A differenciálegyenletek csodálatos világa Besenyei Ádám
[email protected] Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Matematikai Intézet Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest
ELTE TTK Nyílt nap 2016. 01. 29.
Mi az előadás célja?
Miről lesz szó? • kérdés: milyen jelenségeket érthetünk meg jobban a matematika segítségével? • cél: olyan egyszerűsített modell felállítása, amely matematikailag még kezelhető, de a jelenségről is mond valamit • eszköz: differenciálegyenletek • hol fordulnak elő: aki természettudományos szakra jön, biztosan találkozik vele, de nem csak a természettudományokban (műszaki tudomány, közgazdaságtan, orvostudomány. . . ) • elmélet: sok eszközt igényel és gyakran bonyolult számolásokat • gyakorlat: számítógépes szimulációk • most: közérthető ízelítő a szépségből
Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
2 / 23
Gondolatébresztő
„A természet elmélyült tanulmányozása a matematikai felfedezések legtermékenyebb forrása. A matematika az emberi elme azon képessége, amelynek célja, hogy kárpótoljon az élet rövidségéért és érzékszerveink tökéletlenségéért.” (A hő analitikus elmélete, 1822.) Joseph Fourier (1768–1830)
Jelenségek a mindennapokból
Az időjárás mindig jó téma Milyen időjárás lesz holnap? És egy hét múlva?
Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
6 / 23
Az időjárás mindig jó téma De miért esett egész nap, miközben napsütést jeleztek előre?
? Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
6 / 23
egy kérdés a biológiaóráról. . . (vagy a kisgyerek fejéből)
Állati jó kérdés Hogyan alakul ki az állatok mintázata? (Alan Turing, 1952)
Zebra: csíkos test, csíkos farok
Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
8 / 23
Állati jó kérdés Hogyan alakul ki az állatok mintázata? (Alan Turing, 1952)
Tigris: csíkos test, csíkos farok
Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
8 / 23
Állati jó kérdés Hogyan alakul ki az állatok mintázata? (Alan Turing, 1952)
Leopárd: foltos test, foltos farok
Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
8 / 23
Állati jó kérdés Hogyan alakul ki az állatok mintázata? (Alan Turing, 1952)
Gepárd: foltos test, csíkos farok
Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
8 / 23
Állati jó kérdés Hogyan alakul ki az állatok mintázata? (Alan Turing, 1952)
Petymeg: foltos test, csíkos farok
Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
8 / 23
Állati jó kérdés De miért nincs olyan állat, amelynek teste csíkos, a farka viszont foltos?
? Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
8 / 23
egy a kémiaóráról. . .
Színes egyéniségek Miért váltakozik az elegy színe?
Belouszov–Zsabotyinszkij-reakció (1950–60-as évek) (video: https://www.youtube.com/watch?v=dMF4RjiITGM) Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
10 / 23
Színes egyéniségek A természet nem az egyensúlyi állapotra törekszik?
? Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
10 / 23
egy a fizikaóráról. . .
Aki nem lép egyszerre. . . Mi okozta a híd mozgását?
Tacoma híd („Galoppozó Gertie”), Washington állam, 1940. november 7. (video: https://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs) Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
12 / 23
Aki nem lép egyszerre. . . Mi okozta a híd mozgását?
Tacoma híd („Galoppozó Gertie”), Washington állam, 1940. november 7. (video: https://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs) Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
12 / 23
Aki nem lép egyszerre. . . Mi okozta a híd mozgását?
Volgograd híd, Oroszország, 2010. május 20. (video: https://www.youtube.com/watch?v=5smsMzA_xII) Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
12 / 23
Aki nem lép egyszerre. . . Mi okozta a híd mozgását?
Volgograd híd, Oroszország, 2010. május 20. (video: https://www.youtube.com/watch?v=5smsMzA_xII) Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
12 / 23
Aki nem lép egyszerre. . . És miért nem menetelhetnek a katonák, ha hídon mennek át?
? Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
12 / 23
és végül egy az orvostudományból. . .
Hapci Idén is lesz influenzajárvány?
Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
14 / 23
Hapci Milyen hosszú ideig tart? Maradjunk otthon? Érdemes-e beoltatni magunkat? Egyáltalán lehetséges-e szabályozni a járvány alakulását?
? Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
14 / 23
Mi a közös az iménti jelenségekben?
Időben (és térben) zajló folyamatok közös vonásai • példák időben és térben zajló folyamatokra: – időjárás változása, mintázat kialakulása, elegy színének változása, híd mozgása, betegszám változása. . . • néhány állapotváltozóval jellemezhetők: – hőmérséklet, légnyomás, szélsebesség, koncentráció, kitérés, betegszám. . . • az idő- és térbeli változásukat természeti törvények írják le: – Newton, Fourier, Fick törvényei, tömegmegmaradás. . . • kulcsfogalom: az állapotváltozó változásának sebessége (üteme)
⇓ differenciálegyenletek
Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
16 / 23
Kérdések egy matematikus számára • van-e megoldás, egyértelmű-e? – elméleti tételek, bizonyítások • milyen tulajdonságokkal rendelkezik? – egyensúlyi helyzet, periodicitás, oszcilláció, kaotikusság. . . • hatékony közelítő meghatározás – numerikus módszerek, számítógép. . . • összevetés a valódi jelenséggel – jó-e a modell, segít-e a jelenség megértésében, szabályozásában?
Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
17 / 23
Kérdések egy matematikus számára • van-e megoldás, egyértelmű-e? – elméleti tételek, bizonyítások • milyen tulajdonságokkal rendelkezik? – egyensúlyi helyzet, periodicitás, oszcilláció, kaotikusság. . . • hatékony közelítő meghatározás – numerikus módszerek, számítógép. . . • összevetés a valódi jelenséggel – jó-e a modell, segít-e a jelenség megértésében, szabályozásában?
Akit érdekelnek a részletek, érdemes matekszakra jönnie.
Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
17 / 23
Kérdések egy matematikus számára • van-e megoldás, egyértelmű-e? – elméleti tételek, bizonyítások • milyen tulajdonságokkal rendelkezik? – egyensúlyi helyzet, periodicitás, oszcilláció, kaotikusság. . . • hatékony közelítő meghatározás – numerikus módszerek, számítógép. . . • összevetés a valódi jelenséggel – jó-e a modell, segít-e a jelenség megértésében, szabályozásában?
Akit érdekelnek a részletek, érdemes matekszakra jönnie. (De aki kíváncsi, az irodalomjegyzékben bőven talál válaszokat.)
Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
17 / 23
Hol fordulnak még elő differenciálegyenletek?
Differenciálegyenletek mindenütt • fizika: – elektromágnesség: Maxwell-egyenletek – áramlástan: Navier–Stokes-egyenletek (1 millió dollár) – kvantummechanika: Schrödinger-egyenlet • biológia: – ragadozó–zsákmány modellek: Lotka–Volterra – életkor függő populációs modellek • kémia: – reakciók leírása • közgazdaságtan, pénzügy: – opciók árazása: Black–Scholes-egyenlet (Nobel-díj, 1997) • gyógyszeradagolási modell, követési modell, tanulási modell • harci modellek (Lancester) • az alkalmazások köre végeláthatatlan. . . Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
19 / 23
Érdemes-e tehát matematikával foglalkozni?
Miért foglalkozzunk matematikával? Siméon Denis Poisson (1781–1840): „Az élet csak két dologra jó: matematikával foglalkozni és matematikát tanítani.” Dirk Jan Struik (1894–2000) (106 évesen halt meg!) „A matematikusok sokáig élnek; a matematika egy egészséges hivatás. Azért élünk sokáig, mert kellemes gondolataink vannak. Matematikával és fizikával foglalkozni nagyon kellemes dolog.” De vigyázat! John Edensor Littlewood (1885–1977) „A matematikus hivatás veszélyes: egy jelentős részünk megőrül.”
Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
21 / 23
Olvasnivalók Besenyei Ádám, Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó – avagy mire jók a differenciálegyenletek?, ELTE Kárpát-medencei Nyári Egyetem előadás, 2014. július 11. http://abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf Besenyei Ádám, A differenciálegyenletek csodálatos világa, Eötvös Kollégium Természettudományos Tábor, 2015. július 22. http://abesenyei.web.elte.hu/publications/csodalatos.pdf A differenciálegyenletek csodálatos világa, speciálelőadás az ELTE-n tanárszakosok számára, a kurzus honlapja: http://abesenyei.web.elte. hu/mattanar/15o/diffegy15o/diffegy15o.php Hatvani László – Pintér Lajos, Differenciálegyenletes modellek a középiskolában, Polygon, Szeged, 1997.
Besenyei Ádám (ELTE)
Differenciálegyenletek
ELTE TTK, 2016. 01. 29.
22 / 23
Vége
Köszönöm a figyelmet!
