A befogott tartóvég erőtani vizsgálatához – II. rész
A második feladat Az első feladat alapfeltevése az volt, hogy a gerendavég kellően merev, így a terhelések hatására is egyenes marad. A valóságos testek azonban deformálhatóak, így az ugyanolyan alakú és méretű, de eltérő anyagból készült gerendavégek várhatóan más és más alakváltozást, ezzel együtt pedig más és más erőjátékot produkálnak. A deformálhatóság figyelembe vételével megnő a lehetséges erőtani modellek száma. E második feladatunkban a gerendavéget a rugalmas ágyazású tartók elméletével vizsgáljuk. A feladat – és részleges megoldásának – lelőhelye: [ 1 ]. Az eredeti feladat leírása az alábbi – ld. az 1. ábrát is, melynek forrása [ 1 ]!
1. ábra Adott: Egy acélgerenda, melyet a hosszban bebetonoztak, és amelyet a b hosszúságú kinyúló végén P koncentrált erő terhel. A beton a p k y törvényt követi, ahol p a bebetonozott tartóvég hosszegységére ható nyomás. Keresett: 1. A befogott rész rugalmas vonalának differenciálegyenlete. 2. A differenciálegyenlet általános megoldása. 3. Határfeltételek. 4. Az integrálási állandók feltételi egyenletei. 5. Az M hajlítónyomaték, a V nyíróerő és a p nyomás lefutásának vázlatos ábrázolása. Megoldás: Először levezetjük a probléma differenciálegyenletét, melynek során körvonalazódik az alkalmazott modell milyensége is. Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! Itt feltüntettük: ~ az alkalmazott koordináta - rendszert, ~ a befogott gerendavégre ható erőket, ~ a befogott rész egy egyensúlyban lévő differenciális elemét.
2
2. ábra Utóbbi egyúttal az igénybevételek pozitív előjelét is definiálja. Az alkalmazott koordináta - rendszer és előjelszabály figyelembe vételével kijelentjük, hogy a pozitív hajlítónyomaték negatív görbületet eredményez, és megfordítva, emiatt: E I y ''(x) M(x), (1) a Szilárdságtan tanítása szerint. Vetületi egyensúlyi egyenlettel:
V V dV p dx 0, innen: dV(x) p(x). dx
(2)
Nyomatéki egyensúlyi egyenlettel:
M M dM V dx p dx
dx 0, innen a szokásos érveléssel: 2
dM(x) V(x). dx
(3)
Az eddigiekhez hozzávéve a Winkler - hipotézisnek megfelelő
p(x) k y(x)
(4)
egyenletet, előttünk állnak a feladat alapegyenletének összetevői. Most ( 2 ) és ( 3 ) - mal:
dV(x) d 2 M(x) p(x) , dx dx 2 majd ( 1 ), ( 4 ), ( 5 ) - tel:
(5)
3
d2 d2 k y(x) 2 E I y ''(x) 2 E I y ''(x) , innen: dx dx
E I y ''(x)" k y(x) 0.
(6)
Ha az EI hajlítómerevség a befogott rúdszakaszon állandó, akkor ( 6 ) - ból:
E I y IV (x) k y(x) 0.
(7)
Itt a k ágyazási tényezőt állandó értékűnek tekintjük. A ( 7 ) egyenlet a feladat alapegyenlete: a befogott rész rugalmas vonalának differenciálegyenlete. A téma szakirodalma kiterjedt, ám attól hogy ismeretes, még nem lesz egyszerű ( 7 ) megoldása. Ha minden matematikai nehézségen túljutottunk, akkor még szükség lesz az anyagi tulajdonságokat hordozó k és E mennyiségek számértékére is. Jöjjön a ( 7 ) egyenlet általános megoldása! Például [ 2 ] szerint:
y(x) ex C1 cos( x) C2 sin( x) ex C3 cos( x) C4 sin( x) , (8) ahol
4
k . 4 E I
(9)
Hogy a ( 7 ) egyenlet megoldása ( 8 ), arról behelyettesítéssel győződhetünk meg. A feladat megoldásához szükség lehet az y’, y”, y’” deriváltakra is. Ezek [ 2 ] alapján:
C1 ex cos( x) sin( x) C 2 ex sin( x) cos( x) dy(x) ; C3 ex cos( x) sin( x) C 4 ex sin( x) cos( x) dx ( 10 )
ex C1 sin( x) C 2 cos( x) d 2 y(x) ; 2 2 2 ex C3 sin( x) C 4 cos( x) dx
( 11 )
ex C sin( x) cos( x) C cos( x) sin( x) 1 2 d 3 y(x) 3 . 2 x 3 e C sin( x) cos( x) C cos( x) sin( x) dx 4 3 ( 12 )
4
A ( C1, C2, C3, C4 ) integrálási állandók meghatározására 4 darab feltételi egyenletre van szükségünk. Ezekhez kellenek az alábbi egyenlet - alakok is; ( 1 ) - ből:
y ''(x)
M(x) ; EI
( 13 )
( 3 ) és ( 13 ) - mal:
y '''(x)
V(x) . EI
( 14 )
Most már a feladat peremfeltételei, ( 13 ) és ( 14 ) - gyel is:
~ ha x 0, akkor M 0, azaz y" 0; ~ ha x 0, akkor V 0, azaz y'" 0;
( 15 ) ( 16 )
Pb ; EI P ~ ha x a, akkor V P, azaz y'" . EI ~ ha x a, akkor M P b, azaz y"
( 17 ) ( 18 )
Most ( 11 ) és ( 15 ) - tel:
C2 C4 0;
( 19 )
majd ( 12 ) és ( 16 ) - tal:
C1 C2 C3 C4 0;
( 20 )
ezután ( 11 ) és ( 17 ) - tel:
C1 m 2 C 2 m1 C3 m 4 C 4 m 3
P b ; 2 2 E I
( 21 )
továbbá ( 12 ) és ( 18 ) - cal:
C1 m1 m 2 C2 m1 m 2 C3 m3 m 4 C4 m3 m 4
P . 2 E I 3
( 22 ) A ( 21 ) és ( 22 ) képletekben alkalmazott rövidítő jelölések:
m 2 ea sin( a); a a m3 e cos( a); m 4 e sin( a). m1 ea cos( a);
( 23 )
A ( 19 ), ( 20 ), ( 21 ), ( 22 ) egyenletekből álló egyenletrendszert megoldva kapjuk a ( C1 , C2 , C3 , C4 ) állandókat, melyekkel a p( x ), M( x ), V( x ) függvények is ismertté válnak. Egy hozzávetőleges ábrázolásuk az [ 1 ] - ből vett 3. ábrán szemlélhető.
5
3. ábra A 3. ábrán két dolog is feltűnik: ~ a befogott gerendaszakaszon a p( x ) megoszló terhelés már nem egyenes szerint változó; ~ a V( x ) és M( x ) függvények lefutása erősen emlékeztet az I. részben látottakra. A feladat végigszámolása, valamint az eredmények megszemlélése után az alábbiak juthatnak az ember eszébe: ~ az exponenciális és trigonometrikus függvényekkel való bánás „gyalogosan” igencsak nehézkes, ezért valami egyszerűbben kezelhető függvénytípus után kellene nézni; ~ a váltást az is indokolhatja, hogy az alkalmazott modell eléggé kezdetleges: nem veszi figyelembe a rövid gerendáknál erősebben érvényesülő nyírási alakváltozásokat; csak egy – állandó értékű, vagyis a hossz mentén nem változó – ágyazási tényezővel dolgozik, amely csak az eltolódásokat érzékeli, de az elfordulásokat nem, stb. Így arra juthatunk, hogy meg lehetne kísérelni létrehozni egy olyan modellt, mely a fenti negatívumok egy részét kiküszöböli, de még mindig elviselhető számítási munkával elfogadható eredményeket adhat. Ez – úgy tűnik –, meg is történt: a [ 3 ] munkában például úgy járnak el, hogy a rugalmas ágyazás reakciójának függvényeként önkényesen egy általános harmadfokú parabolát vesznek fel, annak 4 darab ( a0, a1, a2, a3 ) paraméterével. A hajlított gerenda 4 darab integrálási állandóját az ittenihez hasonló módon határozzák meg, az ai ( i = 0, …, 3 ) állandókra pedig további feltételeket írnak elő. Ebből kettő az ismert egyensúlyi egyenletek, a másik kettő viszont az ágyazás és a gerenda érintkezésével, besüllyedésével kapcsolatos. A hosszadalmas számítások eredményeit képletekkel, ill. táblázatokkal adják meg. Megjegyezzük, hogy az esetünkre vonatkozó számítások másképpen is berendezhetők; erre vonatkozóan a [ 4 ] és [ 5 ] munkákat ajánlhatjuk az Olvasó figyelmébe. A hivatkozott munkákban található képletekre érdemes lehet számítógépi programot írni. Nem véletlen, hogy a fenti számítási munka eredményeinek egy részét a szakirodalomból vettük át, a munka másik részét pedig az érdeklődő Olvasóra bíztuk. Sok sikert!
6
Irodalom:
[ 1 ] – Ludwig Föppl: Aufgaben aus Technischer Mechanik Unterstufe Verlag von R. Oldenburg, München und Berlin, 1942. [ 2 ] – August Föppl: Vorlesungen über Technische Mechanik 3. Band: Festigkeitslehre 9. Auflage, Verlag von B.G. Teubner, Leipzig - Berlin, 1922. [ 3 ] – I. A. Szimvulidi: Raszcsot inzsenyernüh konsztrukcij na uprugom osznovanyii Izd. 6., Moszkva, Vüszsaja Skola, 1987. [ 4 ] – Széchy Károly: Alagútépítéstan Tankönyvkiadó, Budapest, 1961. [ 5 ] – J. T. Oden: Mechanics of Elastic Structures McGraw - Hill Book Company, New York, 1967.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2009. október 28.
