6 Pokyny ke zpracování naměřených hodnot Při numerických výpočtech nesmíme zapomínat, že naměřené hodnoty veličin jsou pouze přibližná, neúplná čísla. Platné cifry (číslice) daného čísla jsou všechny od první nenulové zleva do poslední zapsané vpravo. Poslední zapsaná cifra – získaná zpravidla odhadem desetin dílků na stupnici – je již zatížena chybou měření. Význam mají tedy i pravostranné nuly, protože jimi dáváme najevo, jak přesně bylo provedeno měření. Zapíšeme-li výsledek měření bez udané chyby, považujeme za chybu jedničku na posledním řádu zapsané číslice. Údaj d = 1,2 m tedy znamená, že měření bylo provedeno s chybou 0,1 m – relativní chyba přibližně 10 %. Naproti tomu tentýž výsledek zapsaný ve tvaru d = 1,200 m chápeme jako = d (1, 200 ± 0, 001) m , což je velmi přesná hodnota (relativní chyba zhruba 0,1 %). Výsledek bez zapsané chyby připouštíme pouze v případě, kdy pro další výpočty postačí řádový odhad chyby. Chyby uvádíme na jednu platnou číslici a zaokrouhlujeme vždy nahoru. Pouze v případě, kdy by to neúměrně zhoršilo přesnost výsledku, uvedeme chybu na dvě číslice. Vypočítanou chybu δ= ( X ) 3,382 ⋅10−2 m zapíšeme tedy δ ( X )= 4 ⋅10−2 m . Pokud ale vyjde chyba
například
δ= ( X ) 1,112 ⋅10−2 m ,
zapíšeme
raději
δ ( X= ) 1, 2 ⋅10−2 m ,
neboť
zaokrouhlením na 2 ⋅10−2 m bychom chybu prakticky zdvojnásobili. Výsledek měření uvádíme na tolik míst, aby poslední zapsané číslo výsledku bylo stejného řádu jako poslední číslo chyby. správně
= d (6,84 ± 0, 02) m
správně
= d (6,84 ± 0,11) m
nesprávně
= d (6,843 ± 0, 02) m
nesprávně
= d (6,8 ± 0, 018) m
Pro zápis naměřených i vypočtených hodnot užíváme zásadně mocnin 10, neboť do platných čísel se nepočítají nuly plynoucí z činitele 10n . Je-li U = 14000 V určeno s platností na 3 číslice, musíme údaj zapsat buď U = 14,0 kV nebo U = 1,40.104 V. Musíme mít na paměti, zejména při používání kalkulaček (bez zaokrouhlování), že nemůžeme pouhým výpočtem zvyšovat přesnost výsledku. Dosažená přesnost musí odpovídat použitým měřicím přístrojům a metodě měření. Při sčítání a odečítání se výsledek zaokrouhluje na poslední platné místo toho řádu, který je u všech sčítanců platný. Příklad:
15,6 + 2,35 + 0,093 – 0,155 + 0,3 = 18,188 = 18,2 .
Při násobení a dělení je možno u výsledku zapsat nanejvýš tolik platných cifer, kolik má číslo s nejmenším počtem platných cifer. Příklad:
24,152⋅3,46 = 83,56592 = 83,6 .
00-6/1
Při výpočtech uvedeme pro každý použitý vztah příklad číselného dosazení. Do rovnice dosadíme hodnoty veličin i s příslušnými jednotkami a číselné hodnoty konstant a bez dalších mezivýsledků uvedeme konečný výsledek. Používáme-li pouze soustavu jednotek SI a předem známe jednotku, v níž vyjde číselná hodnota výsledné veličiny, mohou se do rovnice dosadit číselné hodnoty veličin a jednotka výsledné veličiny se připíše za výraz. Důsledně dbáme o to, aby rovnice byly rozměrově homogenní. Pro vyhodnocení přímých opakovaných měření lze s výhodou využít kalkulátoru se statistickými funkcemi, z nichž využijeme aritmetický průměr x , který je definován v návodech ke kalkulátorům shodně s rovnicí (3.5) a směrodatnou (standardní) odchylku výběru s (značenou také σ n−1 ) definovanou shodně s rovnicí (3.7). V návodech ke kalkulátorům je upravena obvykle na tvar
σ n−1 =
(∑ x ) 2 n n −1
∑ x2 −
(6.1)
Postup je tedy následující: 1. Zvolíme statistický režim kalkulátoru. 2. Do paměti kalkulátoru zadáme postupně naměřené hodnoty xi (klávesou M+ nebo DATA). 3. Klávesou x vyvoláme hodnotu aritmetického průměru. 4. Klávesou σ n−1 vyvoláme výběrovou směrodatnou odchylku. 5. Tuto hodnotu vydělíme odmocninou z počtu měření – obdržíme výběrovou směrodatnou odchylku průměru: sx =
σ n−1 n
(6.2)
6. V tab. 3.1 najdeme pro zvolenou pravděpodobnost P a počet měření n hodnotu koeficientu tn, P a určíme chybu výsledku: ) tn , P ⋅ s x δ (X = Tuto chybu zaokrouhlíme na 1, nejvýše 2 číslice.
(6.3)
7. Výsledek opakovaného měření pak zapíšeme ve tvaru
δ (X ) (6.4) X= x ± δ ( X ) z n měření při P = 95%, δ r ( X ) = ⋅100% x Střední hodnotu zaokrouhlujeme na stejný řád jako chybu, neboť nemá smysl zapisovat výsledek s větší přesností, než je hodnota chyby. Pro snadné porovnání náhodných vlivů a chyb přístrojů nebo metody uvádíme vždy i soustavnou relativní chybu měřidla ur ( X ) a snažíme se, aby náhodná chyba byla pokud možno menší nebo srovnatelná s chybou měřidla. Opakování každého měření není však vždy možné a ani účelné. Pokud se při měření uplatňují výrazněji soustavné chyby nebo je přesnost jednoho měření postačující, nesnažíme se „udělat učiteli radost“ a naměřit obligátních deset hodnot, které navíc uměle vhodně rozptýlíme. 00-6/2
Přesnost měření musíme ovšem posoudit i v případě jednoho měření veličiny X, a to odhadnutou chybou u ( X ) z třídy přesnosti přístrojů, z výrobní tolerance odporů, kondenzátorů apod. Pod pojmem „jedno měření“ ovšem rozumíme jedno měření plus jedno kontrolní měření, abychom mohli vyloučit hrubou chybu. Odhadnutá chyba měření nám umožní zapsat správný (tj. reálný) počet platných míst výsledku.
6.1 Příklady Příklad 1 Při určování momentu setrvačnosti homogenní desky přímou metodou, tj. ze vztahu 1 m( a 2 + b 2 ) , musíme změřit její rozměry a a b. Hmotnost desky je známa bez udání = J 0 12 chyby, údaj m = 1,805,0 g budeme tedy chápat jako m = (1,805,0 ± 0,1) g. Vzhledem k malé hodnotě relativní chyby δ r (m) = 0, 005 % ji při dalších výpočtech zanedbáme. i
a (mm)
b (mm)
1
601,5
80,65
2
601,0
a = 601,1 mm
80,70
b = 80, 295 mm
3
601,5
sa = 0,16329 mm
80,55
sb = 0,10012 mm
4
601,5
80,50
5
601,5
80,30
6
600,0
7
601,5
8
601,5
9
600,5
79,85
10 601,0
80,35
80,15
u (a ) = 0,5 mm
80,10
= ur (a ) 0,= 08 % 0,1 %
79,80
u (a ) = 0, 05 mm = ur (a ) 0,= 06 % 0,1 %
V tabulce jsou pro srovnání uvedeny také soustavné chyby u a ur použitých měřidel v absolutním a relativním tvaru. Rozměr a desky jsme měřili kovovým měřítkem, veličinu b posuvkou. Chyby veličin a a b jsou podle vztahu (6.3):
δ (a= ) 2, 262 ⋅ s= a 0,36936 mm
po zaokrouhlení
δ (a ) = 0, 4 mm
δ (b= ) 2, 262 ⋅ s= b 0, 226 47 mm
po zaokrouhlení
δ (b) = 0,3 mm
Hodnotu koeficientu tn, P pro požadovanou 95%-ní pravděpodobnost a 10 měření jsme odečetli z tab. 3.1. Výsledky přímých měření tedy zapíšeme ve tvaru: a= (601,1 ± 0, 4) mm
0,1 % při P = 95 % a n = 10 δ r (a ) = 0, 07 % =
b= (80,3 ± 0,3) mm
0, 4 % při P = 95 % a n = 10 δ r (b) = 0,37 % =
00-6/3
Náhodná a soustavná chyba jsou u veličiny a srovnatelné, u veličiny b je náhodná chyba oproti soustavné o něco větší. Vzhledem k menšímu rozměru b jsou však chyby ur (a ) a ur (b) srovnatelné. Moment setrvačnosti je: J0 =
(
)
(
)
1 1 2 2 m a 2 + b= 1,805 601,12 + 80,32 ⋅10−6 kg.m 5531,863 ⋅10−5 kg.m 2 = 12 12
Chyba δ ( J 0 ) je podle vztahu z tab. 3.2:
δ ( J0 ) =
1,805 m a ⋅ δ (a ) + b ⋅ δ (b) = ( 601,1⋅ 0, 4 + 80,3 ⋅ 0,3) ⋅10−6 kg.m2 = 8 ⋅10−5 kg.m 2 6 6
Výsledek zaokrouhlíme tak, aby poslední platná cifra výsledku byla stejného řádu jako chyba. −5 2 J= 0 (5532 ± 8) ⋅10 kg.m
při = P 95 %
a = n 10
δ r ( J= 0 ) 0, 2 %
Příklad 2 Měření elektrického odporu přímou metodou se provádí na základě Ohmova zákona, tj. pomocí měření procházejícího proudu a příslušného úbytku napětí. Napětí U jsme měřili voltmetrem s třídou přesnosti 0,5 o rozsahu 6 V. Naměřená hodnota napětí byla U = 5,85 V. Ampérmetr měl rozsah 60 mA a třídu přesnosti 1, naměřená hodnota I = 21,2 mA. Chyby odečítání na stupnici jsme= určili u1 (U ) 0,= 01 V , u1 ( I ) 0,1 mA . Chyby přístrojů dané jejich třídou přesnosti= jsou u2 (U ) 0,= 03 V , u2 ( I ) 0, 6 mA . Je zřejmé, že chyby odečítání na stupnici lze zanedbat vůči mezním chybám přístrojů. Vypočítáme odpor R: R =
U 5,85 Ω = = 275,943396 Ω . I 21, 2 ⋅10−3
Relativní chyba δ r ( R) bude
δ r ( R) = odtud
δ ( R) R
=
δ (U ) δ ( I ) U
+
I
= 0,5 % + 2,8 % = 3 % ,
δ( R)= R ⋅ δr ( R)= 8, 2783 Ω= 9 Ω .
Výsledek zapíšeme: R= (276 ± 9) Ω ,
δ r ( R)= 3 %
Je jasně vidět, že ne všechny přímo měřené veličiny mají stejný vliv na přesnost výsledku. V našem příkladě byla rozhodující chyba u(I). Pro dosažení přesnějšího výsledku bychom museli použít ampérmetr s lepší třídou přesnosti.
00-6/4
6.2 Vypracování protokolu o fyzikálním měření Na začátku semestru určí vyučující, ze kterých měření vypracuje student protokol. Protokol musí obsahovat: •
Vyplněnou hlavičku První list protokolu opatříte razítkem, které je k disposici v každé laboratoři nebo si ho v elektronické podobě stáhněte z webu a ve všech kolonkách tuto tabulku vyplníte.
•
Název úlohy
•
Úkol měření Stručné vymezení toho, co se má měřením zjistit. Podklady najdete ve skriptech nebo v laboratoři u úlohy.
•
Popis metody měření Uvedete teoretický základ užité metody (vlastními slovy, neopisujte doslova celé pasáže skripta!!), vztahy a vzorce potřebné ke zpracování naměřených hodnot s vysvětlením použitých symbolů. Uváděné rovnice je někdy vhodné číslovat.
•
Popis experimentu Nakreslíte schéma měřicího zařízení podle povahy úlohy. Obrázky kreslete podle pravítka, ne rukou! Uvedete použité přístroje a pomůcky (identifikace výrobním číslem nebo evidenčním číslem).
•
Naměřené hodnoty a jejich zpracování Tabulky hodnot opakovaných měření a hodnoty veličin vypočtených. Tabulka musí mít číslo a název, veličiny v záhlaví tabulek musí mít jednotky. Rastr tabulek rýsujte podle pravítka. U každé měřené veličiny provedete výpočet nebo odhad chyby.
•
Příklad výpočtu Uvedete každý použitý vztah s číselným dosazením a poté bez dalších mezivýpočtů výsledek. Opakuje-li se výpočet vícekrát, uvedete jeden příklad numerického dosazení.
•
Grafy Měříte-li fyzikální závislosti, zpracujete do grafu. Všechny grafy musí být úhledné a na první pohled srozumitelné (viz kapitoly 4.3 a 4.4).
•
Zhodnocení výsledků měření Přehledně uvedete výsledky měření s udáním chyby. Při měření více metodami provedete porovnání výsledků z hlediska přesnosti. Je-li to možné, provedete porovnání s tabulkovou hodnotou. Pokud se váš výsledek liší o více než trojnásobek chyby měření, je pravděpodobné, že vaše měření je zatíženo nějakou soustavnou chybou (nevhodná metoda, zanedbání podstatného vlivu apod.). Možná je také hrubá chyba při měření nebo ve výpočtu.
Poznámka: Při zpracování protokolů včetně grafů postupujte tak, jak je uvedeno u úlohy.
00-6/5
