8. Úvod do vyšší geodézie 8.1 Úvod do vyšší geodézie 8.2 Základní parametry zemského elipsoidu 8.3 Souřadnicové soustavy na elipsoidu a jejich vzájemné vztahy 8.4 Vztah mezi prostorovými pravoúhlými souřadnicemi X,Y,Z a geodetickými souřadnicemi ϕ, λ 8.5 Poloměry křivosti v daném bodě na elipsoidu 8.6 Geodetická čára a normálové řezy 8.7 Referenční koule 8.8 Úvod do sférické trigonometrie 8.9 Základní geodetické úlohy
1
8.1 Vyšší Geodézie Její historie sahá až do starověku, ale její velký rozvoj začal až v 17. století.. Základním úkolem vyšší geodézie je určení tvaru a rozměru Země, jejího vnějšího pole a jejich změn v čase a pořízení přesného geometrického základu pro podrobná měření a zobrazení velkých částí zemského povrchu. Tento základní úkol vyžadoval nutně širokou mezinárodní spolupráci, a proto byla vytvořena „Mezinárodní unie geodetická a geofyzikální“ (anglicky International Union of Geodesy and Geophysics – IUGG). V rámci jednotlivých států se zabývá budováním a údržbou geodetických základů, které jsou v současnosti napojovány propojovány na mezinárodní úrovni do celosvětových geodetických základů. 2
8.2 Základní parametry zemského elipsoidu Zde jsou uvedeny vybrané základní parametry zemského elipsoidu, které budou použity v následujících kapitolách: a b f e W M N Rm
hlavní poloosa meridiánové elipsy vedlejší poloosa meridiánové elipsy zploštění (první): 𝑓 = (𝑎 − 𝑏)/𝑎 excentricita (první): 𝑒 = (𝑎2 − 𝑏 2 )/𝑎2 první geodetická funkce: 𝑊 = 1 − 𝑒 2 𝑠𝑖𝑛2 φ meridiánový poloměr křivosti: 𝑀 = 𝑎(1 − 𝑒 2 )/𝑊 3 příčný poloměr křivosti: 𝑁 = 𝑎/𝑊 střední poloměr křivosti: 𝑅𝑚 = 𝑀𝑁
ϕ λ
geodetická zeměpisná šířka (také „B“) geodetická zeměpisná délka
3
8.2 Geometrické konstanty referenčních elipsoidů Konstanty referenčních elipsoidů jsou určovány se stále vyšší přesností. Pro potřeby vyšší geodézie je ale stále nutné určit dvě konstanty za základní a prohlásit je za bezchybné a z nich odvozovat všechny ostatní veličiny. Proto byly u většiny novějších elipsoidů konstanty definovány pomocí hlavní poloosy a a zploštění f a ostatní parametry bylo možné dopočítat s libovolnou přesností. To ale úplně neplatí pro geodetický referenční systém GRS80. Zde jsou uvedeny hodnoty některých konstant a odvozených veličin pro vybrané elipsoidy: Konstanty elipsoidu Besselova
GRS80
WGS84
a
6377397,15508 m
6378137 m
6378137 m
b
6356078,96290 m
6356752,31414 m
6356752,31425 m
f
0,003342773181583
0,003352810681182
0,003352810664747
e2
0,006674372230622
0,006694380022901
0,006694379990141 4
8.3 Souřadnicové soustavy na elipsoidu Soustava geodetických zeměpisných souřadnic Malá osa rotačního elipsoidu spojuje severní a jižní pól (PS, Pj). Řez roviny, procházející středem elipsoidu a kolmé k této ose, s plochou elipsoidu je rovník – kružnice o poloměru a. Řezy rovin rovnoběžných s rovinou rovníku jsou zemské rovnoběžky. Jsou to kružnice, jejichž poloměr se směrem od rovníku k pólům zmenšuje. Svazek rovin, procházejících osou rotace, seče povrch elipsoidu v polednících (meridiánech). Jsou to elipsy o poloosách a, b. Rovnoběžky a poledníky vedené ve zvolených vzdálenostech vytvářejí ortogonální soustavu čar – zeměpisnou síť. Geodetická zeměpisná šířka ϕ bodu P je úhel, který svírá normála v bodě P k povrchu elipsoidu s rovinou rovníku. Geodetická zeměpisná délka λ bodu P je úhel, který svírá rovina poledníku tohoto bodu s rovinou nultého poledníku. Úhly ϕ a λ (a všechny další úhly ve vyšší geodézii) uvádíme téměř výhradně v stupňovém šedesátinném dělení. Zeměpisné šířky se počítají na sever (kladné) a na jih (záporné) od rovníku k pólům. Mezinárodní nultý poledník prochází bodem na astronomické observatoři v Greenwichi. Zeměpisné délky se počítají na východ (kladné) a 5 na západ (záporné) od Greenwichského poledníku.
Geodetické zeměpisné souřadnice ϕ, λ (od Greenwich případně od Ferra) 6
8.3 Souřadnicové soustavy na elipsoidu Pravoúhlé souřadnice x, y v rovině meridiánové elipsy V rovině meridiánové elipsy volíme počátek rovinné soustavy ve středu S meridiánové elipsy, velkou poloosu za osu x a malou poloosu za osu y. Pravoúhlé souřadnice bodu P na meridiánové elipse budou: 𝑥 = 𝑆𝑃′ , 𝑦 = 𝑃′ 𝑃.
Geocentrická šířka β Při řešení některých úloh v astronomii a v navigaci se místo geodetické šířky ϕ bodu P zavádí geocentrická šířka β. Je to úhel, který svírá spojnice bodu P se středem elipsoidu (rádius vektor ρ) s rovinou rovníku. Druhou souřadnicí zůstává geodetická délka λ.
7
Pravoúhlé souřadnice x, y a geocentrická šířka β 8
8.3 Vzájemné vztahy souřadnicových soustav na elipsoidu Vztah mezi geodetickou šířkou ϕ bodu P a jeho souřadnicemi x, y v rovině meridiánové elipsy Normála n v bodě P svírá s velkou poloosou (s osou x) úhel ϕ . Odpovídající tečna t svírá s kladným směrem osy x úhel 90°+ ϕ. Řešením soustavy rovnic směrnice k tečny t a diferencované rovnice meridiánové elipsy dostaneme: 𝑥=
𝑦= kde 𝑊 =
𝑎 cos ϕ
𝑎 cos ϕ = , 2 2 𝑊 1 − 𝑒 𝑠𝑖𝑛 ϕ
𝑎(1 − 𝑒 2 ) sin ϕ
𝑎(1 − 𝑒 2 ) sin ϕ = , 2 2 𝑊 1 − 𝑒 𝑠𝑖𝑛 ϕ
1 − 𝑒 2 𝑠𝑖𝑛2 φ je první geodetická funkce.
9
Vztah mezi geodetickou šířkou ϕ bodu P a jeho souřadnicemi x, y v rovině meridiánové elipsy 10
8.3 Vzájemné vztahy souřadnicových soustav na elipsoidu Vztah mezi geocentrickou šířkou β a geodetickou šířkou ϕ bodu P Z následujícího obrázku je zřejmé, že tan β =
𝑦 . 𝑥
Dosadíme-li za x a y hodnoty z předchozích rovnic, dostaneme po vykrácení tan β = 1 − 𝑒 2 tan ϕ .
11
8.4 Vztah mezi prostorovými pravoúhlými souřadnicemi X,Y,Z a geodetickými souřadnicemi ϕ, λ Poloha bodu P na rotačním elipsoidu je také určena v prostorové pravoúhlé soustavě souřadnic, jejíž počátek je ve středu elipsoidu S, osa Z prochází osou rotace a směřuje k severu, osa X prochází průsečíkem roviny rovníku s rovinou nultého poledníku a osa Y leží v rovině rovníku a je kolmá na osu X. Bodem P (ϕ, λ) prochází poledník PS-P-Pj-Ps o geodetické délce λ. V rovině tohoto poledníku má bod P pravoúhlé souřadnice x, y dané vzorci: 𝑎 cos ϕ 𝑎(1 − 𝑒 2 ) sin ϕ 𝑥= , 𝑦= . 𝑊 𝑊 Podle následujícího obrázku napíšeme pro souřadnice X, Y, Z bodu P vzorce: 𝑋 = 𝑥 cos 𝜆 , 𝑌 = 𝑥 sin 𝜆 , 𝑍 = 𝑦. Dosadíme-li do vzorců za x a y dostaneme: 𝑎 𝑎 𝑎 𝑋 = 𝑌 = cos φ cos λ , 𝑌 = cos φ sin λ , 𝑍= 1 − 𝑒 2 sin ϕ . 𝑊 𝑊 𝑊
12
8.4 Vztah mezi prostorovými pravoúhlými souřadnicemi X,Y,Z a geodetickými souřadnicemi ϕ, λ Uvážíme-li vzorec pro příčný poloměr křivosti 𝑁 = 𝑎/𝑊 v bodě P, budou mít konečné vzorce pro prostorové pravoúhlé souřadnice tvar:
𝑁 cos φ cos λ 𝑋 𝑁 cos φ sin λ 𝑋= 𝑌 = 𝑍 𝑁 1 − 𝑒 2 sin ϕ nebo pokud bod P leží ve směru normály k elipsoidu ve výšce H nad elipsoidem: (𝑁 + 𝐻) cos φ cos λ 𝑋 (𝑁 + 𝐻) cos φ sin λ . 𝑋= 𝑌 = 𝑍 𝑁 1 − 𝑒 2 + 𝐻 sin ϕ
13
Prostorové pravoúhlé souřadnice X, Y, Z. 14
8.5 Poloměry křivosti v daném bodě na elipsoidu Normálou k elipsoidu v bodě P můžeme proložit nekonečně mnoho rovin, které jsou kolmé na tečnou rovinu k elipsoidu v bodě P. Tyto roviny protínají elipsoid v normálových (vertikálních) řezech. V každém bodě na elipsoidu existují dva extrémní normálové řezy., jejichž křivost je minimální a maximální. Jsou to hlavní normálové řezy. Odpovídající poloměry křivosti jsou hlavní poloměry křivosti. Je to poloměr křivosti v poledníku (meridiánový poloměr křivosti) M a poloměr křivosti v rovině kolmé na poledník (příčný poloměr křivosti) N.
𝑀 = 𝑎(1 − 𝑒 2 )/𝑊 3 𝑁 = 𝑎/𝑊
15
8.5 Poloměry křivosti v daném bodě na elipsoidu Daným bodem P (ϕ) lze vést nekonečně mnoho normálových řezů. Střední poloměr křivosti je podle věty Grunertovy dán geometrickým průměrem hlavních poloměrů křivosti M, N.
𝑅𝑚 = 𝑀𝑁 Střední poloměr křivosti je pro daný elipsoid funkcí pouze zeměpisné šířky. V některých geodetických výpočtech stačí použít střední poloměr křivosti pro větší území. Např. pro střední šířku ČSR ϕs=49°30´ je pro Besselův elipsoid Rm=6380703,611 m.
Rovnoběžka v bodě Pi o geodetické šířce ϕi je kružnice o poloměru 𝑟𝑖 = 𝑥𝑖:
𝑟𝑖 = 𝑥𝑖 = 𝑁 cos φ 𝑖 16
8.5 Poloměry křivosti v daném bodě na elipsoidu Poloměr náhradní koule V některých méně náročných výpočtech se celý zemský elipsoid nahrazuje koulí. Poloměr R této zeměkoule se určuje třemi způsoby: 1) Koule má stejný objem jako elipsoid: 𝑅=
3
𝑎2 𝑏.
2) Koule má stejný povrch jako elipsoid:
2 2 3 4 4 6 𝑅 =𝑏 1+ 𝑒 + 𝑒 + 𝑒 +⋯ 3 5 7 3) Koule má poloměr rovný aritmetickému průměru všech tří poloos elipsoidu: 𝑎+𝑏+𝑎 𝑅= 3 17
8.6 Geodetická čára a normálové řezy Normálové řezy mezi dvěma body na elipsoidu Mějme na povrchu elipsoidu dva body P1(ϕ1, λ1) a P2(ϕ2, λ2) a předpokládejme, že ϕ2˃ ϕ1, λ1≠ λ2. Normála n1 k elipsoidu v bodě P1 protne jeho malou osu (rotační) v bodě V1, normála n2 v bodě V2. Rovina určená body P1V1P2 obsahuje normálu n1. Je to normálová rovina v bodě P1, která prochází bodem P2. Tato rovina řeže elipsoid v přímém normálovém řezu s1. Normálová rovina obsahující normálu n2 a bod P1 proto protne elipsoid ve zpětném normálovém řezu s2. Přímý a zpětný normálový řez jsou vzájemné normálové řezy. Je zřejmé, že obě tyto normálové roviny nebudou splývat, neboť normály jsou obecně mimoběžné. Urovnáme-li v bodě P1 svislou osu teodolitu do normály n1 a zaměříme na bod P2, protne záměrná rovina elipsoid v normálovém řezu s1, obdobně si můžeme představit zpětný normálový řez s2. Vzájemné normálové řezy splynou, pokud body P1 a P2 leží na stejném poledníku nebo na stejné rovnoběžce, kdy se roviny obou normálových řezů ztotožní. 18
Vzájemné normálové řezy na elipsoidu. 19
8.6 Geodetická čára a normálové řezy Průběh vzájemných normálových řezů Úhel ω, který svírají oba normálové řezy a jejich maximální odlehlost q mají pro délky obvyklé v trigonometrických sítích velmi malé hodnoty. Závisejí na délce normálového řezu s, zeměpisné šířce ϕ a azimutu α. Například pro ϕ1=45°, α1=45°a s= 100 km je ω = 0,042´´, q = 5,2 mm. Pro běžné strany triangulačních sítí (do 50 km) je ω ≤ 0,01´´ a q ≤ 0,65 mm.
20
8.6 Geodetická čára a normálové řezy Z výše uvedeného je zřejmé, že klasická geodézie, která na povrchu rotačního elipsoidu zpracovává měřené směry a úhly, počítá vlastně měřené směry normálových řezů, respektive úhly mezi dvěma nebo více normálovými řezy. Z předchozího je však rovněž zřejmá nevýhodnost takového postupu: normálový řez z bodu P1 do bodu P2 se obecně liší od normálového řezu z bodu P2 do bodu P1. Je více možností, jak na povrchu rotačního elipsoidu řešit spojnice mezi dvěma body, ale jen jedna z nich je nejkratší spojnicí mezi těmito body: geodetická čára (křivka). Geodetická čára na libovolné ploše je čára (křivka), jejíž hlavní normála je v každém bodě totožná s normálou plochy. Její geodetická křivost je rovna nule. Na kouli je geodetickou čarou hlavní kružnice, v rovině je to přímka. Pokud existuje nejkratší spojnice, je touto nejkratší spojnicí.
21
8.6 Geodetická čára a normálové řezy Pro geodetickou čáru na libovolné rotační ploše platí věta Clairautova: Pro každý bod určité geodetické čáry je součin příslušného poloměru rovnoběžky a sinu azimutu hodnota konstantní. Pro body Pi geodetické čáry tedy platí: 𝑟𝑖 sin α𝑖 = 𝑁𝑖 cos ϕ𝑖 sin α𝑖 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 = 𝑘 Geodetická čára s spojující body P1 a P2 zpravidla probíhá mezi oběma normálovými řezy s1 a s2. Úhel ν mezi přímým normálovým řezem s1 a geodetickou čarouje prakticky stejný jako úhel mezi zpětným normálovým řezem s2 a geodetickou čarou a rovná se přibližně třetině úhlu ω mezi oběma normálovými řezy: ω ν= 3 Rovnice neplatí v extrémních případech, např. jsou-li koncové body na téže rovnoběžce, normálové řezy splynou v jeden, ale geodetická křivka probíhá mimo něj. Dále při azimutech geodetické čáry blízkých 90°geodetická čára ve svém průběhu protíná nebo se dotýká normálových řezů. Rovněž předchozí úvahy neplatí pro poledníky a rovník. 22
Geodetická čára (křivka). 23
8.7 Referenční koule Řešení geodetických a kartografických úloh jde často výrazně zjednodušit tím, že se část referenčního elipsoidu nahradí referenční koulí o vhodném poloměru. Na rozdíl od elipsoidu má koule konstantní křivost a všechny normály v bodech na povrchu koule se protínají ve středu koule. Normálové roviny procházejí středem koule a řežou ji v hlavních kružnicích o poloměru R. Oblouk hlavní kružnice, která spojuje dva body na kouli, je ortodroma, je to současně nejkratší spojnice uvažovaných bodů na kouli, tedy geodetická čára. Oblouky hlavních kružnic (ortodrom), které spojují tři body na kouli, vytvářejí sférický trojúhelník. ten může být obecný, pravoúhlý (je-li alespoň jeden z jeho úhlů pravý) nebo polární (je-li jeden z jeho vrcholů pól). Sférický dvojúhelník je plocha mezi dvěma hlavními kružnicemi.
24
8.8 Úvod do sférické trigonometrie Ve vyšší geodézii počítáme s trojúhelníky elipsoidickými, jejichž strany jsou geodetické čáry na elipsoidu. Pokud nepřesáhnou délky stran trojúhelníku 50 km – 60 km, můžeme v důsledku malého zploštění zemského elipsoidu řešit tyto „malé“ trojúhelníky s potřebnou přesností na náhradní kouli jako trojúhelníky sférické. Za poloměr náhradní koule volíme střední poloměr křivosti pro těžiště uvažovaného trojúhelníka. Sférický exces Součet vnitřních úhlů sférického trojúhelníka je vždy větší než 180° o hodnotu, které říkáme sférický exces a označujeme ji ε. Hodnota excesu závisí na velikosti trojúhelníka: v trojúhelníku, jehož strany jsou dlouhé asi 20 km, dosahuje hodnoty 1´´. Na kouli o poloměru R se sférický exces počítá ze vzorce: 𝑃 𝜀´´ = 𝜌´´ 2 , 𝑅 kde P je obsah trojúhelníka. 25
8.8 Úvod do sférické trigonometrie Plochu trojúhelníka je možno počítat pro trojúhelníky, jejichž délky stran nepřesáhnou 100 km, jako by šlo o rovinný trojúhelník. V praktické geodézii se nepoužívaly přesné vzorce sférické trigonometrie, ale volily se jiné postupy, které byly pohodlnější a přitom zaručovaly dostatečnou výpočetní přesnost. Jedním z těchto způsobů je metoda excesová (Legendreova). Toto řešení je založeno na Legendreově poučce, která říká: Sférický trojúhelník můžeme v geodézii řešit jako rovinný o stejných stranách, zmenšíme-li každý jeho úhel o třetinu excesu.
26
8.9 Základní geodetické úlohy Jednou ze základních úloh vyšší geodézie je řešení tzv. základních geodetických úloh na zemském elipsoidu případně na náhradních zobrazovacích plochách. 1. hlavní geodetická úloha řeší výpočet parametrů koncového bodu křivky, definované na libovolné ploše, jestliže je dána délka oblouku křivky, parametry počátečního bodu a úhel, který svírá uvažovaná křivka v počátečním bodě s jednou z parametrových čar. Jinými slovy: jsou dány geodetické souřadnice bodu P1 (ϕ1;λ1), azimut α12 a délka geodetické čáry s12 na bod P2. Máme vypočítat geodetické souřadnice bodu P2 (ϕ2;λ2) a azimut α21 v bodě P2. 2. hlavní geodetická úloha řeší výpočet délky oblouku určité křivky spojující dva dané body, jakož i úhly, které tato křivka svírá v daných bodech s parametrovými čarami. Jinými slovy: jsou dány geodetické souřadnice bodů P1 (ϕ1;λ1) a P2 (ϕ2;λ2). Máme vypočítat délku geodetické čáry s12 a oba azimuty α12 a α21 v daných koncových bodech křivky. 27
Základní geodetické úlohy na kouli. 28
