ugyanis, hogy a szijács a nagyobb nedvességtartalma és a tartósító ( gesztesítő ) anyagok hiánya miatt még igen romlékony. Ennek megfelelően [ 3 ] - ban arról olvashatunk, hogy a szijács az „oly ácsszerkezetek nél, melyektől szilárdságot és tartósságot követelünk, megfaragás által eltávolítandó.” Megjegyezzük, hogy a mondott elnevezések az idők során erős változáson mentek át: a több, mint száz éve kiadott [ 3 ] műben a szerző a fatest belső, idősebb részét még „színfának vagy gesztnek” nevezi, szemben a szijáccsal.
2
A megfaragás fontos része volt az építőfa - termelésnek; ennek során nem csak a kérget és a háncsot, hanem a szijácsot is eltávolították, a színesgesztű fák esetében. Az ezután kapott fatermék nem csak ellenállóbb, hanem kisebb súlya miatt az erdőből könnyebben kiszállítható is volt.
A hengeres fa – régebben: gömbölyű fa – megfaragása ácsbakon történt; a fatörzset közel vízszintesen ráfektették, majd ács kapcsokkal hozzáerősítették – ld. 2. ábra! Forrása: [ 3 ] .
2. ábra
Ezután a faanyag mindkét végét a hosszirányra merőlegesen lefűrészelték. Az így nyert bütülapokon meghatározták azok középpontját, majd ezen át függőón és derékszög segítségével kijelölték az a b és c d „ tengelyeket”; ezek segítségével a bütükre bármilyen ábrát rajzolhattak – ld. 3. ábra!
3. ábra Az alábbiakban [ 3 ] nyomán sorra vesszük a nevezetesebb szelvényalakok sarokpontjai kijelölésének módját, négyszög szelvények esetén.
Nevezetes négyszög szelvényalakok előrajzolása a rönk megfaragáshoz A megfaragás során a kitermelt fa ( pl.: rönk ) bütüjére ( végkeresztmetszetére ) rárajzolták az ún. szijácskört, majd erre a kialakítandó szelvény sarokpontjait. Szijácskörnek nevezték a szijács és a geszt elválasztó körét – ld. 3. / jobb ábra!
3
a.) A lehető legnagyobb négyzet kifaragása „ Ha valamely fatörzsből a lehető legnagyobb négyzetet akarjuk kifaragni, akkor a facsúcs bütülapján két egymásra merőleges a b és c d átmérőt húzunk, és ezeknek a szijácskörbe eső végső pontjait egymással összekötjük; az így keletkezett a d b c négyszög adja a kívánt négyzetes gerendát.” Ld. a 4. ábrát is! Jelöljük a faanyag csúcs felőli részén a szijácskör átmérőjét d - vel, a leendő gerenda négyzet keresztmetszete oldalhosszúságát h - val! A 4. ábra alapján ekkor Pitagorasz 2 2 2 tétellel : h h d , innen
h
d 1 5 d d. 7 2 1, 4
( a1 )
4. ábra Ha pedig a négyzet oldala adott, akkor a kifaragáshoz szükséges fatest csúcsátmérője ( 1 ) - ből:
7 d 2 h h. 5
( a2 )
b.) A legnagyobb teherbírású téglalap kifaragása „ Ha valamely fatörzsből oly gerendát akarunk kifaragni, melynek teherbírása a lehető legnagyobb, akkor annak s szélessége kell, hogy oly arányban legyen m magasságához, mint 5:7. Ezt a szelvényt kapjuk – ld. 5. ábra! –, ha a facsúcson levő szijácskör a b átmérőjét 3 egyenlő részre osztjuk, s az így kapott c és d osztáspontokból ellenkező irányú merőlegeseket húzunk egészen a szijácskörig: ezeknek végső g és f pontjait összekötve az átmérő végső pontjaival, a g b f adja a kívánt négyszöget.” Az összefüggések – melyeknek igazolása a szerkesztésével együtt az F1. függelékben található – az alábbiak:
4 s d, 7 4 m d. 5 5. ábra
( b1 ) ( b2 )
4
c.) A legkisebb lehajlású téglalap kifaragása „ Ha oly gerendát akarunk, melynek hajlíthatósága a lehető legkisebb, akkor annak szélessége oly arányban kell, hogy legyen magasságához, mint 4:7. Az ennek a föltételnek megfelelő szelvényt kapjuk, ha az a b átmérőt 4 egyenlő részre osztjuk, s a külső osztás - pontokban ellenkező irányú merőlegeseket emelve, ezeknek a szijácskörrel való c és d metszés - pontjait összekötjük az átmérő végső pontjaival.” – Ld. 6. ábra! Az összefüggések – melyeknek igazolása a szerkesztésével együtt az F2. függelékben található – az alábbiak:
1 s d, 2
( c1 )
7 m d. 8
( c2 )
6. ábra
d.) A leghasználtabb négyszög kifaragása „ A leghasználtabb négyszöget, melynek szélessége úgy aránylik a magasságához, mint 3:4, kapjuk, ha az a b átmérőt 5 egyenlő részre osztjuk, s végső pontjaiból 4 / 5 átmérővel ellenkező irányú köríveket húzva, azoknak a szijácskörbe eső c és d végső pontjait összekötjük az átmérő a és b végső pontjaival.” – Ld. 7. ábra! Az összefüggések az alábbiak:
3 s d, 5
( d1 )
4 m d. 5
( d2 )
7. ábra
A képletek és a szerkesztés „igazolása” az F3. függelékben található.
5
Befejezés Ma már alig alkalmaznak megfaragást, gerenda méretű építőfa előállításához. Az egyfás tartógerendák anyagát rendszerint fűrészeléssel, fűrészüzemben állítják elő. A többfás tartók elemei szintén leginkább üzemben, előregyártással készülnek, illetve készen megvásárolhatóak. A fentebb részletezett keresztmetszet - kialakítási megoldások során az előállt gerenda mindig tartalmazta a bélrészt is. Ma a belet is tartalmazó gerendából a bélrészt fűrészeléssel gyakran kiejtik, majd a megmaradt részeket ragasztással összeerősítik. Így már nem, vagy csak alig repedezik meg a tartó, a bélsugarak mentén. Az elmondottak nem csak történeti jelentőségűek: segítenek megérteni néhány ács szakmai megoldás miértjét is.
Függelék F1. A ( b ) eset képletei és a hozzá tartozó szerkesztés igazolása A feladat megfogalmazása – ld. [ 4 ] - et is! – : határozzuk meg az adott körszelvényű farönkből kivágható maximális teherbírású, állandó keresztmetszetű gerenda keresztmetszeti méreteit! A feladat megoldása az alábbi. A gerenda valamely keresztmetszetében ébredő M hajlítónyomaték hatására a kereszt metszet szélső szálában fellépő húzó -, ill. nyomófeszültség nagysága – [ 4 ] – : M , K ahol K: a keresztmetszeti tényező hajlításra. A képletből látszik, hogy minél nagyobb e K tényező, annál kisebb a fellépő σ feszültség nagysága, adott M hajlítónyomatékra. Tehát keressük az s x m méretű, téglalap alakú keresztmetszet azon s : m oldalarányát, amelyre K = max! Az állított téglalap alakú keresztmetszetre a Szilárdságtan tanítása szerint – [ 4 ] – :
s m2 K . 6
(1–1)
Az 5. ábra szerint, Pitagorász tételével:
m 2 d 2 s2 .
(1–2)
Most ( 1 – 1 ) és ( 1 – 2 ) - vel:
s K(s) d 2 s 2 . 6 K ( s ) szélső értékét keresve:
(1–3)
6
dK(s) 0. ds
(1–4)
Ezután ( 1 – 3 ) és ( 1 – 4 ) - gyel:
d2 s2 0, ahonnan: 6 2 d s* . 3
(1–5)
1 4 1 0,571 , valamint 4 0,571 , ezért az közelítéssel és 3 7 3 7
Minthogy
( 1 – 5 ) - tel:
4 s* d, 7 egyezésben ( b1 ) - gyel. Most ( 1 – 2 ) és ( 1 – 5 ) - tel:
m*
2 d. 3
4 2 0,816 , valamint 0,8 , ezért a Minthogy 3 5 ( 1 – 6 ) - tal :
(1–6)
2 4 közelítéssel és 3 5
4 m* d, 5 egyezésben ( b2 ) - vel. Végül ( 1 – 5 ) és ( 1 – 6 ) - ból az oldalarány:
s* m*
d 3 1 , 2 2 tehát d 3
s* 1 1 5 . m* 2 1, 4 7
(1–7)
7
A szerkesztés igazolásához tekintsük a 8. ábrát!
cos *
B1C BC ; CB CA
2 d 3 m*, m* d m*
2 d 3 ,
innen
mint ( 1 – 6 ).
8. ábra Hasonlóan:
d d s* B A BA , mint ( 1 – 5 ). sin * 1 ; 3 , innen s* 3 s* d AB AC Megjegyzés:
tg*
s* 1 * 35, 3. m* 2
F2. A ( c ) eset képletei és a hozzá tartozó szerkesztés igazolása A feladat megfogalmazása – ld. [ 4 ] - et is! – : határozzuk meg az adott körszelvényű farönkből kivágható minimális behajlású, állandó keresztmetszetű gerenda keresztmetszeti méreteit! A feladat megoldása az alábbi. Az állandó keresztmetszetű fagerenda behajlása az elemi Szilárdságtan szerint
f
konst , I
ahol I: a keresztmetszet másodrendű nyomatéka. E képletből látszik, hogy minél nagyobb I, annál kisebb f. Tehát keressük az s x m keresztmetszetű téglalap azon s : m oldalarányát, amelyre I a legnagyobb, változatlan megtámasztási és terhelési viszonyok mellett.
8
Az állított téglalap alakú keresztmetszetre a Szilárdságtan tanítása szerint – [ 4 ] – : s m3 I . (2–1) 12 Pitagorász - tétellel:
s d2 m2 .
(2–2)
Most ( 2 – 1 ) és ( 2 – 2 ) - vel:
m3 I(m) d2 m2 . 12
(2–3)
I ( m ) szélső értékét keresve:
dI(m) 0. dm
(2–4)
Ezután ( 2 – 3 ) és ( 2 – 4 ) - gyel:
1 m4 2 2 2 0; innen: 3 m d m 2 2 12 d m
m **
Mivel
3 d. 2
(2–5)
7 3 7 3 közelítéssel és ( 2 – 5 ) - tel: 0,8660, valamint 0,875, ezért 8 2 8 2
7 m ** d, 8 ( c2 ) - nek megfelelően. Most ( 2 – 2 ) és ( 2 – 5 ) - tel:
d s ** . 2
(2–6)
Ez egyezik ( c1 ) - gyel. Ezután ( 2 – 5 ) és ( 2 – 6 ) - tal az oldalarány:
d s ** 1 2 , m ** 3 3 tehát d 2
s ** 1 4 . m ** 3 7
(2–7)
9
A szerkesztés igazolásához tekintsük a 8. ábrát!
3 d m ** 3 B1C BC 4 d , , innen m ** cos ** ; 2 m ** d CB CA egyezésben ( 2 – 5 ) - tel. Hasonlóan:
sin **
B1A BA ; AB AC
d 4 s ** , innen s ** d d s ** . 2 Ez megegyezik ( 2 – 6 ) - tal.
8. ábra Megjegyzés:
tg **
s ** 1 ** 30 . m ** 3
F3. A ( d ) eset képletei és a hozzá tartozó szerkesztés „igazolása” Itt – tudomásunk szerint – nincs a háttérben szélsőérték - feladat; sokkal inkább az ún. „pallér - háromszög" lehet az oka a „leghasználtabb négyszög” megnevezés által sejtetett népszerűségnek. Ugyanis a 7. ábra szerkesztése Thalész tétele szerint egy derékszögű háromszögre vezet, melynek oldalaira s : m : d = 3 : 4 : 5, azaz pitagorászi számhármast képeznek. Ugyanez az arány jellemzi a pallér - háromszöget is, melynek ismerete az építőipari dolgozók körében széleskörűen elterjedt.
10
Irodalomjegyzék [ 1 ] – Gilyén József: Ács - és épületasztalos munkák Táncsics Könyvkiadó, Budapest, 1963. [ 2 ] – Messinger Géza: Ácsmunkák alapismerete Az ipari tanuló iskolák számára Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1959. [ 3 ] – Sobó Jenő: Középítéstan I. Joerges Ágost özv.és fia könyvnyomója, Selmeczbánya, 1898. Reprint kiadás: a Soproni Egyetem megbízásából, 1998. [ 4 ] – Kövesi Antal: Szilárdságtan és gyakorlati példák gyűjteménye Nehézipari Könyvkiadó, 1951.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2008. augusztus 20.
