9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9.1 Definíció és alapintegrálok 1. Definíció. Legyen f : I → R adott függvény (I ⊂ R egy intervallum). A F : I → R függvényt a f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, ha F differenciálható I-n, F 0 (x) = f (x) (x ∈ I).
Példa. Ha f (x) = sin x akkor F (x) = − cos x + c.
1. Állítás. Ha F a f függvény primitív függvénye I-n, akkor G(x) = F (x) + c
(x ∈ I, c ∈ R konstans)
is primitív függvénye f -nek, és fordítva, f minden primitív függvénye F (x) + c alakú. Bizonyítás. G primitív függvény mert G0 (x) = F 0 (x) + c0 = F 0 (x) = f (x). Fordítva, ha F, G a f függvény primitív függvényei, akkor (G(x) − F (x))0 = f (x) − f (x) = 0 (x ∈ I) amiből G(x) − F (x) = c =konstans, ha x ∈ I. 2. Definíció. összes primitív függvényeinek halmazát f határozatlan integráljának R Egy f függvény R nevezzük, és f (x) dx vagy f -fel jelöljük. Azaz
Z f (x) dx = { F (x) + c : c ∈ R, F a f egy primitív függvénye },
amit egyszerűen úgy irunk, hogy Z f (x) dx = F (x) + c (c ∈ R).
A legfontosabb elemi függvények differenciálási szabályaiból kapjuk az alapintegrálokat: 1
2
Z ex dx = ex + c Z ax dx =
ax +c ln a
(x ∈ R, 1 6= a > 0)
xα dx =
xα+1 +c α+1
(x > 0, −1 6= α ∈ R)
Z Z
(x ∈ R)
1 dx = ln |x| + c x
Z xn dx =
(x > 0 vagy x < 0)
xn+1 +c n+1
(x ∈ R, n = 0, 1, . . . )
Z sin x dx = − cos x + c
(x ∈ R)
cos x dx = sin x + c
(x ∈ R)
1 dx = tg x + c cos2 x
(kπ −
1 dx = − ctg x + c sin2 x
(kπ < x < (k + 1)π, k ∈ Z)
1 √ dx = arcsin x + c 1 − x2
(|x| < 1)
Z Z Z Z
π π < x < kπ + , k ∈ Z) 2 2
Z
1 dx = arctg x + c 1 + x2 Bizonyítás. Például az utolsó képlet igazolása:
(x ∈ R)
(arctg x + c)0 =
1 , 1 + x2
a többi hasonlóan, differenciálással igazolható.
9.2 Integrálási szabályok Ha f, g-nek van primitív függvénye, akkor f + g, cf (c ∈ R)-nek is van, és Z Z Z (f + g) = f + g Z
Z (cf ) = c
f.
3
A szorzat differenciálási szabályából kapjuk a parciális integrálás szabályát: ha f, g differenciálhatók és f g 0 -nek van primitív függvénye, akkor f 0 g-nek is van primitív függvénye, és Z Z f 0g = f g − f g0 ugyanis
µ ¶0 Z 0 fg − fg = f 0 g + f g 0 − f g 0 = f 0 g.
Az összetett függvény differenciálási szabályából kapjuk a helyettesítéses integrálás szabályát: ha f -nek van primitív függvénye I-n, g : J → I differenciálható a J intervallumon, akkor (f ◦ g) · g 0 -nek is van primitív függvénye J-n és µZ ¶ Z (f ◦ g) · g 0 = f ◦g vagy
Z
Z 0
f (g(x)) g (x) dx = Ugyanis, ha
R
f (u)du|u=g(x) .
f (u)du = F (u), akkor a jobboldali függvény deriváltja µZ ¶0 f (u)du|u=g(x) = (F (g(x)))0 = F 0 (g(x))g 0 (x) = f (g(x))g 0 (x),
és ezt kellett igazolni. A szabály másik alakja: ha f : I → R, g : J → I differenciálható a J intervallumon, g 0 (x) 6= 0 (x ∈ J) és (f ◦ g) · g 0 -nek van primitív függvénye, akkor f -nek is van primitív függvénye I-n és Z Z ¡ ¢ f= (f ◦ g) · g 0 ◦ g −1 vagy
Z
Z f (x) dx =
f (g(u))g 0 (u) du|u=g−1 (x) .
R Ugyanis, ha f (g(u))g 0 (u) du = F (u), akkor a jobboldali függvény deriváltja az inverz függvény differenciálási szabálya alapján µZ ¶0 ¡ ¡ ¢¢0 ¡ ¢¡ ¢0 0 f (g(u))g (u) du|u=g−1 (x) = F g −1 (x) = F 0 g −1 (x) g −1 (x) ¡ ¢ = f (x)g 0 g −1 (x)
1 g 0 (g −1 (x))
és ezt kellett igazolni. f (x) = xα választással kapjuk, hogy Z g α+1 gαg0 = + c (α 6= −1) α+1 Z 0 g = ln |g| + c g
= f (x),
4
Utóbbi képlet felhasználásával kapjuk, hogy Z
Z tg x dx = −
Z
Z ctg x dx =
(cos x)0 dx = − ln | cos x| + c cos x
(sin x)0 dx = ln | sin x| + c sin x
Egy másik fontos speciális eset a lineáris helyettesítés: ha akkor Z Z 1 f (ax + b) dx = f (u) du|u=ax+b = a
f primitív függvénye F, a 6= 0, b ∈ R 1 F (ax + b) + c. a
Ennek felhasználásával (vagy differenciálással) lehet igazolni a következő képleteket, melyek kiegészítik az alapintegrálok táblázatát: Z Z
x 1 √ dx = arcsin + c a a2 − x2
(|x| < a)
¯ ¯ √ 1 ¯ ¯ √ dx = ln ¯x + x2 ± a2 ¯ + c 2 2 x ±a
(x ∈ R vagy |x| > a)
Z
1 x 1 dx = arctg + c 2 +x a a ¯ ¯ Z ¯x − a¯ 1 1 ¯ ¯+c ln dx = x2 − a2 2a ¯ x + a ¯
(x ∈ R)
a2
(|x| < a vagy |x| > a)
ahol a > 0 konstans.
9.3 Elemien integrálható függvények osztályai 1. Definíció. Egy függvényt elemien integrálhatónak nevezünk, ha primitív függvénye elemi. Nem minden elemi függvény ilyen: például ismeretes, hogy Z
Z 2
ex dx,
Z sin(x2 ) dx,
nem elemi függvények. 1. Parciálisan integrálható függvények
x dx sin x
5
Ha P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
(a0 , a1 , . . . , an ∈ R) polinom, akkor
P (x)ex
parciálisan integrálható
f 0 (x) = ex , g(x) = P (x)
választással
P (x) sin x
parciálisan integrálható
f 0 (x) = sin x, g(x) = P (x)
választással
P (x) cos x
parciálisan integrálható
f 0 (x) = cos x, g(x) = P (x)
választással
P (x) ln x
parciálisan integrálható
f 0 (x) = P (x), g(x) = ln x
választással
P (x) arcsin x
parciálisan integrálható
f 0 (x) = P (x), g(x) = arcsin x
választással
P (x) arctg x
parciálisan integrálható
f 0 (x) = P (x), g(x) = arctg x
választással.
Hasonlóan parciálisan integráljuk az ex sin x,
ex cos x,
sinn x,
cosn x
függvényeket. Az integrálás eredménye elemi függvény. Példa.
Z
Z ln x dx =
1 · ln x dx
1 amiből f 0 (x) = 1, g(x) = ln x választással f (x) = x, g 0 (x) = így x Z Z 1 ln x dx = x ln x − x dx = x ln x − x + c. x 2. Racionális törtfüggvények integrálása. A két polinom hányadosaként előállítható függvényeket racionális törtfüggvényeknek nevezzük. Ezek mindig elemien integrálhatók. Az integrálás lépései: a) Ha a számláló fokszáma nagyobb vagy egyenlő a nevező fokszámánál, akkor osztás után a tört egy polinom és egy olyan racionális tört összege lesz, ahol a számláló fokszáma kisebb a nevező fokszámánál. Mivel egy polinomot könnyen integrálhatunk, így feltehetjük, hogy P (x) f (x) = Q(x) ahol P, Q polinomok, és P fokszáma kisebb mint Q fokszáma. b) A nevezőt szorzattá alakítjuk, ezáltal a Q nevező (x − a)k és (x2 + px + q)l alakú tényezők szorzataként írható fel, ahol a másodfokú kifejezés diszkriminánsa p2 − 4q < 0, k, l ∈ N. c) f -et parciális törtek összegére bontjuk fel: a nevező (x − a)k faktorának megfelelő parciális törtek: A1 A2 Ak + + ··· + x − a (x − a)2 (x − a)k ahol A1 , . . . , Ak ) alkalmas konstansok. Az (x2 + px + q)l faktornak megfelelő parciális törtek: B1 x + C1 B2 x + C2 Bl x + Cl + 2 + ··· + 2 2 2 x + px + q (x + px + q) (x + px + q)l
6
ahol B1 , C1 , . . . Bl , Cl ) alkalmas konstansok. Az Ai , (i = 1, . . . , k), Bj , Cj (j = 1, . . . , l) konstansokat az együtthatók összehasonlításával, vagy alkalmas értékek helyettesítésével kapott lineáris egyenletrendszerből határozzuk meg. d) Integráljuk a parciális törteket: Ai Z +c ha i 6= 1 Ai (1 − i)(x − a)i−1 dx = (x − a)i A ln |x − a| + c ha i = 1 i
A második típusú parciális törtek integrálása: a Bx + C B (2x + p) = + 2 x + px + q 2 x2 + px + q ³
Bp C− 2 Ãr
p ´2 x+ + 2
p2 q− 4
!2
felbontás alapján Bp p C− x+ B Bx + C 2 arctg r 2 + c. = ln |x2 + px + q| + r x2 + px + q 2 p2 p2 q− q− 4 4 2 k Ha a nevezőben (x + px R + q) (k > 1) szerepel akkor először a számlálóból leválasztjuk a lineáris tagot (e tag integrálását az g −k g 0 -re vonatkozó képlet alapján végezzük el), majd a k tól függő Z 1 Ik = dx (x2 + px + q)k Z
integrált egy (parciális integrálással kapott) rekurziós képlet segítségével határozzuk meg.
10. HATÁROZOTT INTEGRÁL 10.1 Az integrál definíciója és alaptulajdonságai 1. Definíció. Legyen [a, b] ⊂ R egy zárt intervallum. A P = { xi : a = x0 < x1 < · · · < xn = b } (n ∈ N) ponthalmazt az [a, b] intervallum egy felosztásának nevezzük. xi az i-edik osztópont, [xi−1 , xi ] az i-edik intervallum, xi − xi−1 az i-edik intervallum hossza, a kP k = max (xi − xi−1 ) 1≤i≤n
számot a P felosztás finomságának nevezzük. 2. Definíció. Legyen f : [a, b] → R egy korlátos függvény, P az [a, b] egy felosztása, ti ∈ [xi−1 , xi ] (i = 1, . . . , n) közbenső értékek. A σ(f, P, t) =
n X i=1
f (ti )(xi − xi−1 )
7
összeget az f függvény P felosztáshoz és t = (t1 , . . . , tn ) közbenső érték rendszerhez tartozó integrálközelítő összegének nevezzük. σ(f, P, t) geometriai jelentése : a felosztás és a közbenső értékek által meghatározott téglalapok területének (előjeles) összege, ami annál jobban közelíti a görbe alatti (előjeles) területet minél finomabb a felosztás. 3. Definíció (a Riemann integrálhatóság első definíciója). Az f : [a, b] → R korlátos függvényt Riemann integrálhatónak nevezzük [a, b]-n, ha van olyan I ∈ R szám, hogy bármely ² > 0-hoz létezik olyan δ(²), hogy (1)
|σ(f, P, t) − I| < ²
ha kP k < δ(²)
bármely t = (t1 , . . . , tn ) közbenső érték rendszer mellett teljesül. Az I számot az f függvény [a, b]-n vett Riemann integráljának nevezzük és
Rb
f (x) dx vagy
a
jelöljük. Az [a, b]-n Riemann integrálható függvények osztályát R[a, b]-vel fogjuk jelölni.
Rb
f -fel
a
(1)-gyel egy (új típusú) határértéket definiáltunk, így az integrál definícióját egyszerűen Zb f (x) dx := lim
kP k→0
a
n X
f (ti )(xi − xi−1 )
i=1
alakban is írhatjuk (ahol természetesen meg kell mondani, hogy f, a, b, P, ti mit jelentenek, és, hogy mi a lim jelentése, utóbbit éppen (1) adja meg). kP k→0
Az
Rb
f (x) dx geometriai jelentése: az x = a, x = b, y = 0 egyenesek és az y = f (x) függvény
a
gráfja által meghatározott síkidom előjeles területe (az x tengely alatti részt az integrál negatív előjellel számolja).
Példa. Legyen f (x) = c=konstans ha x ∈ [a, b]. Ekkor bármely P felosztás esetén σ(f, P, t) =
n X i=1
így I =
Rb
c dx = c(b − a).
a
Az integrál tulajdonságai.
c(xi − xi−1 ) = c
n X i=1
(xi − xi−1 ) = c(b − a)
8
Ha f, g : [a, b] → R, f, g ∈ R[a, b], P az [a, b] egy felosztása, ti ∈ [xi−1 , xi ], t = (t1 , . . . , tn ) akkor könnyű ellenőrizni, hogy σ(f + g, P, t) = σ(f, P, t) + σ(g, P, t) σ(cf, P, t) = cσ(f, P, t)
ha c ∈ R
σ(f, P, t) = σ(f[a,d] , P[a,d] , t[a,d] ) + σ(f[d,b] , P[d,b] , t[d,b] )
ha a < d < b, d a P osztópontja
σ(f, P, t) ≤ σ(g, P, t)
ha f (x) ≤ g(x) (x ∈ [a, b])
m(b − a) ≤ σ(f, P, t) ≤ M (b − a)
ha m = inf f (x), M = sup f (x) x∈[a,b]
x∈[a,b]
ahol f[a,d] , P[a,d] , t[a,d] az f függvény, P felosztás, t közbenső értékrendszer leszűkítése az [a, d] intervallumra. E tulajdonságokból kP k → 0 határátmenettel adódik az 1. Tétel (az integrál alaptulajdonságai). Ha f, g : [a, b] → R, f, g ∈ R[a, b], akkor bármely c ∈ R és bármely a < d < b mellett Zb f + g ∈ R[a, b]
és
Zb (f + g) =
a
f+ a
Zb cf ∈ R[a, b]
Zb
a
f, a
Zb és
ha f (x) ≤ g(x) (x ∈ [a, b])
g, a
(cf ) = c
és
f ∈ R[a, d], f ∈ R[d, b]
Zb
Zd f
=
f+
a
a
Zb
Zb
akkor
f
≤
a
Zb f, d
g, a
Zb ha m = inf f (x), M = sup f (x) x∈[a,b]
x∈[a,b]
akkor
f ≤ M (b − a).
m(b − a) ≤ a
A fenti tulajdonságokat rendre, az integrál (függvény szerinti) additivitásának, homogenitásának, (intervallum szerinti) additivitásának, monotonitásának nevezzük, az utolsó állítás az integrálszámítás középértéktétele melyet egy másik alakban is megfogalmazunk.
9
2. Tétel (az integrálszámítás középértéktétele). Legyen f : [a, b] → R, f ∈ R[a, b], m = inf f (x), x∈[a,b]
M = sup f (x), akkor x∈[a,b]
Zb m(b − a) ≤
f ≤ M (b − a). a
Ha f folytonos [a, b]-n akkor van olyan ξ ∈ [a, b] melyre (2)
1 f (ξ) = b−a
Zb f (x) dx. a
Bizonyítás. Csak a folytonos függvényekre vonatkozó állítást kell igazolni. Mivel 1 m≤ b−a
Zb f (x) dx ≤ M a
és folytonos függvény felvesz minden (közbenső) értéket [m, M ]-ben így van ξ ∈ [a, b] melyre (2) teljesül. Az integrálhatóság analitikus kritériuma a 3. Tétel (Lebesgue-féle integrálhatósági kritérium). Az f : [a, b] → R korlátos függvény akkor és csakis akkor Riemann integrálható [a, b]-n, ha f egy Lebesgue szerint nullmértékű halmaztól eltekintve folytonos. 4. Definíció. Egy E ⊂ R halmazt akkor nevezünk Lebesgue szerint nullmértékűnek, ha bármely ² > 0-hoz van olyan ]an , bn [ (n ∈ N) intervallumsorozat mely lefedi E-t és melynek összhosszúsága kisebb mint ² azaz ∞ ∞ [ X E⊂ ]an , bn [ és (bn − an ) < ². n=1
n=1
Bizonyítás. Ld. pl. Szőkefalvi, Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó, Bp., 1977. Minden E megszámlálható halmaz (Lebesgue szerint) nullmértékű. Ugyanis, ha E = { xi ∈ R : i = 1, . . . , n } véges halmaz, akkor mindegyik xi pontot egy ²/n-nél kisebb hosszúságú nyílt intervallummal lefedve az intervallumok uniója lefedi E-t és összhossza kisebb mint ². Ha E = { xi ∈ R : i =∈ N } megszámlálhatóan végtelen halmaz, akkor minden i ∈ N mellett az xi pontot egy ²/2n -nél kisebb hosszúságú nyílt intervallummal lefedve az intervallumok uniója lefedi E-t és összhossza kisebb mint ∞ ² X ² 2 = = ². 2n 1 − 12 i=1 Így Lebesgue tételéből következik, hogy egy pontsorozattól eltekintve folytonos függvény integrálható.
10
Lebesgue tételével könnyű igazolni, hogy ha f, g ∈ R[a, b] akkor f g, f 2 , |f | ∈ R[a, b] és ha van olyan k > 0 hogy |g(x)| ≥ k ha x ∈ [a, b] akkor f /g ∈ R[a, b] is teljesül. Továbbá fennáll a ¯ b ¯ ¯Z ¯ Zb ¯ ¯ ¯ f (x) dx¯ ≤ |f (x)| dx (3) ¯ ¯ ¯ ¯ a
a
egyenlőtlenség. Ennek igazolása: a −|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)| egyenlőltlenséget integrálva Zb −
Zb |f (x)| dx =
a
Zb (−|f (x)| dx ≤
a
Zb f (x) dx ≤
a
|f (x)| dx a
amiből az abszolút érték tulajdonságai miatt (3) következik.
10.2 Kiegészítések az integrál definíciójához 1. Definíció. Legyen f : [a, b] → R egy korlátos függvény, P legyen az [a, b] egy felosztása. Legyen továbbá mi = inf f (x), Mi = sup f (x). x∈[xi−1 ,xi ]
Az s(f, P ) = S(f, P ) = O(f, P ) =
n P i=1 n P i=1 n P
x∈[xi−1 ,xi ]
mi (xi − xi−1 ), Mi (xi − xi−1 ),
(Mi − mi )(xi − xi−1 ) = S(f, P ) − s(f, P )
i=1
számokat az f függvény P felosztáshoz tartozó alsó, felső, ill. oszcillációs összegének nevezzük. 1. Állítás. Legyen f : [a, b] → R egy korlátos függvény, m = inf f (x), M = sup f (x) akkor x∈[a,b]
x∈[a,b]
a) bármely P és t-re
m(b − a) ≤ s(f, P ) ≤ σ(f, P, t) ≤ S(f, P ) ≤ M (b − a),
b) bármely P1 ⊂ P2 -re
s(f, P1 ) ≤ s(f, P2 ),
c) bármely P1 , P2 -re
s(f, P1 ) ≤ S(f, P2 )
S(f, P2 ) ≤ S(f, P1 ),
ahol P, P1 , P2 az [a, b] alkalmas felosztásai. Bizonyítás. Az a) állítás az m ≤ mi ≤ f (ti ) ≤ Mi ≤ M
(i = 1, . . . , n)
egyenlőtlenség következménye. b) igazolásához csak azt kell meggondolni, hogy egy függvény infimuma (supremuma) egy részintervallumon nem lehet kisebb (nagyobb) mint az egész intervallumon. Megjegyezzük, hogy P1 ⊂ P2 teljesülése esetén a P2 felosztást a P1 felosztás finomításának nevezzük.
11
c) igazolása: a) és b) alapján s(f, P1 ) ≤ s(f, P1 ∪ P2 ) ≤ S(f, P1 ∪ P2 ) ≤ S(f, P2 ) mivel P1 ∪ P2 mind P1 mind P2 finomítása. 2. Definíció. Legyen f : [a, b] → R egy korlátos függvény. Az I = inf s(f, P ),
−
−
és
P
I = sup S(f, P ) P
számokat az f függvény [a, b] feletti Darboux-féle alsó és felső integráljának nevezzük (az infimumot és a supremumot az összes P felosztásra kell venni). −
Az 1. Állítás a) része miatt az s(f, P ), S(f, P ) számok korlátos halmazt alkotnak, így I , I valós −
számok, c) miatt −
s(f, P ) ≤ I ≤ I ≤ S(f, P ) −
amiből −
0 ≤ I − I ≤ S(f, P ) − s(f, P ) = O(f, p). −
Példa. Legyen
½ f (x) =
1 0
ha x ∈ [0, 1] racionális ha x ∈ [0, 1] irracionális
az un. Dirichlet féle függvény. Ekkor, mivel a felosztás minden intervallumában van racionális és −
irracionális szám mi = 0, Mi = 1, ezért s(f, P ) = 0, S(f, P ) = 1, így I = 0, I = 1. −
3. Definíció (a Riemann integrálhatóság második definiciója). Az f : [a, b] → R korlátos függvényt −
Riemann integrálhatónak nevezzük [a, b]-n, ha I = I . Ezt a közös értéket f [a, b] -n vett Riemann −
integráljának nevezzük és
Rb a
f vagy
Rb
f (x) dx-szel jelöljük.
a
Később be fogjuk látni, hogy az integrálhatóság és az integrál első és második definíciója ekivivalens fogalmak. A példából látható, hogy a Dirichlet függvény nem integrálható [0, 1]-en. 1. Tétel (Darboux tétele). Legyen f : [a, b] → R egy korlátos függvény, akkor bármely ² > 0 számhoz létezik olyan δ(²) > 0, hogy −
S(f, P ) − I < ²
és
ha P olyan felosztása [a, b]-nek, melyre kP k < δ(²). Bizonyítás. Ld. pl. Lajkó K., Analízis II.
I − s(f, P ) < ²
−
12
Darboux tétele azt fejezi ki, hogy pl. az I alsó integrál nemcsak supremum, hanem limesz is, azaz −
inf s(f, P ) = I = lim s(f, P ) P
−
kP k→0
ahol a jobboldali limesz éppen azt jelenti, ami a Darboux tételben van, azaz bármely ² > 0 számhoz létezik olyan δ(²) > 0, hogy |I − s(f, P )| < ² ha kP k < δ(²). −
−
2. Tétel (integrálhatósági kritérium oszcillációs összeggel). Az f : [a, b] → R korlátos függvényre I = I −
(azaz f akkor és csakis akkor Riemann integrálható [a, b]-n, a második definíció szerint) ha bármely ² > 0-hoz létezik olyan P felosztás, hogy O(f, P ) = S(f, P ) − s(f, P ) < ². Bizonyítás. Ld. pl. Lajkó K., Kalkulus II., vagy Analízis II.
3. Tétel (az integrálhatóság első és második definiciójának ekvivalenciája). Legyen f : [a, b] → R egy −
korlátos függvény. I = I akkor és csakis akkor, ha van olyan I ∈ R szám, hogy bármely ² > 0-hoz −
létezik olyan δ(²) > 0, hogy |σ(f, P, t) − I| < ²
ha
kP k < δ(²) −
teljesül bármely t = (t1 , . . . , tn ) közbenső értékrendszer esetén. Ekkor I = I = I = −
Rb
f (x) dx.
a
−
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy I = I akkor −
s(f, P ) ≤ σ(f, P, t) ≤ S(f, P ) −
jobb és baloldala Darboux tétele miatt kP k → 0 esetén I és I -hez tart, így a köztük levő σ(f, P, t) az −
−
I = I = I közös értékhez tart.
−
Fordítva, ha |σ(f, P, t) − I| < ² ha kP k < δ(²)
teljesül, akkor bármely P felosztásnál választhatunk olyan t0 közbenső értékrendszert,hogy S(f, P ) − σ(f, P, t0 ) ≤ ² teljesüljön, ezért |S(f, P ) − I| = |S(f, P ) − σ(f, P, t0 ) + σ(f, P, t0 ) − I| < 2² ha kP k < δ(²) −
amiből S(f, P ) → I ha kP k → 0 így Darboux tétele miatt I = I . Hasonlóan igazolható, hogy I = I
−
−
így I = I . −
13
10.3 Az integrál kiszámítása, Newton-Leibniz formula 1. Definíció. Legyen f ∈ R[a, b], akkor a Z T (x) =
x
f (t) dt (x ∈ [a, b])
a
függvényt f területmérő függvényének nevezzük. 1. Tétel (a területmérő függvény tulajdonságai). Ha f ∈ R[a, b], és T az f területmérő függvénye,akkor (a) T folytonos [a, b]-n, (b) ha f folytonos x0 ∈ [a, b]-ben, akkor T differenciálható x0 -ban, és T 0 (x0 ) = f (x0 ). Bizonyítás. (a) Először kiegészítjük az integrál definícióját. Legyen Z a Z a Z b f (x) dx := 0, f (x) dx := − f (x) dx a
b
ha
Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy x > x0 akkor ¯Z x ¯ ¯Z x ¯ Z x0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ |T (x)−T (x0 )| = ¯ f (t) dt − f (t) dt¯ = ¯ f (t) dt¯¯ ≤ M |x−x0 | < ² a
a
a < b.
a
ha
x0
|x−x0 | < δ(²) = ²/M
ahol |f (x)| ≤ M (x ∈ [a, b]), s ez éppen f folytonosságát jelenti. (b) Ismét legyen x > x0 akkor ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z x Z x Z x ¯ T (x) − T (x0 ) ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ − f (x0 )¯ = ¯ f (t) dt − f (x0 ) dt¯ = ¯ (f (t) − f (x0 )) dt¯¯ ¯ x − x0 x − x 0 x0 x − x0 x0 x − x0 x0 1 ≤ x − x0
Z
x
x0
|f (t) − f (x0 )| dt <
1 ²(x − x0 ) = ² x − x0
ha
|x − x0 | < δ(²),
mivel az x0 -beli folytonosság miatt |f (t) − f (x0 )| < ² ha t ∈ [x0 , x] és |x − x0 | < δ(²). Így T (x) − T (x0 ) → f (x0 ) ha x → x0 , amiből T 0 (x0 ) = f (x0 ). x − x0 A bizonyítás x < x0 esetén hasonló. 1. Következmény. Minden folytonos függvénynek van primitív függvénye, ti. a területmérő függvénye. 2. Tétel (Newton-Leibniz formula). Tegyük fel, hogy f : [a, b] → R folytonos [a, b]-n, és F : [a, b] a f egy primitív függvénye, akkor Z b f (x) dx = F (b) − F (a) = [F (x)]ba . a
Rx Bizonyítás. Láttuk, hogy T (x) = a f (t) dt a f primitív függvénye, így F felírható F (x) = T (x) + c alakban, ahol c ∈ R alkalmas konstans. Mivel f (a) = T (a) + c = c, így Z b f (x) dx = T (b) = F (b) − c = F (b) − F (a). a
14
Megjegyzés. A Newton-Leibniz formula akkor is érvényes, ha f ∈ R[a, b], F : [a, b] → R folytonos [a, b]-n, és F 0 (x) = f (x) (x ∈]a, b[). Példa.
Z
1
0
1 dx = [arctg x]10 = arctg 1 − arctg 0 = π/4. 1 + x2
3. Tétel (parciális integrálás határozott integrálra). Ha f, g : [a, b] → R folytonosan differenciálhatók [a, b]-n, akkor Z b Z b f 0 (x)g(x) dx = [f (x)g(x)]ba − f (x)g 0 (x) dx a
a
ahol [f (x)g(x)]ba = f (b)g(b) − f (a)g(a). Bizonyítás. Legyen F (x) =
Rx
f 0 (t)g(t) dt − f (x)g(x) + f (a)g(a) +
a
Rx
f (t)g 0 (t) dt (x ∈ [a, b]), akkor
a
F 0 (x) = 0 (x ∈ [a, b]), F (a) = 0 így F (x) = 0 (x ∈ [a, b]) speciálisan F (b) = F (a) = 0 és ez éppen a bizonyítandó állítás. 4. Tétel (helyettesítéses integrálás határozott integrálra). Ha g : [a, b] → [c, d] folytonosan differenciálhatók [a, b]-n, f : [c, d] → R folytonos [c, d]-n, akkor Zb
Zg(b) f (u) du. f (g(x)) g 0 (x) dx =
a
Bizonyítás. Legyen F (x) =
Rx a
f (g(t)) g 0 (t) dt −
g(a) g(x) R
f (u) du (x ∈ [a, b]), akkor F 0 (x) = 0 (x ∈
g(a)
[a, b]), F (a) = 0 így F (x) = 0 (x ∈ [a, b]) speciálisan F (b) = F (a) = 0 és ez éppen a bizonyítandó állítás.
